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Análisis Real ii Indice Capítulo 1 Medida 1 Teorema de Tarski..................................................................................... σ − álgebra................................................................................................. σ − álgebra generada........................................................................... σ − álgebra de Borel............................................................................ Premedida................................................................................................... Medida σ − finita...................................................................................... Medida finita.............................................................................................. Medida exterior.......................................................................................... µ ∗ − medibl................................................................................................ Función elemental de conjuntos ................................................................ Medida inducida......................................................................................... Extensión de una medida............................................................................ Medida nula................................................................................................ Espacio de medida completo...................................................................... Completación.............................................................................................. Teorema de aproximación.......................................................................... Medida de Borel......................................................................................... Medida de Borel-Stieljes............................................................................ σ − álgebra de Lebesgue............................................................................ Medida de Lebesgue................................................................................... Medida exterior de Lebesgue..................................................................... Medida de Dirac......................................................................................... Conjunto de Cantor..................................................................................... Función notable de Cantor-Lebesgue......................................................... 3 4 5 6 6 6 6 8 8 10 10 11 14 14 15 16 17 20 22 22 22 22 24 27 Capítulo 2 Funciones medible Función medible......................................................................................... Borel medible............................................................................................. Lebesgue medible....................................................................................... Pull-back..................................................................................................... - iii - 29 30 30 31 Pull-forward................................................................................................ Medible en E............................................................................................... σ − álgebra inicial....................................................................................... L+ ( X ,M ) .................................................................................................. Función característica................................................................................ Función Simple........................................................................................... Función elemental....................................................................................... Teorema de caracterización de L+ .............................................................. 31 32 32 34 35 36 36 36 Capítulo 3 Integración Propiedad definida en casi todo punto........................................................ Función integrable...................................................................................... Teorema de convergencia monótona (Beppo Levi).................................... Lema de Fatou............................................................................................ Integral de funciones cualesquiera.............................................................. µ − integrables............................................................................................. Funciones complejas................................................................................... Seminorma.................................................................................................. Espacio seminormado................................................................................ Espacio normado........................................................................................ Espacio normado L1 ( µ ) ............................................................................. Teorema de convergencia dominada.......................................................... Integral de Riemann Vs Integral de Lebesgue............................................ 39 41 45 48 49 51 51 52 52 52 52 54 60 Capítulo 4 Modos de convergencia y espacios Lp Convergencia puntual................................................................................ Convergencia uniforme............................................................................. Convergencia en casi todo punto............................................................... Convergencia casi uniforme.. ................................................................... Convergencia en medida........................................................................... Convergencia en L1 ................................................................................... Cauchy en medida..................................................................................... Teorema de Egoroff’s................................................................................ Espacios Lp ................................................................................................ Norma p...................................................................................................... - iv - 63 63 63 63 63 63 66 67 69 70 Función convexa......................................................................................... Desigualdad de Jensen................................................................................ Desigualdad de Hölder............................................................................... Conjugados................................................................................................. Desigualdad de Minkowki......................................................................... Desigualdad de Harkov.............................................................................. Uniformemente absolutamente continua................................................... Equicontinua superiormente al vacío......................................................... Continuidad absoluta del integral............................................................... Teorema de Vitali....................................................................................... 71 71 73 73 74 76 77 78 78 78 Capítulo 5 Medida signada, integración y derivación Medida con signo....................................................................................... 85 µ − positivo................................................................................................ 86 µ − negativo............................................................................................... 86 µ − nulo...................................................................................................... 86 Teorema de Hahn-Jordan........................................................................... 86 Descomposición de Hahn.......................................................................... 88 Medidadas mutuamente singulares............................................................ 88 Teorema de descomposición de Jordan..................................................... 88 Variación positiva , variación negativa...................................................... 88 Descomposición de Jordan......................................................................... 88 Variación total............................................................................................ 89 Medida absolutamente continua respecto de otra...................................... 89 Teorema de Radon-Nikodin-Lebesgue...................................................... 89 Teorema de Radon Nikodin....................................................................... 93 Puntos invisibles por derecha y por izquierda............................................. 95 Lema de Riez............................................................................................... 96 Integral indefinida de Lebesgue.................................................................. 100 Función absolutamente continua................................................................. 101 Descomposición canónica........................................................................... 102 Capítulo 6 Medida Producto Rectángulos medibles................................................................................. 107 Medida producto......................................................................................... 107 -v- Clase monótona.......................................................................................... 108 Clase monótona generada........................................................................... 108 Lema de la clase monótona......................................................................... 108 Teorema de Fubini...................................................................................... 109 x-sección de f.............................................................................................. 112 y-sección de f.............................................................................................. 112 Teorema de Tonelli-Fubini......................................................................... 112 Formula integral por partes......................................................................... 115 Capítulo 7 Espacio topológico localmente compacto................................................... 117 Soporte de una función................................................................................ 118 Funciones continuas con soporte compacto................................................ 118 Lema de Urysohn para LCH....................................................................... 118 Teorema de extención de Títese para LCH................................................. 118 Partición de la unidad ................................................................................. 119 Funcional lineal positiva............................................................................. 120 Medida exteriormente regular..................................................................... 121 Medida interiormente regular...................................................................... 121 Medida regular............................................................................................ 121 Medida de Radon........................................................................................ 121 Teorema de representación de Riez............................................................ 121 Conjunto Fσ ................................................................................................ 126 Conjunto Gδ ................................................................................................ 126 Teorema de Lusin........................................................................................ 129 Apéndice Teoría Ergódica Transformación que preserva medida......................................................... 133 Teorema de recurrencia de Poincaré........................................................... 133 Espacio dual................................................................................................ 135 Norma operador........................................................................................... 135 Teorema de Riez.......................................................................................... 135 Lema Ergódico maximal ............................................................................ 137 Teorema de Birkhoff................................................................................... 139 - vi - Capítulo 1 Introducción Un problema que se nos presenta en geometría es el de determinar el área o volumen a una región del plano o el espacio. La técnica de integración es una herramienta satisfactoria para solucionar dicho problema en regiones con borde pero es inadecuado para regiones más complicadas. Queremos definir una función µ que a cada conjunto E ⊂ ¡ n con n ∈ ¥ asigna un número µ ( E ) ∈ [ 0, +∞ ) , que llamamos n-dimensional medida de E , tal que µ ( E ) se da por la integral usual cuando E es un conjunto con borde. Así como la integral cumple con algunas propiedades fundamentales pretendemos que esta función cumpla con las mismas. Es decir: i) Si E1 , E2 ,..., Er ,... con Ei ⊂ ¡ n ∀i entonces: ∞ ∞ µ U Ei = ∑ µ ( Ei ) i =1 i =1 Aunque más adelante definiremos en forma precisa, por ahora decimos que si la secuencia de conjuntos es finita, µ es aditiva y si es infinita decimos que µ es σ − aditiva . ii) Si E es congruente con F ( eso es si E se puede obtener por medio de una traslación, rotación o simetría de F ) entonces: µ (E) = µ (F ) Decimos que µ es invariante por isometrías. iii) µ ( Q ) = 1 siendo Q el cubo unidad o sea: Q = { x ∈ ¡ n : 0 ≤ x j < 1 para j = 1,..., n}. Lamentablemente estas propiedades son inconsistentes. Veamos por ejemplo para n = 1 (un razonamiento similar se utiliza para dimensiones mas grandes). Para empezar definimos en [ 0,1) una relación de equivalencia por: x : y ⇔ ∃m, n ∈ ¢ tal que x − y = m + nα con α ∈ ¡ \ ¤ -1- Análisis Real Capítulo 1 -2- Así las clases son de la forma { y + nα ( mod1) : n ∈ ¢} Sea C el conjunto que tiene exactamente un punto en cada clase de equivalencia (se puede por el axioma de elección). Para cada entero n definimos: Cn = C + nα ( mod1) Supongamos que existe una función µ : P ( ¡ ) → [0, +∞ ) que cumpla las propiedades i), ii) y iii) precedentes. Por i) y ii) se tiene que si: a) U Cn = [ 0,1) n∈¢ b) Cn I Cn ' = φ si n ≠ n ' entonces: µ ([ 0,1) ) = µ U Cn = ∑ µ (C n ) = ∑ µ (C ) n∈¢ n∈¢ n∈¢ Pero µ ([ 0,1) ) = 1 mientras que ∑ µ ( C ) = 0 si µ ( C ) = 0 o ∞ si µ ( C ) > 0 , luego no n∈¢ existe dicha función µ que cumpla tales propiedades. Falta demostrar que se cumplen a) y b) a) Si x ∈ [ 0,1) ⇒ ∃x1 ∈ C tal que x : x1 ⇒ x = x1 + m + nα con m,n ∈ ¢ entonces: x = x1 + nα ( mod1) ⇒ x ∈ C b) Sea n ≠ n ' , x ∈ Cn I Cn ' entonces: ∃x1 , x2 ∈ C , m y m ' ∈ ¢ tal que x = x1 + nα + m = x2 + n 'α + m ' luego x1 − x2 = ( n '− n )α + ( m '− m ) ⇒ x1 : x2 1442443 1442443 ∈¢ ∈¢ Pero de acuerdo a como se definió C tiene que ser x1 = x2 y entonces: n − n' 0 = ( n '− n )α + ( m '− m ) ⇒ α = ∈¤ m '− m Y esto es absurdo por ser el α irracional por hipótesis. Luego se cumple que Cn I Cn ' = φ si n ≠ n '. No es posible entonces definir una medida en todos los subconjuntos de ¡ n de modo que valga uno (o algo finito) en el cubo unidad σ − aditiva e invariante por isometrías. Si a la función µ le pedimos que sea solo aditiva tampoco se puede definir una medida consistente, por el teorema de Tarski, -2- Análisis Real Medida -3- Teorema de Tarski Sean A, B ∈ ¡ n con n ≥ 3 no vacíos, abiertos y acotados entonces existen k ∈ ¥ y E1 , E2 ,..., Ek partición del conjunto A y F1 , F2 ,..., Fk partición de B tal que cada Ei es congruente con Fi ∀i = 1,..., k . De esta forma a partir de una naranja podemos dividirla en un número finito de partes tales que se pueden reestructurar para formar la tierra. Este teorema es equivalente al axioma de elección. La dificultad radica en que ¡ n contiene subconjuntos donde no se puede definir geométricamente una medida razonable. Para remediar esto solo definimos medida para una clase de subconjuntos de ¡ n . σ -álgebras Definición 1.1 Sea X un conjunto no vacío, sea P ( X ) el conjunto de partes de X: Se dice que A ⊆ P ( X ) es un álgebra de subconjuntos de X si es una familia no vacía de subconjuntos de X cerrada por complementos y por uniones finitas es decir; A ≠ φ y: i) Si E ∈A ⇒ E C ∈ A ii) Si E , F ∈A ⇒ E U F ∈A Observación 1.1 a)Si E1 , E2 ,..., En ∈A ⇒ U Ei ∈A se justifica por inducción. n i =1 b) X ∈A ya que si E ∈A ⇒ E ∈A y entonces X = E U E C ∈A. c) φ ∈A por la parte anterior X ∈A ⇒ φ = X C ∈A. C d) Si E , F ∈A ⇒ E I F ∈A ; ya que E I F = ( EC U F C ) , además se justifica C por inducción que si E1 , E2 ,..., En ∈A ⇒ I Ei ∈A n i =1 e) Si E , F ∈A ⇒ E \ F ∈A ; ya que E \ F = E I F C . Ejemplo 1.Sea X un conjunto cualquiera entonces el propio P ( X ) es un álgebra de subconjuntos de X. Ejemplo 1.2 A = { X , φ } ⊂ P ( X ) es un álgebra de subconjuntos de X. Observación 1.2 Si tenemos dos álgebras A1 ,A2 entonces A1 I A2 es también un álgebra; y generalizando por inducción si {Ai }i∈¥ es una familia de álgebras entonces A = IAi es un álgebra. i∈¥ -3- Análisis Real Capítulo 1 -4- Ya que si E ∈A ⇒ E ∈Ai ∀i ∈ ¥ ⇒ E C ∈Ai ⇒ E C ∈A análogamente con la unión. Observación 1.3 Sea S ⊂ P ( X ) notamos como a (S ) al álgebra generada por S y es la menor álgebra que contiene a la familia S. n Ejemplo 1.3 Sea I = {( a, b ] : −∞ ≤ a ≤ b ≤ +∞} y sea C = U I k : I k ∈I se tiene k =1 que a (I ) = C Demostración Si E ∈C ⇒ E = U I k′ con los I k′ disjuntos ∈S , lo que se prueba m k =1 por inducción. Supongamos que se cumple para un cierto m entonces: I m+1 m +1 m k =1 k =1 E = U I k = U I k U I m+1 I k′ estos se pueden escribir como unión de disjuntos Luego sustituyendo: m′ E = U I k′ U I m +1 k =1 puede suceder que los I k′ sean disjuntos con I m+1 y se termina, o en caso contrario consideramos I k′ U I m+1 y lo escribimos como la unión de tres intervalos disjuntos, esto es para todo k, luego uniendo nos queda una unión de intervalos disjuntos. Definición 1.2 Sea X un conjunto no vacío, se dice que una familia M ⊆ P ( X ) es una σ - álgebra si M es un álgebra tal que es cerrada por uniones numerables, es decir: ∞ iii) si ( En )n≥1 ⊆ M ⇒ U En ∈ M n =1 Observación 1.4 M es cerrada respecto a intersecciones numerables, ya que: Si ( An )n∈¥ ⊆ M ⇒ ( A ) C n n∈¥ C ∞ ∞ ⊆ M ⇒ U A ∈ M ⇒ U AnC ∈ M y: n =1 n =1 C ∞ ∞ An = U AnC I n=1 n =1 C n -4- Análisis Real Medida -5- Observación 1.5 Si tenemos una familia de σ − álgebras {Mi }i∈I ⇒ IMi es una i∈I σ − álgebra. Observación 1.6 Sea M ⊆ P ( X ) una σ − álgebra sobre X, entonces: M es una σ − álgebra ⇔ Si M es un álgebra y para toda sucesión ( An )n∈¥ ⊆ M tal que Ai I A j = φ si i ≠ j se tiene que U An ∈ M . Lo que estamos n∈¥ afirmando es que para probar la propiedad iii) de σ − álgebra alcanza con hacerlo para uniones disjuntas. Demostración ⇒ es obvio. n −1 ⇐ Si ( Bn )n∈¥ ⊆ M entonces la sucesión ( An )n∈¥ con An = Bn \ U B j es disjunta y j =1 además ( An )n∈¥ ⊆ M por ser M un álgebra y utilizando la observación 1.1 a) y e) n −1 n −1 j =1 j =1 se tiene que si B j ∈ M ∀j = 1,..., n − 1 ⇒ U B j ∈ M y An = Bn \ U B j ∈ M entonces por hipótesis UA n∈¥ n ∈ M pero por construcción UA = UB n∈¥ n n∈¥ n , luego UB n∈¥ n ∈ M. Definición 1.3 Sea S ⊂ P ( X ) , notamos por σ (S ) y llamamos σ - álgebra generada por S a la menor σ − álgebra que contiene a S . Ejemplo 1.4 El propio P ( X ) es una σ − álgebra. Ejemplo 1.5 La familia M = { X , φ } es una σ − álgebra. Ejemplo 1.6 Sea X = {ω1 ,ω 2 ,...,ω n ,...} conjunto numerable. Consideremos S = {{ω1} , {ω 2 } ,...,{ω n } ,...} entonces σ (S ) = P ( X ) . Ejemplo 1.7 Sea X = ¡ y S = {{ x} : x ∈ ¡} entonces [ 0,1] ∉ σ (S ) Ejemplo 1.8 Sea M = { A ⊂ ¡ : A es numerable o AC es numerable} se tiene que M es una σ − álgebra , en particular si S ⊂ M ⇒ σ (S ) ⊂ M entonces como [ 0,1] ∉ M ⇒ [ 0,1] ∉ σ (S ) . -5- Análisis Real Capítulo 1 -6- Definición 1.4 Sea I = {( a, b ] : −∞ ≤ a ≤ b ≤ +∞} entonces σ (I ) es la σ − álgebra que llamamos σ - álgebra de Borel y notamos como B ( ¡ ) . Observación 1.7 a) B ( ¡ ) Ø P ( X ) b) Los intervalos abiertos , los intervalos cerrados los semiabiertos, los puntos pertenecen a B ( ¡ ) . Más en general cualquier abierto pertenece a B ( ¡ ) . Medida Definición 1.6 Sea A un álgebra de subconjuntos de X se dice que: µ : A → [ 0, ∞ ) es una premedida sobre X si: i) µ (φ ) = 0 ii) Si ( En )n≥1 ⊆ A es tal que Ei I F j = φ para i ≠ j , y ∞ UE n =1 n ∈A entonces: ∞ ∞ µ U En = ∑ µ ( En ) n=1 n=1 (se dice que es sigma aditiva, y si las uniones son finitas decimos que es aditiva). En el caso en que A =M sea una σ − álgebra se dice que µ es una medida sobre X, y al par ( X ,M ) le llamamos espacio medible, y a la terna ( X ,M , µ ) espacio de medida. Definición 1.7 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida, si µ ( X ) < ∞, decimos que µ es una medida finita. Definición 1.8 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida, si X = µ ( En ) < ∞ ∀n ∈ ¥ entonces decimos que µ es σ - finita. Ejemplo 1.9 Sea X un conjunto no numerable M = { A ⊂ X : A es numerable o AC es numerable} entonces 0 si E es numerable µ (E) = C 1 si E es numerable es una medida. -6- UE n∈¥ n , con Análisis Real Medida -7- Ejemplo 1.10 Sea # X = ∞ y M = P ( X ) entonces: 0 si # E es finita µ (E) = ∞ en otro caso es una medida. Proposición 1.1 Dado el espacio de medida ( X ,M , µ ) entonces se cumplen las siguientes propiedades: i) Si E , F ∈ M con E ⊆ F ⇒ µ ( E ) ≤ µ ( F ) (monotonía). ii) Si { Ei }i∈¥ ⊆ M ⇒ µ U Ei ≤ ∑ µ ( Ei ) (subaditividad numerable). i∈¥ i∈¥ iii) Si { Ei }i∈¥ ⊆ M sucesión monótona creciente, E1 ⊂ E2 ⊂ ... ⊂ En ⊂ ... entonces: µ U En = lim µ ( En ) n∈¥ n→∞ iv) Si { Ei }i∈¥ ⊆ M sucesión monótona decreciente, E1 ⊃ E2 ⊃ ... ⊃ En ⊃ ... de conjuntos de medida finita entonces: µ I En = lim µ ( En ) n∈¥ n→∞ Demostración i) Como F = E U ( E C I F ) y aplicando la propiedad ii) de medida: µ ( F ) = µ ( E ) + µ ( EC I F ) ≥ µ ( E ) 14444244443 ≥0 ii) Definimos una sucesión de conjuntos disjuntos dos a dos: F1 = E1 F2 = E2 \ E1 ∞ ∞ M ⇒ U Fn = U En n =1 n =1 n −1 Fn = En \ U Ei i =1 M Como los Fi son disjuntos dos a dos podemos aplicar la propiedad ii) de la definición de medida. Fn ⊆ En } µ U En = µ U Fn = ∑ µ ( Fn ) ≤ ∑ µ ( En ) n∈¥ n∈¥ n∈† n∈¥ iii) Si ∃n0 ∈ ¥ tal que µ ( En0 ) = ∞ ya está; en otro caso: -7- Análisis Real Capítulo 1 -8- ∞ µ U En = µ U ( En \ En−1 ) = ∑ µ ( En \ En−1 ) = n∈¥ n∈¥ n =1 n n = lim ∑ µ ( Ei \ Ei −1 ) = lim µ U ( Ei \ Ei −1 ) = lim µ ( En ) n→∞ n→∞ 1444442444443 n→∞ i =1 i =1 = En iv) análogamente que el caso anterior. Las propiedad de monotonía se cumple también si µ es una premedida, y la propiedad ii) también se cumple pero está sería la subaditividad finita Medida Exterior Definición 1.9 Dado un espacio medible ( X ,M ) y la función: µ ∗ : P ( X ) → [ 0, ∞ ] se le llama medida exterior si cumple con las siguientes propiedades : i) µ ∗ (φ ) = 0 ii) Si E ⊆ F entonces µ ∗ ( E ) ≤ µ ∗ ( F ) ∞ ∞ ∗ iii) µ U En ≤ ∑ µ ( En ) n=1 n=1 ∗ Definición 1.10 Sea µ ∗ una medida exterior sobre X, decimos que A ⊆ X es µ ∗ - medible si ∀E ⊆ X se tiene: µ ∗ ( E ) = µ ∗ ( E I A ) + µ ∗ ( E I AC ) Observación 1.8 Como E = ( E I A ) U ( E I AC ) por la propiedad iii) de medida exterior se tiene µ ∗ ( E ) ≤ µ ∗ ( E I A ) + µ ∗ ( E I AC ) entonces para demostrar la igualdad de la definición alcanza con probar: µ ∗ ( E ) ≥ µ ∗ ( E I A ) + µ ∗ ( E I AC ) Lema 1.2 Sea X un conjunto y µ ∗ una medida exterior definida en él. Sea M = { A ⊆ X : A es µ ∗ − medible} ⊆ P ( X ) entonces M es una σ − álgebra Demostración Probemos primero que es una álgebra para lo cual tenemos que probar: i) Si A ∈ M ⇒ AC ∈ M Lo cual se cumple por la simetría de la definición de µ ∗ − medible respecto a AC -8- Análisis Real Medida -9- ii) Si A, B ∈ M ⇒ A U B ∈ M Como A ∈ M ⇒ ∀E ⊆ X se tiene que µ ∗ ( E ) = µ ∗ ( E I A ) + µ ∗ ( E I AC ) y como B ∈M tomando como E a E I A y a E I AC se tiene: µ ∗ ( E I A) = µ ∗ ( E I A I B ) + µ ∗ ( E I A I BC ) µ ∗ ( E I AC ) = µ ∗ ( E I AC I B ) + µ ∗ ( E I AC I B C ) luego sustituyendo: µ ∗ ( E ) = µ ∗ ( E I A I B ) + µ ∗ ( E I A I B C ) + µ ∗ ( E I AC I B ) + µ ∗ ( E I AC I B C ) = ( = µ ∗ ( E I ( A I B )) + µ ∗ ( E I ( A \ B )) + µ ∗ ( E I ( B \ A)) + µ ∗ E I ( A U B ) ( ≥ µ∗ ( E I ( A U B )) + µ∗ E I ( A U B ) C ) C )≥ por ser ( A \ B ) U ( B \ A ) U ( A I B ) = A U B y µ subaditiva por ser medida exterior. ∗ En consecuencia si A1 , A2 ,..., An ∈ M ⇒ U Ai ∈ M n i =1 Para ver que M es una σ − álgebra vasta probar que es cerrada por uniones numerables disjuntas, por la observación 1.5. Sea ( An )n∈¥ ⊆ M una colección disjunta de conjuntos y sea A = U An y sea n∈† Bn = U Ai entonces para todo E ⊆ X se tiene: n i =1 µ ( E I Bn ) = µ ∗ ( E I Bn I An ) + µ ∗ ( E I Bn I AnC ) = µ ∗ ( E I An ) + µ ∗ ( E I Bn−1 ) ∗ = µ ∗ ( E I An ) + µ ∗ ( E I Bn−1 I An−1 ) + µ ∗ ( E I Bn−1 I AnC−1 ) = = µ ∗ ( E I An ) + µ ∗ ( E I An−1 ) + µ ∗ ( E I Bn−2 ) = ... M n = ∑ µ ∗ ( E I Aj ) j =1 Entonces: µ ∗ ( E ) = µ ∗ ( E I Bn ) + µ ∗ ( E I BnC ) n = ∑ µ ∗ ( E I A j ) + µ ∗ ( E I BnC ) j =1 Como Bn ⊂ A ⇒ A ⊂ B ⇒ µ ( E I BnC ) ≥ µ ∗ ( E I AC ) y sustituyendo: C C n ∗ n µ ∗ ( E ) ≥ ∑ µ ∗ ( E I A j ) + µ ∗ ( E I AC ) j =1 pasando al límite -9- Análisis Real Capítulo 1 - 10 - ∞ µ ∗ ( E ) ≥ ∑ µ ∗ ( E I An ) + µ ∗ ( E I AC ) n =1 ∗ y como µ es subaditiva ∞ µ ( E ) ≥ µ U ( E I An ) + µ ∗ ( E I AC ) n=1 ∞ ∗ ≥ µ E I U An + µ ∗ ( E I AC ) 1442443 n =1 =A ∗ ∗ ≥ µ ( E I A ) + µ ( E I AC ) ∗ ∗ luego A∈M. Lema 1.3 Dada un conjunto X y una familia F ⊆ P ( X ) tal que φ ,X ∈F y sea ρ una función ρ : F → [ 0, +∞ ] tal que ρ (φ ) = 0 llamada función elemental de conjuntos se define: µ ∗ : P ( X ) → [ 0, +∞ ] tal que: ∞ µ ∗ ( E ) = inf ∑ ρ ( E j ) : E ⊆ U E j con E j ∈F ∀j ∈ ¥ j∈¥ j =1 ∗ entonces µ es una medida exterior y decimos que es inducida por ρ . Demostración Como i) φ ∈F y φ ⊂ φ ⇒ 0 ≤ µ ∗ (φ ) ≤ ρ (φ ) = 0 ⇒ µ ∗ (φ ) = 0 ii) Si E ⊆ F y F ⊆ U Fi , con Fi ∈F ∀i ∈ ¥ entonces E ⊆ U Fi y por definición: i∈¥ i∈¥ µ ∗ ( E ) = inf ∑ ρ ( Ei ), E ⊆ U Ei y Ei ∈F i∈¥ i∈¥ pero cada cubrimiento de F lo es también de E entonces: µ ∗ ( E ) ≤ inf ∑ ρ ( Fi ), E ⊆ F ⊆ U Fi , y Fi ∈F = µ ∗ ( F ) i∈¥ i∈¥ ∞ ∞ iii) Probaremos ahora la subaditividad o sea: µ ∗ U En ≤ ∑ µ ∗ ( En ) n=1 n=1 Dado ε > 0 por definición de ínfimo