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A. H. KOJIMOfOPOB, C.
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113,'\ATEllbCTSO
ülA ~KA•
• MOC Kl!A
A. N. KOLMOGOROV
S. V. FOMIN
ELEMENTOS
DE LA TEORIA
DE FUNCIONES
Y DEL ANALISIS
FUNCIONAL
TRADUCIDO DEL RUSO POR
CARLOS VEGA,
<Oltdrdfico dt Maltm4tka$ SupetlottJ
1972
EDITORIAL MIR
MOSCU
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Ocre<:bM rcs~rvarlos
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llCn(lHCK()M J13otkt
IN DICE
PREFACIO
CAl'lTULO 1 • ELEMENTOS
oe
1. .\ TllORIA DE CONJUN"fOS
§ l. Concepto de conjunto. O peraciones sobre conjuntos
J. Dollnlclon•s prlnclpalH ( 13), 2. Operaciones .Obre conJuotos (HJ.
§ 2. Equivalencia de conjuntos. Concepto de. potencia de un conjunto
l. Coojuntos finitos e lnflnllos (! 7), 2: Conjuntos'numenibles (17). 3. Equlva·
lene la dP: conjnnlos (20), 4. tnnume¡.•b!IJdad del conJÜntn de los oúmeroi rea les
(22). 5. Concepto de polencla de un con¡unlo (2•1. 6. T•orema de CanlorBernsteln (2G).
§ 3. Aplicaciones. Partición. .en clases
1. Apllc.aclooes de. ~oujuntos. Coni;.epto gc.nenl de función (28). 2. PMt1dón tn
Relacl611 de Cflul ....alencla (30).
tl~~e~.
§ 4. Conjuntos ordenados. Números transfinitos
l. Conjuntos parcialmente ordenados (33). 2. Apl lcacJ one..~ que con.!C1~·en el
orden (34). 3. Conjuntos ordenados. Ttpos ordlnaic¡ (3.f). • · .Surna or<le.n•de d~
conjunto$ ordenadM (35). 5. Conjuntos blen ordenado$. Números trnn$flnltos (36) ,
6. ComparitcfVn de números ordln1tles (38). 7. Axioma dt elección. teorema de
7.crmelo y otrns propu.\kioncs t<111lvalentu ;i ~llos (41 ), 8. lnduc.:lón tram·
finttt1 <"2).
§ 5. Sistemas de conjuntos
l. Anillo do c<io¡unlos C•.3 ). 2 . Semlanlllo <le conjuntos (45). 3. Anlllo engcndradu
por un scmhmtllo (47). 4. Alg("bus de- Boret (<f8). $ . Sbtemas de conjunto~ y
apllca<lone• (49) .
CAl'ITUl.O ti · ESPAClOS i\\ETIHCOS Y TOPOLÓGICOS
§ l. Concepto de espado rnófrlco
l. l>dlnictón y ~lc.mp1os pr1ncl(Hile.s {5J). 2. Apll(:,.C.lonts conthrnas e.Je espacios
mHrlco.s. lsontelrta (59) .
§ 2. Convergencia. Conjuntos abiertos y cerrados
l. J>unfos de acumulación. Adherenci• {60). 2. Cnnvergencta (62). 3. Su~~onJun ­
tC)S dtnsos (63). 4. Conjuntos abiertos y cerradQs (6-1). 5. Gonluntos <1biertus y
cerrildos sobre la recta (66).
§ 3. Espacios m~trieos compl~los
l. Definición y eJemp1o:=; de e.q:>:rclos métricos compl etos {71). !? . Principio de
bolas t nC&jadas {74). 3. Tcorctnd de Ba1r-e (75). 4. Complelecióti dt' un cspa·
cio (76) .
§ 4. Principio de aplicaciones conlraidas y sus aplicaciones
1. Principio de apllc~dones c:onfrafd;'1$ (79) . 2. AplJcaclonn elemeotulc.o;: del
principio de aplkorJones contraidils (61). 3. Tcortmas de t.xtstench y unicidad
de ecuacloncs dUereocfafes (83). 4. ApHc0tcl6n dl•l 1)rh1dpto de 3pllc.aclooC$COn ·
trai das a ecuacl()t'H!·~ ln legra l t~ (86).
§ 5. Espacios topológicos
l. Dclinlclón y ejemplos de espacios topoló¡¡lcos (89). 2. Compo.raclón d• l<1pologlas (91). 3. S.Jstemos determinantes de veclndad-s. Base. /\xlomu d• numt·
en 1' (96). 5. Axlortu\i\ de ~po.nil>l--
[abiltdsd (92). 4. SHC'>'~h')l'lt' !l convergentes
Ir-DICE
6
llded (97¡. 6. Apllc1cinnes continuas. Homeomorlhmo ( 100). 7. ()fstlntos
mUodos de definic ión de topologfas en un ~.<pac t o. Melrlzabllld•d (103).
§ 6. Compacidad
l. Concepto de compacldod CIOH. 2. Apltcaciones continuas de espaclo< compectos (106). 3. Comp•cldad numerable (107) . 4. Conjuntos relativamente com·
pactos (11 0).
§ 7. Compacidad en espacios métricos
J. Acotación lota! (1 1 O). 2. Compacidad y acolaclon tol•l (112). 3. Compacidod
rela tiva de subconjuntos en un ~'pacio mNrlco ( 114). 4 . TPOrema de An.ehl (l l 5).
6. Tcorern.o de Peano (117). ó . Teorema genen1lb.<Jdo de Arzt'lá (l 19).
§ 8. Funciones reales sobre espacios métricos y topológicos
f. Functones y
funclon~les
conllnuas y uniformemente conlinua& (121). 2 . Fun-
ctoncs continuas y scmtco ntinuas sobro especlos compacfo5 (123).
§ 9. Curvas continuas en espacios métricos ( 125)
CAPI TULO 11 1 •
l' SP.~C lOS
LINEAi.ES NORMADOS Y 'T OPO LúCI COS
§ l. Espacios lineales
l. Definición y •Jemplos de espacios llneales (130). 2. Oepcndoncia lineal (l 32J .
3. Subespoclos ( 133). 4. Espacios cocientes (134) . 6. Funcionales ttneales ( 13 5¡.
6. Jnterpretacl6n
gcom~trfca
de una funclonal linea l (J 37).
§ 2. Conjuntos convexos y luncion:iles convexas. Teorema de Halm Banach
l . Conjuntos. convexos y cuerpos convexos (140 ), 2 . .Funcionales con v tx.~~ ( 1-t'J).
3. funcional de Mlnkowskl (1•3) . 4. Teorema ¡de Habn- Oanach ( 1 4~) . 5. ~­
pJrabtlld11d de conjunto!. conve xos en es pacios llncal~s ( 147).
§ 3. Espacios normados
1. Definición y eJemplos de esp•clos normados (149) . 2. Subespaclo• de un
e spado normado ( 151 ).
§ 4. Espacios euclldeos
l. Definición de ..r>• clos cuclldeos (152). 2. Ejemplos (!S i). 3. Existencia de
bases ortogonales, or togonallzaclón (156). 4. !Desigualdad de Bessel. Slstem•s
ortogonales Cerudos O 69). S. Bsp1tclos eucltdeos cornJ)letos. Teorema de Rleszl'hh•r ( 162). 6. Espac io de Hltl>ert. Teorema .obre el lsomorlismo ( 16 5 ).
7. Subespaclos. complemen tos ortogonale., >uma d irecta (168). 8. Propiedad ca •
ractetlstlco d~ los espacios euclldeos (172) . 9, Esp•clos euclldcos complejos ( 175).
§ 5. Espacios topológicos 11 nea les
~u~::!il;~órilt)!emplos (177) . 2. Conve<ldad local ( 180). 3. Espacios norma dos
CAPI TULO IV • FUNCIONA LES LINEALES Y OPcf<ADORES LIN EALES
§ l. Funcionales linea les continuas
1. Funcionales lineales conllnu::i.& sobre t spados topológlco.s l lneales ( t 85).
2. Relación entre Ja conttnuldad d& una functonal lineal y su acot ación sob re
conjuntos acotados (186). 3. Funcionales Unealcs continuas sobré t ·s paelos normados (187). o\. Teorema de Hahn-Banach en un .,spaclo normado (190).
6. Funcionales Une.ates en e.$pactos normados numen bl es (191 ). 6 . E:c:tstencia
de un número suffc1ente de funeconaJcs lincAles contlmHJ$ ( 192).
INDICE
§ 2. Espacio dua l
l. De finición de csp.,cio d u.,J (193). 2. Espacio dual a un e1p11c1onormado_{l,94).
;,, Ejemplos de espacio' duAle:s (190) . 4. estructura dtl tspt1cio dual 11 un espa·
~ .. Topolo¡¡la en el espoclo duol (202). 6. Segundo
clo normado numerable (200),
••poclo clu:tl (203).
§ 3. Topología debil y wriwrgencla débil
l . Topologla dóbll •n un Hp•c lo topo1'.,100 lineal (205). 2 . ConV"1ftnelo d~bll
12001- a. Topologla débil y converwenela déb il en el c&paclo du• I (2111- 4. To·
potoef• • ·d.i bil en C'OnJunhu :acoudos (213).
§ 4. Fum:íooes generalizadas
l. Ampllac16n del conctplo do fun<lón (216). 2. C•paclo de lunclonH bhlc••
3. Funcione~ gen~ralli adu (2 l 9) . <l. Operaelopcs c.on luncfon~ generalt•
udu (220). S. Su!lclencln del C'>nlunlo de func ion es bhle., (224). 6.• 'R.cons•
truc:clón de una fondón por s u d@rl vada. l?c;u&Jcione& diferenciales tn la ctllse de
h1n don~s gcnculiz.acJ.u (225) 7. Alguna$ gé!nctalliaclonu (228).
(:? 18).
§ S. Operadores lineales
f . Definición y •l•mplos de op<ndores llneot.. (232). 2. Conllnuldod ., acotación
1230). 3. Sumo y producto de OP"radorcs (238). 4. Opttador lnv...so. ¡tnvttslbl ·
lldad (239). S . Operador.. <onJu11a d0& (2H). 6. Operador conjug•do en un esps·
CJo euclídeo. Operari(.)re$ iu1Cocon)URldO$ (246). 7. E:ipcctro de un opet"\dor.
~t '\olvc nte- (247>
§ G. Operadores totalmente continuos
t . Dertntclón y tijemplo$ de operadoru totalmente cont inuos (260), 2. Propteda·
tfd µrlnclpalcs de opeudorea to lu1mcnie contlnuos (25:1). 3 . V•lore$ proplo5 de
un operador lotalmcnte continuo (258). 4. Opcndores \otalmentt- conunuos en
un C"Jpu:lo d~ Hllbcrl (259). b. Oper111dorPS :tuloconJui::ado.s y totalmente contf·
n1101 en H (260).
CAPITU LO V · L:l. E o\\ ENTOS llEL CALCU LO Ulf'ERENCIAL
EN ESPACIOS LINEALES
§ l. Oilerencjación en cspucios lineales
l. Dllerencl al fuerte (dfferenclal de Frichol) (2ijo). 2. Ollerencl•I débll (dlle·
rencf~l de Oato). (267). 3. l'órmulo de lnccemcnto finito (268). •.Relación enlre
la• dllcrenclabllld•des dfbll y fuerte (269). s. Funclonnl•• dllorenclables (271).
6. F unclone.s abstraet u (27 1). 7 , Integral (271). 8. Oerlvodas dt órdenes supe·
rloru (274). 9. 0Uerenc:1alc1 <1e w d,n ~UJ)('TIOt (27 6). 1o. FórmulA d~ Taylor (271).
§ 2. Problemas extremt1l<.'S
t. Condicl(,n m:ce.sarla de ~'<trem o l~i" 8 ). 2 . St-gunda diftrendal. Condlclonts
'uflclrnlcs de Clttremo lle una funclonal (23~) .
§ 3 Método de Newton
CAP I TULO VI · Ml!DIOA. FUNCIONES MEDllll. US. INTEGRAL
§ l. Medida de conjuntos planos
l.
Medida de conJunlos olcrnenl nles (290) . 2. Medida de Lcbes¡ue de conjuntos
p lAnot (2911). 3 . Prop led"dct prtnclp• les de h 11'\td1da de 1..ebos¡uc y de los con·
juntos m~dlb)es (29.Sl. it . A1f:Un~s supl tmentQs y gtncull:uclonH (3 04).
INf)ICE
8
§ 2. Concepto genera l de med ida . Prolongacióu di.' una medida de un
semianil lo a un anillo. Adit ividad y o-ad itividad
J. Otflnfcfón d• medida (306). 2 . Prolongació n de u n a modld• en un semlanlllo
at onfllo jt'tn•f"do (308) . 3. AdHl\'fdod num<rab lc (:109) .
§ 3. Prolong11ci6n de Lebesgue de una med ida
1. Prolon¡aclón de Lebesguo de unA mcdtda deflnJda t.u un ttm lnnlllo con v.n tdad (313) .
~-
Proloni;r3C:ión d e ufto medida deClnlda en un kmh1 nillo :sin uni-
dad (3 17). 3. Prolongación d t una mtdlda seglln Jord•n (3 19). 4, Unicidad de
prolongación d.- una mod lda (321¡.
§ 4. Funciones medibles
l . O.llnfclón y p roptedadts prfnclp•I•• d• luocloncs m•dlbtos (322). 2 . Funclo·
n u •lmplts (324). 3, Oper1clonc1 arllmHJcas co n runctoncs m•dlbles {326>.
4. l!qu l\'Alt nclA (327). ¡¡, Convtrgcncla • n casi tod°" l os punto• (328). 6. Teorema
de l!a«irov (32R) . 7. Convorgenclo en medida (330¡. 8. Tcorem• d e t"zfn .
e-propiedad (3:12).
§ 5. lnte¡¡-ra l de Leoosgue
l. 1111caral de Lebesgue P••• lunclon•• olrnples (333) . 2 . l nlegra l d• l.ebcsgue en
conJunlos de m•dld• IJnlla (335). 3. a -a dltlvl dad y con tinuidad absolula de la
ln lt11r•I do l.ebt3gu" (338). 4 . Paso al !Imite bs)o el almo de ta integral dt
tebt'CU< (34 3). 5. Integral d• Lebt51fUt en un conj unto d e medid• infinita (3 47).
6. Cornpatarlón de la lntogrol d e Leboagut con Is lntoar•l d e R iemann (3 0 ) .
§ 6. Productos directos de slsfpmns de conjuntos y de medidas. Teorema de f'ubini
l. l'roduclos de s is e.mas de con)unlos (362). 2. l'ro duclos d o n•edld•s (353),
3. Repr•sent•clón de I• medida plana en términos de lu lnt•rra l de la medid•
lineal de secciones y dellnlclún geomofrlca de I• ln te¡¡rnl de Lebosgue (3 55) .
4. Too remo de Fublni (359).
CA PJTU l.0 Vil · lNT EC~A t INDEFIKll>A DI! tEBl!SGl'. E .
TF.OR I A OE D IFERENCtACl(>N
§ l. Funciones monótonos. Dlferenciabi!idad de l a in legrn l respecto al
extremo superior
l . J>ropledadK lundaonentoles de !unciones monó tono• (364). 2. Dlltrtnctabllldod
de uno función monótona (30). 3. Derivad• de lo lntoaral N>sp•cto •I extremo
1uporlor (374).
§ 2. Funciones de variación acotada (374)
§ 3. Derivada de la integral Indefinida de Lebesguc (379)
§ 4.
~e<:onstrucción de una función a partir de su derivada. Punci ones
absolutamente continuas (381)
§ 5. Integral de Lebesg ue como función de conjunto. Teorema de
~adon-Nikodym
De-~omposlcl ón de Hahn y d~~mpos l clót1 de Jordan (392 ). 2. Prtn·
clpolu llpos do <U8u> (396). 3. C•rK•• absolutamente conllnuas. Teoremo de
Rodon-Nlkodym (396).
L Cara••·
§ 6. Integral de Stiel ljcs
l. Med!Hos de Stl•llJea (399). 2. Integro! de L•h'ft'UC - S t lett)•• (401). 3. AIQ"U•
nos opllcaclones d• la lnl•ll'r• I do l.ehug110-Stl•llJcs P.n la tcorln d e prolrn~lll ·
1,.;01CE
9
dadu (•03). 4. lnlo¡¡ral de Rlemann-Stl<l lju (406). S. P aso 11 Umlle bojo el
&l¡¡no do h tnte¡¡ul d• Stlc l\Je• (409). 6. R,presentacl ón 1eneral de luntlonales
HnH le' cont lnn(is en el t •P"clo de runciones continuas (H3)
CAPl TULO Vlfl · ESPACIOS DE FUNCIONE S Sl,IMAB l.ES
§ 1. Espacio L1
l. Dellnlc1ón 'i prop lcdodu lundamen\al .. del espoclo L , (4 15). 2. Con Juntos
t:D L, <•l9).
siempre: den$0.$
§ 2. Espacio L.,,
1. Dtllnlelóa y propl•d>d os l11nd•mco\1les ( 423). 2 . Cuo de medida lnllnlto (428),
3, Conjun•o.s siempre. c.ft0 1iOS en ~ •. Teorem? sobre el ftomorflamo (428). 4. ~apa •
cto complelo L, <429). 5 Con\'eraencl a cuadr6ticn y su reloclón con otros Upo'
rle eon\1er¡enc1n de snceslonts lunclon1les (430).
§ 3. Sistemas ortogonal es de (unciones en L,. S~ries respecto a siste•
.
mns ortogonales
Serle trl~on omi:trJc~ de Fo urler (43S). 2. Sistemas
en el segmento 10. "l (436). 3 . Forrna oomplcJa de la «rlo de
Fourltr (436). 4. P olinomios de Lqendre (438). S. S!slemu orto¡onalu en pro.
duetos Sttit-S mú lUplH de Fuurltr (44 0). 6 . Poflnomlos or·t oaonafn r especto
:\un núcleo dado (44:l). 7. 8 1'\C o rto¡onal en ti espnlo L , ( -•. •l· Functonts
d t JfcrmUe ( 44f). ~. Voltnom lo" orto¡o n alt~ respecto a un n t)clto discreto ( 445).
1. Si.doma
trfgon o m ~t rlco.
trl~onomHrlcos
CAPlTl..iLO IX • SHRIES TRIOON0~1€1'RICAS
TllAN SFORM ,\ Clc'lN DE FOUlll!lR
§ 1. Condiciones el~ conver¡ienciu de la serie de Fouricr
1,
Cond ~cJ o nP.s
~.
CcmdfclonC$ rk tmwc-Ntcnd u u ril fo r mc d e lt !it.rle de: P'o11rlcr <-156).
!.uiicier>lc$. de \.'onver1rcnci• de l;i, $1!ric 4C! r:ourlct en un punto (1•9>.
§ 2. Teorema de Fejér
1. T tore:na de Fejü H59) 2. Cmnplteud d d sis\t m:\ hlionornHrico. Tcortma
dt" \Vo1trs h -'SS l-162). 3. TCo-'\t<'•n ft dt!: F't-jtir rn ti cuo del espado L , ('463).
§ 3 . l nle[lra 1 de F ouricr
1.
T ~o rcma hind amc n t~ I
t·•ft ll 2. Forma cornplr ja de la t nleitntl de Pouricr (46 7).
§ 4. Translormación de rourier, sus propi~dadcs y sus aplicaciones
t. Tronsíorm•ci6n de Fourler y fórm ula de inv•r$16n (468). 2. Proplodade• !un•
damenlales de la trondormución de Po ur1" (472). 3. Complllud dft las lunclon ..
de Hermltt y de Leguorre (475). 4. Trans!ormaclón de Fourl•r d~ !unelones
l" dcftotdacnentc díluencfables y dpfdamtnté decrecientes (470). S. Tran!>forrna·
c l6n de Fourie.r y COO\'Olucl<m de lunclones (4 18t. 6. Apllucl6r\ de la lnnsfor..
mtcl6n de Fourk r • la rtsoluclótt d• Ja C"Cuaclón de. ronducclóo del uJor (.f79).
1. Translorm(fc\Ón d~ Four ler de fun< lonu de v¡ ria& vartablts (.t 82).
§ 5. Trans!ormactón de
1.
T~or cm ¡i d.t
Fouri~r
P llllnch••ret (4 8.f)
§ 6. Transíormación de
2.
en el espacio L. (- co , co)
f'unclo n~s
de Hcrmltt. (-187).
1.n pl ~ce
~· pror>icd"tlr.s fun dn.menl •lles de 1'1 trM1sfnrm11clUn <le Lapl1ee (<191 ).
l. /\pllt.oclón d <' fo H an1form ucló11 <lo Lnploe~ a fo t oluclf\n de OCHllc lonc~ dHa...
1 r>ellnición
•f' 0(' 1 td('~ (m(.\l)t1o OJ><.' PIC.' l r; m 1U (-19!!).
IN DIC E
10
§ 7. Transformación de Fourler-Stfelljes
l. Oelln l clón de la truu formaclón de Po~rler- S llcll)M (494) 2 . Aplicación dc
le lr•ns!orrneclón de Fourler- Sllellles a la !corlo de probabllld•do.s <•96).
§ 8. Transformación de Four ler de funciones general ludas (499)
CAPlTULO X • EC U ACIONES INTJi OR ALES 1..IN HALES
§ 1. Definiciones fundamentales. A lgunos problemas que ll evan a ecua·
ciones integra les
l.
a
Tipos de e<u1cl onu Integrales (502). 2 . Efemplo.s de prob lt•mas q ..e ll•v• n
~uacl onu
tnletrr.:tlet ( 504).
§ 2. Ecuaciones Int egrales de Fredhol m
l. Operador l nle¡ral de Fre dholm (507). Ecuaclon<4 de nuclee> slmN rtco (510) .
3. Teoremas de Frcdhol m. Coso do núcleo dqcn<r•do (51 2). 4, Teoremas de
Fttdholm p ata ecuaciones de nClcteos no dege·n erados (504) . S. Ecuaciones de
Vollerra (5 19). 6. Ecuaciones lnl<lrf'ale< de primera Hp<c.tc 1520).
§ 3. Ecuacionu In tegra les con par ámetro. 1\iélo.do de Fredholm
t . Espectro de un o pe.rador to ta lmente contin uo en 11 t52t) . 2 . Represcnbclóh
M l a 10Juclón en lorma de una serle de potcacl as de 1... Oeterm l n11nlrui de Fred·
holm (5 22) .
Bibl iografía (528)
Indice alfabético (530)
PREFACIO
La primera edición rusa de Elementos de la toorla de funcio·
nes y del ar1álisis funcional apareció en dos fascículos en 1954
y 1960. La publicación de estos dos fascículos se debió a que,
a finales de la década del 40, fue incluido en el programa de
la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad de
Moscú el curso de A11álisis 111 que comprendía elementos de la
teoría de med ida y de la leerla de funciones, ecuaciones inte·
grales, nociones del aná!!sis funcional y, más larde, cálculo de
variaciones. Este curso, dictado en la Universidad de Moscú
primero por Andréi Kolmogórov y luego por otros profesores,
entre ellos Serguéi Fomin, integró posteriormente también los
programas de otras U niversidades. Debido a su reducida tirada,
la edición de nuestro li bro se agotó rápidamente y hace tiempo
c¡ue surgió Ja necesi dad de reeditarlo.
La sustitución de Jos cursos de la teoría de funciones de
variable real, de ecuaciones integrales y de cálculo de varia·
ciones por el curso unificado de Análisis 11 I en la Uni versidad
de Moscú, dio lugar a grandes discusiones en su tiempo. El
curso tenía por objeto habituar a los estudiantes a una visión
doble: por una parte, seguir la lógica interna del desarrollo de
la leerla de conjuntos, de la teoría general de aplicaciones continuas en espacios métricos y topológicos, de la teoría general
de espacios lineales y de íuncionales y operadores en ellos y de
la teoría pura de medida e integración en «espacios generales
provistos de med ida», y por otra parte, no perder de vista los
problemas del anál isis clásico y del aplicaclo, a los que prestan
servicio estas ramas mas abstractas de las Matemáticas.
12
Pll E FAC!O
Para resolver esta tarea, en la planificación del libro damos
preferencia a la línea abstracta de estructuración del curso. De
la teoria general de conjuntos (capitulo I) se puede pasar o bien
a los espacios métricos y topológicos y sus aplicaciones continuas
(capítulo JI), o bien, directamente, a Jos espacios (Jrovistos de
medida (sin topología) y a la integración en ellos {capítulo VI).
En los capítulos III y IV se estudian Jos espacios lineales y lo!i
funcionales y operadores lineales en ellos. De estos capítulos :;e
puede pasar directamente al capillllo V (operadores y funcionales
diferencia bles no lineales). En el capítulo VI 11 se estudian los
espacios lineales de funciones sumables. Solamente en los capi·
tulos VII y l X se concentra, de hecho, la atención en las
funciones de variable real. La exposición de la teoría de ecuaciones integra les en el capítulo X está formalmente v inculada
con el segmento [a, b]; pero, se le puede dar, sin modificacione!i
esenciales, una forma más general.
Aunque en nuestro libro se exponen, en primer lugar, los
conceptos generales de la leorla de funciones y del análisis funcional, el lector podrá advertir, en casi todos los capítulos, la
atención que 'se presta a los problemas clásicos contiguos. El
haber incluido en nuestro libro los capítulos VII (teoría de di·
ferenciaci'ón), IX {series trigonométricas e integral de Fourier)
y X (ecuaciones integrales lineales) hace que abarque ahora todo
el programa del curso de Análisis I 1l adoptado en la Universidad de Moscú, menos el cálculo de variaciones. No hemos
incluido este último en nuestro libro, limitándonos a exponer
en el capítulo V los rudimentos del análisis funcional no lineal.
En la nueva edición, lo mismo que en la primera, ocupa un
lugar considerable la teoría gen{'ral de medida. En los últimos
tiempos han aparecido varias exposiciones de la teoría de integración a base del esquema de Daniel!, que no utiliza' el aparato
de la teoría de medida. Consideramos, sin e.mbargo, que la
teor'!a de medida tiene por sí sola suficiente importancia,
Independientemente de si se introduce o no el concepto de
integral, y merece ser incluida en el curso universitario.
Al revisar el libro e incluir en él nuevas secciones hemos
procurado, sin embargo, conservar el es ti lo rela livamente elemental de exposición que, según nos parece, tenla la primera
edición. Esperamos que éste hallará su lugar natural en la ense·ñanza universitaria a la par de otros textos.
A. Kotmogórou
S. Fomí11
CAPITULO
1
ELEMENTOS DE LA TEORIA
DE CONJUNTOS
§ l. C<>NC:E PTO DE. C:ON .1 UNTO.
OPERACIONES SOBR,C CON.JUNTOS
1°. Definiciones pri ncipales. En las Matemáticas tropezamos
constantemente con distintos conjuntos. Podemos hablar del
conjunto de facetas de un poliedro, de. puntos de una recta, del
conjunto de n(nne~os naturales, etc. El concepto de conjunto es
tan amplio que resu lta difícil darle una definición que no se
reduzca a sustituir simplemente Ja palabra «conjunto» por cxpr<.'·
sione-s sinónimas: cúmulo, colección de el emento~. etc.
El cont-epto' de· conjunto desempefla en las Matemáticas mo·
dcrnas un papel de extraordinaria importancia no sülo porque la
propia teoría de conjunt0-~ ha pasado a ser en la actualidad una
disciplina sumamente vasta y enjundiosa. sino, principalmente,
en virtud de la influencia que la teoría de conjuntos. nacida a
fines del siglo pasado, ha ejercido y ejerce sobre todas las Ma·
temátícas. Vamos a enunciar aquí las notaciones fundamentales
y a exponer tirevemente los conceptos primarios de la teoría de
conjuntos que serán utilizados en tos capít-ulos sucesivos.
Designaremos los conjuntos con letras mayúsculas A, 8, ...
y sus elementos con minúsculas a, ú, .. . L11 afirmación de que
«el elemento a pertenece al conjunto A» se denota simbólica·
mente así: aEA o bien A~a; aEA (o bien A~a)significaqut>
el elemento a no pertenece a /\. Si lodos los elementos que com·
ponen el conjunto A pertenece11 también al conjunto B (con la
particularidad de que el caso A= B no está excluido), decimos
que A t'S subconjurito de l conjunto 8 y escribimos A e B. Por
eíemplo, los números enteros forman un subconjunto tlel conjunto
de lodos los números reales.
A veces no sabemos de anl~mano :;i un conju11lo tpor ejemplo,
t>l ninjunto de hi!>. r11íccs de una c-cuación) conlienl' o no por lo
H
CAP. l. E LE"\~ NTOS DE LA TEOl{I A Ulo GO NJUNTOS
e,
menos un elemento. De ahí, la conveniencia de introducir
llamado conjunto vacío, es decir, el conjunto que no contiene 'n:
un elemento. Lo designaremos con el símbolo 0. Cualquier con.
junto contiene 0 como subconjunto.
2°. Operaciones sobre conjuntos. Sean A y B conjuntos arbitrarios; se llama suma o unión A U B de estos conjuntos al conjunto compuesto de todos Jos elementos pertenecientes por Jo
menos a uno de los conjuntos A ó B (fig. 1).
De manera análoga se define la suma de cu a 1quier número
(finito o infinito) de conjuntos: si A. son conjuntos arbi trarios,
es la colección de elementos, cada uno de los
su suma
UA.
a
cua les pertenece por lo menos a uno de los conjuntos A •.
A
ll
C•AnB
FIG. 1
FIG. 2
Llamaremos intersección A íl B de los conjuntos A y /3 al
conjunto compuesto por todos los elementos pertenecientes tanto
al conjunto A como al conjunto B (fig. 2). Por ejemplo, la
intersección del conjunto dl' todos los números pares y del
conjunto de todos los números divisibles por tres está compuesta
por todos los números enteros divisibles por seis. La intersección
de un número cu a lquiera (finito o infinito) de conjuntos A.
es la colección
ílA.
de elementos pertenecientes a cada uno de
A •."
los conjuntos
Por su propia definición las operaciones de suma e intersección son conmutativas y asociativas, es decir, A U B =BU A,
(A u B) u
A u (Bu C). A n B = B ()A, (A() 8)
A() (8 n C).
Además, verifican las siguientes relaciones distributivas:
(AUB)nC=(AílC)U(BnC),
( 1)
(A n B)U C= (A u C) n (Bu C).
(2)
e=
()e=
En efecto, comprobemos, por ejemplo, la primera de e~\as
igualdades"· Supongamos que el elemento x pertenece al con·
§ 1. CONCEPTO DE CONJUNTO. OPERACIONES SOl\RI! CONJ UNTOS
15
junto que figura en la parle izquierda de la igualdad (1):
xE(AUB)nC. Esto significa que X pertenece a e y, además,
por lo menos a uno de los conjuntos A 6 B. Pero entonces x
pertene.ce siquiera a uno de los conjuntos A n C o B n·C, es
decir, figura en la parte derecha de la igualdad considerada.
Viceversa, supongamos quex E (A íl C) U(B íl C). Entonces, x E A íl C
o bien X E B n e' Por consiguiente, X E e y' además, X figura en
A o en 8, es decir, x E A UB. De manera que x E (A U B) ne.
y ta igualdad (l) queda demQstrada. Análogamente se verifica
la igualdad (2).
o
A
8
C=Adfi
FIG. 3
FIG. 4
Definamos la operación de resta de conjuntos. Llamaremos
diferencia A"'-B de los conjuntos A y B a la colección de aquellos
elementos de A que no pertenecen a B (fig. 3). Señalemos que
aquí no se supone que A ::>B. A veces en lugar de A"'-B se
escribe A-8. En algunos casos (por ejemplo, en la teoría de
la me di da) conviene in lroducir la llamada diferencia simétrica de
dos conjuntos A y B que se define como la suma de las difcr('n·
das A"'-B y B"'-A (fig. 4). Denotaremos la diferencia simétrica
de los conjuntos A y B con el símbolo A6 B. De manera que
según la definición,
EJERCICIO. Demostrar que
AAB =(A UB) "- (Aíl8).
En lo sucesivo deberemos consíderar con frecuencia distintos
conjuntos, que todos son subconjuntos de un conjunto principal S,
por ejemplo, diferentes conjuntos de puntos sobre la recta nu·
11 La igualdad de dos conjuntos A= B se entiende como una igualdad
idéntica, es deci r, significa q ue cada elemento de A pertenec~ a B y vice·
versa . En otras palabras, Ja igual dad A= 8 equivale a que se verifie<1 n
ambas inclusiones: A e B y B :::>A .
mérica. En este caso, para tocio conjunto A la diferencia S "'- A
se llama complemento del conjunto A y se denota frecuentemente
mediante CA o bien A'.
En la teoría de los conjuntos y sus aplicaciones desempeña
un papel muy importante el llamado p r in c i pi o de d u a 1 i·
d ad, que se basa en las dos siguientes relaciones:
l. El complemento de la suma es igual a la intersección de
los
complementos
s"'- LJA. = íl (S"'.A.).
a
(3)
<:<
2. El complemento de la intersección es igual a Ja suma de
los complementos
(4)
El principio de dualidad consiste en que de cualquier teorema
referente a un sistema de subconjuntos de un conjunto iíjo S se
puede deducir de manera automática otro teorema," el
teorema dual, sustituyendo los conjuntos considerados por sus
complementos, Ja suma de conjuntos, por su intersección y Ja
intersección, por la suma. Un ejemplo de la aplicación de este
principio nos lo da el teorema 3' del § 2 del capítulo II.
Demostremos la relación (3).
Supongamos que xE s"UA•. Esto significa que X no perlr-
UA.,,
nece a la unión
a
es decir, no figura en ninguno de los
et.
conjuntos A.. Por consiguiente, x aparece en cada uno de los
complementos S" A" y por eso
gamos que
X
En(S"'.A.),
X
En(S"'.A,).
Viceversa, supon-
0.
es decir, que X pertenece a cada S"'. A. ;
<:J.
entonces, x no figura en ninguno de los conjuntos A., es decir,
y por eso x E S"'- LJ A,. La igualno pertenece a la suma
UA.,
u
"
dad (3) queda demostrada. De manera análoga se demuestra la
r.elación (4). (Realícese la demostración).
0
La expresión c dHerencia simétrica• que se emplea para la operac ión
A l;B no es del todo acertada; esta operación es, en muchos aspectos , ~ná­
lpga " la suma de conjuntos A UB. En efecto, A UB significa que U'!imos
dos afirmaciones con el ~o• alternalioo: •el elemento pertenece al conj unto A•
o ·~l elemento per tenece a l conjunto B», m ientras que A6B significa que
unimos !11s mismas atirmaciones con ·el co> no alternatl~'O: el el~men1 C1 x
§ ~- EQUIVALENC.:I,\ l>E CONJUNTOS
17
pcrten~e a AóB si, y sólo si. ligura o bi~n solamel\/e e11 el conjunto A
o bien solamente en el conjunto 8 . El conjunto AóB podría llamarse csumn
módulo dos• de los conjuntos A y 8 (se toma la unión de estos dos con juntos pero los elementos que figuran en ambos se excluyen).
§ 2. EQU IVALENCIA DE CONJUNTOS.
CONCEPTO DE POTENCIA DE UN CONJUNTO
t•. Conjuntos finitos e infinitos. Al considerar diferentes
conjuntos observamos que para algunos de ellos es posible señalar-aunque sea de una manera general y no de hecho - la ~an·
tidad de elementos que los componen. De este tipo es, por
ejemplo, el conjunto de lodos los vértices de un polie.iJro, el
conjunto de todos los números primos inferiores a un n.úmero
dado, el conjunto de todas las moléculas de agua en la Ti'erra,
etc. Cada uno de estos conjuntos contiene un número finito, que
posiblemente desconocemos, de elementos. Por otra parle, existen
conjuntos compuestos por un número infinito de elementos. De
este tipo son, por ejemplo, el conjunto de todos los números
naturales, el conjunto de lodos los puntos de una recta, el conjunto de todos los círculos del plano, el conjunto de todos los
polinomios de coeficientes racionales, etc. Vale subrayar que al
decir que uno u otro conjunto es infinito entendemos que se
puede escoger de él un e lemento, dos elementos, etc., y despué.~
de cada una de estas operaciones en e l conjunto quedarán aún
otros e lementos.
Dos conjuntos finitos los podemos comparar por el número
de elementos que los componen y decidir si este número es el
mismo o si uno de los conjuntos posee más e lementos que otro.
¿Es posible comparar de manera análoga los conjuntos infinitos?
En otras palabras, ¿tiene sentido preguntar qué hay más: círculos
sobre el plano o puntos racionales sobre la recta. funciones defi ·
nidas sobre el segmento [O, 11 o rectas en el espacio, etc.?
Veamos cómo comparamos entre sí dos conjuntos finitos.
Podemos proceder de dos maneras: en primer lugar, podemos
contar el número de elementos de cada uno de estos conjuntos
y comparar así ambos conjuntos. Pero podernos actuar de modo
cii~tlnto, tratando de establecer una correspondencia biw1ívoca
entre los elementos de estos conjuntos, t!s decir, una correspondencia que asigne a cada elemento de un conjunto un
elemento, y sólo uno, del otro y viceversa. Está claro que una
correspondencia biunívoca entre dos conjuntos finitos se puede
establecer si, y sólo si, el número de elementos en ambos
conjuntos es el mismo. Por ejemplo, para ver si coinciden el
número de alumnos en el grupo y la cantidad de sillas en e l
aula, podemos, sin cont ar el número de alumnos y de sillas.
18
CAP. l. i;L F.MENTOS OE LA TE OR IJ\ 0 1! CON .11,;NTOS
senlar a cada alumno en una silla determinada. Si hay l~gar
para todos y no queda ningún asiento sobrante, es decir, s1 se
establece una correspondencia biunívoca entre estos dos conjuntos,
ello significará que tienen el mismo número de elementos.
Señalernes ahora que el i;rimer camino (calculando el número
de elc.>mentos) es válido sólo si se comparan conjuntos fin itos.
mientras que el segundo (estableciendo una correspondencia l>i unívoca) se puede aplicar también a conjuntos infinitos.
2°. Conjuntos numerables. El conjunto infinito más elemental
es el conjunto de los números naturales. Llamaremos conjunto
11umerable a todo conjunto cuyos elementos se puedan poner en
correspondencia biunívoca con todos los números naturales. En
otras palabras , un conjunto numerable es un conjunto cuyos
<>lementos se pueden colocar en .una sucesión infinita: a 1 • a., .. .
. . . , a,,, . .. Veamos algunos ejemplos de con juntos numerables.
1. E l conjunto de todos los números enteros. Establezcamos
la correspondencia entre todos números enteros y todos los números naturales según el esquema siguiente:
o
-1 1 -2 2 ...
J
2 3
4 5 ...
En general, pongamos en correspondencia a cada número no negativo n~O e l número impar 2n + 1 y a cada número negativo
n < 0 el número par 2l nl:
n ~ 2n + I, cuando n ~ O,
11-21 nJ, cuando n < O.
2. El conjunlo de todos los números pares positivos. La correspondencia es evidente: n+-+2n.
~. El conjunto 2, 4, 8 • .. . , 2", . . . de potencias de dos.
Aquí .la correspondencia es también evidente. A cada número
2~ se pone en correspondencia el número n.
4. Consideremos un ejemplo más complejo demostrando que
el c9njunto ·de todos los números racionales es numerable. Cada
númeró racional se puede escribir. de manera única, en forma
de una frace'ión irreducible a = !!..
, q >. O. Llamemos altura del
q
número racional a a la sµma IP l+ q. Está claro que el número
de fracciones de altura dada 11 es finito. Por ejemplo, Ja altura 1
la tiene sólo el número =0, la a ltura 2 la tienen sólo los
números
2' ,
¡-
2
f
T
1
y -; , la altura 3. la tienen sólo los números
T,
- , e t c. eo 1oquemos a hora t odos los numeros
·
·
Y T
raciona1
S ?. EQUIVALENCIA
DE CONJUNTOS
19
les según su altura, es decir, primero los números de altura I,
después los de al tura 2, etc. Cada número racional tendrá entonces
su número, es decir, quedará establecida una correspondencia
biunívoca entre todos los números naturales y todos los números
racionales.
Un conjunto infinito que no sea numerable se llama conjunto
110 numerable. Demostremos algunas propiedades generales de con·
juntos numerables.
I. Todo subconjunto de w1 conjwúo numerable es finito o nu·
merable.
DEMOSTRAc roN. Sea A un conjunto numerable y B un subconjunto suyo. Numeremos todos los elementos del conjunto A ; a 1 ,
ªn• . . . Sean a., a. , . .. aquellos elementos que figuran
en B. Si entre los números' nl' 11,, . . . existe el máximo, B es
finito; en el caso contrario B es numerable.
2. La suma de cualquier conju11/o finito o r1u111erable de conjun·
tos 11umerables es también un conjunto numerable.
ª•· ... ,
DEMOSTR,\CION. Sean A,, A,, ... conjuntos numerables. Podemos
suponer que son disjuntos (sin elementos comunes) dos a dos, ya
que, de lo contrario, considerariamos en su lugar los conjuntos
A,, A,'\,,..4 1 , A3 '\,,.(A,UA 1 ), . . . que son a lo sumo numerables
y que tienen la misma suma que los conjuntos A,. A,, .. . Todos
los elementos de los conjuntos A,, A., ... pueden escribirse en
forma de la siguiente tabla infinita:
ªu
a,, a..
a,,
a,,
Die
ª"
º••
a..
a,,
ª3•
ª•3
O:u
a..
ª~·
ª··
en cuya primera fila aparecen los elementos del conjunto A ,.
en la segunda fila, los elementos del conjunto A 2 , ele. Numeremos ahora todos estos elementos desplazándonos cen diagonaleS»,
es decir, tomando por primero el elemento a 11 ; por segundo, el
e lemento au; por tercero, el elemento aw etc., siguiendo el sen·
!ido que inc1ican las fl echas del siguiente cuadro:
ªu - au au-au
I"
,/
ª"¡
a.,
ª:• ,/ª•3
I"
a., a,.
,/
a..
a., a.,
,/
ª:•
ªu
ª"
20
C:M>. l . ELEMENTOS
DE
LA TEOR IA Dli CONJUNTOS
Está claro que cada elemento de cada conjunt-0 recibirá entonces un número determinado, es decir, quedará establecida una
correspondencia biunívoca entre todos los elementos de todos los
conjuntos A" A,, ... y lodos los números naturales. Nuestra
afirmación resulta demostrada.
Demostrnr que rl conjunto de todos los pol inomios cull
rncionates es num•ru ble.
2. El númtro s.. denoinln~ algebruico si es rail . d1< un polinomio con
cuc!icient•s rncinn11les. Demostrar q ue el conjunt o d., lodos los números
nlgcbr:oicos es numerable.
3. l..ll•moslrnr que el conju1110 de todos los intervalos racio11n les (•s dl-<:ir.
intorvalos con exlrt>n10s r:icinnnlcs) sobre la rect a es nuinernble
4. Demostrar que el conjunto de todos los puntos del rinno que ticne11
1:001·dennd11s reales E>S nnmernbl e.
St1Reu11cin. Empl~•se In pro¡>ledad 2.
l!J llR CICIOS 1.
coc!ici~nl•s
s
:t Todo co11ju11/o inf inilo contie11e un subconjunto numerable.
oeMosr11Ac10 N. Sea M un conjunto infinitio. Tomemos en él un
elenwnto cualquiera a 1 • Por ser M un conjunto infinito encontraremo.~ en él un elemento a~ distinto de a,, después el elemento a,
d istinto de a, y ª~· cte. umtinuando este proceso (que no podrá
interrumpirse por «falla» de elementos ya que M es infinito)
obtendrenfos un sub<:onjunto numerable·
A = (a, , a,, .. . , a,,, .. . }
d<'l conju nto M. Hemos demostrado la afirmación.
Esll' resultado señala que los conjuntos numerables son los
«más pequeñoS> dit los conjuntos infinitos. El problema sobre la
existencia de conjun tos infinitos no numerables será considerado
más adela nte.
3°. Equivalencia de conj untos. Buscando una correspondencia
biunívoca eqtre unos u otros conjuntos infinitos y los números
nahjra\és; hemos llegado al concepto de conjunto numerable.
Está clar·o que de manera análoga pueden . cómpararse los
conjunlQS no sólo con el conjunto de números naturales; este
procedimiento permite comparar entre sí dos conjuntos cualesquiera. Introduzcamos Ja siguiente definición.
DEF1N1c10N. Dos conjuntos M y N se llaman equivalentes (lo que
se denota mediante M ,..., N) si entre sus elementos se puede
establecer una correspondencia biunívoca.
El concepto de equivalencia puede aplicarse a cualesquiera conjuntos tanto finitos como inlinitos. Dos conjuntos finitos son equi·
va lentes entre si si (y sólo si) tienen el mismo número de e lementos.
El conjunto numerable se puede ahora definir del sigu iente modo:
§ 2. 1>QUIVAl.EKClA l)f CONJliKTOS
21
un con¡un:ta, se llama numerable si es eq11ival.ente al con¡unto de
los nútneros -naturales.
Está daro. que dos· conjuntos. equivalentes cada uno a un
tercer· conjunto, .son equivalentes entre sí; én particular, todos
los coµjuntos numerables son equivalentes entre sí.
Ejemplos. 1. Los conjuntos de puntos de dos cualesquiera
segmentos [a, b) y [e, d] son equivalentes entre sí. En la fig: 5
se seña,la. cóñ10 se puede establecer una correspondencia biunívoca
entre ellos: los puntos p y q· corr.esponden uno ,lll otro si se
hallan sobre un mismo radio que parte del punto O donde se
cruzan las rectas ac y bd.
2. El conjunto de-. todos los puntos del plano complejo .es
equivalente al conjunto d<"' todos los puntos sobre una esfera.
o
FICi. 5
FIG. ti
La correspondencia biunívoca o: - z puede establecerse, por ejemplo, mediante la proyección estereográfica (fig. 6).
3. El conjunto de todos los números del intervalo (O, 1) es
equivalente al conjunto de todos los puntos de la recta. l.u
correspondencia se puede establecer, por ejemp lo, mediante la
función
Al considerar los ejemplos de este punto y del punto 2° po·
demos observar que, a veres, un conjunto infinito puede resultar
equivalente a una parte propia. Por ejemplo, resulta haber «tan·
tos• números naturales como números enteros o incluso racionales;
el intervalo (O, 1) tiene «tantOS» puntos como los tiene la recta,
ele. Esta situación es característica para todos los conjuntos
infinitos. En efecto, en el punto 2° (propiedad 3) hemos demostrado que de todo conjunto · infinito M se puede elegir un
subconjunto numerable; supongamos que ésle sea el conjunto
A={a 1, a'lt . . . , ªn• ... ~ .
Dividamos A en dos subconjuntos nurnerab1es
A 1 = {a,. a,,"• ... } y A.= {a •• a,, a,, ... f.
22
C,\P. l. El.E.'l!;NTOS DE LA TEORIA DE CONJUNTOS
Entre los conjuntos numerables A y A, se puede establecer una
correspondencia biunívoca que se puede extender luego hasta una
correspondencia biunívoca entre Jos conjuntos A U (M"'-.A) = M
y A 1 U (M "'-.A) = M "-. A, refiriendo a cada elemento de M "'-. A
ese mismo elemento. El conjunto M"'-.A, es un subconjunto propio
del conjunto M. Llegamos de esta forma a la siguiente propo·
sición:
Todo con¡u11to i11finito es equivalente a u11 subconjunto propio.
Esta propiedad se puede tomar como Ja definición de un
conjunto infinito.
EJERCICIO. Demostrar que si eudo M un conjunto infinito arbitrario y A
numerabl e. result a M-A UA.
