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Vida y pensamiento de Omar Jayyam
Juan Martos Quesada
Universidad Complutense de Madrid
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En la biografía de Omar Jayyam se mezcla, a partes iguales, la
realidad y la leyenda, lo que nos da una pista acerca de su fama, tanto en
Oriente como en Occidente, a lo que contribuye esa imagen de sabio e
intelectual total que nos da su labor como literato y científico.
Nacido en la ciudad de Neyshapur hacia el año 1017, murió en la
misma ciudad en el año 1123. Su vida, no obstante la popularidad de la que
gozó, es muy poco conocida1, y creyendo lo que nos dicen ciertos autores
árabes y persas, hizo sus primeros estudios en un colegio de su ciudad
natal, donde tuvo como compañeros a Abu ‘Ali Hasan al-Tusi, que más
tarde fue visir con el nombre de Nizám al-Mulk, y a Hassan Sabbah, el
futuro fundador de la corriente ismaelita nizarí en Persia.
Según esta leyenda, los tres amigos juraron que el primero de ellos
que llegase al poder ayudaría y protegería a los otros dos. Elegido Nizám
visir del sultán Malik, nombró chambelán a Hassan y quiso ofrecer un
cargo idéntico a Omar Jayyam, que se negó a aceptarlo para poder
dedicarse en profundidad al estudio de las matemáticas.
Sea como fuere, lo cierto es que los trabajos matemáticos de Omar
Jayyam, y especialmente su tratado de Álgebra, decidieron a Malik a darle
la dirección del observatorio de Bagdad, en donde preparó las ya famosas
tablas astronómicas que llevan el nombre de su benefactor.
Se dice que Omar Jayyam murió cuando estaba leyendo el tratado de
Metafísica de Avicena. Su tumba, situada en Neyshapur, fue encontrada
bastante después de su muerte por su discípulo Nizami2, a quien había
dejado esta indicación: “Mi tumba estará colocada en un lugar donde el
viento norte podrá cubrirla de rosas deshojadas”.
Como matemático, como científico -que es el aspecto que nos
interesa destacar en esta comunicación-, sus trabajos no comenzaron a ser
conocidos en Occidente hasta el siglo XVIII, cuando en 1742 Gerardo
Merman publicó en Leyden su libro Specimen calculi fluxionalis, creyendo
que el manuscrito de Omar Jayyam que se encontraba en dicha ciudad
contenía la resolución algebraica de las ecuaciones cúbicas, error en el que
también incurrieron otros matemáticos y que no fue señalado hasta
1
Acerca de la vida de Omar Jayyam, cf. R. Moreno Castillo, Omar Jayyam, poeta y
matemático, Madrid, 2002; H. Lamb, Omar Khayyam, Barcelona, 1996; Schirazi, Life
of Omar Al-Khayyami, Londres, 1904, (que fue una de las primeras biografías escritas
en Occidente sobre nuestro personaje).
2
Cf. G. Sarton, “The tomb of Omar Khayyam”, en Isis, XXIX, (1938), págs. 14-19.
principios del siglo XIX por Sedillot y Chasles, teniendo que esperar hasta
el año 1851 para que se publicara la primera traducción al francés de su
Tratado de Álgebra, debida a Vöpcke.
Esta famoso Tratado3, que ha colocado a nuestro autor entre los
matemáticos universales más insignes, y que fue esencial para sus futuras
investigaciones como astrónomo, se divide en cinco partes y en él se tratan
sistemáticamente, por primera vez, las ecuaciones cúbicas, empleando,
además, los trazados de cónicas para determinar el número de las raíces
reales y evaluarlas aproximadamente.
