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MATEMÁTICAS CCSS I
FUNCIONES
TEMA 5: FUNCIONES
1. CONCEPTO DE FUNCIÓN
Observa los siguientes ejemplos:
 El precio de una llamada telefónica depende de su duración.
 El consumo de gasolina de un coche depende de la velocidad del mismo.
 La factura de agua de una vivienda depende de la cantidad de agua gastada.
En estos ejemplos, la expresión depende de puede cambiarse por es función de.
Una función es una relación de dependencia entre dos conjuntos numéricos que asigna a cada
elemento del primero un único elemento del segundo. Por ejemplo, hacer corresponder a cada día su
temperatura máxima; a cada tiempo de duración de una llamada telefónica, su precio; a cada número
real su triple,,…
Llamamos función real de variable real a una regla que asigna a cada
elemento x (variable independiente) de un subconjunto D de números
reales, un único número real y (variable dependiente).
Se simboliza:
f :D→R
x → y = f ( x)
Al conjunto D se le llama conjunto o inicial dominio. Si al elemento “x” de D le corresponde el
elemento “y”, decimos que “y” es la imagen de “x”, o que “x” es una antiimagen de “y”.
Debemos saber calcular las imágenes de los elementos del conjunto inicial y las antiimágenes de los
elementos del conjunto final. Esto se puede hacer a partir de:
1) Una tabla de valores.
2) Una gráfica.
3) Una fórmula.
Por ejemplo, si consideramos la función que a cada número real, x, le asigna su triple,
f :R  R
podemos escribir:
, o más abreviadamente: f ( x) = 3 x .
x  3x
Esta fórmula se denomina expresión analítica de f.
¡Ojo!: No todas las gráficas representan funciones; debemos comprobar que todos los valores de x
tienen una sola imagen:
Estas dos gráficas sí representan
funciones, ya que si levantamos
verticales en cada valor de x sólo
cortamos la gráfica una vez
Sin embargo, las dos siguientes no
corresponden a funciones pues hay elementos de x que tienen más de una imagen
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Ejercicios:
1º) La siguiente tabla representa la evolución de la temperatura de un enfermo:
Día
1
2
3
4
5
6
Temperatura
38
39,5
39
38,5
37
36,5
a) Identifica la variable independiente y la dependiente.
b) Haz un gráfica que refleje la evolución de la temperatura del enfermo. ¿Tiene sentido
unir los puntos?
2º) Sea f la función representada en la figura. Halla:
a. La imagen por f de x = 0 , x = −2 y x = 2
b. Las antiimágenes por f de y = −1 e y = 1
c. La expresión analítica de f(x)
3º) Indica cuáles de las siguientes gráficas corresponden a una
función. Justifica la respuesta:
4º) Expresa mediante una función:
a) Asignar a cada número real el cuadrado de dicho número.
b) El coste de una llamada telefónica, si el establecimiento de llamada es de 0’1€ y la
tarifa por minuto, de 0’2€.
c) Asignar a un nº el cuadrado del perímetro del triángulo equilátero que tiene por lado
dicho número.
5º) Considera las siguientes funciones y calcula las imágenes de -3 y 1, y las antiimágenes de -5 y 5
por cada una de ellas:
a) f ( x) = x
b) f ( x) = − x + 3
c) f ( x) = 5 x 2
d) f ( x) = x 2 − 1
6º) Un médico dispone de 1 hora diaria para consulta. El tiempo que podría, por término medio,
dedicar a cada enfermo, depende del número de ellos que acudan:
1 enfermo 60 minutos; 2 enfermos 30 minutos; 3 enfermos 20 minutos……
Así hasta un máximo de 30 enfermos. Si llamamos x al número de enfermos e y al de minutos
dedicados a cada enfermo escribe la expresión funcional que existe entre ellas ¿Cómo es la variable
independiente, continua o discreta? Dibuja la gráfica ¿Tiene sentido unir los puntos de la gráfica con
una línea?
7º) Un granjero va a cerrar un terreno rectangular de 80 m2 con una valla. Uno de los lados linda con
la carretera, por lo que le pone una valla especial que cuesta 15 € por metro, y el resto de la valla
vale 10 € el metro. Expresa, en función del lado que linda con la carretera, x, el precio total de la
valla.