para cada n existe una sucesión de conjuntos ( Fjn ) j∈¥ ⊆ F tal que: µ ∗ ( En ) + ∞ ∞ ε n ρ ≥ F con E ⊆ Fjn ( ) ∑ j U n 2n j =1 j =1 entonces: - 10 - Análisis Real Medida - 11 - ε ∞ ∞ ∗ µ E + ≥ ∑ ∑ ρ ( F jn ) ( ) ∑ n n 2 n =1 j =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ n n ∗ ∗ µ E + ε ≥ ρ F ≥ ρ F ≥ µ ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ n ∑ j j U En n =1 n =1 n =1 j =1 n , j =1 ∞ ∞ ya que ∞ ∞ U En ⊆ UU Fjn = n =1 n =1 j =1 ∞ UF n , j =1 n j y luego por ser ε > 0 arbitrario: ∞ ∗ ∗ µ E ≥ µ ( ) ∑ n U En n=1 n =1 En el caso en que ρ sea una premedida σ − aditiva , es decir una función que notaremos por µ 0 definida sobre un álgebra A ; µ 0 : A → [0, +∞ ] σ − aditiva tenemos el Teorema de Carateodory. ∞ Proposición 1.4 (Teorema de Carathedory) Sea X un conjunto, A un álgebra definida en X, y una premedida σ − aditiva µ 0 : A → [0, +∞ ] entonces existe una medida µ definida en σ (A ) tal que: µ |A = µ 0 llamada extensión de µ 0 Demostración Sea A ⊆ X definimos µ ∗ : P ( X ) → [ 0, +∞ ] como: µ ∗ ( A ) = inf ∑ µ 0 ( An ) : ( An ) ⊆ A , A ⊆ U An n∈¥ n∈¥ Por el lema anterior sabemos que es una medida exterior, y sea: M = { A ⊆ X : A es µ ∗ − medible} que por el lema 1.2 es una σ − álgebra Probaremos que i) A ⊆ M ⇒ σ (A ) ⊆ M ii) µ ∗ |M es una medida, y por lo tanto es la extensión µ de µ 0 a la σ (A ) de la tesis. i) Sea A ∈A , E ⊆ X y para cada ε > 0 dado por definición de ínfimo sea ( Bn ) ⊆ A tal que: ∞ ∞ n =1 n =1 µ ∗ ( E ) + ε ≥ ∑ µ 0 ( Bn ), E ⊆ U Bn como µ 0 es una premedida σ − aditiva , es en particular aditiva y podemos escribir: - 11 - Análisis Real Capítulo 1 - 12 - ∞ µ ∗ ( E ) + ε ≥ ∑ µ 0 ( Bn I A ) + µ 0 ( Bn I AC ) = n =1 ∞ ∞ = ∑ µ 0 ( Bn I A ) + ∑ µ 0 ( Bn I AC ) n =1 ∞ n =1 ∞ ∞ y como E ⊆ U Bn ⇒ E I A ⊆ U ( Bn I A ) y E I A ⊆ U ( Bn I AC ) entonces: C n =1 n =1 ∞ n =1 ∞ µ ∗ ( E ) + ε ≥ ∑ µ 0 ( Bn I A ) + ∑ µ 0 ( Bn I AC ) ≥ n =1 ≥ µ ( E I A) + µ ( E I A ∗ ∗ C n =1 ) luego como ε es arbitrario: µ ∗ ( E ) ≥ µ ∗ ( E I A ) + µ ∗ ( E I AC ) y A∈ M ⇒A ⊆ M y como M es una σ − álgebra ⇒ σ (A ) ⊆ M ii) Probaremos que µ ∗ |M es una medida, y para ello primero demostramos que es aditiva para después demostrar que es σ − aditiva. Sean A, B ∈ M con A I B = φ ; como A es µ ∗ − medible , y A U B ⊂ X se tiene: µ ∗ ( A U B ) = µ ∗ ( A U B ) I A + µ ∗ ( A U B ) I AC = µ ∗ ( A) + µ ∗ ( B ) 14444244443 1444442444443 =A =B ∗ luego µ es aditiva sobre M . n ∞ i =1 i =1 Sea ( An )n∈¥ ⊂ M con Ai I A j = φ si i ≠ j y llamemos Bn = U Ai , y A = U Ai Como Ai ∈ M ∀i = 1,..., n se tiene ∀E ⊂ X que: µ ∗ ( E I Bn ) = µ ∗ ( E I Bn I An ) + µ ∗ ( E I Bn I AnC ) = = µ ∗ ( E I An ) + µ ∗ ( E I Bn−1 ) = = µ ∗ ( E I An ) + µ ∗ ( E I Bn−1 I An−1 ) + µ ∗ ( E I Bn−1 I AnC−1 ) = = µ ∗ ( E I An ) + µ ∗ ( E I An−1 ) + µ ∗ ( E I Bn− 2 ) = M n = ∑ µ ∗ ( E I Ai ) i =1 Entonces como Bn ∈M ∀E ⊂ X : µ ∗ ( E ) = µ ∗ ( E I Bn ) + µ ∗ ( E I BnC ) C ≥ n Bn ⊃ A pasando al límite n → ∞ : - 12 - C ∑µ i =1 ∗ ( E I Ai ) + µ ∗ ( E I AC ) Análisis Real Medida ∞ - 13 - ∞ µ ( E ) ≥ ∑ µ ( E I Ai ) + µ ( E I A ) ≥ µ U ( E I Ai ) + µ ∗ ( E I AC ) = i =1 i =1 ∞ = µ ∗ E I U Ai + µ ∗ ( E I AC ) = µ ∗ ( E I A) + µ ∗ ( E I AC ) ≥ µ ∗ ( E ) obs. 1.8 i =1 luego todas las desigualdades tienen que ser igualdades, y tomando a E = A ∞ ∞ ∗ ∗ ∗ ∗ C µ ( A ) = ∑ µ A I Ai + µ 144244 A I A 3 = ∑ µ ( Ai ) 1442443 i =1 =φ i =1 = Ai y se tiene que µ ∗ es σ − aditiva sobre M Además hay que ver que µ ( A ) = µ 0 ( A ) ∀A ∈A es decir que µ ∗ ( A ) = µ 0 ( A ) ∗ ∗ ∗ ∗ C ∞ ∞ µ ∗ ( A ) = inf ∑ µ 0 ( An ) : A ⊆ U An , An ∈A ∀n ∈ ¥ n =1 n =1 tomando A1 = A y An = φ ∀n > 1 entonces: µ ∗ ( A ) ≤ µ 0 ( A) ∞ n −1 Por otro lado si ( An ) ⊆ A tal que A ⊆ U An entonces sea Bn = An \ U Ak de esta n =1 ∞ forma los Bn son 2 a 2 disjuntos y k =1 ∞ UB = UA n =1 n n n =1 ⊇ A entonces: ∞ ∞ µ 0 ( A ) = µ 0 ( AI â Bn ) = µ 0 ( â ( A I Bn ) ) = ∑ µ 0 ( A I Bn ) ≤ ∑ µ 0 ( An ) 144424443 n =1 n =1 ⊆ An ∞ ∞ es decir que µ 0 ( A ) ≤ ∑ µ 0 ( An ) tal que A ⊆ U An pasando al ínfimo: n =1 ∞ n =1 ∞ µ 0 ( A ) ≤ inf ∑ µ 0 ( An ) : A ⊆ U An = µ ∗ ( A ) n=1 n =1 desigualdades se tiene que coinciden. luego al cumplirse las dos Proposición 1.5 En las mismas hipótesis que la proposición anterior si además le pedimos que µ 0 sea finita (o σ − finita ) entonces la extensión µ de µ 0 a σ (A ) es única. Demostración Sea µ1 = µ ∗ |M como en la proposición anterior y supongamos que µ 2 es otra extensiones de µ 0 a σ (A ) , luego: µ1 |A = ( µ 0 ) = µ 2 |A Al igual que la proposición anterior sea: M = { A ⊆ X : A es µ ∗ − medible} - 13 - Análisis Real Capítulo 1 - 14 - como ya probamos M es σ − álgebra que contiene a la generada por A. Tenemos que probar que µ1 |M = µ 2 |M . Primero probaremos que coinciden en un conjunto de medida finita. Sea E ∈ M tal que µ1 ( E ) < ∞ entonces µ1 ( E ) = µ 2 ( E ) Tenemos que ∀E ∈M : porque en A , µ 2 = µ 0 µ1 ( E ) = inf ∑ µ 0 ( An ) : E ⊆ U An , An ∈A ∀n = inf ∑ µ 2 ( An ) : E ⊆ U An n∈¥ n∈¥ n∈¥ n∈¥ Por otro lado como µ 2 es una medida sobre M ⊇ σ (A ) : ∑µ n∈¥ 2 ( An ) ≥ µ2 U An ≥{ µ2 ( E ) n∈¥ E ⊆ U An n∈¥ en particular esto vale para el ínfimo y se tiene: µ1 ( E ) ≥ µ 2 ( E ) Recordemos que si Bn ⊆ Bn+1 entonces µ U Bn = lim µ ( Bn ) n∈¥ Sea en nuestro caso Bn = U A j y llamemos A = U An con ( An ) ⊂ A se cumple: n n∈¥ j =1 n n µ1 ( A ) = µ1 U An = lim µ1 U Aj = lim µ 2 U Aj = µ 2 U An = µ 2 ( A) n∈¥ n∈¥ j =1 1442443 j =1 ∈A luego µ1 ( A ) = µ 2 ( A ) (1) Por ser µ1 ( E ) < ∞ se tiene que para cada ε > 0 ∃( An ) ⊆ A tal que E ⊆ µ1 ( E ) + ε ≥ ∑ µ 0 ( An ) n∈¥ = µ 0 = µ1 sobre A ∑µ (A ) n∈¥ 1 n UA n∈¥ n y: µ1 U An = µ1 ( A ) µ1 es medida sobre M n∈¥ ≥ y nos queda: µ1 ( A ) − µ1 ( E ) = µ1 ( A \ E ) ≤ ε Como A \ E ∈M , por lo ya demostrado µ1 ( A \ E ) ≥ µ 2 ( A \ E ) entonces: µ1 ( E ) ≤ µ1 ( A ) = µ 2 ( A ) = µ 2 { A I E + µ 2 144244 A I E C3 ≤ E⊂A (1) E∈M =E A\ E ≤ µ 2 ( E ) + µ1 ( A \ E ) ≤ µ 2 ( E ) + ε y como ε es arbitrario se tiene que µ1 ( E ) ≤ µ 2 ( E ) y por lo tanto se cumple la igualdad. Con lo que tenemos probado que coinciden en un conjunto de medida finita. Ahora como X = â X n , con µ1 ( X n ) < ∞ ; sea E cualquiera en M , entonces: n∈¥ - 14 - Análisis Real Medida por ser E = E I X = E I â X n = â E I X n n∈¥ n∈¥ ( ) - 15 - µ1 ( E ) = µ1 â E I X n = ∑ µ1 ( E I X n ) n∈¥ n∈¥ y como E I X n ⊆ X n ⇒ µ1 ( E I X n ) ≤ µ1 ( X n ) < ∞ y por lo ya probado: ( ) µ1 ( E ) = ∑ µ1 ( E I X n ) = ∑ µ 2 ( E I X n ) = µ 2 â E I X n = µ 2 ( E ) n∈¥ n∈¥ n∈¥ Definición 1.11Dada una medida µ : M → [0, ∞ ] definida en una σ − álgebra M se dice que E ∈M tiene medida nula si: µ (E) = 0 Definición 1.12 Dado un espacio de medida ( X ,M , µ ) se dice que F ∈P ( X ) es µ - nulo si F ⊆ E con E ∈ M tal que µ ( E ) = 0. Definición 1.13 Dado un espacio de medida ( X ,M , µ ) decimos que es completo si para todo F ⊆ X tal que F es µ − nulo ⇒ F ∈M. De acuerdo a estas definiciones y aplicando lo demostrado en el teorema de Carathedory podemos enunciar la siguiente proposición. Proposición 1.6 Dado un conjunto X sea µ ∗ : P ( X ) → [ 0, +∞ ] una medida exterior y sea M = { A ⊆ X : A es µ ∗ − medible} entonces: i) M es una σ − álgebra. ii) µ ∗ |M es una medida completa. Demostración La afirmación i) ya fue demostrada y la ii) se demostró que µ ∗ |M es una medida, ahora para probar que es completa alcanza con probar que si A ⊆ X tal que µ ∗ ( A ) = 0 ⇒ A ∈M , y para eso consideremos E ⊆ X : 0 ≤ µ ∗ ( E I A ) + µ ∗ ( E I AC ) ≤ µ ∗ ( E I AC ) 14444244443 ≤ µ ∗ ( A) =0 ≤ { E I AC ⊆ E luego A es µ ∗ − medible ⇒ A ∈M. Definición 1.14 Dado un espacio de medida ( X ,M , µ ) sea: M = { A U N : A ∈ M , N es µ − nulo} a M se le llama completación de M. - 15 - µ∗ (E ) Análisis Real Capítulo 1 - 16 - Observación 1.9 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y M la completación de M entonces M ⊆ M . Ya que φ es µ − nulo ⇒ ∀A ∈ M A = A U φ ∈ M. En el caso que ( X ,M , µ ) es completo entonces M = M. Proposición 1.7 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y M la completación de M entonces M es una σ − álgebra y si definimos µ : M → [ 0, +∞ ] como: µ ( A U N ) = µ ( A ) donde N es µ − nulo se tiene que µ es una medida en ( X ,M ) y es completa. Demostración Sea H n = An U Fn con An ∈ M , Fn ⊆ En tal que En ∈ M , µ ( En ) = 0 por definición H n ∈ M ∀n ∈ ¥ y tenemos que: UH n∈¥ n = U ( An U Fn ) = U An U U Fn n∈¥ n{ n∈¥ ∈¥ ∈M ⊆ U En y 0 ≤ µ U En ≤ ∑ µ ( En ) = 0 luego 43 n∈¥ n∈¥ 14424 n∈¥ n∈¥ =0 Sea H = A U F con F ⊆ E , E ∈ M y µ ( E ) = 0 y como UF n UH n∈¥ n ∈M HC = (AU F) = { AC I F C C ∈M y se tiene que F ⊆ E ⇒ E ⊆ F entonces: H C = AC I F C I E C â AC I F C I E y como AC I F C I E ⊆ E ⇒ ( AC I F C I E ) es µ − nulo C C además AC I FC I E C = A C I E C y se tiene que: C A, E ∈ M ⇒ A U E ∈ M ⇒ ( A U E ) ∈ M luego H C ∈M y se tiene que M es una σ − álgebra Ahora queremos ver que µ está bien definido, es decir que si: H = A U F = A′ U F ′ con A, A′ ∈ M y F , F ′µ − nulos ⇒ µ ( A ) = µ ( A′ ) F , F ′µ − nulos ⇒ existen E , E ′ ∈ M tal que F ⊆ E , F ′ ⊆ E ′ y µ ( E ) = µ ( E ′ ) = 0 entonces como: A ⊂ H = A′ U F ′ ⊂ A′ U E ′ se tiene µ ( A ) ≤ µ ( A′ U E′ ) ≤ µ ( A′ ) + µ ( E ′ ) = µ ( A′ ) ⇒ µ ( A ) ≤ µ ( A′ ) por el mismo 1442443 =0 razonamiento resulta µ ( A′ ) ≤ µ ( A ) ⇒ que son iguales. Ahora probamos que es una medida. µ (φ ) = µ (φ ) = 0 - 16 - Análisis Real Medida ya que φ = φ{ U φ ∈M ( Por otro lado µ â H n n n∈¥ ) ( ) - 17 - = An = ∑ µ ( An ) {= { µ nâ ∈¥ por def. n∈¥ ∑µ (H por def. n∈¥ n ) ⇒ es σ − aditiva y por lo tanto µ es una medida. Sea L µ − nulo ⇒ L ⊂ H ∈ M tal que µ ( H ) = 0 , y H ∈ M ⇒ H = A U F con A∈M y F µ − nulo se tiene que µ ( H ) = µ ( A ) = 0 además por ser F µ − nulo ⇒ F ⊂ E , E ∈ M y µ ( E ) = 0 entonces: L ⊂ A U F ⊂ A U E y µ ( A U E ) = 0 ⇒ L es µ − nulo y como se puede escribir L = φ{ U L { ⇒ L ∈ M ⇒ M es completa. µ − nulo ∈M Proposición 1.8 (Teorema de aproximación) Dado un conjunto X y en el un álgebra A sea: µ 0 : A → [0, +∞ ] una premedida σ − aditiva definimos µ ∗ : P ( X ) → [ 0, +∞ ] tal que: ∞ ∞ µ ∗ ( E ) = inf ∑ µ 0 ( A j ) : E ⊆ U A j , A j ∈A ∀j ∈ ¥ j =1 j =1 ∗ y sea M = { A ⊆ X : A es µ − medible} , entonces si E ∈ M con µ ( E ) < ∞ y dado ε > 0 se tiene que ∃Aε ∈A tal que : µ ( EV Aε ) < ε siendo µ la extensión de µ 0 a M (como ya fue visto en la proposición 1.4) Demostración Podemos tomar una sucesión ( An ) ⊆ A de elementos disjuntos con E ⊆ â An tales que: n∈¥ ∞ µ ( E ) ≤ ∑ µ ( An ) < µ ( E ) + n =1 Como la serie converge existe N ∈ ¥ tal que: ∞ ε 2 ε ∑µ(A ) < 2 n= N N −1 ∞ j =1 n =1 n definimos Aε = U Aj ; y sea A = U An ⇒ Aε ⊂ A y: Ahora EV Aε = ( E \ Aε ) â ( Aε \ E ) - 17 - Análisis Real Capítulo 1 µ ( Aε \ E ) ≤ µ ( A \ E ) = { por ser µ ( E )<∞ - 18 - µ ( A ) − µ ( E ) = µ ( â An ) − µ ( E ) = ∞ = ∑ µ ( An ) − µ ( E ) < µ ( E ) + n =1 ε ε − µ (E ) = 2 2 Por otro lado ε ∞ ∞ µ ( E \ Aε ) ≤ µ ( A \ Aε ) = µ U An = ∑ µ ( An ) < 2 n= N n= N luego: µ ( EV Aε ) < ε Definición 1.15 Una medida cuyo dominio de definición sea la σ − álgebra de Borel B ( ¡ ) o simplemente B , se le llamamos medida de Borel. Proposición 1.9 Sea µ : B → [ 0, +∞ ] una medida de Borel tal que si E ∈B y es acotado, sea µ ( E ) < ∞ . Definimos F : ¡ → ¡ como: µ ( ( 0, x ]) si x ≥ 0 F ( x) = − µ ( ( x, 0]) si x < 0 Entonces F es creciente y continua por la derecha y además F ( 0 ) = 0 Demostración Probaremos primero que es creciente. Para lo cual distinguimos varios casos: i) Si x ≥ 0 > y ⇒ F ( x ) ≥ 0 ≥ F ( y ) y 0 x ii)Si x > y ≥ 0 ⇒ F ( x ) = µ ( ( 0, x ]) = µ ( ( 0, y ]) + µ ( ( y, x ]) = = F ( y ) + µ ( ( y , x ]) ≥ F ( y ) 144424443 0 y x ≥0 iii)Si x ≤ y ≤ 0 ⇒ F ( x ) = − µ ( ( x, 0]) = − µ ( ( x, y ]) − µ ( ( y ,0]) = = − µ ( ( x, y ] ) + F ( y ) ≤ F ( y ) 14444244443 x y ≤0 Ahora probaremos que es continua por la derecha. Si x ≥ 0 y ( xn ) es una sucesión decreciente tal que xn → x entonces: ∞ F ( x ) = µ ( ( 0, x ]) = µ I ( 0, xn ] = lim µ ( ( 0, xn ]) = lim F ( xn ) n=1 por ser µ ( ( 0, xn ]) < ∞ ∀n ∈ ¥ y ( 0, xn ] ⊆ ( 0, xn−1 ] ∀n > 1 Análogamente si x < 0 con ( x, 0] = U ( xn , 0] n∈¥ - 18 - 0 Análisis Real Medida - 19 - F ( 0 ) = µ ( ( 0, 0]) = µ (φ ) = 0 Observación 1.10 Si a < b y a, b ≥ 0 entonces: µ ( ( a, b ]) = µ ( ( 0, b ] \ ( 0, a ]) = µ ( ( 0, b ]) − µ ( ( 0, a ]) = F ( b ) − F ( a ) Igual en los demás casos. En el ejemplo 1.3 definimos sobre el conjunto I = {( a, b ] : −∞ ≤ a ≤ b ≤ +∞} el álgebra generado por I que en su momento notamos por C = a (I ) y que ahora notaremos solo por A para referirnos al álgebra de las uniones finitas de intervalos semiabiertos del tipo ( a, b ] admitiendo a = −∞ y b = +∞ y en este caso ( a, +∞] = ( a, +∞ ) . Sobre esta álgebra A establecemos la siguiente proposición. Proposición 1.10 Sea A el álgebra recién mencionada y sea F : ¡ → ¡ una función creciente, continua por la derecha, entonces si definimos la función µ F : A → [0, +∞ ] de manera que si la sucesión de intervalos disjuntos dos a dos ( ( ai , bi ])in=1 ⊂ A se tiene: n n µ F â ( ai , bi ] = ∑ F ( bi ) − F ( ai ) i =1 i =1 µ F (φ ) = 0 µ F así definida es una premedida. Demostración Primero tenemos que ver que µ F está bien definida, es decir que si: n m n m A = â ( ai , bi ] = â ( c j , d j ⇒ µ F â ( ai , bi ] = µ F â ( c j , d j i =1 i =1 i =1 i =1 veamos primero que para el caso en que â( a , b ] = ( a, b ] con n i =1 i i ( ( ai , bi ])in=1 son disjuntos y su unión a = a1 < b1 = a2 < b2 = a3.....an < bn = b se tiene: n µ F ( ( a, b ]) = ∑ F ( bi ) − F ( ai ) = F ( b ) − F ( a ) i =1 luego no depende de la partición del intervalo. En el caso general tenemos usando la definición y la igualdad anterior para cada intervalo tenemos: m m µ F â ( c j , d j = ∑ µ F ( c j , d j j =1 j =1 entonces si llamamos I i = ( ai , bi ] y I j = ( c j , d j podemos escribir: - 19 - Análisis Real Capítulo 1 si A = â i =1I i = â j =1I j entonces n ∑µ m - 20 - ( I i ) = ∑ µ F ( I i I I j ) = ∑ µ F ( I j ) luego µ F F i i, j j esta bien definida. Para ver que es una premedida tenemos que probar que si ( An ) ⊆ A elementos son dos a dos disjuntos y UA n n∈¥ ( ) cuyos ∈A entonces µ F â An = ∑ µ F ( An ) . n∈¥ n∈¥ A = â An = ( a, b ] , y que ( an , bn ] = An ∀n ∈ ¥ entonces Se puede suponer que n∈¥ podemos escribir: N ∞ A = âAn = âAn U â An n=1 n= N +1 n =1 ∞ y como A, âAn ∈A ⇒ N n =1 â A ∈A ∞ n = N +1 N n y: ∞ N N µ F ( A ) = µ F âAn + µ F â ≥ µ F âAn = ∑ µ F ( An ) ∀N n=1 n= N +1 n=1 n =1 pasando al límite respecto a N: N ∞ N 01 n =1 µ F ( A ) ≥ lim ∑ µ F ( An ) = ∑ µ F ( An ) N →∞ Para demostrar la desigualdad contraria supongamos −∞ < a < b < +∞. Dado ε > 0 como F es continua por la derecha ⇒ ∃δ > 0 tal que: F ( a + t ) − F ( a ) < ε ∀t ∈ [ 0, δ ] entonces existen δ n > 0 tal que F ( bn + t ) − F ( bn ) < ε n si t ∈ [ 0, δ n ] 2 La familia de intervalos ( an , bn + δ n )n∈¥ es un cubrimiento por abiertos de [ a + δ , b ] que es compacto, luego existe un subcubrimiento finito y sea: {( an1 , bn1 + δ n1 ) ,..., ( ank , bnk + δ nk )} el de cardinal mínimo. A menos de una reordenación se puede suponer que an1 < an2 < ... < ank y además bni + δ ni ∈ ( ani+1 , bni+1 + δ ni +1 ) an1 bn1 + δ n1 an2 entonces bn2 + δ n2 µ F ( A ) = µ F ( ( a, b ] ) = µ F ( ( a, a + δ ] ) + µ F ( ( a + δ , b ] ) = = F ( a + δ ) − F ( a ) + µ F ( ( a + δ , b ]) < ε + µ F ( ( a + δ , b ]) 144444424444443 <ε usando el cubrimiento: - 20 - Análisis Real Medida - 21 - k µ F ( A ) < ε + µ F ( ( a + δ , b ]) ≤ ε + µ F U ( ani , bni + δ ni ) ≤ i =1 ≤ ε + ∑ µ F ( ( ani , bni + δ ni ) ) = ε + ∑ F ( bni + δ ni ) − F ( ani ) = k k i =1 i =1 k = ε + ∑ F ( bni + δ ni ) − F ( bni ) + F ( bni ) − F ( a ni ) = i =1 k k = ε + ∑ F ( bni + δ ni ) − F ( bni ) + ∑ F ( bni ) − F ( ani ) ≤ 1444444442444444443 i =1 n =1 <ε 2n k ∞ ∞ ε ε µ a b , ε µ F ( An ) + < + + ∑ ∑ ∑ F ( ( ni ni ) n n 2 n =1 2 i =1 1444442444443 n 1 n 1 = = { = µ F ( An ) k ≤ε +∑ =ε i es decir que para cada ε > 0 arbitrario se tiene: ∞ µ F ( A ) < 2ε + ∑ µ F ( An ) n =1 ∞ luego µ F ( A ) ≤ ∑ µ F ( An ) y por lo tanto son iguales y µ F es una premedida. n =1 Si a = −∞ para cualquier h < ∞ la familia de intervalos ( an , bn + δ n )n∈¥ es un cubrimiento de [ −h, b ] , así que el mismo razonamiento que antes da: ∞ F ( b ) − F ( −h ) ≤ 2ε + ∑ µ F ( An ), n =1 Por otro lado si b = +∞ para cualquier h < ∞ obtendremos igualmente que: ∞ F ( h ) − F ( a ) ≤ 2ε + ∑ µ F ( An ) n =1 El resultado deseado se obtiene al hacer ε → 0 y h → +∞ . Definición 1.16 La extensión de la premedida del enunciado anterior a la σ − álgebra (σ (A ) ) que no es otra que la σ − álgebra de Borel (B ( ¡ ) ) se le llama medida de Borel-Stieltjes asociada a F. Proposición 1.11 a) Si F : ¡ → ¡ es una función creciente y continua por la derecha, entonces existe una única medida de Borel-Stieltfjes asociada a F tal que: µ F ( ( a, b ] ) = F ( b ) − F ( a ) Si G es otra función tal que µ F = µG entonces: F − G es constante b) El mapa F Î µ F es una biyección entre los conjuntos: - 21 - Análisis Real Capítulo 1 - 22 - {F : creciente, continua por la derecha y F ( 0 ) = 0} y las medidas {µ : B → [0, +∞ ] : medida tal que µ ( E ) < ∞ si E es acotado} . de Borel Demostración a) Por la proposición anterior el mapa µ F′ tal que: n n µ F′ â ( ai , bi ] = ∑ F ( bi ) − F ( ai ) n =1 i =1 es una premedida, y es σ − finita ya que ¡ = â ( n, n + 1] y: n∈¢ µ F′ ( ¡ ) = ∑ µ F′ ( ( n, n + 1]) = ∑ F ( n + 1) − F ( n ) 144444424444443 n∈¢ n∈¢ <∞ ¡ es unión numerable de conjuntos de medida finita ⇒ la premedida es σ − finita. Por la proposición 1.5 se extiende de manera única a una medida µ F : B → [ 0, +∞ ]. Supongamos que G es tal que: µ F = µG Sea a < b entonces: µ F ( ( a , b ]) = µ G ( ( a , b ] ) ⇒ F ( b ) − F ( a ) = G ( b ) − G ( a ) ⇒ F (b ) − G (b) = F ( a ) − G ( a ) ∴ ( F − G )( b ) = ( F − G )( a ) y como a y b son arbitrarios ⇒ ( F − G ) es constante. b) El mapa F → µ F por lo anterior y la condición F ( 0 ) = 0 ⇒ es inyectivo, pero por la proposición 1.9 es sobre. Definición 1.17 Dada una función creciente y continua por la derecha por la proposición 1.10 genera una premedida µ F′ : A → [, 0 + ∞ ] si definimos la medida exterior µ F∗ : P ( ¡ ) → [0, +∞ ] como: µ F∗ ( E ) = inf ∑ µ F′ ( ( an , bn ]) : E ⊆ U ( an , bn ] n∈¥ n∈¥ ∗ y si llamamos MF = {E ⊆ ¡ : E es µ F − medible} tenemos que es una σ − álgebra y por la proposición 1.5 µ F := µ F∗ |MF es una medida completa. Además A ⊆B ⊆ MF y µ F |A = µ F′ entonces llamamos σ - álgebra de conjuntos medibles de Lebesgue a MId. que notamos por L y llamamos medida exterior de Lebesgue a µ Id∗ que notaremos por m∗ y llamamos medida de Lebesgue a µ Id que notaremos como m . - 22 - Análisis Real Medida - 23 - Ejemplo 1.11 Dado x ∈ ¡ + definimos δ x : B → [ 0, +∞ ] de la siguiente manera: 1 si x ∈ E δ x ( E ) = χE ( x) = 0 si x ∉ E se le llama medida de Dirac concentrada en X. 1 Definimos una función F : ¡ → ¡ como sigue: δ ( ( 0, t ]) si t ≥ 0 F (t ) = x x −δ x ( ( t , 0]) si t < 0 Entonces F ( t ) = 0 ∀t < 0 si t > 0 ⇒ F ( t ) = 0 si t < x ,y F ( t ) = 1 si t ≥ x . Entonces F es creciente y continua por la derecha. Sea µ F′ la premedida asociada a F: 0 si x ∉ ( a , b ] µ F′ ( ( a, b ]) = F ( b ) − F ( a ) = 1 si x ∈ ( a, b ] Sea µ F∗ la medida exterior asociada a esta premedida entonces: Si E ⊆ X tal que x ∉ E ⇒ µ F∗ ( E ) = 0 ya que E ⊆ { x} = C entonces U (( −n, x − ] U ( x, x + n]) n∈¥ 1 n µ F∗ ( E ) ≤ ∑ µ ′F ( ( −n, x − 1n ]) + ∑ µ ′F ( ( x, x + n ]) = 0 144444424444443 n∈¥ 1444442444443 n∈¥ =0 =0 Luego los conjuntos que no contienen a x son µ − medible ⇒ { x} es µ F∗ − medible ∗ F ∗ F y por lo tanto todos los subconjuntos de ¡ son µ − medible. Proposición 1.12 La medida (m) de Lebesgue y la medida exterior Lebesgue son invariantes por traslaciones, es decir: Sea E ⊆ ¡, x ∈ ¡ E + x = { y + x : y ∈ E} entonces: m∗ ( E + x ) = m∗ ( E ) ∀ x ∈ ¡ , E ⊆ ¡ m( E + x) = m( E ) Demostración Basta probar para m∗ Primero observamos que: ∞ ∞ n =1 n =1 E ⊆ U En ⇔ E + x ⊆ U ( En + x ) entonces: ∞ ∞ m∗ ( E ) = inf ∑ ( bn − an ) : E ⊆ U ( an , bn ] = n=1 n =1 - 23 - (m ) ∗ de Análisis Real Capítulo 1 - 24 - ∞ ∞ = inf ∑ [bn + x − ( an + x )] : E + x ⊆ U ( an + x, bn + x ] n=1 n =1 Luego: ∞ ∞ m∗ ( E ) = inf ∑ d n − c{n : E + x ⊆ U ( cn , d n ] = m∗ ( E + x ) { n =1 n=1 bn + x an + x Estas dos propiedades caracterizan la medida de Lebesgue. Proposición 1.13 Sea µ : B → [ 0, +∞ ] una medida tal que es invariante por traslaciones y µ ([ 0,1]) = 1 entonces µ = m . Demostración Si x ∈ ¡ ⇒ µ ({ x}) = 0 ya que de no ser así µ ({ x}) = α > 0 se tiene que µ ({ y}) = α > 0 ∀y ∈ ¡ por ser invariante por traslaciones. Pero si 1 = µ ([ 0,1]) ≥ µ ({ 1n : n ≥ 1}) = ∑ µ ( 1n ) = ∞ lo cual es un absurdo. { n∈¥ >0 Por otro lado por ser invariante por traslaciones se tiene que: n−1 n−1 µ ( ( −n, n ]) = µ U ( k , k + 1] = ∑ µ ( ( 0,1]) = 2n < ∞ k =− n k =− n Entonces µ ( ¡ ) = µ U ( −n, n ] = ∑ µ ( ( −n, n]) con µ ( ( − n, n]) < ∞ n∈¥ n∈¥ Luego µ es una medida de Borel σ − finita sobre acotados ⇒ existe una única F : ¡ → ¡ creciente y continua por la derecha que F ( 0 ) = 0 de manera que µ = µ F de hecho es: µ ( ( 0, x ]) si x ≥ 0 F ( x) = − µ ( ( x, 0]) si x < 0 Para terminar tenemos que probar que F = Id . Si x = n con n ∈ ¢ entonces como: F ( n ) = µ ( ( 0, n ]) = µ ( ( 0,1] â (1, 2] â ... â ( n − 1, n ]) = = µ ( ( 0,1]) + µ ( (1, 2]) + ... + µ ( ( n − 1, n ]) = n 144424443 144424443 14444244443 tenemos que F ( n ) = n =1 Por otro lado si x ∈ ¤ sea x = F( p q =1 p q =1 > 0 entonces: p p j −1 j p j −1 j ) = µ (( 0, ) = µ â( q , q = ∑ µ (( q , q ) = ∑ µ ( ( 0, q1 ) = pµ ( ( 0, 1q ) j =1 j =1 j =1 p q - 24 - Análisis Real Medida - 25 - pero si p = q ⇒ por lo anterior F (1) = 1 entonces qµ ( ( 0, 1q ) = 1 y por la tanto: µ ( ( 0, 1q ) = sustituyendo 1 q F ( qp ) = p ( 1q ) = p q Si x es un número real cualquiera podemos considerar que está determinado por un par de sucesiones racionales convergentes, es decir ( an ) , ( bn ) ∈ ¤ tales que ( an ) es monótona creciente, ( bn ) es monótona decreciente, donde además an < bn ∀n ∈ ¥ y para cada ε > 0, ∃n0 tal que bn − an < ε ∀n ≥ n0 , entonces ∃x ∈ ¡ tal que ( an ) → x − y ( bn ) → x + . Consideremos primero que x ∈ ¡ + ⇒ ( an ) , ( bn ) ∈ ¤ + como an < x < bn se tiene: ( 0, an ] ⊆ ( 0, x ] ⊆ ( 0, bn ] ⇒ µ ( ( 0, an ]) ≤ µ ( ( 0, x ]) ≤ µ ( ( 0, bn ]) P P P F ( an ) ≤ F ( x ) ≤ F ( bn ) P P como an , bn ∈ ¤ ⇒ an bn Luego como ∀n ∈ ¥ se tiene que an ≤ F ( x ) ≤ bn ⇒ F ( x ) está determinado por el par de sucesiones ( an ) , ( bn ) y como determinan un único número real se tiene que: F ( x) = x Análogamente se procede si x ∈ ¡ − . Ejemplo 1.12: Conjunto de Cantor Consideremos el conjunto cuya construcción es la siguiente, partimos el intervalo [0,1] en tres tercios, y extraemos el tercio central, luego repetimos el proceso para estos tercios y así sucesivamente, el límite de esta construcción es el conjunto de ∗ Cantor. Para entender más esto vamos a introducir el operador (⋅) que consiste en extraer el tercio central. Entonces: 2 (b − a ) b−a Si I = [ a, b ] ⇒ I ∗ = a, U a + , b , si I = U I k ⇒ I ∗ = U I k∗ 3 3 k k ∗ 1 2 Introducida la notación comencemos, sea C0 = [ 0,1]; C1 = C0 = [ 0, 3 ] U [ 3 ,1] Llamemos I11 = [ 0, 13 ] ; I12 = [ 32 ,1] entonces: C2 = ( I11 ) U ( I12 ) = [0, 91 ] U [ 92 , 13 ] U [ 32 , 79 ] U [ 89 ,1] = I 21 U I 22 U I 23 U I 24 . ∗ ∗ 2n En general Cn = â ( I nj ) donde cada I nj tiene j =1 - 25 - Análisis Real longitud Capítulo 1 - 26 - 1 Definimos el conjunto triádico de Cantor como: 3n ∞ C = I Cn n= 0 El conjunto así definido tiene algunas propiedades importantes: a) C es compacto no vacío. Cada Cn es unión finita de cerrados, luego es cerrado, y como C es la intersección numerable de cerrados, es cerrado. Pero cerrado C ⊂ [ 0,1] compacto ⇒ C es compacto. Además es no vacío porque el 0 y el 1 pertenecen a Cn ∀n ⇒ que pertenecen a C. b) m ( C ) = 0 2 2 2 2 Tenemos que m ( Cn+1 ) = m ( Cn ) = m ( Cn−1 ) = ... = 3 3 3 n +1 2 m ( C0 ) = 144244 3 3 =1 n +1 Entonces: 2 m ( C ) = m I Cn = lim m ( Cn ) = lim n →+∞ 3 n∈l n→+∞ n +1 =0 o c) Es nunca denso (es decir C = φ ) Por ser C cerrado C = C y como no hay ningún intervalo abierto en C ya que si suponemos por el absurdo que tenemos un abierto ( c, d ) ⊂ C ⇒ ( c, d ) ⊂ Cn ∀n y como Cn es unión de intervalos disjuntos significa que tiene que estar en uno de ellos ( c, d ) ⊂ I nk para algún k por lo tanto 1 0 ≤ m ( ( c, d ) ) = d − c ≤ n ∀n ⇒ d − c = 0 3 o Luego C = φ . d) C es perfecto (es igual al conjunto de sus puntos de acumulación). Si expresamos los elementos de C como: ∞ an C = ∑ n : an ∈ {0, 2} n=1 3 Sea x ∈ C , ε > 0 Si no existe n0 a partir del cual todos los términos de la serie son ceros entonces las sumas parciales de la serie ( puntos del conjunto de Cantor ) son distintas a t y siempre hay una a distancia menor que un cierto ε > 0 arbitrario. Supongamos que ∃n0 tal que xi = 0 ∀i > n0 - 26 - Análisis Real Medida - 27 - Entonces n0 n0 n xi xi 0 ∞ 2 ′ ′ : t = + +∑ i t = ∑ i y sea t ∈ C tal que ∑ ∑ i i 3 3 3 i =1 i =1 n0 +1 n +1 3 Claramente t’ pertenece a C entonces: n +1 ∞ 2 1 2 1 1 3 = t + n ⇒ t − t′ = n t′ = t + ∑ i = t + 2 3 3 n +1 3 3 2 1 2 Sea ε tal que n < ε ⇒ t − t ′ = n < n < ε esto significa: 3 3 3 t ′ ∈ C I B ( t , ε ) \ t ⇒ t es de acumulación e) C es no numerable. Como ¡ con la métrica usual es un espacio métrico completo, y [ 0,1] ⊂ ¡ cerrado, entonces es completo; por la misma razón, C ⊂ [ 0,1] cerrado es completo. Luego C es perfecto y completo luego no es numerable. Otra forma de afirmar lo mismo es ver que entre los elementos de C y los de [ 0,1] existe una función sobreyectiva, definida como: ∞ xi ∞ xi 2 f ∑ i = ∑ i con xi ∈ {0, 2} i =1 3 i =1 2 Demostración ∞ xi ∞ yi xi Si xi ∈ {0, 2} ⇒ yi = ∈ 0,1 y podemos escribir f ∑ i = ∑ i con 2 { } i =1 3 i =1 2 yi ∈ {0,1} f es sobreyectiva ya que en primer lugar si yi = 0 ∀i ⇒ f ( ) = 0 y si yi = 1 ∀i ∞ 1 implica f ( ) = ∑ i = 1 i =1 2 en segundo lugar ∞ yi con yi ∈ {0,1} es un número en base dos entre cero y uno. ∑ i i =1 2 Entonces # C = # [ 0,1] = # ¡ = c f) C es totalmente disconexo. Esto es consecuencia de lo demostrado en la c) que no hay intervalos en C,( A ⊂ ¡ es conexo ⇔ es un intervalo) luego los únicos conexos son los conjuntos unipuntuales. Al conjunto de Cantor se le asocia una función notable, llamada función notable de Cantor-Legesgue. Se define como el límite de la sucesión de funciones { f n } de funciones crecientes y continuas tal que: ( ) - 27 - Análisis Real Capítulo 1 - 28 - fn ( 0 ) = 0 ∗ m f n ( x ) = n si x ∈ I nm \ ( I nm ) f n (1) = 1 2 sobre cada intervalo componente de Cn . Cada fn es creciente, y f n +1 = f n sobre cada I nm \ ( I nm ) ∗ (los complementos de Cantor) 1 y f n+1 − f n ≤ n luego f n es 2 uniformemente convergente hacia la función buscada ϕ . Obviamente ϕ es creciente, continua y constante sobre cada intervalo componente de [ 0,1] \ C . En particular ϕ tiene derivada nula en todos los puntos