Para entender y comprender mejor su excepcional aportación a las
Matemáticas universales, y desde luego, a la Matemática Mosulmana de su
tiempo, diremos que ésta, la Matemática Mosulmana puede clasificarse, de
una manera bastante natural, en cuatro tipos diferentes: 1) una Aritmética
que provenía muy probablemente de la India, basada en el principio
posicional; 2) un Álgebra que, a pesar de sus orígenes innegables en Grecia
– más concretamente en Arquímedes y Apolonio-, tanto la India como la
antigua Babilonia adoptaron y que los árabes trabajaron de una forma
singular, nueva y sistemática; 3) una Trigonometría cuyo contenido
sustancial provenía de Grecia, pero a la que los árabes dieron fórmulas
típicas hindúes y lograron ampliar con nuevas funciones y relaciones entre
las mismas; y 4) una Geometría que, naturalmente, provenía de Grecia,
pero a la que contribuyeron los musulmanes con diversas generalizaciones
y estudios críticos, tales como os relativos al axioma del paralelismo.
Con relación al tercer tipo, las Matemáticas trigonométricas, Tanto
Ibn Yunus como Alhazen introdujeron fórmulas de transformación que
fueron utilizadas en Europa hasta el siglo XVII, antes de que inventaran los
logaritmos.
Y con relación al cuarto tipo de Matemáticas enumerado, la
Geometría, fue un siglo después de Alhazen, cuando Omar Jayyam
revolucionó este tipo de estudios con su Tratado de Álgebra, que extendía
la clásica álgebra de al-Juwarizmi hasta incluir las ecuaciones cúbicas.
Siguiendo la tradición de sus predecesores, Omar Jayyam da los dos tipos
de soluciones, aritméticas y geométricas, para las ecuaciones cuadráticas4;
acerca de las ecuaciones cúbicas en general, parece haber creído en
principio (equivocadamente, como se vio en el siglo XVI), que era
imposible dar soluciones aritméticas, y por lo tanto, Omar Jayyam da
únicamente soluciones geométricas en estos casos.
La idea de utilizar intersecciones de cónicas para resolver ecuaciones
cúbicas no era nueva, sino que ya había sido explorada y explotada por
3
Cf. D.S. Kasir (ed.), The Algebra of Omar Khayyam, 1931; y también, D.J.Struik
“Omar Khayyam, Mathematiciam”, en The Matematics Teacher, LI (1958), págs. 280285.
4
Cf. R. Rhased y B. Vahabzadeh, Al-Khayyam nathématicien, París, 1999.
Menecmo, Arquímedes y Alhazen, pero Omar Jayyam dio el paso decisivo
de generalizar el método para cubrir todas las ecuaciones cúbicas que
tengan alguna raíz positiva. Ya en una obra anterior, al llegar a una
ecuación de tercer grado, hacía expresamente Omar Jayyam la observación
siguiente: “Esto no puede resolverse por medio de la geometría plana _es
decir, usando solamente regla y compás-, debido a que contiene un cubo, y
para resolverlo necesitamos las secciones cónicas”5.
Para las ecuaciones de grado mayor que tres, Omar Jayyam,
evidentemente, no intentó utilizar métodos geométricos análogos, por la
sencilla razón de que el espacio no tiene más que tres dimensiones, llegado
a afirmar que “... lo que llaman los algebristas cuadrado-cuadrado en el
tratamiento de las magnitudes continuas, es sólo una cuestión teórica que
no existe de ninguna manera en la realidad...”6
Los complicados procedimientos que aplicaba Omar Jayyam con
justificado orgullo a las ecuaciones cúbicas, está claro que los podemos
formular ahora de una manera mucho más breve y elegante, usando la
notación algebraica y los conceptos modernos, tal y como sigue: sea la
ecuación cúbica x3 + ax2 + b2x +c3 = 0; si sustituimos en ella x2 por 2py
obtenemos 2pxy + 2apy + b2x + c3 = 0, que es la ecuación de una
hipérbola, mientras que la ecuación x2 = 2py de la sustitución representa
una parábola.
Está claro, pues, que si representamos la hipérbola anterior y esta
parábola en un mismo sistema de ejes de coordenadas, entonces las
abscisas de los puntos de intersección de las curvas (si las hay), serán las
raíces de la ecuación cúbica dada. Es obvio que podrían haberse utilizado
muchos otros pares de secciones cónicas distintos para resolver la cúbica de
una manera análoga.
