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Sistemas Electromecánicos, Guía V:”Máquinas de Corriente Continua”
GUÍA V : “MÁQUINAS DE CORRIENTE CONTINUA”
1.
La característica de magnetización de un generador de corriente continua operando a
una velocidad de 1500 [rpm] es:
If [A]
0
0,5
1
2
3
4
5
Vrot [V]
10
40
80
135
172
199
220
a) ¿Qué valor de resistencia adicional debe colocarse en el circuito de campo del generador, si
se conecta una carga de 50 [kW], 200 [V] considerando una velocidad de 1500 [rpm]?
b) Si la máquina es impulsada a 2000 [rpm], calcular la corriente de campo y la resistencia
adicional necesaria para alimentar la misma carga de a)..
Figura 1.
Máquina CC con excitación independiente
Resolución:
a)
Se tiene la potencia consumida por la carga y la tensión de armadura, de este modo la
corriente de armadura se determina fácilmente por:
Ia =
P 50·10 3
=
= 250[ A]
Va
200
Luego Vrot es:
1
(1)
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Vrot = Va + I a ·Ra = 200 + 250·0,035 = 208,75[V ]
(2)
Ahora considerando la razón entre Vrot y la velocidad de giro:
Vrot
ω
=
208,75
= 1,33[V ·s / rad ]
1500
2·π ·
60
(3)
Entonces de los datos se desprende que If = 4,4 [A], luego en el circuitote campo:
V f = I f ·( R f + R fad )
R fad =
b)
Vf
If
Ahora para una velocidad de
terminales es la misma:
− R f = 1,45[Ω]
(4)
2000 [rpm] se tiene que la potencia y tensión en los
Vrot = 208,75[V ]
(5)
Sin embargo, se debe ajustar dicha tensión respecto a la nueva velocidad para poder así usar
la tabla:
1500
= 156,56[V ]
2000
(6)
− R f = 34,4[Ω]
(7)
Vrot ' = 208,75·
Luego, If’ = 2,55 [A], con lo que:
R fad ' =
2.
Vf
If '
Un motor CC con excitación shunt de 7,5 [kW], 230 [V] posee una resistencia del
circuito de armadura de 0,3 [Ω] y una resistencia del campo shunt de 160 [Ω] con
tensión nominal la velocidad de vacío es de 1200 [rpm] y la corriente de armadura es
de 2,7 [A]. A plena carga la corriente de armadura es de 38,4 [A] y causa una
reducción de flujo de 4% en relación con el flujo en vacío. Determine la velocidad a
plena carga.
Resolución:
2
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a)
En vacío:
Vrot 0 = Va − I a 0 ·Ra = 230 − 2,7·0,3 = 229,2[V ]
Vrot 0 ~ Φ p 0 ·η 0
⇒ Vrot0 = k ·Φ p 0 ·η 0
(8)
(9)
Despejando y evaluando (9) se tiene que:
Vrot 0
V
]
rpm
(10)
Vrot = Va − I a ·Ra = 218,5[V ]
(11)
k ·Φ p 0 =
η0
= 0.191[
A plena carga, considerando Ia = 38,4[A]:
Vrot = k ·Φ p ·η = 0,96·k ·Φ p 0 ·η
η=
3.
218,5
= 1192[rpm]
0,96·0,191
Se tiene un motor CC conexión shunt con 2 resistencias de arranque R1 y R2.
Dimensione dichas resistencias para que durante la partida la corriente de armadura
se mantenga en el rango de 0,75·Inom < Ia < Inom. ¿Es posible este requerimiento
durante todo el arranque?
Figura 2.