4°. Innumerabilidad del conjunto de los números reales. En
el punto 2° hemos visto varios ejemplos de conjuntos numerables.
La ca ntidad de estos ejemplos se puede ampliar considerable·
mente. Además, hemos demostrado que tomando la suma finita
o numerable de conjuntos numerables obtendremos de nuevo
conjuntos numer ables. Surge naturalmente la pregunta ¿existen
conjuntos infinitos no numerables? La respuesta afirmativa la da
el siguiente teorema .
TEOREMA 1. El conjunto de números reales comprendidos entre el
r cero !! la unidad es innumerable.
Supongamas que existe una lista (de todos o una
parte) de Jos números rea les cr., pertenecientes al segmento (O, l ]:
DEMOSTRAc 10N.
ce, = O, a 11a."a 13
• • • a,,, . .. ,
~z = O, ªi1ª~:!ª2:l · · · ª~" · · ·,
a3 =O, as,ªs•ª33 · · · a~,, · · ·,
a~~ o: a~ 1~,,.~n3°
• : •
~"~
• •• • :
·¡
(1)
1
. . . . . . . . . .J
Aqu í a1" es Ja k-ésima cifra decima l del número a¡. Considere111os la fracción
~ = O, b,b., ... bn • · •
construida del siguiente modo: b, es una cifra arb itraria distinta
de a 11 ; bz es una c ifra arbitraria distinta de aw etc., en general,
b" es una cifra arbitraria distinta de
Esta fracción decima l
no puede coim:idir con ninguna de las que figuran en la lista (l).
En efecto, la fracción ~ se di stingue de la fracción et, al menos
a,,,,.
S 2. 1'.Qt.! lVAL E'KCI A DE CON JU NTOS
23
por su primera cifra; de la segunda fracción, por su segunda
cifra, etc.; en general. puesto que b" =F ª"" para todo n, la frac·
ción . ~ se distingue de cualquiera de las fracciones a; que figuran
en la lista (1). Luego, ninguna lista de números reales pertenecientes al segmento (O, l.] puede consumirlo.
La demostración expuesta necesita una pequeña precisión
puesto que algunos números ( concretamente los números de la
forma: ~9 ) pueden tener dos representaciones decimales: bien con
1
un número infinito de ceros o bien con un número ínfinito de
nueves; por ejemplo:
1
5
2=10=0,5000 ... = 0,4999 .. .
Por consiguiente, el hecho de que dos fracciones decimales
no coincidan no significa todavía que re presentan números dis·
tintos.·
Sin embargo, si la fracción ~ se construye de manera que no
contenga ni ceros ni nueves, (tomando, por ejemplo, b,. = 2, si
a,.n= 1, y b,.= J, si a,,,.=F 1) esta objeción quedará superada.
E J ERCICIO. DemostrM que los núm~ros que t ienen dos d istint as re presentacione$ decimales forman un tonjunto numerable.
De manera que el segmento (O, 1J ofrece un ejemplo de un
conjunto infinito no numerable. Veamos algunos ejemplos de
conjuntos equivalentes al conjunto form ado por los puntos del
segmento [O, 1J.
1. El conjunto de todos los puntos pertenecientes a un segniento [a, b] o intervalo (a, b) cualquiera.
2. EL conjunto de todos los puntos de la recta.
3. Los conjuntos de todos los puntos del plano, del espacio,
de Ja superficie de una esfera, de los puntos que se encuentran
dentro de una esfera, etc.
4. El conjunto de todas las rectas del plano.
5. El conjunto de todas las funciones continuas de una o varias
variables.
En los casos 1 y 2 la demostración no ofrece dificultades
(véanse los ejemplos 1 y 3 del punto 3°). En los demás caso:;
la demostración directa no es tan sencilla.
EJERCICIO. Demostrar. aprovecha ndo
ejercicio 2 del punto 2°, la existencia
de niímeros no a Jgebraic.os.
los resultados de este punto y del
números trascmdentcs. es decir.
d~
24
C:,\I>. l . ELEMEN TOS O E l
~ TEOI~ I A
DE CONJ UN TOS
5°. Concepto de potencia de un conjunto. Si dos conjuntos
son equivalentes, tienen el mismo número de elementos.
Cuando dos conjuntos equivalentes entre si M y N son ar b it r arios se dice que M y N tienen la misma potencia. Así pues,
la potencia es aquello co rn ú n que tienen todos los conjuntos
equivalentes entre sí. En el caso de conjuntos finitos el concepto
de potencia coincide con el concepto habitual del número de
elementos del conjunto. La potencia del conjunto de los números
natura les (es decir, de cualquier con junto numerable) se denota
mediante el símbolo H~ (se lee "alef cero"). Los conjuntos equivalen tes
al conjunto de todos los números naturales comprendidos entre O y
J se dice que tienen potencia de co11tinuo. Esta potencia se denota
mediante el símbolo e (o el símbolo H).
En las observaciones que concluyen este capitulo tocamos el
problem<t, muy profundo, de la existencia de potenci<1s intermedias entre H, y c. Como regla gener<1I, los conjuntos infinitos
que se emplean en el análisis son numerables o tienen potencia
de continuo. En el caso de las potencias de conjuntos fi nitos. es
deci r, en el caso de los números naturales, tenemos, además del
concepto de igualdad, los conceptos de «J'TláAA y «menOS». Veamos
cómo pueden extenderse estos últimos al caso de potencias in-
r in i tos
finita~.
Sean A y 8 dos conjuntos arbítrarios y /11 (A) y m (8) sus
potencias. Si A es equivalente a B, m (A) = m (8) por defin ición.
Sí A es equi va lente a una parle de l conjunto B y A rto contiene
ninguna parte equivalente a 8 , se acepta, naturalmente, que
m (A) es menor que m(B), es decir, m (B) es mayor que m (A).
Sin embargo, existen. lógica mente, o tras dos posibilidades, además de las mencionadas:
<1) 8 contiene una parte equivalente a A y A contiene una
parte equivalente a 8.
b) A y 8 no son equivalen tes y ninguno posee una parte
equivalente al otro.
Del teorema de Cantor~ Bernstein, que se expone en e l
siguiente punto, se desprende que en e l caso a) los conjuntos A
y B son equivalentes, es decir tienen potencias iguales. En cuanto al caso b), que equivaldría a la existencia de potencias
incomparables, resulta que no puede realizarse. Esto se deduce
del teorema d<i Zermelo que e nunciamos en e l § 4.
De lo anterior resulta (si aceptamos sin demostración los
teoremas de Cantor - Bernstein y de Zermelo) que dos .conjuntos
ar bíirarios A y 8 o bien tienen la mism.a potencia o bien veri·
íican una de las re laciones
m ( A ),,. m (8) o m CA) > m (8).
§ 2. CONCEPTO UE
l'OTENCI.~
·OE UN CON.llJNTO
25
Hemos señalado más arriba que los conjuntos numerables son
los •más pequeñoS» entre los conjuntos infinitos y hemos demostrado luego que existen conjuntos infinitos de potencia superior:
los conjlUllOS de potencia de continuo. ¿Existen potencias infinitas superiores a la potencia de continuo? En general, ¿existe
o no una potencia cmáxima»? R,esulta que tiene lugar el siguiente
teorema:
rrroREMA 2. Sea M un conjunto cualquiera y \).R el conjunto for~
mado por todos los subconjuntos del c01i¡unto M. Entonces. la
1 potencia de \Dl es superior a la potencia del conjunto inicial M .
DEMOST~Ac1oc-:. Es fácil ver que la potencia m del conjunto ~l nó
puede ser inferior a la potencia m del conjunto inicial M; en
efecto, los subconjun tos de M formados por un solo elemento
representan en rol un subconjunto equivalente al conjunto M.
Basta demostrar que las potencias m y m no coinciden. Supongamos que entre los e lementos a, b, . . . del conjunto M y algunos elementos A. B, ... del conjlUlto 9.lt (es decir, algunos
subconjuntos de M) se ha logrado establecer una correspondencia
biunívoca:
a-A. b +-+B, .. .
Demostremos que esta correspondencia no puede consumir todos
Jos subconjuntos del conjunto M, es decir, todos los elementos
del conjunto IDt Sea X la colección de elementos de M que no
pertenecen a los subconjuntos que les corresponden . .Más detalladamente: si a H A y a E A, el elemento a no se incluye en X,
pero si aH A y aE A, el elemento a se incluye en X. Es eviden te que X representa un subconjunto de M, es decir, un elementp de llJt Demostremos que al subconjunto X no le puede
corresponder n ingún elemento de M. Supongamos que tal elemento
x+-+ X existe y veamos si pertenece o no al subc.onjunto X.
Aceptemos que x E X; por definición, en X figura lodo elemento
que no pertenece al subconjunto que le corresponde y, por lo
tanto, x debe ser incluido en X. Viceversa, si se acepta que el
elemento ;.:; pertenece a X, deduciremos que x no puede figurar
en X. ya que éste contiene sólo los elementos que no aparecen
en los subconjuntos que les corresponden. De manera que e l elemento x correspondiente al subconjunto X debe simultáneamente
pertenecer y no pertenecer a X. De aquí se desprende que tal
elemento no existe, es decir, que no se puede establecer una
correspondencia biunívoca entre los elementos de l conjunto M y
todos sus subconjuntos. E l teorema queda demostrado.
26
<;,\P. l. El.EMENTOS DE LA TEORI A l>U CONJU NTOS
De este modo, para cualquier potencia podemos construir
efectivamente un conjunto de potencia superior, después otro de
potencia aún mayor, etc., obteniendo así una escala de potencias no acotada superiormente.
EJERCICIO. Demostrar que la total idad de las !unciones n uméricas (o , en
general de funciones que toman valores en un conjunto compuesto por lo
menos de dos <:lementos) definidos sobre un conjunto M tiene un a potenc ia
superior a la de M .
S"gerencia. Aprovéchese que e l conjunto de todas las funciones carac·
!erísticas sobre M (es decir, de funciones que sólo loman valores O y 1) es
equiva lente al conjunto lormado por todos los st1bconjuntos de M.
6°. Teorema de Cantor·Bernstein. Demostraremos ahora el
siguiente teorema importante al que nos hemos referido ya en
el punto anterior.
Sean A !J B dos conjuntos arbi·
trarios. Si en A existe un subconj1t11to A, equivalente a B y en
TEORE.,IA 1ct\NT OR - BERNST.OIN) .
B wi subconjunto B, equivalente a A, los conjuntos A y B son
1 equivalentes.
DE~1osrnActoN . Sea f la aplicación biyecliva 11 de A en B , y sea
g Ja aplicación biyectiva de B en A,. es decir,
f(A)=B,c.B, g (B) = A 1 cA.
Entonces, gf (A)=g(f(A))~g(B,) es un conjunto, que denotaremos con A 2 , contenido en A, y equivalente al conjunto A.
De manera análoga f g (8) = f (g (8)) = f (A,)= B, es un conjunto
contenido en 8 1 y equivalente a B. Sea ahora A, aquel subcon·
junto de A en el que se transforma el conjunto A, mediante la
aplicación gf y sea A. aquel conjunto en el que se transforma At
mediante la misma aplicación gf. En general, sea Ak+• aquel
con'junto en el que se transforma el conjunto Ak mediante la
aplica·ción gf (k = 1, 2, ... ). Está claro que
A::> A 1 ::>A,::> . . . ::>Al<::> Ak'. , ::> . . .
Si ponemos
..
D= U Ak,
k;I
podremos representar A media nte la siguiente suma de conjuntos
disjuntos dos a dos:
A=(A"-..A1 )U(A,"-..A,)U(A 2"-..A,)U .. . U(Ak"-..At+1)U . • . uD.
H A veces se emplea el término •aplicación biunivoca•. (N. del T .)
~ 2. TEOREMA DE CANTOR -
!lERNSTE I N
27
De un modo análogo el con junto A1 se puede representar en la
forma:
Evidentemente, estas dos fórmulas pueden escribirse así:
A =D U [(A1 "-A,) U (A,"-A,) U . .. ) U
U[(A"-A 1 )U(A 1 '-.A.)u • . • J, (2)
A,= D U [(A 1"-A.) U (A 1 '-.A,) U .. . ) U
U [(A,'-.A,) U (A,"-A 6 ) U ...
J. (3)
Observemos ahora que el conjunto A"-A 1 es equivalente al conjunto A,"-A• (ya que el primero se transforma en el segundo
A
B
FIG. i
mediante la aplicación gf); del mismo modo A,"-A• es equivalente
a A,"- A•, etc. Por eso, los conjuntos que figuran en las segundas
lineas de las fórmu las (2) y (3) son equivalentes. En cuanto
a las primeras líneas de estas fórmu las, son sencillamente idénticas. De aquí se desprende que entre los elementos de los conjuntos A y A1 se puede establecer una correspondencia biunívoca.
Pero A 1 es equivalente a B por hipótesis. De manera que A es
equivalente a B. El teorema queda demostrado.
Podemos incluso «permitirnos el lujo» (aunque no hay necesidad de ello) de escribir explícitamente la correspondencia biu nívoca <p que transforma A en B. Es la siguiente:
qi (a)=
(fig. 1)
g - 1 (a), si a E D U (A 1"-A:) U (A 3 "-A,) U .•.
{ f(a), si a E(A ·", Ai)u(A,'-.A,)u ...
28
( \I' l. F.ll: MENTOS l>E L .\ 'l'F.Okl,\ LlE CONJU NTO:>
§ :l. AP LICACIONES. PARTICIÓN EN .CL,~.si::s.
1°. Aplicaciones de conjuntos. Concepto general de función.
En el Análisis el concepto <!e íunc-ión se introtluce del s¡guienlc
modo. Sea X un conjunto sobre la recia nwnérica. Se dice que
sobre eslc conjunto está de í i n id a una función f :;i a cada
elemento x E X se le ha puesto en correspondencia un número
deforminado y= f (x). El conjunlo X se denomina ¡m .es.te caso
campo de de{ icinwn de esta fun~ión y el conjunto Y formado por
lodos 'JoS valores que toma esta función, campo de ualores de la misma.
Si en vez de conjuntos numéricos consideramos conjuntos de
naturaleza arbitraria, llegaremos al concepto más general de
función: sean M y N dos conjuntos arbitrarios. Se dice que está
definida sobre M una función f con valores en N si a cada
elemento x E M se le pone en correspondencia un elemento,
y sólo uno, !J de N. En el caso de conjuntos de naturaleza
arbit raria (y a vet-es también en el caso de conjuntos numéricos)
en lugar del té.rmino ..función,. SI! usa «aplicación» y se habla
de la aplicación de un conjunto en otro 11 •
Si a es un elemento de M, el elemento b= f (a) de N que le
corresponde se denomina imagen del elemento a (para Ja aplica·
ción 1). La colección de todos los elementos de M que tienen
por imagen el elemento b EN se denomina imagen recíproca 2'
(en términos más precisos, imagen reciproca completa) del elemento
b y se denota mediante f- •(ti).
Sea A un conjunto de M; la totalidad {/(a): a E A f de
lodos Jos elementos del tipo f (a), donde a E A, se denomina
imagen de A y se desig)'la f (A). Para lodo conjunto B de N se
(>Uede, a su vez, definir la imagen recíproca f-' (B); a saber:
¡-•.(B) es la totalidad de todos aquellos eleml!ntos de M . ('.Uyas
ima'ger:ies pertenecen a B. Puede ocurrir que ningún elemento b
de B tiene imagen reciproca y en este caso ía imagen reciproca
completa 1-• (B) será el conjunto vacío.
Aquí nos limilart!mos a exponer las propiedades más generales
de las aplicaciones.
Convendremos en emplt:ar Ja siguiente terminologfa. Diremos
que f es una aplicació'n del ironjunto M «sobre» el conjunto N,
si /(M) = N; en el caso general, es decir, cuando /(M) c N, se
dice que f es una aplicación de M " en'• N.
Señalemos las propiedades principales de las aplicacion~.
11 Oc hecho hemos lropewdo ya anleriormtnte 1:on el concepto de ap licaciones de conjunlos (por ejt111plo. al introducir el cnncep lo de equivalencia de conjuntos, al demostrar el teorema de C:iinlor- Bernstein, etc.).
•> En algunos libros de texto se emple:1 el término e preimagen •
(Noto del T.)
~
3 . 1\1'1.lCACIONES. l'ARTI CIC)N l'N CJ,,\SES
29
La ir11agen recíproca de la unión de dos co11¡u11tos
"S igual a la 'unión de sus imáge11es reciprocas:
¡-•(A U B)=f- •.tA) ut-• (8).
TEORE. MA 1.
DitMOSTRAc10N. Supongamos que el elemento x pertenece at con¡unto
U B). Ello sighifica que f(x).E A U 8, o sea, f.(x) E A o
bien f(x)E8. En este caso x debe pertenecer al menos .a uno
de lo$ dos cooju 0 tos f- 1 <AJ y ¡-·1 (B), es decir, xE f' ' (A) U 1.-~(B).
Vice\/ersa, si xEf- 1 (A)u - 1 (8), entonces x p,ertenece al menos
a uno de Jos conjuntos ¡- 1 (A) ·y f-'(8), es decir, f (x) figura
al IJlenos en uno de los conjuntos. A y 8; en· otras pe.Jabras,
f lx) E A 11 8 y, por lo tanto, xEf- 1. (A U 8).
TEOR1'111.A 2. La imagen reciproca de la i11lersección de dps coníunlos es igual a la intersección de sus inuigenes reciprocas:·
_f-• (A n BJ= 1- · (Al nt-• (8).
¡-~(A
JJEMOSTl~Ac10N. Si x E f-• (A íl 8), debe ser f (x) E A n 8, o sea,
n")EA y /(x)EB, y, por lo tanto¡ xEf- •(A) y xE/- 1 (8), es
decir, xEf- 1 (A)n/ - • (B). ·
B). es decir, x E ¡- 1 (A) y
Viceversa, si x E 1- 1 (A) n
x E1- •·(B), entonces, f (x) E A y f (x) E B, en otras palabras,
f(x)EAn8). Por lo tanto, xEf- 1 (A()8).
Los teoremas l y 2 se verifican tambié11 en el caso de la
unión o intersección <le un número arbitrario (finito o infinito) de
conjuntos.
TF.o~i:MA :1. La imagen de la unión de dos con.juntos es igual
a la unión de sus imágenes.:
r-' (
f (A lJ B) = f (A) Uf (8).
01:MoSTRAc10N· Si yEf(AUB), esto significa que !J=f (x), donde
x pertenece al menos a uno -de 100· c-onjuntos A y B. Por con·
siguiente, y= f (x) E f (A) Uf (8). Viceversa, si y E f (A) Uf (B),
entonces, y= f (x), donde x pertenece al menos a uno de los
conjuntos A y 8, esdecir,xE A U8 y,porlotanlo,y = f(x)E/(A U B).
Vale subrayar que la imagen de la i11tersección de dos con·
juntos 110 coincide, en general, con la intersección de sus imágenes.
Supongamos, por ejempló, que la aplicación considerada representa
la proyección del plano sobre el eje x. En este caso los segmentos
O~x ~ l.
O~x~l,
y=O,
y=I
no se intersecan y, sin embargo, sus imágenes coinciden.
30
CAP. 1 ELEMENTOS DE LA TEORIA DE CONJUNTOS
2°. Partición en clases. Relación de equivalencia. En diferentes
cuestiones tropezamos con la partición de unos u otros conjuntos
en subconjuntos disjuntos dos a dos. Por ejemplo, se puede partir el plano (considerado como un conjunto de puntos) en rectas
paralelas al eje x; podemos imaginarnos el espacio de tres dimensiones como un conjunto de esferas concéntricas de distintos
radios; se puede dividir a los habitantes de una ciudad determinada en grupos según el año de nacimiento, etc.
Cada vez que un conjunto M se representa, de uno u otro
modo, como la unión de subconjuntos disjuntos dos a dos, hablamos de la partición del conjunto M en clases.
Comúnmente nos encontramos con particiones realizadas de
acuerdo con uno u otro criterio, según el cual se unen en clases
Jos e lementos del conjunto M. Por ejemplo, la totalidad de los
triángulos del plano se puede partir en clases de tr iángulos iguales o
en clases de triángu los de Ja misma área; todas las íunciones de
x pueden partirse en clases agrupando en una misma clase todas
las funciones que tienen el mismo valor en el punto dado x, etc.
Los criterios, según los cuales se real iza la partición en clas~s
de Jos elementos de uno u otro conjunto, pueden ser muy diversos. Sin embargo, no son del todo arbitrarios. Supongamos,
por ejemplo, que queremos partir en clases todos Jos números
reales, incluyendo el número b en Ja misma clase que el número
n si, y sólo si, b >a. Está claro que de esta forma no podremos obtener ninguna partición de los números reales en clases,
ya que si b >a, es decir, si el elemento b debe ser incluido en
la misma clase que a, entonces, a < IJ, es decir, el número a
no se puede incluir en la misma clase que el número b. Además,
como a no es mayor <le sí mismo, ¡a no debe figurar en la clase
con sí mismo! Otro ejemplo. Veamos si se puede partir en clases
los puntos del plano incluyendo dos puntos en una mis.m a clase
si, y sólo si, la distancia entre ellos es menor de 1. Está claro
que ·es imposible realizar esta partición, puesto que si la distan·
cia entre a y b y entre b y e es inferior a 1, ello no s ignifica,
de ningún modo, que Ja distancia de a a c es menor de 1. Por
eso, al incluir a en la misma clase con b y ben la misma clase
con c, resultará que en una misma clase pueden apareeer dos
puntos, Ja distancia entre los cuales es mayor a 1.
L,os ejemplos dados sugieren las condiciones que aseguran
que uno u otro criterio permite verdaderamente realizar la partición de los elementos de un conjunto en clases.
Sea M un conjunto y sean «marcados » algunos de los pares
(a, b} de elementos de este conjunto"· Si (a, b) es un par
u Con la particularidad de que los elementos a y b se toman en un
orden determinado, es dedr. (a, ~) y (b, a) son, en general , pares distintos.
$ 3. /\PLICAC10NES. PART ICION 1;N CLASHS
31
«marcado», diremos que el elemento a eslá ligado al elemento
b por la relación q>, Jo que denotaremos con el símbolo aib· Por
ejemplo, si se trata de la partición de los triángulos en clases
de triángulos de Ja misma área, a~b significa que «el triángu lo
a tiene la misma área que el triángulo b ». Una relación <p
se llama relación de eqaivale11cia si, por sus propiedades, es:
1) re{ lexiva: a~a para todo elemento a E M;
2) simétrica: si a;¡b, entonces bq;a;
3} transitíua: si a;¡b y bic, entonces a-e.
Éstas condiciones son necesarias y suficientes para que la
relación qi (¡el criterio!) permita partir en clases. el conjunto ·M·
En efecto, toda partición de un conjunto en cla5es determina
una relación .de equivalencia entre sus elementos: si aq;b sighi·
fica que «a se encuentra en la misma clase que b», es fáci l
probar que la relación <p será reflexiva, simétrica y transitiva.
Viceversa, si q> es una relación de equivalencia en tre los elemen·
tos del conjunto M. siempre obtendremos una partición de este
conjunto en clases incluyendo en una misma clase aquellos
elementos de M, y sólo aquellos, que son equivalentes.
Efectivamente, sea K. 0 la clase de elementos de M equivalentes
a un elemento fijado a. De la propiedad reflexiva se desprende
que el propio elemento a pertenece a la clase K •. Probemos
ahora que dos clases K. y Kb o bien coinciden o bien no tienen
elementos comunes. Supongamos que existe un elemento e que
per tenece simultáneamente a K. y Kb• es decir, c;¡,a y c;¡b.
Entonces aq;c, debido a la propiedad simétrica, y
a;¡ b
{!)
debido a la propiedad transitiva.
Si .~ es ahora un elemento arbitrario <le K 0 , es decir, x.;a,
de ( l) y de la propiedad transitiva se sigue que x.p b, es decir,
xEKb·
De la misma forma se demuestra que lodo elemenlo y E K.b
figura en K•. Por consiguiente, dos clases K.. y K.b que tienen
al menos un elemento común coinciden. De manera que a partir
de Ja relación de equivalencia dada hemos obtenido efectiva·
mente una partición del conjunto M en clases.
El concepto de partición de un conjunto en clases está
estrechamente vinculado al concepto <le aplicación considerado
en el pun to anterior.
Sea f una aplicación del conjunto A en el conjunto B. Si
unimos en una misma clase todos aquellos elementos de A cuyas
imágenes en B coinciden, obtendremos evidentemente una partición del conjunto A. Viceversa, consideremos un conjunto arb itrario ,4 y alguna partición de este conjunto en clases. Sea B
32
C:Al'. 1 El.F."1ENTOS O& LA TEOl?IA t>E CON.JLINTOS
la totalidad de clases en las que se ha partido el conjunto A.
Si a cada elemento a E A ponemos en correspondencia aquella
clase (es decir, aquel elemento de B) a la que a pertenece.
obtendremos una aplicación del conjunto A sobre el conjunto B.
Ejemplos. 1. Consideremos Ja proyección del plano xy sobrt.'
t•I eje x. Las imágenes recíprocas de los puntos del eje x son
las rectas verticales. Por consiguiente, a esta aplicacion le co·
rresponde la partición del plano en rt.>etas paralelas.
2. Dividamos todos los puntos del espacio de tres di mensio·
nes en clases incluyendo en una misma clase los puntos equidis·
ta ntes del origen de coordenadas. De este modo, cada clase
representa una esfera de un radio determinado. La totalídad de
estas clases puede identificarse con el conjunto de todos los
puntos pertenecientes al rayo [O, oo). Por lo tanto, a la partí·
ciún del espacio tridimensional en esicras concéntricas le corres·
ponde la aplicación de este espacio sobre una semirrecta.
3. Agrupemos en una misma clase todos los números reales
que tienen la misma parte fraccionaria. La aplicación que
corresponde a esta partición representa la aplicación de la recta
:.obre la circunferencia de longitud unidad.
El concepto de equivalencia es un caso particular del concepto más general de relación biriaria que se define del siguiente
modo. Sea M un conjunto arbitrario. Designemos mediante M '
el conjunto de todos los pares ordenados (a, 11), clonde a, b E M .
Se dice que en M se líene una relación binaria q:i, si en M' S('
e500ge un subconjunto R- arbitrario. Más exactamente, diremos
que el elemento a está en relación <p con el elemento b, y es·
cribiremos mpb, si, y ~lo si, (a, b) pertenece a R~. Un ejemplo
de relación binaria es la relación de identidad E consistente en
que aEb si, y sólo si, a = b; en otras pa labras, ésta es la rela·
ción determinada por el subconjunto de pares de tipo (a, a).
Está claro que toda relación de equivalencia <p en un conjunto M
es una relación binaria; pero no es arbitraria sino que verifica
las siguientes condiciones:
1) Todo par de tipo (a, a). donde a E M, pertenece a R.
(condición reflexiva).
2) Si (a, b) E R? y (b, e) E R. , entonces también (n, e) E R.
(condición transitiva).
·
3) Si (a, b) E R., entonces también (b, a) E R. (condición
simétrica).
De manera que la relación de equivalencia es una relación
binaria que cumple las condiciones refle xiva, transitiva y simé·
!rica. En el párrafo siguiente estudiaremos otro caso particular
importante de relación binaria. la orrienacióo parcial.
S 4. CONJ UNTOS OR DENA DOS. NUMEROS Tl'lANSfl NITOS
33
§ 4. CONJ UNTOS ORDENADOS. NÚMEROS TRANSFINITOS
En este párrafo exponemos varios conceptos relacionados con
la idea de ordenación de los elementos de los conjuntos, llmi·
tándonos a dar las nociones elementales; una exposición más
detallada se puede encontrar en la bibliografía que señaiamo~
al final del libro.
1°. Conjuntos parcialmente ordenados. Sea M un conjun"to"
arbitrario y q> una relación binaria en él. Se diae. que -ella es
una relación de orden parcial si verifica la propiedad reflexiya.
[(a, a) E R9 ], la propiedad transitiva [si (a, b E R., y . (b, e) E R.
entonces (a, e) E .R,.J y la siguiente condición conocida como
propiedad antisimétrica: si acpb y bcpa, entonces a= b. El orden
parcial se denota generalmente por medio del símbolo ~. De
manera que a~b significa que el par (a, b) pertenece al conjunto R., correspondiente. Entonces se dice que el elemento a
no supera a b o bien que está contenido en b. Un conjunto
en el que está dado un orden parcial se dice parcialmente
ordenado.
Veamos ejemplo de conjuntos parcialmente ordenados.
l. Todo conjunto puede considerarse, de un modo trivial,
como un conjunto parcialmente ordenado aceptando que a ~b
si, y sólo si, a =b. En otras palabras, el orden parcial puede
determinarse en cualquier conjunto mediante la relación binaria
de identidad E. Este ejemplo no es, por supuesto, de gran
interés.
2. Sea M el conjunto de todas las !unciones continuas sobre
e l segmento [a, p]. Obtendremos evidentemente un orden par·
cial aceptando que f~g si, y sólo si, f(t) ~g(t) para todo t,
a~t~~·
3. El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto
dado resulta parcialmente ordenado si ML ~ M, significa que
M, e M 2 •
4. El conjunto de todos los números naturales resulta par·
cialmente ordenado si a~b significa «b es divisible por a».
Sea M un conjunto arbitrarlo parcialmente ordenado. En el
ci.so de que a~ /J y a =t= b emplearemos el símbolo <, es decir,
escribiremos a< b, y diremos que a es menor que b o bien a
está rontenido estrictamente en b. A veces en lugar de a~ b
emplearemos la denotación equivalente b ;;.a y diremos en este
caso que b es no menor que a (o mayor que a, si b =t= a) o bien
que b sigue a a. El elemento a de un conjunto parcialmente
ordenado se denomina maximal si de a~ b se deduce que b =a.
El elemento a se llama minimal si de c~a se sigue que
C=a.
2
.\·~ 2 150
34
CAi' . l. ELEME NTOS Ot: LA Tt;OR I ,\ DE CONJl: NTOS
Un conjunto parc inlm enle ordenado se llam a dirig i do si parn cu~les­
quiera dos de sus puntos a y b ex isle un tercer punto e que los sigue
(a c;; c, b < c).
2º. Aplicaciones que conservan el orden. Sean M y M' dos
conjuntos parcialmente ordenados y f una aplicación biunívoca
de M sobre M' . Diremos que esta aplicación conserva el orden,
si de a ;;;;;;, b, donde a, bEM . se deduce que f(a) "' f(b) (en M').
La aplicación f se llama isomorfismo de los conjuntos parcialmente ordenados M y M' si f (a):;;;;;;, f (b) se cumple cuando, y sólo
cuando, a "'b. Los propios conjuntos M y M' se denominan en
este caso isomorfos.
Sea, por ejemplo, M el conjunto de los números naturales
con el orden parcial señalado en el ejemplo 4 del punto l y sea
M ' el mismo conjunto, pero ordenado del modo natural , es
decir, de manera que b >a si b-a es un número positivo.
Entonces, la aplicación de M sobre M', que a cada número 11
le pone en correspondencia ese mismo número, conserva el orden
(pero no representa un isomorfismo).
La propia relación de isomorfismo entre conjuntos parcialmente ordenados es, evidentemente, una relación de equivalencia (ya que es simétrica, transitiva y reflexiva). Por lo tanto,
si tenemos una colección de conjuntos parcialme nte ordenados,
todos los conjuntos de esta colección 11 pueden dividirse en clase:;
de conjuntos isomorfos. Cuando lo que nos interesa no es la
naturaleza de los elementos de los conjuntos, sino sólo el onlen
parcial que en ellos existe, se puede, claro está, considerar como
idénticos dos conjuntos parcialmente ordenados isomorfos.
3°. Conjuntos ordenados. Tipos ordinales. Puede suce der que
siendo a y b elementos de un conjunto parcialme nte ordenado
no se cumpla ninguna de las relaciones a :s:;;; b y b:;;;;;;, a. En este
caso se dice que los elementos a y b son incomparables. De manera que la relación de orden resu lta definida sólo para al gunos
pares de elementos y por eso hab lamos del orden parcial. En
cambio, si el conjunto parcialmente ordenado M no posee elementos incomparables, decimos que M es un co11junto ordenado
(linealmente ordenado, total~rzte ordenado). Es decir, M es un
conjunto ordenado, si está parcialmente orden ado y si para
cualesquiera dos elementos distintos a, bE M se tiene obligator iamente que o bien a< b o bien b <a.
Los conjuntos considerados en los ejemplos 1, 2, 3 y 4 de l
11 Nos abstenemos de emplear CClnceptos como ctodos los con juntos
parcialmente ordenados• porque son, al igual que el concepto del •conjun to
de todos los conjuntos>, internamente contradictorios por su esencia y no
pueden incluirse en concepciones matemiticas rigurosas.
S 4. CONJUNTOS ORDENADOS. NUMEROS TRANSfINITOS
31\
primer punto son conjuntos parcialmente ordenados pero no ordenados. Ejemplos elementales de conjuntos ordenados son los
números naturales, el conjunto de todos los números radonales,
el conjunto de todos los números reales del segmento (6, 1),
etc. (con las relaciones naturales de «mayor» y «menor» que existen en estos conjuntos).
Está claro que cualquier subconjunto de un conjunto ordenado
tambien está ordenado.
El orden es un caso particular del orden parcial y por eso
a los conjuntos ordenados se puede aplicar el concepto de apli·
cación que conserva el orden y, en particular, el concepto de
isomorfismo.
Se dice que unos conjuntos tienen el mismo tipo ordincil si
son ordenados e isomorfos. De manera que el tipo ordinal es
lo común que tienen todos los conjuntos ordenados isomorfos,
de la misma forma que la potencia es lo común que tienen todos los conjuntos equivalentes (considerados independientemente
de cualquier relación de orden que pueda existir en ellos).
La serie de números naturales 1, 2, 3, . . . con la relación
nalural de orden entre sus elementos es el ejemplo más elemental de conjunto ordenado. Su tipo ordinal se acostumbra a denotar con el símbolo © .
Dos conjuntos ordenados isomorfos tienen, por supuesto, la
misma potencia (ya que el isomorfismo es una correspondencia
biu.níuoca) y por eso se puede hablar de la potencia que responde
al tipo ordinal dado (por ejemplo, al tipo © le corresponde la
potencia H 0 ). La afirmación recíproca, sin embargo, no es cierta:
un conjunto de una potencia dada puede ser ordenado, en general, de diferentes modos. Sólo en el caso de conjuntos finitos
el tipo ordinal queda determinado unívocamente por el número
n de sus elementos (y se denola también mediante 11). Pero ya
en el conjunto numerable de los números na turales es posible,
además de su tipo «natural» ú>, considerar, por ejemplo, el siguiente tipo:
l, 3, 5, ' . .• 2, 4, 6, . . ''
cuando cualquier número par sigue a cualquier impar y los números pares e impares se ordenan entre sí por su magnitud. Se
puede probar que a la potencia N0 le corresponde una cantidad
infi nita, e incluso innumerable, de diferentes tipos ordinales.
4º. Suma ordenada de conjuntos ordenados. Sean M, y M,
dos conjuntos ordenados y 01 y 02 sus tipos ordinales, respecti vamente. En la unión M 1 U M, de los conjuntos M 1 y M, se
pLJede introducir un orden aceptando que cada par de elementos
de NI, está ord enado igua l que en M,. que cada par de elemen2•
JG
CAP. l. ELEJ\ll;NT OS OE LA TEOR IA DE CONJ UNTOS
los di! M. tiene el mismo orden que en M, y que cualquier
elemento de M 1 precede a cualquier elemento de M,. (¡Compruébese que así queda efectivamente establecido un orden!) El conjunto ordenado obtenido de esta forma lo llamaremos suma orde11ada de los son juntos M 1 y M 1 y lo designaremos M, M , .
Subrayemos que es importante el orden de los sumandos: la
suma M,+M, no es isomorfa, en general, a la suma M, + M,.
Se dice que el tipo ordinal de la suma M, + M, es la suma
ordenada de los tipos ordinales 01 y e, y se denota median te
+
0,+o•.
Esta definición se puede fácilmente extender al caso de un
número finito arbitrario de sumandos 01 , 0,, ... , Om.
Ejemplo. Consideremos los tipos ordinales <v y n. Es fácil
ver que r1 + <t> = <t>; en efecto, si a la serie de los números naturales l, 2, 3, ... , k, ... agregamos a su izquierda un número
finito de elementos, obtendremos el mismo tipo ordinal <1>. Sin
embargo, el tipo ordinal c.i>+n, es decir, el tipo ordinal del
conjunto
1, 2, 3, . . . , k, ... ' ª1• a,, . . . an,
no es, evidentemente, igual a u>.
5°. Conjuntos bien ordenados. Números transfinltos. Hemos
introducido anteriormente Jos conceptos de orden parcial y de
orden. Ahora introduciremos un concepto más restringido, pero
muy Importante, el concepto de buen orden.
01F1N1c 10:-i. Se dice que un conjunto ordenado está bien orde1uulo
si cualquiera de sus subconjuntos no vacíos tiene un elemento
mínimo (es decir, un elemento que precede a todos los del subconjunto).
Si un conjunto ordenado es finito, obviamente, está bien
ordenado. Un ejemplo de un conjunto ordenado, pero no bien
ordenado, nos ofrece la totalidad de los números racionales del
segmento [O, 1). Este conjunto, en sí, tiene un elemento mínimo,
el número O, pero el subconjunto suyo formado por Jos números
racionales positivos no liene elemento mínimo.
Está cJaro que todo subconjunto (no vacío) de un conjunto
bien ordenado está bien ordenado.
El tipo ordinal de un conjunto bien ordenado se llama número ordinal (número ordinal transfinito o más brevemen te
trarisf {nito ordinal, particularmente si se quiere subrayar que se
trata de un conjunto infinito).
La serie de los oú meros naturales (con la relación de orden
corriente) representa no sólo un conjunto ordenado sino bien
ordenado. De manera que su tipo ordinal <t> es número ordinal
§ 4. CONJ UNTOS ORDENADOS. NUMEROS TRANSFIN ITOS
37
(¡lransfinito!). También lo es w+k, es decir. el tipo del conjunto
1, 2, ... , n, ... , a., a:, . . ., ª1:·
Al contrario. el conjunto
. .. , -n, . . . , -3, -2, - 1
(1)
está ordenado. pero no está bien ordenado. Aqui todo subconjunto no vacío tiene un elemento máximo (es decir, un elemento
que sigue a todos) pero no tíene, en general, un elemento mínimo (por ejemplo, el conjunto (1). en sí, no lo tiene). El tipo
or dinal (¡que no es un número ordinal!) del conjunto (1) sµele
denotarse mediante el slmbolo úl " .
Demostremos la siguiente proposiicón, simple pero importante..
La suma ordenada de un número finito de confu11tos
bien ordenados es un. con;unto bien ordenado.
En efecto, sea M un subconjunto arbitrario de la suma or·
LEMA 1.
1
denada M 1 + M. + ... + Mn de conjuntos bien ordenados; con·
sideremos e 1 primer o de los conjuntos Mk que contienle
elementos de M. La parle del conjunto M que figura en M..,
representa un subconjunto del conjunto bien ordenado M.- y.
por lo tanto, tiene el primer elemento. Este será también el
primer elemento de M.
La suma ordenada de númerQs ordinales es un número ordinal.
COROLA R IO.
Podemos, entonces, a partir de ciertos números ordinales cons·
lruir números ordinales nuevos. Por ejemplo, partiendo de los
números naturales (es decir, de los números ordinales finitos)
y del número ordinal w, se pueden obtener los números ordinales
ro +11. w+ ro, ro+w+n, c..l+<»+w, etc.
El lector podrá construir sin dificultad los conjuntos bien
ordenados correspondientes a estos translinitos ordinales.
Además de Ja suma ordenada de tipos ordinales se puede introd ucir el
producto ordenado. Se~n M 1 y M, dos conjuntos ordenados según los t ipos
y 91 • Tomemos varios ejemplares del conjunto M1 , uno por cada ele·
mento de M,, y sustituyamos los elementos de M, por estos ejemplal'l!s
de M1 • El conjunto obtenido de este modo se llama producto ordenado de
M1 y M, y se denota med iante M 1 ·M 3 • Desde el punto de vista formal el
conjunt o M 1 ·M, se compone de los pares (a. b), donde a E M) y b E M,.
aceptándose que (a, , bi.) < (a,, .bJ siempre que b1 < b: (cualesquiera que
seno a1 , a.) y (a1 , b) < (a., b) si a1 < a,.
De un modo análogo se define el producto ordenado de un número !ínito
arbitrario de factores M, · M, · ... ·M p. El tipo ordinal O del producto M,.M,
de conjuntos ordenados se llama producto de los tipos ordinales 0 1 y 01 :
01
0=0,·6,.
El produclo ordenado,
¡i )
igual que la suma ordenada, ao es conmutativo.
38
CAP. l. El.EME:-ITOS DE ,_,, TEORI•\
oe
CONJUNTOS
Et producto dt coniunf{)S bitfl otdtnados ts un conjunto bíen
ordtnado.
Sea M un subconjunto cual quiera del prod ucto M, . Mt; el coniunto M
l.EMA 2.
es!A compue_,lo por pares (o, b). Consideremos los segundos elementos b de
lodos los pares que figuran en M. Ellos lorman un subconjunto de M~.
Puesto que M , está bien ordenado, este subconjunto tiene el primer elemento. Oenot~moslo mediante b1 y consideremos todos los pares de .M del
tipo (a, ~). Los primeros elementos a de estos pares forman un subconjunto
en M,. Puesto que M1 está bien ordenado, entre ellos existe el primer
elemento. Sea éste a,. Es fácil ver que el pnr (a 1• b1) será entonces el pr i·
mer elemento de M.
COROLA IHO.
ordinal.
E l pr()(Íucfo ordenado de números ordinales es un número
Ejemplos. &> w fácilmente que ll!+ro = (1)·2, 6> + e~+ ro = ro·3. Es fácil
también construir los conjuntos ordenados según los tipos 6>·n, 002 , (!)~·n,
(!)5 , .... wl' • •.. Todos eslos conjuntos tienen potencia numerable.
Se puede introducir, asl mismo, otras operaciones con los tipos ordina·
les como, por ejemplo, Is potencia y considerar rntonces números ord inales
como. por ejemplo, lilº , (!)'°"', ele.
6°. Comparación de números ordinales. Si n, y n, son dos
níimeros ordinales finitos, o bien coinciden o bien uno es mayor
que otro. Veamos cómo se puede extender esta relación de orden
a los números ordinales transfinitos.
Con este fin introduciremos los siguientes conceptos. Todo
elemento a de un conjunto bien ordenado M determina el segme11lo i11t:cial P = (la totalidad de elementos <a) y el resto Q =
=(la totalidad de elementos ;:;::. a).
Sean a y p dos números ordinales y M y N dos conjuntos
de tipo a y p, respectivamente. Diremos que a=~ si los con·
juntos M y N son isomorfos, que a < ~ si M es isomorfo a
algún segmento inicial de N y que a>(\ si, al contrario, N es
isomorfo a un segmento inicial de M.
TEOREMA. Dos números ordi11ales a y ~ arbitrarios verifican
una, y sólo una, de las relaciones:
a=~. a < ~ o bien a > ~Para demoslras esta proposición estable~remos, ante todo, el
siguiente lema.
-1
LEMA. Si f es una '.aplicación isomorfa 'de un conjunto bien
ordenado A sobre algú11 subcot1jw1to suyo B, e11tonces f (a);:;::. a
para iodo aEA.
En efecto, si existen elementos a E A tales que f (a)< a, entre
ellos podremos encontrar el primero (¡tenemos buen orden!). Sea
éste a, y sea b0 = f (a 0 ). Entonces, b0 < a 0 y, por ser f un isomorfismo, f (b0 ) < / (a 0) = b, es dedr, ª• no sería el primero de
IC's elementos con esta propiedad.
~
i. CON J t:NTOS ORDENADOS. NUMEROS TRANSflNITOS
39
De este lema se deduce inmediatamente que W1 conjunto bien
ordenado no puede ser isomorfo a un segmento suyo, ya que si· A
fuese isomorfo al segmento determinado por el elemento a, tendríamos que i (a) <a. En otras palabras, las relaciones
a=~
y
a<~
no pueden tener lugar simultáneamente. Del "mismo modo flO
puede ser a la vez a= ~ y a > ~· Por otro lado, tampoco pue·
den verificarse simultáneamente las relaciones
:a<~ y a>~.
ya que si esto fuese así, tendríamos (¡por la propiedad transi·
ti va!) que a< a lo que, como hemos visto, es imposible. HemüS
demostrado de esta forma que si se verifica una de las relaciones
a~ (!.as otras dos no se cumplen. Probemos ahora que una de
estas relaciones siempre tiene lugar, es decir, que cualesquiera
dos números ordinales son comparables.
Consideremos para cada número ordinal a el conjunto W (a)
de los números ordinales <a. Los números que figuran en W (a)
son comparables y el propio conjunto W (ex) (ordenado según la
magnitud de los números ordinales) es de tipo a. En efecto, si
el conjunto
[A= {. . . • a, .. . , b, ... }
es de~tipo o:, los números ordinales inferiores a a corresponden
biunívocamente, por definición, a los segmentos iniciales del con·
junto A y, por consiguiente, a los elementos de este conjunto.
En otras palabras, los elementos de un conjunto de tipo ci. pueden
ser numerados mediante los números ordinales inferiores a a.:
A= (ao, ª1• .. . • ªp• . . . ).
Sean ahora ci. y~ dos números ord inales; entonces, A= W (a)
'f 8 = \\'! (~) son conjuntos de tipo o. y 13, respectivamente. Sea,
además, C =A íl B Ja intersección de los conjuntos A y B, es
decir, la totalidad de números ordinales inferiores simultáneamente
a a. y ~· El conjunto C está bien ordenado; sea y su tipo.
Demostremos que y~ a. En efecto, si C =A, entonces y= a;
si C -=fo A tendremos que C es un segmento del conjunto A y por
eso
T<
CI.
Efectivamente, para todos los ~E C, TI E A"-.C los números ~ y 11
son comparables, es decir, s :.?;:11. Pero es imposible que sea
Y\< t <a, ya que en este caso tendríamos t 1E C. Por lo tanto,
40
CAP. l. ELEME NTOS OE LA TEORIA
oe
CO NJUNTOS
< 1), lo cual significa que C es un segmento del conjunto A y
que y< a. Además, 1' es el primer elemento del conjunto A"-.C.
De manera que
y ~o: y, análogamente, ¡• ~ (3.
t
Ahora bien, no puede ocurrir que y <a y y <'P, y¡¡ que en
esle caso tendríamos que
YE A"-.C, y E B"-.C,
es decir, por una parte, VEe y, por otra, 1' E A() B = c. Por
consiguiente, sólo pueden darse los siguientes casos
v=a, v=l3. a=fi,
v= a, v<f:I, o: < ~.
y<a, v=P. a>l3.
es decir, a y j:I son comparables. El 1eorcma queda demostrado.
Puesto que a cada número ordinal íe corresponde una potencia
determinada y puesto que la comparabilidad de Jos números or·
dinales implica, obviamente, la comparabilidad de las potencias
correspondientes, llegamos al siguiente resultado:
Si A y B son dos conjuntos bien ordenados, entonces, o bien
equivalentes (tienen la misma potencia) o bien la potencia de
ww es mayor que la potencia del otro (en otras palabras, los con-
SOlt
juntos bien ordenados no pueden tener potencias incomparables).
Consideremos la totalidad de todos los números ordinales
correspondientes a la potencia finita o numerable. E llos forman
un conjunto bien ordenado. Es fácil ver que este conjunto es,
en si, no numerable. En efecto denotemos, según se acostumbra
comúnmente, mediante (J) 1 e l tipo ordinal del conjunto de todos
los transfinitos numerables. Si Ja potencia correspondiente a este
tipo fuese numerable, también sería numerable el conjunto de
tipo ordinal Cil1 +l. Pero es obvio que el número <i> 1 sigue a iodos
los transfinilos correspondientes a Ja potencia finita o numerable.
