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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE SONORA Módulo de aprendizaje Geometría y Trigonometría Hermosillo, Sonora, enero del 2010 COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE SONORA DIRECCIÓN ACADÉMICA Departamento de Desarrollo Curricular Calle La escondida no. 34, Col. Santa Fe, Hermosillo, Sonora, México. C.P. 83249 Geometría y trigonometría Módulo de aprendizaje Copyright ©, 2010 por Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora Todos los derechos reservados Primera edición 2010. Impreso en México Registro ISBN: DIRECTORIO MTRO. Martín Alejandro López García Director General M.C. José Carlos Aguirre Rosas Director Académico ING. José Francisco Arriaga Moreno Director Administrativo L.A.E. Martín Francisco Quintanar Luján Director de Finanzas LIC. Alfredo Ortega López Director de Planeación Lic. Gerardo Gaytán Fox Director de Vinculación C.P. Rafael Pablos Tavares Director del Órgano de Control Geometría y Trigonometría Datos del alumno Nombre ________________________________________________________ Plantel _______________________Grupo ______________Turno _________ Domicilio _______________________________________________________ ___________________________________ Teléfono ___________________ Celular _____________________ e-mail _____________________________ COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE SONORA. DIRECCIÓN ACADÉMICA Departamento de Desarrollo Curricular Calle La Escondida #34, Col. Santa Fe, Hermosillo, Sonora, México. CP. 83249 Geometría y trigonometría Módulo de aprendizaje Segundo semestre Elaboradores Eneida Domínguez Gracia Francisco Javier Cruz Barra Jorge Luis Figueroa Arce Ranulfo González Olivas Ma. Asunción Santana Rojas Supervisión académica Ma. Asunción Santana Rojas Eneida Esmeralda Montaño Martínez Jesús Enrique Córdova Bustamante Coordinación técnica Sandra Elivia Becerril López Coordinación general José Carlos Aguirre Rosas BACHILLERATO TECNOLÓGICO UBICACIÓN CURRICULAR COMPONENTE: de formación básica CAMPO DE CONOCIMIENTO: Matemáticas CRÉDITOS: 8 HORAS SEMANALES: 4 ASIGNATURA ANTECEDENTE: Álgebra ASIGNATURA CONSECUENTE: Cálculo ESTRUCTURA GENERAL DE LA MATERIA DE GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA Figuras Geométricas Generalidade s Ángulos Triángulos Polígonos Circunferencia TRIGONOMETRÍA Funciones Trigonométricas Relaciones Trascendentes Identidades Trigonométricas Ecuaciones Trigonométricas Ecuaciones Exponenciales Ecuaciones Logarítmicas INDICE Presentación……………………………………………………………………………………….. 14 Recomendaciones para el alumno ……………………………………………………………..... 15 Competencias………………………………………………………………………………………. 17 UNIDAD I: GEOMETRÍA 19 Evaluación diagnóstica……………………………………………………………………………. 21 1.1 Generalidades 23 1.1.1. Antecedentes Históricos y conceptos básicos………………………….……………… 23 1.1.2. Conceptos básicos………………………………………………………………………… 26 1.1.3. Método deductivo………………………………………………………………………… 28 1.1.4. Método inductivo…………………………………………………………………………. 29 1.2 Ángulos 33 1.2.1. Notación y clasificación…..….………………………………………………………….. 33 1.2.2. Sistemas de Medición ……………………………………………………………………. 39 1.2.3. Conversiones……………………………………………………………………………… 41 1.2.4. Teoremas…………………………..………………………………………..……………. 47 1.3 Triángulos 52 1.3.1. Notación y Clasificación…….…………………………………………………………… 52 1.3.2. Rectas y puntos notables…….…………………… ……………………………………. 54 1.3.3. Teoremas…………………..…….……………………………………………………….. 58 Autoevaluación…………………………..……………………… ……….…………………….. 69 Instrumentos de evaluación……………………………………………………………………… 72 UNIDAD II: POLIGONOS, TRIGONOMETRICAS. CIRCUNFERENCIAS Y FUNCIONES 75 Evaluación diagnóstica……………………………………………………………………………. 77 2.1 Polígonos 79 11 2.1.1. Notación y Clasificación…………………………………………………………………. 79 2.1.2. Ángulos interiores y exteriores…..……………………………………………………… 83 2.1.3. Diagonales………..…………..………………….……………………………………….. 85 2.1.4. Perímetros y áreas…..…………………………………………………………………… 89 2.1.5. Teoremas…………………………………………………………………………………. 93 2.2 Circunferencia 97 2.2.1. Elementos…..………………………………………..….……………………………….. 97 2.2.2. Ángulos en la circunferencia…………………………………………………………….. 101 2.2.3. Área del Círculo…………………………………………………………………………. 104 2.2.4. Perímetros. ……..………………………………………….…………………………….. 105 2.2.5. Áreas de Figuras circulares….………………………………………………………… 111 2.2.6. Teoremas………..…..……………………………………………………………………. 115 2.3 Funciones Trigonométricas 118 2.3.1. Relaciones trigonométricas…………….………………………………………………. 118 2.3.2. Funciones en el triángulo rectángulo………………………………………………….. 122 2.3.3. Funciones en el triángulo rectángulo…...….…………………………………………. 124 2.3.4. Funciones en el círculo unitario…………...……………………………………………. 127 2.3.5. Resolución de triángulos rectángulos…………..………………………..................... 129 Autoevaluación…………………………..……………………… ……….…………………….. 136 Instrumentos de evaluación…..………..……………………… ……….…………………….. 138 UNIDAD III: TRIGONOMETRÍA 141 Evaluación diagnóstica…………………………………………………………………………….. 3.1 Triángulos Oblicuángulos 143 144 3.1.1. Ley de senos………………………….………………………………………………….. 144 3.1. 2. Ley de cosenos……………………….…………………………………………………. 151 12 3.2 Identidades trigonométricas 155 3.2.1. Identidades fundamentales………………………….………………………………….. 155 3.2. 2. Demostración de identidades…..……………….…………………………………….. 159 3.3 Ecuaciones Trigonométricas 162 3.3.1. Propiedades…..……………………….…………………………………………………. 162 3.3. 2. Procedimientos de solución………….………………………………………………… 164 3.4 Ecuaciones Exponenciales 168 3.4.1. Propiedades…………………………….……………………………………………….. 168 3.4. 2. Procedimientos de solución…….…….………………………………………………... 170 3.5 Ecuaciones Logarítmicas 172 3.5.1. Propiedades…………………….…….…………………………………………………. 172 3.5.2. Procedimientos de solución…….…….………………………………………………… 173 Autoevaluación…………………………..……………………… ……….…………………….. 179 Instrumentos de evaluación……………..……………………… ……….…………………….. 181 Criterios de evaluación………………………………………………………………………….. 183 Respuestas de las autoevaluaciones………………………………………………………….. 186 Glosario……………………………………………………………………………………………. 192 Bibliografía………………………………………………………………………………………. 199 13 PRESENTACIÓN El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora, comprometido con la calidad educativa, ha implementado acciones que apoyan tu desarrollo académico, siendo una de estas, la elaboración del presente módulo de aprendizaje, el cual pertenece a la asignatura de Álgebra, que cursarás durante este tu primer semestre. La asignatura de Geometría y Trigonometría, tiene como propósito desarrollar la capacidad de la orientación espacial, mediante el análisis y representación de problemas que implican figuras geométricas en un clima de participación y responsabilidad. Para lograr lo anterior, éste módulo de aprendizaje se conforma de tres unidades, descritas a continuación: UNIDAD I. Geometría UNIDAD II. Polígonos, circunferencia y funciones trigonométricas UNIDAD III. Trigonometría En el contenido de estas unidades, se relaciona la teoría con la práctica, a través de ejercicios, encaminados a apoyarte en el desarrollo de las competencias requeridas para los alumnos que cursan esta asignatura. Seguros de que harás de este material, una herramienta de aprendizaje, te invitamos a realizar siempre tu mayor esfuerzo y dedicación para que logres adquirir las bases necesarias, para tu éxito académico. 14 RECOMENDACIONES PARA EL ALUMNO El presente módulo de aprendizaje, representa un importante esfuerzo que el Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora, ha realizado, para brindarte los contenidos que se abordarán en la asignatura de Geometría y Trigonometría. Los contenidos de Geometría, serán abordados a través de diversos textos, ejercicios, evaluaciones, entre otras actividades. Cabe mencionar, que algunas de las actividades propuestas las deberás realizar de manera individual mientras que en algunas otras, colaborarás con otros compañeros formando equipos de trabajo bajo la guía de tu profesor. Para lograr un óptimo uso de este módulo de aprendizaje, deberás: Considerarlo como el texto rector de la asignatura, que requiere sin embargo, ser enriquecido consultando otras fuentes de información. Consultar los contenidos, antes de abordarlos en clase, de tal manera que tengas conocimientos previos de lo que se estudiará. Participar y llevar a cabo cada una de las actividades y ejercicios de aprendizaje, propuestos. Es muy importante que cada una de las ideas propuestas en los equipos de trabajo, sean respetadas, para enriquecer las aportaciones y lograr aprendizajes significativos. Considerarlo como un documento que presenta información relevante en el área de las Matemáticas, a ser utilizado incluso después de concluir esta asignatura. Identificar las imágenes que te encontrarás en los textos que maneja el módulo de aprendizaje, mismas que tienen un significado particular: Esperando que este material de apoyo, sea de gran utilidad en tu proceso de aprendizaje y así mismo, despierte el interés por conocer y aprender más sobre esta ciencia, te deseamos el mayor de los éxitos. 15 Evaluación diagnóstica que cada estudiante debe responder al inicio de cada unidad para saber su grado de conocimiento. Ejercicio que se elaborará en equipo. Ejercicio que se elaborará de manera individual. Ejemplo del tema tratado en clase. Tarea que se elaborará en casa, relacionada con el tema visto en clase. Tarea de investigación. Material recortable que utilizará para resolver algunas de las tareas a elaborar en casa. Ejercicios que se elaborarán para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana. Examen de autoevaluación que se resolverá al final de cada unidad. Aprendizajes a lograr, descritos al inicio de cada subtema. 16 COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA Desarrollar la capacidad de la orientación espacial, mediante el análisis y representación de problemas que implican figuras geométricas, en un clima de participación y responsabilidad. Utiliza reglas modelos algebraicos para resolver problemas geométricos Resuelve problemas cotidianos utilizando operaciones algebraicas. 17 COMPETENCIAS Genéricas: Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Disciplinarias: Construir e interpretar modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formular y resolver problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explicar e interpretar los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 18 Unidad I GEOMETRÍA 19 COMPETENCIAS Al término de esta unidad, el estudiante: Construir e interpretar modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formular y resolver problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explicar e interpretar los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. TEMARIO 1.1. 1.1.1. 1.1.2. 1.1.3. 1.1.4. GENERALIDADES Antecedentes Históricos Conceptos básicos Método deductivo Método inductivo 1.2. 1.2.1. 1.2.2. 1.2.3. 1.2.4. ÁNGULOS Notación y clasificación Sistemas de medición Conversiones Teoremas 1.3. 1.3.1. 1.3.2. 1.3.3. TRIÁNGULOS Notación y clasificación Rectas y puntos notables Teoremas Evaluación diagnóstica A continuación se te presentan una serie de preguntas de opción múltiple relacionadas con operaciones básicas y algunos temas de álgebra que profundizarás con más detalle a lo largo a las actividades del cuaderno de trabajo. Esfuérzate por contestarlas subrayando la respuesta correcta. Las respuestas podrás encontrarlas al final del cuaderno de trabajo. 1.- Rama de las Matemática que estudia las figuras y sus propiedades. a) Álgebra b) Probabilidad c) Aritmética d) Geometría e) Cálculo 2.- Figura formada por tres lados y tres ángulos a) Rectángulo b) Circunferencia c) Triángulo d) Rombo e) Trapecio 3.- Un ángulo recto es aquel cuya medida corresponde a: a) 180° b) 90° c) 45° d) 360° e) 270° 4.- Se les llama así a las líneas que nunca se juntan o intersectan por más que se prolonguen. a) Oblicuas b) Paralelas c) Perpendiculares d) Concurrentes e) Divergentes 5.- Nombre que recibe el ángulo que mide menos de 90° a) Completo b) Llano c) Entrante d) Recto e) Agudo 21 6.- Dos figuras que tiene la misma forma pero diferente tamaño se llaman: a) Congruentes b) Equivalentes c) Semejantes d) Opuestas e) Excluyentes 7.-Las líneas que al cortarse forman ángulo de 90° reciben el nombre de: a) Paralelas b) Perpendiculares c) Concurrentes e) Divergentes e) Equivalentes 8.- Nombre que recibe el ángulo que mide el ángulo de 180° a) Colineal o llano b) Recto c) Obtuso d) Entrante e) Agudo 9.- Nombre que recibe el triángulo con tres lados iguales. a) Triángulos b) Equiángulo c) Obtusángulo d) Equilátero e) Isósceles 10.- Es la medida de los ángulos interiores de todo triángulo. a) 45° b) 90° c) 180° d) 360° e) 270° 22 1.1. GENERALIDADES 1.1.1. Antecedentes Históricos Sesión 3 Aprendizajes a lograr Conoce y diferencia las aportaciones más relevantes que hicieron culturas como los babilonios, asirios, egipcios y los griegos Identificar personajes que le dieron el carácter de ciencia a la geometría. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Sin duda alguna, ya estás familiarizado con figuras geométricas y algunas propiedades características de cada una de ellas, sin embargo el propósito de este tema es que conozcas algunos hechos trascendentales a lo largo de la historia; y como algunas culturas de la antigüedad hicieron aportaciones importantes a la geometría. Posteriormente tendrás la oportunidad de profundizar con más detalle reuniéndote en equipo y de forma individual resolverán situaciones donde apliquen las propiedades y teoremas importantes en la solución de problemas reales. Como podrás recordar, la Geometría es una ciencia que estudia las propiedades de las figuras geométricas, sin embargo es considerada como una de las Ramas de las Matemáticas más intuitivas y relacionadas con la realidad y que ha evolucionado en forma creciente en abstracciones y generalidades. EJEMPLO . En la historia de la humanidad se han hecho inventos que se basaron en propiedades y características de distintas figuras y cuerpos geométricos; como la rueda cuya aplicación inicial fue al transporte y posteriormente se aplicó a los molinos de granos. En Egipto la construcción de las pirámides requirió de conocimientos de la Geometría. 23 Ejercicio no. 1 Individual Realiza la siguiente lectura y contesta el cuestionario localizado al final de esta actividad. Etapas de la Geometría Según escritos encontrados a lo largo de la historia de la humanidad, los hechos más importantes referidos a la ciencia de la Geometría apuntan a las culturas de los babilonios, egipcios y los griegos. Sumerios –Babilonios. Las culturas que se desarrollaron alrededor de los ríos Tigris y Éufrates de la antigua Mesopotamia fueron los sumerios, acadios, asirios y babilonios; en base a las necesidades de resolver algunos problemas comunes, ya calculaban áreas de algunas figuras geométricas, como el rectángulo y el triángulo; se les atribuye la invención de la rueda y la obtención del grado sexagesimal como proceso de dividir la circunferencia en 360 partes iguales, establecieron las primeras aproximaciones de pi ( mediante la relación numérica entre el diámetro y su circunferencia. Egipcios Debido a que la población vivió prácticamente en los márgenes del rio Nilo, su principal actividad fue la agricultura, uno de los problemas que enfrentaron fue los desbordamientos del ríos en época de lluvia por lo que literalmente arrasaba con las tierras de cultivo y que constantemente tenías que realizar medidas de perímetros y áreas para delimitar sus parcelas con la finalidad de calcular el nuevo pago de impuestos que debían hacer como dueños del terreno, de aquí que Geometría provenga del vocablo Griego Geo (tierra) y metría( medida) y que significa medidas de tierras, así que prácticamente se le atribuye el descubrimiento de la geometría a raíz de ese fenómeno. Además calcularon áreas de triángulos como el isósceles, trapecio y círculo así como volúmenes de poliedros como el caso de las pirámides; dieron un valor aproximado para igual a 3.1604 , como herramienta de medición característica de esa fecha surge el cordel como regla y compás para la construcción y diseño de las pirámides. Griegos Los primeros tratados formales de la geometría datan de la época de Tales de Mileto; famoso por su teorema de las rectas paralelas y por haber hecho las primeras aproximaciones de las alturas de las pirámides de Egipto mediante la proporcionalidad entre los lados de los triángulos semejantes, fundó la escuela Jónica distinguiéndose entre los discípulos más destacados Pitágoras de Samus famoso por su teorema del triángulo rectángulo. Otro personaje famoso fue Arquímedes de Siracusa quién descubrió diversas formas de medir la superficie de algunas figuras curvas, así como el área y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas como los cilindros, aunque sobresalieron otros personajes 24 famoso por sus contribuciones, sin duda el personaje considerado por algunos como el que le dio un orden lógico a todas las aportaciones de la Geometría fue Euclides de Alejandría quién escribió la obra cumbre llamada los Elementos y que consiste en 13 tomos o volúmenes considerados como la base de la Geometría Elemental o Euclidiana dichos manuscritos contiene todas las contribuciones en orden lógico compuestos por toda la base axiomática , sus postulados, teoremas y lemas. Cuestionario 1.- Nombre de las culturas que se establecieron en la antigua Mesopotamia y que se les atribuye la invención de la rueda. _____________________________________________ 2.- La _______________________________significa medida de tierras. 3.- Los ______________________________ le dieron carácter de ciencia a la geometría. 4.- _____________________________fue quién estableció el teorema entre las rectas paralelas y realizó las primeras aproximaciones de la altura de las pirámides de Egipto. 5.- En_______________________ se realizaban cálculos de perímetros y áreas debido al desbordamiento del rio__________________ 6.- Este personaje _________________________ estableció el teorema que lleva su nombre y que relaciona los cuadrados de los lados del triangulo____________________ 7.8.- _______________________fue quien organizó toda la teoría de la Geometría agrupándola en _____________volúmenes. 9.- Esta cultura _____________________ dividió la circunferencia en _______ obteniendo así el grado_________________________ 10.