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NEP_07 Extracción y representación mental de la paridad Roberto D. Cáceres 1; Leonel Gómez-Sena 2; Ruben Budelli 2 1 - Departamento de Métodos Cuantitativos, UADIE- Departamento de Educación Médica, Facultad de Medicina, UDELAR, Uruguay 2 - Sección Biomatemática, Instituto de Biología, Facultad de Ciencias, UDELAR , Uruguay 1. INTRODUCCIÓN. 2. MATERIALES y MÉTODOS. Existen dos grandes tipos de modelos de evaluación de la paridad. Uno se basa en asumir que la extracción de la paridad involucra alguna forma de cálculo mental. De acuerdo a dicha hipótesis se espera que exista un efecto denominado efecto del tamaño, en el cual existe una relación monótona creciente entre la magnitud de los números y los tiempos de respuesta y la frecuencia de errores, y la magnitud del número es entonces una variable relevante para explicar tiempos de respuesta y tasas de error [1, 2]. Otro tipo de modelos considera que en la extracción de la paridad esta involucrada la recuperación de información de la paridad de un número, a partir de una memoria semántica almacenada en la memoria a largo plazo, y que posiblemente involucra otras propiedades del número. Dehaene y col. (1993) aportan evidencias en adultos, consistentes con este último tipo de modelo, basado en recuperación de la paridad a partir de la memoria semántica [1]. No se han realizado otros trabajos, en relación a este problema, que aporten evidencia sustantiva y directa para discriminar entre esos dos tipos de modelos alternativos. Nos propusimos estudiar cómo se extrae la paridad y cómo es su representación mental en niños. Realizamos un experimento en el cual a cada uno de los niños se le administró una tarea de evaluación de la paridad con números de una cifra y de múltiples cifras. Usando modelos multidimensionales de teoría de respuesta a los ítems (modelos TRIM) caracterizamos el patrón conjunto de respuesta. Un ítem es un estímulo complejo al que cada sujeto responde. En dicha respuesta están involucradas una serie de procesos mentales complejos, que incluyen procesos cognitivos. Si se seleccionan apropiadamente el tipo de ítems y sus características, y un dominio apropiado de sujetos, es posible utilizar el análisis completo de la información en el patrón conjunto de respuestas, para adentrarse en la comprensión de los complejos e intrincados procesos mentales, que involucran aún las tareas más simples que podamos considerar. Estos modelos permiten estudiar la interacción entre los ítems y los sujetos, permitiendo predecir la probabilidad de una respuesta correcta, en función de una serie de parámetros de los ítems y un vector de habilidades de rasgo latente de los sujetos [3, 4]. El rasgo latente multidimensional se puede considerar como una caracterización matemática de las habilidades cognitivas involucradas en la respuesta a una tarea. Usando estos modelos es posible caracterizar a los sujetos y los ítems en un espacio multidimensional donde cada coordenada es una de las dimensiones del espacio latente (espacio ). Es posible derivar una serie de parámetros que ayudan a entender el funcionamiento de cada ítem: (a) los coeficientes de discriminación de un ítem (jf) describen cuan bien un ítem j discrimina entre sujetos con diferentes posiciones en el espacio (de dimensión f) en una dirección particular; (b) la intersección de un ítem (j) refleja la interacción entre las posiciones del ítem y sus coeficientes de discriminación en cada dimensión; (c) la asíntota inferior de un ítem (cj) es un parámetro que da la probabilidad de una respuesta correcta para un sujeto que se encuentra en el origen del espacio latente. A partir de dichos parámetros se pueden derivar las siguientes medidas basadas en modelos: la dificultad multidimensional ( MDIFFj), que da la distancia entre el origen del espacio y el punto de máxima discriminación del ítem, en la dirección de máxima discriminación de dicho ítem; y el coeficiente de discriminación multidimensional (MDISCj) que