Designemos mediante H 1 la potencia correspondiente al transfinito ordinal w,. Es fácil ver que no puede existir ni una potencia m que verifique Ja desigualdad
Ho < m< H1·
Verdaderamente, si hubiese tal m, en el conjunto W (w,) de todos
los transfinitos ordinales precedentes a w, tendría que existir un
subconjunto de potencia m. E ste subconjunto estaría bien ordenado y sería no numerable. Pero entonces su tipo ordinal a
tendría que preceder a w, y, al mismo tiempo, seguir a todos
Jos transfinitos numerables. Esto contradecería a Ja definición
de w,.
f 4. CONJUNTOS ORDENADOS. NUMEROS TRA NSFINITOS
41
7°. Axioma de elección, teorema -de Zennelo y otras proposiciones equivalentes a ellos. El hecho de que las potencias de dos
cualesquiera conjuntos bien ordenados son obligatoriamente comparables sugiere el siguiente planteamiento: ¿es posible establecer
de alguna manera un buen orden en un conjunto cualquiera? Esto
permitirla afirmar que no existen potencias incomparables. Una
respuesta positiva a este problema fue dada por ZermeJo quien
demostró que todo conjunto puede ser biert ordenado. Con est~
teorema está vinculada una serie de problemas profundos y de
principio. Esto se debe a que su demostración (que no Ja daI;emos
aqui) se basa, de un modo esencial, en el llamado axíoma de
elección. que consiste en lo siguiente:
,
Si tenemos un conjunto cualquiera M, existe una función w
que pone en correspondencia a todo subconjunto no vacío A c:M
un elemento determinado 1p(A) de este subconjunto.
Uno de los problemas más complejos y discutidos que surgen
al fundamentar la teoría de Jos conjuntos es la legalidad de
aplicar este axioma a conjuntos arbitrarios en los razonamientos
que se hacen. No tenemos posibilidad de enlrar aquí en su discusión. Observaremos, sin embargo, que la renuncia al axioma
de elección restringe, de manera muy esencial, la posibilidad de
diferentes construcciones en la teoría de los conjuntos.
Enunciemos algunas proposiciones, cada una de ellas equivalente al axioma de elección (es del'lir, cualquiera de ellas puede
ser demostrada si se acepta el axioma de elección y, viceversa,
el axioma de elección puede ser demostrado si se toma por verdadera alguna de estas proposiciones). Es obvio, ante todo, que
una de estas proposiciones es el propio teorema de Zermelo. En
efecto, si suponemos que el conjunto M esta bien ordenado, es
suficiente para construir la función ip (A), cuya existencia se afirma en el axioma de elección, tomar el primer elemento en cada
subconjunto A e: M.
Antes de énunciar !As demás proposiciones equivalentes al
axioma de· elección i1itroduciremos los siguientes conceptos. Sea
M un conjunto parcialmente ordenado. Todo subconjunto suyo A
cuyos dos elementos cualesquiera son comparables (en el sentido
del orden parcial existente en· M) se llama cadell/J. Una cadena
se llama maximal si no forma parle propia de ninguna otra cadena perteneciente a /\1. finalmente, diremos que el elemento a
del conjunto parcialmente ordenado M es una cota superior del
subconjunto M' cM si cualquier elemento a' E M' es menor que a.
TEOREMA DE HA HS DORPF.
Toda cadena de
un. confurtio
parcial-
mente ortfenado está contenida en alguna de las cade11as maxi1 males de este c1mjunfo.
42
CAP. l. E LEME NTOS DE LA TEOl<IA DE CONJUNTOS
El siguiente teorema es, posiblemente, la forma más conveniente de las proposiciones equivalentes al axioma de elección.
T EOR.C~\A DE ZORN.
Si toda cadena de un con/u11lo parcialmente
ordenado M admite u11a cola superior, lodo elemento de M pre1 cede a w~ elemento maximal.
No reproduciremos aquí la demostración de la equivalencia
de todas estas proposiciones (el axioma de elección, el teorema
de Zermelo, el teorema de Hausdoríf y el teorema de Zorn).
S! el conjunto de las cotas superiores del subconjunto A tiene elemento
mínimo a, se dice que a es la cota superior mínima del subconjunto A; d~
un modo nn:ílogo se define l a cola inferior máxima, Un conjunto parcinlmente ordenado se llama retlculo o estructura si todo subconjunto finito no
vacfo de él admite cota superior mínima y cota Inferior mb 1ma.
8°. Inducción transfinlta. Un método ampliamente extendido
de demostración de unas u otras proposiciones es el método de
inducción matemática. Como se sabe, consiste en lo siguiente.
Supongamos que se tiene una proposición P (r1) que se enuncia
para cada número natural 11 y supongamos que:
1) La proposición P(l) es cierta.
2) Bajo la hipótesis de la validez de P (k) para lodo k ~JI,
se deduce que P (n + 1) es cierta.
Entonces, la proposición P (11) es válida para todos los 11 = 1,
2, ... , n, .... En efecto, en el caso contrario podríamos encontrar
entre aquellos n para los cuales P (n) no es cierta el número
minimo, digamos, 111 • Es obvio que 11, > l, es decir, 11 1 -1 es
también un número natural, y esto contradice a la condición 2).
Se puede emplear un mélodo análogo sustituyendo la serie
de los números naturales por un conjunto bien ordenado cualquiera. En este caso de habla de la í11áucci6n transfinita. De
manera que el método de inducción transfinila consiste en lo
siguiente. Sea A un conjunto bien ordenado (se puede considerar,
si se quiere, que es el conjunto de todos los translinitos ordinales
inferiores a uno dado) y sea P (a) una proposición que se enuncia
pa.ra todo a E A y tal que P (a) es de.ria para el primer elemento
de A y es cierta para a si es válida para todos los elementos
precedentes al elemento a. Entonces, P (a) es cierta para todo
a E A. Efectivamente, si en A existiesen elementos para los cuales
P (a) no se cumple, podríamos encontrar en el conjunto formado
por ellos el primer elemento, digamos a•, y obtendríamos una
contradicción ya que para todos los elementos a< a• la proposición P (a) sería cierta.
La inducción transfinita puede, en principio, aplicarse a un
conjunto cualquiera, ya que éste puede ser bien ordenado de
acuerdo c:on el teorema de Zermelo. Sin embargo, en la prácti<: ~
§S. SISTEMAS DE
CONJUNTOS
43
conviene más, casi siempre, sustituirlo por el teorema de Zorn,
donde sólo se necesita la existencia de un orden parcial .en el
conjunto considerado.
§ 5. SISTEMAS DE CONJUNTOS ' '
1°. Anillo de conjuntos. Se llama sistema de con¡untos a todo
conjunto cuyos elementos son, en sí, ciertos conjuntos. Si no .se
especifica lo contrario, estudiaremos sistemas cuyos. elemehlos
son cada uno un subconjunto de cierto conjunto fijado X. benó!
taremos los sistemas de conjuntos con letras gót\cas ' mayúséülas.
Serán de interés principal para nosotros aquellos sistell,laS ae
conjuntos que resultan cerrados respecto a las opéraciones introducidas en el § 1.
DEF1N1c10N 1. Un sistema no vacío de conjuntos ffl se llama anillo
si de A E iR y B E»'! se deduce A6. B E R y A íl BE ill
Puesto que para cualesquiera dos conjuntos A y B
A U B=(A6,B) 6,(A ílB)
y
A"B= Aó (A ílB),
resulta que Si A Effi y BE
también pertenecen a ffi los conjuntos A UB y A"B. Consecuentemente, _un anillo de conjuntos
es un sistema de conjuntos invariante respecto a las operaciones
de unión e intersección y de resta y diferencia simétrica. Es obvio
que todo anillo es, además, invariante respecto a la operación
de toda unión o intersección finitas, es decir, respecto a las ope·
raciones del tipo
rn
n
C= U Ak.[ D=
Ak.
m.
k~1 .
n
k=•
Todo anillo contiene el conjunto vacío 0 ya que siempre
A" A = 0. El sistema que consta sólo del conjunto vacío rcpre·
scnta el menor anillo de conjuntos posible.
Un conjunto E se llama unidad del sistema de conjuntos e
si pertenece a S y si, además, para todo A E 10 se verifica la
igualdad
1> Los conceptos que se inlroduccn en este párra[o serán empicados en
el capitulo VI al eJ<poner la teoría general de la medid a . Por e so este párrafo
puede ser estud iado más lnrde. Aquell os lectores que picnsn11. al estudiar la
teoría de la medida , li mi tarse sólo a la med ida sobre el plono (§ 1 del ca·
pil ulo VI) pueden omiti rlo completamente.
44
C AP. l. EL E MIJNTOS DE LA T EORIA DE CON J U NTOS
AnE=A.
De manera que la unidad de un sistema de conjuntos $ no
es otra cosa que el conjunto maximal de este sistema que contiene todos los demás conjuntos que figuran en €5.
Un anillo de conjuntos provisto de la unidad se denomina
álgebra de conjuntos..
Ejemplos. l. Cualquiera que sea el conjunto A, el sistema
illl (A) de todos subcon juntos suyos representa un álgebra de
conjuntos siendo la unidad el conjunto E = A.
2. Cualquiera que sea el conjunto no vacío A, el sistema
( 0, A} formado por el conjunto A y e l conjunto vacío 0 representa un álgebra de conjuntos siendo la unidad e 1conjun to E= A .
3. El sistema de t odos los subconjuntos finitos de un conjunto
arbitrario A es un anillo de conjuntos. Este anillo representará
un álgebra si, y sólo si, el propio conjunto A es finito .
4. El sistema de todos los subconjuntos acotados de la recta
númerica es un anillo de conjuntos sin unidad.
Directamente de la definición de un anillo de conjuntos se
desprende el teorema siguiente :
Tl'.OREMA 1. La intersección 9'1= U 9'1', de cm conjunto cualquiera
1 de anillos es también un anillo~
Demostremos un resultado simple pero de importancia para
lo sucesivo.
TEOREMA 2 . Cualquiera que sea el sistema no vacío de con¡untos <e
existe un anillo y sólo uno , lR (@'>) que contiene ® y está con1 tenido en cualquier anillo m que cóntiene ¡(;,
oEMosrRAc10N. Es fácil ver que e l anillo ffi (e) se determina
unívocamente por el sistema @: . Para demostrar la existencia
de este ¡millo; consideremos la unión X =
de todos los
UA
A E®
conjuntos A que figuran en ~ y el anillo \lJl (X) de todos los
subconjuntos del conjunto X. Sea ~ Ja totalidad de los anillos
de conjuntos que están contenidos en illl (X) y contienen €5. La
intersección
de todos estos anillos será precisamente el anillo ffi (~) .
En efecto, cualquiera que sea el anillo ffi* conteniendo IZ,
la jntcrsección 9t = l)l• n rol (X) será un anillo de ~ y, por
consiguiente,
§
45
s. SISTEMAS DE CONJUNTOS
es decir, \{j verifica realmente la condición de ser el anillo mínima!. Este anillo se llama anillo minimal sobre el sistema @:
y se denota !Jt (€5).
2°. Sem.ianlllo de con}untos. En varios problemas, por ejemplo,
en la teorla de medida, desempeña un papel importante, además
del concepto de anillo, el concepto más general de semianillo
de conjuntos.
Un sistema de conjuntos @: se llama semianillo si
contiene el conjunto vacío 0, está cerrado respecto a la operacción de
intersección y cumple Ja siguiente propiedad: si A y A, e A pertene-
DEF1N1c10N 2.
n
cena I!;, se puede representar el conjunto A en la forma A -
UA~,
~" 1
donde AA son conjuntos de @; disjuntos dos a dos y el primero
de ellos es el conjunto dado A1 •
Todo sistema de conjuntos disjuntos dos a dos A 1 , A., ... , A.
cuya unión es el conjunto dado A se llamará, en lo sucesivo,
descomposición finita del conjunto A.
Todo anillo de conjuntos m es un semianillo ya que si A y
A, e A figuran en m, tiene lugar la descomposición
A= A 1 U A,, donde A.= A"-,A, E ffi.
Un ejemplo de un semianillo que no es anillo de conjuntos
obtendremos al tomar la totalidad de los intervalos (a, b), los
segmentos [a, b] y los semisegmentos (a, b) y (a, b) de la recta
numérica').
Veamos algunas propiedades de los semianillos de conjuntos.
Supongamos que los conjuntos A,, A., .. . , An, A pertenecen. al semianillo es y que, además, fos conjuntos A1 son sub-
LEMA 1.
c011¡untos de A disju11tos dos a dos. Entonces, los conju11tos
A; (i = J, 2, .. . , n) se pueden tomar como los 11 primeros miembros
en la descomposición finita
s
/1 =
U Ak,
s ~ n,
1 del conjunto A siendo too:s= ;os A.., E€?.
oeMosrRAc10N. Emplearemos el método de inducción matemálica.
Para n = 1 la afirmación de l lema es válida de acuerdo con la
deiinicíón de semianillo. Supongamos que esta proposición es
') En los intervalos se incluye. por supuesto, el intervalo •vacío •
(a, a) y en los segmentos, el segmento compuesto por un solo punto [a, aj.
46
CAP. l. EL EM ENTOS DE LA TEORIA DE CONJU NTOS
cierta para n = m y consideremos m + 1 conjuntos A" . . . . A,..
A,11+ 1 que verifican las condiciones del lema. Por hipótesis:
A=A,uA,u ... UA,,.uB,uB.u .. . UBp,
donde todos los conjuntos
Tomemos
B,,(q~I,
2, .. . , p) pertenecen a€:'.
8 91 = Am ,. 1 íl B,,.
De acuerdo con la definición de semianillo tiene lugar la descom·
posición
Bq=B 11 UBq 2 U . . . UB 9 , 1 ,
donde todos los Bqi pertenecen a
~.
Es fácil ver que
p
A=A,U . . . UA,.UAm+lu U
q~t
rq
U Bar
jt:=2
De modo que hemos demostrado la afirmación del lema para
n=m+ 1 y, por consiguiente, para todo n.
LEMA 2. CualquiÚa que sea el sistema finito
de conjuntos
A,. ... , A" pertenecientes al semia11illo (15, existe en @> un
sistema finito de conjuntos B,, ... , 8 1, disjuntos dos a dos,
tal que todo Ak se puede representar mediante la unión
U B,
Ak=
de algunos de los conjuntos B,.
DEMOSTRACtON . Para n= l el lema resulta trivial, ya que es
suficiente tomar, en este caso, t = 1 y 8 1 =A 1 • Supongamos que
el lema es cierto para n = m y consideremos en @> un sistema
de conjuhtos A11 ••• , Am• A,,, + 1 cualquiera. Sean 8 1 , B,, ... , 8 1
Jos conjuntos de el que verifican las condiciones del lema respecto a A 1 , A., .. . , A,~- Tomemos
B,1 = A,,.+t íl B,.
En virtud del lema 1 tiene lugar la descomposición
l
q
A,,,+l= U B.1U U B'p• B'pE@;,
s=I
(I}
p-= l
y de acuerdo con la definición propia de semianillo, la descom·
posición
S S.
SI STE MAS
DE CONJUNTOS
47
fácil ver que
f'
Ak =
U Us. ¡ .
• ! M•
k= 1. 2 • .. . . 111
/= l
y que los conjunlos
Bsj• B~
son disjuntos dos a dos. Es decir, los conjuntos B, 1, B~ verifican
las condiciones del lema respecto a A., . .. , A.,, A,.+<· El lema
queda demostrado.
3°. Anillo engendrado por un semianillo. Hemos vistq ya en
el primer punto que para todo sistema de conjuntos ~ existe un
anillo minimal , y sólo uno, que contiene a @í. Sin embargo, no
es fácil construir de hecho a partir de G el ani llo \lt (1.10 en el
caso de un sistema i2> arbitrario. Esto resulta posible en el importante caso cua ndo €5 representa un semianillo, como se ve
del siguiente teorema.
TEORE~\A 3.
ma
3 de
Si e es un semianillo, 9t (-Z) coi11cide con el sisteconjmitos A que admiten descomposicio11.es fi11itas
eii con juntos A• E~DEMOSTRACloN. Comprobemos que el sistema H forma un anillo.
Si A y B son conjuntos cualesquiera de R. tienen las descomposiciones
u Ak• B= UB•. A.E€>. B.E~.
n
A=
'"
t= I
k= I
Puesto que Q5 es un semianil!o, los conjuntos
C11 =A 1 UB¡
también pertenecen a
composiciones
~-
En virtud del lema 1 existen las des·
1J
Tt
A¡ = Ü C;¡U
i
U D .i:;
1
k= l
81=
U C11 U U E1,.
1
í2}
/•I
donde D 1k• E 11 E G . De (2) se desprende que los conju ntos A íl B
y At:,B admiten las descomposiciones siguientes:
AnB = U c1 j•
1. ¡
A6B = U D1.u U E1,.
i, k
/. 1
48
CAP. l. ELEMENTOS
oe
LA TEORIA DE CONJUNTOS
es decir, pertenecen a B· Por lo tanto, .8 es realmente un anilo;
es obvio que entre los anillos que contienen €?>, éste es el anillo
minimal.
4º. Algebras de Borel. En varios problemas, en la teoría de
la medida, en particular, es preciso considerar la unión e ínter·
sección de una cantidad numerable, y no sólo finita , de conjuntos.
Por eso conviene introducir Jos siguientes conceptos, además
del de anillo de conjuntos.
oEFtN1c10N 3. Un anillo de conjuntos se llama a-aníllo si junto
con toda sucesión de conjuntos A., A,, ...• Am ... contiene
la unión
"
Un anillo de conjuntos se llama o-anillo si junto
con toda sucesión de conjuntos A,, A,, . . . . A,., . . . contiene
oeP1Nrc 10N • ·
la intersección
D= n A,,.
Es natural llamar <J·álgebra a todo cr-anillo con unidad y
o-ulgebra a todo o-anillo con unidad. Es fácil ver, sin embargo.
que estos dos conceptos coinciden: toda o-álgebra es al mismo
tiempo una O.álgebra y toda o-álgebra, una :o-álgebra. Esto se
deduce de las relaciones de dualidad :
U A,.-E °',U(G.A,,),
n
n
(véase d § 1). Las o-álgebras O, que es lo mismo, las a-álgebras
suelen llamarse álgebras de Borel o, simplemente, B-dlgebras.
El ejemplo más sencillo de una E-álgebra es la totalidad de
los subconjuntos de un conjunto A.
Si se tiene un sislema de conjl!ntos @:, siempre existe al
menos una B-álgebra que contiene este sistema. En efecto, pon·
~amos
X=
UA
y r.onsideremos el sistema lB de todos los subconjuntos del
conjunto X. Está claro que m es una B-álgebra que
contiene ~- Si ~ es una 8-álgebra arbilra~ia que contiene 2
~S.
SISTEMAS DE CONJUNTOS
49
y X es su unidad, todo A E~ está contenido en X y, por consiguiente, X=
Ac:X. Una 8-álgebra $ se llama irreducible
U
AE E!'
{respecto al sistema G) cuando
X= U
A. En otras palabras,
A~G
una 8 -álgebra irreducible es una 8-álgebra que no contiene
puntos no pertenecientes a ninguno de los conjuntos A E G. Es
natural limítarse siempre a considerar sólo estas 8-álgebras.
Para las 8-álgebras irreducibles tiene lugar un teorema análogo al teorema 2 demostrado anteriormente para los anillos..
TEOREMA •· Cualquiera que sea el sistema de conjuntos no t1acio
e existe una E-álgebra m(€2:) irreducible (respecto a este siStema)
que oonttene €5 y está ronte11ida en cualquier B-álgebra que
j contiene
@5.
oH10sTRAc10N se realiza exactamente del mismo modo que
la demostración del teorema 2. La E-álgebra !!3 (-0) se llama
E-álgebra mi11imal sobre el sistema €?! o clausura borelíana del
sistema S.
En el Análisis desempeñan un papel importante los llamados
conjuntos de Borel o B-conjuntos, es decir, los conjlilltos de la
recta numérica pertenecientes al 8-álgebra minimal sobre la totalidad de los segmentos (a, bJ.
5°. Sistemas de conjuntos y aplicaciones. Seña lemos algunos
resultados que nos harán falta al estudiar las funciones medibles.
Sea y= f (x) una función definida sobre el conjunto M y que
toma valores en el conjunto N y sea IDl algún sistema de subconjuntos del conjunto M. Designemos mediante f (illt) el sistema
de todas las imágenes f (A) de los conjuntos pertenecientes a roL
Sea, además, in algún sistema de conjuntos contenidos en N
y ¡- 1 (\)~) el sistema de todas las imágenes recíprocas {-'(A) de
los conjuntos que figuran en W. Tienen lugar las siguientes proposiciones (dejamos a cargo del lector las demostraciones):
1) Si ~n es un anillo. también lo es ¡-• (fft).
2) Si m es un álgebra, también lo es ¡- 1 (¡]/).
3) Si ff1 es una 8-ál~ebra, también lo es f- 1 (>JI).
4) 'iJl(f- 1 , 91) = ¡- 1 ~í)q~I)) .
1.A
S>
mu-•m) =
,_,
<iN9l)).
¿Continuarán siendo ciertas estas proposiciones si sustituimos r-1
por f y ~1 por ílJP
Ob~rvad oncs finalts. La teoría de conjunlos surge como una rama de
las Matemálic11s en los trabajos del m~lemático ~lemén Georg Cantor. Las
ideas de Cantor, recibidas prilllrro con desconlianw, obtienen más larde
CAP. r. ULE,\.\ENTOS DE LA TEORIA DE CONJUNTOS
una amplia divulgación y en el siglo veinte el punto de vista de la teoriu
de conjuntos se C<lnvierte en base de las más diferen tes ramas de las Ma le·
mátlcas; conceptos tan fundamentales como grupo. anillo, cuerpo, espacio
1ineal. etc., se deílnen generalmente como conjuntos compue$los por elemen·
tos de una naturnleza arbilrMia que verifican unos u otros axiomas comp lc·
mentarlos. En el desarrollo sucesivo de la teoría de conjuntos surgieron
v:1rias dificultades lógicas y eslo condujo, naturalmente, a tratar de susti·
luir tn teoría de conjuntos e ingenua > por construcciones nxiomáticas ri~u·
rosas. Aqul resultó que algunos problemas de la teor!a de conjuntos que,
~ l parecer, admiten una solución determinada de tipo e si• o e no•, tienen,
en realidad, otra naturalez<i. Uno de ellos es el famoso problema de con·
Unuo: ¿existen potencias no numerables Inferiores al continuo? Basándose
en cierta axiomática (en la discusión de In cua l no podemos aquí entrar) ,
Godel demoslró que la solución negativa de este problema no contradice
n In teoria axiomática mencionada y, más !urde, Cohen demostró que su
solución positivu no es contrediclorla en el mismo sentido.
La !corla d~ conjuntos se expone, con mayor o menor detalle y ~en~·
ralldad, en varios libros de texto.
CAPITULO
II
ESPACIOS METRICOS
Y TOPOLOGICOS
§ l. CONCEPTO DE ESPACIO McTRICO
t º. Defini ción y ejemplos principales. Una de las operaciones
principales del Análisis es el paso a l limite. Esta operación descansa sobre el hecho de que en la recta nún:<:rica está definida
Ja distancia entre dos puntos. Muchos resultados principales del
Análisis no tienen nada que ver con la naturaleza algebraica
del conjunto de los números reales (es decir con el hecho de que
forman un cuerpo) y sólo se apoyan en aquellas propiedades de
los números rea les que están relacionadas con el concepto de
distancia. Generalizando la interpretación de los números reales
como un con junto en el que se ha definido la distancia entre
sus elementos, llegamos al concepto de espacio métrico, uno de
los conceptos más importantes de la ma temática moderna.
A continuación exponemos los resultados fundamentales de la
teoría de los espacios métricos y de sus generalizaciones, los
espacios topológicos. Los resultados de este capítulo son esencia·
les para toda la exposición ulterior.
Un espado métrico es un par (X, p), compuesto de
un conjunto (espacio) X de élementos (puntos) y de una dislancia,
es deci r , una función unívoca real y no negat iva r (x, y) defi ·
nída para dos cualesquiera elementos x e y de X y que verifica
las tres condiciones siguientes:
1) p(x, y) = O si, y sólo si, x=y,
2) (axioma de sime tría): p ~x:, y)=P (!J, x),
3) (axioma triangular) : p (x, i) ~ (l (x, y} + p (y, z).
E:l propio espacio métrico. es dei;ir, el par (x, p), lo <l<.>no·
taremos, como regla general, mediante una letra:
R= (X , p).
0EP1N1c10N,
CAP. JJ. ESPACIOS METRICOS Y l'OPOLOGICOS
52
En los casos en que la equivocación esté excluida denotaremos
frecuentemente el espacio métrico con el mismo símbolo X que
describe la «reserva de puntos».
Senalernos ejemplos de espacios métricos. Algunos de estos
espacios desempeñan un papel muy importante en el Análisis'.
1. Tomando para los elementos de un conjunto arbitrario
p (x, y) =
j 0, Si
l ), Sl.
X=
y,
X=/=y,
obtendremos, evidentemente, un espacio métrico que puede ser
denominado espacio de puntos aislados.
2. El conjunto de los números reales con la distancia
p(x, y)=lx-yl
forma el espacio métrico R.'.
3. El conjunto de grupos ordenados de n números reales
x=(xL, x,, . . . , x,,)
con la distancia
(1)
se denomina espacio aritmético euclídeo de n dimensiones R.". Es
evidente que en R,n se verifican los axiomas 1 y 2. Demostremos
que en R.• también se cumple el axioma triangular.
Sean x=(x,, .. . ,x,.), y=(y,, . . . ,y.) y z=(z1 , .•• , z,,); entonces el axioma triangular se puede escribir en Ja forma :
yk-x~=ak y
z,.-yk=bk• tendremos z,.-x,.
y la desigualdad (2) obtiene la forma:
Si tomamos
= ak
+ bk
Vk~ (ak+bk)'~VF+ V.~ b:.
=
(3)
Pero esta desigualdad se deduce inmediatamente de la conocida
§ 1- CONCEPTO DE ESPACIO MBTRICO
desigualdad de Cauchy-- Buniakovski 11 :
(±
k1:1
akbk)' ~
±al · ±bl-
k:: 1
(4)
k==t
En efecto, de acuerdo con esta desigualdad tenemos
n
~
k=I
n
tJ
tt
11
(a•+ bk)' = l>,.J
~ al+ 2 ~ aAbA + l: b: ~ ~ a:+
k=t
k=t
k<'l
±al · ±bi + .± bi = ( ..VÍ k=•±ai + ..VÍ ...±, b:)'
+ 2 .. Í
V
k=I
k" 1
•-=1
con esto queda demostrada la desigualdad (3) y, por consiguiente,
la desigualdad (2).
4. Consideremos el mismo conjunto de grupos ordenados
de n números reales x = (x,, .. . , x.). pero definiendo la distancia en él mediante la fórmula
p 1 (x, y)=
l:" lxk-Y•l-
(5)
•=1
Se ve inmediatamente que se cumplen los axiomas l, 2 y 3.
Denotaremos este espacio métrico con el símbolo R~.
. 5. Tomemos de nuevo el conjunto de los ejemplos 3 y 4
definiendo la distancia entre sus elementos mediante la fórmula
(6)
Pe (x, y) = max 1Y• -z" I·
•<~ < n
Es evidente que se cumplen los axiomas 1, 2 y 3. Para
muchas cuestiones del Análisis este espacio, que denotaremos R~.
es no menos cómodo que el espacio euclídeo R".
Los tres últimos ejemplos muestran que a veces es importante
tener, en efecto. diferentes denotaciones para el espacio métrico
y para el conjunto de sus puntos, ya que una misma reserva de
puntos puede ser metrizada de diferentes maneras.
6. El conjunto c1•• bJ de todas las funciones reales continuas
definidas en el segmento [a, b] con la distancia
p(f, g)= max lg(t)-f(t)I
(7)
o<.: t .;,; b
11
Ln desigua ldad de Cauchy-Bim iakovski se sigue de la
n
(
~ah
)2
n
=
n
"
k~al k~bl--} ~
que se puede comprobar directamente.
n
identid~d
L (a;b¡-b¡a¡)'.
i=I
CAi'. 11.
54
~St>ACIOS MET~ICOS
Y TOPOl.OOICOS
también forma un espacio métrico. Los axiomas 1, 2 y 3 se
comprueban directamente. Este espacio desempeña un papel muy importante en el Análisis. Lo denotaremos con el mismo símbolo C¡a. bJ
que empleamos para el conjunto de Jos puntos de este espacio.
En lugar de C¡0 • iJ escribiremos simplemente C.
7. Designemos mediante r. el espacio métrico cuyos puntos
son l.odas las sucesiones
.~
=
(x1 ,
x., ... ,
Xn• ••• )
de números reales que verifican la condición
11
~X: <oo
k=l
y en el que la distancia viene dada por
p(x, y)=
vk~ (yk-xk)'.
(8)
La función p (x, y) así definida tiene sentido para todos x, y E!.,
~
~
ya que Ja serie ~ (yk - xk)ª converge siempre: que ~
ka¡
k~ l
x¡ < oo
"'
y ~ yi < oo; esto se desprende de Ja siguiente desigualdad
k:¡
elemental
(xk ± !lk)ª ~ 2 M
+ y~).
Al mismo t iempo vemos que si (x,, x,, . .. , xn , _.. ) e (y,, y•• .. . ,
Yn • .. . ) pertenecen a 1.. también (x1 +y,, .. . , x,, + Yn• . , -) E 1•.
Comprobemos ahora que la función (8) verifica los axicmrns de
espacio métrico. Los axiomas 1 y 2 son evidentes y el axioma 3
adquiere ·e n este caso la forma
"'V/ i; (zk-xk)" ~ ..VÍ i; (z,,-y,,)ª +"'VÍ i; (y,.-x¡,)
k=1
k• 1
1
(9)
k=t
De acuerdo con lo dicho anteriormente converge cada una de las
tres series que aquí fíguran. Por otro lado para todo n se verifica
la desigualdad
, Í
V
:± (zk-xk)'~ ,V :±
/
k=I
k: I
(zk-f/k) 3
+ 'VÍ k=l
:± (y,,-xki'
(véase el ejemplo 4). Pasando al límite para n. mos (9), es decir, la desigualdad triangular en 1,.
oo obtene-
§ l . CONCEPTO DE ESPACIO ~\ETIUCO
55
8. Consideremos, al igual que en el ejemplo 6, el conjunto de
todas las funciones continuas en el segmento ¡a, bl, pero definiendo la distancia de otro modo, a saber
p(x,
y) =\( ~b (x (t)-y(t))' di)
Este espacio métrico lo denotaremos
'' '
cr•. •I
(10)
y lo llamaremos
espacio de funcio11es conl in U/IS co1i métrica cuadráiica. Los axio-
mas 1 y 2 del espacio métrico son otra vez evidentes, mientras
que el axioma triangul ar se deduce directamente de la desigualdad de Ca uchy-Bu.niakovski en su forma integral"
b
(
~X (l) Y(/) di
)ª ,¡¡;;;¡~ x•
a
b
b
(t) dt • ~ y1 (/fd/.
a
n
9. Consideremos el conjunto de todas las sucesiones acoladas
x = (x,. x., . . ., x,,, . . . ) de números reales. Admitiendo
( 11 )
obtenemos un espacio métrico que denotaremos 111. Los axiomas 1, 2 y 3 se verifican evidentemente.
10. El conjunto de todos los grupos ordenados de 1i números
reales con la distancia
(12)
donde p es un número fíjo arbitrario ;;;i: l , representa un espacio
métrico que denotaremos R);''. También en este caso es obvio
que se verifican los ax iomas 1 y 2. Comprobemos el axioma 3.
Sean x = (x,. x., ... , x,,), y .. (¡/¡, y, . ... , y,,) y z = (z 1 , z1 , • . . , z,,)
tres puntos de R~m. Ponga mos
Yk-X• = ª••
z. - yk=bk.
La desigualdad
11 Esla desígual ~ad puede obtenerse. por ejell!plo, dr la siguiente iden \itad que se comprueba íácí lmtn\e
b
(
Sx(t) y(/) di
)'
6
b
bb
n
a a
~ S~(/)dt j y•(/)dt-f SS {x (s) y(/)-¡¡ (s) .r (1))
a
2
ds dt.
CAP. 11. ESPACIOS METRtCOS Y TOPOLOGICO::.
56
que debemos demostrar puede representarse entonces en la forma
t?1 lak+b. IP) l/P~ (k?-i la.IP)lfP+ (,•~ lb•I' )'/P .
n
(
n
\
n '
( 13)
Esta es la disigualdad de M i11kowski. Para p = 1 la desigualdad
de Minkowski es obvía (el valor absoluto de Ja suma no sobrepasa la suma de los valores absolutos) y, por consiguiente, podemos limitamos a considerar el caso p > 1 11•
La demostración de la desigualdad (13) para p > 1 se basa
en la desigualdad de Holtkr:
')' P /\.~• lb•lq)''q •
k~ lakbkl ~ k~ laklP
•
(
11
(1 4)
donde los números p > 1 y q > 1 cumplen la condición
..!..+..!..=l.
p
q
(15)
Observemos que la desigualdad (14) es homogénea. Ello significa que si se cumple para dos vectores cualesquiera
a= (a,. a., .... a.) y b= (b,, b,, ... , b.)
lambién se verifica para los vectores Mi y ~1b, donde A. y µson
números arbitrarios. Por eso es suficiente demostrar la desigualdad ( t 4) para el caso de que
(16)
Supongamos; pues, que se cumple 13 condición (16); demostremos que
n
~
knl
la..b,. I ~l.
(17)
C.Onsideremos en el plano (~. r¡) la curva dada por la ecuación
ll .,.. tr- 1 (t >O), o, que es lo mismo, por la ecuación t = r¡q- •
(fig. 8). Del dibujo se ve claramente que para cualesquiera valores positivos a y b será S, +s, ~ab. Calculemos las áreas S, y S,:
"
oP
S,= ,)1' ~r- 1 ~ =p , S,=
•
j' 11q&
•
1
d11= -b'I
q .
Para p < 1 J,1 desigualdnd de Minkowski no tiene lugar. en otras
palabrDs. si pretcndlcrntnos considerar el espacio R~"' parn p < 1, en este
espado no se cumpllrin el axioma triangular.
11
§ t. CONC.EPT O OE t;;SPACIO METR,ICO
57
Por Jo tanto, se verifica Ja siguiente desigualdad numérica
a¡,·~~..!..~.
·""" p • q
Poniendo a=lakl• b=lb..,J y sumando respecto a k desde
hasta n, obtendremos tomando en cuenta (15) y (16)
n
~Jakbkl~ l.
k=1
Hemos demostrado Ja desigualdad (l 7) y, por consigu1en!~·
la desigualdad general (14). Para P= 2 la desigualdad de Holder (14) se convierte en la desigualdad de Cauchy- Buniakovski (4).
FIG. 8
Pasemos a demostrar ahora la desigualdad de Minkowski.
Para ello consideremos la identidad
(J aJ + 1bJ)P= (1a1+1bJ)P- 1 Ia1+(1aI+1 bl}P -' I bJ.
a=ª"' b = bk
Tomando en la identidad escrita
pecto a k desde 1 hasta n, obtenemos
y sumando res·
n
~
h•l
(l ak l+lbk.l)P=
n
=
n
(lak l+lb,.l)P-•iakl+ k=l
L (Jak J+ lb.1;1)P-•ibkl·
k=t
~
Aplicando ahora a cada una de las sumas que fi guran a la
derecha la desigualdad de Holder y tomando en consideración que
(p-1) q = p , encontramos
±
(1 ak 1 1bk l)P ~
k .. ,
+
~(~ c1ak1+1bk1v)1'\[.~ 'ª·'prp + L~ ,bk'pl"p).
CAP. 11. ESPACIOS NETRJCOS Y TOrOLOO ICOS
Dividiendo ambas partes de esta desigualdad por
1 n
\k~ (laA>l+l b-l)P
)'fq,
obtenemos
C~ <1a~ 1+1bA'np)"p~et 1ah1p)'1p +(~ lbh 11')1'p
y de aqui se deduce inmediatamente la cfosigualdad (1:-1). Con
esto queda comprobado el axioma triangu lar para el espasio R~n•.
La métrica Pp considerada en este ejemplo coincide para p = 2
con Ja mélrica euclídea (ejemplo 3) y para f'= J con !a métrica
del ejemplo 4. Se puede demostrar que la métrica
¡Po(x, y) =
rnax l YA>- xk ¡,
1
c...•'- n
introducida en el ejemplo 5, es el caso límite de la métrica
Pp(x, y), es decir,
i; Iy~ -x~ IP)
11
Po (x, y) = lim (
p-oc
P.
k= t
De la desigualdad
ab&
!!!+'!!.1/ (1-+.2..
= 1.) '
""'- p
p
q
establecida anteríormenf'e, es fácil deducir la desigualdad integral
de Hülder
b
.· ~
' )llP ( b
Sx(t)y(t)dl ~ Í SJx(t)/l' df
a
\ a
\ 1/ q
S/ y(t) ¡edt 1
I
o
que se verifica para cualesquiera funciones x (l) e y (l) siempre
que las integrales que figuran a la derecha tengan sentido. A su
vez , de aquí se obtiene la desigualdad integral de Mirt/w'2!ski
\ l/p
( S~ l x(t)-J- y(l) ll' dt ) lfp~ (bS /x(t)JPdt ) l/p+ (b
Sly(t)!Pdt ¡ .
\4
a
o
~
1l. Veamos otro ejemplo interesante de espacio métrico. Sus
elementos son todas las sucesiones de números reales
tales que
X= (X 1, X: • . - . , X,,, •• . )
59
§ l. CONCEPTO DE ESPACIO METRICO
>
donde p 1 es un número fijo, y la distancia vienio dada por
la fórmula
(18)
Denotaremos este espacio métrico mediante IP.
De acuerdo con la desigua ldad de Minkowski (13) tenemos
para n cualquiera
(\k~_±I IYk-
1111
xklP\
.J
~(± lxklP)
1
'"
ka.J
+(.± IYk l")
11
µ.
k=I
Por hipótesis, las series
k~I xk IP
Y
~1 1 Y• I"
convergen; por eso, pasando al límite para n--
...
)l/p ( "'
"\ l,p / "'
)
~ IYk-xklP
~ ~ lx. I"} +! ~ IY~["
( k=I
k~I
\/1:1
oc,
l/ p
obtenemos
< oo.
(19)
Esto demuestra que la fórmula (18) mediante la cual se de[ine
la distancia en lp, tiene sentido para cualesquiera x, y E 1v Al
mismo tiempo, la desigualdad (19) muestra que en IP se verifica
el axioma triangular. Los demás axiomas son evidentes.
Un número ilimitado de nuevos ejemplos proporciona la siguiente ídea. Sea R =(X, p) un espacio métrico y M cualquier
subconjunto de X . En este caso el conjunto M con la misma
función p (x, y) pero definida ya para x e y de M también representa un espacio métrico, que se denomina subespacio del espacio R.
2º. Aplicaciones continuas de espacios métricos. lsometría.
Sean X e Y dos espacios métricos y f una aplicación de l espacio X en Y. Por lo tanto, a cada elemento x E X se pone en
correspondencia un elemento y =f(x) de Y. Esta aplicación se
dice continua en el punto x 0 E X, si para cada e> O existe un
ll > O tal, que para todos x E X que cumplen la desigualdad
p(x, x0 )
< ll,
se verifica la desigua ldad
Pt (f (x), f (x.)) < e
(aquí p es la d istancia en X y p 1 la disiancia en Y). Si la
aplicación f es continua en todos los puntos del espacio X, se
dice que f es continua sobre X. Si X e V son dos conjuntos
60
CAi>. 11. ESP ACIOS METRICOS Y TOPOLOGICOS
numencos, es decir, f es una función numérica definida sobre un
sulx:onjunto X de Ja recta numérica, esta definición de la con·
tinuidad de una aplicación coincide con definición, conocida del
.4nálisis elemental, de la continuidad de una función.
Siendo la aplicación f del espacio X sobre el espacio Y biunívoca, existe Ja aplicación inversa x = ¡- 1 (y) del espacio Y
sobre el espacio X. Si la aplicación f es biunívoca y bicontinua
(es decir, tanto f como ¡- 1 son aplicaciones continuas), se la
denomina aplicación homeomorfa o llomeonwrf ismo y los espacios X e Y, entre los cuales se puede establecer una aplicación
homeomorfa, se denominan espacios homeomorfos. Como ejemplo
de espacios homeomorfos pueden servir toda la recta numérica
(-oo, oo) y un intervalo, por ejemplo, el Intervalo (-1, 1).
en este caso el homeomorfismo se establece mediante la fórmula
2
Y=ñ arctg x.
Un caso importante particular de homeomorfismo en la así llamada aplicación isométrica de espacios métricos.
Una aplicación biunívoca f del espacio métrico R =(X, p)
sobre el espacio métrico R' =(Y, p'} se denomina aplicación
isométrica, si
p (x,, x~) ~' p' (f (x1 ),
f (x,)}
para cualesquiera x,, x. E R. Dos espacios R y R', entre los
cuales se puede establecer una correspondencia de isometría, se
denominan isométricos.
La isometría de dos espacios R y R' significa que las rela·
ciones métricas entre sus elementos son las mismas; puede ser
distinta sólo la naturaleza de los propios elementos, lo que,
desde el punto de vista de la teoría de espacios métricos, no
tiene importancia. En Jo sucesivo los espacios isométricos serán
considerados como idénticos.
Al final del § 5 de este capítulo volveremos a tratar, desde
un punto de vista más general, los conceptos aquí introducidos
(continuidad, homeomorfismo).
§ 2. CONVERGENCIA. CONJUNTOS AB IE RTOS Y CERRADOS
1º. Puntos de acumulación. Adherencia. En este parágrafo
expondremos algunos conceptos principales de la teoría de espacios métricos que emplearemos frecuentemente en lo sucesivo.
Una bola abierta B (x0 , r) en el espacio métrico R es el
conjunto de los puntos x E R que verifican la condición
p(x, x 0 )
< r.
§ 2. CONVER GENCI A. CO NJUNTOS ABIERTOS '/ CERRADOS
61
El punto fijo x 0 se llama centro y el número r, radio de esta bola.
Una bola cerrada B (x 0 , r] es el conjunto de los puntos x E R
que cumplen la condición
p (x, x0 ) ~ r.
Una bola abierta de radio e y centro en x0 se denominará
también e-vecindad 11 del punto x0 y se denotará O, (x0 ).
1'J'ERCICIO. Dése un ejem plo de espacio métrico y dos bolas 8 (". p1 )
y B (y, pz) en él , ta les que p1 > P2. B (x, p~) e B (y, p,).
Un punto x E R se denomina punto de adherencia del conjuot<:>
M c.R, si cualquier vecindad suya contiene .a l r.nenos un, .p!J.tl.fo
de M. La totalidad de los puntos de adherencia del con.jun'to M
se denota mediante [M) y se llama la adherencia (también clausura) de este conjunto. De esta manera hemos definido para Jos
conjuntos de un espacio métrico Ja operación. de adherencia que
consiste en el paso del conjunto M a su adherencia [M).
La operación de adherencia tiene las siguientes propiedades:
1) Mc[M].
2) ([MJJ = (M],
3) si M,cM., entonce.~ (M1 Jc:[M.J,
4) [M, U M,J = [M 1 ) ll [M.j.
TEOREMA 1.
l a primera afirmación es evidente, ya que todo punto
perteneciente a M es un punto de adherencia del conjunto M.
Demostremos la segunda propiedad. Sea x E [(MJl. En este caso,
en cualquier veci ndad O, (x) de este punto existirá un punto
x1 E [M] . Pongamos 6 - p (x, xi)= 6 1 y consideremos la bola
O, (x 1 ). Esta bola se encuentra íntegramente dentro de la bola
o,'(x ). En efecto, si z Eº· (x,). tendremos p (z, X1) <E y puesto
que p (x. x,) = e-el, encontraremos, de acuerdo con el axioma
triangular, que
p (z, ,-.:) < s, + (e- e,)= e,
DEMOSTRACION.
es decir, zEO.(x). Como x 1 E(M]. existirá en O.,(x) un punto
x,EM. Pero en este caso x,E O,(x) y, puesto que O,(x) es una
vecindad arbitraria de x, tendremos x E [M]. Hemos demostrado
la segunda afirmación.
La tercera propiedad es e vi den te. Demostremos, Hnalmen te,
la cuarta.
1 > Algunos autores preiicren emp! eor en este caso el término ce-entorno>.
(N. del T . )
CAP 11. P.SPAC!OS METRICOS Y TOJ'>OLOOICOS
Si x E (M, IJ Mf), x pertenece por lo menos a uno de los
<:onjuntos {M ,] o M,), es decir
[M 1 UM.Jc:[M,] U [M.J.
Puesto que M,c:M,uM, y M, c:M,uM, . la inclusión inversa
se desprende de la propiedad 3).
Hemos demostrado completamente el teorema.
Un punto x E R se llama punto de acumulación del conjunto
M c:R, cuando en toda vecindad suya existe un número infinito
de puntos de M .
El punto de acumulación puede pertenecer y puede no pertenecer a M. Por ejemplo, si M es el conjunto de los números
racionales del segmento (O, 1), todo punto de este conjunto es
un punto de acumulación de M.
Un punto x, perteneciente a M, se llama punto aislado de
-este conjunto, cuando una vecindad suya O.(x) suficientemente
pequeña no contiene otros puntos de M distintos de x. Proponemos al lector demostrar, a título de ejercicio, la siguiente
afirmación:
Todo punto de adherencia del conjunto M o bien es un punto
de acumulación o biell un pur1to aislado tie este conjunto.
De aquí se puede deducir que la adherencia (M) se compone,
·en general, de tres tipos de puntos:
1) los puntos aislados del conjunto M;
2) los puntos de acumulación del conjunto M, pertenecientes a M;
3) los puntos de acumulación del conjunto M que no pertenecen a M; de esta forma la adherencia (MJ se obtiene agregando
a M todos sus puntos de acumulación.
2". Convergencia. Sea x 1 , x,, ... una sucesión de puntos en
·el espacio métrico R. Se dice que esta sucesión co11verge al
punto x, cuando toda vecindad O, (x) dc:l punto x contiene todos
los puntos x•• empezando desde alguno, es decir, cuando a cada
número e> O le corresponde un nítmero N. tal que O, (x) con·
tiene todos Jos puntos x. para n > N,. El punto x se llama
.limite de la sucesión {xnl·
Es obvio que se puede enunciar esht definición también de
la siguiente manera: la sucesión {x.} converge a x, cuando
liin p (x, x,,) =O.
De esla definición se desprende directamente que 1) ninguna
sucesión puede tener dos limites distintos y que 2) si la sucesión
{x,,} converge al punto x, toda sucesión parcial contenida en ella
.converge al mismo punto.
s 2. CONVEROE NCIA.:coNJt;NTOS
ABIEP.TO~
\'CERRADOS
63
El siguiente teorema explica la relación estrecha existente
entre los conceptos de punto de adherencia y de límite.
1 tiORt:~1A 2. ¡Para que el punto x sea un punto de adherencia del
co11¡unto M, es ner:e1wio y suficiente que exista wia sucesión
{x.} de puntos de M que conuerja a x.
1
oeMosTRActoN. La condición es necesaria, puesto que siendo x
un punto de adherencia del conjunto M, en cada vecindad Oi¡n (x)
existe por lo menos un punto x. E M. Estos puntos forman una
sucesión que converge a x. La suficiencia es evidente.
