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S OCIEDAD
E CUATORIANA DE
M ATEMÁTICA
ETAPA INTERNA - SOLUCIONES
VII EDICIÓN DE LAS O LIMPIADAS DE LA S OCIEDAD
E CUATORIANA DE M ATEMÁTICA
Segundo Nivel Infantil
Febrero de 2010
1. Con palillos de dientes puedes construir los números romanos; por ejemplo:
¿Cuántos palillos se requieren para construir todos los números romanos del 1 al 10?
a) 10
b) 45
c) 47
d) 48
e) 55
Solución. No hay un comportamiento regular del número de palillos necesarios para armar cada número
romano; por lo tanto, solo es cuestión de contar el número de palillos para cada numeral romano.
En la siguiente tabla, se presentan la cantidad de palillos por cada número romano y el total de palillos
necesarios.
Numeral romano
Cantidad de palillos
I
3
II III IV
4 5
5
V
4
VI VII VIII IX
5
6
7
5
X
4
Total
48
La respuesta correcta es, por lo tanto, la d).
2. ¿En cuál de las siguientes opciones se pueden encontrar más milímetros que en las otras?
a) 1 m
b) 10 cm
c) 11 dm
d) 101 cm
e) 1 001 mm
Solución. Una manera de averiguar la opción que indica el número mayor de milímetros es expresar cada
opción en milímetros, y luego comparar los números entre sí. A continuación, se muestra la conversión de
cada opción a milímetros.
a) 1 m ≡ 1 m ×
103 mm
≡ 1 000 mm.
1m
c) 11 dm ≡ 11 dm ×
102 mm
≡ 1 100 mm.
1 dm
d) 101 cm ≡ 101 cm ×
b) 10 cm ≡ 10 cm ×
10 mm
≡ 100 mm.
1 cm
10 mm
≡ 1010 mm.
1 cm
e) 1 001 mm.
Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c).
3. En una cadena, dos eslabones juntos forman una pareja de eslabones. Si una cadena cerrada tiene
7 eslabones, ¿cuántas parejas de eslabones tiene?
1
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Solución. Un cadena abierta de tres eslabones tiene dos parejas de eslabones: el eslabón de la izquierda con
el del centro y el del centro con el eslabón de la derecha. Si la cadena se cierra, se junta el eslabón de la
izquierda con el de la derecha formando una pareja de eslabones adicional; es decir, tres parejas.
3
1
2
En resumen, en una cadena cerrada de tres eslabones, hay tres parejas de eslabones.
Un razonamiento similar, nos hace ver que en una cadena cerrada de siete eslabones, hay siete parejas
de eslabones. Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d).
4. El gato cósmico saca una máquina para ayudar al flojo de Nobita a resolver los problemas de
matemáticas que su profesor le envía cada día.
Si el número de problemas que la máquina resuelve en un día es impar, Nobita recibe la misma
cantidad de dólares que el número de ejercicios resueltos. En cambio, si el número es par, el niño
debe entregar a la máquina una cantidad de dólares igual al doble del número de ejercicios que la
máquina haya resuelto en ese día.
El profesor de Nobita envía a resolver 5 problemas cada día, de lunes a jueves; el viernes envía
a resolver 12 problemas para ser entregados el día lunes siguiente. ¿Cuántos dólares como máximo
podría acumular Nobita en la semana si la máquina debe resolver, al menos, un problema cada
día?
a) 5
b) 15
c) 22
d) 26
e) más de 26
Solución. Desde el martes hasta el viernes, Nobita debe entregar cinco problemas cada día al profesor. Como
el número 5 es impar, a Nobita le conviene dejar la máquina resuelva cada día, de lunes a jueves, los cinco
problemas; así, cada uno de esos días, Nobita recibirá 5 dólares. Puesto que son cuatro días, Nobita recibirá,
hasta el día jueves, 5 × 4 = 20 dólares.
El viernes por la tarde, Nobita debe decidir cómo distribuir los problemas que la máquina debe resolver.
Por un lado, él debe solicitar a la máquina por lo menos un problema diario; por otro lado, debe hacerlo de
manera que obtenga la mayor cantidad de dinero.
El problema desde el punto de vista matemático consiste en expresar el número 12 como la suma de
tres números naturales positivos. Si los tres números fueran impares, Nobita no tendría que entregar dinero
a la máquina, solo recibiría de ella, y, así, obtendría la mayor cantidad de dinero.
Sin embargo, no es posible expresar el número 12 como la suma de tres números impares. De modo
que, como al menos deberá haber un número par, hay que procurar que ese número par sea el menor de
los números pares, pues si la máquina resuelve un número par de problemas, el niño debe entregar a la
máquina una cantidad de dólares igual al doble del número de problemas que ésta haya resuelto.
