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Matemática Básica
Unidad 1: Preparación para el cálculo
Clase 1
Luis González Alcaino
Magister en Matemática
Universidad Santo Tomas
Departamento Ciencias Básicas - Talca
Marzo de 2013
[email protected] (UST)
Matemática Básica: Clase 1
Marzo de 2013
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Contenidos de la clase
Algebra
Término algebraico
Expresiones algebraicas
Clasificación de expresiones algebraicas
Polinomios
Valor numérico de una expresión algebraica
Términos semejantes
Reducción de términos semejantes
Eliminación de paréntesis
Ejercicios
Lecturas
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Marzo de 2013
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Algebra
Es la rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo
más general posible. Puede definirse como la generalización y extensión de
la aritmética.
A diferencia de la aritmética elemental, que trata de los números y las
operaciones fundamentales, en álgebra para lograr la generalización se
introducen, además, letras, para representar variables o cantidades
desconocidas (incógnitas); las expresiones así formadas son llamadas
«fórmulas algebraicas», y expresan una regla o un principio general.
Podemos sintetizar diciendo que el álgera constituye una generalización de la
aritmética ya que mediante mediante la combinación de números y letras
podemos dar solución a situaciones más complejas.
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Término algebraico
Un término algebraico es una expresión elemental donde se encuentran
solamente operaciones de multiplicación y división de números y letras. El
número se llama coeficiente numérico y las letras conforman la parte literal.
Tanto el número como cada letra pueden estar elevados a una potencia.
Ejemplo
Término algebraico
9a3 x5 y2
9 coeficiente numérico
a3 x5 y2
parte literal
3, 5 y 2 son exponentes
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Expresión algebraica
Cuando se combinan términos algebraicos mediante operaciones de suma,
resta, multiplicación, división, exponenciación o extracción de raíces,
entonces la expresión resultante se llama expresión algebraica.
Ejemplos de expresiones algebraicas
1
2
3
5ax3
bx2 + 5
p
4y
15 4 x +
5x
(x + 2z)2 5xz
x + z2
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10xz3
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Clasificación de expresiones algebraicas
Las expresiones algebraicas que tienen exactamente un término se
denominan monomios. Aquellas que tienen exactamente dos términos son
binomios y las que tienen exactamente tres términos son trinomios. Las
expresiones algebraicas con más de un término se llaman en general
multinomios.
Ejemplo
1
4a3 b2 , en un monomio
2
5x3
3
7x2
4
3x, es un binomio
p
+ y5 15, es un trinomio
p
2 x
3x2
3
x
+ 4x
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5, es un multinomio
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Polinomios
En matemáticas, un polinomio es una expresión algebraica especial la cual
está constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o
desconocidas) y constantes (números reales fijos llamados coeficientes),
utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y
multiplicación, así como también solamente exponentes enteros positivos.
En términos más precisos, es una combinación lineal de productos de
potencias enteras positivas de una o de varias variables.
Ejemplos
1
3x2 + 3x
2
5xy3
3
4
1 polinomio en una variable, polinomio de grado dos
2xy + x
y + 1 polinomio en dos variables, polinomio de grado 4
2
x + 3x 4 no es un polinomio
x3 7x2 + 1
2xy3 no es un polinomio
x + y2
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Valor numérico de una expresión algebraica
El valor numérico de una expresión algebraica es el valor que toma la
expresión cuando se le asignan valores numéricos a las variables.
Ejemplos
1
2
3x + 2x2
3x + 2x2
5 cuando x = 21
5 = 3( 12 ) + 2( 12 )2
9x3 y + 4x2 y3
9x3 y + 4x2 y3
3
5=
3xy cuando x =
3xy = 9 ( 31 )3 (
1
3,
3
2
1
4
+2
y=
1
2) + 4
5=
1
2
( 13 )2 (
1 3
2)
3
3( 31 )(
1
2)
=
5
18
Hallar el área de la figura (trapecio) la cuál se calcula mediante la
formula A = 21 h(b + c)
c=8m
h=6m
b = 12 m
A = 12 h(b + c) = 21 (6)(12 + 8) = 3(20) = 60 m2
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Términos semejantes
Los términos semejantes son los que tienen exactamente la misma parte
literal (con las mismas letras elevadas a los mismos exponentes), y varían
solo en el coeficiente numérico. Solamente se pueden sumar o restar
términos semejantes. No se pueden sumar o restar términos que no sean
semejantes.
Ejemplos
1
Son términos semejantes 3x2 y,
2
No son términos semejantes 2x2 y3 ,
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7x2 y, 9x2 y
4x2 y, 12x2 y4
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Reducción de términos semejantes
Es una operación cuyo objetivo es convertir en un sólo término dos o
más términos semejantes.
Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo.
1) 3x2 y + 5x2 y = 8x2 y
2) 7a3 b 12a3 b = 19a3 b
Reducción de dos términos semejantes de distinto signo.
1) 3xyz 4xyz = xyz
2) 6ab4 + 9ab4 = 3ab4
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Eliminación de paréntesis
El uso de paréntesis en Álgebra, es muy frecuente. Los paréntesis se utilizan
para separar expresiones, siendo necesario eliminarlos, para poder
simplificar una expresión algebraica que contenga términos semejantes. En
necesario, entonces, tener en cuenta las siguientes reglas:
Si delante de un paréntesis hay un signo + (más) se eliminan los
paréntesis sin hacer ningún cambio de signo.
