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Historia de las Matemáticas
MCF Germán Martínez Hidalgo
Los fundadores
Los precursores y los continuadores de Newton Leibniz y en especial los predecesores
preparan y allanan el camino que más tarde dará nacimiento al cálculo infinitesimal. Estos
precursores y predecesores habían resuelto y tratado de resolver numerosos problemas
relativos a las tres ramas que luego constituirán la nueva disciplina: cálculo diferencial, cálculo
integral y logaritmos infinitos. Del cálculo diferencial se habían estudiado la determinación de
rectas tangentes, curvaturas y problemas de máximos y mínimos; del cálculo integral se habían
ocupado en la determinación de problemas de áreas y volúmenes, longitudes de arcos y centros
de gravedad y en cuanto a los logaritmos infinitos se habían ocupado de series, de productos
infinitos y de fracciones continuas infinitas. Pero en general faltó en estas ramas una noción
que unificara a todos estos métodos, tal como la proporcionará más adelante la noción del
límite, faltó en todos ellos un carácter riguroso en el sentido lógico con que aparecía en los
métodos antiguos. Esos métodos rigurosos subyacían por decirlo así bajo la mole de casos
particulares resueltos con procedimientos también particulares cuya generalidad no se
demostraba y en los que las consideraciones geométricas estaban constantemente mezcladas
con desarrollos algebraicos. Esta etapa empírica de la evolución del análisis infinitesimal será
superada en parte por la obra de Newton y Leibniz, aunque fue hasta el siglo XIX cuando el
análisis infinitesimal fue estructurado con ese mismo rigor lógico con que los antiguos
edificaron la geometría.
Por eso en el desarrollo de los métodos infinitesimales Newton y Leibniz representan una etapa
sin duda alguna muy importante, de un largo proceso continuo nacido al amparo y con el gran
auxilio de las nuevas concepciones matemáticas surgida recientemente a un con nuevas
orientaciones que se hacen en la actualidad.
La labor matemática de Isaac Newton está íntimamente vinculada con sus investigaciones y con
su filosofita natural; no solo se limita a las cuestiones infinitesimales sino que abarca amplias
zonas del álgebra y geometría. Así en su célebre obra Principia Matematica editada en 1667
dedica un par de secciones del libro primero al estudio de propiedad nuevas de las cónicas en
forma geométrica. En otra obra de 1665-1704 Newton inicia el estudio de las curvas
algebraicas es decir de las curvas cuya ecuación en coordenadas cartesianas es de naturaleza
algebraica, Newton después de demostrar algunas propiedades naturales estudia en forma
particular las cónicas, curvas cuya ecuación es de tercer grado dando soluciones y aplicaciones
de estas ecuaciones; algunas otras obras más bien son tratados de álgebra donde se
generalizan algunas cuestiones algebraicas y donde aparece la teoría general de la ecuación. En
otra obra aparecen los métodos infinitesimales publicados en 1711 en el que se trata sobre
series de nuevos e importantes teoremas, y figura el teorema del binomio para exponentes
enteros y positivos generalizados y a los que históricamente se les llama binomio de Newton y
que es de la siguiente forma:
( x + y)n = x n +
nx n −1 y n(n − 1) x n − 2 y 2 n(n − 1)(n − 2) x n − 3 y 3 n(n − 1)(n − 2)(n − 3) x n − 3 y 3
+
+
+
+ ... + y n
1!
2!
3!
3!
Sin duda alguna la construcción más original y más importante de Newton son los métodos
infinitesimales y en donde está su método de fluxiones, donde el mismo Newton en una carta
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escrita en 1672 dice que: “puede aplicarse no solo al trazado de tangentes a cualquier curva
sea geométrica o mecánica..., sino también para resolver cualquier clase de problemas sobre
curvatura, áreas, longitudes, centros de gravedad, etc.”; y continuación dice que “…ese método
consiste en trabajar con las ecuaciones reduciéndolas en series infinitas”.
Como se ve en esta carta, Newton con notación propia trata los problemas del actual cálculo
infinitesimal. Es un método de naturaleza geométrico-mecánico, pues supone que todas las
magnitudes geométricas son engendradas por movimientos de velocidad diferente, mientras el
tiempo fluye continua y uniformemente, de ahí que el tiempo actúa como telón de fondo y que
no aparezca explícitamente en las velocidades, las magnitudes son las fluxiones. Newton utilizó
una notación que hasta hoy día se utiliza se utiliza en Mecánica analítica que consiste en
colocar puntos arriba de las letras, por ejemplo:
ds
= s& = v
dt
dy
d2y
= y' ;
= y' ' ;
dx 2
dx
d ds
= &s& = a
dt dt
d3y
= y ' ' ' ; .... ;
dx 3
dny
= yn
n
dx
Newton denomina momento, al producto del incremento del tiempo por respectiva fluxión,
luego es fácil advertir que las fluxiones y momentos de Newton no son sino las derivadas y
diferenciales actuales.
Con el método de fluxiones, Newton resuelve una serie de problemas y aplicaciones
geométricas que corresponden a nuestro cálculo diferencial, cálculo integral y a nuestras
ecuaciones diferenciales ordinarias y con derivadas parciales; el signo de integral no es más
que una S antigua que equivale a suma o a la sigma griega mayúscula.
