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Circuitos dinámicos de segundo orden. Respuesta libre en el circuito RLC serie y
respuesta estimulada en circuitos de segundo orden
Objetivos
1. Analizar la respuesta libre en el circuito RLC serie, mediante la metodología de este
material.
2. Analizar la respuesta completa en circuitos RLC con estímulos de corriente directa,
utilizando la metodología de este material.
Sumario
a) Respuesta libre del circuito RLC serie.
b) Respuesta completa del circuito RLC.
Bibliografía básica: Texto. “Análisis de Circuitos en Ingeniería”
William H. Hayt Jr.; Jack E. Kemmerly; Steven M. Durbin. 2002, Sexta edición
Capítulo 9. Epígrafes 9.6, 9.7 y el 9.8 queda para autoestudio.
Adicional: Materiales elaborados por los profesores del CIPEL, Instituto Superior Politécnico
“José Antonio Echeverría, CUJAE, Ing. Américo Montó Olivera, Dra. Ing. Esperanza Ayllón
Fandiño y digitalizados por el Lic. Raúl Lorenzo Llanes.
Introducción
Terminado el análisis de la respuesta libre en el circuito RLC paralelo, se analizará la
respuesta libre del circuito RLC serie.
En los circuitos lineales la respuesta completa cumple: X(t) = XT + XF y la forma matemática
de la respuesta transitoria es la solución de la ecuación complementaria u homogénea.
Entonces, cuando el circuito es estimulado por fuentes (en este caso por estímulos de
corriente directa), debemos aplicar los conocimientos adquiridos hasta aquí para el cálculo de
la componente forzada XF.
1 a) Circuito RLC serie: respuesta libre.
El circuito RLC serie es dual del RLC paralelo
AplicandoLKC
AplicandoLKC
i R + i L + iC = 0
v R + v L + vC = 0
t
vR 1
dv
+ ∫ v(t )dt + i0 + C
=0
R L0
dt
iR +
derivando
derivando
t
2
d v
1 dv
1
+
+
v=0
2
RC dt LC
dt
G
1
α=
=
2C 2 RC
1
ω0 =
LC
1
di
i (t )dt + vC 0 + L = 0
∫
C0
dt
d 2 i R di
1
+
+
i=0
2
L dt LC
dt
R
α=
2L
1
ω0 =
LC
Como ambos circuitos son duales, sus ecuaciones diferenciales tienen la misma forma. Si se
cambian variables v ↔ i y parámetros R ↔ G, L ↔ C se obtiene una ecuación diferencial a
partir de la otra. Se puede afirmar que los resultados conocidos sobre respuesta libre del
circuito RLC paralelo, son válidos para la respuesta libre del circuito RLC serie.
Respuesta libre sobre amortiguada
2
si α > ω 0 entonces S1 = −α + α 2 − ω 0
raices reales negativas diferentes
S 2 = −α − α 2 − ω 0
2
χ (t ) = Ae S t + Be S t
1
2
Respuesta libre críticamente amortiguada
si α = ω 0 entonces S1 = S 2 = −α raices reales negativas iguales
χ (t ) = Ae −αt + Bte −αt = ( A + Bt )e −αt
Respuesta libre submortiguada, infra amortiaguada u oscilatoria
2 Ejemplo 1
Se conoce en un circuito RLC serie que: L = 1H, R = 2kΩ, C = 1/401µF y que las condiciones
iniciales son: i(0) = 2mA, VC(0) = - 2V. Obtener i(t) para t ≥ 0.
Solución:
1. Determinación del tipo de respuesta transitoria y su forma matemática, calculando α y ω :
ο
α=R/2L= 103 s-1
ω0= (401⋅106)1/2 ≈ 20 ⋅103 s-1
Por tanto, α < ω0 ⇒ inframortiguado, sub amortiaguado u oscilatorio, donde ωd = 2⋅104 rad/s
- Calculando las frecuencias complejas: S1 = - 103 + j 20 ⋅103 s-1 y
S2 = - 103 - j 20 ⋅103 s-1
- Forma matemática
i(t) = A e- t sen(ωd t + θ)
α
2. Estado de los elementos almacenadores en el instante inicial. Estos valores hacen falta
para hallar las constantes así como el valor de la primera derivada de cada una de ellas.
En este ejemplo específico se conocen las corriente en el inductor y la tensión en el capacitor
en t = 0, por lo que no es necesario el circuito equivalente en t = 0 –. En caso contrario lo
primero que hay que hacer es ir al circuito equivalente en t = 0 – y calcular estas variables que
son las únicas que cumplen continuidad.
Son dato en el ejemplo: i(0) = 2mA y VC(0) = - 2V
3. Cálculo del valor de la primera derivada de la variable deseada evaluada en t = 0+,
Partiendo de las expresiones de iC y vL, se derivan y evalúan en t = 0+, expresión que muestra
que lo primero que hay que hacer es hallar los valores de ic y vL evaluadas en t = 0+.
Circuito equivalente en t = 0+
Las representaciones equivalentes de los elementos son válidas
solamente para este instante, lo cual se hace partiendo de las
variables que cumplen continuidad. En el circuito se sustituye el
inductor por una fuente ideal de corriente, el capacitor por una fuente
ideal de tensión las que representan el valor inicial de los elementos
que cumplen continuidad. Luego se ponen las referencias de
las tensiones en el resistor y en el inductor, partiendo del sentido de
la corriente y se obtiene el valor de vL(t = 0+) que, como no es variable que cumple
condiciones de continuidad, es necesario calcular su valor inicial para
t > 0,
+
específicamente en el circuito equivalente en t = 0 .