Motor shunt de CC
Resolución:
a)
(12)
Primero debemos calcular la corriente de armadura nominal:
3
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I aNom =
PNom
=
V Nom
W
]
HP = 37,3[ A]
10[ HP ]·746[
200[V ]
(13)
En la partida (t = 0) la tensión en el rotor es 0, por lo tanto la corriente de armadura puede
llegar como máximo a un valor igual a la corriente de armadura nominal. Luego en t = 0:
Ra + R1 + R2 =
V Nom
= 5,4[Ω]
I aNom
(14)
R1 + R2 = 4,9[Ω]
En t = t1 se cortocircuita R1, de modo que:
t = t1
t = t1
−
+
−
Vnom − Vrot (t1 )
> 0,75·I aNom
→
R1 + R2 + Ra
+
Vnom − Vrot (t1 )
→
< I aNom
R2 + R a
(15)
Dividiendo ambas inecuaciones de (15), en el límite:
R2 + Ra
= 0,75
R1 + R2 + Ra
(16)
R2 + 0,5
= 0,75 ⇒ R2 = 3,55[Ω]
5,4
R1 + 3,55 = 4,9 ⇒ R1 = 1,35[Ω]
(17)
Usando (14):
En t = t2 se cortocircuita R2:
t = t2
t = t2
−
+
−
Vnom − Vrot (t 2 )
> 0,75·I aNom
→
R2 + R a
+
Vnom − Vrot (t 2 )
→
< I aNom
Ra
Análogo a lo anterior:
4
(18)
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Ra
= 0,75
R 2 + Ra
(19)
0,12 ≠ 0,75
No se puede conseguir la condición, ni aunque se cortocircuiten ambas a la vez.
Comprobar.
4.
El motor de excitación independiente de la figura tiene la característica de
magnetización mostrada en la figura obtenida a 1200 [rpm]. El motor opera con Va =
250 [V]; Ia = 120 [A] y velocidad de 1103 [rpm], moviendo a una carga que desarrolle
torque constante. Desprecie la reacción de armadura.
a) Determine la velocidad de vacío del motor.
b) Determine el torque desarrollado por el motor.
c) ¿Cuánto valen la corriente de armadura y el torque de arranque?
d) Grafique la característica velocidad – torque del motor, cuantificando los puntos
extremos.
e) ¿Qué sucede con la velocidad del eje si se disminuye la corriente de campo con el
motor en vacío? Justifique.
f) ¿A qué velocidad gira el motor con la misma carga inicial (igual torque), si el voltaje de
armadura disminuye a 200 [V]?.
g) Determine la inductancia de rotación cuando el devanado de campo tiene una corriente
de campo igual a 4,3 [A].
Figura 3.
Motor CC con excitación independiente
Resolución:
a)
Cuando el motor está en vacío, el torque es cero, luego el voltaje de rotación es igual la
voltaje de armadura, esto es 250 [V]. Cuando se trabaja con carga:
Vrot = Va − I a ·Ra = 250 − 120·0,03 = 246,4[V ]
5
(20)
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Del mismo modo, por definición
1103
Vrot = G fq ·I f ·2·π ·
= 246,4
60
Vrot ' = G fq ·I f ·2·π ·
b)
η
60
(21)
= 250
Con carga:
G fq ·I f =
Vrot
ω
= 2,133[ Hz ]
(22)
Con ello es fácil evaluar el torque usando:
Te = G fq ·I f ·I a = 255.96[ N ·m]
c)
(23)
En arranque, Vrot = 0, entonces:
I a arranque =
Va
250
=
= 8333,3[ A]
Ra 0,03
(24)
Manteniendo If constante:
Tarranque = G fq ·I f ·I a arranque = 17775[ N ·m]
(25)
d)
Grafico:
e)
Cuando el motor está en vacío, el torque eléctrico y la corriente de armadura son 0, de
modo que:
6
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ω=
Vrot
Va
=
G fq ·I f G fq ·I f
(26)
En zona lineal, si la corriente de campo aumenta, entonces la velocidad disminuye, y
viceversa. Incluso si se encuentra en zona saturada, pero Gfq·If varía muy poco.
f)
Considerando la tensión de armadura de 200 [V], y que el torque eléctrico es igual al torque
de carga (constantes, de 255,96[N·m]), se tiene::
Ia =
Te
255,96
=
= 120[ A]
G fq ·I f
2,133
(27)
Luego:
Vrot ' = Va '− I a '·Ra = 196,4[V ]
ω=
Vrot
rad
= 92[
]
G fq ·I f
s
ω
η=
·60 = 878,5[ rpm]
2·π
g)
(29)
Si If = 4.3 [A], entonces, según la curva de magnetización se tiene que Vrot = 230 [V].
