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Ce.R.P. del Norte – Rivera –
Departamento de Matemática
Notas para el curso de “Fundamentos de la Matemática”
Julio de 2010
CONGRUENCIAS NUMÉRICAS Y ECUACIONES DE CONGRUENCIA
1. RECORDANDO CONCEPTOS:
La congruencia es una relación en el conjunto de los números enteros que se define a partir
de la divisibilidad; dados los enteros a, b y el natural n (distinto de cero y de uno), definimos:

a  b (mód m)  a  b  m .
Una condición necesaria y suficiente para la congruencia es que las divisiones enteras de a y b entre
m den restos iguales (vean la demostración hecha en clase). De esto se deduce que la congruencia
es una relación de equivalencia en Z (aunque se puede demostrar usando sólo la definición, como
lo hicimos en clase). Por ser de equivalencia, la congruencia determina una partición de Z (revisen
el concepto y propiedades de conjunto cociente, que estudiamos cuando vimos relaciones de
equivalencia). A los elementos de este conjunto cociente los llamamos “clases residuales” en
alusión a la condición necesaria y suficiente de congruencia.
También se deduce fácilmente que en el conjunto cociente Z/ hay tantas clases como lo indica el
módulo de la congruencia (una clase por cada resto posible en la división por el módulo m; es decir:
desde 0 hasta m-1): Z /   C0 , C1 ; C2 ;Cm1 
Notación: al elemento C x (clase de x) lo denotaremos con el símbolo x y al conjunto Z/ lo
designamos con Zm.
ARITMÉTICA DE LAS CLASES RESIDUALES:
Se trata ahora de dotar al conjunto Zm de estructura algebraica; como siempre, esto se hace
definiendo en él ciertas operaciones, de cuyas propiedades dependerá la estructura resultante.
a) SUMA EN Zm. Def.: a  b  a  b
Observen que la definición de suma de clases remite a la definición de suma de números enteros (a
rigor, el símbolo de + que aparece en el primer miembro es el que corresponde a la suma de clases
residuales (suma en Zm.) mientras que el del segundo miembro es el de la suma de números
enteros (suma en Z) y por lo tanto deberíamos usar símbolos distintos para ambas operaciones;
algunos autores usan + y  respectivamente, pero si se está atento a estos hechos, no es necesario
usar símbolos distintos.
Esta forma de definir la suma permite suponer que la suma en Zm. debe “heredar” las propiedades
de la suma en Z. En efecto eso ocurre (vean las demostraciones hechas en clase); por lo que el par
ordenado (Zm., +) tiene estructura de grupo abeliano (se los llama “abelianos” a los grupos en que
la operación que los define es conmutativa)
b) PRODUCTO EN Zm. Def.: a  b  a  b
Valen aquí las mismas consideraciones que hicimos para la suma en Z/, pero una rápida
inspección en las “tablas” de multiplicar respecto de algunos módulos nos muestran algo novedoso;
veamos por ejemplo las “tablas” de la multiplicación módulos 2, 3 y 5:
 0 1
0 0 0
1 0 1

0
1
2
0
0
0
0
1
0
1
2
2

0
1
2
3
4
2
0
2
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
1
3
3
0
3
1
4
2
4
0
4
3
2
1
¿Qué podemos observar en estas tablas?. Lo primero que llama la atención es la “simetría”
respecto de la diagonal que empieza en el extremo superior izquierdo. Esa simetría no es más que
la consecuencia de la propiedad conmutativa. Del mismo modo, que hay una fila y una columna de
ceros es consecuencia de que la clase del cero se comporta en el producto de clases igual que el
cero en el producto de números enteros. También se observa que el uno es neutro ya que la fila (o
columna) del uno repite la fila (o columna) inicial. Pero hay algo novedoso en estas tablas:
observen que en cada fila (o columna), salvo la del cero, hay un uno. ¿qué significa esto? Significa
que dado a (a0), existe b tal que axb=1, o lo que es lo mismo, cada clase residual distinta de la
nula tiene inverso. Esto no ocurre en la multiplicación en Z, así que hemos obtenido una estructura
en cierto sentido “más rica” que (Z,+,x).
¿Qué tienen de particular los módulos 2, 3, 5? Son números primos, pero ¿será esa la razón de tan
particular comportamiento?
Veamos una tabla de multiplicar en la que el módulo sea compuesto; por ej. Z 4

