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Análisis de CA en estado estable
Unidad I Análisis de CA en estado estable
Conferencia 1
C. R. Lindo Carrión
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Análisis de CA en estado estable
Objetivos
Describir una señal de corriente alterna a través de los
parámetros que la definen.
Representar adecuadamente una señal senoidal, de manera
fasorial.
Contenido
1.1
1.2
1.3
1.4
Introducción
Función Senoidal
Fasores
Relaciones fasoriales para los elementos de un circuito
C. R. Lindo Carrión
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Análisis de CA en estado estable
1.1 Introducción
En la realidad de cada día, nos encontramos con la utilización de la
energía eléctrica. La distribución de esta energía se realiza
utilizando tensiones alternas senoidales.
De manera que cuando hablamos de corriente alterna, nos
referimos normalmente a aquella que presenta una forma senoidal.
Esto es así, porque presenta varias ventajas en cuanto a su
distribución y transporte frente a la corriente continua, además es la
forma en que los generadores de corriente alterna la dan. En
Europa la frecuencia de la red es de 50 Hz, en la mayor parte de
América es de 60 Hz.
La razón digna para estudiar la función senoidal, es que es la forma
de onda dominante en la industria de potencia eléctrica. La señal
presente en los tomacorrientes de c.a. en nuestra casa, oficina,
laboratorios, etc., es senoidal.
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Análisis de CA en estado estable
Desde el punto de vista de la Teoría de Circuitos la onda senoidal
presenta las siguientes ventajas:
 Se puede diferenciar e integrar repetidamente y seguir siendo una
senoide de la misma frecuencia.
 La suma de ondas senoidales de igual frecuencia, pero de distinta
amplitud y fase, es una senoide de la misma frecuencia.
 Admite una representación con vectores giratorios, denominados
fasores, que admiten una representación en el plano complejo .
Es por esta razón la necesidad de estudiar el comportamiento en
estado estable de la función senoidal y esto condujo a los ingenieros
a desarrollar los conceptos de fasor y de impedancia, que relacionan
linealmente la corriente y el voltaje fasorial de un elemento del
circuito.
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Análisis de CA en estado estable
En esta sección, estudiamos la respuesta forzada de estado estable
de redes con funciones forzadas senoidales. Vamos a ignorar las
condiciones iniciales y la respuesta transitoria o natural, que fue
estudiada con anterioridad, y que finalmente desaparece en el tipo
de circuitos que vamos a tratar. Nos referimos a esto como un
análisis de c.a. en estado estable.
1.2 Función Senoidal
La función forzada de onda senoidal es descrita por:
x(ωt) = XMsenωt
donde:
x(t) puede representar v(t) ó i(t).
XM es la amplitud o valor máximo
 es la frecuencia angular
t es el argumento de la función
seno
