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ANÁLISIS DE TRANSITORIOS Y ARMÓNICOS UTILIZANDO LA
TRANSFORMADA WAVELET
Gustavo Bacino
Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata – Av. Juan B. Justo 4302 – CP 7600 Mar del Plata
Buenos Aires - Argentina
[email protected]
Juan R. Sánchez
Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata – Av. Juan B. Justo 4302 – CP 7600 Mar del Plata
Buenos Aires - Argentina
[email protected]
Abstract. En este trabajo se presenta la aplicación de la TransformadaWavelet en el estudio de las características de los
transitorios y armónicos que aparecen en un sistema eléctrico cuando al mismo se lo excita con formas de onda complejas. En
general los métodos tradicionales de análisis y solución de problemas pueden clasificarse en aquellos que trabajan en el dominio
del tiempo y aquellos que se aplican en el dominio de la frecuencia. Esto se debe a que existen representaciones matemáticas para
los componentes de circuitos en el dominio del tiempo y en el dominio transformado a través de las Transformadas de Laplace y
Fourier. El presente estudio se basa en la modelización de los componentes básicos de un circuito, en el espacio de la transformada
wavelet discreta (TWD), utilizando resultados recientemente reportados. De esta forma es posible modelar estos componentes
(resistores, inductores y capacitores) en la forma de matrices en las que se incluyen simultáneamente los comportamientos
transitorios y de estado estacionario. Este análisis en el campo de la transformada wavelet reemplaza la solución de las ecuaciones
diferenciales parciales por la manipulación algebraica de vectores, que representan a las señales de entrada y salida, y matrices
que representan a los componentes del circuito. En esta primera etapa del trabajo se opera sobre circuitos sencillos de
características lineales donde los resultados obtenidos son relativamente fáciles de validar. El objetivo propuesto apunta a trabajar
en la modelización de cargas no lineales mediante esta poderosa herramienta
Keywords. Transformada discreta wavelet, análisis multiresolución, análisis transitorio, análisis de estado estacionario, calidad
de la energía.
1. Introducción
Hasta el presente diversas técnicas han sido propuestas para la identificación y estudio de señales transitorias y de
estado estacionario. Entre las diferentes técnicas utilizadas, la transformada wavelet (TW) se ha mostrado como una
herramienta muy flexible y poderosa en la realización de circuitos equivalentes que simulan el comportamiento del
sistema, debido a sus propiedades de análisis multiescala en tiempo y frecuencia.
En general los métodos tradicionales de análisis y solución de problemas pueden clasificarse en aquellos que
trabajan en el dominio del tiempo y aquellos que se aplican en el dominio de la frecuencia. Esto se debe a que existen
representaciones matemáticas para los componentes de circuitos en el dominio del tiempo y en el dominio transformado
a través de las Transformadas de Laplace y Fourier.
En este trabajo se presenta la aplicación de la TW en el estudio de las características de los transitorios y armónicos
que aparecen en un sistema cuando al mismo se lo excita con formas de onda complejas.
El presente estudio se basa en la modelización de los componentes básicos de un circuito, en el espacio de la
transformada wavelet discreta (TWD), utilizando resultados recientemente reportados. De esta forma es posible modelar
estos componentes (resistores, inductores y capacitores) en la forma de matrices en las que se incluyen simultáneamente
los comportamientos transitorios y de estado estacionario.
Este análisis en el campo de la transformada wavelet reemplaza la solución de las ecuaciones diferenciales
parciales por la manipulación algebraica de vectores, que representan a las señales de entrada y salida, y matrices que
representan a los componentes del circuito. Una vez “armado” el circuito bajo estudio en la forma de un sistema de
ecuaciones matriciales y conociendo la TWD de la señal de entrada es posible obtener la TWD de la señal de salida, y
luego la correspondiente señal en el tiempo mediante el proceso de antitransformación.
Como el método de trabajo es esencialmente algebraico resulta muy sencillo modificar el circuito, agregando o
quitando componentes, o cambiando las características de los mismos para estudiar los efectos de las modificaciones
sobre la señal de salida, dada una determinada entrada. De la misma forma, es posible estudiar el comportamiento de
diferentes señales en el circuito ante diferentes tipos de señales de entrada.