de [ 0,1] salvo en los del conjunto de Cantor, que es de medida nula. Proposición 1.14 Si X = ¡ la σ − álgebra de Lebesgue correspondiente que notamos por L ( ¡ ) cumple que: # L ( ¡ ) = #P ( ¡ ) = 2c siendo c = # ¡ Demostración Como L ( ¡ ) ⊆ P ( ¡ ) ⇒ # L ( ¡ ) ≤ 2c Por otro lado L ( ¡ ) ⊇ {E ⊆ C : con C conjunto de Cantor} luego # L ( ¡ ) ≥ # {E ⊆ C} = #P ( ¡ ) = 2c (ya que # C = # ¡ ) 144424443 =P ( C ) entonces # L ( ¡ ) = 2c Proposición 1.15 Sea X = ¡ entonces la σ − álgebra de Borel B ( ¡ ) cumple: #B ( ¡ ) = # ¡ = c Demostración Sea ε ⊂ P ( ¡ ) tal que φ ∈ ε definimos: ∞ ε = U An : An ∈ ε o AnC ∈ ε n =1 - 28 ∗ Análisis Real Medida - 29 - Como φ ∈ ε ⇒ ε ⊂ ε ∗ entonces si ε 0 es la topología usual de ¡ definimos ε1 = ε 0∗ y así sucesivamente ε n+1 = ε n∗ , obtenemos una familia creciente ε 0 , ε1 ,..., ε n ,... Sea Ω = al primer cardinal no numerable, entonces para cada ordinal α < Ω se define: ∗ εα = U ε β β <α finalmente sea F = U εα ; F así definida es una σ − álgebra tal que F = σ ( ε 0 ) α <Ω y el cardinal sería el del continuo ⇒ #B ( ¡ ) = c . - 29 - Análisis Real Capítulo 1 - 30 - - 30 - Capítulo 2 Funciones Medibles Recordemos que un mapa f : X → Y entre dos conjuntos induce un mapa f −1 : P (Y ) → P ( X ) , definido por: f −1 ( E ) = { x ∈ X : f ( x ) ∈ E} que preserva las uniones, intersecciones y complementos es decir: f −1 U Ei = U f −1 ( Ei ) i∈I i∈I f −1 I Ei = I f −1 ( Ei ) i∈I i∈I f −1 ( AC ) = ( f −1 ( A) ) Entonces si N es una σ − álgebra en Y, C { f (E): E ∈N } −1 es una σ − álgebra en X. Definición 2.1 Sean ( X ,M ) y (Y , N ) dos espacios medibles, f : X → Y se dice que es una función medible si: f −1 ( N ) ∈ M ∀N ∈ N también decimos que f es (M − N ) − medible. Proposición 2.1 Si N = σ (S ) con S ⊆ P (Y ) , entonces f : X →Y (M − N ) − medible si y solo sí f −1 ( E ) ∈ M ∀E ∈ S. Demostración ⇒ Es obvia ⇐ Sea F = {E ⊆ Y : f −1 ( E ) ∈ M } veremos que es una σ − álgebra ; - 31 - es Análisis Real Capítulo 2 - 32 - } C si E ∈F ⇒ f −1 ( E ) ∈ M ⇒ ( f −1 ( E ) ) ∈ M por def. P f −1 ( E C ) ∈ M ⇒ E C ∈ F análogamente si ( En ) ∈F ⇒ f −1 ( En ) ∈ M ⇒ U f −1 ( En ) ∈ M n∈¥ P f −1 U En ∈ M ⇒ U En ∈F n∈¥ n∈¥ −1 además por hipótesis ∀E ∈ S f ( E ) ∈ M ⇒ S ⊆ F y por lo tanto contiene a la sigma álgebra generada, es decir: σ (S ) ⊆ F P luego ∀E ∈ N ⇒ f −1 N ( E ) ∈ M ⇒ f es (M − N ) − medible. Corolario 2.2 Si X e Y son espacios métricos (o espacios topológicos), entonces todas las funciones continuas son (B ( X ) − B (Y ) ) − medibles. Demostración Por ser f continua, si y solo sí f −1 (U ) es abierto en X, ∀U abierto de Y. Definición 2.2 Sea X espacio topológico, ( X ,M ) un espacio medible, a la función f : X → ¡ (¡ o £) se dice M − medible o simplemente medible si es (M − B ( ¡ ) ) -medible (o (M − B ( £ ) − medible ) . En particular si f : ¡ → ¡ ( o £ ) llamamos Borel medible si f es (B ( ¡ ) − B ( ¡ ) ) − medible (o (B ( ¡ ) − B ( £ ) ) − medible ). En el caso que M = L entonces ( X , L ) es el espacio medible de Lebesgue y decimos de f : X → ¡ ( ¡ o £ ) que es Lebesgue medible si es (L − B ) − medible. Observación 2.1 Si f , g : ¡ → ¡ son Lebesgue medibles, no implica que f o g sea Lebesgue medible. Si E ∈B ( ¡ ) tenemos que f −1 ( E ) ∈L pero esto no garantiza que g −1 ( f −1 ( E ) ) ∈L a menos que f −1 ( E ) ∈B ( ¡ ) . Sin embargo si f es Borel medible, entonces f o g es Lebesgue medible o Borel medible siempre que g lo sea. - 32 - Análisis Real Funciones medibles - 33 - Definición 2.3 Sean ( X ,M ) y (Y , N ) dos espacios medibles, y una función f : X → Y definimos los siguientes conjuntos: M ∗ = {E ∈P ( X ) : E = f −1 ( N ) para algún N ∈ N } llamado pull-back de N ; y el conjunto: N ∗ = {B ∈P (Y ) : f −1 ( B ) ∈ M } llamado pull-forward de M . Podemos enunciar las siguientes proposiciones: Proposición 2.3 Sean ( X ,M ) y (Y , N ) espacios medibles, f : X → Y es medible si y solo sí M ∗ ⊆ M. Proposición 2.4 Sean ( X ,M ) y (Y , N ) espacios medibles , f : X → Y es medible si y solo sí N ⊆ N ∗ . Demostración Basta con ver el siguiente esquema y la definición de medible. X Y X f −1 ( N ) Y B ∈P (Y ) f −1 ( B ) ∈M N ∈N f −1 f −1 Entonces si M ∗ ⊆ M ⇔ ∀N ∈ N Y si N ⊆ N ∗ ⇔ ∀B ∈ N f −1 ( N ) ∈ M ⇔ f es medible. f −1 ( B ) ∈ M ⇔ f es medible. Proposición 2.5 Si ( X ,M ) es un espacio medible y f : X → ¡ , entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes. i) f es M − medible. ii) f −1 ( ( a, +∞ ) ) ∈ M ∀a ∈ ¡. iii) f −1 ([ a, +∞ ) ) ∈ M iv) f −1 ( ( −∞, a ) ) ∈ M v) f −1 ∀ a ∈ ¡. ∀a ∈ ¡ . ( ( −∞, a]) ∈ M ∀a ∈ ¡. - 33 - Análisis Real Capítulo 2 - 34 - Demostración Simplemente por la proposición 2.1 y el hecho de que B ( ¡ ) es generado por los intervalos abiertos, semiabiertos, con ambos extremos finitos o uno de los extemos infinito. Definición 2.4 Sea ( X ,M ) un espacio medible, f es una función definida en X, y E ∈M diremos que f es medible en E si f −1 ( B ) I E ∈ M ∀B ∈B ( ¡ ) , es equivalente a decir que f |E es ME − medible con ME = {F I E : F ∈ M }. Definición 2.5 Sea X un conjunto, (Yi ,Mi )i∈I una familia de espacios medibles y fi : X → Yi , i ∈ I . A la menor σ − álgebra en X que torna a todas las fi medibles es llamada σ − álgebra inicial . En símbolos la σ − álgebra inicial es la σ − álgebra σ U f −1 (Mi ) . i∈I Proposición 2.6 En las condiciones de la definición anterior, si para cada i ∈ I , Ci es una clase de subconjuntos de X, tal que σ (Ci ) = Mi entonces la σ − álgebra inicial coincide con la σ − álgebra generada por la familia: n −1 D = I f ik ( Cik ) : Cik ∈ Cik , ik ∈ I , k = 1, 2,..., n , n ∈ ¥ k =1 Demostración Sea F la σ − álgebra inicial . Como F torna a las fi medibles, fi −1 ( Ci ) ∈F para todo Ci ∈Ci para todo i ∈ I . Además de eso como F es cerrada por intersecciónes finitas (F es σ − álgebra ), D ⊆ F , entonces σ ( D ) ⊆ F . Por otro lado, fi −1 (Mi ) = fi −1 (σ (Ci ) ) = σ ( fi −1 (Ci ) ) ⊆ σ ( D ) , lo que implica que fi es σ ( D ) − medible, ∀i ∈ I ⇒ F ⊆ σ ( D ) , y son iguales. Definición 2.6 En las condiciones de la definición anterior Y = ∏ Yi y las i∈I funciones fi = π i proyecciones naturales de Y sobre Yi , la σ − álgebra inicial se le llama σ − álgebra producto. Si M es la σ − álgebra producto notamos M = ∏ Mi . i∈I Veamos la siguiente generalización de la observación 2.1. - 34 - Análisis Real Funciones medibles - 35 - Proposición 2.7 Sean ( X ,M ) , (Y , N ) y ( Z ,O ) espacios medibles, y las funciones f : X → Y , g : Y → Z medibles, entonces g o f es medible. Demostración Por ser g medible ⇒ g −1 ( E ) ∈ N ∀E ∈O y por ser f medible es f −1 ( g −1 ( E ) ) ∈ M ⇒ ( g o f ) ( E ) ∈ M , lo que significa que g o f es medible. −1 Proposición 2.8 Sean (Yi ,N i )i∈I una familia de espacios medibles, X un conjunto y π i : Y → Yi ∀i ∈ I las proyecciones naturales de Y sobre los Yi . Sea N la σ − álgebra inicial correspondiente sobre Y.Sea ( X ,M ) un espacio medible y f : X → Y , entonces f es medible si y solo sí fi = π i o f son medibles ∀i ∈ I . Demostración ⇒ por ser f y π i medibles ⇒ π i o f es medible por la proposición anterior. ⇐ Supongamos que π i o f son medibles ∀i ∈ I . Por las proposiciones 2.1 y 2.6 alcanza con probar que ∀n ∈ ¥, ∀i1 , i2 ,..., in ∈ I , ∀Aik ∈Mik con k = 1,..., n se tiene: n −1 f Iπ ik ( Aik ) ∈ M k =1 −1 y esto se deduce de: −1 n −1 n f Iπ ik ( Aik ) = I (π ik o f ) ( Aik ). 43 k =1 k =1 1444444244444 ∈M −1 Proposición 2.9 Si R n indica la σ - álgebra de Borel en ¡ n entonces: × R × ... ×R . Rn = R 1444442444443 n veces Demostración Si I indica la familia de intervalos abiertos en ¡ , y I n la familia de productos de estos intervalos en ¡ n , tenemos que σ (I n ) = R × R × ... × R (por que σ (I ) = R y R × R × ... × R es σ − álgebra producto) Como los elementos de I n son abiertos, tenemos I n ⊆ R n y por tanto R × R × ... × R ⊆ R n . Recíprocamente, como todo abierto de ¡ n puede ser escrito como una unión numerable de elementos de I n , tenemos que todo abierto es perteneciente a R × R × ... × R , y por tanto R n ⊆ R × R × ... × R. Corolario 2.10 Sea ( X ,M ) espacio medible y f1 , f 2 ,..., f n funciones que toman valores en ¡ . Entonces ellas son medibles si y solo sí la función - 35 - Análisis Real Capítulo 2 - 36 - ω Î ( f1 (ω ) , f 2 (ω ) ,..., f n (ω ) ) es (M − R n ) − medible. Como consecuencia tenemos que: Proposición 2.11 Sea ( X ,M ) espacio medible, f y g dos funciones medibles que toman valores en ¡ , c ∈ ¡ entonces las funciones: cf , f 2 , f , f + , f − , f + g y fg son medibles ( f + = max { f , 0} , f − = max {− f , 0} ) Demostración Las primeras 5 son composición de f con una función contunua. Para probar que f + g es medible procedemos de la siguiente forma: x + y ∈ ¡ es continua y por tanto R × R medible. A la función ( x, y ) ∈ ¡ × ¡ Îx La función ω ∈ M Î ( f (ω ) , g (ω ) ) ∈ ¡ 2 es (M − R × R ) − medible. Como f + g es composición de estas dos funciones ella también es medible. El mismo argumento usamos con el producto. Estudiaremos funciones reales positivas f : X → [ 0, +∞ ] ¡ + = ¡ + U {+∞} U {0} B ([0, +∞ ]) = {E ⊆ [0, +∞ ] : E I ¡ ∈B ( ¡ )} Observación 2.2 Sea ( X ,M ) espacio medible, para que f : X → [ 0, +∞ ] sea medible en [ 0, +∞ ] alcanza con probar que: f −1 ([ a, +∞ ]) ∈ M o f −1 ([ a, +∞ ) ) y f −1 ({+∞}) ∈ M Definición 2.7 Sea ( X ,M ) espacio medible y una función f : X → [ 0, +∞ ] definimos el siguiente conjunto: { f : X → [ 0, +∞ ] : f es medible} = L+ ( X ,M ) o simplemente L+ . Proposición 2.12 Sea una sucesión de funciones ( f n )n∈¥ ∈ L+ entonces las funciones: g1 ( x ) = sup f n ( x ) g 2 ( x ) = inf f n ( x ) n∈¥ n∈¥ n →+∞ n →+∞ g 3 ( x ) = lim sup f n ( x ) g 4 ( x ) = lim inf f n ( x ) todas pertenecen a L . Además si f ( x ) = lim f n ( x ) existe para todo x ∈ X , + n →+∞ - 36 - Análisis Real Funciones medibles - 37 - entonces f ∈ L+ . Demostración Para g 2 se tiene: g 2−1 ( ( a, +∞ ]) = { g 2 > a} = U { f n > a} = U f n−1 ( ( a, +∞ ]) ∈ M 1444442444443 n∈¥ n∈¥ ∈M g −1 2 f ([ 0, a ) ) ∈ M ([ 0, a ) ) = { g 2 < a} = U { fn < a} = U 1444 4244443 n∈¥ n∈¥ −1 n ∈M analogamente para g1 . Si hk ( x ) = sup n> k f n ( x ) tenemos que hk es medible para cada k, así g 3 ( x ) = inf k hk es medible. Igual con g 4 . Finalmente si existe el límite de las f n para todo x, se tiene que f = g 3 = g 4 , y así es f medible. Corolario 2.13 El máximo, mínimo y límite de funciones si existen son medibles. Definición 2.8 Sea ( X ,M ) un espacio medible, a la función χ A : X → {0,1} llamamos funcion característica de A o función indicadora de A si esta definida como sigue: 1 si x ∈ A χ A ( x) = 0 si x ∉ A Observación 2.3 La función característica de un conjunto A es medible si y solo sí A∈M ya que: φ si {0,1} ∉ B X si 0 y 1 ∈ B χ A−1 ( B ) = A si 1 ∈ B y 0 ∉ B AC si 1 ∉ B y 0 ∈ B Observación 2.4 Sea A y B dos conjuntos disjuntos entonces: χ Aâ B = χ A + χ B Ya que χ A = 1 x ∈ A y x ∉ B ⇒ χ = 0 B χ Aâ B = 1 ⇔ o ⇔ 1 = χ A + χB χ = 0 x ∈ B y x ∉ A ⇒ A = χ 1 B Para el caso particular que todo el espacio X = A U B con A y B disjuntos se tiene: χ A + χB = χ X = 1 - 37 - Análisis Real Capítulo 2 - 38 - luego como siempre X = A U AC ⇒ χ A + χ AC = 1 Generalizando para una sucesión ( An )n∈¥ de conjuntos disjuntos dos a dos: χâ n∈¥ An = ∑ χ An n∈¥ Observación 2.5 Sean A y B dos conjuntos, entonces: χ AI B = χ A ⋅ χ B Ya que: x ∈ A ⇒ χ A = 1 1 si x ∈ A I B ⇒ χ A ⋅ χB ⇒ = y 1 x ∈ B ⇒ χ = 1 B χ AI B ( x ) = = χ A ⋅ χB ( x) x ∉ A ⇒ χ A = 0 0 si x ∉ A I B ⇒ o ⇒ 0 = χ A ⋅ χB x ∉ B ⇒ χ = 0 B Generalizando para una sucesión ( An )n∈¥ tenemos: χ I An n∈¥ = ∏ χ An n∈¥ Definición 2.9 Sea ( X ,M ) un espacio medible f : X → [ 0, +∞ ] se dice que es una función simple si y solo sí existen a1 , a2 ,..., an ∈ ¡ + y A1 , A2 ,..., An ∈ M disjuntos dos a dos tales que: n f = ∑ ai χ Ai i =1 Al conjunto de las funciones simples notamos por S + n Observación 2.4 Si los ai son distintos, la función simple f = ∑ ai χ Ai es única. i =1 La suma y el producto de funciones simples son simples. Definición 2.10 En las mismas condiciones que la definición anterior si la sumatoria en vez de ser finita es infinita a saber: ∞ f = ∑ ai χ Ai i =1 decimos que f es una función elemental. En la siguiente proposición probaremos que L+ = S + . - 38 - Análisis Real Funciones medibles - 39 - Proposición 2.14 (Teorema de Caracterización de L+ ) Dada f ∈ L+ , existe una sucesión de funciones simples ( f n )n∈¥ ⊆ S + tales que: i) 0 ≤ f1 ≤ f 2 ≤ ... ≤ f n < f ∀n ∈ ¥ ii) lim f n ( x ) = f ( x ) en X (convergencia puntual) n →+∞ iii) Si f ( x ) ≤ k ∀x ∈ A ⇒ f n | A à f | A (converge uniformemente). Demostración Tomemos la función: i −1 χ A( n,i) + nχ{ f ≥ n} n i =1 2 i −1 i siendo A( n ,i ) = x ∈ X : n ≤ f ( x ) < n por definición esta claro que f n ∈ S + 2 2 Al intervalo [ 0, n ] lo dividimos en n2 n intervalitos de longitud 21n y de n en n 2n fn = ∑ { } adelante un solo intervalo. n i 2n interv.i i−1 2n A( n ,i ) A( n ,i ) A( n ,i ) Se tiene que: fn ( x ) f n +1 ( x ) = 1 f n ( x ) + 2 n+1 luego f n +1 ≥ f n en f −1 ([ 0, n ]) en f −1 ([0, n ]) y en f −1 ([ n, +∞ ) ) f n = n y f n+1 = n + 1 > f n , luego f n es monótona creciente y por definición ≤ f . - 39 - Análisis Real Capítulo 2 - 40 - ii) Si f ( x ) = ∞ ⇒ f n ( x ) = n → ∞ Si f ( x ) ≤ k ⇒ sea n0 tal que n0 > k entonces ∀n ≥ n 0 : 1 0 ≤ f ( x ) − fn ( x ) ≤ n → 0 2 ∴ fn ( x ) → f ( x ) iii) Si f ( x ) ≤ k ∀x ∈ A se tiene: 1 0 < f − f n < n ⇒ lim f n = f n →∞ 2 ∀x ∈ A Corolario 2.15 Sea f : X → £ una función medible, entonces existe una sucesión ( f n )n∈¥ de funciones simples tal que: i) f n ( x ) → f ( x ) ii) Si f está acotada sobre E ⊆ X entonces: f n |E à f | E iii) f n ( x ) ≤ f n+1 ( x ) ≤ f Demostración Consideremos primero f : X → ¡ siendo ¡ = ¡ U {−∞} U {+∞} y sean f n y g n funciones simples como en la proposición anterior, f n con respecto a f + y g n con respecto a f − . Sea hn ( x ) = fn ( x ) − gn ( x ) → { f + ( x ) − f − ( x ) = f ( x ) de igual por prop. anterior forma se demuestra ii). hn = f n + g n ≤ f n+1 + g n+1 = hn+1 ≤ f + + f − = f En el caso complejo f : X → £ se deduce igual al caso anterior pasando a Re f y Im f . - 40 - Capítulo 3 Integración Definición 3.1 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida. Se dice que una propiedad se satisface en casi todo punto según µ ( ctp − µ ) , si el conjunto de puntos donde no se satisface la propiedad está contenido en algún conjunto de medida nula. Ejemplo 3.1 Sea f : ¡ → ¡ tal que f ( x ) = senx la propiedad senx ≠ 0 es ctp − m siendo m la medida de Lebesgue. Ejemplo 3.2 f : ¡ → ¡ tal que: con p q 0 si x ∈ ¤ o x = 0 f ( x) = 1 p q si x = q fracción irreducible q > 0 entonces: a) f = 0 ctp − m b) Además f es continua ctp − m Definición 3.2 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida, sea f ∈ S + una función simple, es decir: n f = ∑ a j χ E j donde j =1 (E ) j n j =1 es una partición medible de X (i.e.: E j ∈ M ∀j = 1,..., n ; X = âE j ) Entonces definimos: n j =1 ∫ n X f dµ = ∑ a j µ ( E j ) j =1 Usaremos indistintamente si no hay lugar a confusión - 41 - ∫ f =∫ X f = ∫ f dµ X Análisis Real Capítulo 3 - 42 - Observación 3.1 La definición anterior no depende de la partición. n m j =1 i =1 Sea f = ∑ a j χ E j = ∑ bi χ Fi entonces n m j =1 i =1 ∑ a j µ ( E j ) = ∑ bi µ ( Fi ) ya que: n m ∑ a j µ ( E j ) = ∑ ci , j µ ( E j I Fi ) = ∑ bj µ ( Fj ) j =1 j =1 i, j veamos ahora algunas propiedades que cumples las integrales de funciones simples Proposición 3.1 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida, ϕ ,ψ ∈ S + (funciones simples no negativas) entonces se cumplen las siguientes propiedades: i) Si ϕ ≤ ψ ⇒ ∫ ϕ dµ ≤ ∫ψ dµ ii) Si c ≥ 0 ⇒ ∫ cϕ dµ = c ∫ ϕ dµ iii) ∫ (ϕ + ψ ) dµ = ∫ ϕ d µ + ∫ψ dµ µϕ : M → [ 0, +∞ ] iv)Si y definición definimos µϕ ( A ) = ∫ ϕ dµ := ∫ ϕχ {A dµ A entonces µϕ es una medida. ∀A ∈ M ∈S + Demostración Sean las representaciones de las funciones simples: n m i =1 j =1 ϕ = ∑ ai χ Ei , ψ = ∑ b j χ F j podemos escribir las mismas de la siguiente forma: n m m n ϕ = ∑∑ ai χ Ei I Fj , ψ = ∑∑ b j χ Ei I F j i =1 j =1 j =1 i =1 por lo tanto puede suponerse que: N N k =1 k =1 ϕ = ∑α k χ Gk , ψ = ∑ β k χ Gk donde ( Gk )k =1 es una partición medible de X. N i) N N α k ≤ β k ⇒ ∑α k χ Gk ≤ ∑ β k χ Gk k =1 P k =1 P ∫ ϕ dµ ≤ ∫ψ dµ análogamente se prueban ii) y iii) Probemos ahora iv) a) µϕ (φ ) = ∫ ϕ χφ dµ = ∫ 0 dµ = 0 { =0 b) Sea ( An )n∈¥ ⊆ X una familia numerable de conjuntos disjuntos dos a dos, entonces: - 42 - Análisis Real Integración - 43 - n n ∞ µϕ âAk = = ∫ ∑ ai χ Ei Iâ Ak dµ = { ∫ ϕχ â Ak dµ = ∫ ∑ ai χ Ei χ â Ak dµ obser. 2.5 k =1 por def. i =1 i =1 n ∞ ∞ n ∞ n = ∑ ai µ Ei I âAk = ∑ ai µ â ( Ei I Ak ) = ∑ ai ∑ µ ( Ei I Ak ) = i =1 k =1 i =1 k =1 k =1 i =1 ∞ ∞ n ∞ n ∞ = ∑∑ ai µ ( Ei I Ak ) = ∑ ∫ ∑ ai χ Ei χ Ak d µ = ∑ ∫ ϕ dµ = ∑ µϕ ( Ak ) k =1 i =1 k =1 1442443 i =1 k =1 Ak k =1 ϕ Definición 3.3 Dado ( X ,M , µ ) espacio de medida y la función simple f para un conjunto A∈M definimos: ∫ f dµ = ∫ f χ Adµ A X Debido a la proposición 2.14, dada una función f ∈ L+ sabemos que existe una sucesión f n ∈ S + de funciones simples tales que f n Z f , entonces tiene sentido introducir la siguiente definición. Definición 3.4 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida, f ∈ L+ y ( f n )n∈¥ ⊆ S + tal que f n Z f definimos: ∫ X f dµ = lim ∫ f n dµ X n Si dicho límite da finito decimos que f es integrable. Proposición 3.2 La definición anterior es consistente, es decir que si tenemos dos sucesiones ( f n )n∈¥ , ( g n )n∈¥ de funciones simples tales que f n Z f y g n Z f entonces: lim ∫ f n dµ = lim ∫ g n dµ Demostración Probaremos que: lim ∫ f n ≥ ∫ g p ∀p ∈ ¥ n como se cumple para todo p podemos pasar al límite en p y se tiene lim ∫ f n ≥ lim ∫ g p n p la otra desigualdad se prueba de la misma forma. Supongamos primero el caso finito: 1) µ ( X ) < ∞ Sea ε > 0 arbitrario y p fijo, definimos: - 43 - Análisis Real Capítulo 3 - 44 - An = { x : g p ( x ) − ε ≤ f n ( x ) } Claramente por ser ( f n ) creciente An Z X , llamemos M = max { g p ( x ) : x ∈ X } entonces: εχ An = ∫ f n ≥ ∫ f n χ An ≥ ∫ ( g p − ε )χ An = ∫ g p χ An − ∫{ εµ ( An ) obser. 2.4 = ∫g p (1 − χ ) − εµ ( A ) = ∫ g ( An )C n p − ∫ g p χ ( A )C − εµ ( An ) ≥ n ≥ ∫ g p − ∫ M χ AC − εµ ( An ) ≥ ∫ g p − M µ ( A ) − ε µ ( An ) 1442443 n 1442443 C n →µ( X ) → µ (φ )= 0 Pasando al límite: lim ∫ f n ≥ ∫ g p − εµ ( X ) n Como el ε es arbitrario > 0 y µ ( X ) < ∞ entonces haciendo ε → 0+ : lim ∫ f n ≥ ∫ g p n ∀p ∈ ¥ Sea ahora el caso infinito, llamemos G p = { x : g p ( x ) > 0} 2)Entonces si µ ( G p ) < ∞ podemos restringir la función g p a G p y aplicar lo anterior ⇒ lim ∫ f n ≥ ∫ g p en G p y como en G Cp , g p = 0 también se cumple, por lo n que se verifica en todo X. Si µ ( G p ) = ∞ sea m = min { g p ( x ) : x ∈ G p } por ser g p ∈ S + existe el mismo y es m > 0 , tomemos ε > 0 tal que 0 < ε < m , en este caso definimos Bn = { x : g p ( x ) − ε ≤ f n ( x ) } I G p Claramente Bn Z G p entonces: ∫f ≥∫f χ n n y pasando al límite Bn ≥ ∫ ( g p − ε )χ Bn ≥ ∫ ( m − ε ) χ Bn = ( m − ε ) µ ( Bn ) lim ∫ f n ≥ ( m − ε ) µ ( G p ) = ∞ = ∫ g p n Observación 3.2 Si f es simple la definición 3.4 coincide con la definición 3.2. Además si A es medible y f n ∈ S + , f n Z f ⇒ f n χ A Z f χ A entonces por definición ∫ X f χ A dµ = lim ∫ f n χ A dµ = lim ∫ f n dµ = ∫ f dµ n X n A A + luego también vale la definición 3.3 para funciones f ∈ L ∫ A f dµ = ∫ f χ A dµ X Proposición 3.3 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida, f , g ∈ L y c ≥ 0 entonces se cumplen: + - 44 - Análisis Real Integración - 45 - i) ∫ cf dµ = c ∫ f dµ considerando el caso 0 ⋅ ∞ = 0 ii) Si f ≤ g ⇒ ∫ f dµ ≤ ∫ g dµ iii) ∫ ( f + g ) dµ = ∫ f dµ + ∫ g dµ iv) ∫ Aâ B f dµ = ∫ f dµ + ∫ g dµ ∀A, B ∈M A B Demostración Existe una sucesión de funciones simples f n Z f como c ≥ 0 entonces cf n Z cf y por definición: lim ∫ cf n = ∫ cf P ⇒ ∫ cf = c ∫ f lim c ∫ f n = c lim ∫ f n = c ∫ f n n n f n simple ii) Sea f ≤ g sabemos que existen ( f m )m∈¥ , ( g n )n∈¥ sucesiones de funciones simples tales que f m Z f y g n Z g si fijamos m = p , como g n Z g ≥ f ≥ f p se tiene que existe n0 ∈ ¥ tal que g n ≥ f p ∀n ≥ n0 , por ser funciones simples se cumple: ∫ f p ≤ ∫ g n ∀n ≥ n0 pasando al límite en n → ∞ ∫f p ≤ lim ∫ g n = ∫ g n ∀p ∈ ¥ como se cumple para todo p podemos pasar al límite en p lim ∫ f p ≤ lim ∫ g n = ∫ g p n P ⇒ ∫ f ≤ ∫g ∫f iii) Tomemos dos sucesiones simples como el caso anterior f n Z f y g n Z g entonces ( f n + g n ) Z ( f + g ) y aplicando la definición 3.3 lim ∫ ( f n + g n ) = ∫ ( f + g ) n pero por propiedad de funciones simples ∫ ( fn + gn ) = ∫ fn + ∫ gn y pasando al límite lim ∫ ( f n + g n ) = lim ∫ f n + lim ∫ g n n n P ∫( f + g) = ∫f - 45 - n P + P ∫g Análisis Real iv) ∫ Aâ B Capítulo 3 - 46 - f dµ = ∫ f χ A â B d µ = ∫ f ( χ A + χ B ) d µ = X X = ∫ f χ A dµ + ∫ f χ B dµ = ∫ f dµ + ∫ f dµ X X A B Proposición 3.4 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y f ∈ L+ entonces: ∫ f dµ = 0 ⇔ f = 0 c.t.p − µ Demostración ⇒ Consideremos el conjunto donde la función no es cero. E = f −1 ( ( 0, +∞]) E ∈M ya que f ∈ L+ y sean los conjuntos En definidos como sigue: En = f −1 ([ 1n , +∞ ]) En ∈M además En ⊆ En +1 y ∞ UE n =1 n = E entonces: 0 = ∫ f dµ ≥ ∫ f χ E n d µ prop.3.3(ii) ≥ def. 1 n luego µ ( En ) = 0 ∀n ∈ ¥ y entonces: ∫ χ En dµ = 1n µ ( En ) ≥ 0 ∞ µ ( E ) = µ U En = lim µ ( En ) = 0 n 1442443 n =1 =0 por definición ⇒ f = 0 c.t.p. − µ ⇐ Sea ( f n )n∈¥ ⊆ S + tal que f n Z f entonces: f n−1 ( ( 0, +∞]) ⊆ f −1 ( ( 0, +∞ ]) luego 0 ≤ µ ( f n−1 ( ( 0, +∞ ]) ) ≤ µ f −1 ( ( 0, +∞ ]) = 0 entonces µ ( f n−1 ( ( 0, +∞]) ) = 0 y 1444442444443 =E si una representación de f n es: n f n = ∑ a j χ E j con j =1 UE n j =1 j =E se tiene por definición: ∫ n f n dµ = ∑ a j µ ( E j ) = j =1 ( f ( ( 0, +∞]) ) = 0 ∑ a µ ( E ) ≤ ∑ a µ144444424444443 j:a j ≠ 0 j j j:a j ≠ 0 j −1 n =0 Corolario 3.5 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y f , g ∈ L+ tales que f = g c.t.p. − µ entonces: ∫ f dµ = ∫ g dµ - 46 - Análisis Real Integración - 47 - Demostración Si f = g c.t.p. − µ ⇒ que existe N ∈M tal que µ ( N ) = 0, con: f |X \ N = g |X \ N por otro lado como f χ N y g χ N son ceros salvo en N que tiene medida nula (o en un conjunto que está contenido en N), luego por definición son cero c.t.p. − µ ⇒ ∫ f dµ = ∫ ( f χ N + f χ X \ N )d µ = ∫ f χ N dµ + ∫ f χ X \ N dµ = 144424443 =0 = ∫ g χ X \N =0 64447444 8 dµ = ∫ g χ N d µ + ∫ g χ X \ N d µ = ∫ ( g χ N + g χ X \ N ) dµ = ∫ gdµ Proposición 3.6 (Teorema de Convergencia Monótona) (Beppo Levi) Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y ( f n )n∈¥ ⊆ L+ , f ∈ L+ tales que: i) f n ( x ) ≤ f n+1 ( x ) c.t.p. − µ ii) Si f n ( x ) → f ( x ) puntualmente c.t.p. − µ , entonces: lim ∫ f n dµ = ∫ lim f n dµ = ∫ f dµ n n Demostración Como la convergencia es puntual c.t.p. − µ , ∀k ∈ ¥ ∃N k ∈ M tal que µ ( N k ) = 0 y f k ( x ) ≤ f k +1 ( x ) ∀x ∉ N k además existe N ′ ∈M tal que µ ( N ′ ) = 0 y f n ( x ) → f ( x ) ∀x ∉ N ′. ∞ Sea N = U N k U N ′ ⇒ N ∈ M y µ ( N ) = 0. k =1 Por otro lado se tiene f k χ X \ N ( x ) ≤ f k +1 χ X \ N ( x ) ∀k ∈ ¥ y ∀x ∈ X y f k χ X \ N ( x ) → f χ X \ N ( x ) ∀x ∈ X si probamos: ∫ f k χ X \ N d µ → ∫ f χ X \ N dµ Por ser f k χ N y f χ N iguales a cero c.t.p. − µ , como en el corolario anterior se tiene: ∫f k dµ = ∫ f k χ X \ N dµ → ∫fχ X \N dµ = ∫ f dµ En consecuencia se puede suponer que: f k ( x ) ≤ f k +1 ( x ) ∀k ∈ ¥ y ∀x ∈ X f k ( x ) → f ( x ) ∀x ∈ X Sea ( f n,m )m∈¥ una sucesión de funciones simples no negativas, tal que: f n ,m Z f n ∀n ∈ ¥ observemos - 47 - Análisis Real Capítulo 3 - 48 - f1,1 f1,2 L f1,m → f1 f 2,1 f 2,2 L f 2,m → f2 M M M → fn f n ,2 L f n ,1 definimos: m m f n ,m m g m = max f n,m n≤ m entonces para todo m las g m son funciones simples no negativas y la sucesión ( g m )m∈¥ es creciente y demostraremos que g m Z f . Si 1 ≤ n ≤ m, ⇒ f n,m ≤ gm ≤ f m tomando límite cuando m → ∞ , obtenemos f n ≤ lim g m ≤ f m y haciendo ahora el límite cuando n → ∞ , f ≤ lim g m ≤ f m entonces g m Z f y por definición si 1 ≤ n ≤ m ∫ f dµ = lim ∫ g m m dµ por otro lado aplicando la monotonía a f n ,m ≤ gm ≤ fm ∫f n ,m dµ ≤ ∫ g m dµ ≤ ∫ f m dµ haciendo el límite cuando m → ∞ se tiene ∫ f n dµ ≤ ∫ f dµ ≤ lim ∫ f m dµ y cuando n → ∞ m lim ∫ f n dµ ≤ ∫ f dµ ≤ lim ∫ f m dµ n m luego lim ∫ f n dµ = ∫ f dµ = ∫ lim f n dµ . n n Corolario 3.7 Si ( f n )n∈¥ ⊆ L+ entonces: ∞ ∫∑ n =1 ∞ f n dµ = ∑ ∫ f n dµ n =1 Demostración Basta con considerar N lim ∑ f n Z N n =1 N y aplicamos la proposición anterior. - 48 - N ∑f n =1 n Análisis Real Integración - 49 - Veamos con algunos ejemplos la importancia de que se cumpla la hipótesis de la monotonía. Ejemplo 3.1 Sea f n : ¡ → ¡ tal que f n = 2n χ Entonces ∫f n por otro lado (0, ) 1 2n dm = 2n m ( ( 0, 21n ) ) = 1 ∀m 2n lim f n = 0 = f ( x ) ∀x n y luego ∫ f dm = 0 1 2n no se cumple el TCM (Teorema de Convergencia Monótona) porque no tiende a f monótonamente ya que: f n +1 ( x ) ≥ f n ( x ) en general, pero si x ∈ 2n1+1 , 21n ⇒ f n +1 ( x ) = 0 y f n ( x ) = 2n luego f n +1 ( x ) < f n ( x ) . Ejemplo 3.2 Veamos ahora un ejemplo en que sí se cumple. Sea g ∈ L+ [0,1] tal que g ( x ) < ∞ ∀x entonces: x n ≥ x n+1 ∀x ∈ [ 0,1] entonces 1 − x n ≤ 1 − x n+1 ∴ g ( x ) (1 − x n ) ≤ g ( x ) (1 − x n+1 ) 1444442444443 1444442444443 gn ( x ) g n +1 ( x ) y g ( x ) si x ≠ 1 lim g n ( x ) = = h ( x) n si x = 1 0 se tiene g n ( x ) Z h ( x ) aplicando la proposición: lim ∫ n g [0,1] n ( x ) dm = ∫[0,1] h ( x ) dm = ∫[0,1] g ( x ) dm luego lim ∫ n [0,1] g ( x ) (1 − x n ) dm = ∫ [0,1] g ( x ) dm para sucesiones no negativas, no monótonas tenemos el teorema de Fatou - 49 - Análisis Real Capítulo 3 - 50 - Proposición 3.8 (Lema de Fatou) Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y sean ( f n )n∈¥ ⊆ L+ y f = lim f n (límite inferior) entonces: ∫ f dµ ≤ lim∫ f o sea ∫ lim f n dµ ≤ lim ∫ f n dµ . Demostración Definimos: n dµ g n = inf f k k ≥n Por definición de límite inferior se tiene: f ( x ) = lim f n ( x ) = supinf f k ( x ) k ≥n n n ≥1 14442444 3 gn ( x ) + Así f ∈ L y por definición de g n : g n ( x ) ≤ g n+1 ( x ) ∀n ∈ ¥ y ∀x ∈ X con g n Z f ∫ f dµ = ∫ lim g n ( x ) dµ ={ lim ∫ g n ( x ) dµ = sup n ∫ g n dµ TCM por otro lado, si k ≥ n ⇒ g n ≤ f k y se tiene: ∫g n dµ ≤ ∫ f k dµ ∀k ≥ n entonces ∫g n dµ ≤ inf k ≥ n ∫ f k dµ tomando supremo ∫ f dµ = sup n ∫ g n dµ ≤ sup n inf k ≥n ∫ f k dµ = lim ∫ f n dµ n luego ∫ f dµ ≤ lim ∫ f n n dµ . En el ejemplo 3.1 g n = 0 ∀n ∈ ¥ y justifica que podemos tener la desigualdad estricta o sea f n dµ < lim ∫ f n dµ = 1 ∫ lim { =0 Corolario 3.9 Sea ( f n )n∈¥ sucesión de funciones medibles y g, h dos funciones integrable tales que: i) f n ≥ g entonces ii) f n ≤ h entonces ∫ lim f n ≤ lim ∫ f n - 50 - Análisis Real Integración ∫ lim f - 51 - ≥ lim ∫ f n n Demostración Probaremos el item i) para el otro caso se procede análogamente. Aplicamos la