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Análisis Real
ii
Indice
Capítulo 1 Medida
1
Teorema de Tarski.....................................................................................
σ − álgebra.................................................................................................
σ − álgebra generada...........................................................................
σ − álgebra de Borel............................................................................
Premedida...................................................................................................
Medida σ − finita......................................................................................
Medida finita..............................................................................................
Medida exterior..........................................................................................
µ ∗ − medibl................................................................................................
Función elemental de conjuntos ................................................................
Medida inducida.........................................................................................
Extensión de una medida............................................................................
Medida nula................................................................................................
Espacio de medida completo......................................................................
Completación..............................................................................................
Teorema de aproximación..........................................................................
Medida de Borel.........................................................................................
Medida de Borel-Stieljes............................................................................
σ − álgebra de Lebesgue............................................................................
Medida de Lebesgue...................................................................................
Medida exterior de Lebesgue.....................................................................
Medida de Dirac.........................................................................................
Conjunto de Cantor.....................................................................................
Función notable de Cantor-Lebesgue.........................................................
3
4
5
6
6
6
6
8
8
10
10
11
14
14
15
16
17
20
22
22
22
22
24
27
Capítulo 2 Funciones medible
Función medible.........................................................................................
Borel medible.............................................................................................
Lebesgue medible.......................................................................................
Pull-back.....................................................................................................
- iii -
29
30
30
31
Pull-forward................................................................................................
Medible en E...............................................................................................
σ − álgebra inicial.......................................................................................
L+ ( X ,M ) ..................................................................................................
Función característica................................................................................
Función Simple...........................................................................................
Función elemental.......................................................................................
Teorema de caracterización de L+ ..............................................................
31
32
32
34
35
36
36
36
Capítulo 3 Integración
Propiedad definida en casi todo punto........................................................
Función integrable......................................................................................
Teorema de convergencia monótona (Beppo Levi)....................................
Lema de Fatou............................................................................................
Integral de funciones cualesquiera..............................................................
µ − integrables.............................................................................................
Funciones complejas...................................................................................
Seminorma..................................................................................................
Espacio seminormado................................................................................
Espacio normado........................................................................................
Espacio normado L1 ( µ ) .............................................................................
Teorema de convergencia dominada..........................................................
Integral de Riemann Vs Integral de Lebesgue............................................
39
41
45
48
49
51
51
52
52
52
52
54
60
Capítulo 4 Modos de convergencia y espacios Lp
Convergencia puntual................................................................................
Convergencia uniforme.............................................................................
Convergencia en casi todo punto...............................................................
Convergencia casi uniforme.. ...................................................................
Convergencia en medida...........................................................................
Convergencia en L1 ...................................................................................
Cauchy en medida.....................................................................................
Teorema de Egoroff’s................................................................................
Espacios Lp ................................................................................................
Norma p......................................................................................................
- iv -
63
63
63
63
63
63
66
67
69
70
Función convexa.........................................................................................
Desigualdad de Jensen................................................................................
Desigualdad de Hölder...............................................................................
Conjugados.................................................................................................
Desigualdad de Minkowki.........................................................................
Desigualdad de Harkov..............................................................................
Uniformemente absolutamente continua...................................................
Equicontinua superiormente al vacío.........................................................
Continuidad absoluta del integral...............................................................
Teorema de Vitali.......................................................................................
71
71
73
73
74
76
77
78
78
78
Capítulo 5 Medida signada, integración y derivación
Medida con signo....................................................................................... 85
µ − positivo................................................................................................ 86
µ − negativo............................................................................................... 86
µ − nulo...................................................................................................... 86
Teorema de Hahn-Jordan........................................................................... 86
Descomposición de Hahn.......................................................................... 88
Medidadas mutuamente singulares............................................................ 88
Teorema de descomposición de Jordan..................................................... 88
Variación positiva , variación negativa...................................................... 88
Descomposición de Jordan......................................................................... 88
Variación total............................................................................................ 89
Medida absolutamente continua respecto de otra...................................... 89
Teorema de Radon-Nikodin-Lebesgue...................................................... 89
Teorema de Radon Nikodin....................................................................... 93
Puntos invisibles por derecha y por izquierda............................................. 95
Lema de Riez............................................................................................... 96
Integral indefinida de Lebesgue.................................................................. 100
Función absolutamente continua................................................................. 101
Descomposición canónica........................................................................... 102
Capítulo 6 Medida Producto
Rectángulos medibles................................................................................. 107
Medida producto......................................................................................... 107
-v-
Clase monótona.......................................................................................... 108
Clase monótona generada........................................................................... 108
Lema de la clase monótona......................................................................... 108
Teorema de Fubini...................................................................................... 109
x-sección de f.............................................................................................. 112
y-sección de f.............................................................................................. 112
Teorema de Tonelli-Fubini......................................................................... 112
Formula integral por partes......................................................................... 115
Capítulo 7
Espacio topológico localmente compacto................................................... 117
Soporte de una función................................................................................ 118
Funciones continuas con soporte compacto................................................ 118
Lema de Urysohn para LCH....................................................................... 118
Teorema de extención de Títese para LCH................................................. 118
Partición de la unidad ................................................................................. 119
Funcional lineal positiva............................................................................. 120
Medida exteriormente regular..................................................................... 121
Medida interiormente regular...................................................................... 121
Medida regular............................................................................................ 121
Medida de Radon........................................................................................ 121
Teorema de representación de Riez............................................................ 121
Conjunto Fσ ................................................................................................ 126
Conjunto Gδ ................................................................................................ 126
Teorema de Lusin........................................................................................ 129
Apéndice
Teoría Ergódica
Transformación que preserva medida......................................................... 133
Teorema de recurrencia de Poincaré........................................................... 133
Espacio dual................................................................................................ 135
Norma operador........................................................................................... 135
Teorema de Riez.......................................................................................... 135
Lema Ergódico maximal ............................................................................ 137
Teorema de Birkhoff................................................................................... 139
- vi -
Capítulo 1
Introducción
Un problema que se nos presenta en geometría es el de determinar el área o volumen
a una región del plano o el espacio. La técnica de integración es una herramienta
satisfactoria para solucionar dicho problema en regiones con borde pero es
inadecuado para regiones más complicadas.
Queremos definir una función µ que a cada conjunto E ⊂ ¡ n con n ∈ ¥ asigna un
número µ ( E ) ∈ [ 0, +∞ ) , que llamamos n-dimensional medida de E , tal que µ ( E ) se
da por la integral usual cuando E es un conjunto con borde.
Así como la integral cumple con algunas propiedades fundamentales pretendemos
que esta función cumpla con las mismas. Es decir:
i) Si E1 , E2 ,..., Er ,... con Ei ⊂ ¡ n ∀i entonces:
∞  ∞
µ  U Ei  = ∑ µ ( Ei )
 i =1  i =1
Aunque más adelante definiremos en forma precisa, por ahora decimos que si la
secuencia de conjuntos es finita, µ es aditiva y si es infinita decimos que µ es
σ − aditiva .
ii) Si E es congruente con F ( eso es si E se puede obtener por medio de una
traslación, rotación o simetría de F ) entonces:
µ (E) = µ (F )
Decimos que µ es invariante por isometrías.
iii) µ ( Q ) = 1 siendo Q el cubo unidad o sea:
Q = { x ∈ ¡ n : 0 ≤ x j < 1 para j = 1,..., n}.
Lamentablemente estas propiedades son inconsistentes. Veamos por ejemplo para
n = 1 (un razonamiento similar se utiliza para dimensiones mas grandes). Para
empezar definimos en [ 0,1) una relación de equivalencia por:
x : y ⇔ ∃m, n ∈ ¢ tal que x − y = m + nα con α ∈ ¡ \ ¤
-1-
Análisis Real
Capítulo 1
-2-
Así las clases son de la forma { y + nα ( mod1) : n ∈ ¢}
Sea C el conjunto que tiene exactamente un punto en cada clase de equivalencia (se
puede por el axioma de elección).
Para cada entero n definimos:
Cn = C + nα ( mod1)
Supongamos que existe una función µ : P ( ¡ ) → [0, +∞ ) que cumpla las
propiedades i), ii) y iii) precedentes.
Por i) y ii) se tiene que si:
a) U Cn = [ 0,1)
n∈¢
b) Cn I Cn ' = φ si n ≠ n ' entonces:


µ ([ 0,1) ) = µ  U Cn  = ∑ µ (C n ) = ∑ µ (C )
 n∈¢  n∈¢
n∈¢
Pero µ ([ 0,1) ) = 1 mientras que ∑ µ ( C ) = 0 si µ ( C ) = 0 o ∞ si µ ( C ) > 0 , luego no
n∈¢
existe dicha función µ que cumpla tales propiedades.
Falta demostrar que se cumplen a) y b)
a) Si x ∈ [ 0,1) ⇒ ∃x1 ∈ C tal que x : x1 ⇒ x = x1 + m + nα con m,n ∈ ¢
entonces:
x = x1 + nα ( mod1) ⇒ x ∈ C
b) Sea n ≠ n ' , x ∈ Cn I Cn ' entonces:
∃x1 , x2 ∈ C , m y m ' ∈ ¢ tal que
x = x1 + nα + m = x2 + n 'α + m '
luego
x1 − x2 = ( n '− n )α + ( m '− m ) ⇒ x1 : x2
1442443
1442443
∈¢
∈¢
Pero de acuerdo a como se definió C tiene que ser x1 = x2 y entonces:
n − n'
0 = ( n '− n )α + ( m '− m ) ⇒ α =
∈¤
m '− m
Y esto es absurdo por ser el α irracional por hipótesis.
Luego se cumple que Cn I Cn ' = φ si n ≠ n '.
No es posible entonces definir una medida en todos los subconjuntos de ¡ n de
modo que valga uno (o algo finito) en el cubo unidad σ − aditiva e invariante por
isometrías.
Si a la función µ le pedimos que sea solo aditiva tampoco se puede definir una
medida consistente, por el teorema de Tarski,
-2-
Análisis Real
Medida
-3-
Teorema de Tarski Sean A, B ∈ ¡ n con n ≥ 3 no vacíos, abiertos y acotados
entonces existen k ∈ ¥ y E1 , E2 ,..., Ek partición del conjunto A y F1 , F2 ,..., Fk
partición de B tal que cada Ei es congruente con Fi ∀i = 1,..., k .
De esta forma a partir de una naranja podemos dividirla en un número finito de
partes tales que se pueden reestructurar para formar la tierra. Este teorema es
equivalente al axioma de elección. La dificultad radica en que ¡ n contiene
subconjuntos donde no se puede definir geométricamente una medida razonable.
Para remediar esto solo definimos medida para una clase de subconjuntos de ¡ n .
σ -álgebras
Definición 1.1 Sea X un conjunto no vacío, sea P ( X ) el conjunto de partes de X:
Se dice que A ⊆ P ( X ) es un álgebra de subconjuntos de X si es una familia no
vacía de subconjuntos de X cerrada por complementos y por uniones finitas es decir;
A ≠ φ y:
i) Si E ∈A ⇒ E C ∈ A
ii) Si E , F ∈A ⇒ E U F ∈A
Observación 1.1 a)Si E1 , E2 ,..., En ∈A ⇒ U Ei ∈A se justifica por inducción.
n
i =1
b) X ∈A ya que si E ∈A ⇒ E ∈A y entonces X = E U E C ∈A.
c) φ ∈A por la parte anterior X ∈A ⇒ φ = X C ∈A.
C
d) Si E , F ∈A ⇒ E I F ∈A ; ya que E I F = ( EC U F C ) , además se justifica
C
por inducción que si E1 , E2 ,..., En ∈A ⇒ I Ei ∈A
n
i =1
e) Si E , F ∈A ⇒ E \ F ∈A ; ya que E \ F = E I F C .
Ejemplo 1.Sea X un conjunto cualquiera entonces el propio P ( X ) es un álgebra de
subconjuntos de X.
Ejemplo 1.2 A = { X , φ } ⊂ P ( X ) es un álgebra de subconjuntos de X.
Observación 1.2 Si tenemos dos álgebras A1 ,A2 entonces A1 I A2 es también
un álgebra; y generalizando por inducción si {Ai }i∈¥ es una familia de álgebras
entonces A = IAi es un álgebra.
i∈¥
-3-
Análisis Real
Capítulo 1
-4-
Ya que si E ∈A ⇒ E ∈Ai ∀i ∈ ¥ ⇒ E C ∈Ai ⇒ E C ∈A análogamente con la
unión.
Observación 1.3 Sea S ⊂ P ( X ) notamos como a (S ) al álgebra generada por
S y es la menor álgebra que contiene a la familia S.
n

Ejemplo 1.3 Sea I = {( a, b ] : −∞ ≤ a ≤ b ≤ +∞} y sea C = U I k : I k ∈I  se tiene
 k =1

que a (I ) = C
Demostración Si E ∈C ⇒ E = U I k′ con los I k′ disjuntos ∈S , lo que se prueba
m
k =1
por inducción. Supongamos que se cumple para un cierto m entonces:
I m+1
m +1
m
k =1
k =1
E = U I k = U I k U I m+1
I k′
estos se pueden escribir como unión de disjuntos
Luego sustituyendo:
m′
E = U I k′ U I m +1
k =1
puede suceder que los I k′ sean disjuntos con I m+1 y se termina, o en caso contrario
consideramos I k′ U I m+1 y lo escribimos como la unión de tres intervalos disjuntos,
esto es para todo k, luego uniendo nos queda una unión de intervalos disjuntos.
Definición 1.2 Sea X un conjunto no vacío, se dice que una familia M ⊆ P ( X ) es
una σ - álgebra si M es un álgebra tal que es cerrada por uniones numerables, es
decir:
∞
iii) si ( En )n≥1 ⊆ M ⇒ U En ∈ M
n =1
Observación 1.4 M es cerrada respecto a intersecciones numerables, ya que:
Si ( An )n∈¥ ⊆ M ⇒ ( A
)
C
n n∈¥
C
∞
∞

⊆ M ⇒ U A ∈ M ⇒  U AnC  ∈ M y:
 n =1 
n =1
C
∞
∞


An =  U AnC 
I
 n=1 
n =1
C
n
-4-
Análisis Real
Medida
-5-
Observación 1.5 Si tenemos una familia de σ − álgebras {Mi }i∈I ⇒ IMi es una
i∈I
σ − álgebra.
Observación 1.6 Sea M ⊆ P ( X ) una σ − álgebra sobre X, entonces:
M es una σ − álgebra ⇔ Si M es un álgebra y para toda sucesión
( An )n∈¥ ⊆ M tal que Ai I A j = φ si i ≠ j se tiene que U An ∈ M . Lo que estamos
n∈¥
afirmando es que para probar la propiedad iii) de σ − álgebra alcanza con hacerlo
para uniones disjuntas.
Demostración ⇒ es obvio.
n −1
⇐ Si ( Bn )n∈¥ ⊆ M entonces la sucesión ( An )n∈¥ con An = Bn \ U B j es disjunta y
j =1
además ( An )n∈¥ ⊆ M por ser M un álgebra y utilizando la observación 1.1 a) y e)
n −1
n −1
j =1
j =1
se tiene que si B j ∈ M ∀j = 1,..., n − 1 ⇒ U B j ∈ M y An = Bn \ U B j ∈ M entonces
por hipótesis
UA
n∈¥
n
∈ M pero por construcción
UA = UB
n∈¥
n
n∈¥
n
, luego
UB
n∈¥
n
∈ M.
Definición 1.3 Sea S ⊂ P ( X ) , notamos por σ (S ) y llamamos σ - álgebra
generada por S a la menor σ − álgebra que contiene a S .
Ejemplo 1.4 El propio P ( X ) es una σ − álgebra.
Ejemplo 1.5 La familia M = { X , φ } es una σ − álgebra.
Ejemplo 1.6 Sea X = {ω1 ,ω 2 ,...,ω n ,...} conjunto numerable.
Consideremos S = {{ω1} , {ω 2 } ,...,{ω n } ,...} entonces σ (S ) = P ( X ) .
Ejemplo 1.7 Sea X = ¡ y S = {{ x} : x ∈ ¡} entonces [ 0,1] ∉ σ (S )
Ejemplo 1.8 Sea M = { A ⊂ ¡ : A es numerable o AC es numerable} se tiene que
M es una σ − álgebra , en particular si S ⊂ M ⇒ σ (S ) ⊂ M entonces como
[ 0,1] ∉ M ⇒ [ 0,1] ∉ σ (S ) .
-5-
Análisis Real
Capítulo 1
-6-
Definición 1.4 Sea I = {( a, b ] : −∞ ≤ a ≤ b ≤ +∞}
entonces
σ (I )
es la
σ − álgebra que llamamos σ - álgebra de Borel y notamos como B ( ¡ ) .
Observación 1.7 a) B ( ¡ ) Ø P ( X )
b) Los intervalos abiertos , los intervalos cerrados los semiabiertos, los puntos
pertenecen a B ( ¡ ) . Más en general cualquier abierto pertenece a B ( ¡ ) .
Medida
Definición 1.6 Sea A un álgebra de subconjuntos de X se dice que:
µ : A → [ 0, ∞ )
es una premedida sobre X si:
i) µ (φ ) = 0
ii) Si ( En )n≥1 ⊆ A es tal que Ei I F j = φ para i ≠ j , y
∞
UE
n =1
n
∈A entonces:
∞
 ∞
µ  U En  = ∑ µ ( En )
 n=1  n=1
(se dice que es sigma aditiva, y si las uniones son finitas decimos que es aditiva).
En el caso en que A =M sea una σ − álgebra se dice que µ es una medida
sobre X, y al par ( X ,M ) le llamamos espacio medible, y a la terna ( X ,M , µ )
espacio de medida.
Definición 1.7 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida, si µ ( X ) < ∞, decimos que
µ es una medida finita.
Definición 1.8 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida, si X =
µ ( En ) < ∞ ∀n ∈ ¥ entonces decimos que µ es σ - finita.
Ejemplo 1.9 Sea X un conjunto no numerable
M = { A ⊂ X : A es numerable o AC es numerable}
entonces
0 si E es numerable
µ (E) = 
C
1 si E es numerable
es una medida.
-6-
UE
n∈¥
n
, con
Análisis Real
Medida
-7-
Ejemplo 1.10 Sea # X = ∞ y M = P ( X ) entonces:
0 si # E es finita
µ (E) = 
∞ en otro caso
es una medida.
Proposición 1.1 Dado el espacio de medida ( X ,M , µ ) entonces se cumplen las
siguientes propiedades:
i) Si E , F ∈ M con E ⊆ F ⇒ µ ( E ) ≤ µ ( F ) (monotonía).


ii) Si { Ei }i∈¥ ⊆ M ⇒ µ  U Ei  ≤ ∑ µ ( Ei ) (subaditividad numerable).
 i∈¥  i∈¥
iii) Si { Ei }i∈¥ ⊆ M sucesión monótona creciente, E1 ⊂ E2 ⊂ ... ⊂ En ⊂ ... entonces:


µ  U En  = lim µ ( En )
 n∈¥  n→∞
iv) Si { Ei }i∈¥ ⊆ M sucesión monótona decreciente, E1 ⊃ E2 ⊃ ... ⊃ En ⊃ ... de
conjuntos de medida finita entonces:


µ  I En  = lim µ ( En )
 n∈¥  n→∞
Demostración i) Como F = E U ( E C I F ) y aplicando la propiedad ii) de medida:
µ ( F ) = µ ( E ) + µ ( EC I F ) ≥ µ ( E )
14444244443
≥0
ii) Definimos una sucesión de conjuntos disjuntos dos a dos:


F1 = E1

F2 = E2 \ E1 
∞
∞

M
 ⇒ U Fn = U En
n =1
n =1

n −1
Fn = En \ U Ei 

i =1

M

Como los Fi son disjuntos dos a dos podemos aplicar la propiedad ii) de la
definición de medida.
Fn ⊆ En
}




µ  U En  = µ  U Fn  = ∑ µ ( Fn ) ≤ ∑ µ ( En )
 n∈¥ 
 n∈¥  n∈†
n∈¥
iii) Si ∃n0 ∈ ¥ tal que µ ( En0 ) = ∞ ya está; en otro caso:
-7-
Análisis Real
Capítulo 1
-8-



 ∞
µ  U En  = µ  U ( En \ En−1 )  = ∑ µ ( En \ En−1 ) =
 n∈¥ 
 n∈¥
 n =1
n
n


= lim ∑ µ ( Ei \ Ei −1 ) = lim µ  U ( Ei \ Ei −1 )  = lim µ ( En )
n→∞
n→∞
1444442444443
 n→∞
i =1
i =1
= En
iv) análogamente que el caso anterior.
Las propiedad de monotonía se cumple también si µ es una premedida, y la
propiedad ii) también se cumple pero está sería la subaditividad finita
Medida Exterior
Definición 1.9 Dado un espacio medible ( X ,M ) y la función:
µ ∗ : P ( X ) → [ 0, ∞ ]
se le llama medida exterior si cumple con las siguientes propiedades :
i) µ ∗ (φ ) = 0
ii) Si E ⊆ F entonces µ ∗ ( E ) ≤ µ ∗ ( F )
∞
 ∞ ∗
iii) µ  U En  ≤ ∑ µ ( En )
 n=1  n=1
∗
Definición 1.10 Sea µ ∗ una medida exterior sobre X, decimos que A ⊆ X es
µ ∗ - medible si ∀E ⊆ X se tiene:
µ ∗ ( E ) = µ ∗ ( E I A ) + µ ∗ ( E I AC )
Observación 1.8 Como E = ( E I A ) U ( E I AC ) por la propiedad iii) de medida
exterior se tiene µ ∗ ( E ) ≤ µ ∗ ( E I A ) + µ ∗ ( E I AC ) entonces para demostrar la
igualdad de la definición alcanza con probar:
µ ∗ ( E ) ≥ µ ∗ ( E I A ) + µ ∗ ( E I AC )
Lema 1.2 Sea X un conjunto y µ ∗ una medida exterior definida en él.
Sea M = { A ⊆ X : A es µ ∗ − medible} ⊆ P ( X ) entonces M es una σ − álgebra
Demostración Probemos primero que es una álgebra para lo cual tenemos que
probar:
i) Si A ∈ M ⇒ AC ∈ M
Lo cual se cumple por la simetría de la definición de µ ∗ − medible respecto a AC
-8-
Análisis Real
Medida
-9-
ii) Si A, B ∈ M ⇒ A U B ∈ M
Como A ∈ M ⇒ ∀E ⊆ X se tiene que µ ∗ ( E ) = µ ∗ ( E I A ) + µ ∗ ( E I AC ) y como
B ∈M tomando como E a E I A y a E I AC se tiene:
µ ∗ ( E I A) = µ ∗ ( E I A I B ) + µ ∗ ( E I A I BC )
µ ∗ ( E I AC ) = µ ∗ ( E I AC I B ) + µ ∗ ( E I AC I B C )
luego sustituyendo:
µ ∗ ( E ) = µ ∗ ( E I A I B ) + µ ∗ ( E I A I B C ) + µ ∗ ( E I AC I B ) + µ ∗ ( E I AC I B C ) =
(
= µ ∗ ( E I ( A I B )) + µ ∗ ( E I ( A \ B )) + µ ∗ ( E I ( B \ A)) + µ ∗ E I ( A U B )
(
≥ µ∗ ( E I ( A U B )) + µ∗ E I ( A U B )
C
)
C
)≥
por ser ( A \ B ) U ( B \ A ) U ( A I B ) = A U B y µ subaditiva por ser medida exterior.
∗
En consecuencia si A1 , A2 ,..., An ∈ M ⇒ U Ai ∈ M
n
i =1
Para ver que M es una σ − álgebra vasta probar que es cerrada por uniones
numerables disjuntas, por la observación 1.5.
Sea ( An )n∈¥ ⊆ M una colección disjunta de conjuntos y sea A = U An y sea
n∈†
Bn = U Ai entonces para todo E ⊆ X se tiene:
n
i =1
µ ( E I Bn ) = µ ∗ ( E I Bn I An ) + µ ∗ ( E I Bn I AnC ) = µ ∗ ( E I An ) + µ ∗ ( E I Bn−1 )
∗
= µ ∗ ( E I An ) + µ ∗ ( E I Bn−1 I An−1 ) + µ ∗ ( E I Bn−1 I AnC−1 ) =
= µ ∗ ( E I An ) + µ ∗ ( E I An−1 ) + µ ∗ ( E I Bn−2 ) = ...
M
n
= ∑ µ ∗ ( E I Aj )
j =1
Entonces:
µ ∗ ( E ) = µ ∗ ( E I Bn ) + µ ∗ ( E I BnC )
n
= ∑ µ ∗ ( E I A j ) + µ ∗ ( E I BnC )
j =1
Como Bn ⊂ A ⇒ A ⊂ B ⇒ µ ( E I BnC ) ≥ µ ∗ ( E I AC ) y sustituyendo:
C
C
n
∗
n
µ ∗ ( E ) ≥ ∑ µ ∗ ( E I A j ) + µ ∗ ( E I AC )
j =1
pasando al límite
-9-
Análisis Real
Capítulo 1
- 10 -
∞
µ ∗ ( E ) ≥ ∑ µ ∗ ( E I An ) + µ ∗ ( E I AC )
n =1
∗
y como µ es subaditiva
∞

µ ( E ) ≥ µ  U ( E I An )  + µ ∗ ( E I AC )
 n=1



∞

∗
≥ µ  E I  U An   + µ ∗ ( E I AC )
1442443

n =1



=A
∗
∗
≥ µ ( E I A ) + µ ( E I AC )
∗
∗
luego A∈M.
Lema 1.3 Dada un conjunto X y una familia F ⊆ P ( X ) tal que φ ,X ∈F y sea ρ
una función ρ : F → [ 0, +∞ ] tal que ρ (φ ) = 0 llamada función elemental de
conjuntos se define: µ ∗ : P ( X ) → [ 0, +∞ ] tal que:
∞

µ ∗ ( E ) = inf ∑ ρ ( E j ) : E ⊆ U E j con E j ∈F ∀j ∈ ¥ 
j∈¥
 j =1

∗
entonces µ es una medida exterior y decimos que es inducida por ρ .
Demostración Como i) φ ∈F y φ ⊂ φ ⇒ 0 ≤ µ ∗ (φ ) ≤ ρ (φ ) = 0 ⇒ µ ∗ (φ ) = 0
ii) Si E ⊆ F y F ⊆ U Fi , con Fi ∈F ∀i ∈ ¥ entonces E ⊆ U Fi y por definición:
i∈¥
i∈¥


µ ∗ ( E ) = inf ∑ ρ ( Ei ), E ⊆ U Ei y Ei ∈F 
 i∈¥

i∈¥
pero cada cubrimiento de F lo es también de E entonces:


µ ∗ ( E ) ≤ inf ∑ ρ ( Fi ), E ⊆ F ⊆ U Fi , y Fi ∈F  = µ ∗ ( F )
 i∈¥

i∈¥
∞
∞


iii) Probaremos ahora la subaditividad o sea: µ ∗  U En  ≤ ∑ µ ∗ ( En )
 n=1  n=1
Dado ε > 0 por definición de ínfimo para cada n existe una sucesión de conjuntos
( Fjn ) j∈¥ ⊆ F tal que:
µ ∗ ( En ) +
∞
∞
ε
n
ρ
≥
F
con
E
⊆
Fjn
(
)
∑ j
U
n
2n j =1
j =1
entonces:
- 10 -
Análisis Real
Medida
- 11 -

ε  ∞  ∞
 ∗
µ
E
+
≥ ∑  ∑ ρ ( F jn ) 
(
)

∑
n
n 
2  n =1  j =1
n =1 

∞
∞
∞
∞
 ∞

n 
n
∗
∗
µ
E
+
ε
≥
ρ
F
≥
ρ
F
≥
µ
(
)
(
)
(
)
∑
∑
∑
n
∑
j 
j
 U En 
 n =1 
n =1
n =1  j =1
 n , j =1
∞
∞
ya que
∞
∞
U En ⊆ UU Fjn =
n =1
n =1 j =1
∞
UF
n , j =1
n
j
y luego por ser ε > 0 arbitrario:
∞

∗
∗
µ
E
≥
µ
(
)
∑
n
 U En 
 n=1 
n =1
En el caso en que ρ sea una premedida σ − aditiva , es decir una función que
notaremos por µ 0 definida sobre un álgebra A ; µ 0 : A → [0, +∞ ] σ − aditiva
tenemos el Teorema de Carateodory.
∞
Proposición 1.4 (Teorema de Carathedory)
Sea X un conjunto, A un álgebra definida en X, y una premedida σ − aditiva
µ 0 : A → [0, +∞ ] entonces existe una medida µ definida en σ (A ) tal que:
µ |A = µ 0
llamada extensión de µ 0
Demostración Sea A ⊆ X definimos µ ∗ : P ( X ) → [ 0, +∞ ] como:


µ ∗ ( A ) = inf  ∑ µ 0 ( An ) : ( An ) ⊆ A , A ⊆ U An 
 n∈¥

n∈¥
Por el lema anterior sabemos que es una medida exterior, y sea:
M = { A ⊆ X : A es µ ∗ − medible}
que por el lema 1.2 es una σ − álgebra
Probaremos que
i) A ⊆ M ⇒ σ (A ) ⊆ M
ii) µ ∗ |M es una medida, y por lo tanto es la extensión µ de µ 0 a la σ (A ) de la
tesis.
i) Sea A ∈A , E ⊆ X y para cada ε > 0 dado por definición de ínfimo sea
( Bn ) ⊆ A tal que:
∞
∞
n =1
n =1
µ ∗ ( E ) + ε ≥ ∑ µ 0 ( Bn ), E ⊆ U Bn
como µ 0 es una premedida σ − aditiva , es en particular aditiva y podemos escribir:
- 11 -
Análisis Real
Capítulo 1
- 12 -
∞
µ ∗ ( E ) + ε ≥ ∑  µ 0 ( Bn I A ) + µ 0 ( Bn I AC )  =
n =1
∞
∞
= ∑ µ 0 ( Bn I A ) + ∑ µ 0 ( Bn I AC )
n =1
∞
n =1
∞
∞
y como E ⊆ U Bn ⇒ E I A ⊆ U ( Bn I A ) y E I A ⊆ U ( Bn I AC ) entonces:
C
n =1
n =1
∞
n =1
∞
µ ∗ ( E ) + ε ≥ ∑ µ 0 ( Bn I A ) + ∑ µ 0 ( Bn I AC ) ≥
n =1
≥ µ ( E I A) + µ ( E I A
∗
∗
C
n =1
)
luego como ε es arbitrario:
µ ∗ ( E ) ≥ µ ∗ ( E I A ) + µ ∗ ( E I AC )
y A∈ M ⇒A ⊆ M y como M es una σ − álgebra ⇒ σ (A ) ⊆ M
ii) Probaremos que µ ∗ |M es una medida, y para ello primero demostramos que es
aditiva para después demostrar que es σ − aditiva.
Sean A, B ∈ M con A I B = φ ; como A es µ ∗ − medible , y A U B ⊂ X se tiene:




µ ∗ ( A U B ) = µ ∗  ( A U B ) I A  + µ ∗  ( A U B ) I AC  = µ ∗ ( A) + µ ∗ ( B )
 14444244443 
 1444442444443 




=A
=B
∗
luego µ es aditiva sobre M .
n
∞
i =1
i =1
Sea ( An )n∈¥ ⊂ M con Ai I A j = φ si i ≠ j y llamemos Bn = U Ai , y A = U Ai
Como Ai ∈ M ∀i = 1,..., n se tiene ∀E ⊂ X que:
µ ∗ ( E I Bn ) = µ ∗ ( E I Bn I An ) + µ ∗ ( E I Bn I AnC ) =
= µ ∗ ( E I An ) + µ ∗ ( E I Bn−1 ) =
= µ ∗ ( E I An ) + µ ∗ ( E I Bn−1 I An−1 ) + µ ∗ ( E I Bn−1 I AnC−1 ) =
= µ ∗ ( E I An ) + µ ∗ ( E I An−1 ) + µ ∗ ( E I Bn− 2 ) =
M
n
= ∑ µ ∗ ( E I Ai )
i =1
Entonces como Bn ∈M ∀E ⊂ X :
µ ∗ ( E ) = µ ∗ ( E I Bn ) + µ ∗ ( E I BnC ) C ≥
n
Bn ⊃ A
pasando al límite n → ∞ :
- 12 -
C
∑µ
i =1
∗
( E I Ai ) + µ ∗ ( E I AC )
Análisis Real
Medida
∞
- 13 -
∞

µ ( E ) ≥ ∑ µ ( E I Ai ) + µ ( E I A ) ≥ µ  U ( E I Ai )  + µ ∗ ( E I AC ) =
 i =1

i =1
∞


= µ ∗  E I U Ai  + µ ∗ ( E I AC ) = µ ∗ ( E I A) + µ ∗ ( E I AC ) ≥ µ ∗ ( E )
obs. 1.8


i =1
luego todas las desigualdades tienen que ser igualdades, y tomando a E = A
∞



 ∞ ∗
∗
∗
∗
C
µ ( A ) = ∑ µ  A I Ai  + µ  144244
A I A 3  = ∑ µ ( Ai )
 1442443 
i =1
=φ

 i =1
 = Ai 
y se tiene que µ ∗ es σ − aditiva sobre M
Además hay que ver que µ ( A ) = µ 0 ( A ) ∀A ∈A es decir que µ ∗ ( A ) = µ 0 ( A )
∗
∗
∗
∗
C
∞
∞

µ ∗ ( A ) = inf ∑ µ 0 ( An ) : A ⊆ U An , An ∈A ∀n ∈ ¥ 
 n =1

n =1
tomando A1 = A y An = φ ∀n > 1 entonces:
µ ∗ ( A ) ≤ µ 0 ( A)
∞
n −1
Por otro lado si ( An ) ⊆ A tal que A ⊆ U An entonces sea Bn = An \ U Ak de esta
n =1
∞
forma los Bn son 2 a 2 disjuntos y
k =1
∞
UB = UA
n =1
n
n
n =1
⊇ A entonces:
∞
∞
µ 0 ( A ) = µ 0 ( AI â Bn ) = µ 0 ( â ( A I Bn ) ) = ∑ µ 0 ( A I Bn ) ≤ ∑ µ 0 ( An )
144424443 n =1
n =1
⊆ An
∞
∞
es decir que µ 0 ( A ) ≤ ∑ µ 0 ( An ) tal que A ⊆ U An pasando al ínfimo:
n =1
∞
n =1
∞


µ 0 ( A ) ≤ inf ∑ µ 0 ( An ) : A ⊆ U An  = µ ∗ ( A )
 n=1

n =1
desigualdades se tiene que coinciden.
luego
al
cumplirse
las
dos
Proposición 1.5 En las mismas hipótesis que la proposición anterior si además le
pedimos que µ 0 sea finita (o σ − finita ) entonces la extensión µ de µ 0 a σ (A ) es
única.
Demostración Sea µ1 = µ ∗ |M como en la proposición anterior y supongamos que
µ 2 es otra extensiones de µ 0 a σ (A ) , luego:
µ1 |A = ( µ 0 ) = µ 2 |A
Al igual que la proposición anterior sea:
M = { A ⊆ X : A es µ ∗ − medible}
- 13 -
Análisis Real
Capítulo 1
- 14 -
como ya probamos M es σ − álgebra que contiene a la generada por A.
Tenemos que probar que µ1 |M = µ 2 |M .
Primero probaremos que coinciden en un conjunto de medida finita.
Sea E ∈ M tal que µ1 ( E ) < ∞ entonces µ1 ( E ) = µ 2 ( E )
Tenemos que ∀E ∈M :
porque en A , µ 2 = µ 0




µ1 ( E ) = inf  ∑ µ 0 ( An ) : E ⊆ U An , An ∈A ∀n  = inf  ∑ µ 2 ( An ) : E ⊆ U An 
 n∈¥

 n∈¥

n∈¥
n∈¥
Por otro lado como µ 2 es una medida sobre M ⊇ σ (A ) :
∑µ
n∈¥
2


( An ) ≥ µ2  U An  ≥{ µ2 ( E )
 n∈¥
 E ⊆ U An
n∈¥
en particular esto vale para el ínfimo y se tiene:
µ1 ( E ) ≥ µ 2 ( E )


Recordemos que si Bn ⊆ Bn+1 entonces µ  U Bn  = lim µ ( Bn )
 n∈¥ 
Sea en nuestro caso Bn = U A j y llamemos A = U An con ( An ) ⊂ A se cumple:
n
n∈¥
j =1
 n

 n





µ1 ( A ) = µ1  U An  = lim µ1  U Aj  = lim µ 2  U Aj  = µ 2  U An  = µ 2 ( A)
 n∈¥ 
 n∈¥ 
j =1
1442443

 j =1 
∈A
luego µ1 ( A ) = µ 2 ( A ) (1)
Por ser µ1 ( E ) < ∞ se tiene que para cada ε > 0 ∃( An ) ⊆ A tal que E ⊆
µ1 ( E ) + ε ≥ ∑ µ 0 ( An )
n∈¥
=
µ 0 = µ1 sobre A
∑µ (A )
n∈¥
1
n
UA
n∈¥
n
y:


µ1  U An  = µ1 ( A )
µ1 es medida sobre M
 n∈¥ 
≥
y nos queda:
µ1 ( A ) − µ1 ( E ) = µ1 ( A \ E ) ≤ ε
Como A \ E ∈M , por lo ya demostrado µ1 ( A \ E ) ≥ µ 2 ( A \ E ) entonces:




µ1 ( E ) ≤ µ1 ( A ) = µ 2 ( A ) = µ 2  {
A I E  + µ 2  144244
A I E C3  ≤
E⊂A
(1)
E∈M
 =E 
 A\ E 
≤ µ 2 ( E ) + µ1 ( A \ E ) ≤ µ 2 ( E ) + ε
y como ε es arbitrario se tiene que µ1 ( E ) ≤ µ 2 ( E ) y por lo tanto se cumple la
igualdad.
Con lo que tenemos probado que coinciden en un conjunto de medida finita.
Ahora como X = â X n , con µ1 ( X n ) < ∞ ; sea E cualquiera en M , entonces:
n∈¥
- 14 -
Análisis Real
Medida
por ser E = E I X = E I â X n = â E I X n
n∈¥
n∈¥
(
)
- 15 -
µ1 ( E ) = µ1 â E I X n = ∑ µ1 ( E I X n )
n∈¥
n∈¥
y como E I X n ⊆ X n ⇒ µ1 ( E I X n ) ≤ µ1 ( X n ) < ∞ y por lo ya probado:
(
)
µ1 ( E ) = ∑ µ1 ( E I X n ) = ∑ µ 2 ( E I X n ) = µ 2 â E I X n = µ 2 ( E )
n∈¥
n∈¥
n∈¥
Definición 1.11Dada una medida µ : M → [0, ∞ ] definida en una σ − álgebra M
se dice que E ∈M tiene medida nula si:
µ (E) = 0
Definición 1.12 Dado un espacio de medida ( X ,M , µ ) se dice que F ∈P ( X ) es
µ - nulo si F ⊆ E con E ∈ M tal que µ ( E ) = 0.
Definición 1.13 Dado un espacio de medida ( X ,M , µ ) decimos que es completo si
para todo F ⊆ X tal que F es µ − nulo ⇒ F ∈M.
De acuerdo a estas definiciones y aplicando lo demostrado en el teorema de
Carathedory podemos enunciar la siguiente proposición.
Proposición 1.6 Dado un conjunto X sea µ ∗ : P ( X ) → [ 0, +∞ ] una medida exterior
y sea M = { A ⊆ X : A es µ ∗ − medible} entonces:
i) M es una σ − álgebra.
ii) µ ∗ |M es una medida completa.
Demostración La afirmación i) ya fue demostrada y la ii) se demostró que µ ∗ |M es
una medida, ahora para probar que es completa alcanza con probar que si A ⊆ X tal
que µ ∗ ( A ) = 0 ⇒ A ∈M , y para eso consideremos E ⊆ X :
0 ≤ µ ∗ ( E I A ) + µ ∗ ( E I AC ) ≤ µ ∗ ( E I AC )
14444244443
≤ µ ∗ ( A) =0
≤
{
E I AC ⊆ E
luego A es µ ∗ − medible ⇒ A ∈M.
Definición 1.14 Dado un espacio de medida ( X ,M , µ ) sea:
M = { A U N : A ∈ M , N es µ − nulo}
a M se le llama completación de M.
- 15 -
µ∗ (E )
Análisis Real
Capítulo 1
- 16 -
Observación 1.9 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y M la completación de
M entonces M ⊆ M . Ya que φ es µ − nulo ⇒ ∀A ∈ M A = A U φ ∈ M. En el
caso que ( X ,M , µ ) es completo entonces M = M.
Proposición 1.7 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y M la completación de
M entonces M es una σ − álgebra y si definimos µ : M → [ 0, +∞ ] como:
µ ( A U N ) = µ ( A ) donde N es µ − nulo
se tiene que µ es una medida en ( X ,M ) y es completa.
Demostración Sea H n = An U Fn con An ∈ M , Fn ⊆ En tal que En ∈ M , µ ( En ) = 0
por definición H n ∈ M ∀n ∈ ¥ y tenemos que:
UH
n∈¥
n
= U ( An U Fn ) = U An U U Fn
n∈¥
n{
n∈¥
∈¥
∈M


