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PGA-02-R02
GUÍAS DE ESTUDIO
1
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CASD
Programa de alfabetización, educación básica y media para jóvenes y adultos
UNIDAD DE TRABAJO Nº 1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
ÁREA INTEGRADA:
ASIGNATURA:
CICLO:
UNIDAD:
DOCENTE:
DURACIÓN:
PERIODO 1
MATEMÁTICAS
MATEMATICAS
VI
NUMEROS REALES
J. ARMANDO GARCIA CAMELO
14 DE FEBRERO AL 28 DE FEBRERO
El conjunto formado por los números Racionales y los Irracionales, se llama
conjunto de los números Reales.
Observa su representación en la recta real. Se representa por la letra R
Cuando en una recta se representan los números racionales e irracionales se obtiene
la recta real. Cualquier punto de la recta real representa un número real. 1.Introduce las fracciones 5/3, 1/7, 5/4, 23/3, 56/990, 15/9, 17/5
2-Introduce la raíz cuadrada de 2,3,5,6,7,9,11,13
ORDEN EN R
Dados dos números reales a y b, se dice que a es menor que b, a<b, si b está más a la
derecha que a en la recta real, o de otra forma:
Dados dos números reales a y b, se dice que a es menor que b si b-a > 0
EJERCICIO
se generan tres números que debes ordenar de menor a mayor
1. -23. -55, -45 -55 -45
-23
2. -42, 31, -21
Intervalos
Ciertos subconjuntos del conjunto de los números reales, llamados intervalos, se encuentra
frecuentemente, por lo que tenemos una notación compacta para representarlos.
Notación de intervalo
La siguiente es una lista de varios tipos de intervalos con ejemplos.
Cerrado
Abierto
Semiabierto
Intervalo
Descripción
[a, b]
Conjunto de números x tales que
a≤x≤b
(a, b)
(a, b]
Conjunto de números x tales que
a<x<b
Conjunto de números x tales que
a<x≤b
Dibujo
Ejemplo
[0, 10]
(incluye puntos
extremos)
(-1, 5)
(excluye puntos
extremos)
(-3, 1]
2
[a, b)
Conjunto de números x tales que
a≤x<b
[-4, -1)
Infinito [a, +∞) Conjunto de números x
tales que
a≤x
[0, +∞)
(a, +∞) Conjunto de números x
tales que
a<x
(-3, +∞)
(-∞, b] Conjunto de números x
tales que
x≤b
(-∞, 0]
(-∞, b) Conjunto de números x
tales que
x<b
(-∞, 8)
(-∞,
Conjunto de todos
(-∞, +∞)
+∞)
números reales
Los puntos a y b del intervalo cerrado [a, b] se llaman sus puntos extremos. Intervalos
abiertos no tienen puntos extremos, y cada intervalo semiabierto tiene un solo punto
extremo; por ejemplo (-1, 3] tiene 3 como su punto extremo.
Representa en la recta real los siguientes intervalos (cada uno en una
OPERACIONES ENTRE INTERVALOS.
INTERSECCION
Sean y conjuntos. Se define la intersección de
cuyos elementos pertenecen a y también a .
y
y se denota
, al conjunto
Simbólicamente se tiene que:
Ejemplo
Si
y
. Determine
Solución
Geométricamente podemos representar los conjuntos
y
de la manera siguiente:
De aquí podemos observar que los elementos que están en y también en
números reales que están entre 2 y 5, incluyendo a éstos; por lo que:
son los
3
UNION.
Sean y y conjuntos. Se define la unión de y y se denota
elementos pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos y .
, al conjunto cuyos
Simbólicamente se tiene que:
Ejemplo
Si
y
.Determine
Solución
Representaremos a
ya
geométricamente:
De aquí podemos observar que los elementos que están en
que están entre -3 y 7, incluyendo a éstos, así:
o en
, son los números reales
DIFERENCIA
Sean y conjuntos. Se define la diferencia de
cuyos elementos pertenecen a y no a .
y
y se denota
, al conjunto
Ejemplo
Si
y
. Determine
y
Solución
i. Los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B son
; por lo que
ii. Los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A son
; por lo que
.
EJERCICIOS
Para cada uno de los casos siguientes determine el conjunto
1.
;
2.
;
3.
;
.
4
4.