Luego:
G fq =
5.
(28)
Vrot
230
=
ω ·I f 2·π ·1200 ·4,3
60
(30)
G fq = 0.42[ H ]
(31)
Un motor de corriente continua shunt tiene una resistencia de armadura de Ra =
0.2[Ω] y Rf = 100 [Ω]. Vnom = 200 [V], Ia = 50 [A] y gira a 1000 [rpm].
a) Considerando que el motor es alimentado a Vnom. Determine la velocidad cuando el
torquee en la carga disminuye un 40%.
b) Determine la velocidad de vacío cuando el flujo disminuye en un 20% respecto del
nominal. (Tener en cuenta que en un motor shunt el variar If, implica variar la tensión de
7
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alimentación.
c) ¿A qué velocidad debe ser impulsado el eje para que la máquina entregue 18 [kW] de
potencia a una fuente de 200 [V]?.
Figura 4.
Circuito Equivalente
Resolución:
a)
Se tiene que:
T = G fq ·I f ·I a
(32)
Dado que la tensión de armadura es constante, la corriente de campo también lo es. Luego
una reducción en un 40% del torque, es equivalente a una reducción en un 40% de la
corriente de armadura.
I a = 0.6·50 = 30[ A]
(33)
Vrot = Va − I a ·Ra = 200 − 30·0.2 = 194[V ]
(34)
Con ello:
Además, con tensión nominal:
Vrot ' = 200 − 50·0.2 = 190[V ]
(35)
Vrot ' = G fq ·I f ·ω
(36)
G fq ·I f =
Vrot '
ω
=
190
= 1.81[ H · A]
1000
2·π ·
60
Luego:
8
(37)
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ω=
Vrot
194
rad
=
= 107.2[
]
G fq ·I f 1.81
s
(38)
b)
φ = 0.8·φ nom
⇒ I f ' = 0.8·I fnom
(39)
Donde:
I fnom =
Va
= 2[ A]
Rf
(40)
⇒ I f ' = 1.6[ A]
Con ello se tiene que la tensión de armadura es:
Va = I f '·R f = 160[V ]
(41)
En vacío, Va = Vrot = 160[V]:
ωo =
c)
Vrot
Vrot
160
rad
=
=
= 110.5[
]
G fq ·I f ' G fq ·0.8·I fnom 0.8·1.81
s
(42)
P 18000
=
= 90[ A]
200
Va
(43)
Vrot = Va + Ra ·I a = 218[V ]
(44)
Sea:
Ia =
Luego:
Finalmente:
ω=
Vrot
218
rad
=
= 120.4[
]
G fq ·I f 1.81
s
En rpm:
9
(45)
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η=
6.
ω
·60 = 1150[ rpm]
2·π
(46)
Un motor serie mueve un ventilador y consume 25 [A] desde una fuente de tensión
continua de 220 [V] cuando gira a 300 [rpm] sin Rad. El torque de carga está dado por
Tc = KC· η 2. Ra = 0.6[Ω], Rs = 0.4[Ω]. Desprecie roce y reacción de armadura.
a) Determine: Potencia que entrega a la carga, torque y la inductancia de rotación..
b) Se desea reducir la velocidad a 200 [rpm] insertando una Rad en serie con el resto del
circuito. Calcule: torque, Rad en [Ω] y el rendimiento.
Figura 5.