⊆ U En y 0 ≤ µ  U En  ≤ ∑ µ ( En ) = 0 luego
43
 n∈¥  n∈¥ 14424
n∈¥
n∈¥
=0
Sea H = A U F con F ⊆ E , E ∈ M y µ ( E ) = 0
y como
UF
n
UH
n∈¥
n
∈M
HC = (AU F) = {
AC I F C
C
∈M
y se tiene que F ⊆ E ⇒ E ⊆ F entonces:
H C = AC I F C I E C â AC I F C I E
y como AC I F C I E ⊆ E ⇒ ( AC I F C I E ) es µ − nulo
C
C
además AC I FC I E C = A C I E C y se tiene que:
C
A, E ∈ M ⇒ A U E ∈ M ⇒ ( A U E ) ∈ M
luego H C ∈M y se tiene que M es una σ − álgebra
Ahora queremos ver que µ está bien definido, es decir que si:
H = A U F = A′ U F ′ con A, A′ ∈ M y F , F ′µ − nulos ⇒ µ ( A ) = µ ( A′ )
F , F ′µ − nulos ⇒ existen E , E ′ ∈ M tal que F ⊆ E , F ′ ⊆ E ′ y µ ( E ) = µ ( E ′ ) = 0
entonces como:
A ⊂ H = A′ U F ′ ⊂ A′ U E ′
se tiene µ ( A ) ≤ µ ( A′ U E′ ) ≤ µ ( A′ ) + µ ( E ′ ) = µ ( A′ ) ⇒ µ ( A ) ≤ µ ( A′ ) por el mismo
1442443
=0
razonamiento resulta µ ( A′ ) ≤ µ ( A ) ⇒ que son iguales.
Ahora probamos que es una medida.
µ (φ ) = µ (φ ) = 0
- 16 -
Análisis Real
Medida
ya que φ = φ{ U φ
∈M
(
Por otro lado µ â H n
n
n∈¥
)
(
)
- 17 -
=
An = ∑ µ ( An ) {=
{ µ nâ
∈¥
por def.
n∈¥
∑µ (H
por def. n∈¥
n
) ⇒ es σ − aditiva
y por lo tanto µ es una medida.
Sea L µ − nulo ⇒ L ⊂ H ∈ M tal que µ ( H ) = 0 , y H ∈ M ⇒ H = A U F con
A∈M y F µ − nulo se tiene que µ ( H ) = µ ( A ) = 0 además por ser F µ − nulo ⇒
F ⊂ E , E ∈ M y µ ( E ) = 0 entonces:
L ⊂ A U F ⊂ A U E y µ ( A U E ) = 0 ⇒ L es µ − nulo
y como se puede escribir L = φ{ U L
{ ⇒ L ∈ M ⇒ M es completa.
µ − nulo
∈M
Proposición 1.8 (Teorema de aproximación)
Dado un conjunto X y en el un álgebra A sea:
µ 0 : A → [0, +∞ ] una premedida σ − aditiva
definimos µ ∗ : P ( X ) → [ 0, +∞ ] tal que:
∞
∞

µ ∗ ( E ) = inf ∑ µ 0 ( A j ) : E ⊆ U A j , A j ∈A ∀j ∈ ¥ 
j =1
 j =1

∗
y sea M = { A ⊆ X : A es µ − medible} , entonces si E ∈ M con µ ( E ) < ∞ y dado
ε > 0 se tiene que ∃Aε ∈A tal que :
µ ( EV Aε ) < ε
siendo µ la extensión de µ 0 a M (como ya fue visto en la proposición 1.4)
Demostración Podemos tomar una sucesión ( An ) ⊆ A de elementos disjuntos con
E ⊆ â An tales que:
n∈¥
∞
µ ( E ) ≤ ∑ µ ( An ) < µ ( E ) +
n =1
Como la serie converge existe N ∈ ¥ tal que:
∞
ε
2
ε
∑µ(A ) < 2
n= N
N −1
∞
j =1
n =1
n
definimos Aε = U Aj ; y sea A = U An ⇒ Aε ⊂ A y:
Ahora
EV Aε = ( E \ Aε ) â ( Aε \ E )
- 17 -
Análisis Real
Capítulo 1
µ ( Aε \ E ) ≤ µ ( A \ E )
=
{
por ser µ ( E )<∞
- 18 -
µ ( A ) − µ ( E ) = µ ( â An ) − µ ( E ) =
∞
= ∑ µ ( An ) − µ ( E ) < µ ( E ) +
n =1
ε
ε
− µ (E ) =
2
2
Por otro lado
ε
 ∞
 ∞
µ ( E \ Aε ) ≤ µ ( A \ Aε ) = µ  U An  = ∑ µ ( An ) <
2
 n= N  n= N
luego:
µ ( EV Aε ) < ε
Definición 1.15 Una medida cuyo dominio de definición sea la σ − álgebra de Borel
B ( ¡ ) o simplemente B , se le llamamos medida de Borel.
Proposición 1.9 Sea µ : B → [ 0, +∞ ] una medida de Borel tal que si E ∈B y es
acotado, sea µ ( E ) < ∞ . Definimos F : ¡ → ¡ como:
 µ ( ( 0, x ]) si x ≥ 0
F ( x) = 
− µ ( ( x, 0]) si x < 0
Entonces F es creciente y continua por la derecha y además F ( 0 ) = 0
Demostración Probaremos primero que es creciente. Para lo cual distinguimos
varios casos:
i) Si x ≥ 0 > y ⇒ F ( x ) ≥ 0 ≥ F ( y )
y
0
x
ii)Si x > y ≥ 0 ⇒ F ( x ) = µ ( ( 0, x ]) = µ ( ( 0, y ]) + µ ( ( y, x ]) =
= F ( y ) + µ ( ( y , x ]) ≥ F ( y )
144424443
0
y
x
≥0
iii)Si x ≤ y ≤ 0 ⇒ F ( x ) = − µ ( ( x, 0]) = − µ ( ( x, y ]) − µ ( ( y ,0]) =
= − µ ( ( x, y ] ) + F ( y ) ≤ F ( y )
14444244443
x
y
≤0
Ahora probaremos que es continua por la derecha.
Si x ≥ 0 y ( xn ) es una sucesión decreciente tal que xn → x entonces:
∞

F ( x ) = µ ( ( 0, x ]) = µ  I ( 0, xn ]  = lim µ ( ( 0, xn ]) = lim F ( xn )
 n=1

por ser µ ( ( 0, xn ]) < ∞ ∀n ∈ ¥ y ( 0, xn ] ⊆ ( 0, xn−1 ] ∀n > 1
Análogamente si x < 0 con ( x, 0] = U ( xn , 0]
n∈¥
- 18 -
0
Análisis Real
Medida
- 19 -
F ( 0 ) = µ ( ( 0, 0]) = µ (φ ) = 0
Observación 1.10 Si a < b y a, b ≥ 0 entonces:
µ ( ( a, b ]) = µ ( ( 0, b ] \ ( 0, a ]) = µ ( ( 0, b ]) − µ ( ( 0, a ]) = F ( b ) − F ( a )
Igual en los demás casos.
En el ejemplo 1.3 definimos sobre el conjunto I = {( a, b ] : −∞ ≤ a ≤ b ≤ +∞} el
álgebra generado por I que en su momento notamos por C = a (I ) y que ahora
notaremos solo por A para referirnos al álgebra de las uniones finitas de
intervalos semiabiertos del tipo ( a, b ] admitiendo a = −∞ y b = +∞ y en este caso
( a, +∞] = ( a, +∞ ) . Sobre esta álgebra A establecemos la siguiente proposición.
Proposición 1.10 Sea A el álgebra recién mencionada y sea F : ¡ → ¡ una
función creciente, continua por la derecha, entonces si definimos la función
µ F : A → [0, +∞ ] de manera que si la sucesión de intervalos disjuntos dos a dos
( ( ai , bi ])in=1 ⊂ A se tiene:
 n
 n
µ F  â ( ai , bi ]  = ∑ F ( bi ) − F ( ai )
 i =1
 i =1
µ F (φ ) = 0
µ F así definida es una premedida.
Demostración Primero tenemos que ver que µ F está bien definida, es decir que si:
n
m
 n

m

A = â ( ai , bi ] = â ( c j , d j  ⇒ µ F  â ( ai , bi ]  = µ F  â ( c j , d j  
 i =1

 i =1

i =1
i =1
veamos primero que para el caso en que
â( a , b ] = ( a, b ] con
n
i =1
i
i
( ( ai , bi ])in=1 son disjuntos y su unión
a = a1 < b1 = a2 < b2 = a3.....an < bn = b se tiene:
n
µ F ( ( a, b ]) = ∑ F ( bi ) − F ( ai ) = F ( b ) − F ( a )
i =1
luego no depende de la partición del intervalo.
En el caso general tenemos usando la definición y la igualdad anterior para cada
intervalo tenemos:
m
 m
µ F  â ( c j , d j   = ∑ µ F ( c j , d j 
 j =1
 j =1
entonces si llamamos I i = ( ai , bi ] y I j = ( c j , d j  podemos escribir:
- 19 -
Análisis Real
Capítulo 1
si A = â i =1I i = â j =1I j entonces
n
∑µ
m
- 20 -
( I i ) = ∑ µ F ( I i I I j ) = ∑ µ F ( I j ) luego µ F
F
i
i, j
j
esta bien definida.
Para ver que es una premedida tenemos que probar que si ( An ) ⊆ A
elementos son dos a dos disjuntos y
UA
n
n∈¥
(
)
cuyos
∈A entonces µ F â An = ∑ µ F ( An ) .
n∈¥
n∈¥
A = â An = ( a, b ] , y que ( an , bn ] = An ∀n ∈ ¥ entonces
Se puede suponer que
n∈¥
podemos escribir:
N   ∞

A = âAn =  âAn  U  â An 
 n=1   n= N +1 
n =1
∞
y como A, âAn ∈A ⇒
N
n =1
â A ∈A
∞
n = N +1
N
n
y:


 ∞ 
N  N
µ F ( A ) = µ F  âAn  + µ F  â  ≥ µ F  âAn  = ∑ µ F ( An ) ∀N
 n=1 
 n= N +1 
 n=1  n =1
pasando al límite respecto a N:
N
∞
N 01
n =1
µ F ( A ) ≥ lim ∑ µ F ( An ) = ∑ µ F ( An )
N →∞
Para demostrar la desigualdad contraria supongamos −∞ < a < b < +∞.
Dado ε > 0 como F es continua por la derecha ⇒ ∃δ > 0 tal que:
F ( a + t ) − F ( a ) < ε ∀t ∈ [ 0, δ ]
entonces existen δ n > 0 tal que F ( bn + t ) − F ( bn ) < ε n si t ∈ [ 0, δ n ]
2
La familia de intervalos ( an , bn + δ n )n∈¥ es un cubrimiento por abiertos de [ a + δ , b ]
que es compacto, luego existe un subcubrimiento finito y sea:
{( an1 , bn1 + δ n1 ) ,..., ( ank , bnk + δ nk )}
el de cardinal mínimo.
A menos de una reordenación se puede suponer que an1 < an2 < ... < ank y además
bni + δ ni ∈ ( ani+1 , bni+1 + δ ni +1 ) an1
bn1 + δ n1
an2
entonces
bn2 + δ n2
µ F ( A ) = µ F ( ( a, b ] ) = µ F ( ( a, a + δ ] ) + µ F ( ( a + δ , b ] ) =
= F ( a + δ ) − F ( a ) + µ F ( ( a + δ , b ]) < ε + µ F ( ( a + δ , b ])
144444424444443
<ε
usando el cubrimiento:
- 20 -
Análisis Real
Medida
- 21 -
 k

µ F ( A ) < ε + µ F ( ( a + δ , b ]) ≤ ε + µ F  U ( ani , bni + δ ni )  ≤
 i =1

≤ ε + ∑ µ F ( ( ani , bni + δ ni ) ) = ε + ∑ F ( bni + δ ni ) − F ( ani ) =
k
k
i =1
i =1
k
= ε + ∑ F ( bni + δ ni ) − F ( bni ) + F ( bni ) − F ( a ni ) =
i =1
k
k
= ε + ∑ F ( bni + δ ni ) − F ( bni ) + ∑ F ( bni ) − F ( ani ) ≤
1444444442444444443 i =1
n =1
<ε
2n
k
∞
∞
ε
ε

µ
a
b
,
ε
µ F ( An )
+
<
+
+
∑
∑
∑
F ( ( ni
ni  )
n
n
2
n =1 2
i =1 1444442444443
n
1
n
1
=
=
{
= µ F ( An )
k
≤ε +∑
=ε
i
es decir que para cada ε > 0 arbitrario se tiene:
∞
µ F ( A ) < 2ε + ∑ µ F ( An )
n =1
∞
luego µ F ( A ) ≤ ∑ µ F ( An ) y por lo tanto son iguales y µ F es una premedida.
n =1
Si a = −∞ para cualquier h < ∞ la familia de intervalos ( an , bn + δ n )n∈¥ es un
cubrimiento de [ −h, b ] , así que el mismo razonamiento que antes da:
∞
F ( b ) − F ( −h ) ≤ 2ε + ∑ µ F ( An ),
n =1
Por otro lado si b = +∞ para cualquier h < ∞ obtendremos igualmente que:
∞
F ( h ) − F ( a ) ≤ 2ε + ∑ µ F ( An )
n =1
El resultado deseado se obtiene al hacer ε → 0 y h → +∞ .
Definición 1.16 La extensión de la premedida del enunciado anterior a la
σ − álgebra (σ (A ) ) que no es otra que la σ − álgebra de Borel (B ( ¡ ) ) se le
llama medida de Borel-Stieltjes asociada a F.
Proposición 1.11 a) Si F : ¡ → ¡ es una función creciente y continua por la
derecha, entonces existe una única medida de Borel-Stieltfjes asociada a F tal que:
µ F ( ( a, b ] ) = F ( b ) − F ( a )
Si G es otra función tal que µ F = µG entonces:
F − G es constante
b) El mapa F Î µ F es una biyección entre los conjuntos:
- 21 -
Análisis Real
Capítulo 1
- 22 -
{F : creciente, continua por la derecha y F ( 0 ) = 0} y las medidas
{µ : B → [0, +∞ ] : medida tal que µ ( E ) < ∞ si E es acotado} .
de
Borel
Demostración
a) Por la proposición anterior el mapa µ F′ tal que:
 n
 n
µ F′  â ( ai , bi ]  = ∑ F ( bi ) − F ( ai )
 n =1
 i =1
es una premedida, y es σ − finita ya que ¡ = â ( n, n + 1] y:
n∈¢
µ F′ ( ¡ ) = ∑ µ F′ ( ( n, n + 1]) = ∑ F ( n + 1) − F ( n )
144444424444443
n∈¢
n∈¢
<∞
¡ es unión numerable de conjuntos de medida finita ⇒ la premedida es σ − finita.
Por la proposición 1.5 se extiende de manera única a una medida µ F : B → [ 0, +∞ ].
Supongamos que G es tal que:
µ F = µG
Sea a < b entonces:
µ F ( ( a , b ]) = µ G ( ( a , b ] ) ⇒ F ( b ) − F ( a ) = G ( b ) − G ( a )
⇒ F (b ) − G (b) = F ( a ) − G ( a )
∴ ( F − G )( b ) = ( F − G )( a )
y como a y b son arbitrarios ⇒ ( F − G ) es constante.
b) El mapa F → µ F por lo anterior y la condición F ( 0 ) = 0 ⇒ es inyectivo, pero
por la proposición 1.9 es sobre.
Definición 1.17 Dada una función creciente y continua por la derecha por la
proposición 1.10 genera una premedida µ F′ : A → [, 0 + ∞ ] si definimos la medida
exterior µ F∗ : P ( ¡ ) → [0, +∞ ] como:


µ F∗ ( E ) = inf ∑ µ F′ ( ( an , bn ]) : E ⊆ U ( an , bn ]
n∈¥

n∈¥
∗
y si llamamos MF = {E ⊆ ¡ : E es µ F − medible} tenemos que es una σ − álgebra y
por la proposición 1.5 µ F := µ F∗ |MF es una medida completa.
Además A ⊆B ⊆ MF y µ F |A = µ F′ entonces llamamos σ - álgebra de
conjuntos medibles de Lebesgue a MId. que notamos por L y llamamos medida
exterior de Lebesgue a µ Id∗ que notaremos por m∗ y llamamos medida de Lebesgue
a µ Id que notaremos como m .
- 22 -
Análisis Real
Medida
- 23 -
Ejemplo 1.11 Dado x ∈ ¡ + definimos δ x : B → [ 0, +∞ ] de la siguiente manera:
1 si x ∈ E
δ x ( E ) = χE ( x) = 
0 si x ∉ E
se le llama medida de Dirac concentrada en X.
1
Definimos una función F : ¡ → ¡ como sigue:
 δ ( ( 0, t ]) si t ≥ 0
F (t ) =  x
x
−δ x ( ( t , 0]) si t < 0
Entonces F ( t ) = 0 ∀t < 0
si t > 0 ⇒ F ( t ) = 0 si t < x ,y F ( t ) = 1 si t ≥ x . Entonces F es creciente y
continua por la derecha.
Sea µ F′ la premedida asociada a F:
0 si x ∉ ( a , b ]
µ F′ ( ( a, b ]) = F ( b ) − F ( a ) = 
1 si x ∈ ( a, b ]
Sea µ F∗ la medida exterior asociada a esta premedida entonces:
Si E ⊆ X tal que x ∉ E ⇒ µ F∗ ( E ) = 0 ya que E ⊆ { x} =
C
entonces
U (( −n, x − ] U ( x, x + n])
n∈¥
1
n
µ F∗ ( E ) ≤ ∑ µ ′F ( ( −n, x − 1n ]) + ∑ µ ′F ( ( x, x + n ]) = 0
144444424444443 n∈¥ 1444442444443
n∈¥
=0
=0
Luego los conjuntos que no contienen a x son µ − medible ⇒ { x} es µ F∗ − medible
∗
F
∗
F
y por lo tanto todos los subconjuntos de ¡ son µ − medible.
Proposición 1.12 La medida (m) de Lebesgue y la medida exterior
Lebesgue son invariantes por traslaciones, es decir:
Sea E ⊆ ¡, x ∈ ¡ E + x = { y + x : y ∈ E} entonces:
m∗ ( E + x ) = m∗ ( E ) ∀ x ∈ ¡ , E ⊆ ¡
m( E + x) = m( E )
Demostración Basta probar para m∗
Primero observamos que:
∞
∞
n =1
n =1
E ⊆ U En ⇔ E + x ⊆ U ( En + x )
entonces:
∞
∞

m∗ ( E ) = inf ∑ ( bn − an ) : E ⊆ U ( an , bn ] =
 n=1

n =1
- 23 -
(m )
∗
de
Análisis Real
Capítulo 1
- 24 -
∞
∞

= inf ∑ [bn + x − ( an + x )] : E + x ⊆ U ( an + x, bn + x ]
 n=1

n =1
Luego:
∞
 ∞ 


m∗ ( E ) = inf ∑  d n − c{n  : E + x ⊆ U ( cn , d n ] = m∗ ( E + x )
{

n =1
 n=1  bn + x an + x 

Estas dos propiedades caracterizan la medida de Lebesgue.
Proposición 1.13 Sea µ : B → [ 0, +∞ ] una medida tal que es invariante por
traslaciones y µ ([ 0,1]) = 1 entonces µ = m .
Demostración Si x ∈ ¡ ⇒ µ ({ x}) = 0 ya que de no ser así µ ({ x}) = α > 0 se tiene
que µ ({ y}) = α > 0 ∀y ∈ ¡ por ser invariante por traslaciones.
Pero si 1 = µ ([ 0,1]) ≥ µ ({ 1n : n ≥ 1}) = ∑ µ ( 1n ) = ∞ lo cual es un absurdo.
{
n∈¥
>0
Por otro lado por ser invariante por traslaciones se tiene que:
 n−1
 n−1
µ ( ( −n, n ]) = µ  U ( k , k + 1]  = ∑ µ ( ( 0,1]) = 2n < ∞
 k =− n
 k =− n


Entonces µ ( ¡ ) = µ  U ( −n, n ]  = ∑ µ ( ( −n, n]) con µ ( ( − n, n]) < ∞
 n∈¥
 n∈¥
Luego µ es una medida de Borel σ − finita sobre acotados ⇒ existe una única
F : ¡ → ¡ creciente y continua por la derecha que F ( 0 ) = 0 de manera que
µ = µ F de hecho es:
 µ ( ( 0, x ]) si x ≥ 0
F ( x) = 
− µ ( ( x, 0]) si x < 0
Para terminar tenemos que probar que F = Id .
Si x = n con n ∈ ¢ entonces como:
F ( n ) = µ ( ( 0, n ]) = µ ( ( 0,1] â (1, 2] â ... â ( n − 1, n ]) =
= µ ( ( 0,1]) + µ ( (1, 2]) + ... + µ ( ( n − 1, n ]) = n
144424443 144424443
14444244443
tenemos que F ( n ) = n
=1
Por otro lado si x ∈ ¤ sea x =
F(
p
q
=1
p
q
=1
> 0 entonces:
p
 p j −1 j  p
j −1 j
) = µ (( 0,  ) = µ  â( q , q   = ∑ µ (( q , q  ) = ∑ µ ( ( 0, q1  ) = pµ ( ( 0, 1q  )
j =1
 j =1
 j =1
p
q
- 24 -
Análisis Real
Medida
- 25 -
pero si p = q ⇒ por lo anterior F (1) = 1 entonces qµ ( ( 0, 1q  ) = 1 y por la tanto:
µ ( ( 0, 1q  ) =
sustituyendo
1
q
F ( qp ) = p ( 1q ) =
p
q
Si x es un número real cualquiera podemos considerar que está determinado por un
par de sucesiones racionales convergentes, es decir ( an ) , ( bn ) ∈ ¤ tales que ( an ) es
monótona creciente, ( bn ) es monótona decreciente, donde además an < bn ∀n ∈ ¥ y
para cada ε > 0, ∃n0 tal que bn − an < ε ∀n ≥ n0 , entonces ∃x ∈ ¡ tal que ( an ) → x − y
( bn ) → x + .
Consideremos primero que x ∈ ¡ + ⇒ ( an ) , ( bn ) ∈ ¤ + como an < x < bn se tiene:
( 0, an ] ⊆ ( 0, x ] ⊆ ( 0, bn ] ⇒ µ ( ( 0, an ]) ≤ µ ( ( 0, x ]) ≤ µ ( ( 0, bn ])
P
P
P
F ( an ) ≤ F ( x ) ≤ F ( bn )
P
P
como an , bn ∈ ¤ ⇒
an
bn
Luego como ∀n ∈ ¥ se tiene que an ≤ F ( x ) ≤ bn ⇒ F ( x ) está determinado por el
par de sucesiones ( an ) , ( bn ) y como determinan un único número real se tiene que:
F ( x) = x
Análogamente se procede si x ∈ ¡ − .
Ejemplo 1.12: Conjunto de Cantor
Consideremos el conjunto cuya construcción es la siguiente, partimos el intervalo
[0,1] en tres tercios, y extraemos el tercio central, luego repetimos el proceso para
estos tercios y así sucesivamente, el límite de esta construcción es el conjunto de
∗
Cantor. Para entender más esto vamos a introducir el operador (⋅) que consiste en
extraer el tercio central. Entonces:
2 (b − a ) 
b−a 
Si I = [ a, b ] ⇒ I ∗ =  a,
U
a
+
, b  , si I = U I k ⇒ I ∗ = U I k∗


3  
3


k
k
∗
1
2
Introducida la notación comencemos, sea C0 = [ 0,1]; C1 = C0 = [ 0, 3 ] U [ 3 ,1]
Llamemos I11 = [ 0, 13 ] ; I12 = [ 32 ,1] entonces:
C2 = ( I11 ) U ( I12 ) = [0, 91 ] U [ 92 , 13 ] U [ 32 , 79 ] U [ 89 ,1] = I 21 U I 22 U I 23 U I 24 .
∗
∗
2n
En general Cn = â ( I nj ) donde cada I nj tiene
j =1
- 25 -
Análisis Real
longitud
Capítulo 1
- 26 -
1
Definimos el conjunto triádico de Cantor como:
3n
∞
C = I Cn
n= 0
El conjunto así definido tiene algunas propiedades importantes:
a) C es compacto no vacío.
Cada Cn es unión finita de cerrados, luego es cerrado, y como C es la intersección
numerable de cerrados, es cerrado. Pero cerrado C ⊂ [ 0,1] compacto ⇒ C es
compacto. Además es no vacío porque el 0 y el 1 pertenecen a Cn ∀n ⇒ que
pertenecen a C.
b) m ( C ) = 0
2
2
2
2
Tenemos que m ( Cn+1 ) = m ( Cn ) =   m ( Cn−1 ) = ... =  
3
 3
 3
n +1
2
m ( C0 ) =  
144244
3 3
=1
n +1
Entonces:
2


m ( C ) = m  I Cn  = lim m ( Cn ) = lim  
n →+∞  3 
 n∈l  n→+∞
n +1
=0
o
c) Es nunca denso (es decir C = φ )
Por ser C cerrado C = C y como no hay ningún intervalo abierto en C ya que si
suponemos por el absurdo que tenemos un abierto ( c, d ) ⊂ C ⇒ ( c, d ) ⊂ Cn ∀n y
como Cn es unión de intervalos disjuntos significa que tiene que estar en uno de
ellos
( c, d ) ⊂ I nk para algún k
por lo tanto
1
0 ≤ m ( ( c, d ) ) = d − c ≤ n ∀n ⇒ d − c = 0
3
o
Luego C = φ .
d) C es perfecto (es igual al conjunto de sus puntos de acumulación).
Si expresamos los elementos de C como:
 ∞ an

C = ∑ n : an ∈ {0, 2}
 n=1 3

Sea x ∈ C , ε > 0
Si no existe n0 a partir del cual todos los términos de la serie son ceros entonces las
sumas parciales de la serie ( puntos del conjunto de Cantor ) son distintas a t y
siempre hay una a distancia menor que un cierto ε > 0 arbitrario.
Supongamos que ∃n0 tal que xi = 0 ∀i > n0
- 26 -
Análisis Real
Medida
- 27 -
Entonces
n0
n0
n
xi
xi
0 ∞ 2
′
′
:
t
=
+
+∑ i
t = ∑ i y sea t ∈ C tal que
∑
∑
i
i
3
3
3
i =1
i =1
n0 +1
n +1 3
Claramente t’ pertenece a C entonces:
n +1
∞
2 1
2
1
1
3
= t + n ⇒ t − t′ = n
t′ = t + ∑ i = t +
2
3
3
n +1 3
3
2
1
2
Sea ε tal que n < ε ⇒ t − t ′ = n < n < ε esto significa:
3
3
3
t ′ ∈ C I B ( t , ε ) \ t ⇒ t es de acumulación
e) C es no numerable.
Como ¡ con la métrica usual es un espacio métrico completo, y [ 0,1] ⊂ ¡ cerrado,
entonces es completo; por la misma razón, C ⊂ [ 0,1] cerrado es completo. Luego C
es perfecto y completo luego no es numerable.
Otra forma de afirmar lo mismo es ver que entre los elementos de C y los de [ 0,1]
existe una función sobreyectiva, definida como:
 ∞ xi  ∞ xi 2
f  ∑ i  = ∑ i con xi ∈ {0, 2}
 i =1 3  i =1 2
Demostración
 ∞ xi  ∞ yi
xi
Si xi ∈ {0, 2} ⇒ yi =
∈ 0,1 y podemos escribir f  ∑ i  = ∑ i con
2 { }
 i =1 3  i =1 2
yi ∈ {0,1}
f es sobreyectiva ya que en primer lugar si yi = 0 ∀i ⇒ f ( ) = 0 y si yi = 1 ∀i
∞
1
implica f ( ) = ∑ i = 1
i =1 2
en segundo lugar
∞
yi
con yi ∈ {0,1} es un número en base dos entre cero y uno.
∑
i
i =1 2
Entonces # C = # [ 0,1] = # ¡ = c
f) C es totalmente disconexo.
Esto es consecuencia de lo demostrado en la c) que no hay intervalos en C,( A ⊂ ¡
es conexo ⇔ es un intervalo) luego los únicos conexos son los conjuntos
unipuntuales.
Al conjunto de Cantor se le asocia una función notable, llamada función notable de
Cantor-Legesgue. Se define como el límite de la sucesión de funciones { f n } de
funciones crecientes y continuas tal que:
( )
- 27 -
Análisis Real
Capítulo 1
- 28 -
fn ( 0 ) = 0
∗
m
f n ( x ) = n si x ∈ I nm \ ( I nm )
f n (1) = 1
2
sobre cada intervalo componente de Cn .
Cada
fn
es
creciente,
y
f n +1 = f n sobre cada I nm \ ( I nm )
∗
(los complementos de Cantor)
1
y f n+1 − f n ≤ n luego f n es
2
uniformemente
convergente
hacia la función buscada ϕ .
Obviamente ϕ es creciente,
continua y constante sobre cada
intervalo
componente
de
[ 0,1] \ C . En particular ϕ tiene
derivada nula en todos los
puntos de [ 0,1] salvo en los del
conjunto de Cantor, que es de medida nula.
Proposición 1.14 Si X = ¡ la σ − álgebra de Lebesgue correspondiente que
notamos por L ( ¡ ) cumple que:
# L ( ¡ ) = #P ( ¡ ) = 2c siendo c = # ¡
Demostración Como L ( ¡ ) ⊆ P ( ¡ ) ⇒ # L ( ¡ ) ≤ 2c
Por otro lado
L ( ¡ ) ⊇ {E ⊆ C : con C conjunto de Cantor}
luego # L ( ¡ ) ≥ # {E ⊆ C} = #P ( ¡ ) = 2c (ya que # C = # ¡ )
144424443
=P ( C )
entonces # L ( ¡ ) = 2c
Proposición 1.15 Sea X = ¡ entonces la σ − álgebra de Borel B ( ¡ ) cumple:
#B ( ¡ ) = # ¡ = c
Demostración Sea ε ⊂ P ( ¡ ) tal que φ ∈ ε definimos:
∞

ε = U An : An ∈ ε o AnC ∈ ε 
 n =1

- 28 ∗
Análisis Real
Medida
- 29 -
Como φ ∈ ε ⇒ ε ⊂ ε ∗ entonces si ε 0 es la topología usual de ¡ definimos ε1 = ε 0∗ y
así sucesivamente ε n+1 = ε n∗ , obtenemos una familia creciente ε 0 , ε1 ,..., ε n ,...
Sea Ω = al primer cardinal no numerable, entonces para cada ordinal α < Ω se
define:
∗


εα =  U ε β 
 β <α 
finalmente sea F = U εα ; F así definida es una σ − álgebra tal que F = σ ( ε 0 )
α <Ω
y el cardinal sería el del continuo ⇒ #B ( ¡ ) = c .
- 29 -
Análisis Real
Capítulo 1
- 30 -
- 30 -
Capítulo 2
Funciones Medibles
Recordemos que un mapa f : X → Y entre dos conjuntos induce un mapa
f −1 : P (Y ) → P ( X ) , definido por:
f −1 ( E ) = { x ∈ X : f ( x ) ∈ E}
que preserva las uniones, intersecciones y complementos es decir:


f −1  U Ei  = U f −1 ( Ei )
 i∈I  i∈I


f −1  I Ei  = I f −1 ( Ei )
 i∈I  i∈I
f −1 ( AC ) = ( f −1 ( A) )
Entonces si N es una σ − álgebra en Y,
C
{ f (E): E ∈N }
−1
es una σ − álgebra
en X.
Definición 2.1 Sean ( X ,M ) y (Y , N ) dos espacios medibles, f : X → Y se dice
que es una función medible si:
f −1 ( N ) ∈ M ∀N ∈ N
también decimos que f es (M − N ) − medible.
Proposición
2.1
Si
N = σ (S ) con S ⊆ P (Y ) , entonces
f : X →Y
(M − N ) − medible si y solo sí f −1 ( E ) ∈ M ∀E ∈ S.
Demostración ⇒ Es obvia
⇐ Sea F = {E ⊆ Y : f −1 ( E ) ∈ M } veremos que es una σ − álgebra ;
- 31 -
es
Análisis Real
Capítulo 2
- 32 -
}
C
si E ∈F ⇒ f −1 ( E ) ∈ M ⇒ ( f −1 ( E ) ) ∈ M
por def.
P
f −1 ( E C ) ∈ M ⇒ E C ∈ F
análogamente
si ( En ) ∈F ⇒ f −1 ( En ) ∈ M ⇒ U f −1 ( En ) ∈ M
n∈¥
P


f −1  U En  ∈ M ⇒ U En ∈F
 n∈¥ 
n∈¥
−1
además por hipótesis ∀E ∈ S f ( E ) ∈ M ⇒ S ⊆ F y por lo tanto contiene a
la sigma álgebra generada, es decir:
σ (S ) ⊆ F
P
luego ∀E ∈ N ⇒ f
−1
N
( E ) ∈ M ⇒ f es (M − N ) − medible.
Corolario 2.2 Si X e Y son espacios métricos (o espacios topológicos), entonces
todas las funciones continuas son (B ( X ) − B (Y ) ) − medibles.
Demostración Por ser f continua, si y solo sí f −1 (U ) es abierto en X, ∀U abierto de
Y.
Definición 2.2 Sea X espacio topológico, ( X ,M ) un espacio medible, a la función
f : X → ¡ (¡ o £)
se dice
M − medible o simplemente medible si es
(M − B ( ¡ ) ) -medible (o (M − B ( £ ) − medible ) .
En particular si f : ¡ → ¡ ( o £ ) llamamos Borel medible si f es
(B ( ¡ ) − B ( ¡ ) ) − medible (o (B ( ¡ ) − B ( £ ) ) − medible ).
En el caso que M = L entonces ( X , L ) es el espacio medible de Lebesgue y
decimos de f : X → ¡ ( ¡ o £ ) que es Lebesgue medible si es (L − B ) − medible.
Observación 2.1 Si f , g : ¡ → ¡ son Lebesgue medibles, no implica que f o g sea
Lebesgue medible.
Si E ∈B ( ¡ ) tenemos que f −1 ( E ) ∈L pero esto no garantiza que
g −1 ( f −1 ( E ) ) ∈L a menos que f −1 ( E ) ∈B ( ¡ ) . Sin embargo si f es Borel medible,
entonces f o g es Lebesgue medible o Borel medible siempre que g lo sea.
- 32 -
Análisis Real
Funciones medibles
- 33 -
Definición 2.3 Sean ( X ,M ) y (Y , N ) dos espacios medibles, y una función
f : X → Y definimos los siguientes conjuntos:
M ∗ = {E ∈P ( X ) : E = f −1 ( N ) para algún N ∈ N }
llamado pull-back de N ; y el conjunto:
N ∗ = {B ∈P (Y ) : f −1 ( B ) ∈ M }
llamado pull-forward de M .
Podemos enunciar las siguientes proposiciones:
Proposición 2.3 Sean ( X ,M ) y (Y , N ) espacios medibles, f : X → Y es medible
si y solo sí M ∗ ⊆ M.
Proposición 2.4 Sean ( X ,M ) y (Y , N ) espacios medibles , f : X → Y es medible
si y solo sí N ⊆ N ∗ .
Demostración Basta con ver el siguiente esquema y la definición de medible.
X
Y
X
f −1 ( N )
Y
B ∈P (Y )
f −1 ( B ) ∈M
N ∈N
f −1
f −1
Entonces si M ∗ ⊆ M ⇔ ∀N ∈ N
Y si N ⊆ N ∗ ⇔ ∀B ∈ N
f −1 ( N ) ∈ M ⇔ f es medible.
f −1 ( B ) ∈ M ⇔ f es medible.
Proposición 2.5 Si ( X ,M ) es un espacio medible y f : X → ¡ , entonces las
siguientes afirmaciones son equivalentes.
i) f es M − medible.
ii) f −1 ( ( a, +∞ ) ) ∈ M ∀a ∈ ¡.
iii) f −1 ([ a, +∞ ) ) ∈ M
iv) f −1 ( ( −∞, a ) ) ∈ M
v) f
−1
∀ a ∈ ¡.
∀a ∈ ¡ .
( ( −∞, a]) ∈ M ∀a ∈ ¡.
- 33 -
Análisis Real
Capítulo 2
- 34 -
Demostración Simplemente por la proposición 2.1 y el hecho de que B ( ¡ ) es
generado por los intervalos abiertos, semiabiertos, con ambos extremos finitos o
uno de los extemos infinito.
Definición 2.4 Sea ( X ,M ) un espacio medible, f es una función definida en X, y
E ∈M diremos que f es medible en E si f −1 ( B ) I E ∈ M ∀B ∈B ( ¡ ) , es
equivalente a decir que f |E es ME − medible con ME = {F I E : F ∈ M }.
Definición 2.5 Sea X un conjunto, (Yi ,Mi )i∈I una familia de espacios medibles y
fi : X → Yi , i ∈ I . A la menor σ − álgebra en X que torna a todas las fi medibles
es llamada σ − álgebra inicial . En símbolos la σ − álgebra inicial es la


σ − álgebra σ  U f −1 (Mi )  .
 i∈I

Proposición 2.6 En las condiciones de la definición anterior, si para cada i ∈ I ,
Ci es una clase de subconjuntos de X, tal que σ (Ci ) = Mi entonces la
σ − álgebra inicial coincide con la σ − álgebra generada por la familia:
 n −1

