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1.9
El Teorema Fundamental del Álgebra
1.1.
Repaso de polinomios
Definiciones básicas
Un monomio en una indeterminada x es una expresión de la forma ax n que representa el
producto de un número, a, por una potencia de x. El número a se llama el coeficiente del
monomio, mientras que el exponente de la potencia de x, n, se llama, suponiendo a 6= 0, el
grado del monomio. Un simple número, a, se considera un monomio de grado cero, pues,
para cualquier valor de x, x0 = 1 y ax0 = a. Los monomios de grado cero también se llaman
constantes.
Un polinomio en una indeterminada x es una suma de monomios en la indeterminada x.
Se llama término independiente de un polinomio al monomio de grado cero de los monomios
que lo forman. Se llama término principal de un polinomio al monomio de mayor grado de los
monomios que lo forman. Se llama grado de un polinomio al grado de su término principal.
Se llama coeficiente principal de un polinomio al coeficiente de su término principal. Se llama
polinomio mónico a todo polinomio cuyo coeficiente principal es igual a 1. Todo polinomio en x
es, pues, una expresión de la forma
p ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · + a n x n
donde los números a0 , . . . , an son los coeficientes, a0 es el término independiente, an 6= 0 es el
coeficiente principal y n es el grado de p( x ).
1 Ejercicio de tarea. Escribe un polinomio mónico de grado 4 cuyo término independiente sea
cero.
Los polinomios de grado cero son las constantes. Los polinomios de grado 1 se llaman polinomios lineales o de primer grado. Los polinomios de grado 2 se llaman polinomios cuadráticos
o de segundo grado. Los polinomios de grado 3 se llaman polinomios cúbicos o de tercer grado.
Los polinomios de grado 4 cuyos coeficientes de los términos de grado 1 y 3 sean cero se llaman
polinomios bicuadráticos.
La suma o resta de polinomios del mismo grado es siempre un polinomio de grado menor o
igual al de los dados. La suma o resta de polinomios del distinto grado es siempre un polinomio
de grado igual al de mayor grado. El producto de dos polinomios no nulos es siempre un
polinomio de grado igual a la suma de los grados de los dos polinomios dados.
1
Versión de 20 de marzo de 2017, 1:33 h.
2 Ejercicio de tarea. Escribe dos polinomios de tercer grado cuya suma sea un polinomio cuadrático y escribe dos polinomios cuadráticos cuya diferencia sea un polinomio lineal.
1.2
Polinomios irreducibles
Evaluación de polinomios. Multiplicaciones encajadas
Cuando se desea evaluar un polinomio en un número se pueden evaluar todas las potencias
necesarias de ese número, multiplicar cada una por su respectivo coeficiente y sumar todos los
resultados. Por ejemplo si el polinomio es p( x ) = 3x4 − x3 + 2x2 − 5x + 7 y queremos evaluarlo
en x = 2, podemos calcular las potencias de 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16 y después hacer la suma
p(2) = 3 × 16 − 8 + 2 × 4 − 5 × 2 + 7 = 45.
Existe una forma más eficiente de evaluar este polinomio, la cual está basda en reescribir el
polinomio en la forma:
p( x ) = (((3x − 1) x + 2) x − 5) x + 7
o sea:
p(2) = (((3 × 2 − 1)2 + 2)2 − 5)2 + 7.
Entonces los cálculos de p(2) se realizarían así:
3 × 2 − 1 = 5,
5 × 2 + 2 = 12,
12 × 2 − 5 = 19,
19 × 2 + 7 = 45.
Esta forma de disponer los cálculos para evaluar un polinomio se conoce como método de las
multiplicaciones encajadas o método de Horner. La ventaja sobre el método anterior consiste en
que requiere muchas menos operaciones y la ventaja es tanto mayor cuanto mayor sea el grado
del polinomio a evaluar.