Como el número para más pequeño es el número 2, y cada día la máquina debe resolver un problema,
dos de los números cuya suma debe ser 12, serán el 1 y el 2:
12 = 1 + 2 + ?.
Por lo tanto, el número que falta es el 9, que es impar:
12 = 1 + 2 + 9.
Así, por los ejercicios del fin de semana, Nobita recibirá 10 dólares (10 = 1 + 9) y deberá entregar cuatro
dólares por los dos problemas que la máquina resolverá uno de los tres días.
En resumen:
a) De lunes a jueves, Nobita recibirá 20 dólares.
b) El fin de semana, recibirá 10 dólares.
c) El fin de semana, entregará 4 dólares.
Por lo tanto, el balance final es 20 + 20 − 4 = 26 dólares. Entonces, la respuesta correcta es la opción d).
2
5. La pirámide de ladrillos que se muestra en la figura se construye de la siguiente manera. El número
que se escribe en el frente de un ladrillo es el valor máximo de los números escritos en los ladrillos
de la fila inferior que colindan con el ladrillo sobre el que se quiere escribir. Por ejemplo, el 7
que aparece ya escrito sobre uno de los ladrillos es el valor máximo entre el 3 y el número que
debe reemplazar al ∗. ¿Qué número debe ser escrito sobre el ladrillo en el que aparece el signo de
interrogación?
?
15
7
4
a) 3
b) 4
3
∗
c) 7
d) 11
e) 15
Solución. Si averiguamos el número reemplazado por el ∗, podremos encontrar el número que debe ser
inscrito en el ladrillo con el signo de interrogación.
El ladrillo sobre el que se ha inscrito el número 7 colinda con los ladrillos que muestran ∗ y el número
3. Concluimos, entonces, que el número 7 debe ser el máximo entre el número que es reemplazado por ∗ y
por 3:
7 = máx{∗, 3}.
Como 3 < 7, entonces ∗ = 7:
?
15
7
7
4
3
Ya podemos, entonces, saber el número del ladrillo del centro de la segunda hilera desde abajo, pues los
ladrillos que colindan con éste son los que llevan inscrito los números 4 y 7, respectivamente. Como 4 < 7,
el número 7 debe ser inscrito en el ladrillo del centro de la segunda hilera desde abajo:
?
15
7
7
4
3
7
Ahora podemos etiquetar el ladrillo que se encuentra en el extremo derecho de la tercera hilera desde
abajo, ya que los ladrillos con los que colinda éste están etiquetados ambos con el número 7; puesto que
7 = máx{7, 7},
el ladrillo del extremo derecho de la tercera hilera desde abajo debe ser inscrito con el número 7:
?
7
15
7
7
7
4
3
Finalmente, ya podemos saber el número que debe reemplazar al signo de interrogación; es el 15, pues:
15 = máx{15, 7}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción e).
6. El punto A′ en la parte izquierda de la figura, suele ser denominado simétrico del punto A respecto
del punto O, pues el punto O es el punto medio del segmento AA′ (esto significa que los puntos A,
O y A′ son colineales y A y A′ equidistan del punto O). Los puntos B′ y C ′ son los simétricos de B
y C respecto del punto O, respectivamente.
El segmento A′ B′ es simétrico del segmento AB respecto del punto O porque cualquier punto
′
H del segmento A′ B′ es el simétrico de uno y solo un punto H del segmento AB respecto del
punto O.
¿Cuál es el simétrico del corazón azul respecto del punto O?
3
C
B
b
b
♥
H
A
O
?
A′
H′
b
B′
C′
♥
♥
O
O
a)
O
♥
♥
♥
♥
b)
c)
♥
♥
O
♥
♥
O
d)
e)
Solución. Si X e Y son dos puntos tales que el segmento XY es paralelo al eje vertical, entonces
el segmento simétrico de X ′ Y ′ también es paralelo al eje vertical, como se ilustra en la siguiente
figura:
b
Y
X
O
X′
Y′
Además, los simétricos de los puntos del segmento que están más cerca del eje horizontal están
más lejos de éste.
Tomando en cuenta lo anterior, nombremos con X y con Y los extremos inferior y superior del
corazón original:
Y
♥
X
b
b
?
4
El“corazón simétrico” deberá ser el corazón en el que X ′ , el simétrico de X, esté “arriba” y Y ′ , el
simétrico de Y, esté “abajo”; además, X ′ y Y ′ deberán estar alineados paralelamente al eje vertical,
pues X e Y están alineados paralelamente al eje vertical en el corazón original. Por lo tanto, la
respuesta correcta es la opción b).
