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Date: 2000.09.17 02:28:29 -03'00'
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Buenos Aires
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CORRIENTE ALTERNA
1) Dominio de la frecuencia y ecuaciones transformadas
$ cos( ωt + ϕ ) .
Sea una tensión senoidal del tipo v ( t ) = V
En virtud de la ecuación de Euler, la anterior expresión puede ser escrita del sig. modo:
v( t ) = Re V̂e j( ωt + θ ) = V̂ Re( e jωt e jθ ) .
[
]
Podemos definir a Vm = V̂e jθ como la ecuación transformada de la tensión.
La denominación de "transformada", deviene del hecho que a una expresión que es función del tiempo, la estamos
transformando en otra que no lo es.
De acuerdo a la última expresión, podemos escribir v ( t ) = Re( Vejωt ) .
La transformada no es otra cosa que la expresión matemática de lo que llamamos "fasor"
Observemos que, en virtud de todo lo anterior, la tensión, como así también la corriente son vectores (o números
complejos) que están rotando con la velocidad angular uniforme ω. Sin embargo, el fasor lo obtenemos "sacando
una fotografía " en un dado instante de ese vector rotante. Ese fasor nos proporciona toda la información necesaria
acerca de la tensión, pues si bien no figura su dependencia respecto del tiempo, la cual es obvia, sí nos da la fase
que tendrá respecto de las demás tensiones y corrientes, es decir que no perdemos nada de información. Aunque
obvio, vale la pena destacar que el fasor es también un número complejo. Los conceptos expuestos quedan
graficados en la sig. fig.
Fasor tensión
Vm
θ
Eje de referencia
Por supuesto, en forma análoga podrá escribirse la expresión de la transformada de la intensidad comoIm = Im ejθθ .
2)Ecuaciones transformadas para los circuitos
Hemos visto con anterioridad el comportamiento de los
circuitos resistivos, inductivos y capacitivos puros usando las expresiones trigonométricas. Veremos aquí el análisis
de los mismos circuitos, pero desde el punto de vista, mucho más práctico, de las ecuaciones transformadas.
a)Circuito resistivo puro.
En virtud de la ley de Ohm, podemos escribir,v = iR , donde v e i, son funciones del
tiempo. Tomando transformadas podemos escribir:Re( Vmejωt ) = R Re( Im ejωt ) , por lo
Vmejωt = R Im ejωt ⇒ Vm = R Im
tanto,
. Esta última es la ley de Ohm en términos de transformadas, sin embargo, hay
que considerar que ella indica que tanto, Vm I m son magnitudes complejas, es decir con módulo y fase y que son
1
2
senoidales y de la misma frecuencia. Además Vm e Im están relacionados por la resistencia del circuito, por lo
cual, el ángulo de fase entre ellos es nulo, es decir que ambos fasores están en fase.
Im
Vm
φ=0
b) Circuito inductivo puro.
di
(ley de Faraday)
dt
 d

d

Re( Vme jωt ) = Re L (Im e jωt ) , Re( Vme jωt ) = L Re  (Im e jωt ) . Para mantenerla igualdad, deberá cumplirse
 dt

 dt

que:
d
Vmejωt = L ( Im ejωt ) = jωL Im ejωt . Por lo tanto, Vm = jωL Im
dt
Las transformadas de tensión y corriente, en módulo, están relacionadas mediante el factor XL = ωL (reactancia
inductiva) y la tensión adelanta a la corriente a 90° respecto de la corriente, lo que se pone en evidencia mediante la
rotación impuesta por la unidad imaginaria "j".
v=L
c) Circuito capacitivo puro.
dv
d

