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8º CONGRESO IBEROAMERICANO DE INGENIERIA MECANICA
Cusco, 23 al 25 de Octubre de 2007
UTILIZACIÓN DE LAS ALGEBRAS DE LIE EN CINEMÁTICA PARALELA
GIL ILLESCAS, E.*, LARA FERIA A.º ,NIETO PALOMO, F. º, FERRERO POLO A.º
*Fundación CARTIF, Parque Tecnológico de Boecillo,parc. 205, 47151 Boecillo(Valladolid), º ITAP, Paseo del
Cauce s/n, 47011 Valladolid
* [email protected]
RESUMEN
Este trabajo muestra la utilización de nuevos algoritmos basados en álgebras de Lie, en particular el álgebra de
Cuaternios Duales, y su aplicación en concreto en Robots Paralelos; incluyendo los números y vectores duales, para
modelizar los mecanismos.
Se recuerda que los movimientos de un sólido rígido en el espacio R3 forman un Grupo de Lie, llamado Grupo
Euclídeo especial de 3 dimensiones que se simboliza por SE(3), y el espacio tangente a SE(3) (campo de velocidades
lineales y angulares del sólido rígido) se identifica como una forma elemental, llamada Álgebra de Lie asociada al
grupo SE(3) y se simboliza por se(3).
Se parametriza el grupo SE(3) representado por matrices duales ó por cuaternios duales en este caso, y se llega a
la correspondiente parametrización del álgebra de se(3), que es isomorfa al espacio vectorial de Cuaternios Duales de
Clifford.
El método que se expone presenta resultados más completos y compactos, y además la eliminación sistemática de
los parámetros de las articulaciones.
PALABRAS CLAVE: Algebras de Lie, Cinemática paralela.
INTRODUCCIÓN.
Antecedentes de mecanismos de cinemática paralela.
Desde hace más de 20 años se utilizan los mecanismos de cinemática paralela, llegándose en la actualidad a
usarse en nuevas y variadas aplicaciones, como por ejemplo:
− Sistemas de posicionamiento de precisión.
− Generadores de movimientos.
− Sistemas de manipulación rápida.
Además también se comienzan a utilizar en otros campos como cirugía y aplicaciones médicas en general;
en máquinas herramientas de mecanizado de precisión etc, dando hasta el momento resultados prometedores, que en
algunos casos pueden llegar a ser definitivos.
Las ventajas principales del uso de este tipo de mecanismos con cinemática paralela son:
− Alta precisión.
− Rigidez.
− Alta velocidad.
− Mayor capacidad de carga.
Con estas características pueden superar las dificultades de implantación en aplicaciones complejas y de
falta de espacio en ciertos puestos de trabajo.
Todas estas prestaciones serán alcanzables, si sus componentes tanto en hardware y software presentan un
alto nivel de desarrollo; que es lo que se pretende con el presente proyecto.
Para alcanzar este alto nivel, implica disponer de herramientas matemáticas que permitan un adecuado
diseño, simulación y construcción así como un control avanzado y preciso de los mismos.
En contraposición a lo dicho anteriormente, los robots paralelos poseen un espacio de trabajo limitado, de
hecho aún a su pobre flexibilidad los robots paralelos tienen aplicaciones muy interesantes como en centro de
mecanizado , robots móviles, etc.
Un robot de cinemática paralela, también llamado robot de cadena cerrada o manipulador paralelo, consiste
básicamente en una plataforma móvil unida a una base fija por medio de varios brazos. Típicamente cada brazo está
controlado por un actuador. En general estos robots paralelos pueden manipular una carga mayor que los robots de
cadena abierta, ya que comparten la carga entre varios brazos paralelos.
La primera patente registrada basada en una estructura paralela data del año 1931 a nombre de James E.
Gwinnett. Se trataba de un simulador que por medio del movimiento de una plataforma. Este nunca se construyó,
pero fue el primer diseño registrado de un mecanismo paralelo.
El primer robot con estructura paralela corresponde a Willard L.V. Pollard y que fué diseñado para ser
utilizado en aplicaciones de pintura en 1938. En 1947 Eric Gough construyó la primera estructura paralela que se
popularizó en la industria. Se trataba de un hexapodo de forma octagonal utilizado para efectuar pruebas de
resistencia bajo distintas combinaciones de carga de llantas de ruedas del tren de aterrrizaje de aviones.
