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Sistemas Electromecánicos, Guía VI:”Máquinas Sincrónicas” GUÍA VI: “MÁQUINAS SINCRÓNICAS” 1. Un generador sincrónico de 440 [VLL], 50 [kVA], trifásico, dos polos, gira a velocidad nominal. Se necesita una corriente de campo de 7 [A] para producir una tensión nominal de vacío. Se necesita una corriente de 5,5 [A] para producir una corriente nominal en el estator cortocircuitado. La máquina puede considerarse magnéticamente lineal. Determine la reactancia Xs. Resolución: a) Consideremos primeramente los circuitos equivalentes por fase en vacío y en cortocircuito: Figura 1. Circuitos Equivalentes. En vacío se tiene que: Vaf = 440 3 [V ] (1) Y en cortocircuito: I anom = S 3·VaLL = 50·10 3 3·440 = 65.6[ A] = VP ' Xs (2) EN zona lineal VP es proporcional a If: 440 ⎧ → I f = 7[ A] ⎪VP = Vaf = 3 ⎨ ⎪V p ' = I anom · X s → I f ' = 5.5[ A] ⎩ 1 (3) Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos” Vp '= Vp · If ' If = 199.6[V ] Vp ' ⇒ Xs = I anom 199.6 = = 3[Ω] 65.6 (4) . 2. Una Máquina sincrónica de 4 polos, 60 [Hz], tiene una reactancia sincrónica de 8 [Ω]. La máquina trabaja en zona lineal, de acuerdo a la característica Vp = K·If, con K = 30 [V/A] e If : 0 → 6 [A]. El circuito de campo está ajustado para que I f no salga de este rango. La máquina trabaja como motor sincrónico conectado a una red trifásica e 208 [V], 60 [Hz]. La corriente de campo se ajusta para que el motor consuma una potencia de 3 [kW] desde la red, con FP = 1. a) b) c) d) Dibuje el diagrama fasorial para esta condición. Calcule la corriente de campo. ¿Cuánto vale la corriente por el estator Ia si se desconecta la carga mecánica? Considerando If = 6 [A], ¿con qué ángulo de carga se alcanza un torque de 42,9 [Nm]? Resolución: a) Se tiene que:: Ia = • S • 3·VaLL = 3·10 3 ∠0º 3·208∠0º = 8.3∠0º [ A] • Luego por LVK: Xs j·Xs·Ia Vp Figura 2. Circuito Equivalente por Fase 2 (5) Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos” V P = Vaf − j· X S ·I a • • • VP = 208 ∠0º −8∠90º·8.3∠0º = 137.2∠ − 29º [V ] (6) 3 ⇒ δ = −29º • Luego el diagrama fasorial (no a escala): Figura 3. b) Diagrama Fasorial La corriente de campo es: | V P |= 137.2[V ] = K ·I f = 30·I f • ⇒ I f = 4.6[ A] c) (7) Al desconectar la carga, el torque eléctrico se hace cero: Tel = − 3·Vaf ·V P ω s ·X s ·sen(δ ) = 0 ⇒ δ = 0 ( I f = cte) V P = 137.2∠0º [V ] (8) • Por LVK: 208 Vaf − V P Ia = • • • j· X s = 3 ∠0º −137.2∠0º = 2.1∠90º [ A] 8∠90º 3 (9) Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos” d) Si la corriente de campo es de 6[A]: V PMax = 30·6 = 180[V ] (10) Luego el torque eléctrico es: 3·2· 208 ·180 3 ·sen(δ ) = 42.9[ Nm] Tel = − 2·π ·60·8 (11) Despejando se tiene que el ángulo de carga es de -86º, (considere | δ |< 90º es el límite de estabilidad estacionaria) 3. Un generador sincrónico de 6 polos, 50 [Hz] tiene una reactancia sincrónica de Xs = 4 [Ω] y es conectado a una red de 2300 [V] y trabaja con una corriente de campo If = 5 [A]. La característica de vacío del generador es: If [A] 2.5 5.0 7.5 10 Vp LL [V] 1125 2250 3375 4200 a) El generador opera con δ = 25º. Determine el torque para mover el generador y la corriente de estator b) Si la corriente de campo de un generador sincrónico conectado a una red infinita aumenta y ello provoca una disminución de la corriente por el estator. Considerando la potencia activa constante, ¿la máquina estaba operando con FP inductivo, capacitivo ó 1 antes del cambio? Justifique. Resolución: a) Con VaLL = 2300 [V], se fija la característica del entrehierro equivalente, luego con If = 5[A], se tiene de la característica de