Mientras en Inglaterra, por obra directa de Newton, el análisis infinitesimal logra nuevos
avances y resultados que le confieren unidad, autonomía y un gran desarrollo, en Europa central
por obra de Gottfried Wilhelm Leibniz tal autonomía y unidad se acentuaban. La obra
matemática de Newton fue la de un filósofo natural, la de Leibniz fue la de un filósofo y
algorítmico, la preocupación de éste último por la claridad de conceptos y por el aspecto formal
de la matemática fue la aportación de símbolos nuevos para algoritmo, además de la
contribución de Leibniz al cálculo infinitesimal también se extendió a los números en el cálculo
mecánico (perfeccionó la máquina de calcular de Pascal); es también el iniciador o el pionero en
varias ramas de la matemática como son: el Cálculo Geométrico, la Teoría de los
Determinantes, la Lógica Matemática y la Topología; Leibniz es el iniciador y el promotor de las
publicaciones de periódicos científicos, de las academias, etc.
La aportación al Cálculo Infinitesimal data desde 1673 donde ya tiene reglas y fórmulas
simples para el Cálculo Diferencial y la forma y la notación es la actual. En 1686 aparecen los
escritos relativos al Cálculo Integral y por primera vez aparece publicado con los signos
integral en lugar de la sigma de Newton; la S antigua, signo utilizado en la actualidad para las
diferenciales sucesivas.
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Las circunstancias que hoy nos parecen naturales y lógicas como el que durante el transcurso
de la mitad del siglo XVII los tiempos estaban maduros para que naciera el Cálculo
Infinitesimal, y el hecho de que éste naciera por obra de dos sabios insignes, casi
contemporáneos, provocó entonces una cuestión de prioridad que degeneró en una larga y
lamentable polémica iniciada por los autores principales y proseguida durante todo el siglo
XVIII entre los matemáticos ingleses y continentales, tal controversia tuvo como resultado un
aislamiento de cada ángulo que los divorció en la cooperación científica. Como los métodos eran
los mismos, pues sólo difería la notación, provocó que el progreso de un bando y de otro fuera
aislado, los ingleses al parecer llevaban las de perder por las ventajas que ofrecía la notación
de Leibniz frente a la de Newton: esta larga polémica termina un siglo después cuando
Napoleón universaliza a los matemáticos y físicos franceses, la Analytical Society en 1813 y
con esto termina la polémica entre ambos bandos.
Sin embargo se considera la genialidad de Newton como el genio deductivo más grande que ha
producido la humanidad. Leibniz ocupa un segundo lugar, pero no deja de ser de primera
magnitud en el profundo cielo de las matemáticas. Estos dos genios creadores del Cálculo
Infinitesimal estaban destinados a crearlo por una razón lógica, el desarrollo económico
industrial de una sociedad mercantilista obliga, fomenta y ayuda a sus mejores hombres para
crear herramientas, métodos normales, etc., que acreciente la tecnificación de los medios de
producción. En síntesis, son las necesidades de producción del naciente sistema capitalista los
que obligan a encontrar nuevos derroteros de la ciencia y en nuestro caso de la matemática
para llegar a obtener más riqueza de la naturaleza a la vez que mayor tecnificación de la
industria.
Los Continuadores.
Los métodos infinitesimales de Newton y Leibniz fueron conocidos hasta la última década del
siglo XVII, la difusión de estas nuevas ideas fue muy lenta debido a varias razones, su
carácter novedoso, a las notaciones diferentes, a que la publicación fue fragmentada por ser
memorias, etc., es así como sus autores y unos pocos matemáticos estaban enterados de estos
métodos y todavía menos enterados los que estaban en condiciones de aplicarlos. Entre estas
últimas figuras están las de los Bernoulli que aparecen en un lapso de casi dos siglos, todos de
origen holandés, pero residentes en Suiza que durante los siglos XVII, XVIII, y XIX dieron
una decena de matemáticos, entre los más importantes esta Jacobo (hay dos Jacobos), y su
hermano Johann I,( Pues hay tres Johannes), Daniel I (hay dos Danieles), conectado
íntimamente con los Bernoulli se presenta uno de los matemáticos del Siglo XVIII Leonardo
Euler .
La obra matemática de Jacobo Bernoulli es sobre nuevos métodos infinitesimales y cálculo de
probabilidades, de series, la espiral logarítmica, descubrimiento que sirve para producir otras
curvas derivadas de ella, este hecho lo llevó a imitar la gesta de Arquímedes pidiendo que en su
tumba se grabase esa curva con una leyenda en latín. A él se deben algunas soluciones de los
problemas de Leibniz como la curva isócrona, su hermano Johann fue un gran aplicado en
problemas geométricos y mecánicos con los métodos infinitesimales, él fue el que propuso en
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1697 el problema de la curva de tiempo mínimo llamado braquistócrona que fue resultado
también de los estudios de Jacobo y de la ecuación diferencial con el nombre de Bernoulli.