0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
3
2
1
Se observa en esta tabla que el 2 no tiene inverso, pues el 1 (neutro multiplicativo) no aparece
como resultado “en la tabla del 2 (fila del dos), módulo 4” . El 3 sí tiene inverso y es el propio 3 ya
que 3X3=1. Otra peculiaridad de Z4 es que no vale la propiedad hankeliana (a.b=0a=0  b=0);
vean que 2X2=0 pero 20; en Z6, 2x3=0 pero 20 y 30.
Habría que demostrar (lo haremos en algún momento) que si el módulo p es primo, entonces todo
elemento no nulo de Zp tiene inverso; tendríamos así que, si p es primo, (Zp, +, x) tiene estructura
de “cuerpo conmutativo”, como (R,+,x).
Una estructura así es bien interesante, pues las ecuaciones del tipo a  X  b (llamadas
“ecuaciones de congruencia”) siempre tienen solución; a saber: X  a 1  b .
A modo de ejemplo; en Z5, la ecuación 3 X  4 tiene solución X  31  4  2  4  3 , que se puede
encontrar simplemente inspeccionando la columna cuya intersección con la fila del 3 es el 4.
Claro que la condición de que el módulo sea primo no es necesaria para que exista solución; por
ejemplo en Z4 la ecuación 3  X  b tiene solución en Z4 cualquiera sea b (planteen alguno
ejemplos dando valores particulares a b) pero 2  X  3 tiene solución vacía, ya que 2 no tiene
inverso (observen que en la fila del 3 están todos los elementos de Z4, en cambio el 1 y el 3 no
están en la fila del 2.
Quedan todavía una pregunta pendiente de respuesta: si el módulo m es suficientemente grande
como para que la tabla de multiplicar sea poco manejable (por ser demasiado grande), ¿cómo
saber si una ecuación del tipo a  X  b tiene solución? Y si la tiene; ¿cuántas soluciones distintas
hay? .
3
Una precisión no menor: las ecuaciones de congruencia están definidas en Zm, no en Z, por lo que
las soluciones, si las hay, deben pertenecer a Zm (las soluciones no son números enteros, sino clases
residuales módulo m). Pero en Zm hay “sólo” m elementos, de modo que no podrá haber más de m
soluciones. Será interesante determinar de antemano si hay soluciones y cuántas son, para
asegurarnos de haber “resuelto completamente” una ecuación dada.
Para contestar esas cuestiones, será necesario recordar las propiedades de las congruencias
estudiadas en el curso:
i)
Las congruencias se pueden “sumar miembro a miembro”:
ii)
a  b mod m 
  a  c  b  d mod m
c  d mod m
Las congruencias se pueden “multiplicar miembro a miembro”:
a  b mod m 
  ac  bd mod m (ver demostraciones hechas en clase)
c  d mod m
iii)
El teorema anterior tiene un corolario importante:
a  b (mod m)  n  N  a n  b n (mod m) (multiplicar una congruencia por sí mismo n
veces)
iv)
La división miembro a miembro de congruencias, en cambio, exige cuidados especiales:
vean por ejemplo que 8  4 (mod 4) y que ambos miembros se pueden dividir por 2, pero
no es cierto que 4  2 (mod 4) .
En cambio, si n divide a ambos miembros y al módulo, es cierto que de la congruencia
a b
m
(mód ) (intenten demostrarlo)
a  b (mod m) se puede deducir que 
n n
n
2. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN ax  b (mód m)
a) EXISTENCIA DE SOLUCIONES:
Observemos que, por definición,