vacío que VpLL = 2250[V], luego el torque eléctrico: 4 Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos” Característica de Vacío del Generador 5000 4500 4000 Vpll[A] 3500 3000 2500 2000 1500 Característica Vacío 1000 Característica Entrehierro Equivalente 500 0 0 2 4 6 8 10 If[A] Tel = − 3· p·Vaf ·V Pf w1 · X s 3·3· Tel = − sen(δ ) 2300 2250 · 3 3 sen(25º ) = −5221[ Nm] 2·π ·50·4 (12) Donde el signo menos indica que es torque requerido por el generador. Luego por LVK: VPf = j· X s ·I a + Vaf • • ⇒ Ia = • • VPf − Vaf • • j· X s 2250 = 3 ∠25º − 2300 3 4∠90º 5 (13) ∠0º = 142∠15º Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos” b) Potencia Constante Vaf Figura 4. Diagrama Fasorial Si If aumenta, la magnitud de VP también lo hace. De la figura se observa que la magnitud de Ia disminuye (aumentando |Vp|) sólo en el caso de VP'. Donde al aumentar un poco la magnitud de VP' disminuye |Ia'|. Además VP' se obtiene con cos(δ) inductivo. En conclusión la máquina se encontraba operando con FP inductivo. 4. Una máquina sincrónica está acoplada por el eje a una máquina de corriente continua de excitación independiente, tal como se muestra en la figura. La Característica de vacío de la máquina sincrónica a 1500 [rpm] se muestra en la tabla. a) Se desea transmitir energía desde la red de corriente continua hacia la red trifásica. ¿A qué valor debe ajustarse la corriente de campo de la MS para entregar a la red trifásica la potencia nominal del conjunto con factor de potencia unitario? b) Se ajusta la corriente de campo de la máquina de corriente continua hasta que la potencia activa transferida sea igual a cero. b.1) ¿Cuánto valen Ia maq cc e Ia maq sinc?. b.2) La máquina sincrónica se desconecta desde la red trifásica. ¿Cuánto vale la tensión en los terminales de la máquina sincrónica?, ¿a qué velocidad gira el conjunto?, ¿cuánto vale la tensión en los terminales de la máquina sincrónica, si la corriente de campo de la máquina CC disminuye en un 20%.? 6 Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos” Figura 5. Sistema Magnético. Resolución: a) La potencia nominal del sistema está dada por: Pn = 3·Vaf ·I a ·cos(φ ) (14) De aquí es posible despejar Ia: 25·10 3 = 38[ A] 380 3· 3 cos(φ ) = 1 ⇒ ∠I a = 0º Ia = (15) Por LVK: VPf = Vaf + j· X s ·I a VPf = 380 3 + 38·0.8∠90º = 311∠45º Con Vaf = 220[V], se fija la característica del entrehierro: 7 (16) Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos” Vpf[A] Característica de Vacío del Generador 520 500 480 460 440 420 400 380 360 340 320 300 280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 Característica Vacío Característica Entrehierro Equivalente 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 If[A] Luego al entrar con |VPf| = 311[V], e interceptar con la recta, se tiene que If = 2.5[A] b) Si la transferencia de potencia activa es 0, entonces los torques en ambas máquinas es 0: TelCC = G fq ·I fCC ·I aCC = 0 ⇒ I aCC = 0 TelSinc = 0 ⇒ δ = 0 Con igual |VPf|: V Pf = 311∠0º • (17) (18) Por LVK: Ia = • V Pf − Vaf • • j· X s = 15.8∠ − 90º [ A] (19) Al desconectar la máquina sincrónica de la red alterna , se debe trabajar con la característica de saturación original If = 2.5[A], con lo que se tiene que: VP = Vter min ales = 295[ A] (20) Dado que la transferencia de potencia activa es cero, no hay cambios, la velocidad es constante, 1500 [rpm] 8 Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos” Se tiene que: Vrot = G sq ·I fCC ·ω mec = 230[V ] ⇒ ω mec = 230 G sq ·I fCC (21) Si la corriente disminuye en un 20%: Vrot = G sq ·( I fCC ·0.8)·ω mec ' = 230[V ] ⇒ ω mec ' = 230 = 1.25·ω mec