, por lo tanto, Re( Im e jωt ) = C Re  ( Vme jωt ) . Derivando, resulta:
dt
 dt

jωt
jωt
I m e = Ce Vmjω ⇒ Im = jωCVm , Vemos aquí, que los módulos de tensión y corriente están vinculados ahora a
1
(reactancia capacitiva), mientras que en virtud de la rotación impuesta por el operador
través del valor XC =
ωC
imaginario "j", la corriente adelanta 90° respecto de la tensión.
i=C
2
3
Conviene destacar que, en general se toma el ángulo de fase desde la corriente a la tensión de manera que para el
caso de un circuito inductivo, es positivo, mientras que si se trata de un circuito capacitivo, el ángulo de fase es
negativo.
Por otra parte, conviene destacar que interesan los valores eficaces no los valores de pico, por lo tanto al módulo
del fasor se lo divide por raíz de dos, con lo que se obtiene el fasor, pero en valor eficaz, es decir:
Vm
V=
. De aquí en adelante usaremos sólo fasores en valor eficaz.
2
3) Concepto de impedancia y admitancia
Definimos la impedancia de una red de dos terminales lineal a la
relación entre la transformadas de la tensión y de la corriente.
V
Z=
I
Se define la admitancia como la recíproca de la impedancia, es decir:Y =
I
. Tanto Z como Y, por tratarse de
V
cocientes de números complejos, serán también números complejos.
La impedancia equivalente de un circuito serie, es la suma de las impedancias de cada componente, mientras que la
admitancia de un circuito paralelo es la suma de las admitancias de cada componente. Es decir que siguen valiendo
las mismas reglas que para el caso de la resistencia y de la conductancia, tal cual como se vio en corriente continua.
4) Circuitos compuestos
Se llaman así a los circuitos que poseen más de un tipo de elemento.
a) Circuito R-L
3
4
La tensión aplicada al conjunto estará dada por la suma de las caídas de tensión en cada uno
de los componentes, según la ley de Kirchhoff de las mallas. Por lo tanto:
d
Vejωt = RIejωt + L ( Iejωt ) ⇒ Vejωt = RIejωt + jωLIejωt .
dt
Por lo tanto, en términos de transformadas quedará V = RI + jωLI = ( R + jωL ) I , por lo tanto, la impedancia del
V
circuito R-L será: Z = = R + jωL . La conclusión que podemos sacar de las expresiones anteriores es que la
I
tensión adelantará a la corriente un ángulo comprendido entre 0 y 90°, sin llegar a ninguno de ellos. Es decir
0 < ϕ < 90°
En los diagramas fasoriales sig., observamos los triángulos de tensiones e impedancias.
En general, para la construcción del triángulo de tensiones se suele tomar el fasor corriente como referencia, por
tratarse de un circuito serie, en el cual la corriente tiene el mismo valor para todos los elementos.
b) Circuito R-C
4
5
La ley de las mallas aplicada a este caso, será (como vimos al analizar carga y descarga de capacitores), la sig.
di 1 dq
di 1
q
dv
dq
dv dv
v = iR + ⇒
=R +
, pero como i =
⇒
=
= R + i . Si a esta ecuación diferencial la
C
dt
dt C dt
dt
dt dt
dt C
d
d
1
1
transformamos, quedará ( Vejωt ) = ( Iejωt ) + Iejωt ⇒ jωVejωt = jωIejωtR + Iejωt . Finalmente, simplificando,
dt
dt
C
C
resulta
1 j
V
1
1
1
jωV = I ( jωR + ) ⇒ V = I ( R +
) y recordando que = 2 = − j ⇒ Z = = R − j
. De la expresión de la
C
jωC
j j
I
ωC
impedancia, se concluye que la tensión atrasa respecto de la corriente un ángulo comprendido entre 0y 90°, es
decir:−
− 90° < ϕ < 0 . Los diagramas correspondientes serán los sig.
c) Circuito R-L-C
di q
+ , la cual,
dt C
dv
di
d2i 1 dq
dq
dv
di
d2i i
derivada miembro a miembro, queda
=R +L 2 +
, pero, i =
= R + L 2 + , que es la
⇒
dt
dt
dt C dt
dt
dt
dt
dt C
ecuación diferencial del circuito.
d
d
d2
1
Hallando la ecuación transformadas, resulta: ( Vejωt ) = R ( Iejωt ) + L 2 ( Iejωt ) + Iejωt . Realizando las
dt
dt
dt
C
derivadas:
La 2ª ley de Kirchhoff aplicada al circuito de la fig., resulta:v = iR + L
5
1 jωt
1
ωL
1
).
Ie . Simplificando, jωV = jωRI − ω 2IL + I ⇒ V = I ( R −
+
C
j
jω C
C
1
1 

Finalmente queda: V = I ( R + jωL − j
) ⇒ V = I R + j( ωL −
. Es así que la impedancia del circuito
ωC
ωC 