En particular, en el presente trabajo, se pone énfasis en el estudio del comportamiento de componentes individuales
y circuitos simples ante la presencia de señales de entrada con diferente contenido armónico, comenzando con señales
con poca distorsión (escaso contenido armónico) y continuando con señales de mayor complejidad. De esta forma es
posible identificar en detalle cuales son los componentes que contribuyen a la distorsión de la señal de salida y cuales
contribuyen a mejorar la calidad de la misma.
Los presentes resultados se consideran el punto de partida de un trabajo más amplio orientado a la obtención de
métodos sistemáticos de diseño de nuevos dispositivos y sistemas que permitan controlar las distorsiones armónicas
presentes en las redes eléctricas.
2. Teoría de operadores lineales en el dominio transformado
En esta sección los componentes lineales básicos de un circuito tales como la resistencia, la inductancia y la
capacidad, se modelan en el dominio de la transformada discreta wavelet (TDW) representando a los mismos como
operadores lineales que actúan sobre las correspondientes variables de entrada (tensiones y corrientes).
Los siguientes desarrollos siguen los lineamientos básicos planteados en Zheng et al (1999).
2.1. Representación de operadores lineales en la transformada discreta wavelet
Si a x(t), una señal temporal, se la muestrea a intervalos regulares de tiempo, se obtiene X(i), una señal discreta en
el tiempo de longitud N. Si sobre la señal X actúa un operador lineal representado por una matriz T se obtiene otra señal
discreta en el tiempo, Y(i), de forma que:
Y = T .X
(1)
Esta ecuación se escribe en el campo transformado como:
WY = WT .WX
(2)
siendo: WX = DWT . X y WY = DWT .Y ,
donde WY y WX son los vectores de coeficientes de las transformadas discretas wavelets de las variables X e Y,
respectivamente.
Por último el operador lineal T queda representado por:
WT = DWT .T .DWT T
(3)
2.2. Modelo del Resistor
La característica tensión-corriente de un a resistencia se describe en el dominio temporal como: v(t ) = R.i (t ) , por lo
tanto de acuerdo a lo expresado en 2.1. en el campo transformado la ecuación correspondiente es:
WV = R..U .WI
(4)
donde U es la matriz identidad y R es un escalar que representa el valor de la resistencia. Esta ecuación relaciona a la
TDW de la señal de excitación, en este caso la corriente, con la TDW de la señal de salida, en este caso la tensión, por
lo tanto, para calcular la respuesta, tanto t ransitoria como estacionaria de este elemento de circuito en particular, ante
cualquier señal de entrada, lo que debe hacerse es calcular su TDW, utilizar la (a) para obtener la TDW de la salida y
luego antitransformar para conocer la respuesta temporal de salida..
Es importante señalar que la (4) contiene tanto la respuesta transitoria como la de estado estacionario y, en
particular, si el estado estacionario es de interés el mismo puede conocerse a través de la siguiente ecuación:
WV S = R.U .WI S
(5)
2.3. Modelo del Inductor
di (t )
.
dt
El operador que debe diseñarse en este caso es uno que represente a la operación de derivación. Aplicando la
operación de derivación sobre una señal muestreada se obtiene el siguiente operador:
La característica tensión-corriente de una inductancia L se describe, en el dominio del tiempo como: v(t ) = L.
1
−1
1
DT =
0
∆T
0
0
0 0 0
1 0 0
. . 0
. . .
0 0 −1
0
0
0
0
1
(6)
Luego tomando la TDW de la señal de excitación, en este caso la corriente, se obtiene la TDW de la señal de salida, en
este caso la tensión, mediante la siguiente ecuación;
WV = L..WDT .WI − L.i(0 ).WVL0
(7)
donde WDT es la TDW del operador DT ; L es el valor de la inductancia e i(0).WVL0 es la TDW del vector que
representa a la transformada de las condiciones iniciales, representadas también como una señal discreta en el tiempo.