Siendo x un punto de acum!.!lación del conjunto M, los puntos x. E 01 1n (x) n M, correspondientes a diferentes n, pueden esco·
gerse de manera que no coincidan entre si. Es decir, para que·
el pwilu x sea un punto de acumulación de M, es 11ecesario y
suficie11te que en M exista una sucesló11 de puntos distintos dos a
dos que co11verga a x.
El concepto de continuidad de una 11plicación del espacio
métrico X en el espacio métrico Y, que hemos introducido en
el § 1, puede enunciarse ahora en términos de convergencia de
sucesiones: la aplicación y = f (x) es continua en el punto x 0 ,
cuando cualquiera que ~Ea la sucesión {x,.} convergente a x~. la
sucesíón
f (x.)} converge a !/•= f (x0 ). La demostración de
la equiva encía de esta cleiinición a la dada en el § 1 no difiere
en nada de la demostración de la equivalencia de las dos definiciones de la continuidad («en el lenguaje de ~.. 6» y «en et
lenguage de sucesioneS») de las funcione.~ de argumen to numérico
y el lector podrá realizarla.
\Y,.=
Sº. Subc.onjuntos de1\SOS. Sean A y B dos conjuntos de un
espacio métrico R. El conjunto A se dice denso en B, cuando
fA!::iB. En particular, el conjunto A es siempre denso (en el
espacio R). cuando su adherencia [A} coincide con todo el espa·
clo R. Por ejemplo, el conjunto de los números racionales es
siempre denso en la recta numérica. Se dice que un conjunto A
es nunca den.so, cuando no es denso en ninguna bola.
Ejemplos de espacios prouislos de wi conjunto numerable
siempre denso. Un espacio, que tiene un conjunto numerable
siempre denso, se llama separable. Consideremos desde este punto
de vista los ejemplos e.'<puestos en el § l.
1. El espacio •discreto• del ejemplo 1 del § 1 contiene un
conjunto numerable siempre denso, si, y sólo si , está compuesto
por un número numerable de puntos. Ello se debe a que la·
adherencia [M) de cualquier conjunto M de este espacio coincide
con 1\11.
64
CAP. fl. ESPACIOS METR!COS Y TOPOLOGICOS
Todos los espacios dados en los ejemplos 2- 8 del § 1 tienen
conjuntos numerables siempre densos. Señalemos en cada uno de
ellos un conjunto de este tipo, recomendando con insistencia al
lector realizar la demostración detallada.
2. Sobre el eje real R 1 , los puntos racionales.
3-5. En el espacio euclídeo de n dimensiones Rn y en los
espacios R~ y R~. el conjunto de vectores con coordenadas raciona les.
bJ• el conjunto de todos los polinomios
6. En el espacio
de coeficientes raciona es.
7. En el espacio l.,, el conjunto de sucesiones en cada una
de las cuales todos los miembros son racionales y solamente un
número finito (para cada sucesión el suyo) de estos miembros es
distinto de cero.
8. En el espacio C{a. bh el conjunto de lodos los polinomios
de coeficientes racionales.
E l espacio m de sucesiones acotadas (ejemplo 9 del § 1) no
tiene ningún conjunto numerable siempre denso. En efecto, consideremos todas las sucesiones posibles compuestas de ceros y
unidades. Ellas forman un conjunto de potencia de continuo (ya
que se puede establecer una correspondencia biunívoca entre estas
sucesiones y subconjuntos de la serie natural). La distancia entre
dos de estos puntos, definida mediante la fórmula (11) del § 1,
es igual a 1. Envolvamos cada uno de estos puntos en una bola
abierta de radio '/ 2. Estas bolas no se intersecan. Si tenemos un
conjunto siempre denw en este espacio, cada una de las bolas
construidas deben!l contener por lo menos un punto de este
conjunto y, por consiguiente, él 110 puede ser numerable.
C\ª·
4°. Conjuntos abiertos y cerrados. Consideremos los tipos más
importantes de conjuntos en espacios métricos, es decir los
conjuntos -abiertos y cerrados. El conjunto M, perteneciente a un
espl!ci.O méttico R, se llama cerrado, cuando coincide con su
adherencia: (M} = M . En otras palabras, el conjunto se llama
cerrado, s i contiene todos sus puntos de acumulacíón.
En virtud del teorema I, Ja adherencia de cualquier conjunto
M es un conjunto cerrado. Del mismo teorema se desprende que
fM] es el menor conjunto cerrado que. contiene a M.
Ejemplos. l. Todo segmento [a, b] de la recta numérica es
un conjunto cerrado.
2. Una bola cerrada representa un conjunto cerrado. En part icular, el conjunto de funciones f del espacio Cra. b], que verifi·
can la condición 1f(t)1,,;;;; K. es cerrado.
3. El conjunto de tunciones de C¡a. bJ• que verifican Ja con·
dición 1f(t)1 < J( (bola abierta), no es cerrado; su adherencia es
~
el
2. CONVERGENCIA. CONJUNTOS ABIERTOS Y CERRADOS
conjunto
de
funciones
que
cumplen
la
65
condició¡t
lf (t)l~K.
4. Cualquiera que sea el espacio métrico R, el conjunto vacío 0 y todo el espacio R son cerrados.
5. Todo conjunto, compuesto por un número íinito de puntos,
es cerrado.
Las propiedades principales de los conjuntos cerrados pueden
enunciarse por medio del siguiente teorema.
TEORl!MA 3.
La intersección de cualquier número y la unión de
de con¡11.ntos cerrlUÚ!s son conjuntos cerrad-Os.
1 un número finito
n
OEMOSTRACJON. Sea F =
F. la intersección de los conjunl.QS
cerrados F. y sea x un punto de acumu lación del conjunto F.
Ello significa que cualquier vecindad O, (x) contiene un número
infínito de puntos de F. Pero entonces O, (x) contiene así mismo
un número infinito de puntos de cada conjunto F. y, puesto que
todos los F. son cerrados, el punto x pertenece a cada F.; por
F •• es decir, F es cerrado.
consiguiente, X E F =
Sea ahora F la unión de un número finilo de conjuntos cerra-
n
dos:
" F;;
FU
t:l
sup<mgamos que el punto x no pertenece a F.
Demostremos que x no puede ser un punto de acumulación de F.
En efecto, x no pertenece a ninguno de los conjuntos cerrados
F,. y, por consiguiente, no es punto de acumulación de ninguno
de ellos. Esto quiere decir que para todo i se puede encontrar
una vecindad De, (x) del punto x que contiene, a lo sumo, un
número fin ito de puntos de F;. Tomando la menor de las vecin·
dades O, (x), ... , O,. (x), obtendremos una vecindad O, (x) del
punto x que contiene a lo sumo un número finito de puntos de F .
Resumiendo, si el punto x no pertenece a F, no puede ser
punto de acumulación de F , es decir, F es cerrado.
El teorema queda demostrado.
Un punto x se llama punto interior del conjunto M, cuando
hay una vecindad O, (x) de esle punto que pertenece íntegramente a M .
Un conjunto, lodos los puntos del cual son interiores, se
llama conjunto abierto.
Ejemplos. 6. Un intervalo (a, b) de la reda numérica R 1 es
un conjunto abierto; en efecto, si a< a< b, la vecindad O, (a),
donde t = min (a-a, b-a), está contenida íntegramente en el
intervalo (a, b).
7. Una bola abierta B (a, r) de cualquier espacio métrico R
es un conjunto abierto. En t-feclo, si x E B (a, r), tenemos
66
CAi'. 11.
ESPACIOS
METR ICO:. Y TOPO LOO ICOS
p (a, x) < r . Tomemos ~ = r -p (a, x). Entonces n (x, e)c:B (a, r) .
8. El conjunto de funciones continuas sobre {u, új que verifican la condición f (!) < g(/), donde g(t) es una función conti·
nua determinada, representa un subconjunto abierto del espacio
C¡a,b·1•
TEOREMA~ -
Paru que el conjun to M sea abierto es necesario y
1 suficiente que
Slt
complemento R".._M al espacio R sea cerrtulo.
oeMosTRACION. Si M es abierto, cada punto x de M posee una
vecindad que pertenece íntegramente a M, es decir, que no tiene
ningún punto común con R".._M. Por consiguiente, ninguno de
los puntos que no pertenecen a R M puede ser un punto de
adherencia de R".._ M, es decir, R".._M e~ cerrado. Viceversa. si
R"...M es cerrado, cualquier punto de M posee una vecindad que
pertenece inlegramentc a M, es decir, M es abierto.
Puesto que el conjunto vacío y todo el espacio R son cerrados y al mismo tiempo son complementos uno del otro, llel
teort>ma demostrado se desprende el siguiente corolario.
coROt.AIHO. El conjunto uacio ·y toda el espacio R sen abiertos.
Del teorema 3 y del principio de dualidad (la intersección
de complementos es igual al complemento de la unión y la
unión de complementos es igual al complemento de tas intersecciones; véase pág. 16) se sigue el siguiente teorema importante,
dual al teorema 3.
TIW REi\\A 3'.
La unión de urt número cualquiera (finito o infinito)
u11 número finito de con;unfos abiertos so11
y la intersección de
conjuntos abiertos.
5º. Conjuntos abiertos y cerrados sobre la recta. La estructura
de los conjuntos abiertos y cerrados en uno u otro espacio métrico
puede ser muy compleja. Esto se refiere incluso a los conjuntos
abiertos y cerrados de un espacio euclídeo de dos o más dimen·
siones-. Sin embargo, en el caso unid imensional, es decir, en el
caso de la recta, no es difícil dar una descripción de todos los
conjuntos abiertos (y. por consiguiente, de todos tos cerrados).
Ella viene dada por el siguiente teorema.
TEOREMA s. Todo conjunto abierto de una recta numérica repre·
senta fa suma de un número finito o numerable de interualos
1
disjun.tos dos a dos 11 .
u Los conjuntos de ti po ( -ce. oc). (a. oo) y ( - oo,
conside-ramos como inlervalos.
Pl
también los
~ ~.
CONVEROF.NCIA. CONJUNTOS AB I ERTOS Y CERRADOS
67
oE~1osTRAc10N .
.sea G un conjunto abierto sobre Ja recta y x un
punto suyo cualquiera. De acuerdo con la definición de conjunto
abierto, existe por lo menos un intervalo que contiene a x y
está contenido en G. Denotemos mediante 1,, Ja suma de todos
estos intervalos y demostre.mos que /_. es también un intervalo.
Tomemos para ello
a ·-= inf ! "' b = sup f x
{puede ocurrir que a= - oo y b = + oo) y comprobemos que
!_. = (a, b). Está claro, ante todo, que I xc (a, b). Viceversa, se~
y un punto arbitrario de (a, b), distinto de -"'; ~robemos que
y E I ,,. Aceptemos, para concretar, que a< y< x. En este caso,
en l x existirá un punto y' tal que a< y' <y. Esto significa que
en G hay un intervalo que contiene los puntos y' y x. Pero
entonces también contiene y, es decir, y E I ,,. Del mismo modo
se puede considerar el caso y> x. El punto x pertenece a f x
por hipótesis. Por consiguiente, I ,.=(a, b). El intervalo (a , b)
ha sido definido de manera que él pertenece a G y no está contenido en ningún intervalo mayor que pertenezca a G. Es evidente que los intervalos I x e I_.,. correspondientes a dos distintos puntos, o bien coinciden o bien no lienen punlos comunes
(de lo contrario, I_., e 1"' estarían contenidos en el intervalo
I" U 1" mayor que cada uno de ellos y perteneciente a G). Un
sistema' tal de in!ervalos disjuntos es a lo sumo numerable: en
efecto, escogiendo en cada uno de eslos intervalos y de una
manera arbitraria un punto racional, estableceremos una correspondencia biunivoc.a entre estos intervalos y ciertos subconjuntos
del conjunto de números racionales. Está claro, fi nalmente, que
la suma de estos intervalos coincide con G. El teorema queda
demostrado.
Puesto que los conjuntos cerrados son complementos de los
abiertos, de aquí se sigue que todo con jun to cerrado sobre la
recia se obtiene omitiendo de la recta un número finito o numerable de intervalos.
Los ejemplos más simples de conjuntos cerrados son los seg·
mentos, los puntos aislados y la suma de un número finito de
conjuntos de estos tipos. Consideremos un ejemplo más complejo
de conjunto cerrado sobre la recta, el asi llamado con;unlo de
Cantor.
Sea F0 el segmento [O, l]. De él excluyamos el inlervalo
( ~ , -}) y designemos mediante F, el conjunto cerrado que
queda. Después, omitamos de F, Jos intervalos ( ~, ~) y
(fi, } ) y
3•
designemos mediante F 0 el conjunto cerrado que
68
CAJJ. 11. ESPACIOS METRICOS Y TOPOLOGl<..OS
queda (compuesto por cuatro segmentos). En cada uno de estos
cuatro segmentos excluyamos el intervalo abierto central de longitud ~ , etc. (fig. 9). Continuando este ~proceso, obtendremos
una sucesión decreciente de conjuntos cerrados F n· Tomemos
F= n F,..
n:O
F es un conjunto cerrado (como intersección de cerrados). Se
obtiene omitiendo del segmento (O, 1I un número numerable <le
!4
-* %
f
Fz
- -
FJ
----~
F IG. !J
intervalos. Examinemos la estructura del conjunto F. Pertenecen a él, evidentemente, los puntos
1
2
1
2
º· 1• :r · -3 • 1i • ·9 •
( 1)
que representan los extremos de los intervalos omitidos. El
conjunto F no se compone, sin embargo, solamente de estos
puntos. En efecto, se puede describir los puntos del segmento
LO, l}, que pertenecen a l conjunto F, de la siguiente forma.
Represen temos cada uno [de los números x, O .,¡;; x~ l, en e l
sistema ternario:
r
a,
~
=3
+.!1.+
3•
. . . +ª"+
3ñ . . .•
donde los números an pueden \tomar los valores O, 1 y 2. Al
igual que en el caso de fracciones decimales, algunos números
pueden tener dos representaciones. Por ejemplo,
11
o
o
02
2
2
3=3+ 3• + . .. +3" + ... = 3+3'+3í+ ... +w.+ . ..
§ 2. CONVERGENCIA. CONJUNTOS ABIURTOS Y CERRADOS
69
Es fácil comprobar que al conjunto F pertenecen aquellos
números, y solamente aquellos, x, O~ x ~ 1, que pueden representarse al menos de una forma mediante una fracción ternaria
tal que en la sucesión a., a.. . .. , ª•• . . . no figura la unidad.
Por consiguiente, a cada punto x E F se le puede poner en correspondencia la sucesión
(2)
~. ª•• "'· . . , a-,i• • • .,
donde a. es igual a O 6 a 2. La totalidad de estas sucesiones
forma un conjunto de potencia de continuo. Es fácil comprob~r
esto, si se pone en correspondencia a cada sucesión (2) ·1a sucesión
b.,, b,, ...• b,,. . . . •
(2')
donde b0 =0, cuando a,.=0, y b.= 1, cuando a.=2. La sucesión (2') puede ser considerada como la representación de un
número real y, O~ y~ 1 mediante una fracción binaria. De este
modo obtenemos una aplicación del conjunto F sobre todo el
segmento (O, 1J. De aquí se desprende que F tiene potencia de
continuo n. Puesto que el conjunto de los puntos (1 ) es numerable, el conjunto F no puede limitarse a ellos.
1
EJERCICIOS. l. Demuéstrese directamente que el punto
4 pertenece
conjunto F sin ser extremo de ningw10 de Jos intervalos om ilidos.
Sugerencia. El punto
al
+
divide el segmento [O, l J en dos partes según
la razón -} . También divide en dos partes según la razón -} el segmento
[o. ~J que queda después de la primera excl usión, etc.
Los puntos ( 1) se llaman puntos de primer género del conjunto F y los
demás puntos suyos se denominan puntos de segundo género.
2. Demuéstrese que los pun tos de primer género lorman un conjunto
siempre denso en F.
3. Demuéstrese que los nümeros 11 0 , donde 11 • t,~F llenan todo el
segmento {O. 2].
+(
Hemos demostrado que el conjunto F es de potencia de continuo, es decir, tiene tantos puntos como todo el segmento [O, 1].
Es interesante comparar esto con el siguiente resultado: la
suma de longitudes de todos los intervalos omitidos es igual a
{ + { + ~ + .. ., es decir, ¡exactamente a la unidad!
1 > La correspondeucia establecid:1 enlre F y el segmento [O, 1) es univoca,
pero no es biunívoca (porq11e un mismo número puede ser represent~do.
a veces. por diferentes frncciones). De aqu i se deduce que la potencia de F
es no menos que la de continuo. Pero F es parte del segmento (O. 1J y. por
consiguiente, su potencia no puede ser mayor q ue la potencia de continuo.
CAP. 11. ESPACIOS ME TRICOS Y TOPOLOCICOS
70
Observ&eioncs complemen tarla.s.
Sea M un conjunlo de IJlt espacio mélrico R y •~a X un runlo de
eslc espacio. /..a distancia del punto x al co11junlo M se define por e número
p(M. x)~ in! p(a. x).
(1)
a G Al
S1 xEM. tenemos ¡¡(M. x)-0; en cmnbio. p(M. x )=O 110 implica que
xEM. o.. :1cuerdo con la definición de punto de adhcrenr.ta. obtenemos
inmedint .. mcnte que p (M. x) =0 si, y sólo si, x es 1111 ¡>unto de adherencia
del conjunlo M .
Pur eso se puede decir que In operación de rtdherenclu consisle en qut•
al conjunlo se añaden todos aquellos puntos cuyas distonclas .ni conju11io
sean !gua 1 a cero.
(2) De una manera análoga se define la d islaocla enlre dos c<>njunl os.
Sí A y 8 son dos conjuntos del ~spacio métrico R. lenemO$
fl(A. B)~lnl p(tt, b).
ae A
b E IJ
Si A íl B ;!: líf, entonces p (A, 8)=0; la aiirmacl ón contrnria no tiene, "n
genernl, l ugar.
(3) Sea MK el conjunto d~ todas las funciones I d e
b) que veriliean
In condición de Lipschih: pnrn lodos Jos 11, l:E!:la, h]
1/ (1, )-f (1 2)].;;; K 11,-11 l.
donde K es un nún•ero lijo. El conjunto M.._.. es ctrrado. Coi ncide con In
ad herencia del conjunlo de funciones di!erenciables en {a, b] y tales que
lf' (/) l CO:: K.
(4) El conjunto M ~ U MK de !odas las funci(lllCS que verilk:in ln
e,•.
1(
condici ón de Lipschllz, cada unu con su número K. no ~s cerrndo. Su
adh~renct a coincide con todo el es¡iaclo C¡a, óJ '
(5) U n conjunto abierto G de un espacio euclídeo dt n dimensiones SP
llnnrn co11txo. cuando dos c ualesquiera puntos x, yf. G pueden un irse medinn.
te un a quebrada que pertenece lntegramente a O. l>or ejem plo. el conjunto
formado por los puntos interiores del circulo x' +y• < 1 es conexo. Al con·
trMio, lo suma de dos círculos
x•+11ª
<1y
(.r - 2)2+11• < 1
es un con¡unlo desconexo (¡aun cuando estos círculos tienen un punto común
de adherencia!). Un subconjunlo abierto H de un conjunto abierto G se llama
compo11tnlt del conjunto G, cuando es conexo sin sor .P.orte de ningún o tro
subconjunto abierto conexo mayor del conjunto G. V11héndose del teorema
de Zorn. es fácil ver que liene lugar Ja siguiente alirmaclón: todo conjun to
abierto O de un espacio euclldeo de n dimensiones es Ja suma de un núntero
a lo sumo numerable de componentes disjuntos dos a dos.
En el caso de n= l. es decir, en la recta, todo conjunto abierto conexo
es un intervalo (incluyéndose en los intervalos Jos Intervalos Infinitos
(-oo, a). (b, oo) y (- "'· oo). Por consiguiente. el leoremo 5 s obre Ja eslructura
de Jos conjuntos abiertos de la recta contiene dos afirmaciones: a) todo
conjunto abierto de la recta es la s uma de un número finito o numerable de
componentes y b) uil conjunto abierto conexo de In recta es un intervalo.
La primera de estas afirmaciones se cump le también para los conjuntos de
los espacios euclideos de n dimensiones (Y admite otras generalizaciones).
mienlras qu~ ta segunda afirmación se re.!iere solnmente a Ja rec ta .
§ 3. ES PACIOS METRICOS,COMPLETOS
71
§ 3 . ESPACIOS MIOTRICOS COMPLETOS
1°. Definición y ejemplos de espacios métricos completos.
Desde los pasos iniciales en el estudio de l Análisis Matemático,
podemos persuadirnos del papel tan importante que desempeña
en el Análisis la propiedad de complitud de la recta numérica,
es decir, el hecho de que toda sucesión fundamental de números
reales converge a un límite determinado. La recta numérica
representa el ejemplo más sencillo de los así llamados espacios
métricos completos, cuyas propiedades principales consideraremos
en este punto.
Una sucesión {xn} de puntos de un espacio mét.rico 'R se
llamará fundamental, cuando verifique el criterio de Cauchy,, es
decir, cuando para cualquier <->0 exista un número N. tal, que
r>(x,.,, x,,.) <e para cualesquiera n' > N., n" > N,.
Del axioma triangular se sigue inmediatamente que toda
sucesión convergente es fundamental. En efecto, si {x,.} converge
a x, cualquiera que sea e> O se puede encontrar un número N,
tal que p (x,., x) < ~ para todo n > N ,. Por eso p (Xn•, Xn•) ~
~ p (x,.,, x)-H> (x11·. ~..:)<e para cualesquiera n' > N, y n" > N,.
D1?.FIN 1c10N 1. Un espacio R se llama completo, cuando toda
sucesión fundamen tal de él converge.
Ejemp los. Todos los espacios considerados en el§ I, a excep·
ción del señalado en el ejemplo 8, son completos. En efecto:
L. En el espacio de puntos aislados (ejemplo 1 de l § 1) son
fundamentales sólo las sucesiones estacionarias, es decir, en las
que se rep ite constantemente, comenzando desde cierto número,
un mismo punto. Toda sucesión de este tipo converge evidentemente y, por consiguiente, este espacio es completo.
2. La comp litud del espacio R', compuesto por los n úmeros
rea les, es conocida del Análisis.
3. La comp\itud del espacio euclídeo R" se sigue inmediatamente de la complitud de R1• En efecto, sea {x1P>) una sucesión
iundamental de puntos de R•; esto significa que para lodo e > O
existe un N = N, ta l que
para todos µ,. q mayores que N. Aquí x11'1 = {x¡P>, .•. , x~r'\. En
este caso para todo k = 1, 2, ... , tt obtendremos la desigual da el
correspondien te a la coordenada xLP1 ;
1x',f'
-xL1 ' I <
g
C1\P. 11. l!SPACIOS M ET ~ICOS Y TOPOl.OOICOS
72
siempre que p, q > N; por consiguiente, {xlf>) es una sucesión
numérica fundamental. Tomemos
xk = limx~P' y x = (x,, x~, ... , x.).
P-"'
Es obvio entonces que
¡lim x 1P' = x.
4-5. La complitud de los espacios R~ y R1 se demuestra de
una manera totalmente análoga.
6. Demostremos la complitud del espacio C¡a, bJ· Sea {xn (t)I
una sucesión fundamental de C 1a, bJ· Ello significa que para todo
e > O existe un N tal que
Jx,.(t)-xm(l)I
<E
siempre que n, m > N y para todo t, a~t~b. De aquí se
deduce que la sucesión {xn (t)} converge uniformemente. En este
caso, como se sabe, su límite x (t) será una función continua.
Haciendo tender m al infinito en la desigualdad anterior, obten·
dremos
Jxn(t)-x(t) 1 ~e
para todo t y para todo n > N y esto significa precisamente que
{x. (1)) converge a x (t) en el sentido de Ja métrica del espacio
Cea. bJ·
7. El espacio 1,. Sea {x<"1} una sucesión fundamental en 1,.
Esto significa que para todo e> O existe un N tal que
p2 (x<n>, ximl) = ~ (xkni - 4"º)' < e, para n, m > N.
( 1)
Aquí
De (l) se desprende que cualquiera que sea k,
(x1"' - xr)' < E,
es decir, la sucesión de números reales {xl.m} es fundamental
cualquíera que sea k y, por consiguiente, converge. Tomemos
xk = ,._.,
lim 4"'. Sea x la sucesión (x 1, x,, . . . , x•• ... ). Debemos
demostrar que
a)
~4 < oo,
es decir, x E l.,
k= I
1
b) lim 1> (x "l, x) = O.
n ..... oo••
§ 3. ESPACIOS MliTRJCOS COMPLETOS
73
Demostrémoslo. De la desigualdad (1) se deduce que para todo
número fijo M
."1
<e.
~ (x~0 -x~m1 )'
Fijando n, pasemos al ·~·
límite para m- oo. Tendremos
M
kfri (.~¡.m-xkp ~e.
Esta relación se verifica para cualquier M. Pasando en ella al
limite para M - oo, obtendremos
i; (xj,m -
xk)"
k= 1
De la convergencia de las
~ t:.
series"~' (x~m) 2
(2)
y
1
~ (xj,"'-xkp se
x:
deduce la convergencia de la serie k~ (véase el ejemplo 7 del
§ l) y con esto queda demostrada la afirmación a). Ahora bien,
puesto que e es arbitrariamente pequeño, la desigualdad (2) significa que
~ (x~-xk)' =O,
V ~¡
lim p (x 1•>, x) = lim .. /
11~w
n-co
es decir, que xC•>-+ x en la métrica de l,. Queda también demostrada la afirmación b).
8. Es fácil ver que el espacio C(0 • bJ no es completo. Consideremos, por ejemplo, la siguiente sucesión de funciones continuas
cp. (t) =
¡-'
fil
. l
para - l :s;:::t:s;:::-..!..
~
~
n
•
i:s;::: ..!..
para _ _._~
n
--=:: n •
para
1
ñ~t~J.
Es una sucesión íundamental de C'¡- 1.
1¡.
puesto que
l
S(<¡>. (t)-cpm (t))' dt ~ min(:. m) •
-1
Sin embargo, no converge a ninguna función de CC- i. il· En
efecto, sea f una función de Cl- .. ,1 y sea "1 la función discontinua, idéntica a -1 para t <O y + 1 para t ;;;¡, O.
CAi>. 11 . P.SPACIOS
74
~\ETRICOS
Y TOl'OLOGICOS
De la desigualdad de Cauchy- Buniakovski (que, evidentemente, se veriÍica también, para las funciones conllnuas a trozos)
se deduce que
r~
(f(l)-lji(l))'dt).
~r s (f(!)-<p,,(t))'dt! • +
~I
\- 1
J
1
+(J,
2
(cp,.(t)-1jl (l)}"dt)
Puesto que f es una función continua, la integral del miembro
de la izquierda es distinta de cero. Ademi1s, es obvio que
1
lim
,, .... oc
rj
(q¡n (t)-11> (t))' dt
== o.
-1
1
Por eso, ~ (/ (!)- <p,. (L))idt no puede tender a cero para n _, oo.
-1
1!.I ERCICIO. Do!muéstrese que el• espacio 1l• tndH• las sucesio11t•s 11colndus
(ejemplo 9 rlel § l) es com pleto.
2°. Principio de bolas encajadas. En el Análisis se emplea
con frecuencia el asi llamado lema de intervalos encajados. En
la teoría de espacios métricos desempeña un papel semejante el
siguiente teorema, llamado principio de bolas encajadas.
Para que un espacio métrico R i;ea completo es necesario
y su[iciente que cualquie.r sucesión de bolas cerradas de este
espacio, encajadas unas en otras y cuyos radios tienden a cero,
ten:ga una intersección no oocia.
TEOR EMA 1.
1
OEMOSTRACtON. NECl::StOAO. Supongamos que el espacio R es com·
pleto y sea Bu B., 8 3 , • • • una sucesión de bolas cerradas,
encajadas unas en olras. Sea rn el radio y x •• el centro de la
bola Bn. La sucesión de centros {xn) es fundamental, ya que
p(xn, xm) < r" para m > n y r"~o paran - oo. Puesto que R
es completo, existe li.n x,,. Tomemos
n - "'
x=li.n x,,;
entonées, xE
n B".
n - ..
En efecto, la bola B. contiene todos los
puntos de la "sucesión lxk}. excepto, posiblemente, los puntos
~ J.
ESPACIOS
,\.\ET~ICOS
COMPLETOS
75
x,, .\'1 , • • • , xn- >· Por consiguiente, x es un punto de acumula·
ción de toda bola Bn. Pero Bn es un conjunto cerrado y por eso
X E Bn para todo fl.
SUl'ICIENCIA. Sea {xnl una sucesión fundamental. Demostremos,
que tiene un limite. Puesto que es fundamental, podemos enconlrai:
1
Wl punto Xn, de ella tal que p (Xm x.,) <
2 para todo n;:;.. ri,.
Consideremos la bola cerrada de radio l con <;entro en x,., 't.
denotémosla mediante 8 1 • Escojamos luego un punto xn, de {x;.}
tal que sea 11 0 > n 1 y p (x., x.,) < 2~ para todo ri ';;:¡. n,. Consi·
deremos la bola ~1 de radio
y centro en x.,. E.n general; si
Jos puntos x,.,, Xn,. ... , xn. ya se han escogido (n 1 < 111 <. ... <n.¡,);
escogeremos el punto x,.,.., de manera que sea rt__.,>nk y p (x.,
1
Xnu,) < -24+1- para todo ii;;.n,, .. , y lo envolveremos en una bola
-i
cerrada
B,,.., de
radio..!_. Continuando este proceso, obtendremos
2•
una sucesión de bolas cerradas B•• encajadas unas en otras; la
1
bola Bk es de radio - .- - . Esta sucesión de bolas tiene, por
2·-·
hi pótesis, un punto 1..'0mún; denotémoslo :c. Es obvio que este
punto x. es el limite de la sucesión {x,.,}. Pero una sucesión fun·
damental, que contiene una sucesión parcial convergente a x,
converge al mismo límite. Por consiguiente, x = lim x,,. El teorema
" - "'
queda demostrado.
EJE~CICIOS.
l. Dado un conjunto M de un espado mctrico el
número
d(M)= sup p (x, !I)
x, V<!.\!
se llama diimelro del conjunto M. Demuéslrese que en un espacio métrico
completo toda sucesión de conjuntos cerrados no vaclos, enc11J:1dos unos en
otros y cuyos diámetros tienden a cero, tiene una intersección no v;1cla.
2. Dese un ejemplo de un espacio métrico completo y de una ~ucesión
de bolas oerrndas de este espacio, encajadns unas en otras, que tiene una
in ter sección 1111clo.
3. Demuéstrese que un subespacio de un espacio m~lrico completo R es
completo si, y sólo si. es cerrado en R.
3°. Teorema de Baire. El siguiente teorema desempeña un
pa pel fund amental en la teoría de los espacios métricos completos.
Un espacia métrica cumple to R na pued.e
represe11tarse como la u11ión de wt número numerable de canjun·
rnORUMA oc BA IR E.
1 tos nunca densos ll.
" Se dice que el oonjunto M es nuncn denso en R. cunndo cada bola
Be R contiene otra bola B', que no tiene con M ningún punto común.
CAP. 11. 1'SPACIOS MP.iR IGOS y TOPOLOOu.:os
i6
DEMOST!l11c10N.
Supongamos lo contrario. Sea R-
U Mn,
doncle
n" 1
cada uno de los conjuntos M0 es nunca denso. Sea S 0 una bola
cerrada de radio l. Puesto que M 1 no es denso en S 0 , ya
que es nunca denso, existe una bola cerrada S1 de radio menor
que -} y tal que S, e S0 y St n M 1 = 0· El conjunto M , no
es denso en S , y por eso la bola S, contiene una bola cerrada
S, de radio menor que
tal que S1 íl M, .... 0 , etc. De esta
forma obtenemos una sucesión de bolas cerradas {Sn}• encajadas
unas en otras, cuyos radios tienden a cero, siendo, además,
S,. íl Mn = 0. En virtud del teorema 1 del punto anterior, la
f
intersección
n
S,, contiene
llll
punto
X.
De acuerdo con el pro·
n =I
cedimiento seguido, este punto no puede pertenecer a ninguno
de los conjuntos M" y, por consiguiente, xE U Mn, es decir,
/f
R -:/>
U M,,,
lo que está en contradicción con la suposición hecha.
"
En particular, todo espacio métricc completo sin puntos aisla·
dos es innumerable. En efecto, en este espacio lodo punto es
nunca denso.
4°. Completación de un espacio. Si el espacio R no es completo, siempre puede ser incluido de cierta manera (y de hecho
de una manera única) en un espacio completo.
oeP1N1c10N 2. Sea R un espacio métrico. Un espacio métrico
completo R• se llama completació11 del espacio R., si:
1) R es un subespacio del espacio R";
2) R es siempre denso en R", es decir, [RJ = W. (Aquí [RJ
significa, claro está, la adherencia del espacio R en R").
Por ejemplo, el espacio de todos los números reales es completación del espacio de los números racionales.
Todo espacio métrico R posee una completaclón y
esta compl~tación es única, a menos de una aplicación isomé·
frica que transforma los puntos de R en si mismos.
TEOREMA 2.
1
OEMOSTRACION . Comencemos por la unicidad. Debemos comprobar
que si R" y R'* son dos completacioncs del espacio R, existe
una aplicación biunivoca cp del espacio R• sobre R... tal que:
1) cp (x) = x para todo x E R;
S 3. l!SPACIOS METRICOS COMPLETOS
77
2) si x" +-+ x" e !/~ y... entonces p, (X'' y•)= p, (x"", r >.
donde p1 es la distancia en R• y p,, la distancia en R...
La aplicación <p se construye del siguiente modo. Sea x" un
punto arbitrario de R•. En este caso, de acuerdo con Ja definición de completación, exlsle una sucesión {xnl de puntos de R
que converge a x" . Los puntos {x:,,I pertenecen también a R''.
Puesto que R.. es completo, {xnl converge en R" a un punto
x"' . Está claro que x"' no depende de cómo se escoge la sucesión {x,,I, convergente al punto x". Tomemos q¡ (x")= x". La
aplicación <p es la aplicación isométrica que necesitamos.
En efecto, está claro que q¡ (x) = x para todo x E R. Además,
supongamos que
{x,,} -x" en R" y lxnl - x" en R'•,
{Ynl- !1• en R• y {Ynl - y .. en R ..;
entonces,
p, (.\:", y')= lim p 1 (x,,. Yn) = lim P (x,,, Yn)
n-ao
,,_ •
y al mismo tiempo
f>. (x", Y-)= lim p. (x,,,
n-QO
y.,)= lim
n--
(>
(x,,, y,,).
OJO
Por consiguiente,
p,(x', !f')=p,(x.., y..).
Demostremos ahora la existencia de la completación. La idea
de esta demostración es la misma que en la teoría de Cantor
de los números reales. La situación ahora es incluso más simple
que en la teoría de los números reales, ya que allí era necesario, además, definir todas las operaciones aritméticas para los
antes nuevos introducidos, es decir, para los números irracionales.
Sea R un espacio métrico arbi trario. Dos sucesiones fundamentales ¡x.} y {x~} de R se llamarán equivalentes (denotación
{x,,l-{x~ ), cuando lirn p(x:., x~)=O. Esta relación de equiva·
n ~ "'
lencia es reflexiva, simétrica y transitiva. De aquí se desprende
que todas las sucesiones fundamentales, que pueden formarse por
medio de los puntos del espacio R. se dividen en clases de
sucesiones equivalentes entre sí. Definamos ahora el espacio R°
del siguiente modo. Tomemos como puntos de este espacio todas
111s clases de sucesiones equivalentes entre sí y d('lerminemos la
distancia entre ellos como sigue. Sean x• e y• dos de t'sta ~
clases. Escojamos en cada una de estas clases 1111 reprcsenlanll',
es decir, una sucesión fu ndamental {x,.J e {!¡,,}. Pongamos
(3)
r (x', y') = li111 (p(x,,, !J,,) .
,,_.::.11
78
CAi'. 11. ESPACIOS
MEllUCO~
Y TOPOl.OOICOS
Demostremos que es correcto definir así la distancia, es decir,
que e l límite (3) existe y no depende de cómo se escogen los
represen tantes {xn} Ex" e IYn} E !f.
Puesto que las sucesiones {xnl e {Yn} son fundamentales.
obtenemos, por med io del ax ioma triangular, que para tod os n
y m suficientemente grandes
=
1P (x,., y,,)-p (xm• y.,) 1
= 1p (xn• y.) - p (X,JJ,,.)
p (x,,, y.,.)-p (.x,,., y,.) 1
1P (x,., y,,)- p (xn, y,.) I+ 1P (xn, y.,)-p (x,.., y.,) 1
e
e
P(Yn• y,.)+p(x,,, x,,.) < 2+ 2= ~ . (4)
+
<
<
<
<
Por consiguiente. la sucesión de números reales s,, = p (x.,, y,,)
verifica el criterio de Cauchy y, por lo ta nto. tiene un limite.
Este límite no depende de la selección de {.xnl Ex• e IY.• ) E y•.
En efecto, sea
{x,.f, {x~} Ex• e {y,.}. {y~} E y".
Obtenemos por un razonamiento. análogo a (4),
<
l P (x,,. y,,)-p (x~, y~) 1 P (x11 , x~H· P CYn• Y~).
Puesto que {x,,} ~ {x~} e (Ynl ~{y~}. de aquí se sigue que
lim p (x,,, y,,) = lirn p (x~. y~).
,, ... oo
11-<r>
Demostremos ahora que R• se cumplen los axiomas de espacio métrico.
El axioma 1 se desprende inmediatamente de la definición
de equivalencia de sucesiones fundamentales.
El a xioma 2 es obvio.
Comprobemos ahora e l axioma triangular. En el espacio
inicial R este axioma se cumple y por eso
<
p (Xm zn) p (x,,, y,,) + p (y,,, z,,).
Pasando a l límite pilra 11-. oo, obtenemos
li.n p (;e:,,. Zn) ~ lim p (x,,. Yn)
n-te
n -0>
+ lim
p (Yn• zn)•
es decir,
p (.'(, z) ~ p (x, y) + p (y, z).
Demostremos ahora que R• es una complelación del espacio R.
A cada punto x E R le corresponde una clase de sucesiones
fund amentales equivalentes entre sí, a saber, la totalidad de las
§
<. PRINCIPIO DE AP LICACIONF.S CONTRAIDAS Y SUS APLICACIONES 79
sucesiones convergentes al punto x. Además, si
x = lirn x0 e y= li m Yn• tenemos p (x, y)= lim p (x,.. y,.).
q-~
· - ·
·-·
Por consiguiente, obtendremos una aplicación isomélrica de
R en el espacio R*, si a lodo punto x E R le ponemos en correspondencias la clase de sucesiones fundamentales convergentes ax.
En adelante podemos identificar el espado R con su ítnagen
en R• y considerar R como un subconjunto de R*.
Demostremos ahora que R es siempre denso en R". En efecto,
rean x* un punto de R• y e > O un número arbitrario. Tomemos
en x' un representante, esto es, una sucesión fundamentar Txnl·
Sea N tal que p (x,,, x.,) < t para todo n, m > N. En este caso
p (xn, x•)= li,11 p {:e:,.. x,.) ~e
ur -
oo
para n;;;;.: N, es decir, una vecindad arbitraria del punto x• contiene un punto de R. Por consiguiente, la adherencia de R en W
es todo el espacio R'.
Resta demostrar que el espacio R• es completo. Observemos,
ante todo, que R* ha sido construido de manera que toda sucesión fundamental
(5)
compuesta de puntos pertenecientes a R., converge en R* a un
punto determinado, a saber, al punto x• E R' determinado por
la sucesión (5). Además, puesto que R es denso en R*, para
toda sucesión fundamental x~, x; , .. . , x~• . .. de puntos de R'
se puede construir una sucesión equivalente x., x., ... , x., ... ,
compuesta de puntos, pertenecientes a R. Para ello es suficiente
escoger a título de x,. cua lqui er punto de R tal que p (x,,, x~) < ...!...
.
n
La sucesión {xn} así obtenida es fundamental y, de acuerdo con
lo demostrado, converge a un punto x' E R". Pero esto signiíica
que la sucesión {x~) también converge a x•. El teorema queda
demostrado completamente.
§. 4 Pl{INCIPIO DE APL\GACl::>NES CONTRAÍDAS
Y .SUS APL!GACIONESJ
I"'. Principio de aplicaciones contraídas. A título de aplicación
del concepto de complitud consideremos el así llamado principio
de aplicaciones contraídas. Representa un instrumento útil para
1a demostracíón de diferentes teoremas de existencia y un icidad
por ejemplo, en la teoría de ecuaciones diferenciales).
CAi'. 11. ES PACIOS
80
~I ETR.ICOS
Y TOPOLOGICOS
Sea R un espacio métrico. La aplicación A del espacio R
en sí mismo se llama contraída, cuando existe un número ex < J
tal que para cualesquiera dos puntos x, y E R. se verifica la desigualdad
(1)
p (Ax. Ay)~ cxp (x, y).
Toda aplicación contraída es continua. En efecto, si x,. --. x,
tenemos, de acuerdo con ( 1), Ax,. --. Ax.
TEOR.E~tA 1
1
(principio de aplicaciones contraídas). Toda aplicació11 co11traída, definida e11 un espacio métrico completo R.
tiene un punto fijo, y sólo uno, (es decir, la ecuación Ax=x
tiene una solución, y solamente una).
DEMOST R.Ac10N. Sea x 0 un punto arbitrario de R. Pongamos
x, = Ax0 , x, =Ax,= A'.x0 , etc.; en genera l, x. = Ax,._ 1 = A"x 0 •
Demostremos que la sucesión {x,.} es fundamental. En efecto,
su poniendo, para concretar, que m ;:;a:- n, tenemos
p (x•• x,.) = p (A"x0 , Amx0)
~ a."p
(x0 , xm-n) ~
~O." (p (x., X1 ) -f- p (X¡, X:)+·.·-!- p (Xm-n-1• Xm-n)}
~o."p (x•• x,) p +o.+a.• + .. . +o.m- n- 1 ) ~a·p (x,,
x,)
! ~ o;.
Puesto que a< 1, esta magnitud resulta tan pequeña como se quiera, siempre que n sea suficientemen te grande.
Debido a Ja complitud de R.. la sucesión {x,.), que es fundamental, tiene limite. Pongamos
X=
Jim
Xn•
Pero la aplicación A es continua; por eso
Ax=A lim x,.= lim Ax,.= lim x,.+1 =x.
n-a:>
n-
i»
n-<:o
Por consiguiente, queda demostrada la existencia del punto
fijo. Probemos que es único. Si
A.~= -~ . Ay = y,
Ja desigualdad (1) nos da
p (x, y)
puesto que
< o.p (x,
y);
a< l,
de aquí se deduce que
p (x, y)= O, es decir, que x =y.
l!JERCJC!O. Demuéslrese q ue para ta existencia de un punto lijo no es
suficiente que se cumpla la condición p (Ax, Ay) < p (x, y) para todo x r' y.
f 4. PRINCIPIO DE APLICACIONES CONTRAIDAS Y SUS APLICACIONES 81
2°. Aplicaciones elementales del principio de aplicaciones contra ídas. El principio de aplicaciones contraídas puede emplear.se
para demostrar teoremas de existencia y unicidad de soluciones
de diferen tes ecuaciones. Junio con la demostración de la exis·
tencla y de la unicidad de la solución de la ecuación Ax=,(,
el principio de aplicaciones contraídas ofrece un método aproxi·
mado para buscar esta solución (el método de aproximaciones
sucesivas). Veamos Jos siguientes ejemplos elementales.
1. Sea f una función, definida en el segmento ¡a, bj, que
verifica la condición de Lipschitz
11(x,)-f (x,) J < K¡x,-x, l
con una constante K < 1 y que transforma el segmento [a, b)
en si mismo. En este caso, f es una aplicación contraída y, de
acuerdo con el teorema demostrado, la sucesión x 0 , x 1 = f (x0 ),
x~ = f (x,),
converge a la única raíz de la ecuación x = f (x).
F IG. 10
En particular, la aplicación será contraida, si la función
t iene en el segmento [a, b] una derivada f' (x) fal que
< K < 1.
1f' (x) 1
En las figuras 10 y 11 están representadas las aproximaciones sucesivas para el caso O < f' (x) < 1 y pa ra el caso - 1<f'(x)<O,
respecli vamen te.
Supongamos ahora que tenemos una ecuación de tipo F (x) =O,
que F(a)<O, F (b)>O y O<K,<F'(x);<K, sobre [a, b).
Para encontrar la raíz, introduzcamos la función f (x) = x- ).F (x)
y busquemos la solución de la ecua ción x = f (x), equivalente
a la ecuación F (x) =O. Puesto que f' (x) = 1 ~ ~.F' (x), tenemos
CA P. 11 . ESPACIOS Mt'TRICOS Y TO!•OLOO ICOS
112
1-í,K, ~ f' (x) ~ 1- kK, y no costará ningún esfuerzo escoger
el número í.. de manera que se pueda emplear el método de
aproximaciones sucesivas. La idea aquí expuesta es un método
extendido que se emplea para buscar la raíz.
2. Consideremos la aplicación A del espacio de n dimensiones en sí mismo definida por el sistema de ecuaciones lineales
"
Y1= ~ O¡¡x¡+ b 1
(i=I, 2, .. ., 11).
i =I
Si A es una aplicación contraída, podemos aplicar el método
de aproximaciones sucesivas para resolver la ecuación x =Ax.
¿Bajo qué condiciones la aplicación A será contraída? La
respuesta depende de cómo se escoja la métrica en el espacio.
Consideremos tres va riantes.
a) Et espacio Ri. es decir, p (.~. y)= max 1x1 -Yil;
l q. ' "' ''
p (!I', y")= max 1y;-y;1=max 1~ a11 (.\:j-xj) 1~
¡
j
..;;;; max ~ ¡ a 11 1
!
/
1!
1
lxj-xi ! ..;;;; rnax ~ \ a 11 1max 1 xí -Xil=
i
= (m~x ~ la111) p (x',
/
x").
De aquí Ja con dición de contracción
"
~ 1ªil 1,¡;;;; a. < 1'
i =l
b) El espacio R~. es decir,
i = l. ... ' 11.
,,
p(x, y)= L lx1-y¡j;
(2)
i • I
P (y', !/') = ~ 1y;-y;1=~1 ~ au(xj - xJ>I ~
'
'
I
:;;;; ~ ~ la1¡\I xí-xíl ~ ( m~x f:l a;1 1) p (x',
x").
De aquí la condición de contracción
~la;¡l~a.< 1, j=l, .. . ,
l
R.", es decir
c) Et espacio
(x,
y)= V
(3)
r1.
,- ,,
,~.. ,(x,-y1)~.
En vir·
tu d de la desigualda d de Cauchy-Bun iakovski, tenemos
P' (y', y")= ~ J ( ~ a 11 (x;-xj)\' ~ ( ~~at1 ) p'(x', x").
1
/
/
I
/
f 4. PRINCIPIO DE APLICACIONES CONTRAIDAS Y SUS APL ICACIONES 83
De aqui la condición de contracción
~~a1/.;;;;« <J.
'
(4)
f
Por consiguient.e. si se verifica al menos una de las condiciones (2), (3) ó (4), existe un punto y sólo uno, x = (x,, ·"~· ...• xn)
n
tal que X¡=-~ a1¡X¡+ b; ll; además las aproximaciones sucesivas
¡ :I
de esta solución tienen Ja forma
..~•> = (x~0 >,
x~0 > ,
• . • , x~º,,
x<u == (xlº,
x~",
...
donde
n
x¡li _
~
9
x~u,
a ..xtk-11 + b·
j : I t¡ 1
'
y x'' 1 .,. (x¡•>, ... , x~•» puede ser un punlo cualquiera de R".