Si delante de un paréntesis hay un signo (menos) se eliminan los
paréntesis y se cambian TODOS los signos de los términos que estaban
en su interior. Si en una expresión algebraica hay más de un paréntesis,
siempre se comienza desde el interior hacia el exterior.
Ejemplos
1
7x + ( 5y + 6z)
3x 2y 2z
2
3ab f3a ( 5ab + 8a) 2ag = 3ab
3ab f 7a + 5abg
3ab + 7a 5ab = 7a 2ab
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(8z
3y + 4x) = 7x
5y + 6z
f3a + 5ab
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8z + 3y
8a
4x =
2ag =
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Ejercicios
1
Reduzca los siguientes términos semejantes:
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Ejercicios
1
Reduzca los siguientes términos semejantes:
(12x3 y + 7xy3 )
[email protected] (UST)
( 4x3 y
8xy3 ) + 3xy3
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(5x3 y
8x3 y)
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Ejercicios
1
Reduzca los siguientes términos semejantes:
(12x3 y + 7xy3 ) ( 4x3 y 8xy3 ) + 3xy3
3 2
2 2
1
2 2
a2 b
2 a b + 5 ab
3 ab + 3 ab
(5x3 y
8x3 y)
1
4 ab
[email protected] (UST)
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Ejercicios
1
Reduzca los siguientes términos semejantes:
(12x3 y + 7xy3 ) ( 4x3 y 8xy3 ) + 3xy3
3 2
2 2
1
2 2
a2 b
2 a b + 5 ab
3 ab + 3 ab
3x ( 2x + 3y (4x + y))
(5x3 y
8x3 y)
1
4 ab
[email protected] (UST)
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Ejercicios
1
Reduzca los siguientes términos semejantes:
(12x3 y + 7xy3 ) ( 4x3 y 8xy3 ) + 3xy3 (5x3 y 8x3 y)
3 2
2 2
1
2 2
a2 b
2 a b + 5 ab
3 ab + 3 ab
3x ( 2x + 3y (4x + y))
3a [ ( b + 3a) a + 2b (10b 3a) 3b 2( b + a)]
1
4 ab
[email protected] (UST)
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Ejercicios
1
Reduzca los siguientes términos semejantes:
(12x3 y + 7xy3 ) ( 4x3 y 8xy3 ) + 3xy3 (5x3 y 8x3 y)
3 2
2 2
1
2 2
a2 b
2 a b + 5 ab
3 ab + 3 ab
3x ( 2x + 3y (4x + y))
3a [ ( b + 3a) a + 2b (10b 3a) 3b 2( b + a)]
1
4 ab
2
Si 2a =
5, b=
[email protected] (UST)
1, c=
2 y 2d = 4 , entonces 4a + 2c
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2b
4d =
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Ejercicios
1
Reduzca los siguientes términos semejantes:
(12x3 y + 7xy3 ) ( 4x3 y 8xy3 ) + 3xy3 (5x3 y 8x3 y)
3 2
2 2
1
2 2
a2 b
2 a b + 5 ab
3 ab + 3 ab
3x ( 2x + 3y (4x + y))
3a [ ( b + 3a) a + 2b (10b 3a) 3b 2( b + a)]
1
4 ab
2
3
Si 2a = 5 , b = 1 , c = 2 y 2d = 4 , entonces 4a + 2c
Al restar (2a2 3ab + 2b2 ) de (5a2 3ab b2 ) resulta:
[email protected] (UST)
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2b
4d =
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Ejercicios
1
Reduzca los siguientes términos semejantes:
(12x3 y + 7xy3 ) ( 4x3 y 8xy3 ) + 3xy3 (5x3 y 8x3 y)
3 2
2 2
1
2 2
a2 b
2 a b + 5 ab
3 ab + 3 ab
3x ( 2x + 3y (4x + y))
3a [ ( b + 3a) a + 2b (10b 3a) 3b 2( b + a)]
1
4 ab
2
3
4
Si 2a = 5 , b = 1 , c = 2 y 2d = 4 , entonces 4a + 2c 2b 4d =
Al restar (2a2 3ab + 2b2 ) de (5a2 3ab b2 ) resulta:
En geometría, la fórmula de Herón, descubierta por Herón de Alejandría,
relaciona el área de un triángulo en términos de las longitudes de sus
lados a, b y c:
p
a+b+c
Área = s(s a)(s b)(s c) , donde s =
2
Calcule el área de un triángulo cuyos lados son 4, 10, 12 cm
respectivamente
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Soluciones de los ejercicios
1
Reduzca los siguientes términos semejantes:
4xy3 5x3 y
5 2
16 2
2 a b + 15 ab
9x 2y
6a + 8b
2
3
4
1
12 ab
20
(5a2 3ab b2 ) (2a2 3ab + 2b2 ) = 3a2
p
351 = 18, 7cm2 aproximadamente
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3b2
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Lecturas
Páginas 16-26 del libro Introducción al Cálculo con aplicaciones en el área de
la salud.
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