Download El número real - Desigualdades e inecuaciones

Universidad Nacional de Rosario
Facultad de Ciencias Económicas y Estadística
Ejercicios complementarios del libro “ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA PARA CIENCIAS ECONÓMICAS”
Sagristá R.,Koegel L. y otros autores
Capítulo 1:“El número real - Desigualdades e inecuaciones”
1. Resuelve los sistemas de inecuaciones y representa en el eje real dichas soluciones.
 3x + 2 x
 − 2 > 2 − x
a) 

2( x + 1) ≤ 8
3( x − 1)
1 − 3x
 − 2 > −2 x + 2


b)  x + 1 ≤ 3


 x > x − 4 + − x +1
 2
2
3
4 x 2 − 3 ≤ 5 + 2 x 2

c) 
 2x − 6 > 4

2. Encuentra el conjunto solución para cada una de las siguientes inecuaciones. Expresa
dicha solución en forma de intervalo, si es posible y representa en el eje real dichas
soluciones.
2 x − 5 − 3x 2 + 3
−
< −x 2 + 1
5
−3
1
b) 3 − ≥ 2
x
− x −1
c)
≤2
− 3x − 1
a)
3. Dados los siguientes conjuntos:
7+ x 

A = x ∈ R /
< 1
x




3
B =  x ∈ R / 2. x − ≥ 1
2




 x−4
C =  x ∈ R / 3
 ≤ 6
 4 


Encuentra y representa en el eje real el conjunto solución de:
a)
b)
∩
∪
Autoras: Luciana Calderón – Marías de los Ángeles Fernández – Lidia Nieto
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c) C
4. Determina la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones. En caso de ser
verdadero explica la propiedad utilizada y en caso de ser falso, proporciona un
contraejemplo.
1 1
a) 0 < x < 2 ⇒ <
x 2
b)
x2 = x ∀ x ∈ R
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Respuestas a los ejercicios propuestos:
1.
a) S = (− ∞; − 1)
 1 
b)S =  − ; 2
 2 
c)
S= φ
2.
5

a) S =  − ∞; 
2

b) S = (− ∞; 0 ) U [1;+∞ )
1  1


c) S =  − ∞; −  U − ;+∞ 
3  5


3.
a) S = (− ∞; 0 )
b) S = (− ∞; 1] U [2;+∞ )
c) S = [− 4; 12 ]
4.
a) Falso. Considera x=1 0 < 1 < 2 ⇒ 1 >
b) Falso:
1
2
x 2 = x .Considera por ejemplo x= -2
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Ejercicios resueltos.
1. a)
Para poder resolver el siguiente sistema de inecuaciones, debemos resolver cada una de las
desigualdades, llamando S1 y S2 a cada una de las respectivas soluciones. El conjunto solución
del sistema es la intersección de las soluciones S1 y S2.
Resolvemos la primera inecuación
3x + 2 x
x