proposición anterior para hn = f n − g ≥ 0 entonces: ∫ limhn ≤ lim∫ hn luego sustituyendo ∫ lim ( f n − g ) = ∫ lim f n − g = ∫ lim f n − ∫ g ≤ lim ∫ ( f n − g ) = lim∫ f n − ∫ g entonces ∫ lim f n − ∫ g ≤ lim ∫ f n − ∫ g Proposición 3.10 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y f ∈ L+ tal que ∫ f dµ < ∞ entonces: i) E = { x : f ( x ) > 0} es σ − finito ii) F = { x : f ( x ) = ∞} es tal que µ ( F ) = 0 . Demostración Probemos primero ii) tenemos que f ≥ f χ F luego: ∞ > ∫ f dµ ≥ ∫ f χ F d µ = ∞ ∫ χ F d µ = ∞ µ ( F ) ⇒ µ ( F ) = 0 ahora probemos i) Sea En = { x : f ( x ) > ∞ 1 n } ⇒ E = U En basta ver que En tiene medida finita. Ahora f ≥ f χ En entonces: n =1 ∞ > ∫ f dµ ≥ ∫ f χ E n d µ ≥ 1 n ∫ χ En dµ = luego µ ( En ) < ∞ ∀n ∈ ¥. µ ( En ) n ∀n ∈ ¥ Integrales de funciones cualesquiera Hasta ahora consideramos funciones cuyo recorrido son los reales no negativos, para considerar las funciones cuyo recorrido son los reales ampliados, introducimos las siguientes definiciones. Definición 3.5 Sea f : X → ¡ medible tal que ∫ f + dµ o ∫ f − dµ < ∞ entonces definimos: ∫ f dµ = ∫ f + dµ − ∫ f − dµ - 51 - Análisis Real Capítulo 3 - 52 - y decimos que f es µ -integrable o simplemente integrable si y solo sí ambas son finitas, es decir: ∫ f + dµ < ∞ f integrable ⇔ y f − dµ < ∞ ∫ Observación 3.3 Si f es medible, f es integrable si y solo sí f es integrable. Veamos ⇐ tenemos que f + , f − ≤ f ⇒ ∫ f + , ∫ f − ≤ ∫ f < ∞ luego f es integrable. ⇒ f integrable ⇒ ∫ f + , ∫ f − < ∞ lo que implica que: ∫ f = ∫( f + + f − ) = ∫ f + + ∫ f − < ∞ { { <∞ <∞ y f es integrable. Ejemplo 3.3 Sea N un conjunto no medible y f definida como f = χ N − χ N C es no medible pero f = 1 . Proposición 3.11 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y sea L ( X ,M ) o L ( X ) el conjunto de funciones medibles sobre los reales, entonces el conjunto υ = { f ∈ L ( X ) : f es µ − integrable} es un espacio vectorial sobre ¡ .Además el mapa integral : ∫:υ → ¡ f Î ∫ f dµ es una funcional lineal. Demostración Sean f , g ∈υ a, b ∈ ¡ , como af + bg ≤ a f + b g entonces: f dµ + b ∫ g dµ < ∞ ∫ af + bg dµ ≤ a ∫1442443 1442443 <∞ <∞ y ( af + bg ) ∈ υ Sean ahora f , g ∈υ , consideremos h = f + g y como: h = h+ − h− = f + + g + − f − − g − = ( f + − f − ) + ( g + − g − ) reagrupando se tiene h+ + f − + g − = h− + f + + g + . - 52 - Análisis Real Integración - 53 - como todos ∈ L+ , integramos y por la proposición 3.3 (iii) se tiene: + − + − + − ∫h + ∫ f + ∫g = ∫ h + ∫ f + ∫ g y reagrupando f − ∫ f +∫ g − ∫ g ∫ h = ∫ h − ∫ h = ∫1444 4244443 14444244443 + − + − ∫f luego ∫ h = ∫ f + ∫ g . + − ∫g Veamos ahora la integración cuando las funciones tienen recorrido los complejos y para ello primero introducimos algunas definiciones. Funciones complejas Definición 3.6 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y f : X → £ una función medible ( f ∈ L ( X ) ) decimos que f es µ − integrable o simplemente integrable si Re f , Im f son integrables. Además la integral es por definición: ∫ f d µ = ∫ Re f dµ + i ∫ Im f dµ que a su vez es ∫ f dµ = Re ∫ f dµ + i Im ∫ f dµ Proposición 3.12 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y sea L ( X ,M ) o L ( X ) el conjunto de funciones medibles sobre los complejos, entonces el conjunto υ = { f ∈ L ( X ) : f es µ − integrable} es un espacio vectorial sobre £ .Además el mapa integral : ∫:υ → £ es una funcional lineal y ∫ f dµ ≤ ∫ f Î ∫ f dµ f dµ . Demostración La demostración de ser un espacio vectorial es igual a la anterior separando parte real de la imaginaria. La última afirmación es trivial si ∫ f = 0 , si f es real: ∫f = ∫f + −∫ f− ≤∫ f+ +∫ f− =∫ f Ahora si f es compleja no nula entonces sea α = ∫ f , y consideremos β = ∫β f = β∫ f = α α = α luego α ∫ f = ∫β f α y α = Re ∫ ( β f ) + i Im ∫ ( β f ) = ∫ Re ( β f ) y: 1442443 =0 - 53 - Análisis Real Capítulo 3 - 54 - ∫ f = ∫ Re ( β f ) ≤ ∫ Re β f ≤ ∫ β f = ∫ f tal Definición 3.7 Dado un espacio vectorial υ una función ⋅ : υ → [ 0, +∞ ] que: i) f + g ≤ f + g ∀f , g ∈υ ii) α f = α f ∀α ∈ £, ∀f ∈υ Decimos que ⋅ es una seminorma, a la pareja (υ , ⋅ ) se le llama espacio seminormado. Si además se sastisface: iii) f = 0 ⇒ f = 0 Entonces decimos que ⋅ es una norma, y a la pareja (υ , ⋅ ) se le llama espacio normado. Observación 3.4 Dado un espacio seminormado sea N = { f ∈υ : f = 0} , es un υ subespacio vectorial de υ ; sobre el cociente υ = definimos f : := f siendo N υ f la clase de f en , entonces (υ , ⋅ : ) es un espacio normado. N Ya que si g ∈ f ⇒ g − f ∈ N y entonces: g = g− f + f ≤ g− f + f = f 1442443 =0 pero haciendo el mismo razonamiento a f ∈ g se tiene: f ≤ g luego f = g si f,g son de la misma clase, por lo que esta bien definido, además si por lo tanto (υ , ⋅ : ) f : =0⇒ f =0 ⇒ f ∈N ∴f =0 es un espacio normado. Definición 3.8 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida , el espacio vectorial υ de las { } funciones µ integrables, y el subespacio N = f ∈ L ( X ) : ∫ f dµ = 0 ,se define el espacio normado ( L1 ( µ ) , ⋅ 1 ) como: υ y f 1 = ∫ f dµ N el 1 del superíndice o subíndice no tiene ningún significado útil sino que es una anotación estándar. L1 ( µ ) = - 54 - Análisis Real Integración - 55 - Observación 3.5 Si g ∈ f ⇔ g − f ∈ N ⇒ ∫ g − f dµ = 0 por proposición 3.4 ⇔ g − f = 0 c.t.p. − µ ⇔ f = g c.t.p. − µ . Proposición 3.13 Las siguientes implicaciones son válidas sií µ es completa: i) Si f es medible y f = g c.t.p. − µ , entonces g es medible ii) Si f n es medible ∀n ∈ ¥ y f n → f c.t.p. − µ , entonces f es medible. Demostración Ejercicio. Proposición 3.14 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y ( X ,M , µ ) su completación. Si f es M − medible entonces existe g M − medible tal que f = g c.t.p. − µ . Demostración Tenemos que: M = { F U K : F ∈ M K ⊆ N ∈ M tal que µ ( N ) = 0} Primero lo probamos para funciones simples. • Sea E ∈ M ⇒ ∃F ∈ M tal que E = F U E \ F con E \ F ⊂ N y µ ( N ) = 0 y sea f = χ E ⇒ f es M − medible . µ (E) = µ (F U E \ F ) = µ (F ) µ (E) − { µ (F ) = 0 ⇒ µ (E \ F ) = { F ∈ M ⊂ M ⇒ µ ( F ) = µ ( F ) = µ( F ) =µ(F ) Sea g = χ F ⇒ g es M − medible y f ( x ) ≠ g ( x ) ⇔ x ∈ E \ F , como µ ( E \ F ) = 0 se tiene f = g c.t.p. − µ . • Sean f y g funciones simples cualesquiera n f = ∑α j χ E j j =1 con (E ) j n j =1 partición M − medible n sea F j ∈ M tal que µ ( E j \ F j ) = 0 y consideremos g = ∑ α j χ F j entonces g es j =1 M − medible y f ( x ) ≠ g ( x ) ⇒ x ∈ U E j \ Fj y como: n j =1 n n µ U E j \ Fj = ∑ µ ( E j \ Fj ) = 0 43 j =1 j =1 144442444 =0 entonces f = g c.t.p. − µ medible. • Ahora para funciones cualesquiera - 55 - Análisis Real Sea f Capítulo 3 - 56 - M − medible cualquiera, existe una sucesión ( f n )n∈¥ de funciones simples con respecto a M , tal que: 1) f n ≤ f n+1 f n ( x ) → f ( x ) ∀x ∈ X Ahora por lo anterior existe N ∈M tal que µ ( N ) = 0 y una sucesión ( g n )n∈¥ de funciones simples con respecto a M tales que: g n χ X \ N = f n χ X \ N y g n |N = 0 entonces: 0 si x ∈ N lim g n ( x ) = n →∞ f n ( x ) = f ( x ) si x ∉ N lim n cada g n es M − medible y por lo tanto g : g ( x ) = lim g n ( x ) es también 2) n→∞ M − medible . Además, si x ∉ N ⇒ f ( x ) = g ( x ) ; como µ ( N ) = 0 ⇒ f = g c.t.p. − µ Proposición 3.15 Sean F ( X , M , cod ) = { f : X → cod: f es M − medible} donde cod ∈ ( ¡ ,£ ,¡ ) entonces la relación : µ definida como sigue: f :µ g ⇔ f = g c.t.p. − µ ⇔ µ ({ x : f ( x ) ≠ g ( x )}) = 0 es una relación de equivalencia sobre F ( X , M , cod ) . Demostración Ejercicio Proposición 3.16 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y completación, entonces: i) El mapa: F ( X , M , cod ) F ( X , M , cod ) → :µ :µ [ f ]µ Î [ f ]µ es una biyección. ii) El mapa: L1 ( µ ) → L1 ( µ ) [ f ]µ Î [ f ]µ es un isomorfismo entre espacios normados Demostración Es consecuencia de las consideraciones anteriores. - 56 - ( X ,M , µ ) su Análisis Real Integración - 57 - Proposición 3.17 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida, f , g ∈ L1 ( µ ) , entonces son equivalente: i) f = g c.t.p. − µ ∫ f − g dµ = 0 iii) ∫ f dµ = ∫ g dµ ii) E E ∀E ∈ M Demostración i) ⇔ ii) f = g c.t.p. − µ ⇔ f − g = 0 c.t.p. − µ ⇔ f − g = 0 c.t.p. − µ ⇔ ∫ f − g dµ = 0 i) ⇒ iii) Si E ∈ M ⇒ f χ E = g χ E c.t.p. − µ y por lo tanto ∫fχ E dµ = ∫ g χ E dµ y por definición ∫ E iii) ⇒ i) f dµ = ∫ g dµ E Re f = Re g como f = g c.t.p. − µ ⇔ c.t.p. − µ Im f = Im g además ∫ Re f dµ = ∫ Re g dµ ∫E f dµ = ∫E g dµ ⇔ Im f dµ = Im g dµ ∫ ∫ entonces podemos suponer que f y g toman valores reales y sea h = f − g tomemos En = h −1 ([ 1n , +∞ ) ) ∀n ≥ 1, E = h −1 [( 0, +∞ )] entonces En es creciente y luego µ ( E ) = lim µ ( En ) y se tiene: ∞ UE n =1 n = E, n 1 0 ≤ µ ( En ) = ∫ n dµ ≤ n ∫ h dµ = n ∫ f dµ − ∫ g dµ = 0 En En En En 14444444 3 n 4244444444 =0 por lo tanto µ ( En ) = 0 ∀n ⇒ µ ( E ) = 0 ⇒ h ≥ 0 c.t.p. − µ análogamente llegamos a que h ≤ 0 c.t.p. − µ ⇒ h = 0 c.t.p. − µ ⇒ i) . Observación 3.6 Las anteriores proposiciones nos permiten, a los efectos de integrar, modificar una función en un conjunto de medida nula, sin modificar dicho integral. Proposición 3.18 (Teorema de Convergencia Dominada) Sea una sucesión de funciones ( f n )n∈¥ ⊆ L1 ( µ ) y g ∈ L1 ( µ ) tales que: - 57 - Análisis Real Capítulo 3 - 58 - i) f n ≤ g c.t.p. − µ ii) f n → f c.t.p. − µ entonces f ∈ L1 ( µ ) y ∫ f dµ = lim ∫ f n dµ . n Demostración f es medible (previamente modificada en un conjunto de medida nula) por las proposiciones 3.13 y 3.14. Como f n ≤ g c.t.p. − µ modificando f n y f en un conjunto de medida nula se tiene que f n ≤ g ∀x ∈ X y pasando al límite f ≤ g ∀x ∈ X y entonces: ∫ f dµ ≤ ∫ g dµ < ∞ por ser g ∈ L1 ( µ ) ⇒ f ∈ L1 ( µ ) ⇒ f ∈ L1 ( µ ) Por otro lado f +g ≥0 fn ≤ g ⇒ − g ≤ fn ≤ g ⇒ n g − fn ≥ 0 y se tiene ≥ { ∫ lim ( g + f n ) = ∫ ( g + f ) = ∫ g + ∫ f ∫ g + lim∫ fn = lim ∫ g + ∫ f n = lim ∫ ( g + fn ) Fatou ∴ lim ∫ f n ≥ ∫ f por otro lado aplicando algo parecido a g − f n se tiene: ∫ g − ∫ f = ∫ ( g − f ) = ∫ lim ( g − f n ) ≤ lim ∫ ( g − f n ) = lim ( ∫ g − ∫ f n ) = ∫ g − lim ∫ f n ∴ lim ∫ f n ≤ ∫ f luego lim ∫ f n ≥ ∫ f ≥ lim ∫ f n ≥ lim ∫ f n es decir que se tienen que cumplir las igualdades y al ser los límites superior e inferior iguales se cumple que: lim ∫ f n = ∫ f Corolario 3.19 Sea una sucesión de funciones integrables ( f n )n∈¥ ⊆ L1 ( µ ) tal que ∞ ∑ ∫ f dµ < ∞ , entonces: n =1 n ∞ ∑ n =1 f n converge c.t.p. − µ , ∞ ∞ ∑f n =1 ∞ n ∈ L1 ( µ ) y además ∑ ∫ f dµ = ∫ ∑ f dµ n =1 n n =1 - 58 - n Análisis Real Integración - 59 - Demostración Aplicando el corolario del TCM ∞ ∞ f n dµ = ∑ ∫ f n dµ < ∞ ∫∑ n =1 ∞ entonces ∑ n =1 n =1 ∞ ∞ n =1 n=1 f n ∈ L1 ( µ ) ⇒ ∑ f n < ∞ c.t.p. − µ ⇒ ∑ f n converge c.t.p. − µ ∞ además, sea g = ∑ f n entonces: n =1 n ∑f j =1 n j ( x ) ≤ ∑ f j ( x ) ≤ g ( x ) c.t.p. − µ j =1 } n n y como g ∈ L1 ( µ ) ⇒ ∫ lim ∑ f j ( x ) dµ = lim ∑ ∫ f j dµ es decir: TCD n n j =1 ∞ j =1 ∞ ∫ ∑ f dµ = ∑ ∫ f n =1 n n =1 n dµ Vamos a introducir la integral dependiente de un parámetro y veremos que podemos derivar bajo el signo de integral. Proposición 3.20 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida Y un espacio métrico y la función f : X × Y → £ tal que f ( g, y ) ∈ L1 ( µ ) ∀y ∈ Y , podemos definir: F : Y → £ tal que F ( y ) = ∫ f ( x, y ) dµ X i) Supongamos que existe g ∈ L1 ( µ ) tal que: f ( x, y ) ≤ g ∀x e ∀y y que lim f ( x, y ) = f ( x, y0 ) ∀x donde y0 es fijo, entonces: y → y0 lim F ( y ) = F ( y0 ) y → y0 en particular F es continua si f lo es. ii) Supongamos que Y = [ a, b ] y que existe existe g ∈ L1 ( µ ) tal que ∂f ( x, y ) en [ a, b ] ∀x ∈ X y además que ∂y ∂f ( x, y ) ≤ g ( x ) ∀x ∈ X , ∀y ∈ [ a , b ] entonces F es ∂y derivable en y, y vale: F ′( y ) = ∫ ∂f ( x, y ) dµ ( x ) X ∂y Demostración Sea y0 ∈ Y arbitrario, pero fijo. - 59 - Análisis Real Capítulo 3 F ( y ) − F ( y0 ) = ∫ X - 60 - [ f ( x, y ) − f ( x, y0 )] dµ Sea una sucesión ( yn ) n∈¥ ⊆ Y tal que yn → y0 entonces: lim ( F ( yn ) − F ( y0 ) ) = lim ∫ n n X [ f ( x, yn ) − f ( x, y0 )] dµ llamemos f n ( x ) = f ( x, yn ) , como f n ( x ) − f ( x, y0 ) ≤ f n ( x ) + f ( x, y0 ) ≤ 2 g ( x ) y g ∈ L1 ( µ ) ⇒ 2 g ∈ L1 ( µ ) podemos aplicar TCD, lim ∫ n X [ f n ( x ) − f ( x, y0 )] dµ = ∫X lim [ f n ( x ) − f ( x , y 0 ) ] dµ = 0 n 144444444424444444443 = 0 por hip. ∴ lim [ F ( yn ) − F ( y0 )] = 0 con yn → y0 luego lim F ( y ) = F ( y0 ) . n y → y0 Para la parte ii) hay que ver que si yn → y0 entonces: F ( y n ) − F ( y0 ) ∂f lim =∫ ( x , y 0 ) dµ X ∂y n yn − y0 Ahora F ( yn ) − F ( y0 ) =∫ X yn − y0 fn ( x) 644=4744 48 f ( x , y n ) − f ( x , y0 ) dµ por otro lado yn − y0 f ( x, yn ) − f ( x, y0 ) ∂f = ( x, y0 ) ≤ g ( x ) n ∂y y n − y0 f ( x , y n ) − f ( x , y0 ) podemos aplicar el TCD, y si llamamos g n ( x ) = tenemos: yn − y0 ∂f lim ∫ g n ( x ) dµ = ∫ lim g n ( x ) dµ = ∫ ( x, y0 ) dµ X n X ∂y n X como se cumple ∀y0 ∈ [ a, b ] se concluye la tesis. lim Proposición 3.21 Sea S = {ϕ : X → £ : ϕ es simple} entonces: i) S I L1 ( µ ) es ⋅ 1 − denso en L1 ( µ ) ii) Supongamos que µ es una medida Lebesgue-Stieltjes sobre ¡ y sea: n ε a = ψ = ∑α j χ ( a ,b ) : n ∈ ¥,α j ∈ £, −∞ ≤ a j < b j ≤ +∞, µ ( a j , b j ) < ∞, ∀j = 1,.., n j j j =1 1 1 entonces ε a ⊆ L ( µ ) y ε a = L ( µ ) iii) Si µ es una medida Lebesgue-Stieltjes sobre ¡ , entonces: El espacio vectorial de las funciones continuas con soporte compacto Cc ( ¡ ) , Cc ( ¡ ) = { f : ¡ → £ : f es continua y ∃k > 0 tal que f ( x ) = 0 si x > k } - 60 - Análisis Real Integración es tal que Cc ( ¡ ) ⊆ L1 ( µ ) y Cc ( ¡ ) ⋅ 1 - 61 - = L1 ( µ ) . Demostración i) Sea f ∈ L1 ( µ ) y (ϕ n )n∈¥ ⊆ S tal que ϕ n ≤ ϕ n+1 ≤ f y además ϕ n ( x ) → f ( x ) ∀x ∈ X , entonces: ϕ n ∈ L1 ( µ ) ∀n ya que ∫ϕ n dµ ≤ ∫ f dµ < ∞ Por otro lado como f − ϕ n ≤ f + ϕ n < 2 f se tiene: TCD } lim f − ϕ n 1 = lim ∫ f − ϕ n dµ = ∫ lim f − ϕ n dµ = ∫ 0 dµ = 0 X X X ii) Observamos primero que si E , F ∈ M ⇒ χ E − χ F se tiene χ E − χ F = χ E \ F 1 = ∫ χ E − χ F dµ y como: X 0 si x ∈ E I F χ E − χ F = 1 si x ∈ E \ F −1 si x ∈ F \ E − χ F \ E y χ E − χ F = χ E \ F + χ F \ E = χ E V F entonces: χE − χF 1 = ∫ χ E V F dµ = µ ( E V F ) X Sea E ∈M tal que χ E ∈ L ( µ ) es decir con E acotada ⇒ µ ( E ) < ∞ . 1 Dado ε > 0 por el teorema de aproximación (proposición 1.8) ∃F = â ( a j , b j tal n j =1 que µ ( EVF ) < ε . Se puede suponer que ai ≠ bj ∀i, j . Para cada k sea Gk = U ( a j , b j + 1k ) a partir de cierto k que llamamos kε la familia n j =1 {( a , b j k + 1k )} j =1 es disjunta y además µ ( Gk ) → µ ( F ) y por lo tanto existe k ≥ kε n j tal que µ ( Gk \ F ) < ε entonces: χ E − χ Gk 1 ≤ χ E − χ F 1 + χ F − χ Gk 1 = µ ( EVF ) + µ ( F VGk ) < 2ε 144424443 Gk \ F Es decir ∃G = â ( c j , d j ) tal que χ E − χ G 1 < ε . n j =1 n Si f ∈ L1 ( µ ) sea ϕ = ∑α j χ E j ∈ L1 ( µ ) tal que {E j } j =1 disjuntos y α j ≠ 0 ∀j desde n j =1 1 a n, de manera que f − ϕ 1 < ε (ϕ existe por la parte i)) - 61 - Análisis Real Capítulo 3 - 62 - Para cada E j sea G j = â ( cij , d i j ) de manera que χ E j − χ G j m i =1 1 < ε . ϕ1 m Sea ψ = ∑ α j χ G j ⇒ ψ ∈ ε a y además: j =1 m f −ψ 1 ≤ f − ϕ 1 + ϕ −ψ 1 < ε + ∑ α j χ E j − χ G j j =1 m < ε +∑ αj j =1 1 < ε ε m =ε + ∑ α j = 2ε ϕ1 ϕ 1 j =1 1442443 =ϕ 1 iii) Basta ver que si µ ( ( a, b ) ) < ∞ entonces existe f ∈ Cc ( ¡ ) tal que: χ ( a ,b ) − f 1 <ε para ε > 0 dado. Notar que si f ∈ Cc ( ¡ ) ⇒ f ∈ L1 ( µ ) entonces tenemos que ver que: a) f es medible (ya que es continua) b) ∫ f dµ ≤ ∫ f ∞ dµ = f ∞ µ ([ − k , k ]) Lebesgue [ − k ,k ] compacto ⇒ µ ( compacto ) < ∞ sucesiones Sean ( an ) , (an′ ), (bn ) , (bn′ ) estrictamente monótonas tales que: a < an′ < an , bn < bn′ < b y 1 lim an = a , lim bn = b Sea una sucesión de funciones f n definidas como sigue: a an′ an f n : ¡ → ¡ tales que: 0 si x < an′ o x > bn′ f n ( x ) = 1 si x ∈ [ an , bn ] los segmentos de rectas en los que faltan Entonces f n ∈ Cc ( ¡ ) y además: 0 ≤ χ (a ,b ) − f n ≤ χ ( a ,b ) − χ ( an ,bn ) bn bn′ b y se tiene: χ ( a ,b ) − f n 1 = ∫ χ ( a ,b) − f n dµ ≤ ∫ χ ( a ,b ) − χ ( an ,bn ) d µ = n = ∫ χ ( a ,b) dµ − ∫ χ ( an ,bn ) dµ = µ ( ( a, b ) ) − µ ( ( an , bn ) ) →0 por ser lim an = a y lim bn = b. - 62 - Análisis Real Integración - 63 - Integral de Riemann versus Integral de Lebesgue Proposición 3.22 i) Sea f : [ a, b ] → ¡ una función acotada y f ∈Ra b (integrable según Riemann) entonces: i) f es integrable según Lebesgue y: ∫ b a f ( x ) dx = ∫ [ a ,b ] f dm ii) f ∈Ra b ⇔ m ( D f ) = 0 donde D f = { x ∈ [ a, b ] : f no es continua en x} Demostración Dada una partición de [ a, b ] P = { x0 = a, x1,..., xn = b} definimos: n Gp = ∑ M j χ( x j =1 n j −1 , x j y g p = ∑ m j χ( x j =1 j −1 , x j donde M j = sup { f ( x ) : x ∈ x j −1 , x j } y m j = inf { f ( x ) : x ∈ x j −1 , x j } entonces como G p y g p son funciones simples, por definición se tiene: n n j =1 j =1 ∫ G p dm = ∑ M j m (( x j−1 , x j ) = ∑ M j ( x j − x j −1 ) = S ( P , f ) análogamente n n j =1 j =1 ∫ g p dm = ∑ m j m ( ( x j−1 , x j ) = ∑ m j ( x j − x j−1 ) = s ( P, f ) Sea Pn una familia creciente de particiones de [ a, b ] tales que la norma de la n partición η ( Pn ) → 0 , y llamemos: lim S ( Pn , f ) = ∫ f b a n b lim s ( Pn , f ) = ∫ f a n Por otro lado definimos: Gn = GPn y g n = g Pn se tiene que ∀n g n ≤ f ≤ Gn donde además g n Z y Gn ]⇒ existe el límite y le llamamos g y G respectivamente, es decir: lim g n = g y lim Gn = G n n En particular las funciones G, g son medibles (por ser límite de funciones medibles) Observar que por la definición de Gn se tiene: Gn ≤ f ∞ χ[ a ,b] ∈ L1 ( µ ) luego podemos aplicar el TCD como sigue: - 63 - Análisis Real Capítulo 3 } lim Gn dm = lim ∫ TCD ∫[ a ,b ] G dm = ∫ [ a ,b ] y como g n ≤ Gn ≤ f ∫[ a ,b ] - 64 - Gn dm = lim S ( Pn , f ) = ∫ f a ,b a b [ ] χ[ a ,b] ∈ L ( µ ) aplicamos el TCD para g n : 1 ∞ } lim g n dm = lim ∫ TCD g dm = ∫ [ a ,b ] g n dm = lim s ( Pn , f ) = ∫ f b [ a ,b ] a Ahora por definición: f ∈Ra b ⇔ ∫ f − ∫ f = 0 ⇔ ∫ ⇔ b b a a ∫ [a ,b ] Gdm − ∫ [ a ,b ] g dm = 0 ⇔ ( G − g ) dm = 0 ⇔ G − g = 0 c.t.p. − µ [ a ,b ] Observar que g ≤ f ≤ G luego si f ∈Ra b ⇒ 0 ≤ G − f ≤ G − g = 0 c.t.p. − µ entonces G = f = g c.t.p. − µ ⇒ f es medible Lebesgue, y por lo tanto integrable (ya que es acotada y m ([ a, b ]) < ∞ ) y además: ∫ b a f dx = ∫ [ a ,b ] g dm = ∫ [ a ,b ] Gdm ∞ ii) Sea E = U Pn notar que µ ( E ) = 0 probaremos que D f − E = D \ E siendo n =1 D = { x : G ( x ) > g ( x )} . Si x ∉ E y f es continua en x, dado ε > 0 ∃δ > 0 tal que f ( y ) − f ( x ) < ε si y − x < δ ; sea n ∈ ¥ tal que η ( Pn ) < δ y sea J k el intervalo determinado por Pn en el cual está x, entonces: Gn ( x ) − g n ( x ) = sup y , z∈J k f ( y ) − f ( z ) ≤ 2ε { por desig. triáng. Por lo tanto: G ( x ) − g ( x ) ≤ Gn ( x ) − g n ( x ) ≤ 2ε luego G ( x ) = g ( x ) ⇒ x ∉ D ⇒ ( D f \ E ) ⊆ ( D \ E ) C ∀ε > 0 C Recíprocamente, si x ∉ E , x ∉ D ⇒ f es continua en x, ya que como G ( x ) = g ( x ) dado ε > 0 ∃n ∈ ¥ tal que 0 ≤ ( Gn − gn )( x ) < ε lo que implica: sup y , z∈J k f ( y ) − f ( z ) < ε en particular f ( y ) − f ( x ) < ε ∀y ∈ J k ⇒ f es continua en x. En conclusión m ( D f ) = m ( D f \ E ) = m ( D \ E ) = m ( D ) . Así que f ∈Ra b ⇔ G − g = 0 c.t.p. − µ ⇔ m ( D ) = 0 ⇔ m ( D f ) = 0 . - 64 - Capítulo 4 Modos de Convergencia Definición 4.1 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida, ( f n )n∈¥ ⊆ L ( X ) una sucesión n de funciones medibles f n : X → ¡ , la declaración f n → f puede tomarse en muchos sentidos diferentes, así diremos que: n → f ( x ) converge puntualmente si ∀ε > 0, ∃n0 ( ε , x ) ∈ ¥ tal que: 1) f n ( x ) f n ( x ) − f ( x ) < ε ∀n ≥ n0 (ε , x ) y ∀x ∈ X si f ( x ) < ∞ en caso contrario f n ( x ) > ε1 . 2) f n à f converge uniformemente si ∀ε > 0, ∃n0 ( ε ) ∈ ¥ tal que: f n ( x ) − f ( x ) < ε ∀n ≥ n0 (ε ) y ∀x ∈ X c.t.p. 3) f n → f converge en casi todo punto si existe un conjunto A ⊆ X tal que: n f n ( x ) → f ( x ) ∀x ∈ A y µ ( AC ) = 0 c.u. 4) f n → f converge casi uniformemente si ∀ε > 0 existe un conjunto Aε ⊆ X tal que µ ( Aε ) < ε , y f n à f ∀x ∈ ( Aε ) C µ 5) f n → f converge en medida si ∀ε > 0 se tiene que: n µ ({ x : fn ( x ) − f ( x ) ≥ ε }) →0 L 6) f n → f converge en L1 si f n ∈ L1 ( µ ) y f n − f 1 ∫ X 1 n → 0 o sea: n f n − f →0 Veamos ahora algunos ejemplos. Ejemplo 4.1 Sea f n = 1n χ ( 0,n ) fn à 0 1 n y f n ∈ L1 ( µ ) - 65 - n Análisis Real Capítulo 4 - 66 - L ∀n ∈ ¥ pero f n → 0 ya que lim ∫ f n − f dµ = lim1 = 1 X n 14444 n 42444443 1 =1 Ejemplo 4.2 Sea f n = χ[ n,n +1] Puntualmente f n ( x ) → 0 ∀x 1 L Por otro lado f n ∈ L1 ( µ ) ∀n pero f n →0 1 n n+1 Ejemplo 4.3 Sea la siguiente sucesión de funciones: f1 = χ ( 0,1) , f 2 = χ ( 0, 12 ) , f3 = χ ( 12,1) , f 4 = χ ( 0, 14 ) ,... puntualmente f n → 0 ya que toma infinitas veces el valor 1 y el valor 0. 1 0 1 Por otro lado 1 0 1 1 2 1 0 1 1 2 1 0 1 1 4 1 2 1 0 1 4 1 2 1 1 → 0 donde n corresponde a la k-esima 2k L1 subdivisión, por lo tanto f n →0 f n ∈ L1 ( µ ) mientras que ∫[ 0,1] fn = Ejemplo 4.4 Sea ( f n ) como el ejemplo anterior y definimos g n = 2k f n entonces: L Puntualmente g n → 0 , por otro lado g n ∈ L1 ( µ ) y g n → 0 (los integrales valen 1) sin embargo: n m ({ x ∈ [ 0,1] : g n ( x ) > ε } ) →0 1 m luego g n tiende en medida a cero ( g n → 0 ). Veremos equivalencias sobre las convergencias. L c.t.p. Proporción 4.1 Si f n → f y f n ≤ g ∈ L1 ( µ ) ∀n entonces f n →f 1 Demostración Por hipótesis ∃A ⊆ X tal que f n ( x ) → f ( x ) ∀x ∈ A luego f n ( x ) − f ( x ) → 0 ∀x ∈ A - 66 - Modos de Convergencia y espacios Lp Análisis Real - 67 - Como µ ( AC ) = 0 podemos modificar f en un conjunto de medida cero para que se cumpla que f n ( x ) − f ( x ) → 0 ∀x . Por ser f n ≤ g pasando al límite f ≤ g ⇒ f n ( x ) − f ( x ) ≤ f n + f ≤ 2 g y podemos aplicar el TCD, como sigue: lim ∫ f n − f dµ = ∫ lim f n − f dµ = ∫ 0 = 0 1 L c.t.p. Más abajo veremos que si f n → f entonces alguna subsucesión f nk →f . L µ Proposición 4.2 Sea f n → f entonces f n →f. 1 Demostración Dado ε > 0 sea Fn = { x : f n ( x ) − f ( x ) ≥ ε } tenemos que: µ ( Fn ) = ∫ dµ = Fn 1 ε ∫ Fn ε dµ ≤ 1 ε ∫ Fn f n − f dµ ≤ 1 ε fn − f 1 →0 µ →f. por definición entonces f n c.u. c.t.p. Proposición 4.3 Si f n → f entonces f n →f Demostración ∀ε > 0 ∃Aε tal que µ ( Aε ) < ε y f n Ãf f en ( Aε ) Para cada m ∈ ¥ sea Am tal que µ ( Am ) ≤ m∈¥ y f n Ãf f en ( Am ) C ⇒ 0 ≤ µ ( A) = µ I Am ≤ lim µ ( Am ) ≤ lim m1 = 0 ahora si x ∈ AC ⇒ m m∈¥ m m∈¥ C C f en AmC0 ⇒ f n ( x ) → f ( x ) , esto Am ⇒ ∃m0 ∈ ¥ tal que x ∈ Am0 y como f n Ãf Sea A = x∈ U 1 m C IA m c.t.p. es para todo x ∈ AC ⇒ f n →f . c.u. µ Proposición 4.4 Si f n → f entonces f n →f. Demostración Tenemos que probar que ∀ε > 0 y ∀δ > 0 ∃n0 ∈ ¥ tal que : µ ({ x : fn ( x ) − f ( x ) ≥ ε }) < δ ∀n ≥ n0 tomamos ε , δ > 0, por hipótesis ∃A tal que µ ( A ) < δ y f n à f ∀x ∈ AC luego ∃n0 ∈ ¥ tal que si x ∈ AC se cumple f n ( x ) − f ( x ) < ε ∀n ≥ n0 en particular: {x : f n ( x ) − f ( x ) ≥ ε } ⊆ A ⇒ µ ({ x : f n ( x ) − f ( x ) ≥ ε } ) ≤ µ ( A ) < δ . - 67 - Análisis Real Capítulo 4 - 68 - Definición 4.2 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida, ( f n )n∈¥ ⊆ L ( X ) una sucesión de funciones medibles, se dice que es de Cauchy en medida si ∀ε > 0 y ∀δ > 0, ∃n0 ∈ ¥ tal que: µ ({ x : fn ( x ) − f m ( x ) ≥ ε }) < δ ∀m, n ≥ n0 Proposición 4.5 Sea ( f n )n∈¥ una sucesión de Cauchy en medida entonces: µ →f. i) Existe f tal que f n c.t.p. ii) Si f es como en i) entonces existe una subsucesión f nk de f n tal que f nk →f µ µ → f y f n → g entonces f = g c.t.p. − µ . iii) Si f n Demostración Demostremos primero ii) Sea n1 ∈ ¥ tal que µ ({ x : fn ( x ) − f m ( x ) ≥ 1 2 }) < 12 si n, m ≥ n1 análogamente sea n2 > n1 tal que µ ({ x : f m ( x ) − f n ( x ) ≥ 14 }) < 14 si m, n ≥ n2 En general se tiene así nk > ... > n2 > n1 tomamos nk +1 > nk tal que: µ ({ x : f m ( x ) − f n ( x ) ≥ llamemos Ek +1 = { x : f m ( x ) − f n ( x ) ≥ Sea g j = f n j y x ∉ U Ek entonces: 1 2 k +1 1 2 k +1 }. }) < 1 2 k +1 si m, n ≥ nk +1 k≥ j g j ( x ) − g j + l ( x ) ≤ g j ( x ) − g j +1 ( x ) + ... + g j + l −1 ( x ) − g j + l ( x ) ≤ ≤ 1 2j + 2 j +1 + ... + 2 j + l −1 = 1 1 j + l −1 ∑ i= j 1 2i ≤ ∞ 1 2j ∑ i=0 1 2i = 1 2 j −1 ⇒ g n ( x ) es puntualmente de Cauchy, luego converge a cierto f ( x ) ∞ ∞ Es decir que g n ( x ) converge ∀x ∉ IU Ek = E , observar que E es medible y: j =1 k = j ∞ ∞ µ ( E ) = lim µ U Ek ≤ lim ∑ µ ( Ek ) ≤ lim ∑ 21k = 0 j j j k= j k≥ j k= j Definimos f ( x ) = 0 ∀x ∈ E ⇒ f es medible y además: f n j →f j i) Tomemos ε = 1 2k c.t.p. c.t.p. − µ es decir que f n j →f , si x ∉ U Ek se tiene g j ( x ) − g j + l ( x ) ≤ cuando l → ∞ nos queda: k≥ j g j ( x) − f ( x ) ≤ - 68 - 1 2 j −1 1 2 j −1 pasando al límite Modos de Convergencia y espacios Lp Análisis Real {x : g entonces si j ≥ k j ( x ) − f ( x ) ≥ 21 > 2 1 } ⊆ U Em y por lo tanto { j −1 k m≥ j →0 j m≥ j por último dado ε > 0 sea H n = { x : fn ( x ) − f ( x ) ≥ ε } y µ ({ x : g j ( x ) − f ( x ) ≥ µ →f Luego f n j llamemos G( n,n ) = x : fn ( x ) − f n j ( x ) ≥ j ε 2 1 2k } }) ≤ µ U E m { y Fn j = x : f n j ( x ) − f ( x ) ≥ H n ⊆ G( n,n ) U Fn j j ya que si x no pertenece a la unión anterior se cumple que: fn ( x ) − f ( x ) ≤ fn ( x ) − fnj ( x ) + fnj ( x ) − f ( x ) < ε 144444424444443 1444442444443 ( - 69 - ) ( ) < ε2 ε 2 } se tiene: < ε2 µ →f y µ ( H n ) ≤ µ G( n ,n ) + µ Fn j < ε si n, n j son grandes ⇒ f n j µ iii) Si f n → g como { x : f ( x ) − g ( x ) > ε } ⊆ { x : f ( x ) − g ( x ) ≥ ε } , y además: { x : f ( x ) − g ( x ) ≥ ε } ⊆ { x : f ( x ) − f n ( x ) ≥ ε2 } U { x : fn ( x ) − g ( x ) ≥ ε2 } ∀n en particular si n → ∞ luego se tiene que µ ({ x : f ( x ) − g ( x ) > ε }) = 0 ∀ε > 0 y haciendo tender ε → 0 se tiene que f = g c.t.p. − µ . 