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ARITMETICA MODULAR: Una Aritmética Divertida
Luis F. Cáceres
La idea de número debió surgir de la necesidad que tenía el hombre de llevar registro de cosas
importantes del diario vivir. ¿Cuántas ovejas tenemos?, ¿Cuántos somos?, ¿Cuánto falta para la próxima
inundación? Estas preguntas nos llevan a pensar en los números naturales 1,2,3,…. La idea abstracta de
número vino mucho después que el concepto práctico de lo que los números significan. El hecho de que
dos vacas y dos libretas tengan algo en común (el hecho de que son dos) no es obvio a pesar que desde
niños sabemos la diferencia entre dos vacas y tres vacas.
Ciertas culturas, de acuerdo a sus necesidades, añadieron otros números a los números para contar
(números naturales). Los hindús inventaron el cero. Los negativos tienen que ver con la idea de “deber” y
forman junto con los naturales y el cero el conjunto de los enteros …,-3,-2,-1,0,1,2,3,…. Las fracciones
fueron introducidas para modelar el hecho de dividir materiales en pedazos y junto con las fracciones
1 3 10
negativas forman el conjunto de los racionales, por ejemplo, , , − . La geometría Griega y la
2 8 3
necesidad del Cálculo llevan a la idea de los números reales (números que no se pueden representar como
fracciones) tales como 2, π , 3 . Más adelante, y debido a la necesidad de resolver ecuaciones
algebraicas, surgen los misterioso números imaginarios o complejos. Para su creación necesitamos la raíz
cuadrada de –1, por lo tanto la asumimos y le damos un nombre: i .
En cada uno de estos sistemas es posible desarrollar una aritmética (en los naturales está la suma,
en los enteros esta la resta y la suma, etc.) que nos llevan a la larga a poder modelar y entender la
naturaleza. A pesar de que el número 2 no existe en la naturaleza, si existe la idea de encontrarnos con dos
vacas. De esta forma el hombre ha podido describir ciertas propiedades del mundo real usando los
números, y esto es posible simplemente porque los números son construcciones abstractas, basadas a su
vez en el comportamiento del mundo real.
Existen otros sistemas, no necesariamente números, en donde también se puede realizar una
aritmética. Lo interesante de estos otros sistemas es que muchas veces se comportan como los números y
su aritmética comparte propiedades con la aritmética usual. Mas aún, estas aritméticas “extrañas” y
divertidas pueden ayudar a entender aún mas la aritmética usual. El hecho de que sean divertidas debería
ser razón suficiente para estudiarlas, pero el hecho de que tiene aplicaciones inmediatas en la aritmética
usual es quizás lo que ha llevado a muchos matemáticos a desarrollarlas profundamente. Un ejemplo
clásico de este tipo de aritmética es la aritmética modular o aritmética finita. Esta aritmética fue
descrita por Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae, un libro que influyó mucho en el desarrollo de
la matemática y fue publicado en 1801 cuando Gauss tenía tan solo 24 años. La idea que Gauss investigó
en tan vieja como la idea de contar. Uno obtiene una aritmética finita cuando se tiene un sistema de contar
que se comporta periódicamente. Auanque la noción de aritmética finita no era nueva, Gauss fue la
primera persona en desarrollarla e investigar muchas de sus propiedades.
5+4=2: Una aritmética divertida.
Supongamos que numeramos los días de la semana usando los números del 0 al 6, comenzando
con el domingo.
