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EL PAPEL DE LAS APLICACIONES EN EL PROCESO DE
ENSEÑANZA - APRENDIZAJE DEL ÁLGEBRA LINEAL
Por: Ana Lucía Hurman
Profesora Asociada de Álgebra Lineal
En las últimas décadas, la comunidad matemática está muy preocupada por los
problemas relativos al proceso enseñanza - aprendizaje del Álgebra Lineal. A partir de
numerosas investigaciones se puede concluir que cualquiera sea la orientación que se dé
a la materia (matricial, axiomática, geométrica, computacional), las dificultades en el
aprendizaje permanecen y debemos aceptar el hecho de que el álgebra lineal es y
seguirá siendo una materia difícil para la mayoría de los estudiantes. Según el Doctor
Jean Luc Dorier se puede hacer una distinción entre dos tipos de fuentes de las
dificultades de los estudiantes: la naturaleza de álgebra lineal en sí misma (las
dificultades conceptuales), y el tipo de pensamiento requerido para la comprensión del
álgebra lineal (las dificultades cognoscitivas), pero estos dos aspectos a menudo son
inseparables.
Nuestra investigación la realizamos con alrededor de 120 alumnos de primer año de la
carrera Licenciatura en Administración en la Facultad de Ciencias Económicas de la
Universidad de Cuyo, durante el segundo semestre del año 2001.
Nuestra hipótesis es que las aplicaciones a problemas concretos de algunos conceptos
de Álgebra Lineal mejoraría el rendimiento de los alumnos.
Para ello diseñamos el curso con una orientación matricial en dos partes, clases teóricas
presentando los temas desde distintos puntos de vista y permitiendo que los estudiantes
expongan el desarrollo de los ejercicios propuestos en la guía de trabajos prácticos y
problemas concretos (fuera del Álgebra Lineal y en su mayoría con temas relacionados a
su carrera) usando multimedia.
Analizamos las dificultades que tuvieron los estudiantes en cada uno de los ejercicios
propuestos en los dos parciales y la evaluación integradora que tomamos durante el
desarrollo del semestre.
También analizamos una encuesta que les presentamos a los alumnos después de rendir
su última evolución escrita, con la finalidad de mejorar nuestra propuesta y tener más
datos acerca de las actividades y cambios de actitudes para con la materia.
Tuvimos un 49,6% de alumnos con promoción directa, 29,1% de alumnos regulares y
sólo un 4,72% de deserción. Todo esto nos llevó a sacar varias conclusiones respecto a
las clases teóricas, las clases de consulta, y pensar nuevamente sobre nota final y
condiciones de promoción, las exposiciones, los ejercicios propuestos en la guía de
trabajos prácticos, los ejercicios propuestos del libro y la bibliografía básica.
Hemos sentido un cambio de actitud para con la materia tanto nuestra, al preocuparnos
de buscar actividades más motivadoras, como de los estudiantes en los que notamos un
mayor compromiso no sólo por la participación más activa que involucra este tipo de
metodología, sino por la satisfacción de una aplicación inmediata de los conceptos
aprendidos.
EL PAPEL DE LAS APLICACIONES EN EL PROCESO DE
ENSEÑANZA - APRENDIZAJE DEL ÁLGEBRA LINEAL
Por: Ana Lucía Hurman
Profesora Asociada de Álgebra Lineal
1. INTRODUCCIÓN
En estos últimos años varios grupos de investigadores están trabajando sobre la
didáctica del álgebra lineal.
Entre ellos un grupo francés integrado por Jean Luc Dorier, Aline Robert, Jacqueline
Robinet, Marc Rogalski, Michele Artigue, Marlene Alves Dias, Ghislaine Chartier, un
grupo canadiense con Anna Sierpinska y Joel Hillel, y en EEUU Guershon Harel, Ed
Dubinsky.
v Dorier afirma que se puede hacer una distinción entre dos tipos de fuentes de las
dificultades de los estudiantes: la naturaleza de álgebra lineal en si misma
(dificultades conceptuales), y el tipo de pensamiento requerido para la
comprensión del álgebra lineal (dificultades cognoscitivas). En su investigación
muestra la necesidad de los estudiantes de involucrarse a lo largo de su trabajo
matemático en un análisis reflexivo de los objetos, para entender los aspectos
unificadores y generalizadores de los conceptos de álgebra lineal.
Dificultades conceptuales
Dentro de esta categoría consideramos el despliegue de lenguajes y registros que
usamos:
a) Lenguaje formal ( Dorier 1987)
b) Lenguaje algebraico, geométrico, abstracto ( Hillel 2000)
c) Registro gráfico, tabular, simbólico. ( Pavlopoulou 1993)
Dificultades cognoscitivas
En esta categoría tendremos en cuenta los trabajos sobre:
a) La flexibilidad cognoscitiva (Alves-Dias 1998)
b) El nivel trans- objeto de pensamiento ( Sierpinska)
c) El pensamiento teórico y práctico (Sierpinska)
La Naturaleza del Álgebra Lineal: dificultades conceptuales.
v El “lenguaje formal”: Las dificultades de los estudiantes con el aspecto formal de
la teoría de los espacios vectoriales no es sólo un problema general con el
formalismo sino principalmente una dificultad de entender el uso específico del
formalismo dentro de esta teoría y la interpretación de los conceptos formales en
relación con los contextos más intuitivos como el geométrico o sistemas de
ecuaciones lineales en que ellos surgieron históricamente. Varios estudios de
diagnóstico dirigidos por Dorier, Robert, Robinet y Rogalski entre 1987 y 1994
apuntaron a un solo obstáculo macizo que aparece en todas las sucesivas
generaciones de estudiantes y para casi todos los modos de enseñar, a saber, lo
que los de autores de la tesis llamaron el obstáculo del formalismo .
v Hillel (2000) distinguió tres lenguajes básicos usados en el álgebra lineal:
El “lenguaje abstracto” el idioma de la teoría general abstracta incluye el espacio
vectorial, dimensión, las transformaciones lineales de espacios vectoriales, la teoría
general del valor propio, etc.