da la magnitud de la capacidad de discriminación del ítem j. El modelo TRIM que obtuvimos nos permitió estudiar los factores de dificultad multidimensional o MDIFF. MDIFF es una medida basada en un modelo, que consideramos una caracterización útil de la complejidad de procesamiento cognitivo de un ítem. De esta forma caracterizamos el efecto de propiedades de los ítems sobre el MDIFF lo que es un medio para caracterizar las propiedades de procesamiento de información cognitiva del sistema cognitivo involucrado en la tarea. A partir del modelo TRIM fue posible también realizar un análisis factorial no lineal de la información completa contenida en la distribución conjunta del patrón de respuestas y esto aportó un medio adicional para adentrarse en la compresión del sistema cognitivo estudiado. Muestra de sujetos. Se reclutaron 240 niños de tercero a sexto grado (8 a 13 años de edad) a partir de 5 escuelas urbanas de la ciudad de Montevideo. Los niños fueron seleccionados en forma aleatoria. Los criterios de inclusión fueron: (1) vivir en zona urbana de Montevideo; (2) estar cursando de 3er a 6to grado. Los criterios de exclusión fueron: (1) poseer una historia de enfermedad neurológica; (2) trastornos emocionales o del comportamiento; (3) presencia de trastorno del desarrollo del aprendizaje; (4) bajo cociente intelectual; (5) causas de dificultad de aprendizaje no especificas o no debidamente compensadas; (6) poseer historia de otros problemas de salud u otras causas que dificulten su evaluación por faltas frecuentes; (7) repetición de cursos reiterada más de 2 veces. Se contó con el consentimiento informado de los padres. Muestra de ítems y protocolo de aplicación. El conjunto de ítems aplicado consistió en 20 ítems de 1 y de múltiples cifras. Se seleccionaron 4 ítems de una cifra al azar sin repetición imponiendo la restricción de balance entre cifras pares e impares. Se seleccionaron 12 ítems de dos cifras al azar sin repetición. Por último se seleccionaron en forma aleatoria y sin repetición 4 cifras de tres dígitos, una por cada una de las primeras 4 centenas y con la restricción de balance entre cifras pares e impares. El protocolo de aplicación incluyó una consigna estandarizada. La consigna contenía dos ejemplos que no formaron parte del presente análisis. Se instruyó a los niños para que respondieran lo más rápido posible intentando no cometer errores. Las evaluaciones se hicieron individualmente en una habitación adecuada para ello. Modelización y análisis estadístico. Los modelos y análisis aplicados se implementaron usando R 2.11.0 [7] y Octave 3.2.3 [6]. Para el ajuste del modelo MIRT se utilizó NOHARM 2003 [5]. Para la modelización de MDIFF en función de características de los estímulos, se siguió la estrategia de modelización y criterios que se describen a continuación. Consideramos varios modelos posibles. A cada uno de ellos se le aplicaron técnicas de diagnóstico y se evaluó el modelo en términos absolutos y en comparación con otros modelos. Nos propusimos buscar modelos parsimoniosos. Se priorizó el valor explicativo de los modelos considerados. Aquellos modelos que no pasaron la evaluación diagnóstica fueron descartados como alternativa. Modelos que presentaban problemas de multicolinearidad, o falta de robustez, debido a la presencia de observaciones influyentes, fueron descartados. Se tomó en cuenta también análisis de autocorrelación de residuos. En cada caso se evaluó la posibilidad de interacciones o de confusión y se tomaron las medidas correctivas necesarias. 3. RESULTADOS. 