1
domingo 0
sábado 6
lunes 1
viernes 5
martes 2
jueves 4
miércoles 3
Si continuamos numerando, el día 7 es domingo nuevamente, el día 8 es lunes, el día 9 es martes,
etc. En cierto sentido podemos pensar que 7 = 08 = 1, 9 = 2, etc., donde “=” obviamente, no tiene el mismo
sentido usual. También podemos trabajar hacia atrás: el día -1 es el sábado, el día -2 es el viernes, etc. Por
lo tanto −1 = 6, −2 = 5, etc. La siguiente tabla muestra los números correspondientes a cada día de la
semana.
domingo
…,-14,-7,0,7,14,…
lunes
…,-13,-6,1,8,15,…
martes
…,-12,-5,2,9,16,…
miércoles
…,-11,-4,3,10,17,…
jueves
…,-10,-3,4,11,18,…
viernes
…,-9,-2,5,12,19,…
sábado
…,-8,-1,6,13,20,…
No es difícil encontrar un patrón para los números correspondientes a cada día, dicho patrón se
ilustra en la siguiente tabla.
domingo
lunes
martes
miércoles
jueves
viernes
sábado
números de la forma
números de la forma
números de la forma
números de la forma
números de la forma
números de la forma
números de la forma
7n
7n + 1
7n + 2
7n + 3
7n + 4
7n + 5
7n + 6
Note que los números de la forma 7 n + 7 , son de la forma 7( n + 1) y por lo tanto son de la forma
7 n . Por lo tanto el día que le corresponde a un número entero cualquiera está determinado por el residuo
al dividir el número entre 7. Por ejemplo el día que le corresponde al número 38 es el miércoles (ya que
38 = 7 ⋅ 5 + 3 ). Estos residuos son siempre 0,1,2,3,4,5,6 y podemos definir una aritmética de residuos.
Podemos acordar que 4 + 5 = 2 , esto significa que el día 4 mas el día 5 es el día 2, lo cual es bastante
natural. De esta forma podemos construir la tabla para la suma de los números del 0 al 6 de la siguiente
forma:
+
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
2
Esta tabla modela la estructura cíclica de los siete días de la semana. En este contexto la pregunta
¿Que día es 323 días después del jueves? Puede ser escrita como 4 + 323 = ? . El 323 no esta en nuestra
tabla, pero note que 323 = 7 ⋅ 46 + 1 el cual es de la forma 7 n + 1 , luego 323 = 1 , por lo tanto
4 + 323 = 4 + 1 y buscando en la tabla tenemos que 4 + 1 = 5 , que es viernes.
Esta suma tiene cosas extrañas como el hecho de que 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0 , pero cuando
pensamos en términos de días, esto tiene perfecto sentido.
Ahora podemos tratar de definir multiplicación para este sistema. No tiene mucho sentido pensar
en multiplicar sábado por jueves, pero si podemos pensar en cuál es el mejor sentido que le podemos dar a
6 × 4 . Es claro que lo ideal es que 6 × 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 y mirando en la tabla se obtiene 6 × 4 = 3 .
También sería razonable pensar que 6 × 4 = 6 + 6 + 6 + 6 y
mirando en la tabla obtenemos
(afortunadamente) la misma respuesta: 6 × 4 = 3 .De hecho si hacemos la tabla de multiplicación (que no es
otra cosa que sumas repetidas) para los residuos del 0 al 6 obtenemos:
×
0
1
2
3
4
5
6
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
2
0
2
4
6
1
3
5
3
0
3
6
2
5
1
4
4
0
4
1
5
2
6
3
5
0
5
3
1
6
4
2
6
0
6
5
4
3
2
1
El sistema que hemos desarrollado se conoce como el sistema de los enteros módulo 7. No hay
nada especial acerca del 7, con cualquier otro número natural podemos desarrollar este tipo de aritmética.
Si hubiésemos empezado con las horas en un reloj, hubiésemos terminado con los enteros módulo 12, si
hubiésemos empezado con los días del año, hubiésemos terminado con los enteros módulo 365, etc.
Si por ejemplo desarrollamos la aritmética módulo 4, entonces los residuos que usaríamos serían el 0,1,2,3
y aquí 4 = 0 , 5 = 1 , 6 = 2 , etc.
Ejercicios:
1. ¿Qué día de la semana será 93 días después del miércoles?.
