Download Polinomios con WIRIS

TIC en el Área de Matemáticas - Iniciación
Unidad didáctica: “Polinomios con WIRIS”
Nivel: 3º ESO
Objetivos:
– Utilizar
correctamente
las
expresiones
algebraicas y hallar su valor numérico
usando WIRIS
– Realizar con soltura las operaciones con polinomios: suma, resta, multiplicación y
división a través de WIRIS
– Identificar las identidades notables y aplicar sus fórmulas usando WIRIS
Contenidos:
– WIRIS como calculadora interactiva
– Expresiones algebraicas.
– Valor numérico de una expresión algebraicas
– Operaciones con polinomios
– Identidades notables
Criterios de evaluación:
– Hallar el valor numérico de una expresión algebraica usando WIRIS
– Resolver operaciones con polinomios usando WIRIS
– Identificar igualdades notables y aplicar correctamente sus fórmulas usando WIRIS
Dolores Salguero González
TIC en el Área de Matemáticas - Iniciación
Recursos:
– Ordenador en el aula con conexión a Internet
– Pizarra digital interactiva o cañón de proyección
Temporalización
– Cuatro sesiones.
Metodología:
-Planteamiento de la actividad
La justificación para ésta propuesta didáctica en 3ºESO, es debida a la necesidad
de la manipulación correcta por parte de los alumnos de los polinomios, ya que esto va a
ser imprescindible en temas posteriores como los de ecuaciones, los cuales se darán
tanto en este curso como en los siguientes. También va a ser útil para el estudio y
representación de las funciones polinómicas. Además, esto se utilizará como punto de
partida para los contenidos que se desarrollarán en 4º de ESO, relacionados con los
polinomios, elevando el nivel de dificultad con las fracciones algebraicas y la factorización
de polinomios.
En general, este tema ayuda al alumno a adquirir un razonamiento abstracto más
potente (imprescindible para cursos superiores), pues se trabaja intensamente la
traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico. Esto le será útil en diversas
disciplinas. Además, el hecho de utilizar un potente motor matemático como es WIRIS;
motivará más al alumnado, y además le ayudará a lograr las competencias básicas como
son: la competencia de tratamiento de la información y digital, social y ciudadana,
autonomía e iniciativa personal,etc.
La actividad se plantea como una forma de reforzar los contenidos usando las TIC
y haciendo que los alumnos puedan comprobar de forma clara sus resultados obtenidos
de las operaciones usando WIRIS; y haciendo así que sean ellos mismo quienes corrijan
Dolores Salguero González
TIC en el Área de Matemáticas - Iniciación
y sean autónomos en su aprendizaje
-Selección de los grupos
Se intentará que cada uno trabaje individualmente en el ordenador, y además que
se realicen las actividades usando la pizarra digital interactiva, lo cual provocará el debate
Además realizarán las actividades en su cuaderno, trabajando por parejas.
-Orientaciones para el alumno
Comenzaremos con unas actividades de inicio, que servirán para motivarlos y
determinar conocimientos previos. Como motivación, podemos utilizar el hecho de que los
polinomios están presentes y son útiles para resolver problemas de la vida cotidiana y
otras ciencias. Presentaremos al alumno varios ejemplos donde aparezcan, y también
haremos una breve introducción sobre el origen del álgebra, dejando abierta la posibilidad
de que ellos investiguen por su cuenta en Internet.
Al igual que la aritmética se encargaba de los números y de las operaciones que
con ellos se pueden hacer, el Álgebra generaliza el cálculo aritmético a expresiones
compuestas por números y letras. Es decir, en realidad, en esta unidad no vemos nada
nuevo, lo único que hacemos es aplicarlo a dichas expresiones, y así, las operaciones
siguen siendo la suma y la diferencia, el producto, el cociente y la potenciación.
Puede ser muy útil establecer este paralelismo de manera que se sigue sumando
igual: si los polinomios están ordenados, sumaremos por filas de monomios semejantes.
También se multiplica igual, todos los términos de un polinomio por los del otro polinomio
(igual que multiplicaban todas las cifras de un número por todas las cifras del otro).
Evidentemente, el proceso es más largo y laborioso, pero la mecánica es muy parecida.