El “lenguaje algebraico” el idioma de la teoría de Rn, incluye las n-uplas, matrices,
rango, la solución de sistemas de ecuaciones lineales, etc.
El “lenguaje geométrico” el idioma de los espacios de dos y tres dimensiones que
incluyen los segmentos de línea dirigidos, los puntos, las rectas, los planos, las
transformaciones de figuras geométricas.
El mostró cómo el engañoso idioma geométrico puede ser tomado por los
estudiantes demasiado literalmente. Además Hillel (2000) aboga, dejar de enseñar la
teoría formal de los espacios vectoriales cuestionando el sentido de introducir esta
teoría en un curso de álgebra lineal para estudiante subgraduados, sólo para mostrar
el isomorfismo entre cualquier espacio vectorial n-dimensional y el espacio Rn, y
entonces trabajar con espacios de dimensión finita la mayoría del tiempo. Desde un
punto de vista didáctico, el problema es que cualquier problema lineal dentro del
alcance de un estudiante universitario de primer año puede resolverse sin usar la
teoría axiomática. La ganancia por lo que se refiere a la unificación, la generalización
y simplificación traídas por el uso de la teoría formal sólo es visible al experto.
Sin embargo, muchas personas encuentran importante que los estudiantes que empiezan
matemática universitaria y estudios de la ciencia tengan alguna idea sobre las estructuras
algebraicas axiomáticas donde el espacio vectorial es uno de los más fundamentales.
Para alcanzar esta meta, la cuestión del formalismo no puede evitarse. Por consiguiente,
los estudiantes tienen que enfrentarse a un cierto tipo de reflexión en el uso de sus
conocimientos y competencias anteriores en relación con los nuevos conceptos formales.
Esto llevó Dorier, Robert, Robinet y Rogalski para introducir lo que ellos llamaron
actividades “meta lever”. Con la palabra ”meta” ellos se refieren a armar actividades a
través de las cuales se espera una actitud reflexiva en las tareas matemáticas del
estudiante y con “lever” apuntan hacia algo que tiene que ser usado en el momento
correcto en el lugar correcto para ayudar al estudiante a entrar en esta actitud reflexiva
mientras va realizando una tarea matemática que se ha preparado cuidadosamente.
v Kallia Pavlopoulou y Hillel muestran la importancia, en el entendimiento del
álgebra lineal, de las habilidades de traducir de un registro o lenguaje a otro. En
su trabajo, Pavlopoulou aplicó y probó la teoría de Duval en el contexto del
álgebra lineal. Ella distinguió entre tres registros de representación semióticos de
vectores:
registro gráfico (las flechas),
registro por tabla (las columnas de coordenadas), y
registro simbólico (la teoría axiomática de los espacios vectoriales).
Identificó varios errores de los estudiantes que podrían interpretarse como una
confusión entre un objeto y su representación (sobre todo un vector y su
representación geométrica) o como una dificultad de conversión de un registro a
otro.
Duval (1995) definió las representaciones semióticas como producciones hechas por el
uso de signos que pertenecen a un sistema de representación que tiene sus propias
restricciones de significado y funcionamiento. Las representaciones semióticas, según él,
son completamente necesarias en la actividad matemática, porque sus objetos no
pueden percibirse directamente y deben, por consiguiente, ser representadas. Es más,
las representaciones
semióticas no sólo son un medio de externalizar las
representaciones mentales para comunicar, sino que ellos también son esenciales para la
actividad cognoscitiva de pensar. De hecho, ellos juegan un papel en las
representaciones mentales en vías de desarrollo, logrando las funciones cognoscitivas
diferentes (la objetificación, el cálculo, etc.), así como en producir conocimiento. Duval
enfatizó la distinción entre semiosis o la comprensión o producción de una
representación por signos, de noesis o la comprensión conceptual de un objeto, mientras
afirma que los dos actos no pueden separarse en los procesos cognoscitivos verdaderos.
En la actividad cognoscitiva unida a la semiosis, él distinguió tres tipos de actividades: la
formación de una representación que puede identificarse como perteneciente a un
registro dado; el proceso y transformación de una representación dentro del registro
donde fue creado; y finalmente la conversión, es decir, la transformación de una
representación semiótica de un registro a otro. Él enfatizó la importancia de la tercera
actividad describiéndola como un pasaje necesario para coordinar los registros ligados al
mismo concepto y afirmó que, mientras las dos primeras actividades parecen ser tenidas
en cuenta en la enseñanza de la matemática, el tercero normalmente se ignora.