ax  b (mód m)  ax  b  m  y  Z / ax  b  my  ax  my  b de modo que la ecuación de
congruencia se reduce a una diofántica. Ya demostramos en el curso que la ecuación ax  my  b
tiene solución sí, y sólo si, D(a, m) b . Así, por ejemplo, la ecuación 6 x  9 mód 12 tiene solución
vacía, pues D(6,12)  6 y 6 no divide a 9 (observen que la ecuación 6 x  12 y  9 no puede tener
soluciones ya que el primer miembro es necesariamente un número par, mientras que el segundo
miembro es impar).
En cambio la ecuación 6 x  12 (mód 9) sí tiene soluciones (una solución inmediata es x=2) pero
veremos cómo hallar todas las soluciones:
Dividiendo ambos miembros y el módulo de 6 x  12 (mód 9) entre D(6,9) , se obtiene
2 x  4 (mód 3) , que genera la ecuación diofántica 2 x  3 y  4 .
Los coeficientes de esta ecuación diofántica son 2 y -3; la división entera de -3 entre 2 da cociente
-2 y resto 1, de modo que -3=-2x2+1, o sea: 2x2-3=1. Multiplicando miembro a miembro por 4 da:
2x8-3x4=4, de modo que tenemos una solución particular para la ecuación 2 x  3 y  4 ; a saber:
x0  8;
4
y0  4
Sólo nos interesa la solución x  8 , pues estamos resolviendo la ecuación de congruencias, cuya
incógnita es x (no olviden que, en este ejemplo, xZ9). Ya hemos demostrado que la solución
general de la ecuación diofántica ax  my  b se obtiene a partir de una solución particular:
x  x0  mt , de modo que la solución general es x  8  3t
b) DISCUSIÓN DE LAS SOLUCIONES
Veamos ahora qué valores puede tomar t para obtener soluciones distintas.
si t  0  x  x0  8
si t  1  x  x1  8  3  1  11
si t  2  x  x 2  8  3  2  14
Observen que 8, 11 y 14 son elementos diferentes de Z9 (podríamos poner -1, 2 y 5, que también
representan a las clases del 8, 11 y 14 respectivamente, o 2, 5 y 8 que son los menores naturales de
cada clase). Vamos a mostrar ahora que esas son las únicas clases que resuelven la ecuación
6 x  12 (mód 9) :
Si elegimos t ' Z , la división entera de t’ entre 3 da cociente t y resto r (0< r<3), de modo que
t '  3t  r (0  r  3)  x  8  3t '  8  3(3t  r )  8  9t  3r. Discutamos ahora las soluciones
halladas para los 3 posibles valores de r:
si r  0  x  8  9t  8 (mód 9)  x  x0
si r  1  x  8  9t  3  11  9t  11 (mód 9)  x  x1
si r  2  x  8  9t  6  14  9t  14 (mód 9)  x  x 2
Como no hay otro valor posible para r, llegamos a la conclusión que cualquier solución es alguna de las
tres clases halladas; de modo que el conjunto de todas las soluciones es S  2; 5; 8


Vean que el conjunto solución tiene 3 elementos y D(a,m)=3; ¿será esto una casualidad?. Claro que no;
a continuación (valiéndonos de las ideas manejadas en el caso particular) vamos a hacer la discusión de
las soluciones de la ecuación ax  b (mód m) . Sabemos que tiene solución no vacía si D(a, m) b .
Supongamos que ése es el caso, y sea D(a, m)  d . Dividiendo ambos miembros y el módulo de la
ecuación dada por d, obtenemos a ' x  b' (mód m' ) ; sabemos que esta ecuación tiene una solución
x 0 , de modo que a ' x0  b' (mód m' ) . Si x es cualquier otra solución, se verificará la congruencia
a ' x  b' (mód m' ) . Restando miembro a miembro ambas congruencias, se obtiene:
a ' ( x  x0 )  0 (mód m' ) , por lo tanto, como ser congruente con cero equivale a ser múltiplo del
módulo, se tiene: m' a ' ( x  x0 ) ; pero a’ y m’ son primos entre sí, así que por el teorema de Euclides,
m' x  x0 , de donde deducimos que t  Z : x  x0  m' t ; así que x  x0 (mód m' ) . Cualquier solución
es, entonces, congruente con x0. Hay pues, una sola solución para la ecuación a ' x  b' (mód m' ) .
Volvamos ahora a considerar la solución general de la ecuación a' x  b' (mód m' ) : x  x0  m' t y sea
T  0,1; 2; 3;, d  1 (vean que T tiene d elementos). Si elegimos dos elementos distintos ti y tj ,
ambos en T, las soluciones correspondientes a esos valores de t son:
x i  x 0  m' t i
x j  x 0  m' t j
5
Restando miembro a miembro se tiene: x i  x j  m' (t i  t j ) 
lo tanto
ti  t j
m
(t i  t j ) ; pero 0  t i  t j  d y por
d