Cada una de las condiciones (2), (3) y (4) es suficiente para
que la aplicación y= Ax sea contraída. Respecto a la condición (2)
se puede demostrar que es también necesaria para que Ja aplí·
cación y= Ax sea contraída (en el sentido de Ja métrica a)).
Ninguna de las condiciones (2), (3) y (4) es necesaria para
que se pueda aplicar el método de aproximaciones sucesivas. Se
pueden dar ejemplos, cuando una de estas condiciones se verifica, pero las otras dos no se cumplen.
s; laul < .f¡ (en este caso se cumplen las tres condiciones).
es aplicable el método de aproximaciones sucesivas.
Si 1alj1 = ~ (en este caso las tres sumas son iguales a 1), es
fácil ver que el mélodo de aproximaciones sucesivas no puede
aplicarse.
3°. Teoremas de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales. En el punto anterior hemos señalado algunos ejemplos
11 En parlicular, de cualquiera de las cond icion~s (2), (3) ó (4) se deduce q ue
a 11 - I ª1:
a,,,
ªu
n02 - 1
...
... G:n
ªnl
nu
.. . am: -1
;ió
o.
CAi'. ll. J!SPAC IOS METRICOS V TOl'OLOO ICOS
84
~ lementales de aplicación del principio de aplicaciones contraídas
en los espacios de una y /1 di mensiones. Sin embargo, las apli·
caciones más importantes para el Análisis del principio de aplicaciones contraídas se refieren a los espacios funcionales de
infinitas dimensiones. Ahora veremos cómo mediante este prin·
cipio se puede obtener teoremas de existencia y unicidad de la
solución de ciertos tipos de ecuaciones diferenciales e integrales.
1. Supongamos que se tiene una ecuación diferencial
r·,(x,
dy
(L;; =
y)
(5)
con Ja condición inicial
(6)
y(x,) = Yo
y que la función
f, defin ida
y continua en un recinto plano G
que contiene el punto (x., y0 ) verifica la condición de Lipschilz
respecto a y:
\f(x,
y,) -f(x, y,)l ~ M ll!h-Yo l·
Demostremos que entonces existe en un segmento lx-x, ¡ ~ d
una solución, y sólo una, y= q; (x) de la ecuación ( 1), que verifica la condición inicial (6) (teorema de Picard).
La ecuación (5) junto con la condición inicial (6) es equivalente a la ecuación integral
X
<p (x)=Yo+
~ f(t , <p(l))dt .
(7)
Deb ido a la continuidad de la función f, tenemos 1f (x, y) 1 ~ K
para un recinto O' e G que contiene el punto (x0 , y,). Escogemos
ahora el número d >O de manera que se cumplan las condiciones:
1) (x, y)EG', siempre que lx - x.l~d. IY-Yo l ~ Kd;
2) Md
< l.
Designemos mediante C* el espacio de funciones continuas <p,
defi nidas sobre el segmento l x-xQl ~ d y tales que j qi (x) -Y. l< Kd, con la métrica p{cp., <p,) = max [<p(x1) - <1>,(x)I·
X
El espacio e• es completo, ya que representa un subespacio
cerrado del espacio completo de todas las funciones continuas
sobre [x0 -d, x 0 +dJ. Consideremos la aplicación$= Aq¡ definida
me.diante la fórmula
X
w(x) =y. + ~ f(L, \p(f)) dt,
....
donde 1x-x0 [ ~d. Esta aplicación lransfo rma t'l
e~pacio
com-
85
§ ~. PR INCJl>IO OE APLICA CJONES ~CONTR AIOAS Y SVS APLlCACION!!S
plelo C" en sí mismo y es contraída en él. En efeclo, sea cp E
y 1x-x0 1~d. En este caso,
liji(x)-Yol=li f(t,
e·
<r(t))dtl~Kd
y, por consiguiente, A {C")c::C'. Además,
X
l'l>, (x)-'lj1, (x) 1 ~~1 f (/,
q>,(t))-f(t, cp, (t)) 1di~
~ Mdmax 1 q>,
(x)-cp, (x)I.
X
Puesto que Md < 1, la aplicación A es contraída.
De aquí se deduce que la ecuación <p = Acp (es decir, la ecua·
ción (7)) tiene una solución, y sólo una, en el espacio e•.
2. Supongamos que se tiene un sist~ma de ecuaciones dife·
renciales
qi; (x) = f; (x, <¡>1 {x), ... , lj). (x)), i = 1, 2, ... , n,
(8)
con las condiciones iniciales
<p¡ (X0 )=y 01,
i = 1, 2, ... , n
(9)
y que las fun ciones f ;. definidas y continuas en un recinto G del
espacio R•+1 que contiene el punto {x 0 , y 0 , •• • , y 0 .), verifican
la condición de Lipschitz
lf1(x, y\'>, . ..• y';,")-f(x, y~" • . .. '. Y~")l~
~M
max
l < i <; ll
IY!"-y?' I·
Demostremos que entonces existe en un segmento 1x- .x0 1~ d
una solución, y sólo una, del problema inicial (8) y (9). es decir,
un sistema, y sólo uno, de funciones C{J; que verifican las ecua·
ciones (8) y las condiciones iniciales (9).
El sistema {8) junto con las cond iciones iniciales (9) es
et¡uiva]en te al siskma de ecuadones inlc¡,,rrales
X
<r; (x)=Y.1+ ~ f;(f,
<¡> 1 (1), ... , cp,,(l))di, i = I , ... , tt.
(10)
x.
Debido a la continuidad, las funciones /; son acotadas en un
recinto G' c G que contiene e l punto (x 0 , y 0 , •• • , y 0 11), es d~c.ir.
existe una constante /( ta l que l / 1 (x, y., . . . , y,,) 1~ !(.
56
CAi'. 11. ESPACIOS METRICOS Y T OPOLOGICOS
Escojamos ahora el número d > O de manera que se cumplan
las condiciones:
1) (x, y,, ... , Yn) E G', siempre que 1x-x0 J ~d, IY1 -
-Y.; l~K.d;
2) Md < l.
Consideremos ahora el espacio C~. cuyos elementos son los
sistemas ordenados <P = (<p1 , •• • , cp.) de n funciones, definidas
y continuas para todo x, siempre que lx-x0 l~d. y tales que
1Ql¡ (x) - y 0 ;1 ~ Kd, y cuya métrica está definida por
p (qo, ;¡;) = max 1i!'; (x)- lj;¡ (x) le.¡
Este espacio es completo. La aplicación iji=
el sistema de ecuaciones integrales
A<P.
dada mediante
.r
1~¡ (x) = Yná ~ f¡ (/,
q>1 (t),
... ,
!p,. (l)
dl,
es una aplicación contraída del espacio completo e; en si mismo.
En efecto,
11>1" (x) -11'!" (x) =
.r
=) I/; (t, <11\" (t),
. . . ' <p~l> (t)) - f j (t, q¡~" (f), .. " qi:,'l(t))j di
.r,
y, por consiguiente,
max l 'P!" (x) - lfl" (:e) 1~ Md max l q¡f'l (x)- <pl 11 (x) I·
x. ¡
La aplicación A es contraída, ya que Md < l.
De aquí se deduce que la ecuación ~ = A~ tiene una solución,
y sólo una, en el espacio C~.
4°. Aplicación del principio de aplicaciónes contraídas a ecuaciones integrales. Empleamos ahora el método de aplicaciones
contraídas para demostrar la existencia y unicidad de la solución
de la ecuación integral lineal no homogénea de Predholm de
segunda especie, es decir de la ecuación
b
f (x) = l. ~ K (x,
y)
f (y) dy + <p (x),
( 11)
a
donde K (l lamada núcleo) y cp son íunciones dadas; f, la función
Incógnita y )., un parámetro arbitrario.
Como veremos, nuestro método es aplicable solamente para
valores suficientemente pequeños del parámetro .A..
§ 4, PRINCIPIO DE APLICACIONES CONTRAIDAS Y SUS ·APLICACION ES
87
Supongamos que K (x, y) y cp (x) son continuas cuando
a<x<b, a<y<b, y, por consiguiente, IK(x, Y)i<M. Consideremos la aplicación g = Af del espacio completo C 1•• bJ en si
mismo, definida por la fórmu la
b
g(x) ="-SK(x, y) f(y)dy+cp(x).
"
Tenemos
p (g.. gz)= max rg, (x)-g, (x) 1-<
< 1í.I M (b-a) max 1f (x)-f, (x) [.
1
Por consiguiente, la aplicación A es contraída, si 1'A1 < .M (!- a).
Del principio de aplicaciones contraídas deducimos que para
todo J., tal que l '· I < M (bl-a) , la ecuación de Fredholm tiene
una solución continua única. Las aproximaciones sucesivas
f º' f 1 ,
f,., ... de esta solución tienen la forma
b
f" (x) =
í. ) K (x, Y)
f n- 1 (y) dy ·~- q> (x),
"
donde f 0 (x) es una función continua cualquiera.
El principio de ap licaciones contraídas puede ser también
empleado en el caso de una ecuación integral no lineal de tipo
b
f (x) ='A) K (x ,
y;
f (y))dy + qi (.x),
(12)
"
donde /( y cp son continuas y, además, K verifica la condición
de Lipschitz respecto a su argumento «funcional»:
jK(x, y; z,)-K(x, y; z.);l<M[z,-z.I.
En este caso, para Ja aplicación 'g =
C 1a. b¡ en sí mismo, definida por
Af del espacio completo
b
g(x)='°·~ K(x,
y; f(y))dy + <r(x),
(13)
"
obtenemos la desigualdad
rnax 1g, (x)-g, (:x) 1<1), 1M (b-a) max 1f, (x)-f, (x) [,
donde g, = Af,.
g~ = Af1 .
Por consiguiente, la aplicación A será
contraída, siempre que 1 'A. I < M (b'-a) ·
88
CAi>, 11. IZSP.ACIOS MCTRICOS Y TOPOLOOICOS
Consideremos finalmente la ecuación integral del tipo Volterra
·'
f (x) = >.. SK (x,
y)
f (y) dy + q> (x).
( 14)
a
En diferencia de las ecuaciones de Fredholm, el extremo superior
de la integral es aquí la variable x. Formalmente esta ecuación
puede considerarse como caso particular de la ecuación de Fredholm, completando la definición de la función K mediante la
igualdad
K(x, y)=O para y>x.
Sin embargo, en el caso de la ecuación integral de Fredholm
hemos tenido que limitarnos a pequeños valores del parámetro ;i.,,
mientras que en el caso de la ecuación de Volterra el principio
de aplicaciones contraídas (y el método de aproximaciones sucesivas) puede emplearse para todos los va lores de '1.. Hablando
con más precisión, se trata de la siguiente generalización del
principio de aplicaciones contraídas:
Sea A una aplicación continua del espacio métrico completo R
en sí mismo tal que la aplicación An es contraída para algiín n:
en este caso. la ecuación.
Ax=x
tiene una solución, y sólo una.
En efecto, tomemos un punto arbitrario x0 E R y consideremos
la sucesión Ak" x 0 (k =O, 1, 2, ... ). Repitiendo la parte correspondientemente de la demostración del principio de aplicaciones
contraídas, podemos probar que esta sucesión converge. Pongamos
x = lirn A•"x0 •
k- ..
Afirmamos que
Ax=x.
E!ectivamente, debido a Ja continuidad de A, tenemos
Ax= lim AknAx0 •
k - ..
Puesto que la aplicación A es contraída,
p(Ak11 Ax0 , Ak•x0)~ap(A<k- 1 > 11 Ax0 ~
•• •
Por consiguiente,
lim p (Akn Ax0 , Ak"x0 ) =O,
k- "'
es decir, Ax=x.
akp(Ax0 , x 0).
S S. E$P ACIOS TOPOLOGICOS
89
Demostremos la unicidad del punto lijo. Como todo punto
fijo respecto a A también será fijo respecto a la aplicación A 11
y ésta es, a su vez, contralda,~ este punto fijo puede ser sola·
mente ünico.
·
Probemos ahora que cierta potencia de la aplicación
X
+ cp (x)
Af (x) =J. } K (x, y) f (y) dy
o
es una aplicación contraída. Sean f , y f, dos funciones continuas
sobre el segmento [a, bj. Entonces
=· \A.~ K (x, y) (f, (y)-f, (y))dy 1~
1Af, (x)-Af,(x) 1
~ 1i.. I M (x-a) max 1f, (x)-f, (x) I·
Aquí
M = max jl((x, y)¡.
De aquí
1A'f 1 (x) -
A'f• (x) 1~
1 i.. l"M' (x -;a)• max 1f 1 (x)-f, (x) \
y, en general,
1A"f1 (x)- Anf: (x) 1~ ! A. j•M11 (x-;;,a)"m
.;;;,; 1i>. I"M 11m (b:~¡n,
donde m= max j f 1 (x) - f 1 (x) j.
Cualquiera que st'a el valor J.,, podemos escoger n tan grande
que
1A. l•M" (b - a)"
ni
< I,
es decir, la aplicación A" será eontralda paran suficientemente gran·
des. Por consiguiente, la ecuación de Volterra (t4) tiene solución,
y además única, cualquiera que sea /•.
§ S. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
1°. Definición y ejemplos de espacios topológicos. Hemos
introducido los conceptos principales de ta teoría de espacios
métricos (punto de acumulación, punto de adherencia, adherencia
de un conjunto, etc.) basándonos en el concepto de vecindad o,
que de hecho es lo mismo, en el concepto de conjunto abierto.
Estos últimos conceptos (vecindad y conjunto abierto) se definían, a
su vez, mediante la métrica existente en el espacio considerado.
CAi'. 11. ESPACIOS
!lO
,\\ ET~I COS
Y T OVOLOGICOS
Podemos, s in embargo, escoger otro camino y, sin introducir
métrica ninguna en el conjunto dado R. def inir di rectamente
en R, mediante axiomas, el sistema de conjuntos ab iertos. Este
camino conduce a los espacios topológicos; respecto a ellos los
espacios métricos representan un caso, aunque muy importante,
pero especia 1.
DH1N1 c 10N. Sea X un conjunto cualquiera. Se llama topología
en X a todo sislerna 't de subconjuntos O de X que verifica dos
condiciones:
1°. El propio conjunto X y el con junto vacío 0 peitenecen
a
T.
2°. La unión
y Ja inkrsccciéin
U a. de
n Gk
un níimero cua lquiera (finito o infinito)
de un número finito de conjuntos de
't
1:= 1
pertenecen a T.
El conjunto X junto con Ja topología -r, def inida en él, es decir, el
par (X, 't) se llama espacio topológico.
Los conjuntos, pertenecientes al sistema T, se llaman
abiertos.
Un espacio métrico está constituido por un conjunto de pun tos
y una metrica introducida en este conjunto; de la misma forma,
un espacio topológico está constituido por un conjunto de puntos
y una topología introducida en él. Por consiguiente, defin ir un
espacio topológico significa definir un conjunto X y una topo·
logia -e en él, es <lecir, indicar aquellos subconjuntos que se
coni-ideran abierl.os en X.
Está claro, que en un mismo conjunto X se puede introducir
diferentes topologías, convi rtiéndolo de esta forma en diferentes
espacios topológicos. Sin embargo, denot aremos el espacio topo·
lógieo, es decir, el par (X, -t), mediante una letra, digamos T.
Llámaremos puntos a los elementos del espacio topológico.
Los con juntos T"-0, complementarios a los abiertos, se llaman
conjuntos cerrados del espacio topológico T . En virtud de las
relaciom:s de dualídad (§ 1, capítulo 1), de los axiomas 1° y 2"
se deduce que:
l'. E 1 con junto vacío 0 y todo el espacio T son cerrados.
2'. La intersección de un número cualquiera (finito o infinito)
y la unión de un número finito de conjuntos cerrados son
cerrados.
En todo espacio topológico se introducen, a partir de estas
definiciones y de un modo natural, los concep tos de vecindad,
puntos de adherencia, adherencia de conjuntos, etc.:
S 6. F. SPACIOS T OPOLÓGICOS
!)¡
Se llama vecindad del punto xE T a todo conjunto abierto
O e: T que contiene el punto x; un punto x ET se llama pu11to
de adlicrencia del conjunto Me: T. cuando toda vecindad de l
punto x contiene al menos un punto de M; un punto x se llama
pu11to de acumulación del conjunto M , cuando toda vecindad de l
punto x contiene un número infinito de puntos de M. La totalidad de los puntos de adherencia del conjunto M se llama
adherencia del conjunto M y se denota mediante e l símbolo IM J.
Es fácil ver (realícese la demostración) que los conjuntos cerrados, defin idos más arriba como complementos de abit>rtos, y solame11te ellos, verifican la condiciórt ( M] = M. Al igual q~ en el <;aSO de
espacios métricos, (MJ es el menor conjunto cerr.alio que contiene a M.
Ejemplos. l. En virtud del teorema 3 del § 2, los conjuntos
abiertos de cualquier espacio métrico verifican los axiomas 1° y 2°
de la defi nición de un espacio topológico. Por consiguiente , todo
espacio métrico es un esp11cio topológico.
2. Sea T un conjunto arbitrario. Consideremos corno abiertos
lodos sus subconjuntos. E:s obvio, entonces, que S{' cumplen los
axiomas 1° y 2º , es decir, obt enemos E:fectivamente un espacio
topológico. En él todos los conjuntos son a la vez. abiertos y
cerrados y, por eso, cada uno de ellos coincide con su adherencia.
Esta topología tri vial se observa, por ejemp lo, en e l espacio
métrico, señalado en el ejemplo l del § l.
3. Otro caso extremo se obtiene al considerar e n un conjunto
arbitrario X la topología compuesta Sólo de dos conjuntos: e l conjunto X y el conjunto vacío 0. Aquí la adherencia de lodo conjunto no vacío coincide con todo X. Este espacio topológico
(que no representa, claro est á, gran interés) puede ser llamado
..espacio de puntos pegadOS>.
4. Supongamos que T consta solamente de dos puntos a y b
y que los conjuntos abiertos son tod o el T, el conjunto vacío
y e l ('OJljUitto compuesto solamen te del punto b. Los axiomas
1° y 2° se cumplen. En este espacio (que frecuentemente se llama
espacio de dos puntos conexos) los conjuntos cerrados son: todo
el T, el conjunto vacío y el punto a. La adherencia del conjunto
puntual {b} coincide con lodo el T.
2º . Comparación de t opologías. Supongamos que en un mismo
conjunto X se tienen dos topologías -r, y '• (con ello quedan
defin idos dos espacios topológicos: T 1 = (X 11 i:,) y T, = (X1• •,).
Se dice que la lopo\og1a 'f 1 es más fuerte que la topología i:,,
cuando e l sistema de conjuntos '• está contenido en i:,. De la
topo logía -e, se d ice en este caso que es más débil que '•·
En el conjunto de todas las topologías posibles del conjunto
X se introduce, de manera natural, el orden parcia l (la lopolo-
CAP. 11 .
9!!
l?SP ~CIOS
,\IETRICOS Y TOPOl. OOICOS
gía 'f0 precede a la 'f,. cuando es má:; débil que 'f,). Esta totalidad de topologías tiene el elemento maximal - la topología en
la que son abiertos todos los subconjuntos (ejemplo 2) - y el
e lemento minimal-la topología en la que son abiertos solamen te
todo el X y 0 (ejemplo 3).
TEOREMA l.
la i11tersecció1l
T=
n
'f._
de UIL con jUllfO cualquiera
a:
1
de topologías de X es una fopol-Ogía de X. Eda topol-Og ía
más débil que cualquiera de las topologías 'f•.
T
es
DEMOSTRAC•ON. Está claro que n 'f• contiene a X y 0. Además ,
cada sistema 't 0 es cerrado respecto a cualesqulera sumas e inter-r. también posee
secciones fínitas; de aqu i se deduce que 't =
n
esl a propiedad .
Sea B w1 si st ema arbitr ario de sllbc-Onjuntos del conjunto
X; entonces existe una topología minimal de X que contiene a B .
coROLAR10.
En efecto, existen topologlas que contienen a B (por ejemplo.
aquella en la ·que todo A e X es abierto). La intersección de
todas las topologías que contienen a R es la deseada. Esta topo·
logia minimal se llama topología generada por e l s istema B y se
denota con T(B).
Sea X un conjunto arbitrario y A un subconjunto suyo.
Llamaremos traza del sistema de conjuntos B sobre el subconjunto
A al sistema B,.. compuesto de subconjuntos de tipo A n B.
BE 8. Es fácil ver que la traza (sobre A) de la topología T
(defini da en X) representa una topoloqía 'f,¡ de A. Por consiguien te, todo subconjunto A de cualquier espacio topológico resulta
ser un espacio topológico. El espacio topológ ico (A, i:") se llama
subespacio del espacio topo lógico inicial (X, -r). Está claro que
dos distintas topologlas 'f, y -r. de X pueden producir una misma
topologla en A e X.
3°. Sistemas determinantes de vecindades. Base. Aitiomas de
numerabllidad. Como hemos visto, para definir una topología en
un espacio T hay que señalar en él el sistema de conjuntos
abiertos. Sin embargo, en muchos casos concretos es más cómodo
señalar no la totalidad de subconjuntos abiertos del espacio
dado, sino un sistema determinante de subconjuntos que permite
definir unívocamente la totalidad de los subconjuntos abiertos .
Por ejemplo, en el espacio métrico hemos introducido primero
el concepto de bola abierta ( = e-vecindad) y después hemos definido los conjuntos abiertos como aquellos que junto con cada
punto contienen una vecindad suya en forma de bola. En otras
§ 5 . l!SPACIOS TOPOLOG ICOS
93
palabras, en el espacio métrico son abiertos aquellos conjuntos
y solamente aquellos que se pueden representar como la suma
de bolas abiertas (en número finito o infinito). En particular
son abier tos en la recta los conjuntos que se puede represenl_ar
como la suma de un número de intervalos y solamente estos
conjuntos. Estas consideraciones nos conducen al importante
concepto de base de un espacio topológico.
oeP1N1c10N. Una colección ~ de subconjuntos abiertos se llama
base del espacio topológico T, cuando todo conjunto abierto de
T se puede representar como suma de cierto número de conjuntos de ~Por ejemplo, Ja colección de todas las bolas abiertas (de
todos los radios y centros posibles) constituye una base en un
espacio métrico. En particular, el sistema de todos los intervalos
es una base en la recta. Si se toman solamente los intervalos
con extremos racionales, también constituyen una base en la
recta, ya que mediante la suma de estos intervalos se puede
representar cualquier intervalo y, por consiguiente, cualquier
conjunto abierto sobre la recta.
De lo expuesto se desprende que Ja topología -i del espacio
T queda definida, si se indica en este espacio una base '§. Esta
topología "' coincide con la colección de conjuntos que pueden
representarse como suma de conjuntos de ~. Para que esta forma
de introducir Ja topologia tenga un valor práctico es necesario
señalar aquellas condiciones que debe cumplir un sistema ~ de
subconjuntos del conjunto dado T para que la colecdón de todas
las sumas posibles de conjuntos de :§ pueda ser considerada como
la col<'cción de conjuntos abiertos en T (es decir, para que estas
sumas verifiquen los axiomas 1° y 2° de espacio topológico).
Eslas condiciones vienen dadas por el siguiente teorema.
Supongamos que en un conjunto T se lla escogido
un sistema :§ de subco11¡untos G. que verif fea las siguientes
condiciones:
a) Todo pw1/o x ET está contenido al menos en w1 sulxcmju11to G. E~.
b) Sí xEG. y xEG~, existe un G 1 E~ /al que
TEOR EMA 2.
xEG1 e G.na~.
Si declaramos abiertos e11 T al conjunto r;ac!o y a todos lus
con/ untos que se pueden representarse como la suma de determlt1aáos o. E~. el conjunto T resultará un espacio topológico
(es decir, estas sumas verificarán los axiuma11 J0 y 2°) y el
sistema ~ será u11a base de él.
, ;,\P. 11.
94
ESP,\CIOS .\IETR reos
y
TOl'OLOGICOS
oeMosrnACJON. De las condiciones del teorema se deduce inme·
diatamentc que todo el T y el conjunto vacío son conjuntos
abiertos y que la unión de cualquier número de conjuntos abiertos
será abierta. Demostremos que Ja intersección de cualquier número
finito de conjuntos abiertos será abierta. Es suficiente realizar
la demostración para el caso de dos conjuntos. Sea A= G.
U
y8
=UGP; entonces,
~
A íl B
=U (G. í1 G~).
~.
"
Por hipótesis, para
B
todo punto X Eº· n º~ existe un Gr E:§ tal que X E Gr :::º· n ªi·
Por consiguiente, el conjunto G. nG~ es abierto, ya que puede
ser representado como la suma de todos los G7 contenidos en él.
Pero en este caso es también abierto el conjunto A nB= U (G. nG).
t::l hecho de que :~ constituye una base del espacio topológico
construido se desprende de la forma misma en que se han definido los conjuntos abiertos en T .
Para probar si una colección dada de conjuntos abiertos es
base- o no suele ~r útil el siguiente criterio.
Para que un sistema {G,} de cortjUJtlos abiertos
sea w1a base del espacio topológico T es 11ecesurio y suf icie11te
que para todo conjunto abierto G y todo punto x E G exista utt
1 conjunto G, de este sistema tal que x E O. e: G.
1>tMoSTR Ac10N . Si {u,) es úase, todo abierto O e T es s111na dR
delermi11atlos G,:
reor1E\\ A 3.
v= Ua,,.
1
y, por consil,1\liente, todo punto ,1: EG ¡>ertenece a algún o. con·
tenido en G. Viceversa, si se cumple la condición del teorema,
(G.) es base. En efecto, sea G un conjunto abierto arbitrario.
Para todo punto X E o podemos encontrar un a.•(x) tal que
x E o.-(x) e O. La suma de estos G, (x), construidos para cada
x E G, coincide con G.
Es fácil ver, mediante este criterio, que la colección de todas
las bolas abiertas de un espacio métrico constituye una base.
La colección de todas las bolas de radio racional también constituye una base. En la recta es una base, por ejemplo, la
colección de todos los intervalos racionales (e:s deci r, de todos
los intervalos de extremos racionales).
Una clase importante de espacios topológicos la constituyen
los espacios de base numerable, es decir, los espacios en Jos que
existe por lo menos una base, compuesta por un número, a lo
sumo numerable, de conjuntos. Los espacios de l>ase numerable
§ :•• ESPACIOS TOPOLOGICOS
suelen también llamarse espacios con el seg11ndo axioma de
merabilídad.
95
1111·
S i un espacio topológico tiene una base numerable, en él
existe obligatoriamente un conjunto numerable siempre denso,
es decir, un conjunto numerable, cuya adherencia es todo el T.
En efecto, sea {Gn} una tal base. Tomemos en cada elemento
de esta base un punto arbitrario Xn · El conjunto numerable
X= (x.} es siempre denso en T, ya que, de lo contrario, el
conjunto abierto no vacío G=T".[XJ no contendría ningún
punto de X y esto no puede ocurrir puesto que G es la suma
de determi nados conjuntos del sistema (G"} y x E G".
P ara lc:s espacios métricos se cumple también la afirmación
recíprcca:
Sl en el espacio métrico R existe 1111 co1i;u11to lxn) numerab/.c
siempre denso , también existe en R una base numerable.
En efecto, una tal base es, por ejemplo, la constituida por
las bolas abiertas B
....!...
) , donde y
recorren todos los
..
1n,
val ores naturales. Por Jo tan to, tiene lugar el siguiente teor~ma:
[x...
n m
Un espacio métrico R tiene wia base n11merable
si, y sólo si, existe c11 él un conjunto siempre de11so.
TEOREMA~ .
1
En virtud de este teorema, todos los ejemplos de espacios
mé!tricos, provistos de subconjuntos numerables s iempre densos,
ofrecen, a l mismo tiempo, ejemplos de espacios métricos con el
segundo axioma de numerabilidad. El espacio de las sucesiones
acotadas (véase el ejemplo 9 de! § 1) que no tien~ ningún subconjunto numerable siempre denso, tampoco tiene base numerable.
Observación- El teorema 4 no se cump le, en general, pa ra
los espacios topo lógicos arbitrarios (no metricos): se puede dar
ejemplos de espacios, provistos de un conjunto numerable siempre
denso, que no tienen base numera ble. E .~p l iquemos la razón de
este fenómeno . Para todo pun to x de un espacio métrico R exis te
un si;;lema 1111mcrable :1.1. de vecindades (por ejemp lo, el sistema
+) ).
de bolas abiertas B ( x,
que cumple la siguiente condición:
cualquiera que 5C'a el conjunto abierto G que contiene al punto
x. existe una vecindad der 5istcma '11 que pertenece íntegram1:n·
te a G. Un sistema tal de vecindades se llama sistema detem1inante de vecindades del punto x. Si para un pun to x dP. un
espacio topológico r existe un sistema determinante de vecin·
darles, se dice que en este pun to se cumple el primer axioma. de
numerabilidad. Si esto tiene 1ugar para cada punto de l espacio T, e l espacio T re llama espacio con e l pri mer axioma de
numerabilida d.
96
CAi'. 11 . l!Sl'ACIOS METRICOS Y TOl'OLOOICOS
Sin embargo, en un espacio topológico arbitrario (aun cuando
esté compuesto por un número numerable de puntos) puede no
tener lugar el primer axioma de numerabilldad. Por eso no se
puede extender al caso de un epsacio topológico arbitrario aquel los razonamientos que en el caso de espacio métrico nos permitieron deduci r de la existencia de un conjunto numerable siempre
denso la existencia en este espacio de una base numerable.
Un sistema {Ma} de conjuntos se llama cttbrimiento del espa·
cio topológico T, cuando U M a ,- T. Un cubrimiento, compuesto por conjuntos abiertos o "cerrados, se llama cubrimiento abier·
to o cerrado, respectivamente. Si una parle {Ma;} del cubrimiento
Mu también constituye un cubrimiento del espacio T, se dice que
{M",I es un subcubrimiento del cubrimiento (Mal·
s. Si T es un espacio topológico de base numerable,
de todo cubrimiento sayo abierto se puede extraer ur1 subcubri1 miento f inifo o n umerable.
TE OREM A
Sea {0..) un cubrimiento abierto del espacio T.
Entonces, to<lo punto x ET está contenido en un o•. Sea {Gn}
la base numerable de T. Para todo x ET existe un elemento
G11 (x) de esta base tal que x EGn(x) c O, . La totalidad de conjuntos G,, (x), obtenidos de esta forma, es finita o numerable y
cubre todo T . Escogiendo para cada On (.~) uno de los conjuntos
o., que lo contienen, obtendremos un subcubrlmiento finito o
numerable del cubrimiento {O.}. El teorema queda demostrado.
De acuerdo con la definición de espario topológico el con·
junto vacío y todo el espacio T son a la vez abiertos y cerrados. Todo espacio, que no tiene ningún otro conjunto a la vez
abierto y cerrado, se llama conexo. La línea recta R' representa
uno de los ejemplos más simples de espacios conexos. Pero si
extraemos de R' aunque sea un sólo punto, el espacio que queda
ya no será conexo.
l>l!MOSTRACION.
4°. Sucesiones converge11tes en T. El concepto de sucesión
convergente, conocido de Jos espacios métricos, se extiende fácilmente al caso de los espacios topológicos. A saber, Ja sucesión
x 1 , x., __ ., .~n• . . . de puntos de T se llama contiergente al
p1111to x, cuando toda vecindad del punto x contiene todos los
puntos de esta sucesión, comenzando de alguno. Sin embargo,
en los espacios topológicos este concepto de convergencia no
desempeña ese papel fundamental que le corresponde en los espa·
cios métricos. Esto se debe a que en un espacio métrico R un
punto x es un punto de adherencia del conjunto Me R si, y
5 5. l!SPACIOS TOPOl.0-0ICOS
97
sólo si, en M existe una sucesión convergente a x, mientras que
en un espacio topológico esto, como regla general, no se cumple.
Si x es un punto de adherencia para M (es decir, pertenece a
[M)) en un espacio topológico T, ello no implica la existencia
en M de una sucesión convergente a x. Consideremos, a título
de ejemplo, el segmento (O, l], llamando abiertos aquellos subconjuntos suyos (además del conjunto vacio) que se obtienen
omitiendo de él un número finito o numerable de puntos. Es
fácil ver que los axiomas 1° y 2" (pág. 90) se cumplen, es decir, que tenemos un espacio topológico. Én este espacio serán
convergen tes sólo las sucesiones estacionarias, es decir, tales
que sus elementos, empezando de cierto número, coinCiden:
xn = X,.+i=·· · (¡demuéstrese esto!). Por otro lado, si cogemos, por ejemplo, a títu lo de M el semi.segmento (O, 1), el
punto O será para él un punto de adherencia (¡compruébese!).
pero ninguna sucesión de puntos de M converge a Oen nuestro
espacio.
Las sucesiones convergentes crecobran su importancia», si en
vez de considerar espacios topológicos arbitrarios nos limitamos
a aquellos espacios. en los que se verifica el primer axioma de
numerabilidad, es decir, cuando para todo punto x del espacio
T existe un sistema numera ble determinante de vecindades. En
este caso, todo punto de adherencia x de un conjunto arbitrario
M cT puede ser representado como límite de cierta sucesión
de puntos de M . En efecto, sea {O.\ un sistema numerable
determinan te de vecindades del punto x. Podemos admitir que
o... ,con
n
(de lo contrario, sustituiríamos O,. por
º•
n
Ok ).
•-1
Sea
x. un punto arbitrario de M perteneciente a
(k = l , 2, ... ).
Está claro que un punto x. así debe existir, ya que de lo contra rio x no sería punto de adherencia para M. Es obvio que
la sucesión {xk\ converge a x.
Como hemos señalado, todos los espacios métricos vermcan
el primer axioma de numerabilidad. Es por eso que en el caso
de espacios métricos hemos podido enunciar, en términos de convergencia de sucesiones, conceptos como adh~rencia, punto de
adherl'ncia, etc.
5°. Axiomas de separabilidad. Aunque muchos conceptos prin·
cípa les de la teoría de espacios métricos se extienden fácílmente
a cua lesquiera espacios topológicos, sin embargo, un espacio
topológico arbitrario representa un ente demasiado general desde
el punto de vista de los problemas del Análisis. En estos espa·
cios se producen. a veces. situaciones que difieren de modo sus4
.... 2 t $0
98
Ci\P. 11. ESPACIOS METRICOS Y TOPOLOGICOS
tancial de lo que puede ocurrir en los espacios métricos. As!,
hemos visto (ejemplo 4, pág. 91) que en un espacio topológico
un conjunto finito de puntos puede no ser cerrado, etc.
Entre los espacios topológicos se pueden destacar espacios
que por sus propiedades se aproximan a los espacios métricos.
Para ello hay que agregar a los axiomas 1° y 2° de espacio
topológico unas u otras condiciones adicionales. Condiciones de
este tipo son, por ejemplo, los axiomas de numerabilidad que
permiten estudiar la topología del espacio a partir del con·
cepto de convergencia. Otro tipo importante de condiciones
adicionales y de naturaleza distinta son los así llamados axiomas
de separabilidad. Enunciaremos esta serie de axiomas en orden
de generalización.
T,. Primer axioma de separabilidad: para dos cualesquiera
diferentes puntos x e y del espacio T existe una vecindad O"
del punto x, que no contiene al punto y, y una vecindad Oy del
punto y, que no contiene al punto x.
~- Los espacios que verifican este axioma se llaman T 1 -c3pacios.
Un ejemplo de .un espacio topológico, que no es T 1 -espacio, lo
ofrece el espacio de dos puntos conexos.
En un T ,-espacio todo punto es un conjunto cerrado. En
efecto, si x =/=y, existe una vecindad Oy del punto y que no
contiene a x, es decir, yE[x]. De manera que [x] =X. Por consiguiente, en un T "espacio resulta también cerrado todo conjunto
compuesto de un número finito de puntos. Es más, se puede
demostrar fácilmente que el axioma T, equivale a exigir que
todos estos conjuntos sean cerrados.
El axioma .T,es una acentuación del primer axioma de sepa·
rabilidad.
T,. Segundo axioma de separabilidad o axioma de Hausdorff:
para dos cualesquiera puntos x e Y. del espacio topológico T
exist_t?n vecindades O" y Oy de intersección vacía.
. Los espacios que verifican este axioma se llaman T .-espacios
o espacios de Hausdorff. Todo espacio de Hal)sdorff es un T 1espacio, pero no viceversa. A titulo de ejemplo de un T ,-espacio
9ue no es espacio de Bausdorrf podemos señalar el segmento
[O, I ], en el que se consideran abiertos el conjunto vado y todos
los conjuntos que se obtienen omitiendo del segmento a lo sumo
un número numerable de puntos.
.Generalmente, en el Análisis no se emplean espacios más
generales que los de Hausdorff. Es más, como regla general,
los espacios, que representan interés para el AnáHsis, verifican
además la siguiente condición, más fuerte aún, llamada condición de normalidad del espacio.
§S. ESPACIOS TOPOLOOICOS
99
Se llama espacio Mrmal a un T 1 -espacio en el que cualesquiera dos conjuntos cerrados tienen vecindades u de intersección
vacía.
Todo espacio normal es de Hausdorff. Un ejemplo de un
espacio de Hausdorif que no es normal lo ofrece el segmento
[O, 1], en el que las vEcindades de todos los puntos, excepto
el punto O, se definen de la manera corriente, mientras que para
las V€cindades del cero se toman todos los semisegmentos (O, a)
de los que se han excluido los puntos de tipo ~ (n = 1, 2, ...)'.
Esto €S un espacio de Hausdorff: el punto O y la sucesión
{*}
representan dos co)ljuntcs cerrados de inlersec-ción vacJa
de este espacio que no pueden ser separados mediante dos vecindades de intersección vacía.
Son espacios normales, por ejemplo, todos los espacios métricos. En efecto, sean X e Y dos conjuntos cerrados de intersección vacía de un espacio métrico R. Todo punto x E X tiene
una vecindad O" que no se interseca con Y y, por consiguiente,
está a una distancia positiva p,, de Y. De la misma forma todo
punto y E Y está a una distancia positiva Py de X. Consideremos los conjuntos abiertos 31
U= LJ B(x, ~)
xEX
y
V= U B(y~~),
l/E Y
que contienen a X e Y respectivamente, y demostremos que
la intersección de estos conjuntos es vacía. Supongamos que
z E U n V. En este caso, existe en X un punto x0 , tal que
p (x 0, z) < P;, • y en Y un punto Yo tal que p (z, y 0)
Supongamos, para concretar, que Px. ~Pu,- Entonces
P (x.,
Yo)~ P-(Xo,
z)
+ P (z, Yo) <
<~.
I';, + p;":~ Pv,.
ts dl'.cir, x0 E J:J (y0 , py,); pero esto contradice a la definicióñde
Pu,· Hemos demostrado nuestra afirmación.
Todo subespacio de un espacio métrico es por sí mismo un
espacio métrico y por eso también posee la propiedad de normalidad. Esto, como regla general, no tiene Jugar para los espa1> Se ll ama vecindad de un conjunto M de~un espacio topológico T n
todo conjun to abierto U que cont iene a M.
" Aqu í B (x, r) representa, como siempre, una bola abierta de radi o r
y centro en x.
4•
100
C/IP. 11. ESPACIOS o\\ETRICOS Y l 'Ol>OLOO ICOS
clos normales arb itra rios: un subespacio de un espacio normal
no es necesariamente normal. De manera que Ja normalidad de
un espacio no es una propiedad heredera l l.
Una propiedad heredera es Ja así llamada regularidad total
de los espacios topológicos. Un T ,-espacio topológico se llama
total~nte regular, cuando para todo con junto cerrado F cT y
todo punto x 0 ET"- F existe una función continua real f, definida
sobre T, que es igual a cero en .x0 , a la unidad sobre F y que veri ·
fica la condición O~ f (x):;;;; l. Todo espacio normal es totalmente regular ii, pero no viceversa. Todo subespacio de un espacío totalmente regular (de un espacio normal, en particular) es
totalmente regular. A. N. Tijonov, a quien se debe el propio
concepto de espacio totalmente regular, ha demostrado que la
clase de espacios totalmente regulares coincide con la clase de
todos los subespacios normales. Desde el punto de vista del Análisis, la importancia de los espacios totalmente regulares radica
en que sobre cualquier espacio de esta índole se puede definir
un número «Suficientemente grande> de funciones continuas, ya
que para cualesquiera dos puntos distintos x e y de un espacio
totalmente regular T existe una función real continua, definida
sobre T, que toma en es(os puntos diferentes valores.
6º. Aplicaciones continuas. Homeomorlismo. El concepto de
aplicación continua. que hemos introd ucido en el § 1 para los
espacios métricos. es extensible, naturalmente, a espacios topo·
lógicos arbitrarios.
0EF1 N 1c10N. Sean X e Y dos espacio.~ topológicos. Una aplicación f del espacio X en el espacio Y se llama contir1ua en el
pur1to x 0 , cuando para toda veci nd ad Up, del punto y 0 = f (x.)
existe una vecindad Vx, del punto x 0 tal que f (Vx,)CUy,. Una
aplicación f: X-... Y se llama continua, cuando es continua para
todo punto x E X. En particular, una aplicación continua del
espacio topológico X en la recta numérica se llama f u11Ción con·
tinua sobre este espacio topológico. Es fácil ver, que en et caso
de espacios métricos esta definición coincide, en efecto, con la
definición de una aplicación continua de un espacio métrico en
otro, que ha sido dada en el § 1 de este capítulo.
n Una propiedad P se llama herttlera, sl siendo justa para lod(I el es·
pacio topológico T también se verilica para cualquiera de sus su bespacios.
o> Este resultado !lejos de ser evidente) se desprende del sigu iente
leorema de P. S. Urison: si T es un espacio normal y F1 y F; dos conjuntos suyos cerrados y de intersección vacla, existe una funclon f. O<;
<; f (x) <; I, continua. definida sobre T, que es igual a cero :K>bre F1 e igual
a la unidad sobre F,.
5 5. f SPACIOS.'TOPOLOGICOS
101
Enunciemos ahora el concepto de continuidad de una aplicación de un espacio topológico en o_tro en términos de conjuntos abiertos, es decir, en términos de las topologías de los dos
espacios considerados. Notemos que la aplicación f: X - Y puede
ser considerada aplicación sobre, ya que siempre podemos consi·
derar e l subespacio f (X)cY en vez de Y.
reo~eMA
e. [Para que una aplicación
1/ de :un espacio topoldgicc
X e11 un espacio topológico Y sea rontinua, es necesario y sufi·
ciente que la imagen recíproca r = ¡- 1 (G) ! ck todo ron junio
1 abierto GcY sea abierta (en X).
Sea f una aplicación continua y G
un conjunto abierto en Y . Demostremos que r ... ¡- 1 (G) es abierto. Sea x un punto cualquiera de r e y=f (x). Entonces, G
reprerenta una vecindad del punto y. De acuerdo con la definición de continuidad, existe una vecindad V.. del punto x, tal
que f(V")cG. es decir, V..-c r . En otras palabras, si xEr.
existe una vecindad V.. de este punto contenida en r. Pero esto
significa precisamente que r es abierto.
OEMOSUACION. NECESIDAD.
Sea r = ¡- • (0) abierto, cuando Ge Y es abierto.
Consideremos un punto arbitrario x E X y un a vecindad arbitraria U( del punto y = f(x). Puesto que yEUy_• el punto·"' pertenece a conjunto ¡- 1 (Uy)· Este es un conjunto abierto y puede
ser considerado como aquella vecindad del punto x, cuya imagen
está contenida en Ur Hemos demostrado el teorema.
Observacion. Sean X e Y conjuntos arbitrarios y f una apli·
cación de X en Y. Supongamos que Y está provisto de una
topol ogía 't (es decir, de un sistema de conjuntos que contiene
a Y y a 0 y que resulta cerrado respecto a las operaciones de sumas cualesquiera e intersecciones finitas). Debido a que Ja imagen reciproca de la suma (Intersección) de conjuntos es igual a
la suma (intersección) de las imágenes reciprocas (teoremas 1 y 2
del § 3, cap. 1), obtenemos que la imagen reciproca de la topo·
logía -r (es decir, Ja colección de todos los conjuntos ¡-•(O),
donde GE 't) es una topología en X, que denotaremos ¡- 1 (-r).
Si ahora X e Y son espacios topológicos, con topologías T_. y
i:,. respectivamente, el teorema 6, que da la condición necesaria
y suficiente de la continuidad de la aplicación f: X--+ Y, puede
ser enunciado así: Ja aplicación f: X - Y es continua si, y sólo
si, la topología 't.., es más fuerte que Ja topologia /- 1 ('ty)·
Teniendo en cuenta que la imagen recíproca de l complemento
es igual al complemento de Ja imagen recíproca, obtenemos el
teorema dual a l teorema 6.
suFICIENCt A.
102
CAP. 11. ESPACI OS Ml!TRICOS Y TOPOLOOICOS
s·. Para que la aplicación f de u11 espacio topológlco X en un espacio topológiro Y sea continua, es necesario
y suf icle11te que la imagen recíproca de todo co11/1111to cerrado
1 de Y sea cerrada.
Es fácil ver que la imagen de~ un conjunto abierto (cerrado)
ofrecida por una aplicación conti nua no es necesariamente abie.rta (cerrada). Consideremos, por ejemplo, la aplicación del semi·
segmento X= (O, 1) en una circunferencia de la misma longitud. El conjunto [}, 1) . cerrado en fO, 1), se transforma en
este caso en un conjunto no cerrado de la circunferencia (fig. 12).
TE OREMA
f (O!
()
rMJ
FIO. 12
Para las ap licaciones continuas se cumple el siguiente teorema, aná logo a l teorema, bien conocido del Análisis, sobre
la continuidad de la función compuesta.
X. Y, y Z espacíos topológiros y 'sean f y q:
aplicaciones amlinuas de X en Y y de Y en Z, respectivamente.
Entonces la aplicación x - cp (/ (x)) del espacio X en Z es continua.
T EOR E MA 1. Sea!1
1
La demostración de este teorema se obtiene del teorema 6.
Una aplicación f del espacio topológico X sobre el espacio
topológico Y biunívoca y bicontinua a la vei se llama homeorrwrflsmo y los espacios X e Y se llaman liomeomorfos. Los
espacios homeomorfos entre sí tienen las mismas propiedades
topológicas y desde el punto de vista topológico pueden considerarse como dos ejemplares de un mismo espacio. Las topologías
de dos espacios homeomorfos son imágenes e imágenes recíprocas
una de la otra. La relación homeomorfa es reílexiva, simétrica
y transitiva; por consiguiente, la totalidad de los espacios topológicos se divide en clases disjuntas de espacios homeomorfos
entre si.
Observación. El concepto de homeomorfismo ya fue introducido
en el § l para Jos espacios métricos. Debe tenerse en cuenta,
§ r,. ESPACIOS TOPOLOGICOS
103
sin embargo, que las propiedades métricas de dos espacios métricos
homeomorfos pueden ser distintasº· Así, uno de ellos puede ser
completo y el otro no serlo. Por ejemplo, el intervalo ( - ~ , .;. )
es homeomorfo a la recta numérica (el homeomorfismo corres·
pondiente viene dado por la función x _.,. tg x) y, sin embargo,
la recta es un espacio completo y el Intervalo no lo es.
7°. Distintos métodos de definición de topologías en un espacio.
Metrizabilidad. La forma más directa y, por su esencia, más
elemental de introducir una topología en un espado consiste en
señalar directamente aquellos conjuntos que se consideran abiertos.