Es importante que vean que ellos ya saben algo de álgebra si saben bien la aritmética. Y
si además son ordenados y meticulosos a la hora de trabajar, tendrán un buen trecho
andado de esta unidad.
Es fundamental dominar la nomenclatura: coeficiente, parte literal, término
independiente, grado del monomio y grado del polinomio. Para este fin puede ser útil
Dolores Salguero González
TIC en el Área de Matemáticas - Iniciación
escribir varios monomios y polinomios en la pizarra y pedir que hallen, por ejemplo, el
grado del polinomio de mayor grado o el grado del monomio con coeficiente mayor o el
monomio cuyo coeficiente y grado coinciden o el coeficiente del monomio de grado 5, etc.,
de manera que, un poco jugando, acaben por diferenciar esos conceptos.
Respecto al valor numérico de un polinomio, no suele presentar dificultades si en
las unidades anteriores han asimilado bien las operaciones combinadas y la jerarquía de
las operaciones. Aunque, evidentemente, todo depende de los valores que demos a las
variables, ya que la dificultad no es la misma si damos valores enteros o valores
fraccionarios. En cualquier caso, el hecho de ser casi el único momento en la unidad en
que trabajan con valores numéricos concretos y no con expresiones algebraicas suele
suponerles un cierto respiro.
Antes de empezar a sumar monomios o polinomios, los alumnos deben pararse un
momento a observarlos: si los monomios son semejantes o no, si el polinomio está
completo o falta algún término, si está ordenado, si se pueden agrupar términos, etc.
Esta labor es importante porque ese minuto de observación puede ahorrarles muchos
errores posteriores.
En cuanto a la multiplicación de polinomios, al principio conviene que hagan los
productos colocando un polinomio debajo del otro y multiplicando término a término uno
por otro, y cuando adquieran soltura, ya lo podrán hacer colocándolos uno detrás del otro.
Esta segunda forma suele gustarles más porque ocupa menos espacio y lo hacen más
rápido, pero no deben olvidarse de agrupar al final términos semejantes si los hubiera.
Recordaremos la propiedad distributiva y la multiplicación de potencias con la misma
base.
En cuanto a la división de polinomios, las mayores dificultades pueden surgir en la
determinación de cada término del cociente y en la resta de los productos obtenidos. Hay
que insistir en que se divide el monomio de mayor grado del dividendo por el de mayor
grado del divisor y luego el resultado se multiplica por el divisor, se le cambia el signo, y
se le suma al dividendo. Es importante recordar que sólo se pueden sumar monomios
semejantes y que la división se termina cuando el grado del resto es menor que el del
divisor. Haremos un buen número de ejercicios de división de polinomios, hasta que sea
Dolores Salguero González
TIC en el Área de Matemáticas - Iniciación
dominado por los alumnos.
En cuanto a igualdades notables, conviene comenzar planteando el cuadrado de la
suma y de la diferencia como producto del binomio por sí mismo y, una vez obtenido el
resultado, saltar ese paso intermedio. Deben fijarse en los signos (en el caso de la
diferencia) y no olvidarse del término doble del primero por el segundo. Recordarles que
al elevar al cuadrado un término, se eleva no solo el coeficiente, sino también la parte
literal.
En el caso de la suma por diferencia y de los cubos de la suma y la diferencia se
procederá de manera similar. Es importante que sepan interpretar las identidades
notables en los dos sentidos, es decir, tanto saber desarrollar la identidad notable
correspondiente como ante una expresión algebraica desarrollada que sospechamos sea
una identidad notable, saber a cuál de ellas corresponde.
En cuanto al uso de WIRIS; se explicará al alumnado con explicaciones sencillas,
sobre todo de manejo de la barra de herramientas y de menú, después se realizarán las
actividades con ayuda de la PDI, en gran grupo, y más tarde cada uno individualmente
pero comparando los resultados por parejas.
-Presentación de los resultados
Los alumnos deberán recoger los resultados de las operaciones en el cuaderno, y
utilizarán WIRIS para comprobar los resultados. Además, de manera individual se
presentará en WORD las capturas de pantalla correspondientes a la realización de las 10
actividades propuestas.