 Z ; es decir: xi  x j  m . Las soluciones xi y xj son entonces dos soluciones distintas
d
de la ecuación ax  b (mód m)
Sea ahora tj un entero cualquiera y ti un elemento de T. La división entera de tj-ti entre d da un
cociente q y un resto r de modo que t j  t i  dq  r  t j  t i  dq  r , así que la solución xj
correspondiente a dicho valor de t es:

x j  x0  mt  x0  m(t i  dq  r )  x0  mti  m(dq  r )  x0  mti  m  x j  x0  mti  x j  xi .
Dicho de otro modo: cualquier solución es congruente con alguna correspondiente a un elemento de
T. Hemos resuelto el problema de contar la cantidad de soluciones de la ecuación dada: tiene
exactamente d soluciones incongruentes módulo m.
3. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD.
Si bien las congruencias numéricas tienen múltiples aplicaciones (hay problemas interesantes en la
bibliografía recomendada), una muy útil para nuestro curso es la determinación de criterios de
divisibilidad (condiciones suficientes, de fácil verificación, que aseguren que un número n admite un
divisor d).
Antes de introducirnos en tema, debemos recordar qué es un sistema de numeración, ya que los
criterios de divisibilidad dependen del sistema adoptado para representar a los números naturales.
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Dados los números naturales m y b (b>1), demostraremos que existen números naturales ai
menores que b (i=1,…n), tales que m  an b n  an1b n1    a1b  a0 (usando notación sumatoria
n
pondríamos: m   ai b i ). Los números ai se denominan cifras del número m en la base b. Si se hace
i 0
un convenio de ordenar los términos de la sumatoria en orden decreciente de las potencias de b, y
además se sobreentiende cuál es la base b, entonces ya no será necesario escribir toda la sumatoria,
sino solamente indicar cuáles son los coeficientes ai correspondientes a cada potencia de la base. Así,
en lugar de escribir m  an b n  an1b n1    a1b  a0 , ponemos simplemente m  an an1 a1a0 . La
posición de cada cifra en el número indica cuál es la potencia de la base que la multiplica; por eso estos
sistemas se llaman “posicionales” (Hay sistemas, como el romano -usado desde tiempos del Imperio
Romano hasta fines de la Edad Media-, en que ciertos símbolos representan algunos números
naturales con los cuales se representa cualquier cantidad entera, pero el valor de dichos símbolos no
depende de su posición en el número representado (no son posicionales sino absolutos); así por
ejemplo, en el número XVII (17 en el sistema romano) el símbolo X representa 10 unidades, lo mismo
que en LX (60 en sistema romano); en cambio si escribimos 17 en base 10, el 1 representa 10 unidades
mientras que en el número 170 el 1 (la misma cifra) representa 100 unidades.
Modernamente, la base adoptada en general es 10 (y al sistema resultante lo llamamos, por eso,
sistema decimal) pero en computación y ramas afines se adoptan a menudo otras bases (2, 8, 16 dan
lugar a los sitemas binario, octal y hexadecimal respectivamente, que aparecen en algunas
calculadoras científicas de uso liceal). Cuando no se indica la base se sobreentiende que es 10. A modo
de ejemplo, escribimos 2.358 para expresar 2  103  3  10 2  5  10  8 (el punto sólo está para
ayudar a leer el número); en cualquier otra base es necesario explicitar en qué sistema se escribe.
Observen que el hecho de que 0  ai  b es muy relevante, pues nos permite expresar cualquier
número natural con un número reducido de símbolos (en el sistema decimal sólo necesitamos los
símbolos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, llamados “dígitos”, en alusión a la cantidad de dedos que tenemos en las
6
manos casi todos los humanos). Cierto es que si la base es pequeña, digamos por ejemplo b=2
(sistema binario), los números “grandes” deben expresarse mediante una gran cantidad de términos;
pero esto no es un problema si el número debe ser “leído” por una computadora, pues las cifras sólo
son 0 y 1.
Veamos ahora que la matemática que está por detrás de esta forma de “codificación” de los
números es muy simple; sólo se trata de aplicar la propiedad de la división entera que denominamos
“propiedad de las divisiones sucesivas”; recordémosla usando los esquemas de división entera:
n
r1
b1
q1
q1
r2
b2
q2
n
b1r2+r1
b 1b 2
q2