> − x ⇔ 3 x + 2 < −2 − x  ⇔ 3x + 2 < − x + 2 x ⇔ 3x + 2 < x ⇔
−2
2
2

3x − x < −2 ⇔ 2 x < −2 ⇔ x < −1
Es decir,
S1 = {x ∈ R / x < −1} = (− ∞;−1)
Resolvemos la segunda inecuación
2( x + 1) ≤ 8 ⇔ 2 x + 2 ≤ 8 ⇔ 2 x ≤ 6 ⇔ x ≤ 3
Es decir,
S 2 = {x ∈ R / x < 3} = (− ∞;3)
Luego el conjunto solución del sistema es: S = S1 ∩ S 2 = {x ∈ R / x < −1} = (− ∞;−1)
La representación gráfica en el eje real es:
b)
Para poder resolver el siguiente sistema de inecuaciones, debemos resolver cada una de las
desigualdades, llamando S1 y S2 a cada una de las respectivas soluciones. El conjunto solución
del sistema es la intersección de las soluciones S1 y S2
Resolvemos la primera inecuación
4x 2 − 3 ≤ 5 + 2x 2 ⇔ 4x 2 − 2x 2 ≤ 5 + 3 ⇔ 2x 2 ≤ 8 ⇔ x 2 ≤ 4 ⇔
x2 ≤ 4 ⇔ x ≤ 2 ⇔
−2≤ x ≤ 2
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Es decir, S1 = {x ∈ R / − 2 ≤ x ≤ 2} = [− 2;2]
Resolvemos la segunda inecuación
2 x − 6 > 4 ⇔ 2 x > 4 + 6 ⇔ 2 x > 10 ⇔ x > 5
Es decir, S 2 = {x ∈ R / x > 5} = (5;+∞)
Luego el conjunto solución del sistema es: S = S1 ∩ S 2 = φ
2.
b) Para encontrar el conjunto solución de la siguiente inecuación debemos primero restar 2 a
ambos miembros y luego sacamos común denominador en el primer miembro
1
1
1
x −1
≥ 2 ⇔ 3 − − 2 ≥ 0 ⇔ 1− ≥ 0 ⇔
≥0
x
x
x
x
Al tener una inecuación fraccionaria mayor o igual a cero debemos pedir que el
numerador y denominador tengan el mismo signo o que el numerador sea cero. Así
tendremos dos sistemas de inecuaciones que se autoexcluyen.
 x − 1 ≥ 0 (1)
 x − 1 ≤ 0 (3)
(I) 
ó
(II) 
( 2)
( 4)
x > 0
x < 0
Luego si S es el conjunto de soluciones será la unión de cada una de las soluciones
3−
S = S I ∪ S II y como S I = S1 ∩ S 2 y S II = S 3 ∩ S 4
Se trata entonces de unir las soluciones de los dos sistemas de ecuaciones:
La solución del sistema I es
x ≥1

x > 0
Es decir, S I = {x ∈ R / x ≥ 1} = [1;+∞ )
La solución del sistema II es
x ≤1

x < 0
Es decir S II = {x ∈ R / x < 0} = (− ∞;0)
Luego el conjunto solución es S = S I ∪ S II = (− ∞;0) ∪ [1;+∞ )
La representación gráfica es:
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3.
Para poder realizar las operaciones pedidas debemos encontrar cada uno de los conjuntos A, B y
C
•
7+ x 

A=  x ∈ R /
< 1
x


Resolvemos la inecuación
7+x
7+ x
7+ x−x
7
<1⇔
−1 < 0 ⇔
<0⇔ <0
x
x
x
x
Como el numerador es positivo, la única opción solución posible es:
x<0
Es decir, la solución es S A = {x ∈ R / x < 0} = (− ∞;0)
•
entonces
A = (− ∞;0)


3
B=  x ∈ R / 2 x − ≥ 1
2


Resolvemos la inecuación con valor absoluto:
2x−
3
3 1
aplicando las propiedades del valor absoluto obtenemos
≥1 ⇔ x − ≥
2
2 2
x−
3 1
≥
2 2
ó
x−
x≥
1 3
+
2 2
ó
x≤−
x≥2
ó
3
1
≤−
2
2
1 3
+
2 2
x ≤1
Es decir, S B = (− ∞;1] ∪ [2;+∞)
entonces B = (− ∞;1] ∪ [2;+∞)
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•


 x −4
C=  x ∈ R / 3
 ≤ 6
 4 


Resolvemos la inecuación, aplicando las propiedades del valor absoluto tenemos:
6 x−4 6
x−4
 x −4
 x−4
3
≤ ⇔ −2 ≤
≤ 2 ⇔ −2.4 ≤ x − 4 ≤ 2.4
 ≤ 6 ⇔ −6 ≤ 3
≤6⇔− ≤
3
4
3
4
 4 
 4 
⇔ −8 ≤ x − 4 ≤ 8 ⇔ −8 + 4 ≤ x ≤ 8 + 4 ⇔ −4 ≤ x ≤ 12
Es decir, S C = [− 4;12]
entonces C = [− 4;12]
Buscamos ahora los conjuntos pedidos:
a) A ∩ B = (− ∞;0)
b) A ∪ B = (− ∞;1] ∪ [2;+∞)
c) C = [− 4;12]
4.
a) Es falso. Puedes considerar por ejemplo el caso en que x = 1
0 <1< 2
b) Es falso,
sin embargo
1 1
>
1 2
x2 = x
c) Por ejemplo si consideramos el caso en que x = −2 tenemos
(− 2)2
= 4 = 2 ≠ −2
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