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2. DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN
En general, en la expresión de una función no se suele indicar ni el conjunto inicial. Estos conjuntos
suelen determinarse según el tipo de función y la forma en que se exprese.
1
Por ejemplo, en la función real de variable real f ( x) =
no se puede sustituir x por 0, o en la
x
función g ( x) = + x − 2 tampoco. Así pues, x=0 no puede estar en el conjunto inicial o dominio de
ninguna de estas funciones.
En una función real de variable real, f (x) , el dominio es el subconjunto de
números reales que tienen imagen por f. El recorrido o imagen de f (x) es el
conjunto de valores que son imágenes de los elementos del dominio.
En el ejemplo anterior, la función g (x) sólo tiene imágenes positivas o cero, por tanto sólo
pertenecerán al recorrido los números mayores o iguales que 0: Re c( g ) = [0,+∞ )
♦ Cuando una función está expresada con su
gráfica, determinar su dominio es observar
el conjunto de valores reales del eje de
abscisas
que
tienen
imagen.
Un
procedimiento visual consiste en proyectar
la gráfica sobre el eje de abscisas; en este
caso D( f ) = ]− ∞,2] ∪ ]5,+∞[ .
Para
el
recorrido
haríamos
un
procedimiento similar pero proyectando
sobre el eje de ordenadas; en este caso
Re c( f ) = ]− ∞,2]
♦ Cuando una función viene dada por su expresión analítica:
o Si es una función polinómica tiene por dominio todo R , al estar siempre definidas
las operaciones suma, multiplicación y potencia de números reales.
o Si es una función racional, es decir, su expresión es el cociente de dos polinomios, el
dominio está formado por todos los números reales que no anulan el denominador.
o Si es una función irracional, es decir, presenta un radical que contiene a la variable
independiente x, depende de que el índice de la raíz sea par o impar. Si es par el
dominio son los valores de x que hacen el radicando positivo o nulo. Si es impar, no
hay ninguna restricción por parte de la raíz.
Ejercicios:
8º) En la figura se representa la función f:
a) Indica su dominio y su recorrido.
b) Halla la imagen de -2, -1 y 3
c) Halla la antiimagen o antiimágenes de
-2 y 0.
9º) Indica el dominio y el recorrido de las
siguientes funciones a partir de su gráfica:
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10º) Halla el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:
a. f ( x) = 3
b. f ( x) = 3 x + 2
c.
f ( x) = x 2 − 1
d.
f ( x) = + x + 4
11º) A partir de las gráficas, halla:
a) El dominio y el recorrido de las funciones.
b) f (2) , f (6) , f (7) , f (− 3 2) , f (− 9 2) , f
−1
−1
−1
(0) , f
−1
(2) , f
−1
(−2)
−1
c) g (−4) , g (− 1 2) , g (0) , g (2) , g (−3) , g (0)
12º) Halla el dominio de las siguientes funciones:
a. f ( x) = x 2
b.
c.
d.
e.
f.
f ( x) = x 2 + 2 x + 1
5x + 1
f ( x) =
3x + 2
x
f ( x) = 2
x + 2x − 3
6
f ( x) = 2
x +3
x2 −1
f ( x) = 2
x −x+2
i.
2x
x −9
2x
f ( x) = 2
x +9
f ( x) = x − 5
j.
f ( x) = 6 − 3x
k.
f ( x) = 3 5 x − 10
l.
f ( x) =
g.
h.
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f ( x) =
2
x4 − x2 − 2
x 4 − x 2 − 4x − 4
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3. CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN
3.1 PERIODICIDAD:
Considera la función representada en la figura. Las imágenes
de -2,0,2,4,…. coinciden. También coinciden las imágenes de
-3,-1,1,3,….
De hecho la imagen de cualquier número real x coincide con
la de x+2, x+4,….Decimos que esta función es periódica, con
período fundamental 2.
Una función f es periódica de período T si cumple
que: f(x)=f(x+T)
Desde el punto de vista gráfico, son funciones que se repiten cada cierto intervalo de amplitud T.