Atención a la diversidad
-Actividades de refuerzo
Para los alumnos que no son capaces de lograr alcanzar los objetivos, y que necesitan un
reforzamiento sobre los contenidos tratados, como actividades de refuerzo, l realizarán las
Dolores Salguero González
TIC en el Área de Matemáticas - Iniciación
actividades interactivas correspondientes
a la página “Algebra con papas, sobre los
contenidos de polinomios
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesdiegogaitan/departamentos/departamentos/de
partamento_de_matemat/recursos/algebraconpapas/recurso/index.htm
Y además las actividades del programa Descartes
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Polinomios/polinomios1.htm
-Actividades de ampliación
Los alumnos que han alcanzado sobradamente los objetivos y necesitan una ampliación
de los contenidos, como puede ser la Regla de Ruffini y la factorización, que también
podrán realizar con WiRIS, para ello, primero realizarán las siguientes actividades del
proyecto Descartes:
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Polinomios/polinomios2.htm
Dolores Salguero González
TIC en el Área de Matemáticas - Iniciación
Orientaciones para usar WIRIS
¿Qué es WIRIS?
Es un motor matemático, cuyo uso es muy simple. Es como una calculadora interactiva, y
podemos usarla directamente desde Internet, es una herramienta en línea, y por tanto, no
necesita ningún tipo de software especial más que la conexión a Internet.
¿Dónde conseguirla?
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/wiris/es/index.html
Para escribir un texto en WIRIS:
Se elige en la barra de menús la opción
y la herramienta
“Comentar”. Aunque .
También se puede usar la combinación de teclas Ctrl+T.
Comenzaremos poniendo el título del apartado, luego el número del ejercicio y luego
escribiremos el enunciado, sin olvidar el apartado al que corresponde.
Para pasar de una línea a la siguiente, pulsaremos: [Intro]
Para escribir las operaciones en WIRIS:
Usaremos las herramientas: fracción, potencia, raíz cuadrada, división entera, subíndice y
raíz enésima, según nos interese. Los paréntesis y las letras, las escribimos directamente
con el teclado.
Dolores Salguero González
TIC en el Área de Matemáticas - Iniciación
Para realizar cálculos matemáticos, se escribe la operación que hay que realizar y se
hace clic sobre el botón
Calcular. Los signos aritméticos: +,-, *, corresponden a las
operaciones básicas.
Para operar con polinomios:
Para calcular valores numéricos o trabajar a la vez con varios polinomios, primero hay que
definirlos.
Para determinar el grado de un polinomios empleamos la sentencia grado(), para calcular
solo el resto de una división res(), solo el cociente coc(), para tener ambos
cociente_y_residuo(). La división entera también es válida para dividir polinomios.
Dolores Salguero González
TIC en el Área de Matemáticas - Iniciación
Propuesta didáctica: Polinomios
Introducción (para motivar y determinar conocimientos previos)
>Infórmate
La invención del álgebra es, ante todo, mérito de la cultura que floreció con la expansión del
imperio árabe. El primer tratado que se conoce es la obra titulada Aljabrw’al muqabalah
(Ciencia de la restauración y oposición), cuyo autor fue el gran matemático al-Jwarizmi, que
vivió en Bagdag hacia el año 825, bajo la tutela del sultán al-Mamun, gran mecenas y
protector de las artes y las ciencias.
La expansión del álgebra hacia Europa, en el siglo XII, vino unida al trasvase cultural, desde
el mundo islámico, que tuvo lugar en esa época en la Península Ibérica.
Pieza clave de este trasvase fue la ciudad de Toledo, foco del saber entre los siglos X y XIII,
que culminó con la fundación de la Escuela de Traductores promovida por Alfonso X el
Sabio. Esta escuela fue el vehículo que permitió el paso a Europa de las culturas griega y
árabe.
>Anécdota
La palabra álgebra viene del término árabe al-djaber, que significa “la recomposición o
restitución”. De ahí que álgebra, además de ciencia matemática, significo para aquellos
árabes “el arte de recomponer los huesos rotos”. Y este significado pasó al castellano. Así,
los barberos del siglo XVI, que además de afeitar sacaban muelas, hacían sangrías y
arreglaban huesos, solían poner de rótulo con que se anunciaban: “ALGEBRISTA Y
SANGRADOR”.