- Es el nombre que recibió la obra más famosa de la antigüedad y donde se organiza y establece toda la teoría axiomática de la Geometría._____________________________ 25 Sesión 4 1.1.2. Conceptos Básicos Dentro de la Geometría existen algunos elementos considerados por algunos, como conocimientos primitivos, por no poderse definir apropiadamente y que se consideran como la base de la construcción de todas las figuras y cuerpos geométricos. Aprendizajes a lograr Define los elementos básicos en la construcción de figuras geométricas. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. . EJEMPLO. Para poder trazar una línea siempre partimos de un punto, para dibujar un ángulo utilizamos dos líneas que parten de un mismo punto, para dibujar un plano o superficie es necesario utilizar por lo menos tres líneas; para construir un cuerpo geométrico utilizamos superficies o planos Tarea de investigación no. 1 Investigar de manera individual, ¿cuáles son los elementos básicos de la geometría y realiza el ejercicio No. 1 de manera individual 26 Sesión 5 Ejercicio no. 2 Individual En base a lo investigado previamente, completa la siguiente tabla y comenta tus resultados ante el grupo. Elemento Geométrico Idea o concepción Representación Notación Se considera carente de dimensiones y se determina a partir de la huella que deja la punta del lápiz o pluma Se caracteriza por medio de una sucesión continua de puntos con una misma dirección Plano Segmento de recta A 27 B 1.1.3. Método Deductivo Aprendizajes a lograr Describe las características principales del método deductivo Describe las distintas proposiciones lógicas que hacen del método deductivo su consistencia Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Sin duda alguna; fue el razonamiento adoptado por los griegos permitiéndole construir de forma lógica toda la teoría axiomática de la Geometría logrando alcanzar el carácter de Describe las características del razonamiento deductivo ciencia. Este método consiste en encadenar de forma lógica enunciados o proposiciones verdaderas de tal forma que se puedan obtener nuevos conocimientos verdaderos a partir de ellos. Aunque no todas las proposiciones son posibles deducirse de otras, la validez o veracidad de estas, las hace clasificarse en axiomas, teoremas, postulados, corolarios, lemas y escolios. Una característica significativa de este razonamiento es que comúnmente parte de leyes generales para aplicarlas a casos particulares. Enunciados escritos en forma deductiva: EJEMPLO. a. Los ángulos interiores de un triangulo suman 180° b. El triangulo rectángulo tiene un ángulo recto. c. Los ángulos agudos de un triangulo rectángulo suman 90° d. Tarea de investigación no. 2 Investiga en qué consiste el método deductivo y cuales son el tipo de proposiciones utilizadas y en qué consiste cada una de ellas. Reúnete en equipo con la ayuda de tu profesor y contesta el ejercicio No. 2 de manera individual 28 Ejercicio no. 3 Individual En base a lo investigado previamente, coloca sobre las líneas la palabra axioma, postulado, teorema, lema y corolario según tu información obtenida. 1.- El ____________________ es una proposición que sirve de base a la demostración de un teorema considerado en ocasiones como un teorema preliminar a otro que se considera más importante. 2.- Esta proposición se deduce de un teorema como consecuencia del mismo. _______________________. 3.- Es una proposición tan sencilla y evidente que se admite sin ninguna demostración _____________________. 4.- El _____________________es una proposición que puede ser demostrada mediante el uso de un conjunto de razonamientos que conducen a la evidencia de la verdad de la proposición. 5.- Se le llama así a la proposición que a pesar que no es tan evidente se admite sin demostración.________________________. 1.1.4. Método Inductivo Sesión 6 Aprendizajes a lograr Definir el método inductivo. Generalizar una propiedad a partir de situaciones particulares Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Prácticamente es lo opuesto al método deductivo por partir de situaciones particulares y llegar a conclusiones que. generalizan una situación determinada. Aunque en ocasiones suele ser un poco impreciso debido a que no todo el tiempo se puede generalizar una situación particular o sacar predicciones o conjeturas verdaderas. 29 En Matemáticas puede ser útil para inducir alguna expresión que generaliza una situación particular. Enunciados que implican la forma inductiva: La suma de los primeros números impares naturales: EJEMPLO. 1=1 11 = 1 1+3 = 4 22 = 4 1+3+5= 9 32 = 9 1+3+5+7 = 16 42 = 16 1+3+5+7+9 =25 52 = 25 Entonces podemos concluir que para los primeros “n” números naturales: 1+3+5+…..+ n = n2 Otro ejemplo que genera una conjetura falsa es el caso siguiente: Supongamos que un alumno se ha dado cuenta que el último viernes de cada mes, durante los últimos tres meses, el maestro ha venido poniendo exámenes sorpresa. Esto no garantiza que el último viernes del próximo mes el maestro aplicará un examen sorpresa. Tarea de investigación no. 3 Investiga en qué consiste el método inductivo. 30 Ejercicio no. 1 Grupo Considerando la investigación realizada y reúnete en parejas resolver las situaciones siguientes y comenta los resultados de manera grupal. 1.- Explica brevemente en qué consiste el método inductivo y da un ejemplo. 2.- ¿Cuántos cuadros tendrá la figura siguiente? ___________ 3.- Observa la situación siguiente y concluye cuantos apretones de mano se darán 7 personas? __________________________ 1 persona 2 personas 3 personas 4 personas 0 apretones de manos 1 apretones de manos 3 apretones de manos 6 apretones de manos 31 Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana Nombre ____________________________________________________ Grupo ________________________ Turno _____________________ Fecha _____________________________________________________ Instrumento de evaluación _____________________ Página _________ Escribe sobre la línea, las palabras: Línea horizontal, líneas paralelas, línea vertical, ángulo, plano y líneas perpendiculares; según lo indique cada una de las letras en la vivienda. a: ______________________ B: ______________________ D: _______________________ E: _____________________ C: ________________________ F: __________________________ a D F C B E 32 1.2. ÁNGULOS 1.2.1. Notación y clasificación Sesión 7 Aprendizajes a lograr Define y representa de forma simbólica y geométrica a los ángulos Diferencia con efectividad a los ángulos de acuerdo a su medida y comparación con otro. Nombra a los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una secante o transversal. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. En la vida cotidiana, estamos rodeados de figuras geométricas y muchas de ellas tienen como elementos a los ángulos. EJEMPLO. 33 Ejercicio no. 4 Individual Revisa la siguiente información referente a la definición, notación y clasificación de los ángulos y contesta la actividad al final de la lectura. Cuando dos rectas se cortan o intersectan, dividen al plano en cuatro regiones llamadas ángulos. En particular si nos referimos a uno de ellos, entonces un ángulo es el que se forma por dos semirrectas que parten del mismo punto. Las semirrectas reciben el nombre de lados del ángulo y el punto de partida se llama vértice. Lado Vértice Ángulo Lado En la notación de los ángulos se utiliza el símbolo precedido de una letra mayúscula que se coloca en el vértice; o tres letras mayúsculas cuidando que la que se encuentra en el vértice quede en medio de las otras dos; también se utiliza una letra minúscula o un número arábigo que se coloca dentro del ángulo.; la letra minúscula también puede ser una letra del alfabeto griego. A BAC ó CAB 34 a En base a su medida los ángulos reciben diferentes nombres Agudo menos de 90° menomenos Colineal o llano = 180° Recto 90°90 = Obtuso mayor 90° 90°90 90° Entrante o cóncavo mayor a 180° de Perígono o completo = 360° Actividad: Escribe el nombre correspondiente en torno su medida de cada uno de los ángulos identificados en la vivienda. A D E B C C = _______________ D = _______________ E = ______________ 35 Cuando un ángulo comparte elementos en común con otro, entonces estos ángulos reciben diferentes nombres dependiendo a la posición y amplitud de cada uno de ellos. Una recta que corta a dos rectas paralelas, forma con ella 8 ángulos. Por la posición que tiene cada uno de ellos reciben diferentes nombres. Los ángulos a y b b reciben el nombre de c ángulos externos f g a d e h Tarea de investigación no. 4 Investiga en qué consisten los ángulos adyacentes, consecutivos, opuestos por el vértice, complementarios, suplementarios, conjugados y los ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una secante o transversal y con ella resuelve el ejercicio No. 4 de la siguiente sesión. Grupo Ejercicio no. 2 Reúnete en pareja y tomando como referencia la tarea de investigación No. 4, realiza la siguiente actividad y compara tus respuestas ante el grupo. I.- Identifica los ángulos que correspondan en cada figura y escribe en la segunda columna el número o números que correspondan al tipo de ángulos de acuerdo a su definición. 1 a 3 2 b b a a b 36 6 5 a a 4 b b b c a ÁNGULOS FIGURA No. Complementarios Adyacente 2 y Suplementarios Consecutivos Conjugados Opuestos por el vértice 2.- Escribe en los espacios en blanco la palabra que concuerde con el enunciado. a) Son dos ángulos que sumados equivalen a 90° ________________________ b) Los ángulos ___________________________suman 360° c) Los ángulos________________________ son los que están formados de tal manera que un lado es común y los otros dos pertenecen a la misma recta. d) _____________________________tienen el mismo vértice y los lados de uno son las prolongaciones del otro además son iguales. e) Los ángulos_________________________ suman 180° f) Son aquellos que tiene un lado en común y el mismo vértice. ____________________ 37 3.- Identifica en la siguiente figura el nombre que corresponda a los siguientes b a c f g NOMBRE DEL ÁNGULO d e h LETRAS a Externos Internos e Alternos – externos a= g Alternos-internos Correspondientes c= e a= e 38 1.2.2. Sistemas de medición Aprendizajes a lograr Sesión 9 Identifica y diferencia las características propias de cada sistema de medición Realiza conversiones de la forma sexagesimal a decimal y viceversa. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Las unidades de medidas angulares más comunes son los grados sexagesimales y lo radianes. El sistema sexagesimal consiste en la división de la circunferencia en 360m partes iguales, una de esas partes corresponde a un grado 1°. A su vez cada grado se divide en 60 partes iguales llamadas minutos (´) y cada minuto en 60 partes iguales llamados segundos (”). Un ángulo que mida 23 grados con 15 minutos y 12 segundos se escribe como: 23° 15´12”. El sistema Circular: su unidad de medida es el radián (rad), consiste en la abertura de un ángulo cuyo vértice está en el centro de la circunferencia y sus lados cortan un arco cuya longitud es igual al radio de la misma. 39 Generalmente utilizamos medidas angulares como 23.42° la cual llamaremos forma común o decimal. Para expresarla a la forma sexagesimal, se multiplica la parte decimal por 60. (0.42°) x 60 =25.2´ entonces tenemos 25 minutos (25´) y la parte decimal (0.2´) x 60 = 12”. Por lo tanto la medida 23.42° = 23° 25´12”. EJEMPLO. Si se tiene un ángulo en forma sexagesimal 42° 25´ 42” para convertirlo a la forma común, dividimos 42”/60 = 0.7 y lo sumamos a los minutos 25´+ 0.7 = 25.7´ y dividimos de nuevo entre 60. 25.7´/60 = 0.428° y se lo sumamos a lo grados obteniendo 42.428° = 42° 25´42”. Ejercicio no. 5 Individual Realiza las siguientes conversiones como se te indica en cada parte. I. Convierte cada medida a la forma sexagesimal. a) 42.543° = _______________________ b) 56.5° = _______________________ c) 75.92° = _______________________ II. Convierte las siguientes medidas a la forma decimal. a) 45° 42´56” = _____________________ b) 79° 10´40” = _____________________ c) 210° 32´45” = ____________________ 40 1.2.3. Conversiones Aprendizajes a lograr Sesión 10 Conoce y aplica la equivalencia en la conversión de unidades angulares Realiza conversiones de grados a radianes y radianes a grados. Realiza conversiones entre el sistema de radianes a grados como múltiplos de Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. De acuerdo a definición del radián; hay 2 rad en la circunferencia, entonces como Consecuencia 2 rad = 360° ó Si EJEMPLO. rad = 180° rad = 180° ¿cuántos grados equivale 1 radián? Utilizando una regla de tres simple: 1 rad = 180/3.1416 = 57.29° = 57° 17´ 44” Para convertir 1.5 rad a grados solo se multiplica por 57.29° 1.5 (57.29°) = 85.935° Para convertir 200° a radianes solo se divide entre 57.29° 200°/57.29° = 3.49 rad 41 Ejercicio no. 6 Individual Realiza las siguientes conversiones como se te indica en cada parte y comparte tus respuestas ante el grupo. I. Utiliza la equivalencia 1rad = 57.29° y convierte las siguientes medidas a grados. a) 6 rad = __________________ b) 1.4 rad = __________________ c) 4.5 rad = __________________ II. Utiliza la equivalencia 1rad = 57.29° y convierte las siguientes medidas a radianes. d) 400° = ___________________ e) 160° = ___________________ f) 80° = __________________ 42 Sesión 11 Cuando la medida de un ángulo está como múltiplo de este valor por 180°. Si queremos convertir rad simplemente sustituimos radianes, se sustituye por 180° en este caso Otro caso Ejercicio no. 3 Grupo Reúnete en parejas y completa la tabla siguiente utilizando los ejemplos anteriores, posteriormente comparte tus respuestas ante el grupo Radianes Grados 30° 45° 90° 120° 43 180° 210° 270° 44 Tarea no. 1 Nombre _________________________________________________ Grupo ____________________ Turno ______________________ Fecha __________________________________________________ Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios: 1.- Al expresar en grados a a) 60° b) 170° se obtiene: c) 360° d) 270° e) 300° 2.- Expresar 3/2 radianes en grados, nos da como resultado: a) 100° b) 720° c) 270° d) 150° e) 60° 3.- Al cambiar 4π/5 a grados se obtiene como resultado: a) 144° b) 414° c) 414° d) 414° e) 144° Resultado ___________ Recomendaciones y observaciones _____________________________ ___________________________________________________________ __________________________________________________ ___________________________________________________________ 45 ___ 46 1.2.4 Teoremas Aprendizajes a lograr Sesión 12 Conoce los teoremas relacionados con ángulos Resuelve problemas donde aplica los distintos teoremas relacionados con los ángulos Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Teorema No.1 Dos ángulos adyacentes son suplementarios. EJEMPLO. Por definición dos ángulos son adyacentes si tienen el mismo vértice y tienen un lado en común, estando los lados no comunes sobre la misma recta. Teorema No.2: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. 47 En la figura se muestran dos ángulos adyacentes, determina el valor de x. Solución: Los ángulos 2x y x+60° son suplementarios, por lo tanto suman 180°; es decir tendremos la ecuación 2x +x + 60° = 180° Reduciendo los términos semejantes y transponiendo 60°; la ecuación se convierte en: 3x = 180°-60° =120°. resulta: Despejando el 3 X + 60° 2X x = 120°/3 = 40° Ejercicio no. 4 Grupo Reúnete en equipo de tres y determina el valor de la incógnita en cada uno de los siguientes ejercicios 2 1 x+30° x-20° 110° 48 76° Teorema No.3: Los ángulos consecutivos alrededor de una recta suman 180° Sesión 13 Teorema No.4: Los ángulos consecutivos alrededor de un punto suman 360° Solución: Los ángulos son consecutivos y por lo tanto la suma equivale 360°.de x, en la siguiente figura. Determina el avalor En este caso la suma de los ángulos se obtiene de la expresión: 2X X + 12° X - 6° 2x+ (x+12°) + (x-6°) + 110° =360°; reduciendo los términos semejantes y eliminando paréntesis se obtiene: 4x + 116° = 360°, despejando x se tiene: 49 110° Ejercicio no.5 no.11 Grupo Reúnete en equipo de tres y determina el valor de la incógnita en cada uno de los siguientes ejercicios 2 1 2x 77° x x+30° 70° 80° 2x+4° Procedimiento 50 Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana Nombre ____________________________________________________ Grupo ________________________ Turno _____________________ Fecha _____________________________________________________ Instrumento de evaluación _____________________ Página _________ Resuelva cada uno de los siguientes problemas: 1.- En la figura el ángulo que forma la escalera con la pared es de 43° 24´. Determina el a) 47° b) 147°36´ c) 46° 36´ d) 43° 36´ e) 47° 36´ 45” 2.- Un clavo se encuentra insertado justo en la parte superior de un neumático; ¿cuántos grados tiene que girar la rueda para que el neumático se encuentre justo entre el neumático y el suelo? a) 90° b) 360° c) 270° d) 45° 51 e) 180° Sesión 14 1.3 TRIÁNGULOS 1.3.1 Notación y clasificación El triángulo es una figura formada por tres lados y tres ángulos; sus propiedades y teoremas relacionados, son una pieza importante en la solución de problemas reales. Aprendizajes a lograr Conoce la diferentes formas de representarlos Define a los triángulos en base a la medida de sus lados y sus ángulos Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. EJEMPLO. Las propiedades de rigidez de los triángulos son de suma importancia en la construcción de estructuras por que le dan firmeza y estabilidad. 52 Tarea de investigación no. 5 Investiga el concepto de triángulos, la notación y su clasificación en términos de los lados y sus ángulos y resuelve el ejercicio No.8 Ejercicio no. 6 Grupo En base tarea de investigación No.5 de la Reúnete en equipos de tres integrantes y resuelve los siguientes ejercicios. I. Relaciona las dos columnas, escribiendo en el paréntesis de la columna de la izquierda la clave de la respuesta localizada en la columna de la derecha ( ( ( ( ) ) ) ) ( ) ( ) ( ) Es la figura formada por tres lados y tres ángulos Se le llama así al triángulo con tres lados iguales Es el nombre del triángulo con un ángulo recto. Nombre del triángulo con todos sus ángulos agudos. Nombre del triángulo con dos lados iguales y uno diferente. Nombre del triángulo con sus tres lados diferentes Nombre del triángulo con un ángulo obtuso y dos agudos. 53 SON BEU ROS OLD Escaleno Obtusángulo. Equilátero Isósceles WE Triángulo NAV Rectángulo HER Acutángulo S II. Escribe sobre la línea el nombre que corresponda a cada triángulo de acuerdo a su clasificación. 1.3.2. Rectas y puntos notables Aprendizajes a lograr Sesión 15 Nombre e identifique las rectas y puntos notables en el triángulo. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 54 Tarea de investigación no. 6 Investiga los conceptos relacionados con rectas y puntos notables en el triángulo y contesta de manera individual los ejercicios No. 9 EJEMPLO. En determinada región, existen varias comunidades que se vinculan a través del comercio. Si se quisiera construir un centro de salud que estuviera a la misma distancia de las tres comunidades marcadas en la figura; el circuncentro sería el más apropiado. Centro de Salud 55 Ejercicio no. 7 Grupo En base tarea de investigación No.5 de la Reúnete en equipos de tres integrantes y resuelve los ejercicios siguientes. I. Relaciona las dos columnas, escribiendo en el paréntesis de la columna de la izquierda la clave de la respuesta localizada en la columna de la derecha ( ) Semirrecta que pare del vértice y divide al ángulo en dos partes iguales SON Mediana ( ) Se le llama así al punto de intersección de las medianas del triángulo. JLF Incentro ( ) Nombre que recibe la línea que parte de uno de los vértices y es perpendicular al lado opuesto o a su prolongación. ENG Mediatriz ( ) Nombre del punto de intersección de las alturas del triángulo. ROG Ortocentro ( ) Se le llama así al la recta que es perpendicular a un lado del triángulo en su punto medio. BEU Baricentro ( ) Nombre que recibe el punto de intersección de las mediatrices. OLD Altura ( ) Recibe por nombre a la línea que parte del vértice y pasa por el punto medio del lado opuesto. TWN Bisectriz ( ) Es el punto de intersección de las bisectrices. MAR 56 Circuncentro II. Identifica en cada una de las siguientes figuras las rectas y puntos notables indicados. 57 Sesión 16 1.3.3. Teoremas Aprendizajes a lograr Conocer los teoremas relacionados con los ángulos en los triángulos. Aplicar los teoremas en la solución de problemas para determinar ángulos en los triángulos. Se conoce y valora así mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Teorema 1: La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180° Teorema 2: En un triángulo rectángulo, los ángulos agudos, son complementarios. Teorema 3: En todo triángulo, cualquier ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él. 58 Determinar el valor del a partir de los ángulos conocidos. EJEMPLO = 180° - (52.59°+30.04°) Solución: El = 180° - 82.63° = 97.37° Ejercicio no. 8 Grupo Reúnete en equipos de tres y determina el valor del ángulo A en cada uno de los siguientes triángulos 53° 125° 63° 2x x ABC Isósceles 59 Teorema de Pitágoras: “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos” Sesión 17 En la figura los lados a y b se llaman catetos y c es la hipotenusa. En el triángulo los lados a y b se llaman catetos y el lado c se llama hipotenusa c2 = a2 + b2 Algebraicamente se expresa por la fórmula EJEMPLO c 3 Determinar el valor de la hipotenusa a partir de los catetos conocidos en el triángulo Solución: Despejando c de la fórmula se tiene la expresión ; sustituyendo los valores de a y b en la formula Se tiene 4 La hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo son 15 y 9 respectivamente. Determinar la medida del otro cateto. En esta caso el valor de c = 15 y uno de los catetos es 9. Consideremos en este caso el cateto a = 9. De la expresión c2 = a2 + b2 despejamos la letra b, pasando el término a2 al miembro contrario; en este caso obtenemos b2 = c2-a2. 60 Por último despejamos el exponente y tenemos la expresión: Sustituyendo los valores de c y a respectivamente obtenemos el valor de b como se indica a continuación. En el caso que se hubiera tomado el valor de b; el cateto a quedaría determinado por: Ejercicio no. 9 Grupo Reúnete en parejas y determina el valor de lado desconocido en cada uno de los siguientes casos 1.- Determina el valor de la hipotenusa si los catetos de un triángulo rectángulo son: a= 6 y b= 8 2.- Determina el valor del cateto a partir de los datos que se te indican si la hipotenusa es c = 13 y uno de los catetos vale 6 61 3.- Determina el valor de x en la figura en cada una de la siguiente figura. 12 12 x 18 Ejercicio no. 7 Individual Realiza las siguientes conversiones como se te indica en cada parte y comparte tus respuestas ante el grupo. 1. Determina el valor de la hipotenusa si los catetos de un triángulo rectángulo son: a= 7 y b=7 2. Determina el valor del cateto a si la hipotenusa c= 34 y el cateto b = 15 3. Determina el valor de x en la figura. x 6 18 62 Tarea no. 2 Nombre _________________________________________________ Grupo ____________________ Turno ______________________ Fecha __________________________________________________ INSTRUCCIONES: Resolver cada uno de los siguientes problemas, aplicando el teorema de Pitágoras. 1.- Calcular la base del triángulo rectángulo que tiene como hipotenusa 5 y como altura 4. a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 1 2.- ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de 5m por lado? a) 7 m b) 5.72m c) 7.07m d) 25m e) 6.17 m 3.- ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado cuya diagonal mide 8m? a) 6.55 m b) 5.65 d) 7.35 m d) 5.56m e) 5.75 m Resultado ___________ Recomendaciones y observaciones _____________________________ _______________________________________________________________ ______________________________________________ 63 ______________________________________________________________ 64 Sesión 18 Semejanza de triángulos Definición: En general decimos que dos figuras son semejantes, cuando tiene la misma forma pero diferente tamaño. En particular, la semejanza de triángulos se da en los siguientes casos: Cuando sus ángulos correspondientes son respectivamente iguales Cuando sus lados correspondientes son respectivamente proporcionales En ambos casos una condición implica la otra. El triángulo ABC es semejante al triángulo A´B´C´ y se escribe ABC En este caso los él A= A´ , B= B´ y C= A´B´C´ C´ La proporcionalidad de los lados correspondientes está dada por la expresión: EJEMPLO. Los triángulos mostrados a continuación, semejantes. Determina el lado faltante. Solución: Como los triángulos son semejantes, los lados correspondientes son proporcionales; es decir: ; despejando el valor de x se tiene: 65 son Otro ejemplo: Supongamos que un árbol, proyecta una sombra de 25 m. en el suelo; en ese mismo instante, una estaca de 1.2 m. de altura, proyecta una sombre de 2 m. Como se muestra en la figura, determinar la altura del árbol. Solución: Como los rayos solares son paralelos, los triángulos que se forman por los objetos y las sombras en el suelo son semejantes. En este caso: ; despejando h y sustituyendo Algebraicamente equivale a la expresión: valores: Ejercicio no.10 Grupo Reúnete en equipos de tres y resuelve cada uno de los siguientes ejercicios; posteriormente comenta con el grupo tus respuestas 1.- Determinar el valor del segmento CD de la figura mostrada a continuación. a) 9 b) 4 c) ½ d) 2 e) 1.4 66 2.- En la figura DE 4 CD 5 y BC 9 . Determina el valor de x a) 7.2 b) 11.25 c) 1.8 d) 2.25 e) 4.21 3.- Un poste de la luz proyecta una sombra de 5.8 m en el suelo; en el mismo instante que una persona de 1.8 m de altura proyecta una sombra de 1.2 m. Determine la altura del poste. a) 3.8 m b) 8.7 m c) 9.6m d) 6.5 m 67 e) 10.2 Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana Nombre ____________________________________________________ Grupo ________________________ Turno _____________________ Fecha _____________________________________________________ Instrumento de evaluación _____________________ Página _________ Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios. 1.- Se cuenta que con una escalera de 25 m y se desea subir al extremo de una torre de 10 m de altura ¿A qué distancia se necesita colocar la base de la escalera para que el otro extremo coincida con la punta de la torre? a) 13.32 m b) 15.33 m c) 22.91 m d) 16.92 m e) 23.54m 2.- Una montaña proyecta una sombra de 536 m sobre el suelo, en el momento que un poste de un cerco que tiene 2.3 m de altura proyecta una sombra de 1.4 m. ¿Qué altura tiene la montaña? a) 789.2m b) 912.4m c) 880.5 m d) 1021.3 m e) 643.2 m 68 Autoevaluación Nombre _________________________________________________ Grupo _________________________ Turno __________________ Fecha __________________________________________________ Instrucciones: Subraya la respuesta correcta en cada caso: 1.- Rama de las matemáticas que se encarga del estudio de las figuras y sus propiedades. a) Álgebra b) Trigonometría c) Geometría d) Cálculo e) Aritmética 2.- Personaje que organizó la geometría y le dio carácter de ciencia. a) Euclides b) Platón c) Tales de Mileto d) Pitágoras e) Aristóteles 3.- Es una línea recta que tiene un punto inicial y no tiene punto final a) Quebrada b) Segmento c) Curva d) Semirrecta e) Mixta 4.- Nombre del triángulo que tiene todos sus ángulos agudos. a) Obtusángulo b) Isósceles c) Rectángulo d) Acutángulo e) Oblicuo 5.- Es una semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales. a) Mediatriz b) Bisectriz c) Altura 69 d) Paralela e) Mediana 6.- Ángulo que mide 90° a) Recto b) Agudo c) Llano d) Entrante e) Adyacente 7.- Nombre que recibe el método que parte de casos particulares para llegar a conclusiones que generalizan una situación determinada. a) Inductivo b) Deductivo c) Científico d) Empírico e) Experimental 8.- Dos ángulos que suman 90° ¿se llaman? a) Rectos b) suplementarios c) Congruentes d) Complementarios e) Conjugados 9.- ¿A cuál de las siguientes opciones? Corresponde el uso del símbolo AB a) Semirrecta b) Segmento de recta c) Ángulo d) Recta e) Triangulo 10.- En la figura siguiente que letras representarían a dos ángulos correspondientes a) a y h b) c y d c) e y d d) b y h e) f y g 11.- De acuerdo a la figura ¿cuál de los siguientes valores correspondería al valor de x? a) 9.16 b) 6 c) 12.80 d) 10.77 e) 8.32 70 12.- ¿Cuál de los siguientes valores correspondería al valor que x representa en la figura? a) 9 b) 7.8 c) 10 d) 21.54 e) 14 13.- Determinar el valor del segmento CD de la figura mostrada a continuación. a) 9 b) 4 c) ½ d) 2 e) 6 14.- En la figura, los triángulos ECD es semejante al triángulo ABC ; y . Determina el valor de x , a) 7.2 b) 11.25 c) 1.8 d) 2.25 e) 3.25 15.- Históricamente fue en esa cultura donde inician los primeros trabajos empíricos de la geometría, debido a las inundaciones del Rio Nilo. a) Grecia b) Arabia c) Egipto d) Mesopotamia 71 Babilonia INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN Evaluación del desempeño (ejercicios) En equipo No. Indicador 1 Cumplió Sí No Se integró al equipo. Mostró interés por el tema. 3 Mostró conocer los conceptos que utilizó 4 Mostró habilidad para responder a los ejercicios 5 Aplicó correctamente el procedimiento Calificación de esta evaluación Ejecución Ponderación 0.4 2 Observaciones Calif. 0.4 0.4 0.43 0.43 2.06 Individual No. 1 Indicador Cumplió Sí No Ejecución Ponderación Mostró interés por el tema. Observaciones Calif. 0.5 2 Mostró conocer los conceptos que utilizó 3 Mostró habilidad para responder a los ejercicios 4 Aplicó correctamente el procedimiento Calificación de esta evaluación 0.5 0.53 0.53 2.06 Tabla de ponderación 1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación 72 Evaluación de productos (tareas y ejercicios aplicados a la vida cotidiana): No. Indicador Cumplió Sí No Ejecución Ponderación 1 Resolvió el total de los ejercicios 2 Resolvió correctamente los ejercicios 3 Entregó en tiempo y forma indicada los ejercicios. 4 Realizó correctamente las operaciones. Calificación de esta evaluación Observaciones Calif. 0.3 0.4 0.3 0.36 1.36 Tabla de ponderación 1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación Evaluación de Productos (investigaciones): No. Indicador Cumplió Sí No Entregó en tiempo y forma 2 La información fue clara y acorde al tema 3 Presentación del trabajo Calificación de esta evaluación Ejecución Ponderación 1 1 = sí cumplió Observaciones Calif. 0.36 0.5 0.5 1.36 Tabla de ponderación 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación 73 74 Unidad II POLÍGONOS, CIRCUNFERENCIA Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 75 COMPETENCIAS Al término de esta unidad, el alumno: Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Temario 2.1. POLÍGONOS 2.1.1. Notación y clasificación 2.1.2. Ángulos interiores y exteriores 2.1.3. Diagonales 2.1.4. Perímetros y áreas 2.1.5. Teoremas 2.2. CIRCUNFERENCIA 2.2.1. Elementos 2.2.2. Ángulos en la circunferencia 2.2.3. Área del círculo 2.2.4. Perímetro 2.2.5. Áreas de figuras circulares 2.2.6. Teoremas 2.3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 2.3.1. Relaciones trigonométricas 2.3.2. Funciones en el triángulo rectángulo 3.3.3. Funciones en el plano cartesiano 3.3.4. Funciones en el círculo unitario 3.3.5. Resolución de triángulos rectángulos 76 Evaluación diagnóstica A continuación se te presentan una serie de preguntas de opción múltiple relacionadas con los temas de la unidad II, los cuales profundizarás con más detalle a lo largo a las actividades del cuaderno de trabajo. Esfuérzate por contestarlas subrayando la respuesta correcta. Las respuestas podrás encontrarlas al final del cuaderno de trabajo. 1. a) b) c) ¿Un rectángulo es? Regular Irregular Cóncavo 2. a) b) c) Un rectángulo 72 m2 de área y 18 m de base ¿Cuánto mide de altura? 6m 4m d) 2 m 9m e) 7 m d) Complejo e) Equilátero 3. En una circunferencia: el ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia y está formado por dos cuerdas, se llama a) Ángulo central d) Ángulo interior b) Ángulo exterior e) Ángulo semi inscrito c) Ángulo inscrito 4. ¿Cuál es el área de la región sombreada? a) b) c) d) e) 7.14 m2 0.86 m2 12.57 m2 1.27 m2 8.57 m2 5. Si en un hexágono se trazan diagonales desde uno de sus vértices ¿cuántas diagonales se obtienen? a) 6 e) 3 m b) 12 c) 36 d) 2 m 77 6. Calcula el perímetro de una circunferencia que mide 5 m de diámetro a) b) c) d) e) 15.71 m 78.54 m 7.85 m 25 m 31.42 m 7. Las ruedas de un coche tienen 70 cm de diámetro. Calcula cuantas vueltas dan en un viaje de 80 Km de distancia. a) 57, 123.12545 b) 78, 425.56242 c) 36, 378.27271 8. a) b) c) Halla el valor numérico de 2 5.71 7.854 6.223 d) 32, 814.13985 e) 23, 356.28739 sen 20° cos 70°. d) 3.281 e) 0.233 9. Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo si sus catetos miden a = 6m y b = 8 m. a) 48 m d) 24 m b) 10 m e) 5 m c) 4 m 10. Dada Tan A = 2/5 halla el valor de Cot A a) Cot A = 4/7 b) Cot A = 5/2 c) Cot A = 3/7 11. Halla el valor de Sen 10° a) Sen 90° b) Cot 10° c) Cos 80° 78 d) Cot A = 2/6 e) Cot A = 7/4 Sesión 19 2.1. POLÍGONOS 2.1.1. Notación y clasificación Aprendizajes a lograr Define un polígono. Clasifica los polígonos de acuerdo al número de lados. Identifica propiedades generales de los polígonos. Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Comunícate en forma oral y escrita. En este nuevo tema se abordará una clasificación de los polígonos regulares e irregulares. Se identifican sus respectivas propiedades que se aplican en su búsqueda de dimensiones. Se obtiene el perímetro y área correspondiente. Como podrás recordar la Geometría Plana es una parte de la geometría elemental que trata de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano, es decir, estudia las propiedades de superficies y figuras planas, como el triángulo o el circulo. Los ejercicios que se involucran en esta actividad te ayudarán a entender dichas propiedades y aplicarlas en el mundo que te rodea. ¡Ánimo! Y a cumplir con las actividades, recuerda que la fórmula del triunfador, en cualquier actividad de la vida, es: Optimismo + Atención + Dedicación = ÉXITO. Polígono: Es una figura plana delimitada por una poligonal cerrada donde los segmentos son los lados del polígono y los puntos de intersección de los segmentos son los vértices del polígono. La palabra polígono viene del griego polígono. De polys que significa muchos y de gonia que significa ángulos. Digamos que la "traducción" más precisa de la palabra polígono sería "figura que tiene muchos ángulos". Para nombrar los polígonos se nombran sus vértices en forma ordenada según el giro de las manecillas del reloj, o bien, en sentido contrario. Otra forma de nombrar a los polígonos es con la abreviación Poly seguido de un número. EJEMPLO Polígono ABCDEFA, ó Polígono AFEDCBA 79 Poly1 Tarea de investigación no. 1 Los polígonos se clasifican según el cuadro sinóptico adjunto. Investiga y anota en tu cuaderno cada una de las subclasificaciones que se te presentan. Esta actividad será evaluada por la lista de cotejo que se encuentra en la página 135. Polígono regular. Polígono convexo: Polígono irregular. Polígono simple: Polígono cóncavo: Polígono Polígono complejo 80 Ejercicio no. 1 Grupo Reúnete en pareja y clasifica el polígono de acuerdo a los lados que tenga. Esta actividad se trabajará en tu cuaderno y evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 131. Número de lados 3 Polígono Triángulo 4 5 6 7 Heptágono 8 9 10 15 16 Hexadecágono 20 81 Ejercicio no. 2 Grupo Reúnete en pareja y identifica las propiedades generales de cada polígono y clasifícalo de acuerdo al cuadro sinóptico dado. Para lograrlo puedes tomar como referencia la investigación de la sesión anterior y el ejemplo dado en la primera columna. Esta actividad se trabajará en tu cuaderno y evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 131. Polígono: Simple Complejo Cóncavo Convexo Equilátero Equiángulo Regular Irregular 82 2.1.2. Ángulos interiores y exteriores Sesión 20 Aprendizajes a lograr Define los ángulos interiores y exteriores de polígonos Identifica los ángulos interiores y exteriores en los polígonos Calcula la medida de ángulos interiores y exteriores en los polígonos. Identifica las relaciones referentes a los ángulos de los polígonos. Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Comunícate en forma oral y escrita. Los ángulos internos o interiores de un polígono están formados por cada dos lados consecutivos, mientras que los ángulos exteriores o externos de un polígono, son ángulos adyacentes a los interiores, obtenidos al prolongar los lados en un mismo sentido. Ángulos interiores: α, β, ε, δ, γ Ángulos exteriores: ζ, ε, δ, κ, I La suma de los ángulos exteriores de un polígono de n-lados es de 360°, así que... ... para un polígono regular (todos sus ángulos son iguales), cada uno mide 360°/n Por otro lado, recuerda que al abordar el tema de triángulos concluimos que: “Los ángulos interiores de un triángulo suman 180° “. Por otro lado, sabemos que los cuadriláteros se pueden dividir dos triángulos, de lo cual podemos deducir que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero (cuadrado, rectángulo, paralelogramo, etc.), es 2×180º = 360º. 83 Y si es regular, cada uno mide 360° / 4 = 90° EJEMPLO ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un pentágono?. Si el polígono es regular ¿cuánto mide cada ángulo interior? Respuesta: Sabemos que los pentágonos tienen 5 lados, y se puede dividir en tres triángulos, así que... ... sus ángulos interiores suman 3 × 180° = 540°. Pentágono irregular Pentágono regular Si es regular (todos los ángulos son iguales), cada uno mide 540° / 5 = 108° 84 Ejercicio no. 3 Grupo Organizados en equipos de tres, complementar las tablas adjuntas. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 131. Si es regular... Figura Lados Suma de los ángulos interiores Triángulo 3 180° Cuadrilátero 4 Pentágono 5 Cada ángulo Forma 60° 90° 540° 108° Hexágono Heptágono Octágono … … Polígono lados de … … … nSi es regular... Figura Lados Suma de los ángulos exteriores Forma Cada ángulo exterior Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono … … … Polígono de n- lados 85 … … 2.1.3. Diagonales Sesión 21 Aprendizajes a lograr Define y diferenciará una diagonal Calcula el número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice en polígonos. Calcula el número total de diagonales que pueden trazarse en un polígono Comunícate en forma oral y escrita. Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Cuando vas adquirir un computadora, laptop o televisor es importante que analices sus características para que elijas la mejor opción, una de las características más comunes en estos productos es la medida de la pantalla, así por ejemplo decir que tiene monitor o pantalla de 10.1” ó 22”, significa que la medida se toma de la siguiente manera: Laptop con Monitor de 10.1” T.V. con pantalla de 22” …de igual forma los polígonos también tienen diagonales 86 Diagonales de un polígono “Diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos” Una de las diagonales de un pentágono sería: EJEMPLO Por otro lado, observa que el número total de diagonales del pentágono es igual a cinco. Observa cómo se traza cada una de éstas paso a paso: De igual forma puedes calcular el número total de diagonales de cualquier polígono. Grupo Ejercicio no. 4 Grupo Organizados en parejas completar la tabla adjunta. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 131. Polígono No. de lados Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono 87 No. de diagonales Octágono Eneágono Decágono … … … Polígono de n- lados Un razonamiento más sencillo para determinar el número de diagonales de un polígono cualquiera es el siguiente: Supongamos que tenemos un polígono de n lados (n vértices), de cada vértice salen n-3 diagonales, ya que a él mismo y a los dos contiguos no hay diagonal. Tenemos entonces, n vértices por (n-3) diagonales de cada vértice. Con esta cuenta cada diagonal la contamos dos veces, entonces debemos dividir entre dos. Por tanto un polígono de n lados tiene dn= n.(n-3)/2 diagonales. Puedes hacer el cálculo con la expresión que se ha deducido en el ejercicio 4 ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 20 lados? 88 2.1.4. Perímetros y áreas. Sesión 22 Aprendizajes a lograr Calcula perímetros y áreas de polígonos, mediante la aplicación y el análisis de teoremas de perímetros y áreas de figuras geométrica conocidas. Diferencia el perímetro y el área de un polígono. Comunícate en forma oral y escrita. El perímetro y área de los triángulos ya ha sido tratado, por lo que ahora se verá lo relacionado con el perímetro y área de algunos cuadriláteros en particular y de los polígonos regulares en general. Perímetro: Se le llama así a la longitud del contorno de una figura geométrica plana y cerrada. Superficie: Se llama así a la porción del plano limitada por un perímetro de acuerdo a la forma de la superficie, recibe el nombre de superficie triangular, cuadrada, rectangular, etc. Área: Es la medida de la superficie. El área se refiere al tamaño, en unidades de área. Como se observa a continuación, se dan las fórmulas necesarias para hacer los cálculos directamente y no se dice como se llago a ellas. Se debe aquí, en muchos casos, la obtención de la fórmula es complicada y requiere de conocimientos que se adquirirán en cursos más avanzados de matemáticas. De momento, lo importante es aplicar correctamente la fórmula y, de ser necesario, efectuar correctamente el despeje de la fórmula. Perímetros y áreas de los polígonos Nombre Triángulo Dibujo Perímetro rea P = Suma de los lados P=b+c+d p = semi perímero 89 P=4·a Cuadrado P = 2(b + a) Rectángulo A=b·a P=4·a Rombo P = 2(b + c) Romboide A=b·a Trapecio A = Suma de las áreas de los dos triángulos Trapezoide Área de un polígono regular En un polígono regular, si de su centro se trazan segmentos a cada uno de sus vértices, se forman tantos triángulos iguales como lados tenga el polígono. El área del polígono regular será igual al área de un triángulo multiplicada por el número de triángulos. Si el lado del polígono es es: l y la altura de cada triángulo es a (apotema del polígono), el área Si el polígono tiene n lados se forman n triángulos, entonces: 90 Como es el perímetro P del polígono, el área de éste es: , o bien, (Fórmula) “El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto que resulta de multiplicar su perímetro por su apotema” Nombre Dibujo Perímetro Área Polígono regular Calcular el área de un rombo cuyas diagonales miden 12 cm y 8.5 cm. Datos Fórmula EJEMPLO d1 = 12 cm d2 = 8.5 cm . 91 Sustitución Resultado Ejercicio no. 1 Individual De forma individual determina el perímetro y el área de los siguientes polígonos. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 134. 1. Calcular el área de un romboide de 173 cm de base y 216 cm de altura 2. Calcular el perímetro de un trapecio cuyos lados miden 13cm, 5cm, 8cm y 6 cm. 3. Calcular la medida del lado de un cuadrado que tiene perímetro 15 m. 4. El área de un rombo es de 22.5 m2 y una de sus diagonales mide 9 m. Calcular la longitud de la otra diagonal. 5. El área de un trapecio es de 562.5 m2 y las bases miden 28m y 17m. Calcular la altura. 6. El área de un trapecio es 35 m2, su base mayor mide 28 m y su altura mide 1.55 m. Calcular la base menor. 7. Cada una de las figuras siguientes (no están necesariamente a escala) tienen el perímetro que se indica. Encuentre el valor de x. a). P = 58 b). P = 42 92 C). P = 38 2.1.5. Teoremas Sesión 23 Aprendizajes a lograr Mediante la aplicación y el análisis de teoremas, calcula la medida de ángulos interiores y exteriores de cualquier polígono regular. Mediante la aplicación y el análisis de teoremas, calcula el número de diagonales de polígonos regulares. Comunícate en forma escrita. Los ángulos interiores y exteriores, el número de diagonales que se le pueden trazar desde un vértice y el número total de diagonales en los polígonos ya ha sido tratado, por lo que ahora se verán las generalidades en los polígonos en general. Generalidades en un polígono de “n” lados: 1. Número de diagonales desde un vértice (d) Si “n” es el número de lados de un polígono, d es el total de diagonales que se pueden trazar desde uno de sus vértices del polígono, entonces: d= n - 3 2. Número total de diagonales (D) Si “n” es el número de lados de un polígono y D es el total de diagonales que se pueden trazar desde todos los vértices del polígono, entonces: D= ½ n(n – 3) EJEMPLO Dado un polígono regular de ocho lados (octágono), calcular: a) El número de diagonales que se pueden trazar desde uno de los vértices. b) El número total de diagonales. Solución: d = n – 3= 8 – 3 = 5 D = ½ n(n – 3) = (½) (8) (8-3)= 20 93 3. Medida de un ángulo interior (i) Si “n” es el número de lados de un polígono regular, e i es la medida de cada uno de los ángulos internos, entonces: i= 180°(n – 2) / n 4. Suma de los ángulos interiores (Si) Si “n” es el número de lados de un polígono y Si es la suma de las medidas de sus ángulos internos, entonces: Si= 180°(n – 2) La suma de los ángulos de un triángulo es 180º y de un cuadrilátero es 360º. 5. Medida de un ángulo exterior (e) Si “n” es el número de lados de un polígono regular, entonces la medida de cada ángulo exterior es: e = 360° /(Se) n 6. Suma de los ángulos exteriores Si “n” es el número de lados de un polígono, entonces la suma de los ángulos exteriores es siempre 360°: Se= 360° POLÍGONO Triángulo Cuadrilátero Pentágono n 3 4 5 SUMA ÁNGULOS 180 180·2 = 360 180·3=540 Polígono n 180·(n-2) La suma de los ángulos de un polígono de n lados es 180·(n-2) ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un este polígono? 94 Ejercicio no. 2 Individual De forma individual determina lo que se te indica en cada ejercicio. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 131. 1. ¿Cuál es el número de diagonales que, desde un vértice, se pueden trazar en un dodecágono? 2. ¿Cuál es el polígono cuyos ángulos interiores suman 1260°? 3. ¿Cuántos lados tendrá un polígono regular, si sabemos que cada ángulo interior mide 140°? 4. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un heptágono? 5. ¿Cuál es la medida de cada ángulo exterior de un polígono regular de 15 lados? Polígono Regular Número de lados n Triángulo Equilátero 3 Cuadrado 4 Pentágono Reg. Hexágono Reg. Heptágono Reg. Octógono Reg. Eneágono Reg. Decágono Reg. Undecágono Reg. Dodecágono Reg. 5 6 Ángulo Interior Divisor de 360 180 - 360/n 60º Indica si el ángulo interior es divisor de 360º. 95 SI Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana Nombre ____________________________________________________ Grupo ________________________ Turno _____________________ Fecha _____________________________________________________ Instrumento de evaluación _____________________ Página _________ INSTRUCCIONES: Resuelve de forma individual determina el perímetro y el área de los siguientes polígonos 1. Se quiere vallar una propiedad cuyo terreno es de forma de polígono regular. Si se sabe que la longitud de cada lado del terreno mide 150m y que la suma de los ángulos interiores es de 900º. ¿Cuántos metros de valla se necesitan? 2. Se quiere vallar una propiedad cuyo terreno es de forma de polígono regular. Si se sabe que cada ángulo interior del terreno regular mide 140º. ¿Cuántos lados tiene? 3. Si los ángulos interiores de un terreno de forma de polígono regular mide 90° y de lado mide 200m. ¿Cuántos metros de tela se necesitan para cercarlo? 4. Si los ángulos exteriores de un terreno de forma de polígono regular mide 40° y de lado mide 250m. ¿Cuántos lados tiene dicho terreno? Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 132. 96 2.2. Sesión 24 CIRCUNFERENCIA 2.2.1. Elementos Aprendizajes a lograr Define una circunferencia. Diferencia el círculo de la circunferencia. Diferencia el semicírculo del círculo Diferencia la semicircunferencia de la circunferencia Identifica los elementos de una circunferencia. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Comunícate en forma oral y escrita. La naturaleza ofrece múltiples ejemplos de círculos y circunferencias. La sección transversal de la tierra es circular, un corte transversal a un tallo también es circular. Se puede observar la gran variedad de aplicaciones que tienen los objetos circulares: Una llanta de un automóvil, en los componentes de un reloj se encuentran bastantes piezas circulares; podría enumerarse una infinidad de objetos de forma circular. Es común que se utilicen circunferencia y círculo como sinónimos, sin embargo, aun cuando estos conceptos están estrechamente vinculados, tienen significados que es preciso distinguir para poder aplicarlos correctamente. Para partir con este amplio e importante tema, primero aclararemos que es la circunferencia: CIRCUNFERENCIA: La circunferencia es una curva plana, cerrada, cuyos puntos equidistan de un punto fijo e interior llamado centro, es decir, es la línea curva cerrada y plana cuyos puntos están a la misma distancia (radio) de un punto (centro). SEMI-CIRCUNFERENCIA: Es un arco de longitud igual a la mitad de la circunferencia CÍRCULO: La superficie limitada por la circunferencia, es decir, la parte interior, es el círculo. SEMI-CÍRCULO: Es la región del plano comprendida entre un diámetro y la semicircunferencia correspondiente. Circunferencia círculo semi-circunferencia 97 semi- círculo Principales elementos de las circunferencias: Radio: Es el segmento de recta que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Es decir, es el segmento que tiene por extremos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro es de longitud dos veces el radio. D = 2R La longitud de la circunferencia dividida entre la longitud del diámetro es una constante que se llama Cuerda: Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia. Arco: Es una parte de la circunferencia. El símbolo se lee: “arco AB” Tangente: Es la recta que toca a la circunferencia en un punto. El punto único se llama punto de tangencia o punto de contacto. Secante: Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos (partes). El centro y el radio son los elementos característicos de la circunferencia y del círculo. 98 Ejercicio no. 3 Individual De forma individual responde lo que se te indica en cada problema. En una discusión grupal dirigida por tu profesor compara tus repuestas con el resto del grupo. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 131. 1. Dar el nombre que corresponde a cada uno de los puntos y/o rectas que se te indica AB: ______________ CD: ______________ EF: ______________ GH: ______________ OI: _______________ O: _______________ 2. En la circunferencia siguiente de centro O: P: _______________ Nombra 3 cuerdas ______________________________ : ______________ Nombra 4 radios ________________________________ Nombra la cuerda mayor _________________________ ¿Qué arco subtiende el ángulo DOC? _______________ ¿Qué arco subtiende el ángulo CAB? _______________ 99 Tarea no. 1 Individual ¿Qué arco es subtendido por el ángulo AOB? ___________________________________ Nombre: _________________________________________________ Grupo: ____________________ Turno: ______________________ Fecha: __________________________________________________ INSTRUCCIONES: Con la ayuda de un compás y un transportador realiza en tu cuaderno de apuntes y en forma individual, las actividades que se proponen a continuación: Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 132. I. Trazar dos circunferencias de 2 cm y de 3 cm de radio cada una, y en ellas dibújese los elementos solicitados: a) un diámetro b) una tangente c) una cuerda de 1.5 cm d) una cuerda que subtienda un arco de 120º y otra que subtienda un arco de 45º e) Inscribir un cuadrado f) Inscribir un hexágono en una de las circunferencias y circunscribir otro en la segunda circunferencia. Resultado ___________ Recomendaciones y observaciones _____________________________ ___________________________________________________________ __________________________________________________ 100 ___________________________________________________________ ___ 2.2.2. Ángulos en la circunferencia Aprendizajes a lograr Diferencia los diferentes ángulos en la circunferencia. Formula y resolver problemas. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Comunícate en forma oral y escrita. Principales ángulos de la circunferencia: A). Ángulo central: Sus lados son dos radios. Su vértice es el centro de la circunferencia. B). Ángulo inscrito: Sus lados son cuerdas. Su vértice es un punto de la circunferencia. C). Ángulo interior: Sus lados son dos cuerdas que se cortan. Su vértice es un punto dentro la circunferencia. D). Ángulo exterior: Sus lados pueden ser dos secantes; una secante y una tangente o dos tangentes que se cortan en un punto fuera del círculo. Su vértice es un punto fuera de la circunferencia. E). Ángulo semiinscrito: Sus lados son una tangente y una cuerda. Su vértice es un punto de la circunferencia. 101 Sesión 25 Los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales. La medida del ángulo inscrito es la mitad del ángulo central correspondiente. El ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. Grupal Ejercicio no. 5 I. Grupo Organizados en parejas identificar los ángulos que se te indican. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 131. Dada la circunferencia siguiente identificar los ángulos que se te indican 1. ¿Cuál de las siguientes opciones representa un ángulo central? a) <JKN b) <OLM c) <OML d) <KNO e) <JON 2. ¿Cuál de las siguientes opciones representa un ángulo inscrito? b) <JKN b) <OLM c) <OML d) <LOM e) <JON 102 3. ¿Cuántos ángulos inscritos hay en la figura? c) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) más de 5 4. ¿Cuántos ángulos centrales hay en la figura? d) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) más de 5 II. En la circunferencia siguiente de centro O: Nombra 4 ángulos del centro ________________________________________________ Nombra dos ángulos inscritos ________________________________________________ Nombra dos ángulos que subtienden el arco BC _________________________________ III. Un ángulo central mide 80° ¿Cuánto mide el ángulo inscrito que comprende el mismo arco? a) 80° b) 40° c) 160° d) Todos los ángulos inscritos miden 90° 103 Sesión 26 2.2.3. Área del círculo Aprendizajes a lograr Calcula el área del círculo a partir de datos dados. Formula y resolver problemas. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Comunícate en forma oral y escrita. Las fórmulas para encontrar el área del círculo son: Calcular el área del círculo que mide: EJEMPLO a) 3 m de radio. b) 1.5 m de diámetro. Solución: a). b). El área de un círculo es igual al valor de su radio elevado al cuadrado multiplicado por . 104 Grupal Ejercicio no. 6 Grupo Organizados en parejas resuelve en tu cuaderno de apuntes los siguientes ejercicios. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 134. 1. Calcular el área de un círculo que mide: a) 2.5 m de radio.________ b) 7.5 cm de diámetro.____ c) 1.75 km de radio.______ 2. a) b) c) d) Dado un círculo que tiene un área de: 12.5664 m2, hallar el radio._________ 0.7854 m2, hallar el diámetro._______ 324π, hallar el diámetro.__________ 25π, hallar el radio.______________ 2.2.4. Perímetro Aprendizajes a lograr Sesión 27 Calcula el perímetro del círculo. Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Comunícate en forma oral y escrita. Longitud de la circunferencia Sabías que: Una rueda, al dar una vuelta completa, describe una trayectoria cuya longitud es el perímetro de la circunferencia de la rueda. 