Download Tecnicas Basicas de Conteo.

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y
NATURALES
Universidad de
Antioquia
SEMILLERO INTEGRADO
Grado 6
Comuna 5
Taller # 5
Matemáticas
Técnicas Básicas de Conteo
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646- 1716) Desde sus primeros escritos manifiesta su
interés por las matemáticas y por la aplicación de las mismas al conocimiento en todos los
niveles. Su Dissertatio de Arte Combinatoria, editada en 1666, aparece como consecuencia
de sus estudios en la universidad de Leipzig en las áreas de filosofía, historia, matemáticas y
derecho, y en ese escrito se encuentran buena parte de sus ideas fundamentales sobre
combinatoria y algunas de sus reglas básicas o método de investigación científica, que él
llamó el Arte de Inventar.
Leibniz ya había desarrollado los principales aspectos del cálculo infinitesimal hacia 1676, al
final de su estancia en París, y publicara en 1684 su primer artículo sobre el tema, en las Acta Eruditorum:
“Nova methodus pro maximis et minimis”, donde proponía un método nuevo para calcular las tangentes a una
curva y también los máximos y mínimos de la misma.
Hay dos principios básicos en conteo, ilustraremos
mediante ejemplos claros.
Una señora compró un pescado fresco para
cocinarlo. En su manual de recetas encuentra tres
recetas diferentes para hacerlo al horno, dos para
hacerlo frito y cuatro para prepararlo cocido.
¿De cuántas maneras diferentes puede cocinar su
pescado?
Solución:
En este caso los métodos para prepararlo,
claramente no pueden realizarse juntos, así que en
total, solo hay 3 + 2 + 4 = 9 maneras diferentes de
prepararlo.
Este ejemplo nos da paso a definir el PRINCIPIO
DE LA ADICIÓN y en general se enuncia de la
siguiente manera:
Si una operación consiste de n pasos distintos y otra
de m pasos distintos, y si ambas operaciones en
cuestión no pueden realizarse juntas o ni en
sucesión, entonces el número total de maneras en
las que pueden realizarse ambas operaciones es
m + n.
razonamos de igual forma para los calcetines y los
zapatos concluimos que tiene 4 × 6 × 5 × 2 = 240
formas distintas de vestirse.
De igual forma que en el caso anterior podemos
definir de una manera formal el PRINCIPIO DE
LA MULTIPLICACIÓN, en general se enuncia de
la siguiente manera:
Si una operación consta de n pasos distintos y otra
de m pasos distintos, y si las operaciones en
cuestión tienen que realizarse juntas o en sucesión,
entonces el número total de maneras en las que
pueden realizarse ambas operaciones es
m × n.
Es hora de introducir un nuevo concepto
matemático muy interesante, llamado el factorial de
un número. Se denota como n! donde n es un
número natural y este símbolo significa el producto
en orden de n y todos los números naturales
menores que el hasta la unidad, es decir,
n! = n × (n-1) × (n-2) ×…× 4 × 3 × 2 × 1
Por ejemplo: 3! = 3 × 2 × 1, por tanto 3! = 6 y
7!= 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1, o sea 7! = 5040 y
además se define 0! = 1.
Ahora pensemos en la siguiente situación:
Si una persona tiene en su armario 4 camisas, 6
pantalones, 5 pares de calcetines y 2 pares de
zapatos, entonces ¿Cuantas opciones distintas
tiene para escoger cómo vestirse?
Otros dos métodos de conteo muy importantes son:
la PERMUTACION y la COMBINATORIA
igual que en el caso anterior introduzcamos estos
conceptos mediante ejemplos:
Solución:
Dado que para vestirse la persona deberá utilizar
una camisa, un pantalón, un par de calcetines y un
par de zapatos a la vez, podemos contar las formas
de vestirse de la siguiente manera:
Si escoge un pantalón, un par de calcetines y un par
de zapatos, entonces tendrá cuatro formas de
vestirse, teniendo en cuenta que tiene cuatro
camisas. Pero si solo escoge un par de calcetines y
un par zapatos, tendrá 24 formas de vestirse ya que
tiene seis pantalones y cuatro camisas, y si
Como bien sabemos los anagramas son palabras o
frases que se forman por la reorganización o
transposición de letras de otra palabra o frase, para
construir otra u otras de distinto significado. Por
ejemplo los anagramas de la palabra ROMA, son
AMOR, OMAR, RAMO, MORA, puedes encontrar
mas… si le asignáramos a la letras A el número 1, a
la letra M el 2, a la letra R el 3 y a la letra O el 4,
entonces los anagramas se convertirían en las 4túplas (4 3 2 1), (1 2 3 4), (3 2 1 4), (4 1 2 3) y (2 3
4 1), si ahora nos olvidamos de su significado y de
lo que puedan representar; estos reordenamientos de
los números 1, 2, 3 y 4 se denominan
PERMUTACIONES en el conjunto {1,2,3,4}. Las
preguntas que surgen enseguida son ¿cuántas
permutaciones se pueden hacer con este conjunto?