Actividad 0Pediremos a los alumnos que busquen más información sobre Al-Jwarizmi y el origen del
álgebra. (tema transversal historia de las matemáticas)
1.-Expresiones algebraicas. Valor numérico de una expresión algebraica.
Las expresiones algebraicas son aquellas en las que se combinan letras y números
mediante operaciones aritméticas.
Dolores Salguero González
TIC en el Área de Matemáticas - Iniciación
Por ejemplo:
¿Cuánto vale el área total de estos rectángulos?
Solución: 3x +2x (x) + (x+2)x = 3x2+5x
El valor numérico de una expresión algebraica es el valor que obtenemos al sustituir las
letras por valores concretos.
Ejemplo con WIRIS:
3
2
Averigua el valor numérico de P(x) = ( 5x − 4x + 1)
x= 2
=
-Para poder escribir el enunciado del ejercicio usa el comando “Comentar”
-Luego, tras dar [Intro], escribe:
P(x) = 5x3 -4x2 +1
-Para ello ayúdate de la operación “Potencia”
-Pulsa [Intro] y escribe: P(2) Haz clic en
Actividad 1:
Averigua el valor numérico de:
2
a) P(x)= ( 2x + 5x − 6 )
6
5
b) Q(x)= ( 9x − 11x )
x= 2
x= 2
=
Dolores Salguero González
=
“Calcular “
TIC en el Área de Matemáticas - Iniciación
4
2
c) R(x) = ( 7x + 3x + x + 1)
2
d) S(x) = ( 12x − x − 2 )
x= 0
x= 2
=
=
Actividad 2:
Halla ahora el valor numérico de los polinomios de la actividad anterior para: a) x=-2, b)
x=-1 c) x=1/2 d) x= 3/5
2.-Monomios y Polinomios. Elementos
¿En qué se distinguen las dos expresiones algebraicas: 2π r ; a*b + c*d ?
En el primer caso, tenemos un monomio, ya que es una expresión que relaciona las letras
y los números mediante la multiplicación, y en el segundo caso tenemos un polinomio, en
el que se suman o se restan monomios no semejantes. A cada monomio de un polinomio
se le llama término.
Si el polinomio tiene dos términos se llama binomio y si tiene tres se llama trinomio.
Los monomios, a su vez, están formados por una parte numérica y una parte literal
4xy3
4; es la parte numérica y se llama coeficiente
xy3es la parte literal y está formada por las letras
Llamamos grado de un monomio a la suma de todos los exponentes a los que estén
elevadas las indeterminadas o parte literal
En el caso de los polinomios, llamamos grado del polinomio al mayor de los grados que lo
forman.
Dolores Salguero González
TIC en el Área de Matemáticas - Iniciación
Ejemplo con WIRIS:
Determina el grado del siguiente polinomio:
P(x)= 12x 4 + 6x 2 + x + 1
a) Escribe el enunciado del ejercicio, usa el comando “Comentar”
. Pulsa [Intro]
b) Escribe:
grado ( 12 ⋅ x 4 + 6 ⋅ x 2 + x + 1 )
c) Haz clic en
Calcular
Actividad 3
Determina el grado de los siguientes polinomios:
a) 4xz +5x3+6x-7x2
b) 7xy -1+5x4
c)3x2y +4xy
d)2-x2+6x4-5x6
3.-Reducción de términos semejantes de un polinomio
Un polinomio puede tener monomios semejantes, es decir, términos con la misma parte
literal.