3.1. Modelización del patrón conjunto de respuesta utilizando modelos MIRT. Análisis preliminares del patrón de respuesta utilizando técnicas de psicometría clásica y modelos unidimensionales de teoría de respuesta a los ítems, nos permitieron demostrar que no es posible caracterizar apropiadamente el patrón conjunto de respuesta con un modelo que asuma unidimensionalidad en el espacio , coeficientes de discriminación iguales, o que las asíntotas inferiores son todas cero. El modelo ajustado es un modelo multidimensional 3pl (de tres parámetros). En la Figura 1 y 2 se presentan los resultados obtenidos para 2 y 3 dimensiones del espacio latente. El modelo muestra un muy buen ajuste (para f=3, raíz del cuadrado medio de los residuos RMS=0.006, índice de Tanaka de bondad de ajuste GFI=0.983 ). En la Figura 3 se muestran la superficies de respuesta para los ítems (SRI) considerados. Estas superficies describen la dependencia entre la probabilidad de respuesta correcta y la posición del sujeto en el espacio . Las soluciones encontradas son consistentes con la hipótesis de la memoria semántica en la extracción de la paridad. Observar por ejemplo los pesos de los factores para el número 4 y 7, y sus SRIs. El número 4 es un número par y potencia de dos, mientras que el 7 es un número impar y primo. De acuerdo a la hipótesis de la memoria semántica, 4 y 7, deberían ser ejemplos prototípicos de números páres e impares, y esperamos que su procesamiento sea menos complejo que el de los números 6 y 9. Esto se vió reflejado en los pesos de los factores y en las formas de las SRI. Si bien todos los ítems de una cifra muestran un mayor peso en la dimensión 1 del espacio , los números 9 y 6 presentan una estructura más compleja. Cuando se rotan las SRI o al proyectarlas sobre cada una de las dimensiones, las diferencias observadas son aún más notorias (no se presenta aquí). Los pesos y las SRIs revelan también una diferencia cualitativa entre los ítems de una y de múltiples cifras. 3.2 Evaluación de la hipótesis de cálculo mental en la extracción de la paridad. A partir de un modelo de extracción de la paridad basado en cálculo mental, se espera que la magnitud de los ítems tenga un efecto en el MDIFF, por lo que evaluamos exhaustivamente esta posibilidad. Consideramos el efecto de la magnitud en varias escalas (lineal (caso A), logarítmica (caso B), logarítmica al cuadrado (caso C) y categóricas (caso D)). Se encontró que no hay un efecto significativo de la magnitud del estímulo para los casos A, C y D, pero sí para el caso B (F-estadístico: 10.94 con 1 y 18 g.l, valor-p: 0.004). Luego llevamos a cabo un análisis multivariado, para controlar posibles efectos de las interacciones de las variables o efectos de confusión. A partir de este análisis se obtiene que tampoco existe un efecto principal o de interacciones de la magnitud en el caso B (F-estadístico:0.5534 con 1 y 12 g.l., valor-p: 0.4713). También se analizó el efecto de la magnitud de la cifra unidad, para evaluar la posibilidad que la paridad se extraiga a través de cálculo mental con la primera cifra, pero tampoco se encontró un efecto significativo. 3.3. Evaluación de la hipótesis de participación de la memoria semántica. Si en la extracción de la paridad esta involucrada la recuperación de información de la paridad de un número, a partir de una memoria semántica almacenada en la memoria a largo plazo, y que posiblemente involucra otras propiedades del número, esperamos que variables de tipo semántico tengan un efecto sobre el MDIFF. Las variables consideradas inicialmente fueron: (a) paridad (codificación: 0 si par, 1 si impar), (b) incongruencia (codificación: 0 si paridad congruente entre las cifras, 1 si el número tiene cifras pares e impares); (c) numcif (codificación: 0 si el número es de una cifra, 1 si es de múltiples cifras); (d) potencia2 (codificación: 0 si la primer cifra no es potencia de 2, 1 si lo es ; (e) primo (codificación: 0 si el número no es primo, 1 si lo es); (f) cero (codificación: 0 si el número no tiene una cifra unidad cero, 1 si el número termina en cero). El modelo final que se obtuvo no evidenció problemas durante el proceso de diagnóstico. Dentro de los modelos que pasaron dichas pruebas, fue el que tuvo un mayor valor de R2 multidimensional (R2=0.827) , un mayor valor de R2 ajustado (R2 ajustado=0.726), y una más clara interpretación teórica. Este modelo incluye todas las variables consideradas, más la interacción entre