Ejemplo: Aquí tienes las gráficas de dos funciones periódicas. Indica su período fundamental
Ejercicios:
13º) Indica cuáles de las funciones del ejercicio 9 de la
página 4 son periódicas y averigua su período
fundamental.
14º) Halla el período fundamental de la función f dada
por la siguiente gráfica:
3.2 SIMETRÍAS
Considera la función f representada en la figura. Cualquier número
real x que consideremos y su opuesto –x tienen la misma imagen.
Decimos que la función es par y la gráfica es simétrica respecto
al eje de ordenadas.
Una función es par si verifica f(x)=f(x)
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En esta otra gráfica cualquier número real x que consideremos y su
opuesto –x tienen imágenes opuestas. Decimos que la función es
impar y su gráfica es simétrica respecto al origen.
Una función es impar si verifica f(x)=f(x)
Ejercicios
15º) Estudia la simetría de las funciones dadas por las siguientes gráficas:
16º) Estudia la simetría de las funciones del ejercicio 9 página 4.
17º) Completa, si es posible, la gráfica de las siguientes funciones para que f(x) sea una función
a) par b) impar
18º) A partir de esta gráfica representa dos funciones:
a. Una función periódica de período fundamental 5.
b. Una función par.
19º) Estudia la simetría de las siguientes funciones:
x
3
, f ( x) = 2 x 3 + 3 x 2 − 12 x , f ( x) = 3
.
f ( x) = x 4 − 2 x 2 , f ( x) = x 3 − 1 , f ( x) = 2
x −1
x − 2x
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3.3 MONOTONÍA (CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO) Y EXTREMOS
Se dice que f es creciente en un intervalo si dados dos puntos cualesquiera x1 y x2 de dicho intervalo
se verifica que si x1 < x2 entonces f ( x1 ) ≤ f ( x 2 ) .
Se dice que f es decreciente en un intervalo si dados dos puntos cualesquiera x1 y x2 de dicho
intervalo se verifica que si x1 < x2 entonces f ( x1 ) ≥ f ( x 2 ) .
Una función tiene un máximo relativo en x1 si existe un intervalo
que contiene a x1, tal que f ( x1 ) ≥ f ( x) en dicho intervalo.
Una función tiene un mínimo relativo en x2 si existe un intervalo
que contiene a x2, tal que f ( x2 ) ≤ f ( x) en dicho intervalo.
Ejercicios:
20º) Las gráficas de las funciones f ( x) = 2 x − x 2 , f ( x) = x 3 − 3 x + 2 , f ( x) = 2 x + 2 son:
a) Da los intervalos de monotonía de las tres.
b) Estudia los extremos relativos y absolutos.
21º) Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos de:
22º) Analiza dominio, recorrido, periodicidad, simetrías, intervalos de monotonía y extremos
relativos:
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4. OPERACIONES CON FUNCIONES
Dadas dos funciones reales de variable real f y g se definen las operaciones adición, sustracción,
multiplicación y división de la siguiente forma:
Adición: ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x)
Sustracción: ( f − g )( x) = f ( x) − g ( x)
Multiplicación: ( f ⋅ g )( x) = f ( x) ⋅ g ( x)
División: ( f : g )( x) =
f ( x)
g ( x)
Estas funciones están definidas cuando x pertenece al dominio de f y g simultáneamente. En el caso
del cociente además se debe cumplir que g ( x) ≠ 0 .
Ejercicio:
1
, g ( x) = x − 2 , calcula la función suma f + g , la función
x
f
diferencia f − g , la función producto f ⋅ g y la función cociente , y halla el dominio de cada una
g
de ellas.
23º) Dadas las funciones f ( x) =
5. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
En el conjunto de las funciones reales de variable real podemos definir otra operación, absolutamente
diferente a las anteriores, llamada composición de funciones.
Si f y g son dos funciones reales de variable real se llama
función compuesta de f y g, y se escribe g  f , a la función
que se obtiene aplicando g a la imagen de x por f:
( g  f )( x )  g f ( x )
(f compuesta con g)
Observa en el esquema anterior que la existencia de la
función g  f está garantizada siempre que x esté en el D(f)
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y además el Re c( f ) esté contenido en D(g).