Stewart (1965) [1] diseñó una plataforma paralela para simulador de vuelo. Hunt (1983) [2] desarrolló un
estudio sistemático de los robots de cinemática paralela. Desde entonces muchos investigadores han estudiado el
tema y han propuesto nuevos disefios. Algunos de ellos han sido industrial izados con gran éxito, como por ejemplo
la plataforma de Stewart-Gough (Stewart, 1965), robots caminantes (Waldron et al., 1984) [3], el robot Delta
(pierrot et al. 1990) [4], máquinas de mineria (Arai et al., 1991) [5], el Triceps (Neos Robotic) [6], máquina
herramienta de alta velocidad y precisión (Giddings y Lewis, 1995) [7], el Z3Head (DS Technology) [8] y el Hermes
(Fatronik) [9].
Para más información se pueden consultar los excelentes libros escritos por Tsai (1999) [10] y por Merlet
(2001) [11], la página Web www.oarallemic.ore: de Bonev [12], y los resultados del proyecto europeo Robotool
(2002) [13].
Se concluye que en la actualidad es cada vez más numeroso el uso de estos mecanismos en diversas
aplicaciones.
Innovación del artículo.
El artículo que se expone, se basa en el uso de cuaternios duales como herramienta matemática avanzada
para la definición de las ecuaciones de diseño para cadenas cinemáticas serie y paralelos.
Este estudio enlaza con el trabajo dirigido por D. Antonio Lara Feria desde hace varios años, que ha seguido
las siguientes etapas:
-Generalización del uso del algebra de cuaternios reales, para modelizar el movimiento de rotación de un
sólido rígido con un punto fijo, como alternativa al uso de matrices ortogonales simbolizado por SO(3).
- Utilización del par cuaternio vector { Q, v }, para modelizar el movimiento más general del sólido rígido
(Rotación y Traslación) como alternativa al uso de matrices homogéneas 4x4.
- Utilización del par cuaternio-vector, para estudiar y modelizar la calibración de robots.
Por último se propone, como se indica al principio de este apartado, la utilización del Algebra de cuaternios
duales de Clifford, incluyendo los números y vectores duales, para modelizar mecanismos, y en particular los que
presentan estructuras paralelas.
Se parametrizará el grupo SE(3) (grupo especial de 3 dimensiones) representado por matrices duales o por
cuaternios duales en nuestro caso y se llegará a la correspondiente parametrización del álgebra de se(3), que es
isomorfa al espacio vectorial de cuaternios duales de Clifford.
El método que se propone, presentará resultados que serán más completos y compactos, y además la
eliminación sistemática de los parámetros de las articulaciones.
PRELIMINARES MATEMÁTICOS.
Antecedentes en algoritmos matemáticos avanzados.
Es sobradamente conocido que los movimientos o desplazamientos de un sólido rígido en el Espacio de R3,
forman un Grupo de LIE llamado Grupo Euclídeo Especial de 3 dimensiones y que se simboliza SE(3) y el espacio
tangente a SE(3) (campo de velocidades lineales y angulares del sólido rígido) se identifica como una forma
elemental, llamada Algebra de LIE asociado al grupo SE(3) y se simboliza se(3).
El estudio y análisis de los grupos SE(3) y se(3) es esencial en áreas tales como el estudio de la cinemática y
diseño de manipuladores serie y paralelo, mecanismos de lazo cerrado, análisis de singularidades y algoritmos de
planificación de movimientos. Estos temas han sido objeto de numerosos estudios y trabajos de I+D.
Existen diferentes maneras de estudiar el grupo SE(3) (ver, por ejemplo, uso de puntos y trayectorias
lineales (McCarthy 1979) [14]; invariantes instantáneos (Botthema y Roth 1979) [15]; screws and twists
(movimientos de rotación, deslizamiento y traslación Ball 1900 [16]; Hunt 1978 [17]; Murray, Li y Sastry 1994
[18]).
Ball (Ball 1900) [16] y Hunt (Hunt 1978) [17] han usado planteamientos geométricos para la identificación
de movimientos instantáneos de rotación y deslizamiento del sólido rígido y recientemente se ha presentado un
planteamiento analítico basado en la teoría de secciones cónicas degeneradas. Alba Pérez y McCarthy (2002) [19]
aplican el álgebra de cuaternios duales a un robot serie y a un robor paralelo restringido; pero ninguno de estos
estudios permite el uso de cuaternios duales en forma general a estructuras paralelas.
Álgebras reales y dual: Definición y concepto.
Álgebras reales.