D = I f ik ( Cik ) : Cik ∈ Cik , ik ∈ I , k = 1, 2,..., n , n ∈ ¥ 
 k =1

Demostración Sea F la σ − álgebra inicial . Como F torna a las fi medibles,
fi −1 ( Ci ) ∈F para todo Ci ∈Ci para todo i ∈ I . Además de eso como F es
cerrada por intersecciónes finitas (F es σ − álgebra ), D ⊆ F , entonces
σ ( D ) ⊆ F . Por otro lado,
fi −1 (Mi ) = fi −1 (σ (Ci ) ) = σ ( fi −1 (Ci ) ) ⊆ σ ( D ) ,
lo que implica que fi es σ ( D ) − medible, ∀i ∈ I ⇒ F ⊆ σ ( D ) , y son iguales.
Definición 2.6 En las condiciones de la definición anterior Y = ∏ Yi y las
i∈I
funciones fi = π i proyecciones naturales de Y sobre Yi , la σ − álgebra inicial se
le llama σ − álgebra producto.
Si M es la σ − álgebra producto notamos M = ∏ Mi .
i∈I
Veamos la siguiente generalización de la observación 2.1.
- 34 -
Análisis Real
Funciones medibles
- 35 -
Proposición 2.7 Sean ( X ,M ) , (Y , N ) y ( Z ,O ) espacios medibles, y las
funciones f : X → Y , g : Y → Z medibles, entonces g o f es medible.
Demostración Por ser g medible ⇒ g −1 ( E ) ∈ N
∀E ∈O y por ser f medible es
f −1 ( g −1 ( E ) ) ∈ M ⇒ ( g o f ) ( E ) ∈ M , lo que significa que g o f es medible.
−1
Proposición 2.8 Sean (Yi ,N i )i∈I una familia de espacios medibles, X un conjunto
y π i : Y → Yi ∀i ∈ I las proyecciones naturales de Y sobre los Yi . Sea N la
σ − álgebra inicial correspondiente sobre Y.Sea ( X ,M ) un espacio medible y
f : X → Y , entonces f es medible si y solo sí fi = π i o f son medibles ∀i ∈ I .
Demostración ⇒ por ser f y π i medibles ⇒ π i o f es medible por la
proposición anterior.
⇐ Supongamos que π i o f son medibles ∀i ∈ I . Por las proposiciones 2.1 y 2.6
alcanza con probar que ∀n ∈ ¥, ∀i1 , i2 ,..., in ∈ I , ∀Aik ∈Mik con k = 1,..., n se tiene:
 n −1

f  Iπ ik ( Aik )  ∈ M
 k =1

−1
y esto se deduce de:
−1
 n −1
 n
f  Iπ ik ( Aik )  = I (π ik o f ) ( Aik ).
43
 k =1
 k =1 1444444244444
∈M
−1
Proposición 2.9 Si R n indica la σ - álgebra de Borel en ¡ n entonces:
× R × ... ×R .
Rn = R
1444442444443
n veces
Demostración Si I indica la familia de intervalos abiertos en ¡ , y I n la
familia de productos de estos intervalos en ¡ n , tenemos que
σ (I n ) = R × R × ... × R (por que σ (I ) = R y R × R × ... × R es σ − álgebra
producto) Como los elementos de I n son abiertos, tenemos I n ⊆ R n y por
tanto R × R × ... × R ⊆ R n . Recíprocamente, como todo abierto de ¡ n puede ser
escrito como una unión numerable de elementos de I n , tenemos que todo abierto
es perteneciente a R × R × ... × R , y por tanto R n ⊆ R × R × ... × R.
Corolario 2.10 Sea ( X ,M ) espacio medible y f1 , f 2 ,..., f n funciones que toman
valores en ¡ . Entonces ellas son medibles si y solo sí la función
- 35 -
Análisis Real
Capítulo 2
- 36 -
ω Î ( f1 (ω ) , f 2 (ω ) ,..., f n (ω ) ) es (M − R n ) − medible.
Como consecuencia tenemos que:
Proposición 2.11 Sea ( X ,M ) espacio medible, f y g dos funciones medibles que
toman valores en ¡ , c ∈ ¡ entonces las funciones:
cf , f 2 , f , f + , f − , f + g y fg
son medibles ( f + = max { f , 0} , f − = max {− f , 0} )
Demostración Las primeras 5 son composición de f con una función contunua.
Para probar que f + g es medible procedemos de la siguiente forma:
x + y ∈ ¡ es continua y por tanto R × R medible.
A la función ( x, y ) ∈ ¡ × ¡ Îx
La función ω ∈ M Î ( f (ω ) , g (ω ) ) ∈ ¡ 2 es (M − R × R ) − medible.
Como f + g es composición de estas dos funciones ella también es medible. El
mismo argumento usamos con el producto.
Estudiaremos funciones reales positivas f : X → [ 0, +∞ ]
¡ + = ¡ + U {+∞} U {0}
B ([0, +∞ ]) = {E ⊆ [0, +∞ ] : E I ¡ ∈B ( ¡ )}
Observación 2.2 Sea ( X ,M ) espacio medible, para que f : X → [ 0, +∞ ] sea
medible en [ 0, +∞ ] alcanza con probar que:
f −1 ([ a, +∞ ]) ∈ M o f −1 ([ a, +∞ ) ) y f −1 ({+∞}) ∈ M
Definición 2.7 Sea ( X ,M ) espacio medible y una función f : X → [ 0, +∞ ]
definimos el siguiente conjunto:
{ f : X → [ 0, +∞ ] : f es medible} = L+ ( X ,M )
o simplemente L+ .
Proposición 2.12 Sea una sucesión de funciones ( f n )n∈¥ ∈ L+ entonces las
funciones:
g1 ( x ) = sup f n ( x )
g 2 ( x ) = inf f n ( x )
n∈¥
n∈¥
n →+∞
n →+∞
g 3 ( x ) = lim sup f n ( x ) g 4 ( x ) = lim inf f n ( x )
todas pertenecen a L . Además si f ( x ) = lim f n ( x ) existe para todo x ∈ X ,
+
n →+∞
- 36 -
Análisis Real
Funciones medibles
- 37 -
entonces f ∈ L+ .
Demostración Para g 2 se tiene:
g 2−1 ( ( a, +∞ ]) = { g 2 > a} = U { f n > a} = U f n−1 ( ( a, +∞ ]) ∈ M
1444442444443
n∈¥
n∈¥
∈M
g
−1
2
f ([ 0, a ) ) ∈ M
([ 0, a ) ) = { g 2 < a} = U { fn < a} = U 1444
4244443
n∈¥
n∈¥
−1
n
∈M
analogamente para g1 . Si hk ( x ) = sup n> k f n ( x ) tenemos que hk es medible para
cada k, así g 3 ( x ) = inf k hk es medible. Igual con g 4 . Finalmente si existe el límite
de las f n para todo x, se tiene que f = g 3 = g 4 , y así es f medible.
Corolario 2.13 El máximo, mínimo y límite de funciones si existen son medibles.
Definición 2.8 Sea ( X ,M ) un espacio medible, a la función χ A : X → {0,1}
llamamos funcion característica de A o función indicadora de A si esta definida
como sigue:
1 si x ∈ A
χ A ( x) = 
0 si x ∉ A
Observación 2.3 La función característica de un conjunto A es medible si y solo sí
A∈M ya que:
φ si {0,1} ∉ B

 X si 0 y 1 ∈ B
χ A−1 ( B ) = 
 A si 1 ∈ B y 0 ∉ B
 AC si 1 ∉ B y 0 ∈ B
Observación 2.4 Sea A y B dos conjuntos disjuntos entonces:
χ Aâ B = χ A + χ B
Ya que

 χ A = 1
 x ∈ A y x ∉ B ⇒  χ = 0
 B


χ Aâ B = 1 ⇔ 
o
 ⇔ 1 = χ A + χB

χ = 0
 x ∈ B y x ∉ A ⇒  A

=
χ
1

 B

Para el caso particular que todo el espacio X = A U B con A y B disjuntos se tiene:
χ A + χB = χ X = 1
- 37 -
Análisis Real
Capítulo 2
- 38 -
luego como siempre X = A U AC ⇒ χ A + χ AC = 1
Generalizando para una sucesión ( An )n∈¥ de conjuntos disjuntos dos a dos:
χâ
n∈¥
An
= ∑ χ An
n∈¥
Observación 2.5 Sean A y B dos conjuntos, entonces:
χ AI B = χ A ⋅ χ B
Ya que:


 x ∈ A ⇒ χ A = 1

 1 si x ∈ A I B ⇒ 
χ A ⋅ χB 
⇒
=
y
1




 x ∈ B ⇒ χ = 1




B
χ AI B ( x ) = 
 = χ A ⋅ χB ( x)
 x ∉ A ⇒ χ A = 0



0 si x ∉ A I B ⇒ 
o
 ⇒ 0 = χ A ⋅ χB 


 x ∉ B ⇒ χ = 0




B
Generalizando para una sucesión ( An )n∈¥ tenemos:
χ
I An
n∈¥
= ∏ χ An
n∈¥
Definición 2.9 Sea ( X ,M ) un espacio medible f : X → [ 0, +∞ ] se dice que es
una función simple si y solo sí existen a1 , a2 ,..., an ∈ ¡ + y A1 , A2 ,..., An ∈ M
disjuntos dos a dos tales que:
n
f = ∑ ai χ Ai
i =1
Al conjunto de las funciones simples notamos por S +
n
Observación 2.4 Si los ai son distintos, la función simple f = ∑ ai χ Ai es única.
i =1
La suma y el producto de funciones simples son simples.
Definición 2.10 En las mismas condiciones que la definición anterior si la
sumatoria en vez de ser finita es infinita a saber:
∞
f = ∑ ai χ Ai
i =1
decimos que f es una función elemental.
En la siguiente proposición probaremos que L+ = S + .
- 38 -
Análisis Real
Funciones medibles
- 39 -
Proposición 2.14 (Teorema de Caracterización de L+ )
Dada f ∈ L+ , existe una sucesión de funciones simples ( f n )n∈¥ ⊆ S + tales que:
i) 0 ≤ f1 ≤ f 2 ≤ ... ≤ f n < f ∀n ∈ ¥
ii) lim f n ( x ) = f ( x ) en X (convergencia puntual)
n →+∞
iii) Si f ( x ) ≤ k
∀x ∈ A ⇒ f n | A Ã f | A (converge uniformemente).
Demostración
Tomemos la función:
i −1
χ A( n,i) + nχ{ f ≥ n}
n
i =1 2
i −1
i
siendo A( n ,i ) = x ∈ X : n ≤ f ( x ) < n por definición esta claro que f n ∈ S +
2
2
Al intervalo [ 0, n ] lo dividimos en n2 n intervalitos de longitud 21n y de n en
n 2n
fn = ∑
{
}
adelante un solo intervalo.
n
i
2n
interv.i
i−1
2n
A( n ,i )
A( n ,i )
A( n ,i )
Se tiene que:
fn ( x )


f n +1 ( x ) = 
1
 f n ( x ) + 2 n+1
luego f n +1 ≥ f n en f −1 ([ 0, n ])
en f −1 ([0, n ])
y en f −1 ([ n, +∞ ) ) f n = n y f n+1 = n + 1 > f n , luego f n es monótona
creciente y por definición ≤ f .
- 39 -
Análisis Real
Capítulo 2
- 40 -
ii) Si f ( x ) = ∞ ⇒ f n ( x ) = n → ∞
Si f ( x ) ≤ k ⇒ sea n0 tal que n0 > k entonces ∀n ≥ n 0 :
1
0 ≤ f ( x ) − fn ( x ) ≤ n → 0
2
∴ fn ( x ) → f ( x )
iii) Si f ( x ) ≤ k
∀x ∈ A se tiene:
1
0 < f − f n < n ⇒ lim f n = f
n →∞
2
∀x ∈ A
Corolario 2.15 Sea f : X → £ una función medible, entonces existe
una sucesión ( f n )n∈¥ de funciones simples tal que:
i) f n ( x ) → f ( x )
ii) Si f está acotada sobre E ⊆ X entonces:
f n |E Ã f | E
iii) f n ( x ) ≤ f n+1 ( x ) ≤ f
Demostración
Consideremos primero f : X → ¡ siendo ¡ = ¡ U {−∞} U {+∞} y sean
f n y g n funciones simples como en la proposición anterior, f n con
respecto a f + y g n con respecto a f − .
Sea hn ( x ) = fn ( x ) − gn ( x )
→
{
f + ( x ) − f − ( x ) = f ( x ) de igual
por prop. anterior
forma se demuestra ii).
hn = f n + g n ≤ f n+1 + g n+1 = hn+1 ≤ f + + f − = f
En el caso complejo f : X → £ se deduce igual al caso anterior
pasando a Re f y Im f .
- 40 -
Capítulo 3
Integración
Definición 3.1 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida. Se dice que una propiedad se
satisface en casi todo punto según µ ( ctp − µ ) , si el conjunto de puntos donde no
se satisface la propiedad está contenido en algún conjunto de medida nula.
Ejemplo 3.1 Sea f : ¡ → ¡ tal que f ( x ) = senx la propiedad senx ≠ 0 es ctp − m
siendo m la medida de Lebesgue.
Ejemplo 3.2 f : ¡ → ¡ tal que:
con
p
q
0 si x ∈ ¤ o x = 0
f ( x) =  1
p
 q si x = q
fracción irreducible q > 0 entonces:
a) f = 0 ctp − m
b) Además f es continua ctp − m
Definición 3.2 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida, sea f ∈ S + una función
simple, es decir:
n
f = ∑ a j χ E j donde
j =1
(E )
j
n
j =1
es una partición medible de X
(i.e.: E j ∈ M ∀j = 1,..., n ; X = âE j ) Entonces definimos:
n
j =1
∫
n
X
f dµ = ∑ a j µ ( E j )
j =1
Usaremos indistintamente si no hay lugar a confusión
- 41 -
∫ f =∫
X
f = ∫ f dµ
X
Análisis Real
Capítulo 3
- 42 -
Observación 3.1 La definición anterior no depende de la partición.
n
m
j =1
i =1
Sea f = ∑ a j χ E j = ∑ bi χ Fi entonces
n
m
j =1
i =1
∑ a j µ ( E j ) = ∑ bi µ ( Fi ) ya que:
n
m
∑ a j µ ( E j ) = ∑ ci , j µ ( E j I Fi ) = ∑ bj µ ( Fj )
j =1
j =1
i, j
veamos ahora algunas propiedades que cumples las integrales de funciones simples
Proposición 3.1 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida, ϕ ,ψ ∈ S + (funciones simples
no negativas) entonces se cumplen las siguientes propiedades:
i) Si ϕ ≤ ψ ⇒ ∫ ϕ dµ ≤ ∫ψ dµ
ii) Si c ≥ 0 ⇒ ∫ cϕ dµ = c ∫ ϕ dµ
iii) ∫ (ϕ + ψ ) dµ = ∫ ϕ d µ + ∫ψ dµ
µϕ : M → [ 0, +∞ ]
iv)Si
y
definición
definimos
µϕ ( A ) = ∫ ϕ dµ := ∫ ϕχ
{A dµ
A
entonces µϕ es una medida.
∀A ∈ M
∈S +
Demostración Sean las representaciones de las funciones simples:
n
m
i =1
j =1
ϕ = ∑ ai χ Ei , ψ = ∑ b j χ F j
podemos escribir las mismas de la siguiente forma:
n
m
m
n
ϕ = ∑∑ ai χ Ei I Fj , ψ = ∑∑ b j χ Ei I F j
i =1 j =1
j =1 i =1
por lo tanto puede suponerse que:
N
N
k =1
k =1
ϕ = ∑α k χ Gk , ψ = ∑ β k χ Gk donde ( Gk )k =1 es una partición medible de X.
N
i)
N
N
α k ≤ β k ⇒ ∑α k χ Gk ≤ ∑ β k χ Gk
k =1
P
k =1
P
∫ ϕ dµ ≤ ∫ψ dµ
análogamente se prueban ii) y iii) Probemos ahora iv)
a) µϕ (φ ) = ∫ ϕ χφ dµ = ∫ 0 dµ = 0
{
=0
b) Sea ( An )n∈¥ ⊆ X una familia numerable de conjuntos disjuntos dos a dos,
entonces:
- 42 -
Análisis Real
Integración
- 43 -
n
n
∞ 
µϕ  âAk  =
= ∫ ∑ ai χ Ei Iâ Ak dµ =
{ ∫ ϕχ â Ak dµ = ∫ ∑ ai χ Ei χ â Ak dµ obser.
2.5
 k =1  por def.
i =1
i =1
n
∞
∞

 n
∞
 n
= ∑ ai µ  Ei I âAk  = ∑ ai µ  â ( Ei I Ak )  = ∑ ai ∑ µ ( Ei I Ak ) =

 i =1
 k =1
 i =1 k =1
k =1
i =1
∞
∞
n
∞
n
∞
= ∑∑ ai µ ( Ei I Ak ) = ∑ ∫ ∑ ai χ Ei χ Ak d µ = ∑ ∫ ϕ dµ = ∑ µϕ ( Ak )
k =1 i =1
k =1 1442443
i =1
k =1 Ak
k =1
ϕ
Definición 3.3 Dado ( X ,M , µ ) espacio de medida y la función simple f para un
conjunto A∈M definimos:
∫ f dµ = ∫ f χ Adµ
A
X
Debido a la proposición 2.14, dada una función f ∈ L+ sabemos que existe una
sucesión f n ∈ S + de funciones simples tales que f n Z f , entonces tiene sentido
introducir la siguiente definición.
Definición 3.4 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida, f ∈ L+ y ( f n )n∈¥ ⊆ S + tal
que f n Z f definimos:
∫
X
f dµ = lim ∫ f n dµ
X
n
Si dicho límite da finito decimos que f es integrable.
Proposición 3.2 La definición anterior es consistente, es decir que si tenemos dos
sucesiones ( f n )n∈¥ , ( g n )n∈¥ de funciones simples tales que f n Z f y g n Z f
entonces:
lim ∫ f n dµ = lim ∫ g n dµ
Demostración Probaremos que:
lim ∫ f n ≥ ∫ g p
∀p ∈ ¥
n
como se cumple para todo p podemos pasar al límite en p y se tiene
lim ∫ f n ≥ lim ∫ g p
n
p
la otra desigualdad se prueba de la misma forma.
Supongamos primero el caso finito:
1) µ ( X ) < ∞
Sea ε > 0 arbitrario y p fijo, definimos:
- 43 -
Análisis Real
Capítulo 3
- 44 -
An = { x : g p ( x ) − ε ≤ f n ( x )
}
Claramente por ser ( f n ) creciente An Z X , llamemos M = max { g p ( x ) : x ∈ X }
entonces:
εχ An =
∫ f n ≥ ∫ f n χ An ≥ ∫ ( g p − ε )χ An = ∫ g p χ An − ∫{
εµ ( An )
obser. 2.4
=
∫g
p
(1 − χ ) − εµ ( A ) = ∫ g
( An )C
n
p
− ∫ g p χ ( A )C − εµ ( An ) ≥
n
≥ ∫ g p − ∫ M χ AC − εµ ( An ) ≥ ∫ g p − M µ ( A ) − ε µ ( An )
1442443
n
1442443
C
n
→µ( X )
→ µ (φ )= 0
Pasando al límite:
lim ∫ f n ≥ ∫ g p − εµ ( X )
n
Como el ε es arbitrario > 0 y µ ( X ) < ∞ entonces haciendo ε → 0+ :
lim ∫ f n ≥ ∫ g p
n
∀p ∈ ¥
Sea ahora el caso infinito, llamemos G p = { x : g p ( x ) > 0}
2)Entonces si µ ( G p ) < ∞ podemos restringir la función g p a G p y aplicar lo
anterior ⇒ lim ∫ f n ≥ ∫ g p en G p y como en G Cp , g p = 0 también se cumple, por lo
n
que se verifica en todo X.
Si µ ( G p ) = ∞ sea m = min { g p ( x ) : x ∈ G p } por ser g p ∈ S + existe el mismo y es
m > 0 , tomemos ε > 0 tal que 0 < ε < m , en este caso definimos
Bn = { x : g p ( x ) − ε ≤ f n ( x ) } I G p
Claramente Bn Z G p entonces:
∫f ≥∫f χ
n
n
y pasando al límite
Bn
≥ ∫ ( g p − ε )χ Bn ≥ ∫ ( m − ε ) χ Bn = ( m − ε ) µ ( Bn )
lim ∫ f n ≥ ( m − ε ) µ ( G p ) = ∞ = ∫ g p
n
Observación 3.2 Si f es simple la definición 3.4 coincide con la definición 3.2.
Además si A es medible y f n ∈ S + , f n Z f ⇒ f n χ A Z f χ A entonces por definición
∫
X
f χ A dµ = lim ∫ f n χ A dµ = lim ∫ f n dµ = ∫ f dµ
n
X
n
A
A
+
luego también vale la definición 3.3 para funciones f ∈ L
∫
A
f dµ = ∫ f χ A dµ
X
Proposición 3.3 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida, f , g ∈ L y c ≥ 0 entonces
se cumplen:
+
- 44 -
Análisis Real
Integración
- 45 -
i) ∫ cf dµ = c ∫ f dµ considerando el caso 0 ⋅ ∞ = 0
ii) Si f ≤ g ⇒ ∫ f dµ ≤ ∫ g dµ
iii) ∫ ( f + g ) dµ = ∫ f dµ + ∫ g dµ
iv)
∫
Aâ B
f dµ = ∫ f dµ + ∫ g dµ ∀A, B ∈M
A
B
Demostración Existe una sucesión de funciones simples f n Z f como c ≥ 0
entonces cf n Z cf y por definición:
lim ∫ cf n = ∫ cf


P
 ⇒ ∫ cf = c ∫ f
lim c ∫ f n = c lim ∫ f n = c ∫ f 

n
n
n
f n simple
ii) Sea f ≤ g sabemos que existen ( f m )m∈¥ , ( g n )n∈¥ sucesiones de funciones
simples tales que f m Z f y g n Z g si fijamos m = p , como g n Z g ≥ f ≥ f p se
tiene que existe n0 ∈ ¥ tal que g n ≥ f p ∀n ≥ n0 , por ser funciones simples se
cumple:
∫ f p ≤ ∫ g n ∀n ≥ n0
pasando al límite en n → ∞
∫f
p
≤ lim ∫ g n = ∫ g
n
∀p ∈ ¥
como se cumple para todo p podemos pasar al límite en p
lim ∫ f p ≤ lim ∫ g n = ∫ g 
p
n

P
⇒ ∫ f ≤ ∫g

∫f

iii) Tomemos dos sucesiones simples como el caso anterior f n Z f y g n Z g
entonces ( f n + g n ) Z ( f + g ) y aplicando la definición 3.3
lim ∫ ( f n + g n ) = ∫ ( f + g )
n
pero por propiedad de funciones simples
∫ ( fn + gn ) = ∫ fn + ∫ gn
y pasando al límite
lim ∫ ( f n + g n ) = lim ∫ f n + lim ∫ g n
n
n
P
∫( f + g)
=
∫f
- 45 -
n
P
+
P
∫g
Análisis Real
iv)
∫
Aâ B
Capítulo 3
- 46 -
f dµ = ∫ f χ A â B d µ = ∫ f ( χ A + χ B ) d µ =
X
X
= ∫ f χ A dµ + ∫ f χ B dµ = ∫ f dµ + ∫ f dµ
X
X
A
B
Proposición 3.4 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y f ∈ L+ entonces:
∫ f dµ = 0 ⇔
f = 0 c.t.p − µ
Demostración ⇒ Consideremos el conjunto donde la función no es cero.
E = f −1 ( ( 0, +∞])
E ∈M ya que f ∈ L+ y sean los conjuntos En definidos como sigue:
En = f −1 ([ 1n , +∞ ])
En ∈M además En ⊆ En +1 y
∞
UE
n =1
n
= E entonces:
0 = ∫ f dµ ≥ ∫ f χ E n d µ
prop.3.3(ii)
≥
def.
1
n
luego µ ( En ) = 0 ∀n ∈ ¥ y entonces:
∫ χ En dµ = 1n µ ( En ) ≥ 0
∞

µ ( E ) = µ  U En  = lim µ ( En ) = 0
n 1442443
 n =1 
=0
por definición ⇒ f = 0 c.t.p. − µ
⇐ Sea ( f n )n∈¥ ⊆ S + tal que f n Z f entonces:
f n−1 ( ( 0, +∞]) ⊆ f −1 ( ( 0, +∞ ])


luego 0 ≤ µ ( f n−1 ( ( 0, +∞ ]) ) ≤ µ  f −1 ( ( 0, +∞ ])  = 0 entonces µ ( f n−1 ( ( 0, +∞]) ) = 0 y
 1444442444443 


=E
si una representación de f n es:
n
f n = ∑ a j χ E j con
j =1
UE
n
j =1
j
=E
se tiene por definición:
∫
n
f n dµ = ∑ a j µ ( E j ) =
j =1
( f ( ( 0, +∞]) ) = 0
∑ a µ ( E ) ≤ ∑ a µ144444424444443
j:a j ≠ 0
j
j
j:a j ≠ 0
j
−1
n
=0
Corolario 3.5 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y f , g ∈ L+ tales que
f = g c.t.p. − µ entonces:
∫ f dµ = ∫ g dµ
- 46 -
Análisis Real
Integración
- 47 -
Demostración Si f = g c.t.p. − µ ⇒ que existe N ∈M tal que µ ( N ) = 0, con:
f |X \ N = g |X \ N
por otro lado como f χ N y g χ N son ceros salvo en N que tiene medida nula (o en
un conjunto que está contenido en N), luego por definición son cero c.t.p. − µ ⇒
∫ f dµ = ∫ ( f χ
N
+ f χ X \ N )d µ = ∫ f χ N dµ + ∫ f χ X \ N dµ =
144424443
=0
= ∫ g χ X \N
=0
64447444
8
dµ = ∫ g χ N d µ + ∫ g χ X \ N d µ = ∫ ( g χ N + g χ X \ N ) dµ = ∫ gdµ
Proposición 3.6 (Teorema de Convergencia Monótona) (Beppo Levi)
Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y ( f n )n∈¥ ⊆ L+ , f ∈ L+ tales que:
i) f n ( x ) ≤ f n+1 ( x ) c.t.p. − µ
ii) Si f n ( x ) → f ( x ) puntualmente c.t.p. − µ , entonces:
lim ∫ f n dµ = ∫ lim f n dµ = ∫ f dµ
n
n
Demostración Como la convergencia es puntual c.t.p. − µ , ∀k ∈ ¥ ∃N k ∈ M tal
que µ ( N k ) = 0 y f k ( x ) ≤ f k +1 ( x ) ∀x ∉ N k además existe N ′ ∈M tal que
µ ( N ′ ) = 0 y f n ( x ) → f ( x ) ∀x ∉ N ′.
∞

Sea N =  U N k  U N ′ ⇒ N ∈ M y µ ( N ) = 0.
 k =1 
Por otro lado se tiene
f k χ X \ N ( x ) ≤ f k +1 χ X \ N ( x ) ∀k ∈ ¥ y ∀x ∈ X
y
f k χ X \ N ( x ) → f χ X \ N ( x ) ∀x ∈ X
si probamos:
∫ f k χ X \ N d µ → ∫ f χ X \ N dµ
Por ser f k χ N y f χ N iguales a cero c.t.p. − µ , como en el corolario anterior se tiene:
∫f
k
dµ = ∫ f k χ X \ N dµ →
∫fχ
X \N
dµ =
∫ f dµ
En consecuencia se puede suponer que:
f k ( x ) ≤ f k +1 ( x ) ∀k ∈ ¥ y ∀x ∈ X
f k ( x ) → f ( x ) ∀x ∈ X
Sea ( f n,m )m∈¥ una sucesión de funciones simples no negativas, tal que:
f n ,m Z f n
∀n ∈ ¥
observemos
- 47 -
Análisis Real
Capítulo 3
- 48 -
f1,1
f1,2
L
f1,m
→
f1
f 2,1
f 2,2 L
f 2,m
→
f2
M
M
M
→
fn
f n ,2 L
f n ,1
definimos:
m
m
f n ,m
m
g m = max f n,m
n≤ m
entonces para todo m las g m son funciones simples no negativas y la sucesión
( g m )m∈¥ es creciente y demostraremos que g m Z f .
Si 1 ≤ n ≤ m, ⇒ f n,m ≤ gm ≤ f m tomando límite cuando m → ∞ , obtenemos
f n ≤ lim g m ≤ f
m
y haciendo ahora el límite cuando n → ∞ ,
f ≤ lim g m ≤ f
m
entonces g m Z f y por definición si 1 ≤ n ≤ m
∫ f dµ = lim ∫ g
m
m
dµ
por otro lado aplicando la monotonía a f n ,m ≤ gm ≤ fm
∫f
n ,m
dµ ≤ ∫ g m dµ ≤ ∫ f m dµ
haciendo el límite cuando m → ∞ se tiene
∫ f n dµ ≤ ∫ f dµ ≤ lim ∫ f m dµ
y cuando n → ∞
m
lim ∫ f n dµ ≤ ∫ f dµ ≤ lim ∫ f m dµ
n
m
luego lim ∫ f n dµ = ∫ f dµ = ∫ lim f n dµ .
n
n
Corolario 3.7 Si ( f n )n∈¥ ⊆ L+ entonces:
∞
∫∑
n =1
∞
f n dµ = ∑ ∫ f n dµ
n =1
Demostración Basta con considerar
N
lim ∑ f n Z
N
n =1
N
y aplicamos la proposición anterior.
- 48 -
N
∑f
n =1
n
Análisis Real
Integración
- 49 -
Veamos con algunos ejemplos la importancia de que se cumpla la hipótesis de la
monotonía.
Ejemplo 3.1 Sea f n : ¡ → ¡ tal que f n = 2n χ
Entonces
∫f
n
por otro lado
(0, )
1
2n
dm = 2n m ( ( 0, 21n ) ) = 1 ∀m
2n
lim f n = 0 = f ( x ) ∀x
n
y luego
∫ f dm = 0
1
2n
no se cumple el TCM (Teorema de Convergencia
Monótona) porque no tiende a f monótonamente ya que:
f n +1 ( x ) ≥ f n ( x ) en general, pero si x ∈  2n1+1 , 21n  ⇒ f n +1 ( x ) = 0 y f n ( x ) = 2n luego
f n +1 ( x ) < f n ( x ) .
Ejemplo 3.2 Veamos ahora un ejemplo en que sí se cumple.
Sea g ∈ L+ [0,1] tal que g ( x ) < ∞ ∀x entonces:
x n ≥ x n+1 ∀x ∈ [ 0,1]
entonces
1 − x n ≤ 1 − x n+1
∴ g ( x ) (1 − x n ) ≤ g ( x ) (1 − x n+1 )
1444442444443 1444442444443
gn ( x )
g n +1 ( x )
y
 g ( x ) si x ≠ 1
lim g n ( x ) = 
 = h ( x)
n
si x = 1 
0
se tiene g n ( x ) Z h ( x ) aplicando la proposición:
lim ∫
n
g
[0,1] n
( x ) dm = ∫[0,1] h ( x ) dm = ∫[0,1] g ( x ) dm
luego
lim ∫
n
[0,1]
g ( x ) (1 − x n ) dm = ∫
[0,1]
g ( x ) dm
para sucesiones no negativas, no monótonas tenemos el teorema de Fatou
- 49 -
Análisis Real
Capítulo 3
- 50 -
Proposición 3.8 (Lema de Fatou) Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y sean
( f n )n∈¥ ⊆ L+ y f = lim f n (límite inferior) entonces:
∫ f dµ ≤ lim∫ f
o sea ∫ lim f n dµ ≤ lim ∫ f n dµ .
Demostración Definimos:
n
dµ
g n = inf f k
k ≥n
Por definición de límite inferior se tiene:
f ( x ) = lim f n ( x ) = supinf f k ( x )
k ≥n
n
n ≥1 14442444
3
gn ( x )
+
Así f ∈ L y por definición de g n :
g n ( x ) ≤ g n+1 ( x ) ∀n ∈ ¥ y ∀x ∈ X con g n Z f
∫ f dµ = ∫ lim g
n
( x ) dµ ={ lim ∫ g n ( x ) dµ = sup n ∫ g n dµ
TCM
por otro lado, si k ≥ n ⇒ g n ≤ f k y se tiene:
∫g
n
dµ ≤ ∫ f k dµ ∀k ≥ n
entonces
∫g
n
dµ ≤ inf k ≥ n ∫ f k dµ
tomando supremo
∫ f dµ = sup n ∫ g n dµ ≤ sup n inf k ≥n ∫ f k dµ = lim ∫ f n dµ
n
luego
∫ f dµ ≤ lim ∫ f
n
n
dµ .
En el ejemplo 3.1 g n = 0 ∀n ∈ ¥ y justifica que podemos tener la desigualdad
estricta o sea
f n dµ < lim ∫ f n dµ = 1
∫ lim
{
=0
Corolario 3.9 Sea ( f n )n∈¥ sucesión de funciones medibles y g, h dos funciones
integrable tales que:
i) f n ≥ g entonces
ii) f n ≤ h entonces
∫ lim f
n
≤ lim ∫ f n
- 50 -
Análisis Real
Integración
∫ lim f
- 51 -
≥ lim ∫ f n
n
Demostración Probaremos el item i) para el otro caso se procede análogamente.
Aplicamos la proposición anterior para
hn = f n − g ≥ 0
entonces:
∫ limhn ≤ lim∫ hn
luego sustituyendo
∫ lim ( f n − g ) = ∫ lim f n − g = ∫ lim f n − ∫ g ≤ lim ∫ ( f n − g ) = lim∫ f n − ∫ g
entonces
∫ lim f
n
− ∫ g ≤ lim ∫ f n − ∫ g
Proposición 3.10 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y f ∈ L+ tal que
∫ f dµ < ∞
entonces:
i) E = { x : f ( x ) > 0} es σ − finito
ii) F = { x : f ( x ) = ∞} es tal que µ ( F ) = 0 .
Demostración Probemos primero ii) tenemos que f ≥ f χ F luego:
∞ > ∫ f dµ ≥ ∫ f χ F d µ = ∞ ∫ χ F d µ = ∞ µ ( F ) ⇒ µ ( F ) = 0
ahora probemos i)
Sea En = { x : f ( x ) >
∞
1
n
} ⇒ E = U En basta ver que En tiene medida finita.
Ahora f ≥ f χ En entonces:
n =1
∞ > ∫ f dµ ≥ ∫ f χ E n d µ ≥
1
n
∫ χ En dµ =
luego µ ( En ) < ∞ ∀n ∈ ¥.
µ ( En )
n
∀n ∈ ¥
Integrales de funciones cualesquiera
Hasta ahora consideramos funciones cuyo recorrido son los reales no negativos, para
considerar las funciones cuyo recorrido son los reales ampliados, introducimos las
siguientes definiciones.
Definición 3.5 Sea f : X → ¡ medible tal que ∫ f + dµ o ∫ f − dµ < ∞ entonces
definimos:
∫ f dµ = ∫ f
+
dµ − ∫ f − dµ
- 51 -
Análisis Real
Capítulo 3
- 52 -
y decimos que f es µ -integrable o simplemente integrable si y solo sí ambas son
finitas, es decir:
 ∫ f + dµ < ∞


f integrable ⇔  y
 f − dµ < ∞
 ∫
Observación 3.3 Si f es medible, f es integrable si y solo sí f es integrable.
Veamos ⇐ tenemos que f + , f − ≤ f ⇒ ∫ f + , ∫ f − ≤ ∫ f < ∞ luego f es integrable.
⇒ f integrable ⇒ ∫ f + , ∫ f − < ∞ lo que implica que:
∫
f = ∫( f + + f − ) = ∫ f + + ∫ f − < ∞
{ {
<∞
<∞
y f es integrable.
Ejemplo 3.3 Sea N un conjunto no medible y f definida como f = χ N − χ N C es no
medible pero f = 1 .
Proposición 3.11 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y sea L ( X ,M ) o L ( X ) el
conjunto de funciones medibles sobre los reales, entonces el conjunto
υ = { f ∈ L ( X ) : f es µ − integrable} es un espacio vectorial sobre ¡ .Además el
mapa integral :
∫:υ → ¡
f Î ∫ f dµ
es una funcional lineal.
Demostración
Sean f , g ∈υ a, b ∈ ¡ , como af + bg ≤ a f + b g entonces:
f dµ + b ∫ g dµ < ∞
∫ af + bg dµ ≤ a ∫1442443
1442443
<∞
<∞
y ( af + bg ) ∈ υ
Sean ahora f , g ∈υ , consideremos h = f + g y como:
h = h+ − h− = f + + g + − f − − g − = ( f + − f − ) + ( g + − g − )
reagrupando se tiene
h+ + f − + g − = h− + f + + g + .
- 52 -
Análisis Real
Integración
- 53 -
como todos ∈ L+ , integramos y por la proposición 3.3 (iii) se tiene:
+
−
+
−
+
−
∫h + ∫ f + ∫g = ∫ h + ∫ f + ∫ g
y reagrupando
f − ∫ f +∫ g − ∫ g
∫ h = ∫ h − ∫ h = ∫1444
4244443 14444244443
+
−
+
−
∫f
luego ∫ h = ∫ f + ∫ g .
+
−
∫g
Veamos ahora la integración cuando las funciones tienen recorrido los complejos y
para ello primero introducimos algunas definiciones.
Funciones complejas
Definición 3.6 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y f : X → £ una función
medible ( f ∈ L ( X ) ) decimos que f es µ − integrable o simplemente integrable si
Re f , Im f son integrables. Además la integral es por definición:
∫ f d µ = ∫ Re f dµ + i ∫ Im f dµ
que a su vez es ∫ f dµ = Re ∫ f dµ + i Im ∫ f dµ
Proposición 3.12 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y sea L ( X ,M ) o L ( X ) el
conjunto de funciones medibles sobre los complejos, entonces el conjunto
υ = { f ∈ L ( X ) : f es µ − integrable} es un espacio vectorial sobre £ .Además el
mapa integral :
∫:υ → £
es una funcional lineal y
∫ f dµ ≤ ∫
f Î ∫ f dµ
f dµ .
Demostración La demostración de ser un espacio vectorial es igual a la anterior
separando parte real de la imaginaria.
La última afirmación es trivial si ∫ f = 0 , si f es real:
∫f
=
∫f
+
−∫ f− ≤∫ f+ +∫ f− =∫ f
Ahora si f es compleja no nula entonces sea α = ∫ f , y consideremos β =
∫β f
= β∫ f =
α
α = α luego
α
∫ f = ∫β f
α
y
α
= Re ∫ ( β f ) + i Im ∫ ( β f ) = ∫ Re ( β f ) y:
1442443
=0
- 53 -
Análisis Real
Capítulo 3
- 54 -
∫ f = ∫ Re ( β f ) ≤ ∫ Re β f ≤ ∫ β f = ∫
f
tal
Definición 3.7 Dado un espacio vectorial υ una función ⋅ : υ → [ 0, +∞ ]
que:
i) f + g ≤ f + g ∀f , g ∈υ
ii) α f = α f ∀α ∈ £, ∀f ∈υ
Decimos que ⋅ es una seminorma, a la pareja (υ , ⋅ ) se le llama espacio
seminormado. Si además se sastisface:
iii) f = 0 ⇒ f = 0
Entonces decimos que ⋅ es una norma, y a la pareja (υ , ⋅ ) se le llama espacio
normado.
Observación 3.4 Dado un espacio seminormado sea N = { f ∈υ : f = 0} , es un
υ
subespacio vectorial de υ ; sobre el cociente υ =
definimos f : := f siendo
N
υ
f la clase de f en , entonces (υ , ⋅ : ) es un espacio normado.
N
Ya que si g ∈ f ⇒ g − f ∈ N y entonces:
g = g− f + f ≤ g− f + f = f
1442443
=0
pero haciendo el mismo razonamiento a f ∈ g se tiene:
f ≤ g
luego f = g si f,g son de la misma clase, por lo que esta bien definido, además
si
por lo tanto (υ , ⋅
:
)
f
:
=0⇒ f =0 ⇒ f ∈N
∴f =0
es un espacio normado.
Definición 3.8 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida , el espacio vectorial υ de las
{
}
funciones µ integrables, y el subespacio N = f ∈ L ( X ) : ∫ f dµ = 0 ,se define el
espacio normado ( L1 ( µ ) , ⋅
1
) como:
υ
y f 1 = ∫ f dµ
N
el 1 del superíndice o subíndice no tiene ningún significado útil sino que es una
anotación estándar.
L1 ( µ ) =
- 54 -
Análisis Real
Integración
- 55 -
Observación 3.5 Si g ∈ f ⇔ g − f ∈ N ⇒ ∫ g − f dµ = 0 por proposición 3.4 ⇔
g − f = 0 c.t.p. − µ ⇔ f = g
c.t.p. − µ .
Proposición 3.13 Las siguientes implicaciones son válidas sií µ es completa:
i) Si f es medible y f = g c.t.p. − µ , entonces g es medible
ii) Si f n es medible ∀n ∈ ¥ y f n → f c.t.p. − µ , entonces f es medible.
Demostración Ejercicio.
Proposición 3.14 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y
( X ,M , µ )
su
completación. Si f es M − medible entonces existe g M − medible tal que f = g
c.t.p. − µ .
Demostración Tenemos que:
M = { F U K : F ∈ M K ⊆ N ∈ M tal que µ ( N ) = 0}
Primero lo probamos para funciones simples.
• Sea E ∈ M ⇒ ∃F ∈ M tal que E = F U E \ F con E \ F ⊂ N y µ ( N ) = 0 y sea
f = χ E ⇒ f es M − medible .
µ (E) = µ (F U E \ F ) = µ (F ) 
µ (E) − {
µ (F ) = 0
 ⇒ µ (E \ F ) = {
F ∈ M ⊂ M ⇒ µ ( F ) = µ ( F )
= µ( F )
=µ(F )
Sea g = χ F ⇒ g es M − medible y f ( x ) ≠ g ( x ) ⇔ x ∈ E \ F , como µ ( E \ F ) = 0
se tiene f = g c.t.p. − µ .
• Sean f y g funciones simples cualesquiera
n
f = ∑α j χ E j
j =1
con
(E )
j
n
j =1
partición M − medible
n
sea F j ∈ M tal que µ ( E j \ F j ) = 0 y consideremos g = ∑ α j χ F j entonces g es
j =1
M − medible y f ( x ) ≠ g ( x ) ⇒ x ∈ U E j \ Fj y como:
n
j =1
 n
 n
µ  U E j \ Fj  = ∑ µ ( E j \ Fj ) = 0
43
 j =1
 j =1 144442444
=0
entonces f = g c.t.p. − µ medible.
• Ahora para funciones cualesquiera
- 55 -
Análisis Real
Sea f
Capítulo 3
- 56 -
M − medible cualquiera, existe una sucesión ( f n )n∈¥ de funciones simples
con respecto a M , tal que:
1) f n ≤ f n+1
f n ( x ) → f ( x ) ∀x ∈ X
Ahora por lo anterior existe N ∈M tal que µ ( N ) = 0 y una sucesión ( g n )n∈¥ de
funciones simples con respecto a M tales que:
g n χ X \ N = f n χ X \ N y g n |N = 0
entonces:
0 si x ∈ N
lim g n ( x ) = 
n →∞
f n ( x ) = f ( x ) si x ∉ N
lim
n
cada g n es M − medible y por lo tanto g : g ( x ) = lim g n ( x ) es también
2)
n→∞
M − medible .
Además, si x ∉ N ⇒ f ( x ) = g ( x ) ; como µ ( N ) = 0 ⇒ f = g c.t.p. − µ
Proposición 3.15 Sean F ( X , M , cod ) = { f : X → cod: f es M − medible} donde
cod ∈ ( ¡ ,£ ,¡ ) entonces la relación : µ definida como sigue:
f :µ g ⇔ f = g
c.t.p. − µ ⇔ µ ({ x : f ( x ) ≠ g ( x )}) = 0
es una relación de equivalencia sobre F ( X , M , cod ) .
Demostración Ejercicio
Proposición 3.16 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y
completación, entonces:
i) El mapa:
F ( X , M , cod )
F ( X , M , cod )