G sq ·I fCC ·0.8 (22) Luego: η mec ' = 1.25·η mec = 1.25·1500 = 1875[rpm] (23) Finalmente: Vter min ales = V Pf ' = 5. VPf η mec ·η mec ' = 1.25·295 = 369[V ] (24) Un generador sincrónico trifásico conexión estrella, pérdidas despreciables, 4 polos, tensión nominal 13.2 [kVLL], 50 [MVA], Xs = 3 [Ω], está conectado a una red de 13.2 [kVLL], 50 [Hz]. LA turbina entrega una potencia de 45 [MW] al eje. La corriente de campo ha sido ajustada para que el generador opere con factor de potencia unitario. a) Determine la corriente por el estator Ia. b) ¿Cuánto valen la tensión de rotación y el ángulo de carga δ? c) ¿Cuánto vale el torque desarrollado por la turbina?. d) La admisión en la turbina es variada hasta obtener torque cero. ¿Cuánto valen las potencias activa y reactiva del generador en esta condición? e) En la condición de los puntos a) y b), ¿en qué porcentaje puede disminuir la corriente de campos antes de que la máquina pierda sincronismo?.. Resolución: a) La corriente por el estator está dada por: Ia = P3φ 3·VaLL ·cos(φ ) = 45·10 6 3·13200·1 9 = 2000[ A] (25) Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos” b) Consideremos el diagrama fasorial: j·Xs·Ia’ Figura 6. Diagrama Fasorial Por LVK: V P = Vaf + j· X s ·I a = • c) 3 • • ∠0º +3∠90º·2·10 3 ∠0º = 9.7·10 3 ∠38º [V ] (26) El torque desarrollado por la turbina es: Tturbina = d) 13200 P3φ = ω mec P3φ 2·π · f p = 45·10 6 = 2.86·10 5 [ Nm] 50 2·π · (4 ) 2 (27) Si el torque es cero: Pact = T ·ω mec = 0 ⇒ δ = 0º El diagrama fasorial es: Iaf Figura 7. Diagrama Fasorial 10 (28) Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos” Ia = • VP − Vaf • • j· X s 13200 ∠0º 3 = 693∠ − 90º 3∠90º 9.7·10 3 ∠0º − = (29) Luego: Q = 3·Vaf ·I a ·sen(φ ) = 3·13200·693·sen(−90) =− 15.8[ MVAR] • e) (30) Inicialmente: P = 45·10 6 = 3·Vaf ·V P 0 Xs sen(δ 0 ) (31) Con VP0 = 9.7·106[V], se tiene que δ 0 = 38º . El límite de estabilidad estacionaria es 90º, y la potencia activa no debe cambiar al variar la corriente de campo. Luego: Vaf ·VP ' Vaf ·VP 0 P = 3· sen(90º ) = 3· sen(δ 0 ) Xs Xs ⇒ VP ' = VP 0 ·sen(δ 0 ) (32) VP ' = sen(δ 0 ) = 0,616 VP 0 Debido a que se puede considerar que: V P = k ·I f (33) Luego If puede disminuir en un 100% - 61.6% = 38.4% 6. Un generador trifásico de 5 [kVA], 208 3 [VLL], 4 polos, 60 [Hz], conexión estrella, tiene una Xs = 8 [Ω]. El generador opera conectado a una red trifásica de 208 3 [VLL], 60 [Hz]. La tabla muestra la característica de vacío del generador a 60 [Hz]. 11 Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos” a) ¿A qué velocidad [rpm] debe ser impulsado el eje del generador para poder conectarse a la red de 60 [Hz]?. b) Calcule la corriente de campo If necesaria para que el generador entregue potencia ala red con corriente nominal y factor de potencia 0,8 inductivo. Determine el ángulo de carga. c) Partiendo de b) se reduce la corriente de campo hasta llegar al valor mínimo aceptable. Calcule la condición inicial b) y la final c). Determinar la potencia reactiva entregada por el generador en ambas condiciones (b y c). Resolución: a) La velocidad del eje es: η mec = η sin c = b) f 60·60 = 1800[rpm] ·60 = p 2 (34) La corriente de estator está dada por: I a = I aNom = S 3·VaLL Figura 8. = 5·10 3 3·(208· 3 ) = 8[ A] (35) Circuito Magnético Según el circuito equivalente por fase (referencia carga), y dado que el generador es "inductivo": cos(φ ) = −0.8 φ = ar cos(−0.8) = −143º (36) V P = Vaf − j· X s ·I a = 208∠0º −8∠90º·8∠ − 143º = 177∠17 º [V ] (37) Luego por LVK: • • • 12 Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos” Con la magnitud de Va fijamos la