Las álgebrás reales se basan en el conjunto de los números reales, que tiene la estructura de cuerpo. Después
forman un espacio vectorial sobre R de dimensión uno, y al ser también espacio vectorial dobre R tiene la estructura
de álgebra. A nivel superior está el espacio V3, conjunto de vectores sobre R3= RxRxR, espacio vectorial sobre
R(conjunto números reales).
Y por último el álgebra de cuaternios, el cuaternio Q como elemento del producto cartesiano de RxV3,
escalares y vectores con Q = (s , v); que con la operación suma (+) y producto (.), tiene la estructura de cuerpo no
conmutativo. Asímismo es un espacio vectorial sobre R de 4 dimensiones y se representa de forma cartesiana como:
Q= s + vx i + vy j + vz k; con ello se define un álgebra no conmutativa, llamada álgebra de cuaternios.
La aplicación más importante de los cuaternios es su utilidad para la expresión de rotaciones. Si se tiene un
cuaternio normalizado en la forma Q = cos θ + sen θ s ^ y el cuaternio conjugado Q´= cos θ – sen θ s ^, con y
un vector cualquiera y = p + x con p paralelo a s, y x perpendicular a s; aplicando el cuaternio Q sobre el valor de y
en la forma Q.y.Q´= Q.p.Q´ + Q.x.Q´ entonces el valor de p es invariante puesto que tienen la misma dirección;
quedando:
Q . x . Q´= x´´
(1)
que es el mismo vector x girado un ángulo 2θ. En conclusión cuando se aplica un cuaternio Q sobre un vector, en la
forma indicada en ecuación (1) se obtiene el mismo vector girado un ángulo 2θ.
Álgebra Dual.
Clifford (1845-1879) creó unos nuevos números que englobaran a todos los conocidos hasta la fecha. A
estos números les llamó DUALES y constituyen un álgebra de dimensión 2.
Los definió de la forma a = a + ε a´ donde a Є R y a´ Є R; haciendo la hipótesis sobre el valor de ε
siguiente:
(2)
ε2 = -1 caso hiperbólico D = C (conjunto números complejos)
(conjunto números duales)
ε2 = 0 caso parabólico D
D = R (conjunto números reales)
ε2 = 1 caso elíptico
Siendo a , la parte real del número dual, a´ la parte dual del número real, a . ε como número dual puro; y ε
como número dual puro unitario.
En el conjunto de los números duales se pueden definir las operaciones de suma, producto, división,
potencia, además se pueden expresar como desarrollo en serie de Taylor, función exponencial, e incluso se puede
definir el concepto de ángulo dual introducido por E. Study (1901 – 1903); además que aplicando el desarrollo de
Taylor al concepto de ángulo dual se pueden obtener las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente, también
del angulo dual doble como mitad. Todo lo anterior nos indica que los números duales forman parte de un álgebra,
denominada álgebra dual.
Otro concepto que se introduce es el de vector dual, que al igual que se hizo con el número dual; el vector
dual se define como b = b + ε b´ donde b Є V3 y b´ Є V3. En el conjunto de vectores duales se definen las
oeraciones de Suma, Producto por un dual, Producto escalar,Producto vectorial, Condición de ortogonalidad, y
Normalización. También se puede definir una recta por vectores duales, identidades duales, y los conceptos de
velocidad dual y fuerza dual que se tratarán en el siguiente punto del artículo.
En el nivel superior se encuentra el concepto de cuaternios duales también llamado bicuaternios u octonios
con una expresión de la forma: Q = Q + ε Q´. Sobre los cuaternios duales se puede definir la operación suma,
producto interior, normalización, inverso, cuaternio dual unitario, además de ser un espacio vectorial sobre R por lo
que tiene estructura de álgrebra, llamada Álgebra Dual.
REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA MEDIANTE ÁLGEBRA DUAL (CASO PARTICULAR DE
ÁLGREBRA DE LIE), DE MAGNITUDES FÍSICAS DEL MOVIMIENTO DE UN SÓLIDO RÍGIDO.
El movimiento más general de un sólido rígido puede considerarse como una rotación y un desplazamiento
a lo largo del eje instantáneo de rotación y deslizamiento mínimo.
En este movimiento se representa mediante el concepto de distribución de velocidades; la cual para un
sólido rígido es la siguiente:
Vp= Va + Ω ^ AP
(3)
Sin embargo esta misma distribución de velocidades puede ser expresada como un vector dual:
V = ( Ω + ε . V) . s
(4)
donde s es el vector dual unidad, que representa al eje instantáneo de rotación y deslizamiento.