Algunas otras aplicaciones heredadas por los Bernoulli son las trayectoria isogonales y en
particular ortogonales (Familia de curvas que cortan a las curvas de otra familia bajo un ángulo
constante), problemas de isoperímetros (curvas o arcos de curva de igual longitud que cumplen
ciertas propiedades de máximo o mínimo). Muchas obras importantes de Jacobo Bernoulli
sobre probabilidad adquieren autonomía científica y algunos comentarios a la obra de Cristian
Huygens; Johann menos brillante que Jacobo, pero también con una gran contribución
matemática y Daniel que prosiguió la obra de sus antecesores, (papá y tío), como es la teoría
de las series y el cálculo integral. A la integración de ecuaciones diferenciales en 1694 se
publicó una serie llamada Serie de Bernoulli que no es más que un caso particular de la famosa
e importante serie de Taylor.
Junto con Bernoulli está el francés Guillaume de L'Hospital, único del equipo francés de
matemáticos que estuvo en condiciones después de mucho tiempo de resolver los problemas de
Leibniz y Bernoulli que proponían a los geómetras de la época. L’Hospital es, por decirlo así, el
autor del primer tratado sobre calculo diferencial aparecido en 1716 cuyo título es
“Infinitamente Pequeños”. Este no es más que las lecciones que L’Hospital recibió de Bernoulli
durante poco más de un año, en donde hay una regla llamada Regla de L’Hospital para el cálculo
de limites indeterminados, regla cuya paternidad no fue de Bernoulli como se pensó durante
algún tiempo, por ejemplo de esta regla tenemos la siguiente :
Lim
x→2
x2 − 4
x−2
Si x = 1
Si x = 2
1− 4 − 3
=
=3
1− 2 −1
4−4 0
= indeterminado
2−2 0
Derivando por separado numerados y denominador:
Lim
x →2
d ( x 2 − 4)
x −4
dx = Lim 2 x = Lim 2(2) = 4
Lim
x →2 1
x →2
x − 2 x → 2 d ( x − 2)
1
dx
2
En esta regla se derivan el numerador y el denominador independientemente sin aplicar la
formula de la derivada de una fracción. Como se ve en el cálculo de este límite aplicando dicha
regla deja de ser indeterminado.
En Italia el que se ocupo de nuevos métodos infinitesimales fue Francesco Riccati; vinculado
con la ecuación diferencial de su nombre. En Alemania tenemos, aunque sin mucho éxito, a
Ehrenfried Walther von Tschirnhaus, quien fue de gran ayuda posterior por que dio las bases e
inclusive dejo el método para transformación de ecuaciones de 4° grado.
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En Inglaterra después de Newton y sus fluxiones aparecen la critica que el filósofo George
Berkeley dirige a los nuevos métodos en su obra: Discurso dirigido a un matemático infiel,
donde se examina si el objeto, principios e inferencias del análisis moderno son concebidos más
claramente o son deducidos con mayor evidencia que los misterios de la religión y los asuntos
de la fe. El matemático infiel era el célebre astrónomo Edmund Halley que también se ocupa de
la matemática, fue libre pensador y en cierto sentido muy activo de aquí su infidelidad de lo
que lo acuso Berkeley, pues por el hecho de ser un gran matemático y por ello uno de los
grandes maestros de la razón, Berkeley decía, como hábil polemista, que utilizaba
indebidamente su autoridad opinando y decidiendo sobre cuestiones ajenas a su incumbencia
sobre las cuales no tenía derecho. Berkeley es el padre de una teoría Filosófica cuyo extracto
del idealismo puro es tal que planteó como postulado fundamental la inexistencia de la materia,
del cual el Ruso Vladimir Ilyich Ulyanov (alias Lenin) se expreso de la filosofía de Berkeley
diciendo que siendo el sistema más absurdo es el más difícil de combatir, la aportación de
Berkeley a la matemática es en la teoría de compensación de errores.
Su polémica candente y agresiva se hizo sentir más o menos en todos los matemáticos de la isla
tanto contemporáneos como sucesores, entre ellos tenemos a Abraham De Moivre de origen
francés pero residente en Londres desde la revocación del edicto de Nantes. Se dedicó a
algunos temas de matemáticas, el introdujo las serie recurrentes, se le debe la fórmula que
lleva su nombre formula de Moivre, él la expuso en forma trigonométrica y forma parte de la
teoría de los números complejos, también completó los estudios algebraicos realizados por un
brillante matemático inglés Roger Cotes muerto muy joven; contemporáneos a estos es Brook
Taylor que se ocupó de física y diferencia finitas, además de una serie llamada Serie de
Taylor.
James Stirling que dejo su nombre vinculado a una fórmula para el cálculo aproximado del
producto de los números naturales decisivos desde 1 hasta n cuando n es muy grande. Se ocupó
de geometría, álgebra y análisis infinitesimal y poco de física y astronomía.
Quizá el más importante Matemático de este periodo es Colin Maclaurin quien se ocupó de las
críticas matemáticas a la vez que escapó de las criticas del nefasto Berkeley, Colin estudio los
métodos de los geómetras más antiguos, es autor de una serie llamada serie de Maclaurin. Su
tratado de fluxiones en dos volúmenes, es un tratado matemático del calculo fluxional con sus
aplicaciones geométricas y mecánicas.