Las características del pensamiento requerido: dificultades cognoscitvas.
v Marlene Alves Dias probó que esta flexibilidad de cambios de registros no es
suficiente, es necesario un control sobre un nivel más conceptual. Ella mostró que
en los libros de texto y en las clases, en general, las tareas ofrecidas a los
estudiantes están muy limitadas en términos de flexibilidad. Sobre un nivel más
general, un buen entendimiento de álgebra lineal requiere una cantidad justa de
“flexibilidad cognitiva” entre varios lenguajes (el lenguaje de la teoría de matrices y
el lenguaje de la teoría de los espacios vectoriales), y los registros semióticos.
Veamos algunos ejemplos donde se articulan puntos de vista cartesianos y
paramétricos:
Representación intrínseca-explícita paramétrica
H = gen {a, b} = {v / v = k1 a + k2 b, con k1, k2 ∈ R }
Representación ecuación-implícita paramétrica
H = gen {(1,-2, 1, 0), (1, -3, 3, 1)}
= {(x, y, z, t) ∈ R4 / x = α+ ß, y = -2 α - 3 ß, t = ß, con α, ß ∈ R}
Representación intrínseca cartesiana
H = {v / T (v) = 0}, siendo T una transformación lineal.
Representación explícita cartesiana
H = { (x, y, z) / z = 0 }
Representación de tabla implícita paramétrica
H = { (s, t, 0), con s, t en R}
v El nivel trans-objeto de pensamiento. Hillel y Sierpinska (1994), enfatizaron que un
curso de álgebra lineal que es más teórico que computacional requiere de un nivel
de pensamiento que esta basado en lo que ha sido llamado por Piaget y García
como el “nivel trans-objeto de análisis” que consiste en construir estructuras
conceptuales de lo que, en niveles anteriores, eran objetos individuales, las
acciones sobre estos objetos, y transformaciones de ambos (los objetos y las
acciones). Una afirmación similar hizo Harel (2000), en sus aserciones que un
sustancial rango de procesos mentales debe encapsularse en objetos
conceptuales cuando los estudiantes consiguen estudiar el álgebra lineal. En
particular, las funciones no deben ser sólo reglas para producir números de otros
números sino objetos en si mismos, que pueden sumarse, pueden multiplicarse
por escalares, y pueden combinarse.
La dificultad de pensar al nivel trans-objeto lleva a algunos estudiantes a desarrollar
“mecanismos de defensa” (a ‘'sobrevivir” el curso), que consiste en intentar producir un
discurso formalmente escrito similar al del libro de texto o de la clase pero sin asir el
significado de los símbolos y la terminología.
Esto aparecía como un problema mayor para Sierpinska, Dreyfus e Hillel (1999), y el
equipo comenzó diseñando una entrada en álgebra lineal que haría este comportamiento
o actitud menos probablemente de aparecer en los estudiantes. Las situaciones de
enseñanza-aprendizaje diseñadas estaban fijas en un ambiente dinámico geométrico
(Cabri-geometría II) se extendió por varias macro-construcciones para los propósitos de
representación de un espacio vectorial bidimensional y sus transformaciones. Resultó
que, mientras, de hecho, en este ambiente, la mayoría de los estudiantes estaba
aprendiendo los conceptos de álgebra lineales “con comprensión” y la producción de
discursos formales sin sentido era raro (pero no se eliminó completamente), esta
comprensión estaba demasiado a menudo enrarecido con los significados intentados por
la teoría. El fenómeno fue culpado, en parte, al ambiente Cabri cuyas representaciones
gráficas muy concretas y representaciones dinámicas les pueden haber influenciado en el
pensamiento de los estudiantes. Pero la persistencia de algunos “conceptos erróneos” se
igualan con el ambiente más variado en un curso experimental sugiere que el ambiente
de la geometría dinámico no puede llevar toda la responsabilidad del fenómeno.
v Sierpinska, a partir de una serie de experiencias de proyectos de enseñanza,
sugiere que la tendencia de los estudiantes es a tener en cuenta su pensamiento
práctico (caracterizado por intuiciones que dependen de un contexto), más que el
pensamiento teórico en álgebra lineal y ésta es una de las razones de muchas de
las dificultades, especialmente con los aspectos estructurales de la teoría. La
distinción entre estas dos maneras de pensar esta inspirada por la noción del
científico Vygotski, como opuesto a los conceptos espontáneos o cotidianos.
El pensamiento teórico es una actividad mental especializada en sí mismo.
El pensamiento práctico es una actividad auxiliar que acompaña y guía otras actividades.
El pensamiento teórico se expresa a si misma en la palabra escrito o textos; el
pensamiento práctico se expresa a si misma en la acción directa en el ambiente.
