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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CIUDAD JUÁREZ
NOMBRE DE LOS INTEGRATES:
 Isamar González Castelán
 Rigoberto Hernández Gramillo
 Ruth Nohemí Beltrán Cruz
 Jorge Alberto Cruz Ramos
 Luis Alberto Molina Gasca
CARRERA: Tecnologías De La Información Y De La Comunicación
MATERIA: Desarrollo de Habilidades de Pensamiento Lógico
TEMA: Algebra Booleana
PROFESOR: Leonardo Daniel Andrade Mendoza
CUATRIMESTRE: Primero
GRUPO: Ticm15
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MAPA CONSEPTUAL DEL TEMA
ALGEBRA
BOOLEANA
ANTECEDENDENTES
HISTORICOS
CLAUDIE
GEORGE
E.SHANNON
BOOLE
TEOREMAS
DEL
ALGEBRA
DE BOOLE
CONECTORES
LOGICOS
APLICACIONES
DEL ALGEBRA
DE BOOLE
ESPOSA DE
GEORGE
BOOLE
LOGICA
PROPORCIONAL
TABLAS DE
VERDAD
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ANTECEDENTES HISTÓRICOS DEL ALGEBRA DE BOOLE
Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864),
matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del
siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar
expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma
generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el
diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948.
A mediados del siglo XIX, George Boole (1815-1864), en sus libros: "The Mathematical Analysis of
Logic" (1847) y "An Investigation of te Laws of Thought" (1854), desarrolló la idea de que las
proposiciones lógicas podían ser tratadas mediante herramientas matemáticas. Las proposiciones
lógicas (asertos, frases o predicados de la lógica clásica) son aquellas que únicamente pueden
tomar valores Verdadero/Falso, o preguntas cuyas únicas respuestas posibles sean Sí/No. Según
Boole, estas proposiciones pueden ser representadas mediante símbolos y la teoría que permite
trabajar con estos símbolos, sus entradas (variables) y sus salidas (respuestas) es la Lógica
Simbólica desarrollada por él. Dicha lógica simbólica cuenta con operaciones lógicas que siguen el
comportamiento de reglas algebraicas. Por ello, al conjunto de reglas de la Lógica Simbólica se le
denomina
ÁLGEBRA DE BOOLE.
Todas las variables y constantes del Álgebra booleana, admiten sólo uno de dos valores en sus
entradas y salidas: Sí/No, 0/1 o Verdadero/Falso. Estos valores bivalentes y opuestos pueden ser
representados por números binarios de un dígito (bits), por lo cual el Álgebra booleana se puede
entender cómo el Álgebra del Sistema Binario. Al igual que en álgebra tradicional, también se
trabaja con letras del alfabeto para denominar variables y formar ecuaciones para obtener el
resultado de ciertas operaciones mediante una ecuación o expresión booleana. Evidentemente los
resultados de las correspondientes operaciones también serán binarios.
Todas las operaciones (representadas por símbolos determinados) pueden ser materializadas
mediante elementos físicos de diferentes tipos (mecánicos, eléctricos, neumáticos o electrónicos)
que admiten entradas binarias o lógicas y que devuelven una respuesta (salida) también binaria o
lógica. Ejemplos de dichos estados son: Abierto/Cerrado (interruptor), Encendida/Apagada
(bombilla), Cargado/Descargado (condensador) , Nivel Lógico 0/Nivel lógico 1 (salida lógica de un
circuito semiconductor), etcétera.
Los dispositivos con los cuales se implementan las funciones lógicas son llamados puertas (o
compuertas) y, habitualmente, son dispositivos electrónicos basados en transistores.
¿QUIEN FUE GEORGE BOOLE?
(Lincoln, Reino Unido, 1815 - Balli temple, actual Irlanda, 1864) Matemático británico. Procedía de
una familia venida a menos y tuvo que desestimar la idea de convertirse en monje al verse
obligado a mantener a sus padres. A los dieciséis años enseñaba matemática en un colegio
privado y más tarde fundó uno propio. A los veinticuatro años, tras la publicación de su primer
escrito, pudo ingresar en Cambridge, pero desestimó la oferta, de nuevo a causa de sus deberes
respecto a su familia. En 1849 le nombraron profesor de matemáticas del Queens Collage, en
Cork, donde permaneció el resto de su vida.
El gran descubrimiento de Boole fue aplicar una serie de símbolos a operaciones lógicas y hacer
que estos símbolos y operaciones –por elección cuidadosa– tuvieran la misma estructura lógica
que el álgebra convencional. En el álgebra de Boole, los símbolos podían manipularse según
reglas fijas que producirían resultados lógicos.
