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Example of the Relationship Between the
Matrix Functions and Modern Control Theory
E. M. S. Batadi, G. B. Ganyitano and C. R. Fernández
Abstract— The objective of this paper is to present an example
in which matrix functions are used to solve a modern control
exercise. Specifically, the solution for the equation of state, which
is a matrix differential equation is calculated. To resolve this, two
different methods are presented, first using the properties of the
matrix functions and by other side, using the classical method of
Laplace transform.1
Keywords— Modern Control, Matrix Functions, Control
Engineering, Algebra.
L
I. INTRODUCCIÓN
OS SISTEMAS de control asumen un papel cada vez
más importante en el desarrollo y avance de la
civilización moderna y la tecnología. Prácticamente, cada
aspecto de las actividades de nuestra vida diaria está afectado
por algún tipo de sistema de control tales como: las líneas de
ensamble automático, la tecnología espacial, la robótica, el
control por computadora, drones, sistemas de transporte, como
así también se ha incrementado la productividad de los
sistemas industriales de forma considerable acompañando la
revolución industrial durante el último siglo. Aún el control de
inventarios y los sistemas económicos y sociales se pueden
visualizar a través de la teoría de control automático.
Para el estudio de la teoría clásica de control, los
antecedentes matemáticos requeridos incluyen temas como la
teoría de variable compleja, ecuaciones diferenciales y en
diferencias, transformadas de Laplace y transformada Z.
En la teoría moderna de control (espacios de estados), estos
conocimientos son vinculados al álgebra lineal, y aparecen
algunas funciones matriciales que permiten modelar los
sistemas físicos, y resolver ecuaciones diferenciales.
El presente trabajo es un ejemplo sencillo de un modelo
matemático mediante una ecuación diferencial primero en el
dominio temporal y luego en el espacio de estado de un
circuito RLC en serie. Por último hallaremos la solución de la
ecuación diferencial de estado por el método tradicional de
solución de una ecuación diferencial, planteando una solución
de prueba y verificando que la misma sea efectivamente una
solución, y por último, por el método de la transformada de
Laplace.
Además se realizará un ejemplo de cálculo, donde se
, una empleando
mostrará dos formas de hallar la matriz
una propiedad de las funciones de matrices, y otra, usando el
método de antitransformada de Laplace.
La organización del trabajo es la siguiente: en la Sección II
E. M. S. Batadi, Universidad Nacional de San Juan, Argentina,
[email protected]
G. B. Ganyitano, Universidad Nacional de San Juan, Argentina,
[email protected]
C. R. Fernández, Universidad Nacional de San Juan, Argentina,
[email protected]
se explican las características principales de Teoría de control
moderna. La Sección III muestra detalles del modelo
matemático en Espacio de Estado. La Sección IV muestra la
solución de la Ecuación de transición de Estados. En la
Sección V se muestra el cálculo de la ecuación de transición
de estados para un circuito RLC y también el cálculo de la
. Finalmente, se pueden encontrar las conclusiones
matriz
en la Sección VI.
II. TEORÍA DE CONTROL MODERNA
La tendencia moderna en los sistemas de ingeniería es
hacia una mayor complejidad, debido principalmente a los
requerimientos de las tareas complejas y la elevada precisión.
Los sistemas complejos pueden tener entradas y salidas
múltiples y pueden variar en el tiempo. Debido a la necesidad
de alcanzar los requerimientos cada vez más restrictivos en el
desempeño de los sistemas de control, al aumento en la
complejidad del sistema y a un acceso fácil a las
computadoras de gran escala, aproximadamente desde 1960 se
ha desarrollado la teoría de control moderna, que es un nuevo
enfoque del análisis y diseño de sistemas de control
complejos. Este enfoque nuevo se basa en el concepto de
estado.
III. MODELO MATEMÁTICO EN ESPACIO DE ESTADOS
En la Fig. 1 se muestra el diagrama de un circuito en RLC
en serie (resistencia, inductancia, y capacitancia), el cual será
modelado matemáticamente, mediante una ecuación
diferencial, primero en el dominio temporal y luego, en el
espacio de estados.
Figura 1. Diagrama de un circuito en RLC en serie.