Circuito Equivalente
Resolución:
a)
Se tiene:
Vrot = Va − I a ·( Rs + Ra ) = 220 − 25 = 195
(47)
Junto a ello se tiene que:
Pmec = I a ·Vrot = 25·195 = 4875[W ]
Luego:
10
(48)
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Te = Tc =
Pmec
ω
=
4875
= 155.2[ N ·m]
2·π
·300
60
(49)
Finalmente, con Ia = If (dado que es conexión serie):
G sq =
b)
Te
155.2
=
= 0.248[ H ]
I a ·I/ f
25 2
(50)
Es necesario determinar Kc:
Tc = K c ·η 2
Kc =
Tc
η
2
=
155.2
= 1.72·10 −3
2
300
(51)
Luego es fácil determinar el torque de carga a 200 [rpm] utilizando la expresión de (52)
Tc ' = 1.72·10 −3 ·200 2 = 68.98[ N ·m]
(52)
Luego Rad se determina despejando de:
Va = Vrot '+ I a ' ( Rad + Rs + Ra )
(53)
Donde Ia' se calcula a partir de:
Ia ' =
Tc '
= 16.68[ A]
Gsq
(54)
Además:
2·π ·200
= 86.64[V ]
60
(55)
Va − Vrot '
220 − 86.64
− Rs − Ra =
− 1 = 7[Ω]
Ia '
16.68
(56)
Vrot ' = G sq ·I a '·ω ' = 0.248·16.68·
Finalmente:
Rad =
Por último la eficiencia se determina según:
11
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η=
7.
Psalida
P
V '·I '
·100 = mec ·100 = rot a ·100 = 39.38%
Pentrada
Pentrada
Va · I a '
(57)
Un pequeño motor serie desarrolla un torque de 2 [N·m] con rotor detenido y una
corriente de armadura de 3 [A], DC. La resistencia del circuito de armadura es de 2.5
[Ω] y la inductancia es de 0.04 [H]. Suponiendo linealidad magnética y pérdidas por
rotación despreciables, determine, si la máquina se conecta a una red de 115 [V], 60
[Hz]:
a) Torque de arranque.
b) La potencia mecánica para una Ia = 3 [A] efectiva.
c) Factor de Potencia.
Resolución:
a)
Primero calculamos Gsq, basados en los datos con rotor detenido:
G sq =
T
Ia
2
=
2
= 0.222[ H ]
9
(58)
Ahora bien, en arranque, Vrot = 0, luego:
Va = I a ·( Ra + j·ω ·La ) + Vrot
*
*
(59)
De aquí se obtiene que::
Ia =
Va
= 7.5[ A]
(60)
= 12.5[ N ·m]
(61)
Ra + (ω ·La )
2
2
Luego::
Tarranque = G sq · I a
b)
2
Considerando que Vrot está en fase con Ia:
12
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I a = 3∠δ º [ A]
*
(62)
Va = ( Ra + j·ω red ·La )·I a + Vrot
Va = ( Ra + j·ω red ·La )·I a + ω giro ·G sq ·I a
(63)
115∠0º = (2.5 + j·2·π ·60·0.04)·3∠δ º +ω giro ·0.222·3∠δ º
38.33∠ − δ º = j·15.1 + (2.5 + ω giro ·0.222)
Por Pitágoras:
2.5 + ω giro ·0.222 = 38.33 2 − 15.12 = 35.23
ω giro = 147,4[
(64)
rad
]
s
Luego la potencia mecánica:
Pmec = Te ·ω giro = (G sq ·I a )·ω giro = 294.5[W ]
2
c)
(65)
Utilizando (64.2) y despejando calculando la corriente de armadura:
Ia =
*
115∠0º
= 2.76 + j1.18 = 3∠ − 23.2º
2.5 + 147.4·0.222 + j·15.1
(66)
Finalmente:
FP = cos(φ ) = cos(−23.2) = 0.92 inductivo
8.
(67)
Una máquina DC independiente (If = 1 [A]) mueve una carga con característica
torque velocidad lineal a ηr = 1200 [rpm] cuando es alimentada por una fuente de 420
[V]. La máquina se caracteriza por una resistencia de armadura de 1 [Ω] y un Gfq =
10/π. Calcular la nueva velocidad e Ia si la tensión de alimentación baja a 300 [V].