2.4. Modelo del Capacitor
La característica tensión-corriente de un capacitor en el tiempo queda representado por: v(t ) = v(0 ) +
1
C
∫ i(t ).dt
t
0
El operador que debe diseñarse en este caso es uno que represente a la operación de integración. Aplicando la
operación de integración sobre una señal muestreada se obtiene el siguiente operador:
1
1
INT = ∆T .
.
1
0 0 0 0
1 0 0 0
. . 0 0
. . . .
1 1 1 1
(8)
Luego tomando la TDW de la señal de excitación, en este caso la corriente, se obtiene la TDW de la señal de salida,
en este caso la tensión, mediante la siguiente ecuación:
WV =
1
.WIN T .WI + v(0 ).WV .C 0
C
(9)
donde WIN T es la TDW del operador IN T ; C es el valor de la capacidad y v(0 ).WV .C 0 es la TDW del vector que
representa a la transformada de las condiciones iniciales, representadas también como una señal discreta en el tiempo.
3. Resultados: Análisis de un circuito RLC
Para un circuito serie con resistencia R, inductancia L y capacitancia C, con condiciones iniciales nulas, la
expresión temporal al aplicar una señal de alimentación Ue(t), viene dada por la siguiente espresión:
U e (t ) = R.i (t ) + L
di (t ) 1
+
dt
C
∫ i(t )dt
t
0
(10)
La expresión para la corriente i(t) que se obtiene de resolver la ecuación integrodiferencial anterior dependerá de
las raíces de la ecuación característica asociada.
Mediante la aplicación directa al circuito RLC de la metodología operacional planteada, basada en la transformada
wavelet discreta, la expresión para la TDW de la tensión aplicada, resulta:
WU e = R.WI + L.WI +
1
1

.WI =  R + L + .WI
C
C


(11)
Y la expresión para la TDW de la corriente, independientemente de las raíces de la ecuación característica, resulta:
−1
1

WI =  R + L +  WU E
C

(12)
No debe perderse de vista que los elementos de circuito con los que se está trabajando, es decir los parámetros R, L
y C, están representados en la expresiones anteriores por medio de matrices. Con el objeto de verificar que los
resultados que se obtienen mediante la aplicación del método propuesto son los mismos que se obtienen mediante la
solución de las ecuaciones integrodiferenciales del circuito, se realiza el análisis, en principio, utilizando señales de
excitación simples para las cuales la respuesta de un circuito RLC es conocida. La función wavelet utilizada en estas
primeras experiencias, fue la Wavelet Haar o Daubechies 1 (db1), por ser la más simple de todas.
3.1 Excitación escalón
La primera función de excitación utilizada es una función escalón. La respuesta del circuito ante esta excitación se
muestra en la Fig. 1. Se observa que una vez pasados los transitorios iniciales la corriente por el circuito se anula,
siendo este su valor de estado estacionario.
1
i(t)
Corriente
0.5
0
0
20
v(t)
Tensiones en los tres elementos y tensión total
Uc
Ul
Ur
Utotal
10
0
-10
t
Figura 1. Respuesta en corriente y tensión en los elementos para una entrada en escalón.
3.2 Excitación por pulso rectangular
La siguiente señal de excitación de prueba es un pulso rectangular. Se observa en la Fig. 2 que los diferentes
estados transitorios en los elementos del circuito aparecen bien representados. Se destaca que los cálculos involucrados
con la utilización de este método son mucho más directos que la correspondiente resolución de las ecuaciones
temporales.
1
i(t)
Corriente
0.5
0
-0.5
Tensiones en los tres elementos y pulso de tensión
20
Uc
Ul
v(t)
Ur
0
Utotal
-20
.Figura 2. Respuesta en corriente y tensión en los elementos para un pulso rectangular de entrada.
3.3 Excitaciones senoidales
Se utilizaron dos tipos de señales de excitación senoidales, una de amplitud constante, mostrada en la Fig. 3, donde
se observa la respuesta en corriente y tensión para el caso de carga predominantemente capacitiva.