( ),
( ) y
( ) corresponden a la
Las funciones
magnitud físicas "diferencia de potencial" entre los terminales
de cada dispositivo, (R por resistencia, L por inductancia y C
por capacitancia), las mismas se pueden expresar en función
de la carga del circuito en el tiempo: ( ), o bien de la
corriente en el tiempo: ( ), según las siguientes expresiones:
( )
( )=
( )
( )=
( )=
=
1
( )=
( )
=
1
(1)
( )
(2)
( )
( )+
( )+
( )
( )
( )
+
(9)
1
( )−
(4)
+
1
( )
(5)
No se tratará de hallar la solución " ( )" que satisfaga a la
ecuación (5) sino, por ahora, valerse de ella para encontrar el
modelo matricial en el espacio de estados, para ello, elegimos
las variables de estado [1]:
( )= ( )
( )+
(10)
( )
0
( )
+ 1
( )
0
1
( )
= −1
( )
−
( )
(11)
Al observar la Fig. 1 se puede apreciar en el sistema físico
formado por el circuito RLC, que se toma como salida del
mismo, a la tensión en la inductancia, ecuación (12), (bien
podría ser cualquier magnitud física de las allí descriptas).
Expresar ésta como la suma de las caídas de tensión en la
malla, en función de las variables de estado, lleva a obtener la
ecuación (13).
( )
( )=
(12)
( )−
1
( )
(13)
(6)
( )
(7)
En función de las variables de estado de las ecuaciones (6)
y (7), y la entrada (t) = (t), (según se puede observar en la
Fig. 1), la ecuación (5), es reescrita convenientemente, (En
Ingeniería de Control, se acostumbra a usar ( ) como la
función de entrada al sistema, y ( ) como la i-esima variable
de estado, de esta forma se independizan estos conceptos de la
magnitud física a la que representan estas funciones),
obteniendo la siguiente expresión:
( )=
1
Es posible reescribir las ecuaciones (9) y (10)
conjuntamente en forma matricial, según la expresión
siguiente:
( )= ( )−
( )= ( )=
( )+
(3)
La ecuación diferencial que rige el comportamiento
dinámico del circuito de la Fig. 1 se obtiene reescribiendo
convenientemente la ecuación (4) en función de ( ), para
llegar a la expresión:
( )=
( )
Y en igual sentido, de la ecuación (8) es posible despejar la
derivada de , obteniendo la expresión:
( )=−
La función (t), que es la expresión de la tensión, se
puede expresar como:
( )=
( )=
( )
+
1
( )
Nuevamente y en sintonía con el resultado obtenido en la
ecuación (11), la ecuación (13) es reescrita de forma matricial
cómo:
( )= −
1
−
( )
(14)
Las ecuaciones (11) y (14) pueden ser obtenidas también a
partir del diagrama de bloques que se observa en la Fig. 2:
(8)
A continuación se deben expresar las variaciones de las
variables de estado en función de ellas mismas y de la función
de entrada, ( ). De las ecuaciones (6) y (7), se obtiene la
derivada de :
( )
+
( )
Figura 2. Diagrama de bloques.
Este diagrama representa un sistema genérico en espacio
de estados, y a partir de él se pueden plantear las ecuaciones
de estados y de salida de cualquier sistema físico según las
expresiones;
̅( ) =
(15)
̅( ) = A ̅( ) + B ( )
( ) = C ̅( ) + D ( )
(16)
Comparando las ecuaciones (11) y (15), y por otra parte las
ecuaciones (14) y (16) se pueden expresar las siguientes
igualdades para el sistema de la Fig. 1:
Tabla I
0
A = −1
1
donde la expresión de
1
(A )
!
=
−1
=
(I+A +
…+
La ecuación (15) constituye una ecuación diferencial, cuya
solución se conoce como ecuación de transición de estados [2]
y está dada por:
̅( ) =
̅ (0) +
(
)
B ( )
El primer término, de la ecuación (17) constituye la
solución de la ecuación de transición de estados homogénea
de la forma:
̅( )
(18)
Una forma alternativa al método de Laplace [3] es
resolverla con el método clásico de solución de ecuaciones
diferenciales lineales, que consiste en tomar una solución de
prueba, y luego verificar que realmente es solución;
̅( ) =
̅ (0)
(19)
1
1
(A ) + (A ) + ⋯
2!
3!
1
1
(A ) +
(A )
( + 1)!
!
+ ⋯)
(22)
Calculando la derivada término a término es posible llegar
a la siguiente expresión:
=
(17)
IV. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE TRANSICIÓN DE ESTADOS
̅( ) =
(21)
La anterior expresión se puede desarrollar a fin de obtener
la siguiente ecuación:
D=[1]
−
1
(A )
!
=
=
C=
(20)
El siguiente paso es verificar que la solución de prueba es
efectivamente solución, para ello hay que derivar la ecuación
(20) respecto del tiempo:
0
B= 1
−
[5] es:
=
+
+
+
1
2
2!
(
( − 1)!
=A I+A +
1
3
3!
+
)
+
+⋯
( + 1)
! ( + 1)
1
1
(A ) + ⋯ +
(A )
2!
( − 1)!
+⋯
+
(23)
1
(A ) + ⋯
!
Y finalmente,
=A
1
A
!