A su vez la longitud dual (Ω+ε .V) especifica la rotación alrededor del eje donde Ω es la velocidad angular
de rotación y V la velocidad de deslizamiento.
Siendo A un punto del sólido rígido situado en su eje instantáneo de rotación y deslizamiento, y P otro
punto del sólido rígido; la velocidad de P puede referirse a A como origen, luego con s = s + ε . ( PA ^ s),
tendremos que :
Vp = Ω . s + ε . ( V . s + Ω . s ^ PA)
(5)
donde la primera parte real es Ω . s = Ω velocidad angular del sólido y la parte dual es la velocidad lineal compuesta
de dos puntos. Con esto tenemos que:
V.s
Ω . s ^ AP
Velocidad de deslizamiento.
Velocidad tangencial.
(6)
(7)
También se expresa el paso (PITCH) de la velocidad dual llamado paso de tornillo (SCREW PITCH) como:
µ = V/Ω ; con lo cual se puede poner la velocidad como vector dual:
V = Ω . ( 1 + ε . µ ) .s
(8)
En el movimiento más general de sólido rígido el paso de tornillo (screw pitch) es finito por lo tanto el
vector dual V anterior, es un vector dual propio, sin embargo, si la velocidad es de rotación solamente, V = 0 y
Ω ≠ 0 con µ = 0 entonces:
V = Ω . s es un vector dual lineal.
(9)
En el caso de que exista deslizamiento puro Ω = V con µ = infinito la velocidad es un par momento,
expresado por:
V=ε .V.s
(10)
Otra magnitud física que se puede representar mediante vectores duales es la de Fuerza. La fuerza dual se
puede expresar con respecto a un punto; con respecto a un eje y como sistema de fuerzas duales.
La fuerza F y el par M aplicados al sólido rígido pueden ser combinados para dar un vector dual respecto a
un punto A siendo:
F = F + ε MA
(11)
Si pasamos de la referencia del punto A a otra centrada en un punto B , la parte real queda unilateral pero la
parte dual se transforma de acuerdo con:
MB = TA + BA ^ F
MB = F + ε . [ TA + BA ^ F ]
(12)
(13)
Por último se puede representar un sistema de fuerzas duales. Teniendo puntos arbitrarios de aplicación
A,B,C,D de un sólido rígido, el sistema de fuerzas con respecto a un punto arbritrario O, puede definirse como:
F1 = F1 + ε (M1 + OA ^ F1)
F2 = F2 + ε (M2 + OA ^ F2)
F3 = F3 + ε (M3 + OA ^ F3)
(14)
con ello la resultante es:
R = ∑ F i + ε ∑ ( Mi )o con i = 0...n
(15)
que puede ser un vector dual, un vector lineal o un par, o cero.
Cuando la resultante es cero el sistema está en equilibrio. En el caso del movimiento del sólido rígido de
rotación y deslizamiento alrededor del eje central, especificado por s , la resultante del sistema de fuerzas se puede
expresar por:
(16)
R=(F+εM)s
donde F es la fuerza de deslizamiento a lo largo del eje instantáneo de rotación y deslizamiento y T es el movimiento
alrededor del eje de rotación y deslizamiento.
El paso (PITCH) de la fuerza dual es :
µ =M/F
(17)
Si la rotación es alrededor de un eje fijo,
R = ε .M. s
(18)
Si es un movimiento de deslizamiento
R=Fs
(19)
También se puede definir el operador rotación y traslación, así como el rotación+traslación (screw).
Partiendo de la expresión de Q = cos θ + s sen θ , y de a y b vectores duales en representación de dos
rectas que se cortan en un punto y s vector dual representante de una recta perpendicular a ámbos, el operador
rotación se expresa:
(20)
Q . a = b y b . Q´ = a
Esto produce una rotación de a a b con las mismas operaciones que los cuaternios con respecto a vectores.
Con a y b vectores duales en representación de dos rectas paralelas y s vector dual representante de una
recta perpendicular a ámbas el operador traslación se define como sigue:
Con QL = 1 + ε.d.s ;
tenemos QL . a = b ; b . QL = a ;
entonces b. (a) -1 = (b) -1 . a = QL .
(21)
Por último está el operador rotación+traslación (screw) que es el caso más general. Cuando dos rectas se cruzan por
lo visto anteriormente:
con
(b) -1 . a = Q´ y b. (a) -1 = Q
entonces
Q.a=b y b.Q=a
(22)
(23)
APLICACIÓN DEL ÁLGEBRA DUAL A MANIPULADORES DE CINEMÁTICA PARALELA.