La dificultad de pensar a nivel trans-objeto lleva a algunos estudiantes a desarrollar
‘mecanismos de defensa' (a ‘'sobrevivir” el curso), que consiste en intentar producir un
discurso formalmente escrito similar al del libro de texto o a la clase pero sin tener el
significado de los símbolos y la terminología. Esto aparecía como un problema mayor
para Sierpinska, Dreyfus e Hillel, y el equipo comenzó diseñando una entrada en álgebra
lineal que haría que esta actitud fuera menos probable de aparecer en los estudiantes
(Sierpinska, Dreyfus e Hillel, 1999). Las situaciones de enseñanza-aprendizaje diseñadas
estaban dentro de un ambiente dinámico geométrico (Cabri-geometría II) y se extendió
por varias macro-construcciones con el propósito de representar un espacio vectorial
bidimensional y sus transformaciones (Sierpinska, Trgalova, Dreyfus e Hillel 1999;
Sierpinska, 2000). Resultó que, mientras, de hecho, en este ambiente, la mayoría de los
estudiantes estaban aprendiendo los conceptos de álgebra lineal “con comprensión” y la
producción de respuestas formales sin sentido era raro (pero no se eliminó
completamente), esta comprensión estaba demasiado a menudo enrarecido con los
significados intentados por la teoría. El fenómeno fue culpado, en parte, al ambiente
Cabri cuyas representaciones gráficas muy concretas y dinámicas les pueden haber
influenciado en el pensamiento de los estudiantes. Pero la persistencia de algunos
“conceptos erróneos” se igualan con los ambientes más variados y esto sugiere que el
ambiente de la geometría dinámico no puede llevarse toda la responsabilidad del
fenómeno.
Proceso de Enseñanza
Por otra parte dentro del proceso de enseñanza, nos referimos a la investigación de Harel
v Harel postula tres “principios” para la enseñanza de álgebra lineal, inspirado por la
teoría psicológica de Piaget del desarrollo conceptual: el Principio de
Concretización, el Principio de Necesidad y el Principio de Generalizabilidad. El
sugiere una progresiva aproximación al álgebra lineal de acuerdo a estos tres
principios pedagógicos.
Principio de Concretización Los conceptos a ser modelados en términos del álgebra lineal
deberían adquirir un estatus de entidad conceptual para los estudiantes.
Principio de Necesidad -“Para que los estudiantes aprendan, ellos deben ver una
necesidad (intelectual, como opuesto a social o económico) por lo cual piensan que son
enseñados” - está basado en la asunción Piagetiana (que también se ha adoptado por la
Teoría de Situaciones Didácticas elaborada por Brousseau (1997)) de que ese
conocimiento es desarrollado como una solución a un problema. Aprender supone no
como el resultado logrado de una transmisión de información de maestro a los
estudiantes. Aprender se entiende más en el sentido de la elaboración de situaciones en
un entorno, y maneras en vías de desarrollo de cubrir con ellos.
El último Principio de Generalizabilidad postulado por Harel se preocupa más por las
decisiones didácticas con respecto a la elección del material a enseñar que con el
proceso de aprendizaje en si mismo. “Cuando la instrucción se preocupa por un modelo
“concreto” que satisface el Principio de Concretización, las actividades dentro de este
modelo deben permitir y animar a la generalización de los conceptos”. Este principio se
violaría si los modelos usados por la concretización sean tan específicos que tengan poco
en común con los conceptos generales a los que ellos fueron apuntados. Por ejemplo, la
noción de dependencia lineal introducido en un contexto geométrico definido a través de
la colinealidad o coplanaridad no es fácilmente generalizable a los espacios vectoriales
abstractos.
v Robert, Robinet y Tenaud (1987) diseñaron y experimentaron con una entrada
geométrica al álgebra lineal. El objetivo era superar el obstáculo del formalismo
dando un significado más ‘'concreto” a los conceptos de álgebra lineal, en
particular, a través de figuras geométricas que podrían usarse como las metáforas
para las situaciones lineales generales en los espacios vectoriales más complejos.
Sin embargo, al igual que en el estudio de Harel, la conexión con la geometría
demostró ser problemática. Primeramente, la geometría se limita por consiguiente
a tres dimensiones algunos conceptos como el rango, por ejemplo, o incluso la
dependencia lineal, tienen un campo bastante limitado de representación en el
contexto geométrico.
v Chartier mostró que el uso de la geometría como una entrada privilegiada al
álgebra lineal debe ser cuidadosamente planeada. En su trabajo, hizo un estudio
epistemológico de la conexión entre la geometría y el álgebra lineal, usando la
evidencia de los textos históricos y modernos. Uno de sus metas principales era
caracterizar lo que significa la intuición geométrica, en la relación con el álgebra
lineal, para varios autores. En la segunda parte de su trabajo, se interesó en el
aspecto didáctico de la cuestión. Analizó varios libros de texto de diferentes
países y períodos diferentes y diseñó encuestas para profesores y estudiantes en
varios niveles de la universidad. Encontró que la necesidad de la intuición
geométrica es muy a menudo postulada por libros de texto o profesores al
enseñar el álgebra lineal, pero sin embargo, en la realidad, el uso de geometría
era con frecuencia muy superficial.
ANÁLISIS DEL PRIMER PARCIAL
Objetivo del ejercicio 2: Las aplicaciones a situaciones concretas, tienen el beneficio de
ver al álgebra en acción, pero también presentan serias dificultades.
o
La primera involucra el pasaje del lenguaje natural al simbólico al desear convertirlo
en un modelo matemático. Nosotras tratamos de evitar este paso porque conocemos
la falta de entrenamiento que tienen nuestros alumnos.
o
La segunda dificultad radica en resolverlo, y deseamos saber acerca de la destreza
en el manejo de las herramientas que enseñamos
o
La tercera dificultad aparece al intentar encontrar el significado de la solución
obtenida y es ahí en la interpretación de los resultados donde apuntamos nuestra
atención.