División de polinomios
La división de polinomios es muy parecida a la división de números enteros y se puede
realizar a mano mediante un algoritmo similar al de la división que aprendimos en el colegio.
Dados dos polinomios cualesquiera, p( x ) y q( x ), al realizar la división de p( x ) entre q( x ) se
determina completamente un polinomio cociente c( x ) que es el único que verifica que la diferencia r ( x ) = p( x ) − q( x )c( x ) tiene grado menor que el de q( x ). El polinomio c( x ) se llama
cociente y el polinomio r ( x ) resto de la división con dividendo p( x ) y divisor q( x ), de forma
que se cumple, igual que para los números enteros, el dividendo es igual a divisor por el cociente
más el resto:
p ( x ) = q ( x ) c ( x ) + r ( x ).
División entre un polinomio mónico lineal Si se divide un polinomio p( x ) entre un polinomio mónico lineal q( x ) = x − a, el resto de esta división es igual al valor de p( x ) en el número
a. Esto es evidente porque si
p( x ) = ( x − a)c( x ) + r
entonces p( a) = ( a − a)c( a) + r = r. En consecuencia:
Un polinomio es divisible entre el polinomio lineal mónico x − a si y sólo si se anula en a.
1.2.
Polinomios irreducibles
Se dice que un polinomio admite una factorización si existen dos polinomios de menor
grado cuyo producto sea el polinomio dado. En ese caso se dice que el polinomio es reducible
(a un producto de polinomios de menor grado). Como el grado del producto es la suma de los
grados y el grado igual a 1 no se puede expresar como suma de dos grados más pequeños,
se deduce que ningún polinomio de grado 1 admite una factorización. Los polinomios que
no admiten factorización se llaman polinomios irreducibles, con lo cual, todo polinomio de primer
grado es irreducible. Igualmente, todo polinomio de grado cero es irreducible, con lo cual, si un
polinomio es reducible (es decir, admite una factorización) su grado es mayor o igual que 2.
2
1.3
El teorema fundamental del álgebra
3 Ejercicio de tarea. Escribe un polinomio mónico de grado 4 cuyo término independiente sea
cero. ¿Es tu polinomio irreducible? en caso negativo escribe una factorización del mismo.
La cuestión de si un polinomio dado es reducible o irreducible puede depender del campo
numérico en que se nos permita tomar los coeficientes de los factores. Por ejemplo, el polinomio
x2 − 2 es irreducible en los
√ enteros y en los racionales, pero es reducible en los reales
√ números
porque es x2 − 2 = ( x + 2)( x − 2). De forma semejante, el polinomio x2 + 1 es irreducible
en los números enteros, racionales o reales, pero es reducible en los números complejos.
4 Ejercicio de tarea. Escribe un polinomio bicuadrático que sea irreducible en los números reales
y otro polinomio bicuadrático que sea reducible en los números enteros.
1.3.
El teorema fundamental del álgebra
Según se dijo en la Sección 1.1 donde se introdujo la unidad imaginaria i, la introducción
de una raíz para el polinomio x2 + 1 nos permite hallar raíces para todos los polinomios de
segundo grado sin excepción. Esto significa que
Todo polinomio de segundo grado con coeficientes reales es reducible en el campo complejo.
Es más: sabemos calcular la fórmula de la solución de la ecuación de segundo grado ax2 +
bx + c = 0 incluso cuando los coeficientes a, b y c son números complejos no todos ellos reales,
así que lo que acabamos de decir se extiende a todos los polinomios de segundo grado con
coeficientes complejos.
Todo polinomio de segundo grado con coeficientes complejos es reducible en el campo complejo.
Una de las consecuencias más notables de la extensión de los números reales mediante la
incorporación de una solución “imaginaria” de la ecuación x2 + 1 = 0 es que esto no sólo
conlleva la introducción de raíces para todos los polinomios de segundo grado sin excepción
sino también para todos los polinomios de grado superior al segundo. Esto es el contenido del
Teorema Fundamental del Álgebra:
TEOREMA 1.9.1
Teorema Fundamental del Álgebra
Todo polinomio no constante con coeficientes complejos admite al menos una raíz compleja.