Si b1=b2=b, resulta n=q2b2+r2b+r1. Si q2<b, las cifras de n son q2 r2 y r1, por lo que pondríamos n=q2r2r1
(base b)
q2
b
Si q2>b, volvemos a dividir q2 entre b:
r3
q3
q2=bq3+r3 n=q3b3+r3b2+r2b+r1 . Si q3<b, el proceso está concluido y escribimos n=q3r3r2r1 (base b). De
lo contrario, continuamos con el proceso que será finito pues qn<qn-1<…< q3<q2<q1.
A modo de ejemplo, convirtamos el número 147 (base 10) al sistema binario: las divisiones
sucesivas entre 2 dan:
147=2x73+1
73=2x36+1
36=2x18+0
18=2x9+0
9=2x4+1
4=2x2+0
2=2x1+0
1=2x0+1
Aplicando ahora los conceptos anteriores tenemos que 147=10010011 (la información codificada dice
que 147=27+24+21+20.
¿cómo se escribe 147 en base 8?
¿qué número (base 10), es 13002105 en base 8?
(anímense a contestar esas preguntas antes de seguir)
Ahora veamos cómo usar las congruencias para decidir criterios de divisibilidad para números
escritos en base 10.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
a) DIVISIBILIDAD POR LOS DIVISORES DE LA BASE (DOS, CINCO Y DIEZ) :
Este criterio es muy sencillo, pero igual vale la pena ver como entran en juego las congruencias.
Consideremos un número n escrito en base 10: n=an10n+an-110n-1+…+a2102+a110+a0.
7
Observamos que todos los términos, salvo el último, tienen un factor que es potencia de 10 con
exponente mayor o igual que 1; así que todos ellos (y en consecuencia su suma) son congruentes con
2, 5 y 10 mód(10), de modo que el número n será múltiplo de 2, 5 o 10 si lo es la última cifra (a 0); pero
como 0< a0<10, el único múltiplo de 10 es el 0 y los únicos múltiplos de 5 son el 0 y el 5; de modo que
la divisibilidad por 10 se expresa así: “n es múltiplo de 10 si termina en 0”; y la divisibilidad por 5 se
expresa: “n es divisible por 5 si termina en 0 o en 5”. La divisibilidad por 2 se expresa: “n es divisible
por dos si su última cifra es par”
Un poquito de historia:
Los Babilonios (designamos con ese nombre genérico
a una gran cantidad de etnias que poblaron la mesopotamia
- valles de los ríos Tigris y Éufrates desde 3.000 A.C. hasta
aproximadamente el 500 A.C.), habían logrado grandes
progresos en Aritmética. Su sistema de numeración era
posicional de base 60 (sexadecimal); esto es: se necesitan 60
símbolos para representar cualquier número natural. Esto,
que parece ser un inconveniente pues hay que recordar
muchos símbolos, tiene la gran ventaja de que 60 tiene
muchos divisores: 60=22x3x5, de modo que tiene
(2+1)(1+1)(1+1)=12 divisores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30
y 60; usando el criterio anterior, se determina fácilmente si
un número dado es múltiplo de algún divisor de la base;
alcanza con mirar la última cifra.
c) DIVISIBILIDAD POR 3 Y POR 9:
Nuevamente consideremos el número n escrito en base 10: n=an10n+an-110n-1+…+a2102+a110+a0
y las congruencias, válidas tanto para módulo 3 como módulo 9:
11
10  1

10 n  1
y consideremos el número z=an+an-1+…+a2+a1+a0 (z se obtiene multiplicando las cifras de n por los
correspondientes elementos de la 2ª columna de la tabla de congruencias y sumando dichos
productos; en este ejemplo z es la suma de las cifras de n).
n-z=an(10n-1)+an-1(10n-1-1)+an-2(10n-2-1)+...+a2(102-1). Observemos que en cada término el factor
que está entre paréntesis es múltiplo de 3 y de 9 (por las congruencias antedichas); por lo tanto n-z
es múltiplo de 3 y de 9 y de ahí se deduce que n es múltiplo de 3 (o de 9 ) sí y sólo sí z es multiplo
de 3 (o de 9). Pero z es la suma de las cifras de n, así que “n es múltiplo de 3 o de 9 si la suma de
sus cifras es múltiplo de 3 o de 9 respectivamente”. A modo de ejemplo:
125.143:245.327 es múltiplo de 3 pues 1+2+5+1+4+3+2+4+5+3+2+7=39 es múltiplo de 3
125.143:245.324 es múltiplo de 9 pues 1+2+5+1+4+3+2+4+5+3+2+4=36 es múltiplo de 9 (y
también, claro, de 3).
8
DIVISIBILIDAD POR 4 Y POR 25:
Consideremos las congruencias de las potencias de 10, (válidas para los módulos 4 y 25:
11
10  10
10 2  0