→
:µ
:µ
[ f ]µ Î [ f ]µ
es una biyección.
ii) El mapa:
L1 ( µ ) 
→ L1 ( µ )
[ f ]µ Î [ f ]µ
es un isomorfismo entre espacios normados
Demostración Es consecuencia de las consideraciones anteriores.
- 56 -
( X ,M , µ )
su
Análisis Real
Integración
- 57 -
Proposición 3.17 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida, f , g ∈ L1 ( µ ) , entonces son
equivalente:
i) f = g c.t.p. − µ
∫ f − g dµ = 0
iii) ∫ f dµ = ∫ g dµ
ii)
E
E
∀E ∈ M
Demostración
i) ⇔ ii) f = g c.t.p. − µ ⇔ f − g = 0 c.t.p. − µ ⇔ f − g = 0 c.t.p. − µ ⇔
∫
f − g dµ = 0
i) ⇒ iii) Si E ∈ M ⇒ f χ E = g χ E c.t.p. − µ y por lo tanto
∫fχ
E
dµ = ∫ g χ E dµ y
por definición
∫
E
iii) ⇒ i)
f dµ = ∫ g dµ
E
 Re f = Re g 
como f = g c.t.p. − µ ⇔ 
 c.t.p. − µ
 Im f = Im g 
además
 ∫ Re f dµ = ∫ Re g dµ

∫E f dµ = ∫E g dµ ⇔  Im f dµ = Im g dµ
 ∫
∫
entonces podemos suponer que f y g toman valores reales y sea h = f − g tomemos
En = h −1 ([ 1n , +∞ ) ) ∀n ≥ 1, E = h −1 [( 0, +∞ )] entonces En es creciente y
luego µ ( E ) = lim µ ( En ) y se tiene:
∞
UE
n =1
n
= E,
n
1
0 ≤ µ ( En ) = ∫ n dµ ≤ n ∫ h dµ = n  ∫ f dµ − ∫ g dµ  = 0
En
En
En
En
14444444
3
n
4244444444
=0
por lo tanto µ ( En ) = 0 ∀n ⇒ µ ( E ) = 0 ⇒ h ≥ 0 c.t.p. − µ análogamente llegamos a
que h ≤ 0 c.t.p. − µ ⇒ h = 0 c.t.p. − µ ⇒ i) .
Observación 3.6 Las anteriores proposiciones nos permiten, a los efectos de
integrar, modificar una función en un conjunto de medida nula, sin modificar dicho
integral.
Proposición 3.18 (Teorema de Convergencia Dominada)
Sea una sucesión de funciones ( f n )n∈¥ ⊆ L1 ( µ ) y g ∈ L1 ( µ ) tales que:
- 57 -
Análisis Real
Capítulo 3
- 58 -
i) f n ≤ g c.t.p. − µ
ii) f n → f c.t.p. − µ
entonces f ∈ L1 ( µ ) y ∫ f dµ = lim ∫ f n dµ .
n
Demostración f es medible (previamente modificada en un conjunto de medida
nula) por las proposiciones 3.13 y 3.14.
Como f n ≤ g c.t.p. − µ modificando f n y f en un conjunto de medida nula se
tiene que f n ≤ g ∀x ∈ X y pasando al límite f ≤ g ∀x ∈ X y entonces:
∫
f dµ ≤ ∫ g dµ < ∞ por ser g ∈ L1 ( µ ) ⇒ f ∈ L1 ( µ ) ⇒ f ∈ L1 ( µ )
Por otro lado
f +g ≥0
fn ≤ g ⇒ − g ≤ fn ≤ g ⇒  n
 g − fn ≥ 0
y se tiene
≥
{ ∫ lim ( g + f n ) = ∫ ( g + f ) = ∫ g + ∫ f
∫ g + lim∫ fn = lim ∫ g + ∫ f n  = lim ∫ ( g + fn ) Fatou
∴ lim ∫ f n ≥ ∫ f
por otro lado aplicando algo parecido a g − f n se tiene:
∫ g − ∫ f = ∫ ( g − f ) = ∫ lim ( g − f
n
) ≤ lim ∫ ( g − f n ) = lim ( ∫ g − ∫ f n ) = ∫ g − lim ∫ f n
∴ lim ∫ f n ≤ ∫ f
luego
lim ∫ f n ≥ ∫ f ≥ lim ∫ f n ≥ lim ∫ f n
es decir que se tienen que cumplir las igualdades y al ser los límites superior e
inferior iguales se cumple que:
lim ∫ f n = ∫ f
Corolario 3.19 Sea una sucesión de funciones integrables ( f n )n∈¥ ⊆ L1 ( µ ) tal que
∞
∑ ∫ f dµ < ∞ , entonces:
n =1
n
∞
∑
n =1
f n converge c.t.p. − µ ,
∞
∞
∑f
n =1
∞
n
∈ L1 ( µ ) y además
∑ ∫ f dµ = ∫ ∑ f dµ
n =1
n
n =1
- 58 -
n
Análisis Real
Integración
- 59 -
Demostración Aplicando el corolario del TCM
∞
∞
f n dµ = ∑ ∫ f n dµ < ∞
∫∑
n =1
∞
entonces
∑
n =1
n =1
∞
∞
n =1
n=1
f n ∈ L1 ( µ ) ⇒ ∑ f n < ∞ c.t.p. − µ ⇒ ∑ f n converge c.t.p. − µ
∞
además, sea g = ∑ f n entonces:
n =1
n
∑f
j =1
n
j
( x ) ≤ ∑ f j ( x ) ≤ g ( x ) c.t.p. − µ
j =1
}
n
n
y como g ∈ L1 ( µ ) ⇒ ∫ lim ∑ f j ( x ) dµ = lim ∑ ∫ f j dµ es decir:
TCD
n
n
j =1
∞
j =1
∞
∫ ∑ f dµ = ∑ ∫ f
n =1
n
n =1
n
dµ
Vamos a introducir la integral dependiente de un parámetro y veremos que podemos
derivar bajo el signo de integral.
Proposición 3.20 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida Y un espacio métrico y la
función f : X × Y → £ tal que f ( g, y ) ∈ L1 ( µ ) ∀y ∈ Y , podemos definir:
F : Y → £ tal que F ( y ) = ∫ f ( x, y ) dµ
X
i) Supongamos que existe g ∈ L1 ( µ ) tal que:
f ( x, y ) ≤ g ∀x e ∀y
y que lim f ( x, y ) = f ( x, y0 ) ∀x donde y0 es fijo, entonces:
y → y0
lim F ( y ) = F ( y0 )
y → y0
en particular F es continua si f lo es.
ii) Supongamos que Y = [ a, b ] y que existe
existe g ∈ L1 ( µ ) tal que
∂f
( x, y ) en [ a, b ] ∀x ∈ X y además que
∂y
∂f
( x, y ) ≤ g ( x ) ∀x ∈ X , ∀y ∈ [ a , b ] entonces F es
∂y
derivable en y, y vale:
F ′( y ) = ∫
∂f
( x, y ) dµ ( x )
X ∂y
Demostración Sea y0 ∈ Y arbitrario, pero fijo.
- 59 -
Análisis Real
Capítulo 3
F ( y ) − F ( y0 ) = ∫
X
- 60 -
[ f ( x, y ) − f ( x, y0 )] dµ
Sea una sucesión ( yn ) n∈¥ ⊆ Y tal que yn → y0 entonces:
lim ( F ( yn ) − F ( y0 ) ) = lim ∫
n
n
X
[ f ( x, yn ) − f ( x, y0 )] dµ
llamemos f n ( x ) = f ( x, yn ) , como f n ( x ) − f ( x, y0 ) ≤ f n ( x ) + f ( x, y0 ) ≤ 2 g ( x ) y
g ∈ L1 ( µ ) ⇒ 2 g ∈ L1 ( µ ) podemos aplicar TCD,
lim ∫
n
X
[ f n ( x ) − f ( x, y0 )] dµ = ∫X lim
[ f n ( x ) − f ( x , y 0 ) ] dµ = 0
n
144444444424444444443
= 0 por hip.
∴ lim [ F ( yn ) − F ( y0 )] = 0 con yn → y0
luego lim F ( y ) = F ( y0 ) .
n
y → y0
Para la parte ii) hay que ver que si yn → y0 entonces:
F ( y n ) − F ( y0 )
∂f
lim
=∫
( x , y 0 ) dµ
X ∂y
n
yn − y0
Ahora
F ( yn ) − F ( y0 )
=∫
X
yn − y0
fn ( x)
644=4744
48
f ( x , y n ) − f ( x , y0 )
dµ por otro lado
yn − y0
f ( x, yn ) − f ( x, y0 ) ∂f
=
( x, y0 ) ≤ g ( x )
n
∂y
y n − y0
f ( x , y n ) − f ( x , y0 )
podemos aplicar el TCD, y si llamamos g n ( x ) =
tenemos:
yn − y0
∂f
lim ∫ g n ( x ) dµ = ∫ lim g n ( x ) dµ = ∫
( x, y0 ) dµ
X n
X ∂y
n
X
como se cumple ∀y0 ∈ [ a, b ] se concluye la tesis.
lim
Proposición 3.21 Sea S = {ϕ : X → £ : ϕ es simple} entonces:
i) S I L1 ( µ ) es ⋅ 1 − denso en L1 ( µ )
ii) Supongamos que µ es una medida Lebesgue-Stieltjes sobre ¡ y sea:
n


ε a = ψ = ∑α j χ ( a ,b ) : n ∈ ¥,α j ∈ £, −∞ ≤ a j < b j ≤ +∞, µ ( a j , b j ) < ∞, ∀j = 1,.., n 
j j
j =1


1
1
entonces ε a ⊆ L ( µ ) y ε a = L ( µ )
iii) Si µ es una medida Lebesgue-Stieltjes sobre ¡ , entonces:
El espacio vectorial de las funciones continuas con soporte compacto Cc ( ¡ ) ,
Cc ( ¡ ) = { f : ¡ → £ : f es continua y ∃k > 0 tal que f ( x ) = 0 si x > k }
- 60 -
Análisis Real
Integración
es tal que Cc ( ¡ ) ⊆ L1 ( µ ) y Cc ( ¡ )
⋅
1
- 61 -
= L1 ( µ ) .
Demostración i) Sea f ∈ L1 ( µ ) y (ϕ n )n∈¥ ⊆ S tal que ϕ n ≤ ϕ n+1 ≤ f
y además
ϕ n ( x ) → f ( x ) ∀x ∈ X , entonces:
ϕ n ∈ L1 ( µ ) ∀n ya que
∫ϕ
n
dµ ≤ ∫ f dµ < ∞
Por otro lado como f − ϕ n ≤ f + ϕ n < 2 f se tiene:
TCD
}
lim f − ϕ n 1 = lim ∫ f − ϕ n dµ = ∫ lim f − ϕ n dµ = ∫ 0 dµ = 0
X
X
X
ii) Observamos primero que si E , F ∈ M ⇒ χ E − χ F
se tiene χ E − χ F = χ E \ F
1
= ∫ χ E − χ F dµ y como:
X
 0 si x ∈ E I F

χ E − χ F =  1 si x ∈ E \ F
−1 si x ∈ F \ E

− χ F \ E y χ E − χ F = χ E \ F + χ F \ E = χ E V F entonces:
χE − χF
1
= ∫ χ E V F dµ = µ ( E V F )
X
Sea E ∈M tal que χ E ∈ L ( µ ) es decir con E acotada ⇒ µ ( E ) < ∞ .
1
Dado ε > 0 por el teorema de aproximación (proposición 1.8) ∃F = â ( a j , b j  tal
n
j =1
que µ ( EVF ) < ε . Se puede suponer que ai ≠ bj ∀i, j .
Para cada k sea Gk = U ( a j , b j + 1k ) a partir de cierto k que llamamos kε la familia
n
j =1
{( a , b
j
k
+ 1k )} j =1 es disjunta y además µ ( Gk ) 
→ µ ( F ) y por lo tanto existe k ≥ kε
n
j
tal que
µ ( Gk \ F ) < ε
entonces:
χ E − χ Gk
1
≤ χ E − χ F 1 + χ F − χ Gk
1
= µ ( EVF ) + µ ( F VGk ) < 2ε
144424443
Gk \ F
Es decir ∃G = â ( c j , d j ) tal que χ E − χ G 1 < ε .
n
j =1
n
Si f ∈ L1 ( µ ) sea ϕ = ∑α j χ E j ∈ L1 ( µ ) tal que {E j } j =1 disjuntos y α j ≠ 0 ∀j desde
n
j =1
1 a n, de manera que f − ϕ 1 < ε (ϕ existe por la parte i))
- 61 -
Análisis Real
Capítulo 3
- 62 -
Para cada E j sea G j = â ( cij , d i j ) de manera que χ E j − χ G j
m
i =1
1
<
ε
.
ϕ1
m
Sea ψ = ∑ α j χ G j ⇒ ψ ∈ ε a y además:
j =1
m
f −ψ 1 ≤ f − ϕ 1 + ϕ −ψ 1 < ε + ∑ α j χ E j − χ G j
j =1
m
< ε +∑ αj
j =1
1
<
ε
ε m
=ε +
∑ α j = 2ε
ϕ1
ϕ 1 j =1
1442443
=ϕ
1
iii) Basta ver que si µ ( ( a, b ) ) < ∞ entonces existe f ∈ Cc ( ¡ ) tal que:
χ ( a ,b ) − f
1
<ε
para ε > 0 dado.
Notar que si f ∈ Cc ( ¡ ) ⇒ f ∈ L1 ( µ ) entonces tenemos que ver que:
a) f es medible (ya que es continua)
b) ∫ f dµ ≤ ∫
f ∞ dµ = f ∞ µ ([ − k , k ])
Lebesgue
[ − k ,k ]
compacto ⇒ µ ( compacto ) < ∞
sucesiones
Sean
( an ) , (an′ ), (bn ) , (bn′ )
estrictamente monótonas tales que:
a < an′ < an , bn < bn′ < b
y
1
lim an = a , lim bn = b
Sea una sucesión de funciones f n definidas
como sigue:
a an′ an
f n : ¡ → ¡ tales que:
0 si x < an′ o x > bn′

f n ( x ) = 1 si x ∈ [ an , bn ]
los segmentos de rectas en los que faltan

Entonces f n ∈ Cc ( ¡ ) y además:
0 ≤ χ (a ,b ) − f n ≤ χ ( a ,b ) − χ ( an ,bn )
bn bn′ b
y se tiene:
χ ( a ,b ) − f n 1 = ∫ χ ( a ,b) − f n dµ ≤ ∫ χ ( a ,b ) − χ ( an ,bn ) d µ =
n
= ∫ χ ( a ,b) dµ − ∫ χ ( an ,bn ) dµ = µ ( ( a, b ) ) − µ ( ( an , bn ) ) 
→0
por ser lim an = a y lim bn = b.
- 62 -
Análisis Real
Integración
- 63 -
Integral de Riemann versus Integral de Lebesgue
Proposición 3.22 i) Sea f : [ a, b ] → ¡ una función acotada y f ∈Ra b (integrable
según Riemann) entonces:
i) f es integrable según Lebesgue y:
∫
b
a
f ( x ) dx = ∫
[ a ,b ]
f dm
ii) f ∈Ra b ⇔ m ( D f ) = 0 donde D f = { x ∈ [ a, b ] : f no es continua en x}
Demostración Dada una partición de [ a, b ] P = { x0 = a, x1,..., xn = b} definimos:
n
Gp = ∑ M j χ( x
j =1
n
j −1 , x j 

y g p = ∑ m j χ( x
j =1
j −1 , x j 

donde M j = sup { f ( x ) : x ∈  x j −1 , x j } y m j = inf { f ( x ) : x ∈  x j −1 , x j }
entonces como G p y g p son funciones simples, por definición se tiene:
n
n
j =1
j =1
∫ G p dm = ∑ M j m (( x j−1 , x j  ) = ∑ M j ( x j − x j −1 ) = S ( P , f )
análogamente
n
n
j =1
j =1
∫ g p dm = ∑ m j m ( ( x j−1 , x j  ) = ∑ m j ( x j − x j−1 ) = s ( P, f )
Sea Pn una familia creciente de particiones de [ a, b ] tales que la norma de la
n
partición η ( Pn ) 
→ 0 , y llamemos:
lim S ( Pn , f ) = ∫ f
b
a
n
b
lim s ( Pn , f ) = ∫ f
a
n
Por otro lado definimos:
Gn = GPn
y g n = g Pn
se tiene que ∀n g n ≤ f ≤ Gn donde además g n Z y Gn ]⇒ existe el límite y le
llamamos g y G respectivamente, es decir:
lim g n = g y lim Gn = G
n
n
En particular las funciones G, g son medibles (por ser límite de funciones medibles)
Observar que por la definición de Gn se tiene:
Gn ≤ f
∞
χ[ a ,b] ∈ L1 ( µ )
luego podemos aplicar el TCD como sigue:
- 63 -
Análisis Real
Capítulo 3
}
lim Gn dm = lim ∫
TCD
∫[
a ,b ]
G dm = ∫
[ a ,b ]
y como g n ≤ Gn ≤ f
∫[
a ,b ]
- 64 -
Gn dm = lim S ( Pn , f ) = ∫ f
a ,b
a
b
[
]
χ[ a ,b] ∈ L ( µ ) aplicamos el TCD para g n :
1
∞
}
lim g n dm = lim ∫
TCD
g dm = ∫
[ a ,b ]
g n dm = lim s ( Pn , f ) = ∫ f
b
[ a ,b ]
a
Ahora por definición:
f ∈Ra b ⇔ ∫ f − ∫ f = 0 ⇔ ∫
⇔
b
b
a
a
∫
[a ,b ]
Gdm − ∫
[ a ,b ]
g dm = 0 ⇔
( G − g ) dm = 0 ⇔ G − g = 0 c.t.p. − µ
[ a ,b ]
Observar que g ≤ f ≤ G luego si f ∈Ra b ⇒ 0 ≤ G − f ≤ G − g = 0 c.t.p. − µ
entonces G = f = g c.t.p. − µ ⇒ f es medible Lebesgue, y por lo tanto integrable
(ya que es acotada y m ([ a, b ]) < ∞ ) y además:
∫
b
a
f dx = ∫
[ a ,b ]
g dm = ∫
[ a ,b ]
Gdm
∞
ii) Sea E = U Pn notar que µ ( E ) = 0 probaremos que D f − E = D \ E siendo
n =1
D = { x : G ( x ) > g ( x )} .
Si x ∉ E y f es continua en x, dado ε > 0 ∃δ > 0 tal que
f ( y ) − f ( x ) < ε si
y − x < δ ; sea n ∈ ¥ tal que η ( Pn ) < δ y sea J k el intervalo determinado por Pn en
el cual está x, entonces:
Gn ( x ) − g n ( x ) = sup y , z∈J k f ( y ) − f ( z )
≤
2ε
{
por desig. triáng.
Por lo tanto:
G ( x ) − g ( x ) ≤ Gn ( x ) − g n ( x ) ≤ 2ε
luego G ( x ) = g ( x ) ⇒ x ∉ D ⇒ ( D f \ E ) ⊆ ( D \ E )
C
∀ε > 0
C
Recíprocamente, si x ∉ E , x ∉ D ⇒ f es continua en x, ya que como G ( x ) = g ( x )
dado ε > 0 ∃n ∈ ¥ tal que 0 ≤ ( Gn − gn )( x ) < ε lo que implica:
sup y , z∈J k f ( y ) − f ( z ) < ε
en particular f ( y ) − f ( x ) < ε ∀y ∈ J k ⇒ f es continua en x.
En conclusión m ( D f ) = m ( D f \ E ) = m ( D \ E ) = m ( D ) .
Así que f ∈Ra b ⇔ G − g = 0 c.t.p. − µ ⇔ m ( D ) = 0 ⇔ m ( D f ) = 0 .
- 64 -
Capítulo 4
Modos de Convergencia
Definición 4.1 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida, ( f n )n∈¥ ⊆ L ( X ) una sucesión
n
de funciones medibles f n : X → ¡ , la declaración f n 
→ f puede tomarse en
muchos sentidos diferentes, así diremos que:
n
→ f ( x ) converge puntualmente si ∀ε > 0, ∃n0 ( ε , x ) ∈ ¥ tal que:
1) f n ( x ) 
f n ( x ) − f ( x ) < ε ∀n ≥ n0 (ε , x ) y ∀x ∈ X
si f ( x ) < ∞ en caso contrario f n ( x ) > ε1 .
2) f n à f converge uniformemente si ∀ε > 0, ∃n0 ( ε ) ∈ ¥ tal que:
f n ( x ) − f ( x ) < ε ∀n ≥ n0 (ε ) y ∀x ∈ X
c.t.p.
3) f n 
→ f converge en casi todo punto si existe un conjunto A ⊆ X tal que:
n
f n ( x ) 
→ f ( x ) ∀x ∈ A y µ ( AC ) = 0
c.u.
4) f n →
f converge casi uniformemente si ∀ε > 0 existe un conjunto Aε ⊆ X
tal que
µ ( Aε ) < ε , y f n à f
∀x ∈ ( Aε )
C
µ
5) f n 
→ f converge en medida si ∀ε > 0 se tiene que:
n
µ ({ x : fn ( x ) − f ( x ) ≥ ε }) 
→0
L
6) f n 
→ f converge en L1 si f n ∈ L1 ( µ ) y f n − f
1
∫
X
1
n

→ 0 o sea:
n
f n − f 
→0
Veamos ahora algunos ejemplos.
Ejemplo 4.1
Sea f n = 1n χ ( 0,n )
fn à 0
1
n
y
f n ∈ L1 ( µ )
- 65 -
n
Análisis Real
Capítulo 4
- 66 -
L
∀n ∈ ¥ pero f n 
→ 0 ya que lim ∫ f n − f dµ = lim1 = 1
X
n 14444
n
42444443
1
=1
Ejemplo 4.2
Sea f n = χ[ n,n +1]
Puntualmente f n ( x ) → 0 ∀x
1
L
Por otro lado f n ∈ L1 ( µ ) ∀n pero f n 
→0
1
n
n+1
Ejemplo 4.3
Sea la siguiente sucesión de funciones:
f1 = χ ( 0,1) , f 2 = χ ( 0, 12 ) , f3 = χ ( 12,1) , f 4 = χ ( 0, 14 ) ,... puntualmente f n → 0 ya que toma
infinitas veces el valor 1 y el valor 0.
1
0
1
Por otro lado
1
0
1
1
2
1
0
1
1
2
1
0
1
1
4
1
2
1
0
1
4
1
2
1
1
→ 0 donde n corresponde a la k-esima
2k
L1
subdivisión, por lo tanto f n 
→0
f n ∈ L1 ( µ ) mientras que
∫[
0,1]
fn =
Ejemplo 4.4
Sea ( f n ) como el ejemplo anterior y definimos g n = 2k f n entonces:
L
Puntualmente g n → 0 , por otro lado g n ∈ L1 ( µ ) y g n 
→ 0 (los integrales valen 1)
sin embargo:
n
m ({ x ∈ [ 0,1] : g n ( x ) > ε } ) 
→0
1
m
luego g n tiende en medida a cero ( g n 
→ 0 ).
Veremos equivalencias sobre las convergencias.
L
c.t.p.
Proporción 4.1 Si f n 
→ f y f n ≤ g ∈ L1 ( µ ) ∀n entonces f n 
→f
1
Demostración Por hipótesis ∃A ⊆ X tal que f n ( x ) → f ( x ) ∀x ∈ A luego
f n ( x ) − f ( x ) → 0 ∀x ∈ A
- 66 -
Modos de Convergencia y espacios Lp
Análisis Real
- 67 -
Como µ ( AC ) = 0 podemos modificar f en un conjunto de medida cero para que se
cumpla que f n ( x ) − f ( x ) → 0 ∀x .
Por ser f n ≤ g pasando al límite f ≤ g ⇒ f n ( x ) − f ( x ) ≤ f n + f ≤ 2 g y
podemos aplicar el TCD, como sigue:
lim ∫ f n − f dµ = ∫ lim f n − f dµ = ∫ 0 = 0
1
L
c.t.p.
Más abajo veremos que si f n 
→ f entonces alguna subsucesión f nk 
→f .
L
µ
Proposición 4.2 Sea f n 
→ f entonces f n 
→f.
1
Demostración Dado ε > 0 sea Fn = { x : f n ( x ) − f ( x ) ≥ ε } tenemos que:
µ ( Fn ) = ∫ dµ =
Fn
1
ε
∫
Fn
ε dµ ≤
1
ε
∫
Fn
f n − f dµ ≤
1
ε
fn − f
1
→0
µ
→f.
por definición entonces f n 
c.u.
c.t.p.
Proposición 4.3 Si f n →
f entonces f n 
→f
Demostración ∀ε > 0 ∃Aε tal que µ ( Aε ) < ε y f n Ãf
f en ( Aε )
Para cada m ∈ ¥ sea Am tal que µ ( Am ) ≤
m∈¥
y f n Ãf
f en ( Am )
C


⇒ 0 ≤ µ ( A) = µ  I Am  ≤ lim µ ( Am ) ≤ lim m1 = 0 ahora si x ∈ AC ⇒
m
 m∈¥  m
m∈¥
C
C
f en AmC0 ⇒ f n ( x ) → f ( x ) , esto
Am ⇒ ∃m0 ∈ ¥ tal que x ∈ Am0 y como f n Ãf
Sea A =
x∈ U
1
m
C
IA
m
c.t.p.
es para todo x ∈ AC ⇒ f n 
→f .
c.u.
µ
Proposición 4.4 Si f n 
→ f entonces f n 
→f.
Demostración Tenemos que probar que ∀ε > 0 y ∀δ > 0 ∃n0 ∈ ¥ tal que :
µ ({ x : fn ( x ) − f ( x ) ≥ ε }) < δ ∀n ≥ n0
tomamos ε , δ > 0, por hipótesis
∃A tal que µ ( A ) < δ y f n à f ∀x ∈ AC luego
∃n0 ∈ ¥ tal que si x ∈ AC se cumple f n ( x ) − f ( x ) < ε ∀n ≥ n0 en particular:
{x :
f n ( x ) − f ( x ) ≥ ε } ⊆ A ⇒ µ ({ x : f n ( x ) − f ( x ) ≥ ε } ) ≤ µ ( A ) < δ .
- 67 -
Análisis Real
Capítulo 4
- 68 -
Definición 4.2 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida, ( f n )n∈¥ ⊆ L ( X ) una sucesión
de funciones medibles, se dice que es de Cauchy en medida si ∀ε > 0 y ∀δ > 0,
∃n0 ∈ ¥ tal que:
µ ({ x : fn ( x ) − f m ( x ) ≥ ε }) < δ ∀m, n ≥ n0
Proposición 4.5 Sea ( f n )n∈¥ una sucesión de Cauchy en medida entonces:
µ
→f.
i) Existe f tal que f n 
c.t.p.
ii) Si f es como en i) entonces existe una subsucesión f nk de f n tal que f nk 
→f
µ
µ
→ f y f n 
→ g entonces f = g c.t.p. − µ .
iii) Si f n 
Demostración Demostremos primero ii)
Sea n1 ∈ ¥ tal que µ ({ x : fn ( x ) − f m ( x ) ≥
1
2
}) < 12
si n, m ≥ n1 análogamente sea
n2 > n1 tal que µ ({ x : f m ( x ) − f n ( x ) ≥ 14 }) < 14 si m, n ≥ n2
En general se tiene así nk > ... > n2 > n1 tomamos nk +1 > nk tal que:
µ ({ x : f m ( x ) − f n ( x ) ≥
llamemos Ek +1 = { x : f m ( x ) − f n ( x ) ≥
Sea g j = f n j y x ∉ U Ek entonces:
1
2 k +1
1
2 k +1
}.
}) <
1
2 k +1
si m, n ≥ nk +1
k≥ j
g j ( x ) − g j + l ( x ) ≤ g j ( x ) − g j +1 ( x ) + ... + g j + l −1 ( x ) − g j + l ( x ) ≤
≤
1
2j
+ 2 j +1 + ... + 2 j + l −1 =
1
1
j + l −1
∑
i= j
1
2i
≤
∞
1
2j
∑
i=0
1
2i
=
1
2 j −1
⇒ g n ( x ) es puntualmente de Cauchy, luego converge a cierto f ( x )
∞
∞
Es decir que g n ( x ) converge ∀x ∉ IU Ek = E , observar que E es medible y:
j =1 k = j
∞
 ∞

µ ( E ) = lim µ  U Ek  ≤ lim ∑ µ ( Ek ) ≤ lim ∑ 21k = 0
j
j
j
k= j
k≥ j
 k= j 
Definimos f ( x ) = 0 ∀x ∈ E ⇒ f es medible y además:
f n j 
→f
j
i) Tomemos ε =
1
2k
c.t.p.
c.t.p. − µ es decir que f n j 
→f
, si x ∉ U Ek se tiene g j ( x ) − g j + l ( x ) ≤
cuando l → ∞ nos queda:
k≥ j
g j ( x) − f ( x ) ≤
- 68 -
1
2 j −1
1
2 j −1
pasando al límite
Modos de Convergencia y espacios Lp
Análisis Real
{x : g
entonces si j ≥ k
j
( x ) − f ( x ) ≥ 21 > 2 1 } ⊆ U Em y por lo tanto
{
j −1
k
m≥ j

→0
 
j
 m≥ j 
por último dado ε > 0 sea H n = { x : fn ( x ) − f ( x ) ≥ ε } y
µ ({ x : g j ( x ) − f ( x ) ≥
µ
→f
Luego f n j 
llamemos G( n,n ) = x : fn ( x ) − f n j ( x ) ≥
j
ε
2
1
2k
}

}) ≤ µ  U E
m
{
y Fn j = x : f n j ( x ) − f ( x ) ≥
H n ⊆ G( n,n ) U Fn j
j
ya que si x no pertenece a la unión anterior se cumple que:
fn ( x ) − f ( x ) ≤ fn ( x ) − fnj ( x ) + fnj ( x ) − f ( x ) < ε
144444424444443 1444442444443
(
- 69 -
) ( )
< ε2
ε
2
} se tiene:
< ε2
µ
→f
y µ ( H n ) ≤ µ G( n ,n ) + µ Fn j < ε si n, n j son grandes ⇒ f n 
j
µ
iii) Si f n 
→ g como { x : f ( x ) − g ( x ) > ε } ⊆ { x : f ( x ) − g ( x ) ≥ ε } , y además:
{ x : f ( x ) − g ( x ) ≥ ε } ⊆ { x : f ( x ) − f n ( x ) ≥ ε2 } U { x : fn ( x ) − g ( x ) ≥ ε2 } ∀n
en particular si n → ∞ luego se tiene que µ ({ x : f ( x ) − g ( x ) > ε }) = 0 ∀ε > 0 y
haciendo tender ε → 0 se tiene que f = g c.t.p. − µ .
1
L
Corolario 4.6 Si f n 
→ f entonces existe una subsucesión f n j de f n tal que
c.t.p.
f n j 
→f.
Demostración Por la proposición 4.2 si
( )
L
µ
f n 
→ f ⇒ f n 
→f
1
y por la
c.t.p.
proposición anterior ⇒ ∃ f n j subsucesión de f n tal que f n j 
→f .
c.t.p.
µ
Sin embargo puede suceder que f n 
→ f y no se cumple que f n 
→ f como
en el ejemplo 4.2
Proposición 4.7 (Teorema de Egoroff’s)
Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida finita ( µ ( X ) < ∞ ) , sea ( f n )n∈¥ una sucesión
c.t.p.
de funciones medibles ( f n : X → £ ∀n ) tal que f n 
→ f con f medible,
entonces:
c.u.
f n 
→ f sobre X
Demostración Dado k ∈ ¥, para cada n ∈ ¥, sea:
- 69 -
Análisis Real
Capítulo 4
Fn ( k ) = { x : f n ( x ) − f ( x ) ≥
y sea En ( k ) =
UF
m
m≥n
- 70 1
k
}
( k ) entonces, para cada k, En ( k ) ⊇ En +1 ( k ) y:
∞
∞

c.t.p.
f
x
como
E
k
N
x
:
f
x
f
f
µ
⊆
=
→

→
⇒
(
)
(
)
(
)
{
}
I
n
n
n
 I En ( k )  = 0
 n=1

n =1
y por ser la medida finita, se tiene:
∞

lim µ ( En ( k ) ) = µ  I En ( k )  = 0 ∀k ∈ ¥
n
 n=1

luego dado ε > 0 para cada k ∈ ¥ ∃nk ∈ ¥ tal que:
µ ( En ( k ) ) < ε 2k ∀n ≥ nk
∞
∞
∞
k =1
k =1
Sea E = U Enk ( k ) entonces E ∈ M y µ ( E ) ≤ ∑ µ ( Enk ( k ) ) < ∑ 2εk = ε .
k =1
Ahora
si
x ∉ Enk ( k ) ⇒ f n ( x ) − f ( x ) <
fn ( x ) − f ( x ) <
1
k
1
k
∀n ≥ nk ,
entonces
si
x∉E ⇒
∀n ≥ nk , ∀k ∈ ¥ , luego f n à f en E C y µ ( E ) < ε ⇒ por
c.u.
definición f n 
→ f en X .
Ejemplo 4.5
c.t.p.
Sea f n = χ[n,+∞ ) tenemos que lim f n = 0 ∀x ∈ ¡ f n 
→0
n
Si ε ∈ ( 0,1) ⇒ f n ( x ) − 0 > ε
espacio de medida finita.
c.u.
∀x ∈ [ n, +∞ ) ⇒ f n 
→ f y esto se da por no ser el
c.t.p.
Corolario 4.8 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida finita si f n 
→ f entonces
µ
→f
f n 
Demostración Por la proposición 4.7
c.t.p.
c.u.
f n 
→ f ⇒ f n 
→f
y por la
µ
proposición 4.4 que f n → f ⇒ f n 
→f.
c.u.
Proposición 4.9 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida finita, ( f n )n∈¥ una sucesión
µ
de funciones medibles, entonces f n 
→ f (f medible) si y solo sí f es de Cauchy en
medida
Demostración ⇐ Proposición 4.5
⇒ Dados m,n cualquiera y ε > 0 como:
{ x : fm ( x ) − fn ( x ) ≥ ε } ⊆ { x : fn ( x ) − f ( x ) ≥ ε2 } U { x : fm ( x ) − f ( x ) ≥ ε2 }
se tiene:
- 70 -
Modos de Convergencia y espacios Lp
Análisis Real
- 71 -
µ ({ x : f m ( x ) − f n ( x ) ≥ ε }) ≤ µ ({ x : fn ( x ) − f ( x ) ≥ ε2 }) + µ ({ x : f m ( x ) − f ( x ) ≥ ε2 })
1444444444442444444444443 1444444444442444444444443
< ε2
luego µ ({ x : f m ( x ) − f n ( x ) ≥ ε }) < ε ⇒ que es de Cauchy en medida.
< ε2
A modo de resumen construimos los siguientes diagramas:
En el primer diagrama tenemos que las flechas llenas corresponden a implicancias
que se cumplen en un espacio de medida arbitrario, las flechas punteadas significa
que existe una subsucesión que cumple la implicancia.
c.u.
4.3
4.4
c.t.p.
4.5
4.6
µ
c.u.--- converve casi unimformemente
c.t.p.---converge en casi todo punto
µ ---converge en medida
L1 ---converge en L1
4.2
L1
El siguiente diagrama es para un espacio de
medida finito.
c.u.
4.7
µ
c.t.p.
4.8
L1
c.u.
El siguiente es el caso de existir sucesión de
funciones dominada
µ
c.t.p.
4.1
L1
Espacios Lp
Definición 4.3 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida, sea p tal que 1 ≤ p < ∞ ,
definimos el conjunto L%p ( µ ) o simplemente L%p como:
- 71 -
Análisis Real
Capítulo 4
- 72 -
p




p
%
L ( µ ) =  f : X → ¡ , medibles tales que  ∫ f dµ  < ∞ 
X



1
p
Observación 4.1 L%p es un espacio vectorial si f , g ∈ L%p veamos que:
(
p
f ( x ) + g ( x ) ≤ [ 2max { f ( x ) , g ( x ) }] ≤
{2 f
p
p
∀x
e integrando
∫
f + g dµ ≤ 2 p
p
(∫ f
luego f + g ∈ L%p .
Por otro lado si α ∈ £, y f ∈ L%p se tiene:
(
)
1
p
p
)
1
p
f
p
=
Observación 4.2 Para probar que ⋅
(∫
p
X
)
<∞
Definición 4.4 En el espacio vectorial L%p definimos una función ⋅
de la siguiente forma:
p
)
p
(
p
+g
dµ + ∫ g dµ < ∞
∫ α f ( x ) dµ = α ∫ f ( x ) dµ
luego α f ∈ L%p .Por lo tanto L%p es un espacio vectorial.
p
p
f
p
dµ
)
1
p
: L%p → [ 0, +∞ ]
p
se trata de una seminorma nos falta probar
la desigualdad triangular, que se probará más adelante (desigualdad de Minkowski).
Definición 4.5 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida, en él tenemos definido el
p
espacio vectorial L%p , sea el subespacio N = f ∈ L%p : ∫ f dµ = 0 , se define el
espacio normado ( Lp , ⋅
p
{
) como:
L%p
L =
y
N
p
Observación 4.3
Si f ∈ g ⇔ g − f ∈ N ⇔ g − f
f
p
}
X
= f
p
= 0 ⇔ ∫ f − g dµ = 0 ⇔
p
p
X
⇔ f − g = 0 c.t.p. − µ ⇔ f − g = 0 c.t.p. − µ ⇔ f = g c.t.p. − µ
p
Para el caso
medibles y f
∞
p=∞
L∞ = { f : µ ( f > M ) = 0 para algún M > 0} = { f : X → £
< ∞} siendo el significado que le damos a ⋅
f
∞
= inf {M : µ ( f > M ) = 0}
- 72 -
∞
es el siguiente:
Modos de Convergencia y espacios Lp
Análisis Real
y como f ≤ f
∞
- 73 -
c.t.p. − µ , por eso también lo llamamos supremo esencial de f
Definición 4.6 Sea una función φ : ( a, b ) → ¡ si ∀t ∈ ( 0,1) , y ∀x, y ∈ ( a, b ) se
cumple que:
φ ( (1 − t ) x + t y ) ≤ (1 − t )φ ( x ) + tφ ( y )
es llamada función convexa . Geométricamente la
convexidad de φ es descripta cuando se dice que
φ ( y)
cada punto de la cuerda que une ( x,φ ( x ) ) con
( y ,φ ( y ) ) está por encima del gráfico de φ como
se muestra en la figura.
φ ( x)
x
x′
y
Lema 4.10 Sea φ : ( a, b ) → ¡ una función
convexa y si x ∈ ( a, b ) entonces existe β ∈ ¡ tal que φ ( y ) ≥ φ ( x ) + β ( y − x )
∀y ∈ ( a, b )
Demostración Primero demostraremos que ∀x, y ∈ ( a , b ) si x′ ∈ ( x, y ) se tiene que:
φ ( y ) − φ ( x ) φ ( x ′) − φ ( x )
≥
y−x
x′ − x
Consideremos la cuerda que une ( x,φ ( x ) ) con ( y,φ ( y ) ) que llamamos G ( X )
φ ( y) −φ (x)
G(X ) =
( X − x) + φ ( x)
y−x
por se la función convexa si x′ ∈ ( x, y ) se tiene G ( x′ ) ≥ φ ( x′ ) , luego
φ ( y) − φ ( x)
( x′ − x ) + φ ( x ) ≥ φ ( x′ )
y−x
y despejando
φ ( y ) − φ ( x ) φ ( x ′) − φ ( x )
≥
(1)
y−x
x′ − x
 φ ( x′ ) − φ ( x ) 
sea β = sup x′∈( x , y ) 
 , que existe por estar acotado, y pasando al
x′ − x


supremo en (1) , se tiene que se sigue cumpliendo la desigualdad, y podemos afirmar
que existe β ∈ ¡ tal que φ ( y ) ≥ φ ( x ) + β ( y − x ) ∀y ∈ ( a, b )
Proposición 4.11 (Desigualdad de Jensen) Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida,
µ ( X ) = 1 (espacio de probabilidad), si φ : ( a, b ) → ¡ convexa y f medible e
integrable tal que el recorrido de f está incluido en ( a, b ) , entonces:
- 73 -
Análisis Real
Capítulo 4
φ
(∫
X
)
- 74 -
f dµ ≤ ∫ φ ( f ( x ) ) dµ
X
Demostración Por ser φ convexa es continua, luego medible y se tiene que φ o f es
medible.
Veamos primero que ∫ f dµ ∈ ( a, b ) .
X
Como f ( x ) ∈ ( a, b ) ⇒ f ( x ) < b ⇒ ∫ f dµ < ∫ b dµ = bµ ( X ) = b
X
X
Análogamente a < f ( x ) ⇒ a < ∫ f dµ , y llamemos a
X
∫
X
f dµ = x .
Ahora por ser φ convexa se tiene que existe β ∈ ¡ tal que
φ ( z ) ≥ φ ( x ) + β ( z − x ) ∀ z ∈ ( a, b )
elegimos z = f ( y ) entonces:
φ ( f ( y )) ≥ φ ( x) + β ( f ( y ) − x )
e integrando
=0
644444444444474444444444448
=φ ( x )
6444447444448



f ( y ) dµ ( y ) − ∫ x dµ ( y ) 
∫X φ ( f ( y )) dµ ( y ) ≥ ∫X φ ( x ) dµ ( y ) + β  ∫1444442444443
X
X 4244443 
1444