=A
(24)
De la ecuación (24) se concluye que la función ̅ ( ) =
es solución de la ecuación homogénea (para ( ) = )
de la ecuación (15).
Para encontrar la parte faltante de la solución de la
ecuación (15), se empleará el método de la transformada de
Laplace, aprovechando el mismo para verificar que la solución
calculada (ecuación (24)) es correcta, para ello se comienza
nuevamente desde la (15):
̅( ) =
̅( ) =
̅( ) +
V. CÁLCULO DE LA ECUACIÓN DE TRANSICIÓN DE ESTADOS
PARA UN CIRCUITO RLC:
Retomando las expresiones obtenidas en las Ecuaciones
(11) y (14), y las conclusiones expuestas en la Tabla I, se
reemplazan los parámetros indicados, por las magnitudes que
se pueden apreciar en el circuito de la Fig. 3:
(15)
( )
La expresión, de ésta, en el dominio de Laplace es:
X( ) − ̅ (0) =
( )+
( )
(25)
Figura 3. Diagrama de un circuito en RLC en serie.
Despejando X(s), se obtiene;
Obteniendo las matrices:
(sI − A)X(s) = BU(s) + x(0)
( )=(
− )
̅ (0) + (
(26)
0
1
−80 −18
=
− )
( )
=
(27)
= [−800 −180]
La ecuación (27) es la ecuación de transición de estados,
pero en el dominio de Laplace. Esta última se puede encontrar
tomando la anti-transformada de la ecuación (27): El primer
término se anti-transforma por tabla, obteniendo:
ℒ
( I − A)
̅ (0) =
̅ (0)
(28)
Mientras que el segundo término se anti-transforma,
mediante la propiedad del producto de convolución en el
tiempo y su equivalente en el dominio de Laplace:
ℒ
( I − A) BU( ) = ℒ
ℒ
ℒ B ( )
ℒ
( I − A) BU( ) = ℒ
ℒ (
)∗ B ( )
=
(
)
B ( )
0
0.1
=[1]
Si suponemos condiciones iníciales nulas ̅ (0) = θ
(físicamente significa que el capacitor, y la inductancia se
encuentran descargados), entonces la ecuación (28) expresada
para el caso más general, se convierte en:
ℒ
( I − A)
=
θ=θ
̅ (0) =
̅ (0) =
(30)
Por lo tanto, la ecuación de transición de estados, (17) se
convierte en la siguiente expresión:
̅( ) =
(29)
De la ecuación (28) se verifica que el resultado obtenido
previamente en la ecuación (24), es correcto. Además, en la
ecuación (29) se encuentra la parte particular de la solución
para la Ecuación (15). Por lo tanto se concluye que la solución
es la ecuación de transición de estados de la ecuación (17).
(
)
B ( )
(31)
A. CÁLCULO DE LA MATRIZ
Para realizar el cálculo se usará, como un primer método la
=C
C , donde D es la matriz diagonal,
propiedad:
semejante a la matriz A a través de C. Dichas matrices [4] se
calculan:
(i). Los valores Propios de A se obtienen de:
0 = det(A − I) =
−
1
−80 −18 −
=
+ 18 + 80
Resolviendo;
(
= −8
= −10
(ii). Los Subespacios Propios y bases Correspondientes:
=
= −8 ,
=
= −10 ,
1
−8
=
∈ℜ
1
1
−8 −10
D=
=
C
5
1
ℒ
2
−4 − 1 2
=
ℒ
(vi). Con los cálculos anteriores se forma, finalmente la
matriz:
C
=
1
1
−8 −10
=
5
−40
=
0
0
−4
+ 40
det(
80
− )=
2 =
−4 − 1 2
=
5
−40
−4
+ 40
ℒ
ℒ
1/2(
−4
1/2
1/2
−
(s + 8) (s + 10)
−4
5
+
(s + 8) (s + 10)
−
+5
1/2(
−4
−
+5
)
(32)
−1
+ 18
+ 18 + 80 = ( + 8)( + 10)
=
1
s + 18
(s + 8)(s + 10) −80
)
=
(35)
El resultado resulta ser el mismo que el que se obtuvo en la
ecuación (32), y debe ser empleado para resolver la integral de
la ecuación (31).