1 L Corolario 4.6 Si f n → f entonces existe una subsucesión f n j de f n tal que c.t.p. f n j →f. Demostración Por la proposición 4.2 si ( ) L µ f n → f ⇒ f n →f 1 y por la c.t.p. proposición anterior ⇒ ∃ f n j subsucesión de f n tal que f n j →f . c.t.p. µ Sin embargo puede suceder que f n → f y no se cumple que f n → f como en el ejemplo 4.2 Proposición 4.7 (Teorema de Egoroff’s) Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida finita ( µ ( X ) < ∞ ) , sea ( f n )n∈¥ una sucesión c.t.p. de funciones medibles ( f n : X → £ ∀n ) tal que f n → f con f medible, entonces: c.u. f n → f sobre X Demostración Dado k ∈ ¥, para cada n ∈ ¥, sea: - 69 - Análisis Real Capítulo 4 Fn ( k ) = { x : f n ( x ) − f ( x ) ≥ y sea En ( k ) = UF m m≥n - 70 1 k } ( k ) entonces, para cada k, En ( k ) ⊇ En +1 ( k ) y: ∞ ∞ c.t.p. f x como E k N x : f x f f µ ⊆ = → → ⇒ ( ) ( ) ( ) { } I n n n I En ( k ) = 0 n=1 n =1 y por ser la medida finita, se tiene: ∞ lim µ ( En ( k ) ) = µ I En ( k ) = 0 ∀k ∈ ¥ n n=1 luego dado ε > 0 para cada k ∈ ¥ ∃nk ∈ ¥ tal que: µ ( En ( k ) ) < ε 2k ∀n ≥ nk ∞ ∞ ∞ k =1 k =1 Sea E = U Enk ( k ) entonces E ∈ M y µ ( E ) ≤ ∑ µ ( Enk ( k ) ) < ∑ 2εk = ε . k =1 Ahora si x ∉ Enk ( k ) ⇒ f n ( x ) − f ( x ) < fn ( x ) − f ( x ) < 1 k 1 k ∀n ≥ nk , entonces si x∉E ⇒ ∀n ≥ nk , ∀k ∈ ¥ , luego f n à f en E C y µ ( E ) < ε ⇒ por c.u. definición f n → f en X . Ejemplo 4.5 c.t.p. Sea f n = χ[n,+∞ ) tenemos que lim f n = 0 ∀x ∈ ¡ f n →0 n Si ε ∈ ( 0,1) ⇒ f n ( x ) − 0 > ε espacio de medida finita. c.u. ∀x ∈ [ n, +∞ ) ⇒ f n → f y esto se da por no ser el c.t.p. Corolario 4.8 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida finita si f n → f entonces µ →f f n Demostración Por la proposición 4.7 c.t.p. c.u. f n → f ⇒ f n →f y por la µ proposición 4.4 que f n → f ⇒ f n →f. c.u. Proposición 4.9 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida finita, ( f n )n∈¥ una sucesión µ de funciones medibles, entonces f n → f (f medible) si y solo sí f es de Cauchy en medida Demostración ⇐ Proposición 4.5 ⇒ Dados m,n cualquiera y ε > 0 como: { x : fm ( x ) − fn ( x ) ≥ ε } ⊆ { x : fn ( x ) − f ( x ) ≥ ε2 } U { x : fm ( x ) − f ( x ) ≥ ε2 } se tiene: - 70 - Modos de Convergencia y espacios Lp Análisis Real - 71 - µ ({ x : f m ( x ) − f n ( x ) ≥ ε }) ≤ µ ({ x : fn ( x ) − f ( x ) ≥ ε2 }) + µ ({ x : f m ( x ) − f ( x ) ≥ ε2 }) 1444444444442444444444443 1444444444442444444444443 < ε2 luego µ ({ x : f m ( x ) − f n ( x ) ≥ ε }) < ε ⇒ que es de Cauchy en medida. < ε2 A modo de resumen construimos los siguientes diagramas: En el primer diagrama tenemos que las flechas llenas corresponden a implicancias que se cumplen en un espacio de medida arbitrario, las flechas punteadas significa que existe una subsucesión que cumple la implicancia. c.u. 4.3 4.4 c.t.p. 4.5 4.6 µ c.u.--- converve casi unimformemente c.t.p.---converge en casi todo punto µ ---converge en medida L1 ---converge en L1 4.2 L1 El siguiente diagrama es para un espacio de medida finito. c.u. 4.7 µ c.t.p. 4.8 L1 c.u. El siguiente es el caso de existir sucesión de funciones dominada µ c.t.p. 4.1 L1 Espacios Lp Definición 4.3 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida, sea p tal que 1 ≤ p < ∞ , definimos el conjunto L%p ( µ ) o simplemente L%p como: - 71 - Análisis Real Capítulo 4 - 72 - p p % L ( µ ) = f : X → ¡ , medibles tales que ∫ f dµ < ∞ X 1 p Observación 4.1 L%p es un espacio vectorial si f , g ∈ L%p veamos que: ( p f ( x ) + g ( x ) ≤ [ 2max { f ( x ) , g ( x ) }] ≤ {2 f p p ∀x e integrando ∫ f + g dµ ≤ 2 p p (∫ f luego f + g ∈ L%p . Por otro lado si α ∈ £, y f ∈ L%p se tiene: ( ) 1 p p ) 1 p f p = Observación 4.2 Para probar que ⋅ (∫ p X ) <∞ Definición 4.4 En el espacio vectorial L%p definimos una función ⋅ de la siguiente forma: p ) p ( p +g dµ + ∫ g dµ < ∞ ∫ α f ( x ) dµ = α ∫ f ( x ) dµ luego α f ∈ L%p .Por lo tanto L%p es un espacio vectorial. p p f p dµ ) 1 p : L%p → [ 0, +∞ ] p se trata de una seminorma nos falta probar la desigualdad triangular, que se probará más adelante (desigualdad de Minkowski). Definición 4.5 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida, en él tenemos definido el p espacio vectorial L%p , sea el subespacio N = f ∈ L%p : ∫ f dµ = 0 , se define el espacio normado ( Lp , ⋅ p { ) como: L%p L = y N p Observación 4.3 Si f ∈ g ⇔ g − f ∈ N ⇔ g − f f p } X = f p = 0 ⇔ ∫ f − g dµ = 0 ⇔ p p X ⇔ f − g = 0 c.t.p. − µ ⇔ f − g = 0 c.t.p. − µ ⇔ f = g c.t.p. − µ p Para el caso medibles y f ∞ p=∞ L∞ = { f : µ ( f > M ) = 0 para algún M > 0} = { f : X → £ < ∞} siendo el significado que le damos a ⋅ f ∞ = inf {M : µ ( f > M ) = 0} - 72 - ∞ es el siguiente: Modos de Convergencia y espacios Lp Análisis Real y como f ≤ f ∞ - 73 - c.t.p. − µ , por eso también lo llamamos supremo esencial de f Definición 4.6 Sea una función φ : ( a, b ) → ¡ si ∀t ∈ ( 0,1) , y ∀x, y ∈ ( a, b ) se cumple que: φ ( (1 − t ) x + t y ) ≤ (1 − t )φ ( x ) + tφ ( y ) es llamada función convexa . Geométricamente la convexidad de φ es descripta cuando se dice que φ ( y) cada punto de la cuerda que une ( x,φ ( x ) ) con ( y ,φ ( y ) ) está por encima del gráfico de φ como se muestra en la figura. φ ( x) x x′ y Lema 4.10 Sea φ : ( a, b ) → ¡ una función convexa y si x ∈ ( a, b ) entonces existe β ∈ ¡ tal que φ ( y ) ≥ φ ( x ) + β ( y − x ) ∀y ∈ ( a, b ) Demostración Primero demostraremos que ∀x, y ∈ ( a , b ) si x′ ∈ ( x, y ) se tiene que: φ ( y ) − φ ( x ) φ ( x ′) − φ ( x ) ≥ y−x x′ − x Consideremos la cuerda que une ( x,φ ( x ) ) con ( y,φ ( y ) ) que llamamos G ( X ) φ ( y) −φ (x) G(X ) = ( X − x) + φ ( x) y−x por se la función convexa si x′ ∈ ( x, y ) se tiene G ( x′ ) ≥ φ ( x′ ) , luego φ ( y) − φ ( x) ( x′ − x ) + φ ( x ) ≥ φ ( x′ ) y−x y despejando φ ( y ) − φ ( x ) φ ( x ′) − φ ( x ) ≥ (1) y−x x′ − x φ ( x′ ) − φ ( x ) sea β = sup x′∈( x , y ) , que existe por estar acotado, y pasando al x′ − x supremo en (1) , se tiene que se sigue cumpliendo la desigualdad, y podemos afirmar que existe β ∈ ¡ tal que φ ( y ) ≥ φ ( x ) + β ( y − x ) ∀y ∈ ( a, b ) Proposición 4.11 (Desigualdad de Jensen) Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida, µ ( X ) = 1 (espacio de probabilidad), si φ : ( a, b ) → ¡ convexa y f medible e integrable tal que el recorrido de f está incluido en ( a, b ) , entonces: - 73 - Análisis Real Capítulo 4 φ (∫ X ) - 74 - f dµ ≤ ∫ φ ( f ( x ) ) dµ X Demostración Por ser φ convexa es continua, luego medible y se tiene que φ o f es medible. Veamos primero que ∫ f dµ ∈ ( a, b ) . X Como f ( x ) ∈ ( a, b ) ⇒ f ( x ) < b ⇒ ∫ f dµ < ∫ b dµ = bµ ( X ) = b X X Análogamente a < f ( x ) ⇒ a < ∫ f dµ , y llamemos a X ∫ X f dµ = x . Ahora por ser φ convexa se tiene que existe β ∈ ¡ tal que φ ( z ) ≥ φ ( x ) + β ( z − x ) ∀ z ∈ ( a, b ) elegimos z = f ( y ) entonces: φ ( f ( y )) ≥ φ ( x) + β ( f ( y ) − x ) e integrando =0 644444444444474444444444448 =φ ( x ) 6444447444448 f ( y ) dµ ( y ) − ∫ x dµ ( y ) ∫X φ ( f ( y )) dµ ( y ) ≥ ∫X φ ( x ) dµ ( y ) + β ∫1444442444443 X X 4244443 1444 =x =x y queda ∫ φ ( f ( y ) ) d µ ( y ) ≥ φ ∫ f dµ ( X X ) Observación 4.4 Sea h : X → [ 0, +∞ ] ∀A ∈M podemos definir υ ( A ) = ∫ h dµ = ∫ h χ A dµ A X así υ resulta ser una medida y además: ∫ F dυ = ∫ Fh dµ X X Demostración Probamos primero que es σ − aditiva , sea ( An )n∈¥ una sucesión de conjuntos disjuntos dos a dos y llamemos A = U An , n∈¥ υ ( A ) = υ U An = ∫ h dυ = ∫ hχ A dµ X U n n∈¥ U An n ∞ i =1 i =1 Sea Bn = U Ai ⇒ lim Bn = U Ai = A ⇒ hχ Bn Z h χ A entonces por el TCM υ ( A ) = ∫ h χ A = ∫ lim h χ Bn dµ = { lim ∫ X h χ Bn dµ X X T.C.M - 74 - n ∞ = { lim ∑ ∫ X h χ Ai dµ = ∑υ ( Ai ) n i =1 144424443 i =1 χ Bn = ∑ χ Ai υ ( Ai ) i =1 Modos de Convergencia y espacios Lp Análisis Real - 75 - Para probar la otra afirmación primero se demuestra para funciones características y después para funciones simples y luego para funciones no negativas, para por último generalizar para cualquier función. Proposición 4.12 (Desigualdad de Hölder) Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida f , g : X → ¡ medibles, y sean p, q ≥ 1 tales que 1p + 1q = 1 (se dice de p y q en estas condiciones, que son conjugados, donde eventualmente si p = 1 ⇒ q = ∞ ), entonces se cumple: f ⋅g 1 ≤ f p ⋅ g q Demostración De acuerdo a las definiciones lo que tenemos que demostrar es: ∫ X fg dµ ≤ (∫ p f X dµ ) (∫ 1 g dµ p q X ) 1 q Consideremos primero el caso p = 1 y q = ∞ como g ≤ g f g ≤ f g ∞ ∞ c.t.p. − µ entonces c.t.p. − µ luego: fg 1 = ∫ f g dµ ≤ g ∞ X ∫ f dµ = g ∞ f 1 X Para el caso 1 < p < ∞ si f = 0 o g = 0 c.t.p. − µ se cumple. Si f , g ≠ 0 c.t.p. − µ pero f p = ∞ o g q = ∞ también se cumple. Consideremos solo el caso 0 < f p , g q < ∞ por otro lado como (α f )( β g ) 1 = α β fg 1 α f p β g q = α β f p g q Así podemos considerar que g q = 1 ya que si probamos que fg 1 ≤ f p se tiene que fg 1 g = f g q g q ≤ f ⇒ fg 1 ≤ f p p g q 1 Definimos υ ( A ) = ∫ g dµ , como g A q q = 1 ⇒ υ ( X ) = 1 es decir es un espacio de probabilidad, y se tiene: 1− q q 1− q dµ = ∫ f g dυ ∫X fg dµ = ∫X f g 14g4244 3 X dυ y como φ ( z ) = z es una función convexa se tiene aplicando Jensen: p (∫ f g X =∫ f X p 1− q g dυ ) ≤∫ p =0 644474448 p + q− pq X f p g dµ = ∫ f X p(1− q ) dυ = ∫ f X p dµ = - 75 - ( f p ) p p g p − pq g dµ = q Análisis Real Luego ( 1) fg Capítulo 4 p ≤ ( f p ) p - 76 - ⇒ que se cumple la desigualdad. Ejemplo 4.6 Si X = ¥ y µ es la medida de Dirac (la de contar), entonces la integral es la serie y se tiene: 1 1 p q p q anbn ≤ ∑ an ∑ bn ∑ n∈¥ n∈¥ n∈¥ que es la desigualdad conocida como de Cauchy-Schwarz. Proporción 4.13 (Desigualdad de Minkowski) Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y f , g ∈ Lp , si 1 ≤ p ≤ ∞ entonces la función ⋅ p cumple la desigualdad triangular: f +g ≤ f p p + g p Demostración Si f + g = 0 c.t.p. − µ ya está, si p = 1 o p = ∞ también. Sea p > 1 f +g = f +g integrando p ( ) =∫ p =( f p + g ( f + g ) = f f + g p −1 + g f + g p −1 p −1 X p −1 1 p p −1 p X = f ( f + g) f +g ≤ f +g f + g dµ ≤ ∫ f f + g p f +g p −1 + g( f + g) ) ( f + g) p −1 1 ≤ { dµ + ∫ g f + g p −1 dµ = X f p Hölder ( f + g ) p −1 q + g ( f + g ) p −1 q = p p −1 q Ahora 1 =p ( f + g) p −1 q 6447448 ( p −1) q = ∫ f + g dµ X 1 q q p = ∫ f + g dµ = X 1444442444443 p ( f +g p ) ( f +g Sustituyendo ( Si ( f +g p ) p q f +g p ) p = ∫ f + g dµ ≤ p X ( f + g p p ≠ 0 pasamos dividiendo y como p − p q = - 76 - )( f +g p ) p q pq − p q = =1 q q p ) p q Modos de Convergencia y espacios Lp Análisis Real ( f +g ) ( f +g ) p = f +g p p q ( ≤ p f p + g p - 77 - ) p si fuera ( f +g p ) p q =0 ⇒ f +g = 0 y también se cumple. p Como consecuencia podemos afirmar ahora que ( Lp , ⋅ p ) es un espacio normado si p ∈ ( 0,1) también tienen sentido las definiciones p ≥ 1 , en el caso que correspondientes pero en general no es ( Lp , ⋅ ) un espacio normado, ya que no se p cumple la desigualdad triangular, como veremos en lo que sigue, pero antes necesitamos el siguiente lema. Lema 4.14 Sean a, b > 0, 0 < p < 1 entonces se tiene que: a p + b p > ( a + b) Demostración Sea t > 0 se tiene t p−1 > ( t + a ) ∫ b 0 t p −1 tp dt = p p −1 p integrando: b = 0 bp p mientras ∫ b 0 ( t + a ) dt = p −1 (t + a ) p b = p (b + a ) p − a p p 0 sustituyendo b p > (b + a ) − a p p Ejemplo 4.7 Sea E y F medibles , E I F = φ tal que: [ µ ( E )] y consideremos f = χ E f +g p = a y [ µ ( F )] p = b y g = χ F tenemos: p = ∫ χ E + χ F dµ 3 144=42444 χE UF 1 p 1 1 p = ∫ χ E U F dµ 144424443 = µ( E UF ) > (a + b) = µ ( E ) p + µ ( F ) p = 1 1 (∫ χ 1 p p E ={ µ (E ) + µ F ( ) { p p =a =b dµ ) + (∫ χ 1 De manera que no se cumple la desigualdad triangular. - 77 - p p F dµ 1 p > ) 1 p = f p + g p Análisis Real Capítulo 4 - 78 - Proposición 4.15 (Desigualdad de Markov) Sea g : ¡ → [ 0, +∞ ) una función par , tal que g ( x ) > 0 si x > 0 no decreciente en [ 0, +∞ ) .f una función medible finita definida sobre el espacio de medida ( X ,M , µ ) , entonces para todo a > 0 se tiene: 1 µ ({ x : f ( x ) ≥ a}) ≤ ( g o f ) dµ g ( a ) ∫X Demostración g ( x) ≥ 1 si x ≥ a . Llamemos E = { x : f ( x ) ≥ a} y A = { x : x ≥ a} , g (a) entonces µ ( E ) = ∫ 1dµ = ∫ χ E d µ = ∫ ( χ A o f ) d µ ≤ E X X ≤∫ X go f 1 dµ = (g o f )dµ g (a) g ( a ) ∫X Proposición 4.16 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida, 1 ≤ p ≤ ∞ , Lp es completo, es decir que toda sucesión de Cauchy en él, es convergente. Demostración • Veamos primero el caso p = ∞ y sea ( f n )n∈¥ ⊆ L∞ de Cauchy en L∞ o sea que para cada k > 0 existe N k ∈ ¥ tal que si m, n ≥ N k entonces: f n − f m ∞ < 1k por definición de ⋅ ∞ se tiene que µ ({ x : fn ( x ) − f m ( x ) > sucesión ( f n )n∈¥ es de Cauchy en medida. ∞ Sea A = U U {x : k =1 m , n ≥ N k fn ( x ) − f m ( x ) > Sea x ∉ A ⇒ ∀k > 0 x ∉ U {x : m,n≥ N k 1 k 1 k }) = 0 ∀m, n ≥ N k ⇒ la } ⇒ µ ( A) = 0 fn ( x ) − fm ( x ) > 1 k } lo que quiere decir que la sucesión es ( c.t.p. − µ ) puntualmente de Cauchy, luego existe f ( x ) → %f ( x ) ∀x ∉ A , y podemos definir n %f ( x ) tal que %f ( x ) ∀x ∉ A f ( x) = si x ∈ A 0 f ( x ) es medible por ser límite de f n ( x ) χ AC que es una sucesión de funciones medibles. Y claramente por la definición de supremo esencial: f n − f ∞ → 0 ya que f n ( x ) − f ( x ) → 0 ∀x ∈ AC y µ ( A ) = 0 . - 78 - Modos de Convergencia y espacios Lp Análisis Real Hay que probar además que f ∈ L∞ , tenemos que f ∞ ≤ f − f n0 - 79 - ∞ + f n0 ∞ { <∞ y fijamos n0 para que f − f n0 < 1 . • Ahora consideremos el caso general 1 ≤ p < ∞ Y sea ( f n )n∈¥ ⊆ Lp tal que es Lp de Cauchy es decir que para todo ε > 0 existe N ε ∈ ¥ tal que ∀m, n ≥ Nε se cumple que f n ( x ) − f m ( x ) µ ({ x : f n ( x ) − f m ( x ) ≥ ε } ) ≤ { Markov p con g ( x ) = x lo que implica que 1 εp ∫ p <ε ; m ,n f n ( x ) − f m ( x) dµ 1442443 0 → p X (1) por hip. m,n µ ({ x : fn ( x ) − f m ( x ) ≥ ε }) → 0 ( ) con lo que ( f n ( x ) )n∈¥ es de Cauchy en medida ⇒ ( prop.4.5 ) ∃ f n j y f tal que : f n j ( x ) → f ( x) c.t.p. L Tenemos que probar que f n → f y que f ∈ Lp , pero como ( f n )n∈¥ es de p Cauchy en Lp ⇒ que es uniformemente acotada en Lp , o sea que ∃M > 0 tal que f n p < M para todo n ∈ ¥ , luego si probamos que f − f n p → 0 se cumplen las dos cosas ya que si f − f n f p p p L → 0 ⇒ f n → f y además como: ≤ f − f n p + f n p < ε + M ⇒ f ∈ Lp 144424443 { <ε Veamos entonces que: f − fn p = = (∫ <M f − f n dµ p X ( ∫ lim f X j ) 1 p = p nj − f n dµ ) 1 p p ≤ { lim ∫X f n j − f n dµ Fatou j 1 p p y por (1) lim lim ∫ f n j − f n dµ = 0 , luego: n j X lim f − f n n p p ≤ lim lim ∫ f n j − f n dµ X n j 1 p =0 Definición 4.7 Sea F una familia de funciones. Se dice que F es uniformemente absolutamente continua con respecto a µ si y solo sí para cada ε > 0 existe δ > 0 , tal que si µ ( A ) < δ con A ∈M entonces: ∫ A f dµ < ε para toda f ∈F - 79 - Análisis Real Capítulo 4 - 80 - Definición 4.8 Dada una familia de funciones F se dice que es equicontinua superiormente al vacío si y solo sí para toda sucesión de conjuntos ( Ck )k∈¥ ⊆ M decrecientes al vacío Ck ] φ , y para todo ε > 0 , existe k0 , tal que si k ≥ k0 entonces ∫ f dµ < ε para toda f ∈F Ck Lema 4.17 (Continuidad absoluta del integral) Sea f ≥ 0 medible e integrable, entonces para todo ε > 0 , existe δ > 0 , tal que si µ ( A ) < δ se cumple: ∫ Demostración Sea A f <ε En = { x : f ( x ) < n} , definimos g n = f χ En entonces como En ⊆ En +1 ⇒ χ En ≤ χ En +1 ⇒ g n ≤ g n +1 y por ser lim En = X ⇒ g n Z f entonces por n el T.C.M. se tiene: lim ∫ f = lim ∫ f χ En dµ = lim ∫ g n dµ = ∫ lim g n dµ = ∫ f dµ En n n X n X X X n por otro lado ∫ X f dµ = ∫ f dµ + ∫ ( En )C En f dµ pasando al límite se tiene que: lim ∫ n EnC f dµ = 0 Entonces dado ε > 0 existe n0 ∈ ¥ tal que ∀n ≥ n0 se tiene: ε f d µ < C ∫( En ) 2 ahora fijado el n0 ∫ A f dµ = ∫ AI En0 f dµ + ∫ ( AI En0 ) C f dµ ≤ n0 ε d + µ C f dµ ≤ n 0 µ ( A ) + ∫144 ∫( En0 ) AI En0 2 424443 ( ) = µ AI En0 ≤ µ ( A ) tomando δ = ε ε ε ε se tiene que si µ ( A ) < δ ⇒ ∫ f dµ ≤ n 0 µ ( A ) + < + = ε 1442443 2 2 2 A 2n0 ε <2 Proposición 4.18 (Teorema de Vitali) Sea ( f n )n∈¥ una sucesión de funciones de Lp , p L f n → f si y solo sí se cumplen: µ i) f n →f - 80 - f ∈ Lp ,1 ≤ p < ∞ , entonces Modos de Convergencia y espacios Lp Análisis Real { } ii) F = f n : n ∈ ¥ p - 81 - es uniformemente absolutamente continua y equicontinua superiormente al vacío. p L Demostración ⇒ Supongamos que f n → f entonces por la desigualdad de Markov para g ( x ) = x p µ ({ x : f n ( x ) − f ( x ) ≥ ε }) ≤ µ 1 εp ∫ f n ( x ) − f ( x ) dµ → 0 p X luego f n →f. Para mostrar que F es uniformemente absolutamente continua, observe que: p p p p p ∫ fn = ∫ fn − f + f ≤{ 2 ∫ fn − f + ∫ f A y como ∫ A cumple que fn − f ∫ X A p ≤ ∫ fn − f p X fn − f p < ( obs. 4.1 A y esta última por hipótesis ∃n0 tal que ∀n ≥ n0 se ε , y por el lema para la función f 2 p +1 µ ( A) < δ 0 (para δ 0 > 0 suficientemente pequeño) ⇒ ∫ f A Concluimos que ∫ A fn p ) A p dµ < p se tiene que si ε . 2 p +1 < ε ∀n ≥ n0 y µ ( A) < δ 0 . Aplicando el lema (continuidad absoluta) a cada f i existen δ 1 ,..., δ n0 −1 > 0 tales que p ∀i = 1,..., n0 − 1 se tiene que Si µ ( A ) < δ i ⇒ ∫ f i < ε p A Luego tomamos δ = min {δ 0 ,δ 1 ,..., δ n0 −1} se tiene que si µ ( A ) < δ entonces: ∫ ∀n ∈ ¥ f n dµ < ε p A y por definición F es uniformemente absolutamente continua. La prueba de que F es equicontinua superiormente al vacío es análoga. ∞ ⇐ Sea Fn = { x : f n ( x ) ≠ 0} , llamemos A = U Fn entonces A es unión numerable de n =1 de conjuntos de medida finita porque, para todo ε > 0 p 1 µ ({ x : fn ( x ) ≥ ε }) ≤ p ∫ f n dµ < ∞ ε y ∞ Fn = U{ x : f n ( x ) > k =1 - 81 - 1 k } Análisis Real Capítulo 4 - 82 - Sea ( Bk ) k∈¥ una sucesión de conjuntos creciente, tal que Bk Z A , donde µ ( Bk ) < ∞ , sea Ck = A \ Bk , para todo k. Entonces Ck ] φ . Vamos a probar que ( f n )n∈¥ es de Cauchy en Lp . ∫ fm − fn ≤∫ p = ∫ fm − fn A fm − fn + ∫ p =∫ Bk p Bk I( Am , n ) C fm − fn + ∫ p Ck fm − fn + ∫ p Am , n Ck fm − fn ≤ p fm − fn , p siendo Am,n = { x : f m − f n ≥ ε } para un cierto ε que será especificado más adelante. Luego p p ( Bk43) + 2 p ∫A f m p + ∫A f n p + 2 p ∫C f m p + ∫C f n p ∫ f m − f n ≤ ε144µ4244 k 424444444443 m,n k m ,n 4244444444443 144444444 1444444444 δ 3 δ δ 3 3 Para un δ > 0 dado podemos hacer cada termino señalado menor que δ 3 . Por la equicontinuidad superior al vacío, se tiene: δ p ∫Ck f n < 6 tanto para n como para m. Fijando este k, tomamos ε > 0 , tal que ε p µ ( Bk ) < δ 3 . Por la uniformidad absolutamante continua, existe α > 0 , tal que δ p µ ( A) < α ⇒ ∫ f n dµ < 6p ∀n A 2 µ y como f n → f ⇒ ( f n ) es de Cauchy en medida, luego existe n0 ∈ ¥ tal que Si m, n ≥ n0 ⇒ µ { x : f m ( x ) − f n ( x ) ≥ ε } < α 144444444424444444443 = Am , n δ δ p p lo que implica que ∫ f m dµ < 6p y ∫ f n dµ < 6p Am , n Am , n 2 2 Con este procedimiento probamos que para el n0 citado m, n ≥ n0 ⇒ ∫ f m − f n dµ < δ p es decir que ( f n ) es de Cauchy en Lp y como este espacio es completo, existe L µ g ∈ Lp tal que f n → g , entonces aplicando el teorema directo f n →g, y p µ como por hipótesis f n → f resulta que f = g c.t.p. − µ (prop. 4.5 (iii)). - 82 - Análisis Real Modos de Convergencia y espacios Lp - 83 - Generalizando el resumen ya construido antes, tenemos los siguientes diagramas: En el primer diagrama tenemos que las flechas llenas corresponden a implicancias que se cumplen en un espacio de medida arbitrario, las flechas punteadas significa que existe una subsucesión que cumple la implicancia. c.u. µ c.t.p. c.u.--- converve casi unimformemente c.t.p.---converge en casi todo punto µ ---converge en medida Lp ---converge en Lp Lp c.u. El siguiente diagrama es para un espacio de medida finito. . µ c.t.p. Lp c.u. El siguiente es el caso de existir sucesión de funciones dominada µ c.t.p. Lp Veamos ahora una proposición equivalente a la 3.20 para espacios Lp ( µ ) , es decir que el conjunto de funciones simples en Lp es ⋅ p − denso en Lp . Proposición 4.19 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida, y consideremos el conjunto: S = {ϕ : X → ¡ : simples medibles y µ ({ x : ϕ ( x ) ≠ 0}) < ∞} - 83 - Análisis Real Capítulo 4 ⋅ entonces ∀p ∈ [1, +∞ ) S p - 84 - = Lp Demostración Consideremos la demostración para funciones no negativas. Primero veremos que S ⊆ Lp , sea f ∈ Lp por la proposición 2.14 existe una sucesión de funciones simples (ϕ n ) n∈¥ ⊆ S monótona creciente, tales que ϕ n Z f , o sea que ϕ n ≤ f ∀n ⇒ ∫ ϕ n dµ ≤ ∫ f dµ ⇒ ( ∫ ϕ n dµ p ) 1 p ≤ ( ) 1 f dµ < ∞ ⇒ ϕ n ∈ Lp ∀n ∫ 14444244443 p p f ∈Lp por otra parte como ϕ n − f ≤ ϕ n + f ≤ 2 f ⇒ ϕ n − f TCD se tiene: p ≤ 2p f lim ∫ ϕ n − f dµ = ∫ lim ϕ n − f d µ = 0 ⇒ ϕ n − f 14444244443 p p p p ∈ L1 luego por el →0 =0 Relación entre los espacios Lp Proposición 4.20 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y 1 ≤ p < q < r ≤ +∞ entonces se cumplen: i) Lp ( µ ) I Lr ( µ ) ⊆ Lq ( µ ) ⊆ Lp ( µ ) + Lr ( µ ) ii) Si 1 q = λp + 1−rλ ( 0 < λ < 1) entonces f q ≤ f 1− λ p f λ r ∀f ∈ Lp I Lq Demostración i)Demostremos primero Lq ⊆ Lp + Lr ; sea f ∈ Lq y definimos el conjunto E = { x : f ( x ) > 1 } , sean g = f χ E y h = f χ E C entonces g = f p p χE ≤ f χE = g q q q y como f ∈ Lq ⇒ g ∈ Lq ⇒ ∫ g dµ < ∞ ⇒ ∫ g dµ < ∞ ⇒ g ∈ Lp análogamente p h ≤ f χ EC ≤ f χ EC = h r r q q r luego como h ∈ Lq ⇒ ∫ h dµ < ∞ ⇒ h ∈ Lr y evidentemente f = g + h Para probar Lp I Lr ⊆ Lq podemos ver que f = g + h y como: q f ∈ Lp ⇒ h ∈ Lp ⇒ { h∈ L q p h ≤h f ∈ Lp I Lr ⇒ g + h ∈ Lq ⇒ { q r g ≤g } Lq espacio vectorial r r q f ∈ L ⇒ g ∈ L ⇒ g ∈ L luego f ∈ Lq . - 84 - Modos de Convergencia y espacios Lp Análisis Real - 85 - ii) Veamos la desigualdad para el caso r < ∞ , aplicamos la desigualdad de Hölder con exponentes λpq , (1−rλ ) q , que son exponentes conjugados y como funciones f y g las funciones f f λq (1−λ ) q y f (1− λ ) q = ∫ f dµ = ∫ f q q q resultando: λq f dµ ≤ ∴ Para el caso r = ∞ f q q = 1 q λ p ⇒λ = = ∫ f dµ = ∫ f q f (∫ f q ) dµ p 1− λ ≤ f (1− λ ) q (∫ f r dµ ) λq r = f (1− λ ) q f p λq r λ f p p r p q q− p ∴ f f p q dµ ≤ f ≤ f q− p ∞ p q p f ∫ 1− f dµ = f p q(1− λ ) ∞ f qλ p p q ∞ Proposición 4.21 Sea ( X ,M , µ ) espacio de medida, µ ( X ) < ∞ y 1 ≤ p < q ≤ ∞ , entonces se cumplen: i) Lq ( µ ) ⊆ Lp ( µ ) , ≤ µ ( X )p 1 ii) f p − 1q f q Demostración Veamos primero el caso q = ∞ , se tiene que : f Luego f p ≤ f ∞ µ(X ) { p = ∫ f dµ ≤ f p p 1 p p ∞ ∫1dµ = p ∞ f µ(X ) y se cumplen i) y ii) a la vez. <∞ Si q < ∞ , para ver que se cumple i), definimos E = { x : f ( x ) > 1} , y como podemos escribir f = f χ E + f χ EC entonces: ∫ f dµ = ∫ p X X (f χ E + f χ EC ) d µ ≤ 2 p p obs. 4.1 (∫ X f p χ E dµ + ∫ f X p ) χ E C dµ ≤ q q p ≤ 2 ∫ f χ E dµ + ∫ 1χ E C dµ ≤ 2 ∫ f χ E dµ + µ ( X ) { X X X 144424443 14444244443 <∞ C <∞ =µ ( E ) q q Luego si f ∈ Lq ⇒ f χ E ∈ Lq ⇒ ∫ f χ E dµ < ∞ ⇒ f ∈ Lp . p X Para ver ahora la ii) aplicamos la desigualdad de Hölder con exponentes conjugados p q q f y 1, resultando: p , q − p y como funciones f y g, las funciones f p p = ∫ f 1dµ ≤ f ∴ p f p ≤ f p q µ(X ) q− p µ ( X ) pq q - 85 - q− p q Análisis Real Capítulo 4 - 86 - Nosotros concluimos esta sección con unos comentarios sobre la relevancia de los espacios Lp . Los tres más importantes son obviamente los espacios L1 , L2 y L∞ . Con L1 ya estamos familiarizados; L2 es especial porque es un espacio de Hilbert; y la topología en L∞ se relaciona estrechamente a la topología de convergencia uniforme. Desgraciadamente L1 y L∞ son patológicos en muchos aspectos, y es más fructífero tratar con los espacios intermedios Lp : Una manifestación de esto es la teoría de la dualidad así como los operadores en el análisis de Fourier y en las ecuaciones diferenciales en Lp con 1 < p < ∞ pero no en L1 y L∞ . - 86 - Capítulo 5 Medida signada Definición 5.1 Dado un espacio de medible ( X ,M ) una medida con signo es un mapa µ : M → [ −∞, +∞ ] tal que: i) Im ( µ ) ⊆ [ −∞, +∞ ) o Im ( µ ) ⊆ ( −∞, +∞] , ii) µ (φ ) = 0 , ( ) ∞ iii) Si En ⊆ M disjuntos dos a dos ⇒ µ â En = ∑ µ ( En ) . n∈¥ Es decir µ es σ − aditiva. Proposición 5.1 Sea ( An )n∈¥ ∞ solo sí n =1 ∞ ⊆ M disjuntos dos a dos entonces µ âAn < ∞ si y n=1 ∑ µ(A ) < ∞ n =1 n Demostración ⇐ si ∞ ∑ µ(A ) < ∞ n =1 n entonces : ∞ ∞ ∞ µ âAn = ∑ µ ( An ) ≤ ∑ µ ( An ) < ∞ n=1 n=1 n =1 ⇒ Sea τ una permutación de los naturales, entonces: ∞ ∞ ∞ µ âAn = µ âAτ ( n ) = ∑ µ ( Aτ ( n ) ) n=1 n=1 n=1 ∞ es decir que la suma de la serie ∑µ(A ) n =1 n es finita e invariante por medio de reordenamientos. Luego la serie es absolutamente convergente. - 87 - Análisis Real Capítulo 5 - 88 - Ejemplo 5.1 Las medidas son medidas con signo y la llamamos medidas positivas. Ejemplo 5.2 Si µ y υ son medidas positivas tales que µ o υ no alcanzan el valor +∞ , entonces µ − υ y υ − µ son medidas con signo. Ejemplo 5.3 Si f : X → [ −∞, +∞ ] medible y µ una medida positiva y entonces si definimos υ tal que: υ ( E ) = ∫ f dµ = ∫ f + dµ − ∫ f − dµ E E ∫f + dµ < ∞ , E tenemos que es una medida signada. Definición 5.2 Sea µ una medida signada y sea F ∈M , se dice que F es µ - positiva si: ∀E ⊆ F , E ∈ M es µ ( E ) ≥ 0 Análogamente se define conjunto µ - negativo Definición 5.3 Se dice que A∈ M es µ - nulo si es µ − positivo y µ − negativo a la vez. Lema 5.2 Sea ( X ,M ) un espacio medible y µ una medida con signo definida en él entonces: i) Si ( En )n∈¥ ⊆ M es creciente ⇒ µ U En = lim µ ( En ) n∈¥ n→∞ ii) Si ( En )n∈¥ ⊆ M es decreciente y µ ( Ek ) es finito para algún k entonces: µ I En = lim µ ( En ) n∈¥ n→∞ Demostración Análoga a la demostración de la proposición 1.1 Proposición 5.3 (Teorema de Hahn-Jordan) Sea µ una medida con signo, entonces existe una partición ( P, N ) de X tal que P es µ − positiva y N es µ − negativa además si ( P′, N ′ ) es otra partición de X entonces: PV P′ y N V N ′ son µ − nulos Demostración Se puede suponer que µ no alcanza el valor +∞ - 88 - Análisis Real Medida signada, integración y diferenciación - 89 - Sea S = Sup {µ ( E ) : E es µ − positivo} ⇒ Existe una sucesión creciente Pn de conjuntos µ − positivos tal que lim µ ( Pn ) = S . n ∞ ∞ Sea P = U Pn ⇒ µ ( P ) = µ U Pn = lim µ ( Pn ) = S y además es µ − positivo ya que n n =1 n =1 ∞ si E ⊆ P ⇒ µ ( E ) = µ ( E I P ) = µ U Pn I E = lim µ ( Pn I E ) ≥ 0 n 144424443 n=1 ≥0 porque Pn I E ⊆ Pn que es µ − positivo. Se tiene que S es un máximo y además S < ∞ (porque +∞∉ Im ( µ ) ) Sea N = X \ P hay que probar que N es µ − negativo . Para lo cual supondremos que N es no negativo y esto nos llevará a una contradicción. Primero veremos que N no tiene ningún subconjunto µ − positivo no nulo. Afirmación 1 Si E ⊆ N y es µ − positivo ⇒ µ ( E ) = 0 ; Demostración Supongamos que µ ( E ) > 0 y se tiene que P U E sería µ − positivo y µ ( P U E ) = S + µ ( E ) > S lo que es imposible. Afirmación 2 Si A ⊆ N y µ ( A ) > 0 entonces existe B ⊆ A tal que µ ( B ) ≥ µ ( A ) Demostración Por la afirmación 1 A no es µ − positivo entonces existe C ⊆ A tal que µ ( C ) < 0 , tomando B = A \ C se tiene µ ( B ) = µ ( A ) − µ ( C ) ≥ µ ( A) . { <0 Entonces si N es no negativo, luego debe existir algún B ⊆ N tal que µ ( B ) > 0 , y podemos especificar una sucesión de subconjuntos (n ) j j∈¥ (A ) j j∈¥ de N, y una sucesión de enteros positivos como sigue: n1 = min {n ∈ ¢ + : ∃B ⊆ N con µ ( B ) > 1 n } y sea dicho conjunto B = A1 , como A1 ⊆ N y µ ( A1 ) > 0 aplicando la afirmación 2 podemos definir: n2 = min {n ∈ ¢ + : ∃B ⊆ A1 con µ ( B ) > µ ( A1 ) + 1n } y sea este conjunto B = A2 ; y así sucesivamente definimos: n j = min {n ∈ ¢ + : ∃B ⊆ Aj −1 con µ ( B ) > µ ( Aj −1 ) + 1n } y sea ese conjunto B = Aj . ∞ Sea A = I Aj entonces como Aj +1 ⊆ Aj y 0 < µ ( A1 ) < +∞ ⇒ µ ( A ) = lim µ ( Aj ) j →∞ j =1 Por otro lado µ ( Aj ) > µ ( Aj −1 ) + n1j > µ ( Aj −2 ) + - 89 - j 1 n j −1 + n1j > ... > ∑ n1k pasando al límite: k =1 Análisis Real Capítulo 5 ∞ - 90 - ∞ ∞ > µ ( A ) > ∑ n1j > 0 ⇒ ∑ n1j converge ⇒ j =1 j =1 → 0∴n j → ∞ 1 nj Pero una vez más por ser µ ( A ) > 0 y A ⊆ N ∃B ⊆ A con µ ( B ) > µ ( A ) + 1n para algún entero positivo n ,ahora como n j → ∞ si j → ∞ tomando j suficientemente grande tenemos n < n j contradiciendo la construcción de los n j . Luego asumir