10 n  0 (n  2)
y sea z=a1x10+a0.
n-z=anx10n+an-1x10n-1+…+a2x102 es múltiplo de 4 y de 25; luego n es múltiplo de 4 (o de 25) sí y sólo
sí, z es múltiplo de 4 (o de 25); pero z es simplemente el número formado por las dos últimas cifras
de n, entonces el criterio es:
“n es múltiplo de 4 (o de 25) si el número formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 4 o de
25”
DIVISIBILIDAD POR 7
Ahora debería ser fácil enunciar un criterio de divisibilidad por 7; como siempre, empezamos por
una tabla de congruencias de las potencias de 10 (pues estamos trabajando en base 10) con
módulo 7:
11
10  3
10 2  9  2
10 3  6  1
10 4  3
10 5  2
10 6  1
Observamos que acá empiezan a repetirse los elementos de la segunda columna, por lo que los
números congruentes con las potencias de 10 módulo 7 se repetirán periódicamente:
1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, 2, -1, -3, -2, … El número z que nos permitirá enunciar el criterio de
divisibilidad por 7 es:
z  a0  3a1  2a 2  a3  3a 4  2a5 

nz 7
Luego, n será múltiplo de 7 si z es múltiplo de 7. Por ejemplo: 9.394 es múltiplo de 7 pues
z=4+3x9+2x3-9=28 y 28 es múltiplo de 7.
Queda como ejercicio enunciar criterios de divisibilidad por 11 (es bien fácil e interesante) y por 13.
9
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD EN SISTEMAS NO DECIMALES
DIVISIBILIDAD POR 2 EN BASE 2 (SISTEMA BINARIO)
Razonando como en el caso de los criterios de divisibilidad en base 10, debemos hacer ahora una
tabla de congruencias módulo 2 de las potencias de 2:
11
2  0  2 n  0 n  1

z  a0  n  z  an  2 n  an 1  2 n 1    a2  2 2  a1  2  2
Entonces n es múltiplo de 2 sí y
sólo sí a0 es múltiplo de 2; pero a0 es la última cifra de n y la única cifra múltiplo de 2 en base 2 es el
cero , así que el criterio es: “n es múltiplo de 2 si termina en 0”.
No debería sorprender que se enuncie igual que el criterio de divisibilidad por 10 para números
escritos en base 10; a modo de ejercicio, demostrar lo siguiente:
1) Un número escrito en base b es divisible por b si termina en 0
2) Un número escrito en base b es divisible por b2 si el número formado por sus dos últimas cifras
es múltiplo de b2
DIVISIBILIDAD POR 3 EN EL SISTEMA BINARIO
Observemos la tabla de congruencias módulo 3 de las potencias de 2:
11
2  1
22  1
2 3  1

22 p  1
2 2 p 1  1

Sea z  a0  a1  a2  a3    (1) n an  n  z  3a1  (2 2  1)a2    3 de donde resulta que
n es múltiplo de 3 sí, y sólo sí, z es múltiplo de 3; pero observemos que z es el número que resulta
de sumar las cifras de n multiplicadas alternadamente por 1 o -1, de modo que el criterio de
divisibilidad por 3 para números escritos en sistema binario es igual al criterio de divisibilidad por
11 para números escritos en sistema decimal.
Observemos: 11 es el siguiente de 10 y 3 es el siguiente de 2. ¿Podremos generalizar y afirmar que
un número escrito en base b es divisible por b+1 si la suma de sus cifras multiplicadas
alternadamente por 1 y -1 es múltiplo de b+1?. ¡Intenten demostrar esta conjetura!
EJERCICIOS:
1. Después de lo expuesto, no debería resultar difícil enunciar los criterios de divisibilidad por 2 y
por 4 para números escritos en base 8 (sistema octal), y también los criterios de divisibilidad por 2,
4 y 8 para números escritos en sistema hexadecimal (base 16).
2. Enunciar el criterio de divisibilidad por 3 para números escritos en base 7
10
3. Decidir si el número 237364662535344131 en sistema octal es divisible por 3, 5 o 7.
Responsable:
Hugo Brum
Departamento de Matemática
Ce.R.P. del Norte