=x
=x
y queda
∫ φ ( f ( y ) ) d µ ( y ) ≥ φ ∫ f dµ
(
X
X
)
Observación 4.4 Sea h : X → [ 0, +∞ ] ∀A ∈M podemos definir
υ ( A ) = ∫ h dµ = ∫ h χ A dµ
A
X
así υ resulta ser una medida y además:
∫ F dυ = ∫ Fh dµ
X
X
Demostración Probamos primero que es σ − aditiva , sea ( An )n∈¥ una sucesión de
conjuntos disjuntos dos a dos y llamemos A = U An ,
n∈¥


υ ( A ) = υ  U An  = ∫ h dυ = ∫ hχ A dµ
X
U n
 n∈¥  U An
n
∞
i =1
i =1
Sea Bn = U Ai ⇒ lim Bn = U Ai = A ⇒ hχ Bn Z h χ A entonces por el TCM
υ ( A ) = ∫ h χ A = ∫ lim h χ Bn dµ =
{ lim ∫ X h χ Bn dµ
X
X
T.C.M
- 74 -
n
∞
=
{ lim ∑ ∫ X h χ Ai dµ = ∑υ ( Ai )
n
i =1 144424443
i =1
χ Bn = ∑ χ Ai
υ ( Ai )
i =1
Modos de Convergencia y espacios Lp
Análisis Real
- 75 -
Para probar la otra afirmación primero se demuestra para funciones características y
después para funciones simples y luego para funciones no negativas, para por último
generalizar para cualquier función.
Proposición 4.12 (Desigualdad de Hölder)
Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida f , g : X → ¡ medibles, y sean p, q ≥ 1 tales
que 1p + 1q = 1 (se dice de p y q en estas condiciones, que son conjugados, donde
eventualmente si p = 1 ⇒ q = ∞ ), entonces se cumple:
f ⋅g 1 ≤ f p ⋅ g q
Demostración De acuerdo a las definiciones lo que tenemos que demostrar es:
∫
X
fg dµ ≤
(∫
p
f
X
dµ
) (∫
1
g dµ
p
q
X
)
1
q
Consideremos primero el caso p = 1 y q = ∞ como g ≤ g
f g ≤ f g
∞
∞
c.t.p. − µ entonces
c.t.p. − µ luego:
fg 1 = ∫ f g dµ ≤ g
∞
X
∫
f dµ = g
∞
f
1
X
Para el caso 1 < p < ∞ si f = 0 o g = 0 c.t.p. − µ se cumple.
Si f , g ≠ 0 c.t.p. − µ pero f p = ∞ o g q = ∞ también se cumple.
Consideremos solo el caso 0 < f
p
, g q < ∞ por otro lado como
 (α f )( β g ) 1 = α β fg 1

 α f p β g q = α β f p g q
Así podemos considerar que g q = 1 ya que si probamos que
fg 1 ≤ f
p
se tiene
que
fg 1
g
= f
g q
g q
≤ f
⇒ fg 1 ≤ f
p
p
g
q
1
Definimos υ ( A ) = ∫ g dµ , como g
A
q
q
= 1 ⇒ υ ( X ) = 1 es decir es un espacio de
probabilidad, y se tiene:
1− q
q
1− q
dµ = ∫ f g dυ
∫X fg dµ = ∫X f g 14g4244
3
X
dυ
y como φ ( z ) = z es una función convexa se tiene aplicando Jensen:
p
(∫
f g
X
=∫ f
X
p
1− q
g
dυ
) ≤∫
p
=0
644474448
p + q− pq
X
f
p
g
dµ = ∫ f
X
p(1− q )
dυ = ∫ f
X
p
dµ =
- 75 -
(
f
p
)
p
p
g
p − pq
g dµ =
q
Análisis Real
Luego
(
1)
fg
Capítulo 4
p
≤
(
f
p
)
p
- 76 -
⇒ que se cumple la desigualdad.
Ejemplo 4.6
Si X = ¥ y µ es la medida de Dirac (la de contar), entonces la integral es la serie y
se tiene:
1
1
p
q

p  
q 
anbn ≤  ∑ an   ∑ bn 
∑
 n∈¥
  n∈¥

n∈¥
que es la desigualdad conocida como de Cauchy-Schwarz.
Proporción 4.13 (Desigualdad de Minkowski)
Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y f , g ∈ Lp , si 1 ≤ p ≤ ∞ entonces la función
⋅ p cumple la desigualdad triangular:
f +g
≤ f
p
p
+ g
p
Demostración Si f + g = 0 c.t.p. − µ ya está, si p = 1 o p = ∞ también.
Sea p > 1
f +g = f +g
integrando
p
(
) =∫
p
=( f
p
+ g
( f + g ) = f f + g p −1 + g f + g p −1
p −1
X
p −1
1
p
p −1
p
X
= f ( f + g)
f +g ≤ f +g
f + g dµ ≤ ∫ f f + g
p
f +g
p −1
+ g( f + g)
) ( f + g)
p −1
1
≤
{
dµ + ∫ g f + g
p −1
dµ =
X
f
p
Hölder
( f + g ) p −1 q + g
( f + g ) p −1 q =
p
p −1
q
Ahora
1
=p
( f + g)
p −1
q
6447448


( p −1) q
= ∫ f + g
dµ 
 X



1
q

q


p
=  ∫ f + g dµ  =
X
 1444442444443

p
 ( f +g p )

(
f +g
Sustituyendo
(
Si
(
f +g
p
)
p
q
f +g
p
)
p
= ∫ f + g dµ ≤
p
X
(
f
+ g
p
p
≠ 0 pasamos dividiendo y como p − p q =
- 76 -
)(
f +g
p
)
p
q
pq − p q
= =1
q
q
p
)
p
q
Modos de Convergencia y espacios Lp
Análisis Real
( f +g )
( f +g )
p
= f +g
p
p
q
(
≤
p
f
p
+ g
p
- 77 -
)
p
si fuera
(
f +g
p
)
p
q
=0 ⇒ f +g
= 0 y también se cumple.
p
Como consecuencia podemos afirmar ahora que ( Lp , ⋅
p
) es un espacio normado si
p ∈ ( 0,1) también tienen sentido las definiciones
p ≥ 1 , en el caso que
correspondientes pero en general no es ( Lp , ⋅
) un espacio normado, ya que no se
p
cumple la desigualdad triangular, como veremos en lo que sigue, pero antes
necesitamos el siguiente lema.
Lema 4.14 Sean a, b > 0, 0 < p < 1 entonces se tiene que:
a p + b p > ( a + b)
Demostración Sea t > 0 se tiene t p−1 > ( t + a )
∫
b
0
t
p −1
tp
dt =
p
p −1
p
integrando:
b
=
0
bp
p
mientras
∫
b
0
( t + a ) dt =
p −1
(t + a ) p
b
=
p
(b + a ) p − a p
p
0
sustituyendo
b p > (b + a ) − a p
p
Ejemplo 4.7 Sea E y F medibles , E I F = φ tal que:
[ µ ( E )]
y consideremos f = χ E
f +g
p
= a y [ µ ( F )] p = b
y g = χ F tenemos:


p
=  ∫ χ E + χ F dµ 
3
 144=42444

χE UF


1
p
1
1
p



= ∫ χ E U F dµ 
 144424443 
 = µ( E UF ) 
> (a + b) = µ ( E ) p + µ ( F ) p =
1
1
(∫ χ
1
p
p
E



={
µ (E ) + µ
F
(
)
{
 p
p
 =a

=b
dµ
) + (∫ χ
1
De manera que no se cumple la desigualdad triangular.
- 77 -
p
p
F
dµ
1
p
>
)
1
p
= f
p
+ g
p
Análisis Real
Capítulo 4
- 78 -
Proposición 4.15 (Desigualdad de Markov) Sea g : ¡ → [ 0, +∞ ) una función par ,
tal que g ( x ) > 0 si x > 0 no decreciente en [ 0, +∞ ) .f una función medible finita
definida sobre el espacio de medida ( X ,M , µ ) , entonces para todo a > 0 se tiene:
1
µ ({ x : f ( x ) ≥ a}) ≤
( g o f ) dµ
g ( a ) ∫X
Demostración
g ( x)
≥ 1 si x ≥ a . Llamemos E = { x : f ( x ) ≥ a} y A = { x : x ≥ a} ,
g (a)
entonces
µ ( E ) = ∫ 1dµ = ∫ χ E d µ = ∫ ( χ A o f ) d µ ≤
E
X
X
≤∫
X
go f
1
dµ =
(g o f )dµ
g (a)
g ( a ) ∫X
Proposición 4.16 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida, 1 ≤ p ≤ ∞ , Lp es completo,
es decir que toda sucesión de Cauchy en él, es convergente.
Demostración
• Veamos primero el caso p = ∞ y sea ( f n )n∈¥ ⊆ L∞ de Cauchy en L∞ o sea que para
cada k > 0 existe N k ∈ ¥ tal que si m, n ≥ N k entonces:
f n − f m ∞ < 1k
por definición de ⋅
∞
se tiene que µ ({ x : fn ( x ) − f m ( x ) >
sucesión ( f n )n∈¥ es de Cauchy en medida.
∞
Sea A = U
U {x :
k =1 m , n ≥ N k
fn ( x ) − f m ( x ) >
Sea x ∉ A ⇒ ∀k > 0 x ∉
U {x :
m,n≥ N k
1
k
1
k
}) = 0
∀m, n ≥ N k ⇒ la
} ⇒ µ ( A) = 0
fn ( x ) − fm ( x ) >
1
k
}
lo que quiere decir que la
sucesión es ( c.t.p. − µ ) puntualmente de Cauchy, luego existe
f ( x ) → %f ( x ) ∀x ∉ A , y podemos definir
n
%f ( x ) tal que
 %f ( x ) ∀x ∉ A
f ( x) = 
si x ∈ A
0
f ( x ) es medible por ser límite de f n ( x ) χ AC que es una sucesión de funciones
medibles. Y claramente por la definición de supremo esencial:
f n − f ∞ → 0 ya que f n ( x ) − f ( x ) → 0 ∀x ∈ AC y µ ( A ) = 0 .
- 78 -
Modos de Convergencia y espacios Lp
Análisis Real
Hay que probar además que f ∈ L∞ , tenemos que f
∞
≤ f − f n0
- 79 -
∞
+ f n0
∞
{
<∞
y fijamos n0 para que f − f n0 < 1 .
• Ahora consideremos el caso general 1 ≤ p < ∞
Y sea ( f n )n∈¥ ⊆ Lp tal que es Lp de Cauchy es decir que para todo ε > 0 existe
N ε ∈ ¥ tal que ∀m, n ≥ Nε se cumple que f n ( x ) − f m ( x )
µ ({ x : f n ( x ) − f m ( x ) ≥ ε } )
≤
{
Markov
p
con g ( x ) = x
lo que implica que
1
εp
∫
p
<ε ;
m ,n
f n ( x ) − f m ( x) dµ 1442443
0
→
p
X
(1)
por hip.
m,n
µ ({ x : fn ( x ) − f m ( x ) ≥ ε }) →
0
( )
con lo que ( f n ( x ) )n∈¥ es de Cauchy en medida ⇒ ( prop.4.5 ) ∃ f n j y f tal que :
f n j ( x ) 
→ f ( x)
c.t.p.
L
Tenemos que probar que f n 
→ f y que f ∈ Lp , pero como ( f n )n∈¥ es de
p
Cauchy en Lp ⇒ que es uniformemente acotada en Lp , o sea que ∃M > 0 tal que
f n p < M para todo n ∈ ¥ , luego si probamos que f − f n p → 0 se cumplen las
dos cosas ya que si f − f n
f
p
p
p
L
→ 0 ⇒ f n 
→ f y además como:
≤ f − f n p + f n p < ε + M ⇒ f ∈ Lp
144424443 {
<ε
Veamos entonces que:
f − fn
p
=
=
(∫
<M
f − f n dµ
p
X
( ∫ lim f
X
j
)
1
p
=
p
nj
− f n dµ
)
1
p
p


≤
{  lim ∫X f n j − f n dµ 

Fatou  j
1
p
p
y por (1) lim lim ∫ f n j − f n dµ = 0 , luego:
n
j
X
lim f − f n
n
p
p
≤ lim  lim ∫ f n j − f n dµ 
X
n  j

1
p
=0
Definición 4.7 Sea F una familia de funciones. Se dice que F es
uniformemente absolutamente continua con respecto a µ si y solo sí para cada
ε > 0 existe δ > 0 , tal que si µ ( A ) < δ con A ∈M entonces:
∫
A
f dµ < ε para toda f ∈F
- 79 -
Análisis Real
Capítulo 4
- 80 -
Definición 4.8 Dada una familia de funciones F se dice que es equicontinua
superiormente al vacío si y solo sí para toda sucesión de conjuntos ( Ck )k∈¥ ⊆ M
decrecientes al vacío Ck ] φ , y para todo ε > 0 , existe k0 , tal que si k ≥ k0
entonces
∫ f dµ < ε para toda f ∈F
Ck
Lema 4.17 (Continuidad absoluta del integral)
Sea f ≥ 0 medible e integrable, entonces para todo ε > 0 , existe δ > 0 , tal que si
µ ( A ) < δ se cumple:
∫
Demostración Sea
A
f <ε
En = { x : f ( x ) < n} , definimos g n = f χ En entonces como
En ⊆ En +1 ⇒ χ En ≤ χ En +1 ⇒ g n ≤ g n +1 y por ser lim En = X ⇒ g n Z f entonces por
n
el T.C.M. se tiene:
lim ∫ f = lim ∫ f χ En dµ = lim ∫ g n dµ = ∫ lim g n dµ = ∫ f dµ
En
n
n
X
n
X
X
X
n
por otro lado
∫
X
f dµ = ∫ f dµ + ∫
( En )C
En
f dµ
pasando al límite se tiene que:
lim ∫
n
EnC
f dµ = 0
Entonces dado ε > 0 existe n0 ∈ ¥ tal que ∀n ≥ n0 se tiene:
ε
f
d
µ
<
C
∫( En )
2
ahora fijado el n0
∫
A
f dµ = ∫
AI En0
f dµ + ∫
(
AI En0
)
C
f dµ ≤ n0
ε
d
+
µ
C f dµ ≤ n 0 µ ( A ) +
∫144
∫( En0 )
AI En0
2
424443
(
)
= µ AI En0 ≤ µ ( A )
tomando δ =
ε
ε ε ε
se tiene que si µ ( A ) < δ ⇒ ∫ f dµ ≤ n 0 µ ( A ) + < + = ε
1442443 2 2 2
A
2n0
ε
<2
Proposición 4.18 (Teorema de Vitali)
Sea ( f n )n∈¥ una sucesión de funciones de Lp ,
p
L
f n 
→ f si y solo sí se cumplen:
µ
i) f n 
→f
- 80 -
f ∈ Lp ,1 ≤ p < ∞ , entonces
Modos de Convergencia y espacios Lp
Análisis Real
{
}
ii) F = f n : n ∈ ¥
p
- 81 -
es uniformemente absolutamente continua y equicontinua
superiormente al vacío.
p
L
Demostración ⇒ Supongamos que f n 
→ f entonces por la desigualdad de
Markov para g ( x ) = x
p
µ ({ x : f n ( x ) − f ( x ) ≥ ε }) ≤
µ
1
εp
∫
f n ( x ) − f ( x ) dµ → 0
p
X
luego f n 
→f.
Para mostrar que F es uniformemente absolutamente continua, observe que:
p
p
p
p
p
∫ fn = ∫ fn − f + f ≤{ 2 ∫ fn − f + ∫ f
A
y como
∫
A
cumple que
fn − f
∫
X
A
p
≤ ∫ fn − f
p
X
fn − f
p
<
(
obs. 4.1
A
y esta última por hipótesis ∃n0 tal que ∀n ≥ n0 se
ε
, y por el lema para la función f
2 p +1
µ ( A) < δ 0 (para δ 0 > 0 suficientemente pequeño) ⇒ ∫ f
A
Concluimos que
∫
A
fn
p
)
A
p
dµ <
p
se tiene que si
ε
.
2 p +1
< ε ∀n ≥ n0 y µ ( A) < δ 0 .
Aplicando el lema (continuidad absoluta) a cada f i
existen δ 1 ,..., δ n0 −1 > 0 tales que
p
∀i = 1,..., n0 − 1 se tiene que
Si µ ( A ) < δ i ⇒ ∫ f i < ε
p
A
Luego tomamos δ = min {δ 0 ,δ 1 ,..., δ n0 −1} se tiene que si µ ( A ) < δ entonces:
∫
∀n ∈ ¥
f n dµ < ε
p
A
y por definición F es uniformemente absolutamente continua.
La prueba de que F es equicontinua superiormente al vacío es análoga.
∞
⇐ Sea Fn = { x : f n ( x ) ≠ 0} , llamemos A = U Fn entonces A es unión numerable de
n =1
de conjuntos de medida finita porque, para todo ε > 0
p
1
µ ({ x : fn ( x ) ≥ ε }) ≤ p ∫ f n dµ < ∞
ε
y
∞
Fn = U{ x : f n ( x ) >
k =1
- 81 -
1
k
}
Análisis Real
Capítulo 4
- 82 -
Sea ( Bk ) k∈¥ una sucesión de conjuntos creciente, tal que Bk Z A , donde
µ ( Bk ) < ∞ , sea Ck = A \ Bk , para todo k. Entonces Ck ] φ . Vamos a probar que
( f n )n∈¥ es de Cauchy en Lp .
∫
fm − fn
≤∫
p
= ∫ fm − fn
A
fm − fn + ∫
p
=∫
Bk
p
Bk I( Am , n )
C
fm − fn + ∫
p
Ck
fm − fn + ∫
p
Am , n
Ck
fm − fn ≤
p
fm − fn ,
p
siendo Am,n = { x : f m − f n ≥ ε } para un cierto ε que será especificado más adelante.
Luego
p
p
( Bk43) + 2 p  ∫A f m p + ∫A f n p  + 2 p  ∫C f m p + ∫C f n p 
∫ f m − f n ≤ ε144µ4244
 k 424444444443

m,n
k
 m ,n 4244444444443
 144444444
1444444444
δ
3
δ
δ
3
3
Para un δ > 0 dado podemos hacer cada termino señalado menor que δ 3 .
Por la equicontinuidad superior al vacío, se tiene:
δ
p
∫Ck f n < 6
tanto para n como para m. Fijando este k, tomamos ε > 0 , tal que ε p µ ( Bk ) < δ 3 .
Por la uniformidad absolutamante continua, existe α > 0 , tal que
δ
p
µ ( A) < α ⇒ ∫ f n dµ < 6p ∀n
A
2
µ
y como f n 
→ f ⇒ ( f n ) es de Cauchy en medida, luego existe n0 ∈ ¥ tal que


Si m, n ≥ n0 ⇒ µ  { x : f m ( x ) − f n ( x ) ≥ ε }  < α
 144444444424444444443

= Am , n


δ
δ
p
p
lo que implica que ∫
f m dµ < 6p y ∫
f n dµ < 6p
Am , n
Am , n
2
2
Con este procedimiento probamos que para el n0 citado
m, n ≥ n0 ⇒ ∫ f m − f n dµ < δ
p
es decir que ( f n ) es de Cauchy en Lp y como este espacio es completo, existe
L
µ
g ∈ Lp tal que f n 
→ g , entonces aplicando el teorema directo f n 
→g, y
p
µ
como por hipótesis f n 
→ f resulta que f = g c.t.p. − µ (prop. 4.5 (iii)).
- 82 -
Análisis Real
Modos de Convergencia y espacios Lp
- 83 -
Generalizando el resumen ya construido antes, tenemos los siguientes diagramas:
En el primer diagrama tenemos que las flechas llenas corresponden a implicancias
que se cumplen en un espacio de medida arbitrario, las flechas punteadas significa
que existe una subsucesión que cumple la implicancia.
c.u.
µ
c.t.p.
c.u.--- converve casi unimformemente
c.t.p.---converge en casi todo punto
µ ---converge en medida
Lp ---converge en Lp
Lp
c.u.
El siguiente diagrama es para un espacio de
medida finito.
.
µ
c.t.p.
Lp
c.u.
El siguiente es el caso de existir sucesión de
funciones dominada
µ
c.t.p.
Lp
Veamos ahora una proposición equivalente a la 3.20 para espacios Lp ( µ ) , es decir
que el conjunto de funciones simples en Lp es ⋅ p − denso en Lp .
Proposición 4.19 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida, y consideremos el
conjunto:
S = {ϕ : X → ¡ : simples medibles y µ ({ x : ϕ ( x ) ≠ 0}) < ∞}
- 83 -
Análisis Real
Capítulo 4
⋅
entonces ∀p ∈ [1, +∞ ) S
p
- 84 -
= Lp
Demostración Consideremos la demostración para funciones no negativas.
Primero veremos que S ⊆ Lp , sea f ∈ Lp por la proposición 2.14 existe una
sucesión de funciones simples (ϕ n ) n∈¥ ⊆ S monótona creciente, tales que ϕ n Z f , o
sea que
ϕ n ≤ f ∀n ⇒ ∫ ϕ n dµ ≤ ∫ f dµ ⇒
(
∫ ϕ n dµ
p
)
1
p
≤
(
)
1
f dµ < ∞ ⇒ ϕ n ∈ Lp ∀n
∫
14444244443
p
p
f ∈Lp
por otra parte como ϕ n − f ≤ ϕ n + f ≤ 2 f ⇒ ϕ n − f
TCD se tiene:
p
≤ 2p f
lim ∫ ϕ n − f dµ = ∫ lim ϕ n − f d µ = 0 ⇒ ϕ n − f
14444244443
p
p
p
p
∈ L1 luego por el
→0
=0
Relación entre los espacios Lp
Proposición 4.20 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y 1 ≤ p < q < r ≤ +∞
entonces se cumplen:
i) Lp ( µ ) I Lr ( µ ) ⊆ Lq ( µ ) ⊆ Lp ( µ ) + Lr ( µ )
ii) Si
1
q
= λp + 1−rλ
( 0 < λ < 1) entonces f q ≤ f
1− λ
p
f
λ
r
∀f ∈ Lp I Lq
Demostración i)Demostremos primero Lq ⊆ Lp + Lr ; sea f ∈ Lq y definimos el
conjunto E = { x : f ( x ) > 1 } , sean g = f χ E y h = f χ E C entonces
g = f
p
p
χE ≤ f χE = g
q
q
q
y como f ∈ Lq ⇒ g ∈ Lq ⇒ ∫ g dµ < ∞ ⇒ ∫ g dµ < ∞ ⇒ g ∈ Lp análogamente
p
h ≤ f χ EC ≤ f χ EC = h
r
r
q
q
r
luego como h ∈ Lq ⇒ ∫ h dµ < ∞ ⇒ h ∈ Lr y evidentemente f = g + h
Para probar Lp I Lr ⊆ Lq podemos ver que f = g + h y como:
q
 f ∈ Lp ⇒ h ∈ Lp ⇒
{ h∈ L 
q
p


h ≤h
f ∈ Lp I Lr ⇒ 
g + h ∈ Lq
⇒

{
q
r
g ≤g
}

 Lq espacio vectorial
r
r
q
f
∈
L
⇒
g
∈
L
⇒
g
∈
L


luego f ∈ Lq .
- 84 -
Modos de Convergencia y espacios Lp
Análisis Real
- 85 -
ii) Veamos la desigualdad para el caso r < ∞ , aplicamos la desigualdad de Hölder
con exponentes λpq , (1−rλ ) q , que son exponentes conjugados y como funciones f y g las
funciones f
f
λq
(1−λ ) q
y f
(1− λ ) q
= ∫ f dµ = ∫ f
q
q
q
resultando:
λq
f
dµ ≤
∴
Para el caso r = ∞
f
q
q
=
1
q
λ
p
⇒λ =
= ∫ f dµ = ∫ f
q
f
(∫ f
q
)
dµ
p
1− λ
≤ f
(1− λ ) q
(∫ f
r
dµ
)
λq
r
= f
(1− λ ) q
f
p
λq
r
λ
f
p
p
r
p
q
q− p
∴
f
f
p
q
dµ ≤ f
≤ f
q− p
∞
p
q
p
f
∫
1−
f
dµ = f
p
q(1− λ )
∞
f
qλ
p
p
q
∞
Proposición 4.21 Sea ( X ,M , µ ) espacio de medida, µ ( X ) < ∞ y 1 ≤ p < q ≤ ∞ ,
entonces se cumplen:
i) Lq ( µ ) ⊆ Lp ( µ ) ,
≤ µ ( X )p
1
ii) f
p
− 1q
f
q
Demostración Veamos primero el caso q = ∞ , se tiene que :
f
Luego f
p
≤ f
∞
µ(X )
{
p
= ∫ f dµ ≤ f
p
p
1
p
p
∞
∫1dµ =
p
∞
f
µ(X )
y se cumplen i) y ii) a la vez.
<∞
Si q < ∞ , para ver que se cumple i), definimos E = { x : f ( x ) > 1} , y como
podemos escribir f = f χ E + f χ EC entonces:
∫
f dµ = ∫
p
X
X
(f
χ E + f χ EC ) d µ ≤ 2 p
p
obs. 4.1
(∫
X
f
p
χ E dµ + ∫ f
X
p
)
χ E C dµ ≤






q
q
p

≤ 2  ∫ f χ E dµ + ∫ 1χ E C dµ  ≤ 2 ∫ f χ E dµ + µ ( X ) 
{
X
X
X
144424443
 14444244443
<∞


C


<∞
=µ ( E )


q
q
Luego si f ∈ Lq ⇒ f χ E ∈ Lq ⇒ ∫ f χ E dµ < ∞ ⇒ f ∈ Lp .
p
X
Para ver ahora la ii) aplicamos la desigualdad de Hölder con exponentes conjugados
p
q
q
f y 1, resultando:
p , q − p y como funciones f y g, las funciones
f
p
p
= ∫ f 1dµ ≤ f
∴
p
f
p
≤ f
p
q
µ(X )
q− p
µ ( X ) pq
q
- 85 -
q− p
q
Análisis Real
Capítulo 4
- 86 -
Nosotros concluimos esta sección con unos comentarios sobre la relevancia de los
espacios Lp . Los tres más importantes son obviamente los espacios L1 , L2 y L∞ . Con
L1 ya estamos familiarizados; L2 es especial porque es un espacio de Hilbert; y la
topología en L∞ se relaciona estrechamente a la topología de convergencia
uniforme. Desgraciadamente L1 y L∞ son patológicos en muchos aspectos, y es más
fructífero tratar con los espacios intermedios Lp : Una manifestación de esto es la
teoría de la dualidad así como los operadores en el análisis de Fourier y en las
ecuaciones diferenciales en Lp con 1 < p < ∞ pero no en L1 y L∞ .
- 86 -
Capítulo 5
Medida signada
Definición 5.1 Dado un espacio de medible ( X ,M ) una medida con signo es un
mapa µ : M → [ −∞, +∞ ] tal que:
i) Im ( µ ) ⊆ [ −∞, +∞ ) o Im ( µ ) ⊆ ( −∞, +∞] ,
ii) µ (φ ) = 0 ,
(
)
∞
iii) Si En ⊆ M disjuntos dos a dos ⇒ µ â En = ∑ µ ( En ) .
n∈¥
Es decir µ es σ − aditiva.
Proposición 5.1 Sea ( An )n∈¥
∞
solo sí
n =1
∞ 
⊆ M disjuntos dos a dos entonces µ  âAn  < ∞ si y
 n=1 
∑ µ(A ) < ∞
n =1
n
Demostración ⇐ si
∞
∑ µ(A ) < ∞
n =1
n
entonces :
∞
∞
∞ 
µ  âAn  = ∑ µ ( An ) ≤ ∑ µ ( An ) < ∞
 n=1  n=1
n =1
⇒ Sea τ una permutación de los naturales, entonces:
∞ 
∞
 ∞
µ  âAn  = µ  âAτ ( n )  = ∑ µ ( Aτ ( n ) )
 n=1 
 n=1
 n=1
∞
es decir que la suma de la serie
∑µ(A )
n =1
n
es finita e invariante por medio de
reordenamientos. Luego la serie es absolutamente convergente.
- 87 -
Análisis Real
Capítulo 5
- 88 -
Ejemplo 5.1 Las medidas son medidas con signo y la llamamos medidas positivas.
Ejemplo 5.2 Si µ y υ son medidas positivas tales que µ o υ no alcanzan el valor
+∞ , entonces µ − υ y υ − µ son medidas con signo.
Ejemplo 5.3 Si f : X → [ −∞, +∞ ] medible y µ una medida positiva y
entonces si definimos υ tal que:
υ ( E ) = ∫ f dµ = ∫ f + dµ − ∫ f − dµ
E
E
∫f
+
dµ < ∞ ,
E
tenemos que es una medida signada.
Definición 5.2 Sea µ una medida signada y sea F ∈M , se dice que F es
µ - positiva si:
∀E ⊆ F , E ∈ M es µ ( E ) ≥ 0
Análogamente se define conjunto µ - negativo
Definición 5.3 Se dice que A∈ M es µ - nulo si es µ − positivo y µ − negativo a
la vez.
Lema 5.2 Sea ( X ,M ) un espacio medible y µ una medida con signo definida en
él entonces:


i) Si ( En )n∈¥ ⊆ M es creciente ⇒ µ  U En  = lim µ ( En )
 n∈¥  n→∞
ii) Si ( En )n∈¥ ⊆ M es decreciente y µ ( Ek ) es finito para algún k entonces:


µ  I En  = lim µ ( En )
 n∈¥  n→∞
Demostración Análoga a la demostración de la proposición 1.1
Proposición 5.3 (Teorema de Hahn-Jordan)
Sea µ una medida con signo, entonces existe una partición ( P, N ) de X tal que P es
µ − positiva y N es µ − negativa además si ( P′, N ′ ) es otra partición de X entonces:
PV P′ y N V N ′ son µ − nulos
Demostración Se puede suponer que µ no alcanza el valor +∞
- 88 -
Análisis Real
Medida signada, integración y diferenciación
- 89 -
Sea S = Sup {µ ( E ) : E es µ − positivo} ⇒ Existe una sucesión creciente Pn de
conjuntos µ − positivos tal que lim µ ( Pn ) = S .
n
∞
∞


Sea P = U Pn ⇒ µ ( P ) = µ  U Pn  = lim µ ( Pn ) = S y además es µ − positivo ya que
n
 n =1 
n =1
∞

si E ⊆ P ⇒ µ ( E ) = µ ( E I P ) = µ  U Pn I E  = lim µ ( Pn I E ) ≥ 0
n 144424443
 n=1

≥0
porque Pn I E ⊆ Pn que es µ − positivo.
Se tiene que S es un máximo y además S < ∞ (porque +∞∉ Im ( µ ) )
Sea N = X \ P hay que probar que N es µ − negativo . Para lo cual supondremos
que N es no negativo y esto nos llevará a una contradicción.
Primero veremos que N no tiene ningún subconjunto µ − positivo no nulo.
Afirmación 1 Si E ⊆ N y es µ − positivo ⇒ µ ( E ) = 0 ;
Demostración Supongamos que µ ( E ) > 0 y se tiene que P U E sería µ − positivo y
µ ( P U E ) = S + µ ( E ) > S lo que es imposible.
Afirmación 2 Si A ⊆ N y µ ( A ) > 0 entonces existe B ⊆ A tal que µ ( B ) ≥ µ ( A )
Demostración Por la afirmación 1 A no es µ − positivo entonces existe C ⊆ A
tal que µ ( C ) < 0 , tomando B = A \ C se tiene µ ( B ) = µ ( A ) − µ ( C ) ≥ µ ( A) .
{
<0
Entonces si N es no negativo, luego debe existir algún B ⊆ N tal que µ ( B ) > 0 , y
podemos especificar una sucesión de subconjuntos
(n )
j
j∈¥
(A )
j
j∈¥
de N, y una sucesión
de enteros positivos como sigue:
n1 = min {n ∈ ¢ + : ∃B ⊆ N con µ ( B ) >
1
n
}
y sea dicho conjunto B = A1 , como A1 ⊆ N y µ ( A1 ) > 0 aplicando la afirmación 2
podemos definir:
n2 = min {n ∈ ¢ + : ∃B ⊆ A1 con µ ( B ) > µ ( A1 ) + 1n }
y sea este conjunto B = A2 ; y así sucesivamente definimos:
n j = min {n ∈ ¢ + : ∃B ⊆ Aj −1 con µ ( B ) > µ ( Aj −1 ) + 1n }
y sea ese conjunto B = Aj .
∞
Sea A = I Aj entonces como Aj +1 ⊆ Aj y 0 < µ ( A1 ) < +∞ ⇒ µ ( A ) = lim µ ( Aj )
j →∞
j =1
Por otro lado µ ( Aj ) > µ ( Aj −1 ) + n1j > µ ( Aj −2 ) +
- 89 -
j
1
n j −1
+ n1j > ... > ∑ n1k pasando al límite:
k =1
Análisis Real
Capítulo 5
∞
- 90 -
∞
∞ > µ ( A ) > ∑ n1j > 0 ⇒ ∑ n1j converge ⇒
j =1
j =1
→ 0∴n j → ∞
1
nj
Pero una vez más por ser µ ( A ) > 0 y A ⊆ N ∃B ⊆ A con µ ( B ) > µ ( A ) + 1n para
algún entero positivo n ,ahora como n j → ∞ si j → ∞ tomando j suficientemente
grande tenemos n < n j contradiciendo la construcción de los n j . Luego asumir que
N es µ − no negativo nos lleva a una contradicción.
Finalmente si P′ y N ′ es otra partición, por el propio teorema P \ P′ ⊆ P ,como:
{
}
P \ P′ = { x ∈ P tal que x ∉ P′} = { x ∈ P} I x ∈ ( P′ ) = N ′ = P I N ′ ⊆ N ′ ,
C
luego P \ P′ ⊆ N ′ , y entonces P \ P′ es µ -positivo y negativo a la vez, o sea que es
µ -nulo. Análogamente con P′ \ P ⇒ PVP′ es µ − nulo . Igual con N VN ′ .
Definición 5.4 Al par ( P, N ) de la proposición anterior llamaremos descomposición
de Hahn para µ .
Como ya vimos esta descomposición no es única en general, pero nos lleva a una
representación canónica de µ como diferencia de dos medidas positivas como
veremos en la siguiente proposición.
Para enunciar este resultado necesitamos un nuevo concepto
Definición 5.5 Sean µ y υ medidas signadas en ( X ,M ) , entonces decimos que
son mutuamente singulares o que µ es singular respecto de υ si existen
E , F ∈M con X = E U F , E I F = φ tal que:
υ ( A ) = 0 ∀A ⊆ E , A ∈ M

 µ ( B ) = 0 ∀B ⊆ F , B ∈ M
Es decir que existe una partición (E,F) de X tal que, F es µ − nulo y E es υ − nulo.
En estas condiciones se dice que µ está concentrada en E y υ está concentrada en F
Para notar la singularidad mutua utilizamos el símbolo de perpendicularidad, µ ⊥ υ .
Proposición 5.4 (Teorema de descomposición de Jordan)
Si υ es una medida signada en ( X ,M ) , entonces existen
+
−
+
positivas υ y υ tal que υ = υ − υ
−
+
únicas
medidas
−
y υ ⊥υ .
Demostración Sea X = P U N con ( P, N ) descomposición de Hahn de υ , y
definimos:
υ + ( A) = υ ( A I P )
υ − ( A) = −υ ( A I N ) ∀A ∈ M
- 90 -
Análisis Real
Medida signada, integración y diferenciación
- 91 -
Para todo A∈M se tiene que:
υ + ( A) − υ− ( A) = υ ( A I P ) + υ ( A I N ) = υ ( A)
∴ υ = υ + −υ−
Además:
análogamente
si A ⊆ N ⇒ υ + ( A ) = υ ( A I P ) = υ (φ ) = 0
si B ⊆ P ⇒ υ − ( B ) = υ ( B I N ) = υ (φ ) = 0
es decir que υ + está concentrada en P y υ − está concentrada en N ⇒ υ + ⊥ υ − .
Para probar la unicidad, sean µ + y µ − dos medidas positivas, con υ = µ + − µ − y
mutuamente singulares ( µ + ⊥ µ − ) , sea ( E , F ) la partición de X correspondiente a
la singularidad de µ + y µ − , luego µ + está concentrada en E y µ − en F.
Probaremos que E es υ − positiva :
∀A ⊆ E ⇒ υ ( A ) = µ + ( A ) − µ − ( A ) ≥ 0
(∗ )
1442443
=0
análogamente F es υ − negativa
=0 8
644744
+
∀B ⊆ F ⇒ υ ( B ) = µ ( B ) − µ − ( B ) < 0
Y por lo tanto ( E , F ) es otra descomposición de Hahn de υ luego por la
proposición 5.3 PVE es υ − nulo. Por consiguiente para cualquier A∈M se tiene:
=0
644444744444
8
+
υ ( A) = υ ( A I P ) = υ ( A I P I F ) + υ ( A I P I E ) =
= υ ( A I E I P) +υ ( A I E I N ) = υ ( A I E ) =
1444442444443
( ∗)
=0
= µ ( A I E ) = µ ( A I E ) + µ + ( A I F ) = µ + ( A)
lo ceros son porque PVE = ( P I F ) U ( E I N ) y A I E I N ⊆ E I N ⊆ PVE como
también A I P I F ⊆ P I F ⊆ PVE .
Análogamente υ − = µ − .
+
+
Definición 5.6 A las medidas υ + y υ − de la proposición anterior se les llama
variación positiva y negativa de υ , y υ = υ + − υ − es llamada descomposición de
Jordan de υ .
Además definimos la variación total de υ , a la medida υ definida por:
υ = υ+ +υ−
Se verifica fácilmente que E ∈M es υ − nulo sií υ ( E ) = 0 y que υ ⊥ µ
υ ⊥ µ y sií υ + ⊥ µ y υ − ⊥ µ .
- 91 -
sií
Análisis Real
Capítulo 5
- 92 -
Si a la proposición anterior le pedimos un poco menos a υ , como que sea una
función σ − aditiva , igual sigue valiendo y además también se pueden establecer las
definiciones correspondientes de singularidad y variación, resultando algo más
generales.
Observación 5.1 Observemos que si υ no toma el valor +∞ entonces
υ + ( X ) = υ ( P ) < ∞ y υ + es una medida finita, análogamente si υ no toma el valor
−∞ . Entonces si el recorrido de υ está contenido en ¡ , υ es limitada.
Definición 5.7 Supóngase que υ es una medida signada y µ una medida positiva en
( X ,M ) , decimos que υ es absolutamente continua respecto de µ y escribimos:
υ=µ
si ∀A ∈ M tal que µ ( A ) = 0 ⇒ υ ( A ) = 0 .
Observación 5.2 Se verifica fácilmente que
υ = µ sií υ = µ sií υ + = µ y
υ− = µ .
Si υ ⊥ µ y υ = µ , entonces υ = 0 , ya que si E , F son conjuntos disjuntos tales que
X = E U F y µ ( E ) = υ ( F ) = 0 , entonces el hecho de que υ = µ ⇒ υ ( E ) = 0 de
donde υ = 0 y ⇒ υ =0 .
Uno puede extender la noción de absolutamente continua al caso donde µ es una
medida signada a saber:
υ = µ ⇔υ = µ
aunque no tendremos ninguna necesidad de dar dicha definición general.
Proposición 5.5 (Teorema de Radon-Nikodin-Lebesgue )
Sea ( X ,M ) un espacio medible, µ una medida y υ una función de conjuntos
σ − aditiva , supongamos además que µ , υ son σ − finitas , (es decir que si
X = â X n tal que υ ( X n ) < ∞ y µ ( X n ) < ∞ ∀n ∈ ¥ ) Entonces existen una y solo
n
n∈¥
una descomposición de υ donde υ ( E ) = υ s ( E ) + υ c ( E ) ∀E ∈M tal que:
i) υ s y υc son funciones σ − aditivas
ii) υ s ⊥ µ , υc = µ
iii) Existe f tal que:
Además f es única c.t.p. − µ
υc ( E ) = ∫ f dµ ∀E ∈ M
E
- 92 -
Análisis Real
Medida signada, integración y diferenciación
- 93 -
Demostración
• Supongamos primero que υ y µ son medidas positivas y finitas y sea:
{
F = f : X → [0, +∞ ] : ∫ f dµ ≤ υ ( E ) ∀E ∈ M
E
}
Entonces se cumple que:
a) F ≠ φ ya que la función nula pertenece a F
b) Si ( f n ) ⊆ F y f n ( x ) ≤ f n+1 ( x ) ∀x entonces f = sup f n ∈F , ya que:
T.C.M
}
µ
=
µ
=
f
d
lim
f
d
lim ∫ f n dµ ≤ υ ( E ) ⇒ f ∈F
∫E
∫E n
E
1442443
≤υ ( E )
c) Si f , g ∈F ⇒ h = max { f , g} ∈F . Para probar esto tomemos el conjunto
A = { x : f ( x ) > g ( x )}
si E ∈M se tiene:
∫ hdµ = ∫ hdµ + ∫ C hdµ =
EI A
E
=∫
Sea α = sup
∫
X
{∫
EI A
X
EI A
f dµ + ∫
E I AC
C
gdµ ≤
{ υ ( E I A) + υ ( E I A ) = υ ( E )
f , g∈F
}
f dµ : f ∈F ≤ υ ( X ) < ∞ , existe una sucesión ( f n ) ⊆ F tal que
f n dµ → α .
Sea g n = max { f1 , f 2 ,..., f n } por la propiedad c) inductivamente se tiene que
g n ∈F ∀n y además f n ≤ g n ≤ g n +1 ∀n y llamemos f = lim g n que por la
n
propiedad b) f ∈F .Entonces:
}
α ≥ ∫ f dµ = lim ∫ g n dµ ≥ lim ∫ f n dµ = α
T.C.M
n
n
por lo tanto α = ∫ f dµ
porque f ∈F
Definimos
υc ( E ) = ∫ f dµ ≤ υ ( E )
E
(∗ )
primero que nada por definición de υc resulta υc = µ , ya que si µ ( A ) = 0 ⇒ f χ A
es cero c.t.p. − µ ⇒ 0 = ∫ f χ A dµ = ∫ f dµ = υ c ( A ) .
X
y sea
A
υ s ( E ) = υ ( E ) − υc ( E )
que por (∗ ) es υ s ( E ) ≥ 0 .
Veremos que υ s ⊥ µ para ello definimos ∀n ∈ ¥ υ n ( E ) = υ s ( E ) − 1n µ ( E )
υ n es σ − aditiva por ser suma de funciones σ − aditivas .
- 93 -
Análisis Real
Capítulo 5
- 94 -
Llamemos ∀n ∈ ¥ ( Pn , N n ) al par de la descomposición de Hahn para υ n y sea
N = I N n y P = N C = U N nC = U Pn veremos que υ s ( N ) = 0 y µ ( P ) = 0 .
n∈¥
n∈¥
n∈¥
0 ≤ υ s ( N n ) = υ n ( N n ) + 1n µ ( N n ) ≤ 1n µ ( Nn )
1442443
≤0
como υ n Z⇒ υ n+1 ( Pn ) ≥ υ n ( Pn ) ≥ 0 ⇒ Pn ⊆ Pn+1 ⇒ Pn Z⇒ N n ] y entonces:


0 ≤ υ s ( N ) = υ s  I N n  = limυ s ( N n ) ≤ lim 1n µ ( N n ) = 0
1442443
n
n
 n∈¥ 
<∞
Luego υ s ( N ) = 0 , para probar la otra afirmación supongamos que no se cumple es
decir que µ ( P ) ≠ 0 como µ es positiva ⇒ ∃n0 ∈ ¥ tal que µ ( Pn0 ) > 0 y definimos:
r ( x ) = f ( x ) + n10 χ Pn ( x )
0
integrando
∫
X
rdµ = ∫ f dµ + n10 ∫ χ Pn dµ = α +
0
X
X
1442443
=α
1
n0
µ ( Pn0 ) > α
1442443
>0
Si probamos que r ( x ) ∈F llegamos a un absurdo por ser α el supremo.
∀E ∈M se tiene:
υc ( E )
644744
8
1
∫ rd µ = ∫ f + n0 χ Pn dµ = ∫ f dµ + n10 ∫ dµ =
E
E
(
= υc ( E ) +
0
1
n0
)
E I Pn0
E
µ ( E I Pn0 ) = υ ( E ) − υ s ( E ) + n10 µ ( E I Pn0 ) ≤
≤ υ ( E ) − υ s ( E I Pn0 ) − n10 µ ( E I Pn0 )  ≤ υ ( E ) − υ n0 ( E I Pn0 ) ≤ υ ( E )
14444244443
144444444444424444444444443
luego r ( x ) ∈F.
(
υ n0 E I Pn0
)
≥0
Además f es única c.t.p. − µ ya que si hay otra %f tenemos que:
∀E ∈ M ∫ f dµ = ∫ %f dµ ⇒ f = %f c.t.p. − µ
E
E
• Analicemos ahora el caso que υ , µ son σ − finitas .
Entonces existe una sucesión creciente ( X n )n∈¥ ⊆ M disjuntos dos a dos tal que
X = U X n y µ ( X n ) < ∞ , υ ( X n ) < ∞ ∀n ∈ ¥ , ∀A ∈ M tal que A ⊆ X n podemos
n∈¥
restringir a X n , y estamos en el caso anterior, entonces ∀n ∈ ¥ ∃υ sn y υcn tal que:
υ ( A ) = υ sn ( A ) + υcn ( A )
siendo υ sn ⊥ µ , y ∃f n tal que υ cn ( A ) = ∫ f n dµ luego υcn = µ .
Definimos ∀A ∈M :
A
- 94 -
Análisis Real
Medida signada, integración y diferenciación
- 95 -
υ s ( A ) = ∑ υ sn ( A I X n ) y υc ( A) = ∑υcn ( A I X n )
n∈¥
Se tiene que:
n∈¥
υ ( A ) = ∑ υ ( A I X n ) = ∑υ sn ( A I X n ) + υ cn ( A I X n ) =
n∈¥
n∈¥
= ∑ υ s n ( A I X n ) + ∑ υ cn ( A I X n ) = υ s ( A ) + υ c ( A )
n∈¥
n∈¥
Además como para cada n υ sn ⊥ µ ⇒ ∃Dn ⊆ X n tal que υ sn ( Dn ) = 0 y µ ( DnC ) = 0
Sea D = U Dn , entonces:
n∈¥
υ s ( D ) = ∑ υ sn ( D I X n ) = ∑ υ sn ( Dn ) = 0
1442443
n∈¥
n∈¥
= 0 ∀n
Y como D = I D se tiene:
C
n∈¥
C
n


µ ( D C ) = µ  I DnC  ≤ µ ( D1C ) = 0
 n∈¥

C
asumiendo que f n = 0 en X n , definimos f = ∑ f n ⇒ f χ X n = f n y se tiene:
∫
A
n∈¥
f dµ = ∫
U AI X n
n∈¥
f d µ = ∑ ∫ f χ A I X n d µ = ∑ ∫ f χ X n dµ =
n∈¥
= ∑ ∫ f n dµ = ∑ ∫
n∈¥
A
n∈¥
X
n∈¥
AI X n
A
f n dµ = ∑ υ c n ( A I X n ) = υ c ( A )
n∈¥
• Ahora probemos la unicidad de la descomposición para el caso finito.
Supongamos que tenemos dos descomposiciones, ∀A ∈M se tiene:
υ s ( A ) + υc ( A) = υ s′ ( A ) + υ c′ ( A )
con υ s ⊥ µ , υc = µ y υ s′ ⊥ µ , υc′ = µ entonces
υ s ( A ) − υs′ ( A ) = υ ′ ( A )c − υc ( A) ∀A ∈ M
1444442444443 144444424444443
υ s∗
υ c∗
Llamamos υ s∗ = υ s − υ s′ y υc∗ = υc′ − υc luego υ s∗ y υc∗ son funciones σ − aditivas tal
que υ s∗ ⊥ µ y υc∗ = µ , ya que si llamamos ( E , F ) y ( E ′, F ′ ) a las particiones
correspondientes a υ s y υs′ respectivamente, es decir que υ s esta concentrada en E y
υ s′ está concentrada en E ′ entonces sea ( C , D ) tal que D = F I F ′ y C = X \ D ⇒
C = E U E ′ y si A ⊆ C ⇒ µ ( A) ≤ µ ( A I E ) + µ ( A I E ′ ) = 0 por ser υ s ,υ s′ ⊥ µ ,
144424443 144424443
=0
=0
luego µ está concentrado en D.
Por otro lado
 A ⊆ F ⇒ υs ( A) = 0 
Si A ⊆ D ⇒ 
 ⇒ (υ s − υ s′ )( A ) = 0
 A ⊆ F ′ ⇒ υ s′ ( A ) = 0 
- 95 -
Análisis Real
Capítulo 5
- 96 -
y υ s − υ s′ está concentrada en C ⇒ υ s − υ s′ ⊥ µ además es claro que υc∗ = µ .
∀A ∈M se tiene:
(υc′ − υc )( A) = (υc′ − υc )( A I C ) + (υc′ − υc )( A I D ) =
= (υ c′ − υ c )( A I C ) + (υ s − υ s′ )( A I D ) = 0
144444424444443 144444424444443
=0
=0
pues µ ( A I C ) = 0
luego υc′ − υc ≡ 0 y ∴υ s − υ s′ ≡ 0 .
por estar concentrado en C
Definición 5.8 Dada una medida signada υ tal que existe una función f de manera
de que υ ( A ) = ∫ f dµ lo que también notamos por dυ = f dµ , entonces a f le
A
llamamos derivada de Radon-Nikodym de υ respecto de µ y haciendo abuso de
dυ
dυ
entonces sustituyendo nos queda dυ =
notación escribimos que f =
⋅ dµ
dµ
dµ
Corolario 5.6 Si µ y υ son medidas tales que υ = µ entonces:
dυ
υ ( A) = ∫
⋅ dµ
A dµ
Corolario 5.7 Sean υ1 y υ 2 dos medidas signadas σ − finitas y µ una medida
σ − finita , tales que υ1 = µ y υ2 = µ , entonces si α1 ,α 2 ∈ ¡ y α1υ1 + α 2υ 2
siempre que esté definida se cumple que α1υ1 + α 2υ 2 = µ y:
d
dυ
dυ
(α1υ1 + α 2υ2 ) = α1 1 + α 2 2
dµ
dµ
dµ
Demostración Por la unicidad del teorema de 5.5 .
Proposición 5.8 Sean υ una función σ − aditiva , σ − finita , y µ y λ medidas
σ − finitas , entonces si υ = µ y µ = λ se cumple:
i) ∀g ∈ L1 (υ )
dυ
dυ
g
∈ L1 ( µ ) y ∫ g dυ = ∫ g
⋅ dµ
dµ
dµ
dυ dυ dµ
ii) υ = λ y
=
⋅
d λ dµ d λ
Demostración Vamos a hacer la demostración para υ ≥ 0
Si E ∈M , es tal que χ E ∈ L1 (υ ) (o sea υ ( E ) < ∞ ) entonces:
- 96 -
Análisis Real
Medida signada, integración y diferenciación
Por definición
∞ > υ ( E ) {=
P
∫
luego χ E
dυ
∈ L1 ( µ ) y
dµ
X
υ=µ
∫
E
- 97 -
dυ
dυ
⋅ d µ = ∫ χE
⋅dµ
X
dµ
dµ
χ E dυ
∫ χ E dυ = ∫ χ E
dυ
⋅ dµ . Las funciones características la
dµ
cumplen. Consideremos ahora una función ϕ ∈ L1 (υ ) simple, entonces:
dυ
dυ
ϕ
∈ L1 ( µ ) y ∫ ϕ dυ = ∫ ϕ
⋅ dµ
dµ
dµ
porque toda función simple es combinación lineal de funciones características y
aplicando la linealidad del integral se llega a la igualdad deseada.
En el caso general, es decir que f ∈ L1 (υ ) con f ≥ 0 entonces por la proposición
2.14 existe una sucesión de funciones simples (ϕ n ) n∈¥ tal que:
0 ≤ ϕ n ≤ ϕ n +1 ≤ f y ϕ n ( x ) → f ( x )
dυ
dυ
dυ
Por otro lado
≥ 0 c.t.p. − µ , por ser υ{
( E ) = ∫E ⋅ dµ ⇒ ϕ n ≥ 0 c.t.p. − µ
dµ
dµ
dµ
≥0
entonces:
dυ
dυ
∞ > ∫ f dυ = lim ∫ ϕ n dυ = lim ∫ ϕ n
⋅ dµ = ∫ f
⋅ dµ
T.C.M n
n
T.C.M
dµ
dµ
Finalmente si f ∈ L1 (υ ) cualquiera consideramos:
f = ( f r+ − f r− ) + i ( fi + − fi − )
y aplicamos lo anterior a cada una de las funciones f r+ , f r− , f i+ , f i − por ser todas
reales positivas.
ii) Si λ ( E ) = 0 ⇒ µ ( E ) = 0 ⇒ υ ( E ) = 0 ⇒ υ = λ , además:
µ =λ
υ=µ
g
}
υ
dυ } µ =λ
dυ dµ
υ (E) = ∫
⋅d µ = ∫
⋅
⋅ dλ
E
E
υ=µ
parte anterior
dµ
dµ dλ
P
por ser υ = λ
dυ
∫E dλ ⋅ d λ
y como la derivad de Radon- Nikodym es única
dυ dυ dµ
c.t.p. − λ
=
⋅
dλ dµ dλ
Corolario 5.9 Si µ y λ son medidas σ − finitas tales que µ = λ y λ = µ
entonces
- 97 -
Análisis Real
Capítulo 5
- 98 -
dµ d λ
⋅
= 1 c.t.p. − µ ( igual c.t.p. − λ )
dλ dµ
Demostración Por la proposición anterior:
dµ dλ dµ
c.t.p. − µ
⋅
=
dλ dµ dµ
dµ
y
= 1 c.t.p. − µ por ser µ ( E ) = ∫ 1dµ
E
dµ
Nos interesa analizar el caso particular en que X = ¡ y µ = λ medida de
Lebesgue.
Si f es una función continua ( f ∈ C 0 ) entonces:
1)
(∫
[a , x]
)
′
f dλ = f ( x )
2) F ∈ C1 ⇒ ∫
[ a ,b]
F ′dλ = F ( b ) − F ( a )
Luego queremos analizar si f ∈ L1 implica que se cumple 1), como encontrar una
caracterización para las funciones que cumplan con 2)
Observar que
ψ ( x ) = ∫ f dλ
[ a , x]
si f es no negativa ⇒ ψ ( x ) Z (es monótona) y en general ψ es diferencia de dos
monótonas, entonces tiene sentido analizar la monotonía.
Definición 5.9 Sea ϕ : [ a, b] → ¡ una función continua, consideremos el conjunto
E = { x ∈ [ a, b ] : ∃y ∈ [ a, b ] con y > x, ϕ ( y ) > ϕ ( x )}
llamado
conjunto
de
puntos
invisibles por derecha. Es el
conjunto de puntos que si “vemos” el
grafico desde la derecha no son
“visibles”o son ocultos por el gráfico.
Hay una definición análoga para
puntos invisibles por la izquierda al
a
b
conjunto:
F = { x ∈ [ a, b ] : ∃y ∈ [ a , b ] con y < x, ϕ ( y ) > ϕ ( x )}
- 98 -
Análisis Real
Medida signada, integración y diferenciación
- 99 -
Lema 5.10 (Lema de Riez)
Dada una función ϕ : [ a, b] → ¡ continua entonces el conjunto de puntos invisibles
por derecha E cumple:
i) E es abierto, en particular es medible.
ii) E = U ( ak , bk ) donde ϕ ( ak ) ≤ ϕ ( bk )
k∈¥
Demostración i)Que es abierto es casi inmediato porque si x ∈ E ⇒ que hay un
entorno incluido en E por ser ϕ continua.
ii) Sea ( ak , bk ) ⊆ E entonces si x ∈ ( ak , bk ) ⇒ ϕ ( x ) ≤ ϕ ( bk ) ⇒ por la continuidad
de ϕ , ϕ ( ak ) ≤ ϕ ( bk ) , ya que de no ser así ϕ ( ak ) > ϕ ( bk ) ⇒ por la continuidad que
sigue pasando lo mismo en un entorno, luego ∃x∗ ∈ ( ak , bk ) tal que ϕ ( x∗ ) > ϕ ( bk ) y
definimos x = sup { x : ϕ ( x ) = ϕ ( x∗ ) , x ∈  x∗ , bk }.
Como x ∈  x ∗ , bk  ⊆ ( ak , bk ) ⊆ E ⇒ x ∈ E ⇒ ∃y > x tal que ϕ ( y ) > ϕ ( x ) por otro
lado ϕ ( x ) = ϕ ( x ∗ ) > ϕ ( bk ) lo que implica que y < bk ya que si y > bk ⇒ bk ∈ E
Observando la figura podemos ver que:
ϕ ( y ) > ϕ ( x ) > ϕ ( bk )
Luego como x < y < bk podemos aplicar Bolzano en
el intervalo ( y , bk ) , y ∃%y ∈ ( y , bk ) tal que:
ϕ ( %y ) = ϕ ( x )
pero esto es absurdo por ser x el supremos de los
punto que cumplen que son iguales a ϕ ( x∗ ) = ϕ ( x ) .
x
y
bk
Observación 5.3 Hay un resultado análogo para los puntos invisibles a izquierda
Para el caso que f no es continua igual podemos definir el conjunto E como sigue:
{
}
E = x : ∃y > x, ϕ ( y ) > limϕ ( z )
z →x
Ahora introduciremos algunas notaciones:
f ( x + h) − f ( x)
Df ( x + ) = lim+
h →0
h
f ( x + h ) − f ( x)
Df ( x − ) = lim−
h→0
h
f ( x + h) − f ( x)
df ( x + ) = lim
h
h → 0+
f ( x + h) − f ( x)
df ( x − ) = lim
h
h →0−
- 99 -
Análisis Real
Capítulo 5
- 100 -
f es diferenciable en x si los cuatro números anteriores coinciden.
Proposición 5.11 Si f es una función monótona entonces:
λ ({ x : f ′ ( x ) no existe o f ′ ( x ) = ∞}) = 0
Demostración Supongamos f Z continua definimos:
E∞ = { x : Df ( x + ) = ∞}
y
Df ( x − )
df ( x − )
F f = { x : df ( x − ) < Df ( x + )}
Df ( x + )
df ( x + )
• Vamos a ver que todo se reduce a probar que λ ( E∞ ) = λ ( Ff ) = 0
Llamemos g ( x ) = − f ( − x ) ⇒ g es continua y monótona, tenemos que se cumple
siempre que df ( x − ) ≤ Df ( x− ) y llamemos Fg = { x : dg ( x − ) < Dg ( x + )} veamos que
significa que x ∈ Fg
− f ( −x − h) + f (− x)
g ( x + h) − g ( x)
= lim
=
h%=− h
h
h
h →0 −
h →0 −
f ( − x + h% ) − f ( − x )
= lim
= df ( − x + )
%
+
h
h%→0
una cuenta análoga muestra que:
f ( − x + h%) − f ( − x )
− f ( −x − h) + f ( −x )
+
Dg ( x ) = lim+
= %lim−
= Df ( − x − )
%
%
h =− h h →0
h →0
h
h
dg ( x − ) = lim
llamemos F f′ = { x : df ( x + ) < Df ( x − )} entonces si λ ( F ) = 0 ⇒ λ ( F ′) = 0 y :
Df ( x + ) ≤ df ( x − ) ≤ Df ( x − ) ≤ df ( x + ) ≤ Df ( x + ) < ∞
c.t.p.
c.t.p.
luego tienen que ser todos iguales.
• Ahora probemos que λ ( E∞ ) = λ ( Ff ) = 0
Para cada n ∈ ¥ si x ∈ E∞ ⇒ ∃y > x tal que
f ( y) − f ( x)
>n
y−x
f ( y) − f ( x)


Sea An =  x : ∃y > x con
> n  entonces si x ∈ E∞ ⇒ x ∈ An por lo
y−x


tanto E∞ ⊆ An ∀n ∈ ¥ .
Probaremos que los An son medibles, de medida finita y además como An ] se


tiene que λ  I An  = lim λ ( An ) , si probamos que este último es cero ⇒ E∞ es
 n∈¥ 
medible y λ ( E∞ ) = 0 .
- 100 -
Análisis Real
Medida signada, integración y diferenciación
- 101 -
Como An es el conjunto de puntos invisibles (luego medible) por derecha de
f ( y) − f ( x)
ϕ n ( x ) = f ( x ) − nx ya que si
> n ⇒ f ( y ) − ny > f ( x ) − nx entonces
y−x
aplicando el lema de Riez para dicha función tenemos que An = U ( ak , bk ) para cada
k∈¥
n con ϕ n ( ak ) ≤ ϕ n ( bk ) ⇒ f ( ak ) − nak ≤ f ( bk ) − nbk ⇒ bk − ak ≤
λ ( An ) = ∑ ( bk − ak ) ≤ ∑
k∈¥
k∈¥
f ( bk ) − f ( ak )
≤
n
1
n
∑ f (b ) − f ( a
k∈¥
k
k
f ( bk ) − f ( ak )
n
f monótona
1
) ≤ 14444442444444
n ( f ( b ) − f ( a )3)
<∞
luego


λ ( E∞ ) ≤ λ  I An  = lim λ ( An ) = lim 1n ( f ( b ) − f ( a ) ) = 0
n
n
 n∈¥ 
• Ahora probaremos que λ ( Ff ) = 0
Veamos primero que a F f lo podemos escribir como:
Ff =
U { x : df ( x ) < r
−
r , s∈¤
r <s
y Df ( x + ) > s} =
UE
r , s∈¤
r <s
r ,s
Probemos que λ ( Er , s ) = 0 ∀r , s ∈ ¤ para lo cual consideremos el siguiente lema.
Lema 5.12 En las condiciones del teorema
λ ( Er , s I (α , β ) ) ≤ rs ( β − α )
Demostración Definimos:
µ1 ( I ) = λ ( Er ,s I I )
µ 2 ( I ) = rs λ ( I )
se observa que µ1 y µ 2 son medidas y si se cumple el lema µ1 ( A ) ≤ µ 2 ( A ) ∀A
(Teorema de extensión mediante).En particular λ ( Er ,s ) ≤ {rs λ ( Er ,s ) ⇒ λ ( Er ,s ) = 0
<1
f ( y) − f ( x)


Sea Gr = { x : df ( x − ) < r} =  x : ∃y < x con
< r  lo que es igual al
y−x


conjunto invisible por izquierda de la función h ( x ) = f ( x ) − rx entonces por el
lema de Riez dado (α , β ) se tiene
(α , β ) I Gr = U ( ak , bk ) tal que h ( ak ) ≥ h ( bk )
k ∈ℵ
lo que significa que f ( ak ) − rak ≥ f ( bk ) − rbk ⇒ f ( bk ) − f ( ak ) ≤ r ( bk − ak )
- 101 -
(1)
Análisis Real
Capítulo 5
- 102 -
Análogamente definimos
f ( y) − f (x)


H s = { x : Df ( x + ) > s} =  x : ∃y > x con
> s  y este es el conjunto de
y−x


puntos invisibles por derecha de la función g ( x ) = f ( x ) − sx aplicando el lema de
Riez se tiene para cada k:
H s I ( ak , bk ) = U ak j , bk j tal que g ak j ≤ g bk j
)
≤ f ( b ) − sb
j∈¥
( )
y esto significa que f ak j − sak j
(
kj
( ) ( )
⇒ b − a ≤  f ( b ) − f ( a )  (2)
kj
kj
kj
1
s
kj
kj
entonces:


λ ( H s I Gr I (α , β ) ) = λ  U ak j , bk j  = ∑ bk j − ak j ≤ ∑ 1s  f bk j − f ak j  ≤
fZ
( 2)
k, j
 k, j
 k, j
≤ 1s ∑ f ( bk ) − f ( ak ) ≤ 1s ∑ r ( bk − ak ) = sr ∑ ( bk − ak ) ≤ sr ( β − α )
(
(1)
k
)
(
k
)
( ) ( )
k
Con lo que queda probado el lema y por las consideraciones más arribas queda
demostrada la proposición.
Observación 5.4 Sea una sucesión de conjuntos An ] φ y f ∈ L1 entonces:
∫
An
n
f 
→0
ya que f χ An → 0 y está dominada por f
( fχ
An
≤ f
) por el T.C.D.
lim ∫ f = lim ∫ f χ An = ∫ lim f χ An = 0
n
An
n
X
X
n
Proposición 5.13 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida y f ∈ L1 ( µ ) entonces para
cada ε > 0 ∃δ > 0 tal que:
si A∈M y µ ( A ) < δ se cumple que
∫
A
f dµ < ε
Demostración Si la tesis fuera falsa significa que ∃ε > 0 tal que ∀n ∈ ¥ ∃An con
µ ( An ) <
1
n
y
∫
An
f dµ > ε pero esto contradice la observación anterior.
Observación 5.5 Sea ([ a , b ] ,M , λ ) un espacio de medida entonces ∀A ∈M dado
η > 0 existe K compacto y U abierto tal que K ⊆ A ⊆ U con:
λ ( A ) = λ (U ) − η
λ ( A) = λ ( K ) + η
ya que considerando la medida:
- 102 -
Análisis Real
Medida signada, integración y diferenciación
- 103 -


µ ∗ ( A ) = inf  ∑ λ ( I n ) con I n intervalos tal que A ⊆ U I n  = λ ( A )
 n∈¥

n∈¥
etc...
Proposición 5.14 Sea f : [ a, b ] → ¡ , f ∈ L1 ([ a, b ] , λ ) y ϕ ( x ) = ∫ f dλ llamada
x
a
integral indefinida de Lebesgue entonces:
λ ({ x : ϕ ′ ( x ) no existe o ϕ ′ ( x ) ≠ f ( x )}) = 0
Demostración Hagamos la demostración para f ≥ 0 ( como ya hemos considerado
en otras ocasiones esto es suficiente).
Sea A = { x : ϕ ′ ( x ) no existe} probaremos que λ ({ x : ϕ ′ ( x ) > f ( x )} I AC ) = 0
Observamos que { x : ϕ ′ ( x ) > f ( x )} =
U {x : ϕ ′ ( x ) > s , f ( x ) < r} = U C
r , s∈¤
r <s
r , s∈¤
r<s
Probaremos que ∀r , s ∈ ¤ λ ( Cr ,s ) = 0 .
r ,s
Sea U un abierto tal que para r y s fijos Cr ,s ⊆ U y λ (U \ Cr ,s ) < δ esto es posible
por la regularidad de λ , donde δ > 0 se elige de modo que si ε > 0 arbitrario
entonces
∫ f dλ < ε ∀E tal que λ ( E ) < δ
E
ϕ ( y) − ϕ ( x)
> s ⇒ Cr , s ⊆ {puntos invisibles por derecha
y−x
de la función h ( x ) = ϕ ( x ) − sx } = U ( ak , bk ) ⊆ U donde además h ( ak ) ≤ h ( bk ) lo
Si x ∈ Cr , s ⇒ ∃y > x con
k∈¥
que significa ϕ ( bk ) − sbk ≥ ϕ ( ak ) − sak y por lo tanto:
( bk − ak ) ≤ 1s [ϕ ( bk ) − ϕ ( ak )] = 1s  ∫a f dλ − ∫a f dλ  = 1s ∫a f dλ
bk
ak

bk

k
entonces:
λ ( Cr , s ) ≤ ∑ ( bk − ak ) ≤
k∈¥
≤
r
s
1
s
∑∫
k∈¥
bk
ak
f dλ ≤
{
f ≥0
1
s
(∫
U



f dλ = ∫ {f dλ + ∫
f dλ  ≤
U \ Cr , s
 cr , s
144424443 
>r


<ε
)
1
s
ε
ε
∫ dλ + s = λ ( C ) + s
r
s
r ,s
Cr , s
y como esto se cumple para ε > 0 arbitrario llegamos a que
λ ( Cr ,s ) ≤ {rs λ ( Cr ,s ) ⇒ λ ( Cr ,s ) = 0
<1
- 103 -
Análisis Real
Capítulo 5
- 104 -
Definición 5.10 Sea f : [ a, b ] → ¡ decimos que es absolutamente continua si dado
ε > 0 , ∃δ > 0 tal que si {( ai , bi )}i =1 es una familia de intervalos abiertos disjuntos
n
contenidos en [ a, b ] , que verifique
n
∑
i =1
∑
n
i =1
( bi − ai ) < δ entonces:
f ( bi ) − f ( ai ) < ε
Ejemplo 5.4 Si f ∈ C1 ⇒ f es absolutamente continua. Vasta con aplicar el teorema
de Lagrange convenientemente.
Ejemplo 5.5 Continua no implica absolutamente continua, como contraejemplo
tenemos la función de Cantor.
Definición 5.11 Dada la función f : [ a, b ] → ¡ decimos que es de variación
acotada si existe c > 0 tal que:
V f [ a , b ] = sup ∑ f ( ti+1 ) − f ( ti ) < c
P∈Pa b
siendo P una partición de todas las posibles del intervalo [ a, b ] .
P = {a = t0 < t1 < ... < tn = b}
Ejemplo 5.6 Las funciones que tienen derivada acotada son de variación acotada.
La función de Cantor tiene variación acotada.
Observación 5.6 Las funciones de variación acotada cumplen :
1) La combinación lineal de funciones de variación acotada es una función de
variación acotada.
2) Si a < b < c entonces:
V f [ a , b ] + V f [ b, c ] = V f [ a , c ]
Demostración Veamos la demostración de 2)
Por definición de supremo existen particiones:
P1 = {a = t0 < t1 < ... < tn = b} ∈Pa b y
a
b
P2 = {b = t n < tn+1 < ... < t n+ r = c} ∈Pb c tal que:
n −1
∑
i=0
f ( ti +1 ) − f ( ti ) ≥ V f [ a, b ] − ε ,
n + r −1
∑
i=n
f ( ti +1 ) − f ( ti ) ≥ V f [b, c ] − ε
Sea P3 = P1 U P2 ∈Pa b entonces como:
n + r −1
∑
i=0
n −1
n + r −1
i=0
i=n
f ( ti +1 ) − f ( ti ) = ∑ f ( ti +1 ) − f ( ti ) +
- 104 -
∑
f ( ti +1 ) − f ( ti )
c
Análisis Real
Medida signada, integración y diferenciación
- 105 -
y
V f [a, c ] ≥
n + r −1
∑
i =0
≥
n −1
n + r −1
i =0
i=n
f ( ti +1 ) − f ( ti ) = ∑ f ( ti +1 ) − f ( ti ) +
V f [ a, b ] − ε
+
∑
V f [ b, c ] − ε
f ( ti +1 ) − f ( ti ) ≥
Luego V f [ a , c ] ≥ V f [ a, b ] + V f [b, c ] − 2ε , pero como ε es arbitrario:
V f [ a , c ] ≥ V f [ a , b ] + V f [b , c ] .
Por otro lado sea P una partición tal que b ∈ P
n −1
P = {a = t0 < t1 < ... < tr = b < ... < t n = c} y llamemos S p = ∑ f ( ti +1 ) − f ( ti )
i =0
r −1
n −1
i =0
i =r
S p = ∑ f ( ti +1 ) − f ( ti ) + ∑ f ( ti+1 ) − f ( ti ) ≤ V f [ a , b ] + V f [b, c ]
luego S p tiene como cota superior a V f [ a , b ] + V f [b, c ] entonces el supremos
también está acotado, y por lo tanto V f [ a , c ] ≤ V f [ a , b ] + V f [b, c ] .
En
el
caso
que
b∉ P
consideramos
P′ = P U {b}
y
como
S p ≤ S P′ ≤ V f [ a, b ] + V f [b, c ] y por lo tanto el supremo también cumple lo mismo.
De manera que se cumplen las dos desigualdades ⇒ la igualdad.
Proposición 5.15 Dada una función f : [ a, b ] → ¡ tenemos que es de variación
acotada sií existen g , h Z tal que f = g − h
Demostración ⇐ Si f = g − h con g , h Z sea P = {a = t0 < t1 < ... < tn = b} una
partición de [ a, b ] , entonces:
n −1
∑
i=0
n −1
f ( ti +1 ) − f ( ti ) = ∑ g ( ti +1 ) − g ( ti ) − ( h ( ti +1 ) − h ( ti ) ) ≤
i=0
n −1
n −1
≤ ∑ g ( ti +1 ) − g ( ti ) + ∑ h ( ti +1 ) − h ( ti ) =
i=0
i=0
n −1
n −1
i =0
i =0
= ∑ g ( ti +1 ) − g ( ti ) + ∑ h ( ti +1 ) − h ( ti ) =
Por lo tanto V f [ a , b ] < ∞ .
= g (b ) − g ( a ) + h (b) − h ( a ) < ∞
⇒ Sea t ∈ ( a, b ) y definimos
V f ( t ) = V f [ a , t ] y sea g = V f (t )
luego g es creciente por definición y sea h = g − f
- 105 -
Análisis Real
Capítulo 5
- 106 -
Sea t < t ′ ⇒ h ( t ′ ) − h ( t ) = V f ( t ′ ) − V f ( t ) − ( f ( t ′ ) − f ( t ) ) ≥ 0 por ser:
1444442444443
=V f [ tt ′]
V f [t , t ′] ≥ f ( t ′ ) − f ( t ) por definición de supremo.
Luego h es creciente y f se puede escribir como resta de dos monótonas, dicha
descomposición se le llama en ocasiones descomposición canónica.
Lema 5.16 Sea F : [ a, b ] → ¡ una función absolutamente continua, entonces F es
de variación acotada.
Demostración Sea ε = 1 y δ > 0 correspondiente a la continuidad absoluta.
Tomemos la partición del intervalo [ a, b ] que lo divide en m pedazos de longitud
menor que δ , llamemos P a una partición como esta.
P = {a = s0 < s1 < ... < sm = b} y sea Q una partición cualquiera entonces P′ = P U Q
es tal que SQ ≤ S p′ y la variación de F en cada intervalo [ si , si +1 ] es menor que 1,
luego la suma (variación de F en [ a, b ] ) no supera a m
SQ ≤ SP′ < m
y por lo tanto m es una cota superior de la variación ⇒ F es de variación acotada.
Proposición 5.17 Sea F : [ a, b ] → ¡ una función tal que F ( a ) = 0 entonces F es
absolutamente continua sií ∃f ∈ L1 tal que:
F ( x ) = ∫ f dλ
x
a
Demostración
n
⇐ Dado ε > 0 sea una familia de intervalos abiertos disjuntos {( ai , bi )}i =1 y δ > 0
como en la proposición 5.13 , para
∑
( bi − ai ) < δ sea A = U i =1 ( ai , bi ) entonces:
i =1
n
n
n
n
f dλ = ∑ F ( bi ) − F ( ai )
∫A f dλ = ∫Uni=1 ( ai ,bi ) f dλ = ∑
∫
ai
i =1
i =1
luego F es absolutamente continua, y por el lema implica que es de variación
acotada.
⇒ Existen G y H monótonas no decrecientes tales que:
F =G −H
Definimos µ G y µ H las medidas de Borel-Stieltjes asociadas.
Queremos probar que
1) G y H son absolutamente continuas.
2) µ G , µ H = λ
Probado esto Radon- Nikodym mediante existen h y g tales que:
- 106 ε>
bi
Análisis Real
Medida signada, integración y diferenciación
- 107 -
µ G ( [ a , x ] ) = ∫ g dλ
x
a
µ H ( [ a , x ] ) = ∫ h dλ
x
a
entonces f = g − h y F ( x ) = ∫ f dλ
x
a
• Probemos ahora 1)
Sea G ( x ) = VF [ a, x ]
Dado ε > 0, sea δ > 0 de la continuidad absoluta de F es decir si {( ai , bi )}i =1 es una
n
familia de intervalos contenidos en [ a, b ] tal que
∑
n
i =1
( bi − ai ) < δ entonces:
n
∑ F (b ) − F ( a ) < ε
i
i =1
i
por otro lado:
G ( bi ) − G ( ai ) = VF [ ai , bi ]
Y por el lema 5.16 F es de variación acotada y por definición de supremo existe
para cada i = 1,..., n una partición Pi = {ai = t0i < t1i < ... < tmi = bi } de manera que:
VF [ ai , bi ] −
ε m−1
≤ ∑ F ( t ij +1 ) − F ( t ij )
i
2
j =0
en consecuencia:
n
n
 m −1
ε
i
i 
G
b
−
G
a
≤
F
t
−
F
t
+
( i ) ( i ) ∑  ∑ ( j +1 ) ( j )  ∑ i ≤
∑
i =1
i =1  j = 0
 i =1 2
n
∞
ε
≤ ∑ F ( bi ) − F ( ai ) + ∑ n < 2ε
i =1
1 2
1444444
4244444443 {
n
=ε
<ε
⇒ G absolutamente continua.
• 2) Sea E ∈ M tal que λ ( E ) = 0 y dado ε > 0 sea el δ > 0 correspondiente a la
continuidad absoluta de G.
n
Consideremos la familia de intervalos disjuntos {( ai , bi )}i =1 tal que
E ⊆ U i =1 ( ai , bi ) y λ
n
(
)
U i=1 ( ai , bi ) = ∑ ( bi − ai ) < δ
n
lo cual es posible por ser λ regular.
µG ( E ) ≤ µG
(U
n
i =1
( ai , bi ) ) ≤ ∑ i =1 G ( bi ) − G ( ai ) < ε
i =1
n
n
como ε es arbitrario µG ( E ) = 0 ∴ µ G = λ . Análogamente con µ H .
- 107 -
Análisis Real
Capítulo 5
- 108 -
- 108 -
Capítulo 6
Medida Producto
Definición 6.1 Sean ( X 1 ,M1 , µ1 ) y ( X 2 ,M2 , µ 2 ) dos espacios de medida llamamos
rectángulo medible en X 1 × X 2 a los conjuntos F × G con F ∈ M1 y G ∈ M2 .
notamos M1 × M2 = {F × G : F ∈ M1 y G ∈ M2 }
Observación 6.1 Nuestra intención es definir una medida en el conjunto producto
X 1 × X 2 , para ello necesitamos una σ − álgebra que es la sigma álgebra generada
por los rectángulos medibles que notamos σ (M1 × M2 ) .
Primero definimos una premedida en el álgebra generada por los rectángulos (que
notamos a (M1 × M2 ) ), y extendemos a la σ (M1 × M2 ) , sigma álgebra generada
por los rectángulos.
Definición 6.2 Sean ( X 1 ,M1 , µ1 ) y ( X 2 ,M2 , µ 2 ) dos espacios de medida, entonces
definimos sobre a (M1 × M2 ) , la premedida:
µ 0 ( E × F ) = µ1 ( E ) ⋅ µ 2 ( F ) ∀E ∈ M1 , ∀F ∈ M2
de acuerdo al teorema de extensión de medidas dicha premedida se extiende a una
medida que notamos por µ1 × µ 2 llamada medida producto definida sobre
σ (M1 × M2 ) .
Recordar que:
medida exterior
∗
µ 0 
→ µ : P ( X ) → [ 0, +∞ ]
sea Mµ ∗ = { A ⊆ X : A es µ ∗ − medible}
↓
µ = µ ∗ |M ∗ : Mµ ∗ → [ 0, +∞ ] es completa
µ
Es decir que para X = X 1 × X 2 :
µ1 × µ 2 = µ |σ (M1×M2 )
- 109 -
Análisis Real
Capítulo 6
- 110 -
Observación 6.2 En el caso de que µ1 y µ 2 sean σ − finitas
X 1 = U ( X 1 )n y X 2 =
entonces como X 1 × X 2 =
n∈¥
U [( X )
n , m∈¥
1 n
U (X
m∈¥
)
2 m
× ( X 2 )m ] y µ1 ( ( X 1 )n ) < ∞ y µ 2 ( ( X 2 )m ) < ∞
para todo m, n ∈ ¥ ⇒ µ 0 ( ( X 1 )n × ( X 2 ) m ) < ∞
Luego si µ1 y µ 2 son σ − finitas , µ 0 también lo es. En este caso µ1 × µ 2 es
σ − finita y entonces es la única medida definida sobre σ (M1 × M2 ) cuya
restricción a a (M1 × M2 ) coincide con la premedida µ 0 .
Definición 6.3 Sea C ⊆ P ( X ) se dice que C es una clase monótona sobre X si
cumple:
i) Siendo ( En )n∈¥ ⊆ C sucesión creciente de conjuntos, entonces
∞
UE
n =1
n
∈C
ii) Si ( Fn )n∈¥ ⊆ C sucesión decreciente de conjuntos, entonces
∞
IF ∈C
n =1
n
Ejemplo 6.1 P ( X ) es una clase monótona, de forma obvia.
Ejemplo 6.2 Si M es una σ − álgebra entonces M es una clase monótona.
Ejemplo 6.3
Si ( Ci )i∈I es una familia de clases monótonas sobre X entonces
C = I Ci es una clase monótona.
i∈I
Definición 6.4 Si E ⊆ P ( X ) consideremos:
m ( E ) = {C : C ⊆ P ( X ) , E ⊆ C , con C clase monótona}
C (E) =
I
C es una clase monótona llamada clase monótona generada por E.
C∈m ( E )
Lema 6.1 (de la Clase Monótona) Sean A un álgebra, M la σ − álgebra
generada porA y C la clase monótona generada por A , entonces:
M =C
- 110 -
Análisis Real
Medida Producto
- 111 -
Demostración Por el ejemplo 6.2 M es una clase monótona que contiene a A
⇒ M ∈ m (A ) , luego C ⊆ M .
Para ver la otra inclusión probaremos que C es una σ − álgebra . Para eso es
suficiente probar que C es un álgebra, ya que si ( En )n≥1 ⊂C definimos:
F1 = E1 , F2 = E1 U E2 ,...,Fn = U Ei ⇒ ( Fn )n≥1 Z
n
i =1
⇒
C clase monótona
UE = UF
n∈¥
n
n∈¥
n
∈C
• Dado E ∈C sea C ( E ) = { F ∈C : F \ E , E \ F , E I F ∈C } , luego E ,φ ∈ C ( E )
⇒ C ( E ) ≠ φ , probaremos que C ( E ) =C ∀E ∈C ,una inclusión es obvia por
definición C ( E ) ⊂C ∀E ∈C
Por otro lado C ( E ) es una clase monótona ya que si ( Fn )n≥1 Z⇒ ( Fn \ E )n≥1 Z y
1442443
⊂C ( E )
( E I Fn )n≥1 Z⇒ U Fn \ E = U ( Fn \ E ) ∈C y E I U Fn = U ( E I Fn ) ∈C , además
n∈¥
n∈¥
n∈¥
n∈¥
( E \ Fn )n≥1 ]⇒ E \ U Fn = I ( E \ Fn ) ∈C ⇒∴ U Fn ∈ C ( E ) .
n∈¥
n∈¥
n∈¥
Por otro lado se tiene que F ∈ C ( E ) ⇔ E ∈ C ( F ) .
Ahora supongamos que E ∈A ⇒ A ⊆ C ( E ) ya que:
si F ∈A ⇒ E \ F , F \ E , F I E ∈A ⊆ C ⇒ F ∈ C ( E )
y C ( E ) es una clase monótona que contiene a A entonces C ⊆ C ( E ) ∀E ∈A
Por lo tanto si F ∈C ⇒ F ∈ C ( E ) ∀E ∈ A ⇒ E ∈ C ( F ) ∀E ∈ A , ∀F ∈C
luego A ⊆ C ( F ) , ∀F ∈C ⇒ ( por ser C ( F ) clase monótona ) C ( F ) ∈ m (A ) .
Y luego C ⊆ C ( F ) ∀F ∈ C y se tiene la igualdad.
• Si F1 , F2 ∈C ⇒ F1 ∈ C ( F2 ) ( o F2 ∈ C ( F1 ) ) ⇒ F1 \ F2 , F2 \ F1 , F1 I F2 ∈C ⇒ C es
cerrado por complementos ya que tomando F1 = X se tiene que F2C ∈C ∀F2 ∈C .
Y además:
Si F1 , F2 ∈C ⇒ F1C I F2C ∈C
⇒ ( F1C I F2C ) ∈C
C
P
( F1 U F2 ) ∈C
Definición 6.5 Sea A un álgebra de conjuntos de X, y µ una premedida definida
sobre X , decimos que es continua por arriba en el vacío si ( An )n∈¥ ⊆ A y
( An ) ] φ , entonces:
lim µ ( An ) = 0
n →+∞
- 111 -
Análisis Real
Capítulo 6
- 112 -
Lema 6.2 Si µ es una premedida finita, aditiva y continua por arriba en el vacío,
entonces µ es σ − aditiva.
Demostración Sea ( An )n∈¥ ⊆ A tal que Ai I Aj = φ si i ≠ j y A = U An ∈A
n∈¥
Definimos Bn = U Ai como ( A \ Bn ) n∈¥ ⊆ A y ( A \ Bn ) ] φ luego por hipótesis:
n
i =1
lim µ ( A \ Bn ) = 0
n →+∞
Como µ es finita, ∀n ∈ ¥ se tiene µ ( A \ Bn ) = µ ( A ) − µ ( Bn ) y pasando al límite:
 n 
lim µ ( A \ Bn ) = µ ( A ) − lim µ ( Bn ) = µ ( A ) − lim µ  U Ai  =
n →∞
n →∞
n →∞
 i =1 
n
∞
i =1
n =1
= µ ( A ) − lim ∑ µ ( Ai ) = µ ( A ) − ∑ µ ( An ) = 0
n →∞
∞
∞