(ii). La inversa es:
(sI − A)
5
4
−
(s + 8) (s + 10)
−40
40
+
(s + 8) (s + 10)
1
5
(i). Hay que hallar la matriz inversa de:
− )=
=
=
=
El segundo método planteado para hallar la matriz
consiste en calcular la anti-transformada de Laplace de la
matriz ( − ) , ver ecuación (27)
(
(sI − A)
ℒ
−8
0
0 −10
=C
(34)
(vi). Finalmente anti-transformando por tabla; resulta:
(iii). Matriz de Semejanza y Matriz Diagonal:
C=
=
4
1/2
5
1/2
−
−
(s + 8) (s + 10) (s + 8) (s + 10)
=
40
5
−40
−4
+
+
(s + 8) (s + 10) (s + 8) (s + 10)
1
−10
=
∈ℜ
− )
1
s
(33)
(iii). Descomponiendo cada elemento de la matriz anterior
en fracciones simples;
VI. CONCLUSIONES
En el desarrollo de este trabajo se modeló
matemáticamente un circuito RLC según la teoría de control
moderno, y luego se planteó la solución de la Ecuación
diferencial de transición de estados, por el método tradicional
de solución de una ecuación diferencial, planteando una
solución de prueba y verificando que la misma sea
efectivamente una solución, y por otro lado se resolvió por el
método de la transformada de Laplace.
Más adelante se realizó un ejemplo de cálculo para el
circuito de la Fig. 3, donde se muestran además dos formas de
, una empleando una propiedad de las
hallar la matriz
funciones de matrices, y otra, usando el método de antitransformada de Laplace.
A partir de los resultados obtenidos en el apartado V. A, es
posible concluir que: de los dos métodos expuestos para
, resulta más simple el que emplea
calcular la matriz
propiedades de las funciones matriciales, ya que programar
operaciones entre matrices es más sencillo que trabajar con
transformadas y anti-transformadas de Laplace. Por lo tanto
esto permite, no solo la simplificación de un algoritmo, sino
también el ahorro de tiempo de cálculo, ya que algunos
pueden requerir mucho tiempo de cómputo. Entonces, un
algoritmo sería notablemente más óptimo si se utilizan
propiedades de funciones matriciales.
Finalmente, es posible concluir que las funciones
matriciales constituyen un pilar esencial en la teoría de control
moderno, que hace indispensable su estudio para un Ingeniero
en control.
A futuro se plantea abordar el tema, con variables discretas,
empleando transformada Z, ya que este es el caso realmente
empleado en un lazo de control por computadora donde se
toman muestras de las señales analógicas.
REFERENCIAS
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
K. Ogata, Ingeniería de Control Moderna, Prentice Hall 2003, Cap.3,
Sec.4, pp 70-76.
Rolf Isermann, “Digital Control Systems Springer-Verlag, Chap.3.6 eq.
3.6-19, pp 42.
Benjamin C. Kuo, “Sistemas de Control Automático”, Pearson 7ª
Edición, Cap 5, Sec 3, pp 230-233.
S. I. Grossman Álgebra Lineal, McGraw-Hill/Interamericana de México
1995 Cap 6, Sec 6.4, pp 576-579.
http://iaci.unq.edu.ar/materias/control2/web/clases/Cap3.pdf
Herramientas de Álgebra Lineal Cap.3 sec.3.6.7 La exponencial
Matricial, pp 36.
Eduardo Marcelo Seguin Batadi, graduado de la carrera
de Ingeniería Electrónica en la Universidad Nacional de San
Juan, San Juan, Argentina, en el año 2015. Auxiliar de la
docencia segunda categoría, en la Cátedra de Álgebra,
Departamento Matemática, Facultad de Ingeniería,
Universidad Nacional de San Juan, desde el año 2009, y en
la Cátedra Telecomunicaciones I, Departamento de Electrónica y Automática,
Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de San Juan, desde el año 2014
a la fecha.
Graciela Beatriz Ganyitano,
master en Matemática
Aplicada e Informática. Especialización: Modelado
Matemático y software Computacional del Instituto de
Ingeniería Física de Moscú (Moscow State Engeniering
Phisycs Institute (MEPhI) Universidad Técnica Federación
Rusa. Prof. Titular de la cátedra Álgebra y Geometría con funciones docentes
en Álgebra y Matemática del Departamento Matemática, Facultad de
Ingeniería, Universidad Nacional de San Juan. Actualmente Codirectora del
proyecto “Estudio de las Funciones Matriciales y sus aplicaciones” e
integrante del Proyecto “Diseño y Análisis de Modelos de Formación
Profesional basado en Competencias para el fortalecimiento del
Emprendedorismo y la Innovación hacia el Desarrollo Sostenible”.
Claudia Rosana Fernández,
master en Matemática
Aplicada e Informática. Especialización: Modelado
Matemático y software Computacional del Instituto de
Ingeniería Física de Moscú (Moscow State Engeniering
Phisycs Institute (MEPhI) Universidad Técnica de la
Federación Rusa. Prof. Adjunto de la cátedra Álgebra y
Geometría con funciones docentes en Álgebra del Departamento Matemática
y Métodos Numéricos del Departamento Electromecánica, Facultad de
Ingeniería, Universidad Nacional de San Juan. Actualmente integrante del
proyecto “Estudio de las Funciones Matriciales y sus aplicaciones.”