7. Una hormiga está caminando por el borde de un camino con forma de un polígono regular. Observa que en el centro del polígono hay un terrón de azúcar. Se detiene y decide caminar hacia
el terrón. Antes de emprender el camino, se percata de que la distancia que va a recorrer hasta el
terrón es la misma que la distancia que recorrería desde el terrón hasta el camino si mantuviera la
misma dirección que sigue en ese momento. ¿De qué forma no puede ser el camino?
a) triángulo equilátero
b) cuadrado
c) hexágono
d) octágono
e) rombo no cuadrado
Demostración. La opción e) se descarta, porque un rombo no cuadrado no es un polígono regular. Excepto
el triángulo, el centro de un polígono regular está la intersección de sus diagonales. Esto significa que un
par de puntos del polígono que estén en lados no consecutivos y que estén unidos por un segmento que
pasa por el centro, equidistan del centro. Por ejemplo:
De manera que quedan descartadas las opciones b), c) y d). ¿Qué sucede con el triángulo? En este caso, el
centro del triángulo es la intersección de las tres medianas. Si la hormiga estuviera en uno de los vértices,
la distancia desde el centro del triángulo, siguiendo la dirección de la mediana, al lado opuesto no es igual
a la distancia desde el vértice al centro; es, más bien, la mitad:
G
D
De modo que la forma del camino en el que no puede hallarse la hormiga es el triángulo equilátero. Por
lo tanto, la respuesta correcta es la opción a).
8. Con los dígitos 6 y 9 se construye una sucesión numérica de la siguiente forma:
6, 9, 69, 96, 696, 969, 6969, 9696, . . .
Se dice que un término es simétrico si tiene igual número de dígitos 6 que de dígitos 9. Por
ejemplo, el segundo término, el 69, es simétrico, pero el quinto término, el 696, no lo es.
El grado de un término simétrico es el número de dígitos 6 o 9 que hay en ese término. Por
ejemplo, el grado de 69 es 1.
Los términos simétricos de grado 7 son los que ocupan las posiciones:
5
a) 21 y 22
b) 28 y 35
c) 49 y 50
d) 57 y 58
e) 58 y 59
Solución. En la siguiente tabla, se muestran los primeros doce términos de la sucesión numérica:
6
1
9
2
69 96
3 4
696 969
5
6
6969 9696
7
8
69696 96969
9
10
696969 969696
11
12
En la siguiente tabla, se muestran las posiciones de los términos simétricos de grados 1, 2 y 3:
Grado
Posiciones
1
3, 4
2
7, 8
3
11, 12
En la siguiente tabla, se muestra la relación que existe entre las posiciones de los términos simétricos y
el grado:
Grado
Posiciones
1
3 = 1 × 4 − 1, 4 = 1 × 4
2
7 = 2 × 4 − 1, 8 = 2 × 4
3
11 = 3 × 4 − 1, 12 = 3 × 4
Se puede ver que para cada grado, hay únicamente dos términos simétricos y que son consecutivos. Si
n es el grado, las posiciones de estos términos son:
n×4−1 y
n × 4.
Entonces, las posiciones de los términos de grado 7 son:
7 × 4 − 1 = 27 y 7 × 4 = 28.
Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción ).
9. Un palíndromo es una palabra que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda,
por ejemplo: asa, alala, salas, etcétera. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
a) Si un palíndromo empieza con vocal, también debe terminar con vocal.
b) Si un palíndromo tiene un número par de letras, entonces todas las letras son la misma letra.
c) Si un palíndromo tiene una letra que no se repite, entonces tiene un número impar de letras.
d) Las palabras que empiezan y terminan en una misma letra no son necesariamente palíndromos.
e) Hay palíndromos en plural que terminan en s.
Solución. Independientemente del significado, la siguiente cadena de caracteres abba es un palíndromo con
un número par de letras, pero no todas las letras son iguales. Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción
b).
10. Supón que eres un ciclista y que vas a participar en un plan de entrenamiento de 1 500 km. Dispones de una llanta de emergencia y decides alternarla en tus prácticas de tal forma que las tres
llantas tengan exactamente el mismo recorrido al final del entrenamiento. ¿Cuántos kilómetros
recorrerá cada llanta al final del entrenamiento?
a) 250
b) 500
c) 750
d) 1 000
e) 1 500
Solución. Nombremos con L1 , L2 y L3 las llantas que se utilizaron en el plan de entrenamiento. Las prácticas
se realizaron de manera que las tres hicieron el mismo recorrido al final del recorrido de 1 500 kilómetros.
Esto significa que cada uno de los tres pares de llantas:
( L1 , L2 ) ,
( L1 , L3 ) ,
( L2 , L3 ) ,
recorrieron 500 kilómetros.
Pero cada llanta está presente dos veces en los tres pares, de modo que cada llanta recorrió, en total,
2 × 500 = 1 000 kilómetros. Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d).
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