luego µ  U An  = ∑ µ ( An ) ⇒ µ es σ − aditiva
 n=1  n=1
Definición 6.6 Dado un conjunto A ⊆ X1 × X 2 , llamamos x-sección de A al
conjunto:
Ax = { y : ( x, y ) ∈ A}
Análogamente llamamos y-sección de A al conjunto:
Ay = { x : ( x, y ) ∈ A}
Proposición 6.3 (Teorema de Fubini 1)
Sean ( X 1 ,M1 , µ1 ) y ( X 2 ,M2 , µ 2 ) espacios de medida σ − finitos , entonces existe
una única medida µ1 × µ 2 definida en σ (M1 × M2 ) tal que:
µ1 × µ 2 ( F × G ) = µ1 ( F ) ⋅ µ 2 ( G ) ∀F ∈ M1 , ∀G ∈ M2
y además:
µ1 × µ 2 ( A ) = ∫ µ 2 ( Ax ) dµ1 = ∫ µ1 ( Ay ) dµ 2 ∀A ∈ σ (M1 × M2 )
X1
X2
Demostración Veamos primero que si A ∈ σ (M1 × M2 ) entonces ∀x ∈ X 1 Ax es
µ 2 − medible y ∀y ∈ X 2 Ay es µ1 − medible.
X2
Sea el conjunto:
a = { A : A ⊆ X1 × X 2 , Ax ∈ M2 ∀x ∈ X 1}
Ax
Probaremos que
A
{F × G : F ∈ M1 , G ∈ M2 } ⊆ a
x
X1
- 112 -
Análisis Real
Medida Producto
- 113 -
y que a es σ − álgebra ⇒ la σ − álgebra generada por los rectángulos está incluida
en " a " es decir σ (M1 × M2 ) ⊆ a ya que:
G si x ∈ F 
Si A = F × G ⇒ Ax = 
 ∈ M2 ⇒ A ∈ a
 φ si x ∉ F 
C
• por otro lado si A ∈ a ⇒ Ax ∈ M2 ⇒ ( Ax ) ∈ M2 y como:
( Ax )C = { y : ( x, y ) ∉ A} = { y : ( x, y ) ∈ AC } = ( AC ) x
entonces ( AC ) x ∈ M2 ⇒ AC ∈ a .
• Sea ( An )n∈¥ ⊆ a ⇒ ( An ) x ∈ M2 entonces:

 

 U An  =  y : ( x, y ) ∈ U An  = { y : ( x, y ) ∈ An para algún n} = U ( An ) x ∈ M2
 n∈¥  x 

n∈¥
n∈¥


luego  U An  ∈ M2 ⇒ U An ∈ a
 n∈¥  x
n∈¥
Resulta que " a " es una σ − álgebra ⇒ tiene que contener a la sigma álgebra
generada por los rectángulos.
Análogamente para Ay .
Consideremos ahora el conjunto:
n

A = U Fi × Gi : Fi ∈ M1 , Gi ∈ M2 dos a dos disjuntos ∀i = 1,..., n  ⊇ M1 × M2
 i =1

A es un álgebra (ejercicio) ⇒ a (M1 × M2 ) ⊆ A ⇒ σ (M1 × M ) ⊆ σ (A )
q Sean µ1 , µ 2 finitas, definimos:
µ1 × µ 2 ( A ) = µ1 ( F ) ⋅ µ 2 ( G ) siendo A = F × G con F ∈ M1 , G ∈ M2
(1)
entonces µ 2 ( Ax ) = µ 2 ( G ) χ F ( x ) .
µ1 × µ 2 ( A ) = µ1 ( F ) ⋅ µ 2 ( G ) = µ 2 ( G ) ∫ χ F ( x ) d µ1 =
X1
= ∫ µ 2 ( G ) χ F dµ1 = ∫ µ 2 ( Ax ) dµ1
X1
X1
de manera natural µ1 × µ 2 se extiende a A que es un álgebra y se sigue
cumpliendo:
µ1 × µ 2 ( A ) = ∫ µ 2 ( Ax ) dµ1 = ∫ µ1 ( Ay ) dµ 2
(2)
X1
X2
Hasta acá µ1 × µ 2 es una premedida aditiva y finita en A entonces si probamos que
µ1 × µ 2 es continua por arriba en el vacío ⇒ µ1 × µ 2 es σ − aditiva .
Lema 6.2
Probemos entonces esto último.
Sea ( An )n∈¥ ⊆ A , An ] φ ⇒ ( An ) x ] φ
igualdad (2) tenemos:
∀x ∈ X 1 como en A se cumple la
- 113 -
Análisis Real
Capítulo 6
- 114 -
(
)
µ1 × µ 2 ( An ) = ∫ µ 2 ( ( An ) x ) dµ1 = ∫ µ1 ( An ) y dµ 2
X
X
1
2
Y como por el lema 5.2 (ii) aplicado a µ 2 :
( An ) x ] φ 
→0
 ⇒ µ 2 ( ( An ) x ) 
n
µ 2 finita 
por otro lado µ 2 ( ( An ) x ) ≤ µ 2 ( X 2 ) < ∞ , y como además µ1 es finita se tiene que
µ 2 ( X 2 ) es µ1 − integrable , luego podemos aplicar el teorema de convergencia
dominada, y nos queda:
lim µ1 × µ 2 ( An ) = lim ∫ µ 2 ( ( An ) x ) dµ1 = =
µ 2 ( ( An ) x ) dµ1 = 0
{ ∫X1 lim
X1
n
n
n
144444244444
3
T.C.D
=0
µ1 × µ 2 es σ − aditiva en el álgebra A , por el teorema de extensión, existe una
única medida µ1 × µ 2 (que por comodidad seguimos llamando µ1 × µ 2 ) definida en
σ (A ) ⊇ σ (M1 × M2 ) que extiende a µ1 × µ 2 definida como (1).
Falta ver que:
µ1 × µ 2 ( A ) = ∫ µ 2 ( Ax ) dµ1 = ∫ µ1 ( Ay ) dµ 2 ∀A ∈ σ (M1 × M2 )
X1
X2
Consideremos el conjunto donde se cumple (2) es decir:
H = { A ∈P ( X ) : donde se cumple la igualdad (2)}
entonces A ⊆ H , ahora si probamos que H es una clase monótona; por definición
de m (A ) = {C ⊆ P ( X ) : A ⊆ C y C es clase monótona} ⇒ H ∈ m (A ) y se
tiene que C (A ) ⊆ H , pero por lema 6.1 σ (A ) = C (A ) y entonces:
σ (M1 × M2 ) ⊆ σ (A ) = C (A ) ⊆ H
• Probemos que H es clase monótona.
Sea ( An )n∈¥ Z⊆ H entonces como estamos en H:
(
)
µ1 × µ 2 ( An ) = ∫ µ 2 ( ( An ) x ) dµ1 = ∫ µ1 ( An ) y dµ 2
X
X
1
2
Sea A = U An por el lema 5.2 (i) aplicado a µ1 × µ 2 se tiene:
n∈¥
n
µ1 × µ 2 ( An ) 
→ µ1 × µ 2 ( A )
e igualmente ( An ) x Z Ax µ 2 es una medida, por el mismo lema:
n
µ 2 ( ( An ) x ) 
→ µ 2 ( Ax )
entonces:
n
→ µ1 × µ 2 ( A )
µ1 × µ 2 ( An ) 
P
∫
X1
µ 2 ( ( An ) x ) dµ1 
→ ∫ µ 2 ( Ax ) d µ1
T.C.M
X1
- 114 -
Análisis Real
Medida Producto
- 115 -
Luego µ1 × µ 2 ( A ) = ∫ µ 2 ( Ax ) dµ1
X1
Análogamente sea ( Bn )n∈¥ ⊆ H tal que ( Bn ) ] B entonces por estar en H:
(
)
µ1 × µ 2 ( Bn ) = ∫ µ 2 ( ( Bn ) x ) dµ1 = ∫ µ1 ( Bn ) y dµ 2
X1
X2
Como µ1 , µ 2 son finitas ⇒ µ1 × µ 2 es finita y por el lema 5.2 (ii) aplicado a µ1 × µ 2 ,
se tiene:
n
µ1 × µ 2 ( Bn ) 
→ µ1 × µ 2 ( B )
por otro lado como ( Bn ) x ] ( B ) x y por el mismo lema aplicada a µ 2 :
µ 2 ( ( Bn ) x ) → µ 2 ( Bx )
y como µ 2 es finita µ 2 ( ( Bn ) x ) ≤ µ 2 ( X 2 ) < ∞
y µ1 finita ⇒ µ 2 ( X 2 ) es µ1 -integrable, y podemos aplicar el T.C.D. y nos queda:
∫
X
T.C.D
→ ∫ µ 2 ( Bx ) d µ1
µ 2 ( ( Bn ) x ) dµ1 
X
P
µ1 × µ 2 ( Bn ) 
→ µ1 × µ2 ( B )
Por la tanto µ1 × µ 2 ( B ) = ∫ µ 2 ( Bx ) dµ1
X1
Si µ1 y µ 2 son σ − finitos , podemos escribir al conjunto X 1 × X 2 que ahora
llamamos X × Y , como unión de una sucesión creciente ( X n × Yn )n∈¥ de medida
finita donde se cumple lo anterior.
Si E ∈ M1 × M2 con el argumento precedente aplicado a E I ( X n × Yn ) ∀n ∈ ¥ :
q
µ1 × µ 2 ( E I ( X n × Yn ) ) = ∫ µ 2 ( E x I Yn )dµ1 = ∫ µ1 ( E y I X n ) dµ 2
X
Y
por ser E = U ( E I ( X n × Yn ) ) , y ( E I ( X n × Yn ) ) n∈¥ Z E así como ( Ex I Yn ) Z Ex
y
(E
n∈¥
y
I X n ) Z E y , aplicando el teorema de convergencia monótona se llega el
resultado deseado.
Definición 6.7 Sea f : X 1 × X 2 → [0, +∞ ) , llamamos x-sección de f a la función
f x : X 2 → [0, +∞ ) tal que f x ( y ) = f ( x, y ) . Y llamamos y-sección de f a la función
f y : X 1 → [0, +∞ ) tal que f y ( x ) = f ( x, y ) .
Proposición 6.4 (Teorema de Tonelli-Fubini)
Dados ( X 1 ,M1 , µ1 ) y ( X 2 ,M2 , µ 2 ) espacios de medida con µ1 , µ 2 σ − finitas
entonces:
i) Tonelli Si f ∈ L+ ( X 1 × X 2 ) entonces f x ∈ L+ ( X 2 ) , f y ∈ L+ ( X 1 ) y además:
- 115 -
Análisis Real
∫
X 1× X 2
Capítulo 6
f d ( µ1 × µ 2 ) = ∫
X1
(∫
- 116 -
)
f x ( y ) dµ 2 dµ1 = ∫
X2
ii) Fubini Si f ∈ L1 ( µ1 × µ 2 ) entonces:
X2
(∫
)
f y ( x ) dµ1 dµ 2
X1
( ∗∗)
f x ∈ L1 ( µ 2 ) c.t.p. − µ1 y f y ∈ L1 ( µ1 ) c.t.p. − µ 2
y además se cumple ( ∗∗)
Demostración Si A ∈ σ (M1 × M2 )
f x ( y ) = χ Ax ( y ) ya que:
entonces
f = χA
sea
en
este
caso
1 si y ∈ Ax ⇔ ( x, y ) ∈ A
χ Ax ( y ) = 
0 si y ∉ Ax ⇔ ( x , y ) ∉ A
Todo se reduce a la proposición anterior.
Es decir que las funciones característica cumplen con el teorema.
Por linealidad se extiende a funciones simples no negativas.
Si f ∈ L+ ( X 1 × X 2 ) cualquiera, sea (ϕ n ) una sucesión de funciones simples tal que
0 ≤ ϕ n ( x, y ) ≤ ϕ n +1 ( x, y ) ≤ f ( x, y ) y lim ϕ n ( x, y ) = f ( x, y ) ∀ ( x, y ) ∈ X 1 × X 2
n
entonces:
∫
X 1× X 2
f d ( µ1 × µ 2 ) =
ϕ n d ( µ1 × µ 2 ) = lim ∫
{ lim
X1
n ∫ X 1× X 2
n
T.C.M
=∫
X1
n
(∫
X2
X2
X 1× X 2
ii) Si f ∈ L1 ( X 1 × X 2 ) ⇒ ∫
)
(ϕ n ) x ( y ) dµ 2 d µ1 ={
(ϕ n ) x ( y ) dµ2 d µ1 ={
T.C.M
n x
n
2
Análogamente se prueba que:
∫
X2
)
( ∫ lim (ϕ ) ( y ) d µ )d µ = ∫ ( ∫
= ∫ lim
X1
(∫
f d ( µ1 × µ 2 ) = ∫
X2
(∫
X1
1
X1
X2
)
f x ( y ) dµ 2 d µ1
)
f y ( x ) dµ1 dµ 2
f d ( µ1 × µ 2 ) < ∞ y por la parte anterior entonces:
X1 × X 2
∫ (14444442444444
∫ f ( y ) dµ 3) dµ
X1
X2
x
2
1
<∞
α(x)
Luego α ( x ) ∈ L ( µ1 ) ⇒ α ( x ) < ∞ c.t.p. − µ1 es decir:
1
α (x) = ∫
X2
f x dµ 2 < ∞
lo que significa que f x (y por lo tanto f x ) ∈ L1 ( µ 2 ) c.t.p. − µ1 .
Por último si escribimos a f como:
+
−
+
−
f = Re ( f ) − Re ( f ) + i Im ( f ) − Im ( f )
(
T.C.M
) (
- 116 -
)
Análisis Real
Medida Producto
- 117 -
como todas están en L1 ( µ1 × µ 2 ) y además están en L+ ⇒ aplicando Tonelli a cada
una y rehaciendo la función f se tiene que se cumple ( ∗∗) .
Observación 6.3 Dada una función f : X 1 × X 2 → £ , medible , para calcular
∫ f d (µ × µ
1
2
)
se verifica que f ∈ L1 ( µ1 × µ 2 ) en caso afirmativo usamos Tonelli, es decir que
podemos calcular la integral, por medio de las iteradas.
No tenemos que fijarnos que las secciones de f sean integrables, porque sale del
teorema anterior.
Observación 6.4 El teorema anterior vale para espacios de medida σ − finitos si
sacamos esta hipótesis el teorema no es necesariamente cierto, así como al sacar la
hipótesis de integrabilidad en la parte ii) (Fubini)
Ejemplo 6.1 Consideremos la función f que
-1
1
vale 1 o -1 en los vértices del reticulado del
4
dibujo y cero en el resto.
3
1 -1
1 si x = y
−1 si x = 2k + 1, y = 2k + 2
2 -1
1

f ( x, y ) = 
1 1 -1
e viceverza con k ∈ {0,1}

0 en otro caso
1 2 3 4 5
Con µ1 = µ 2 = a la medida de conteo.
En cada sección nos queda cero luego la integral por iteraciones es:
∫ (∫
X1
X2
y como f = f + + f − , y
∫
X1× X 2
)
f x ( y ) dµ 2 dµ1 = ∫
∫
X1× X 2
X2
(∫
X1
f + d ( µ1 × µ 2 ) = ∫
f d ( µ1 × µ 2 ) = ∫
X1× X 2
6
)
f y ( x ) dµ1 dµ 2 = 0
X1× X 2
f − d ( µ1 × µ 2 ) = ∞ se tiene:
f + d ( µ1 × µ 2 ) + ∫
X1× X 2
f − d ( µ1 × µ 2 ) = ∞
es decir f ∉ L1 ( µ1 × µ 2 ) .
Fórmula integral por partes
Proposición 6.5 Sea ∆ = [ a, b ] ,donde los extremos pueden ser finitos o no. Sea
µ σ − finita en ∆ y las funciones f , g ∈ L1 ([ a, b] , µ ) , definimos:
F ( x) = ∫
[ a , x]
f dµ
,
G ( x) = ∫
- 117 -
[ a , x]
g dµ
Análisis Real
Capítulo 6
F ( y − 0) = ∫
[ a , y]
- 118 -
f dµ , G ( y − 0 ) = ∫
g dµ
[ a , y]
Entonces tenemos la siguiente fórmula de integración por partes:
∫ f ( x ) G ( x ) dµ = F ( b ) G ( b ) − ∫ g ( y ) F ( y − 0 ) d µ
∆
∆
Demostración
Sea E = {( x, y ) ; y ≤ x} y definimos:
∆
h ( x, y ) = f ( x ) g ( y ) χ E ( x, y )
tenemos que h es medible y
∫ h ( x, y ) d ( µ × µ ) = ∫ f ( x ) g ( y ) χ E d ( µ × µ ) ≤
∆×∆
∫
∆×∆
∆×∆
f ( x) g ( y) d (µ × µ ) =
(∫
∆
f ( x ) dµ
luego h ∈ L1 ( µ × µ ) , y por Fubini:
∫
∆×∆
h ( x, y ) d ( µ × µ ) = ∫ g ( y )
∆
)( ∫
∆
(∫
∆
∆
)
g ( y ) dµ < ∞
)
f ( x ) χ E ( x, y ) dµ d µ =
(∫
= ∫ g ( y)( ∫
= ∫ g ( y)
E
∆
[ y ,b ]
∆
[ a ,b ]
)
f ( x ) dµ d µ =
)
f ( x ) dµ − ∫ f ( x ) dµ d µ =
a,y
[
]
= ∫ g ( y ) ( F (b ) − F ( y − 0)) d µ =
∆
= ∫ g ( y ) F (b ) d µ − ∫ g ( y ) F ( y − 0 ) d µ =
∆
∆
= F (b ) G ( b ) − ∫ g ( y ) F ( y − 0 ) d µ
∆
Si ahora integramos primero en relación a y e después en relación a x tenemos:
∫ h ( x, y ) d ( µ × µ ) = ∫ f ( x ) ∫ g ( y ) χ E ( x, y ) dµ d µ =
∆×∆
(
∆
= ∫ f ( x)
∆
∆
(∫
[ a , x]
)
)
g ( y ) dµ d µ = ∫ f ( x ) G ( x ) dµ
∆
Tenemos por lo tanto:
∫ f ( x ) G ( x )dµ = F (b ) G ( b ) − ∫ g ( y ) F ( y − 0 )dµ
∆
∆
con lo que queda probado el teorema.
- 118 -
Capítulo 7
Integración en espacios localmente compactos.
Definición 7.1 Sea X un espacio topológico, decimos que es localmente compacto si
cada punto tiene un entorno compacto que lo contiene.
De acá en adelante abreviaremos LCH para referirnos a un espacio topológico
localmente compacto y Haurdörff.
Proposición 7.1 Si X es LCH y x ∈ X , entonces la familia de entornos compactos
de x es una base local de x.
Demostración Sea U ⊂ X tal que x ∈ U .
Podemos suponer que U es compacto, porque en caso contrario si F es un entorno
o
compacto de x, sustituimos U por U I F , entonces como U compacto y Haurdöff
implica que es normal, luego si F1 y F2 son cerrados disjuntos en U , existen
abiertos A1 y A2 disjuntos tales que F1 ⊆ A1 , F2 ⊆ A2 .
Como { x} y ∂U son cerrados en U disjuntos ⇒ que existen A y B abiertos
disjuntos de U , tales que x ∈ A, ∂U ⊆ B , en particular A ⊆ U con A abiertos en
U y U abierto y por lo tanto A es abierto en X, además:
A = Ar ⊆ U \ B ⊆ U ⇒ A ⊆ U ⊆ U
relativo
y como U es compacto A también lo es.
Luego A es un entorno compacto de x que está contenido en U.
- 119 -
Análisis Real
Capítulo 7
- 120 -
Proposición 7.2 Sea X un espacio LCH, K compacto, U abierto de manera
que K ⊆ U ⊆ X entonces existe un abierto pre-compacto (con clausura compacta)
V tal que:
K ⊆V ⊆V ⊆U
Demostración Para cada x ∈ K sea N x un entorno compacto de x tal que N x ⊆ U .
{
}
o
La familia N x : x ∈ K es un cubrimiento por abiertos de K. ⇒ ∃x1 , x2 ,..., xn ∈ K
o
tales que K ⊆ U N x j = V ⇒ V = U N x j ⇒ que es compacto contenido en U.
j =1
j =1 {
n
n
compactos
Definición 7.2 Sea X un espacio topológico y en él una función f : X → £
definimos el siguiente conjunto llamado soporte de f , que notamos por Sop ( f ) a:
Sop ( f ) = { x ∈ X : f ( x ) ≠ 0}
Definición 7.3 Sea X un espacio topológico localmente compacto y Haurdörff ,
definimos el siguiente espacio vectorial de funciones continuas con soporte
compacto, que notamos por Cc ( X ) , al conjunto:
Cc ( X ) = { f : X → £ : f es continua y Sop ( f ) compacto}
Proposición 7.3 (Lema de Urysohn para LCH)
Sea X un espacio LCH, F ⊆ X cerrado y K ⊆ X \ F , compacto, entonces existe
f ∈ Cc ( X , [ 0,1]) es decir f : X → [0,1] tal que f |K = 1 y f |F = 0 .
Demostración Sean U = X \ F y V como en la proposición anterior, entonces V es
compacto y Haurdöff ⇒ V es normal.
Como K y ∂V son cerrados disjuntos en V , por el Lema de Urysohn para espacios
normales existe f ∈ Cc (V , [ 0,1]) tal que f |K = 1 y f |∂V = 0 , entonces extendemos f
a X poniendo f ( x ) = 0 ∀x ∉ V ⇒ f es continua, Sop ( f ) ⊆ V y Im ( f ) ⊆ [ 0,1] ,
donde f |K = 1.
Corolario 7.4 Si x ∈ X , F ⊆ X es cerrado y x ∉ F entonces ∃f ∈ Cc ( X , [ 0,1])
Proposición 7.5 (Teorema de extensión de Tietze, para LCH)
Si X es un espacio LCH, K ⊆ X compacto y f : K → [0,1] continua, entonces
existe %f : X → [0,1] continua tal que:
- 120 -
Análisis Real
Integración en LCH
- 121 -
%f | = f
K
Demostración Análoga a la anterior.
Notación Si K es compacto K p g significa que:
g ∈ C c ( X , [ 0,1]) tal que g |K = 1
Si U es abierto g p U significa que:
g ∈ C c ( X , [ 0,1]) tal que Sop ( g ) ⊆ U
Definición 7.4 Sea X un espacio topológico, A ⊆ X , se dice que {hi }i∈I es una
partición de la unidad para A si se cumple:
i) hi : X → [ 0,1] continua ∀i ∈ I
ii) Para cada x ∈ A existe un entorno Vx de x tal que:
hi |Vx = 0 ∀i excepto para una cantidad finita de índices
iii)
∑ h ( x ) = 1 ∀x ∈ A .
i∈I
i
Definición 7.5 Si U es un cubrimiento por abiertos de A se dice que la partición de
la unidad {hi }i∈I está subordinada al cubrimiento si ∀i ∈ I ∃U ∈U tal que
Sop ( hi ) ⊆ U .
Proposición 7.6 Sean X un espacio LCH y K ⊆ X compacto. Si U = {U1 ,...,U n } es
un cubrimiento por abiertos de K, entonces existe una partición de la unidad {hi }i =1
de K, con Sop ( hi ) compacto en U i ∀i = 1,..., n .
n
Demostración Para cada x ∈ K , existe entorno compacto Vx ⊆ U i para algún i,
{
o
}
entonces V x : x ∈ K es un cubrimiento de K, entonces existen Vx1 ,...,Vxl tal que:
l
{
K ⊆ UVxi
i =1
}
Para cada i ∈ {1,..., n} sea K i = U Vx j : Vx j ⊆ U i , K i es compacto (es unión finita
j
de compactos) ∀i además:
K ⊆ U Ki y Ki ⊆ U i
n
i =1
Por el Lema de Uryshon para cada i existe fi tal que K i p f i p U i , entonces
- 121 -
Análisis Real
Capítulo 7
- 122 -
n
∑ f ( x ) ≥ 1 ∀x ∈ K
i
i =1
Por Lema de Urysohn existe f n′+1 tal que:


K p f n′+1 p  x : ∑ f i ( x ) > 0  = U


i
n
Sea f n +1 = 1 − f n′+1 entonces h := ∑ fi no se anula.
i =1
Por último definimos:
fi
∀i = 1,..., n
h
Sop ( hi ) = Sop ( f i ) ⊆ U i y Im ( hi ) ⊆ [ 0,1] .
n
1 n
1 n +1
Si x ∈ K ⇒ ∑ hi ( x ) =
f
x
=
(
)
∑i
∑ fi ( x ) = 1
h ( x ) i =1
h ( x ) i =1
i =1
hi =
Definición 7.6 Una funcional lineal positiva I sobre Cc ( X ) es una funcional lineal
tal que I ( f ) ≥ 0 si f ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ X .
Observación 7.1 Si µ es una medida de Borel definida sobre compactos y
µ ( K ) < ∞ ∀K ⊆ X compacto, entonces I tal que I ( f ) = ∫ f dµ es una funcional
X
positiva.
Proposición 7.7 Si I es una funcional positiva sobre Cc ( X ) , entonces ∀K ⊆ X
compacto existe una constante Ck tal que:
I ( f ) ≤ CK f ∞ , ∀f ∈ Cc ( X ) tal que Sop ( f ) ⊆ K
Demostración Supongamos f a valores reales.
Por el Lema de Urysohn existe ϕ tal que K p ϕ entonces si f ∈ Cc ( X ) tal que
Sop ( f ) ⊆ K ⇒ f = f ϕ y tenemos:
f = f ϕ ≤ f ∞ϕ
f
aplicando I
∞
I( f
f
∞
ϕ ± f ≥0
∞
± f )≥ 0
I (ϕ ) ± I ( f ) ≥ 0
⇒ I(f ) ≤ f
∞
I (ϕ )
{
CK
- 122 -
Análisis Real
Integración en LCH
- 123 -
Definición 7.7 Sea X un espacio LCH y µ una medida de Borel sobre X. Si
E ∈BX , se dice que :
• µ es exteriormente regular en E si:
µ ( E ) = inf {µ (U ) : U ⊇ E , U abierto}
• µ es interiormente regular en E si:
µ ( E ) = sup {µ ( K ) : K ⊆ E , K compacto}
• µ es regular en E si es interiormente y exteriormente regular en E.
Además decimos que es exteriormente regular, interiormente regular o regular si lo
en cada boreleano.
Definición 7.8 Sea µ una medida de Borel sobre X se dice que µ es una medida de
Radon si:
i) µ ( K ) < ∞ ∀K compacto.
ii) µ es exteriormente regular.
iii) µ es interiormente regular en cada abierto.
Proposición 7.8 (Teorema de representación de Riez)
Sea I : Cc ( X ) → £ una funcional positiva, entonces existe una única medida de
Radon µ tal que:
I ( f ) = ∫ f dµ ∀f ∈ Cc ( X )
X
Además µ satisface:
1) µ (U ) = sup {I ( f ) : f p U , ∀U abierto}
2) µ ( K ) = inf {I ( f ) : K p f , ∀K compacto}
Demostración Primero demostraremos la unicidad, supongamos que existen dos
medidas de Radon tales que I ( f ) = ∫ f dµ .
X
Sea U ⊆ X abierto, y sea K ⊆ U compacto entonces por el Lema de Urysohn
existe f tal que:
K p f p U ⇒ χ K ≤ f ≤ χU
e integrando
µ ( K ) = ∫ χ K dµ ≤ ∫ f dµ ≤ ∫ χU d µ = µ (U )
X
X
X
luego µ ( K ) ≤ I ( f ) ≤ µ (U )
y como µ (U ) = sup K ⊆U µ ( K ) ⇒ sup {I ( f ) : f p U } ≥ µ (U )
En la misma desigualdad a su vez f p U ⇒ I ( f ) ≤ µ (U ) y pasando al supremo
- 123 -
Análisis Real
Capítulo 7
- 124 -
sup {I ( f ) : f p U } ≤ µ (U ) por lo tanto µ (U ) = sup {I ( f ) : f p U } ∀U abierto
Entonces I determina µ sobre los abiertos de X, como µ es exteriormente regular
entonces I determina µ sobre los bolerianos. Luego µ está determinada por I.
• Ahora demostraremos la existencia, hay que definir µ (U ) = sup {I ( f ) : f p U }
para todo U abierto, tiene que ser µ ( E ) = inf {µ (U ) : U ⊇ E , U abierto} ∀E ∈BX
y probamos que se trata de una medida de Radon.
Pasos a seguir:
a) Definimos µ ∗ : P ( X ) → [ 0, +∞ ) tal que:
∞

µ ∗ ( E ) = inf ∑ µ (U j ) : E ⊆ UU j ,U j abierto ∀j 
j
 j =1

es una medida exterior; veremos que:
µ ∗ ( E ) = inf {µ (U ) : E ⊆ U , U abierto} y BX ⊆ {µ ∗ − medibles} , µ ∗ extiende a µ
definida como:
µ = µ ∗ |BX
b) µ es de Radon, es decir satisface 1) y 2).
c) Por último hay que probar que:
I ( f ) = ∫ f dµ ∀f ∈ Cc ( X )
X
empecemos probando:
∞

inf {µ (U ) : E ⊆ U , U abierto} = inf ∑ µ (U n ) : E ⊆ UU n , U n abierto  ∀E ∈BX
 n=1

n
La desigualdad ( ≥ ) ya la tenemos. Para probar la otra desigualdad consideramos un
cubrimiento por abiertos {U n } de E.
∞
Sean U = UU n , f p U , Sop ( f ) = K .
n =1
Como K es compacto, existe m tal que K ⊆ UU j nos tomamos una parición de la
m
j =1
unidad de K subordinada a los U j .
Sea {h1 ,..., hm } una partición de la unidad para K subordinada a {U1 ,...,U m } .
m
Entonces f = ∑ f h j y Sop ( f h j ) ⊆ U j además f h j p U j
j =1
Por tanto
m
m
∞
I ( f ) = ∑ I ( f h j ) ≤ ∑ µ ( U j ) ≤ ∑ µ (U j )
1442443 j =1
j =1
j =1
µ (U j )
- 124 -
Análisis Real
Integración en LCH
∞
- 125 -
∞
luego I ( f ) ≤ ∑ µ (U n ), ∀f p U ⇒ µ (U ) ≤ ∑ µ (U n ) .
n =1
Ahora probaremos que BX ⊆ {µ − medibles}
n =1
∗
Basta ver que si U es abierto, entonces U es µ ∗ − medible . Para eso hay que ver que
si E ⊆ X y µ ∗ ( E ) < ∞ entonces:
µ∗ ( E ) ≥ µ∗ ( E IU ) + µ∗ ( E IU C )
Supongamos primero que E es abierto, notar que es este caso µ ∗ ( E ) = µ ( E ) o sea:
µ ∗ ( E ) = inf {µ (U ) : E ⊆ U , U abierto} ≤ µ ( E )
Por otro lado si E ⊆ U abierto y f p E ⇒ f p U ⇒
µ ( E ) = sup {I ( f ) : f p E} ≤ sup {I ( g ) : g p U } = µ (U )
por lo tanto µ ∗ ( E ) ≥ µ ( E ) .
Como µ ( E I U ) = µ ∗ ( E I U ) ≤ µ ∗ ( E ) < ∞ dado ε > 0 ∃f p E I U tal que:
µ ( E IU ) < I ( f ) + ε
Ahora E \ Sop ( f ) es un abierto contenido en E, entonces existe g p E \ Sop ( f ) tal
que:
µ ( E \ Sop ( f ) ) < I ( f ) + ε ⇒ f + g p E
entonces
µ ( E ) ≥ I ( f + g ) = I ( f ) + I ( g ) > µ ( E I U ) − ε + µ ( E \ Sop ( f ) ) − ε


> µ ( E I U ) + µ  E \ Sop ( f )  − 2ε ≥ µ ( E I U ) + µ ∗ ( E \ U ) − 2ε
 14444244443 
⊆ E \U


Esto vale para todo ε > 0 , así que queda demostrado.
Si E ⊆ X es cualquiera, tal que µ ∗ ( E ) < ∞ dado ε > 0 existe V abierto tal que
E ⊆ V y µ ∗ ( E ) ≥ µ (V ) − ε ≥ µ (V I U ) + µ (V I U C ) − ε ≥
≥ µ∗ ( E IU ) + µ∗ ( E IU C ) − ε
Esto vale para todo ε > 0 , llamemos µ a µ ∗ |BX .
Entonces µ es exteriormente regular ya que:
Si E ∈BX ⇒ µ ( E ) = µ ∗ ( E ) = inf {µ (U ) : E ⊆ U , U abierto}
µ satisface 1)
µ satisface 2) ya que µ ( K ) < ∞ ∀K compacto
Sea K compacto y K p f dado ε ∈ ( 0,1) sea U ε = { x : f ( x ) > 1 − ε } por definición
U ε es abierto y K ⊆ U ε .
- 125 -
Análisis Real
Capítulo 7
- 126 -
1
1
f > g ⇒ I 
f  ≥ I ( g ) luego:
1−ε
 1−ε 
1
I ( f ) ≥ I ( g ) ∀g p U ε
1− ε
tomando supremo en I ( g ) se mantiene la desigualdad y tenemos:
1
I ( f ) ≥ sup g pU ε I ( g ) = µ (U ε )
1− ε
entonces
I ( f ) ≥ (1 − ε ) µ (U ε ) ≥ (1 − ε ) µ ( K ) ∀ε ∈ ( 0,1)
∴ I ( f ) ≥ µ (K )
por un lado µ ( K ) < ∞ y por otro
µ ( K ) ≤ inf {I ( f ) : K p f }
Sea ahora ε > 0 y U abierto tales que:
K ⊆ U , µ (U ) − µ ( K ) < ε
Por el Lema de Urysohn existe f tal que K p f p U lo que implica
µ ( K ) ≤ I ( f ) ≤ µ (U )
luego 0 ≤ I ( f ) − µ ( K ) ≤ µ (U ) − µ ( K ) < ε ⇒ µ ( K ) = inf {I ( f ) : K p f } ⇒ µ
satisface 2).
µ es interiormente regular en abiertos. Tomemos un abierto U y f p U que existe
por el Lema de Urysohn. Entonces f ≤ g ⇒ I ( f ) ≤ I ( g ) ∀g luego:
I ( f ) = inf {I ( g ) : K p g p U } = µ ( K )
Sea g p U ε ⇒
Si K p h ⇒ K p gh p U y gh ≤ h ⇒ I ( gh ) ≤ I ( h ) luego:
µ (U ) = sup {I ( f ) : f p U } = sup {µ ( K ) : K ⊆ U , K compacto}
lo que implica que µ es inferiormente regular en abiertos.
• Falta ver que I ( f ) = ∫ f dµ ∀f ∈ Cc ( X ) para lo cual basta mostrar que vale para
todo f ∈ Cc ( X , [ 0,1])
X
Sea n ∈ ¢ + definimos K 0 = Sop ( f )
K j = { x : f ( x ) ≥ Kj } , j = 1,..., n
Definimos f j tal que:
 n1 si f ( x ) ≥ nj o sea x ∈ K j

f j ( x ) =  f ( x ) − jn−1 si 0 ≤ f ( x ) − jn−1 <
0 en otro caso

x ∈ K j −1 \ K j
2
1
n
1
n
n
K2
K1
- 126 -
Análisis Real
Integración en LCH
n
entonces f j es continua para todo j y
∑f
j =1
j
- 127 -
= f además:
χ K j ≤ f j ≤ χ K j −1 K j p nf j p U ∀U abierto y U ⊇ K j −1
1
n
1
n
luego:
1
n
µ ( K j ) ≤ ∫ f j dµ ≤ 1n µ ( K j −1 )
X
es decir µ ( K j ) ≤ nI ( f j ) ≤ µ (U ) ∀U abierto U ⊇ K j −1
Pero entonces:
1
n
µ ( K j ) ≤ I ( f j ) ≤ 1n µ ( K j −1 )
sumo
n
n
n
1
n
∑ µ ( K ) ≤ ∑I ( f ) ≤ ∑ µ ( K )
1
n
 n

