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Procesos transitorios y frecuencia compleja
Objetivos
1. Comprender y familiarizarse con los procesos transitorios en circuitos de primer orden
estimulados con corriente alterna, aplicando el método clásico ya conocido, con la realización
del análisis físico en las diferentes situaciones.
2. Establecer el concepto de frecuencia compleja y aplicarlo al análisis circuital.
Sumario:
a) Respuesta transitoria del circuito RL en un circuito con estímulo de corriente alterna
b) Frecuencia compleja y su aplicación al análisis circuital.
Bibliografía básica
Texto. “Análisis de Circuitos en Ingeniería”
William H. Hayt Jr.; Jack E. Kemmerly; Steven M. Durbin. 2002, Sexta edición
Capítulo 14. Epígrafes 14.1, 14.2 y 14.3
Adicional: Materiales elaborados por los profesores del CIPEL, Instituto Superior Politécnico
“José Antonio Echeverría, CUJAE, Ing. Américo Montó Olivera, Dra. Ing. Esperanza Ayllón
Fandiño, digitalizados por el Lic. Raúl Lorenzo Llanes.
Introducción
Se han analizado circuitos en estado estable de corriente alterna. Esto es, se ha supuesto
implícitamente que las conmutaciones ocurrieron hace mucho tiempo por lo cual el circuito se
encuentra en estado estable de corriente alterna, y se ha aplicado el método fasorial. Este
método tiene la gran ventaja de permitir realizar cálculos en el circuito con ecuaciones
algebraicas de manera relativamente sencilla.
¿Cómo calcular un proceso transitorio con estímulo de corriente alterna? Se analizará al caso
de circuitos de primer orden o sea con un solo elemento almacenador de energía.
Otros estímulos de importancia en la práctica son los exponenciales y los cosenos (senos)
que crecen o disminuyen exponencialmente, entre otros. Se ampliará el concepto de
frecuencia, con vistas a poder analizar, con técnicas similares a las ya conocidas en el método
fasorial, circuitos con estímulos del tipo u(t) = Um e t cos (ωt +θ) o i(t) = Um e t . Si se desea
analizar el circuito en estos casos ¿será posible generalizar el método fasorial para incluirlos?
Se verá que la respuesta es afirmativa.
σ
σ
1 a) Respuesta transitoria del circuito RL en un circuito con estímulo de corriente alterna.
Se estudió que la expresión general para analizar un circuito de primer orden es útil cuando
porque existe un circuito equivalente de estado estable.
Se supone un circuito serie RL con estímulo de corriente alterna u(t) =Um cos (ωt + θ), y el
interruptor k abierto. Al cerrarse k en t =0, se produce un proceso transitorio que transcurre
hasta que el sistema alcanza el estado estable.
Si el estímulo es sinusoidal, es posible obtener un circuito equivalente para t →∞, calcular la
componente forzada fasorialmente y luego pasarla al dominio del tiempo.
El procedimiento es el mismo que se estudió. Es muy fácil la solución del circuito utilizando
circuitos equivalentes en lugar de resolver la ecuación diferencial, como se analizó, lo cual
siempre es posible para corriente directa y corriente alterna.
Ejemplo 1
En el circuito RL mostrado con anterioridad, calcule la corriente i(t)
Solución:
1) ¿Cuál es la forma general de la respuesta? χ (t ) = [ χ (0 ) − χ F (0
Donde χ puede ser cualquier variable (corriente o tensión).
Forma general de la respuesta: i(t) = {i(0+ ) – iF (0+ ) }e-t/ + iF(t )
(1)
+
+
)]⋅ e −t / τ + χ F (t )
τ
La corriente total (respuesta completa) se puede expresar como la suma de la corriente
transitoria (componente natural) y la corriente de estado estable (componente forzada).
¿Depende la forma de la componente transitoria del estímulo aplicado? La forma de la
componente transitoria no depende de la forma del tipo de estímulo aplicado. Se trata en este
caso de un circuito de primer orden y por tanto la respuesta natural es una exponencial
decreciente.
¿En qué circuito equivalente se calcula cada parte de la respuesta?
2) Circuito equivalente en t = 0 – se calculan las variables que cumplen continuidad
¿ i(0- )? Como el interruptor está abierto i(0-) = 0 ¿ i(0+)? i(0-) = i(0+)= 0 ¿Por qué?
3) Circuito equivalente en t > 0 ¿Qué se calcula?
