Download Utilización de Series de Fourier para resolver circuitos con una

Utilización de Series de Fourier para resolver circuitos con una señal
de entrada periódica
María C. Fernández Montefiore
Estudiante de Ingeniería Electrónica
Universidad Nacional del Sur, Avda. Alem 1253, B8000CPB Bahía Blanca, Argentina
[email protected]
Agosto 2013
Resumen: La serie de Fourier permite tratar cualquier función periódica como una suma finita o infinita de funciones
sinusoidales relacionadas armónicamente. En este trabajo se presentará la aplicación de esta herramienta para hallar
soluciones estacionarias de circuitos con corriente alterna.
Palabras clave: Fourier, función periódica, circuitos, solución estacionaria.
I.
INTRODUCCIÓN
Algunas funciones, como el diente de sierra o la onda cuadrada, se definen a tramos en un intervalo
principal, que se repetirá periódicamente. Aunque estas expresiones satisfacen la forma de onda, si se las aplican
como función de entrada a un circuito, no permiten determinar la respuesta del mismo. Sin embargo, si a una
función periódica se la expresa como suma de funciones senoidales, las respuestas de los circuitos antes
mencionados se podrán determinar utilizando el principio de superposición. La serie de Fourier es la herramienta
que permite expresar funciones periódicas como una serie trigonométrica.
II. SERIE DE FOURIER
Sea f(t) una función periódica de período T. Entonces se puede representar mediante la siguiente serie
trigonométrica
∑
(1)
Donde los coeficientes vienen dados por las fórmulas
∫
(2)
∫
(3)
∫
(4)
Siendo L el semiperíodo de la función. Cada uno de los términos de la serie es periódico en x con período T
(igual al de la función)
A. Convergencia
(
)
La serie (tanto en su notación compleja como en la trigonométrica) converge a
en todos los
puntos
donde f tenga derivada a derecha y a izquierda. Si las extensiones periódicas de f(x) y f’(x) son
continuas a tramos, la serie de Fourier de f es convergente para todo x real.
B. Convergencia Uniforme
Sea f una función continua en el intervalo [–L, L] tal que f(–L)=f(L) cuya derivada f’ es continua a tramos en
ese intervalo. Entonces la representación en serie de Fourier de la función convergen a f(x) en el intervalo [–L, L]
absoluta y uniformemente.
C. Derivación término a término
Si f es una función continua en el intervalo [–L, L] tal que f(–L) = f(L) y f’ es continua a tamos en ese
intervalo, entonces la serie de Fourier de f(x) es derivable término a término en todo punto donde f’(x) tenga
derivada a derecha y a izquierda, y
∑
(
)
(5)
D. Integración
Si f es una función continua a tramos con derivada continua a tramos en el intervalo [–L, L] y desarrollo en
serie de Fourier (con a0≠0), entonces se verifica
∑
(
)
(6)
∫
con
∫
III. DEFINICIONES Y COMPONENTES DE CIRCUITOS
E. Corriente Eléctrica
Cuando de un punto a otro de un conductor se desplaza una o más cargas eléctricas diremos que circula por
él una corriente eléctrica. Ésta se define como:
(7)
F. Diferencia de potencial
La diferencia de potencial o tensión v entre dos puntos de un campo eléctrico es el trabajo necesario para
desplazar la unidad de carga eléctrica positiva de un punto al otro en contra de las fuerzas del campo
G. Impedancia
La impedancia Z es la relación (división) entre la tensión aplicada y la intensidad de corriente que circula.
(8)
Si las tensiones e intensidades de corrientes son senoidales (como en la corriente alterna) esta relación tiene
un módulo y un argumento, llamado ángulo de fase. Por lo tanto, Z es un número complejo, cuya parte real se
llama Resistencia (R) y su parte imaginaria Reactancia (X)
(9)
H. Resistencia
La diferencia de potencial en los terminales de un elemento resistivo puro es directamente proporcional a la
intensidad de corriente que circula por él. La constante de proporcionalidad R se llama resistencia eléctrica del
elemento.
(10)
En corriente alterna, una resistencia presenta una impedancia que sólo tiene componente real
(11)
I.
Autoinducción
Si la corriente que circula por una bobina de un circuito varía, en el trascurso del tiempo también lo hace el
flujo magnético que lo atraviesa, induciéndose en él una fuerza electromotriz (f.e.m.). Suponiendo que la
permeabilidad magnética es constante, la f.e.m. inducida es proporcional a la variación de dicha corriente
El coeficiente de proporcionalidad L se llama autoinducción de la bobina.