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Análisis de CA en estado estable
La expresión general para una función seno puede ser descrita por:
x(t) = XMsen(ωt + θ)
donde: ωt + θ es el argumento de la función seno
θ es el ángulo de fase
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Análisis de CA en estado estable
Recordemos algunas de las identidades trigonométricas, que nos
servirán de alguna utilidad:
sen( + β) = sen *cosβ + cos *senβ
cos( + β) = cos *cosβ - sen *senβ
sen( - β) = sen *cosβ - cos *senβ
cos( - β) = cos *cosβ + sen *senβ
cosωt = sen(ωt + π/2)
senωt = cos(ωt - π/2)
-cosωt = cos(ωt ± π/2)
-senωt = sen(ωt ± π/2)
Utilizando estas identidades trigonométricas, tratemos de expresar
la expresión general del seno en otra forma:
x(t) = XMsen(ωt + θ)
x(t) = XM(senωt*cosθ + cosωt*senθ)
x(t) = A senωt + B cosωt
Entonces
XM  A  B
2
2
y
donde A = XMcosθ
B = XMsenθ
  tan 1
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B
A
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Análisis de CA en estado estable
Por lo tanto
x(t ) 
A  B sen( t  tan
2
2
1
B
)
A
Si aplicamos una función forzada senoidal a una red lineal, los
voltajes y corrientes de estado estable en la red también serán
senoidales.
Esto también se cumple (es decir, es válido) para la aplicación de las
Leyes de Kirchhoff de los Voltajes y las Corrientes.
Por ejemplo: si aplicamos un voltaje v(t) = Asen(ωt + θ), entonces
esto producirá una corriente i(t) = Bsen(ωt + φ). Entonces
podemos concluir que la solución conlleva en determinar los valores
de los dos parámetros B y φ.
A continuación encontremos la respuesta de estado estable de un
circuito RL ante una función forzada senoidal.
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Análisis de CA en estado estable
1.1.2 Respuesta de Estado Estable de un circuito RL a una
función forzada senoidal:
Consideremos el circuito mostrado
en la Figura 1.1
Aplicando LKV a la malla existente, obtenemos:
di (t )
L
 R i (t )  VM cos  t
dt
entonces i(t) será también senoidal: i(t) = Acos(ωt + φ)
i(t) = Acosωt*cosφ - Asenωt*senφ)
i(t) = A1cosωt – A2senωt
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donde A1 = Acosφ
A2 = Asenφ
Si ahora sustituimos i(t) obtenido, en la ecuación diferencial inicial, y
aplicando su derivada, obtenemos:
L(-A1ωsenωt -A2ωcosωt) +R(A1cosωt – A2senωt) = VMcosωt
Ahora igualando término a término, ambos lados de la ecuación,
obtenemos las siguientes, ecuaciones:
-A1ωL - A2R = 0
-A2ωL + A1R = VM
Resolviendo ambas ecuaciones, tenemos:
RV M
A1  2
R   2 L2
 LVM
A2   2
R   2 L2
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Análisis de CA en estado estable
Así, la corriente i(t) será:
RV M
 LVM
i(t )  2
cos  t  2
sen t  A cos( t   )
2 2
2 2
R  L
R  L
donde A y φ se determinan como:
RV M
A cos   2
R   2 L2
 LVM
Asen  2
R   2 L2
Entonces:
( A cos  ) 2  ( Asen ) 2  A 2 (cos 2   sen 2 )  A 2
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Análisis de CA en estado estable
por lo tanto
2 2
2
2
2
R
V
(

