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ÁLGEBRA MATRICIAL NUMÉRICA I
CLAVE:
SEMESTRE:
CRÉDITOS:
HORAS POR CLASE
CLASES POR SEMANA
HORAS POR SEMESTRE
5
10
SECTOR:
INTERMEDIO¿?
ÁREA:
MATEMÁTICAS
SERIACIÓN:
ASIGNATURA PRECEDENTE INDICATIVA: Cálculo Diferencial e Integral IV y
Álgebra Lineal II.
ASIGNATURA SUBSECUENTE INDICATIVA: Álgebra Matricial Numérica II
TEÓRICA:
1
PRÁCTICAS:
0
TEÓRICA:
5
PRÁCTICAS:
0
TEÓRICA: 80
PRÁCTICAS:
0
Objetivos generales: Al finalizar el curso el alumno:
• Conocerá los los tópicos centrales del Álgebra Matricial Numérica: Resolución de sistemas
lineales de ecuaciones, problemas de mínimo de cuadrados, de autovalores y de valores
singulares.
• Comprenderá, en el contexto del Álgebra Matricial Numérica, los conceptos de análisis de
error retrospectivo, método numéricamente estable y problema mal-condicionado.
Tema 1. Problemas del Álgebra Lineal, su importancia y dificultades numéricas
5 horas
1.1
Introducción a los problemas fundamentales del Álgebra Lineal y su importancia.
1.2
Dificultades computacionales usando procedimientos teóricos del Álgebra Lineal.
Tema 2. Repaso de algunos conceptos del Álgebra Lineal
2.1
2.2
2.3
Algunas matrices especiales (diagonales, triangulares, ortogonales, unitarias, simétricas,
hermitianas y Hessenberg).
Normas vectoriales y matriciales (normas de inversas, propiedades invariantes de
matrices unitarias y ortogonales).
Descomposición espectral y en valores singulares.
Tema 3. Números de punto flotante y errores de cómputo
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
4.2
10 horas
Sistema de números de punto flotante.
Errores por redondeo.
Leyes de la aritmética de punto flotante.
Breve discusión sobre suma y producto de n números de punto flotante.
Breve discusión sobre el cálculo del producto interior.
Breve discusión sobre cotas de error para operaciones matriciales en punto flotante.
Errores de redondeo por cancelación y cálculo recursivo.
Tema 4. Estabilidad de algoritmos y condicionamiento de problemas
4.1
5 horas
10 horas
Introducción mediante el cálculo de la norma de un vector, el cálculo del producto
interior de dos vectores y la solución de sistemas triangulares.
Eficiencia de un algoritmo.
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
Definición y concepto de estabilidad.
Condicionamiento del problema y su análisis de perturbación.
Solución por radicales.
Condicionamiento del problema, estabilidad del algoritmo y precisión de la solución.
Efecto de perturbaciones en el lado derecho b en el sistema Ax=b.
Algunas propiedades del número de condición de una matriz (ejemplos de matrices mal
condicionadas; número de condición, mal condicionamiento y singularidad numérica de
una matriz; ejemplos de problemas de valor propio mal condicionados).
Algunas sugerencias para el diseño de algoritmos estables.
Tema 5. Eliminación gaussiana y factorización LU
5.1
5.2
Factorización LU usando eliminación Gaussiana (triangulación usando eliminación
gaussiana; matrices elementales de eliminación y sus propiedades; matrices de
permutación y sus propiedades; y eliminación Gaussiana con pivoteo parcial).
Tabla de comparación entre los métodos de eliminación Gaussiana sin pivoteo, con
pivoteo parcial y pivoteo total.
Tema 6. Solución numérica de sistemas lineales
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
5 horas
5 horas
Una selección de las aplicaciones siguientes: problema de circuito eléctrico, análisis de
una planta de procesamiento con reactores interconectados, sistemas lineales que surgen
en ODE's (problema de masa resorte), sistemas lineales que surgen en EDP's (problema
de distribución de temperatura), y aproximación L^2 de una función mediante
polinomios (matrices de Hilbert).
Métodos de factorización LU.
Escalamiento.
Calculo de la inversa de una matriz no singular arbitraria evitando su cálculo explicito.
Cálculo del determinante de una matriz.
Efecto del número de condición en la precisión de la solución calculada (condicionamiento y pivoteo; condicionamiento y escalamiento)
Estimación del número de condición de una matriz.