105 A trabajar 1. Dibuja una línea de dos centímetros. 2. Abre tu compás con esa medida. 3. Dibuja una circunferencia, en un papel, utilizando esa medida, que será de radio 2 centímetros y por lo tanto 4 centímetros de diámetro. 4. Recorta la circunferencia. 5. Coloca una lana o pitilla pegada sobre el molde de la circunferencia. 6. Mide la extensión de la lana utilizada con una regla, la medida corresponde al perímetro de la figura. 7. Luego dibuja y recorta circunferencias (perímetro del círculo) con las siguientes medidas a) 6 cm. de diámetro (radio 3 cm.) b) 8 cm. de diámetro (radio 4 cm.) c) 10 cm. de diámetro (radio 5 cm.) d) 12 cm. de diámetro (radio 6 cm.) 8. Mide la longitud de la circunferencia o perímetro del círculo 9. Completa la tabla con las medidas obtenidas. Perímetro encontrado Diámetro de la Cociente entre el perímetro y el diámetro: P/d circunferencia 4 cm. 6 cm. 8 cm. 10 cm. 12 cm. Te darás cuenta que el cociente entre el perímetro y el diámetro de la circunferencia es un valor que es independiente del tamaño de la circunferencia. 106 El cociente es constante y corresponde aproximadamente a 3,141592653589793....... veces en la longitud de la circunferencia. A este número se le llama con la letra griega pi. ( ) Así, Diámetro = AB = AC =CD = DE Radio = OA = O1G Concluimos entonces que el perímetro de un círculo es una circunferencia y su ecuación es: o donde: P es el perímetro es la constante matemática pi (π = 3.14159265...) es el radio es el diámetro del círculo La longitud de una circunferencia es igual al valor de su diámetro multiplicado por 107 EJEMPLOS 1. Calcular el perímetro de la circunferencia que tiene por diámetro 12 cm. Solución: = (12 cm) (π)=37.699 cm 2. Calcular el perímetro de la circunferencia que tiene por radio 25 m? Solución: = (2)(25 cm) (π)=157.079 cm 108 Tarea no. 2 Individual Nombre: _________________________________________________ Grupo: ____________________ Turno: ______________________ Fecha: __________________________________________________ INSTRUCCIONES: De forma individual determina lo que se pide. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 132. 3. Si la circunferencia mide de perímetro 28.2744 cm. ¿Cuánto mide su diámetro? 4. Si la circunferencia mide de perímetro 31.4159 m. ¿Cuánto mide su radio? 5. ¿Qué símbolo hace referencia a π? 6. Calcular el perímetro de la circunferencia que tiene por diámetro 5 m? 7. Si el radio de una circunferencia es 10 m. ¿Cuánto mide el perímetro del cuadrado circunscrito a ella? 8. Determina la longitud de una circunferencia si el perímetro del cuadrado que la circunscribe es de 40 cm. Resultado ___________ Recomendaciones y observaciones _____________________________ ___________________________________________________________ __________________________________________________ 109 ___________________________________________________________ ___ 110 2.2.5. Áreas de figuras circulares Sesión 28 Aprendizajes a lograr Calcula el área de figuras circulares. Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Comunicarte en forma oral y escrita. Para calcular el área del círculo basta con conocer su radio. Del resto de figuras circulares, como el sector, el segmento, la corona o el trapecio, habrá que conocer otros elementos identificativos. Longitud y área de figuras circulares Nombre Dibujo Longitud Circunferencia Área L = 2πR Arco A = πR2 Círculo 111 Sector circular A = π(R2 – r2) Corona circular Ejercicio no. 7 Grupal Organizados en parejas encuentren el valor del área sombreada en cada una de las siguientes figuras. En una discusión grupal dirigida por tu profesor compara tus repuestas con el resto del grupo. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página131. 1. a) b) c) d) e) f) g) ¿Cuánto mide el diámetro? ¿Cuánto mide el radio? ¿Cuál es el área total del círculo? ¿Cuánto mide cada lado del cuadrado? ¿Cuál es el área del cuadrado? ¿Cuál es la diferencia entre las áreas? ¿Cuánto mide el área sombreada? ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ __________________________________ 112 2. a) b) c) d) e) f) ___________________________________ ¿Cuánto mide cada lado del cuadrado? ___________________________________ ¿Cuál es el área total del cuadrado? ___________________________________ ¿Cuánto mide el radio del círculo? ___________________________________ ¿Cuál es el área del círculo? ___________________________________ ¿Cuál es la diferencia entre el área del cuadrado y la del círculo?________________ ¿Cuánto mide el área de la región sombreada?__________________________________ ______________________________ 3. a) b) c) d) e) f) g) h) __________________________________ ¿Cuánto mide cada lado del cuadrado? __________________________________ ¿Cuál es el área total del cuadrado? __________________________________ ¿Cuánto mide la diagonal del cuadrado? __________________________________ ¿Cuál es el radio del círculo? __________________________________ ¿Qué parte del círculo es cada sector circular? ________________________________ __________________________________ ¿Qué parte del círculo completas con los dos sectores circulares? ________________ ¿Cuál es la diferencia entre el área del cuadrado_____ y la de los sectores circulares?_____ ¿Cuánto mide el área de la región sombreada? _______________________________ 113 4. Encuentre analítica y gráficamente el área de los sectores circulares siguientes. Empléese π = 3.14. a) Ángulo central 50° y radio 3 cm. b) Ángulo central 75° y radio 5.8 m. 5. Encuentre el área de los sectores circulares sombreados. Responda en función de π 6. Unos círculos tangentes exteriormente uno a uno, con radios congruentes, están colocados en un rectángulo como lo ilustra la figura. ¿Cuál es el área de la región sombreada? 114 2.2.6. Teoremas Sesión 29 Aprendizajes a lograr Calcula la medida de ángulos en figuras circulares. Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Comunícate en forma oral y escrita. Principales teoremas de ángulos de la circunferencia: A). Teorema: Todo ángulo central se mide por el arco comprendido entre sus lados. B). Teorema: Todo ángulo inscrito en la circunferencia tiene por medida la mitad del arco comprendido entre sus lados. COROLARIO 1. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto. COROLARIO 2. Todos los ángulos inscritos que comprenden un mismo arco o arcos son iguales. Ejercicio no. 8 Grupal Organizados en parejas encuentren el valor de los ángulos en cada una de las siguientes figuras. En una discusión grupal dirigida por tu profesor compara tus repuestas con el resto del grupo. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 134. 1. Si <BDC es un ángulo inscrito y <BOC es un ángulo central, como se ilustra, hallar < BOC, si <BDC = 50° 2. Si <GRT y <GST son ángulos inscritos, como se ilustra, hallar < GRT y <GST si GT es el diámetro 115 Sesión 30 C). Teorema: Todo ángulo formado por dos cuerdas que se cortan (ángulo interior) tiene por medida la semisuma de las medidas de los arcos comprendido entre sus lados. D). Teorema: Todo ángulo formado por dos secantes que se cortan fuera de la circunferencia (ángulo exterior) tiene por medida la semidiferencia de las medidas de los arcos comprendido entre sus lados. E). Teorema: Todo ángulo formado por una tangente y una cuerda (ángulo semiinscrito) tiene por medida la mitad de la medida de su arco subtendido por la cuerda Ejercicio no. 9 Grupal Organizados en parejas encuentren el valor de los ángulos en cada una de las siguientes figuras. En una discusión grupal dirigida por tu profesor compara tus repuestas con el resto del grupo. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 134. i. Si AB y CD son cuerdas que se cortan en E, como se ilustra, hallar: a) <x si b) <x si c) <x si d) 116 Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana Nombre ____________________________________________________ Grupo ________________________ Turno _____________________ Fecha _____________________________________________________ Instrumento de evaluación _____________________ Página _________ 1. ¿Qué medida en grados, tiene el ángulo formado por las manecillas del reloj mostrado en la siguiente figura? Hora 6:00 equivale a ________° ii. ¿Cuánto mide cada ángulo central del timón de la figura? iii. Un guardabosque alcanza a ver, desde su torre de observación, hasta una distancia de 24 kilómetros (km) en todas direcciones. ¿Cuál es la superficie, en kilómetros cuadrados (km2), que puede vigilar? iv. Una regadora automática de agua cubre una distancia de ocho metros de radio. ¿Cuántos metros cuadrados (m2) puede regar en una vuelta completa? v. Una estación de televisión envía su señal en un radio de 89 km. ¿Qué superficie total puede cubrir?. 117 Sesión 31 2.3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 2.3.1. Relaciones trigonométricas Aprendizajes a lograr Conoce las relaciones trigonométricas. Diferencia las relaciones trigonométricas. Describe las relaciones trigonométricas. Calcula relaciones trigonométricas Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. y de conceptos mediante representaciones Las relaciones entre losExpresar lados y losideas ángulos un triángulo rectángulo se expresan en lingüísticas, matemáticas o gráficas. términos de las relaciones Trigonométricas. En trigonometría los ángulos se expresan por medio de las letras griegas, como por ejemplo el símbolo ζ que se llama theta. Se han agrupado las seis relaciones trigonométricas para el ángulo ζ como sigue: 118 Donde a las funciones de Cscζ, Secζ y Cotζ se llaman funciones recíprocas de las funciones del Senζ, Cosζ y Tanζ respectivamente. Lado opuesto al Ángulo θ Para los triángulos: Hipotenusa θ α r r α y α θ Lado adyacente al Ángulo θ x (A) (B) Existen expresiones que relacionan el seno, el coseno y la tangente de un ángulo, de modo que a partir de una de ellas podemos obtener el resto de razones trigonométricas. En un triángulo rectángulo isósceles, sus ángulos agudos miden 45° cada uno. La hipotenusa, c, de EJEMPLO este tipo de triángulo rectángulo es: c = a2 a2 = 2a 2 = 2 a, siendo a la longitud de cada cateto. Y los valores de las razones de seno, coseno y tangente son: a a 2a = 1 2 a a 2a = 1 2 sen 45 ° = c = cos 45 ° = c = a tan 45 ° = a =1 119 Ejercicio no. 10 Grupo “Reunidos en equipos de tres integrantes, encontrar el valor de las seis razones trigonométricas para los diferentes triángulos formados considerando los valores de a, b, c y el ángulo θ indicados.:” a) b) Sen ζ = Csc ζ = Cos ζ = Sec ζ = Tan ζ = Cot ζ = Sen ζ = Csc ζ = Cos ζ = Sec ζ = Tan ζ = Cot ζ = Sen ζ = Csc ζ = Cos ζ = Sec ζ = c) Tan ζ = 120 Cot ζ = Ejercicio no. 4 Individual Resolver los siguientes triángulos encontrando el valor de las razones trigonométricas en cada triángulo: a) Sen ζ = Csc ζ = Cos ζ = Sec ζ = Tan ζ = Cot ζ = b) Sen ζ = Csc ζ = Cos ζ = Sec ζ = Tan ζ = Cot ζ = 121 2.3.2. Funciones en el triángulo rectángulo Sesión 32 Aprendizajes a lograr Calcula el valor de las funciones trigonométricas para diferentes ángulos en el triángulo rectángulo. Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. El propósito será calcular el valor de las funciones trigonométricas para diferentes ángulos en el triángulo rectángulo. Encontrar el valor de las funciones trigonométricas del ángulo agudo del triángulo rectángulo. Para encontrar el valor de las seis funciones trigonométricas, se necesita el valor de ángulo agudo del triángulo, para buscarlo se utilizan las funciones trigonométricas básicas: Sen ζ = a c Cos ζ = b c a Tan ζ = b a En donde Tan ζ = b es la función que relaciona los datos del triángulo, entonces: Tan ζ = 6 8 ζ = Tan-1( 6 8 ) ζ = 36.86º Entonces, utilizando la calculadora se obtiene: Sen(36.86º) = 0.6 Cos(36.86º) = 0.8 Tan(36.869 = 0.749 Ahora para obtener el valor de las funciones secante, cosecante y cotangente, se utilizan las relaciones trigonométricas recíprocas: 1 Sec ζ = Cos 1 Csc ζ = Sen 1 Cot ζ = Tan 122 En donde al sustituir, se obtiene: 1 Sec (36.86º) = Cos ( 36 .86 º ) = 1.25 1 Csc (36.86º) = Sen ( 36 .86 ) = 1.66 1 Cot (36.86º) = Tan ( 36 .86 º ) = 1.33 Ejercicio no. 11 Grupo “Reunidos en equipos de tres integrantes, encontrar el valor de las seis funciones trigonométricas para los diferentes triángulos formados considerando los valores de a, b, c y el ángulo ζ indicados.” a) b) 123 c) 2.3.3. Funciones en el plano cartesiano Aprendizajes a lograr Sesión 33 Describe las funciones trigonométricas en el plano cartesiano. Conoce los signos de las funciones trigonométricas en el plano cartesiano. Halla el valor de las funciones trigonométricas para ángulos de inclinación de diferentes rectas en el plano cartesiano. Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. Para saber los signos de las funciones trigonométricas de un ángulo cuyo lado terminal está en cualquiera de los cuatro cuadrantes del plano cartesiano bidimensional, es bueno tener presente que los catetos de los triángulos que contienen el ángulo al cual se hallarán los valores de las funciones trigonométricas son la abscisa u ordenada y como tales se consideran positiva y negativa con respecto al origen de coordenadas. Si ζ es el ángulo, P(x,y) es el punto del lado terminal del ángulo y r, es la distancia OP , definida como r x2 y2 Donde x ≠ 0 y y ≠ 0 Ejercicio no.12 Grupo 124 Reunidos en equipos de dos integrantes, encontrar el valor de las funciones trigonométricas para los diferentes ángulos de rectas que forman con el eje x. Ángulo en grados 0º Ángulo en radianes Seno Coseno Tangente Secante Cosecante Cotangente 0 45º /4 90º /2 135º 3 /4 150º 6 /5 180° 225º 5 /4 270º 3 /2 315º 7 /4 360º 2 Ejercicio no. 13 Grupo 125 “Reunidos en equipos de dos integrantes, indicar el signo de las seis funciones trigonométricas que toman en cada uno de los cuatro cuadrantes. Cuadrantes I II III IV Seno Coseno Tangente Secante Cosecante Cotangente 2.3.4. Funciones en el círculo unitario 126 Sesión 34 Aprendizajes a lograr Utiliza las funciones trigonométricas en el circulo unitario para encontrar las coordenadas de puntos sobre la circunferencia, Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. El círculo unitario se llama así porque el radio mide una unidad, el centro del círculo esta en el origen del plano cartesiano, los ángulos se generan de derecha a izquierda, quedando distribuidos de la siguiente manera: En el primer cuadrante tienes ángulos que van de 0 a 90 grados en el segundo de 90 a 180, en el tercero de 180 a 270, y en el cuarto de 270 a 360. Si utilizamos las funciones trigonométricas se puede encontrar las coordenadas de los puntos sobre la circunferencia conociendo el radio y el ángulo que forma con el eje “x”. Encontrar las coordenadas del punto P(x,y) sobre la circunferencia unitaria, cuando el radio forma un ángulo de α = 60º con el eje “x”. Solución: Primeramente localizamos el punto P(x,y) sobre la circunferencia en el plano y le trazamos el triángulo correspondiente mediante proyecciones del punto “P” sobre los ejes “x” e “y”. Formando un triángulo rectángulo, donde la hipotenusa coincide con el radio igual a uno y utilizando las razones trigonométricas: 127 x Cos α = r x Sen α = r x Cos(60º) = 1 x Sen(60º) = 1 Cos(60º) = x Sen(60º) = x x = 0.5 y = 0.86 Solución: Las coordenadas del punto P son P(0.5,0.86) Ejercicio no. 14 Grupo Reunidos en equipos de tres integrantes, encontrar las coordenadas del punto P sobre la circunferencia unitaria cuando el radio forma el ángulo indicado con el eje x. Trazar la gráfica correspondiente. Ángulos en grados Oº 45º 90º 135º 180º 225º 270º x y (x,y) Trazar las gráficas correspondientes en este espacio, en tu cuaderno de trabajo. 128 315º 360º 2.3.5. Resolución de triángulos rectángulos Aprendizajes a lograr Sesión 35 Utiliza las funciones trigonométricas para que dados un ángulo y uno de los lados determine los lados que faltan. Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. El propósito es utilizar las funciones trigonométricas para que dados algunos elementos de triángulos rectángulos, encontrar los que faltan. EJEMPLOS Encontrar un lado del triángulo cuando se conoce un ángulo agudo y uno de los lados: a) Dado a = 6 y ζ = 30º, hallar los valores de “b” y “c”. Para iniciar se tiene que decidir cuál de los lados, si el cateto adyacente “b” o bien la hipotenusa “c” se ha de encontrar primero. Para encontrar el valor del lado “b”, se busca cuál de las seis relaciones trigonométricas contiene los datos conocidos, además de que contenga lo que se quiere buscar (lado “b”). 129 De las seis relaciones, la que contiene estos datos es la tangente, entonces: a Tan ζ = b Al sustituir datos: 6 Tan 30º = b despejar “b” y resolver operaciones. 6 b = Tan30º b = 10.39 Para encontrar la hipotenusa, de nuevo se busca la relación trigonométrica correspondiente que la contenga los datos mostrados del triángulo, en este caso con la relación del seno. a Sen ζ = c Al sustituir datos en la expresión se tiene: Sen30º = C= 6 c ahora solo basta despejar “c” 6 Sen30º C = 12 130 Ejercicio no. 15 Grupo “Reunidos en equipos de tres integrantes, revisar y analizar la forma del cómo se encuentran los lados que faltan en un triángulo para resolver los ejercicios propuestos. a) b) 131 Sesión 36 Encontrar un ángulo agudo del triángulo cuando se conocen dos de los lados: EJEMPLOS a) Dado b = 6 y c = 72 hallar los valores de “ζ” y “a”. Para encontrar el ángulo agudo θ, tomar la función que contenga la información conocida, en este caso: b Cos ζ = c Cos ζ = sustituir datos 6 72 Cos ζ = 0.707106 aplicando la función recíproca del coseno ζ = 45º 132 Ejercicio no. 16 Grupo “Reunidos en equipos de tres integrantes, revisar y analizar la forma del cómo se encuentran los lados que faltan en un triángulo para resolver los ejercicios propuestos. a) Ejercicio no. 5 b) Individual De manera individual, resuelve los triángulos encontrando valores que faltan. a) b) 133 los Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana Nombre ___________________________________________________ Grupo __________________________ Turno ___________________ Fecha _____________________________________________________ Instrumento de evaluación ____________________ Página __________ 1) Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que forma un ángulo de 60º con respecto al piso. 2) El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en un ángulo de depresión de 12°. Un buzo es bajado 40 metros hasta el fondo del mar. ¿Cuánto necesita avanzar el buzo por el fondo para encontrar los restos del naufragio? 