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En 1854 publicó Investigación sobre las leyes del pensamiento, libro que trataba por completo de la
lógica simbólica y su álgebra. La influencia de esta lógica matemática sobre las matemáticas
modernas tendría una evolución lenta: si en un primer momento no parecía más que un intrincado
juego de palabras, más adelante se vio que era de lo más útil, y hasta completamente
indispensable para conseguir la matemática lógica. Boole se casó a la edad de cuarenta años y
tuvo cinco hijas, a las que no llegó a ver adolescentes.
¿CÓMO SE LLAMÓ LA ESPOSA DE GEORGE BOOLE?
Mary Everest (Sobrina de Sir George Everest)
Hijas. Mary Ellen nació en 1856, Margaret nacido en 1858, Alicia (más tarde Alicia Stott), nacido en
1860, Lucy Everest nacido en 1862, y Ethel Lilian nació en 1864.
¿QUIÉN FUE CLAUDE E. SHANNON?
Claude Elwood Shannon (30 de abril de 1916, Míchigan - 24 de febrero de 2001), ingeniero
electricista y matemático estadounidense, recordado como "el padre de la teoría de la información".
Ingeniero estadounidense. Se graduó en ingeniería por la Universidad de Michigan en 1936 y,
cuatro años más tarde, obtuvo un doctorado de matemáticas en el Massachusetts Institute of
Technology.
Durante su estancia en dicha institución empezó a trabajar sobre el problema de la eficacia de los
diferentes métodos existentes de transmisión de la información, tanto mediante el flujo a través de
hilos o cables como el aéreo, por medio de corrientes eléctricas fluctuantes o bien moduladas por
la radiación electromagnética. Shannon orientó sus esfuerzos hacia la comprensión fundamental
del problema y en 1948 desarrolló un método para expresar la información de forma cualitativa.
Las publicaciones de Shannon en 1949 demostraron cómo se podía analizar dicha cuantificación
(expresada en una magnitud que denominó bit) mediante métodos estrictamente matemáticos. Así,
era posible medir la verosimilitud de la información mutilada por pérdidas de bits, distorsión de los
mismos, adición de elementos extraños, etc., y hablar con precisión de términos antes vagos, como
redundancia o ruido e, incluso, expresar el concepto físico de entropía como un proceso
continuado de pérdida de información.
Claude Elwood Shannon falleció el 24 de febrero del año 2001, a la edad de 84 años, después de
una larga lucha en contra la enfermedad de Alzheimer.
ALGEBRA BOOLEANA
El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso
y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas
y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas
booleanas y produce una sola salida booleana.
Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iníciales, de aquí se pueden
deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a
menudo emplea los siguientes postulados:
• Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para
cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.
• Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos
los posibles valores de A y B.
4
•
Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para
todos los valores booleanos A, B, y C.
• Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º
C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
• Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un
operador binario " º " si A º I = A.
• Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º "
si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.
Para nuestros propósitos basaremos el álgebra booleana en el siguiente juego de operadores y
valores:
- Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo llamaremos a éstos
valores respectivamente como falso y verdadero.
- El símbolo · representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de variables de
una sola letra se eliminará el símbolo ·, por lo tanto AB representa la operación lógica AND entre
las variables A y B, a esto también le llamamos el producto entre A y B.
- El símbolo "+" representa la operación lógica OR, decimos que A+B es la operación lógica OR
entre A y B, también llamada la suma de A y B.
- El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, en éste texto utilizaremos el
símbolo " ' " para denotar la negación lógica, por ejemplo, A' denota la operación lógica NOT de A.
- Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión booleana, el resultado de la
expresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor, paréntesis,
operador lógico NOT, operador lógico AND y operador lógico OR. Tanto el operador lógico AND
como el OR son asociativos por la izquierda. Si dos operadores con la misma procedencia están
adyacentes, entonces se evalúan de izquierda a derecha. El operador lógico NOT es asociativo por
la derecha.
TEOREMAS DEL ALGEBRA DE BOOLE.