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CAPITULO IX
La Matemática Iluminística
Euler y la Sistematización del Análisis
Se dice que el siglo XVIII es el siglo del Algoritmo, del Álgebra, la Geometría, el Cálculo
infinitesimal; adquieren vida propia e invaden todo el campo matemático, en cierto sentido el
análisis se independiza de la Geometría y de la Ciencia natural, como vimos en el siglo XVII la
Geometría Analítica y los Métodos Infinitesimales, habían servido de instrumento analítico
tanto para la solución de problemas como para la investigación de las leyes naturales, el siglo
XVIII aún tiene esta influencia.
El carácter algorítmico de la matemática se pierde a finales del siglo XVIII, la Geometría
adquiere la jerarquía de Geometría pura y la Física Matemática son casi exclusivas de los
matemáticos franceses, pues ellas mantienen el centro de esta ciencia entre el periodo
comprendido entre Euler y Gauss.
En este siglo de la razón, también la matemática le tiene una confianza excesiva, de aquí que se
pensaba que todos los problemas analíticos pueden resolverse, que toda ecuación algebraica
tiene solución, que toda ecuación diferencial pueda integrarse y que toda serie puede sumarse.
Esta confianza excesiva en el poder del símbolo matemático trajo magníficas consecuencias y
beneficios, todo este cúmulo del saber matemático fue atrapado por Euler durante 40 años de
trabajo con extraordinaria capacidad, con una actividad poco humana puesto que su obra, en
gran parte inédita, ha sido publicada hasta la fecha en 69 volúmenes.
Euler que nunca fue profesor, desarrolló una inmensa actividad científica en su mayor parte
gracias a la protección de las cortes de San Petesburgo y Berlín a cuyas aplicaciones
académicas dio vida durante muchos años casi por sí solo. Su actividad no decayó en ningún
instante, al contrario la mitad de sus escritos son fruto de los últimos años de su vida, cuando
totalmente ciego dictaba sus trabajos. Esa actividad se ha manifestado en todos los campos de
la matemática y contiene teoremas de los números, de álgebra, de probabilidades, de cálculo
infinitesimal, de geometría, de mecánica aplicada, de astronomía, de física, de geografía
matemática y algo de filosofía.
La mejor contribución es la Teoría de los números primos. En una carta de Euler a Cristian
Goldbach reconoció, sin demostrarlo, lo que se conocen ahora como Conjeturas de Goldbach:
Todo número par es la suma de dos números primos, teorema que aún aguarda a los estudiosos
de la matemática.
En Álgebra dio métodos originales en la eliminación y descomposición de fracciones parciales
simples y también en la teoría de las ecuaciones. Trató de encontrar un método para resolver
ecuaciones de cualquier grado, pero sólo sirvió el método para ecuaciones de cuarto grado por
un método distinto al de Fermat que también es extensivo para las de segundo y tercer grado.
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En el análisis infinitesimal es sin duda donde aparecen las contribuciones más originales y es el
creador de los primeros tratados sistemáticos de esta disciplina, por ejemplo: Introducción in
Análisis Infinitorum (1748), Institucioni Calculi Diferencialis (1755), Institucioni Cálculi
Integralis (1770) y otra obra que se llama Methoduse Inviernieldi lineas curvai maximi
minimide propietate gaudentes, (1744).
En estas obras Euler mantiene la forma de f(x), etc. También aparecen los métodos de
integración usados hasta la fecha con diferenciales ordinarios y con derivadas parciales.
Un matemático llamado Alexis Claude Clairaut siendo adolescente se ocupó de las curvas en el
espacio cuya obra importante estableció la Teoría del equilibrio de los fluidos bajo condiciones
matemáticas que ahora es la base de la teoría del potencial.
Maclaurin junto con Clairaut son los últimos matemáticos que resuelven los problemas de los
tres cuerpos del cual también se ocupó Jean Le Rond D’Alambert quien redactó numerosos
artículos matemáticos sobre cuestiones metodológicas, que apareció en la gran enciclopedia de
1751, su discurso preliminar que es la solución a problemas de las cuerdas vibrantes y que
también se ocupó Daniel Bernoulli, otro matemático Edward Waring, investigador en el campo
de los números y de las ecuaciones algebraicas; otro es Cramer que se dedicó al álgebra y al
estudio de las curvas planas y sentó las bases para la resolución de sistemas lineales conocido
como Regla de Cramer o método de los Determinantes.
Otro matemático es Lambert que se ocupó de múltiples actividades en el saber, en la
matemática sobre el simbolismo lógico, basado indiscutiblemente en las ideas de Leibniz, de la
teoría de las paralelas, del número 11 demostrando que no es fraccionario.
Todos estos matemáticos nacieron y murieron en el siglo XVIII que es el siglo de Lagrange, es
la generación en su mayoría de los matemáticos franceses, es la generación que asiste a la
Revolución Francesa.
El Siglo de Oro de las Matemáticas
Parece característica de todos los matemáticos franceses la preferencia por los métodos
analíticos que se acentúan en Lagrange quien es el creador de la Mecánica Racional que él llama
Mecánica Analítica y que concibe como una rama matemática.