Omar Jayyam, a falta del concepto de coeficiente negativo, tuvo que
dividir el problema en muchos casos distintos según los números a, b,
c,fueran positivos, negativos o cero; además Omar Jayyam tenía que
identificar sus secciones cónicas de una manera específica para cada caso
concreto, al no disponer aún en aquella época del concepto de parámetro en
general. Por otra parte, no se daban todas las raíces reales de una cúbica, al
no admitir las raíces negativas y tampoco considerar, en general, todos los
puntos de intersección de las secciones cónicas.
Hay que subrayar también que en las soluciones geométricas de las
ecuaciones cúbicas dadas por los griegos, los coeficientes siempre eran
segmentos, mientras que en el tratamiento de Omar Jayyam son números
concretos. Precisamente, una de las contribuciones más fructíferas del
5
Cf. A.R. Amir-Moez, “A paper of Omar Khayyam”, en Scripta Matemática, XXVI
(1963), págs. 323-337.
6
Íbidem, pág. 328.
eclecticismo árabe en este caso, fue la tendencia a cerrar el antiguo abismo
abierto entre el álgebra numérica y el álgebra geométrica.
Ya sabemos que el paso decisivo en esta dirección lo dio Descartes
mucho más tarde, pero Omar Jayyam ya se movía por el mismo camino al
afirmar que: “... quienquiera que piense que el Álgebra es un sistema de
trucos para obtener los valores de incógnitas, piensa vanamente. No se
debe prestar ninguna atención al hecho de que el Álgebra y la Geometría
son en apariencia diferentes. Los hechos del Álgebra son hechos
geométricos que están demostrados...”7.
Así pues, al reemplazar la teoría de proporciones geométrica de
Euclides por un planteamiento numérico, Omar Jayyam se acercó a la
definición de número irracional, y bregó de hecho con el concepto de
número real en general.8
Todos estos conocimientos matemáticos sirvieron a Omar Jayyam
para renovar los conocimientos astronómicos de su época. De todos es
sabido que la zona cultural persa-iraní del antiguo imperio islámico
medieval muestra un interés singular por la Astronomía a partir de finales
del siglo VIII: el número de sabios que se dedican a esta disciplina
científica, los libros que nos han llegado de esta época, la cantidad de
observatorios públicos y privados y, en fin, las innumerables observaciones
precisas y concretas que se registran a partir de esta fecha, son testigos de
esta actividad, que, en un principio, se limitaba casi exclusivamente a la
observación y a la constatación de lo ya dicho por Ptolomeo y otros
geógrafos y astrónomos griegos.9
La Astronomía teórica, la Astronomía científica que comienza a
desarrollarse a finales del siglo X, es dsignada principalmente por dos
términos: ‘ilm al-falak ,o ciencia del orbe celeste, e ‘ilm al-haya’a, o
ciencia de la estructura del universo, es decir, la cosmografía. De todas
formas, va a ser un término de origen persa, zīŷ, en buena correspondencia
con el término griego kanôn, el que se va a utilizar con cada vez más
frecuencia para dar título a los tratados astronómicos; así pues, un término,
zīŷ, que en sentido estricto y literal se utilizaba para las tablas recopilatorias
de los movimientos de los astros, va a ser utilizada, cada vez más, como
término genérico para designar a los grandes tratados de Astronomía que
conllevan incluidas tablas de observación10.
A lo largo del curso de los siglos X y XI, numerosas observaciones
astronómicas fueron realizadas, observaciones que, en la mayoría de los
7
Íbidem, pág. 329.
Cf. D.J. Struik, op.cit., pág. 282.
9
Cf. R. Morelon, “Panorama general de l’histoire de l’astronomie arabe”, en R. Rashed
(dir.), Histoire des sciences arabes, París, 1997, vol. 1, págs. 17-33.
10
Por ejemplo, la importante obra de al-Battani, Zij al-Sabi, o la de al-Biruni, Qanun alMas’udi, aunque ésta última sigue conservando el término griego.