L
)
V
V
M
M
M
A2  2


( R   2 L2 ) 2 ( R 2   2 L2 ) 2 R 2   2 L2
Así:
A
luego para la fase φ
VM
R 2   2 L2
L
Asen
tan  

A cos 
R
entonces el ángulo de fase φ es:
 L 
   tan 

 R 
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1
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Análisis de CA en estado estable
por lo tanto la corriente i(t) será:
i (t ) 

1   L  
cos

t

tan



2
2 2
 R 
R  L

VM
El análisis anterior nos indica que el ángulo de fase φ será cero si la
bobina L = 0 y por lo tanto la corriente i(t) estará en fase con el
voltaje v(t). Si por el contrario hacemos la Resistencia R = 0, el ángulo
de fase φ valdrá 90º y así la corriente i(t) se retrasará del voltaje v(t)
en 90º.
Si ambos componentes R y L están presentes, la corriente i(t) se
retrasará del voltaje v(t) por algún ángulo de fase φ entre 0o y 90º.
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Análisis de CA en estado estable
Dejamos al estudiante, que proceda de similar forma para hacer el
análisis del circuito RC mostrado en la Figura 1.2
Respuesta a encontrar será:
v(t ) 
R IM
1   2 R 2C 2
cos( t   )
donde θ = tan-1(ωRC).
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Análisis de CA en estado estable
Sin embargo se puede notar que la solución de este circuito sencillo
es trabajoso, puede imaginarse como será para una red más grande.
Para evitar este método, vamos a establecer una correspondencia
entre funciones senoidales temporales y números complejos.
El medio que emplearemos para establecer esa relación, es la ecuación
de Euler.
ejωt = cosωt + jsenωt, donde R(ejωt) = cosωt y Im(ejωt) = senωt
Suponemos que seleccionamos como nuestra función forzante de
voltaje:
v(t) = VMejωt, entonces de la identidad trigonométrica se puede
escribir:
v(t) = VMcosωt + jVMsenωt, entonces la respuesta de corriente puede
escribirse como:
i(t) = IMcos(ωt + φ) + jIMsen(ωt + φ), que también puede ser escrito
como:
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Análisis de CA en estado estable
i(t) = IMej(ωt
+ φ)
Debido a las relaciones anteriores que más que aplicar la función
forzante VMcosωt y calcular la respuesta IMcos(ωt + φ), podemos
aplicar la función forzante compleja VMejωt y calcular la respuesta
IMej(ωt + φ), la parte real de ésta, es la respuesta deseada IMcos(ωt +
φ)
Aunque este procedimiento en principio parece ser más complicado,
no lo es. Mediante esta técnica, convertiremos la ecuación diferencial
en una ecuación algebraica que es mucho más fácil de resolver.
1.2 Fasores
Cada vez que supongamos que la función forzante de una red lineal es
la forma v(t) = VMejωt, podemos decir que todo voltaje o corriente de
estado estable en la red tendrá la misma forma y la misma frecuencia
ω, por ejemplo, una corriente i(t) será de la forma i(t) = IMej(ωt + φ).
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Análisis de CA en estado estable
Podemos entonces proceder en nuestro análisis de circuitos, anotando
simplemente la frecuencia y omitir el factor ejωt, ya que éste es común
a todos los términos en las ecuaciones descritas.
Esto quiere decir que todo voltaje o corriente puede describirse
completamente mediante una magnitud y una fase. Por ejemplo, un
voltaje v(t) puede escribirse en forma exponencial como:
v(t) = VMcosωt = Re[VMej(ωt
+ θ)]
o como un número complejo,
v(t) = Re[VM|θ ejωt]
Como estamos trabajando con una función forzante compleja cuya
parte real es la respuesta deseada, y cada término en la ecuación
contendrá ejωt, podemos entonces omitir Re[] y ejωt, y trabajar solo
con el número complejo VM|θ. Esta representación compleja
comúnmente se llama fasor.
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Análisis de CA en estado estable
Fasor: es una versión transformada de una onda senoidal de voltaje o
corriente que consiste en la información de la magnitud y el ángulo
de fase de la senoide.
Como característica distintiva, los fasores, se escribirán en negritas.
Por ejemplo un voltaje v(t) = VMcos(ωt + θ) se escribirá en notación
fasorial como: V = VM|θ, una corriente i(t) = IMcos(ωt + φ), en
notación fasorial se escribirá como I = IM|φ.
De nuevo encontraremos la corriente i(t) en el circuito RL, considerado
anteriormente,
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Análisis de CA en estado estable
Al aplicar la LKV a la malla se obtiene la ecuación diferencial:
di (t )
L
 R i (t )  v(t )  VM cos  t
dt
La función forzante utilizada será, con el fasor V = VM|0o, entonces la
corriente será i(t) = Iejωt, con el fasor I = IM|φ.
Recordemos lo dicho anteriormente, que la solución de la ecuación
diferencial, es la parte real de esta corriente.
Vamos a sustituir el voltaje y corriente en la ecuación diferencial,
usando los fasores,
L


d
Ie j t  RIe j t  Ve j t
dt
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Análisis de CA en estado estable
ahora efectuando la derivada tenemos:
j LIe j t  RIe j t  Ve j t
como puede ser observado, el término ejωt, es un factor común, como
fue dicho anteriormente y puede ser eliminado, dejando los fasores, es
decir,
j LI  RI  V
ahora despejando el fasor I, tendremos:
V
I
 I M  
R  jω L
así la corriente i(t) será:
 L
  tan 