Joseph Louis Lagrange, de origen francés nacido en Italia vivió en Paris y en Berlín su obra ha
dotado a la rama de las matemáticas analíticas de esa generalidad que la caracteriza y que fue
aplicada por él a varios problemas de mecánica, astronomía y de probabilidades. En todas las
ramas de la matemáticas Lagrange tiene aportaciones: en la teoría de los números, en la teoría
de las ecuaciones (precursor de la teoría de los grupos), análisis infinitesimal, etc.
Estando Lagrange en Paris en 1797 el directorio de la revolución Francesa funda en esta ciudad
La Escuela Politécnica de la cual fue profesor durante algunos años. Como resultado de sus
cursos publicó dos tratados de análisis infinitesimal en forma muy original, a él se debe el
hacer popular la serie de Taylor en la matemática.
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Los coeficientes de estos desarrollos serán las derivadas que fue el nombre propuesto por
Lagrange y que dio origen al desarrollo del cálculo diferencial en forma finita al igual que el
cálculo integral.
Su obra mecánica analítica fue en su época de gran forma puesto que viene a ser una geometría
de cuatro dimensiones. Su obra es extraordinaria, en la mecánica introduce el concepto de
potencial.
Una obra semejante a la de Lagrange es la mecánica celeste y sus cinco volúmenes de Pierre
Simón Laplace que comprenden todos los descubrimientos realizados por Newton, Clairaut,
D´Alembert, Euler y Lagrange.
Laplace es el creador de la teoría analítica de las probabilidades. Su obra es la de un
matemático profundo y difícil de leer donde aparecen a menudo demostraciones parcas y que
atormentan al estudioso de la matemática. Mencionaremos la llamada ecuación de Laplace o
Laplaciano que es una ecuación diferencial de segundo orden con derivadas parciales y que
representa las funciones potenciales.
i.i = j.j = k.k = 1
V operador de la variable
V 2 operados laplaciano
i.j = i.k = j.i = j.k = k.i = k.j = V
Analíticamente se tiene:
V .V = (
δ
δ
δ
δ
δ
δ
V + V + V ).( i +
j + k)
δx
δy
δz
δx δy
δz
V =(
δ
δ
δ
i+
j + k)
δx δy
δz
Luego el Laplaciano.
δ2 δ2 δ2
V = 2+ 2+ 2
δx δy δ z
De mérito muy ponderable, aunque un poco menos que Lagrange y Laplace, es el de su
contemporáneo Adrien-Marie Legendre que alcanzó a conocer y reconocer los méritos del
nuevo grupo de analistas del siglo XIX del tipo de Abel y Jacobi. Sus contribuciones
matemáticas más importantes son: “La teoría de los números” y el “Cálculo integral” y su
demostración de la reciprocidad de sus restos cuadráticos enunciada por Euler y que Gauss la
califica de joya de la aritmética en donde introduce las llamadas integrales elípticas, así
denominadas porque permiten el cálculo de la longitud de arcos de elipse, imposible calcularse
mediante las funciones hasta entonces conocidas y de aquí que más tarde por inversión se llego
a las inversiones elípticas, Legendre dio cabida a las investigaciones futuras que estaban
realizando Jacobi y Abel.
∫ R( x, y)dx
;
∫x
m
(a + bx m ) p dx
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p
y = (a + bx )
n
y q = (a + bx n ) p
;
q
Integral Abeliana
∫ R[x,
]
Integral elíptica
p ( x) dx
F (k , ϕ ) =
F (k , ϕ ) =
ϕgϕ
∫
∫
1 − k sen ϕ
2
dx
x
0
2
E (kϕ ) =
;
(1 − x 2 )(1 − k 2 x 2)
;
∫
E (kϕ ) =
δ
1 − δ 2 senδ dδ
0
δ
1 − k 2 x2
0
1 − x2
∫
Agreguemos que Legendre tuvo gran éxito con sus elementos de Geometría, que fue texto en
Norteamérica, en uno de sus apéndices trae como novedad la demostración de lo irracional del
número 11 y dice al respecto con cierto tono profético: es probable que el número 11 no esté
comprendido entre los irracionales algebraicos, es decir, que no sea raíz de una ecuación
algebraica de un número finito de términos y de coeficientes racionales.
Una de las grandes aportaciones que tiene una vasta aplicación en el campo de la Física
Moderna (Atómica, nuclear, cuántica) es lo que se llama Polinomios de Legendre muy utilizados
y favorecidos en los círculos matemáticos de este siglo.
Polinomio de Legendre:
(1 − x 2 )
d2y
dy
− 2x
+ n(n + 1) y = 0
2
dx
dx
(1 − x 2 )
Ecuación de Legendre
d 2θ
dθ
− 2x
+ m(m + 1)θ = 0
2
dx
dx
Po ( M ) = 1 ;
P1 ( M ) = μ ,
P2 ( μ ) =
1
(3μ 2 − 1) ;
2
P3 ( μ ) =
1
(5μ 3 − 3μ )
2
(−1 / 2)(−3 / 2)
1
+ / − 2μh + h 2 ) 2 + ... + etc
(1 − 2μh + h 2 ) −1 / 2 = 1 + (− )(−2μh) + h 2 −
2
2
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Tenemos también otro matemático que se llama Lorenzo Mascheroni conocido como un genio
del compás; quien en 1797 prueba que todas las construcciones con regla y compás sólo se
realizan con compás. En el siglo XVII éste geómetra tuvo un precursor danés. Otro
contemporáneo es Silvestre François Lacroix, escribió una obra de análisis Infinitesimal en
tres grandes volúmenes; en el primero el Cálculo Diferencial y sus aplicaciones geométricas, en
el segundo el Cálculo Integral y Cálculo de Variaciones y en el tercero las Diferencias y Series.