numcif y paridad. El efecto conjunto de las variables incluidas es altamente significativo (FEstadístico=8.19 con 7 y 12 g.l.; valor-p=0.0008983). Si bien potencia2, primo y cero, no presentan un efecto significativo, cuando dichas variables son removidas introducen confusión y una reducción importante en el R2 y R2 ajustado, y el modelo pierde robustez frente a algunas observaciones. El efecto estimado para primo y potencia2 muestra claramente una tendencia consistente con la hipótesis que propone un rol para la recuperación de una memoria semántica como forma de extraer la paridad. Las variables paridad, nuncif e incongruencia, tienen todas efectos estadísticamente significativos y consistentes también con dicha hipótesis. En la Figura 4 se resumen los resultados obtenidos. 4 33 51 7 74 38 9 86 27 6 14 66 58 40 71 85 123 269 496 346 Figura 3. Superficies de respuesta para los ítems considerados que muestran la dependencia de la probabilidad de respuesta correcta a un ítem en función de la posición del sujeto en el espacio . Figura 2. Pesos de los factores o dimensiones latentes para el modelo con f=3 y su rotación Promax. Figura 1. Parámetros estimados para el modelo MIRT para la solución de 2 y 3 dimensiones. Valores más negativos de MDIFF corresponden a ítems de menor dificultad. Con azul se señalan los ítems más fáciles y con rojo los más difíciles dentro de cada grupo de ítems (1 cifra, 2 cifras, 3 cifras).Los valores sombreados corresponden a el ítem más difícil (celeste) y más fácil (rosa). Figura 4. Modelo final de MDIFF, tabla anova para el modelo y tabla de estimación de los coeficientes del modelo. E(MDIFF) es el valor esperado de acuerdo al modelo. El modelo explica un 82,7% de la varianza de MDIFF y el efecto conjunto de las variables explicativas es altamente significativo, valor-p<0.001. 4. CONCLUSIÓN. Encontramos evidencias de que no existe efecto del tamaño en esta tarea, lo que es inconsistente con un modelo basado en cálculo mental para la extracción de la paridad. Existe un efecto de la paridad, un efecto de la congruencia entre la paridad entre las cifras, y encontramos que también es relevante la información sobre si un número es primo o potencia de dos, lo que es consistente con un modelo basado en la recuperación de la paridad a partir de una memoria semántica. Encontramos también evidencias que sugieren que la evaluación de la paridad en números de una cifra y de múltiples cifras presenta diferencias cualitativas. Por ejemplo, el efecto de la paridad no es igual para números de una sola cifra y de múltiples cifras. Cuando se controlan otras variables, los números de múltiples cifras tienen una dificultad multidimensional mayor, lo que sugiere una mayor carga de los procesos cognitivos involucrados y/o que están involucrados procesos cognitivos adicionales. Encontramos también que los ítems de una sola cifra tienen una composición factorial cualitativamente diferente a la observada en los ítems de múltiples cifras. 5. REFERENCIAS. [1] Dehaene S. et al.(1993). The mental Representation of Parity and Number Magnitude. Journal of Experimental Psychology:General,122(3):371396. [2] Campbell (2005) The Handbook of Mathematical Cognition. Psychology Press, New York. [3] Ayala, R. J. (2009) The theory and practice of item response theory, Guilford Press, New York. [4] van der Linden and Hambleton R.K(1997) Handbook of moderm item response theory, Springer, New York. [5] Fraser,C.(1988) NOHARM: A computer program for fitting both unidimensional and multidimensional normal ogive models of latent trait theory [Computer program]. Armidale, New South Wales: Centre for Behavioural Studies, University of New England. [6] John W. Eaton, David Bateman y Søren Hauberg. GNU Octave Manual Version 3: A high-level interactive language for numerical computations Edition 3 for Octave version 3.0.2 August 2008. [7] R Development Core Team (2010). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. ISBN 3-900051-07-0, URL http://www.R-project.org.