Es posible probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando éstos postulados, además es
buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas más importantes de los cuales podemos
mencionar los siguientes:
• Teorema 1: A + A = A
• Teorema 2: A · A = A
• Teorema 3: A + 0 = A
• Teorema 4: A · 1 = A
• Teorema 5: A · 0 = 0
• Teorema 6: A + 1 = 1
• Teorema 7: (A + B)' = A' · B'
• Teorema 8: (A · B)' = A' + B'
• Teorema 9: A + A · B = A
• Teorema 10: A · (A + B) = A
• Teorema 11: A + A'B = A + B
• Teorema 12: A' · (A + B') = A'B'
• Teorema 13: AB + AB' = A
• Teorema 14: (A' + B') · (A' + B) = A'
• Teorema 15: A + A' = 1
• Teorema 16: A · A' = 0
LÓGICA PROPOSICIONAL
En lógica y matemática, la lógica proposicional es un sistema formal diseñado para analizar ciertos
tipos de argumentos. En la lógica proposicional, las fórmulas representan proposiciones y las
constantes lógicas son operaciones sobre las fórmulas que producen otras fórmulas de mayor
complejidad.1 Como otros sistemas lógicos, la lógica proposicional intenta esclarecer nuestra
comprensión de la noción de consecuencia lógica para el rango de argumentos que analiza.
Los operadores lógicos empleados en la búsqueda de información son tres:
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español
Y
O
NO
ingles
AND
OR
NOT
signo
*
+
-
¿Cómo se usan?
Y: Sirve para unir uno o más elementos de búsqueda: queremos una cosa Y la otra.
Por ejemplo, si en una búsqueda indicamos:
 Pintores Y México
Esto sirve para restringir la búsqueda, de modo que se encuentre sólo lo que sea
sobre pintores Y además sobre México, necesariamente de ambas referencias
(Las referencias sobre "pintores renacentistas" o sobre México Prehispánico"
podrán ser eliminadas).
O: Sirve para combinar uno O más elementos.
Por ejemplo: Si en la búsqueda indicamos:
 Pintores O México
La indicación sirve para ampliar las posibilidades de búsqueda: cualquier archivo
que se refiera a Pintores O de México, no necesariamente de ambos.
NO: Sirve para excluir uno O más elementos.
Por ejemplo, si en la búsqueda indicamos
 NO impresionistas
CONECTORES LÓGICOS
Son los signos que permiten obtener fórmulas a partir de otras fórmulas dadas.
Hay cinco: negación, disyunción, conjunción, implicación y equivalencia.
A continuación hay una tabla que despliega todas las conectivas lógicas que ocupan a la lógica
proposicional, incluyendo ejemplos de su uso en el lenguaje natural y los símbolos que se utilizan
para representarlas.
Conectiva
Expresión en
el
Ejemplo
lenguaje
natural
Negación
no
No está lloviendo.
Conjunción
y
Está lloviendo y está nublado.
Disyunción
o
Está lloviendo o está soleado.
Condicional
material
si... entonces
Si está soleado, entonces es de
día.
Bicondicional
si y sólo si
Está nublado si y sólo si hay
nubes visibles.
Negación conjunta ni... ni
Símbolo
en
este
artículo
Símbolos
alternativos
Ni está soleado ni está nublado.
O bien está soleado, o bien está
Disyunción
o bien... o bien
excluyente
nublado.
En la lógica proposicional, las constantes lógicas son tratadas como funciones de verdad. Es decir,
como funciones que toman conjuntos de valores de verdad y devuelven valores de verdad. Por
ejemplo, la constante lógica "no" es una función que si toma el valor de verdad 1, devuelve 0, y si
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toma el valor de verdad 0, devuelve 1. Por lo tanto, si se aplica la función "no" a una letra que
represente una proposición falsa, el resultado será algo verdadero. Si es falso que "está lloviendo",
entonces será verdadero que "no está lloviendo".
El significado de las constantes lógicas no es nada más que su comportamiento como funciones de
verdad. Cada constante lógica se distingue de las otras por los valores de verdad que devuelve
frente a las distintas combinaciones de valores de verdad que puede recibir.
TABLAS DE VERDAD
Una tabla de verdad es una herramienta para describir la forma en que la salida de un circuito
lógico depende de los niveles lógicos presentes en las entradas del circuito.
Las tablas de verdad pueden tener muchas columnas, pero todas las tablas funcionan de igual
forma.
Hay siempre una columna de salida (última columna a la derecha) que representa el resultado de
todas las posibles combinaciones de las entradas.
El número total de columnas en una tabla de verdad es la suma de las entradas que hay + 1 (la
columna de la salida).
El número de filas de la tabla de verdad es la cantidad de combinaciones que se pueden lograr con
las entradas y es igual a 2n, donde n es el número de columnas de la tabla de verdad (sin tomar en
cuenta la columna de salida)
Ejemplo: en la siguiente tabla de verdad hay 3 columnas de entrada, entonces habrán: 23 = 8
combinaciones (8 filas)
Un circuito con 3 interruptores de entrada (con estados binarios "0" o "1"), tendrá 8 posibles
combinaciones. Siendo el resultado (la columna salida) determinado por el estado de los
interruptores de entrada.