134 3) Un árbol de hoja perenne está sostenido por un alambre que se extiende desde 1.5 pies debajo de la parte superior del árbol hasta una estaca en el suelo. El alambre mide 24 pies de largo y forma un ángulo de 58° con el suelo. ¿Qué altura tiene el árbol? 135 Autoevaluación Nombre _________________________________________________ Grupo _________________________ Turno __________________ Fecha __________________________________________________ A continuación se te presentan una serie de preguntas de opción múltiple relacionadas con los temas de la Unidad. Esfuérzate por contestarlas subrayando la respuesta correcta. Las respuestas podrás encontrarlas al final del cuaderno de trabajo. 1. ¿Un cuadrado es? a) Regular b) Irregular c) Cóncavo d) Complejo e) Equilátero 2. Un triángulo 36 m2 de área y 12 m de base ¿Cuánto mide de altura? a) 6 m d) 2 m b) 4 m e) 6 m c) 9 m 3. En una circunferencia: el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y está formado por dos radios, se llama a) Ángulo interior d) Ángulo central b) Ángulo exterior e) Ángulo semi inscrito c) Ángulo inscrito a) b) c) d) e) 4. ¿Cuál es el área de una circunferencia de 16 π de longitud? 127.14 m2 430.86 m2 201.06 m2 321.27 m2 178.57 m2 136 5. Si en un decágono se trazan diagonales desde uno de sus vértices ¿cuántas diagonales se obtienen? a) 6 d) 7 m b) 12 e) 10 m c) 36 6. Calcula el perímetro de una circunferencia que mide 8 m de radio. a) 15.71 m d) 25 m b) 78.54 m e) 31.42 m c) 50.26 m 7. Halla el valor numérico de csc 68°. a) 5.71 b) 1.078 c) 6.223 d) 3.281 e) 2.669 8. Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo si sus catetos miden a = 3.6m y b = 4.2 m. a) 4.78 m d) 2.4 m b) 2.10 m e) 7.8 m c) 5.53 m 9. Dado Sin A = 2/5 halla el valor de Cot A a) 2.29 d) 6.65 b) 3.23 e) 3.89 c) 3.57 a) b) c) d) e) 10. Halla el valor de sec 25° 2.36 2.14 3.57 1.103 3.894 137 INSTRUMENTOS DE EVALAUCIÓN Evaluación del desempeño (ejercicios) En equipo No. Indicador Cumplió Ejecución Sí No Ponderaci ón 1 Se integró al equipo. 0.2 2 Mostró interés por el tema. 3 Mostró conocer los conceptos que utilizó 4 Mostró habilidad para responder a los ejercicios 5 Aplicó correctamente el procedimiento Calificación de esta evaluación Observaciones Cali f. 0.2 0.3 0.5 0.5 1.7 Tabla de ponderación 1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación Evaluación del desempeño (ejercicios): Individual No. 1 Indicador Cumplió Ejecución Sí Ponderación No Mostró interés por el tema. Calif . 0.3 2 Mostró conocer los conceptos que utilizó 3 Mostró habilidad para responder a los ejercicios 4 Aplicó correctamente el procedimiento Calificación de esta evaluación 1 = sí cumplió Observacione s 0.4 0.5 0.5 1.7 Tabla de ponderación 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación 138 Evaluación de productos (tareas y ejercicios aplicados a la vida cotidiana): No. Indicador Cumplió Ejecución Sí Ponderación 0.5 No 1 Resolvió el total de los ejercicios 2 Resolvió correctamente los ejercicios 3 Entregó en tiempo y forma indicada los ejercicios. Calificación de esta evaluación Observacione s Calif. 1.5 0.5 2.5 Tabla de ponderación 1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación Evaluación de Productos (investigaciones): No. Indicador Cumplió Sí No 1 Entregó en tiempo y forma 2 La información fue clara y acorde al tema 3 Presentación del trabajo Calificación de esta evaluación Ejecución Ponderaci ón 0.8 Observaciones Cali f. 0.8 0.9 2.5 Tabla de ponderación 1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación 139 140 Unidad III TRIGONOMETRÍA 141 COMPETENCIAS Al término de esta unidad el estudiante: Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. TEMARIO 3.1 TRIANGULOS OBLICUANGULOS 3.1.1. Ley de senos 3.1.2. Ley de cosenos 3.2. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 3.2.1. Identidades fundamentales 3.2.2. Demostración de identidades 3.3. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 3.3.1. Propiedades 3.3.2. Procedimientos de solución 3.4. ECUACIONES EXPONENCIALES 3.4.1 Propiedades 3.4.2 Procedimientos de solución 3.5 ECUACIONES LOGARITMICAS. 3.5.1 Propiedades 3.5.2 Procedimientos de solución 142 Evaluación diagnóstica A continuación se te presentan una serie de preguntas de opción múltiple relacionadas con los temas de la unidad III, los cuales profundizarás con más detalle a lo largo a las actividades del cuaderno de trabajo. Esfuérzate por contestarlas subrayando la respuesta correcta. Las respuestas podrás encontrarlas al final del cuaderno de trabajo. 1. Los triángulos oblicuángulos pueden ser: a). Acutángulos y rectángulos b). Acutángulos y obtusángulos c). Rectángulos y Equiláteros d). Escaleno y equilátero e). Escalenos y obtusángulos 2. Determina el valor de x que satisface la siguiente ecuación exponencial 2x = 8 a). 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3. La ley de cosenos se representa por: a). c). e). b). d). 4. La ley de senos se representa por: a). b). c). d). e). 5. Es una ecuación a). x2 = (x)(x) d). Cot x = 1 / tanx 6. Es una identidad a). x = 7 d). 3x = 81 7. b). 2x +2 = 6 e). T an x Senx Cosx b). Sen x = 180° e). T an x Senx Cosx es igual a a). c). e). b). d). Cos 143 c). a2 + b2 = ( a+b)(a-b) c). 2x = 3 Sesión 37 3.1. TRIANGULOS OBLICUANGULOS 3.1.1. Ley de senos Aprendizajes a lograr Usa adecuadamente la ley de los senos para resolver triángulos oblicuángulos. Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados de un triángulo cualquiera y que se utiliza para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos. La ley de los Senos dice: a Sen b Sen c Sen Donde a, b y c son los lados del triángulo y , , y son los ángulos del triángulo apuestos a los lados correspondientes. Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos que faltan, a partir de los datos que te dan. Si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y un lado, usa le ley de los senos. 144 Resolver el siguiente triángulo. EJEMPLOS Datos del problema: a= 5 b= = 43º = 27º c = = El ángulo es más fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre suma 180º, entonces = 180º - - . Al sustituir los ángulos en esta expresión se obtiene: = 180º - 43º - 27º = 180º - 70º = 110º Para encontrar los lados que faltan utilizamos la ley de los Senos, sustituyendo los datos: a Sen 5 Sen43º b Sen27º 5 Sen43º b Sen27º 5 Sen27º Sen43º b b Sen c Sen110º c Sen Tomamos los dos primeros términos. Despejamos “b” pasando Sen (27º) multiplicando Calcular la expresión realizando las operaciones. 3.328 = b Y esto es lo que vale “b”. Nada más falta calcular “c”. para encontrarla, volvemos a utilizar la ley de los Senos 145 5 Sen43º 3.328 Sen27º 5 Sen43º c Sen110º 5 Sen110º Sen43º c Sen110º Tomamos la igualdad que contenga a “c” Despejamos “c” pasando Sen(110º) multiplicando. c 6.889 = c Y con este resultado queda resuelto el triángulo. Ejercicio no. 1 Grupo “Reunidos en equipos de tres integrantes, encontrar el valor de los datos que faltan en los triángulos, utilizando la Ley de los Senos a) b) 146 Ejercicio no. 1 Sesión 38 Individual Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos, encontrando el valor de las partes desconocidas: a) b) 147 148 Tarea no. 1 Nombre: _________________________________________________ Grupo: ____________________ Turno: ______________________ Fecha: __________________________________________________ INSTRUCCIONES: Resolver los siguientes problemas de aplicación para ley de los senos, de manera individual. (Entregar la próxima sesión de clase) 1) Dos piedras se encuentran a la orilla de una playa a una distancia uno de otro de 1.8 Km. en los puntos A y B, y se encuentra una bolla situada en un punto C. Si la piedra A mide un ángulo CAB igual a 79.3° y el que está en B mide un ángulo CBA igual a 43.6°, ¿a qué distancia está la bolla de la costa? 2) Un poste forma un ángulo de 79° con el piso. El ángulo de elevación del sol desde el piso es de 69°. Encuentre la longitud del poste si su sombra es de 5.9 m. Resultado ___________ Recomendaciones y observaciones _____________________________ ___________________________________________________________ __________________________________________________ ___________________________________________________________ 149 ___ 150 3.1.2. Ley de cosenos Sesión 39 Aprendizajes a lograr Usa adecuadamente la ley de los cosenos para resolver triángulos oblicuángulos. Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. La Ley de los Cosenos, es una expresión que te permite conocer un lado de un triángulo cualquiera, si conoces los otros dos y el ángulo opuesto al lado que se quiere conocer. Se describe de la siguiente forma, supongamos que se quiere conocer el lado C y se tienen conocidos los valores de los lados a y b, además del ángulo . C2 = a2 + b2 – 2abCos EJEMPLOS Resolver el siguiente triángulo rectángulo encontrando el valor de lado C, si a = 6, b = 10 y = 130º . 151 Solución: Utilizando la ley de los cosenos y sustituyendo: C2 = a2 + b2 – 2abCos C2 = a2 + b2 – 2abCos C2 = (6)2 + (10)2 – 2(6)(10)Cos (130) ahora resolver las operaciones. C2 = 36 + 100 – 120(-0.642) C2 = 213.04 213 .04 C= C = 14.59 Que es la solución al problema al encontrar C = 14.59 Ejercicio no. 2 Grupo “Reunidos en equipos de tres integrantes, encontrar el valor que falta indicado en los triángulos, utilizando la Ley de los Cosenos a) b) 152 Ejercicio no. 2 Sesión 40 Individual Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos, encontrando el valor de lo que se indica. a) b) 153 Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana Nombre ___________________________________________________ Grupo __________________________ Turno ___________________ Fecha _____________________________________________________ Instrumento de evaluación ____________________ Página __________ Resolver los siguientes problemas aplicando las leyes de Seno y Coseno para encontrar lo que se pide: 1) Un hombre mide el ángulo de elevación de una torre, desde un punto situado a 100 metros de ella. Si el ángulo medido es de 20º y la torre forma un ángulo de inclinación de 68º con el suelo, determina su altura. 2) En una competencia de natación, dos amigos parten lanzándose al agua desde una balsa al mismo tiempo, el primero nada a una velocidad de 6k/h y el segundo a 5k/h. Comienzan a alejarse entre sí con un ángulo de 35º , después de media hora de competencia el segundo sufre un calambre. ¿Qué distancia recorrerá el primero para ir en su auxilio y qué ángulo tendrá la nueva dirección de este? 154 3) La sombra que proyecta un árbol de 3,4 m. sobre el piso horizontal mide 4,3 m. ¿Cuál es la medida del ángulo que hace la horizontal con la línea que une los dos puntos extremos, de la sombra y del árbol? 4) Un avión sale de un aeropuerto y se eleva manteniendo un ángulo constante de 10º hasta que logra una altura de 6 km. Determina a qué distancia horizontal del aeropuerto se encuentra en ese momento. 155 Sesión 41 3.2. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS 3.2.1. Identidades Fundamentales En matemáticas existen expresiones algebraicas que reciben en nombre de igualdades, éstas se clasifican en ecuaciones e identidades. Las ecuaciones como por ejemplo 2x +2 = 6 es una expresión que es válida para determinados valores de las incógnitas, en este caso el valor x= 2 es el que satisface a la ecuación ya que al sustituir 2(2) + 2 = 6. Las identidades son expresiones que son validad para cualquier valor que tomen las variables, en este caso la expresión x2 – y2 = (x+y)(x-y) es válida para cualquier valor de las variables o incógnitas. En trigonometría existen expresiones que relacionan los lados y ángulos de un triángulo rectángulo y que son validas para cualquier valor de sus lados y ángulos y que reciben el nombre de identidades trigonométricas. Aprendizajes a lograr Conoce las 8 identidades trigonométricas fundamentales Clasifica las identidades trigonométricas fundamentales(reciprocas, cociente y pitagóricas) Aplica identidades trigonométricas para encontrar el valor de las funciones trigonométrica (Cotangente, Secante y Cosecante) utilizando calculadora para cualquier ángulo Trabaja de manera colaborativa Escucha, interpreta y emite mensaje pertinentes en distintos contextos Interpreta información contenida en un texto . Tarea de investigación no. 1 Investiga las 8 identidades trigonométrica fundaméntales. Son 3 por reciprocas, 2 por cocientes o razón y 3 pitagóricas. Las reciprocas las rescataremos en el subtema 2.3.1 de libro. 156 Dos funciones trigonométricas son reciprocas si el producto de ellas es 1. EJEMPLO La definición del coseno en un triángulo rectángulo en razón de los lados es cateto adyacente entre hipotenusa y la Secante es hipotenusa entre cateto adyacente Entonces Cosx Secx 1 . Si despejamos Cos x queda Cosx 1 Secx Esta es una identidad trigonométrica por reciproco. Ejercicio no. 3 Grupo Organizados en parejas completar la tabla adjunta clasificando las identidades trigonométricas fundamentales que se te proporcionan. Para lograrlo observa el ejemplo. Identidades Por reciprocas por cocientes o por razón Cos 2 x Sen 2 x 1 x x T an x Senx Cosx Cot 2 x Csc 2 x 1 Senx 1 Cscx 1 Tan2 x Sec 2 x Cscx 1 Senx Cotx Cosx Senx Csc 2 x Cot 2 x 1 157 Pitagóricas EJEMPLO Determinar el valor de sec 56° Solución: Utilizando la identidad Secx 1 Cosx y sustituyendo la variable x por 56°, obtenemos: Sec56 1 Cos56 Por otro lado, al utilizar la calculadora tenemos que Cos56 =0.5591929035. Así, Sec56 1 , por lo tanto Sec56 0.5591929035 Ejercicio no.3 1.78829165 Individual Instrucciones. Relaciona correctamente la columna de la derecha con la de la izquierda, colocando dentro del paréntesis la letra que corresponda. a). Cot 70° 1.108351………………… ( ) b). Csc 140° 1.701301…………………. ( ) c). Sec 25°32’45’’ 0.363970……………….….( ) 1.555723……… ……….… ( ) -2.0……….….……………. ( ) -1.0……………….…….….( ) 2.076521…………………. ( ) d). Cot 7 e). f). Sec 240° g). 158 3.2.2. Sesión 42 Demostración de identidades Aprendizajes a lograr Aplica métodos para demostrar identidades trigonométricas. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos. Interpreta información contenida en un texto. Verifica la identidad: CosxCscxTanx 1 EJEMPLO Solución: Sustituyendo las identidades obtenemos: y en la expresión anterior . Cosx 1 Senx senx Cosx 1 Al multiplicar y simplificar se obtiene: CosxSenx 1 SenxCosx Así, nos da como resultado: 1=1 Por lo tanto la identidad CosxCscxTanx 1 es verdadera. 159 Ejercicio no.4 Individual Verificar las siguientes identidades que se te proporciona a continuación. Ejercicios 1) 2) 3) Demostración Senx Cotx Cosx Cscx C ot x Secx SecxCotxSenx 1 160 Ejemplo de pitagórica EJEMPLO identidad Demuestra que Sen3 x trigonométrica SenxCos 2 x Sesión 43 Senx Demostración: Se factoriza el lado izquierdo de la igualdad: Senx( Sen 2 x Cos 2 x) Senx Aplico la identidad trigonométrica pitagórica para obtener: Sen2 x Cos 2 x Así, nos queda que Senx(1) Ejercicio no.5 1 Senx . Por lo tanto, Senx Senx Individual Verificar las siguientes identidades que se te proporciona a continuación Identidades Senx Cscx Demostración Cosx 1 Secx Cos3 x CosxSen2 x Sen2 x C os2 x C os2 x C os2 x Cosx Sec 2 x 161 Sesión 44 3.3. ECUACIONES TRIGONOMETRICAS 3.3.1. Propiedades Antes de iniciar con el estudio de las ecuaciones trigonométricas, es indispensable conocer algunas propiedades de las funciones trigonométricas; conocidas como identidades trigonométricas. En el tema 3.2.1 tuviste la oportunidad de identificar y clasificar las 8 identidades fundamentales, divididas en 3 grupos. El de las identidades recíprocas, de razón o cociente y el de las pitagóricas. A continuación realiza la siguiente investigación en donde identifiques y clasifiques identidades que nos servirán para resolver un tipo particular de ecuación; al cual se le llama ecuaciones trigonométricas. Aprendizajes a lograr Conoce e idéntica las identidades trigonométricas de suma de ángulos, ángulos dobles, opuestos, mitad de un ángulo. Escucha, interpreta y emite mensaje pertinentes en distintos contextos Interpreta información contenida en un texto Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida Tarea de investigación no.2 Investiga las identidades trigonométricas del seno, coseno y tangente relacionadas con la suma de ángulos, mitad de un ángulo y ángulos opuestos y con ésta información contesta el ejercicio en . equipo. 162 Ejercicio no.4 Grupal Organizados en equipos de tres integrantes completar la tabla adjunta, clasificando las propiedades de las funciones trigonométricas de acuerdo a su ángulo (suma de ángulos, ángulo doble, ángulos opuestos) SUMA DE ÁNGULOS Sen(A ± B) = Sen(A)Cos(B)±Cos(A)Sen(B) Cos( A ± B ) = Cos(A)Cos(B) Sen(A)Cos(B) Tan( A ± B ) = ANGULO DOBLE Sen(2A)= Cos(2A)=Cos2(A) – Sen2(A) Tan(2A)= ANGULO OPUESTO Sen(-A) = -Sen(A) Cos(-A) = Tan(-A) = 163 Sesión 45 3.3.2 Procedimientos de solución Una ecuación trigonométrica es aquella donde intervienen términos trigonométricos, a diferencias de las ecuaciones algebraicas vistas anteriormente, el número de soluciones posibles es infinito. Para facilitar la solución a cada una de ellas, sólo se tomarán en cuenta aquellas que estén entre dos valores determinados. Aprendizajes a lograr Usa las propiedades en la solución de ecuaciones trigonométricas Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos Interpreta información contenida en un texto Trabaja de manera colaborativa Resolver las ecuaciones: EJEMPLO a) Sen(x) = ½ b) Cos(2x) = . a). Resolveremos primeramente la ecuación Sen(x) = ½. Solución: Tomando como referencia el ejercicio de grupo No. 12. Del tema 2.3.3 El valor del Sen (30°) = ½ . ; por lo tanto el la solución es x = 30° = /6 rad. b). Ahora resolveremos la ecuación Cos(2x) = . Solución: Tomando de referencia el ejercicio No 12 de grupo pag. 118 el Cos(30°) = ; por lo tanto 2x = 30°. Por lo tanto x = 30°/2 = 15° = /12 rad. Resolver la ecuación Tan(x/2) = 1. De la tabla elaborada en la pag. 118, Tenemos que la Tan(45°) = 1 ; Por tanto x/2 = 45° y x = 2(45°)= 90° = /2 rad. 164 Ejercicio no.5 Grupal Organizados en equipo de tres alumnos, resolver las ecuaciones trigonométricas y comenten las respuestas ante el grupo. 