La totalidad de estos conjuntos debe verificar las condiciort~
1º y 2° (véase la pág. 90). Equivalente a ella es la forma dual
que consiste en indicar la colección de conjuntos cerrados. Es
obvio que esta colección debe verificar las condiciones l' y 2'
(pág. 90). Sin embargo, este método se puede aplicar, de hecho,
en reducidos casos. Por ejemplo, ya en el caso del plano no se
puede dar, por lo visto, una descripción di recta de los subconjuntos abiertos (de la forma como se logra hacer esto para la
recta (teorema 5 del § 2)).
Un método que se emplea frecuentemente para introducir una
topología en un espacio consiste en indicar en él una base; de
hecho, precisamente de este modo, se introduce la topología en
los espacios métricos, donde, a partir de la métrica, se define
la base, es decir, la colección de bolas abiertas.
Otra forma posible de definir una topología en un espacio
consiste en introducir en él el concepto de convergencia. Sin
embargo, hemos señalado ya en el punto 3 que este procedimiento
no es universal: por medio de él sólo se pueden introducir topologías en espacios, en los que se cumple el primer axioma de
numerabilidad. No obstante, desde el punto de vista del Análisis
este método resulta frecuentemente útil 21•
En un espacio se puede introducir la topología definiendo en
él axiomáticamente la operación de adherenc.ia. Se dice que en
el conjunto X se ha introd ucio la operación de adherencia, cuando
a todo A e X se le ha puesto en correspondencia un conjunto
[AJc X , llamado adherencia de A, de manera que la operación
l l La métrica del espacio R determina unívocamente su t opología, pero
no viceversa: una misma topologia en R=(X, p) se puede oblener intro-
duciendo en X diferentes métricas.
2l Más aun si tenemos en cuenta que generalizando el concepto de
con vergencia (convergencia respecto a los asi llamados fi ltros) este método
resulta nplicable también en el caso genera l.
CAP, 11. ESPACIOS METRICOS!Y:TOPOl.OOICOS
104
consistente en pasar del conjunto A al conjunto [AJ verifica las
propiedades 1), 2). 3) y 4) indicadas en el teorema l del § 2.
Uno de los métodos más importantes, aunque lejos de ser
universal, de introducir una topología consiste en definir en el
espacio una métrica. Como hemos visto, todo espacio métrico es
nonnal y verifica el primer axioma de nurnerabilidad. Por eso si
en algún espacio no se cumple una de estas dos condiciones, no
se puede introducir la topología en él mediante ninguna métrica.
Un espacio topológico se llama rnetrczable, cuando su
topología puede ser introducida mediante alguna métrica.
De acuerdo con lo que acabamos de señalar, Ja normalidad
del espacio y el primer axioma de numerabilidad son condiciones
necesarias para que el espacio sea metrizable. Sin embargo, ninguna de estas dos condiciones por separado ni, incluso, ambas
juntas son suficientes para que el espacio sea metrizable. No
obstante, tiene lugar el siguiente teorema, que pertenece a
P. S. Urisón:
para que en espacio topológico provisto de base numerable sea
01::plN1c10N.
metrizable, es 11ecesario y suficiente que sea normal.
La necesidad de esta condición es evidente.
§ 6. COMPACIDA D
1º. Concepto de compacidad. En el Análisis desempeña un
papel fundamental el siguiente hecho, conocído como lema de
Heine-Borel:
de cualquier cubrimiento del segmento [a, b) de la recta
numérica por medio de intervalos se puede extraer un subcubrimiento finito.
Esta afirmación continúa siendo válida, cuando en vez de
intervalos se consideran cualesquiera conjuntos abiertos: de todo
b} se puede extraer un
cubrimiento ·a bierto del segmento
subctibrimiento finito.
'.Partiendo de esta propiedad del segmento de la recta numérica,
introducimos el siguiente concepto importante.
ra.
0Er1 NICION. Un espacio topológico T se llama compacto, cuando
cualquier cubrimiento abierto suyo contiene un subcubrimiento
finito. Un espacio topológico compacto que verifica el axioma
de separabilidad de Hausdorff se llama un compacto.
Como veremos más adelante, la propiedad de compacidad la
tienen, además de los segmentos, todos los subconjuntos cerrados
acotados de un espacio euclídeo de cualquier dimensión finita.
Al contrario, Ja recta, el plano y el espacio de tres dimensiones
son ejemplos elementales de espacios no compactos.
S e. COMPACIDAD
105
Un1 sistema de subconjuntos {A} del conjunto T se llama
"
sistema centrado, cuando cualquier intersección finita n A 1 de
tal
elementos de este sistema es no vacía. De la definición dada de
compacidad y de las relaciones de dualidad se deduce el siguiente
teorema.
Para que un espacio' topológico T sea compacio, es
neasario y suficiente que verifique la con.dicl61i ( R):
Jodo sistema centrado de subconjuntos cerrados de este'espaclo
tiene intersección no vacia.
·
Tl!OIU!MA r .
En efecto, sea {F.} un sistema centrado de subconjuntos
cerrados de T y sea T un espacio compacto. Los conjuntos G. =
= T '\.._F. son abiertos; además, como cualquier Intersección finita
n
n F 1 es no vacía, ningún sistema finito de conjuntos G1= T '\.._ F 1
i ; 1
puede cubrir todo T. Pero en este caso todos los G. tampoco
forman cubrimiento (compacidad); esto signi(ica que nF.=F0.
Por consiguiente, si T es un espacio compacto, en él se verifica
la condición (R). Viceversa, supongamos que T verifica la condición (R) y que {G.f es un cubrimiento abierto del espacio T.
Tomando F.= T '\.._O.. obtenemos que n F. = 0 y de aquí se
desprende (condición (R)) que el sistema {F,} no puede ser cen-
"
lrado, es decir, existen F,, ... , Fn tales que n F,=0. Peroen
/•1
este caso los conjuntos correspondientes G1 = T '\.._ F 1 constituyen
un subcubrimiento finito del cubrimiento
Por consiguiente,
de la condición (R) se deduce la compaci ad.
Veamos algunas propiedades principales de los espacios compactos.
JG.}.
rso~EMA 2. Todo subconjunto
compacto.
cerrado de un espacio compacto es
osMOSTRACroN. Sea F un subconjunto cerrado de un espacio compacto T y sea {F.} un sistema centrado cualquiera de subconjuntos cerrados del subespacio FcT. En tal caso, todo F. es
cerrado también en T, es decir, {F.} es un sistema centrado <le
conjuntos cerrados de T. Por consiguiente, n F. =F 0. De aquí,
de acuerdo con el teorema J, se desprende la compacidad de F.
Puesto que todo subespacio de un espacio de Hausdorff es
también de Hausdorff, obtenemos de aquí el siguiente corolario.
106
CAP. 11. ESPACIOS METRICOS Y TOPOLOQ JCOS
coRoL11R10. Todo subamfwito cerrado de
Wl
pacto.
compacto es un com·
Un compacto resulta cerrado en cualquier espacio de
Hausdorff que lo conUene.
DEMoSTnAc10 N. Sea K un conjunto compacto en un espacio de Haus·
TEORE.'IA 3.
dorff T y sea y E K. Entonces, para lodo punto x E K existe una
vecindad U" del punto x y una vecindad V., del punto y tales que
UxnV,.=fZS.
Las vecindades U x forman un cubrimiento abierto del conjunto K.
Debido a la compacidad de K, se puede extraer de él un subcu·
brirniento finito U"" U"•' .. . , U"•' Pongamos
V =V.,,nVx,íl ... íl Vx.·
Entonces, V es una vecindad del punlo y que tiene intersección
vacía con U"• U ... U Ux.=:JK. Por consiguiente, YE [KJ. es decir,
K es cerrado. El teorema queda demostrado.
Los teoremas 2 y 3 indican que en los espacios de Hausdorff
la compacidad es una propiedad interna del espacio, es decir.
que todo compacto continúa siendo un compacto, aunque sea
sumergido en espacios de Hausdorff cada vez más amplios.
TEOREMA •·
Todo compacto
represe11ta u11 espacio normal.
Sean X e Y dos subconjuntos cerrados disjuntos
de un compacto K. Es fácil ver, rep itiendo los razonamientos
realizados en la demostración del teorema anterior, que para
todo punto y EY existe una vecindad suya U y y un conjunto
abiei:to 0 1 -:::i X tales que U1 íl O:v= 0. Extraigamos del cubrimiento {U_;} del conjunto Y un subcubrimiento finito U v.. . . . , Uh·
Entonces, los conjuntos abiertos
0(1)-0v, íl . . . ílOy.
y
DEMOST RACJON.
Q(I) ,..
uv. u uy, u ... u uv.
verificarán las condiciones necesarias:
0 111 :::::> X,
y
om ::> Y
º'" nom = fZS.
2°. Aplicaciones continuas de espacios compactos. Las aplicaciones continuas de espacios compactos, en particular, de compactos, tienen varias propiedades in teresantes e importantes.
§ 6.
COMPACIDAD
¡07
TEOREMA ó. La imágen continua de un espacio compacto es un
espacio ·campacto.
r>EMósrnAc10N;·sea X un espacio coq¡pacto y f una :aplicación
continua de é,l sobre el espacio fopcilpgicó Y.•. ConsideremC?S algún
cubrimiento {V.}, del esp¡¡cio .Y rn,edian.~e cot¡jtmtós abíertcis y
('V,.). Los conj\,\ñlos _&.. sqn abiertos (com<;>
tomemos :U,,=
Ím,ágene¡; reciprocas de,.conjunt9s al:¡jei:jos· e[l \:áSO de una aplica·
cióri "ontin1;1a) y fotman un cubrifoientq del .espacio X . De esle
cubrimiento se puede extraer,.. debiClq. a· la compacidi!d c;le X, un
subcubrirh'ienfo füi'ító u;,' U., .. . , V n· en este ca·so, · 1os conjuntos• · V1 • V., .. . . Vn, :donde V;=f f (V¡). cubrirán a _todo 1 el
·
espacio ·Y.
TEORE1\\A 6. Toda aplicaci.ón biun.ívoaa y .continua de un com·
J
pdcto X sobre otro ccmpi:u:to Y es un homeomorfisnw.
oe1110s'l'RAc10N .. Debémos probar que ·de" las .condiciones del teorema se deduce la contirfüidad · de ta· aplicación inversa q¡-•.
S~a f l)n !Alfljunto cen.ado .c;le X y SI!ª f=:<p(Fj su i¡nagen en Y.
De.: acuerdo. <;on. ~¡: te(irerrl?, antcricii., P ·e~ un compacto y, por
coñ"siguiente, . P :es cerrado' ~n Y.:, O.e manen~ que la imagen
reciptoca por ll\ aplicac¡óh qi-~ de todo conjunto cerrado Fe. X
es cerrada. Esto· significa precisamente "que la aplicación cp-• es
continua.
·
r•
3º. Compacidad numerable.
Te'~ .1. Si
f
. ~ 'Uti
espacio compacto, todo subcqnjunto suyo
infinito 'tíene. al oµJnos 1111 punto de acumulación.
DEMOSTRACION."Si T contiene un conjunto infinito X sin puntos
de acumulación, se puede escoger <m él un conjunto numerable
X 1 =(x1 ,
x., ... )
que tampoco tiene puntos de acumulación. Pero
los~ ?conjuntos
íorman entonces un sistema centrado de conjuntos cerrados de T.,
que tiene intersección V<>cía, es decir, T no es un espacio com·
pacto. Introduzcamos Ja siguiente definición.
ol!P1N1c10N. Un espacio T se llama espacio compacto numerpble.
cuando todo subconjunto infinito suyo tiene al menos un punto
de acumulación.
El teorema 7 significa, por lo tanto, que todo espacio compacto es compacto .numerable. La recíproca, :en general, no .;e
CAP. 11. ESPAC IOS Ml!TRICOS Y TOPOLOOICOS
108
cumple. He aquí un ejemplo ctradicionab de un espacio compacto numerable, pero no compacto. Consideremos el conjunto X
de todos los números ordinales a. menores que el primer número
ordinal innumerable U. Llamemos intervalo (a., ~) de X a la
totalidad de números ordinales y, que verifican las desigualdades
a.< y < ~- Llamemos conjunto abierto en X a toda unión de
un número arbitrario de intervalos. Es fácil comprobar que el
espacio construido es compacto numerable, pero no compacto.
El siguiente teorema deja clara la relación existente entre
los conceptos de compacidad y compacidad numerable.
s. Para que un espacio topológico sea compacto nume·
rabie, es necesaria y su{iciente cada una de estas dos condiciones:
J) Todo cubrimiento abierto numerable del espasio T contiene
un subcubrimiento f lnito .
2) Todo sistema centrado numerable de conjuntos cerrados
de T tiene una inlersuclón no vacía.
TEOR BMA
~s!!!Acro_N.
iLa equivalencia de las condiciones 1) y 2) se desprel'lde inmediatamente de las relaciones de dualidad. Ahora
bien, si T no es compacto numerable, podemos demostrar, repitiel'ldo Jos razonamientos empleados al demostrar el teorema 7.
que en T existe un sistema centrado numerable de conjuntos
cerrados, cuya intersección es vacía. Con esto queda establecido
que la condición 2) (y, por consiguiente, la condición 1)) es
suficiente. Demostremos la necesidad de la condición 2). Sea T
un espacio compacto numerable y sea (Fn} un sistema numerable
centrado de conjuntos cerrados de T. Probemos que n P,. =F 0. Sea
Está claro que todos los CI>,. son no vacios (debido a que {F,.}
es un sistema centrado), que forman un sistema no creciente
<D,::i<D.::i .. .
y que
n<D,.= nF,..
Pueden darse dos casos:
1) Comenzando de un número n 0 ,
Es evidente, entonces, que íl CI>,. = <D,. 0 .p 0.
109
5 6. COMPACIDAD
2) Entre los «>. hay un número infinito de conjuntos dis·
tintos dos a dos. Basta entonces, evidentemente, considerar el
caso en que todos los <I>,. son distintos entre sí. Sea
x,, E Qln"-.«>n+i·
La sucesión {x,.} representa un conjunto infinito de puntos difer entes de T; debido a la compacidad numerable de T, esta
sucesión debe tener al menos un punto de acumulación, digamos, x9 •
Puesto que <I>11 contiene todos los puntps xn, x,.+ 1 , ••• , el punto x0
es un punto de acumulación para $,, y, como 4ll,, es cerrado,
XoE<Dn. Por consiguiente, n <Dn3x., es decir, n 4ll,,:p0.
n
n
De manera que los espacios compactos numerables son aquellos
espacios topológicos, en los que de cada cubrimiento abierto
numerable se puede extraer un subcubrimlento finito, mientras
que en un espacio compacto todo cubrimiento abierto contiene
un subcubrimiento finito.
Aunque en el caso general la compacidad numerable no implica
la compacidad, tiene lugar el siguiente resultado importante.
Para /QS espacios de base numerable los conceptos
de compacidad y compacidad numerable coinciden.
TEOREMA 9.
1
En efecto, del teorema 6 del § 5 se deduce que de cualquier
cubrimiento abierto del espacio T, provisto de una base nume·
rabie, se puede extraer un subcubrimiento numerable. Si T es,
además, compacto numerable, de este último se puede extraer,
de acuerdo con el teorema anterior, un subcubrimiento finito.
Con esto queda establecido que T es un espacio compacto.
Observación. De hecho, el concepto de compacidad numerable de un espacio topológico resulta (a diferencia del concepto
de compacidad) poco acertado y poco natural. Surgió en las
Matemáticas debido a una especie de «inercia>. Como quedará
demostrado en el punto siguiente, en el caso de espacios métricos
estos dos conceptos coinciden (al igual que en el caso de espacios
de base numerable). El concepto de compacidad en los espacios
métricos significaba inicialmente la existencia de un punto de
acumulación en todo subconjunto infinito, o sea, coincidía con
la definición de compacidad numerable. La extensión cautomá·
tica» de esta definición de los espacios métricos a los topológicos
condujo precisamente al concepto de espacio topológico compacto
numerable. En la literatura, especialmente anticuada, el término
«compacidad» se entiende a veces como «compacidad numerable»,
mientras que un espacio topológico compacto en el sentido de
la definición que hemos Introducido (es decir, espacio en que
todo cubrimiento abierto suyo contiene un subcubrimiento finito)
110
CAP.
11. ESPACIOS ¡..\ETRICOS
Y TOPOLOOICOS
se llama bicompacto. Además, un espacio de Hausdorff co111pacto
se llama un bicompacto, reservándo:;e. el término de «Un com·
pacto» para Jos espacios métricos compactos. Nos atendremos a
la terminología (compacidad, conw.acidad numerable) que hemos
introducido más arriba; además, los espacios métricos compactos
los llamaremos simplemente compactos y e1t los casos, cuando
resulte deseable subrayar la presencia de la métrica, dirt>mos
«compactos métricos».
4º. Conjuntos relativamente. compactos. Un conjunto M, perteneciente a w1 espa~io de Hausdorff T, que no sea cerrado
en T, no puede ser compacto. Por ejemplo, n'ingún subconjunto
no cerrado de Ja recta numérica es un cqmpacto. Puede, sin
embargo, ocurrir que fa adherencia (MI de un tal conjunto M
de T tenga ya la propiedad de compacidad. Por ejemplo, esto
sucede para todo subconjunto acotado de la recta 'numérica o ·ae
un espacio de n dimensiones. Introduzcamos la siguÍel)te definición.
.
.
OEP1N1c10N. Un conjunto M, perteneciente a un espacio topológico T, se llama relatiuamente compacto (en T), cúando su adh'e·
¡:encia en T es compacta. De la mi:>ma form a .se ·gice que M es
relatiuamente compacto numerable en T, cuando todo subconjunto
infinito A e i\IJ tiene al menos un punto de acumulación (que
puede pertenecer, pero puede y ' no pertenecer a · M).'
El concepto de compacidad relativa (a diferencia del con·
cepto de compacidad) está rélacionado, evidentemente, con aquel
espacio T. en el que se considera el conjunto qado. Por ejemplo,
el conjunto de los puntos rácionales del intervalo (O, l) es re la·
tivamente compacto, si se considera como un subconjunto de ·Ja
recta numérica, pero no será relativamente compacto si ·se considera como un subconjunto del espacio <fo todos los números
racionales.
El concepto ct·e compacidad relativa· adquiere su mayor impertáilcia en el caso de los espacios · métricos que trataremos en
<! 1. parágrafo sígu i~n te.
§ 7. CQ .\ IPAClDAO EN ESPASJO.'iS McTIHCO:>
!º- Acotación total. Puesto que los espacios métricos represen.t.an un caso particular de los espacios topológicos, a el los se
extienden ros resultados y definiciones, expuestos en el parágrafo
anterior, En el caso de Jos espacios métricos la compacidad está
estrechamente ligada al concepto de acotación total que ahora
i.ntroduciremos.
Sea M un conjunto de un espacio métrico R y & un número
.positivo. Se dice que el conjunto A de R es una e-red de M,
§ 7,
CO~\PACIOAO
EN ESPACIOS
METRICOS~
111
cuando para todo punto x E M existe al menos un punto a E A
tal que
p (x, a) ,.;;;e.
Por ejemplo, los puntos de coordenadas enteras forman una
/ -red del plano. Un conjunto M se llama totalmente acotado,
2
cuando cualquiera que sea e> O existe una e.-red finita suya.
Está claro, que un conjunto totalmente acotado es necesariamente
acotado, como la suma de un número finito de conjuntos acolados; la afirmación recíproca no es, en general, justa, como lo
demuestra el ejemplo 2 que citamos más abajo.
Frecuentemente resulta útil la siguiente observación obvia:
si el conjunto M es totalmente acotado, su adherencia rMJ es
también totalmente acotada.
De Ja definición de acotación total se desprende inmediatamente que todo espacio métrico R totalmente acotado es separable. En efecto. construyamos para todo n una *-red finita
de R. La suma, respesto a n, de todas estas redes representa
un conjunto numerable siempre denso en R.
Ejemplos. 1. En el espacio euclídeo den dimensiones la aco·
!ación total coincide con la acotación corriente, es decir, con
la posibilidad de sumergir el conjunto dado dentro de un cubo
~uficicntemente grande. En efecto, si dividimos este cubo en
cubos M dimensión e, los vértices de estos últimos formarán
una 1 e-red finita en el cubo inicial y, por consiguiente, en
cualquier conjunto, contenido en este cubo.
2. La esfera unitaria S del espacio t, ofrece un ejemplo de
un conjunto acotado, pero no totalmente. En efecto, consi<le·
remos los siguientes puntos de S
e1 =(1, O, O, ... ),
Y.;
e 2 = (0, l, O, ... ),
e.= (O,
O. O, ... , 1, O, .. . )
La distancia en \re dos cualesquiera de estos puntos e,, y e,,
(n.-Fm} es igual a V'2. De aquí se desprende que en S no pued~
existir una e-red finita para ningún E< ~<¡ .
CAP. ll. ESPACIOS MllTRICOS Y TOPOLOOICOS
112
3. Consideremos en '• el conjunto n de puntos
X :=- (X1 , X1 ,
... ,
Xn,
. . •)
que verifican las siguientes condiciones
1
1
jx, j~l, lx.1~ 2 ' · · ·• l xnl ~ 2n-I•
Este conjunto se llama paralelepípedo fundame11tal (o cladrillo
de Hilberb) del espacio 11 • Representa un ejemplo de un conjunto
totalmente acotado de iníinitas dimensiones. Para demostrar que
es totalmente acotado podemos proceder del siguiente modo.
Sea dado e> O. Escogemos n de manera que ,,1_1
A todo
punto
2 <f.
x=(x 1 , x 2 ,
de
n
• •• ,
xn> . •. )
pongamos en correspondencia el punto
X*= (x,, X 1 , ••• , Xn, 0, 0, . . . )
(1)
(2)
de este mismo conjunto. En este caso
VÍ ~ xl~ ...Vífi
bn4i <2n~t <f·
p(x, x")= "'
At•n+I
El conjunto Il* de puntos de n de tipo (2) es totalmente acotado (por ser un conjunto acotado de un espacio de n. dimensiones). Tomemos en Il* una f-red finita . Está claro que será al
mismo tiempo una e-red de n.
2°. Compacidad y acotación total.
espacio; métrico R compacto: 1iumerable es lo·
TBORBMA 1. TO<ÚJ
I
talmente acotadQ.
Supongamos que R no es totalmente acotado.
Esto significa que para algún e0 >O no existe en R una e0 -red
finita. Tomemos en R un punto arbitrario a,. Existe en R al
tal que p(a,, a 1 ) > e0 (de lo conmenos un punto, digamos
trario, el punto a 1 resultaría ser una e 0 -red de R). De la misma
forma, en R existe un punto ª• tal que
p (a1 , a,)> e 1 y p (a1 , a 1) > e 0 ,
oeMOSTRACION.
ª•·
ª" ª•
ya que, de lo contrario, el par de puntos
representaría
una e0 -red. Determinados ya los puntos av ... , ª•• escojamos
el punto a11+ 1 E R de manera que
p(a1, aH,) > e0 , I = 1, 2, ... , k.
§ 7. COMl'ACIDAD EN' ESPACIOS
~\ETRICOS
113
Mediante este proceso obtenemos una sucesión infinita a,, a.,
que no tiene ningún punto de acumulación, ya que p ta1, a1) > e0
para i .p j. Pero en tal caso R no es un espacio compacto numerable, que es lo que quedarnos demostrar.
Uri espacio métrico R compacto numerable tie11e
un conjunto nwnerabk siempre denso y w1a base numerable.
COROLARIO 1.
En efecto, construyamos en
IR
una {·red finita para todo
n = 1, 2, . . . y tomemos la unión de estas redes. Esta será pre·
cisamente el conjunto numerable siempre denso en R. La exis·
tencia de una base numerable en un espacio métrico, provisto
de un conjunto numerable siempre denso, fue demostrada ya
anteriormente (teorema 5 del § 5).
Recordando el teorema 9 del § 6, obtenemos el siguiente
corolario importante.
coROLAR10 2.
Todo espacio métrico compacto numerable es com·
pacto.
Hemos demostrado que la acotación total es una condición
necesaria de la compacidad de un espacio métrico. Esta condición no es suficiente; por ejemplo, la totalidad de los puntos
racionales del segmento [O, 1) con la definición corriente de la
distancia entre ellos es un espacio totalmente acotado, pero no
compacto: Ja sucesión de puntos de este espacio
O; 0,4; 0,41; 0,414; 0,4142; ... ,
es decir, la sucesión de aproximaciones decimales del número
V- 2-1 no tiene en este espacio punto de acumu !ación. Sin em·
bargo, tiene lugar el siguiente teorema.
Para que un espacio métrico R sea
es necesario y suf icie11te que sea
1) totalmente acolado,
1 2) completo.
TllO~EMA 2.
u11 compacto,
OEMOSTRACION. La necesidad de la acotación total ya la hemos
demostrado. La necesidad de la complitud es evidente: en efecto,
si {xn} es una sucesión fundamental sin límite de R, esta suce·
sión no tiene en R ningún punto de acumulación. Probemos
ahora que siendo R totalmente acotado y completo, es compacto.
Para ello es suficiente demostrar que toda sucesión (x,.) de puntos
de R tiene al menos un punto de acumulación.
Construyamos una bola cerrada de radio 1 en torno a cada
uno de los puntos que forman una 1-red en R. Puesto que estas
bolas cubren todo el R y el número de ellas es Finit(l, al menos
C.\P. 11. ESPACIOS METRICOS Y TOPOLOGICOS
114
una de estas bolas, llamémosla 8 1 , contiene una subsucesion
u• , • • • de 1a suceston
· • {x•~ .
. . . , x 11
Escojamos ahora en 8 1 una 1/2-red y construyamos alrededor e
lodo punto de esta rea una bola cerrada de radio 1/2. Al menos
una de estas bolas, llamémosla B,, contiene una subsucesión
infinita x~". . .. , x~•>, . . . de Ja sucesión {xJ,11}. Busquemos
luego una bola cerrada Ba de radio l/4 y centro en B, que contiene una subsucesión infinita x~", . . .. x~", . . . de Ja sucesión
{x~"}, etc. Consideremos con toda bola Bn una bola cerrada A"
con centro en el mismo punto, pero de un radio dos veces
mayor. Es fácil ver que las bolas A,, están encajadas unas en
otrns. Debido a la complitud del espacio R. la intersección
.. parcra
· I) rn
· r·rnr·t a x,.,
(suces1on
1 ,
n..
A,, es no vacía y consta de un sólo punto X~ . Este punto ('~
,,
un punto de acumulación de la sucesión inicial {xn}, ya que
y, por consiguient~.
toda vecindad suya contiene una bola
una subsucesión infinita {x~1 } de la sucesión {x,,}.
ª•
3°. Compacidad relativa de subconjuntos en un espacio métrico. El concepto de compacidad relativa, introducido en el
parágrafo anterior .para subconjuntos de un espacio topológico
arbitrario, es. aplicable, en particular, a los subconjuntos de un
espacio métrico. Es evidente, además, que el concepto de compacidad relativa coincide en este caso con el concepto de com·
pacidad numerable relativa. Destaquemos el siguiente :resullado
simple, pero importante.
TtCI RE~\A 3.
Para que un conjunto M '.de un espacio métrico
completo R sea relativamente compacto, es necesario y sufici.ente
1 que sea totalmente acotado.
La demostración se obtiene inmediatamente del teorema 2 y
del hecho evidente de que lodo subconjunto cerrado de un espacio
métrico completo es también completo.
La importancia de este teorema estriba en que, como regla
general , resulta más fácil establecer la acotación total de uno
u otro conjunto, que demostrar directamente su compacidad
relativa. Al mismo tiempo, para las aplicaciones del Análisis
tiene importancia precisamente la compacidad.
Observación. Al demostrar Ja acotación total de uno u otro
conjunto M (es decir, al construir en él una e-red finita parn
todo e > O) de un espacio métrico R, no es necesario que esta
e-red pertenezca a M. Es suíiciente que esta e-red finita pueda
ser construida mediante puntos, pertenecientes a R. En efecto,
§ 7. CQ,\\PACIOAO EN E.SPACIOS METIHCOS
116
si los puntos
a.. a,, ... , ª"E R
son tales que para todo punto x
p(x, ak),¡;;;e
para cil,!rto k, obtendremos una 2e-red en et conjunto M , compuesta por puntos de este conjunto, al sustituir todo 'punto ª"
mediante un punto b1r que veriUque las condiciones
fl (a., b1r) ,¡;;;;e, b1r E M
4°. Teorema de Arzelá. La demostración de la compacidad
de un conjunto de un espacio métrico, es un problema que
encontrarnos con bastante frecuencia en el Análisis. Al mismo
liempo, la aplicación directa del teorema 2 del punto 2 no
siempre resulta simple. Para los conjuntos, situados en un espa·
cio concreto, se puede dar criterios especiales de compacidad,
que resultan más cómodos para la aplicación práctica.
En un espacio euclídl!D de n dimensiones la compacidad de
un conjunto es equivalente. como hemos visto, a su acotación.
Sin embargo, esto ya no es cierto para espacios mélr.iéos más
generales.
En el Análisis, uno de los .espacios métricos m:ís importantes
es el espacio C¡a, bi· Para loo subconjuntos <le este espacio, un
criterio importante y frecuentemente empleado <le comp_~cidad
relativa lo ofrece el así llamado teorema de Arzelá.
Para poder enunciarlo, necesitamos los sigulenles conceptos.
Una familia <D de funciones cp, definidas sobre un segmento,
se llama equiacotada, cuando existe un número K !al c¡uc
l<r-(xl l < K
para lodo x E [a, b] y toda <p E IJ>.
Um1 familia (1) = l'(l'I se llama equ.icMlirwa. cuando para cada
1" > O hay un ó > O ul que
1 1p (x 1) - q1(x,) 1 < s
para todas las funciones q> E <D y para todo par x,. x, de la. b)
tal que p(x,, xJ < ll.
TLOi<P.MA 4 lARZ!!LA>. Para que una familia CI> de fu11ciones
contin ua.~. defi11it/as soúre el segmento (a, /lj, sea relativamcale
compacta en C: • . bh e.s nece:,ario ~y suf icie11te que esta familia
sea equiaco/ada y cqi1ico11liriua.
11EMOSTRAC1ot1. N¡;ceswA o. Sea la familia CD relativamente compacta en C:a. bJ· Entonces. de acuerdo con el teorema 3 <le!
116
CAP. 11. ESPACIOS MBUICOS Y T<Jl'OLOG ICOS
punto anterior, para cada e positivo existe en <D una ; -red
finita rp,, <p., . .. , q¡.. Cada una de las funciones q>¡, siendo
continua sobre un segmento, es acotada:
:l {fl,·(x) l <K1·
Pongamos K=maxK1 +f. Por definición de f-red,
todo rp E <D tenemos, al menos para un rp;.
p (rp,, {fl 1) =
para
!I
max] {fl (x)-{fl1 (x)1<3 •
"
Por consiguiente,
l cp(x) I < I <P,(x) 1
+f <K1+i~K.
Es decir, <D es una familia equiacotada.
Luego, puesto que cada una de las funciones q¡1 que forman
la i ·red es continua y, por consiguiente, uniformemente co;u:.
nua sobre {a, b], para un
i
dado existe un fi 1 tal que
1 q>1 (x1 )-cp¡ (x,) 1
e
< 3,
siempre que 1x1 -x1 1< fi 1•
Sea fi = min 61• Entonces, para 1x1
I < B y para cualquier
función cp E <D, tomando cp1 de manera que p (rp, cp1) < f, obtenemos
-x.
<¡> (x 1 )-rp (xi>I ~
<
1 rp
(x1)-cp,. (x,) 1+1 q>¡ (x,) - rp 1 (x,} 1+1 rp 1 (x2) - cp (x,) 1 <
<
s
a
r.
3+3+3=E.
Hemos demostrado con ello la equicontinuidad de la familia <D.
Sea <D una familia equiacotada y equicontinua de
funciones. De acuerdo con el teorema 3, para demostrar su compacidad relativa en Cea. bJ• es suficiente probar que existe en
Cea. bi una e-red finita de ella cualquiera que sea e > O. Sea
1cp(x)1 K para todos cp E <D
y sea 6 > O escogido de manera que
suFICIENCIA.
<
1q> (x1 )-q> (.xt) 1<
f
para 1x1 -x. I < .S
S 7. COMPACIDAD EN ESPACIOS M l>TR ICOS
117
y para lodos q> E <D. Dividamos el segmento [a, b] del eje x
mediante los puntos x, ~ a, < x, < x, < ... < xn = b en intervalos de longitud menor que 6 y construyamos rectas verticales
a través de estos puntos. Dividamos el segmento [-K, KJ del
eje y mediante los puntos !Jo= -K. <y, <y, < ... < !Jin = K
en intervalos de longitud <
y construyamos rectas horizontale.! a través de estos puntos. De esta forma el rectángulo
a ~ x ~ b. -K ~y~K resultará dividido en células con lado
horiiontal de longitud < 6 y con lado vertical de longitud
<
Asignemos ahora a cada función q> E <I> la quebrada 'iJ (x)
con vértices eo los puntos ex•• y,), es decir, en los nodos de la
red construida, y que diverge de la función q> (x) en los puntos xk en menos que
(la existencia de una quebrada de este
tipo es evidente).
Puesto que, por la construcción,
i
f.
i
<f.
1cp(x.+,)-'IJ(xk+i) 1< f
j <p(xk)-1j>(x.JI
y
tenemos
l 'll (x.J-iji (xw) 1
3e
< T·
Puesto que la función ijl (x) es lineal entre los puntos xk y xk+••
tenemos
3e
jijl (x.)-ijl(x)J < s para todos xE[x.,
xk+d·
Sea ahora x un punto arbi trario del segmento [a, b] y sea xk
el punto de la división escogida más próximo a x por la izquierda. Entonces
1q> (.~) - '!> (x) 1~rljl(x) - <p(xk) 1 + 1 <p (x.)-11> (x.J r+
1111 (x.)- lj> (x) 1~e.
+
Por consiguiente, las quebradas ijl (x) representan una e-red respecto a Cll. El número de ellas es finito; luego, <D es totalmente
acotada. Hemos demostrado com¡Yletamente el teorema.
6°. Ttotema de Peano. El teorema de Arz.elá tiene múltiples apllc3clones . A titulo de aplicación suyo veamos el siguiente teorema de existencia
para ecuaciones diferenciales ordinarias con el miembro derecho continuo.
tl8
CAP. 11. ESPACIOS ME'rRICOS Y TOPOLOGICOS
TEOREMA 5 (P.,ano).
Sea
dy
(3}
dx =f(x, y)
una ecuación difcrem:ial dada. Si la función
f
es continua en un rc>cinlo
cerradlJ G, al menos una curva integral de la ecuación dada pasa por cado
pu.rilo in ferior (x0 , Yo) de es/e recinto.
Puesto que la función f es continua en un recinto cerrado,
DSMOSTRAC!Or>:.
.es acotada:
lf(x, y) 1< M =const.
Tracerno~
por el punto (xq, Ya) las rectas con pendiente M y -M . 'rra•cemos, ademas, las rectas •vcrtíca!es x'.= a y x=b de manera que los dos
triángulos con v<:rlice común t>n (x0 , y 0 ) que ella.s producen perteneican
íntegramente al ·i nterior de la región G.
Construyamos ahora para la ecuación dada las así . llamadas quabradas
de l!uler del siguiente mod0 : tracemos por el punto (x0 • y0 ) la recta de pen.
diente f (x•. y0 ) . Tomemos en esta reda un punto (.r,. y 1 ) y tracemos, a tra·
és de él, una r•cla de pendiente f (x,. y 1). l!n esta recta tomemos un punl?
(x2 , y,} y tracemos. a través de él, una recta de r,endiente f (x., y.), ele.
CónsiMrcmos ahora la sucesión de quebradas de Eu er L 1, L,, •. . , L,, . ... ,
que pasan por el punto (x0 • Ya) y tales que la longitud del mayor de los
eslabones de la línea Lk tiende a cero para k _,, oo. S<!a cp¡, la íunción.
cuya gráfica es la linea I+ Las funciones <f" q>2 , •• • , <j>n• ••• poseen las
siguientes pro¡>icdadcs:
1) están definidas en un rnismo segmento (a. bJ.
2) son equiacoladas,
3) son equicontinuas.
En virtud del teorem'o de Arzelá, se puede extraer de la sucesión {<Pk}
una subsucesión unilorlnernenle convergente. Sea rp(ll, q>m, . . •• qi<k>, ...
esta sucesión.
Pongamos q> (x) = 1im cp<k> (x). para k-+ oo. Está claro que q> (x0 ) = y 0 •
Resta probar que cp verfüca sobre el segmento [a, b] la ecuación dilcrcncial
dad11 . Pant ello es necesario demostrar que cualquiera que sea e > O
0
\
1qi
(x:~=%· (x') -f
(x' •cp (x'))
1
< e,
siempre que la magpilud 1x' -x' J sea suficientemente peq11eña. A su vez.
para demostrar esto es preciso establecer para k suficientemente grand«
.
q><k>'(.~~cj>.l~J (x')
x" ~x'
1
f (x •• cp<kJ( x ')) 1 < e,
siempre que la diferencia 1x• -x' 1 sea suíicien temente pequeña.
P uesto que f es continua eu Ja región O, para cua lquier e> O se puede.
enconlrar un '1 > O t al que
f (x', y')-&< f (x, y) < f (x', y'l+ e
(y' =q> (x')).
siempre que
lx-x'I < 2ri e IY-Y' I < 4M11.
El conjunto de P,tinlos.(x, y)EG. que verilican estas dos desigua ldad~s.
c:onstih1ye un rectángulo Q Se;i ahora K tan grande que para todo k > K
1 <p (x)- cp<kJ(x) 1 < 4'1
§ 7. COMPACIDAD t:.N ESPACIOS M"TRICOS
119
'J lodos los eslabones de I• quebrada Lt Uen~n longitud menoc que l].
llntonces, si 1x-x'1 < 2r¡. todas las quebradas de Euler epi•>, correspondientes a k. > K. se encuentran lntegramente en el interior de Q.
Además, sean (a0 , b0), (a1 , b1 ), ••• , (an+ i • bn+i) los vérllccs de la quebrada 1plk>, donde
a,..;x• < a 1 <a,< , .. <a,. < x• .,;;an+ 1
(suponemos, para concretar, q ue X-> x'; el caso X- < x' se considera analo
gamente). Entonces,
q>IA> (a,) - qilk> (x') ~ ¡ (a0, bo) (a1-x'),
~lk> (a;+i)-cplkl (a¡) ... ¡ (a¡, b1)(a¡+ 1 -a1); 1~ l. 2, .. ., 11- I,
q:ttl {x")-cplk• (a,.)= f (ano b,.) (x• -a,J.
De nqul, para 1x" -x' [ <
1), obtenemos
1f (x', ¡¡')- eJ(a1 - x') < <plk> (a 1)-<pl.t> (x') < lf (x', y')+ e)(a.¡, -x').
f (x', y') -el (a¡ +1-a¡) <
cplk1 (a; + i)-qilkl (a¡)<
< [J (x', Jl')+eJ (a1+i -a¡); i = I, .. ., 11-I.
(/ \X', y') -.:)(x" -an) < q>IAJ (x ") -q>lll (a,.) < [/ (x'. y')-1- e)(x" -anl·
Sumando estas desigualdades, encontramos
lf(x', y')-el(x'-x') < cplkl(x*) -cplb•(x'} < (f(x', y') +eJ(x"- x'),
que es lo que quedamos demostrar,
Diierenles subsucesfones de la sucesión de quebradas de Euler puedtit
converger a diferentes soluciones de la ecuación (3). Por eso, la solución cp
qLte hemos obtenido no es, en general, la única solución de la ecuadón
y'= f (x, y) que pasn por el punto {x0 , ¡¡0).
6. Teorema generalizado de Arzelá. Sean X e Y dos compactos métricos y sea C;ry el conjunto de todas las aplicaciones
continuas f del compacto X en Y. Definamos la distancia en
Cxv mediante la fórmula
p (f, g) = sup p (f (x), g(x)) .
.-e X
Es fácil comprobar que Cxy se convierte de esta forma en
un ei;pacio métrico.
e (teorema generalizado de Arzelá). Para qw¡ un conjunto
DcCxy sea relatiuamente compacto, es necesario y suficiente
que las funciones f que integran D sean equiconlinuas, es decir,
que para cualquier e> O exista un 6 > O tal que de
TEORBMA
p (.~', x")
< tl
p (/ (x'), f (x"))
<~
(4)
(5)
cualesquiera que sean f de D y x' y :t de X .
0EMOSTRAC10N.
rema 4.
Ln necesidad se demuestra igual c¡ue l'n el teo-
120
CAP. IJ. ESPACIOS
MET~!COS
Y TOPOLOQICOS
Demostremos la suficiencia. Para ello sumerjamos Cxr en el
espacio Mxy de todas las aplicaciones del compacto X en el compacto Y con la misma metrica
p (f, g) = sup p ({ (x). g {x))
zEX
que ha Sido introducida en CXY• y demostremos Ja compac.idad
relativa del conjunto D en Mxr· Puesto que Cxr es cerrado en
M xr 11 • Ja compacidad relativa del conjunto D en M XY implica
su compacidad relativa en CXY.
Tomemos arbitrariamente e > O y escojamos 6 de manera
que de (4) se siga (5) para todo f de D y todo x', X' de X.
Es fácil ver que X se puede representar como Ja unión de conjuntos disjuntos E; tales que de x', x" E E; se deduce que
p (x', x') < 6. En efecto, para ello es suficiente escoger Jos puntos x,, x,, ... , xn de manera qu(.formen una 26 -red en X y tomar, por ejemplo,
!E, = S(x1,6)- U S(x1,6).
/ <(
Consideremos ahora :en el compacto Y una e-red finita y,,
denotemos mediante L la colección de funciones
g(x) que toman los valores y1 sobre los conjuntos E;· El número
de estas funciones es, evidentemente, finito. Probemos que forman
una 2e-red respecto a D en Mxr· En efecto, sea fED. Para
todo punto X; de x,, ... , Xn existe un punto y1 de y,, ... , Ym
tal que
y,;, ... . Ym:
(p (f (x;). Y¡)
<l!·I
Sea la función gEL escogida de:manera que g(x;)=y1•
Eritonees,
p (f (x). g (x)) ~ p (f (x),f;(x 1))
+ p (f (x¡), g (x 1)) +
+ p (g:(x
1),
g(x))
< 2e,
si i se ha escogido de manera que x E E1.
De aquí se desprende que p (f, g) < 2e íy, por consiguiente,
Ja compacidad de D en Mxr y, por ~lo tanto, en Cxr queda
demostrada.
n Esto se debe a que el límite de una sucesión uniformemente convergente de aplicacíones continuas es también una aplicación contrnua. La
prop0$iCión enunciada repr~senta una gen~ralización directa del teorema
conocido del Análísis y se demuestra igual que este teorema.
§
8. FUNCIONES REALES SOBRE ESPACIOS Mé TRJCOS \' TOPOLOGlCOS 121
§ 8. Funciones reales sobre espacios métricos y topológicos
1°. Funciones y funcionales continuas y unlfonnemente continuas. Una función real sobre un espacio topológico (en particular, métrico) T es una aplicación del espacio T en el espacio R' (la recta numérica). Así, por ejemplo, una función real
sobre el espacio R• de n dimensiones es Ja función ordinaria
de n variables.
Cuando el propio espacio T se compone de funciones, las
funciones definidas sobre él se llaman funcionales. Veamos algunos ejemplos de funcionales de funciones x, definidas sobre el
segmento [O, 1):
F, (x) = sup x (t);
F,(x)=inh(f);
F 3 (x)=x(t0 ), donde t 0 E (O, l];
F. (x)=<p(x(t0), x(l,), ....:x(t,J], dondc);E[O, l]
y la función <p (s0 , s, . ... , s.) está definida para todo s¡ real;
-
1
F6 (x)=~<p[t, .~(t)Jdl, donde q>(t, s)está definida y
o
es continua para todo O,¡;;; t,,;;; 1 y todo s real;
F,(x)=x' (t0 ), donde l 0 E [O, IJ;
1
F,(x)=} Vt+x'•(t)dt;
o
1
F 8 (x) = ~ 1 x' (t)[dl.
o
Las funcionales F" F,, F3 , F. y F, están definidas sobre el
espacio C de todas las funciones continuas sobre el segmento [O, 1);
F 0 está definida sólo para las funciones diferencia bles en el punto t ,;
F, para aquellas funciones para las cuales la expresión JÍ J + x'•(t)
es integrable y F, para funciones para las cuales j x' (t)I es integrable.
La funcional F, (x) es continua sobre C, ya que
p (x, y) = sup 1 x-yl y jsupx-supy l ,,;;;sup )x-yj.
Las funcionales F.,, F 3 y F 6 son también continuas sobre C; la
funcional F, es continua sobre C, cuando la función <p que lo
determina es continua respecto a todos sus argumentos. La funcional F, es discontinua en todo punto de C donde está definida.
En efecto, sea x (t) una función tal que x' (t 0 ) = 1 y 1x (t) J <e
y sea y=x. + x . Entonces, y'(t 0) = x~(t.)+ I , mientras que
122
CAP. 11 . ESl'ACIOS
~\1'TRICOS
Y TOPOl.OC ICOS
p (y, x,) < &. J::sla funcional F, resultará continua, si se considera
sobre el espacio e lll , compuesto de funciones que tienen derivada
continua y provisto de la métrica
p (x, y)= sup ll x(t) - y (1) 1+ l x' (/) - y' (1) 1J.
t
La íuncional F, es también discontinua sobre el espacio C. En
1
efo::lo, sea x0 (t)srO y xn(t)=n
sen 2nnt. Entonces, p(x,..x0 )=
= { - O; sin embargo, F, (x.) > 4 para todo n, mientras que
F, (x 0 ) =l. Por consiguiente, F, (x.) no tiende a F, (x,). cuando
x. - x0 • El mismo ejemplo sirve para demostrar que la funcio·
na! F 8 es también discontinua sobre el espacio C. Ambas fun·
cionales F, y F. son continuas en el espacio C111•
Para las funciones, delinidas sobre un espacio métrico, sub·
sis te el concepto habitual de continuidad uniforme: la función f (x)
es unilormemente continua sobre un espacio métrico R. cuando
para todo e > O existe un 6 >O tal que
lf(xJ-f(x.> l <e. siempre que p(x,, x,)<6.
Por ejemplo, Ja funcional F, es uniformemente continua sobre
el espacio C (¡compruébese eslot).
Para las funciones reales sobre compactos métricos tiene lugar
el siguiente teorema, que generaliza el teorema bien conocido
del curso elemental de Análisis acerca de las funciones continuas
sobre un segmento.
TEOREMA 1. Una fwrción real continua sobre un compacto fTlé.
I frico es uniformemente conli11ua.
DEMOSTllACtON . Supongamos que f (x) es continua, pe.ro no uní·
forrnemenle continua, sobre un compacto métrlco /(. Entonces.
para cierto & positivo y cualquier rt natural existirán ·"n y x~ de K
tales que
p (x•• x~) < {, mientras que 1f (x.)-f (x~) 1;;;i, e.
De la sucesión (x.} se puede extraer, debido a la compacidad
de K. una subsuceslón {x,..) convergente a un punto x E K- En
este caso {x~*} también converge a x; pero para cada k debe
cumplirse al menos una de las desigualdades
lf(x)-f (x~.) 1~
i,
1f (x)-f (x,,.) l ~i
y eslo contradice a la continuidad de la función
f en el punto x.
t
8.
FUNCIONES Rf..\:.Es SOBRE ESPACIOS MeTRlCOS y TOPOtOGlCOS 123
2°. Funciones continuas y semicontinuas sobre espacios compactos. Más arriba hemos visto que el teorema sobre la continuidad
uniforme de una función continua sobre un segmento subsiste
para las funciones definidas sobre cualesquiera compactos métricos.