Análogamente se define la función “g compuesta con f ”: ( f  g )( x) = f [g ( x)]
Ejercicios:
24º) Dadas las funciones f ( x) = 2 − 3 x − x 2 y g ( x) = x 2 − 7 , halla si es posible ( f  g )(−1) ,
( g  f )(−1) , ( g  f )(0) .
25º) Dadas las funciones f ( x) = x + 2 y g ( x) = x 2 − 1 , calcula:
a) ( g  f )(2)
c) ( f  g )(−3)
b) ( g  f )( x)
d) ( f  g )( x)
26º) Si f ( x) = 2 x 2 + x − 3 y g ( x) =
1
, obtén la expresión analítica de g  f y f  g
x +1
27º) Calcula las funciones compuestas que se indican a continuación, siendo f ( x) = x 2 + 5 ,
x −1
, h( x ) = x :
g ( x) =
2x + 3
a) g  f
d) h  g
b) f  g
e) g  h  f
c) h  g  f
28º) Dadas las funciones f ( x) = x 2 − 1 y g ( x) = 2 x − 1 , calcula las composiciones f  g y
g f .
6. FUNCIÓN INVERSA
Consideremos la función f que asigna a cada número real el doble de dicho número. También
podemos considerar la función que a cada número real le asigna su mitad. Representamos esta
función por f −1 y la llamamos función inversa de f.
f :R → R
1→ 2
f
2→4
3→ 6
−1
:R→ R
2→1
4→2
6→3
Luego, si la función f hace corresponder al nº x su imagen y=f(x), la función f
al nº y=f(x) el valor original x (de alguna manera f
−1
−1
hará corresponder
invierte el proceso realizado por f )
Dada una función f(x) se llama función inversa de f(x),
a otra función f −1 ( x) que cumple: ( f  f −1 )( x) = x y
(f
−1
 f )( x) = x
No todas las funciones admiten inversa, sólo aquellas que no
tengan elementos del dominio con la misma imagen
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(inyectivas). De lo contrario, para un valor de y habría varios posibles valores de x, y f
una función.
No tiene inversa
−1
no sería
Sí tiene inversa
En general:

Para calcular la función inversa de una función se intercambia “x” por “y”, y se despeja “y”
en función de “x”.

Para comprobar si la función obtenida es efectivamente la inversa de la original, justificamos
que se obtiene la identidad al componerlas en los dos sentidos: ( f  f −1 )( x) = x y
(f
−1
 f )( x) = x .
Ejercicios:
29º) Comprueba que las funciones que hemos definido como ejemplo al iniciar este apartado son
inversas.
30º) Calcula, si es posible, la función inversa de f ( x) = 3 x + 1 − 5 y de g ( x) = 3 2 x 2 − 3 .
31º) Calcula la función inversa de f ( x ) = 3x + 2 y representa gráficamente las dos en los mismos
ejes de coordenadas.
x +1
32º) Calcula la función inversa de las siguientes funciones: f ( x) = x 3 − 1 , g ( x) =
,
2
x +1
h( x ) =
5x − 2
5− x
33º) Dadas las funciones f ( x) =
, g ( x ) = x − 2 , comprueba que ( g  f ) −1 = f −1  g −1
2x − 1
CALCULA EL DOMINIO DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES:
a)
b)
c)
d)
f ( x) =
x2 − 3
4
x−2
9 + x2
5x − 9
f ( x) = 2
x + 2x − 3
f ( x) =
f ( x) =
2 − 5x
x
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e)
f)
g)
f ( x) =
FUNCIONES
2x + 7
x2 + 4
x2 + 4
f ( x) =
2x + 7
2 − 3x
f ( x) =
5x + 4
h)
f ( x) = x 2 + 2 x − 3
i)
f ( x) = x 2 + 2 x − 3
j)
f ( x) =
k)
l)
3− x
x+7
x−2
f ( x) = 2
x + 2x − 3
x+6
f ( x) = 2
x −1
m) f ( x) = 3 3 x − 18
n)
f ( x) =
x2 + 2 x
x+3
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