Lacroix escribió una colección de obras didácticas por 1816.
Esta obra se tradujo al inglés en 1820, con ésta traducción el ostracismo de los analistas
ingleses termina, se abandona la notación de las fluxiones y la adopción de la notación
continental y se debe en parte a tres jóvenes de Cambridge que en 1813 fundan la Analytical
Society y que fueron John F. W. Herschel, hijo del célebre astrónomo Hershel y el también
astrónomo, aunque se ocupó de la matemática, Charles Babbage inventor de máquinas analíticas
y George Peacock el más matemático del grupo, autor de un tratado de álgebra muy importante
y que es base de todo análisis matemático, son los tres célebres jóvenes fundadores de la
Analytical Society.
El Renacimiento de la Geometría
En el siglo XVIII la matemática predominó sobre la Geometría, pero la Geometría vuelve por
sus fueros a fines del siglo XVIII aunque se le sigue estudiando con los recursos que da el
análisis, sin embargo nacen nuevas ramas de la Geometría que nada tiene que ver con el análisis
infinitesimal como es la Geometría Descriptiva que nació ya con éste nombre en 1795 gracias a
los esfuerzos de Gaspar Monge, rama de la geometría en la que se da unidad y jerarquía
científica a aquellas normas para realizar obras de arte y de arquitectura, su obra es
extraordinaria, hay métodos originales de proyección, tuvo muchos discípulos entre ellos Jean
Baptista, Marie Meusnier y Charles Dupin y otros como Charles J. Brianchon y Poncelet, se
ocuparon de las propiedades de las cónicas. También se encuentra Lazare-Nicholas-Marguerite
Carnot quien tiene algunos trabajos matemáticos en la geometría Proyectiva que es un nuevo
cuerpo de doctrinas geométricas.
El más vinculado con ésta escuela de Monge es Jean Víctor Poncelet que en 1820 publicó
“Tratado de propiedades de geometría proyectiva”. De los resultados de Poncelet existe el
llamado Principio de Dualidad, según el cual cada propiedad geométrica entre ciertos elementos
corresponde otra propiedad geométrica entre otros elementos. Éste principio motivó una
cuestión de prioridad entre Poncelet y Joseph Diez Gergonne, sin embargo es Gergonne el que
le dio el alcance general. Gergonne es sin duda el del mérito indiscutible al haber fundado la
primera publicación periódica dedicada exclusivamente a la matemática, que desde 1810 hasta
1832 fue la única revista que se publicará en al mundo; dejó grandes frutos, pues en la
actualidad existe un millar de ellas.
La Física Matemática
Así como en la segunda mitad del siglo XVIII por obra de Monge la geometría adquiere nueva
vida, en esa época y por obra de otro sabio francés Joseph Fourier, nace una nueva rama de la
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ciencia natural la física-matemática que siguiendo las huellas de Lagrange y de Laplace se
estudian los problemas físicos con los recursos del análisis Infinitesimal.
La obra más importante de Fourier aparecida en 1812, es una memoria de la Teoría Analítica
del Calor con lo que entran en el análisis las series trigonométricas hoy llamadas Series de
Fourier. La importante extensión con concepto Euleriano de función al admitirse que mediante
tales series pueden representarse funciones arbitrarias.
De los científicos nacidos en el siglo XVIII que se ocuparon de la Física matemática
mencionaremos a Jean Baptista autor de unos de los primeros textos de Geometría Analítica;
Thomas Young y Agustín Fresnell que aplicaron el análisis matemático a la teoría ondulatoria
de la luz, tesis opuesta a la corpuscular de Andre Marie Ampere, celebre en sus
investigaciones en el campo del electromagnetismo y se le deben contribuciones matemáticas.
Simeon Denis Poisson que hizo ampliar la ecuación potencial fuera de la gravitación a los
problemas de la electricidad y el magnetismo. Entre otros tenemos a Gabriel Lamé que trabajó
sobre la Teoría del calor y de la electricidad con iniciaciones y contribuciones matemáticas a
estos campos.
Gauss y las Geometrías no Euclidianas
El siglo XIX en la primera década se caracterizó porque tuvo como tarea el análisis de los
fundamentos y principios de la Geometría de Euclides con mayor rigor que en la época del
mismo Euclides y Arquímedes. Nacen como producto de la ciencia matemática del siglo XVII y
XVIII otras ramas de gran importancia como son: Teoría de los grupos. Geometrías no
Euclidianas, Teoría de las Ecuaciones y surgen posteriormente la Lógica matemática y la Teoría
de los conjuntos.
La figura representativa de esa época es Karl Friederich Gauss con el que se inicia una pléyade
de matemáticos alemanes que llenan el siglo XIX. La labor científica de Gauss se ha extendido
a varios campos, Física-matemática y Matemática Pura en casi todas sus ramas y en especial a
la Teoría de los números y a la Geometría Diferencial.