En el siguiente polinomio hay monomios semejantes, por lo que operamos dichos
términos reduciendo al máximo la expresión:
2a +3ab+ba+4a= 2a +3ab+ba+4a = 6a +4ab
Dolores Salguero González
TIC en el Área de Matemáticas - Iniciación
Ejemplo:
Reduce el siguiente polinomio: P(x) = 7x +11x-25x
a) Escribe el enunciado del ejercicio usa el comando “Comentar”
b) Escribe:
7 ⋅ x + 11 ⋅ x - 25 ⋅ x
c) Haz clic en
Calcular
Actividad 4
Halla las expresiones reducidas de los siguientes polinomios:
a)
1
x2x 23x 2−4x2
2
b) 4y 2 −2y 2−4x 2 m2mx 2
c)
1 2
a b−2ab 2ab2−a 23
2
Actividad 5
Halla el valor numérico de los polinomios de la actividad anterior para los siguientes
valores de las incógnitas:
a) x=-3
b) y=2; x=4; m=1
c)a=3; b=-1
Dolores Salguero González
TIC en el Área de Matemáticas - Iniciación
Actividad 6
Halla las expresiones reducidas de los siguientes polinomios:
a) x 2 y2x 2−4y2
b) 7xm 2 2m 2 x3
c) 4x 22y3x 2 y
d) 3x 2x 2 −2x4xy−2xy
e) 4x 22xy−2x 2
4.-Operaciones con polinomios
Suma y resta de polinomios:
Para sumar o restar polinomios, hay que sumar o restar entre sí los monomios que sean
semejantes (misma parte literal)
Ejemplos:
2x+3x = 5x
(3x2+2x) + (4x2+3x) = 7x2+5x
si no hay términos semejantes, se deja indicado:
Ejemplo: 3x2+2x no son semejantes, se deja indicado
Estas operaciones pueden hacerse en vertical y en horizontal o en fila.
Para ello nos fijaremos en los siguientes polinomios:
P(x) = 7x2 – 5x4 +3x – 15
Dolores Salguero González
TIC en el Área de Matemáticas - Iniciación
Q(x) = 5x3 – 7 + 9x2 – 6x
En vertical: se ordenan los polinomios en orden decreciente y se disponen uno sobre
el otro, de forma que en la misma columna se encuentren los términos semejantes:
P(x) =
–5x4 + 0x3 + 7x2 + 3x – 15
Q(x) =
5x3 + 9x2 – 6x –
7
________________________________
–5x4 +
5x3 + 16x2 – 3x – 22
En horizontal o en fila: se ordenan los polinomios, escritos entre paréntesis, en
orden decreciente, uno a continuación del otro y separados por el símbolo de la
operación; a continuación se suman o se restan los términos semejantes:
P(x) + Q(x) =(–5x4 + 0x3 + 7x2 + 3x – 15) + (5x3 + 9x2 – 6x – 7) =–5x4 + 5x3 + 16x2 – 3x – 22
P(x) – Q(x) = (–5x4 + 0x3 + 7x2 + 3x – 15) – (5x3 + 9x2 – 6x – 7) = –5x4 – 5x3 – 2x2 + 8x – 8
Ejemplo:
Con estos polinomios:
P(x)= 3x 42x 2−3x3
Q(x)= 2x 4−3x 2−5x2
Calcula: a) P(x) +Q(x); b) P(x)-Q(x)
Escribe el enunciado del ejercicio, usa el comando “Comentar”
Escribe:
P(x)= 3x 42x 2−3x3
Q(x)= 2x 4−3x 2−5x2
c)Pulsa [Intro] y escribe:
Dolores Salguero González
. Pulsa [Intro]
TIC en el Área de Matemáticas - Iniciación
P( x) + Q( x)
d)Haz clic en
Calcular
Para restar es el mismo procedimiento pero cambiando el signo de la operación
La adición de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa.
El polinomio cero es el número 0, pues sumado con cualquier polinomio no lo altera, por
lo que es el elemento neutro de la suma. Todo polinomio tiene un opuesto, que se
obtiene cambiando el signo de todos sus monomios. Si a un polinomio le sumamos su
opuesto se obtiene el número 0 (polinomio neutro).
Se llama diferencia de dos polinomios, P(x)-Q(x) , al resultado de sumarle a P(x) el
opuesto de Q(x)
Actividad 7
Dados los polinomios:
P(x)= 8x 65x 4−3x 32x−5
Q(x)=
7x 5−2x 43x33x5
R(x)= 5x 5−3x 4−3x8
Dolores Salguero González
TIC en el Área de Matemáticas - Iniciación
Calcula:
a) P+Q
b) P-R
c)R-Q
d) P+Q+R
Sacar factor común:
Consiste en transformar una expresión de suma o resta en producto:
Por la propiedad distributiva:
Cuando el factor común coincide con cualquiera de los sumandos, en su lugar queda la
unidad.