;
Para cada uno de los casos siguientes determine el conjunto
geométricamente los conjuntos A, B y
.
y represente
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Para cada uno de los casos siguientes determine el conjunto
1.
;
2.
;
3.
y
.
;
;
4.
5.
;
DESIGUALDADES
Una igualdad es una oración matemática que contiene signo de igual. Por ejemplo:
6 + 4 = 10
x + 6 = 10
Una igualdad que tiene variable (valor desconocido o incógnita) se llama ecuación. Por
ejemplo: x + 6 = 10
Una desigualdad es una oración matemática que contiene un signo de desigualdad. Los
signos de desigualdad son:
No es igual
< Menor que
> Mayor que
menor o igual que
mayor o igual que
Una desigualdad que tiene variable se llama inecuación. Por ejemplo: X + 3 < 7
(La punta del signo < siempre señala el menor)
Ej. 3 < 4,
4 >3
¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que observar propiedades de las
desigualdades. Por ejemplo:
1< 6
1+5< 6+5
¿Esto es cierto? Sí. Así que podemos sumar en ambos lados de una desigualdad y sigue
cierta.
Otro ejemplo:
2 < 6
2 + -9 < 6 + -9
5
Esto es también cierto. Sigue cierta la desigualdad al sumar en ambos lados un número
negativo.
Otro ejemplo con resta:
7 > 4
7-3 > 4–3
La desigualdad sigue siendo cierta al restar un número negativo.
Aquí tenemos otro ejemplo pero esta vez restando un número negativo en ambos lados de
la desigualdad:
2 < 8
2 - (-3) < 8 - (-3) Restar un número es igual que sumar su opuesto
2+3 < 8+3
5 < 11
La desigualdad es cierta al restar un número negativo de ambos lados.
Multiplicación con números positivos:
3 < 7
3*6 < 7*6
La desigualdad es cierta al multiplicar un número positivo en ambos lados.
Multiplicación con números negativos:
4 > 1
4 · -2 > 1 · -2
-8 > -2 Falso
Nota: La desigualdad cambia en este caso, ya que -8 no es mayor que -2. En el caso que se
multiplique por un número negativos en ambos lados de una desigualdad, el signo se
invierte:
-8 < - 2
Ahora, la desigualdad es cierta.
División con positivos:
3 < 9
3/3 < 9/3 Si dividimos ambos lados de la desigualdad por 3
1 < 3
La desigualdad es cierta.
División con negativos:
4 < 12
4/-2 < 12/-2 Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2
-2 < -6 falso
Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2
La desigualdad es falsa. Por lo tanto, debemos invertir el signo.
-2 > -6
Ahora la desigualdad es cierta.
En resumen, se invierte el signo cuando se multiplica o se divide una desigualdad por un
número negativo.
Ejemplos:
Resolver la siguiente inecuación para verificar si el número dado es solución.
Ejemplo 1:
x+3<6
; x=5
x + 3 < 6 [Ahora, se sustituye x por 5.]
5 + 3 < 6 [Simplificar]
8<6
¿ 8 es menor que 6? No. Entonces, 5 no es una solución.
Ejemplo 2:
x -3
8
;
x = 11
11 - 3 8
8
8
¿8 es mayor que 8? No, pero 8 sí es igual a 8. Así que es cierta la inecuación y podemos
concluir que x = 11 es una solución.
Ejemplos: Resolver la inecuación.
Ejemplo 1:
x+4<7
6
Ejemplo 2:
x-9
8
Ejemplo 3:
3x < 5
Ejemplo 4:
-2x
-6
Ejemplo 5:
3x - 1
2x + 4
Ejemplo 6:
4x + 9
6x - 9
Ejemplo: Resolver x - 3 > 2
Ejemplo:
2x - 4
Resolver -2x
3x + 1
-34.
Ejercicios de Práctica:
A. Verificar si el número dado hace cierta o falsa la ecuación
1. x > 3 ; 5
2. x + 7 2 ; -8
3. 2x + 3 7x + 1 ; 2
4. 3x - 2
x+7 ;1
5. 6x 18 ; 3
B. Resuelva
1.
x+7>9
2. 2x + 3 x + 6
3. -6x + 7 x + 9
4. -6x
-72
5. 1/3x - 9 > 2/3 x + 6
6. -6x + 9 < -2x + 8
7. -2x + 8 12