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Métodos Matemáticos I
Guía II
Licenciatura en Física
IPGG
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1).- Encuentre el centro y radio de el círculo:
jz
1
ij = 2 jz
5
2ij
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2).- Demuestre que:
ez = ez
Ayuda: Utilice la serie de McLaurin de la función exponencial.
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3).- Si z1 = c1 exp (i ) y z2 = c2 exp (i ) son dos números complejos cualesquiera, probar que el triángulo de
vértices z1 ; 0 y z2 tiene área A, dada por:
c1 c2 sin (
)
2
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A=
4).- Demuestre que:
4 cos (2 ) + 3
8
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sin4 ( ) =
cos (4 )
5).- Demuestre que un polígono regular de n lados, inscrito en un círculo de radio a tiene área dada por:
An =
na2
sin
2
2
n
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6).- Sea z = exp (i ) un número complejo en el círculo unitario:
Probar que la distancia ` desde z hasta 1 es igual a:
p p
`= 2 1
1
cos ( )
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7).- Demuestre que:
4n
(1 + i)
(1
4n
i)
=0
para un n entero positivo.
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p
n
3 + i sea:
8).- Halle la menor potencia de n 2 N para que
Real.
Imaginario puro.
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p
10).- Sea z = 1 + i 3. Halle el valor del número real q tal que:
Arg z 2 + qz =
5
6
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11).- Evalúe:
si cos ( ) =
1
X
cos (n )
2n
n=0
1
.
5
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12).- Gra…que los lugares geométricos especi…cados por la siguiente desigualdad:
a
jz
z0 j < b
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13).- Suponga que z satisface que jz
1j
jz + 1j. Pruebe que entonces se satisface que jz
1j
jz + 1j.
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14).- Mostrar que si z1 + z2 + z3 = 0 y jz1 j = jz2 j = jz3 j = 1, entonces z1 ; z2 y z3 son los vértices de un triángulo
equilátero inscrito en la circunferencia unitaria.
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15).- Sea w un número complejo tal que jwj = 3. Encuentre el valor más grande posible que puede asumir de
ji + 1 wj.
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2