3.1) Circuito equivalente en t = 0 + las variables que no cumplen continuidad
3.2) Cálculo de la constante de tiempo τ ¿τ para un circuito RL? ¿ τ para uno RC? ¿Cómo
hallar la resistencia equivalente si el circuito es ramificado? R equivalente de Thévenin en los
terminales del elemento almacenador. En este caso la constante de tiempo es τ = L/R
Sustituyendo en la expresión general (1): i(t) = – iF (0+) e-t/ + iF(t )
(2)
τ
2 4) Circuito equivalente en t →∞ se calculan las componentes forzadas que dependen del
estímulo
Para calcular la componente forzada hay que representar el circuito en el estado estable.
Como el estímulo es sinusoidal, se hace el circuito en el dominio de la frecuencia, en el cual el
inductor presenta una reactancia, no es un cortocircuito como en la directa.
Representando el circuito en el dominio de la frecuencia, se calcula la respuesta forzada por
el método fasorial. Trabajando con fasores amplitud:
ImF = Um / Z = Um∠θ / z ∠ϕ = Um/z ∠ θ -­‐ ϕ Pasando el fasor al dominio del tiempo: i F (t) = ImF cos (ωt + θ -­‐ ϕ) Evaluando en t = 0+ iF (0+) = ImF cos (θ -­‐ ϕ) Sustituyendo en (2): i(t) = – ImF cos ( θ -­‐ ϕ) e-­‐t/ + ImF cos (ωt + θ -­‐ ϕ) (3) Resumen: Resaltar el procedimiento que es el mismo utilizado con estímulo de corriente
directa. Lo nuevo es el cálculo de la componente forzada.
τ
Se analizarán algunos casos particulares, donde la presencia de transformadores, motores de
inducción y otros equipos hacen que los circuitos sean muy inductivos.
Ejemplo 2
En el circuito de la figura:
a) u(t)= 100cos(103 t + 900 ) V
b) u(t)= 100cos(103 t) V
En cada caso calcular la corriente i(t) y dibujar sus gráficos.
Suponga L = 100 mH y R = 1Ω
Solución:
T = 2π/ 1000 s T = 6,28 ms es un período
τ = 100ms T >> τ proceso transitorio lento
a) Si en t = 0 cuando se cierra el interruptor se obtiene u (0) = 0, para lo cual en la función
coseno ocurre cuando θ =900 y θ - ϕ = 0 entonces:
i(t) = – ImF cos (00) e-­‐t/ + ImF cos (ωt +00) = i(t) = – ImF e-­‐t/ + ImF cos (ωt) y ocurre un proceso transitorio “fuerte “ ya que en t = T/2 donde T es el período de la
componente forzada, la corriente del circuito es:
i(t) ≈ – ImF + ImF cos (π) = -2 ImF Durante varios instantes después de la conmutación la amplitud de la corriente duplica el valor
de la amplitud de estado estable, lo cual puede ser dañino para el circuito.
0
τ
τ
3 El transitorio más peligroso ocurre, por tanto, cuando la tensión de la fuente es cero al
producirse una interrupción.
a) Obtenga Z = 1 + j100 Ω
Aplicando el método fasorial para el estado final estable:
ImF = 1 ∠0,60 A
τ = 0,1s i(t) = - e-10t + cos(103 t + 0,60) A
Clasifique tipo de transitorio: ¿peligroso o no?
En t = π/ 1000 s semi- período
i(t) = - e-10 / 1000 + cos(π + 0,60) A = - 2 A la corriente en este
instante prácticamente duplica a la amplitud. Si es peligroso.
π
b) Circuito muy inductivo (XL >> R, ϕ ≈ 900) cuando:
Si en t = 0 cuando se cierra el interruptor se obtiene u(0) = Um , donde el valor de θ depende
de que la función sea seno o coseno. En este caso ocurre cuando θ = 00, pues la función es
coseno. Entonces: i(t) = – ImF cos ( 900) e-­‐t/ + ImF cos (ωt - 900) = ImF sen (ωt) y no ocurre el
proceso transitorio.
b) u(0) = Um = 100 V
ImF = 100 ∠00 / 1 + j100 Ω = 1 ∠− 89,430 A
3
0
iF = cos(10 t - 89,43 ) A iF(0) = cos( - 89,430) = - 0,01 A
i(t) = - 0,01 e-10t + cos(103 t - 89,430) A
El proceso transitorio no ocurre prácticamente pues la amplitud de la componente transitoria
es muy pequeña.
τ
Se reitera que estos casos particulares son de gran importancia ya que por la presencia de
motores, transformadores y otros equipos con enrollados, los circuitos suelen ser muy
inductivos ocurriendo transitorios muy intensos que se deben ser previstos.
b) Frecuencia compleja y su aplicación al análisis circuital.
