Download Control N 3 - Ecuaciones Diferenciales 1. Utilizando el cambio x

Universidad Diego Portales
Facultad de Ingenierı́a
Instituto de Ciencias Básicas
Carrera: Ingenierı́a Civil
Primer semestre de 2013.
Control N◦ 3 - Ecuaciones Diferenciales
1. Utilizando el cambio x = et , encuentre la solución general del siguiente problema de orden 4,
x4 y (4) + 6x3 y 000 + 9x2 y 00 + 3xy 0 + y = 0 .
(1)
2. Resuelva el siguiente problema de valor inicial
y 000 − 2y 00 + y 0 = xex + 5
y(0) = 2 , y 0 (0) = 2 , y 00 (0) = 0
3. El pandeo de una columna vertical delgada, producido por una fuerza compresiva vertical
constante P aplicada en el extremo superior de la columna, como muestra la figura
puede ser modelado mediante una ecuación diferencial. Si y(x) describe la deflexión de la
columna cuando se aplica la fuerza P , entonces y satisface
d2 y
+ Py = 0
dx2
y(0) = 0 , y(L) = 0 ,
EI
donde E es una constante de elasticidad e I es el momento de inercia de la sección transversal
respecto a una recta vertical por su centroide.
a) Encuentre una condición para P tal que el problema posea soluciones no triviales. En este
caso, ¿ cómo son las soluciones?.
b) ¿Qué puede decir del movimiento de la columna según el resultado obtenido en a)?.
1
4. Una versión del teorema de Routh-Hurwitz puede ser expresado como sigue:
Teorema (Routh-Hurwitz): Considere la ecuación de cuarto orden
Az 4 + Bz 3 + Cz 2 + Dz + E = 0 ,
(2)
en donde A, B, C, D, E son constantes reales. Entonces, las raı́ces de la ecuación (2) poseen
parte real negativa sı́ y sólo si:
a) Los coeficientes A, B, C, D, E poseen el mismo signo.
b) Si BCD − AD2 − EB 2 > 0.
Considere la ecuación de tercer orden,
τ y 000 (x) + αy 00 (x) + by 0 (x) + c2 y(x) = 0 ,
(3)
donde α, b, c2 , τ ∈ R+
0 , con b 6= 0.
a) Muestre que las soluciones de la ecuación (3) tienden a 0 cuando x tiende a infinito si y sólo
2
si la expresión γ = α − τ bc > 0.
b) Muestre que si γ = 0, las soluciones de la ecuación (3) son periódicas. ¿Qué periodo tienen?.
5. Para los siguientes gráficos, escriba una función que las represente en términos de la función
de Heaviside. A las funciones obtenidas, calcule la transformada de Laplace de ellas.
a)
Figura 1: Función constante a tramos
2
b)
Figura 2: Función triangular periódica
c)
Figura 3: Función de media onda de sin(t)
6. Resuelva el siguiente problema de valor inicial
y 00 + ty 0 − 3y = 0
y(0) = 0 , y 0 (0) = 1 .
7. En un circuito en serie, la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de las caı́das de
voltaje en un inductor, resistor y capacitor es igual al voltaje aplicado E(t). Ahora se sabe que
las caı́das de voltaje en un inductor, resistor y capacitor son, respectivamente
Z
di
1 t
L , Ri(t) y
i(τ )dτ ,
dt
C 0
donde i(t) es la corriente que pasa por el circuito y L, R y C son constantes asociadas al
inductor, resistor y capacitor. La ecuación que describe la corriente i(t) que pasa en el instante
t por el circuito está dada por
Z
di
1 t
L + Ri(t) +
i(τ )dτ = E(t) .
(4)
dt
C 0
Para L = 0,1 h, R = 3 Ω, C = 0,05 f y E(t) = 100(u(t − 1) − u(t − 2)), resuelva la ecuación (4)
sabiendo que i(0) = 0.
3
Observación: Aquı́, u(t) es la función de Heaviside.
8. Utilizando la transformada de Laplace, resuelva la ecuación diferencial
y 00 + 4y 0 + 13y = δ(t − π) + δ(t − 3π)
y(0) = 1 , y 0 (0) = 0 ,
donde δ es la función delta de Dirac.
9. Determine la solución del problema
Z t
y 00 (u)y 0 (t − u)du = y 0 (t) − y(t) , t ≥ 0
0
y(0) = y 0 (0) = 0 .
10. Determine la solución del problema de valores iniciales
y 00 + y = sin(t) + t sin(t)
y(0) = y 0 (0) = 0 .
4