3 4. Evaluación de las constantes, a partir de las condiciones iniciales.
i(0)= A sin θ = 2⋅10-3, para θ > 0
di
dt
=
0+
v L (0) VC (0) − VR (0) VC (0) − i (0) R 2 − 4
=
=
=
= −2
L
L
L
1
− α A sιnθ + Aω d cοsθ = −2
y despejando A = 2mA θ = 90 0
ι (t ) = 2e −1000t sin(2 ⋅ 10 4 t + 90 0 ) mA
b) Respuesta completa del circuito RLC.
Para el caso del circuito estimulado χ = χT + χF, donde:
χ F: respuesta forzada.
La componente forzada de la respuesta es constante si el estímulo es de corriente directa, y
se obtiene en el circuito equivalente en el estado final estable (t = ∞).
χ T: respuesta transitoria o natural
La respuesta transitoria depende de la forma de conexión de los elementos de circuito, serie o
paralelo, y de la relación entre los valores de los parámetros del circuito.
Ejemplo 2
El interruptor estuvo cerrado durante mucho tiempo y se
abre en t = 0. Obtenga VC(t) para t ≥ 0.
Solución:
1. Determinación del tipo de respuesta transitoria, desactivando las fuentes y observando la
forma de conexión de los elementos R, L y C para t > 0. Se observa un circuito serie al
desactivar la fuente.
La respuesta transitoria, coincide matemáticamente con la
respuesta libre, pero conceptualmente son diferentes.
- Calculando α y ω se obtiene
α = R/2L= 2 s-1, ω = (1/LC)1/2 = 2 s-1
Como α = ω ⇒ amortiguamiento crítico
ο
ο
ο
- Forma matemática de la respuesta completa:
VC (t)= A1 t e-2t + A2 e-2t + VCF
2. Cálculo de la respuesta forzada, componente forzada o de estado estable, en el circuito
equivalente en el estado final estable t = ∞. Se obtiene VC F = 16V
4 - Forma matemática de la respuesta completa sustituyendo el valor calculado de la
componente forzada:
VC (t)= A1 t e-2t + A2 e-2t + 16 V (1)
3. Estado de los elementos almacenadores en el instante inicial. Estos valores hacen falta
para hallar las constantes así como el valor de la primera derivada de cada una de ellas.
Como no se conocen las condiciones iniciales en los elementos almacenadores de energía L
y C, en el circuito equivalente en t = 0 –, se calculan estas variables que son las únicas que
cumplen continuidad.
Circuito equivalente en t = 0En t = 0 VC (0 - ) = 8 V divisor de voltaje
i(0 -) = iL (0- ) = 2 A
4. Cálculo del valor de la primera derivada de la variable deseada evaluada en t = 0+.
Partiendo de las expresiones de iC y vL, se derivan y evalúan en t = 0+, expresión que muestra
que lo primero que hay que hacer es hallar los valores de ic y vL evaluadas en t = 0+.
Circuito equivalente en t = 0+
t=0+
dv C
dt
=
0+
iC (0) i L (0)
2
=
=
= 8V / s
C
C
1/ 4
La fuente de corriente tiene una tensión entre sus terminales, pero no es necesario calcularla
para obtener VC(t).
5. Evaluación de las constantes en la respuesta completa (1), a partir de las condiciones
iniciales.
A1⋅0+ A2 +16 = 8
y de esta manera se obtiene A2 = - 8
Derivando y evaluando en t = 0: A1 - 2A2 = 8
A1 = - 8
Sustituyendo estos valores en (1): VC (t)= - 8 t e-2t - 8 e-2t + 16 = 16 – 8 ( t + 1 ) e-2t
V
Represente su gráfico.
5 Conclusiones
Resumen y generalización. Metodología para calcular procesos transitorios en circuitos
RLC.
1. Determinación del tipo de respuesta transitoria en el circuito para t > 0, desactivando las
fuentes independientes y observando la forma de conexión de los elementos RLC, serie o
paralelo, y comparando α y ω0.
2. Como a respuesta total es χ = χ n + χ F (1), se calcula la componente forzada χF en el
circuito equivalente en estado final estable, t = ∞, y se sustituye su valor en (1).
3. Cálculo de las condiciones iniciales:
a) tensión en el capacitor vC(0 -) y corriente en el inductor iL(0 -), en el circuito equivalente en
t = 0- .
b) χ(0+), corriente en el capacitor ic(0+) y tensión en el inductor vL(0+), variables que no
cumplen continuidad en el circuito equivalente en t = 0+. A partir de estos valores se calcula
dχ/dt |o+ derivada de la variable que se está calculando evaluada en t = 0+, continua o no.
4. Evaluación de las constantes en la respuesta completa (1).
5. Se construyen los gráficos y se analizan los resultados físicamente.
Orientaciones para el trabajo independiente
Estudie la bibliografía señalada. Capítulo 9. Epígrafes 9.6, 9.7 y el 9.8 queda para
autoestudio. Ejemplos 9.3, 9.4 y 9.5. Prácticas 9.5 (a, b, c, d), 9.6 (a, b, c, d) y 9.7 (a, b, c).
Problemas del capítulo 9: 7, 9, 11, 13, 21, 23, 25, 31, 35, 41, 45, 47
Tarea10.
Se ejercitará el análisis de los circuitos dinámicos, tanto la respuesta libre como la estimulada.
Realizado por: Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño, CIPEL, Instituto Superior Politécnico
“José Antonio Echeverría”, CUJAE. Cuba
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