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> Problemas
y rompecabezas
Carlos Montenegro
Profesor asociado del Departamento de Matemáticas
Los problemas de este número de Hipótesis son los
siguientes. Pueden comunicar sus soluciones a
<[email protected]> o enviarle otros problemas. A continuación se dan las soluciones del número
anterior. Puede consultar los enunciados de esos problemas en <http://ciencias.uniandes.edu.co/>
Problema 1
> El arte de doblar hojas de estampillas.
Las estampillas se elaboran en hojas de nxm estampillas
que se pueden doblar por las perforaciones de manera
que al terminar, queden del tamaño de una estampilla.
Una hoja de 2x2 estampillas se puede doblar de 8 formas distintas. ¿De cuántas formas se puede doblar una
de 2x3? Ahora, cuando el pegante está húmedo, al doblar la hoja puede quedar pegada, si el doblez genera
contacto entre el pegante y otra parte de la hoja. ¿De
cuántas formas se puede doblar la de 2x3 con el pegante
húmedo, sin que se quede pegada? ¿Qué tal una de 2x4?
Problema 3
> De la cruz griega al cuadrado.
La cruz griega se genera con cinco cuadrados iguales.
Hay varias maneras de cortar una cruz griega en diferentes pedazos que pueden ser reorganizados en un cuadrado. Por ejemplo, la siguiente figura muestra cómo se
corta en 5 pedazos que luego forman un cuadrado. ¿Cómo
podría cortarse una cruz griega en cuatro pedazos iguales
que al reorganizarlos formen un cuadrado?
Problema 2
> El duende que desaparece.
Este misterio se remonta a 1880. Comience con la figura 1
en que aparecen quince duendes y córtela por las líneas
sólidas. Al reorganizar la imagen en la figura 2, invirtiendo
los pedazos superiores, ¡desaparece un duende! ¿Qué se
hizo? Este truco es más impactante si fotocopia una de
las figuras y la corta físicamente por la línea sólida.
Figura 1. Son quince duendes.
Figura 2. ¡Y ahora son catorce!
http://www.math.duke.edu/~blake/leprechauns/vanishing_leprechaun2.htm
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HIPÓTESIS / APUNTES CIENTÍFICOS UNIANDINOS No. 4 / Dic. 2004
Referencias
Wheels, life and other mathematical amusements.
Martin Gardner. WH Freeman Co. 1983
Amusements in mathematics
H.E. Dudeney. Dover Publications. 1958
> Solución a los problemas
del número anterior
Problema 1
Los únicos números con los que se puede tener esta conversación son el 4 y el 13. Primero, si el producto que se le da a
Patricia tiene un factor primo mayor que 50, ese primo tiene
que ser uno de los números (¿por qué?) y Patricia adivinaría
enseguida. La afirmación de Sonia “yo sabía que no lo sabrías” elimina esta posibilidad y, de paso, cualquier par de
números cuya suma supere 55 (2 más 53 que es el primer
primo mayor que 50). Patricia también adivinaría enseguida si
el producto es de dos primos, con lo cual también se eliminan
las sumas de dos primos. Los únicos números menores que 55
que no son suma de dos primos son 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37,
41, 47, 51 y 53 y por la afirmación de Sonia, Patricia sabe que la
suma de los dos números debe ser uno de estos números.
Ahora, si, por ejemplo, el producto que tiene Patricia es 24,
las posibilidades al sumar sus factores son: 2+12=14, 3+8=11,
4+6=10, y la única que está entre las sumas posibles es
3+8=11, y Patricia adivinaría los números, en este caso 3 y 8.
Sin embargo, Sonia no podría conocer los números porque
al descomponer 11 en dos sumandos: 2+9; 3+8; 4+7 y 5+6,
sus productos dan 18, 24, 28 y 30, respectivamente, y, con
un análisis similar, Patricia también habría podido adivinar
los dos números si su producto hubiera sido 18 ó 28. Hay en
total 66 posibles productos para los cuales Patricia habría
adivinado con este análisis, pero entre ellos hay un solo caso
en el que Sonia también adivinaría, cuando el producto es 52
y la suma 17.
Problema 2
Los cuatro movimientos para cambiar la posición de las monedas son: (las monedas, en gris, deben ser de $200 para
que concuerden con el enunciado del número anterior)
Problema 3
Utilizando conceptos probabilísticos en un caso de azar como
este, se debe tomar la decisión que maximice el valor esperado
de la ganancia. Si escoge un sobre y encuentra un cheque por
un monto X, al no cambiarlo el valor esperado de su decisión
sería X. Alternativamente, si toma la decisión de cambiarlo,
como la probabilidad de que el otro sobre tenga un cheque por
2X es 1/2 y la probabilidad de que sea por X/2 es también 1/2, el
valor esperado al cambiarlo sería 1/2 (2X) + 1/2 (X/2) = 5/4 X.
Luego la decisión correcta debería ser, escoger un sobre y quedarse con el otro, cosa que parece muy extraña.
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