2. Completar las tablas de suma y multiplicación para los enteros módulo 4.
3. Completar las tablas de suma y multiplicación para los enteros módulo 5.
4. En la aritmética usual − a es el número tal que cuando se le suma a a da 0. A − a se le llama el inverso
aditivo de a . Hallar los inversos aditivos de los números del 0 al 6 en la aritmética módulo 7.
5. Repetir el ejercicio anterior para los números del 0 al 11 en la aritmética módulo 11.
El siguiente paso, obviamente es pensar en división. Para hacer esto nos conviene formalizar un poco
lo que hemos hecho hasta el momento. El primer paso es introducir un símbolo nuevo a nuestro lenguaje
( ≡) que nos sirva para representar la igualdad en la aritmética modular. Recordemos que 9 = 2 cuando
hablamos de los enteros módulo 7. Pero cuando hablamos de los enteros módulo 4, 9 = 1 . Para evitar
ambigüedades, escribiremos en el primer caso 9 ≡ 2 mod 7 y en el segundo caso 9 ≡ 1mod 4 . En general
escribiremos a ≡ b mod m y esto quiere decir que al dividir a entre m se obtiene el mismo residuo que al
dividir b entre m .
En la aritmética mod m se pueden sumar y multiplicar números básicamente de la misma forma que en
la aritmética usual. También es posible restar. El problema de la división es mucho más interesante porque
la “división usual” solamente se puede hacer en algunos módulos.
3
5
5
mod 7 . Es importante notar que el símbolo no tiene
2
2
sentido con lo que hemos hecho hasta el momento y por o tanto estamos listos para darle un sentido.
5
Obviamente el sentido que le demos a
debe estar de acuerdo, en lo posible, con el sentido que se le da
2
en la aritmética usual. De lo contrario terminaríamos construyendo una aritmética divertida, pero que
quizás tendría propiedades totalmente diferentes a las de la aritmética usual y por lo tanto no tendría
aplicaciones inmediatas.
5
La definición mas natural para sería el número x que satisface la ecuación
2
2 x ≡ 5 mod 7 .
p
En general, si p y q son números entre 0 y 6, queremos definir igual a y donde
q
qy ≡ p mod 7 .
Note que qy es el número que aparece en la fila q y en la columna y de la tabla de multiplicación. Por lo
tanto si queremos que la congruencia tenga una sola solución y , el número p debe aparecer una sola vez
en la fila q . Si apareciera dos o mas veces o si n apareciera, no sabríamos cual escoger. La tabla de
multiplicación módulo 7 tiene la propiedad de que en cada fila aparecen los números del 0 al 6 y además
aparecen una sola vez. Por lo tanto podemos encontrar una solución única para la congruencia anterior
p
cuando q ≠ 0 . Esto no
para cualquier q diferente de cero. Esto significa que siempre podemos definir
q
es una restricción grande pues en la aritmética usual tampoco dividimos por 0.
5
Por lo tanto, = 6 mod 7 ya que 2 ⋅ 6 ≡ 5 mod 7 .
2
Supongamos que queremos darle sentido a
Ejercicios:
1. En la aritmética usual, 1/ a es el número que cuando se multiplica por a da como resultado 1. A 1/ a
se le llama el inverso multiplicativo de a . Hallar 1/1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6 mod 7.
2. Hallar 3 / 4,5 / 3,10 / 8. módulo 7.
Las cosas no funcionan igual de bien con otros módulos. Por ejemplo si trabajamos módulo 6 la tabla
de multiplicación que se obtiene es la siguiente.
×
0
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
2
0
2
4
0
2
4
3
0
3
0
3
0
3
4
0
4
2
0
4
2
5
0
5
4
3
2
1
Lo primero que notamos en esta tabla de multiplicación es que aparecen muchos ceros. En
particular, 3 ⋅ 2 = 0 . Este fenómeno no ocurre en la aritmética tradicional, ya que en la aritmética usual si
a ⋅ b = 0 , entonces obligatoriamente se tiene que a = 0 o b = 0. El hecho de que trabajando módulo 6, la
multiplicación de dos números diferentes de cero pueda dar como resultado 0, nos trae problemas pero a la
vez crea una aritmética interesante y diferente. Note que por ejemplo no podemos definir 1/3 (por lo
menos de la manera usual) ya que no existe un número y en la tabla tal que 3 ⋅ y = 1.