que N es µ − no negativo nos lleva a una contradicción. Finalmente si P′ y N ′ es otra partición, por el propio teorema P \ P′ ⊆ P ,como: { } P \ P′ = { x ∈ P tal que x ∉ P′} = { x ∈ P} I x ∈ ( P′ ) = N ′ = P I N ′ ⊆ N ′ , C luego P \ P′ ⊆ N ′ , y entonces P \ P′ es µ -positivo y negativo a la vez, o sea que es µ -nulo. Análogamente con P′ \ P ⇒ PVP′ es µ − nulo . Igual con N VN ′ . Definición 5.4 Al par ( P, N ) de la proposición anterior llamaremos descomposición de Hahn para µ . Como ya vimos esta descomposición no es única en general, pero nos lleva a una representación canónica de µ como diferencia de dos medidas positivas como veremos en la siguiente proposición. Para enunciar este resultado necesitamos un nuevo concepto Definición 5.5 Sean µ y υ medidas signadas en ( X ,M ) , entonces decimos que son mutuamente singulares o que µ es singular respecto de υ si existen E , F ∈M con X = E U F , E I F = φ tal que: υ ( A ) = 0 ∀A ⊆ E , A ∈ M µ ( B ) = 0 ∀B ⊆ F , B ∈ M Es decir que existe una partición (E,F) de X tal que, F es µ − nulo y E es υ − nulo. En estas condiciones se dice que µ está concentrada en E y υ está concentrada en F Para notar la singularidad mutua utilizamos el símbolo de perpendicularidad, µ ⊥ υ . Proposición 5.4 (Teorema de descomposición de Jordan) Si υ es una medida signada en ( X ,M ) , entonces existen + − + positivas υ y υ tal que υ = υ − υ − + únicas medidas − y υ ⊥υ . Demostración Sea X = P U N con ( P, N ) descomposición de Hahn de υ , y definimos: υ + ( A) = υ ( A I P ) υ − ( A) = −υ ( A I N ) ∀A ∈ M - 90 - Análisis Real Medida signada, integración y diferenciación - 91 - Para todo A∈M se tiene que: υ + ( A) − υ− ( A) = υ ( A I P ) + υ ( A I N ) = υ ( A) ∴ υ = υ + −υ− Además: análogamente si A ⊆ N ⇒ υ + ( A ) = υ ( A I P ) = υ (φ ) = 0 si B ⊆ P ⇒ υ − ( B ) = υ ( B I N ) = υ (φ ) = 0 es decir que υ + está concentrada en P y υ − está concentrada en N ⇒ υ + ⊥ υ − . Para probar la unicidad, sean µ + y µ − dos medidas positivas, con υ = µ + − µ − y mutuamente singulares ( µ + ⊥ µ − ) , sea ( E , F ) la partición de X correspondiente a la singularidad de µ + y µ − , luego µ + está concentrada en E y µ − en F. Probaremos que E es υ − positiva : ∀A ⊆ E ⇒ υ ( A ) = µ + ( A ) − µ − ( A ) ≥ 0 (∗ ) 1442443 =0 análogamente F es υ − negativa =0 8 644744 + ∀B ⊆ F ⇒ υ ( B ) = µ ( B ) − µ − ( B ) < 0 Y por lo tanto ( E , F ) es otra descomposición de Hahn de υ luego por la proposición 5.3 PVE es υ − nulo. Por consiguiente para cualquier A∈M se tiene: =0 644444744444 8 + υ ( A) = υ ( A I P ) = υ ( A I P I F ) + υ ( A I P I E ) = = υ ( A I E I P) +υ ( A I E I N ) = υ ( A I E ) = 1444442444443 ( ∗) =0 = µ ( A I E ) = µ ( A I E ) + µ + ( A I F ) = µ + ( A) lo ceros son porque PVE = ( P I F ) U ( E I N ) y A I E I N ⊆ E I N ⊆ PVE como también A I P I F ⊆ P I F ⊆ PVE . Análogamente υ − = µ − . + + Definición 5.6 A las medidas υ + y υ − de la proposición anterior se les llama variación positiva y negativa de υ , y υ = υ + − υ − es llamada descomposición de Jordan de υ . Además definimos la variación total de υ , a la medida υ definida por: υ = υ+ +υ− Se verifica fácilmente que E ∈M es υ − nulo sií υ ( E ) = 0 y que υ ⊥ µ υ ⊥ µ y sií υ + ⊥ µ y υ − ⊥ µ . - 91 - sií Análisis Real Capítulo 5 - 92 - Si a la proposición anterior le pedimos un poco menos a υ , como que sea una función σ − aditiva , igual sigue valiendo y además también se pueden establecer las definiciones correspondientes de singularidad y variación, resultando algo más generales. Observación 5.1 Observemos que si υ no toma el valor +∞ entonces υ + ( X ) = υ ( P ) < ∞ y υ + es una medida finita, análogamente si υ no toma el valor −∞ . Entonces si el recorrido de υ está contenido en ¡ , υ es limitada. Definición 5.7 Supóngase que υ es una medida signada y µ una medida positiva en ( X ,M ) , decimos que υ es absolutamente continua respecto de µ y escribimos: υ=µ si ∀A ∈ M tal que µ ( A ) = 0 ⇒ υ ( A ) = 0 . Observación 5.2 Se verifica fácilmente que υ = µ sií υ = µ sií υ + = µ y υ− = µ . Si υ ⊥ µ y υ = µ , entonces υ = 0 , ya que si E , F son conjuntos disjuntos tales que X = E U F y µ ( E ) = υ ( F ) = 0 , entonces el hecho de que υ = µ ⇒ υ ( E ) = 0 de donde υ = 0 y ⇒ υ =0 . Uno puede extender la noción de absolutamente continua al caso donde µ es una medida signada a saber: υ = µ ⇔υ = µ aunque no tendremos ninguna necesidad de dar dicha definición general. Proposición 5.5 (Teorema de Radon-Nikodin-Lebesgue ) Sea ( X ,M ) un espacio medible, µ una medida y υ una función de conjuntos σ − aditiva , supongamos además que µ , υ son σ − finitas , (es decir que si X = â X n tal que υ ( X n ) < ∞ y µ ( X n ) < ∞ ∀n ∈ ¥ ) Entonces existen una y solo n n∈¥ una descomposición de υ donde υ ( E ) = υ s ( E ) + υ c ( E ) ∀E ∈M tal que: i) υ s y υc son funciones σ − aditivas ii) υ s ⊥ µ , υc = µ iii) Existe f tal que: Además f es única c.t.p. − µ υc ( E ) = ∫ f dµ ∀E ∈ M E - 92 - Análisis Real Medida signada, integración y diferenciación - 93 - Demostración • Supongamos primero que υ y µ son medidas positivas y finitas y sea: { F = f : X → [0, +∞ ] : ∫ f dµ ≤ υ ( E ) ∀E ∈ M E } Entonces se cumple que: a) F ≠ φ ya que la función nula pertenece a F b) Si ( f n ) ⊆ F y f n ( x ) ≤ f n+1 ( x ) ∀x entonces f = sup f n ∈F , ya que: T.C.M } µ = µ = f d lim f d lim ∫ f n dµ ≤ υ ( E ) ⇒ f ∈F ∫E ∫E n E 1442443 ≤υ ( E ) c) Si f , g ∈F ⇒ h = max { f , g} ∈F . Para probar esto tomemos el conjunto A = { x : f ( x ) > g ( x )} si E ∈M se tiene: ∫ hdµ = ∫ hdµ + ∫ C hdµ = EI A E =∫ Sea α = sup ∫ X {∫ EI A X EI A f dµ + ∫ E I AC C gdµ ≤ { υ ( E I A) + υ ( E I A ) = υ ( E ) f , g∈F } f dµ : f ∈F ≤ υ ( X ) < ∞ , existe una sucesión ( f n ) ⊆ F tal que f n dµ → α . Sea g n = max { f1 , f 2 ,..., f n } por la propiedad c) inductivamente se tiene que g n ∈F ∀n y además f n ≤ g n ≤ g n +1 ∀n y llamemos f = lim g n que por la n propiedad b) f ∈F .Entonces: } α ≥ ∫ f dµ = lim ∫ g n dµ ≥ lim ∫ f n dµ = α T.C.M n n por lo tanto α = ∫ f dµ porque f ∈F Definimos υc ( E ) = ∫ f dµ ≤ υ ( E ) E (∗ ) primero que nada por definición de υc resulta υc = µ , ya que si µ ( A ) = 0 ⇒ f χ A es cero c.t.p. − µ ⇒ 0 = ∫ f χ A dµ = ∫ f dµ = υ c ( A ) . X y sea A υ s ( E ) = υ ( E ) − υc ( E ) que por (∗ ) es υ s ( E ) ≥ 0 . Veremos que υ s ⊥ µ para ello definimos ∀n ∈ ¥ υ n ( E ) = υ s ( E ) − 1n µ ( E ) υ n es σ − aditiva por ser suma de funciones σ − aditivas . - 93 - Análisis Real Capítulo 5 - 94 - Llamemos ∀n ∈ ¥ ( Pn , N n ) al par de la descomposición de Hahn para υ n y sea N = I N n y P = N C = U N nC = U Pn veremos que υ s ( N ) = 0 y µ ( P ) = 0 . n∈¥ n∈¥ n∈¥ 0 ≤ υ s ( N n ) = υ n ( N n ) + 1n µ ( N n ) ≤ 1n µ ( Nn ) 1442443 ≤0 como υ n Z⇒ υ n+1 ( Pn ) ≥ υ n ( Pn ) ≥ 0 ⇒ Pn ⊆ Pn+1 ⇒ Pn Z⇒ N n ] y entonces: 0 ≤ υ s ( N ) = υ s I N n = limυ s ( N n ) ≤ lim 1n µ ( N n ) = 0 1442443 n n n∈¥ <∞ Luego υ s ( N ) = 0 , para probar la otra afirmación supongamos que no se cumple es decir que µ ( P ) ≠ 0 como µ es positiva ⇒ ∃n0 ∈ ¥ tal que µ ( Pn0 ) > 0 y definimos: r ( x ) = f ( x ) + n10 χ Pn ( x ) 0 integrando ∫ X rdµ = ∫ f dµ + n10 ∫ χ Pn dµ = α + 0 X X 1442443 =α 1 n0 µ ( Pn0 ) > α 1442443 >0 Si probamos que r ( x ) ∈F llegamos a un absurdo por ser α el supremo. ∀E ∈M se tiene: υc ( E ) 644744 8 1 ∫ rd µ = ∫ f + n0 χ Pn dµ = ∫ f dµ + n10 ∫ dµ = E E ( = υc ( E ) + 0 1 n0 ) E I Pn0 E µ ( E I Pn0 ) = υ ( E ) − υ s ( E ) + n10 µ ( E I Pn0 ) ≤ ≤ υ ( E ) − υ s ( E I Pn0 ) − n10 µ ( E I Pn0 ) ≤ υ ( E ) − υ n0 ( E I Pn0 ) ≤ υ ( E ) 14444244443 144444444444424444444444443 luego r ( x ) ∈F. ( υ n0 E I Pn0 ) ≥0 Además f es única c.t.p. − µ ya que si hay otra %f tenemos que: ∀E ∈ M ∫ f dµ = ∫ %f dµ ⇒ f = %f c.t.p. − µ E E • Analicemos ahora el caso que υ , µ son σ − finitas . Entonces existe una sucesión creciente ( X n )n∈¥ ⊆ M disjuntos dos a dos tal que X = U X n y µ ( X n ) < ∞ , υ ( X n ) < ∞ ∀n ∈ ¥ , ∀A ∈ M tal que A ⊆ X n podemos n∈¥ restringir a X n , y estamos en el caso anterior, entonces ∀n ∈ ¥ ∃υ sn y υcn tal que: υ ( A ) = υ sn ( A ) + υcn ( A ) siendo υ sn ⊥ µ , y ∃f n tal que υ cn ( A ) = ∫ f n dµ luego υcn = µ . Definimos ∀A ∈M : A - 94 - Análisis Real Medida signada, integración y diferenciación - 95 - υ s ( A ) = ∑ υ sn ( A I X n ) y υc ( A) = ∑υcn ( A I X n ) n∈¥ Se tiene que: n∈¥ υ ( A ) = ∑ υ ( A I X n ) = ∑υ sn ( A I X n ) + υ cn ( A I X n ) = n∈¥ n∈¥ = ∑ υ s n ( A I X n ) + ∑ υ cn ( A I X n ) = υ s ( A ) + υ c ( A ) n∈¥ n∈¥ Además como para cada n υ sn ⊥ µ ⇒ ∃Dn ⊆ X n tal que υ sn ( Dn ) = 0 y µ ( DnC ) = 0 Sea D = U Dn , entonces: n∈¥ υ s ( D ) = ∑ υ sn ( D I X n ) = ∑ υ sn ( Dn ) = 0 1442443 n∈¥ n∈¥ = 0 ∀n Y como D = I D se tiene: C n∈¥ C n µ ( D C ) = µ I DnC ≤ µ ( D1C ) = 0 n∈¥ C asumiendo que f n = 0 en X n , definimos f = ∑ f n ⇒ f χ X n = f n y se tiene: ∫ A n∈¥ f dµ = ∫ U AI X n n∈¥ f d µ = ∑ ∫ f χ A I X n d µ = ∑ ∫ f χ X n dµ = n∈¥ = ∑ ∫ f n dµ = ∑ ∫ n∈¥ A n∈¥ X n∈¥ AI X n A f n dµ = ∑ υ c n ( A I X n ) = υ c ( A ) n∈¥ • Ahora probemos la unicidad de la descomposición para el caso finito. Supongamos que tenemos dos descomposiciones, ∀A ∈M se tiene: υ s ( A ) + υc ( A) = υ s′ ( A ) + υ c′ ( A ) con υ s ⊥ µ , υc = µ y υ s′ ⊥ µ , υc′ = µ entonces υ s ( A ) − υs′ ( A ) = υ ′ ( A )c − υc ( A) ∀A ∈ M 1444442444443 144444424444443 υ s∗ υ c∗ Llamamos υ s∗ = υ s − υ s′ y υc∗ = υc′ − υc luego υ s∗ y υc∗ son funciones σ − aditivas tal que υ s∗ ⊥ µ y υc∗ = µ , ya que si llamamos ( E , F ) y ( E ′, F ′ ) a las particiones correspondientes a υ s y υs′ respectivamente, es decir que υ s esta concentrada en E y υ s′ está concentrada en E ′ entonces sea ( C , D ) tal que D = F I F ′ y C = X \ D ⇒ C = E U E ′ y si A ⊆ C ⇒ µ ( A) ≤ µ ( A I E ) + µ ( A I E ′ ) = 0 por ser υ s ,υ s′ ⊥ µ , 144424443 144424443 =0 =0 luego µ está concentrado en D. Por otro lado A ⊆ F ⇒ υs ( A) = 0 Si A ⊆ D ⇒ ⇒ (υ s − υ s′ )( A ) = 0 A ⊆ F ′ ⇒ υ s′ ( A ) = 0 - 95 - Análisis Real Capítulo 5 - 96 - y υ s − υ s′ está concentrada en C ⇒ υ s − υ s′ ⊥ µ además es claro que υc∗ = µ . ∀A ∈M se tiene: (υc′ − υc )( A) = (υc′ − υc )( A I C ) + (υc′ − υc )( A I D ) = = (υ c′ − υ c )( A I C ) + (υ s − υ s′ )( A I D ) = 0 144444424444443 144444424444443 =0 =0 pues µ ( A I C ) = 0 luego υc′ − υc ≡ 0 y ∴υ s − υ s′ ≡ 0 . por estar concentrado en C Definición 5.8 Dada una medida signada υ tal que existe una función f de manera de que υ ( A ) = ∫ f dµ lo que también notamos por dυ = f dµ , entonces a f le A llamamos derivada de Radon-Nikodym de υ respecto de µ y haciendo abuso de dυ dυ entonces sustituyendo nos queda dυ = notación escribimos que f = ⋅ dµ dµ dµ Corolario 5.6 Si µ y υ son medidas tales que υ = µ entonces: dυ υ ( A) = ∫ ⋅ dµ A dµ Corolario 5.7 Sean υ1 y υ 2 dos medidas signadas σ − finitas y µ una medida σ − finita , tales que υ1 = µ y υ2 = µ , entonces si α1 ,α 2 ∈ ¡ y α1υ1 + α 2υ 2 siempre que esté definida se cumple que α1υ1 + α 2υ 2 = µ y: d dυ dυ (α1υ1 + α 2υ2 ) = α1 1 + α 2 2 dµ dµ dµ Demostración Por la unicidad del teorema de 5.5 . Proposición 5.8 Sean υ una función σ − aditiva , σ − finita , y µ y λ medidas σ − finitas , entonces si υ = µ y µ = λ se cumple: i) ∀g ∈ L1 (υ ) dυ dυ g ∈ L1 ( µ ) y ∫ g dυ = ∫ g ⋅ dµ dµ dµ dυ dυ dµ ii) υ = λ y = ⋅ d λ dµ d λ Demostración Vamos a hacer la demostración para υ ≥ 0 Si E ∈M , es tal que χ E ∈ L1 (υ ) (o sea υ ( E ) < ∞ ) entonces: - 96 - Análisis Real Medida signada, integración y diferenciación Por definición ∞ > υ ( E ) {= P ∫ luego χ E dυ ∈ L1 ( µ ) y dµ X υ=µ ∫ E - 97 - dυ dυ ⋅ d µ = ∫ χE ⋅dµ X dµ dµ χ E dυ ∫ χ E dυ = ∫ χ E dυ ⋅ dµ . Las funciones características la dµ cumplen. Consideremos ahora una función ϕ ∈ L1 (υ ) simple, entonces: dυ dυ ϕ ∈ L1 ( µ ) y ∫ ϕ dυ = ∫ ϕ ⋅ dµ dµ dµ porque toda función simple es combinación lineal de funciones características y aplicando la linealidad del integral se llega a la igualdad deseada. En el caso general, es decir que f ∈ L1 (υ ) con f ≥ 0 entonces por la proposición 2.14 existe una sucesión de funciones simples (ϕ n ) n∈¥ tal que: 0 ≤ ϕ n ≤ ϕ n +1 ≤ f y ϕ n ( x ) → f ( x ) dυ dυ dυ Por otro lado ≥ 0 c.t.p. − µ , por ser υ{ ( E ) = ∫E ⋅ dµ ⇒ ϕ n ≥ 0 c.t.p. − µ dµ dµ dµ ≥0 entonces: dυ dυ ∞ > ∫ f dυ = lim ∫ ϕ n dυ = lim ∫ ϕ n ⋅ dµ = ∫ f ⋅ dµ T.C.M n n T.C.M dµ dµ Finalmente si f ∈ L1 (υ ) cualquiera consideramos: f = ( f r+ − f r− ) + i ( fi + − fi − ) y aplicamos lo anterior a cada una de las funciones f r+ , f r− , f i+ , f i − por ser todas reales positivas. ii) Si λ ( E ) = 0 ⇒ µ ( E ) = 0 ⇒ υ ( E ) = 0 ⇒ υ = λ , además: µ =λ υ=µ g } υ dυ } µ =λ dυ dµ υ (E) = ∫ ⋅d µ = ∫ ⋅ ⋅ dλ E E υ=µ parte anterior dµ dµ dλ P por ser υ = λ dυ ∫E dλ ⋅ d λ y como la derivad de Radon- Nikodym es única dυ dυ dµ c.t.p. − λ = ⋅ dλ dµ dλ Corolario 5.9 Si µ y λ son medidas σ − finitas tales que µ = λ y λ = µ entonces - 97 - Análisis Real Capítulo 5 - 98 - dµ d λ ⋅ = 1 c.t.p. − µ ( igual c.t.p. − λ ) dλ dµ Demostración Por la proposición anterior: dµ dλ dµ c.t.p. − µ ⋅ = dλ dµ dµ dµ y = 1 c.t.p. − µ por ser µ ( E ) = ∫ 1dµ E dµ Nos interesa analizar el caso particular en que X = ¡ y µ = λ medida de Lebesgue. Si f es una función continua ( f ∈ C 0 ) entonces: 1) (∫ [a , x] ) ′ f dλ = f ( x ) 2) F ∈ C1 ⇒ ∫ [ a ,b] F ′dλ = F ( b ) − F ( a ) Luego queremos analizar si f ∈ L1 implica que se cumple 1), como encontrar una caracterización para las funciones que cumplan con 2) Observar que ψ ( x ) = ∫ f dλ [ a , x] si f es no negativa ⇒ ψ ( x ) Z (es monótona) y en general ψ es diferencia de dos monótonas, entonces tiene sentido analizar la monotonía. Definición 5.9 Sea ϕ : [ a, b] → ¡ una función continua, consideremos el conjunto E = { x ∈ [ a, b ] : ∃y ∈ [ a, b ] con y > x, ϕ ( y ) > ϕ ( x )} llamado conjunto de puntos invisibles por derecha. Es el conjunto de puntos que si “vemos” el grafico desde la derecha no son “visibles”o son ocultos por el gráfico. Hay una definición análoga para puntos invisibles por la izquierda al a b conjunto: F = { x ∈ [ a, b ] : ∃y ∈ [ a , b ] con y < x, ϕ ( y ) > ϕ ( x )} - 98 - Análisis Real Medida signada, integración y diferenciación - 99 - Lema 5.10 (Lema de Riez) Dada una función ϕ : [ a, b] → ¡ continua entonces el conjunto de puntos invisibles por derecha E cumple: i) E es abierto, en particular es medible. ii) E = U ( ak , bk ) donde ϕ ( ak ) ≤ ϕ ( bk ) k∈¥ Demostración i)Que es abierto es casi inmediato porque si x ∈ E ⇒ que hay un entorno incluido en E por ser ϕ continua. ii) Sea ( ak , bk ) ⊆ E entonces si x ∈ ( ak , bk ) ⇒ ϕ ( x ) ≤ ϕ ( bk ) ⇒ por la continuidad de ϕ , ϕ ( ak ) ≤ ϕ ( bk ) , ya que de no ser así ϕ ( ak ) > ϕ ( bk ) ⇒ por la continuidad que sigue pasando lo mismo en un entorno, luego ∃x∗ ∈ ( ak , bk ) tal que ϕ ( x∗ ) > ϕ ( bk ) y definimos x = sup { x : ϕ ( x ) = ϕ ( x∗ ) , x ∈ x∗ , bk }. Como x ∈ x ∗ , bk ⊆ ( ak , bk ) ⊆ E ⇒ x ∈ E ⇒ ∃y > x tal que ϕ ( y ) > ϕ ( x ) por otro lado ϕ ( x ) = ϕ ( x ∗ ) > ϕ ( bk ) lo que implica que y < bk ya que si y > bk ⇒ bk ∈ E Observando la figura podemos ver que: ϕ ( y ) > ϕ ( x ) > ϕ ( bk ) Luego como x < y < bk podemos aplicar Bolzano en el intervalo ( y , bk ) , y ∃%y ∈ ( y , bk ) tal que: ϕ ( %y ) = ϕ ( x ) pero esto es absurdo por ser x el supremos de los punto que cumplen que son iguales a ϕ ( x∗ ) = ϕ ( x ) . x y bk Observación 5.3 Hay un resultado análogo para los puntos invisibles a izquierda Para el caso que f no es continua igual podemos definir el conjunto E como sigue: { } E = x : ∃y > x, ϕ ( y ) > limϕ ( z ) z →x Ahora introduciremos algunas notaciones: f ( x + h) − f ( x) Df ( x + ) = lim+ h →0 h f ( x + h ) − f ( x) Df ( x − ) = lim− h→0 h f ( x + h) − f ( x) df ( x + ) = lim h h → 0+ f ( x + h) − f ( x) df ( x − ) = lim h h →0− - 99 - Análisis Real Capítulo 5 - 100 - f es diferenciable en x si los cuatro números anteriores coinciden. Proposición 5.11 Si f es una función monótona entonces: λ ({ x : f ′ ( x ) no existe o f ′ ( x ) = ∞}) = 0 Demostración Supongamos f Z continua definimos: E∞ = { x : Df ( x + ) = ∞} y Df ( x − ) df ( x − ) F f = { x : df ( x − ) < Df ( x + )} Df ( x + ) df ( x + ) • Vamos a ver que todo se reduce a probar que λ ( E∞ ) = λ ( Ff ) = 0 Llamemos g ( x ) = − f ( − x ) ⇒ g es continua y monótona, tenemos que se cumple siempre que df ( x − ) ≤ Df ( x− ) y llamemos Fg = { x : dg ( x − ) < Dg ( x + )} veamos que significa que x ∈ Fg − f ( −x − h) + f (− x) g ( x + h) − g ( x) = lim = h%=− h h h h →0 − h →0 − f ( − x + h% ) − f ( − x ) = lim = df ( − x + ) % + h h%→0 una cuenta análoga muestra que: f ( − x + h%) − f ( − x ) − f ( −x − h) + f ( −x ) + Dg ( x ) = lim+ = %lim− = Df ( − x − ) % % h =− h h →0 h →0 h h dg ( x − ) = lim llamemos F f′ = { x : df ( x + ) < Df ( x − )} entonces si λ ( F ) = 0 ⇒ λ ( F ′) = 0 y : Df ( x + ) ≤ df ( x − ) ≤ Df ( x − ) ≤ df ( x + ) ≤ Df ( x + ) < ∞ c.t.p. c.t.p. luego tienen que ser todos iguales. • Ahora probemos que λ ( E∞ ) = λ ( Ff ) = 0 Para cada n ∈ ¥ si x ∈ E∞ ⇒ ∃y > x tal que f ( y) − f ( x) >n y−x f ( y) − f ( x) Sea An = x : ∃y > x con > n entonces si x ∈ E∞ ⇒ x ∈ An por lo y−x tanto E∞ ⊆ An ∀n ∈ ¥ . Probaremos que los An son medibles, de medida finita y además como An ] se tiene que λ I An = lim λ ( An ) , si probamos que este último es cero ⇒ E∞ es n∈¥ medible y λ ( E∞ ) = 0 . - 100 - Análisis Real Medida signada, integración y diferenciación - 101 - Como An es el conjunto de puntos invisibles (luego medible) por derecha de f ( y) − f ( x) ϕ n ( x ) = f ( x ) − nx ya que si > n ⇒ f ( y ) − ny > f ( x ) − nx entonces y−x aplicando el lema de Riez para dicha función tenemos que An = U ( ak , bk ) para cada k∈¥ n con ϕ n ( ak ) ≤ ϕ n ( bk ) ⇒ f ( ak ) − nak ≤ f ( bk ) − nbk ⇒ bk − ak ≤ λ ( An ) = ∑ ( bk − ak ) ≤ ∑ k∈¥ k∈¥ f ( bk ) − f ( ak ) ≤ n 1 n ∑ f (b ) − f ( a k∈¥ k k f ( bk ) − f ( ak ) n f monótona 1 ) ≤ 14444442444444 n ( f ( b ) − f ( a )3) <∞ luego λ ( E∞ ) ≤ λ I An = lim λ ( An ) = lim 1n ( f ( b ) − f ( a ) ) = 0 n n n∈¥ • Ahora probaremos que λ ( Ff ) = 0 Veamos primero que a F f lo podemos escribir como: Ff = U { x : df ( x ) < r − r , s∈¤ r <s y Df ( x + ) > s} = UE r , s∈¤ r <s r ,s Probemos que λ ( Er , s ) = 0 ∀r , s ∈ ¤ para lo cual consideremos el siguiente lema. Lema 5.12 En las condiciones del teorema λ ( Er , s I (α , β ) ) ≤ rs ( β − α ) Demostración Definimos: µ1 ( I ) = λ ( Er ,s I I ) µ 2 ( I ) = rs λ ( I ) se observa que µ1 y µ 2 son medidas y si se cumple el lema µ1 ( A ) ≤ µ 2 ( A ) ∀A (Teorema de extensión mediante).En particular λ ( Er ,s ) ≤ {rs λ ( Er ,s ) ⇒ λ ( Er ,s ) = 0 <1 f ( y) − f ( x) Sea Gr = { x : df ( x − ) < r} = x : ∃y < x con < r lo que es igual al y−x conjunto invisible por izquierda de la función h ( x ) = f ( x ) − rx entonces por el lema de Riez dado (α , β ) se tiene (α , β ) I Gr = U ( ak , bk ) tal que h ( ak ) ≥ h ( bk ) k ∈ℵ lo que significa que f ( ak ) − rak ≥ f ( bk ) − rbk ⇒ f ( bk ) − f ( ak ) ≤ r ( bk − ak ) - 101 - (1) Análisis Real Capítulo 5 - 102 - Análogamente definimos f ( y) − f (x) H s = { x : Df ( x + ) > s} = x : ∃y > x con > s y este es el conjunto de y−x puntos invisibles por derecha de la función g ( x ) = f ( x ) − sx aplicando el lema de Riez se tiene para cada k: H s I ( ak , bk ) = U ak j , bk j tal que g ak j ≤ g bk j ) ≤ f ( b ) − sb j∈¥ ( ) y esto significa que f ak j − sak j ( kj ( ) ( ) ⇒ b − a ≤ f ( b ) − f ( a ) (2) kj kj kj 1 s kj kj entonces: λ ( H s I Gr I (α , β ) ) = λ U ak j , bk j = ∑ bk j − ak j ≤ ∑ 1s f bk j − f ak j ≤ fZ ( 2) k, j k, j k, j ≤ 1s ∑ f ( bk ) − f ( ak ) ≤ 1s ∑ r ( bk − ak ) = sr ∑ ( bk − ak ) ≤ sr ( β − α ) ( (1) k ) ( k ) ( ) ( ) k Con lo que queda probado el lema y por las consideraciones más arribas queda demostrada la proposición. Observación 5.4 Sea una sucesión de conjuntos An ] φ y f ∈ L1 entonces: ∫ An n f →0 ya que f χ An → 0 y está dominada por f ( fχ An ≤ f ) por el T.C.D. lim ∫ f = lim ∫ f χ An = ∫ lim f χ An = 0 n An n X X n Proposición 5.13 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y f ∈ L1 ( µ ) entonces para cada ε > 0 ∃δ > 0 tal que: si A∈M y µ ( A ) < δ se cumple que ∫ A f dµ < ε Demostración Si la tesis fuera falsa significa que ∃ε > 0 tal que ∀n ∈ ¥ ∃An con µ ( An ) < 1 n y ∫ An f dµ > ε pero esto contradice la observación anterior. Observación 5.5 Sea ([ a , b ] ,M , λ ) un espacio de medida entonces ∀A ∈M dado η > 0 existe K compacto y U abierto tal que K ⊆ A ⊆ U con: λ ( A ) = λ (U ) − η λ ( A) = λ ( K ) + η ya que considerando la medida: - 102 - Análisis Real Medida signada, integración y diferenciación - 103 - µ ∗ ( A ) = inf ∑ λ ( I n ) con I n intervalos tal que A ⊆ U I n = λ ( A ) n∈¥ n∈¥ etc... Proposición 5.14 Sea f : [ a, b ] → ¡ , f ∈ L1 ([ a, b ] , λ ) y ϕ ( x ) = ∫ f dλ llamada x a integral indefinida de Lebesgue entonces: λ ({ x : ϕ ′ ( x ) no existe o ϕ ′ ( x ) ≠ f ( x )}) = 0 Demostración Hagamos la demostración para f ≥ 0 ( como ya hemos considerado en otras ocasiones esto es suficiente). Sea A = { x : ϕ ′ ( x ) no existe} probaremos que λ ({ x : ϕ ′ ( x ) > f ( x )} I AC ) = 0 Observamos que { x : ϕ ′ ( x ) > f ( x )} = U {x : ϕ ′ ( x ) > s , f ( x ) < r} = U C r , s∈¤ r <s r , s∈¤ r<s Probaremos que ∀r , s ∈ ¤ λ ( Cr ,s ) = 0 . r ,s Sea U un abierto tal que para r y s fijos Cr ,s ⊆ U y λ (U \ Cr ,s ) < δ esto es posible por la regularidad de λ , donde δ > 0 se elige de modo que si ε > 0 arbitrario entonces ∫ f dλ < ε ∀E tal que λ ( E ) < δ E ϕ ( y) − ϕ ( x) > s ⇒ Cr , s ⊆ {puntos invisibles por derecha y−x de la función h ( x ) = ϕ ( x ) − sx } = U ( ak , bk ) ⊆ U donde además h ( ak ) ≤ h ( bk ) lo Si x ∈ Cr , s ⇒ ∃y > x con k∈¥ que significa ϕ ( bk ) − sbk ≥ ϕ ( ak ) − sak y por lo tanto: ( bk − ak ) ≤ 1s [ϕ ( bk ) − ϕ ( ak )] = 1s ∫a f dλ − ∫a f dλ = 1s ∫a f dλ bk ak bk k entonces: λ ( Cr , s ) ≤ ∑ ( bk − ak ) ≤ k∈¥ ≤ r s 1 s ∑∫ k∈¥ bk ak f dλ ≤ { f ≥0 1 s (∫ U f dλ = ∫ {f dλ + ∫ f dλ ≤ U \ Cr , s cr , s 144424443 >r <ε ) 1 s ε ε ∫ dλ + s = λ ( C ) + s r s r ,s Cr , s y como esto se cumple para ε > 0 arbitrario llegamos a que λ ( Cr ,s ) ≤ {rs λ ( Cr ,s ) ⇒ λ ( Cr ,s ) = 0 <1 - 103 - Análisis Real Capítulo 5 - 104 - Definición 5.10 Sea f : [ a, b ] → ¡ decimos que es absolutamente continua si dado ε > 0 , ∃δ > 0 tal que si {( ai , bi )}i =1 es una familia de intervalos abiertos disjuntos n contenidos en [ a, b ] , que verifique n ∑ i =1 ∑ n i =1 ( bi − ai ) < δ entonces: f ( bi ) − f ( ai ) < ε Ejemplo 5.4 Si f ∈ C1 ⇒ f es absolutamente continua. Vasta con aplicar el teorema de Lagrange convenientemente. Ejemplo 5.5 Continua no implica absolutamente continua, como contraejemplo tenemos la función de Cantor. Definición 5.11 Dada la función f : [ a, b ] → ¡ decimos que es de variación acotada si existe c > 0 tal que: V f [ a , b ] = sup ∑ f ( ti+1 ) − f ( ti ) < c P∈Pa b siendo P una partición de todas las posibles del intervalo [ a, b ] . P = {a = t0 < t1 < ... < tn = b} Ejemplo 5.6 Las funciones que tienen derivada acotada son de variación acotada. La función de Cantor tiene variación acotada. Observación 5.6 Las funciones de variación acotada cumplen : 1) La combinación lineal de funciones de variación acotada es una función de variación acotada. 2) Si a < b < c entonces: V f [ a , b ] + V f [ b, c ] = V f [ a , c ] Demostración Veamos la demostración de 2) Por definición de supremo existen particiones: P1 = {a = t0 < t1 < ... < tn = b} ∈Pa b y a b P2 = {b = t n < tn+1 < ... < t n+ r = c} ∈Pb c tal que: n −1 ∑ i=0 f ( ti +1 ) − f ( ti ) ≥ V f [ a, b ] − ε , n + r −1 ∑ i=n f ( ti +1 ) − f ( ti ) ≥ V f [b, c ] − ε Sea P3 = P1 U P2 ∈Pa b entonces como: n + r −1 ∑ i=0 n −1 n + r −1 i=0 i=n f ( ti +1 ) − f ( ti ) = ∑ f ( ti +1 ) − f ( ti ) + - 104 - ∑ f ( ti +1 ) − f ( ti ) c Análisis Real Medida signada, integración y diferenciación - 105 - y V f [a, c ] ≥ n + r −1 ∑ i =0 ≥ n −1 n + r −1 i =0 i=n f ( ti +1 ) − f ( ti ) = ∑ f ( ti +1 ) − f ( ti ) + V f [ a, b ] − ε + ∑ V f [ b, c ] − ε f ( ti +1 ) − f ( ti ) ≥ Luego V f [ a , c ] ≥ V f [ a, b ] + V f [b, c ] − 2ε , pero como ε es arbitrario: V f [ a , c ] ≥ V f [ a , b ] + V f [b , c ] . Por otro lado sea P una partición tal que b ∈ P n −1 P = {a = t0 < t1 < ... < tr = b < ... < t n = c} y llamemos S p = ∑ f ( ti +1 ) − f ( ti ) i =0 r −1 n −1 i =0 i =r S p = ∑ f ( ti +1 ) − f ( ti ) + ∑ f ( ti+1 ) − f ( ti ) ≤ V f [ a , b ] + V f [b, c ] luego S p tiene como cota superior a V f [ a , b ] + V f [b, c ] entonces el supremos también está acotado, y por lo tanto V f [ a , c ] ≤ V f [ a , b ] + V f [b, c ] . En el caso que b∉ P consideramos P′ = P U {b} y como S p ≤ S P′ ≤ V f [ a, b ] + V f [b, c ] y por lo tanto el supremo también cumple lo mismo. De manera que se cumplen las dos desigualdades ⇒ la igualdad. Proposición 5.15 Dada una función f : [ a, b ] → ¡ tenemos que es de variación acotada sií existen g , h Z tal que f = g − h Demostración ⇐ Si f = g − h con g , h Z sea P = {a = t0 < t1 < ... < tn = b} una partición de [ a, b ] , entonces: n −1 ∑ i=0 n −1 f ( ti +1 ) − f ( ti ) = ∑ g ( ti +1 ) − g ( ti ) − ( h ( ti +1 ) − h ( ti ) ) ≤ i=0 n −1 n −1 ≤ ∑ g ( ti +1 ) − g ( ti ) + ∑ h ( ti +1 ) − h ( ti ) = i=0 i=0 n −1 n −1 i =0 i =0 = ∑ g ( ti +1 ) − g ( ti ) + ∑ h ( ti +1 ) − h ( ti ) = Por lo tanto V f [ a , b ] < ∞ . = g (b ) − g ( a ) + h (b) − h ( a ) < ∞ ⇒ Sea t ∈ ( a, b ) y definimos V f ( t ) = V f [ a , t ] y sea g = V f (t ) luego g es creciente por definición y sea h = g − f - 105 - Análisis Real Capítulo 5 - 106 - Sea t < t ′ ⇒ h ( t ′ ) − h ( t ) = V f ( t ′ ) − V f ( t ) − ( f ( t ′ ) − f ( t ) ) ≥ 0 por ser: 1444442444443 =V f [ tt ′] V f [t , t ′] ≥ f ( t ′ ) − f ( t ) por definición de supremo. Luego h es creciente y f se puede escribir como resta de dos monótonas, dicha descomposición se le llama en ocasiones descomposición canónica. Lema 5.16 Sea F : [ a, b ] → ¡ una función absolutamente continua, entonces F es de variación acotada. Demostración Sea ε = 1 y δ > 0 correspondiente a la continuidad absoluta. Tomemos la partición del intervalo [ a, b ] que lo divide en m pedazos de longitud menor que δ , llamemos P a una partición como esta. P = {a = s0 < s1 < ... < sm = b} y sea Q una partición cualquiera entonces P′ = P U Q es tal que SQ ≤ S p′ y la variación de F en cada intervalo [ si , si +1 ] es menor que 1, luego la suma (variación de F en [ a, b ] ) no supera a m SQ ≤ SP′ < m y por lo tanto m es una cota superior de la variación ⇒ F es de variación acotada. Proposición 5.17 Sea F : [ a, b ] → ¡ una función tal que F ( a ) = 0 entonces F es absolutamente continua sií ∃f ∈ L1 tal que: F ( x ) = ∫ f dλ x a Demostración n ⇐ Dado ε > 0 sea una familia de intervalos abiertos disjuntos {( ai , bi )}i =1 y δ > 0 como en la proposición 5.13 , para ∑ ( bi − ai ) < δ sea A = U i =1 ( ai , bi ) entonces: i =1 n n n n f dλ = ∑ F ( bi ) − F ( ai ) ∫A f dλ = ∫Uni=1 ( ai ,bi ) f dλ = ∑ ∫ ai i =1 i =1 luego F es absolutamente continua, y por el lema implica que es de variación acotada. ⇒ Existen G y H monótonas no decrecientes tales que: F =G −H Definimos µ G y µ H las medidas de Borel-Stieltjes asociadas. Queremos probar que 1) G y H son absolutamente continuas. 