Ejemplo:
Extrae factor común en estos polinomios:
a) 5x +5y
Tenemos que encontrar los factores que se repiten en todos los sumandos del polinomio.
Lo que se repite pueden ser números o letras. En este caso, 5 está en ambos sumandos.
5x + 5y = 5 * (x+y)
b) x3-x2+2x
Descomponemos los sumandos de este polinomio como producto:
x3-x2+2x=x* x2 - x*x + 2*x = x ( x2 -x+2)
Dolores Salguero González
------------ (Factor común sería x)
TIC en el Área de Matemáticas - Iniciación
Ejemplo usando WIRIS:
Extrae factor común en la siguiente expresión: 3a 2 − 2a 3 − 5a 4 + a 6 =
a)Escribe el enunciado del ejercicio, usa el comando “Comentar”
. Pulsa [Intro]
b) Escribe la expresión: 3a 2 − 2a 3 − 5a 4 + a 6 =
c)Pulsa [Intro] y escribe usando el comando de operaciones:
divide entre a2, en este caso
d)Haz clic en
Calcular
Actividad 8
Saca factor común en estas expresiones:
a) 8x 2−4x
b) 18x 3 y 2−12x 2 y 3
c) 30a 2 b−15ab 25a 2 b2
d) −12ab 34b 2−6b 4
e) 34a 4−14a 3 b28ab3
Dolores Salguero González
división euclidiana, y
TIC en el Área de Matemáticas - Iniciación
Producto de polinomios:
Los pasos para efectuar una multiplicación de polinomios de forma vertical son:
1º) Colocamos los polinomios uno debajo del otro. Si falta algún grado, dejamos el hueco.
2º) Multiplicamos el primer monomio por la derecha del segundo polinomio por los del
primero.
3º)Seguimos multiplicando los demás monomios.
4º) Sumamos todos los polinomios obtenidos.
Ejemplo:
Para hacerlo en línea
Ejemplo:
( - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) · (x + 1) = (-2x4 +3x3 -2x2 + 5x - 2x3 + 3x2 - 2x + 5) = - 2x4 + x3+
x2 +3x + 5.
Ejemplo con WIRIS:
Con estos polinomios:
P(x)= 3x 42x 2−3x3
Q(x)= 2x 4−3x 2−5x2
Calcula: P(x) * Q(x)
Dolores Salguero González
TIC en el Área de Matemáticas - Iniciación
a)Escribe el enunciado del ejercicio, usa el comando “Comentar”
. Pulsa [Intro]
b)Escribe:
P(x)= 3x 42x 2−3x3
Q(x)= 2x 4−3x 2−5x2
c)Pulsa [Intro] y escribe:
P  x ∗Q x
d)Haz clic en
Calcular
La multiplicación de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa
El polinomio unidad es el número 1, pues multiplicando por cualquier polinomio no lo
altera. Por tanto, es el elemento neutro del producto. No existe polinomio inverso de otro,
es decir, en el conjunto de los polinomios con una indeterminada no hay elemento
inverso.
La multiplicación de polinomios es distributiva respecto a la adición. Cualesquiera que
sean los polinomios P(x), Q(x), R(x), se verifica que:
P(x) * [Q(x) + R(x)] = P(x) * Q(x) + P (x) * R(x)
Actividad 9
Realiza las siguientes operaciones:
a) 3x3 −5x2 x ∗ x 2x 
Dolores Salguero González
TIC en el Área de Matemáticas - Iniciación
b) 3x 26x−1∗−32x
c)  x 220x2x 3∗−3x2x 2−5x 4 
División de polinomios:
Dados dos polinomios P(x)(llamado dividendo) y Q(x)(llamado divisor) de modo que el
grado de P(x) sea mayor que el grado de Q(x) y Q(x) distinto de 0 siempre hallaremos dos
polinomios C(x) (llamado cociente) y R(x) (llamado resto) tal que:
P(x) = Q(x) . C(x) + R(x)
El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P y Q, mientras
que el grado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q.
