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Teorema de factorización completa para polinomios
Si f(x) es un polinomio de grado n > 0, entonces existen n
números complejos, c1, c2, . . , cn, tales que
f(x) = a(x − c1)(x − c2) ... (x − cn)
donde a es el coeficiente principal de f(x). Cada número, ck, es
un cero de f(x).
Demostración
Si f(x) es de grado n > 0, entonces, según el teorema fundamental
del álgebra, f(x) tiene un cero complejo c1. Por consiguiente, según
el teorema del factor, f(x) tiene un factor x − c1; es decir,
f(x) = (x − c1) f1(x),
en la cual f1(x) es un polinomio de grado n − 1 . Sí n − 1 >0,
entonces, con el mismo argumento, f1(x) tiene un cero complejo c2
y, por consiguiente, un factor x − c2. De modo que
f1(x) = (x − c2) f2(x),
en la cual f2(x) es un polinomio de grado n − 2. Por lo tanto,
f(x) = (c − c1)(x − c2) f2(x)
Continuando con este proceso, después de n etapas, se llega a un
polinomio, fn(x), de grado 0. Así, fn(x) = a para un número a
distinto de cero, y se puede escribir
f(x) = a(x − c1)(x − c2) ... (x − cn),
donde cada número complejo, ck, es un cero de f(x). El coeficiente
inicial del polinomio del lado derecho de la última ecuación es a, y
por tanto, se denomina coeficiente inicial de f(x).