2) µ G , µ H = λ Probado esto Radon- Nikodym mediante existen h y g tales que: - 106 ε> bi Análisis Real Medida signada, integración y diferenciación - 107 - µ G ( [ a , x ] ) = ∫ g dλ x a µ H ( [ a , x ] ) = ∫ h dλ x a entonces f = g − h y F ( x ) = ∫ f dλ x a • Probemos ahora 1) Sea G ( x ) = VF [ a, x ] Dado ε > 0, sea δ > 0 de la continuidad absoluta de F es decir si {( ai , bi )}i =1 es una n familia de intervalos contenidos en [ a, b ] tal que ∑ n i =1 ( bi − ai ) < δ entonces: n ∑ F (b ) − F ( a ) < ε i i =1 i por otro lado: G ( bi ) − G ( ai ) = VF [ ai , bi ] Y por el lema 5.16 F es de variación acotada y por definición de supremo existe para cada i = 1,..., n una partición Pi = {ai = t0i < t1i < ... < tmi = bi } de manera que: VF [ ai , bi ] − ε m−1 ≤ ∑ F ( t ij +1 ) − F ( t ij ) i 2 j =0 en consecuencia: n n m −1 ε i i G b − G a ≤ F t − F t + ( i ) ( i ) ∑ ∑ ( j +1 ) ( j ) ∑ i ≤ ∑ i =1 i =1 j = 0 i =1 2 n ∞ ε ≤ ∑ F ( bi ) − F ( ai ) + ∑ n < 2ε i =1 1 2 1444444 4244444443 { n =ε <ε ⇒ G absolutamente continua. • 2) Sea E ∈ M tal que λ ( E ) = 0 y dado ε > 0 sea el δ > 0 correspondiente a la continuidad absoluta de G. n Consideremos la familia de intervalos disjuntos {( ai , bi )}i =1 tal que E ⊆ U i =1 ( ai , bi ) y λ n ( ) U i=1 ( ai , bi ) = ∑ ( bi − ai ) < δ n lo cual es posible por ser λ regular. µG ( E ) ≤ µG (U n i =1 ( ai , bi ) ) ≤ ∑ i =1 G ( bi ) − G ( ai ) < ε i =1 n n como ε es arbitrario µG ( E ) = 0 ∴ µ G = λ . Análogamente con µ H . - 107 - Análisis Real Capítulo 5 - 108 - - 108 - Capítulo 6 Medida Producto Definición 6.1 Sean ( X 1 ,M1 , µ1 ) y ( X 2 ,M2 , µ 2 ) dos espacios de medida llamamos rectángulo medible en X 1 × X 2 a los conjuntos F × G con F ∈ M1 y G ∈ M2 . notamos M1 × M2 = {F × G : F ∈ M1 y G ∈ M2 } Observación 6.1 Nuestra intención es definir una medida en el conjunto producto X 1 × X 2 , para ello necesitamos una σ − álgebra que es la sigma álgebra generada por los rectángulos medibles que notamos σ (M1 × M2 ) . Primero definimos una premedida en el álgebra generada por los rectángulos (que notamos a (M1 × M2 ) ), y extendemos a la σ (M1 × M2 ) , sigma álgebra generada por los rectángulos. Definición 6.2 Sean ( X 1 ,M1 , µ1 ) y ( X 2 ,M2 , µ 2 ) dos espacios de medida, entonces definimos sobre a (M1 × M2 ) , la premedida: µ 0 ( E × F ) = µ1 ( E ) ⋅ µ 2 ( F ) ∀E ∈ M1 , ∀F ∈ M2 de acuerdo al teorema de extensión de medidas dicha premedida se extiende a una medida que notamos por µ1 × µ 2 llamada medida producto definida sobre σ (M1 × M2 ) . Recordar que: medida exterior ∗ µ 0 → µ : P ( X ) → [ 0, +∞ ] sea Mµ ∗ = { A ⊆ X : A es µ ∗ − medible} ↓ µ = µ ∗ |M ∗ : Mµ ∗ → [ 0, +∞ ] es completa µ Es decir que para X = X 1 × X 2 : µ1 × µ 2 = µ |σ (M1×M2 ) - 109 - Análisis Real Capítulo 6 - 110 - Observación 6.2 En el caso de que µ1 y µ 2 sean σ − finitas X 1 = U ( X 1 )n y X 2 = entonces como X 1 × X 2 = n∈¥ U [( X ) n , m∈¥ 1 n U (X m∈¥ ) 2 m × ( X 2 )m ] y µ1 ( ( X 1 )n ) < ∞ y µ 2 ( ( X 2 )m ) < ∞ para todo m, n ∈ ¥ ⇒ µ 0 ( ( X 1 )n × ( X 2 ) m ) < ∞ Luego si µ1 y µ 2 son σ − finitas , µ 0 también lo es. En este caso µ1 × µ 2 es σ − finita y entonces es la única medida definida sobre σ (M1 × M2 ) cuya restricción a a (M1 × M2 ) coincide con la premedida µ 0 . Definición 6.3 Sea C ⊆ P ( X ) se dice que C es una clase monótona sobre X si cumple: i) Siendo ( En )n∈¥ ⊆ C sucesión creciente de conjuntos, entonces ∞ UE n =1 n ∈C ii) Si ( Fn )n∈¥ ⊆ C sucesión decreciente de conjuntos, entonces ∞ IF ∈C n =1 n Ejemplo 6.1 P ( X ) es una clase monótona, de forma obvia. Ejemplo 6.2 Si M es una σ − álgebra entonces M es una clase monótona. Ejemplo 6.3 Si ( Ci )i∈I es una familia de clases monótonas sobre X entonces C = I Ci es una clase monótona. i∈I Definición 6.4 Si E ⊆ P ( X ) consideremos: m ( E ) = {C : C ⊆ P ( X ) , E ⊆ C , con C clase monótona} C (E) = I C es una clase monótona llamada clase monótona generada por E. C∈m ( E ) Lema 6.1 (de la Clase Monótona) Sean A un álgebra, M la σ − álgebra generada porA y C la clase monótona generada por A , entonces: M =C - 110 - Análisis Real Medida Producto - 111 - Demostración Por el ejemplo 6.2 M es una clase monótona que contiene a A ⇒ M ∈ m (A ) , luego C ⊆ M . Para ver la otra inclusión probaremos que C es una σ − álgebra . Para eso es suficiente probar que C es un álgebra, ya que si ( En )n≥1 ⊂C definimos: F1 = E1 , F2 = E1 U E2 ,...,Fn = U Ei ⇒ ( Fn )n≥1 Z n i =1 ⇒ C clase monótona UE = UF n∈¥ n n∈¥ n ∈C • Dado E ∈C sea C ( E ) = { F ∈C : F \ E , E \ F , E I F ∈C } , luego E ,φ ∈ C ( E ) ⇒ C ( E ) ≠ φ , probaremos que C ( E ) =C ∀E ∈C ,una inclusión es obvia por definición C ( E ) ⊂C ∀E ∈C Por otro lado C ( E ) es una clase monótona ya que si ( Fn )n≥1 Z⇒ ( Fn \ E )n≥1 Z y 1442443 ⊂C ( E ) ( E I Fn )n≥1 Z⇒ U Fn \ E = U ( Fn \ E ) ∈C y E I U Fn = U ( E I Fn ) ∈C , además n∈¥ n∈¥ n∈¥ n∈¥ ( E \ Fn )n≥1 ]⇒ E \ U Fn = I ( E \ Fn ) ∈C ⇒∴ U Fn ∈ C ( E ) . n∈¥ n∈¥ n∈¥ Por otro lado se tiene que F ∈ C ( E ) ⇔ E ∈ C ( F ) . Ahora supongamos que E ∈A ⇒ A ⊆ C ( E ) ya que: si F ∈A ⇒ E \ F , F \ E , F I E ∈A ⊆ C ⇒ F ∈ C ( E ) y C ( E ) es una clase monótona que contiene a A entonces C ⊆ C ( E ) ∀E ∈A Por lo tanto si F ∈C ⇒ F ∈ C ( E ) ∀E ∈ A ⇒ E ∈ C ( F ) ∀E ∈ A , ∀F ∈C luego A ⊆ C ( F ) , ∀F ∈C ⇒ ( por ser C ( F ) clase monótona ) C ( F ) ∈ m (A ) . Y luego C ⊆ C ( F ) ∀F ∈ C y se tiene la igualdad. • Si F1 , F2 ∈C ⇒ F1 ∈ C ( F2 ) ( o F2 ∈ C ( F1 ) ) ⇒ F1 \ F2 , F2 \ F1 , F1 I F2 ∈C ⇒ C es cerrado por complementos ya que tomando F1 = X se tiene que F2C ∈C ∀F2 ∈C . Y además: Si F1 , F2 ∈C ⇒ F1C I F2C ∈C ⇒ ( F1C I F2C ) ∈C C P ( F1 U F2 ) ∈C Definición 6.5 Sea A un álgebra de conjuntos de X, y µ una premedida definida sobre X , decimos que es continua por arriba en el vacío si ( An )n∈¥ ⊆ A y ( An ) ] φ , entonces: lim µ ( An ) = 0 n →+∞ - 111 - Análisis Real Capítulo 6 - 112 - Lema 6.2 Si µ es una premedida finita, aditiva y continua por arriba en el vacío, entonces µ es σ − aditiva. Demostración Sea ( An )n∈¥ ⊆ A tal que Ai I Aj = φ si i ≠ j y A = U An ∈A n∈¥ Definimos Bn = U Ai como ( A \ Bn ) n∈¥ ⊆ A y ( A \ Bn ) ] φ luego por hipótesis: n i =1 lim µ ( A \ Bn ) = 0 n →+∞ Como µ es finita, ∀n ∈ ¥ se tiene µ ( A \ Bn ) = µ ( A ) − µ ( Bn ) y pasando al límite: n lim µ ( A \ Bn ) = µ ( A ) − lim µ ( Bn ) = µ ( A ) − lim µ U Ai = n →∞ n →∞ n →∞ i =1 n ∞ i =1 n =1 = µ ( A ) − lim ∑ µ ( Ai ) = µ ( A ) − ∑ µ ( An ) = 0 n →∞ ∞ ∞ luego µ U An = ∑ µ ( An ) ⇒ µ es σ − aditiva n=1 n=1 Definición 6.6 Dado un conjunto A ⊆ X1 × X 2 , llamamos x-sección de A al conjunto: Ax = { y : ( x, y ) ∈ A} Análogamente llamamos y-sección de A al conjunto: Ay = { x : ( x, y ) ∈ A} Proposición 6.3 (Teorema de Fubini 1) Sean ( X 1 ,M1 , µ1 ) y ( X 2 ,M2 , µ 2 ) espacios de medida σ − finitos , entonces existe una única medida µ1 × µ 2 definida en σ (M1 × M2 ) tal que: µ1 × µ 2 ( F × G ) = µ1 ( F ) ⋅ µ 2 ( G ) ∀F ∈ M1 , ∀G ∈ M2 y además: µ1 × µ 2 ( A ) = ∫ µ 2 ( Ax ) dµ1 = ∫ µ1 ( Ay ) dµ 2 ∀A ∈ σ (M1 × M2 ) X1 X2 Demostración Veamos primero que si A ∈ σ (M1 × M2 ) entonces ∀x ∈ X 1 Ax es µ 2 − medible y ∀y ∈ X 2 Ay es µ1 − medible. X2 Sea el conjunto: a = { A : A ⊆ X1 × X 2 , Ax ∈ M2 ∀x ∈ X 1} Ax Probaremos que A {F × G : F ∈ M1 , G ∈ M2 } ⊆ a x X1 - 112 - Análisis Real Medida Producto - 113 - y que a es σ − álgebra ⇒ la σ − álgebra generada por los rectángulos está incluida en " a " es decir σ (M1 × M2 ) ⊆ a ya que: G si x ∈ F Si A = F × G ⇒ Ax = ∈ M2 ⇒ A ∈ a φ si x ∉ F C • por otro lado si A ∈ a ⇒ Ax ∈ M2 ⇒ ( Ax ) ∈ M2 y como: ( Ax )C = { y : ( x, y ) ∉ A} = { y : ( x, y ) ∈ AC } = ( AC ) x entonces ( AC ) x ∈ M2 ⇒ AC ∈ a . • Sea ( An )n∈¥ ⊆ a ⇒ ( An ) x ∈ M2 entonces: U An = y : ( x, y ) ∈ U An = { y : ( x, y ) ∈ An para algún n} = U ( An ) x ∈ M2 n∈¥ x n∈¥ n∈¥ luego U An ∈ M2 ⇒ U An ∈ a n∈¥ x n∈¥ Resulta que " a " es una σ − álgebra ⇒ tiene que contener a la sigma álgebra generada por los rectángulos. Análogamente para Ay . Consideremos ahora el conjunto: n A = U Fi × Gi : Fi ∈ M1 , Gi ∈ M2 dos a dos disjuntos ∀i = 1,..., n ⊇ M1 × M2 i =1 A es un álgebra (ejercicio) ⇒ a (M1 × M2 ) ⊆ A ⇒ σ (M1 × M ) ⊆ σ (A ) q Sean µ1 , µ 2 finitas, definimos: µ1 × µ 2 ( A ) = µ1 ( F ) ⋅ µ 2 ( G ) siendo A = F × G con F ∈ M1 , G ∈ M2 (1) entonces µ 2 ( Ax ) = µ 2 ( G ) χ F ( x ) . µ1 × µ 2 ( A ) = µ1 ( F ) ⋅ µ 2 ( G ) = µ 2 ( G ) ∫ χ F ( x ) d µ1 = X1 = ∫ µ 2 ( G ) χ F dµ1 = ∫ µ 2 ( Ax ) dµ1 X1 X1 de manera natural µ1 × µ 2 se extiende a A que es un álgebra y se sigue cumpliendo: µ1 × µ 2 ( A ) = ∫ µ 2 ( Ax ) dµ1 = ∫ µ1 ( Ay ) dµ 2 (2) X1 X2 Hasta acá µ1 × µ 2 es una premedida aditiva y finita en A entonces si probamos que µ1 × µ 2 es continua por arriba en el vacío ⇒ µ1 × µ 2 es σ − aditiva . Lema 6.2 Probemos entonces esto último. Sea ( An )n∈¥ ⊆ A , An ] φ ⇒ ( An ) x ] φ igualdad (2) tenemos: ∀x ∈ X 1 como en A se cumple la - 113 - Análisis Real Capítulo 6 - 114 - ( ) µ1 × µ 2 ( An ) = ∫ µ 2 ( ( An ) x ) dµ1 = ∫ µ1 ( An ) y dµ 2 X X 1 2 Y como por el lema 5.2 (ii) aplicado a µ 2 : ( An ) x ] φ →0 ⇒ µ 2 ( ( An ) x ) n µ 2 finita por otro lado µ 2 ( ( An ) x ) ≤ µ 2 ( X 2 ) < ∞ , y como además µ1 es finita se tiene que µ 2 ( X 2 ) es µ1 − integrable , luego podemos aplicar el teorema de convergencia dominada, y nos queda: lim µ1 × µ 2 ( An ) = lim ∫ µ 2 ( ( An ) x ) dµ1 = = µ 2 ( ( An ) x ) dµ1 = 0 { ∫X1 lim X1 n n n 144444244444 3 T.C.D =0 µ1 × µ 2 es σ − aditiva en el álgebra A , por el teorema de extensión, existe una única medida µ1 × µ 2 (que por comodidad seguimos llamando µ1 × µ 2 ) definida en σ (A ) ⊇ σ (M1 × M2 ) que extiende a µ1 × µ 2 definida como (1). Falta ver que: µ1 × µ 2 ( A ) = ∫ µ 2 ( Ax ) dµ1 = ∫ µ1 ( Ay ) dµ 2 ∀A ∈ σ (M1 × M2 ) X1 X2 Consideremos el conjunto donde se cumple (2) es decir: H = { A ∈P ( X ) : donde se cumple la igualdad (2)} entonces A ⊆ H , ahora si probamos que H es una clase monótona; por definición de m (A ) = {C ⊆ P ( X ) : A ⊆ C y C es clase monótona} ⇒ H ∈ m (A ) y se tiene que C (A ) ⊆ H , pero por lema 6.1 σ (A ) = C (A ) y entonces: σ (M1 × M2 ) ⊆ σ (A ) = C (A ) ⊆ H • Probemos que H es clase monótona. Sea ( An )n∈¥ Z⊆ H entonces como estamos en H: ( ) µ1 × µ 2 ( An ) = ∫ µ 2 ( ( An ) x ) dµ1 = ∫ µ1 ( An ) y dµ 2 X X 1 2 Sea A = U An por el lema 5.2 (i) aplicado a µ1 × µ 2 se tiene: n∈¥ n µ1 × µ 2 ( An ) → µ1 × µ 2 ( A ) e igualmente ( An ) x Z Ax µ 2 es una medida, por el mismo lema: n µ 2 ( ( An ) x ) → µ 2 ( Ax ) entonces: n → µ1 × µ 2 ( A ) µ1 × µ 2 ( An ) P ∫ X1 µ 2 ( ( An ) x ) dµ1 → ∫ µ 2 ( Ax ) d µ1 T.C.M X1 - 114 - Análisis Real Medida Producto - 115 - Luego µ1 × µ 2 ( A ) = ∫ µ 2 ( Ax ) dµ1 X1 Análogamente sea ( Bn )n∈¥ ⊆ H tal que ( Bn ) ] B entonces por estar en H: ( ) µ1 × µ 2 ( Bn ) = ∫ µ 2 ( ( Bn ) x ) dµ1 = ∫ µ1 ( Bn ) y dµ 2 X1 X2 Como µ1 , µ 2 son finitas ⇒ µ1 × µ 2 es finita y por el lema 5.2 (ii) aplicado a µ1 × µ 2 , se tiene: n µ1 × µ 2 ( Bn ) → µ1 × µ 2 ( B ) por otro lado como ( Bn ) x ] ( B ) x y por el mismo lema aplicada a µ 2 : µ 2 ( ( Bn ) x ) → µ 2 ( Bx ) y como µ 2 es finita µ 2 ( ( Bn ) x ) ≤ µ 2 ( X 2 ) < ∞ y µ1 finita ⇒ µ 2 ( X 2 ) es µ1 -integrable, y podemos aplicar el T.C.D. y nos queda: ∫ X T.C.D → ∫ µ 2 ( Bx ) d µ1 µ 2 ( ( Bn ) x ) dµ1 X P µ1 × µ 2 ( Bn ) → µ1 × µ2 ( B ) Por la tanto µ1 × µ 2 ( B ) = ∫ µ 2 ( Bx ) dµ1 X1 Si µ1 y µ 2 son σ − finitos , podemos escribir al conjunto X 1 × X 2 que ahora llamamos X × Y , como unión de una sucesión creciente ( X n × Yn )n∈¥ de medida finita donde se cumple lo anterior. Si E ∈ M1 × M2 con el argumento precedente aplicado a E I ( X n × Yn ) ∀n ∈ ¥ : q µ1 × µ 2 ( E I ( X n × Yn ) ) = ∫ µ 2 ( E x I Yn )dµ1 = ∫ µ1 ( E y I X n ) dµ 2 X Y por ser E = U ( E I ( X n × Yn ) ) , y ( E I ( X n × Yn ) ) n∈¥ Z E así como ( Ex I Yn ) Z Ex y (E n∈¥ y I X n ) Z E y , aplicando el teorema de convergencia monótona se llega el resultado deseado. Definición 6.7 Sea f : X 1 × X 2 → [0, +∞ ) , llamamos x-sección de f a la función f x : X 2 → [0, +∞ ) tal que f x ( y ) = f ( x, y ) . Y llamamos y-sección de f a la función f y : X 1 → [0, +∞ ) tal que f y ( x ) = f ( x, y ) . Proposición 6.4 (Teorema de Tonelli-Fubini) Dados ( X 1 ,M1 , µ1 ) y ( X 2 ,M2 , µ 2 ) espacios de medida con µ1 , µ 2 σ − finitas entonces: i) Tonelli Si f ∈ L+ ( X 1 × X 2 ) entonces f x ∈ L+ ( X 2 ) , f y ∈ L+ ( X 1 ) y además: - 115 - Análisis Real ∫ X 1× X 2 Capítulo 6 f d ( µ1 × µ 2 ) = ∫ X1 (∫ - 116 - ) f x ( y ) dµ 2 dµ1 = ∫ X2 ii) Fubini Si f ∈ L1 ( µ1 × µ 2 ) entonces: X2 (∫ ) f y ( x ) dµ1 dµ 2 X1 ( ∗∗) f x ∈ L1 ( µ 2 ) c.t.p. − µ1 y f y ∈ L1 ( µ1 ) c.t.p. − µ 2 y además se cumple ( ∗∗) Demostración Si A ∈ σ (M1 × M2 ) f x ( y ) = χ Ax ( y ) ya que: entonces f = χA sea en este caso 1 si y ∈ Ax ⇔ ( x, y ) ∈ A χ Ax ( y ) = 0 si y ∉ Ax ⇔ ( x , y ) ∉ A Todo se reduce a la proposición anterior. Es decir que las funciones característica cumplen con el teorema. Por linealidad se extiende a funciones simples no negativas. Si f ∈ L+ ( X 1 × X 2 ) cualquiera, sea (ϕ n ) una sucesión de funciones simples tal que 0 ≤ ϕ n ( x, y ) ≤ ϕ n +1 ( x, y ) ≤ f ( x, y ) y lim ϕ n ( x, y ) = f ( x, y ) ∀ ( x, y ) ∈ X 1 × X 2 n entonces: ∫ X 1× X 2 f d ( µ1 × µ 2 ) = ϕ n d ( µ1 × µ 2 ) = lim ∫ { lim X1 n ∫ X 1× X 2 n T.C.M =∫ X1 n (∫ X2 X2 X 1× X 2 ii) Si f ∈ L1 ( X 1 × X 2 ) ⇒ ∫ ) (ϕ n ) x ( y ) dµ 2 d µ1 ={ (ϕ n ) x ( y ) dµ2 d µ1 ={ T.C.M n x n 2 Análogamente se prueba que: ∫ X2 ) ( ∫ lim (ϕ ) ( y ) d µ )d µ = ∫ ( ∫ = ∫ lim X1 (∫ f d ( µ1 × µ 2 ) = ∫ X2 (∫ X1 1 X1 X2 ) f x ( y ) dµ 2 d µ1 ) f y ( x ) dµ1 dµ 2 f d ( µ1 × µ 2 ) < ∞ y por la parte anterior entonces: X1 × X 2 ∫ (14444442444444 ∫ f ( y ) dµ 3) dµ X1 X2 x 2 1 <∞ α(x) Luego α ( x ) ∈ L ( µ1 ) ⇒ α ( x ) < ∞ c.t.p. − µ1 es decir: 1 α (x) = ∫ X2 f x dµ 2 < ∞ lo que significa que f x (y por lo tanto f x ) ∈ L1 ( µ 2 ) c.t.p. − µ1 . Por último si escribimos a f como: + − + − f = Re ( f ) − Re ( f ) + i Im ( f ) − Im ( f ) ( T.C.M ) ( - 116 - ) Análisis Real Medida Producto - 117 - como todas están en L1 ( µ1 × µ 2 ) y además están en L+ ⇒ aplicando Tonelli a cada una y rehaciendo la función f se tiene que se cumple ( ∗∗) . Observación 6.3 Dada una función f : X 1 × X 2 → £ , medible , para calcular ∫ f d (µ × µ 1 2 ) se verifica que f ∈ L1 ( µ1 × µ 2 ) en caso afirmativo usamos Tonelli, es decir que podemos calcular la integral, por medio de las iteradas. No tenemos que fijarnos que las secciones de f sean integrables, porque sale del teorema anterior. Observación 6.4 El teorema anterior vale para espacios de medida σ − finitos si sacamos esta hipótesis el teorema no es necesariamente cierto, así como al sacar la hipótesis de integrabilidad en la parte ii) (Fubini) Ejemplo 6.1 Consideremos la función f que -1 1 vale 1 o -1 en los vértices del reticulado del 4 dibujo y cero en el resto. 3 1 -1 1 si x = y −1 si x = 2k + 1, y = 2k + 2 2 -1 1 f ( x, y ) = 1 1 -1 e viceverza con k ∈ {0,1} 0 en otro caso 1 2 3 4 5 Con µ1 = µ 2 = a la medida de conteo. En cada sección nos queda cero luego la integral por iteraciones es: ∫ (∫ X1 X2 y como f = f + + f − , y ∫ X1× X 2 ) f x ( y ) dµ 2 dµ1 = ∫ ∫ X1× X 2 X2 (∫ X1 f + d ( µ1 × µ 2 ) = ∫ f d ( µ1 × µ 2 ) = ∫ X1× X 2 6 ) f y ( x ) dµ1 dµ 2 = 0 X1× X 2 f − d ( µ1 × µ 2 ) = ∞ se tiene: f + d ( µ1 × µ 2 ) + ∫ X1× X 2 f − d ( µ1 × µ 2 ) = ∞ es decir f ∉ L1 ( µ1 × µ 2 ) . Fórmula integral por partes Proposición 6.5 Sea ∆ = [ a, b ] ,donde los extremos pueden ser finitos o no. Sea µ σ − finita en ∆ y las funciones f , g ∈ L1 ([ a, b] , µ ) , definimos: F ( x) = ∫ [ a , x] f dµ , G ( x) = ∫ - 117 - [ a , x] g dµ Análisis Real Capítulo 6 F ( y − 0) = ∫ [ a , y] - 118 - f dµ , G ( y − 0 ) = ∫ g dµ [ a , y] Entonces tenemos la siguiente fórmula de integración por partes: ∫ f ( x ) G ( x ) dµ = F ( b ) G ( b ) − ∫ g ( y ) F ( y − 0 ) d µ ∆ ∆ Demostración Sea E = {( x, y ) ; y ≤ x} y definimos: ∆ h ( x, y ) = f ( x ) g ( y ) χ E ( x, y ) tenemos que h es medible y ∫ h ( x, y ) d ( µ × µ ) = ∫ f ( x ) g ( y ) χ E d ( µ × µ ) ≤ ∆×∆ ∫ ∆×∆ ∆×∆ f ( x) g ( y) d (µ × µ ) = (∫ ∆ f ( x ) dµ luego h ∈ L1 ( µ × µ ) , y por Fubini: ∫ ∆×∆ h ( x, y ) d ( µ × µ ) = ∫ g ( y ) ∆ )( ∫ ∆ (∫ ∆ ∆ ) g ( y ) dµ < ∞ ) f ( x ) χ E ( x, y ) dµ d µ = (∫ = ∫ g ( y)( ∫ = ∫ g ( y) E ∆ [ y ,b ] ∆ [ a ,b ] ) f ( x ) dµ d µ = ) f ( x ) dµ − ∫ f ( x ) dµ d µ = a,y [ ] = ∫ g ( y ) ( F (b ) − F ( y − 0)) d µ = ∆ = ∫ g ( y ) F (b ) d µ − ∫ g ( y ) F ( y − 0 ) d µ = ∆ ∆ = F (b ) G ( b ) − ∫ g ( y ) F ( y − 0 ) d µ ∆ Si ahora integramos primero en relación a y e después en relación a x tenemos: ∫ h ( x, y ) d ( µ × µ ) = ∫ f ( x ) ∫ g ( y ) χ E ( x, y ) dµ d µ = ∆×∆ ( ∆ = ∫ f ( x) ∆ ∆ (∫ [ a , x] ) ) g ( y ) dµ d µ = ∫ f ( x ) G ( x ) dµ ∆ Tenemos por lo tanto: ∫ f ( x ) G ( x )dµ = F (b ) G ( b ) − ∫ g ( y ) F ( y − 0 )dµ ∆ ∆ con lo que queda probado el teorema. - 118 - Capítulo 7 Integración en espacios localmente compactos. Definición 7.1 Sea X un espacio topológico, decimos que es localmente compacto si cada punto tiene un entorno compacto que lo contiene. De acá en adelante abreviaremos LCH para referirnos a un espacio topológico localmente compacto y Haurdörff. Proposición 7.1 Si X es LCH y x ∈ X , entonces la familia de entornos compactos de x es una base local de x. Demostración Sea U ⊂ X tal que x ∈ U . Podemos suponer que U es compacto, porque en caso contrario si F es un entorno o compacto de x, sustituimos U por U I F , entonces como U compacto y Haurdöff implica que es normal, luego si F1 y F2 son cerrados disjuntos en U , existen abiertos A1 y A2 disjuntos tales que F1 ⊆ A1 , F2 ⊆ A2 . Como { x} y ∂U son cerrados en U disjuntos ⇒ que existen A y B abiertos disjuntos de U , tales que x ∈ A, ∂U ⊆ B , en particular A ⊆ U con A abiertos en U y U abierto y por lo tanto A es abierto en X, además: A = Ar ⊆ U \ B ⊆ U ⇒ A ⊆ U ⊆ U relativo y como U es compacto A también lo es. Luego A es un entorno compacto de x que está contenido en U. - 119 - Análisis Real Capítulo 7 - 120 - Proposición 7.2 Sea X un espacio LCH, K compacto, U abierto de manera que K ⊆ U ⊆ X entonces existe un abierto pre-compacto (con clausura compacta) V tal que: K ⊆V ⊆V ⊆U Demostración Para cada x ∈ K sea N x un entorno compacto de x tal que N x ⊆ U . { } o La familia N x : x ∈ K es un cubrimiento por abiertos de K. ⇒ ∃x1 , x2 ,..., xn ∈ K o tales que K ⊆ U N x j = V ⇒ V = U N x j ⇒ que es compacto contenido en U. j =1 j =1 { n n compactos Definición 7.2 Sea X un espacio topológico y en él una función f : X → £ definimos el siguiente conjunto llamado soporte de f , que notamos por Sop ( f ) a: Sop ( f ) = { x ∈ X : f ( x ) ≠ 0} Definición 7.3 Sea X un espacio topológico localmente compacto y Haurdörff , definimos el siguiente espacio vectorial de funciones continuas con soporte compacto, que notamos por Cc ( X ) , al conjunto: Cc ( X ) = { f : X → £ : f es continua y Sop ( f ) compacto} Proposición 7.3 (Lema de Urysohn para LCH) Sea X un espacio LCH, F ⊆ X cerrado y K ⊆ X \ F , compacto, entonces existe f ∈ Cc ( X , [ 0,1]) es decir f : X → [0,1] tal que f |K = 1 y f |F = 0 . Demostración Sean U = X \ F y V como en la proposición anterior, entonces V es compacto y Haurdöff ⇒ V es normal. Como K y ∂V son cerrados disjuntos en V , por el Lema de Urysohn para espacios normales existe f ∈ Cc (V , [ 0,1]) tal que f |K = 1 y f |∂V = 0 , entonces extendemos f a X poniendo f ( x ) = 0 ∀x ∉ V ⇒ f es continua, Sop ( f ) ⊆ V y Im ( f ) ⊆ [ 0,1] , donde f |K = 1. Corolario 7.4 Si x ∈ X , F ⊆ X es cerrado y x ∉ F entonces ∃f ∈ Cc ( X , [ 0,1]) Proposición 7.5 (Teorema de extensión de Tietze, para LCH) Si X es un espacio LCH, K ⊆ X compacto y f : K → [0,1] continua, entonces existe %f : X → [0,1] continua tal que: - 120 - Análisis Real Integración en LCH - 121 - %f | = f K Demostración Análoga a la anterior. Notación Si K es compacto K p g significa que: g ∈ C c ( X , [ 0,1]) tal que g |K = 1 Si U es abierto g p U significa que: g ∈ C c ( X , [ 0,1]) tal que Sop ( g ) ⊆ U Definición 7.4 Sea X un espacio topológico, A ⊆ X , se dice que {hi }i∈I es una partición de la unidad para A si se cumple: i) hi : X → [ 0,1] continua ∀i ∈ I ii) Para cada x ∈ A existe un entorno Vx de x tal que: hi |Vx = 0 ∀i excepto para una cantidad finita de índices iii) ∑ h ( x ) = 1 ∀x ∈ A . i∈I i Definición 7.5 Si U es un cubrimiento por abiertos de A se dice que la partición de la unidad {hi }i∈I está subordinada al cubrimiento si ∀i ∈ I ∃U ∈U tal que Sop ( hi ) ⊆ U . Proposición 7.6 Sean X un espacio LCH y K ⊆ X compacto. Si U = {U1 ,...,U n } es un cubrimiento por abiertos de K, entonces existe una partición de la unidad {hi }i =1 de K, con Sop ( hi ) compacto en U i ∀i = 1,..., n . n Demostración Para cada x ∈ K , existe entorno compacto Vx ⊆ U i para algún i, { o } entonces V x : x ∈ K es un cubrimiento de K, entonces existen Vx1 ,...,Vxl tal que: l { K ⊆ UVxi i =1 } Para cada i ∈ {1,..., n} sea K i = U Vx j : Vx j ⊆ U i , K i es compacto (es unión finita j de compactos) ∀i además: K ⊆ U Ki y Ki ⊆ U i n i =1 Por el Lema de Uryshon para cada i existe fi tal que K i p f i p U i , entonces - 121 - Análisis Real Capítulo 7 - 122 - n ∑ f ( x ) ≥ 1 ∀x ∈ K i i =1 Por Lema de Urysohn existe f n′+1 tal que: K p f n′+1 p x : ∑ f i ( x ) > 0 = U i n Sea f n +1 = 1 − f n′+1 entonces h := ∑ fi no se anula. i =1 Por último definimos: fi ∀i = 1,..., n h Sop ( hi ) = Sop ( f i ) ⊆ U i y Im ( hi ) ⊆ [ 0,1] . n 1 n 1 n +1 Si x ∈ K ⇒ ∑ hi ( x ) = f x = ( ) ∑i ∑ fi ( x ) = 1 h ( x ) i =1 h ( x ) i =1 i =1 hi = Definición 7.6 Una funcional lineal positiva I sobre Cc ( X ) es una funcional lineal tal que I ( f ) ≥ 0 si f ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ X . Observación 7.1 Si µ es una medida de Borel definida sobre compactos y µ ( K ) < ∞ ∀K ⊆ X compacto, entonces I tal que I ( f ) = ∫ f dµ es una funcional X positiva. Proposición 7.7 Si I es una funcional positiva sobre Cc ( X ) , entonces ∀K ⊆ X compacto existe una constante Ck tal que: I ( f ) ≤ CK f ∞ , ∀f ∈ Cc ( X ) tal que Sop ( f ) ⊆ K Demostración Supongamos f a valores reales. Por el Lema de Urysohn existe ϕ tal que K p ϕ entonces si f ∈ Cc ( X ) tal que Sop ( f ) ⊆ K ⇒ f = f ϕ y tenemos: f = f ϕ ≤ f ∞ϕ f aplicando I ∞ I( f f ∞ ϕ ± f ≥0 ∞ ± f )≥ 0 I (ϕ ) ± I ( f ) ≥ 0 ⇒ I(f ) ≤ f ∞ I (ϕ ) { CK - 122 - Análisis Real Integración en LCH - 123 - Definición 7.7 Sea X un espacio LCH y µ una medida de Borel sobre X. Si E ∈BX , se dice que : • µ es exteriormente regular en E si: µ ( E ) = inf {µ (U ) : U ⊇ E , U abierto} • µ es interiormente regular en E si: µ ( E ) = sup {µ ( K ) : K ⊆ E , K compacto} • µ es regular en E si es interiormente y exteriormente regular en E. Además decimos que es exteriormente regular, interiormente regular o regular si lo en cada boreleano. Definición 7.8 Sea µ una medida de Borel sobre X se dice que µ es una medida de Radon si: i) µ ( K ) < ∞ ∀K compacto. ii) µ es exteriormente regular. iii) µ es interiormente regular en cada abierto. Proposición 7.8 (Teorema de representación de Riez) Sea I : Cc ( X ) → £ una funcional positiva, entonces existe una única medida de Radon µ tal que: I ( f ) = ∫ f dµ ∀f ∈ Cc ( X ) X Además µ satisface: 1) µ (U ) = sup {I ( f ) : f p U , ∀U abierto} 2) µ ( K ) = inf {I ( f ) : K p f , ∀K compacto} Demostración Primero demostraremos la unicidad, supongamos que existen dos medidas de Radon tales que I ( f ) = ∫ f dµ . X Sea U ⊆ X abierto, y sea K ⊆ U compacto entonces por el Lema de Urysohn existe f tal que: K p f p U ⇒ χ K ≤ f ≤ χU e integrando µ ( K ) = ∫ χ K dµ ≤ ∫ f dµ ≤ ∫ χU d µ = µ (U ) X X X luego µ ( K ) ≤ I ( f ) ≤ µ (U ) y como µ (U ) = sup K ⊆U µ ( K ) ⇒ sup {I ( f ) : f p U } ≥ µ (U ) En la misma desigualdad a su vez f p U ⇒ I ( f ) ≤ µ (U ) y pasando al supremo - 123 - Análisis Real Capítulo 7 - 124 - sup {I ( f ) : f p U } ≤ µ (U ) por lo tanto µ (U ) = sup {I ( f ) : f p U } ∀U abierto Entonces I determina µ sobre los abiertos de X, como µ es exteriormente regular entonces I determina µ sobre los bolerianos. Luego µ está determinada por I. • Ahora demostraremos la existencia, hay que definir µ (U ) = sup {I ( f ) : f p U } para todo U abierto, tiene que ser µ ( E ) = inf {µ (U ) : U ⊇ E , U abierto} ∀E ∈BX y probamos que se trata de una medida de Radon. Pasos a seguir: a) Definimos µ ∗ : P ( X ) → [ 0, +∞ ) tal que: ∞ µ ∗ ( E ) = inf ∑ µ (U j ) : E ⊆ UU j ,U j abierto ∀j j j =1 es una medida exterior; veremos que: µ ∗ ( E ) = inf {µ (U ) : E ⊆ U , U abierto} y BX ⊆ {µ ∗ − medibles} , µ ∗ extiende a µ definida como: µ = µ ∗ |BX b) µ es de Radon, es decir satisface 1) y 2). c) Por último hay que probar que: I ( f ) = ∫ f dµ ∀f ∈ Cc ( X ) X empecemos probando: ∞ inf {µ (U ) : E ⊆ U , U abierto} = inf ∑ µ (U n ) : E ⊆ UU n , U n abierto ∀E ∈BX n=1 n La desigualdad ( ≥ ) ya la tenemos. Para probar la otra desigualdad consideramos un cubrimiento por abiertos {U n } de E. ∞ Sean U = UU n , f p U , Sop ( f ) = K . n =1 Como K es compacto, existe m tal que K ⊆ UU j nos tomamos una parición de la m j =1 unidad de K subordinada a los U j . Sea {h1 ,..., hm } una partición de la unidad para K subordinada a {U1 ,...,U m } . m Entonces f = ∑ f h j y Sop ( f h j ) ⊆ U j además f h j p U j j =1 Por tanto m m ∞ I ( f ) = ∑ I ( f h j ) ≤ ∑ µ ( U j ) ≤ ∑ µ (U j ) 1442443 j =1 j =1 j =1 µ (U j ) - 124 - Análisis Real Integración en LCH ∞ - 125 - ∞ luego I ( f ) ≤ ∑ µ (U n ), ∀f p U ⇒ µ (U ) ≤ ∑ µ (U n ) . n =1 Ahora probaremos que BX ⊆ {µ − medibles} n =1 ∗ Basta ver que si U es abierto, entonces U es µ ∗ − medible . Para eso hay que ver que si E ⊆ X y µ ∗ ( E ) < ∞ entonces: µ∗ ( E ) ≥ µ∗ ( E IU ) + µ∗ ( E IU C ) Supongamos primero que E es abierto, notar que es este caso µ ∗ ( E ) = µ ( E ) o sea: µ ∗ ( E ) = inf {µ (U ) : E ⊆ U , U abierto} ≤ µ ( E ) Por otro lado si E ⊆ U abierto y f p E ⇒ f p U ⇒ µ ( E ) = sup {I ( f ) : f p E} ≤ sup {I ( g ) : g p U } = µ (U ) por lo tanto µ ∗ ( E ) ≥ µ ( E ) . Como µ ( E I U ) = µ ∗ ( E I U ) ≤ µ ∗ ( E ) < ∞ dado ε > 0 ∃f p E I U tal que: µ ( E IU ) < I ( f ) + ε Ahora E \ Sop ( f ) es un abierto contenido en E, entonces existe g p E \ Sop ( f ) tal que: µ ( E \ Sop ( f ) ) < I ( f ) + ε ⇒ f + g p E entonces µ ( E ) ≥ I ( f + g ) = I ( f ) + I ( g ) > µ ( E I U ) − ε + µ ( E \ Sop ( f ) ) − ε > µ ( E I U ) + µ E \ Sop ( f ) − 2ε ≥ µ ( E I U ) + µ ∗ ( E \ U ) − 2ε 14444244443 ⊆ E \U Esto vale para todo ε > 0 , así que queda demostrado. Si E ⊆ X es cualquiera, tal que µ ∗ ( E ) < ∞ dado ε > 0 existe V abierto tal que E ⊆ V y µ ∗ ( E ) ≥ µ (V ) − ε ≥ µ (V I U ) + µ (V I U C ) − ε ≥ ≥ µ∗ ( E IU ) + µ∗ ( E IU C ) − ε Esto vale para todo ε > 0 , llamemos µ a µ ∗ |BX . Entonces µ es exteriormente regular ya que: Si E ∈BX ⇒ µ ( E ) = µ ∗ ( E ) = inf {µ (U ) : E ⊆ U , U