Los circuitos lógicos son básicamente un arreglo de interruptores, conocidos como "compuertas
lógicas" (compuertas AND, NAND, OR, NOR, NOT, etc.). Cada compuerta lógica tiene su tabla de
verdad.
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APLICACIONES DEL ALGEBRA DE BOOLE.
La aplicación fundamental se hace cuando se construye un sistema lógico que modéliza el
lenguaje natural sometiéndolo a unas reglas de formalización del lenguaje. Su aplicación puede
verse en el cálculo lógico.
Una aplicación importante de las tablas de verdad procede del hecho de que, interpretando los
valores lógicos de verdad como 1 y 0 (lógica positiva) en el sentido que
valor "1" permite el paso de corriente eléctrica; y
valor "0" corta el paso de dicha corriente.
Los valores de entrada o no entrada de corriente a través de un diodo pueden producir una salida 0
ó 1 según las condiciones definidas como función según las tablas mostradas anteriormente.
Así se establecen las algunas funciones básicas: AND, NAND, OR, NOR, XOR, XNOR (o NXOR),
que se corresponden con las funciones definidas en las columnas 8, 9, 2, 15, 10 y 7
respectivamente, y la función NOT.
En lugar de variables proposicionales, considerando las posibles entradas como EA y EB,
podemos armar una tabla análoga de 16 funciones como la presentada arriba, con sus
equivalentes en lógica de circuitos.
Esta aplicación hace posible la construcción de aparatos capaces de realizar estas computaciones
a alta velocidad, y la construcción de circuitos que utilizan este tipo de análisis se hace por medio
de puertas lógicas.
La utilización extendida de las compuertas lógicas, simplifica el diseño y análisis de circuitos
complejos. La tecnología moderna actual permite la construcción de circuitos integrados (ICs)
que se componen de miles (o millones) de compuertas lógicas.
Las relaciones entrada - salida de las variables binarias para cada compuerta pueden
representarse en forma tabular en una tabla de verdad.
A continuación se detallan los nombres, símbolos, gráficos, funciones algebraicas, y tablas de
verdad de ocho compuertas.
Compuerta AND:
Cada compuerta tiene una o dos variables de entrada designadas por A y B y una salida binaria
designada por x. La compuerta AND produce la unión lógica AND: esto es: la salida es 1 si la
entrada A y la entrada B están ambas en el binario 1: de otra manera, la salida es 0. Estas
condiciones también son especificadas en la tabla de verdad para la compuerta AND. La tabla
muestra que la salida x es 1 solamente cuando ambas entradas A y B están en 1 . El símbolo de
operación algebraico de la función AND es el mismo que el símbolo de la multiplicación de la
aritmética ordinaria (*). Podemos utilizar o un punto entre las variables o concatenar las variables
sin ningún símbolo de operación entre ellas. Las compuertas AND pueden tener más de dos
entradas y por definición, la salida es 1 si cualquier entrada es 1.
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Compuerta OR:
La compuerta OR produce la función OR inclusiva, esto es, la salida es 1 si la entrada A o la
entrada B o ambas entradas son 1; de otra manera, la salida es 0. El símbolo algebraico de la
función OR (+), similar a la operación de aritmética de suma. Las compuertas OR pueden tener
más de dos entradas y por definición la salida es 1 si cualquier entrada es 1.
Compuerta NOT (Inversor):
El circuito inversor invierte el sentido lógico de una señal binaria. Produce el NOT,. o función
complemento. El símbolo algebraico utilizado para el complemento es una barra sobra el símbolo
de la variable binaria. Si la variable binaria posee un valor 0, la compuerta NOT cambia su estado
al valor 1 y viceversa. El círculo pequeño en la salida de un símbolo gráfico de un inversor designa
un complemento lógico. Es decir cambia los valores binarios 1 a 0 y viceversa.
Compuerta Separador:
Un símbolo triángulo por sí mismo designa un circuito separador no produce ninguna función lógica
particular puesto que el valor binario de la salida es el mismo de la entrada. Este circuito se utiliza
simplemente para amplificación de la señal. Por ejemplo, un separador que utiliza i volt para el
binario 1 producirá una salida de 3 volt cuando la entrada es 3 volt. Sin embargo, la corriente
suministrada en la entrada es mucho más pequeña que la corriente producida en la salida. De ésta
manera, un separador puede excitar muchas otras compuertas que requieren una cantidad mayor
de corriente que de otra manera no se encontraría en la pequeña cantidad de corriente aplicada a
la entrada del separador.