Tema 7. Factorización QR, Descomposición en valores singulares y Proyecciones.
15 horas
7.1
Matrices de Hausholder y factorización QR (Definición y propiedades básicas).
7.2
Método de Givens para la factorización QR y factorización QR de una matriz de
Hessenberg usando matrices de Givens.
7.3
Métodos de Gram-Schmidt clásico y modificado para la factorización QR.
7.4
Resolución de Ax=b usando la factorización QR.
7.5
Calculo de la Proyección Ortogonal usando factorización QR (bases ortonormales;
proyección de un vector sobre la imagen; y el núcleo de una matriz)
7.6
Valores y vectores singulares (conceptos e interpretación geométrica).
7.7
Calculo de la DVS, SVD en Inglés (MATLAB).
7.8
DVS reducida.
7.9
Sensibilidad numérica para los valores singulares.
7.10 Normas, Numeros de condición y rango a través de la DVS.
7.11
7.12
Bases ortonormales y proyecciones usando la DVS.
Algunas aplicaciones prácticas usando la DVS.
Tema 8. Soluciones mínimo de cuadrados para sistemas lineales
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
5 horas
Interpretación geométrica del problema de mínimo de cuadrados.
Existencia y unicidad (ecuaciones normales, proyecciones y soluciones de mínimo de
cuadrados).
Algunas aplicaciones del problema de mínimos cuadrados (ajuste polinomial a datos
experimentales, predicción de ventas futuras).
Pseudoinversa y el problema de mínimo de cuadrados.
Sensibilidad numérica del problema de mínimo de cuadrados.
Métodos de cálculo para problemas sobredeterminados: Métodos de ecuaciones
normales, QR y DVS.
Tema 9. Problemas del valor propio matricial
20 horas
9.1
Aplicaciones seleccionadas de: Problemas de estabilidad para ecuaciones diferenciales y
en diferencias; fenómeno de resonancia; problema de Bucking (en problemas de
frontera); simulación de corriente transitoria en un circuito eléctrico; y problema de valor
propio en estadística.
9.2
Localización de valores propios (Teorema de Gersgorin; Cotas para valores propios y
normas matriciales).
9.3
Calculo de algunos valores y vectores propios (Método de la potencia, iteración inversa
e iteración cociente de Rayleight).
9.4
Transformaciones y cálculo de valores propios (diagonalización de una matriz;
inestabilidad numérica de una diagonalizacion no ortogonal; reducción a la forma de
Hessenberg mediante semejanza ortogonal; unicidad de la reducción de Hessenberg;
cálculo de los valores propios mediante el polinomio característico).
Sensibilidad numérica del problema del valor propio (Teorema de Bauer-Fike).
Iteración QR básica.
Iteración QR Hessenberg.
Convergencia de las iteraciones QR y QR con recorrimiento.
Iteracion inversa de Hessenberg.
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
Bibliografía básica:
• Biswa N. Datta, Numerical Linear Algebra and Applications, SIAM, 2nd Edition, 2010.
• Gilbert W. Stewart, After notes on Numerical Analysis, SIAM, 1996.
• Gilbert W. Stewart, After notes goes to Graduate School, SIAM, 1998.
Bibliografía complementaria:
• Gilbert W. Stewart, Introduction to Matrix Computations, Academic Press, New York,
1973.
• Higham N.J., Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, SIAM, 2nd Edition, 2002.
• James W. Demmel, Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997.
• Gene H. Golub, Charles Van Loan, Matrix Computations, Johns Hopkins University Press,
3rd Edition, 1996.
• James H. Wilkinson, The Algebraic Eigenvalue problem, Oxford U. Press, 1965.
Sugerencias didácticas:
Se recomiendan tareas regulares en las cuales el alumno aplique el material visto en clase y en
las cuales esté obligado a revisar diversas fuentes bibliográficas para que amplíe sus
conocimientos.
Forma de evaluación:
Se recomiendan de 3 a 4 exámenes parciales y un examen final, así como la realización de
tareas sobre los temas vistos en clase para reforzar los conocimientos teóricos adquiridos.
Perfil profesiográfico:
Egresado preferentemente de la licenciatura en Matemáticas, con experiencia docente en el área
y conocimientos de Álgebra Moderna Básica.