2
2 2
 R 
R ω L
i (t ) 
VM
1

1   L  
cos  t  tan 

2
2 2
 R 
R  L

VM
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Análisis de CA en estado estable
la cual nuevamente es la función obtenida anteriormente.
Representación fasorial
Dominio de tiempo
Acos(ωt ± θ)
Asen(ωt ± θ)
Dominio de frecuencia
A|±θ
A|±θ-90o
Ejemplo: Pasar del tiempo a fasorial: v(t) = 24cos(377t – 45º) V e i(t)
= 12sen(377t + 120º) A
El voltaje v(t) como fasor será: V= 24|-45o V y la corriente i(t) como
fasor será: I = 12|120o-90o = 12|30o A.
Ahora convirtamos de la forma fasorial al tiempo: V= 16|20o V e I=
10|-75o A, con f = 1KHz.
El voltaje será: v(t) = 16cos(2000t + 20º) V y la corriente será: i(t) =
10cos(2000πt - 75º) A, que también puede escribirse en términos de
la función seno como: i(t) = 10sen(2000πt + 15º) A.
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Análisis de CA en estado estable
1.3 Relaciones fasoriales para elementos de circuitos
Para el caso de un Resistor:
Aplicando la ley de Ohm para el
circuito de la Figura 1.3, tenemos:
v(t) = Ri(t) y sustituyendo por las
funciones complejas tenemos:
VM e
j ( t  v )
 RI M e
j ( t  i )
ahora eliminando el factor común ejωt, se tiene:
que convertido en forma fasorial será:
VM e jv  RI M e ji
V  RI
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Análisis de CA en estado estable
como podemos observar θv = θi, lo que significa que la corriente y
el voltaje para este circuito (es decir, en una Resistencia) están en
fase, esto puede ser visto en la Figura 1.4 (b), la Figura 1.4 (a)
muestra el diagrama fasorial.
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Análisis de CA en estado estable
Para el caso de una Bobina:
Aplicando la ley del elemento para
el circuito de la Figura 1.5,
tenemos:
di(t )
v(t )  L
dt
y sustituyendo por las funciones
complejas tenemos:
VM e
j ( t  v )

d
L
I M e j ( t  i )
dt

ahora efectuando la derivada y eliminando el factor común ejωt, se
tiene:
j v
ji
M
M
V e
 j  LI e
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Análisis de CA en estado estable
V  j  LI
que convertido en forma fasorial será:
que también podemos escribirla como:
VM e jv   LI M e j (i 90)
ya que como podemos observar θv = θi +90o, lo que significa que la
corriente y el voltaje están fuera de fase 90º,y en particular
podemos decir que el voltaje adelanta a la corriente por 90º o decir
que la corriente esta atrasada del voltaje en 90º. esto puede ser
visto en la Figura 1.6 (b), la Figura 1.6 (a) muestra el diagrama
fasorial.
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Análisis de CA en estado estable
Para el caso de un Capacitor:
Aplicando la ley del elemento para
el circuito de la Figura 1.7,
tenemos:
dv (t )
i (t )  C
dt
y sustituyendo por las funciones
complejas tenemos:
IM e
j ( t  v )

d
 C VM e j ( t  v )
dt

ahora efectuando la derivada y eliminando el factor común ejωt, se
tiene:
IM e
j i
 j  CVM e
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j v
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Análisis de CA en estado estable
que convertido en forma fasorial será:
I  j  CV
que también podemos escribirla como:
I M e ji   CVM e j (v 90)
como podemos observar θi = θv +90o, lo que significa que la
corriente y el voltaje están fuera de fase 90º,y en particular
podemos decir que la corriente adelanta al voltaje por 90º o decir
que el voltaje esta atrasado de la corriente en 90º, esto puede ser
visto en la Figura 1.8 (b), la Figura 1.8 (a) muestra el diagrama
fasorial.
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Análisis de CA en estado estable
Ejemplo 1.3.1
Para el circuito mostrado en la Figura 1.9, encuentre
la corriente i(t), usando fasores. Con v(t) =
24cos(377t + 75º) V y R = 6Ω.
Solución
Convertimos el voltaje a la forma fasorial, entonces V= 24|75o V y
aplicando la ley de Ohm, obtenemos:
V 2475 o
I 
 475 o A
R
6
así i(t) será: i(t) = 4cos(377t + 75º) A
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Análisis de CA en estado estable
Ejemplo 1.3.2
Para el circuito mostrado en la Figura 1.10, encuentre
la corriente i(t), usando fasores. Con v(t) =
12cos(377t + 20º) V y L = 20mH.
Solución
Convertimos el voltaje a la forma fasorial, entonces V= 12|20o V y
aplicando la ley del elemento, obtenemos:
1220 o
o
I


1
.
59


70
A
0
j  L (377)( 20m)90
V
así i(t) será:
i(t) = 1.59cos(377t - 70º) A
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Análisis de CA en estado estable
Ejemplo 1.3.3
Para el circuito mostrado en la figura, encuentre la
corriente i(t), usando fasores. Con v(t) =
100cos(377t + 15º) V y C = 100µF.
Solución
Convertimos el voltaje a la forma fasorial, entonces V= 100|15o V y
aplicando la ley del elemento, obtenemos:
I  j  CV  (377)(100 90 o )(10015o )  3.77105o A
así i(t) será:
i(t) = 3.77cos(377t + 105º) A
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