En cuanto a las demás propiedades de funciones continuas sobre
un segmento, conocidas del Análisis, algunas de ellas se extienden, como veremos ahora, a espacios com pactos cualesquiera (no
necesar iamente métricos).
TEOREMA 2. Sea T un espacio rompacto y f U11a {unción ronlinua
sobre él. Entonces, f es arolada sobre T y alcanza sobre T sus
1 ex/remos superior e i·nfertor.
oe:MOsTRActoN. Una función continua es una aplicación continua
de T en la recta numérica R'. La imagen de T en Ri es, de
acuerdo con el teorema gener al 3 del § 6, compacta. Pero un
subconjunto compacto de la recta numérica es cerrado y acotado y,
por consiguiente , no sólo tiene extremos superior e inferior finitos,
sino que contiene incluso estos extremos. El teorema queda demostrado.
l!JERCICIO. Sea K un compncto métr ico y A una aplicación de K en si
mismo tal que p (Ax. Ay) < p (x, g) para x ;é g. Demuéstrese que la aplica·
ción A ti ene en K un punto fijo único.
Las afirm aciones del últ imo teorema admiten una generalización al caso de funciones de una clase más amplia, a saber, al
caso de las así llamadas funciones sem!continuas.
Una función f (x) se llama semiro11ti11ua inferiormente (superiormente) en el punto x 0 , cuando para todo e> O existe una
vecindad del punto x 0 tal que f (x) > f (x0 )-e (f (x) < f (x.H- e).
Por ejemplo, la función «parte entera de xi, f (x) = E (x) es
semicontinua su periormente. Si aument amos (disminuimos) e l
valor f {x0 ) de una función cont inua en un punto x 0 , obtendremos
una función semicontinua superiormente (inferiormente). Si f (x)
es semicontinua superiormente, la función - f (x) es semicontinua
inferiormen te. Estas dos observaciones permiten obtener inmed iatamente un gran número de ejemplos de funciones semicontinuas.
Para el estudio de las propiedades de semicontinuidad de
!unciones reales conviene permitirles que lomen va lores infinitos.
Si f (x0 ) = - oo , consideraremos que la función f es semicontinua
inferiormenle en x 0 ; en cambio, si para todo lt > O existe una
vecindad del punto x 0 tal que f (x) < - h, admitiremos que la
función f es semicontinua tamb ién superiormente en el punto x 0 •
Si f (x 0 ) =
oo, consideraremos que Ja función f es semicontinua superiormente en x 0 ; en cambio, si para todo '1 >O existe
una vecindad del punto x 0 ta l que f(x) > lz, admitiremos que
+
CAP. 11 . ESPACIOS MliTRICOS Y TOPOLOGICOS
124
la función f es semiconlinua también iníeriormente en el punto x,.
Sea f (x) una función real sobre un espacio métrico/?. Se llama
límite superior f(x0 ) de la función f (x) en el punto x, a la mag·
nilud (finita o infinita) lim ~ sup f (x) ] · Se llama límite infe• -o XES(.r,.e)
rior f (x,) a la magnitud ( inita o iníinita) lim [ inf f (x>]·
-
e- o
xeS(.r,.c)
La diferencia lilf(x0)=f(x,)- t_(x,) (si es que tiene sentido, es
decir, si al menos uno de los números f (x0), f(x 0) es finito) se
llama oscilación de la función f (x) en el punto x 0 • Es fácil ver
que para la continuidad de f (x) en el punto x 0 es necesario y
suficiente que wf (x0 ) =O, es decir, que -oo <l (x,) = f(x,) < + oo.
Para cualquier función f (x). la función flx) es semicontinua
superiormente y Ja función f (x), semicontinua inferiormente.
Esto se obtiene fácilmente de ii definición de los limites superior
e inferior.
Veamos un ejemplo importante de una funcional semicontinua.
Definamos la longitud de la curva y = f (x) (a~ x ~ b) medían te la funcional
LW) = sup~" V (x¡ -X¡_ ,)• + (f (x 1)-f (x;_i))',
l=I
donde el extremo superior (que puede ser igual a + oo) se toma
respecto a todas las divisiones posibles del segmento [a, bJ. Esta
funcional está definida sobre todo el espacio M de las funciones
reales a<'otadas. Para las funciones continuas coincide con el
valor del limite
~
lim
~ V(x; - X;-,)'+(/(x;) - f (x 1_,))'.
llllX 1.t1-.r1- t l - O I = 1
Finalmente, en caso de iunciones con derivada continua puede
ser representada en la forma
b
~ V 1 + f '• (x) dx.
a
La fun~ional L~ (f) es sernicontinua inferlormente en M, como
se deduce fácilmente de su definición.
El teorema, establecido anteriormente, se generaliza al caso
de funciones semicontinuas.
TEO~EMA 21. Una función finita semicxmtinua inferiormente (superiormente) sobre un espacio compacto T está acotada inferiormente (superiormente).
¡
§ 9. CURVAS
co:-1r1NUA$
l!N ESPACIOS METRICOS
125
En efecto, supongamos que inf f (x)= - oo. Entonces, existe
una sucesión {xn} tal que f (xn) < - 1t. Puesto que el espacio T
es compacto, el subconjunto infinito {xn} suyo tiene al menos
un punto de acumulación x 0• Por hipótesis la función fes finita
y semicontinua inferlormente; por eso, existirá una vecindad U
del punto x, tal que f (x) > f (x0 ) - l para x E U. Pero en este
caso Ja vecindad U puede contener solamente un número finito
de puntos del conjunto {xn) y esto contradice a que x, es un punto
de acumulación de este conjunto.
De manera análoga se demuestra el teorema en el caso de una
función semicontinua superiormente.
Una funcló11 finita semiconiinua inferiormente
(superiormente) sobre .un espacio compacto T alcanza su extremo
inferior (superior).
Supongamos que la función f (x) es semlcontinua inferiormente.
Entonces, de acuerdo con el teorema 2a, tiene un extremo inferior finito y, además, existe una sucesión {xnl tal que f (xn) ~
E;;;inf f(x)+~.
Debido a la compacidad de T, el conjunto (xn) tiene un punto
de acumulación x0 • Si fuese f (x 0) > inJ f, existirlan, en virtud
de la semicontinuidad inferior de la función f, una vecindad U
del punto x0 y un ll >O lales que f(x) > inf f+ll para xE U. Pero
en este caso la vecindad U no podría contener ningún subconjunto infinito del conjunto (x.}. Por consiguiente, f (x,) = inf f.
que es lo que se quería demostrar.
Tl!oR l!MA 2b.
§ 9. CURVAS C.ONTINUAS EN ESPACIOS M~TRIC.OS
Sea dadn una aplic.ición continua
(P=f (1)
del segmento
IJ
o;;;.(.;;;b
en un espacio métrico R. Cuan do I <recorre> el segmento desde a hasta b,
el putito correspondiente P <recorr~ una ccurva conl!nua• en el espacido R.
N<n proponemos dar unas dellnlciones rigurosas. relacionadas con la idea
tosca que acabamos de exponer. Consideraremos que el orden en el que se
recorren los puntos de la curva es una propiedad esencia! de la propia curva.
Un mismo conjunto, indicado en la fig. 13. recorrido en las direttiones señaladas en las ligs. 14 y 15. será considerado como diferentes curvas. A titulo
de un ejemplo más consideremos la lunción real, ddlnida sobre el segmento
10, 1(, que viene representado en la fig. 16. Representa una ccurva., situada
') Este parágrafo no está relacionado con In exposición sucesiva. El
l ector puede, si lo desea, omllirlo.
126
C.~P.
JI . l!SPACIOS ,\\ETR ICOS Y TO POLOCICOS
en el S('gmento (O. 1J del eje y y dislin ta de este segmento recorrido una vez
desde e l punto O hasta el punto l . ya que"' segmento {A. 8 ] se pasa tres
veces (dos hacia arriba y una hacia abajo).
Sin embnrgo, si los puntos del espacio se recorren en el mismo orden.
consicleraremos que la selocción del •parámetro• t 110 es esencial. Por ejemplo,
tas funciones representadas en las figs . 16 y t 7, determinan una mismfl
ccurvat, siluadn sobre el eje y. aun c uand•> los va tore.s del parámetro t,
correspo11dien tes n al1iún punto de In c urva , resul ten distintos en los casos
de la lig. 16 y la lig. 17. Por ejemplo, en el caso de la fig. 16, a l punto A
Je corresponden sobre et ej e t dos puntos aisla dos, mientras que en e l cnso
de. la fi¡:. 17. corres¡10nden sobre e l eje t un punto nisl:u.lo y un segmento,
situndo ~ s u rlcrechn (cuando t recorre este segmento, e.1 11unlo de la curva
se mnnli<'llC lijo) 1).
FlG. l·t
FJG. 13
FIG. 15
~L
y
i -- - - -----
______ _
A
A
t
ft
FlG. 17
FIG. 16
P;isemos a las delin iciones formales. Dos:lunciones continuas
P = f' (t') y
P = f"¡{t")
definidas, respectivamente, sobre los segmentos
a'.;;; t' .,.;/>' y a•.;;; t• ,¡;;;;¡,•
y con valores en un espacio mét rico
R. se
ll ama n equioolentes, c uando e• istero
dos !unciones continuas no decrecientes
l'= q>' (I) y
l"=q:" (t).
deiini das sobre un segmen to
l ) En vista del estudio ulterior de la compacidad de sistemas de curvns
conviene consentir estos segmentos de constancia del punto P =f (t).
S 9. CURVAS CONT INUAS 1rn: ESP/ICIOS METRICOS
127
que posl'Cll las propiedades
cp' (11) ... a'. qi' (b)=b',
q¡• (a) = a", <r•" (b) = b·.
r r<li' c1H = r f<I'" (1>1
para todo 1Efa, b).
Es h\ctl ver que la rel ación de equivalencia as! introd ucida es reilexíva
(f es equivalen te a /), sim~trfca (si f' es equ iva lente 8
tamb ién
es
equivalente a /') y transit iva (de la equi valencia de !' y
y de la equivalencia de
y /" se deduce la equivalencia de
y /"). l>or eso, todas las
funciones contin uas del tipo considerado se dividen en clases de funciones
equivalentes entre si. C:ida una de estas clases define un~ curua Ct)n/inua
en et espacio R.
Es lácfl ver q ue para toda función P = /' (1'). definida sobre un segmento
a',
eiciste una !unción equiva lente a ella, definida sobre et segmento
la', b• = (O, IJ. En electo. es suficiente tomar 1 >
l' = <p' (l}=(b'-a') 1 +a', l"=qi• (I) = /.
r.
r
r
r
r
b'/·
Por consiguient e, podemos supon~r que toda c urva v le11e dada en forma pnramélrica mediante una función tlolinid a sobre el segmento (O, 1).
Por eso resulta oport uno int roducir el espacio C (1, R) de aplicaciones
continuas f del segmento I =[O, 1J en el espacio R con l a m~trica
p(/, g)=supp (/(1), g(I)).
t
Admitiremos que la sucesión de curvas l" l., .... L •. ... converge a la
curva /., cuando las curvas l ,. pueden ser representndas paramétricmnente
en la forma
P = fn(I). O..:;; I <; 1
)' 1a curva L, en la forma
P - /(1).
O<;t,¡; t
de manera que p (/, fnl - O para n «> .
Apl ic,.ndo el teoremn generalizado de Arzelá (teoremn 6 del§ 7), es fácil
demostrar el siguiente teorema.
TEORE~\A 1.
Si la sucesión de curuas l 1, l,, . , . , L•• .••. slluadas en un
pued~ rcpnscn/ar paramétricamente mediante funciones
equiconlinuas sobre el segmento [O, 1J. se puedf. exl raer de el/a una s11bs11·
cesiót1
co1iuergente.
1
compacto K. se
Defin nmos ahora la longi tud de una c urva. que en forma paramélrica
viene dada por la función
P - / (1) ,
a~t<;b,
como el extremo super ior de las sumas de lipo
"
~ p({(/1-1>· f(f;)),
l• l
1 ) Admiti mos siempre q ue a < b. Sin embargo, no exclu imos las •c t1rvas•
que constan d e un solo punto y que se ob tienen cuando In función f (1) es
consl8nle sobre la. b). Este ncuerdo lambién resulta oporluno para lo sucesivo.
CAP. 11.
128
ESP .~C JOS
MF.'l'l(l(:os y TOl'OLOúlCOS
donde los puntos f¡ están sujetos sola.mente a las condiciones
a=tG,,;;; t 1..;; ••• <;.l¡.o;. ... .,;;.tn =b.
Es h\ci l ver que la longitud de una curva no .Jcpcndc de su represen·
!ación paramélrica. Si nos limitamos a las representaciones pararuétricas
por medio de funciones, definidas sobre el segmento (O, lJ, es fácil demos·
trar que la longitud de una curva es una funcional semicontinua inferior·
mente de f (~n el espacio C (1, R)). En el lenguaje geométrico este resultado
puede ser enunciado en forma del siguiente teorema sobre semicon!inuidad.
Si la sucesión de c11ruas l 0 oonuerge a la curua L, la tongiiud de la curoo. l no es mayor que el limite inferior de las longitudes de
TEORE.\'\A 2.
1
las curvas Ln.
Consideremos ahora especialmente las curvas de longitud finita. Supongamos que la curva está definida por la función paramétrica
P=/(I),
a,.;;;t.;;;;b.
La función f, considerada solamente en el segmenlo [a, TI, donde
deline el csegmento inicial> de la curva desde el punto
a..;.T~b,
Pa=f (a)
hasta el punto
Pr=/(T).
Sea
s=<p(I)
su longitud. Es fácil probar que
P =g (s) =
f fqi- 1 (s))
es una nueva representación paramétrica de la misma curva. Aqul s recorre
el segmento
O<: s..;;;S,
donde S es la longitud de toda la curva considerada. Esta representación
veri!ica la exigencia
p(g(s1). g(s2 ))<;[s,-s1 1
(la longitud del arco es no menos que la longitud de !a cuerda).
Pasando al segmento (O, 1), obtenemos la representación paramé!rica
P=F(T)=g(s),
T=~.
que verifica la condición de Lipschitz
p (P (T1). F (T2})..;; S 1t, - -e, ).
Vemos, por consiguiente, que para todas las curvas de longitud
S<;M,
donde M es una c<>nstante, es posib le una representación paramélrica median·
le funciones equicontinuas, definidas sobre ei segmento [O, 1(. Por lo tanto,
a ellas es aplicable el teorema l.
Mostremos el alcance de los resultados generales obtenidos aplicándolos
a la demostración de la siguiente proposición importante.
S 9. CURVAS CONTINUAS EN ESPACIOS METRICOS
129
SI dos puntos A y B de un compacto K pueden unirse por
medio de una curva continua de longitud finita, enlrt estas curvas existe la
1 de longitud mínima.
En e!eclo, sea Y el extremo inferior de las longitudes de las curvas,
que unen los puntos A y B del compacto K.. Supongamos que !as longitudes
de las curvas l 1 , L., ... . ln, .... que unen los puntos A y 8, tíenden a Y.
o~ acuerdo con el teorema 1. de la sucesión ln se puede extraer una sub·
sucesión convergente. De acuerdo con el teorema 2, (a curva limite de esla
subsucesí6n no puede tener longitud mayor que Y.
Observemos, que incluso en el caso. en que K es una superficie cenada
sua ve (diferenclable suficiente número de veces) del espacio euclideo de tres
dimensiones, este teorema no se desprende directamente de los resultados
que se establecen en el curso de ~ometcla Diferencial, donde se considera,
i¡eneralmcnte, sólo el caso de puntos A y B sulicientemente próximos.
Todo lo expuesto adquirirla mayor claridad, si hublesemos provisto de
una estructura de espacio mélric.o el con¡unto de todas las curvas d.el esp1telo
métrico dado R. Esto se puede hacer del nlendo In distancia en tre las curvas
L, y L, mediante la lórmul11
p(L,, lt)=in!p<ft, f,),
TEOREMA 3.
d onde el extremo ln!erior se loma respecto a todos los pares de representaciones paramétricas de la curva L, por medio de la lunclón
P = f,(l),
O..;;t~ I,
y de la c urva L,. por medio de la función
P - f,(t),
Lu
d~moslración
sencillR, 11 excepción
ljUC de
O...:t..; l.
de que esta distancia verilica los axiomas corrientes es
de un momento: ofrece ciertas dlllcultades demostrar
p(L 1 , L2)=0
se deduce la identidad de lns curvas L y i.. Este resultado es conSECuencía
dircda del hecho de que el extremo in?erior en la fórmula. mediante la cual
hemos defin ido la distancia p (L 1 , L.) se alcanza. si se escogen adecuada·
mente las representaciones paramétricas {1 y /,. Pero la demostr:ición de
esta últ ima proposición tampoco es sencilla .
s ·"" ~ 1 60
CAPITULO
111
ESPACI OS LINEALE S
NORMADOS Y TOP OLOGICO S
§ l. ESPACIOS LINEALES
El concepto de espacio lineal es uno de los más impor tantes
en las Matemáticas. Desempeñará un papel primordial no sólo
en este capítulo, sino también en toda la exposición sucesiva.
tº. Definición y ejemplos de espacios lineales.
1. Un con junto no vacío L de elementos x, y, z, . . .
se llama espacio linool, o vectorial, cuando satisface las siguientes condiciones:
l. Para cualesquiera dos elementos x, y EL está definido
unívocamente un tercer elemento z EL, llamado suma de ellos
y denotado x+y, tal que
1) x+y=y+x (conmutatividad),
2) x+(y+z)=(x+u)+z (asociatividad),
3) en L existe un elemento O tal que x +O= x para todo x EL
(existencia del cero),
4) para todo x EL existe un elemento -x tal que x + (-x) =O
(existencia del elemento opuesto).
II . Para cualquier número cx. y cualquier elemento xE L está
definido el elemento a.i:: EL (producto del elemento x por el número ex.) de manera que
Dl!FIN1c10N
J) cx.(~X)=(cx.~)x,
2) l ·x=X.
III. Las operaciones de adición y multiplicación están relacionadas entre sí mediante las leyes distributivas:
1) (a. + ~)x=ax+~x.
2)
a(x + y)=cx.x+cx.y.
En dependencia del conjunto de los números que se admite
(todos los complejos o solamente los reales), se distinguen los
f
l. ESPACIOS LI NEALES
131
espacios lineales complejos y reales u. A menos que no se diga
lo contrario, nuestros razonamientos serán válidos tanto para
los espacios complejos, como para los reales.
Observemos que todo espacio lineal complejo puede ser considerado como real, si nos limitamos a la multiplicación de los
vectores por números reales.
Veamos algunos ejemplos de espacios lineales, dejando a cargo
del lector la comprobación, en cada uno de ellos, de los axiomas
enunciados anteriormente.
l. La reda numérica, es decir, el conjunto de los números
reales con las operaciones habituales de adición y multiplicación,
representa un espacio lineal.
2. El espacio vectorial den dimensiones, es decir, el córrju'nto
de todos los sistemas posibles den números (reales o complejos)
x.., (x,, ,1:t• • .. , xn), en el que la adición y la multiplicación
se definen median te las fórmulas
(X1 , x., ... ,x,,)+(y,, y,, ... ,yn)=(x, + y,. x,+y., ... ,x,.+yn),
a. (x., x., ... , xn) =(ax,.
cx..1:,.),
ax,. . .. ,
es también un espacio lineal. Se denomina espacio aritmético
den di mensiones"' y se denota mediante R" en el caso real y
en el caso complejo.
3. Las funciones continuas (reales o complejas) sobre un seg·
mento [a, b] con las operaciones habituales de adición de fun·
ciones y multiplicación de funciones por números constituyen el
espacio lineal C¡a. bl• uno de los más importantes para el Análisis.
4. El espacio l,, cuyos elementos son las sucesiones de número~ (reales o complejos)
e·
X=(X 1, X,_ • . . ,
x., . . .)
que verifican la condición
"'
~
l} a: l
lxn i1 < oo,
( 1)
con las operaciones
(x,. x., ... ,
rx(x 1 •
x,,. .. . ) +(y,, y,, ... , y,,, ... ) =
= (X1 +y,, x, + y,, · · ·• xn+Yn• · · .),
x 2 , . • • , x", . . . )=(cxx1 , ax2 , • • . , ax,., ... ),
es un espacio lineal. E l hecho de que la suma de dos sucesiones, que satisfacen la condición (1). tam bién verifica esta condi11 Podrían consi derarse también espacios llnealts sobre un cuerpo cuA I·
quiera.
t 1 Este término se explicará más en adelante.
13~i
, CAP. 111.
ESP AC IOS LINEALES NORMADOS Y TOPOLOGICOS
ción, se desprende de la desigualdad elemental
{a1 +a,)' ,s;;; 2a~ + 2a~.
5. Las sucesiones convergentes x = (x1 , x., ... ), con la adición y multiplicación por números realizadas respecto a las coor·
denadas, forman un espacio lineal. Denotémoslo c.
6. Las sucesiones convergentes a O, con las mismas operaciones de adición y multiplicación, forman también un espacio lineal.
Denotémoslo c0 •
7. El conjunto m de todas las sucesiones numéricas acotadas,
con las operaciones de adición y multiplicación por números
definidas igual que en los ejemplos 4, 5 y 6, t ambién repres~n ta
un espacio lineal.
8. Finalmente, el conjunto R"' de todas las sucesiones numéricas, con las mismas operaciones de adición y multiplicación
por números que en los ejemplos 4, 5, 6 y 7, es también un
espacio lineal.
Puesto que las propiedades de un espacio lineal son las pro·
piedades de adición y multíplícacíón por números de sus elementos, resulta .' latural introducir la siguiente deíinición.
DEF1N1c10N 2 . Dos espacios lineales L y L" se llaman isomorfos,
cuando se puede establecer entre sus elementos una correspondencia
biunívoca compatible con las operaciones en L y L*. Esto s ignifica que de
(x, y EL,
y
x•, !f <f. l"),
se sigue
X+ !J H:X'°
el.X
+ y•
Hrzx"
(ce es un número arbitrario).
Conviene a veces considerar los espacios isomorfos como diferentes re a 1iza c iones de un mismo espacio. A título de ejemplo
de espacios lineales isomorfos pueden servir el espacio aritmético
de n dimensiones (real o complejo) y el espacio de todos los
polinomios de potencia ,s;;; n - 1 (con coeficientes reales o complejos, respectivamente) (¡demuéstrese el isomorfismo de estos
espacios!)
2°. Dependencia lineal. Los elementos x, y, ... , w de un
espacio lineal L se llaman linealmente dependientes, cuando exfaten
unos números ce, ~ •.. . , A, no todos iguales a O, tales que
S l. ESPACIOS LINEALES
133
(2)
En el caso contrario, estos elementos se llaman linealmente
independientes. En otras palabras, los elementos x, y, ... , w
son 1inealmenfe independientes, cuando de la igualdad (2) se
sigue que
a=(l = .. . = '- =0.
Un sistema infinito de elementos x, y, . . . det espacio L se llama
linealmente independiente, cuando todo subsistema finito suyó
es linealmente independiente. · ,
Si en un espacio l se pueden encontrar n . elementós· lineal~
mente independientes y cualesquiera n + 1 elementos de este
espacio son linealmente depend·ientes, se dice que el espácio L
tiene dimensión n.. En cambio, si en l se puede indicar un
sistema, compuesto por un número finito cualquiera de elementos
linealmente independientes, se dice que el espacio l es de dimensión in.finita. Se llama base de un espacio l de n dimensiones
a todo sistema de 11 elementos linealmente independientes. Es
fácil comprobar que los espacios Rn en el caso real y enen el
caso complejo son de dimensión n, justificando de esta forma
su denominación.
En el curso del Algebra Lineal se consideran espacios lineales
de dimensión finita . Nosotros, al contrario, nos dedicaremos,
como regla general, a los espacios de dimensión infinita que,
desde el punto de vista del Análisis, representan el mayor inte·
rés. Proponemos al lector comprobar que cada uno de los espa·
cios, señalados: en los ejemplos 3, 4, 5, 6, 7 y 8, esl de dimensión infinita.
3°. Subespacios. Un subconjunto no vacío L' de un espacio
lineal L se llama subespacio, cuando representa un espacio lineal
respecto de las operaciones de adición y multiplicación por nú·
meros definidas en L.
En otras palabras, L' e L es un subespacio, cuando de
x El', !J E L ' se deduce que ax+ ~y EL' cualesquiera que sean
et y p.
En todo espacio lineal L existe el subcspacio formado solamente del elemento cero, el subespacio nulo. Por oiro lado,
todo el l puede ser considerado como un subespacio suyo. Un subespacio, diferente de L, que contiene al menos un elemento no
nulo, se llama propio.
Veamos ejemplos de subespacios propios.
1. Sea L un espacio lineal y x un elemento suyo no nulo.
El conjunto <le elementos p..x}, donde "A toma todos los valores
134
CAP. 111. ESPACIOS l.INEAl.ES NORMAOOS Y TOPOLOOICOS
numéricos (reales o complejos), forma, evidentemente, un subespacio unidimensional. Este subespacio es propio, si la dimensión
de l es mayor que l.
2. Consideremos el espacio de funciones continuas C¡•. bt
(ejemplo 3) y en él el conjunto de todos los polinomios Pra. bJ ·
Está claro que los polinomios forman en Clª· bj un subespacio
(de dimensión infinita al igual que todo el Cea. bJ}. A mismo tiempo,
el propio espacio C¡ •. bl puede ser considerado como un subespacio de un espacio más amplio de todas las funciones, tanto continuas, como discontinuas, sobre [a. b).
3. Consideremos, fínalmente, los espacios l,, c., e, m y R-;;
(ejemplos 4, 5, 6, 7 y 8 del punto 1). Cada uno de ellos es un
subespacio propio del siguiente.
Sea {x0 } un conjunto no vacío cualquiera de elementos de
un espacio lineal L. Entonces, existe en L un subespacio minimo
(posiblemente coincidente con l) que contiene {x.}. En efecto,
existe en L al menos un subespacio que contiene {x.}: es lodo
el l. Además, está claro que la intersección. de cualquier conjunto
{L,.} de s11bespacú>s es de nuevo un subespacio. Efectivamente, si
L°= n L1 y x, yELº, tambiénax+~yEL• para todos losa y~·
T
Tomemos ahora todos Jos subespacios, que contienen el sistema
de vectores {x.}, y consideremos su intersección. Esta será precisamente el menor subespacio, que contiene el sistema dado de
veclores {x.}. Este subespacio mínima! se llamará subespacio
generado por el con/U11to {x.} o cápsula línea! del conjunto {x,}.
Denotaremos este subespacio mediante L ((x.)).
EJERCICIO. Un sistema linealmente independiente (x.} de elementos de
un espacio lineal L se llama base de Hamel, cuando su cápsula lineal coincide con L. Demuéstrense las siguientes proposiciones:
1) en lodo espacio lineal existe una base de Heme!;
•
2) si (x.} es Üna. base de Hamel en L. lodo vector xE l se repres~nta
dé manern única mediante una comb!nnción lineal finita de algunos vectores
del sistema {x.};
3) dos bases cualesquiera de Ha mel de un espacio lineal L tíenen In
mismo potencia; la potencia de una base de Hamel de un espacio lineal l
suele llamarse dimensión algebraica de este espacio;
4) dos espacios lineales son isomorfos si, y sólo si, tienen la misma
dimensión algebraica.
4°. Espacios cocientes. Sea L un espacio lineal y L' algún
subespacio suyo. Diremos que dos elementos x e y de L pertenecen a una misma clase de equivalencia (según L'), cuando la
diferencia de ellos x - y pertenece a l'. El conjunto de todas
estas clases se llamará espacio cociente de L según L' y se denotará con LJL'. En todo espacio cociente se introducen, de una manera
s t. ESPACtos: LINEALES
135
natural, las operaciones de adición y multiplicación por números.
A saber, sean ~y 11 dos clases, representando elementos de L/L'.
Tomemos en cada una de estas clases un elemento, digamos,
x e y respectivamente, y llamemos suma de las clases f. y 11 a
aquella clase ~. que contiene el elemento x+y, y producto de
la clase~ por el número a aquella clase que contiene el elemento <t.X.
Es fácil probar que el resultado no cambiará, si los representantes x e y se sustituyen por cualesquiera otros representantes X: e y'
de las mismas clases ~y IJ. De esta forma quedan, efectivamente,
definidas las operaciones lineales para los elementos del espacio
cociente L/L'. Una comprobación directa demuestra que estas
operaciones verifican todas las condiciones, contenidas en fa defi·
nición de un espacio lineal. En otras palabras, todc espacio Cbeiin·
te l/L' (con las operaciones de ad ición y multiplicación· por
números que acabamos de definir en él) representa un espacio
lineal.
Si L es un espacio de n dimensiones y el subespacio suyo L'
tiene dimensión k, el espacio cociente es de dimensión n-k
(¡demuéstrese esto!).
Sea L un espacio lineal arbitrario y L' algún subespacio suyo.
La dimensión del espacio cociente L/L' se llama codimensión del
subespacio L' del espacio L.
Si el subespacio L' el tiene codimensión finita 11, se pueden
escoger en L los elementos x,, x., . . . , x. de manera que todo
elemento x EL quedará representado (unívocamen te) en la forma
x=cx.1x1 + ... +a,.x,,+y.
donde a,, . . . , an son números e y EL'. En efecto, sea n. la
dimensión del espacio cociente l/L'. Tomemos en este espacio
cociente una base
~I• ~•• • • • • Sn
y escojamos en cada clase ~- arbitrariamente un elemento que
designaremos con x~. Sea ahora x un elemento cualquiera de L y ~
aquella clase en l/l' que contiene a x. Entonces
+ ...
~ = CX.1 ~ 1
+an~n·
Esto significa, por definición. que todo elemento de
en par·
licular, el elemento x, difiere sólo en un e lemento de L' de la
combinación lineal construida con elementos, tomados por uno
en cada clase ~, • ... • Sn• es deci•,
s.
x=a1x1 + .. . + anxn+Y·
Dejamos al lector la demostración de que esta representación
es única.
136
CAP. lit. ESPACIOS LINEALeS NOllMADOS Y TOPOLOOICOS
5°. Funcionales lineales. Una función numérica f, definida
sobre un espacio lineal L, se llamará funcional u. Una funcional
f se llama aditiva, cuando
f(x+y)=f(x)+f(y) para todos los x, yEL;
se llama homogénea, cuando
f (ax}= af (x) (ex es 1111 número).
Una funcional f, definida rn un espacio lineal complejo, se
llama conjugada homogénea, cuando f (a.x) = af (x), donde es el
número complejo conjugado de a.
Una funcional aditiva homogénea se llama funcional lineal.
Una funcional aditiva conjugada homogénea se llama conjugada
lineal (o antilineal).
Señalemos ejemplos de funcionales lineales.
l. Sea R.• el espacio aritmético de n dimensiones, compuesto
por los elementos x = (x,, ... , xn} y sea a= (a,, ... , a,,) un
elemento determinado de R". Entonces,
a
f (X) = .~"
X¡O¡
1.. 1
es una funcional lineal en R.". La expresión
"
y(x)= ~a.X.
/e)
'
'
representa una funcional conjugada lineal en C".
2. Las integrales
b
I [x]
b
=) x(t)dt
a
e T[x] = ~ x(t)dt
a
representan, respectivamente, func ionales lineal y conjugada li·
neal en el espacio C¡a. bJ·
· 3. <::onsideremos un ejemplo más general. Sea Yo una función
determinada continua sobre (a, b) . Tomemos para toda función
xE Cia. bl
b
F(x)= Sx(t)y 0 (t)dt.
a
Aquí la palabra t!uncionah se entiende en un sentido algo distinto
que en el § 8 del capitulo II. donde hemos llamado funcional a una !un.
ción numérica deilnida sobre un espacio métrico, cuyos elementos son fun·
ciones. En adelante, tendremos que tratar con espacios líneales , que al
mismo tiempo son métricos y cuyos elementos son funciones. Por eso, no
resultari esencial cierta discordancia en los términos de este capltulo y el
anterior.
tl
137
§ l. l!SPACIOS LINl!ALl!S
La linealid_ad de esta funcional se deduce de la.s propiedades
principales de la operación de inteeraclón. La funcional
b
F.(x) = ~ x (t) y0 .(t) dt
a
será conjugada linea\.
4. Consideremos en este mismo espacio C1o. bJ una funcional
lineal de otro tipo, tomando
61. (x) x (t 0 ) ,
=
es:-decir,Y,haciendo igual e l valor de la funcfonal r6;, para la ;función x al valor de esta fu nción- en ún punto fíjo: t 0 •
Frecuentemente, resulta necesario considerar esta funcional,
por ejemplo, en la Mecánica Cuántica, donde suele escribirse en
Ja forma
b
M!.(x)
=) x(l)A(t -
t ,) dt,
a
entendiéndose por 6 la cfuncióm que es igual a cero en todo
punto, excepto el punto t =O, y cuya integral es igual a la
unidad (t'i-funclón de:! Dlrac). Como veremos en el capitulo siguiente, la 6-función se puede representar co~o limite, en cierto
sentido, de una sucesión de funciones cauténticaS> cpn cada una
de las cuales se anula fuera de una e.,-vecindad (e,.-. O para
•
b
n-oo}del punlo i=Oyverifica la condición~cpn(t)dl=I.
"
5. Veamos un ejemplo de una funcional lineal en e l espacio t,.
Sea k un número entero positivo determinado. Para todo
de L1 tornemos
X=(X 1t
•••
• X,,, ... )
fk(x)=x,..
Esta funcional es evidentemente lineal. Funcionales de este tipo
pueden considerarse también en otros espacios de sucesiones, por
ejemplo, en c0 , e, m y R"' (ejemplos 5, 6, 7 y 8 del primer punto).
6°. Interpretación geométrica de una f~ncional lineal. Sea f
·una funciona\ lineal, distinta del ci:ro idéntico, en un espació
lineal l. El conjunto l¡ de elementos x de L que satisfacen la
condición
f (x) =O
representa un subeSpacio del espacio ·L, que se llama subespaclo
138
CAP. 111. esPACJOS LIN EALe S NORMADOS y TOPOLOGICOS
f. En efecto, si x. y E L/I tenemos
f (cxx+ ~y) =a.f (x) + ~f (y) = O.
de ceros de la funcional
El subespacío L1 tiene codimensión l. En efecto, tomemos
un elemento x 0 que no pertenece a L1 , es decir, un elemento tal
que f (x0 ) =fo. O. Tal elemento existe, ya que f (x) ;;é O. Podemos
admitir, sin perder generalidad, que f (x0 )= l, ya que en el caso
contrario podríamos dividir x0 por f (x 0 )
Para
(! (1(x:) )=1 ) .
un elemento x cualquiera tenemos x=f (x}-.-c 0 +y, de manera que
f (y)= f (x - f (x) x 0 ) =0, es decir, y E L1 .
Siendo x 0 un elemento fijo. el elemento x se representa de
una manera única en la forma ·
x=cxx0 + y, donde y E L1.
En efecto, sea
x=cxx0 + y,
x= a.'xo +y',
y E L1,
y' E Lr
Entonces.
(a.-a.') x. =y' -y.
Si cx =a.'. será evidentemente y'=y. En cambio, si a. :::¡éa',
tendremos x0 =y' - 11, E L 1 y esto contradice a la selección de x 0 •
a.-a.
De aquí se deduce que dos elementos X i y .x. pertenecen a una
misma clase de equivalencia según el subespacio L1 si, y sólo si,
f (x,) = f (x1 ). En efecto, de
x,=f(x1 )·x.+y"
x, = f (x,) · x 0 +y,
se ·sigue que
x,-x, = (f (x,)-f (x1 ) ·x.+(y,-y,).
De aquí se ve que x,-x, E L1 si, y sólo si, el coeficiente de x 0 ,
es decir, f (x1)-f (x, ), es ígual a O.
Toda clase ~ según el subespaclo L 1 se determina por cualquiera de sus representantes. A titulo de este representante pode·
mos tomar el elemento de tipo a.·x0 • De aquí se ve que el
subespacio LJL1 es efectivamente unidimensional y que L1 tiene
codimensión l.
El subespacio L1 determina, salvo un factor constante, Ja
funcional lineal que se anula en él.
En efecto, sean f y g dos funcionales que tienen el mismo
espacio de ceros L 1 = Lg. ·Tomemos, a partir ·de f, un elemen.to
§ 1, ESPACIOS LINEAL ES
139
x0 de manera que f (x 0 ) = 1. Afirmamos que g (x0 ) *O. En efecto,
x = f(x)x 0 +y. yEL1 =Lg•
y
g (x) =
f (x) g(x0 ) + g (y) = f (x) g(x0 ).
Si fuese el valor g(x 0 ) igual a O, la funciona l g re.s ultaria igual
idénticamente a cero. De la igualdad g(x)=g(x0 )f(x) se ded,µce
precisamente que las funciones g y f SOJ1 proporcionales.
Sea L' un subespacio de codimensi'ón 1 en el e~pa~io. linéa.l. l;
entonces, toda clase de equiva,lencl!l del espacio. L ~gúr¡ el s\¡I;>·
espacio L' se llama hiperplaM· paralefo al subesp·acio' 'L'"(eit
particular, el propio subespacio L '· es un hiperplano que cohtiene
el O, es decir, que <pasa por el origen de coordenada.s»). En otras
palabras, el hiperplano M' para lelo al subespacio L' es e l conjunto que se obtiene a partir de l' mediante una traslación
paralela a un vector x 0 EL:
M' = L' +x0 = {y:y = x+x0 , xE L').
Está claro que, si x 0 EL', tenemos M' = L'; en cambio, si x 0 E L',
tendremos M' =F L'. Si f es una funciona l lineal no trivial sobre
el espacio L, el conjunto M 1 = {x:f(x)= ll es un hiperp lano
parale lo al subespacio L1 de ceros de la funcional f (en efecto,
fijando un elemento x0 , para e l cual f (x0 ) = l , podemos representar todo vector xEM1 en la forma x = x0 +y. donde yEL1).
Por otro lado, si M' es un hiperplano paralelo al subespacio l'
(de codimensión 1) que no pasa por el origen de coordenadas,
existe una funcional lineal f única tal que M' = {x: f (x) = l}.
En efecto, sea M' = L ' +x0 , x0 EL; en este caso, todo elemento
xE l se puede representar de manera única en la forma x = cx.x0 +y,
donde y E L'. Tomando f (x)=a, obtenemos la funcional lineal
deseada; Ja unicidad se deduce de que, siendo g(x)""" 1 para
xEM', tenemos g(y) ~ O para yEL', de manera que
g (ax. + y) =o:= f (ctXo + y).
Por consiguiente, hemos establecido una correspondencia biunívoca entre todas las funciones lineales no t rivia les, definidas
sobre L, y todos los hiperplanos de L que no pasan por el or igen
de coordenadas.
EJERCICIO.
Sean/, / 1, .•.•
fn iuncionales lineales sobre un espacio lineal
L. tales q ue de f 1 (x) = ... = f,.(x)=O se deduce que f(x)=O. Entonces.
"
existen unas constantes a,, .. . , a,. tales que f (x)- ~
k= I
ª•fk (;;): para todo
140
CAP. 111. ESPACIOS 1..INE:All!S NORMADOS Y TOPOl..OOICOS
§ ,2. CONJUNTOS CONVEXOS Y. FUNCIONALES CONVEXAS .
TEOREMA DE HAHN - BANACH
IC. C<>njuntos convexos y cuerpos conveic:os. Varios capítulos
importantes de la teoría de espacios lineales tienen como base
el concepto de conuexidad que, apoyándose en ideas geométricas
evidentes, admite, al mismo tiempo, un enunciado pl\ramente
analítico.
Sea l un espacio lineal rea 1 y x, y dos puntos suvo5. Se
llama segmento (cerrado) en L, que une )os puntos x e y. al
conjunto de todos los elementos de tipo
-· ax+j3y, donde ex, 13 ~.o. a+l3=1.
El segmento sin los puntos txtremo$ x e y se llama segmento
abierto.
Un conjunto McL se llama conpexo, cuando junto con dos
cualesquiera puntos suyos x e y contiene también al segmento
que los une.
Llamaremos núcleo de un conjunto arbitrario EcL al con·
junto de puntos suyos x tales que para todo y EL existe un nú·
mero e= e (y)>O tal que x+tyEL para ltl<e.
Un conjunto convexo, cuyo núcleo no es vacío se llama cuerpo
conuexo.
Ejemplos. 1. En el espacio euclídeo de tres dimensiones, el
cubo, la bola, el tetraedro y et semiespacio representan cuerpos
convexos. Un segmentq, un plano o un triángulo del mismo
espacio son conjuntos convexos, pero no cuerpos convexos.
2. Consideremos en el espacio de funciones continuas sobre
el segmento [a, b]' el conjunto de funciones que verifican ht
condición
1f(t)1 ~l.
Este cohjunto es con\lexo; en efecto, si
lf(t)I~ 1 y lg(t) !~ 1,
entonces, para a+ ~ = 1, a, j} ~ O
.1
l o:f (t) + M (t) 1 ~a+13 = 1.
3 . .La 'Qola '•uni.ta:ria de l., es decir, el conjunto de puntos
x = (x,, ... , Xn, ••• ) tales que ~x~ ~ J, es un cuerpo convexo.
Su núcleo se compone de los elementos x .. que- verifican. la con.didón; ,~;x~ < 1..
..
- · · :4i:·: m". pariílelepípedo ·fundamental Il en · t. es un conjunto
. ~01.1v.exq • . p,e.r.o no un cu~i:po .convexo. En efecto, sea xE U; esto
.!
~
1
significa que 1x,,-1~ 2,,_, para todo n= 1, 2,
Tomemos
•• '
l
'·
-·
~
2 . CONJUNTOS CONVEXOS Y F UNCIONALES COl'IVEXAS '
141
y. =( t. } •. . . , ~· ... ) . Seax+ty0 Eil, esdecir, lxn +~ l<
< 2n2ñ='l
, • ; entonces, I ñ' l ~ 1xn + ñ'
, 1+lxn ' <fri='i'+
,
' = 2ñ.=i,
'
de donde se sigue que t = O y, por consiguiente, el núcle<' del
conjunto n es vacío.
EJERCICIO. Sea CI> el co'.!J..unto de puntos x=(x 1 , •••• Xm •.. ) de 1,
que verifican la rendición l;n'x~<; l . LDemuéstrese que <I> es un conjunto
corivexo, pero no un cuerpo convexo.
Si M es un conjunto convexo, su núcleo I (M) es tarpbién
convel\o. En efecto, sean x, yEl(M) y z=ax+~y. a, ~~O.
a+~= J. Entonces, para un elemento dado a EL existen e, > '0
y e,> O tales que, siendo 1t,1 <e,. 1t, I < e1 , los puntos x+ t,a
e y+ t,a pertenecen al conjunto M; por consiguienle, a él pertenece también el punto a(x+ta)+~ (y+ta)=z+ta, si ILI<
~t= min(f 1 , e,), es decir, zE / (M).
Demostremos la siguiente propiedad sencilla , nero importante,
de los conjuntos convexos.
La intersección de cualquier número de conjuntos convexos es un con.junto con1.1exo.
TEOREMA 1.
1
oeMosTRAC•ON. Sea M= n M •• donde todos los M . son conjuntos
a
convexos. Sean, además, x e y dos puntos arbitrarios de M. En
este caso, el segmento que une los puntos x e y pertenece a cada
M . y. por consiguiente, a M. Por lo tanto, M es efectivamente
convexo. Observemos que la intersección de cuerpos convexos
(que, de acuerdo con lo establecido, será un conjunto convexo)
no es necesar iamente un cuerpo convexo (dese un ejemplo).
Para todo conjunto A de un espacio lineal L existe el menor
conjunto convexo que contiene A: éste será la intersección de
todos los conjuntos convexos que contienen A (existe al menos
un conjunto convexo que contiene A , éste es todo L). Este conjunto convexo mínima! que contiene A se llama cápsula co11vexa
del conjunto A . .
Veamos un ejemplo importante de cápsula convexa. Sean
x,, x,, , .. , xn+• puntos de un espacio lineal. Diremos que estos
puntos están en posición general, cuando no pertenecen a ningún
subcspacio de (n- 1) dimensiones. La cápsula convexa de los
puntos x., x,. . .. , Xn +i que se encuentran en posición general
se denomina símplice de ti dimensiones y los propios puntos x,,
x 2 • ••• , Xn+i se llaman vértices de este simplice. Un símplice
de di mensión cero es un punto. Un símp)ice unidimensional es
142
CAP. 111. ESPACIOS LINEALl::S
NOR~tADOS
Y TO POLOGlCOS
un segmento; un bidimensional, un triángulo y un tridimensio·
na!, un tetraedro.
Si los puntos x1 , x 2 , • • • , x,.+ 1 se encuentran en posición
general, cualesquiera k+ 1 de ellos (k < n) se encuentran también
en posición general y, por consiguiente, generan un símplice
k·dimensional que se denomina faceta k·dimensional del símplice
n·dimensional dado. Por ejemplo, el tetraedro con vértices el'
e., e1 y e, tiene cuatro facetas bidimensionales, determinad as por
las ternas de vértices (e., e8 , e1), (e1 , e,, e,), (e,, e,, e,) y (e,, e,. e3 )
respectivamente, seis facetas un idimensionales y cuatro de d i·
mensión cero.
TEOR EMA 2. Un símplice con vértices x,, x., .. . x,.+, es ei co11junto
1 de todos los puntos que pueden representarse en la forma
n+ l
n+ t
k=l
kcl
x= ~a.~11· a.k ;;;;.O, ~ak=I.
DEMOSTRAc10N. Es fácil probar que la totalidad de pun tos de
tipo (1) representa un conjunto convexo que contiene los puntos
x1 , x,, ... , x,.. 1 • Por otro lado, todo conjunto convexo que
contenga los puntos x,, x,, . . . , x,.., debe contener también los
puntos de tipo (l); consecuentemente, estos puntos forman el me·
nor conjunto convexo que contiene los puntos x,, x., ... , x,.+,.
2°. Funcionales convexas. Al concepto de conjunto con vexo
está ligado estrechamente el concepto de funcional convexa.
DBFlNlClON. Una funcional no negativa p, definida sobre un espacio
lineal real L, se llama oonuexa, si
1) p (x + y) ~ p (x) p (y) para todos los x, y E L;
2) p (a.x) = a.p (x) para todos Jos a ;;;i: O.
No adm.itimos que el valor p (x) es finito para todo x EL,
es decir, se admite el caso en que p (x) = +oo para algunos
+
x-EL.
Señalemos ejemplos de funcionales convexas.
l. La longitud de ·un vector en el espacio euclídeo R" de 11
dimensiones. La primera condición significa en este caso que la
longitud de la suma de dos vectores no sobrepasa la suma de
sus longitudes (desigualdad tríangular), mientras que la segunda
se deduce directamente de la definición de la longitud de un
vector en R".
2. Sea M el espacio de funciones x acotadas sobre un conjunto S y sea s0 un punto fijo de S. Entonces,
p •• (x) = 1x (s0 ) 1
es una funcional convexa.
§ 2. CONJUNTOS CONVEXOS Y FUNCIONALES CONVEXAS
143
3. Sea m el espacio de sucesiones numéricas acotadas
x = (x,, x., . . . , x ••. .. ). La funcional
p(x)=suplxnl
n
es convexa.
3º. Funcional de Mlnkowski. Consideremos la relación existente entre las funcionales convexas y los conjuntos convexos.