8
casos, sólo eran conocidas por el lugar en donde se realizaron que por
quién las realizó: Bagdad, Damasco, Samarra, Nishapur ... lo que nos da
una idea de que era observaciones del cielo desde observatorios privados,
sin ningún orden ni estructura colectiva de organización o planificación.
Esta primera actividad de observación en el campo de la Astronomía
sufrió un salto cualitativo importante, cuando en la ciudad de Raqqa, en el
norte de la actual Siria, se comienza a trabajar en un programa sistemático
de observación llevado a lo largo de casi treinta años y en donde se
comienza a utilizar unos denominados “tubos de observación”, término que
recoge incluso el gran astrónomo al-Battani en su obra11. Estos tubos, que
no aparecen en ningún tratado griego12, estaban provistos de lentes,
permitían focalizar la mirada sobre un rincón del cielo eliminando la luz
cegadora. Al-Battani no hace más que mencionarlos, pero es en la obra de
al-Biruni en donde encontramos una descripción precisa de este tipo de
aparato de observación astronómica y de su manejo13, aparato que llega a
Occidente a finales del siglo X, llegando a ser, como sabemos, uno de los
instrumentos más clásicos de observación.
Precisamente, va a ser en un observatorio dotado de estos tubos de
observación, en donde Omar Jayyam va a realizar innumerables e
importantes observaciones del cielo. Este observatorio probablemente fue
creado hacia el año 1074, en la región de Ispahán, bajo el reinado de Malik
(1072-1092) y ya, desde un principio, se va a trabajar con un plan
organizado y con una cierta sistematicidad, en programas de observación
de una duración de treinta años, el tiempo de una revolución completa de
Saturno, el planeta conocido entonces como el más alejado de la tierra14.
Este observatorio sólo va a funcionar de hecho dieciocho años, hasta
la muerte de su fundador, pero fue el primer observatorio oficial en tener
una actividad continuada, dentro de un marco de organización planificada y
precisa y, por ello, va a ser el modelo del gran observatorio de Maraga,
creado en la segunda mitad del siglo XIII, que marcará un salto cualitativo
importante en la historia de la astronomía árabe.
De hecho conocemos bastante bien el funcionamiento del
observatorio de Maraga, continuador del observatorio en donde Omar
Jayyam, a finales del siglo XI y principios del XII realizó su labor como
astrónomo; situado en el noroeste del Irán actual, permite elaborar con sus
observaciones un juego de tablas astronómicas, las tablas iljanianas, de
11
Cf. al-Battani, Zij al-Saba’i, ed. de C.A. Nallino, Milán, 1899-1907, vol. III, págs.
137-138 y vol. I, págs. 91 y 272.
12
Cf. R. Eisler, “The Polar Sighting Tube”, en AIHS, VI (1949), págs. 312-332.
13
Al-Biruni, Al-Qanun al-Mas’udi, Hyderabad, 1954-1956, tratado 8, capítulo 14, 2ª
sección.
14
Cf. A. Sayili, The Observatory in Islam and Its Place in the General History of the
Observatory, Ankara, 1960.
gran uso, pero sobre todo da a los sabios, a los científicos que trabajan en
él, la posibilidad de poder poner a punto modelos geométricos mejores que
los dejados por Ptolomeo, para dar cuenta de los movimientos celestes.
Todo ello fue posible gracias a la excelente calidad del instrumental
utilizado, a una organización rigurosa del trabajo y, especialmente, al gran
número de sabios de reconocido prestigio que trabajaron en este
observatorio, como Nasir al-Din al Tusi (1201-1274) y al-‘Urdi (m. 1266).
La construcción del observatorio de Maraga fue financiada por
Hulagu Khan (m. 1265), el cual no dudó en hacer partícipe a este
observatorio como destinatario de bienes waqf para su mantenimiento15,
siendo la primera vez, que nosotros sepamos, que un observatorio goza de
este privilegio, lo cual puede explicar que sus trabajos e investigaciones
continuaran incluso después de la muerte de su fundador y benefactor
Hulagu Khan, sin que la financiación y el apoyo económico se suprimiera
bruscamente con la muerte del príncipe mecenas, tal y como ocurrió con el
observatorio fundado por Malik en el que trabajó Omar Jayyam.