La aplicación de la metodología de cuaternios duales a la resolución de problemas de síntesis de cadenas
cinemáticas origina múltiples soluciones. Estas soluciones pueden ser combinadas para conformar un robot en
paralelo. Imponiendo como restricción la coincidencia de las herramientas en el extremo de varios robots en serie
obtendremos un robot en paralelo que cumplirá los requisitos deseados. Por otro lado, el asegurar que el movimiento
conseguido por el robot paralelo vaya a ser suave requeriría un análisis más extenso. Otro problema añadido lo
supone el añadir restricciones cinemáticas para evitar las interferencias entre las diferentes ramas del robot. En
nuestro caso sólo trataremos el problema geométrico de asegurar que las cadenas que componen el robot cumplirán
los requisitos necesarios para alcanzar las distintas posiciones objetivo deseadas.
Si definimos las ecuaciones cinemáticas de un robot en serie como [T(c1,,..,cn)] y denominamos [Di], con
i = 0,..,n-1, a una aproximación discreta de las diferentes posiciones que deseamos que el robot adopte en el espacio
(siendo [Do] la posición original), entonces el problema de síntesis consistirá en resolver el sistema de n ecuaciones
matriciales dado por las expresiones
[T(c1,,..,cn)] = [Di], con i = 0,..,n-1
(24)
Estas ecuaciones pueden ser expresadas a través de los cuaternios duales relacionados con los
desplazamientos helicoidales a partir de la posición de origen definida por [Do]. Esto nos deja un conjunto de n-1
ecuaciones cinemáticas de la siguiente forma:
Qi = (c1,,..,ck) = Di , con i = 0,..,n-1
(25)
Cada una de las n-1 ecuaciones definen a su vez ocho ecuaciones expresadas en los componentes de los
cuaternios duales, aunque como ya se indicó antes, sólo seis de ellas son independientes.
Si asumimos inicialmente que la cadena cinemática puede ser representada por una serie equivalente de j
juntas de revolución, cada una de esas juntas podrá ser representada por un eje definido por seis coordenadas, lo que
implica seis incógnitas por junta, y por tanto 6j incógnitas en la cadena. De forma adicional, las posiciones de las j
juntas en cada una de las n-1 posiciones deseadas del mecanismo producirán otro conjunto de j·(n-1) incógnitas a
añadir a las 6j anteriores. Esto hace un total de 6j+j(n-1) incógnitas a desvelar. Por otra parte, cada eje de cada junta
lleva asociada dos ecuaciones de restricción. Además a partir de cada una de las n-1 posiciones hemos visto que
obtenemos ocho ecuaciones que pueden ser reducidas a seis ecuaciones independientes, así que en total tenemos
2j+6(n-1) ecuaciones. Igualando el número de ecuaciones al número de incógnitas obtenemos una ecuación que nos
permite obtener de forma sencilla el número de posiciones necesarias para definir el diseño del robot. Esta ecuación
es la siguiente:
6j + j (n -1) = 6 (n -1 ) + 2j
(26)
Resolviendo esta ecuación obtenemos que robots de 2R, 3R, 4R y 5R quedarían definidos por 3, 5, 9 y 21
posiciones respectivamente. No obstante, existen ciertas limitaciones a esta conclusión. En la anterior ecuación
hemos tratado los cuaternios duales componente por componente, independientemente de que la junta definida por el
cuaternio fuera de rotación o de translación. Sin embargo, mientras las translaciones pueden ser tratadas como
independientes, el tratamiento que se da a las rotaciones implica que no todas las posiciones deseadas pueden ser
obtenidas. Si tenemos un robot con p juntas de rotación y k juntas de translación (n + p = j), la ecuación obtenida
anteriormente nos queda de la siguiente forma:
6 (p+ k ) + ( p + k ) ( n – 1) = 6 (n – 1 ) + 2 p + k
(27)
A partir de las juntas de rotación podemos plantear una ecuación que nos define el número de orientaciones
rotacionales a las que podemos llegar:
3 p + p ( n R – 1 ) = 3 ( nR - 1 ) + p
(28)
Las soluciones de esta ecuación nos indican lo siguiente:
−
Con una única junta de rotación (p = 1) obtenemos un número finito de soluciones para dos
orientaciones rotacionales deseadas (nR = 2).
−
Con dos juntas de rotación (p=2) obtenemos que son alcanzables cinco orientaciones rotacionales
deseadas (nR = 5).