1) Resuelve la ecuación trigonométrica Sen (2x) = A) 6 B) 4 C) D) 3 en radianes. E) 12 15 2) Encuentra el valor de x de Sec(x) = A) 30° B) 45° C) 60° D)45° 3) Halla el valor de x de la siguiente ecuación 4Sen2 x A) 90° B) 45° C) 60° D) 180° 165 E) 30° 3 E) 145° ¿Cuál es el valor de ángulo “x” que satisface EJEMPLO a Tan(4 x) 3 Sesión 46 0 en radianes? Solución: Para encontrar la solución de la ecuación es necesito despejar x (utilizando las propiedades). Paso 1). Usando el inverso aditivo de 3 en la igualdad dada, obtenemos: Tan(4 x) 3 Paso 2). Despejando 4x nos queda 4x Tan 1 ( 3) Paso 3). Despejando x y sustituyendo Tan x 1 ( 3) 60 , tenemos que 60 es decir x =15° 4 , Paso 4). La conversión de 15° a radianes es Así concluimos que x = 12 166 12 . Ejercicio no.6 Individual Resuelve las siguientes ecuaciones que se te proporciona a continuación 1) Resuelve la ecuación trigonométrica 2Cosx- 3 =0 en radianes. A) B) 6 4 C) 3 D) 12 E) 15 2) Cuál es el valor de ángulo “x” que satisface a Tan4x- 3 =0 en grados? A) 20 B) 15 C) 10 D)30 3) Halla el valor de x de la siguiente ecuación Cscx A) 30 B) 25 C) 45 D)50 167 E) 60 2 E) 60 0 Sesión 47 3.4. Ecuaciones Exponenciales 3.4.1. Propiedades Las expresiones exponenciales son aquellas donde la base es contante y el exponente es la variable(o incógnita) a esta reciben el nombre expresiones transcendentales. Las expresiones que mas estudiamos en el algebra son donde la base es la variable (o incógnita) y el exponente es constante se conocen como expresiones algebraicas. Las expresiones exponenciales son de tres tipos: 1) Expresión exponenciales con base “a” donde “a” es positiva ( ), tiene la forma a x ejemplo , y . 2) Expresión exponencial natural es un caso particular de la primera, es cuando a = 2.71828182... Su forma es 2.718281x pero es más conocida como ex 3) Expresión exponencial común también es un casa particular de la primera y es cuando a = 10 su forma es 10X Las expresiones exponenciales tiene una gran aplicación en las campos de Química, Biología, Ciencias Sociales, física e ingeniera. Aprendizajes a lograr Reconoce las propiedades y ecuaciones exponenciales. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos Interpreta información contenida en un texto Trabaja de manera colaborativa El número de bacterias de un cultivo que se duplica cada día y si hay 100 bacterias al inicial el experimento. Calcular: EJEMPLO a) El modelo matemático de este problema en forma de ecuación cuando se tenga 3200 bacterias. b) La solución lógicamente 168 . del problema matemáticamente y Soluciones: a) Como de duplica cada día y cada día es “x” se expresa 2 x , luego se multiplica por 100 las bacterias iníciales y se iguala 3200 las que se quieren. x 3200 ó 2 x (100) 3200 La ecuación resulta (100)2 Lógicamente primer día 200, segundo 400, tercer 800, cuarto 1600 quinto 3200. b). Matemáticamente (100)2 x división 3200 2x Usando el inverso multiplicativo 2x 3200 100 simplificando la 32 descomponiendo en factores primos el 32 queda 2 x 25 5 como “x” representa días entonces se necesitan 5 das para obtener 3200 bacterias Por lo tanto x Ejercicio no.7 Individual Resuelve los siguientes ejercicios encontrando el valor de la incógnita de las ecuaciones exponenciales. x 81 1) Determina el valor de “x” de la ecuación exponencial 3 A) 2 B) 3 C) 4 D)5 E)6 2) Halla la raíz de la ecuación exponencial 2 x 512 A) 6 B) 7 C) 8 D)9 5 x 8 32 x 4 3) Resuelve la ecuación 3 A) 2 B) 3 C) 4 0 D)5 E)10 E)6 4) La desintegración de una sustancia radiactiva como la del isótopo de polonio disminuye la mitad de la cantidad que se tenga cada 140 días. Si tenemos 40 miligramos de esa sustancia radiactiva ¿Cuánto días tardará para que se desintegren 35 miligramos? A) 140 días B) 280 días C) 420 días 169 D) 560 días E)700 días 3.4.2 Procedimientos de solución Sesión 48 Aprendizajes a lograr Resolver ecuaciones exponenciales Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos Interpreta información contenida en un texto Trabaja de manera colaborativa La Ecuación Exponencial: Se conoce como ecuación exponencial a una ecuación donde la incógnitas forman parte solo de los exponentes de potencias para ciertas bases constantes. Usualmente la letra ((x)) es la incógnita, pero se puede usar cualquier letra. Una de la ecuaciones exponenciales más simples, cuya solución se reduce a la de una ecuación algebraica, es la ecuación del tipo af(x) = b, pero tenemos también ecuaciones exponenciales del tipo af(x) = bg(x). x Ejemplos: 8 = 512 b) 3 x-1 = 2187 6 c) 6 2 3 x 3 6 x 3 Existen dos métodos fundamentales de resolución de las ecuaciones exponenciales. Método de reducción a una base común. Si ambos miembros de una ecuación se . pueden representar como potencias de base común a , donde a es un número positivo, distinto de 1. Usando la propiedad a f(x) =a g(x) de donde se tiene que f(x) = g(x) en otras palabras, los exponentes se igualan y resulta un tipo de ecuación en el cual se aplican las transformaciones algebraicas explicadas anteriormente. m a) Resolver la ecuación exponencial 2 = 64. Solución: EJEMPLO primero, descomponer el número 64 en factores primos. Así m 2 = (2)(2)(2)(2)(2) utilizando las leyes de los m 6 exponentes, tenemos: 2 = 2 . Por lo que concluimos que m = 6. 170 Ejercicio no. 6 Grupo Organizados en equipo de tres para resolver las ecuaciones exponenciales siguientes, usando leyes de exponentes. x 1. 2 = 16 x 2. 5 = 15625 x 3. 3 = 243 x 4. 6 = 1 3x-1 5. 8 =1 x+2 6. 7 = 343 7. x 4 =1 Ejercicio no.8 Individual Resuelve los siguientes ejercicios encontrando el valor de la incógnita, utilizando las leyes de los exponentes. x+1 a) 23 = 128 x+1 d) 23 = 128 x x b) 8 = 10 x x c) 35 = 27 171 Sesión 49 3.5. ECUACIONES LOGARÍTMICAS 3.5.1. Propiedades Aprendizajes a lograr Usa la definición y las propiedades de logaritmos Escucha, interpreta y emite mensaje pertinentes en distintos contextos Interpreta información contenida en un texto Trabaja de manera colaborativa La función logarítmica y exponencial son funciones inversas; Por definición el logaritmo de un numero x (positivo) es el exponente que indica las veces que se debe de multiplicar la base “a”(positivo) para obtener el número ” x”, es ay equivalente a y x donde “y” es el logaritmo. Algebraicamente se expresa log a x Se conoce como forma logarítmica. De otra forma la definición de logaritmo es equivalente a. y log a x si y sólo si x ó y y a ó y loge x ln x si y sólo si x log10 x log x si y sólo si x 10 ey y . El logaritmo con base a se expresa como log a x y de lee logaritmo de x con base “a”. El logaritmo natural se expresa ln x y se lee logaritmo natural de x. El logaritmo común se expresa log x y se lee logaritmo común de x. Las propiedades de los logaritmos son: 1) log a xy 2) log a 3) ln x x y log a x log a y log a x log a y n n ln x m n ln x mn 4) ln x n ln x m 172 1. ¿Cuál es la expresión exponencial del logaritmo Log3 81 4 . 2. ¿Cuál es la forma logarítmica de la exponencial EJEMPLO 32 25 ? 1. ¿Cuál es la expresión exponencial del logaritmo Log3 81 Solución: Usando la definición y loga x si y sólo si x a y 4. , tenemos que : a = 3, x = 81 y y = 4 4 Entonces: 81 3 5 2. ¿Cuál es la forma logarítmica de la exponencial 32 2 ? Solución: Usando la definición de logaritmo tenemos que a = 2, x = 32 y y = 5. Por lo tanto: log 2 32 5 Ó 5 log2 32 3.5.2. Procedimientos de solución Sesión 50 Aprendizajes a lograr Usa la definición y las propiedades de logaritmos Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos Interpreta información contenida en un texto Trabaja de manera colaborativa 173 . Usa las propiedades de logaritmo: A). Expresa ln EJEMPLO y5 x2 en términos de Logaritmos de y, x y z. z3 B). Expresa como un logaritmo A). Expresa ln 3 log w 3 2 2 log3 x 3log3 y y5 x2 en términos de Logaritmos de y, x y z. z3 Solución: EJERCICIO: ln y5 x2 z3 DESARROLLO: = ln y 5 x 2 JUSTIFICACIÓN: Por ln z 3 log a 5 = ln y ln x 2 ln z 3 = 5ln y 2ln x 3ln z B). Expresa como un logaritmo la x y propiedad log a x log a y Por la propiedad log a xy log a x log a y Por la propiedad ln x n n ln x 3 log w 3 2 . 2 log3 x 3log3 y Solución EJERCICIO: 2 log3 x 3log3 y REDUCCIÓN: 3 log w 3 2 = JUSTIFICACIÓN: 2log3 x (3log3 y 32 log3 w) = log 3 x 2 (log 3 y3 log 3 3 w2 ) Factorizando Usando ln x ln m x n = log 3 x 2 = log3 3 log 3 y 3 w2 x2 174 n ln x y n n ln x m ln x m log a xy log a x log a y log a 3 y3 w2 n x y log a x log a y Grupo Ejercicio no.7 Organizados en equipo de tres para que resuelva los siguientes problemas que involucran expresiones, ecuaciones logarítmicas y exponenciales. 1) y5 en términos de logaritmos de y, x y z z3 x2 Expresa ln A) 5ln y 3ln z C) 5ln y 3ln z 2 ln x 2 ln x B) 5ln y D) 5ln y 3 ln z 3 ln z 2 ln x E) 3ln z 2 ln x 2 ln x 5 ln w5 en términos de logaritmos de x, z y w z 5 x3 4 4 5 A) B) ln w 5 ln z 3 ln x C) ln w 5 ln z ln w 5 ln z 2 ln x 5 5 4 4 4 D) ln w 5 ln z 3 ln x E) 5ln w ln z 3 ln x 5 5 y 4 2) Expresa ln 3) Expresa como un solo logaritmo 5log3 x A) log 3 x5 z 4 7 w3 7 D) log3 w3 5 4 x z B) log 3 x5 z 4 3 w7 E) log3 x5 z 4 7 w3 175 4 log3 z C) 3 log w 3 7 57 log3 x w3 z4 3 ln x A. Sesión 51 Resolver la ecuación logarítmica de base 4; Solución: Para resolver una ecuación logarítmica, es conveniente escribirla en la forma exponencial. Es decir, Log4 356 = x es equivalente a: Tomando logaritmo natural (Ln) o logaritmo base 10 (Log 10) en ambos lados de la ecuación. ln(4x ) = Ln(356) Aplicando la ley de los logaritmos para las potencias se obtiene, x(ln4) =Ln(356) Por último despejando x ; tenemos que: x = kn(356)/ln(4) = 4.237866715 En general cualquier ecuación logarítmica de la forma Log b (a) = x , la solución está dada por : Se usa logaritmo natural o de base 10 por estar almacenados en las calculadoras. B. Resolver la ecuación logarítmica Logx(81) = 2 Solución: Al escribir la ecuación a la forma exponencial se tiene que: Logx(81) = 2 es equivalente a x2 = 81 , Al extraer la raíz cuadrada en ambos lados y se tiene: , Como la base de un logaritmo debe de ser positiva, la solución es x = 9. C. Resolver la ecuación Ln (x) = 2 . Solución: Como se trata del logaritmo natural, su base es el número e; escribiendo la ecuación a la forma exponencial, se tiene: e2 = x , utilizando la calculadora x = __________ 176 Ejercicio no.9 Individual Resuelve los siguientes ejercicios encontrando el valor de la incógnita. 1) Soluciona la ecuación logarítmica Log3 50 = x A) 4 .98 B) 1.23 C)6.021 D)3.5 2) Soluciona la ecuación exponencial con logarítmicos Logx(16) = 2 A) 4.1546 3) Resuelve la ecuación exponencial con logarítmicos Ln(x) = 2 A) 1.2743 B) 4 B) 7.38 C) 2 C) E)8.23 D)4.0656 1.8976 D)2.6836 E) 4.7654 E) 1.9543 1. Resolver la ecuación Log(2x-6) = 2 : Sesión 52 Solución: EJEMPLO Como la base es 10 se escribe la ecuación a la forma exponencial 102 =2 x-6 ; entonces : 2. 2x -6 = 100 Resolviendo la ecuación resultante obtenemos: 3. 2x = 100+6 Por lo tanto la solución es x = 106/2 = 53 2. 2 Resolver la ecuación Lnx = 20 Solución: 2Lnx = 20………. Aplicando propiedades del logaritmo de una potencia. Lnx = 20 /2 = 10……….Dividiendo por 2 en ambos lados de la igualdad. x= e10 …………..Como la base del logaritmo natural es e, se tiene que: 177 x = 21586.27 Ejercicio no.10 Individual Resuelve los ejercicios que se te proporciona a continuación, encontrando el valor de cada incógnita. 1) Calcular x para que cada una de las siguientes expresiones sea cierta: a) log x 8 = ½ b) log x 1/9 = -2 c) log 27 x = 1/3 d) log 10 0,01 = x e) log 1/2 x = -1 2) Resolver la ecuación 2 log x = 1 + log (x - 0,9) 3) Resolver la ecuación 3.log x - log 32 = log x/2. 4) Calcular por definición de logaritmos el valor de y 0.25 = y 178 Autoevaluación Nombre ________________________________________________ Grupo ________________________ Turno ___________________ Fecha _________________________________________________ 1. ¿Qué tipo es la siguiente identidad Senx Cscx = 1? A) Reciproca 2. B) Cociente C) Pitagórica D) Inversas E) Radical Utilizando una identidad trigonométrica fundamental, ¿Cuál es el valor de la Sec 56° en la calculadora?. A) 0.8191520443 B) 1.220774589 C) 1.78829165 D) 1.428148007 E) 0.7002075382 3. Utilizando identidades trigonométricas, demuestra que A) Sen x B) Cos x 4. 2 C) 30° D) 300° E) 45° B) C) 6 3 4 D) 5 3 E) 2 3 B) 90° C) 30° D) 120° E) 150° ¿Cuál es una ecuación exponencial natural? A) 2x=4 8. B) 210° ¿Cuál es el valor de ángulo “x” que satisface a 3Cot x- 3 =0 en grados? A) 60° 7. E) Sec x Resuelve la ecuación trigonométrica 2Cos2x = 1 en radianes A) 6. D) Cot x ¿Cuál es el valor de ángulo “x” que satisface a 4Sen x-2=0 en grados? A) 60° 5. C) Tan x , es igual a B) x2 4 C) 2 x D) e 4 x 2 E) 10 x 0.01 Determina el valor de x que satisface la siguiente ecuación exponencial 2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 179 E) 5 x 1 32 9. ¿Cuál es la expresión exponencial del logaritmo 2 A) 3 4(2) B) 32 8 C) 2 8 3 ? D) =8 E) 23 8 10. Expresa ln x2 z 5 w3 en términos de logaritmos de x, z y w. A) 2ln x 5ln z 3ln w B) 2ln x 5ln z 3ln w D) 2ln x 5ln z 3ln w E) 3ln w 5ln z 2ln x 11. Expresa como un logaritmo 2log3 w 3log3 z w2 z 3 A) log 3 B) log 3 x D) log 3 x 2 3 w z w2 x z3 E) log 3 C) 2ln x 5ln z 3ln w 1 log x 2 3 C) log3 z3 w2 x w2 z3 x 12. ¿Cuál es el valor de x que satisface la ecuación logarítmica log (3x 5) A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 x 13. ¿Cuál es el valor de x que satisface la ecuación 4 A) x 4.204567 B) x 4.59657 C) x 5.807354 D) E) x 4.416445007 180 E) 8 456 ? log17 ? INSTRUMENTOS DE EVALAUCIÓN Evaluación del desempeño (ejercicios) No. 1 En equipo Cumplió Ejecución Sí No Ponderación Calif. Indicador Observaciones 0.3 Se integró al equipo. 2 Mostró interés por el tema. 3 Mostró conocer los conceptos que utilizó 4 Mostró habilidad para responder a los ejercicios 5 Aplicó correctamente el procedimiento Calificación de esta evaluación 0.3 0.3 0.6 0.6 2.1 Tabla de ponderación 1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación Evaluación del desempeño (ejercicios): Individual No. 1 Indicador Cumplió Sí No Mostró interés por el tema. 2 Mostró conocer los conceptos que utilizó 3 Mostró habilidad para responder a los ejercicios 4 Aplicó correctamente el procedimiento Calificación de esta evaluación Ejecución Ponderación 0.4 Observaciones Calif. 0.5 0.5 0.7 2.1 Tabla de ponderación 1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación 181 Evaluación de productos (tareas y ejercicios aplicados a la vida cotidiana): No. Indicador Cumplió Sí No Resolvió el total de los ejercicios 2 Resolvió correctamente los ejercicios 3 Entregó en tiempo y forma indicada los ejercicios. Calificación de esta evaluación Ejecución Ponderación 1 Observaciones Calif. 0.75 2.0 1.0 3.75 Tabla de ponderación 1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación Evaluación de Productos (investigaciones): No. Indicador Cumplió Sí No Entregó en tiempo y forma 2 La información fue clara y acorde al tema 3 Presentación del trabajo Calificación de esta evaluación Ejecución Ponderación 1 Observaciones Calif . 1.25 1.25 1.25 3.75 Tabla de ponderación 1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación 182 CRITERIO: Producto Desempeño Conocimiento CRITERIOS DE EVALUACIÓN PORCENTAJE: 15% 35% 50% Total: 100% RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN UNIDAD I REACTIVO: OPCIÓN CORRECTA: 1 C 2 A 3 D 4 D 5 B 6 A 7 A 8 D 9 D 10 C 11 A 12 C 13 B 14 A 15 C RESPUESTAS A LA EVALUACIÓN DIAGNOSTICA UNIDAD I REACTIVO: OPCIÓN CORRECTA: 1 D 2 C 3 B 4 B 5 E 6 C 7 B 8 A 9 D 10 C 183 PORCENTAJE DE ACTIVIDADES Y PRODUCTOS EVALUABLES UNIDAD 1 No. Producto a entregar por el alumno % Dinámica empleada Criterio Sesión No. 1 Ejercicio 1: Lectura y respuestas a cuestionamientos. Tareas de Investigación 1. 2.06 Individual Desempeño 3 1.36 Individual Producto Ejercicio no.2: Completar la tabla. Tareas de Investigación 2. 2.06 Individual Desempeño 1.36 Individual Producto Ejercicio no 3: Diferenciar entre axioma, postulado, teorema, lema y corolario. Tareas de Investigación 3. 2.06 Individual Desempeño 1.36 Individual Producto Ejercicios no. 1. Deducciones de conjeturas. Ejercicios de aplicación 2.06 Grupal Desempeño 1.36 Individual Producto Ejercicios no. 4. Identificación de ángulos. Tareas de Investigación 4 2.06 Individual Desempeño 1.36 Individual Producto Ejercicios Identificación ángulos. Ejercicios Conversiones. Ejercicios Conversiones. Ejercicios Conversiones. Tarea 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Extraclase 4 Extraclase 5 Extraclase 6 Extraclase 7 no. de 2. pares 2.06 Grupal Desempeño Extraclase 8 no. 5. 2.06 Individual Desempeño 9 no. 6. 2.06 Individual Desempeño 10 no. 3. 2.06 Grupal Desempeño 11 1.36 Individual Producto 2.06 Grupal Desempeño 2.06 Grupal Desempeño 13 18 Ejercicios no. 4. Calcular la medida de ángulos. Ejercicios no. 5. Calcular la medida de ángulo. Ejercicios de aplicación Extraclase 12 1.36 Individual Producto 19 Tareas de Investigación 5 1.36 Individual Producto 20 Ejercicios no.6. Relación de columnas. 2.06 Grupal Desempeño 10 11 12 13 14 15 16 17 184 Extraclase Extraclase 14 21 Tareas de Investigación 6 1.36 Individual Producto 22 Ejercicios no. 7. Relación de columnas. Ejercicios no. 8. Calcular la medida de ángulos. Ejercicios no. 9. Aplicación de Teorema de Pitágoras. Ejercicios no. 7. Aplicación de Teorema de Pitágoras. Tarea 2 2.06 Grupal Desempeño Extraclase 15 2.06 Grupal Desempeño 16 2.06 Grupal Desempeño 17 2.06 Individual Desempeño 17 1.36 Individual Producto 2.06 Grupal Desempeño 28 Ejercicios no. 10. Aplicación de Teorema de Tales. Ejercicios de aplicación 1.36 Individual Producto 29 Tareas de Investigación 7 0 Individual Producto 23 24 25 26 27 185 Extraclase 18 Extraclase Extraclase RESPUESTAS A LA EVALUACIÓN DIAGNOSTICA UNIDAD 2 REACTIVO: OPCIÓN CORRECTA: 1 B 2 B 3 C 4 B 5 E 6 A 7 C 8 E 9 B 10 B 11 C RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN UNIDAD 2 REACTIVO: OPCIÓN CORRECTA: 1 A 2 E 3 D 4 C 5 D 6 C 7 B 8 C 9 A 10 D 11 B 12 A 13 E 14 E 15 E IÓN 186 PORCENTAJE DE ACTIVIDADES Y PRODUCTOS EVALUABLES UNIDAD 2 No. Producto a entregar por el alumno % Dinámica empleada 1 Tareas de Investigación 7: cuadro sinóptico incluido en la página 63 de la unidad 1. Ejercicio no. 1:Tabla correspondiente Ejercicio no. 2: Tabla correspondiente Ejercicio no. 3: Tablas correspondientes Ejercicio no.4: Tabla correspondiente Ejercicios no. 1: Problemas Ejercicios no. 2: Problemas Ejercicios de aplicación 2.5 Individual Producto 1.7 Grupal Desempeño 19 1.7 Grupal Desempeño 19 1.7 Grupal Desempeño 20 1.7 Grupal Desempeño 21 1.7 Individual Desempeño 22 1.7 Individual Desempeño 23 2.5 Individual Producto Ejercicios no. 3: Identificar puntos y rectas en la circunferencia Tarea no. 1: Trazos en la circunferencia Ejercicios no. 5: Identificar ángulos en la circunferencia Ejercicios no. 6: Cálculos de áreas Trazos y cálculo de perímetro y área del círculo Tarea no. 2: Problemas 1.7 Individual Desempeño 2.5 Individual Desempeño 1.7 Grupal Desempeño Extraclase 25 1.7 Grupal Desempeño 26 0 Individual Desempeño 27 2.5 Individual Producto Ejercicios no. 7: Cálculos de áreas Ejercicios no. 8: Medidas de ángulos Ejercicios no. 9: Medidas de ángulos Ejercicios de aplicación 1.7 Grupal Desempeño Extraclase 28 1.7 Grupal Desempeño 29 1.7 Grupal Desempeño 30 2.5 Individual Producto Ejercicios no. 10: Resolución de triángulos rectángulos. 