Su construcción comienza en el año 1259 y todo parece indicar que
acaba en el año 1263. El conjunto construido se encontraba situado en un
terreno de 280 x 220 metros y comprendía, además de todo un surtido de
instrumentos variados de observación, una importante biblioteca y una
pequeña fundición para la elaboración de aparatos y utensilios de cobre.
Al-‘Urdi, que fue uno de los responsables de la fabricación de los aparatos,
no concibe ninguno que no fuera conocido ya, pero sí se esmera en
producirlos con una mejor calidad y una mayor precisión. Sólo tenemos
noticia de un aparato de observación astronómica que fue inventado y
utilizado en el observatorio de Maraga: se trata de un círculo azimutal
provisto de dos cuadrantes, que permitía tomar simultáneamente la altura
de dos astros sobre el horizonte16.
El programa de observaciones continuadas, tal y como lo diseñó
Nasir al-Din al-Tusi, era de una duración de treinta años, por las mismas
razones y a semejanza del observatorio fundado por Malik y en el que
trabajó Omar Jayyam, pero finalmente fue reconducido a una extensión de
sólo doce años, el tiempo de rotación de Júpiter, siendo las famosas tablas
iljanianas publicadas durante este periodo.
Numerosos sabios y astrónomos trabajaron en el observatorio de
Maraga; no sólo Nasir al-Din al-Tusi y al-‘Urdi, ya mencionados, sino
también Muhyi al-Din al-Magribi y Qutb al-Din al-Shirazi, creándose una
auténtica escuela alrededor de Maraga, que tendrá una influencia
15
Cf. Sayili, op. cit., págs. 160-166 y P. Vardjavand, “Rapport sur les résultats des
excavations du complexe scientiphique de l’observatoire de Maragha”, en M. Dizer
(éd.), International Symposium on the Observatoires in Islam, 19-23 september 1977,
Estambul, 1980, págs. 143-163.
16
R. Morelon, op. cit., pág. 29.
indiscutible en el desarrollo posterior de la Astronomía oriental y
occidental.
Tenemos datos que nos confirman su actividad plena, al menos hasta
el año 1316, año de la muerte de su último director conocido, Asil al-Din,
que estuvo en este cargo desde el año 1304, pues hacia el año 1350 sus
instalaciones ya eran ruinas. Estamos seguros que el observatorio de
Maraga ha funcionado más de cincuenta años, aunque no sea posible, por el
momento, poder dar una fecha precisa del cese de sus actividades.
Es necesario volver a resaltar que este observatorio tuvo una
influencia muy importante, no solamente por la cantidad y la calidad de los
trabajos científicos que allí se desarrollaron, sino porque acabó siendo el
modelo, el prototipo, de los grandes observatorios astronómicos
posteriores, en particular de los tres grandes observatorios islámicos más
grandes, el de Samarcanda (fundado por el príncipe Ulug Beg en el año
1420 y que mantuvo su actividad hasta el año 1500) , el de Estambul (que
fue construido por el astrónomo Taqi al-Din en el año 1575 y que sólo ha
dejado de funcionar hace unas decenas de años) y el construido en la India,
en la ciudad de Jaipur (proyectado por Jai Singh en el año 1740).
Centrándonos en la actividad astronómica de Omar Jayyam, cuatro
grandes aspectos de la misma podemos destacar.
En primer lugar, por supuesto, su colaboración y sus trabajos en el
observatorio fundado por el príncipe Malik, en particular los llevados a
cabo sobre la reforma del calendario solar. En el año 1074, Omar Jayyam
fue invitado por el sultán seljúcida Malik Shah a la capital del reino,
Ispahán, para crear un observatorio astronómico y reformar el calendario
solar persa, labor necesaria para la organización de los trabajos agrícolas.