Ejercicio 2: Una empresa de transporte posee tres tipos distintos de camiones A, B y C.
Los camiones están equipados para llevar 2 clases de maquinaria pesada. El número de
máquinas de cada clase que puede transportar cada camión es:
Clase 1
Clase 2
Tipo A
2
0
Tipo B
1
1
Tipo C
1
2
La empresa debe transportar 32 máquinas de la clase 1 y 10 máquinas de la clase 2.
Tipos de errores: Muchos estudiantes no tienen clara la idea de solución de un sistema
a) Escriba el sistema correspondiente si se desea saber el número de camiones de cada
tipo que se requieren para cumplir el pedido, asumiendo que, cada camión debe estar
completamente cargado y el número exacto de máquinas pedidas es el que se debe
despachar.
b) Determine las variables pivotales, libres y el conjunto solución.
Para a) y b) en general no hay errores.
c) ¿Cuáles son las tres soluciones posibles para la empresa de transporte?
Consideran cada componente xi como una solución (6 alumnos)
Toman una sola opción. (3 alumnos)
Toman como respuesta números negativos o fracciones. (2 alumnos)
No intentan (7alumnos)
d) Para nuestro problema en particular, si la operación de cada tipo de camión tiene el
mismo costo para la firma. ¿Cuál es la solución más económica?
No intentan (16 alumnos)
Justifican mal (15 alumnos)
Inciso
Respuestas correctas
Porcentaje/ 42 alumnos
A
42
100%
B
36
86%
C
7
17%
D
9
21%
Objetivo del ejercicio 3: Manejo de las propiedades matriciales
Ejercicio 3: Complete las siguientes afirmaciones para que resulten verdaderas. Muestre
los pasos intermedios para llegar a su resultado final.
Tipos de errores: No tienen en cuenta la característica del los entes con que están
operando, por consiguiente siguen trabajando con matrices como si fuesen números.
Muchos de los errores comunes (fenómenos didácticos) que cometían con los números
son trasladados a matrices.
El hecho de la no conmutatividad del producto de matrices sigue siendo meramente
declarativo, pues no es considerada al realizar operaciones matriciales.
No tienen en cuenta la característica del los entes con que están operando, esta vez, por
consiguiente siguen trabajando con determinantes como si fuesen matrices.
a) Si A es inversible y además A.X = B, entonces X = ......
Pre y postmultiplicación en cualquier lugar no teniendo en cuenta la no
conmutatividad de matrices.
b) Si A y B son matrices cuadradas, entonces (A. B)2 = .....
Aparece lo que en didáctica llamamos fenómenos didácticos
( A B )2 = A2 B2 (14 alumnos)
( A B )2 = B2 A2 ( 5 alumnos)
( A B )2 = A2 + A B + B A + B2 ( 4 alumnos)
c) Si P es inversible y además P-1 A .P = B, entonces A = .....
Olvidan la no conmutatividad (5 alumnos)
Dividen matrices (2 alumnos)
Pre y postmultiplican donde les parece conveniente. (4 alumnos)
d) Si A de 6x 6 es inversible y simétrica, entonces det ( AT A-1 + I )
Suponen que det ( AT A-1 + I ) = det ( AT A-1 ) + det ( I ) (3 alumnos)
Mezclan conceptos de matrices y determinantes (9 alumnos)
Inciso
Rtas. Correctas
Porcentaje
a
38
90%
B
9
21%
c
20
48%
d
24
57%
ANÁLISIS DEL SEGUNDO PARCIAL
Objetivo del ejercicio 1: Elegimos los vectores para que el trabajo fuese intuitivo y no
caer en los mecanismos calculatorios. También nos interesaron los cambios de registros,
y conversiones entre ellos.
Ejercicio 1: Dados los vectores a = (3, 0, 0), b = (0, 2, 0), c = (0, 0, 4), d = (9, 2, 8), e =
(0,10, 0) de R3, completar a modo de obtener proposiciones verdaderas:
Tipos de errores:
a) El ángulo formado por los vectores c y d es ........ (No hay).
b) Un vector perpendicular al vector c es ......... (No hay)
c) La ecuación de la recta que pasa por d y dirección e es .............
En este inciso se pide el pasaje de una representación implícita de la recta a una
explícita paramétrica de ella. Nos encontramos con siete alumnos que escriben
las expresiones en su forma paramétrica sin ser igualadas a ninguna otra
expresión.
d) La ecuación del plano que pasa por a y tiene por vector normal a d es
Aquí estamos frente a una conversión entre una representación implícita del plano
y su forma cartesiana explícita. Vemos que hay 4 expresiones en su forma
cartesiana sin ser igualadas a ningún otro vector y 5 ecuaciones en su forma
cartesiana igualadas a cero (aunque el plano no pase por el origen).
e) El espacio generado por {a, b, e} es H = { ....
Se debe cambiar de una representación implícita del plano a una explícita
paramétrica. Tenemos 5 respuestas donde H tiene sólo un vector v = a + b + c ó
bien plantean un sistema ecuaciones lineales buscan las incógnitas x, y, z, en vez
de buscar condiciones para pertenecer al subespacio.
f) El vector (...,.....,..... ) pertenece al espacio H anterior.
No tienen en cuenta el subespacio encontrado en el inciso anterior
g) Geométricamente H representa .........................