V
1
vale:Z = = R + j( ωL −
).
I
ωC
En virtud de la última expresión, pueden sacarse las sig. conclusiones:
Tensión y corriente estarán en general
fuera de fase, pudiendo ser el ángulo de desfasaje positivo, nulo o negativo.
1
I) Si ω L >
, el circuito se comportará en forma inductiva, siendo 0 < ϕ < 90° .
ωC
1
II) Si ω L =
, el circuito se comportará en forma resistiva pura, diciéndose que el circuito está en resonancia,
ωC
siendo entonces ϕ = 0
1
III) Si ω L <
, el circuito se comportará en forma capacitiva , siendo entonces − 90° < ϕ < 0
ωC
jωtVejωt = jωRIejωt + j2Lω 2Iejωt +
El circuito R-L-C en resonancia lo analizaremos en un capítulo aparte por su importancia en Electrónica.
Los posibles diagramas fasoriales tendrán las formas sig.
Circuito R-L-C
VL
V
VL
φ VR
I
VC
R-L
V=VR
I
I
VR
φ
φ=0
R
V
R-C
VL
6
6
7
5) Circuitos en paralelo
El comportamiento de los circuitos R-L, R-C, R-L-C paralelo, es semejante a los
circuitos en serie, cambiando tensión por corriente y viceversa y reemplazando el concepto de impedancia por el
de admitancia. Su tratamiento quedará para los T.P.
6) Pasaje de un circuito serie a un paralelo y viceversa
Supongamos tener un circuito serie dado por sus
componentes R y X. La idea es que partiendo de las componentes serie, esto es ,de la impedancia, obtengamos las
componentes paralelo, es decir la admitancia. Analicemos para ello los sig. circuitos:
I
I
R
G
jB
V
V
jX
V
1
= R + jX; Y = = G + jB , reemplazando el valor de la impedancia en la ecuación de la admitancia, queda:
I
Z
1
R − jX
R − jX
R
X
Y=
=
= 2
= 2
−j 2
, de manera que, según lo anterior, los valores
2
2
R + jX ( R + jX )( R − jX ) R + X
R +X
R + X2
R
X
de la conductancia y de la susceptancia serán, respectivamente, G = 2
;B = − 2
. Observamos que si la
2
R +X
R + X2
componente reactiva del circuito serie es positiva, la componente correspondiente del circuito paralelo es negativa
y viceversa.
Puede realizarse el sig. cuadro:
Z=
Componente capacitiva
Componente inductiva
Impedancia
-jXC
jXL
Admitancia
jBC
-jBL
7
8
8
9
9
10
En forma análoga al proceso descripto, pueden obtenerse las componentes de la impedancia de un circuito serie,
conociendo las componentes de la admitancia del circuito en paralelo, resultando:
B
G
Y = G + jB ⇒ Z = 2
−j 2
2
G +B
G + B2
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11
PROBLEMAS
1) Se tiene una inductancia de valor L=50 mH, que está atravesada por una corriente de intensidad
i ( t ) = 100 sen ωt , donde ω=200 1/s.
1/ Determinar:
a) La tensión en función del tiempo.
b) El valor de XL.
2) Un circuito serie con R=10Ω
Ω y L=20 mH tiene una corriente i ( t ) = 2 sen 500 t ( A ) . Obtener:
a) La
tensión sobre cada elemento y la tensión total.
b)La
impedancia del circuito.
c) Construir el diagrama fasorial de tensiones y corriente.
3) Un circuito cuya capacitancia es C=200 pF y su resistencia R=6 Ω, tiene aplicado una tensión senoidal con una
frecuencia f = 99.47 MHz. Si la tensión máxima sobre la capacitancia es 24V. a) Determinar la tensión máxima
sobre el conjunto R-C. b) Determinar la corriente en el circuito. c) Dibujar el diagrama fasorial de tensiones y
corriente.
Dar las expresiones de tensiones y corrientes en función del tiempo en el dominio transformado (función de la
frecuencia).
4) En el circuito de la figura, la tensión vale v ( t ) = 100 sen( 100 t + 50° ) . a) Obtener la corriente en cada
componente y la total (en el campo del tiempo y en el transformado).
b)Calcular la impedancia total como así también la admitancia.
c) Realizar el diagrama fasorial correspondiente.
5)
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Para el circuito dibujado. a) Determinar la corriente en cada rama. b) La impedancia total del circuito. diagrama c)
Dibujar el diagrama fasorial completo de tensiones y corrientes.
V= 220 <0°
f= 50Hz
6) Para el circuito dibujado. a) Determinar la impedancia total del circuito. b) Las corrientes en cada rama y la
corriente total. c) Las tensiones sobre cada componente. d) Dibujar el diagrama fasorial completo.
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