Cuando el resto de la división es cero, entonces se dice que la división es exacta y que
el dividendo, P(x), es múltiplo del divisor, o bien que P(x) es divisible por Q(x) y se cumple
P(x) = Q(x) · C(x)
¿Cómo dividir polinomios?
En la división de números, una vez obtenido el primer cociente, éste se multiplica por el
divisor y el resultado se resta al dividendo obteniendo el primer resto al que se añade el
siguiente dígito del dividendo. En la división de polinomios, el proceso es el mismo, pero
para evitar errores, en lugar de restar el producto del divisor por el cociente directamente
al dividendo, se escribe primero debajo y luego se resta, Seguiremos los pasos:
1º)Se ordenan los términos de los polinomios de mayor a menor grado
2º)Se divide el primer término del polinomio dividiendo entre el primer término del
polinomio divisor. Para facilitar la operación se pueden dejar huecos en los términos cuyo
coeficiente sean cero.
3º)El resultado de la primera división, se multiplica por el divisor, y el resultado de esta
multiplicación se resta del dividendo para lo cual le cambiamos el signo y se coloca
Dolores Salguero González
TIC en el Área de Matemáticas - Iniciación
debajo del polinomio dividendo alineando los términos semejantes para sumarlos.
4º) Luego, dividimos lo que nos ha dado la suma por el divisor original, y se repite el
proceso anterior hasta que quede un dividendo de menor grado que el del divisor.
En estos dos ejemplos podemos ver cómo se hace:
Ejemplo con WIRIS
Realiza la siguiente operación: (x5-4x3+4x+1) : (x2-x)
a)Escribe el enunciado del ejercicio, usa el comando “Comentar”
b)Escribe: P  x =x 5−4x34x1 y
Q x=x 2 −x
c)Pulsa [Intro] y escribe usando el comando de operaciones:
d)Haz clic en
Calcular
Dolores Salguero González
. Pulsa [Intro]
división euclidiana
TIC en el Área de Matemáticas - Iniciación
Actividad 10
Realiza las siguientes operaciones:
a) 3x 4−4x2 8x−1:4x 2 −1
b) 8x6−3x 4−2x 36x 2−1:4x−2
c) −5x 74x3 −5 :−x 23x−3
d) 3x3 −2x6x 2 : 4x 26
5.-Identidades notables
Hay operaciones muy comunes entre binomios en las que el resultado se puede obtener
directamente sin operar. Se denominan identidades notables y son tres:
 x y 2=x 2 y 22xy
–
Cuadrado de la suma de dos monomios:
–
Cuadrado de la diferencia de dos monomios:
–
Producto de la suma de dos monomios por su diferencia:
 x− y 2=x 2 y 2−2xy
 x y ∗ x− y= x 2− y 2
Una identidad es una igualdad que se cumple para cualquier valor de las variables.
Se puede demostrar geométricamente que:
Cuadrado de la suma
En la figura, A= (x+y) 2 es el área del cuadrado total de la
figura A1=x2 es el área del cuadrado parcial grande, A 2=x*y
es el área de cada rectángulo lateral, A 3=y2 es el área del
cuadrado parcial pequeño. Se observa que A= A 1+2A2+A3,
es decir,
Dolores Salguero González
TIC en el Área de Matemáticas - Iniciación
(x+y)2= x2+y2+2xy
Ejemplo con WIRIS:
Desarrolla la siguiente expresión: ( x 2 − 5y ) =
2
a)Escribe el enunciado del ejercicio, usa el comando “Comentar”
. Pulsa [Intro]
P  x = x 2−5y
b)Escribe
c)Pulsa [Intro] y escribe usando la operación potencia, elevando al cuadrado
d)Haz clic en
Calcular
Actividad 11
Aplica las identidades notables en los siguientes casos:
a) ( 4a 2 + 1) =
2
2
2
b) ( 2x + 3y ) ⋅ ( 2x − 3y ) =
c) ( 2x + 3y 2 ) =
2
3
3
d) ( 6 − 5y ) ⋅ ( 6 + 5y ) =
e) ( 2a 3 − 3) =
2
Dolores Salguero González