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Raíces de polinomios
En ésta página podrás conocer las herramientas necesarias para poder encontrar las raíces de
polinomios de una variable con coeficientes enteros. Para ello hemos dividido esta página en varias
secciones, estas son:
0 Polinomios ............................................................................................................................................................................... 1
1 Grado de un polinomio ............................................................................................................................................................ 1
2 Raíces de un polinomio ............................................................................................................................................................ 2
3 Teorema fundamental del Álgebra .......................................................................................................................................... 2
4 Factorización de un polinomio ................................................................................................................................................. 3
5 Regla de los signos de Descartes ............................................................................................................................................. 3
6 métodos de cálculo de las raices de un polinomio ................................................................................................................... 4
7 Método para factorizar un polinomio de grado dos ................................................................................................................ 4
8 ¿Qué hacer cuando tengamos una raíz? ................................................................................................................................. 5
0 POLINOMIOS
Un polinomio es una suma de términos llamados monomios.
Un monomio es el producto de un coeficiente (un número real), una variable (casi siempre x o y)
elevada a un exponente (entero positivo).
Existen polinomios con uno, dos o más términos, por ejemplo:
5x 2
a. Monomio (un término):
En este caso el coeficiente es 5, la variable es x el exponente 2
b. Binomio (dos términos):
6 x7 − 2
c. Trinomio (tres términos): 3 x 5 + 4 x 3 − x 2
Nosotros utilizaremos polinomios con coeficientes enteros y potencias enteras positivas.
1
GRADO DE UN POLINOMIO
El grado de un polinomio es igual al exponente mayor de la variable. Por ejemplo:
5x 2
Es un polinomio de grado 2
6 x7 − 2
Es de grado 7
3x5 + 4 x3 − x 2
Es de grado 5
2x 4 − x3 − x 2
¿De qué grado es?
5
2
6 x − 4 x − 19 x
¿De qué grado es?
3x15 + x13 − x 2
¿De qué grado es?
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¿De qué grado es?
Nota cómo se deben escribir los polinomios. Se deben escribir en orden decreciente con respecto al
grado de cada término.
José Francisco Domínguez Partida
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2 RAÍCES DE UN POLINOMIO
La raíz de un polinomio es un número tal que hace que el polinomio valga cero. Es decir que, cuando
resolvamos un polinomio a cero, las soluciones son las raíces del polinomio.
Por ejemplo el polinomio f ( x ) = x 2 + x − 12
Cuando lo igualamos a cero y lo resolvemos tenemos:
x 2 + x − 12 = 0 Igualando a cero
( x + 4 ) ⋅ ( x − 3) = 0 Factorizando
 x = −4
Entonces las raíces son:  1
 x2 = 3
Puesto que x1 = −4 y x2 = 3 son soluciones de f ( x ) entonces f ( −4 ) = 0 y f ( 3) = 0 . Decimos
entonces que x1 = −4 y x2 = 3 son raíces del polinomio f ( x ) = x 2 + x − 12
Las raíces de f ( x ) = x3 − 4 x 2 + x + 6 son x1 = −1 , x2 = 2 y x3 = 3 ¿Por qué?
3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
Carl Friedrch Gauss ha sido uno de los matemáticos más grandes de todos los tiempos. Contribuyó a
muchas ramas de las matemáticas. En 1798, ¡ a los 20 años de edad !, Gauss demostró el teorema
fundamental del Álgebra que dice lo siguiente:
Todo polinomio de grado n tiene n raíces.
Es decir que la ecuación
an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + an −3 x n −3 + ... + a2 x 2 + a1 x1 + a0 = 0
tiene n soluciones. Recordemos que es esta página sólo tendremos polinomios con coeficientes
enteros. Observa la tabla anterior, donde escribimos la función, las raíces y la gráfica y verfica que
efectivamente para cada polinomio de grado n hay n raíces.
Una forma en la que podemos interpretar este teorema es como sigue, ya que se puede factorizar un
polinomio dadas las raíces y hay n raíces para todo polinomio de este grado, entonces:
f ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + an −3 x n −3 + ... + a2 x 2 + a1 x1 + a0 = an ⋅ ( x − r1 ) ⋅ ( x − r2 ) ⋅ ( x − r3 ) ⋅ ... ⋅ ( x − rn )
donde r1, r2, ... , rn son las raíces de f ( x ) .
La demostración de este teorema queda lejos de nuestro objetivo, sin embargo daremos algunas
herramientas para encontrar las n raíces.
José Francisco Domínguez Partida
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4 FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO
El número de factores en que se puede descomponer un polinomio es igual al grado del polinomio
(Teorema fundamental del Álgebra). Para que podamos factorizar un polinomio es necesario
encontrar sus raíces. Cuando ya las tengamos, los factores correspondientes a cada raíz son de la
forma (x-r) donde r es una de las raíces.