Se iniciará otra parte fundamental del estudio del análisis de los circuitos: el concepto de
frecuencia compleja. Este es un concepto que unifica y permite integrar todas las técnicas de
análisis que se han explicado: el análisis de circuitos resistivos, el análisis sinusoidal en
estado estable o permanente, el análisis transitorio en corriente directa y en corriente alterna
con el cálculo de la respuesta forzada y la respuesta completa y en corriente alterna en el
Epígrafe 10.4, Función forzada compleja, se realiza el análisis de circuitos con estímulos
exponenciales. Estos estímulos exponenciales y los cosenos (senos) que crecen o
disminuyen exponencialmente, son de importancia en la práctica y el análisis de circuitos que
4 los tengan, se volverán en su totalidad casos particulares de las técnicas generales del
análisis de circuitos que se asocian con el concepto de frecuencia compleja.
El texto demuestra que el método fasorial se puede extender para estímulos del tipo u(t) = Um e t cos (ωt +θ), el cual incluye como casos particulares los siguientes:
σ > 0 ω ≠ 0 exponencial creciente *coseno
σ < 0 ω ≠ 0 exponencial decreciente *coseno
σ = 0 ω ≠ 0 coseno
ω = 0 σ > 0 exponencial creciente
ω = 0 σ < 0 exponencial decreciente
ω = 0 σ = 0 corriente directa
σ
Se ampliará el concepto de frecuencia, con vistas a poder analizar, con técnicas similares a
las ya conocidas en el método fasorial, circuitos con estos estímulos.
El método fasorial se puede extender a este tipo de estímulo.
estímulo * u(t) = Um cos (ωt +θ)
u(t) = Um e t cos (ωt +θ)
σ
fasor eficaz U = U ∠θ
frecuencia Frecuencia angular ω
impedancia Z
Resistor R
Inductor jωL
Capacitor - j/ωC
=1/jωC
Respuesta I = I ∠φ
forzada en i(t) = Im cos (ωt +φ )
estado
estable **
*suponiendo el estímulo una tensión
U = U ∠θ
frecuencia compleja s= σ +j ω
Z
Resistor R
Inductor sL
Capacitor 1/sC
I = I ∠φ
i(t) = Im e t cos (ωt + φ)
σ
**suponiendo la respuesta una corriente
Conclusiones
Se estudió que la expresión general para analizar un circuito de primer orden es útil cuando
existe un circuito equivalente de estado estable.
Si el estímulo es sinusoidal, es posible obtener un circuito equivalente para t →∞, calcular la
componente forzada fasorialmente y luego pasarla al dominio del tiempo.
El procedimiento es el mismo estudiado. Es muy fácil la solución del circuito utilizando
circuitos equivalentes en lugar de resolver la ecuación diferencial, como se ha visto, lo cual
siempre es posible para corriente directa y corriente alterna.
Los casos particulares que por la presencia de motores, transformadores y otros equipos con
enrollados, los circuitos suelen ser muy inductivos ocurriendo transitorios muy intensos que
se deben ser previstos.
5 El concepto de frecuencia compleja unifica y permite integrar todas las técnicas de análisis
que se han explicado. Analizar el Ejemplo 14.1 del texto, página 498 sobre frecuencia
compleja, haciendo el circuito con los elementos en el dominio de la frecuencia compleja “s”,
lo cual se verá cuando se aplique la transformada de Laplace para el análisis de los circuitos.
En el circuito transformado plantee directamente la expresión de la corriente como I = 60
∠10o/ {2 + 3s + 10/s} = 5.37∠106.6o A.
Orientaciones para el trabajo independiente
Estudiar la bibliografía señalada.
Capítulo 14. Epígrafes 14.1, 14.2 y 14.3, Ejemplo 14., Prácticas 14.1, 14.2 y 14.3 Ejercicios
1, 3, 5, 7, 9.
Realice el siguiente ejercicio
En el circuito R = 5Ω L = 1 H Calcule la respuesta i(t) de estado estable si :
a)
u(t) =10 cos (4t + 830 ) V
b)
u(t) =10 e-2t cos (4t + 830 ) V
c)
u(t) =10 e-2t V
Respuestas
a ) i(t) =1,56 cos (4t + 44,30 ) A
b i(t) =2e-2t cos (4t + 300 ) A
c) i(t) =3,33e-2t A
Se comenzará el estudio de los circuitos con estímulos trifásicos. ¿Qué características
presentan? ¿Se mantiene lo estudiado en circuitos estimulados con corriente alterna
monofásica?
Realizado por: Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño, CIPEL, Instituto Superior Politécnico
“José Antonio Echeverría”, CUJAE. Cuba
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