abierto} µ satisface 1) µ satisface 2) ya que µ ( K ) < ∞ ∀K compacto Sea K compacto y K p f dado ε ∈ ( 0,1) sea U ε = { x : f ( x ) > 1 − ε } por definición U ε es abierto y K ⊆ U ε . - 125 - Análisis Real Capítulo 7 - 126 - 1 1 f > g ⇒ I f ≥ I ( g ) luego: 1−ε 1−ε 1 I ( f ) ≥ I ( g ) ∀g p U ε 1− ε tomando supremo en I ( g ) se mantiene la desigualdad y tenemos: 1 I ( f ) ≥ sup g pU ε I ( g ) = µ (U ε ) 1− ε entonces I ( f ) ≥ (1 − ε ) µ (U ε ) ≥ (1 − ε ) µ ( K ) ∀ε ∈ ( 0,1) ∴ I ( f ) ≥ µ (K ) por un lado µ ( K ) < ∞ y por otro µ ( K ) ≤ inf {I ( f ) : K p f } Sea ahora ε > 0 y U abierto tales que: K ⊆ U , µ (U ) − µ ( K ) < ε Por el Lema de Urysohn existe f tal que K p f p U lo que implica µ ( K ) ≤ I ( f ) ≤ µ (U ) luego 0 ≤ I ( f ) − µ ( K ) ≤ µ (U ) − µ ( K ) < ε ⇒ µ ( K ) = inf {I ( f ) : K p f } ⇒ µ satisface 2). µ es interiormente regular en abiertos. Tomemos un abierto U y f p U que existe por el Lema de Urysohn. Entonces f ≤ g ⇒ I ( f ) ≤ I ( g ) ∀g luego: I ( f ) = inf {I ( g ) : K p g p U } = µ ( K ) Sea g p U ε ⇒ Si K p h ⇒ K p gh p U y gh ≤ h ⇒ I ( gh ) ≤ I ( h ) luego: µ (U ) = sup {I ( f ) : f p U } = sup {µ ( K ) : K ⊆ U , K compacto} lo que implica que µ es inferiormente regular en abiertos. • Falta ver que I ( f ) = ∫ f dµ ∀f ∈ Cc ( X ) para lo cual basta mostrar que vale para todo f ∈ Cc ( X , [ 0,1]) X Sea n ∈ ¢ + definimos K 0 = Sop ( f ) K j = { x : f ( x ) ≥ Kj } , j = 1,..., n Definimos f j tal que: n1 si f ( x ) ≥ nj o sea x ∈ K j f j ( x ) = f ( x ) − jn−1 si 0 ≤ f ( x ) − jn−1 < 0 en otro caso x ∈ K j −1 \ K j 2 1 n 1 n n K2 K1 - 126 - Análisis Real Integración en LCH n entonces f j es continua para todo j y ∑f j =1 j - 127 - = f además: χ K j ≤ f j ≤ χ K j −1 K j p nf j p U ∀U abierto y U ⊇ K j −1 1 n 1 n luego: 1 n µ ( K j ) ≤ ∫ f j dµ ≤ 1n µ ( K j −1 ) X es decir µ ( K j ) ≤ nI ( f j ) ≤ µ (U ) ∀U abierto U ⊇ K j −1 Pero entonces: 1 n µ ( K j ) ≤ I ( f j ) ≤ 1n µ ( K j −1 ) sumo n n n 1 n ∑ µ ( K ) ≤ ∑I ( f ) ≤ ∑ µ ( K ) 1 n n µ K ≤ I ( ) ∑ ∑ fj ≤ j j =1 j =1 3 14442444 j =1 j 1 n j j =1 n j =1 j −1 n 1 n ∑ µ (K ) j −1 j =1 =I ( f ) luego I ( f ) − ∫ f dµ ≤ X n 1 n ∑ ( µ ( K ) − µ ( K )) = ( µ ( K j =1 j −1 j 1 n 0 ) − µ ( Kn )) ≤ µ ( K0 ) →0 n o sea I ( f ) = ∫ f dµ . X Proposición 7.9 Sea X un espacio LCH, µ de Radon sobre X, E ∈BX de medida σ − finita. Entonces µ es interiormente regular en E. Demostración Supongamos que E tiene medida finita. µ ( E ) < ∞ Dado ε > 0 sea U abierto tal que U ⊇ E y µ (U ) < µ ( E ) + ε Como µ es interiormente regular en U existe K1 ⊆ U compacto tal que: µ ( K1 ) ≥ µ (U ) − ε Sea V abierto tal que V ⊇ K1 \ E y: µ (V ) < µ ( K1 \ E ) + ε Sea K = K1 I V C entonces K ⊆ E , V ⊇ K1 I E C ⇒ V C ⊆ K1C U E ⊆ E ⇒ K = K1 I V C ⊆ K1 I E ⊆ E luego K es compacto por ser un cerrado contenido en un compacto K1 µ ( K ) = µ ( K1 I V C ) = µ ( K1 \ V ) = µ ( K1 ) − µ ( K1 I V ) > > µ ( K1 ) − µ (V ) > µ (U ) − ε − µ ( K1 \ E ) − ε > > µ ( E ) − 2ε − µ (U \ E ) > µ ( E ) − 3ε - 127 - Análisis Real luego Capítulo 7 - 128 - µ ( E ) = sup {µ ( K ′ ) : K ′ ⊆ E y K ′ compacto} ∞ • Sea ahora µ ( E ) = ∞ y consideremos E = U En con En ⊆ En+1 y µ ( En ) < ∞ ∀n n =1 entonces dado M ∈ ¡ sea n0 tal que: µ ( En0 ) > M por lo anterior existe K ⊆ En0 con K compacto, tal que µ ( K ) > M ⇒ sup {µ ( K ) : K ⊆ E , K compacto} = ∞ y por lo tanto también se cumple que: µ ( E ) = sup {µ ( K ) : K ⊆ E , K compacto} Corolario 7.10 i) Si µ es una medida de Radon σ − finita , entonces µ es regular. ii) Si X es σ − compacto, es decir que: ∞ X = U K n con K n compacto ∀n entonces µ es regular. n =1 Corolario 7.11 Las medidas de Lebesgue-Stieljes son regulares. Definición 7.9 Un conjunto Ade un espacio X se dice que es un conjunto Fσ en X si es igual a la unión de una colección numerable de subconjuntos cerrados de X. A ⊆ X es Fσ ⇔ A = U Fn con Fn cerrado de X ∀n ∈ ¥ n∈¥ Un conjunto B de un espacio X se dice que es un conjunto Gδ en X si es igual a la intersección de una colección numerable de subconjuntos abiertos de X. B ⊆ X es Gδ ⇔ B = I Gn con Gn abierto de X ∀n ∈ ¥ n∈¥ Proporción 7.12 Sea una medida de Radon σ − finita y E ∈BX entonces: i) Dado ε > 0 existen F cerrado y G abierto tales que: F ⊆ E ⊆ G y µ (G \ F ) < ε y pasando al límite: ii) Existen Fσ y Gδ , digamos A y B respectivamente, tales que: A ⊆ E ⊆ B y µ ( B \ A) < ε - 128 - Análisis Real Integración en LCH - 129 - ∞ Demostración i) Sea E = U En con µ ( En ) < ∞ para cada En existe U n abierto tal n =1 que U n ⊇ En y µ ( U n ) ≤ µ ( En ) + 2εn , luego: µ ( U n ) − µ ( En ) ≤ P µ ( U n \ En ) ≤ ε 2n ε 2n ∞ Sea U = UU n ⇒ U es abierto , U ⊇ E y: n =1 µ (U \ E ) = µ UU n \ En ≤ ∑ µ (U n \ En ) ≤ ∑ 2εn = ε n n n C de la misma manera existe V abierto tal que V ⊇ E y µ (V \ E C ) < ε . Sean G := U , F := V C entonces G es abierto y F cerrado y además F ⊆ E ⊆ G y: µ ( G \ F ) = µ ( G \ E )+ µ ( E \ F ) < 2ε ya que µ ( E \ F ) = µ ( E \ V C ) <ε = µ (V \ E E C ⊆V C )<ε. <ε ii) Para cada n existe Gn abierto y Fn cerrado tales que: Fn ⊆ E ⊆ Gn , y µ ( Gn \ Fn ) < 1n Sean: B = I Gn n∈¥ ⇒ A es Fσ y B es Gδ tales que A ⊆ E ⊆ B y como B \ A ⊆ Gn \ Fn ⇒ A = U Fn n∈¥ µ ( B \ A ) ≤ µ ( Gn \ Fn ) < 1n ∀n ∈ ¥ ⇒ µ ( B \ A ) = 0 . Lema 7.13 Si X es un espacio LCH σ − compacto, entonces existe una sucesión creciente de compactos tal que K n es compacto ∀n ∞ o K n ⊆ K n+1 y X = U K n n =1 Demostración Por hipótesis ⇒ existe ( H n )n∈¥ , con H n compacto ∀n tal que ∞ X = U H n . Sea K1 = H1 y definimos K n tal que K nC ⊆ K nC−1 entonces: n =1 o o ⇒ K = K n ⊆ K nC−1 ⇒ K n−1 ⊆ K n . C C n - 129 - Análisis Real Capítulo 7 - 130 - Proposición 7.14 Sea X un espacio LCH tal que todo abierto de X es σ − compacto (por ejemplo que X satisface el 2do axioma de numerabilidad) Si µ es una medida de Borel sobre X tal que µ es finita sobre subconjuntos compactos, entonces es una medida regular (es decir que es de Radon). Demostración Como µ es finita sobre compactos, se tiene Cc ( X ) ⊆ L1 ( µ ) . Riez Sea I : Cc ( X ) → £ tal que I ( f ) = ∫ f dµ ⇒ I es funcional positiva ⇒ existe una X única medida de Radon υ , sobre X tal que: I ( f ) = ∫ f dυ X Ahora sea U ⊆ X abierto. Por el Lema existe una sucesión ( K n ) n∈¥ de compactos ∞ o tales que K n ⊆ K n+1 , y U = U K n . n =1 o Para cada n sea f n tal que K n p f n p K n +1 , entonces creciente y además lim f n ( x ) = χU ( x ) , por lo tanto: ( f n ( x ) )n∈¥ es una sucesión n T.C.M µ (U ) = ∫ χU dµ = lim ∫ f n dµ = lim ∫ f n dυ = ∫ χU dυ = υ (U ) µ y υ coinciden sobre abiertos. Como X es σ − compactos ⇒ υ es σ − finita . Sea E ∈BX dado ε > 0, existen F ⊆ E cerrado, G ⊇ E abierto, tales que: υ (G \ F ) < ε Como G \ F es abierto, entonces: µ (G \ F ) = υ (G \ F ) < ε por lo tanto µ ( G \ F ) < ε . Como µ ( G ) = µ (G \ E ) + µ ( E ) ≤ µ ( E ) + ε ⇒ µ es exteriormente regular. Como µ y υ coinciden en abiertos y son exteriormente regulares ⇒ µ = υ , o sea µ es de Radon. Como es σ − finita ⇒ µ es regular. Proposición 7.15 Sea es espacio X LCH y µ una medida de Radon sobre él, entonces Cc ( X ) es denso en L1 ( µ ) . Demostración Basta probar que si E ∈BX tal que µ ( E ) < ∞ entonces dado ε > 0 existe f ∈ Cc ( X ) tal que: - 130 - Análisis Real Integración en LCH - 131 - f − χE 1 < ε Sea K ⊆ E compacto, y U ⊇ E abierto, tomamos: K p f p U ⇒ χ K ≤ f ≤ χU por otro lado como K ⊆ E ⊆ U ⇒ χ K ≤ χ E ≤ χ U entonces: f − χ E ≤ χU − χ K = χU \ K o sea f − χ E 1 ≤ χU \ K 1 = µ (U \ K ) como µ es regular en conjuntos σ − finitos se puede tomar U y K tales que: µ (U \ K ) < ε Proposición 7.16 (Teorema de Lusin) Sea X un espacio LCH y µ una medida de Radon sobre X Si f : X → £ es medible y el conjunto E = { x ∈ X : f ( x ) = 0} tiene medida finita, entonces dado ε > 0 existe una función continua ϕ tal que: µ ({ x ∈ X : f ( x ) ≠ ϕ ( x )}) < ε Además en el caso que f esté acotada se puede tomar ϕ tal que: ϕ ∞≤ f ∞ Demostración Supongamos primero que f está acotada, entonces 1 ∫ f dµ ≤ ∫ f ∞ χ E d µ = f ∞ µ ( E ) < ∞ ⇒ f ∈ L ( µ ) ⋅ y como Cc ( X ) = L1 ( µ ) y toda sucesión convergente en L1 ( µ ) a f tiene una subsucesión que converge c.t.p. − µ a f, entonces existe una sucesión (ϕ n ) ⊆ Cc ( X ) c.t.p.− µ tal que ϕ n →f. Como µ ( E ) < ∞ , por el teorema de Egoroff existe F ⊆ E tal que: 1 c.u. µ ( E \ F ) < ε1 y ϕ n → f sobre F y como µ es regular en F y en E existen los conjuntos U ⊇ E abierto, y K ⊆ F cerrado tal que: µ (U \ E ) < ε 2 y µ ( F \ K ) < ε 3 Sea ϕ 0 = lim ϕ n |K , al ser ϕ n continuas y convergentes uniformemente en K n ϕ 0 ∈ Cc ( K ) , entonces por el teorema de Tietze existe ϕ ∈ Cc ( K ) tal que: ϕ |K = ϕ 0 y Sop (ϕ ) ⊆ U notar además que ϕ 0 ( x ) = f ( x ) ∀x ∈ K . Por otro lado, si x ∉ U ⇒ ϕ ( x ) = 0 = f ( x ) , luego - 131 - Análisis Real Capítulo 7 - 132 - { x ∈ X : ϕ ( x ) ≠ f ( x )} ⊆ U \ K y µ (U \ K ) = µ (U \ E ) + µ ( E \ F ) + µ ( F \ K ) < ε 2 + ε1 + ε 3 < ε2 Para ver que se puede elegir ϕ tal que ϕ ∞≤ f ∞ consideramos β : £ → £ definida como sigue: z si z ≤ f ∞ β (z) = z f ∞ z si z > f ∞ Sea ψ = β o ϕ ⇒ ψ ∞ ≤ f ∞ ya que: ψ es continua y si f ( x ) = ϕ ( x ) ⇒ψ ( x ) = β (ϕ ( x ) ) = β ( f ( x ) ) = f ( x ) y esto implica { x ∈ X :ψ ( x ) ≠ f ( x )} ⊆ { x ∈ X : ϕ ( x ) ≠ f ( x )} y este último tiene medida menor que ε , luego el incluido tiene medida menor que ε . Ahora si f no está acotada sea: ∞ En = { x ∈ X : 0 ≤ f ( x ) ≤ n} ⇒ E = U En con En ⊆ En +1 ∀n n =1 y como µ ( E ) < ∞, ∃n0 tal que µ ( E \ En0 ) < , por el teorema de Lusin para ε 2 funciones acotadas, aplicado a f χ En existe ϕ continua tal que: 0 µ entonces ({ x ∈ X : ϕ ( x ) ≠ f ( x ) χ En0 ( x )}) < ε2 µ ({ x ∈ X : ϕ ( x ) ≠ f ( x )} ) < ε2 + ε2 < ε - 132 - Apéndice Teoría Ergódica Definición a-1 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida, decimos que una transformación T : X ↵ preserva medida (o que es µ − invariante sobre T) si para todo A∈M su pre-imagen T −1 ( A ) también pertenece a M y µ ( A) = µ (T −1 ( A ) ) También decimos que µ es T- invariante. El tema de la Teoría Ergódica es la dinámica de las transformaciones que preservan medida. Proposición a.1 (Teorema de recurrencia de Poincaré)Sea T : X ↵ que preserva medida, de espacios de probabilidad ( X ,M , µ ) .Entonces para todo A∈M , el conjunto: A0 = { x ∈ A : T n ( x ) ∈ A, para infinitos valores de n ≥ 0} pertenece a M y µ ( A ) = µ ( A0 ) . Demostración Sea Cn = { x ∈ A : T j ( x ) ∉ A ∀j ≥ n} . Es claro que: ∞ A0 = A − U Cn n =1 Por lo tanto el teorema queda demostrado si probamos que Cn ∈M y µ ( Cn ) = 0 para todo n ≥ 1 . Observamos que: Cn = A − U T − j ( A ) j≥n lo que prueba que Cn ∈M y como Cn = A − U T − j ( A ) ⊂ U T − j ( A ) −U T − j ( A), j≥n j≥0 - 133 - j≥n Análisis Real Apéndice - 134 - resulta µ ( Cn ) ≤ µ U T − j ( A ) − µ U T − j ( A) j ≥0 j≥n más UT j≥n −j j ≥0 ( A ) = T − n UT − j ( A) , de modo que µ T − n UT − j ( A) = µ UT − j ( A) { j ≥0 T preserva medida j ≥0 lo que implica que µ ( Cn ) = 0 . Definición a.2 Sea ( X ,M ) un espacio medible con X compacto, y consideremos todas las medidas µ de probabilidad definida en ( X ,M ) , que llamamos M ( X ) = {µ en ( X ,M ) de probabilidad} Sea T : X ↵ µ -invariante sobre T. y definimos M T ( X ) = {µ ∈ M ( X ) : µ es T − invariante} Antes de ver la versión Topológica del teorema de recurrencia repasaremos algunos conceptos. Definición a.3 Sea (V , g ) un espacio vectorial normado, definimos el espacio dual como: V ∗ = {ϕ : V → K , funcional lineal continuas } Si tenemos una transformación lineal T : V → W se puede definir una norma de forma natural como: T = sup x =1 T ( x ) consideremos el conjunto de los operadores T tal que: T = sup x =1 T ( x ) < ∞ = B (V ,W ) esta norma se le llama norma operador. Definición a.4 Sea X un espacio topológico, ( X , ¡ ) el espacio producto ¡ X = { f : X → ¡} la topología producto. Recordar que si ( f n )n∈¥ ∈ ¡ ¥ , entonces f n → f con la topología producto si y solo sí f n ( x ) → f ( x ) ∀x ∈ X - 134 - Análisis Real Teoría Ergódica - 135 - Si X es un espacio vectorial X ∗ ⊂ ¡ X , a la topología producto en el dual se le llama ω ∗ , continua ⇔ son acotadas En el dual podemos definir la norma operador (que es más fuerte que la topología débil). Proposición a.2 Sea B ∗ = { f ∈ X ∗ : f ≤ 1} , B ∗ es ω ∗ − compacto y si X es normado y separable entonces B ∗ es métrico y por lo tanto secuencialmente compacto Demostración Vamos a construir K compacto tal que B ∗ ⊂ K y B ∗ es cerrado. Para cada x ∈ X vemos que Dx = [ − x , x ] ⊂ ¡ y sea K = ∏ Dx x∈ X por el Teorema de Tijonov K compacto. Probaremos que B ∗ ⊂ K Sea f ∈ B∗ y como f ≤ 1 ⇒ ∀x ∈ X f ( x ) ≤ x ⇒ f ∈ K ya que en general Veamos ahora que es cerrado. T ( x) ω ≤ T B xV ω∗ ω∗ Sea fˆ ∈ B∗ entonces ∃( f n ) ⊂ B ∗ tal que f n → fˆ fˆ es lineal ( límite puntual de lineales) , si probamos que fˆ ≤ 1 ∀x tal que x ≤ 1 entonces fˆ ∈ B∗ ⇒ fˆ acotada ⇒ fˆ es continua Como ( f n ) ⊂ B ∗ ⇒ f n ( x ) ≤ 1 ∀n ∈ ¥ tal que x ≤ 1 entonces: fˆ ( x ) ≤ fˆ ( x ) − f n ( x ) + f n ( x ) ≤ ε + 1 ∀n ≥ n0 como el ε > 0 es arbitrario fˆ ( x ) ≤ 1 ∀x tal que x ≤ 1 o sea que: fˆ ≤ 1 ⇒ fˆ ∈ B ∗ Ahora probaremos la metrización de ( B∗ ,ω ∗ ) , para lo cual vamos a construir un homeomorfismo entre B ∗ y I ⊂ D ¥ donde D = [ 0,1] . Como X es separable B = { x ≤ 1} , sea ( xn ) ⊂ B tal que ( xn ) = B . Definimos τ : B∗ → I ⊂ D ¥ como: τ ( f ) = f ( xn ) n∈¥ Proposición a.3 (Teorema de Rierz) Sea X compacto y si llamamos C ( X ) = { f : X → ¡ , continuas} su dual C ∗ ( X ) = {ϕ : C ( X ) → ¡ , continuas y lineales} , para toda ϕ ∈ C ∗ ( X ) existe una - 135 - Análisis Real Apéndice - 136 - única medida µ (medida signada) en ( X ,B ) con B la sigma álgebra de Borel, tal que: ϕ ( f ) = ∫ f dµ ∀f ∈ C ( X ) X además si ϕ ≥ 0 (ϕ ( f ) ≥ 0 ∀f tal que f ≥ 0 ) entonces µ es una medida y ϕ (1) = 1 ⇒ µ ( X ) = 1 (Donde 1 ∈ C ( X ) es una función idénticamente 1). Si X es compacto C ( X ) es separable. Proposición a.4 Sea X compacto y T : X ↵ continua entonces M T ( X ) ≠ φ Demostración Consideremos el siguiente conjunto: P = {ϕ ∈ C ∗ ( X ) : ϕ (1) = 1, ϕ ( f ) ≥ 0 si f ≥ 0} P es convexo ya que, si ψ , ϕ ∈ P entonces: λψ + (1 − λ ) ϕ ∈ C ∗ ( X ) ∀λ ∈ [ 0,1] porque λψ + (1 − λ ) ϕ ≥ 0 y además λψ (1) + (1 − λ )ϕ (1) = λ + (1 − λ ) = 1 . ≥0 ≥0 ∗ P es compacto ( ω compacto ) (secuencialmente compacto) entonces para eso vemos que P ⊂ B ∗ secuencialmente y que P es ω ∗ − cerrado Sea ϕ ∈ P ϕ = µ ( X ) = 1 ⇒ ϕ ∈ B ∗ ω Sea (ϕ n ) ⊂ P tal que ϕ n → ϕ entonces: ∀f continua ϕ n ( f ) →ϕ ( f ) ∗ y como ϕ n ( Id ) = 1 ∀n ⇒ ϕ (1) = 1 y f ≥ 0 ⇒ ϕ ( f ) ≥ 0 implica que ϕ ∈ B ∗ es acotado ⇒ ϕ continua. Observación a.1 Sea F : D → P definida como: F (ϕ )( f ) = ϕ ( f o T ) Supongamos que ϕ ∗ es tal que F (ϕ∗ ) = ϕ∗ es decir: ϕ ∗ ( f o T ) = ϕ ∗ ( f ) ∀f ∈ C ( X ) P Si f = χ A se tiene: ∫ X f o T d µ = ∫ f dµ ∀ f ∈ C ( X ) X ∫ X χ A o T dµ = ∫ χ A d µ X como χ A o T = χ T −1 ( A) se tiene: - 136 - entonces ϕ n ( f ) ∈ B∗ Análisis Real Teoría Ergódica ∫ X - 137 - χT −1 ( A) d µ = µ ( A) P µ (T ( A ) ) = µ ( A ) . Veamos que F tiene un punto fijo • F es lineal ya que: F (αϕ + βψ ) = (αϕ + βψ )( f o T ) = αϕ ( f o T ) + βψ ( f o T ) = −1 = α F (ϕ ) + β F (ψ ) . ∗ • F es ω continua. ω∗ → ϕ ∗ entonces: Sea ϕ n tal que ϕ n → ϕ ∗ ( f o T ) = F (ϕ ∗ ) F (ϕ n )( f ) = ϕ n ( f o T ) ⇒ continua Sea ϕ n = ϕ cualquiera ∈ P n −1 1 n ∑F i (ϕ ) ∈ P por ser convexo, existe una subsucesión que seguimos 0 llamando ϕ n tal que ϕ n → ϕ ∗ ∈ P y por la continuidad de F F (ϕ n ) → F (ϕ ∗ ) y de la linealidad de F F (ϕ n ) = 1 n ∑ F i+1 (ϕ ) = ϕ n − ϕnn + F n (ϕ ) n → F (ϕ n ) si F n (ϕ ) n →0 F n (ϕ ) 1 n = n F (ϕ ) n 1 n F n (ϕ )( f ) ≤ 1 n F n (ϕ ) ⋅ f ≤ ≤1 f →0 n Lema a.5 (Ergódico maximal) Sea f ∈ L1 ( µ ) y T : X ↵ que preserva medida n consideremos el conjunto E ( f ) = x : supn≥ 0 ∑ f o T j > 0 entonces: j=0 ∫ f dµ ≥ 0 E( f ) Demostración Para cada x definimos: n f n ( x ) = max f ( x ) , f ( x ) + f (T ( x ) ) ,..., ∑ f ( T j ( x ) ) j=0 Llamemos En = { x : f n ( x ) > 0} como f n Z⇒ En ⊂ En +1 y por definición E ( f ) = U En es decir En Z E ( f ) , y sea f n = f χ En entonces f n Z f χ E ( f ) ∈ L1 por n∈¥ convergencia monótona ∫ X f n dµ → ∫ f χ E ( f )dµ X - 137 - Análisis Real Apéndice Si probamos que ∀n ∈ ¥, Y como ∫ X ∫ X - 138 - f n dµ ≥ 0 ⇒ ∫ f χ E ( f ) d µ = ∫ E( f ) X f n dµ = ∫ f χ En dµ = ∫ f dµ Probaremos que X En ∫ f dµ ≥ 0 f dµ ≥ 0 En Afirmación 1 Si f n o T ≥ 0 ⇒ f n o T + f ≥ f n ∀n Demostración de la afirmación, observemos que ∀m tal que 0 ≤ m ≤ n se tiene: m fn ( x ) ≥ ∑ f o T j ( x) j =0 de donde m m +1 j =0 j =0 f n ( T ( x ) ) + f ( x ) ≥ ∑ f o T j +1 ( x ) + f ( x ) = ∑ f o T j ( x ) ∀m = 0,1,..., n entonces en particular m +1 f n ( T ( x ) ) + f ( x ) ≥ max ∑ f o T j ( x ) = f n+1 ( x ) ≥ f n ( x ) 0≤ m ≤ n j =0 o sea f n (T ( x ) ) + f ( x ) ≥ f n ( x ) cuando f n ( T ( x ) ) + f ( x ) ≥ f ( x ) ⇒ f n (T ( x ) ) ≥ 0 lo que prueba la afirmación. Afirmación 2 Si f n ( x ) ≥ 0 y f n o T ( x ) < 0 ⇒ f n ( x ) = f ( x ) n Demostración de la afirmación 2. Como 0 > f n o T ( x ) ≥ ∑ f o T j +1 ( x ) entonces j=0 para los distintos valores de n se tiene: f (T ( x ) ) < 0 f (T ( x ) ) + f (T 2 ( x ) ) < 0 M M <0 f (T ( x ) ) + f (T 2 ( x ) ) ... + f (T m ( x ) ) < 0 entonces n f n ( x ) = max f ( x ) , f ( x ) + f (T ( x ) ) ,..., f ( x ) + ∑ f o T j ( x ) = f ( x ) 144424443 j =1 <0 14444 42444443 <0 lo que prueba la afirmación 2. f dµ ≥ 0 alcanza con probar que ∫ f dµ ≥ 0 Para probar que ∫ { f n >0} ∫{ f n ≥ 0} { f n ≥0} f dµ = ∫ { f n ≥ 0}I{ f n oT < 0} f dµ + ∫ { f n ≥ 0}I{ f n oT ≥ 0} f dµ y como por la afirmación 1 f ≥ f n − f n o T siempre que f n o T ≥ 0 y por la afirmación 2 f n = f si f n ≥ 0 y f n o T < 0 se tiene entonces sustituyendo en la anterior igualdad: - 138 - Análisis Real ∫{ f n ≥ 0} Teoría Ergódica - 139 - f dµ ≥ ∫ f dµ + ∫ f dµ − ∫ f n o T dµ { f n ≥ 0}I{ f n oT < 0} n { f n ≥ 0}I{ f n oT ≥ 0} n 1444444444444444 42444444444444444 43 { f n ≥ 0}I{ f n oT ≥ 0} P ∫{ Además como T preserva medida ∫{ f n ≥ 0} f n ≥ 0} ∫{ f n dµ − ∫ f { f n ≥0}I{ f n oT ≥0} n f n ≥ 0} f dµ ≥ ∫ T −1 ({ f n ≥ 0}) f n dµ = ∫ T −1 ({ f n ≥ 0} ) oT f n o T dµ y sustituyendo f n o T dµ − ∫ f { f n ≥ 0}I{ f n oT ≥ 0} n o T dµ y como T −1 ({ f n ≥ 0}) = { f n o T ≥ 0} ⊃ { f n ≥ 0} I { f n o T ≥ 0} luego: ∫{ f n ≥ 0} f dµ ≥ ∫ f { f n oT ≥ 0} n o T dµ − ∫ f { f n ≥ 0}I{ f n oT ≥ 0} n o T dµ ≥ 0 como se quería probar. Como corolario de este lema tenemos: Corolario a.6 Para todo A ⊂ E ( f ) tal que T −1 ( A) = A (medible e invariante) se tiene que ∫ f dµ ≥ 0 A Demostración E ( f χ A ) = A ya que: ∑ j ( f χ A o T j ) = ∑ j ( f o T j )χT − j ( A) = ∑ j ( f o T j )χ A y entonces { } E ( f χ A ) = x : sup ∑ j ( f o T j ) χ A > 0 = A Proporción a.7 (Teorema de Birkhoff) Sea ( X ,M , µ ) un espacio de probabilidad T : X ↵ que preserva µ entonces n −1 1 µ x : lim n ∑ f o T j ( x ) ∃ = 0 ∀f ∈ L1 ( µ ) n j =0 Demostración Definimos: n Eα+ ( f ) = x : lim n1+1 ∑ f o T j ( x ) > α j =0 n 1 E ( f ) = x : lim n +1 ∑ f o T j ( x ) < α j=0 Sea (α n ) una sucesión real tal que (α n ) = ¡ entonces: − α - 139 - Análisis Real Apéndice - 140 - n n + − j j 1 1 : lim lim x f o T > n +1 ∑ n +1 ∑ f o T = U Eα n I Eα m j=0 j=0 α n >α m queremos probar que µ ( Eα+ I Eβ− ) = 0 ∀α > β Afirmación ∫ Eα+ ( f ) f ≥ αµ ( Eα+ ( f ) ) y ∫ E β− ( f ) f ≤ βµ ( Eβ− ( f ) ) Observemos primero que: 1) Eβ− ( f ) = E−+β ( − f ) 2) Eα+ ( f ) = E0+ ( f − α ) Demostración de la afirmación ∫ + f dµ = ∫ ( f − α )d µ + αµ ( Eα+ ( f ) ) = =∫ ( f − α )d µ + αµ ( Eα+ ( f ) ) Eα ( f ) Eα+ ( f ) E0+ ( f −α ) para probar la afirmación entonces alcanza con probar que ∫ E0+ ( f −α ) ( f − α )d µ ≥ 0 y para eso aplicamos el corolario del Lema: como E0+ ( f − α ) ⊂ E ( f − α ) y T −1 ( E0+ ( f − α ) ) = E0+ ( f − α ) ya que: T −1 ( E0+ ( f − α ) ) = { x : T ( x ) ∈ E0+ ( f − α )} = n −1 = x : lim 1n ∑ f o T j +1 − α > 0 = j=0 →0 →1 } } n f ( x) + j n +1 1 = x : lim E o − − α > 0 f T = E0 ( f − α ) n n +1 ∑ nF F E j=0 y por el corolario del lema ∫ + f −α ≥ 0 E0 ( f −α ) Más aun si A ⊂ E ( f ) y T −1 ( A) = A entonces: + α ∫ A f ≥ αµ ( A ) aplicamos el corolario del Lema para el caso A ⊂ Eα+ ( f ) = E0+ ( f − α ) ⊂ E ( f − α ) ⇒ ∫ f −α ≥ 0 A ∫ A P f − αµ ( A) análogamente con la otra desigualdad: − −1 ∫ f ≤ βµ ( A ) ∀A ⊂ Eβ ( f ) y T ( A) = A A - 140 - Análisis Real Teoría Ergódica - 141 - Sea α > β y consideremos A = Eα+ ( f ) I Eβ− ( f ) tenemos que ver que T −1 ( A) = A pero como cada uno es invariante ⇒ la intersección también, entonces: βµ ( A ) ≥ ∫ f ≥ αµ ( A ) A pero como α > β tiene que ser µ ( A ) = 0 luego µ ( Eα+ ( f ) I Eβ− ( f ) ) = 0 n −1 Corolario a.8 Si f ∈ Lp sea fˆ ( x ) = lim n1 ∑ f o T j ( x ) llamado promedio de n Birkhoff, entonces fˆ ∈ Lp y fˆ p ≤ f p j =0 . p Demostración Hay que probar que fˆ ∈ L1 Observamos que fˆ ( x ) = lim n1 n n −1 ∑ f (T j=0 j ( x ) ) ≤ lim n n −1 1 n ∑ j=0 f o T j ( x ) c.t.p. − µ y este último límite existe por el Teorema de Birkhoff entonces: p n−1 fˆ ( x ) ≤ lim 1n ∑ f o T j ( x ) n j =0 p (1) p como fˆ ( x ) es una función positiva, para probar que es integrable basta con mostrar que el límite de la derecha define una función integrable, lo que por el Lema de Fatou se reduce a mostrar que: p n −1 lim ∫ n1 ∑ f o T j dµ < ∞. n j =0 Más p 1 n −1 f oT j dµ = ∫X n ∑ j =0 p n −1 1 n ∑ j =0 p f oT ≤ j p p n−1 n−1 p ≤ 1n ∑ f o T j p = 1n ∑ f p = f p j=0 j=0 j donde en la última igualdad usamos que f o T p = f p porque T j preserva medida. Por tanto el límite de la derecha en (1) define una función integrable con p p integral ≤ f p esto muestra que fˆ es integrable y que su integral también es ≤ f p p lo que implica que fˆ ∈ Lp y que: - 141 - Análisis Real Apéndice fˆ p ≤ f - 142 - p Corolario a.9 Si f ∈ Lp con 0 ≤ p ≤ ∞ entonces: n −1 fˆ − 1n ∑ f o T j →0 j =0 p Demostración Consideremos primero el caso p = ∞ entonces si f ∈ L∞ ⇒ p n −1 j ˆf ≤ lim 1 n n ∑ f oT ≤ j =0 p p n −1 n−1 ≤ lim 1n ∑ f o T j ∞ ≤ lim 1n ∑ f n n j = 0 144424443 j=0 = f ∞ p = f ∞ p ∞ entonces p p p n −1 ˆ 1 n−1 ˆ j j 1 ˆf − 1 f T f f T f f T o ≤ + o ≤ + o ≤ ∑ ∑ ∑ n n n ∞ j=0 j=0 j=0 ∞ p n − 1 p p p p p −1 ˆ j 1 ≤ 2 f + n ∑ f o T ∞ ≤ 2 p−1 f ∞ + f ∞ = 2 p f ∞ ∞ j = 0 144424443 = f ∞ n −1 j ( n −1 por lo tanto como la sucesión fˆ − 1n ∑ f o T j ) p esta dominada por una constante, j =1 luego por el teorema de convergencia dominada su integral converge a cero, lo que prueba el corolario para el caso f ∈ L∞ . • Sea ahora f ∈ Lp con 0 ≤ p < ∞ . Como L∞ = Lp ⇒ ∃f 0 ∈ L∞ tal que n −1 p < ε ′ entonces: n −1 fˆ − 1n ∑ f o T j j =0 f − f0 p ≤ fˆ − fˆ0 + fˆo − 1n ∑ f 0 o T j + 144424443p j =0 14444444244444443p <ε 3 1 n n −1 n−1 j j ∑ f0 o T − ∑ f o T j =0 j =0 →0 y como: fˆ − fˆ0 p = · f − f0 p ≤ f − f0 ∞ y por ser f 0 ∈ L tenemos que: - 142 - p < ε′ 3 p Análisis Real Teoría Ergódica n −1 fˆ0 − 1n ∑ f 0 o T j j=0 y el último sumando n −1 n−1 j 1 f o T − f oT j ∑ n ∑ 0 j =0 j =0 ≤ n −1 1 n ∑ j =0 - 143 - →0 p n −1 = 1 n p ∑( f j =0 j =0 − f )oT j ≤ p n −1 ( f 0 − f ) o T j p = 1n ∑ f 0 − f 0 p = f0 − f p < ε′3 Corolario a.10 Si f ∈ Lp con 0 ≤ p ≤ ∞ para c.t.p. fˆ o T = fˆ Demostración n −1 n −1 fˆ (T ( x ) ) = lim n1 ∑ f (T j ( T ( x ) ) ) = lim 1n ∑ f (T j +1 ( x ) ) = n n j =0 j =0 n n = lim 1n ∑ f o T j ( x ) = lim nn+1 n1+1 ∑ f o T j ( x ) − 1n f ( x ) = fˆ ( x ) 1442443 n n { j =1 j =0 →1 144444 →0 424444443 → fˆ ( x ) Corolario a.11 En las mismas hipótesis que el corolario anterior, entonces ∫ fˆ dµ = ∫ f dµ X X Demostración n −1 1 n ∑ f oT j L1 → fˆ j =0 lo que implica ∫ n −1 ˆ 1 n−1 j j ˆ−1 f − f o T d µ ≤ f n∑ n ∑ f o T dµ → 0 ∫ j=0 j=0 o sea ∫ n −1 fˆ − n1 ∑ ∫ 14 f 424 o T43j → 0 j=0 =f es decir que ∫ fˆ − ∫ f →0 ⇒ no depende de n ∫ fˆ − ∫ f por lo tanto en casi todo punto vale ∫ X fˆ dµ = ∫ f dµ X - 143 - =0 Análisis Real Apéndice - 144 - - 144 - Índice alfabético Álgebra de conjuntos 3 Borel medible 30 Casi todo punto 39 Cauchy en medida 66 Clase monótona 108 Clase monótona generada 108 Completa 14 Completación 15 Conjunto Fσ 126 Conjunto Gδ 126 Conjunto de Cantor 24 Continuidad absoluta del integral 78 Convergencia casi uniformemente 63 Convergencia en L1 63 Convergencia en casi todo punto 63 Convergencia en medida 63 Convergencia puntual 63 Convergencia uniforme 63 Derivada de Radon-Nikodin 93 Descomposición canónica 102 Descomposición de Hahn 88 Descomposición de Jordan 88 Desigualdad de Hölder 73 Desigualdad de Jensen 71 Desigualdad de Markov 76 Desigualdad de Minkowski 74 Equicontinua superiormente al vacío 78 Espacio de medida completa 14 Espacio Dual 132 Espacio normado L1 ( µ ) 52 Espacio normado 52 Espacio seminormado 52 Espacios Lp 69 Extensión de medida 11 - 145 - Exteriormente regular 121 Fórmula integral por puntos 131 Función absolutamente continua 101 Función característica 35 Función continua con soporte compacto 118 Función convexa 71 Función elemental 36 Función elemental de conjuntos 10 Función indicadora 35 Función inegrable 39 Función medible 29 Función notable de CantorLebesgue 27 Función simple 36 Funcional lineal positiva 120 Funciones complejas 51 Integral de funciones cualesquiera 49 Integral de Riemann vs Integral de Integral indefinida de Lebesgue 100 Interiormente regular 121 L+ ( X ,M ) 34 Lebesgue 60 Lebesgue medible 30 Lema de Fatou 48 Lema de la clase monótona 108 Lema de Riez 96 Lema de Urysohn para LCH 118 Lema Ergódico maximal 135 Localmente compacto 117 Medible en un conjunto E 32 Medida absolutamente continua respecto de otra 89 Medida con signo 85 Medida de Borel 17 Medida de Borel-Stieljes 20 Medida de Dirac 22 Medida de Lebesgue 22 Medida de Radon 121 Medida exterior 8 Medida finita 6 Medida inducida 10 Medida nula 14 Medida producto 107 Medida singular respecto de otra 88 µ − integrables 49 8 µ ∗ − medible µ − negativo 86 µ − nula 86 µ − positivo 86 Mutuamente singulares 88 Norma operador 132 Norma p 70 Partición de la unidad 119 Premedida 6 Pull-back 31 Pull-forward 31 Puntos invisibles por derecha 95 Puntos invisibles por izquierda 95 Rectángulo medible 105 Regular 121 σ − álgebra 4 σ − álgebra de Borel 6 σ − álgebra de Lebesgue 22 σ − álgebra generada 5 σ − álgebra inicial 32 σ − finita 6 Seminorma 52 Soporte de una función 118 Teorema de aproximación 16 Teorema de Birkhoff 137 Teorema de convergencia dominada 54 Teorema de convergencia monótona (Beppo Levi) 45 Teorema de descomposición de Jordan 88 Teorema de Egoroff’s 67 Teorema de extención de Títese para LCH 118 Teorema de Fubini 1 109 Teorema de Hahn-Jordan 86 Teorema de Lusin 129 Teorema de Radon-NikodinLebesgue 89 Teorema de recurrencia de Poincaré 131 Teorema de Representación de Riez 121 Teorema de Rierz 133 Teorema de Tarsk 3 Teorema de Tonelli-Fubini 110 Teorema de Vitali 78 Transformación que preserva medida 131 Uniformemente absolutamente continua 77 Variación negativa 88 Variación positiva 88 Variación total 89 x-sección de f 112 y-sección de f 112 - 146 -