característica del entrehierro equivalente: Vpf[A] Característica de Vacío del Generador 420 400 380 360 340 320 300 280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 Característica Vacío Característica Entrehierro Equivalente 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 If[A] Al interceptar entonces |VP| = 177 [V] con la recta se obtiene que If = 1.8[A] c) Considerando que el torque de la máquina motriz: Tel = cte = − 3· p·V af ·V P ω1 · X s sen(δ ) = − 3·2·208·177 sen(17º ) = −21.4[ Nm] 2·π ·60·8 (38) Que la corriente de campo sea mínima indica que Vp también lo es, con ello δ max = 90º , corresponde al límite de estabilidad estacionaria. Tel = −21.4 = − 3· p·Vaf ·V P min ω1 · X s sen(90º ) ⇒ V P min = 52[V ] Al entrar a la característica con Vp = 52[V], tenemos que If = 0.5[A] Luego el diagrama fasorial nos queda: 13 (39) Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos” Vp Condición b) Condición c) Figura 9. Diagrama fasorial En b): { * } Qb = Im 3·Vaf ·I a = 3·208·8·sen(143º ) = 3·10 3 [VAR] (40) En c): Ia = { • * Vaf − V P • • } j· X s = 26.8∠ − 104º [ A] Qb = Im 3·Vaf ·I a = 3·208·26.8·sen(104º ) = 16.2·10 3 [VAR] (41) (42) Es de observar que en ambas situaciones el generador absorbe potencia reactiva desde la red, lo cual indica factor de potencia inductivo. 7. Un generador sincrónico, trifásico, conexión estrella, pérdidas despreciables, 4 polos, tensión nominal 13.2 [kVLL], 50 [MVA], y Xs = 3 [Ω] está conectado a una red de 13.2 [kVLL], 50 [Hz]. La admisión de caudal se ha ajustado para que la turbina entregue una potencia de 25 [MW] en el eje y la corriente de campo se ha reducido al valor mínimo posible. a) Determine el valor de la tensión de rotación VP. b) Calcular la corriente por el estator Ia. 14 Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos” c) ¿Qué sucede con la corriente Ia (aumenta o disminuye) su aumenta la corriente de campo en un 100%? Justifique. Resolución: a) La potencia activa entregada por el generador es: Pact = 3·Va ·V P ·sen(δ ) Xs (43) Si If es mínima, la tensión de rotación es mínima y el ángulo de carga es máximo. δ máx = δ limite de estabilidad ⇒ δ = π 2 ⇒ sen(δ ) = 1 (44) Pact · X s 25·10 6 ·3 = = 3.28[kV ] 13200 3·Va 3· 3 (45) Luego: VP = VP min = b) Sea: Xs Ia Va Vp Va Figura 10. Circuito Eléctrico y Diagrama Fasorial Con esto se concluye que: 2 Ia = c) V P + Va Xs 2 = 2766[ A] (46) Al aumentar la corriente de campo, también aumenta la tensión de rotación, y disminuye el ángulo de carga, luego si observamos el diagrama fasorial y nos desplazamos por la línea de potencia constante: 15 Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos” Figura 11. Formas de Onda V(t) e I(t) Como se observa: X s · I a 2 < X s · I a1 ⇒ I a 2 < I a1 (47) Al mantener la potencia activa constante, la magnitud de la corriente de estator disminuye cuando se aumenta la corriente de campo. 8. Una máquina sincrónica trifásica de rotor cilíndrico y una máquina CC shunt están acopladas por el eje mecánico para transferir potencia de una fuente DC a una fuente AC y viceversa. Los valores nominales de las máquinas son: Máquina sincrónica: 12 [kVA], 208 [V], Xs = 3 [Ω], 6 polos. Máquina CC: 12 [kW], 220 [V], Ra = 0.18 [Ω]. Desprecie las pérdidas en el estator y la saturación en ambas máquinas. La máquina CC shunt es conectada a una fuente de 220 [VDC] y la máquina sincrónica es conectada a una fuente trifásica de 208 [V], 60 [Hz]. La corriente de campo de la máquina sincrónica se ajusta a un valor de 1.25 pu (Nota: Una corriente de campo de 1 pu produce una tensión de rotación VP de 208 [VLL]). Usted puede variar ambas