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Laboratorio 1: Sucesiones
A veces es necesario encontrar patrones con respecto a cantidades de
objetos. En esta actividad, buscarás algún patrón en una secuencia de
cantidad de objetos, deducirás fórmulas que permitan calcular la cantidad de
objetos que hay dispuestos bajo cierto patrón, y obtendrás la suma de los
primeros n términos de algunas sucesiones.
MATERIALES
•
•
Papel y lápices
Piedritas, papelitos y palitos (opcional)
PASOS A SEGUIR
TRABAJO 1
Este primer diagrama muestra un cuadrado formado por nueve puntos. En él,
marcamos tres “L”. Así, la región entre la segunda y la tercera L contiene 5 puntos
y la cantidad total de puntos encerrados por la tercera L es 9.
Supongamos que ahora tenemos un cuadrado más grande.
a. ¿Cuál es la cantidad de puntos entre la tercera y la cuarta L? ¿Y entre la cuarta
y la quinta? ¿Y entre la quinta y la sexta?
En estos números que están encontrando, ¿observan alguna particularidad?
Verifiquen si esta particularidad también se cumple para los puntos encerrados
entre las otras L.
b. ¿Cuál es la cantidad total de puntos que encierra la cuarta L? ¿Y la quinta? ¿Y
la sexta?
En estos números que están encontrando, ¿observan alguna particularidad?
Verifiquen si esta particularidad también se cumple para los puntos encerrados por
las otras L.
c. Si tuvieran un cuadrado más grande, ¿podrían saber sin dibujar la cantidad de
puntos que habría entre la L número 20 y la 21? ¿Y la cantidad total de puntos
encerrados por la L número 21?
d. ¿Podrían escribir la fórmula que permita calcular la cantidad de puntos
encerrada por una L cualquiera?
TRABAJO 2
Observen la siguiente serie de figuras:
a. ¿Cuántos palitos se necesitan para construir cuatro triángulos? ¿Y
cinco? ¿Y diez?
b. ¿Cómo harían para saber cuántos palitos se necesitan para construir
100 triángulos? Traten de
escribir una fórmula que les permita calcularlo.
c. ¿Podría pasar que se necesitaran 82 palitos para construir 40
triángulos?
d. ¿Podría pasar que se necesitaran 91 palitos para construir 45
triángulos?
TRABAJO 3
Pitágoras fue discípulo de Thales en Grecia, donde fundó una hermandad de tipo
religioso, científico y filosófico, que se conoció a través del tiempo como “los
pitagóricos”. Ellos solían representar los números mediante piedritas,
clasificándolos según las formas que pudieran darles a las distribuciones
de las piedras.
A continuación, están representados los primeros “números cuadrados”, llamados
así porque la cantidad de piedras que los integran se pueden disponer formando
un cuadrado.
c1 = 1
c2 = 4
c3 = 9
c4 = 16
a. ¿Cuál es el quinto número cuadrado? ¿y el vigésimo?
b. En el siguiente gráfico se intenta mostrar cómo se obtiene cada número
cuadrado a partir del anterior. Busquen algún patrón en la cantidad de piedras que
hay que agregar cada vez.
c. Para cualquier número natural n, ¿cuánto vale 1+3 + 5 + ...+ (2n – 1)?
d. Aquí les representamos los cuatro primeros “números triangulares”, llamados
así porque con la cantidad de piedras que los integran se pueden formar triángulos
equiláteros:
t1 = 1, t2 = 3, t3 = 6, t4 = 10
¿Cuál es el siguiente?
e. Busquen algún patrón en la cantidad de piedras que hay que agregar cada vez.
¿Cuál será el
octavo número triangular?
f. Con estas distribuciones geométricas de los números pueden
aparecer como más evidentes algunas propiedades de los números.
Observen la recta que aparece en el tercer número cuadrado
vean que se puede pensar como la suma de dos números triangulares
consecutivos: c3 = t2 + t3. Prueben con otros y expresen algebraicamente
la siguiente propiedad: “Si se suma el enésimo número triangular más el siguiente,
se obtiene el (n+1)ésimo número cuadrado”.
g. La sucesión 1, 2, 3, 4, etc. es una progresión aritmética. A partir de la expresión
anterior, pueden hallar la suma de los primeros n términos.
TRABAJO 4
a. Completa la tabla
Pirámide con:
Cantidad de bolas en el nivel n
1 nivel
2 niveles
3 niveles
4 niveles
5 niveles
6 niveles
7 niveles
8 niveles
9 niveles
10 niveles
1
4
9
16
25
Cantidad de bolas hasta el
nivel n
1
5
b. Para cualquier número natural n, ¿cuánto vale 1+ 4 + 9 +16 ...+ n2 ?
Para investigar
Una vieja leyenda sobre el origen del ajedrez cuenta que un inventor se lo
obsequió al rey Sirham de la India. El rey quería darle una recompensa. Entonces
el inventor, que no quería cobrarle, le dijo que le diera la cantidad de trigo
que resultara de tomar 1 grano por el primer casillero del tablero de ajedrez, 2 por
el segundo, 4 por el tercero, 8 por el cuarto y así, cada vez, el doble, hasta
terminar. Al rey le pareció que era muy poco y ordenó a sus sabios que calcularan
el total y que se lo entregaran inmediatamente. Pero se llevó una sorpresa.
Investiguen por qué.
• ¿Qué tipo de sucesión es: 1, 2, 4, 8, ...?