Compuerta NAND:
Es el complemento de la función AND, como se indica por el símbolo gráfico que consiste en un
símbolo gráfico AND seguido por un pequeño círculo. La designación NAND se deriva de la
abreviación NOT - AND. Una designación más adecuada habría sido AND invertido puesto que Es
la función AND la que se ha invertido.
Compuerta NOR:
La compuerta NOR es el complemento de la compuerta OR y utiliza un símbolo gráfico OR seguido
de un círculo pequeño. Tanto las compuertas NAND como la NOR pueden tener más de dos
entradas, y la salida es siempre el complemento de las funciones AND u OR, respectivamente.
Compuerta OR exclusivo (XOR):
La compuerta OR exclusiva tiene un símbolo gráfico similar a la compuerta OR excepto por una
línea adicional curva en el lado de la entrada. La salida de esta compuerta es 1 si cada entrada es
1 pero excluye la combinación cuando las dos entradas son 1. La función OR exclusivo tiene su
propio símbolo gráfico o puede expresarse en términos de operaciones complementarias AND, OR
.
Compuerta NOR exclusivo (XOR):
El NOR exclusivo como se indica por el círculo pequeño en el símbolo gráfico. La salida de ésta
compuerta es 1 solamente si ambas entradas son tienen el mismo valor binario. Nosotros nos
referiremos a la función NOR exclusivo como la función de equivalencia. Puesto que las funciones
OR exclusivo y funciones de equivalencia no son siempre el complemento la una de la otra. Un
nombre más adecuado para la operación OR exclusivo sería la de una función impar; esto es, la
salida es 1 si un número impar de entrada es 1. Así en una función OR (impar) exclusiva de tres
entradas, la salida es 1 si solamente la entrada es 1 o si todas las entradas son 1. La función de
equivalencia es una función par; esto es, su salida es 1 si un número par de entradas es 0.
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PROBLEMA.
A un estudiante de electrónica digital le presentan el siguiente circuito y le piden que explique su
significado como parte de una tarea en la escuela. El no le entiende nada y te pide a ti como
alumno TSU que le auxilies en su tarea.
RESISTENCIA
XOR
XOR
CONDUCTOR
NAND
INVERSOR
0
0
NAND
0
INVERSOR
COMPUERTAS
INTERRUTORES DE ENTRADA X, Y, P
INTERRUPTORES DE SALIDA Z, B
COMBINACIONES BINARIAS 000
NAND
TABLA DE VERDAD
X
0
0
0
0
1
1
1
1
Y
0
0
1
1
0
0
1
1
P
0
1
0
1
0
1
0
1
Z
0
1
1
0
1
0
0
1
B
0
1
1
1
0
0
0
1
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
• http://www.biografiasyvidas.com/biografia/s/shannon.htm
• http://www.dma.eui.upm.es/historia_informatica/Doc/Personajes/ClaudeShannon.htm
• www.oocities.com/ohcop/waltz_.html
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• http://www.invata-mate.info/spaniola/historyDetail.htm?id=Boole
• http://clubdefisicainemsp.soy.es/2009/04/08/george-boole-matematizo-las-leyes-del-pensamiento/
• http://www.google.com.mx/#q=boole&hl=es&biw=1003&bih=483&prmd=b&tbs=tl:1&tbo=u&ei=lyfE
TOa1JonQsAOrhe3XCw&sa=X&oi=timeline_result&ct=title&resnum=11&ved=0CEkQ5wIwCg&fp=e
d1c01f9c47126cc
• http://www.uhu.es/rafael.lopezahumada/descargas/tema3_fund_0405.pdf
• http://es.software.yahoo.com/fot/ftxt/karmap.html
• http://www.terra.es/personal/jftjft/ algebra/boole/algboole.htm
• http://www.terra.es/personal/jftjft/algebra/ boole/introduccion.htm
• http://es.dir.yahoo.com/ciencia_y_tecnologia/ matematicas/algebra/algebra_de_boole/
• http://es.dir.yahoo.com/ciencia_y_tecnologia/ matematicas/algebra/algebra_de_boole
• http://www.conocimientosweb.net/portal/directorio
• http://www.zabalnet.com/intro/cursos/03_algebra.htm
• http://www.inf.ufsc.br/ine5365/algboole.html
• http://www.ncc.up.pt/~zp/aulas/9899/me/trabalhos/ alunos/circuitos_logicos/algboole.html
• http://buscador.hispavista.es/logica--algebra-de-boole
ROLES DE LOS MIEMBROS DEL EQUIPO
Líder. Isamar González
Secretario. Ruth Beltrán Cruz
Secretario Del Secretario. Luis Alberto Molina Gasca
Tesorero: Rigoberto Hernández Gramillo
Ayudante del tesorero: Jorge Alberto Cruz Ramos
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