¿Y si sólo permutáramos algunos elementos del
conjunto cuantas serían?
La respuesta a la primera pregunta la podemos
contestar de la siguiente manera:
Utilicemos el principio de la multiplicación, es
decir, la primera operación es escoger cualquiera de
los cuatro números para ubicar en la primera
posición, luego la segunda operación es escoger uno
de los tres restantes para que ocupe la segunda
posición, ahora solo nos quedan dos números para
ubicar en la tercera posición y por ultimo tendremos
una única opción para la cuarta posición, esto es:
4posibilidades×3posibilidades×2posibilidades×1posibilidad
o lo que es lo mismo 4! = 24 formas distintas para
organizar los cuatro números. Ahora bien, si nuestra
intención es solo permutar dos de esos cuatro
números, entonces los restantes van a estar fijos por
tanto no los tendremos en cuenta a la hora de hacer
el conten, esto es:
4 × 3 × 2 ×1
4!
=
2 ×1
(4 − 2)!
Esto es como si dispusiéramos de dos sillas para ser
ocupadas por cuatro personas, en una de ellas
podemos ubicar cualquiera de las cuatro personas y
en la otra cualquiera de las tres restantes, por lo que
en total hay doce formas distintas de ocupar las dos
sillas vacías.
Y en general lo denotáremos por el símbolo nPk y se
lee n permutados de a k
n
Pk =
n!
(n − k )!
Como a la permutación no le importa el orden
entonces debemos definir un método que nos ayude
a contar teniendo en cuenta el orden, este es la
COMBINATORIA y lo podemos deducir del caso
anterior así:
Si deseamos saber de cuantas maneras puedo formar
un grupo de tres personas escogiéndolas de un
grupo de diez entonces podemos utilizar el resultado
pero quitando las repeticiones, es decir:
P3
10!
10 × 9 × 8 × 7!
=
=
= 10 × 4 × 3 = 120
3!
3!(10 − 3)!
3!×7!
10
en general se denota por n C k =
n tomados de a k.
n!
y se lee
k!(n − k )!
ACTIVIDAD: Resuelva los siguientes problemas
utilizando los resultados anteriores.
1. Un turista debe trasladarse de una ciudad a otra.
Para hacerlo puede optar por viajar en avión,
camión ó tren. Y en cada uno de estos transportes
puede elegir en primera o en clase turista. ¿De
cuántas maneras distintas puede realizar el viaje?
2. En una fiesta se encuentran 10 hombres y ocho
mujeres. ¿De cuántas formas pueden integrarse en
parejas para bailar una pieza?
3. ¿De cuántas maneras se pueden elegir tres
números enteros distintos, entre los números del
uno al quince, de modo que su suma sea un múltiplo
de 3? (El orden no importa).
4. Se tienen 3 libros: uno de aritmética (A), uno de
biología(B) y otro de cálculo(C), y se quiere ver de
cuántas maneras se pueden ordenar en un estante.
5. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras
de la palabra AMASAS?
6. ¿De cuántas maneras pueden entrar cuatro
alumnos en tres aulas, si no se hace distinción de
personas?
7. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden
escribir con los dígitos 3, 4, 5 y 6?
8. ¿De cuántos modos distintos pueden presentarse
diez cartas de una baraja, sabiendo que son 4 ases, 3
reyes, 2 caballos y una sota?
9. Si en un colectivo hay 10 asientos vacíos. ¿En
cuántas formas pueden sentarse 7 personas?
10. Un estudiante para aprobar un examen que
consta de 10 preguntas, debe contestar 7 de ellas.
¿De cuántas maneras puede hacer la selección para
aprobar el examen?
11. ¿De cuántas maneras se puede formar un comité
de 5 personas de un total de 12?
12. ¿De cuántas maneras se puede formar un comité
de 4 personas, de un total de 8, si una de ellas debe
estar siempre incluida?
13. ¿Cuántos balotos distintos es posible llenar, si la
condición del juego es sellar un tiquete con seis
números distintos, de cuarenta y cinco posibles
números distintos?
Páginas de Internet:
http://docencia.udea.edu.co/cen/semillero
http://matematicas.udea.edu.co/~olimpic
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Teléfonos: 2105648 - 2105649