a)
Sea:
Vrot = G fq ·I f ·ω r =
10 2·π ·1200
·1·
= 400[V ]
π
60
13
(68)
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Luego:
Va + Vrot
= 20[ A]
Ra
Ia =
(69)
Con ello podemos calcular el torque eléctrico:
10
Te = G fq ·I a ·I f =
π
·20·1 =
200
π
[ N ·m]
(70)
Dicho torque es igual al torque de carga y este proporcional a la velocidad:
200
Te = Tc =
π
= K c ·ω r
200
1
5
Kc =
= 2
·
π 40·π π
(71)
Ahora bien, para la nueva tensión de alimentación:
Va ' = I a '·Ra + Vrot '
Vrot ' = G fq ·I f ·ω r '
T ' G fq ·I f ·I a
ωr '= c =
Kc
Kc
(72)
Evaluando (73.3)
10
I a '· ·1
π
ωr '=
5
= 2·I a '·π
(73)
π2
Luego (74) en (73.2):
Vrot =
10
π
·1·2·I a '·π = 20·I a '
(74)
Y (75) en (73.1):
Ia '=
300
= 14.3[ A]
1 + 20
14
(75)
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Con lo que se tiene:
ω r ' = 2·I a '·π = 28.6·π [
rad
]
s
(76)
Que equivale a 858 [rpm]:
9.
En el sistema de 2 máquinas DC acopladas de la figura.
a) Explique cómo se trasfiere la energía desde un extremo al otro, especificando cuál
máquina actúa como motor y cuál como generador..
b) Explique como se genera el torque Tc y qué relación tiene con Te1.
c) Determine los valores de las corrientes de la Ia1, Ia2 y la velocidad de giro del conjunto
si: c1) If2 = 0; c2) If1 = 0. Justifique
Fusible
130A
Ia1=100A
Tc1 Tc2
Ra1=0.5Ω
Va1
500 [V]
M
Ra=0.3Ω
M
Ia2=5
0A
Rc
ωr=200rp
m
Figura 6.
Máquinas DC Acopladas
Resolución:
a)
La fuente Va1 entrega energía a la máquina 1 (motor) a través de Ia1. Luego la máquina
1 desarrolla un torque Te1 e impulsa el eje con velocidad de 200 [rpm.] Finalmente la
máquina 2 (generador) impulsada por la máquina 1, entrega energía a la carga a través
de Ia2.
b)
Tc corresponde al torque de reacción que desarrolla la máquina 2. A velocidad
constante, estado estacionario, Tc = Te1.
c)
Si If2 = 0, entonces Vrot2 = 0. Luego la máquina 2 no entrega potencia, e Ia2 = 0.
Luego la máquina 2 se encuentra en vacío. Te1 = Tc = 0.
15
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Vrot ' = Va1 − I a1 ·Ra1 = 500 − 100·0.5 = 450[V ]
ηr0 =
Va
·200 = 222[rpm]
Vrot
(77)
Si If1 = 0, Vrot1 = 0. Luego Ia1 aumenta tendiendo a:
I a1 =
Va1 500
=
= 1000[ A]
Ra1 0.5
(78)
Por lo tanto se quema el fusible, Ia1 = 0 por lo tanto Te1 = 0. Se detiene el sistema.
10. Una máquina DC de excitación independiente tiene sus terminales de armadura
conectados a una fuente de tensión continua de 240[V]. La máquina gira a 1200 [rpm]
y está generando una tensión de rotor 230 [V]. La corriente de armadura es de 40 [A]
a) ¿La máquina funciona como motor o como generador? Explique.
b) Determine el rendimiento, despreciando las pérdidas de campo..
c) Determine el torque en [N·m].
Resolución:
a)
Dado que la tensión de armadura es mayor que la tensión de rotor, la corriente de
armadura circula hacia la máquina, saliendo de la fuente DC, por lo tanto funciona
como motor.
b)
Se tiene:
Psalida = Pmec = Vrot ·I a
Pentrada = Va ·I a
(79)
Luego el rendimiento:
η=
c)
Psalida
V
·100 = rot ·100 = 95.8%
Pentrada
Va
El torque se puede describir según:
16
(80)
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Te =
Pmec
ω
=
Vrot ·I a
ω
=
230·40
= 73,2[N ·m]
1200
2·π ·
60
17
(81)