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CATEGORÍA SUB 18
PRIMERA PRUEBA CLASIFICATORIA 2015
SOLUCIONES Y PAUTAS DE CORRECIÓN
Con el apoyo de Universidad San Francisco Xavier de Chuquisaca, Universidad Mayor de San Simón,
Universidad Privada de Santa Cruz de la Sierra, Universidad Autónoma Gabriel René Moreno, Universidad
Técnica de Oruro, Universidad Tomás Frías, Universidad Juan Misael Saracho, Universidad Autónoma de
Beni "José Ballivián", Universidad Amazónica de Pando y Universidad Mayor de San Andrés.
Con el auspicio del Ministerio de Educación del Estado Plurinacional de Bolivia, a través del Viceministerio
de Ciencia y Tecnología.
1.
Primera parte
1. Hallar x sabiendo que el número de 5 cifras 5x6x4 es múltiplo de 23.
◦
Solución. 5x6x4 = 23 (múltiplo de 23)
Descomponiendo como suma:
◦
50604 + x0x0 = 23
◦
ó
50604 + (1010)x = 23
◦
(1)
◦
Pero 50604 = 2200 ∗ 23 + 4 = 23 + 4 y 1010 = 43 ∗ 23 + 21 = 23 + 21 , reemplazando
en (1) tenemos
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
23 + 4 + (23 + 21)x = 23 + 4 + (23 + 23 − 2)x = 23 + 4 + (23 − 2)x = 23 + 4 − 2x = 23
◦
◦
Concluimos que 4 − 2x = 23 o mostrado de otra forma 2(2 − x) = 23.
Pero x es dígito, luego x = 2
Pauta de correción.
Identifica que el número que busca se descompone. (1 punto)
Trabaja en el manejo de del número identificando las partes múltiples de 23 (1
punto)
Limita las posibilidades y halla el valor de x. (1 punto)
Total: 3 puntos
2. Se escribe un entero positivo en cada una de las 6 caras de un cubo. Para cada vértice
del cubo calculamos el producto de los números que están en las caras adyacentes a
dicho vértice. La suma de estos 8 productos es igual a 2015. Calcule la suma de los
6 números escritos en las caras del cubo.
Solución. Sean A, B, C, D, E y F los números escritos en las caras, entonces la suma
buscada es S = A + B + C + D + E + F.
Para facilitar supondremos que A es el número escrito en una cara opuesta a la que
está escrito B. Lo mismo C con D y también E con F.
Del dato tenemos que La suma de los productos triples es 2015.
SP = ACE + ACF + ADE + ADF + BCE + BCF + BDF + BDE = 2015
La expresión de la izquierda se factoriza y también de la derecha, quedando (A +
B)(C + D)(E + F) = 5 ∗ 13 ∗ 31. Ningún factor de la izquierda puede ser 1, por lo tanto
Fecha: 21 de febrero 2015.
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deben valer 5, 13 o 31 en cualquier orden Luego la suma será S = (A + B) + (C + D) +
(E + F) = 5 + 13 + 31 = 49. Respuesta 49. Pauta de correción.
Factoriza el 2015. (1 punto)
Halla estrategias para resolver (1 punto)
Halla la suma (1 punto)
Total: 3 puntos
Otros métodos
Halla el valor de la suma, justificando sus pasos. (3 puntos)
3. Determinar el valor de 3x4 + 2x5 , si se sabe que x1 , x2, x3 , x4 , x5 satisfacen el sistema
de ecuaciones
2x1 + x2 + x3 + x4 + x5
x1 + 2x2 + x3 + x4 + x5
x1 + x2 + 2x3 + x4 + x5
x1 + x2 + x3 + 2x4 + x5
x1 + x2 + x3 + x4 + 2x5
=
=
=
=
=
6
12
24
48
96
Solución. Sumando todas las igualdades encontramos
6(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ) = 6(1 + 2 + 4 + 8 + 16),
de donde
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 31
(2)
Restando cada ecuación del sistema la igualdad (2) encontramos las soluciones del
sistema:
x1 = −25, x2 = −19, x3 = −7, x4 = 17, x5 = 65
(3)
Entonces
3x4 + 2x5 = 3(17) + 2(65) = 181
Pauta de correción.