corrientes de campo mediante resistencias adicionales. a) El conjunto transfiere cero potencia activa a través del eje. Determine: a.1) La corriente de armadura de la máquina shunt. a.2) La corriente por el estator de la máquina sincrónica. a.3) El FP de la máquina sincrónica. a.4) La tensión de terminales de la máquina sincrónica si ésta se desconecta de la red. 16 Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos” b) Una potencia de 8 [kW] es entregada por la fuente continua. b.1) Especifique qué ajuste es necesario para llevar el conjunto a este punto de trabajo partiendo de la condición del punto a). b.2) Determine la corriente de armadura de la máquina shunt. b.3) ¿Cuánta potencia activa llega a la red alterna? b.4) Determine la corriente de estator de la máquina sincrónica. b.5) Calcule el torque en el eje. c) Especifique el ajuste necesario, partiendo de a) y el valor de la corriente de armadura shunt si ahora se desea entregar los 8 [kW] a la red continua. Resolución: Figura 12. a) Circuito Equivalente La potencia activa es cero, y corresponde a la potencia transferida a través del eje, luego la potencia mecánica es 0. Con ello: I aCC = Pmec = 0[ A] Vrot (48) La corriente de campo de 1.25 pu produce una tensión de rotación Vp igual a: VP = 1.25· 208 3 = 150[V ] (49) Dado que la potencia activa es cero, el ángulo de carga es cero también, entonces : V P = j· X s ·I asinc + Va • • • (50) La corriente por el estator es entonces: I asinc = | V P | − | Va | 150 − 120 = = 10[ A] Xs 30 17 (51) Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos” Dado que la corriente está desfasada en 90º con respecto a la tensión: FP = cos(φ ) = cos(90º ) = 0 (52) Si se desconecta la red trifásica, la corriente de estator se hace 0, de está forma no hay caída de tensión en la reactancia sincrónica, la tensión de rotación aparece en los terminales Vterminales = VP = 150[V ] b) (53) La fuente de tensión continua entrega una potencia de 8 [kW]. Esta nueva condición de funcionamiento se logra disminuyendo la corriente de campo If CC de la máquina corriente continua en relación al valor que tenía en el punto a). Para ello, se aumenta la resistencia de campo Rf ad. De este modo disminuye la tensión de rotación, porque la velocidad debe permanecer fija, dado que ésta es impuesta por la máquina sincrónica. Como Vrot < Va CC, entonces la corriente Ia CC fluye, la cual transmite la potencia. Su valor es: I aCC = 8000[W ] 8000 = = 36.4[ A] VaCC 220 (54) La tensión de rotación de la máquina continua es: Vrot = VaCC − I aCC ·Ra = 213.45[V ] (55) La potencia mecánica es: Pmec = Vrot ·I aCC = 7770[W ] (56) Dicha potencia, corresponde a la potencia que llega ala red alterna, ya que en el estator de la máquina sincrónica no hay pérdidas. Pact red alterna = Pmec = 7.77[kW ] (57) El ángulo de carga se obtiene al despejar de: Pact = 3·V P ·Va sinc ·sen(δ ) Xs P ·X ⇒ δ = arcsen( act s ) = 25.6º 3·V P ·Va sinc De este modo y aplicando el teorema del coseno: 18 (58) Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos” ( X s ·I a sinc ) 2 = V a sinc + VP − 2·V a sinc ·VP 3 cos(δ ) 2 2 ⇒ X s ·I a sinc = 120 2 + 150 2 − 2·120·150·0.9 = 67 (59) ⇒ I a sinc = 22.3[ A] Finalmente el torque es: T= c) Pmec ωr = 7.77[kW ] = 61.8[ Nm] 2·π ·60 6 2 (60) Para entregar los 8 [kW] a la red de tensión continua, es necesario aumentar la corriente de campo de la máquina CC. De este modo, la tensión de rotación es mayor que Va CC y circula la corriente Ia CC entrando por el terminal positivo de la fuente DC. I aCC = 36.4[ A] Vrot = VaCC + I aCC ·Ra (61) ⇒ Vrot = 220 + 36.4 + 0.18 = 226.55[V ] 19