Al admitir una raíz, admite una factorización de la forma
p ( z ) = ( z − z1 ) q1 ( z )
donde q1 (z) es de nuevo un polinomio con coeficientes complejos de grado una unidad menos
que el grado de p(z). Si q1 (z) es constante es que p(z) era de grado 1 y z1 su única raíz. En caso
contrario, q1 (z) no es constante y podemos aplicarle de nuevo el teorema con lo que obtenemos
una factorización de p(z) de la forma
p(z) = (z − z1 )(z − z2 )q2 (z).
Continuando de esta forma llegaremos a una factorización de p(z) como producto de factores
lineales, es decir, de la forma
p(z) = a(z − z1 )(z − z2 ) · · · (z − zn )
donde n es el grado y a el coeficiente principal de p(z). Los números complejos z1 , . . . , zn son
todas1 las raíces de p(z), las cuales no tienen por qué ser todas distintas.
5 Ejercicio de tarea. Escribe un polinomio de grado 4 cuyas raíces distintas sean 1 e i.
1 El polinomio p ( z ) no puede tener ninguna otra raíz porque, como se vió más arriba, toda raíz r da lugar a un factor
de la forma z − r.
3
1.3
El teorema fundamental del álgebra
Multiplicidad de las raíces
Si nos fijamos en las raíces distintas de un polinomio, su número será necesariamente menor
o igual que el grado del polinomio. Si el número de raíces distintas es menor que el grado entonces alguna o algunas aparecerán repetidas en la factorización del polinomio como producto
de factores lineales. El número de veces que una raíz particular aparece repetida en dicha factorización se llama la multiplicidad de esa raíz y evidentemente se cumple que: La suma de las
multiplicidades de las raíces de un polinomio es igual al grado del polinomio.
Otros enunciados equivalentes al Teorema Fundamental del Álgebra
Cada uno de los siguientes enunciados es equivalente al teorema fundamental del álgebra:
(a) Todo polinomio de grado mayor o igual que dos con coeficientes complejos es reducible en el campo
complejo.
(b) Los únicos polinomios irreducibles en el campo complejo son los de grado menor que 2, es decir, los
de grado cero y uno (los constantes y los lineales).
(c) Todo polinomio no constante con coeficientes complejos es reducible como producto de polinomios
lineales complejos
(d) Todo polinomio no nulo de grado n con coeficientes complejos tiene exactamente n raíces contando
sus multiplicidades.
(e) Todo polinomio p(z) de grado n ≥ 1 con coeficientes complejos tiene al menos una raíz.
(f) Todo polinomio p(z) de grado n ≥ 1 con coeficientes complejos admite una factorización de la forma
p(z) = q(z)(z − r )
donde r es un número complejo y q(z) es un polinomio de grado n − 1.
(g) Todo polinomio p(z) de grado n con coeficientes complejos tiene una única factorización en factores
de primer grado de la forma
p ( z ) = a n ( z − z1 ) · · · ( x − z n )
donde an es el coeficiente principal de p(z) y z1 ,. . . , zn son números complejos no necesariamente
distintos.
PROPOSICIÓN 1.9.1
Todo polinomio real de grado impar tiene al menos una raíz real.
Esto es debido a que si el grado de p( x ) es impar entonces el término principal es de la
forma ax2k+1 y toma valores de signos opuestos en x y en − x. Además, para valores grandes
de x, el valor de p( x ) está dominado por el valor de su término principal con lo cual si M es
un número real suficientemente grande, entonces p( M ) y p(− M) tienen signos opuestos y por
tanto la gráfica de p( x ) necesariamente corta al eje x en el intervalo [− M, M].