A fin de comprobar el correcto comportamiento del modelo se ajustaron los parámetros de modo de obtener la
resonancia, pudiendo observarse en la Fig. 4 la representación de la corriente y de la tensión aplicada en fase y en la
Fig. 5 las respectivas tensiónes en los elementos reactivos en tales condiciones de funcionamiento.
Tensión de Entrada y Corriente
400
Ue
300
200
100
I
Ue
0
-100
-200
-300
-400
0
Figura 3. Respuesta en corriente y tensión para alimentación senoidal con XC > XL.
Tensión de Entrada y Corriente - RLC en Resonancia
400
Ue
300
200
i
u;i
100
0
-100
-200
-300
-400
Figura 4. Respuesta en corriente y tensión para alimentación senoidal en resonancia (XC = XL).
200
150
Tensiones en la Inductancia y en la Capacidad
Uc
Ul
Uc; Ul
100
50
0
-50
-100
-150
Figura 5. Respuesta en tensión en los elementos reactivos para alimentación senoidal en resonancia.
La otra señal de alimentación utilizada fue una senoidal con amplitud variable, simulando un hueco de tensión y, como
puede observarse en la Fig. 6, las características de las respuestas son coherentes con los cambios producidos en la
excitación.
Corriente
10
5
0
-5
-10
-15
Tensiones en los tres elementos y tensión aplicada
400
Ue
200
Uc
0
Ul
-200
Ur
-400
0
Figura 6. Respuesta en corriente y tensión para alimentación senoidal al producirse un hueco de tensión.
4. Conclusiones
De acuerdo a los resultados obtenidos en el análisis de un circuito sencillo, el método de la TDW se muestra mucho
más simple y flexible. En especial porque permite escribir las ecuaciones de circuito en la forma de ecuaciones
algebraicas que involucran vectores y matrices en lugar de escalares.
La respuesta de los estados transitorio y estacionario, ante cualquier tipo de excitación, se obtienen con la misma
cantidad de operaciones y al mismo tiempo la transformada wavelet permite el análisis de estos estados en diferentes
tiempos y escalas de resolución.
Se planea en el futuro explorar la aplicabilidad de este análisis a circuitos más complejos, en especial aquellos
circuitos equivalentes que representan elementos con parámetros variables tales como transformadores y motores. Si
bien el presente desarrollo no es directamente aplicable a elementos de circuitos no lineales, se intentará extender su
aplicabilidad a los mismos.
5. Referencias
Heydt, G.T. and Galli, A.W., 1997, “Transient Power Quality Problems Analyzed Using Wavelets”, IEEE Transactions
on Power Delivery, Vol.12 Nº 2, pp. 908-915.
Misiti, M., Misiti, Y., Oppenheim, G. and Poggi, J., 2001, “Wavelet Toolbox-User’s Guide”, MathWorks Inc., 891p.
Strang, G. and Nguyen, T., 1996, “Wavelets and Filter Banks”, Ed. Wellesley-Cambridge Press, 490p.
Zheng, T., Makram, E.B. and Girgis, A.A., 1999, “Power System Transient and Harmonic Studies Using Wavelet
Transform”, IEEE Transactions on Power Delivery, Vol.14 Nº 4, pp. 1461-1468.
6. Copyright Notice
The author is the only responsible for the printed material included in his paper.
Harmonic and transient analysis using wavelet transforms
Abstract : Here the application of wavelet transforms to the analysis of transients and harmonics that appear in electrical systems
when complex excitations are applied is presented. In general standard methods of analysis can be divided between those working in
time domain and those that work in frequency domain. This is due to the existence of mathematical representations for simple
circuits elements in both cases. The possibility of using the wavelet transform for the signals and circuits elements is analyzed here
using recent reported results. Circuits elements became modeled by matrices in the wavelet transform domain and, in this way, the
time domain equations became algebraic equations involving matrices and vectors in the wavelet transform domain. Here the
behavior of simple systems if analyzed, because the results are simpler and easy to be validated. In the long term the analysis of more
complex and even nonlinear systems is planned
Keywords: Discrete wavelet transform, multiresolution analysis, transient analysis, energy quality.