Muchos de los descubrimientos de Gauss datan de mucho tiempo antes de su publicación, a los
18 años dio reglas para trazos del heptadecágono (17 lados). En la tesis Doctoral, Gauss aporta
en forma original la demostración del teorema fundamental del álgebra, es decir, “Que todo
polinomio algebraico con una letra se anula por lo menos una vez para un valor real o imaginario
de la letra”. También en su memoria dice que no es posible resolver la ecuación de 5º grado,
como se ha demostrado en la actualidad. Las obras de Gauss son sobre Teoría de los números y
un amplio estudio de la Geometría Diferencial de las superficies.
Otras contribuciones de Gauss es el estudio riguroso de las Series y la introducción de los
números complejos en el análisis, a él se debe el descubrimiento de las Geometrías no
Euclidianas, rama que así bautizó; esta Geometría nació de la investigación realizada
originariamente con el intento de demostrar el V postulado de Euclides que dice más o menos
así: “Por un punto de un plano pasa una sola paralela a una recta”, llamado también de las rectas
paralelas. Gauss es sin duda el primero que ve esto, sin embargo no publicó nada y solo existen
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en sus memorias, pero en 1831 publica Janos Bolyai, matemático húngaro su Geometría noEuclidiana, con el título “Ciencia absoluta del espacio” en la que se expone como dice él “ Un
Universo creado de la nada”. El hombre de absoluto que da Bolyai a sus consideraciones es
debido a que ella se refiere a las propiedades geométricas independientemente del postulado,
verdades y teoremas de carácter más general tanto para la geometría ordinaria como para la
geometría general que él había construido.
Otro gran matemático fue el ruso Nicolás Ivanovich Lobachewsky, su obra es muy semejante
aunque más constructiva que la de Bolyai que fue publicada en 1829, pero se perdió y fue hasta
1836 cuando aparece en ruso su obra “ Nuevos Elementos de la Geometría” con una teoría
completa sobre las paralelas, en 1855 casi ciego publicó en forma extensa su obra de una
noción del Espacio con una Geometría de carácter general, su obra se conoce en la actualidad
como la pangeometría, independientemente de Gauss, Lobachewsky es superior en la
concepción de la nueva Geometría, y más amplio, puede decirse que en realidad él es el Padre
de las Geometrías No-Euclidianas, su obra es sin duda la más importante en el campo de la
descripción del espacio.
Gracias a la obra de un grupo de matemáticos, muy selectos de Europa las Geometrías NoEuclidianas adquieren dos nuevas direcciones; la llamada Métrico-Diferencial y la Proyectiva.
La primera dirección la inició uno de los grandes matemáticos del siglo pasado Bernhard
Riemann discípulo y continuador de Gauss que completó el cuadro de las Geometrías NoEuclidianas con la llamada Geometría Elíptica. Las ideas fundamentales de Riemann basadas
indudablemente en Bolyia y Lobachewsky por un lado y por el otro Gauss, no permiten ver como
encaró el problema de las nuevas geometrías desde un punto de vista muy superior en una obra
que se titula “Sobre las Hipótesis en las que se funda la Geometría” publicada en 1867, dice
cosas tan interesantes como la importante distinción entre infinito e ilimitado que debía
desempeñar singular papel en la teoría física de la relatividad de Einstein.
De las grandes aportaciones de Riemann están también: la Teoría de la Integración, Funciones
de la variable compleja, Teoría Analítica de los números primos, etc.
La Aritmétización del Análisis
El análisis Infinitesimal (Cálculo diferencial, Cálculo integral y Cálculo de las Variaciones)
adquirió en el siglo XVIII un gran desarrollo gracias a Euler, Lagrange, Laplace, etc., pero un
desarrollo puramente formal. Por decirlo así, el algoritmo estaba en el aire pues estaba
fundado sobre sistemas únicamente conceptuales puesto que cuando se aludía a sus
fundamentos se hablaba de las series divergentes, de la metafísica del cálculo que estaba
rodeada de misterios y obscuridades. En el siglo XIX cambia el análisis infinitesimal sin dejar
de progresar en su desarrollo en su forma más rica y variada; encontrando sus bases firmes en
la aritmética, expulsando de su seno a esa histórica esencia metafísica de inutilidad absoluta.
A este progreso se le denominó Aritmetizacion del Análisis, su precursor fue Bernhard Bolzano
y sus constructores Cauchy, Abel, Jacobi, etc.
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Cauchy dice en su obra de 1822 lo siguiente: “... He tratado de dar a los métodos todo rigor
que se exige en geometría sin acudir jamás a los argumentos tomados de la generalidad del
álgebra”. Tales argumentos, son admitidos comúnmente sobre todo en el pasaje de las series
convergentes y en el de las cantidades reales y en las imaginarias. Cauchy escribió numerosos
libros y memorias en donde funda el Análisis sobre bases más rigurosas que la de sus
predecesores; él fija claramente la convergencia de las series y elimina algo a pesar suyo; las
series divergentes del análisis; fue el impulsor de la Teoría de las funciones analíticas de la
variable compleja.