Polinomios reales irreducibles
El teorema fundamental del álgebra tiene una consecuencia que se refiere únicamente a los
números reales pero que hubiera sido mucho más difícil descubrirla sin los números complejos:
Los polinomios de coeficientes reales que son irreducibles en el campo real son los de grado menor que
2 y aquellos de grado 2, p( x ) = ax2 + bx + c, que tienen discriminante, ∆ = b2 − 4ac, negativo.
4
1.3
El teorema fundamental del álgebra
En consecuencia, todo polinomio de coeficientes reales admite una factorización en el campo
de los números reales como producto de factores lineales y factores cuadráticos de discriminante
negativo.2
Sobre las demostraciones del Teorema Fundamental del Álgebra
La mayoría de las demostraciones conocidas del Teorema Fundamental del Álgebra se basan en resultados matemáticos de un nivel superior al de esta asignatura. No obstante, existen dos demostraciones de un nivel asequible y aunque
no vamos a dar ninguna demostración detallada, vamos a dar unas someras indicaciones del camino que siguen esas
dos demostraciones elementales.
La primera de ellas usa en el plano complejo un razonamiento similar al que usamos para demostrar que todo
polinomio real de grado impar tiene alguna raíz real: El hecho de que para valores suficientemente grandes de |z| el
valor absoluto de p(z) está dominado por el valor absoluto del término principal de p(z), el cual, si p(z) no es constante,
tiende a infinito cuando |z| → ∞. En consecuencia, eligiendo un radio suficientemente grande, es posible encontrar un
disco centrado en el origen tal que para todo z exterior a ese disco sea | p(z)| > | p(0)|. Como dicho disco es compacto
esto implica que existe un punto z0 interior a él en el que | p(z)| alcanza su valor mínimo: Para todo número complejo z,
| p(z)| ≥ | p(z0 )|. Establecido este hecho, un razonamiento sencillo demuestra que si fuese | p(z0 )| > 0 entonces se podría
encontrar una infinidad de valores de z tales que | p(z)| < | p(z0 )|. Por reducción al absurdo se concluye que el valor
mínimo de | p(z)| es cero lo cual es decir que p(z) tiene una raíz.
La segunda demostración del Teorema Fundamental del Álgebra a que nos hemos referido consiste en reducir dicho
teorema al caso real y dar demostrar del caso real. En otras palabras, se usa el siguiente resultado:
PROPOSICIÓN 1.9.2
El Teorema Fundamental del Álgebra es equivalente al siguiente enunciado: Todo polinomio no constante con coeficientes
reales admite al menos una raíz compleja.
Evidentemente el teorema fundamental del álgebra implica este enunciado. Para demostrar que también este enunciado implica el teorema fundamental del álgebra, sea p(z) un polinomio de coeficientes complejos del que queremos
demostrar que tiene al menos una raíz. Construimos el polinomio
q ( z ) = p ( z ) p ( z ).
Este nuevo polinomio tiene coeficientes reales porque cumple la propiedad q(z) = q(z), que es exclusiva de los polinomios con coeficientes reales:
q ( z ) = p ( z ) p ( z ) = p ( z ) p ( z ) = p ( z ) p ( z ) = p ( z ) p ( z ) = q ( z ).
Ahora bien, si z0 es una raíz de q(z) entonces p(z0 ) p(z0 ) = 0 con lo cual p(z0 ) = 0 o p(z0 ) = 0, es decir o z0 es una raíz
de p(z) o z0 lo es.
Así, el teorema fundamental del álgebra queda reducido al caso real, el cual es un poco más fácil de demostrar.
Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección
Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen
en esta sección:
Enlaces: Ejercicio 1, Ejercicio 2, Ejercicio 3, Ejercicio 4, Ejercicio 5.
2 Este resultado, a su vez, implica que toda función racional real tiene una descomposición como suma de fracciones
simples y por tanto tiene una primitiva elemental que se puede hallar por el método de las fracciones parciales.
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