Esto es, si r1, r2, ... , rn son raíces del polinomio f ( x ) entonces la factorización de f ( x ) es:
f ( x ) = an ⋅ ( x − r1 ) ⋅ ( x − r2 ) ⋅ ( x − r3 ) ⋅ ... ⋅ ( x − rn )
Por ejemplo, si
f ( x ) = x3 − 4 x 2 + x + 6
1.
como sus raíces son x1 = −1 , x2 = 2 y x3 = 3 entonces f ( x ) se ha factorizado como
f ( x ) = ( x − ( −1) ) ( x − 2 )( x − 3) = ( x + 1)( x − 2 )( x − 3)
2.
f ( x ) = x 2 + x − 12
como sus raíces son x1 = −4 y x2 = 3 entonces f ( x ) se ha factorizado como
f ( x ) = ( x − ( −4 ) ) ( x − 3) = ( x + 4 )( x − 3)
5 REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES
Rene Descartes (el mismo del plano cartesiano) encontró un método para indicar el número de raíces
positivas en un polinomio.
Esta regla dice lo siguiente:
"El número de raíces reales positivas de un polinomio f ( x ) es igual al número de cambios de signo
de término a término de f ( x ) "
Hay que recordar que los polinomios los tenemos que escribir en orden decreciente conforme al
grado de cada término.
Por ejemplo el polinomio
f ( x ) = + x 2 + x − 12 tiene un cambio de signo, del segundo al tercer término, por lo tanto tiene una
raíz positiva.
g ( x ) = + x 3 − 4 x 2 + x + 6 tiene dos cambios de signo, tiene dos raíces positivas
h ( x ) = + x 4 − 5 x 2 + 4 tiene dos raíces positivas
i ( x ) = x 3 + 4 x 2 + 3x No tiene cambios de signo, por lo tanto no tiene raíces reales positivas.
j ( x ) = + x 3 − 2 x 2 − 5 x + 6 ¿Cuántas raíces positivas tiene?
José Francisco Domínguez Partida
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6 MÉTODOS DE CÁLCULO DE LAS RAICES DE UN POLINOMIO
Para calcular las raíces de un polinomio de grado mayor o igual que tres emplearemos el método de
Ruffini. Este método consiste en elegir de entre los posibles valores enteros que pueden ser raíces del
polinomio, y comprobar si lo son. Esos posibles candidatos son los divisores enteros del término
independiente.
Sea el polinomio j ( x ) = + x 3 − 2 x 2 − 5 x + 6 calculamos sus raíces.
Los posibles candidatos son los divisores enteros del término independiente, 6.
Estos son: {+1, −1, +2, −2, +3, −3, +6, −6}
1
-2
1
-5
-1
6
-6
1
-1
-2
-6
6
0
1
-3
3
0
1
0
1
-2
3
Las raíces son x1 = 1 , x2 = −2 y x3 = 3
Así la factorización del polinomio será: j ( x) = ( x − 1) ⋅ ( x − ( −2 ) ) ⋅ ( x − 3) = ( x − 1) ⋅ ( x + 2 ) ⋅ ( x − 3)
7 MÉTODO PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO DE GRADO DOS
Supongamos el polinomio general de grado dos, con coeficiente líder 1. P ( x ) = x 2 + Bx + C . Como es
un polinomio de grado dos tendrá dos raíces p y q. Entonces el polinomio tendrá una descomposición
de la forma:
P ( x) = ( x − p) ⋅( x − q)
Si operamos tenemos que:
P ( x ) = ( x − p ) ⋅ ( x − q ) = x 2 − qx − px + pq = x 2 − ( q + p ) x + pq
Por lo tanto:
C = pq
De esta manera, buscamos dos números (las dos raíces) que multiplicadas
B = − (q + p)
nos da el término independiente, y que sumadas nos da el opuesto del coeficiente de primer grado.
Por ejemplo:
f ( x ) = + x 2 + x − 12
Para calcular las raíces del polinomio de segundo grado
f ( x ) buscamos dos raíces que
multiplicadas nos de −12 y sumadas nos de −1 . Hay dos números que cumplen esas condiciones
r1 = −4 y r2 = −3
José Francisco Domínguez Partida
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8 ¿QUÉ HACER CUANDO TENGAMOS UNA RAÍZ?
Con lo visto en los apartados anteriores tenemos las herramientas necesarias para encontrar las n
raíces de un polinomio. Recordemos que para encontrar una raíz es necesario saber los divisores del
término independiente y evaluar nuestro polinomio en con el valor escogido.
Además de haber encontrado una raíz usando el método anterior hemos hallado un factor de nuestro
f ( x)
polinomio. Podemos estar seguros de que si r es una raíz de f ( x ) entonces al dividir
(x − r)
tendremos como resultado un polinomio de un grado menor a f ( x ) y como residuo cero.
Así hemos reducido nuestro problema de encontrar n raíces en otro problema, el encontrar sólo n − 1
raíces.
9 EJEMPLOS PARA PRACTICAR
Función
Raíces
Factorización Gráfica
f ( x ) = + x 2 + x − 12
g ( x ) = + x3 − 4 x2 + x + 6
h ( x ) = + x4 − 5x2 + 4
i ( x ) = x3 + 4 x 2 + 3x
j ( x ) = + x3 − 2 x2 − 5 x + 6
José Francisco Domínguez Partida
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