µ
K
≤
I
(
)
∑
∑ fj  ≤
j
j =1
 j =1 3
14442444
j =1
j
1
n
j
j =1
n
j =1
j −1
n
1
n
∑ µ (K )
j −1
j =1
=I ( f )
luego I ( f ) − ∫ f dµ ≤
X
n
1
n
∑ ( µ ( K ) − µ ( K )) = ( µ ( K
j =1
j −1
j
1
n
0
) − µ ( Kn )) ≤
µ ( K0 )
→0
n
o sea I ( f ) = ∫ f dµ .
X
Proposición 7.9 Sea X un espacio LCH, µ de Radon sobre X, E ∈BX de medida
σ − finita. Entonces µ es interiormente regular en E.
Demostración Supongamos que E tiene medida finita. µ ( E ) < ∞
Dado ε > 0 sea U abierto tal que U ⊇ E y µ (U ) < µ ( E ) + ε
Como µ es interiormente regular en U existe K1 ⊆ U compacto tal que:
µ ( K1 ) ≥ µ (U ) − ε
Sea V abierto tal que V ⊇ K1 \ E y:
µ (V ) < µ ( K1 \ E ) + ε
Sea K = K1 I V C entonces K ⊆ E , V ⊇ K1 I E C ⇒ V C ⊆ K1C U E ⊆ E
⇒ K = K1 I V C ⊆ K1 I E ⊆ E
luego K es compacto por ser un cerrado contenido en un compacto K1
µ ( K ) = µ ( K1 I V C ) = µ ( K1 \ V ) = µ ( K1 ) − µ ( K1 I V ) >
> µ ( K1 ) − µ (V ) > µ (U ) − ε − µ ( K1 \ E ) − ε >
> µ ( E ) − 2ε − µ (U \ E ) > µ ( E ) − 3ε
- 127 -
Análisis Real
luego
Capítulo 7
- 128 -
µ ( E ) = sup {µ ( K ′ ) : K ′ ⊆ E y K ′ compacto}
∞
• Sea ahora µ ( E ) = ∞ y consideremos E = U En con En ⊆ En+1 y µ ( En ) < ∞ ∀n
n =1
entonces dado M ∈ ¡ sea n0 tal que:
µ ( En0 ) > M
por lo anterior existe K ⊆ En0 con K compacto, tal que µ ( K ) > M ⇒
sup {µ ( K ) : K ⊆ E , K compacto} = ∞
y por lo tanto también se cumple que:
µ ( E ) = sup {µ ( K ) : K ⊆ E , K compacto}
Corolario 7.10 i) Si µ es una medida de Radon σ − finita , entonces µ es regular.
ii) Si X es σ − compacto, es decir que:
∞
X = U K n con K n compacto ∀n
entonces µ es regular.
n =1
Corolario 7.11 Las medidas de Lebesgue-Stieljes son regulares.
Definición 7.9 Un conjunto Ade un espacio X se dice que es un conjunto Fσ en X si
es igual a la unión de una colección numerable de subconjuntos cerrados de X.
A ⊆ X es Fσ ⇔ A = U Fn con Fn cerrado de X ∀n ∈ ¥
n∈¥
Un conjunto B de un espacio X se dice que es un conjunto Gδ en X si es igual a la
intersección de una colección numerable de subconjuntos abiertos de X.
B ⊆ X es Gδ ⇔ B = I Gn con Gn abierto de X ∀n ∈ ¥
n∈¥
Proporción 7.12 Sea una medida de Radon σ − finita y E ∈BX entonces:
i) Dado ε > 0 existen F cerrado y G abierto tales que:
F ⊆ E ⊆ G y µ (G \ F ) < ε
y pasando al límite:
ii) Existen Fσ y Gδ , digamos A y B respectivamente, tales que:
A ⊆ E ⊆ B y µ ( B \ A) < ε
- 128 -
Análisis Real
Integración en LCH
- 129 -
∞
Demostración i) Sea E = U En con µ ( En ) < ∞ para cada En existe U n abierto tal
n =1
que U n ⊇ En y µ ( U n ) ≤ µ ( En ) + 2εn , luego:
µ ( U n ) − µ ( En ) ≤
P
µ ( U n \ En ) ≤
ε
2n
ε
2n
∞
Sea U = UU n ⇒ U es abierto , U ⊇ E y:
n =1


µ (U \ E ) = µ  UU n \ En  ≤ ∑ µ (U n \ En ) ≤ ∑ 2εn = ε
 n
 n
n
C
de la misma manera existe V abierto tal que V ⊇ E y µ (V \ E C ) < ε .
Sean G := U , F := V C entonces G es abierto y F cerrado y además F ⊆ E ⊆ G y:
µ ( G \ F ) = µ ( G \ E )+ µ ( E \ F ) < 2ε
ya que µ ( E \ F ) = µ ( E \ V
C
)
<ε
= µ (V \ E
E C ⊆V
C
)<ε.
<ε
ii) Para cada n existe Gn abierto y Fn cerrado tales que:
Fn ⊆ E ⊆ Gn , y µ ( Gn \ Fn ) < 1n
Sean:
B = I Gn 

n∈¥
 ⇒ A es Fσ y B es Gδ tales que A ⊆ E ⊆ B y como B \ A ⊆ Gn \ Fn ⇒
A = U Fn 

n∈¥
µ ( B \ A ) ≤ µ ( Gn \ Fn ) < 1n ∀n ∈ ¥ ⇒ µ ( B \ A ) = 0 .
Lema 7.13 Si X es un espacio LCH σ − compacto, entonces existe una sucesión
creciente de compactos tal que K n es compacto ∀n
∞
o
K n ⊆ K n+1 y X = U K n
n =1
Demostración Por hipótesis ⇒ existe ( H n )n∈¥ , con H n compacto ∀n tal que
∞
X = U H n . Sea K1 = H1 y definimos K n tal que K nC ⊆ K nC−1 entonces:
n =1
o
o
⇒ K =  K n  ⊆ K nC−1 ⇒ K n−1 ⊆ K n .
 
C
C
n
- 129 -
Análisis Real
Capítulo 7
- 130 -
Proposición 7.14 Sea X un espacio LCH tal que todo abierto de X es σ − compacto
(por ejemplo que X satisface el 2do axioma de numerabilidad) Si µ es una medida
de Borel sobre X tal que µ es finita sobre subconjuntos compactos, entonces es una
medida regular (es decir que es de Radon).
Demostración Como µ es finita sobre compactos, se tiene Cc ( X ) ⊆ L1 ( µ ) .
Riez
Sea I : Cc ( X ) → £ tal que I ( f ) = ∫ f dµ ⇒ I es funcional positiva ⇒ existe una
X
única medida de Radon υ , sobre X tal que:
I ( f ) = ∫ f dυ
X
Ahora sea U ⊆ X abierto. Por el Lema existe una sucesión ( K n ) n∈¥ de compactos
∞
o
tales que K n ⊆ K n+1 , y U = U K n .
n =1
o
Para cada n sea f n tal que K n p f n p K n +1 , entonces
creciente y además lim f n ( x ) = χU ( x ) , por lo tanto:
( f n ( x ) )n∈¥ es una sucesión
n
T.C.M
µ (U ) = ∫ χU dµ = lim ∫ f n dµ = lim ∫ f n dυ = ∫ χU dυ = υ (U )
µ y υ coinciden sobre abiertos.
Como X es σ − compactos ⇒ υ es σ − finita .
Sea E ∈BX dado ε > 0, existen F ⊆ E cerrado, G ⊇ E abierto, tales que:
υ (G \ F ) < ε
Como G \ F es abierto, entonces:
µ (G \ F ) = υ (G \ F ) < ε
por lo tanto µ ( G \ F ) < ε .
Como
µ ( G ) = µ (G \ E ) + µ ( E ) ≤ µ ( E ) + ε
⇒ µ es exteriormente regular.
Como µ y υ coinciden en abiertos y son exteriormente regulares ⇒ µ = υ , o sea µ
es de Radon. Como es σ − finita ⇒ µ es regular.
Proposición 7.15 Sea es espacio X LCH y µ una medida de Radon sobre él,
entonces Cc ( X ) es denso en L1 ( µ ) .
Demostración Basta probar que si E ∈BX tal que µ ( E ) < ∞ entonces dado ε > 0
existe f ∈ Cc ( X ) tal que:
- 130 -
Análisis Real
Integración en LCH
- 131 -
f − χE 1 < ε
Sea K ⊆ E compacto, y U ⊇ E abierto, tomamos:
K p f p U ⇒ χ K ≤ f ≤ χU
por otro lado como K ⊆ E ⊆ U ⇒ χ K ≤ χ E ≤ χ U entonces:
f − χ E ≤ χU − χ K = χU \ K
o sea
f − χ E 1 ≤ χU \ K 1 = µ (U \ K )
como µ es regular en conjuntos σ − finitos se puede tomar U y K tales que:
µ (U \ K ) < ε
Proposición 7.16 (Teorema de Lusin)
Sea X un espacio LCH y µ una medida de Radon sobre X
Si f : X → £ es medible y el conjunto E = { x ∈ X : f ( x ) = 0} tiene medida finita,
entonces dado ε > 0 existe una función continua ϕ tal que:
µ ({ x ∈ X : f ( x ) ≠ ϕ ( x )}) < ε
Además en el caso que f esté acotada se puede tomar ϕ tal que:
ϕ ∞≤ f ∞
Demostración Supongamos primero que f está acotada, entonces
1
∫ f dµ ≤ ∫ f ∞ χ E d µ = f ∞ µ ( E ) < ∞ ⇒ f ∈ L ( µ )
⋅
y como Cc ( X ) = L1 ( µ ) y toda sucesión convergente en L1 ( µ ) a f tiene una
subsucesión que converge c.t.p. − µ a f, entonces existe una sucesión (ϕ n ) ⊆ Cc ( X )
c.t.p.− µ
tal que ϕ n 
→f.
Como µ ( E ) < ∞ , por el teorema de Egoroff existe F ⊆ E tal que:
1
c.u.
µ ( E \ F ) < ε1 y ϕ n 
→ f sobre F
y como µ es regular en F y en E existen los conjuntos U ⊇ E abierto, y K ⊆ F
cerrado tal que:
µ (U \ E ) < ε 2 y µ ( F \ K ) < ε 3
Sea ϕ 0 = lim ϕ n |K , al ser ϕ n continuas y convergentes uniformemente en K
n
ϕ 0 ∈ Cc ( K ) , entonces por el teorema de Tietze existe ϕ ∈ Cc ( K ) tal que:
ϕ |K = ϕ 0 y Sop (ϕ ) ⊆ U
notar además que ϕ 0 ( x ) = f ( x ) ∀x ∈ K .
Por otro lado, si x ∉ U ⇒ ϕ ( x ) = 0 = f ( x ) , luego
- 131 -
Análisis Real
Capítulo 7
- 132 -
{ x ∈ X : ϕ ( x ) ≠ f ( x )} ⊆ U \ K
y
µ (U \ K ) = µ (U \ E ) + µ ( E \ F ) + µ ( F \ K ) < ε 2 + ε1 + ε 3 < ε2
Para ver que se puede elegir ϕ tal que
ϕ ∞≤ f ∞
consideramos β : £ → £ definida como sigue:
 z si z ≤ f ∞
β (z) = 
z
 f ∞ z si z > f ∞
Sea ψ = β o ϕ ⇒ ψ ∞ ≤ f ∞ ya que:
ψ es continua y si f ( x ) = ϕ ( x ) ⇒ψ ( x ) = β (ϕ ( x ) ) = β ( f ( x ) ) = f ( x ) y esto
implica { x ∈ X :ψ ( x ) ≠ f ( x )} ⊆ { x ∈ X : ϕ ( x ) ≠ f ( x )} y este último tiene medida
menor que ε , luego el incluido tiene medida menor que ε .
Ahora si f no está acotada sea:
∞
En = { x ∈ X : 0 ≤ f ( x ) ≤ n} ⇒ E = U En con En ⊆ En +1 ∀n
n =1
y como µ ( E ) < ∞, ∃n0 tal que µ ( E \ En0 ) < , por el teorema de Lusin para
ε
2
funciones acotadas, aplicado a f χ En existe ϕ continua tal que:
0
µ
entonces
({ x ∈ X : ϕ ( x ) ≠ f ( x ) χ
En0
( x )}) < ε2
µ ({ x ∈ X : ϕ ( x ) ≠ f ( x )} ) < ε2 + ε2 < ε
- 132 -
Apéndice
Teoría Ergódica
Definición a-1 Sea ( X ,M , µ ) un espacio de medida, decimos que una
transformación T : X ↵ preserva medida (o que es µ − invariante sobre T) si para
todo A∈M su pre-imagen T −1 ( A ) también pertenece a M y µ ( A) = µ (T −1 ( A ) )
También decimos que µ es T- invariante.
El tema de la Teoría Ergódica es la dinámica de las transformaciones que preservan
medida.
Proposición a.1 (Teorema de recurrencia de Poincaré)Sea T : X ↵ que preserva
medida, de espacios de probabilidad ( X ,M , µ ) .Entonces para todo A∈M , el
conjunto:
A0 = { x ∈ A : T n ( x ) ∈ A, para infinitos valores de n ≥ 0}
pertenece a M y µ ( A ) = µ ( A0 ) .
Demostración Sea Cn = { x ∈ A : T j ( x ) ∉ A ∀j ≥ n} . Es claro que:
∞
A0 = A − U Cn
n =1
Por lo tanto el teorema queda demostrado si probamos que Cn ∈M y µ ( Cn ) = 0
para todo n ≥ 1 .
Observamos que:
Cn = A − U T − j ( A )
j≥n
lo que prueba que Cn ∈M y como
Cn = A − U T − j ( A ) ⊂ U T − j ( A ) −U T − j ( A),
j≥n
j≥0
- 133 -
j≥n
Análisis Real
Apéndice
- 134 -
resulta




µ ( Cn ) ≤ µ  U T − j ( A )  − µ  U T − j ( A) 
 j ≥0

 j≥n

más
UT
j≥n
−j


 j ≥0

( A ) = T − n  UT − j ( A)  ,
de modo que





µ  T − n  UT − j ( A)  
=
µ  UT − j ( A) 
{
 j ≥0
  T preserva medida  j ≥0


lo que implica que µ ( Cn ) = 0 .
Definición a.2 Sea ( X ,M ) un espacio medible con X compacto, y consideremos
todas las medidas µ de probabilidad definida en ( X ,M ) , que llamamos
M ( X ) = {µ en ( X ,M ) de probabilidad}
Sea T : X ↵ µ -invariante sobre T.
y definimos
M T ( X ) = {µ ∈ M ( X ) : µ es T − invariante}
Antes de ver la versión Topológica del teorema de recurrencia repasaremos algunos
conceptos.
Definición a.3 Sea (V , g ) un espacio vectorial normado, definimos el espacio dual
como:
V ∗ = {ϕ : V → K , funcional lineal continuas }
Si tenemos una transformación lineal T : V → W se puede definir una norma de
forma natural como:
T = sup x =1 T ( x )
consideremos el conjunto de los operadores T tal que:
T = sup x =1 T ( x ) < ∞ = B (V ,W )
esta norma se le llama norma operador.
Definición a.4 Sea X un espacio topológico, ( X , ¡ ) el espacio producto
¡ X = { f : X → ¡} la topología producto.
Recordar que si ( f n )n∈¥ ∈ ¡ ¥ , entonces f n → f con la topología producto si y solo
sí f n ( x ) → f ( x ) ∀x ∈ X
- 134 -
Análisis Real
Teoría Ergódica
- 135 -
Si X es un espacio vectorial X ∗ ⊂ ¡ X , a la topología producto en el dual se le llama
ω ∗ , continua ⇔ son acotadas
En el dual podemos definir la norma operador (que es más fuerte que la topología
débil).
Proposición a.2 Sea B ∗ = { f ∈ X ∗ : f ≤ 1} , B ∗ es ω ∗ − compacto y si X es
normado y separable entonces B ∗ es métrico y por lo tanto secuencialmente
compacto
Demostración Vamos a construir K compacto tal que B ∗ ⊂ K y B ∗ es cerrado.
Para cada x ∈ X vemos que Dx = [ − x , x ] ⊂ ¡ y sea
K = ∏ Dx
x∈ X
por el Teorema de Tijonov K compacto. Probaremos que B ∗ ⊂ K
Sea f ∈ B∗ y como f ≤ 1 ⇒ ∀x ∈ X f ( x ) ≤ x ⇒ f ∈ K
ya que en general
Veamos ahora que es cerrado.
T ( x) ω ≤ T
B
xV
ω∗
ω∗
Sea fˆ ∈ B∗ entonces ∃( f n ) ⊂ B ∗ tal que f n 
→ fˆ
fˆ es lineal ( límite puntual de lineales) , si probamos que fˆ ≤ 1 ∀x tal que x ≤ 1
entonces fˆ ∈ B∗ ⇒ fˆ acotada ⇒ fˆ es continua
Como ( f n ) ⊂ B ∗ ⇒ f n ( x ) ≤ 1 ∀n ∈ ¥ tal que x ≤ 1 entonces:
fˆ ( x ) ≤ fˆ ( x ) − f n ( x ) + f n ( x ) ≤ ε + 1 ∀n ≥ n0
como el ε > 0 es arbitrario fˆ ( x ) ≤ 1 ∀x tal que x ≤ 1 o sea que:
fˆ ≤ 1 ⇒ fˆ ∈ B ∗
Ahora probaremos la metrización de ( B∗ ,ω ∗ ) , para lo cual vamos a construir un
homeomorfismo entre B ∗ y I ⊂ D ¥ donde D = [ 0,1] .
Como X es separable B = { x ≤ 1} , sea ( xn ) ⊂ B tal que ( xn ) = B .
Definimos τ : B∗ → I ⊂ D ¥ como:
τ ( f ) = f ( xn ) n∈¥
Proposición a.3 (Teorema de Rierz)
Sea X compacto y si llamamos
C ( X ) = { f : X → ¡ , continuas} su dual
C ∗ ( X ) = {ϕ : C ( X ) → ¡ , continuas y lineales} , para toda ϕ ∈ C ∗ ( X ) existe una
- 135 -
Análisis Real
Apéndice
- 136 -
única medida µ (medida signada) en ( X ,B ) con B la sigma álgebra de Borel, tal
que:
ϕ ( f ) = ∫ f dµ ∀f ∈ C ( X )
X
además si ϕ ≥ 0 (ϕ ( f ) ≥ 0 ∀f tal que f ≥ 0 ) entonces µ es una medida y
ϕ (1) = 1 ⇒ µ ( X ) = 1 (Donde 1 ∈ C ( X ) es una función idénticamente 1).
Si X es compacto C ( X ) es separable.
Proposición a.4 Sea X compacto y T : X ↵ continua entonces M T ( X ) ≠ φ
Demostración Consideremos el siguiente conjunto:
P = {ϕ ∈ C ∗ ( X ) : ϕ (1) = 1, ϕ ( f ) ≥ 0 si f ≥ 0}
P es convexo ya que, si ψ , ϕ ∈ P entonces:
λψ + (1 − λ ) ϕ ∈ C ∗ ( X ) ∀λ ∈ [ 0,1]
porque λψ + (1 − λ ) ϕ ≥ 0 y además λψ (1) + (1 − λ )ϕ (1) = λ + (1 − λ ) = 1 .
≥0
≥0
∗
P es compacto ( ω compacto ) (secuencialmente compacto) entonces para eso
vemos que P ⊂ B ∗ secuencialmente y que P es ω ∗ − cerrado
Sea ϕ ∈ P ϕ = µ ( X ) = 1 ⇒ ϕ ∈ B ∗
ω
Sea (ϕ n ) ⊂ P tal que ϕ n 
→ ϕ entonces:
∀f continua ϕ n ( f ) 
→ϕ ( f )
∗
y como
ϕ n ( Id ) = 1 ∀n ⇒ ϕ (1) = 1 y f ≥ 0 ⇒ ϕ ( f ) ≥ 0
implica que ϕ ∈ B ∗ es acotado ⇒ ϕ continua.
Observación a.1 Sea F : D → P definida como:
F (ϕ )( f ) = ϕ ( f o T )
Supongamos que ϕ ∗ es tal que F (ϕ∗ ) = ϕ∗ es decir:
ϕ ∗ ( f o T ) = ϕ ∗ ( f ) ∀f ∈ C ( X )
P
Si f = χ A se tiene:
∫
X
f o T d µ = ∫ f dµ ∀ f ∈ C ( X )
X
∫
X
χ A o T dµ = ∫ χ A d µ
X
como χ A o T = χ T −1 ( A) se tiene:
- 136 -
entonces
ϕ n ( f ) ∈ B∗
Análisis Real
Teoría Ergódica
∫
X
- 137 -
χT −1 ( A) d µ = µ ( A)
P
µ (T ( A ) ) = µ ( A ) .
Veamos que F tiene un punto fijo
• F es lineal ya que:
F (αϕ + βψ ) = (αϕ + βψ )( f o T ) = αϕ ( f o T ) + βψ ( f o T ) =
−1
= α F (ϕ ) + β F (ψ ) .
∗
• F es ω continua.
ω∗
→ ϕ ∗ entonces:
Sea ϕ n tal que ϕ n 
→ ϕ ∗ ( f o T ) = F (ϕ ∗ )
F (ϕ n )( f ) = ϕ n ( f o T ) 
⇒ continua
Sea ϕ n =
ϕ cualquiera ∈ P
n −1
1
n
∑F
i
(ϕ ) ∈ P por ser convexo, existe una subsucesión que seguimos
0
llamando ϕ n tal que ϕ n → ϕ ∗ ∈ P y por la continuidad de F F (ϕ n ) → F (ϕ ∗ ) y de la
linealidad de F F (ϕ n ) =
1
n
∑ F i+1 (ϕ ) = ϕ n − ϕnn +
F n (ϕ )
n
→ F (ϕ n ) si
F n (ϕ )
n
→0
F n (ϕ ) 1 n
= n F (ϕ )
n
1
n
F n (ϕ )( f ) ≤
1
n
F n (ϕ ) ⋅ f ≤
≤1
f
→0
n
Lema a.5 (Ergódico maximal) Sea f ∈ L1 ( µ ) y T : X ↵ que preserva medida
n


consideremos el conjunto E ( f ) =  x : supn≥ 0 ∑ f o T j > 0  entonces:
j=0


∫ f dµ ≥ 0
E( f )
Demostración Para cada x definimos:
n


f n ( x ) = max  f ( x ) , f ( x ) + f (T ( x ) ) ,..., ∑ f ( T j ( x ) ) 
j=0


Llamemos En = { x : f n ( x ) > 0} como f n Z⇒ En ⊂ En +1 y por
definición
E ( f ) = U En es decir En Z E ( f ) , y sea f n = f χ En entonces f n Z f χ E ( f ) ∈ L1 por
n∈¥
convergencia monótona
∫
X
f n dµ → ∫ f χ E ( f )dµ
X
- 137 -
Análisis Real
Apéndice
Si probamos que ∀n ∈ ¥,
Y como
∫
X
∫
X
- 138 -
f n dµ ≥ 0 ⇒ ∫ f χ E ( f ) d µ = ∫
E( f )
X
f n dµ = ∫ f χ En dµ = ∫ f dµ Probaremos que
X
En
∫
f dµ ≥ 0
f dµ ≥ 0
En
Afirmación 1 Si f n o T ≥ 0 ⇒ f n o T + f ≥ f n ∀n
Demostración de la afirmación, observemos que ∀m tal que 0 ≤ m ≤ n se tiene:
m
fn ( x ) ≥ ∑ f o T j ( x)
j =0
de donde
m
m +1
j =0
j =0
f n ( T ( x ) ) + f ( x ) ≥ ∑ f o T j +1 ( x ) + f ( x ) = ∑ f o T j ( x ) ∀m = 0,1,..., n
entonces en particular
m +1
f n ( T ( x ) ) + f ( x ) ≥ max ∑ f o T j ( x ) = f n+1 ( x ) ≥ f n ( x )
0≤ m ≤ n
j =0
o sea f n (T ( x ) ) + f ( x ) ≥ f n ( x ) cuando f n ( T ( x ) ) + f ( x ) ≥ f ( x ) ⇒ f n (T ( x ) ) ≥ 0 lo
que prueba la afirmación.
Afirmación 2 Si f n ( x ) ≥ 0 y f n o T ( x ) < 0 ⇒ f n ( x ) = f ( x )
n
Demostración de la afirmación 2. Como 0 > f n o T ( x ) ≥ ∑ f o T j +1 ( x ) entonces
j=0
para los distintos valores de n se tiene:
f (T ( x ) ) < 0
f (T ( x ) ) + f (T 2 ( x ) ) < 0
M
M
<0
f (T ( x ) ) + f (T 2 ( x ) ) ... + f (T m ( x ) ) < 0
entonces


n


f n ( x ) = max  f ( x ) , f ( x ) + f (T ( x ) ) ,..., f ( x ) + ∑ f o T j ( x )  = f ( x )
144424443
j =1

<0
14444
42444443 


<0
lo que prueba la afirmación 2.
f dµ ≥ 0 alcanza con probar que ∫
f dµ ≥ 0
Para probar que ∫
{ f n >0}
∫{
f n ≥ 0}
{ f n ≥0}
f dµ = ∫
{ f n ≥ 0}I{ f n oT < 0}
f dµ + ∫
{ f n ≥ 0}I{ f n oT ≥ 0}
f dµ
y como por la afirmación 1
f ≥ f n − f n o T siempre que f n o T ≥ 0 y por la
afirmación 2 f n = f si f n ≥ 0 y f n o T < 0 se tiene entonces sustituyendo en la
anterior igualdad:
- 138 -
Análisis Real
∫{
f n ≥ 0}
Teoría Ergódica
- 139 -
f dµ ≥ ∫
f dµ + ∫
f dµ − ∫
f n o T dµ
{ f n ≥ 0}I{ f n oT < 0} n
{ f n ≥ 0}I{ f n oT ≥ 0} n
1444444444444444
42444444444444444
43 { f n ≥ 0}I{ f n oT ≥ 0}
P
∫{
Además como T preserva medida
∫{
f n ≥ 0}
f n ≥ 0}
∫{
f n dµ − ∫
f
{ f n ≥0}I{ f n oT ≥0} n
f n ≥ 0}
f dµ ≥ ∫
T −1 ({ f n ≥ 0})
f n dµ = ∫
T −1 ({ f n ≥ 0} )
oT
f n o T dµ y sustituyendo
f n o T dµ − ∫
f
{ f n ≥ 0}I{ f n oT ≥ 0} n
o T dµ
y como T −1 ({ f n ≥ 0}) = { f n o T ≥ 0} ⊃ { f n ≥ 0} I { f n o T ≥ 0} luego:
∫{
f n ≥ 0}
f dµ ≥ ∫
f
{ f n oT ≥ 0} n
o T dµ − ∫
f
{ f n ≥ 0}I{ f n oT ≥ 0} n
o T dµ ≥ 0
como se quería probar.
Como corolario de este lema tenemos:
Corolario a.6 Para todo A ⊂ E ( f ) tal que T −1 ( A) = A (medible e invariante) se
tiene que
∫ f dµ ≥ 0
A
Demostración E ( f χ A ) = A ya que:
∑ j ( f χ A o T j ) = ∑ j ( f o T j )χT − j ( A) = ∑ j ( f o T j )χ A
y entonces
{
}
E ( f χ A ) = x : sup ∑ j ( f o T j ) χ A > 0 = A
Proporción a.7 (Teorema de Birkhoff) Sea ( X ,M , µ ) un espacio de
probabilidad T : X ↵ que preserva µ entonces
n −1


1
µ   x : lim n ∑ f o T j ( x ) ∃   = 0 ∀f ∈ L1 ( µ )
n
j =0


Demostración Definimos:
n


Eα+ ( f ) =  x : lim n1+1 ∑ f o T j ( x ) > α 
j =0


n


1
E ( f ) =  x : lim n +1 ∑ f o T j ( x ) < α 
j=0


Sea (α n ) una sucesión real tal que (α n ) = ¡ entonces:
−
α
- 139 -
Análisis Real
Apéndice
- 140 -
n
n

+
−
j
j
1
1
:
lim
lim
x
f
o
T
>

n +1 ∑
n +1 ∑ f o T  = U Eα n I Eα m
j=0
j=0

 α n >α m
queremos probar que
µ ( Eα+ I Eβ− ) = 0 ∀α > β
Afirmación
∫
Eα+ ( f )
f ≥ αµ ( Eα+ ( f ) ) y
∫
E β− ( f )
f ≤ βµ ( Eβ− ( f ) )
Observemos primero que:
1) Eβ− ( f ) = E−+β ( − f )
2) Eα+ ( f ) = E0+ ( f − α )
Demostración de la afirmación
∫ + f dµ = ∫
( f − α )d µ + αµ ( Eα+ ( f ) ) =
=∫
( f − α )d µ + αµ ( Eα+ ( f ) )
Eα ( f )
Eα+ ( f )
E0+ ( f −α )
para probar la afirmación entonces alcanza con probar que
∫
E0+ ( f −α )
( f − α )d µ ≥ 0 y
para eso aplicamos el corolario del Lema:
como E0+ ( f − α ) ⊂ E ( f − α ) y T −1 ( E0+ ( f − α ) ) = E0+ ( f − α ) ya que:
T −1 ( E0+ ( f − α ) ) = { x : T ( x ) ∈ E0+ ( f − α )} =
n −1


=  x : lim 1n ∑ f o T j +1 − α > 0  =
j=0


→0
→1
}
}
n


f ( x)
+
j
n +1 1
=  x : lim E
o
−
−
α
>
0
f
T
 = E0 ( f − α )
n n +1 ∑
nF
F
E
j=0


y por el corolario del lema ∫ +
f −α ≥ 0
E0 ( f −α )
Más aun si A ⊂ E ( f ) y T −1 ( A) = A entonces:
+
α
∫
A
f ≥ αµ ( A )
aplicamos el corolario del Lema para el caso A ⊂ Eα+ ( f ) = E0+ ( f − α ) ⊂ E ( f − α )
⇒ ∫ f −α ≥ 0
A
∫
A
P
f − αµ ( A)
análogamente con la otra desigualdad:
−
−1
∫ f ≤ βµ ( A ) ∀A ⊂ Eβ ( f ) y T ( A) = A
A
- 140 -
Análisis Real
Teoría Ergódica
- 141 -
Sea α > β y consideremos A = Eα+ ( f ) I Eβ− ( f ) tenemos que ver que T −1 ( A) = A
pero como cada uno es invariante ⇒ la intersección también, entonces:
βµ ( A ) ≥ ∫ f ≥ αµ ( A )
A
pero como α > β tiene que ser µ ( A ) = 0 luego µ ( Eα+ ( f ) I Eβ− ( f ) ) = 0
n −1
Corolario a.8 Si f ∈ Lp sea fˆ ( x ) = lim n1 ∑ f o T j ( x ) llamado promedio de
n
Birkhoff, entonces fˆ ∈ Lp y fˆ
p
≤ f
p
j =0
.
p
Demostración Hay que probar que fˆ ∈ L1
Observamos que
fˆ ( x ) = lim n1
n
n −1
∑ f (T
j=0
j
( x ) ) ≤ lim
n
n −1
1
n
∑
j=0
f o T j ( x ) c.t.p. − µ
y este último límite existe por el Teorema de Birkhoff entonces:
p
 n−1

fˆ ( x ) ≤ lim  1n ∑ f o T j ( x ) 
n
 j =0

p
(1)
p
como fˆ ( x ) es una función positiva, para probar que es integrable basta con
mostrar que el límite de la derecha define una función integrable, lo que por el Lema
de Fatou se reduce a mostrar que:
p
 n −1

lim ∫  n1 ∑ f o T j  dµ < ∞.
n
 j =0

Más
p
 1 n −1

f oT j  dµ =
∫X  n ∑
j =0

p
n −1
1
n
∑
j =0
p
f oT
≤
j
p
p
 n−1

 n−1

p
≤  1n ∑ f o T j p  =  1n ∑ f p  = f p
 j=0

 j=0

j
donde en la última igualdad usamos que f o T p = f p porque T j preserva
medida. Por tanto el límite de la derecha en (1) define una función integrable con
p
p
integral ≤ f p esto muestra que fˆ es integrable y que su integral también es
≤ f
p
p
lo que implica que fˆ ∈ Lp y que:
- 141 -
Análisis Real
Apéndice
fˆ
p
≤ f
- 142 -
p
Corolario a.9 Si f ∈ Lp con 0 ≤ p ≤ ∞ entonces:
n −1
fˆ − 1n ∑ f o T j
→0
j =0
p
Demostración Consideremos primero el caso p = ∞ entonces si f ∈ L∞ ⇒
p
n −1
j 
ˆf ≤  lim 1
 n n ∑ f oT  ≤
j =0


p
p


n −1
 n−1
≤  lim 1n ∑ f o T j ∞  ≤ lim  1n ∑ f
n
 n j = 0 144424443 
 j=0
=
f


∞
p

= f
∞

p
∞
entonces
p
p
p
n −1
 ˆ 1 n−1
 ˆ

j 
j
1
ˆf − 1
f
T
f
f
T
f
f
T
o
≤
+
o
≤
+
o
≤
∑
∑
∑



n
n
n
∞
j=0
j=0
j=0

  ∞

p




n
−
1
p
p
p
p
p −1  ˆ
j
1
≤ 2  f +  n ∑ f o T ∞   ≤ 2 p−1 f ∞ + f ∞ = 2 p f ∞
∞
 j = 0 144424443  

= f ∞

 

n −1
j
(
n −1
por lo tanto como la sucesión fˆ − 1n ∑ f o T j
)
p
esta dominada por una constante,
j =1
luego por el teorema de convergencia dominada su integral converge a cero, lo que
prueba el corolario para el caso f ∈ L∞ .
• Sea ahora f ∈ Lp con 0 ≤ p < ∞ .
Como L∞ = Lp ⇒ ∃f 0 ∈ L∞ tal que
n −1
p
< ε ′ entonces:
n −1
fˆ − 1n ∑ f o T j
j =0
f − f0
p
≤ fˆ − fˆ0 + fˆo − 1n ∑ f 0 o T j +
144424443p
j =0
14444444244444443p
<ε 3
1
n
n −1
 n−1
j
j
 ∑ f0 o T − ∑ f o T 
j =0
 j =0

→0
y como:
fˆ − fˆ0
p
= ·
f − f0
p
≤ f − f0
∞
y por ser f 0 ∈ L tenemos que:
- 142 -
p
< ε′
3
p
Análisis Real
Teoría Ergódica
n −1
fˆ0 − 1n ∑ f 0 o T j
j=0
y el último sumando
n −1
 n−1

j
1
f
o
T
−
f oT j 
∑
n ∑ 0
j =0
 j =0

≤
n −1
1
n
∑
j =0
- 143 -
→0
p
n −1
=
1
n
p
∑( f
j =0
j =0
− f )oT j
≤
p
n −1
( f 0 − f ) o T j p = 1n ∑ f 0 − f
0
p
= f0 − f
p
< ε′3
Corolario a.10 Si f ∈ Lp con 0 ≤ p ≤ ∞ para c.t.p. fˆ o T = fˆ
Demostración
n −1
n −1
fˆ (T ( x ) ) = lim n1 ∑ f (T j ( T ( x ) ) ) = lim 1n ∑ f (T j +1 ( x ) ) =
n
n
j =0
j =0
n
n
= lim 1n ∑ f o T j ( x ) = lim nn+1 n1+1 ∑ f o T j ( x ) − 1n f ( x ) = fˆ ( x )
1442443
n
n {
j =1
j =0
→1 144444
→0
424444443
→ fˆ ( x )
Corolario a.11 En las mismas hipótesis que el corolario anterior, entonces
∫ fˆ dµ = ∫ f dµ
X
X
Demostración
n −1
1
n
∑ f oT
j
L1

→ fˆ
j =0
lo que implica
∫
n −1
 ˆ 1 n−1
j
j
ˆ−1
f
−
f
o
T
d
µ
≤
f


n∑
n ∑ f o T dµ → 0
∫
j=0
j=0


o sea
∫
n −1
fˆ − n1 ∑ ∫ 14
f 424
o T43j → 0
j=0
=f
es decir que
∫ fˆ − ∫ f
→0
⇒
no depende de n
∫ fˆ − ∫ f
por lo tanto en casi todo punto vale
∫
X
fˆ dµ = ∫ f dµ
X
- 143 -
=0
Análisis Real
Apéndice
- 144 -
- 144 -
Índice alfabético
Álgebra de conjuntos 3
Borel medible 30
Casi todo punto 39
Cauchy en medida 66
Clase monótona 108
Clase monótona generada 108
Completa 14
Completación 15
Conjunto Fσ 126
Conjunto Gδ 126
Conjunto de Cantor 24
Continuidad absoluta del integral
78
Convergencia casi uniformemente
63
Convergencia en L1 63
Convergencia en casi todo punto
63
Convergencia en medida 63
Convergencia puntual 63
Convergencia uniforme 63
Derivada de Radon-Nikodin 93
Descomposición canónica 102
Descomposición de Hahn 88
Descomposición de Jordan 88
Desigualdad de Hölder 73
Desigualdad de Jensen 71
Desigualdad de Markov 76
Desigualdad de Minkowski 74
Equicontinua superiormente al
vacío 78
Espacio de medida completa 14
Espacio Dual 132
Espacio normado L1 ( µ ) 52
Espacio normado 52
Espacio seminormado 52
Espacios Lp 69
Extensión de medida 11
- 145 -
Exteriormente regular 121
Fórmula integral por puntos 131
Función absolutamente continua
101
Función característica 35
Función continua con soporte
compacto 118
Función convexa 71
Función elemental 36
Función elemental de conjuntos 10
Función indicadora 35
Función inegrable 39
Función medible 29
Función notable de CantorLebesgue
27
Función simple 36
Funcional lineal positiva 120
Funciones complejas 51
Integral de funciones cualesquiera
49
Integral de Riemann vs Integral de
Integral indefinida de Lebesgue
100
Interiormente regular 121
L+ ( X ,M ) 34
Lebesgue 60
Lebesgue medible 30
Lema de Fatou 48
Lema de la clase monótona 108
Lema de Riez 96
Lema de Urysohn para LCH 118
Lema Ergódico maximal 135
Localmente compacto 117
Medible en un conjunto E 32
Medida absolutamente continua
respecto de otra 89
Medida con signo 85
Medida de Borel 17
Medida de Borel-Stieljes 20
Medida de Dirac 22
Medida de Lebesgue 22
Medida de Radon 121
Medida exterior 8
Medida finita
6
Medida inducida
10
Medida nula 14
Medida producto 107
Medida singular respecto de otra
88
µ − integrables 49
8
µ ∗ − medible
µ − negativo 86
µ − nula 86
µ − positivo 86
Mutuamente singulares 88
Norma operador 132
Norma p 70
Partición de la unidad 119
Premedida
6
Pull-back 31
Pull-forward 31
Puntos invisibles por derecha 95
Puntos invisibles por izquierda 95
Rectángulo medible 105
Regular 121
σ − álgebra
4
σ − álgebra de Borel 6
σ − álgebra de Lebesgue 22
σ − álgebra generada 5
σ − álgebra inicial 32
σ − finita
6
Seminorma 52
Soporte de una función 118
Teorema de aproximación 16
Teorema de Birkhoff 137
Teorema de convergencia
dominada 54
Teorema de convergencia
monótona (Beppo Levi) 45
Teorema de descomposición de
Jordan 88
Teorema de Egoroff’s 67
Teorema de extención de Títese
para LCH 118
Teorema de Fubini 1 109
Teorema de Hahn-Jordan 86
Teorema de Lusin 129
Teorema de Radon-NikodinLebesgue 89
Teorema de recurrencia de
Poincaré 131
Teorema de Representación de
Riez 121
Teorema de Rierz 133
Teorema de Tarsk 3
Teorema de Tonelli-Fubini 110
Teorema de Vitali 78
Transformación que preserva
medida 131
Uniformemente absolutamente
continua 77
Variación negativa 88
Variación positiva 88
Variación total 89
x-sección de f 112
y-sección de f 112
- 146 -