(12)
En corriente alterna, una bobina ideal ofrece una resistencia al paso de la corriente eléctrica que recibe el
nombre de reactancia inductiva, por lo que presenta una impedancia que sólo tiene componente imaginaria
(13)
J.
Capacidad
La diferencia de potencial en los terminales de un condensador es proporcional a la carga q en él
almacenada. La constante de proporcionalidad C se llama capacidad del condensador
(14)
K. Principio de superposición
El principio de superposición exige que en un circuito lineal el efecto total de varias causas que actúan
simultáneamente sea igual a la suma de los efectos de las causas individuales actuando una a la vez.
IV. EJEMPLO
Un circuito RLC (Resistivo Capacitivo Inductivo) es un circuito en el que solo hay resistencias,
condensadores y bobinas: estos tres elementos tienen, por ecuaciones características una relación lineal entre
tensión e intensidad de corriente.
Se tiene el circuito de la Figura 1, donde
{
, siendo T=2 . Se desea calcular
v(t). Se aplican las Leyes de Kirchhoff para obtener una ecuación con las variables e (t) y v (t).
(15)
Reemplazando por (7), (9), (11) y (13) obtengo
(16)
∫
Para resolver esta ecuación, se expresa a e (t) como serie de Fourier. Utilizando (2) se reemplaza e(t), y
resolviendo la integral, se obtiene a0=0. Utilizando (3) se reemplaza e(t), y resolviendo la integral se obtiene
(17)
Como n es un número natural,
=0, y
; por lo tanto
(18)
Utilizando (4) se reemplaza e(t), y resolviendo la integral se obtiene
Figura 1: Circuito RLC
.
Como e(t) es continua, y e’(t) es continua a tramos, su representación en serie converge absoluta y
uniformemente a la función. Utilizo (17) y reemplazo en (1)
∑
(19)
Con los conceptos de derivación término a término e integración de series explicados en III:
∑
(20)
∫
∑
(21)
Ahora, reemplazo (19), (20) y (21) en (15)
∑
∑
∑
(22)
por lo
v(t) admite representación en serie de Fourier, con la misma frecuencia que e(t), ya que
tanto
∑
∑
(
)
(23)
Tomo como aproximación los primeros cinco términos de cada serie. Por el principio de superposición, para
cada valor de n se corresponde un circuito diferente, con una corriente senoidal, que era lo que se buscaba
mostrar en este informe.
Entonces, para
, de igualar resulta
, de igualar resulta
(
)
(
)
, de igualar resulta
, de igualar resulta
(
)
(
)
, de igualar resulta
, de igualar resulta
(
)
(
)
Por último, el voltaje del circuito original se obtiene al sumar lo obtenido para los distintos valores de n
(
)
(
)
(
)
(25)
Cuántos más términos se sumen, se va a llegar a un resultado más exacto.
V. CONCLUSIÓN
Este método es práctico a la hora de resolver circuitos, ya que se puede hacer de un problema complejo, con
corrientes no senoidales, un ejercicio más simple, donde se tiene tantos circuitos como valores de n se tomen. La
ventaja es que con pocos términos se llega a un resultado de gran exactitud, además de que la serie de Fourier
puede utilizarse para representar gran cantidad de funciones: tanto las que están definidas sólo en un intervalo
como las que son periódicas.
REFERENCIAS
[1] G. Calandrini, Guía de Definiciones y Teoremas estudiados en el curso de Funciones de Variables
Compleja, 1er Cuatrimestre 2013
[2] .J. A. Edminister, Circuitos Eléctricos, McGraw-Hill, 1979.
[3] G. James, Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Pearson Educación, 2002.
[4] Kendall L. Su, Introducción al estudio de los circuitos, la electrónica, y el análisis de señales, Reverte,
1979 [en línea], disponible en http://books.google.com.ar/, [consultada el 23 de julio de 2013].
[5] Hsu Hwei, Análisis de Fourier¸ Addison-Wesley Iberoamericana, 1987.
[6] Wikipedia,
La
enciclopedia
libre,
[internet],
disponible
en
http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_de_circuitos_de_corriente_alterna, [acceso el 24 de Julio de
2013].
[7] Grupo de Investigación de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Córdoba (España) “Apli a ión d la ri
d
F uri r a la r lu ión d
un
ir uit
lé tri ” [en línea], disponible en
http://www.uco.es/grupos/giie/cirweb/teoria/tema_13/tema_13_03.pdf, [acceso el 24 de Julio de 2013]