1.7 Grupal Desempeño 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 187 Criterio Sesión No. Extraclase Extraclase 24 Extraclase 31 20 Ejercicios no. 11: Resolución de triángulos rectángulos. 1.7 Grupal Desempeño 31 21 Ejercicios no. 12: Resolución de triángulos rectángulos. Ejercicios no. 13: Completa la tabla. Ejercicios no. 14: Completa la tabla. Ejercicios no. 15: Completa la tabla. Ejercicios no. 16: Resolución de triángulos rectángulos. Ejercicios no. 17: Resolución de triángulos rectángulos. Ejercicios no. 5: Resolución de triángulos rectángulos. Ejercicios de aplicación 1.7 Grupal Desempeño 32 1.7 Grupal Desempeño 33 1.7 Grupal Desempeño 33 1.7 Grupal Desempeño 34 1.7 Grupal Desempeño 35 1.7 Grupal Desempeño 36 1.7 Individual Desempeño 36 2.5 Individual Producto 23 24 25 26 27 28 29 188 Extraclase RESPUESTAS A LA EVALUACIÓN DIAGNOSTICA UNIDAD 3 REACTIVO: OPCIÓN CORRECTA: 1 B 2 C 3 A 4 A 5 B 6 E 7 B RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN UNIDAD 3 REACTIVO: OPCIÓN CORRECTA: 1 A 2 C 3 A 4 C 5 B 6 A 7 D 8 D 9 D 10 B 11 A 12 B 13 D 189 PORCENTAJE DE ACTIVIDADES Y PRODUCTOS EVALUABLES UNIDAD 3 No. Producto a entregar por el alumno % 1 Ejercicio 1: Resolución de triángulos oblicuángulos 2.1 Ejercicio 1: Resolución de triángulos oblicuángulos 2.1 Tarea 1. Aplicaciones de 3.75 2 3 4 5 6 Dinámica empleada Criterio Sesión No. Grupal Desempeño 37 Individual Desempeño 38 Extra- la ley de los senos Individual Producto Ejercicio 2: Resolución de 2.1 triángulos oblicuángulos Grupal Desempeño 39 Ejercicio 2: Resolución de 2.1 triángulos oblicuángulos Individual Desempeño 40 Individual Producto Ejercicios de aplicación 1. 3..75 clase Extraclase 7 Tarea de Investigación 1. 3.75 Individual Producto Extraclase 8 Ejercicio 3: Completar la 2.1 Grupal Desempeño 41 Individual Desempeño 41 Individual Desempeño 42 Individual Desempeño 43 Individual Producto 44 Grupal Desempeño 44 tabla correspondiente. 9 Ejercicio 3. Relación de 2.1 columnas. 10 Ejercicio 4. Completar la 2.1 tabla correspondiente. 11 Ejercicio 5. Demostración 2.1 de identidades. 3.75 12 Tarea de investigación 2 13 Ejercicio 4. Complementar 2.1 la tabla adjunta 14 Ejercicio 5. Problemas. 2.1 Grupal Desempeño 45 15 Ejercicio 6. Problemas. 2.1 Individual Desempeño 46 16 Ejercicio 7. Problemas. 2.1 Individual Desempeño 47 17 Ejercicio 6. Resolución de 2.1 Grupal Desempeño 48 190 ecuaciones exponenciales. 18 Ejercicio 8. Aplicación de 2.1 Individual Desempeño 48 Grupal Desempeño 50 Individual Desempeño 51 Individual Desempeño 52 ley de los exponentes. 19 Ejercicio 7. Aplicación de 2.1 ley de exponentes y de logaritmos. 20 Ejercicio 9. Aplicación de 2.1 ley de los logaritmos. 21 Ejercicio10. Calcular el 2.1 valor de la incógnita x, utilizando leyes de logaritmos. 191 GLOSARIO Ángulo: Dos rayos que comparten un punto extremo común, en el supuesto de que los dos rayos no estén en la misma recta. El punto extremo común de los dos rayos que forman el ángulo es el vértice del ángulo. Los dos rayos se denominan lados del ángulo. Ángulo agudo: Ángulo que mide menos de 90º. Ángulo central: Ángulo cuyo vértice es el centro de una circunferencia y cuyos lados contienen a los radios de ésta. Ángulo de depresión: Si una persona está mirando hacia abajo, entonces el ángulo visto desde la horizontal hacia abajo a la línea de visión se denomina ángulo de depresión. Ángulo de elevación: Si una persona está mirando hacia arriba, entonces el ángulo de la horizontal a la línea de visión se denomina ángulo de elevación. Ángulo de rotación: Un número, por lo general en grados, que describe un movimiento de giro alrededor de un centro dado. Ángulo exterior: Ángulo que forma un par lineal con uno de los ángulos internos del polígono. Ángulo inscrito: Ángulo cuyo vértice está en una circunferencia y cuyos lados contienen cuerdas del círculo. Ángulo interior adyacente: El ángulo interior que forma un par lineal con un ángulo exterior dado. Ángulo obtuso: Ángulo que mide más de 90º. Ángulo recto: Ángulo que mide 90°. Ángulos complementarios: Dos ángulos cuyas medidas suman 90º. Ángulos congruentes: Dos ángulos son congruentes si y sólo si tienen la misma medida. Ángulos consecutivos: Dos ángulos de un polígono que comparten un lado común. Ángulos suplementarios: Dos ángulos cuyas medidas suman 180º. Apotema de un polígono regular: Segmento perpendicular del centro del círculo circunscrito por el polígono a un lado del polígono. Arco de círculo: Dos puntos en una circunferencia y la parte continua (sin romper) de la circunferencia entre los dos puntos. Los dos puntos se denominan puntos extremos del arco. Arco mayor: Arco de círculo cuya longitud es mayor que la longitud de un semicírculo del círculo. Arco menor: Arco de círculo cuya longitud es menor que la longitud de un semicírculo del círculo. Área: Medida de la región encerrada por una figura plana. Argumento lógico: Conjunto de premisas y una conclusión. Cada proposición dada es una premisa. La proposición a que se llega a través del razonamiento se denomina conclusión. Un argumento es válido si la conclusión fue obtenida mediante formas aceptadas de razonamiento. 192 Base de un triángulo isósceles: El lado opuesto al ángulo vértice en un triángulo isósceles. Bisectriz de un ángulo: Rayo que tiene un punto extremo en el vértice de un ángulo y lo divide en dos ángulos iguales de la misma medida. Bisectriz de un segmento: Recta que pasa por el punto medio de un segmento. Centro idee: Punto de concurrencia de las tres medianas de un triángulo. Círculo: Conjunto de todos los puntos en un plano que están a una distancia de un punto dado (el centro del círculo) en el plano. Circulo circunscrito en un polígono: Círculo que pasa por cada uno de los vértices de un polígono. El polígono está inscrito en el círculo. Circulo inscrito en un polígono: Círculo que toca una vez cada lado de un polígono exactamente en un punto. El polígono está circunscrito en el círculo. Círculos concéntricos: Círculos que comparten el mismo centro. Círculos congruentes: Círculos del mismo radio. Círculos tangentes: Círculos que son tangentes a la misma recta en el mismo punto. Pueden ser tangentes internamente o tangentes externamente, como se muestra en la figura de la derecha. Circuncentro: El punto de concurrencia de las tres bisectrices perpendiculares de los lados de un triángulo. Circunferencia: Distancia alrededor del círculo; es decir, el perímetro. La circunferencia de un círculo de radio r es 2π r. Congruente: Dos figuras geométricas son congruentes si y sólo si son idénticas en forma y tamaño. Corolario: Teorema demostrado como una consecuencia inmediata de otro teorema. Cuadrilátero: Polígono de cuatro lados. Cuerda de un círculo: Segmento cuyos puntos extremos están en una circunferencia. Decágono: Polígono de diez lados. Diagonal de un polígono: Segmento que conecta dos vértices no consecutivos cualesquiera. Diámetro: Cuerda que contiene al centro del círculo Distancia de un punto a una recta: Longitud del segmento perpendicular que va del punto a la recta Dodecágono: Polígono de doce lados. Eneágono: Polígono de nueve lados. Esfera: Conjunto de todos los puntos en el espacio a una distancia dada de un punto dado. La distancia dada se denomina radio y el punto dado es el centro. Figuras semejantes: Figuras que tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño. 193 Grado: Unidad de medida de los ángulos. Hemisferio: Mitad de una esfera. Heptágono: Polígono de siete lados. Hexágono: Polígono de seis lados. Hexágono regular: Figura cuyos seis lados tienen la misma longitud y cuyos ángulos miden lo mismo. Hipotenusa: Lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo. Los otros dos lados se denominan catetos. Incentro: El punto de concurrencia de las tres bisectrices de los ángulos de un triángulo. Lado de un polígono: Cada segmento de recta de un polígono. Lados consecutivos: Dos lados de un polígono que comparten un vértice común. Ley de los cósenos: Para cualquier triángulo con ángulos de medidas A, B y C y lados de longitudes a, b y c (a opuesto a A , b opuesto a B y c opuesto a C), c2 = a2 + b2 -2ab cos C. Ley de los senos: Para cualquier triángulo con ángulos de medidas A, B y C y lados de longitudes a, b y c (a opuesto a A , b opuesto a B y c opuesto a C), Longitud de arco: Fracción de la circunferencia de un círculo definida por el arco. Mediana de un triángulo: Segmento que conecta el punto medio de un lado con el vértice opuesto. Mediatriz: Recta que divide (biseca) un segmento de recta en dos partes congruentes y que también es perpendicular al segmento de recta. Medida de un ángulo: La mínima cantidad de rotación necesaria para girar de un rayo de un ángulo al otro. Modelo matemático: Abstracción de un problema del mundo real en un problema matemático. La creación de un modelo matemático puede implicar establecer hipótesis y efectuar simplificaciones crear figuras geométricas, gráficas y tablas; o encontrar ecuaciones que aproximan el comportamiento de un evento real. Nonágono: Polígono de nueve lados. Octágono: Polígono de ocho lados. Ortocentro: El punto de concurrencia de las tres alturas (o de las rectas que pasan por las alturas) de un triángulo. Paralelogramo: Cuadrilátero en el que ambos pares de lados opuestos son paralelos Pentágono: Polígono de cinco lados. Perímetro de un polígono: La suma de las longitudes de los lados de un polígono. Polígono: Figura geométrica cerrada en un plano en la que segmentos de recta conectan punto extremo con punto extremo y cada segmento corta exactamente a otros dos segmentos. 194 Polígono cóncavo: Polígono en que por lo menos un segmento que une dos vértices está fuera del polígono. Polígono convexo: Polígono en que ningún segmento que une dos vértices está fuera del polígono. Polígono equiángulo: Polígono cuyos ángulos miden lo mismo. Polígono equilátero: Polígono cuyos lados miden lo mismo. Polígono regular: Polígono que es equilátero y equiángulo. Polígonos congruentes: Dos polígonos son congruentes si y sólo si todos sus ángulos correspondientes son congruentes y todos sus lados correspondientes son congruentes. Polígonos semejantes: Polígonos cuyos ángulos correspondientes son congruentes y cuyos lados correspondientes son proporcionales. Postulado: Proposición aceptada sin demostración. Proporción: Proposición de igualdad entre dos razones. Punto: Término indefinido. Unidad básica de la geometría. No tiene tamaño, es infinitamente pequeño y sólo tiene ubicación. Puntos colineales: Dos o más puntos que están en la misma recta. Puntos coplanares: Dos o más puntos que están en el mismo plano. Radio: Segmento trazado de un punto de una circunferencia o esfera al centro. La longitud del segmento también se denomina radio. Recta: Término indefinido. Disposición recta de puntos. En una recta hay una infinidad de puntos. Una recta tiene longitud infinita aunque carece de grosor y se extiende sin límite en ambas direcciones. Recta auxiliar: Una recta o segmento adicional que se traza en una figura como ayuda en una demostración. Recta de Euler: Recta que pasa por el circuncentro, el ortocentro y el centroide de un triángulo; así denominada en honor del físico y matemático suizo Leonhard Euler. Rectángulo: Paralelogramo equiángulo. Rectas concurrentes (segmentos o rayos): Rectas, segmentos o rayos que están en el mismo plano son concurrentes si y sólo si se cortan en un solo punto. El punto de intersección es el punto de concurrencia. Rectas oblicuas: Rectas que no están en el mismo plano y no se cortan. Rectas paralelas: Dos o más rectas que están en el mismo plano y no se cortan. Rectas perpendiculares: Dos rectas que se cortan y forman un ángulo recto. Rectificar: Transformar una figura en rectángulo por medio de corte y reensamblaje. Recurrencia: Proceso de generación de una sucesión (o patrón) a partir de un primer término dado al aplicar una regla a fin de obtener cualquier término subsecuente a partir del término precedente. Regla: Instrumento utilizado para trazar rectas. 195 Regla graduada: Instrumento utilizado para medir la longitud de segmentos de recta. Rombo: Paralelogramo equilátero. Rotación: Isometría en que todos los puntos giran un ángulo constante con respecto a un punto fijo. El punto fijo se denomina centro de rotación y la cantidad de giro se denomina ángulo de rotación. Rumbo: Ángulo medido en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj con respecto al norte. Secante de un círculo: Recta que contiene una cuerda. Sección: Figura plana que resulta cuando un sólido es cortado por un plano. Sector de un círculo: Región entre dos radios de un círculo y el arco incluido. Segmento de Euler: Segmento cuyos puntos extremos son el ortocentro y el circuncentro de un triángulo. (El segmento de Euler también contiene al centroide del triángulo). Segmento de recta o segmento: Dos puntos y todos los puntos entre aquéllos, que están en la recta que contiene a los dos puntos. Los dos puntos se denominan puntos extremos del segmento de recta. Segmento de un círculo: Región entre una cuerda de un círculo y el arco incluido. Segmento medio de un trapezoide: Segmento de recta que conecta los puntos medios de los dos lados no paralelos de un trapezoide. Segmento medio de un triángulo: Segmento de recta que conecta los puntos medios de dos lados de un triángulo. Segmentos congruentes: Dos segmentos son congruentes si y sólo si tienen la misma medida. Semicírculo: Arco de círculo cuyos puntos extremos son los puntos extremos de un diámetro. Seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo: Para cualquier triángulo rectángulo ABC con ángulo agudo A , sen A = Longitud del cateto opuesto a / Longitud de la hipotenusa. Simetría: Una figura es simétrica si coincide consigo misma después de una transformación rígida. Simetría de reflexión: Una figura tiene simetría de reflexión si puede reflejarse a través de una recta de forma que la imagen resultante coincida con la figura original. La simetría de reflexión también se denomina simetría con respecto a una recta o simetría especular. La recta de reflexión se denomina recta de simetría o espejo. Simetría de reflexión por deslizamiento: Una figura o patrón tiene simetría de reflexión por deslizamiento si puede experimentar una reflexión por deslizamiento de modo que la imagen coincida con la figura original. Las figuras con simetría de reflexión por deslizamiento necesariamente se repiten de forma infinita. Simetría de rotación: Una figura tiene simetría de rotación n veces si puede rotarse grados alrededor de un punto (donde n es un entero positivo) de modo que la imagen resultante coincida con la figura original. 196 Simetría de traslación: Una figura presenta simetría de traslación si puede trasladarse de modo que la imagen coincida con la figura original. Las figuras con simetría de traslación necesariamente se repiten de forma infinita; sólo es posible representar una parte finita de la figura. Simetría puntual: Una figura presenta simetría puntual si puede rotarse 180º alrededor de un punto de modo que la figura coincida con su imagen. Tangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo: Para cualquier triángulo rectángulo ABC con ángulo agudo A , tan A = Longitud del cateto adyacente b / Longitud del cateto opuesto a. Tangente de un círculo: Recta que está en el plano de un círculo y que corta a éste exactamente en un punto. El punto de tangencia es el punto en que la tangente toca el círculo. Teorema: Proposición que puede demostrarse. Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos. Tetraedro: Poliedro con cuatro caras. Transformación: Regla que establece una correspondencia uno a uno entre cada punto del plano y otro punto en el plano, denominado su imagen Transformación rígida o isometría. Transformación que preserva todas las distancias y por ello preserva el tamaño y la forma. (Nota: iso significa "igual" y metría significa "medida"). La imagen de una figura bajo esta transformación siempre es congruente con la figura original. Transportador: Instrumento utilizado para medir en grados el tamaño de un ángulo. Transversal: Recta que corta dos o más rectas coplanares. Trapezoide: Cuadrilátero con exactamente un par de lados paralelos. Los lados paralelos se denominan bases. Dos ángulos que comparten una base como lado común se denominan par de ángulos de la base. Trapezoide isósceles: Trapezoide cuyos dos lados no paralelos tienen la misma longitud Traslación: Isometría en que todos los puntos se desplazan una distancia fija hacia sus imágenes a lo largo de trayectorias paralelas. Una traslación está determinada por un vector de traslación, representado por una flecha. La distancia del desplazamiento es la longitud del vector de traslación desde el punto de inicio hasta la punta, y la dirección del desplazamiento es la dirección en que apunta la flecha. Triángulo: Polígono de tres lados Triángulo agudo: Triángulo con tres ángulos agudos. Triángulo escaleno: Triángulo con tres lados de longitudes diferentes. Triángulo isósceles: Triángulo con por lo menos dos lados de la misma longitud. El ángulo entre los dos lados de la misma longitud se denomina ángulo vértice. El lado opuesto al ángulo vértice se denomina base. Los dos ángulos opuestos a los dos lados de la misma longitud se denominan ángulos de la base. Triángulo obtuso: Triángulo con exactamente un ángulo obtuso. Triángulo rectángulo: Triángulo con exactamente un ángulo recto. 197 Tripleta pitagórica: Tres enteros positivos que producen una igualdad en la fórmula de Pitágoras. Si los tres enteros no tienen factores comunes enteros, entonces la tripleta es primitiva. Si los tres enteros tienen un factor común, entonces la tripleta es un múltiplo. Undecágono: Polígono de once lados. Vértice de un polígono: Cada punto extremo donde se encuentran los lados de un polígono. Vértices consecutivos: Dos vértices de un polígono conectados por un lado. 198 BIBLIOGRAFIA 1. Barnett, Raymond A.(1987). Álgebra y trigonometría, Editorial McGraw Hill, México. 2. Swokowski, Earl W. \ Cole, Jeffery A., Coaut. \ Muñoz, Jorge Humberto. (1998). Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica . 9a. ED. México. 3. Kelly, Timothy J. et al. (1996). 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