4
Ejercicio:
3. 1. Tratar de hallar los inversos multiplicativos de los números del 1 al 11 en la aritmética módulo 12.
Descubrirá que algunos de ellos no poseen inverso multiplicativo.
4. Repetir el ejercicio anterior para la aritmética módulo 6 y módulo 8. Encontrar una conjetura para
describir a los números que poseen inverso multiplicativo.
5. Construir las tablas de multiplicación módulo del 2 al 10 y tratar de encontrar una conjetura sobre los
números que producen módulos donde todos los números (excepto el 0) poseen inversos.
6. Para varios valores de a < 7 calcular a 7 mod 7 . Para varios valores de a < 5 calcular a 5 mod 5 .
Intentar otros cómputos similares. Hacer una conjetura para el resultado que se obtiene.
Propiedad:
Si a, b, c y m son enteros, con m > 0 , tales que a ≡ b ( mod m ) , entonces
1. a + c ≡ b + c ( mod m )
2. a − c ≡ b − c ( mod m )
3. ac ≡ bc ( mod m )
Propiedad:
Si a, b, c, d y m son enteros, con m > 0 , tales que a ≡ b ( mod m ) y c ≡ d ( mod m ) , entonces
1. a + c ≡ b + d ( mod m )
2. a − c ≡ b − d ( mod m )
3. ac ≡ bd ( mod m )
Propiedad:
Si a, b, k y m son enteros, con k > 0, m > 0 y a ≡ b ( mod m ) , entonces a k ≡ bk ( mod m )
EJERCICIOS:
1. Muestre que las siguientes congruencias son ciertas.
a. 13 ≡ 1( mod 2 )
b. 13 ≡ 1( mod 2 )
c. 22 ≡ 7 ( mod 5 )
d. 111 ≡ −9 ( mod 40 )
e. 666 ≡ 0 ( mod 37 )
f.
−3 ≡ 30 ( mod11)
2. Para que valores de m es cierta cada una de las siguientes congruencias:
a. 27 ≡ 5 ( mod m )
b. 1000 ≡ 1( mod m )
c. 1331 ≡ 0 ( mod m )
5
3. Probar que si a es un entero par, entonces a 2 ≡ 0 ( mod 4 ) y si a es un entero impar, entonces
a 2 ≡ 1( mod 4 ) .
4. Probar que si a es un entero impar, entonces a 2 ≡ 1( mod 8 ) .
5. Dar un ejemplo para probar que a 2 ≡ b 2 ( mod n ) no necesariamente implica que a ≡ b ( mod n ) .
6. Reducir los siguientes números a módulo 13.
a. 22
b. 100
c. 1001
d. -1
e. -100
f. -1000
7. Usando la reducción módulo 6, para construir una tabla para la adición módulo 6, la resta módulo
6 y la multiplicación modulo 6. El residuo que se obtiene en la reducción módulo 6 es el
representante de la correspondiente clase de congruencia.
8. Encontrar el residuo cuando 250 y 4165 se dividen entre 7.
9. Hallar el residuo al dividir la suma 15 + 25 + ... + 995 + 1005 entre 7.
10. Dado un entero a , probar que a 3 ≡ 0,1 o 6 ( mod 7 ) .
11. Dado un entero a , probar que a 4 ≡ 0 o 1( mod 5 ) .
12. ¿Para qué enteros positivos n se cumple que 12 + 22 + ... + ( n − 1) ≡ 0 ( mod n ) ?
2
13. Probar por inducción que si n es un entero positivo, entonces 4n ≡ 1 + 3n ( mod 9 ) ..
6