En la expulsión de las Series divergentes Cauchy completó la obra iniciada por Nieles Henrik
Abel, puesto que las series divergentes no son en general una invención diabólica y es
vergonzoso que quiera fundarse sobre ella demostración alguna. En el campo del Análisis, el
noruego Abel se ocupó de las series y de la teoría de las funciones e inaugura una nueva rama
del mismo, la llamada Teoría de las ecuaciones integrales; conjuntamente Carl Gustav Jacobi
creó y sistematizó el estudio de las funciones elípticas como funciones inversas de las
integrales elípticas.
Con la obra de Abel y Jacobi la matemática avanza, las funciones elípticas se vinculan en un
significativo incidente en donde se muestra la evolución que sufría la matemática frente al de
la ciencia natural. La obra de Abel y Jacobi fue reprochada por Poisson y por Fourier por no
ser aplicables a la Física-matemática, pues con la obra de estos dos adquiere la matemática una
autonomía muy saludable y un grito de liberación del yugo del espacio físico, la obra es en gran
parte filosófica.
El continuador de la obra de Abel y Jacobi sobre las funciones elípticas es otro de los grandes
analistas del siglo XIX Karl Weierstrass. Este matemático fue el creador de la segunda
dirección en el estudio de las funciones analíticas de las variables complejas, Weierstrass, se
ocupó de los estudios de aritmética dando en 1863 la demostración del teorema final de la
aritmética, según el cual no existe ningún sistema de números complejos de más de dos
unidades (los números complejos ordinarios son de dos unidades) que satisfaga toda propiedad
o a todas las propiedades formales de las operaciones aritméticas elementales.
Otro gran matemático fue Richard Dedekind quien además de ocuparse de la teoría de los
números en 1872 y 1888 fue el autor de notable trabajos como la continuidad de los números
irracionales y de la esencia y significado de los números en donde expone el muy usado método
de las cortaduras.
Otro matemático francés es Charles Hermite cuyo nombre está vinculado en el problema
clásico de la cuadratura del círculo de 1873, autor de una serie de polinomios llamados
polinomios de Hermite muy usados en la física moderna.
El alemán Ferdinand Lindemann en 1882 dio el toque final del problema de Hermite sobre
cuadratura del círculo, demostrando que con regla y compás no podía demostrarse.
Mencionaremos que la introducción del análisis se debe al esfuerzo de 3 jóvenes matemáticos
del siglo pasado son: Francesco Broschi, Eurico Betti, Felipe Casorati.
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La aritmetización del análisis, completa a mediados del siglo XIX, consistió en agregar en
definitiva a las operaciones aritméticas una nueva operación de peculiar índole; el paso al
límite, operación que en verdad estaba oculta en los umbrales de la aritmética (teoría de los
números), y en la geometría (magnitudes irracionales) es decir, en sus 2 formas características
el infinito numerable y el infinito continuo.
La aritmetización del análisis lanzó a la borda y para siempre toda metafísica que durante el
siglo XVIII la había oscurecido y es así como se desarrolla más ampliamente conduciendo a
nuevos aspectos, como la aplicación del paso al límite, a las funciones de variable, real o
compleja, alejando más el significado de los algoritmos de la metafísica o del análisis clásico
como son: serie, producto, infinitos, fracciones continuas infinitas, derivadas, integral, etc...
Será durante la mitad del siglo XIX cuando el análisis toma como tarea la profundización de los
algoritmos clásicos y la creación de nuevos métodos algorítmicos.
Geometría Proyectiva
Con Poncelet se había iniciado el estudio sistemático de la propiedades proyectivas de las
figuras pero ni su definición de la proyectividad contemplaba todas las transformaciones
graficas de las figuras, ni sus métodos de demostración poseían ese rigor lógico que se iba
imponiendo en la matemática, por consiguiente esta obra estaba incompleta y tocó a un grupo
de geómetras del siglo XIX en su mayor parte alemanes, completar la obra.
Citaremos a August Ferdinand Mobius, no obstante estudiaba la geometría vinculada con la
mecánica y con la coordenadas, introdujo una serie de conceptos útiles para la geometría
proyectiva, otros dos grandes geómetras de este siglo son: Michel Chasles, y Jacobo Steiner,
publicaron obras importantes entre ellas algo sobre geometría sintética (Es decir el estudio de
las propiedades geométricas sin el auxilio de las coordenadas) obra de Chasles; Steiner en
1832 publica un tratado sobre desarrollo sistemático de la dependencia mutua de las
estructuras geométricas. Steiner planteó la introducción de elementos imaginarios en la
geometría, sin embargo Chasles y otros geómetras, anteriores utilizaron estos elementos sin
usar una definición. Se puede considerar que el autor de la teoría del imaginarismo geométrico
es C.H. Paulus quien dio la base de esa teoría.
Uno de las organizadores de la forma precisa del imaginarismo es Karl George Christian Von
Staudt que nos legó obras como geometría de posesión publicada en 1847 y obras
complementarias en 1856, 1857,1860, otro geómetra es Arthur Cayley que estudió las
propiedades graficas y encontró como consecuencia más notable de esta demostración que a
través de ella pueden encontrarse las geometrías no-euclidianas, que pueden entonces
estudiarse siguiendo esta dirección métrico-proyectiva; de aquí que la frase de Cayley sea “la
geometría proyectiva estaba en la geometría”
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