Entramos en un registro geométrico, el 10% de los alumnos no puede responder.
h) El conjunto { a, b, …..} es LI (No hay)
i)
El conjunto { b, c,.......} es LD. (Resulta más difícil que el ítem anterior).
j)
El vector d es una combinación lineal de a, b y c pues d =..a +…b +…c
Muchos alumnos no responden a simple vista, necesitan de los mecanismos y
resuelven el sistema de ecuaciones.
Inciso
1
Correctas 29
Sobre 38 76%
2
35
83%
3
21
55%
4
17
45%
5
23
60%
6
27
71%
7
28
74%
8
38
100%
9
34
89%
10
36
95%
Objetivo ejercicio 2: Aquí uno de los primeros problemas que enfrentamos es la
mecanización de los estudiantes, para evitarlo pensamos en dos incisos que no
cumplieran las condiciones de subespacio para obligarlos a tener en cuenta la naturaleza
de los elementos de los conjuntos propuestos y hallar los contraejemplos adecuados.
Ejercicio 2: Determine si los siguientes conjuntos son o no subespacios de los espacios
vectoriales indicados.
Tipos de errores: No identifican los elementos con que trabajan.
a) H1 = { Q Î M 2x2 / Q no es inversible}
No intentan un contraejemplo, traducen la no invertibilidad como det (Q) = 0, e
intentan probar aplicando mal las propiedades de los determinantes.
b) H2 = { x Î Rn / A x = 0} donde A es una matriz fija de orden m x n
Este ítem pocos alumnos intentaron hacerlo pero todos fallaron. Pensamos que el
enunciado es claro, pero en realidad los alumnos necesitan numerosos procesos
mentales para ubicarse: deben visualizar la matriz A fija, los vectores columna x, la
combinación lineal de las columnas de A o bien deben visualizarlo como el conjunto
solución de un SELH.
Al no tener claro cuáles eran los elementos de H, presentaron respuestas forzadas,
por ejemplo dos alumnos decidieron que A era la matriz nula y 11 decidieron que A
pertenecía a H2.
c) H3 = {(x, y, z) Î R3 / x .y. z = 0}
No buscan contraejemplos, es decir no reconocen los vectores que están en H.
Inciso
Correctas
Porcentaje sobre 38
A
17
45%
B
0
0%
C
14
37%
Objetivo ejercicio 3: Deseamos destacar la diferencia entre “cuál” es la solución del
sistema y “cuándo” el sistema tiene solución, a través de este problema que inventamos.
Ejercicio 3: Una compañía de alimentos elabora tres tipos de alimentos dados en la
siguiente tabla. Puede hacer un cuarto alimento mezclando los tres primeros, por lo tanto,
las posibles combinaciones para este último serán viables si pertenecen al espacio
generado por los otros tres.
Vitamina A
Vitamina C
Vitamina D
Alimento1
1
1
2
Alimento 2
1
0
1
Alimento 3
2
1
3
Alimento 4
A
B
C
Tipos de errores
1) El espacio generado por los vectores de alimentos 1, 2 y 3 está constituido por los
vectores (a, b, c) que cumplen la condición………...
Queremos que busquen una representación implícita paramétrica del espacio. Pero 6
alumnos siguen buscando el valor de las incógnitas x, y, z (siguen respondiendo a
cuál es la solución)
2) Según lo anterior, ¿puede la compañía elaborar el cuarto alimento con 2 unidades de
vitamina A, 3 de vitamina C y 7 de vitamina D?.
Sólo 10 alumnos responden teniendo en cuenta la condición anterior, otros siguen
aplicando mecanismos al resolver nuevamente el sistema.
3) Si la compañía decide elaborar el cuarto alimento con 9 unidades de vitamina A, 4 de
vitamina C y 13 de vitamina D. ¿Cuántas unidades de cada alimento se necesitan
para el nuevo alimento?
Deseamos que encuentren la solución del sistema, pero algunos alumnos sólo
plantean la combinación lineal y no resuelven el sistema.
Inciso
Correctas
Porcentaje sobre 38
1
25
66%
2
28
74%
3
22
58%
Objetivo ejercicio 5: Este tipo de ejercicios apuntan al formalismo de las definiciones e
interrelación de los conceptos del álgebra lineal.
Ejercicio 5: Complete las siguientes proposiciones para que resulten verdaderas.
Suponga que v1, v2, v3, v4 son vectores en R3
Tipos de errores: Este es un claro ejemplo de lo que Dorier denomina obstáculo del
formalismo
a) Estos 4 vectores son dependientes porque el sistema que se forma A x = 0 tiene
…….ecuaciones, …… incógnitas y por lo tanto ………….
Afirman que el sistema tiene 3 ecuaciones, 4 incógnitas y por lo tanto tiene infinitas
soluciones o al menos 1 variable libre pero no pueden ligar las ideas con la
dependencia lineal.
b) Los vectores v 1 y v 2 serían linealmente dependientes si….
No hay
c) El vector v 1 y ( 0, 0, 0) son linealmente dependientes porque la combinación lineal
Para los estudiantes si aparece el vector nulo debe ser LD, no importa o no saben la
razón.
d) No puedo asegurar que v2, v3, v4 formen una base de R3 porque para serlo se debe
verificar….