Encuentra la respuesta, justificando sus pasos (3 puntos)
Puntuación no acumulable entre sí
Encuentra (2) (1 punto)
Resuelve el sistema. (2 puntos)
4. Calcular al suma
2015
X
k=1
√
1
√
(k + 1) k + k k + 1
Solución. Notamos que
1
= √
√
√ √
√
(k + 1) k + k k + 1
k + 1 k( k + 1 + k)
√
1
(4)
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pero,
√
√
1
k+1− k
1
√ √
√ =√
√ √
√ √
√
√
k + 1 k( k + 1 + k)
k + 1 k( k + 1 + k) k + 1 − k
√
√
k+1− k
= √
√
k+1 k
1
1
=√ − √
k
k+1
Finalmente,
!
2015
2015
X
X
1
1
1
=
√
√
√ − √
(k
+
1)
k
+
k
k
+
1
k
k+1
k=1
k=1
1
1
1
1
1
1
− √
= √ − √ + √ − √ + ···+ √
2
2
3
1
2015
2016
1
=1− √
2016
Pauta de correción.
Encuentra (4) (1 punto)
Muestra (5). (1 punto)
Halla la respuesta. (1 punto)
Total: 3 puntos
(5)
(6)
2. Segunda parte
1. Se sortean números consecutivos entre los ahorristas de un plan para vivienda propia
para establecer el orden en que se entregarán las casas, lo que se hará de la siguiente
forma: cada mes se entregarán 2 casas más que el mes anterior, empezando el primer
mes con 1 casa para el primer ahorrista, siguiendo el segundo mes con tres casas para
los ahorristas con los números 2,3 y 4, etc. ¿En qué mes recibe su casa el ahorrista
que tiene el número 1600?
Solución. Sea an a la cantidad de casas que se entregan en el n-ésimo mes. Tenemos
que n1 = 1, n2 = 3, en general, a1 , a2 , a3 , . . . es una progresión aritmética de razón 2 y
primer término 1. Si Sn = a1 + a2 + · · · + an , entonces
(n − 1)n
= n2 .
2
Notamos que Sn es el número de casas entregadas hasta el n-ésimo mes inclusive.
Buscamos n tal que
Sn−1 < 1600 ≤ Sn ,
o sea
(n − 1)2 < 1600 ≤ n2 ,
El valor que satisface las desigualdades es n = 40. El ahorrista que posee el número
1600 recibe su casa el mes número 40. Pauta de correción.
Establece que se trata de una progresión aritmética de razón 2. (2 puntos)
Encuentra nˆ2 como la cantidad de casas entregadas (1 punto)
Halla el valor dado (1 punto)
Total: 4 puntos
Sn = n + 2
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2. Encuentre todos los números n ≤ 1000 tales que:
a) Si p es un número primo y p divide a n entonces p2 no divide a n.
b) La suma de sus divisores es una potencia de 2.
Solución. Por la primera propiedad, en la descomposición de n en factores primos,
cada uno aparece elevado a la potencia 1. Entonces, la suma de los divisores es el
producto
Y
(pi + 1)
pi \n
Por la segunda propiedad, este producto debe ser una potencia de 2, por tanto cada
factor es una potencia de 2. Los primos a los que le suman 1 resulta una potencia de
2, que son menores a 100, son 3, 7, 31, 127. Entonces, los valores buscados, además
del 1, son
3, 7, 31, 127, 3 × 7, 3 × 31, 3 × 127, 7 × 31, 7 × 127, 3 × 7 × 31.
Pauta de correción.
Dice que en la descomposición cada primos aparece con la potencia 1. (1 punto)
Utiliza la fórmula para la suma dede los divisores. (1 punto)
Determina los primos con la propiedad que sumados con uno resultan en una
potencia de 2. (1 punto)
Encuentra las respuestas. (1 punto)
Total: 4 puntos
No acumulables con los anterior.
Encuentra al tanteo algunas soluciones. (2 puntos)
3. En la figura, O es el centro de la semicircunferencia y P es el centro de la circunferencia
inscrita. Calcular cot α + 2 tan α.
!
!
!
!
!'
!
"'
0'
Solución. Sea R el radio de la semicircunferencia y r el radio de la circunferencia
inscrita, en el triángulo APQ,
cot α + 2 tan α = (R + r)/r + 2r/(R + r),
(7)
Por otro lado en el cuadrante donde está inscrita la circunferencia
OT = OP + PT.
(8)
OT = R
PT = r
√
OP es la hipotenusa del triángulo rectángulo e isosceles de catetos r, o sea OP = r 2,
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reemplazando
en (8)
√
R = r 2 + r, remplazando esta igualdad en (7) y simplificando
cot α + 2 tan α = 4
Pauta de correción.
Halla la relación entre los radios (3 puntos)
Utiliza el triángulo para las relaciones. (1 punto)
Halla el valor pedido. (1 punto)
Total: 5 puntos
5