−
Para tres juntas de rotación el número de posiciones alcanzables es infinita. A partir de aquí, la ecuación
no tiene sentido para un número mayor de juntas de rotación.
Las ecuaciones de diseño para robots con restricciones contienen variables asociadas a la posición de las
diferentes juntas y parámetros cinemáticos representativos de sus ejes. El objetivo de una metodología de diseño
consistirá en eliminar las variables asociadas a las posiciones de las juntas y quedarnos únicamente con los
parámetros asociados a las posiciones de los ejes, lo que nos definirá la geometría del robot. Para eliminar los
parámetros de posición de las juntas consideraremos las ecuaciones para cada posición de forma independiente. Este
proceso es llamado “implicitación” de las ecuaciones paramétricas. Este proceso se aprovecha del hecho de que el
producto definido por el álgebra de cuaternios duales no mezcla nunca los cuatro primeros componentes del
cuaternio con los cuatro segundos.
Los cuatro componentes rotacionales de la ecuación en cuaternios duales están parametrizados sólo por las
variables de las juntas de revolución:
(29)
Qrot (c1,,..,ck) = { qx (c1,,..,ck), qy (c1,,..,ck), qz (c1,,..,ck), qw (c1,,..,ck) } = { px,py,pz,pw }
Esto puede ser transformado en un sistema lineal que permite resolver dos de las variables de las juntas de
revolución en función de los ejes de las juntas y del resto de las variables de juntas de revolución:
[R (c3,,..,ck)] . {(cos c1/2 sen c2/2 , sen c1/2 cos c2/2 , sen c1/2 sen c2/2 , cos c1/2 cos c2/2) } = { px,py,pz,pw}
(30)
Siendo la matriz [R] inversible para los casos no degenerados. En general, podemos decir que la matriz es
compatible cuando los ejes son una solución para el problema de diseño. De forma añadida, la matriz [R] es
ortogonal en los casos en los que los ejes de las variables que estamos resolviendo son perpendiculares. Esto nos
permite eliminar linealmente dos de los parámetros rotacionales en forma de un vector de senos y cosenos.
Sustituyendo estas expresiones en los segundos cuatro componentes del cuaternio dual nos queda lo siguiente:
Qtras (c3,,..,ck,,d1,...dp) = { qxo (c1,,..,ck,,d1,...dp), qyo (c1,,..,ck,d1,...dp), qzo (c1,,..,ck,d1,....dp), qwo (c1,,..,ck,d1,..dp) }
(31)
= { pxo,pyo,pzo,pwo }
La última de estas ecuaciones puede ser eliminada generalmente, ya que no aporta nada al conjunto de
soluciones.
Al conjunto restante de las ecuaciones anteriores necesitamos añadir ciertas condiciones para el eje de cada junta
(Si = si +ε si0). Estas ecuaciones serán las mismas que ya nos permitieron el eliminar dos de las ocho ecuaciones que
nos surgían de la igualdad de los cuaternios:
si . si
=1, con
i = 1,....,k+p ; si . sio = 0,
con i = 1, ...,k
(32)
CONCLUSIONES.
Resumiendo todas las magnitudes vistas en este artículo hasta ahora, se pueden agrupar en tres categorías:
1. Magnitudes cuyas reglas de operaciones internas se rigen por las del algebra ordinaria, recibiendo el
nombre de NUMEROS DUALES condición ε2 = 0.
2. Magnitudes cuyas reglas de operación se rigen por las reglas del álgebra vectorial, recibiendo el nombre
de VECTORES DUALES.
3. Magnitudes formadas por una parte escalar y otra vectorial y cuyas reglas de operación vienen regidas por
el álgebra de cuaternios, recibendo el nombre de CUATERNIOS DUALES.
Tanto los números duales, como los vectores duales, pueden ser considerados como en caso particular de los
cuaternios duales.
Como conclusión de este artículo se expone el uso de cuaternios duales como herramienta matemática para
la definición de las ecuaciones de diseño para cadenas cinemáticas ya sea serie ó paralelo; en concreto se expone el
caso de cinemática paralela; es decir, la forma de expresar las ecuaciones cinemáticas de un robot paralelo mediante
cuaternios duales permite incluir los ejes del robot y de la base como parámetros que definen su configuración en la
posición final; asimismo esta estructura de las ecuaciones es una buena estrategia para la eliminación de los
parámetros de la base, es decir del posicionamiento de la misma.
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