No hay
Inciso
Correctas
Porcentaje
a
21
55%
B
31
81%
C
22
58%
d
34
89%
ANÁLISIS DEL EXAMEN INTEGRADOR
Objetivo ejercicio 3: Apliquen las condiciones para determinar si es una transformación
lineal sin alejarnos de la operatoria matricial.
Ejercicio 3: Dadas las siguientes funciones, indicar si son o no transformaciones lineales.
Tipos de errores: Aquí aparece una doble dificultad, por un lado las reglas algebraicas y
por otro la aplicación de las leyes de definición de las funciones.
1) F1: Mnxn -> Mnxn tal que F1 (X) = XT . X
Las condiciones para las transformaciones lineales las conocen, pero no interpretan la
ley de la función.
2) F2: Mnxn -> Mnxn tal que F2 (X) = P X . P-1
Igual que en el ítem anterior pero agravado con las leyes matriciales
Inciso
Correctas
Porcentaje
1
29
80%
2
18
50%
ANALISIS DE LA ENCUESTA (sobre 112 alumnos)
1. ¿Qué porcentaje de los ejercicios propuestos del libro desarrolló?
0% a 30%
31% a 60%
61% a 90%
91% a 100%
19 alumnos (17%)
28 alumnos (25%)
34 alumnos (30%)
31 alumnos (28%)
2. ¿Qué porcentaje de los ejercicios propuestos en la Guía desarrolló?
0% a 30%
31% a 60%
61% a 90%
91% a 100%
15 alumnos (13%)
18 alumnos (16%)
20 alumnos (18%)
59 alumnos (57%)
3. ¿Analizó los problemas concretos propuestos?
Todos
Algunos
30%
70%
Sí
No
A veces
21%
23%
54%
4. ¿Estudió solo?
5. ¿Los problemas concretos propuestos le ayudaron a comprender algunos conceptos
algebraicos?
Sí
No
A veces
52%
7%
41%
6. ¿Le ayudó en su aprendizaje de la materia tener que realizar una exposición?
Sí
No
No sabe
86%
6%
8%
7. ¿Se vio obligado a estudiar algunos temas anteriores para la exposición?
Sí
No
A veces
78%
19%
3%
8. ¿Le sirvió escuchar las exposiciones de los otros grupos?
Sí
No
Algunas
55%
18%
27%
9. ¿Le parece útil el desarrollo de problemas concretos durante el cursado?
Sí
No
A veces
91%
6%
3%
10. ¿La relación profesor - alumno se ve fortalecida por las exposiciones?
Sí
No
A veces
86%
13%
1%
11. ¿Sintió compromiso de los alumnos con la materia? (Nivel de exigencia)
Mucho
Poco
Nada
90%
9%
1%
12. ¿Sintió compromiso de las profesoras con los alumnos?
Fuerte
Débil
No sabe
81%
5%
10%
13. ¿Sintió que esta materia ha producido un cambio en su forma de estudio? (formas de
pensar lógicamente, hábitos de análisis, asociación)
Sí
No
Tal vez
73%
25%
2%
CONCLUSIONES
A partir de las actividades a lo largo del semestre, consideramos que hemos logrado gran
parte de los objetivos propuestos, lo que se refleja por los resultados numéricos y las
encuestas y es por eso que consideramos que ha sido una excelente experiencia.
v Respecto a las clases teóricas
El álgebra lineal es, usando una expresión de Dorier, un ‘'compuesto explosivo” de
lenguajes y sistemas de representación. Tenemos el lenguaje “geométrico” al trabajar en
espacios de dos y tres dimensiones que incluyen puntos, rectas, planos,
transformaciones geométricas, el lenguaje “algebraico” al referirnos a la teoría de Rn con
n-uplas, solución de sistemas de ecuaciones lineales, matrices, rango, el lenguaje
“abstracto” de espacios vectoriales, subespacios, espacio generado, dimensión,
transformaciones lineales. También hay registros ‘' gráficos”, ‘'tabulares” y “simbólicos” de
los lenguajes del álgebra lineal. Y no nos olvidemos de las representaciones cartesianas
y paramétricas de subespacios.
Intentamos movernos constantemente entre estos lenguajes, registros y modos de
representación, pero nos dimos cuenta que tiempo necesario para madurar las
conversiones en nuestros estudiantes era bastante dispar y sólo después del segundo
parcial vimos una mejoría en la mayoría de ellos.
Sobre un nivel más general, una comprensión del álgebra lineal requiere una cantidad
justa de “flexibilidad cognoscitiva” al moverse entre varios lenguajes, (por ejemplo el
lenguaje de la teoría de matrices y el lenguaje de los sistemas de ecuaciones lineales),
puntos de vista (cartesiano y paramétrico) y registros semióticos. A pesar de nuestros
esfuerzos no logramos erradicar esta confusión de lenguaje en su totalidad.
Nuestro propósito era dar un curso de álgebra lineal con orientación matricial.
Igualmente resultó cognoscitivamente exigente; pues los estudiantes tomaron su tiempo
para empezar a ver vectores y matrices como objetos, o entidades conceptuales en si
mismos.
Apuntamos nuestras clases ayudándonos con las interpretaciones geométricas para
entender los conceptos más abstractos y construir los conceptos algebraicos como una
generalización de la geometría. Pero no fue nada fácil buscar dependencia e
independencia lineal de polinomios de grado menor o igual que n o matrices.