Las nuevas observaciones del movimiento del sol permitían medir con más
precisión la duración del año solar; el primer día del nuevo calendario solar
coincidió con el equinoccio de primavera del año 1079 , llamado “malikí” o
“yalalí”, en honor, como no, del soberano Malik Shah, que además llevaba
el nasab de Yalal al-Dawla.17
La reforma no fue llevada, finalmente, a su último término, pero la
designación de los años bisiestos establecida según la serie 4, 8, 12, 16, 20,
24, 28 y 33, es mucho más exacto que, por ejemplo nuestro calendario
gregoriano, ya que éste último tiene una variación, una diferencia sobre el
calendario solar de un día cada 3.333 años, mientras que el propuesto por
Omar Jayyam, tiene una variación de un día cada 5.000 años.
El observatorio, que como hemos dicho anteriormente, fue el modelo
del posterior de Malaga, fue destruido tras la muerte de Malik Shah, en el
año 1092.
17
Cf. D. Crecelius, Encyclopédie de l’Islam, 2ª ed., París, 1976, s.v. « ‘Umar Jayyam »,
pág. 898.
En segundo lugar, hay que citar, dentro de la actividad astronómica
de Omar Jayyam, su compliación de las conocidas “Tablas astronómicas
para Malik Shah” (Ziy Malik Sahi), mencionadas por Hayyi Jalifa18. De las
mismas, de este valioso documento de astronomía, sólo nos ha llegado una
parte: el catálogo de las cien estrellas más brillantes; este fragmento se ha
podido encontrar en un manuscrito anónimo escrito por los Isma’ilíes y
que, en la actualidad, se encuentra depositado en la Biblioteca Nacional de
París19.
En tercer lugar, es necesario mencionar su obra sobre Astronomía
“El Libro del año Nuevo” ( @awruz-nama), escrita en persa. En este libro
Omar Jayyam recoge y rcopila todas sus teorías y actividades realizadas
alrededor del calendario solar persa. Sólo se conoce la existencia de un
único manuscrito de este libro, conservado en Berlín, cuyo texto fue
publicado en Teherán, en el año 1933.
Respecto a esta obra, podemos afirmar que, sin duda, fue escrita para
atraer la atención de los sucesores de Malik Shah sobre los problemas del
calendario persa y animarlos a reconstruir el observatorio, objetivo en el
que no triunfó.
Por último, en cuarto lugar, y dentro del ámbito de su actividad en el
campo y la docencia de la Astronomía, debemos citar a su alumno ‘Abd alRahman al-Jazini.
Sabemos que, en la época en que la capital del sultanato seljúcida fue
transferida a Merv, Omar Jayyam escribió sus obras sobre Mecánica. En
Merv, en la corte del sultán Sanyar, trabajó el discípulo de Omar Jayyam,
‘Abd al-Rahman al-Jazini, autor de las “Tablas astronómicas de Sanyar”,
además de un tratado sobre Mecánica titulado “La balanza de la sabiduría”
(Mizan al-hukm).
Esta obra de al-Jazini incorpora los textos de los dos tratados de
Omar Jayyam sobre mecánica, “Acerca de la balanza justa (Fi-l-kustas almustakin) y”La balanza de las sabidurías” (Mizan al-hikam). Las dos obras
están consagradas a la teoría de la balanza de platillos.
En conclusión, hemos querido resaltar que la figura universal de
Omar Jayyam abarca muchos campos y aspectos del saber humano de su
tiempo, no solamente en el entorno de las Matemáticas y la Literatura, sino
también en campos como el de la Astronomía, del que hemos hablado en
esta comunicación, y en el de la Mecánica, la Música o la Filosofía, de los
que se hablará en otra ocasión.
18
íbidem, pág. 898.
Existe una traducción rusa de este fragmento de las Tablas, en Rosenfeld, Omar
Khayyam. Traités, textos árabes y persas, traducidos al ruso, Moscú, 1962.
19