La relación entre el álgebra lineal y la geometría es, según Dorier, el camino menos
natural que puede aparecer desde el punto de vista epistemológico. En algunos casos, la
geometría puede actuar como un obstáculo para el entendimiento de los estudiantes.
Vemos que las 50 horas semestrales que tenemos, es un factor en contra del
aprendizaje de álgebra lineal porque es un proceso largo que requiere una maduración
de pensamiento y una evolución de los puntos de vista.
v Respecto a las clases de consulta
Por la metodología empleada las horas de consulta jugaron un papel muy importante ya
que los alumnos se vieron obligados a usarlas para cumplir con los requerimientos de la
materia, y nos sirvieron a nosotras para medir el grado de compromiso de los alumnos
por la cantidad de alumnos que asistían a ellas.
AJUSTES
Dentro de los ajustes que deberíamos implementar el próximo año, es considerar
nuevamente algunos temas específicos, entre ellos lo concerniente a:
•
Acerca de las exposiciones
Es necesario hacer una amplia reflexión acerca de si las exposiciones deben
considerarse como situaciones didácticas o adidácticas.
Si por una parte las exposiciones revisadas por el profesor son provechosas por su
claridad, no podemos dejar de lado el valor del error.
Es justamente a partir de los errores que se cometen en las exposiciones, lo que nos
permite saber el tipo de dudas y confusiones que aparecen en determinados temas. Este
intercambio de preguntas hace que una serie de detalles aparezcan para lograr una
buena aprehension de los conceptos.
•
Respecto de un cursillo de lógica
Pensamos que sería conveniente darles a los estudiantes un pequeño curso de lógica y
teoría de conjunto antes del cursado. Sin embargo esto solucionaría una pequeña parte
del problema del formalismo del álgebra lineal, el otro gran problema que permanece a
pesar de la lógica es la interpretación de los conceptos formales.
•
Sobre los ejercicios propuestos en la guía de trabajos prácticos
Es importante que los alumnos hayan resuelto los ejercicios antes de las exposiciones de
los grupos para que resulte provechoso para todos los alumnos dichas exposiciones y
discusiones que puedan surgir.
•
Respecto a los ejercicios propuestos del libro
Si bien están bajo la responsabilidad de los alumnos, es necesario buscar alguna forma
para que resulten también obligatorios. Quizás hacer algún control de resultados podría
ser la forma de resolver este problema, pero esto disminuiría el tiempo de desarrollo para
los nuevos temas.
•
Relación cantidad ejercicios resueltos con rendimiento
A partir de las encuestas se ve rápidamente que el rendimiento de aquellos alumnos que
hicieron la mayor parte de los ejercicios propuestos, ha sido mejor. Por lo tanto es muy
importante lograr que los alumnos realicen la mayor parte de los ejercicios propuestos.
Nos queda entonces pensar cómo lograr este hábito en nuestros estudiantes.
•
Acerca de la nueva Guía de Trabajos Prácticos ( 2002 )
Creo conveniente seguir basándonos en los ejercicios propuestos en el libro “Álgebra
Lineal y sus aplicaciones” David Lay - Editorial Pearson – 1999.
•
Respecto de la bibliografía básica
Aunque el texto GROSSMAN, S. Álgebra Lineal y sus aplicaciones, Fondo Educativo
Interamericano, 1994, no se adapta en su totalidad al enfoque de nuestra materia.
Analizaremos nuevos textos que aparezcan en el mercado pues necesitamos un
suministro de buenos ejemplos, preguntas, ejercicios, y problemas.
REFERENCIAS
Dorier,JL Sierpinska A (2001) Research into the teaching and learning of linear Algebra.
Dorier, J.-L. (1998). The Role of Formalism in the Teaching of the Theory of Vector
Spaces. Linear Algebra and its Applications..
Dorier, J.-L. (Ed.) (2000). On the Teaching of Linear Algebra.
Publishers.
Kluwer Academic
Dorier J.-L., Robert A., Robinet J. and Rogalski M. (2000). On a Research Program about
the Teaching and Learning of Linear Algebra in First Year of French Science
University. International Journal of Mathematical Education in Sciences and
Technology .
Harel, G. (2000). Principles of Learning and Teaching Mathematics, With Particular
Reference to the Learning and Teaching of Linear Algebra: Old and New Observations.
In J-L. Dorier (Ed.), On the Teaching of Linear Algebra . Kluwer Academic Publishers.
Hillel, J. (2000). Modes of Description and the Problem of Representation in Linear
Algebra. In J-L Dorier (Ed.), On the Teaching of Linear Algebra .: Kluwer Academic
Publishers.
Sierpinska, A. (2000). On Some Aspects of Students’ Thinking in Linear Algebra. In J-L.
Dorier (Ed.), On the Teaching of Linear Algebra . Kluwer Academic Publishers.
Alves Dias, M. y Artigue, M. (1995). Articulation Problems Between Different Systems of
Symbolic Representations in Linear Algebra. In The Proceedings of PME19, Volume 2,
pp. 34-41 Universidad Federal de Pernambuco, Recife, Brazil.
Guzmán, Ismenia (2000) Apuntes de clase del Magister en Enseñanza de las Ciencias
Mención Didáctica de la Matemática.