TEOREMA
a. Si p
es una funcional cotwexa Sllbre un. espacio lintal
L y k un número positivo, el co11/u11to
E= {x: p (x) ,¡;;;; k}
es convexo. Si la funcional p es· finita, el con¡unto E
representa un cuerpo convexo, cuyo núcleo es el conjunto
{x: p(x) <k}
(de manera que de antemano contlen.e el punto O).
DEMOSTRACION. Si x, y E E y a+~ = 1, a, ~~O, tenemos
p (ax+ ~y)~ ap (x) + ~p (y)~ k,
es decir, E es convexo. Supongamos ahora que la funcional p
es finita, p (x) < k, que t > O e y EL; entonces,
p (x ± ty) ,¡;;;; p (x)
+ tp (±y).
Si p (-y)= p (y) = O, tenemos x ± ty E E para todo t; en cam·
bio, sí al menos uno de los números p(y), p(-y) es distinto
de cero, tendremos x ± ty EE cuando
t<
k-p(x)
max (p (y), p ( - y)) •
Tomemos para k un valor determinado, digamos, k= l. En
este caso, toda funcional finita convexa p determina unívocamente en L un cuerpo convexo E tal que OEl (E). Viceversa,
sea E un cuerpo convexo, cuyo núcleo contiene el punto O.
En tonces,
(2)
es una funcional convexa finita. Se llama funcional de Minkowski
del cuerpo convexo E.
Probemos la convexidad de la funcional de .Minkowski (2).
Para todo x EL, el elemento -=..
r pertenece a E, cuando r es su·
fícientemente grande; por eso, la magnitud re(x), definida por
la igualdad (2), es no negativa y finita. Si t > O e y= tx,
144
CAP. 111. l!SPACIOS LINE ALES NORMADOS Y TOPOLOGICOS
tenemos
p8 (y)~inf {r >0: ~ EE}=inr{r > O: 7 EE} =
= inf { tr' > O: f, E E}= t iní {r' > O:
:. E
E} =
= tpe (x}.
(3)
Sean ahora x,, x. El y sea e> O arbitrario. Escojamos los nú·
meros r 1 (i = l. 2) de ma nera que p8 (x1) < r 1 < PE(x;) +e:
entonces !l.. EE. Pongamos r= r +r.· entonces x, +x,= r•"'• +
t
+ r.x,
rr.,,,
J
,,.
·'
'
''i
r
x'11
y "'•. C.Omo E es
'i
convexo, este segmento y, por consiguiente, el punto x, ~x· per·
tenecen a E y por eso
pertenece al segmento con extremos
Pe(x 1 + x.) ~ r ... r, +r,
< Pe(x,) + p8 (x,)+ 2e.
Puesto que e es aquí arbitrario, tenemos
Pe (x, +x,) ~-Pe(x,)
+Pe(x,).
(4)
Las relaciones (3) y (4) significan precisamente que la funcional
p 8 (x) es convexa.
4°. Teorema de Hahn-Banach. Sea l un espacio lineal real
y sea L 0 un subespacio suyo. Supongamos, además, que sobre el
subespacio L 0 se ha definido una funcional lineal f •. Una fun·
· cional lineal f, definida sobre todo el espacio L, se llama
prolongación de la funcional f 0 , cuando
f (x) = f 0 (x) para todo x EL,.
El problema sobre la extensión de una funcional lineal, dada
inicialmente sobre un subespacio, a un espacio mayor surge con
frecuencia en él Análisis. El papel principal en estas cuestiones
'.!.6' desempeña el siguiente teorema.
· Tf\ORl!·MA 4IHAHN-BANACH ). ¡ Sea p una f unclonal convexa finita ,
deflnida sobre ur~ espacio lineal real l, y sea l, un subespacio
lineal de L. Si f 0 es una funcional lineal sobre l,, que veri fica sobre L 0 la con.d lclón
fo (x) ~ P (x),
la funcional
f 0 puede
ser prolongada a w1a funcional
(5)
f
robre
l, que verifica en todo L Ja condición (5).
Probemos que, siendo L 0=i= L, la funeional fo se
uede prolongar de l 0 a un subespacio mayor l', · co'riServando
a condición (5). En efecto, sea z un elemento arbitrario de l
DEMOSTRAc10N.
r
§ 2. CONJUNTOS CONVEXOS Y FUNCIONALES CONVEXAS
145
que no pertenece a L0 y sea L' el subespacio generado por L0 y
el elemento z. Todo elemento de L' tiene la forma
tz + x, donde xE L 0 •
Si f' es la prolongación deseada de la funcional fo sobre L' ,
tenemos
f' (tz + x) = tf' (zJ +-f• (x),
o, tomando /' (z) = e,
r
(tz + x) =te+ f. (x).
Estojamos ahora e de manera que ,en todo L' se cumpla la condición de subordinación (5), es decir, que para todo xE1. 0 ·y
cualesquiera t reales se verifique la desigualdad
f0 (x)+tc~p (x+tz).
Para t > Oesta condición es equivalente a
!~(-T)+c~p (f+z) .o c~p (f +z)-t.(7·) ,
<O es equivalente
a
f.(f)+ c ;;;;, -p ( ~f-z)
o
y para t
c;;;;,- p(-f- z)-t
0
(6)
(T ) . (7)
Demostremos que siempre existe un e que cumple las condiciones
!I elementos arbitrarios de L0 • Entonces,
(6) y (7). Sean y' e
- fo(!/)+ P(!/
+z) ";;:-f.(y')-p(-¡/-z).
(8)
En efecto, este resultado se obtiene de la desigualdad
f 0 (!/)-{0 (y')~ p (!/-y')-. p((!f + z) - (y' + z)) ~
~P(!/' +z) +
p(- y' - z).
Tomemos
d' - inf (- f 0 (¡/)+ p (!/ -1-z)), e'= sup (- f 0 (y')-p (-y' -z)).
r
V
Debido a que y' e y" son arbitrarios, de (8) se ded uce que
d' ~e'. Escogiendo e de manera que
veremos que la funcional /', definida sobre L' por
f' (tz + x) =te+ f 0 (x),
verifica la condición de subord inación (5). Por consiguiente,
hemos demostrado que, si la funcional f 0 está definida sobre un
subespacio l 0 c.l y verifica en l 0 la condición (5), se puede
extender {•· conservando esta condición, a un subespacio mayor
L'. En e caso en que se pueda escoger en L un sistema nurne-
146
CAP. 111. ESPACIOS LINl!ALl!S
NOR~U\DOS
Y TOPOLOGICOS
rabie de elementos x,, x•. .. . • x.. .. . que genera todo L, la
funcional sobre L se construye por inducción, considerando la
cadena creciente de subespacios
V 11 ={L 0 , x 1} , ¿m={Llll, x,), ...
(aquí {Ukl, xk+,f representa el subespacio lineal minimal de L
que contiene ¿<•• y X.t+ 1). Entonces, todo elemento x E l. entrará
en algún L'111 y, por consiguiente, la funcíonal resultará prolongada a todo L.
En el caso general (es decir, cuando no existe un conjunto
numerable generador de L), la demostración concluye aplicándose el lema de Zorn. El conjunto fF de todas las prolonga·
ciones posibles de la funcional / 0 , que verifican Ja condición de
subordinación (5), es un conjunto parcialmente ordenado y todo
subconjunto suyo ~ 0 línealmente ordenado tiene txtremo supe·
rior; este extremo superior es la funcional, definida sobre la
unión de los campos de definición de las funcionales f' E 9'0 y
coincidente con cada una de estas f' en su campo de definición. De acuerdo con el lema de Zom, existe en 6' un elernenlo
maximal f. Este elemento maximal f representa precisamente la
funcional deseada. En efecto, es una prolongación de la funcional
inicial f 0 , verifica la condición (5) en su campo de definición y
está definida sobre todo el espacio L. ya que de lo contrario
sería posible prolongarla, empleando el método descrito anterior·
mente, del subespacío propio, en que esté definida, a un subespacio mayor, y, por consiguiente, f no sería un elemento maxi·
mal. El teorema queda demostrado.
Señalemos también la variante compleja del teorema de
Hahn- Banach.
Una funcional no negativa p, definida sobre un espacio lineal
complejo L, se llama convexa, cuando para todo x, y E L y
cualesquiera números complejos ?o..
p (x+ y)~ p (x) + p (y),
p (A.x) = 1t.. I p (x).
Sea p una funciorllll convexa finita so/Jre un espacio
lineal complejo L y sea !. una funcional ltneal, definida sobre
un subespacio lineal L,cL, dende verifica la condición
TEO!lEMA ...
lf • (x)I ~ p (x),
E L0 •
Entonces, existe una funcional lineal f, def i11tda en todc L, que
x
veríf(ca las condiciones
lf (x) 1~ P (x), x EL,
f (x) =-fo (x),
x E Lo.
§ 2. CONJUN"fOS CONVEXOS Y FUNC10NhLES CONVEXAS
147
Denotemos mediante L 11 y L 011 los espacios L
y L0 , considerados como espacios lineales rea les. Está claro
que p es una funcional convexa finita sobre l 11 y que f 011 (x) =
= Re f 0 (x) es una funcional lineal real sobre L011 que ver ifica
la condición
DEMOSTRACION.
lfo11(x)1 ~ P (x)
y, es más, la condición
f oR(x) ~ P (x).
En virtud del teorema 4, existe una fum;ional lineal rea l
definida en todo L 11 , que satisface las cond iciones
f11(x)~p(x), xEL11 (=L),
f11(x)=f 0 11(x), xEL0 11 (=l,,).
Es evidente que
tanto,
-f11 (x) = fR( -x)~ p( -x) =p(x)
lf11(x)l~p(x),
Definamos en L la funcional
f·11 .
y, por lo
(9)
xEL11 (=l.).
f,
tomando
f {X) = f R (x)-ifR (ix)
(aquí nos valemos de que L es un espacio lineal c o m p 1e jo,
de manera que en él está defin ida la multiplicación por núme·
ros complejos). Una comprobación directa muest ra que f es una
funcional lineal compleja sobre L y que, ademús,
f {x) = fo (x) para x E L 0 ,
Re f(x) = f 11 (x) para xEL.
Resta demostrar que 1f (x) J ~ p (x) para todo x E L. Supongamos lo contrario; entonces. para algún x 0 EL tend remos
1f(x 0 )1 > p (x0 ). Representemos el número complejo f (x0 ) en la
forma f(x 0 )=pé< , donde p >O, y rengamos y 0 =e- 1«x 0 • Entonces, f R (y0 ) =Re f (y.)= Re (e.-i·; (x 0 ) = p > p (.i.:0 ) = p (y,) y esto
c.ontradice a la condición (9). El teorema queda demostrado.
EJERCICIO. Oemuéstr~sc que en ~! tcoremn de Hahn-Banach se puede
omit ir la condición de que lri funciona l p sea finita.
5°. Separa billdad de conjuntos convexos en espacios lineales.
Sea L un espacio real y M y N dos subconjuntos en él. Se dice
que la funcional lineal f definida sobre L separa estos conjuntos,
cuando existe un número C tal que
f (x) -;;. e
para
X(
E) M
y f (x) ~e
para
X
E N.
148
CM'. fil. ESPACIOS LINEALES NORMADOS Y TOPOLOOICOS
Las dos siguientes proposiciones se desprenden directamente de
la definición dada.
1) Una funcional lineal f separa Jos conjuntos M y N si, y
sólo si, separa los conjuntos M-N y {O} (es decir, el conjunto,
compuesto por todos los elementos de tipo x.-y, donde x E M
e y EN, y el punto O).
2) Una luncíonal lineal f separa los conjuntos M y N si, y
sólo si, separa los conjuntos M - x y N-x para todo x E L.
Del !eorema de Hahn-Banach se obtiene sin dificultad el
siguiente teorema sobre la separabilidad de conjuntos convexos
en un espacio lineal, que encuentra múltiples aplicaciones.
M y N dos con¡untos convexos disjuntos en un
espacio lineal real L, con la particularidad que al menos uno
de ellos, digamos M, tiene un núcleo no vacío (esto es. repre·
sen ta wi cuerpo convexo). Entonces, existe sobre L una f w1cional f lineal rw nula que separa M y N.
TEOREMA ~. Sean
Sin perder generalidad, podemos admitir que el
pun!o O pertenece al núcleo del conjunto M. (De lo contrario,
consideraríamos los conjuntos M-x.0 y N-x0 , donde x.0 es
algún punto del núcleo de M). Sea Yo un punto del conjunto N;
enlences, el punto -y0 pertenece al núcleo del con junto M - N,
mientras que el punto O pertenece al núcleo del conjunto
K = M-N +Yo· Como los conjuntos M y N no se intersecan.
tenemos OE M - N e y 0E K. Sea p la funcional de Minkowski
del conjunto K. Entonces, p (y.);;;;::. 1 (puesto que Yo EK). Consideremo5 la funcional lineal
DEMOSTR/\CION.
fo (<J.Yo) = ap (Yo)·
Está definida sobre un subespacio unidimensional, compuesto
por elementos de tipo ay0 , y cumple la condición
fo (ayo)~ p(ay.),
ya que p (ay0 ) = a.p (y0 ) para a.;;;;::. O y f 0 (a.y0 ) = cxf 0 (y~) <O <
0 ) para ex< O. De acuerdo con el teorema de Hann-Banach, la funcional f 0 puede extenderse hasta una funcional
lineal f, definida en todo L, que verifica en L la condición
f (y)~ p (y). De aqui se deduce que f (y),.;; 1 para y E K y que,
al mismo tiempo, f(y,);;;;::. l. Es decir, f separa los conjuntos K
e (y,} y, por consiguiente, f separa M-N y {O};· pero, entonces, f separa los conjuntos M y N . El teorema queda demostrado.
< p (ay
§ 3. ESl>ACIOS NORM.AOOS
149
§ 3. ESPACIOS NORMADOS
En el capítulo l'I hemos considerado los espacios topológicos,
en particular, métricos, es decir, conjuntos en los que se ha
introducido, de una u otra manera, el concepto de proximidad
de elementos, mientras que en los parágrafos anteriores de este
capítulo hemos tratado espacios lineales. Hasta ahora hemos
considerado estos dos entes, los espacios topológicos y los espacios
linealC>.s, independ'ientemente· uno del' otro. No obstante, en el
Análisis tropezamos, ,casi siempre, con espacios provistos tanto
de una topología como de operaciones de adición de eleptwt~s
y multiplicación de éstos por números, es decir, tropezamós-.con
los así llamados espacios topológicos lineales. Entre
los espacios topológicos lineales constituyen una clase importante
los e s p a c i os n o r m a do s. La teoría de estos espacios fue
desarrollada en los trabajos de S. Banach y de otros autores.
tº. Definición y ejemplos d7 espacios nonnados.
Sea L un espacio lineal. Una funcional convexa
finita p, definida sobre L , se llama norma, cuando verifica las
siguientes condiciones adicionales (además de la de convexidad):
1) p(x)=O sólo si x=O,
2) p (a.~)= 1cc1 p (x) para todo ce.
Por consiguiente, podemos dec ir, recordando la definición
de convexidad, que se llama norma en l a una funcional finit a
que cumple las tres condiciones siguientes:
1) p (x) ~O, con la parlicularidad de que p (x) =O sólo si
x=O,
2) p(x+y)~p(x)+p(y), x, y EL,
3) p (cc:') = 1a1p (x) cualquiera que sea el número cc.
oeP 1:-1 1c10N 1.
oer:1N1c10N 2. Un espacio lineal L en el que se ha introducido
una norma se llama espaeio normado. La norma del elemento
x EL se denotará median te el símbolo 11x11·
Todo espacio normado se convierte en un espacio métrico,
si para dos cualesquiera elementos x, y EL se toma
p (x, y)=!lx - y[I.
La validez de los axiomas de espacio métrico se desprende directamente de las propiedades I), 2) y 3) de la norma. En los
espacios normados subsisten, por consiguiente, todos los conceptos
y resultados expuestos en el capitulo l l para los espacios
métricos.
Un espacio normado ccmpleto se llama espacio de Banach o,
brevemente, B-espacio.. .
lt'O
CAP. 111. ESPllCIO$ 1.lNEALES NOllMAOOS Y TOPOl.OGICOS
Ejemplos de espacios normados. Muchos de los espacios, considerados en el capítulo lI como ejemplos de espacios métricos
(y en el § 1 de este capítulo, como ejemplos de espacios lineales), pueden proveerse de hecho de una estructura natural de
espacio normado.
1. La recta numérica R. 1 se convierte en un espacio normado,
sí se l'oma 11x 11 =1x1 para todo número x ER'.
2. Si en el espacio real Rª de n dimensiones con elementos
x=(x,. x, , .. . , x,,)
tomamos
llx ll= , Í
V
±xL
(l)
k=l
se comprobarán todos los axiomas de la norma. La fórmula
n
p(x,
y)=llx-yll =
~ (xk-Yk)'
k~f
determina en R" la misma métrica que hemos considerado ya
en este espacio.
En este mismo espacio lineal se puede introducir la norma
"
~ lxk l
llx!I,= k•l
(2)
y la norma
(3)
Estas normas determinan en Rn las métricas que hemos consí·
derado ya en los ejemplos 3 y 4 del § 1 del capitulo Il. No
ofrece dificultad comprobar que en cada uno de estos casos se
. cumplen ef.ectivamente los axiomas de la norma.
En el espacio complejo en de n dimensiones se puede introducir la norma
llx 11
vktl
¡x,.¡•
o cualquiera de las normas (2) ó (3).
3. Definamos la norma en el espacio Cfª· bJ de funciones continuas sobre e.l segmento [a, bj mediante a fórmula
llfll= max lf(t) I·
(4)
a .; t <; b
La distancia, correspondiente a esta norma, fue considerada ya
en el ejemplo 6 del § 1 del capítulo 1J.
f a.
ESPACIOS NORMADOS
151
4 . Sea m el espacio de sucesiones numérica.s acotadas
X=
(x" x,, ... ,
Xn ••• ).
Pongamos
ll x 11=-sup1
x. I·
11
(5)
Es obvio que las condiciones 1), 2), y 3) de la definición de la
norma se cumplen. La métrica que induce en m esta norma
coincide con aquella que hemos considerado anteriormente (cap. JI ,
§ 1, ejemplo 9).
2°. Subespacios de un espacio nonnado. Hemos definido un
subespacio de un espacio lineal L (desprovisto de topología cual·
quiera) como un conjunto no vacío L 0 tal que, si x, y E L0 , se
t iene ª''+~y E L 0 • En un espacio nor mado, son de interés prin·
cipal los subespacios lineales cerrados, es decir, aquellos subespacios que contienen lodos sus puntos de acumulación. En un
espacio normado de dimensión finita todo subespacío es automáticamente cerrado (¡demuéstrese esto!). En e l caso de un espacio
de dimensión infinita esto no es así. Por ejemplo, en el espacio
C¡a. b) de las funciones continuas con la norma (4), los polinomios forman un subespacio, pero no cerrado 11.
Otro ejemplo: en el espacio 111 de las sucesiones acotadas,
las sucesiones, que contienen solamente un número finito de
elementos diferentes de cero, constituyen un subespacio. Sin
embargo, no es cerrado: su adherencia contiene, por ejemplo, la
.. (1
1
)
succs1on
' 21 1 • • • ' n'
....
Puesto que en lo sucesivo consideraremos, como regla general,
solamente subespacios cerrados, resulta lógico modificar algo la
terminología establecida en el § l. En este ord en, entenderemos
por subespacio de un espacio normado un subespacio cerrado; en
particular, el subespacio generado por un sistema dadG de elemen tos {x.} será el menor subespacio cerrado que contiene (x.} .
Llamaremos este subespacio adherencia lineal del sistema (x.}.
El conjunto (no cerrado) de elementos que contiene junto con
x e y cualquier combinación lineal ax+~y de ellos, se llamará
variedad lineal.
Un sistema arbitrario de elementos, pertenecientes a un espa·
cio normado E, se llamará completo, cuando el subespacio (¡cerrado!) generado por él es todo el E. Por ejemplo, en virtud del
teorema de Weierstrass, el conjunto de todas las funciones 1, /,
H De acuerdo con el teorema de Weierstrass, según el cual toda IWlción
continua sobre uo segmento es límite de una sucesión unilormemente con·
vergtnle de polinomios, la adherencia del subespacio de polinomios en
Cra. &l es todo Cro. bJ·
152
CAP. 111 . ESPACIOS LINEALl!S NOR~IADOS V TOPOLOOICOS
t•. . . . , t", ... es completo en el espacio de funciones continuas Cia.
bJ·
J. Sea R un espacio de Banachy seaS 1 ::iS.;;;) .. . S,.::i . ..
una sucesión de bolas ccn"adas cncnjndas en él Demuéstrese que tiene un a
intersección no vncla (aqu í no se supone que los radios de estas bolas
tienden 11 O; comparese con el ejercicio de la pág. 75). [)ése un ejemplo
de u11n sucesión de conjuntos encajados no vacíos, acotados, cerrados y
convexos de un B·espacio. con inteueccióo vacía.
2. Sea R un B-espacio de dimensión miinifa; entonces, su dimMsión
algebraica (véase el ejercicio de la pág. 134) es innumcr2ble.
3. Sea R un espacio de Banacb y M un subespacio suyo cerrado. Consideremos el espacio cociente P=-R/M y definimos en él la norma. Lomando
parn toda clase de ~uivalencia ¡;
EJEf(c1c1os.
11'11=
In! llx lJ.
zH
Demuéstrese que la luncional asl delinlda representa efectivamente una
norma en P y que, además. el espacio P con esta norma es un espacio de
Banach.
4. Sea R un espacio lineal normado; demuéstrese la validez de las
siguientes proposiciones:
l) lodo subespacio lineal de dimensión iinita de R es cerrado;
2) si M es c.-rrado y N es un subespacio de R de dimensión !inila.
la suma
M+N= lx:x -=y+t. y
E M, t EN}
es un sub~spacio lineal cerrado; dése un ejemplo de dos subespacios linea les
cerrados del espacio t., cuya suma no es cerrada;
3) sea Q un conjunto abierto convexo de R y se<i x, E Q; entonces,
existe un hiperplano cerrado que pasa por el punto x0 y 110 se interseda
con Q.
5. Dos normas U· lit. 11 • 111 .de un espacio lineal R se llaman e.quiualt11les. cuando existen unas constantes a, b >O tales que a¡1x11, ..;11 x11,.;;
.;;;b 11x111 parn todos x E R.. Demuéslrese que, siendo e espacio R óe
dimensión finita. cualesquiera dos normas en él son equivalentes.
§ 4. ESPACIOS EUCL.IDEOS
1°. Definición de espacios euclídeos. Un método bien conocido
de introducir una norma en un espacio lineal es el de definir
en éste el producto escalar. Recordemos que se llama producto
escalar en un •espacio lineal •real R a una función real (x, y),
definida para cada par de elementos x, y E R, que verifica
las siguientes condiciones:
1) (x, y)=(y, x),
2) (x. Yt +y,)= (x. y,)+ (x, y,),
3) (Af, y)= J.. (x, y),
4) (x, x)~O y (x, x1=0 sólo si x=O.
lln espacio lineal con un producto escalar defi nido en él se
§
4. ESPACIOS EUCLIOcOS
153
llama espacio euclideo. En un espacio euclídeo R se introduce la.
norma mediante la fórmu la
(1)
De las propiedades 1), 2), 3) y 4) del producto escalar se deduce
que se cumplen lodos los ax iomas de la norma.
En efecto, el cumplimiento de Jos axiomas 1) y 3) de la
norma (punto 1 del § 3) es evidente y la validez del axioma 2)
(desigualdad triangular) se deduce de la desigualdad de CauchyBunia/urJski
l(x, Y) l< llxll · llY!I
que demostraremos ahora.
Consideremos el siguiente trinomio de segundo grado respecto
a la variable real A., no negativo para cualesquiera valores de 1..:
qi (~,) = (A.x +y, l.x + y)=¡_• (x, x)
2A. (x, y)+ (y, y)=
+
=llxlJ2A.•+2(x, y)l.. +llY lli;;;;.o.
La desigualdad de Cauchy-Buniakovski afirma simplemente
que el d iscriminante de este trinomio de segundo grado es no
positivo.
Observemos que en un espacio euclídeo todas las operaciones
(adición, multiplicación por número, producto escalar) son continuas, es dec ir, si xn -· x, y.-+ y (en el sentido de convergencia
respecto a la norma) y A.._. 11. (como una sucesión numérica),
entonces,
Xn -1-Y.--~+!I,
J..xn-+AX,
(x., y.)- (x, y).
La demostración de es te resultado se basa en la desigualdad
de Cauchy-Buniakovsk i y queda, a título de ejercicio, a cargo
del lector.
La existencia del producto escalar en R permite definir en
este espacio no sólo la norma de un vector (es decir, su longitud), sino también el ángulo entre vectores; a saber, el ángulo
'l' entre dos vectores x. e y se define mediante la fórmula
(x. y)
coscp = ll xll·llull'
(2)
De la desigualdad de Cauchy- Buniakovski
l(x, Y)l~llx il ·llY ll
se deduce que el valor absoluto de la expresión que figura en
154
CAP. 111. ESPACIOS 1.IN BAl..eS NORMADOS Y TOPOl.OOICOS
el miembro derecho de (2) no sobrepasa 1, es decir, determina,
erectivamente, un ángulo q>, O~ q¡ ~ n, cualesquiera que sean
X e y.
Si (x, y)= O, tenemos de (2) q> =
en este caso los \'ectores
x e y se llaman ortogonales.
Un sistema {x.} de vectores de R diferentes de cero se llama
orfogo11al, cuando
(x •• x,>- O para a,P ~.
Si los vectores x. forman un sistema ortogonal, son linealmente
independientes. En efecto, sea
a,x.. + a,.x., + ... + a11 x.,.0 =O;
si (x.} es un sistema ortogonal,
(x.,1, a 1xcr..+ ... +a,.xcr..)=a¡(x.,.1, x,.1)=0,
es decir, puesto que (Xc.1, Xc..) =FO, tenemos a1 =O para todos
los í = I, 2, ... , n.
Un sistema ortogonal (.x.} rompleto (es decir, tal que el menor
subespacio cerrado que lo contiene es todo el R) se llama base
ortogonal. Si, además. la norma de cada elemento es igual a 1,
el sistema (x.} se llama base ortonormat. En general, un sistema
{x. } (completo o no) tal que
O para a .p ~.
(x •• x~"" { 1 para a=~.
i;
se llama sistema ortonormal. Está claro que siendo {x.} un sis·
} resulta ortonormal.
tema ortogonal, el sistema {
11
2°. Ejemplos. Consideremos algunos ejemplos de espacios euclrdeos y bases ortogonales en ellos.
l. El espjicio de coo~denadas Rn de n. dimensiones, cuyos
elementos son Jos sistemas de números reales
x=(x,, x,, ... , x~)
con las operaciones habituales de adición y multiplicación en él
y con el producto escalar
U;;
(X, y)=
i; X¡y¡
(3)
1~1
representa un ejemplo bien conocido de espacio euclídeo. Una
base ortonormal en él (una del número infinito de bases orto-
§
t . ESPACIOS EUCLlDl!OS
155
normales posibles que tiene) viene dada por los vectores
e1 = (1, O, O, ... , O),
et=(O, 1, O, . .. , O),
en= (O, O, O, . . • , 1).
2. El espacio lt con los elementos
x=(x1 , x,, ... , x,,, ... ), donde
j: x/ < oo,
i=l
y con el producto escalar
"'
(x, y) = ~
X¡Y;
(4)
l& I
es un espacio euclídeo. En efecto, la convergencia de Ja serie
que figura en el miembro derecho de (4) fue demostrada ya
en el cap. JI , § l. Las propiedades 1), 2), 3) y 4) del producto
escalar se comprueban directamente. La base ortonormal más
sencilla de J, es la formada por los vectores
e, = (l , O, O•... ).
ei=(O, 1, O, . . .}.
e,=(0, O, l , ... ),
(5)
Son obvias la ortogonalidad y normalidad de este sistema; al mismo
tiempo, el sistema (5) es completo: sea x=(x1 , x, . .. . , Xn, . . . )
11n vector cualquiera de t, y sea x<"'= (x,, x1 , • • • , xn, O, O, .. . ).
Entonces, x'"' es una combinación lineal de los vectores e" . .. ,
e. y \j.'l:fo 1-xl! - ·O para 11-00.
3. El espacio Cl!~ bl· compuesto por fu nciones continuas reales
sobre [n, b), con el producto escalar
~
({, g) =
~ f (l) g(/) di
(6)
a
representa también un espacio euclídeo. Entre diferentes bases
ortogonales que se pueden señalar en él, es de importancia prin·
cipal el sistema trigonométrico, compuesto por las funciones
l
2nl
2nl
2 , cosnb-(i'"", sen ri b- a
(n = l , 2, .. . ).
(7)
La ortogonalidad de este sistema se comprueba directamente.
!56
CAP. 111. ESPACIOS LINEALES NORMADOS Y TOPOLOGICOS
Si consideramos las funciones continuas sobre un segmento
de longitud 2rt, digamos sobre [- :re, n], el sistema trigonométrico correspondiente será 1/2, cos nl, sen nt (n = 1, 2, . .. ).
El sistema (7) es completo. En efecto, de acuerdo con el
teorema de Weierstrass, toda función q> continua sobre e l seg·
mento ¡a, bJ, que toma valores iguales en los puntos a: y b,
puede ser representada como límite de una sucesión uniformemente convergente de polinomios trigonométricos, es decir, de
combinaciones lineales de elementos del sistema (7). Con más
razón esta sucesión convergerá a q> según la norma del espa·
cio e{~~ bJ· Si f es una función arbitraria de C~~~ bJ• se puede
representarla como límite (según la norma del espacio : C11 ~~ &J)
~\
a
b
FIG. 18
de una sucesión de fun ciones q>,. cada una de las cuale.~ coincide
con f en _el segmento a, b--;¡.. . es lineal en el segmento
1
[
'1
. -
[ b--;¡, b] y toma en b el mismo valor que tiene e11 el punto
a (fig. 18). Por consiguiente, todo elemento de Cf~~ b¡ se puede
aproximar tanto como se quiera (en la métrica de este espacio)
mediante combinaciones lineales de elementos del sistema (7) y
esto demuestra precisamente su complilud.
3º. E.xistencia de bases ortogonales, ortogonalización. En la
parte que queda de este parágrafo, nos limitaremos a espacios
euclídeos separables (esto es, a los provistos de un conjunto
numerable siempre denso). Cada uno de los espacios, señalados
en el punto anterior, es separable (¡demuéstrese esto!) . Un ejemplo
de un espacio euclídeo, en el que no existe un conjunto nume·
rabie siempre denso, se puede construir de la siguiente manera.
Consideremos sobre el segmento [O, 1) todas las funciones
posibles x, para cada una de las cuales el conjunto de puntos
l 1 , t,, ... , donde ella es diferente de cero, es a lo sumo
numerable y la suma ~ x• (i), tomada respecto a estos puntos,
es finita. Definamos en este espacio las operaciones de adición y
multiplicación por números como las habituales adición y multi-
§ 4. ESPACIOS EUCLIDEOS
157
plicación de funciones y el producto escalar de x por y, de la
siguiente manera:
(X, y)= ~ X(t¡)y(t;).
donde la suma se toma según el conjunto de puntos t ¡ tales que
x(t;) y (1 1) =fa O. Proponemos al lector demostrar que en este espacio
no existe ningún subconjunto numerable siempre denso.
Sea, pues, R un espacio euclídeo separable. Demostremos que
todo sistema ortogonal de un tal espacio es a fo sumo numerable.
En efecto, sin perder generalidad podemos admitir que el sistema
{q¡.} no sólo es ortogonal, sino también normal (de Jo contrario, podríamos sustituirlo por el sistema
llqi.-q¡,\1= '1/ 2 para
{u::u}).
tX=fa
En este caso,
~-
Consideremos el conjunto de bolas B Í cp •• {) . Estas bolas no
se intersecan. Si el conjunto numerable {1~.l es siempre denso
en R. en cada una de estas bolas . hay al menos un elemento
de {'l'nl· Entonces, el número de estas bolas (y, por consiguiente,
de los elementos q>. también) es a lo sumo numerable.
Hemos señalado una base or togonal en cada uno de los
ejemplos expuestos de espacios euclídeos. Demostremos ahora el
siguiente teorema general. análogo al teorema de existencia de
una base ortogonal en e l espacio euclídeo de n dimensiones.
TEOREMA 1
(sobre la ortogonalización). Sea
f1,f., ... ,fn• · ··
1
(8)
U!i sistema linealmente independiente de elementos de un espacio
euclídeo R. Existe en R un sistema de elementos
Ql¡.
<p., .•. ' ql•••• .
(9)
que satisface las siguientes condiciones:
1) el sistema (9) es ortogonal y normal;
2) todo elemento) q>n es una combinación Lineal de los eleme11tvs
f,. f •• ... ' f,.:
con an,,=1=0;
3) todo elemento f,. se representa en La forma f,, = bn,q>1 +
... + b,,.q>n, donde bnn =F O.
Todo elemento del sistema (9) queda determinado por las condiciones 1). 2) y 3) unívocamente, salvo w1 factor ± l.
158
CJ\P. 111. ESl'ACIOS LINEALES NORMJ\DOS Y TOVOJ..OG JCOS
OE;'1osTRAc10N. Representemos el elemento
<p,
en la forma
q>, =auf,;
entonces, au se determina por la condición
(<¡>1, CV1) = a~¡{f,. {,) = 1,
l
±1
a-11 - bu ---- JÍ(f,, /1).
de donde
Está claro que qi1 se determina unívocamente (salvo el signo).
Supongamos que han sido construidos ya los elementos 'PA (k < 11)
que verifican las condiciones l), 2) y 3). En este caso, se puede
representar f n en la forma
f,, = bn1'P1+ • · • +b,,,,.-1(~n-1 + h,,.
donde
(h,,, <flk)=O para k < n.
En efecto, los coeficientes correspondientes bn,. y, por consiguiente,
el elemento h,. quedan determinados unívocamente por las condi·
ciones
(h,.,
(flk)= ({ ,.-b,,,(f, -
· · · -bn, n-1(Pn-1' <p..,)=
=(f,,, 'Pk)-b,." (<p~, <fln)=O.
Es evidente que (hn, hn) >O (la suposición (h,,. h,,)=0 estaría
en contradicción con la independencia lineal del sistema (8)).
Pongamos
<p,.
h,.
JÍ(h,.,
h,,)
•
De esta construcción inductiva se desprende que h,, y, por consiguiente, también q>,. se expresan mediante f.,, . _., f,., es decir,
q¡,, = amf1
y
+ ... + a,,,.f,.,
donde ann =y
1
-=/= O. Además
(hn, h,.)
(q>,., <Pn)=l, (q>,,, <Pk)=O (k<n).
fn = b,.1<J>1 + · · · + bnn<fln (b,,,. =V (h,., h,,) :FO),
es decir, <¡>,, verifica las condiciones del teorema.
El paso del sistema (8) al sistema (9) que satisface las condiciones L), 2) y 3) se llama proc~so de ortogorialización.
Está claro, que los sub~pacios generados por los sistemas
(8) y (9) coinciden. De suerte que estos sistemas son completos
o no lo son simultáneamente.
cOROLAR10. En todo espacio euclid.eo separable R existe una
base ortonormal.
§ 4. ESPACIOS l!UCLIOEOS
159
En efecto, sea ,¡i,, ,¡i,, ... , 1Pn• . . . un conjunto numerable
siempre denso en R. Escojamos de él un sistema completo de
elementos linealmente independientes {f,.}. Para ello bastará con
omitir de la sucesión j'ljl..} todos aquellos elementos i)>k que pueden
representarse como una combinación lineal de 'lj>1 con i < k.
Ap licando el proceso de ortogona"lización al sistema completo de
elementos linealmente independientes obtenido de esta forma ,
encontraremos la base ortonormal.
EJE~c1c1os. 1. Dése un ejemp lo de un espacio euclldeo (no separable)
en el que no existe ninguna base ortogonal. Demuéstrese que en un espacio
euclídeo completo (no necesariamente separable) existe una base cctonormal.
2. Demuéstrese que en un espacio euclídeo complefo (no necesariamente
separable) 1oda sucesión de conjuntos encajados no vacíos, convexos , ce·
rrados y acotados, tiene una Intersección no vacía (compárese con los ejercicios de las págs. 75 y 152).
4°. Desigualdad de Bessel. Sistemas ortogonales cerrados.
Introduciendo en el espacio euclídeo Rn de n dimensiones una
base ortonormal e1 , e,, .... e11 , todo vector x E Rn puede repre·
sentarse en la forma
11
x= ~ ckek•
(10)
ck=(x,et)·
(11)
t =>
donde
Veamos de qué forma puede generalizarse el desarrollo (10) al
caso de un espacio euclldeo de dimensión infinita. Sea
(jll>
<p., · • • • <l>m • • •
(12)
un sistema ortonormal en un espacio euclídeo R y sea f un ele·
mento arbitrario de R. Pongamos en correspondencia a todo
elemento f E R la sucesión de números
c.=(f, cpt), k= 1, 2,
( 13)
que llamaremos coordenadas o coeficientes de Fourier del elemento f
según el sistema {qik}, y la serie (por ahora formal)
(14)
que llamaremos serie de Fourier del elemento f según el sistema
ortogonal {qi.}.
Surgen lógicamente las siguientes preguntas: ¿converge la serie (14). es decir. tiende a algún límite (en el sentido de Ja
métrica del espacio R) la sucesión de sus sumas parciales' y si
converge ¿coincide su suma con el elcmen!.o inicial f?
160
CAP. 111. r;SPACIOS LIN Ei\l.CS
NO l~MAOOS
V TOl"O LOG ICOS
Para responder a estas preguntas, consideremos primero el
siguiente problema: para un n dado hay que escoger los coeficientes etk (k= l, 2, .. . , n) de manera que la distancia en tre f
y la suma
(15)
sea minimaJ. Calculemos esta distancia. Como el s istema ( 12) c.s
ortonorma 1, tenemos
=(t-*cx,.cp", f-*cx,,cp,.)=
11 f-S,.112
= ({, f)-2 (f.
'
(
.± 0:1ff!1)=
n
}:o:kcpk) + \.1<¿1 a,.q¡,.,
1= 1
11
11
=llflli-2~akck+~a%=llfll"- ~ e:+ ~ (a,,.-o")'.
k= l
k=•
Está claro que esta expresión a lcanza su mínimo cuando el
último sumando es igual a O, es decir, para
(16)
En este caso,
11
!lf-Snll'=llfll•- ~e¡.
(17)
k=t
Hemos
sumas de
cial de la
resultado
demostrado que para un n prescrito entre todas las
tipo (15) la de menor desviación de fes la suma parserie de Fourier del elemento f. Geométricamente este
se puede interpretar del siguiente modo. El elemento
es ortogonal a todas las combinaciones lineales de tipo
es decir, es ortogonal al subespacio generado por los e lementos
cp,, <¡>,, .•. , cpn cuando, y sólo cuando, se cumple la condición
(16) (¡compruébese esto!). Por consiguiente, el resultado obtenido
representa una generalización del conocido teorema de la Geometría Elemental : la longitud de Ja perpendicular bajada de un
punto dado a una recta o a un plano es menor que la longitud
de cualquier oblicua trazada por el mismo punto.
S 4. BSPACIOS l!UCLIDEOS
161
Puesto que siempre 11/-S,. 11';;;;:: O, de la igualdad (17) fluye que
n
~ cl~llfli•·
k•l
Aquí
11
.. e:
... ...
1: e:~ 11f11•.
es arbitrario y el miembro derecho no depende de
consiguiente, la serie ~
11;
por
converge y
.t.. 1
(18)
Esta desigualdad se llama desigualdad de Bessel. Geométricament~
significa lo siguiente; la suma de los cuadrados de las proyec·
ciones de un vector f sobre direcciones mutuamPnte ortogonales
no sobrepasa el cuadrado de Ja longitud del propio vector f.
Introduzcamos el siguiente concepto importante.
Un sistema ortonormal (12) se llama cerrado, cuando
para cualquier f E R se cumple la igualdad
DBF1N 1c10N .
(19)
llamada igualdad de Parseval.
De Ja identidad (17) se deduce que el sistema (12) es cerrado
si, y sólo si. para todo /E R las sumas parciales de la serie de
Fourier ~ Cn<i>n convergen a f.
El concepto de un sistema ortonormal cerrado está inlimamente
ligado al concepto de un sistema completo introd ucido anteriormente.
re ORF MA 2.
E11
wi
espacio euclidco separable R lodo sistema orioy viceversa.
l normal completo es e.errado
~ea el sistema ~<i>n} cerrado; entonces, cualquiera
que Eea el elemento f ER, Ja sucesión de las sumas parciales de
su serie de Fourier converge a f. Eslo significa que las combi·
naciones lineales de Jos elementos del sistema {cp,,f son siempre
de~as en R, es decir, que el sistema {cp.} es completo. Viceversa,
supongamos que el sistema {<p.,~ es completo, esto es, todo elemento f E R ~e puede aproximar con precisión arbitraria mediante
combinaciones lineales
DEMOSTRACJON.
162
CAP. 111. 'ESPJ\ClOS 1..INEALl;;S NO!lMAOOS V TOPO LOOI C OS
de elementos del sistema {tpn}; la suma parcial
de la serie de Fourier de f da una aproximación no menos exacta.
Por consiguiente, la serie
converge a f y tiene lugar la igualdad de Parseval.
En el punto anterior hemos demostrado la existencia de sis·
temas ortonormales completos en un espacio euclídeo separable.
Como para los sistemas ortonormales los conceptos de sistema
cerrado y completo coinciden, la existencia en R de sistemas
ortononnales e.errados no necesita una nueva demostración y los
ejemplos de sistemas ortonormales completos, señalados en el
punto anterlor, son al mismo tiempo, ejemplos de sistemas ce·
rrados.
En la exposición anterior los sistemas ortogonales se suponían
normales. Se puede enunciar los conceptos de coeficientes de
Fourier, de serie de Fourier, etc., para cualesquiera sistemas ortogonales. Sea {q¡nf un sistema ortogonal arbitrario. A partir de él
podemos construir un sistema normal, compuesto por los ele·
mentas 'Pn = 11:: JI • Para todo f E R tenemos
C,,=(/,
donde
'\\>,.)= ll ~nll(f,
IPn) Y
Cn
~Cn'\\>n = ~ll~~ ¡¡ q>,.=~a,.IJln•
(f, •Pn)
a,.= ll(Jlnll= ll ll'nll''.
(20)
Los . c~ficientes an, definidos mediante Ja fórmula (20), se llaman
coeficientes de Fourier del elemento f según el sistema ortogonal
(no normal) {qin}. Tomando en la desigualdad (18) en lugar de
en sus expresiones en= an 11'Pn1), deducidas de (2Ó), obtenemos
~ llcr11ll"a~~ ll /i1 3
n
(21)
que representa la desigualdad de Bessel para (un sistema ortogonal arbitrario.
5º. Espacios euclídeos completos. Teorema de ~iesz -F isher.
Comenzando desde el punto 3, hemos considerado espacios eucl i-
§ •· ESPACJOS eUC!.IDEOS
163
deos separables; desde este momento vamos a suponer, además,
que Jos espacios considerados son completos.
Sea, pues, R un espacio euclídeo separable completo y sea
l<i>.} un sistema ortonormal en él (no necesariamente completo).
De la desigualdad de Bessel se deduce que para que los números
c1 , c•• ... , c.,, ... representen los coeficientes de Fourier de un
elemento x E R es necesario que la serie
...
· ~le'
~
• r.
J
converja. Resulta que en un espacio completo esta condición, no
~ólo es necesaria, sino también suficiente. Tiene lugar el siguien·
te teorema.
· noRrnA'á (Riesz-Fisher). Sea: {<p.f un sistema ortonormal arbi·
t rario en un espacio euclídeo completo R y sean los números
c 1 • e,, ... , e,, • ....
tales que la serie
., "".
~el
(22)
•=1
converge. Entonces, existe wi elemento f E R tal queJ
Ck=(f, CPk)
y
DEMOSTIUCJON.
Pongamos
n
fn = ~ Ckq¡k.
Entonces,
k=l
ll+p
ll f11+0-f11 lli=lfcn+1cpn+1+ · ·· + cn+pq>n+) ll1 = ~ ti;
k= u+1
como la seri(! (22} converge, de aquí se deduce, en virtud de la
complilud dt! R. la ccnvergencia de la sucesión {f,.j a un ele·
mento f E R. Además,
({, f(>¡}=(/n• f(>i)+(f-f., <p¡),
(23)
dende el primer sumar.do del miembro derecho es igual a e¡ para
11;;;;. i , mientras que el ~egundo sumando tiende a cero para
n -·oo, ya que
l<f-f•• q¡,)I ~ 11 f-f . 11 ·11 cp,.11.
6"
164
CA P. 111. ESPACI OS L INEALES NORMADOS Y TOPOL OGICOS
El miembro izquierdo de la igualdad (23) no depende de
eso, pasando al límite para n -oo, obtenemos
({' <p¡) =
n.;
por
C¡.
De acuerdo con la definición de f,
11 /-/,. ll - O para
y por eso
ll - oo
..
~ Cl = (f, fl .
..
,
para n -..oo. El teorema queda demostrado.
Demostremos, para concluir, el siguiente teorema útil.
TeOREMA;4. • Para que un: sistema ortonormal {cp f de un espacío euclldeo separable completo sea completo es necesario y su!iciente que en R no exista ningún elemettio diferente de cero
1 que sea ortogonal a todos los elementos del ststenuz {cp
oeMOsTRAc101r.' Sea {cp,.I un sistema completo y por consiguiente,
cerrado. Si f es ortogonal a todos los elementos del sistema [cp. \,
todos sus coeficientes de Fourier se anulan. Entonces, de la
igualdad de Parseval obtenemos
11
11 } .
. c: =o.
(f, f)= ~
k=l
es decir, f = O.
Viceversa, supongamos que el sistema {q¡ no es completo,
esto es, existe en R un elemento g .,,PO tal que
11}
n
(g, g)> ~el (donde C1c = (g, IP1c»·
~= I
Entonces, de acuerdo con !el teorema de Riesz-Fisher, existe
un elemento f ER tal que
(f, IP•) =
Ci,
.. el.
(f, /) = ~
.t a ¡
El elemento f-g es ortogonal a todos los cp 1• De la desigualdad
"' c1 < (g, g)
(/, f)= ~
ks l
se desprende
que~f -g=FO.jEI
teorema queda demostrado.
§ ~. ESPACIOS E\JCLIDEOS
165
EJERCICIOS. l. Sea H un espacio euclldeo completo (no necesariamente
separable); entonces existe en él un sistema orlonormel completo {cp.} {vé.
ase el ejercicio de In pág. 159). Demuéstrese que para todo vector f E H
tienen lugar los desarrollos
!= ~ (/, <p.) cp•• ll f 11• =
~ 1(/, cp.) 13 •
"
"
donde las sumas que figuran a la derecha tienen a lo sumo un número
numerable de sumandos diferentes de O.
.
2. Un sistema {cp.} de vectores de un espacio euclldeo R se llama ~O·
tal, cuando en R no existen elementos diferentes de O ortogonale.s. ~ todos
los {cp.}. El teorema 4 significa que en un espacio euclldeo.completo la tola·
lidaCI es equivalente a la complltud. Demuéstrese que. en los eSpaciO's no
completos pueden existir slstemas totales, pero no compl~tos.
6º. Espacio de Hllbert. Teorema sobre el isomorfismo. Continuemos la consideración de espacios euclídeos completos. Nos
interesarán, al igual que antes, los espacios de dimensión infinita
y no de dimensión finita que se describen completa.mente en los
cursos del Algebra lineal. Al igual que antes, admitiremos la
existencia de un conjunto numerable siempre denso en los espa·
cios considerados. Introduzcamos la siguiente definición.
Un espacio euclldeo separable completo de dimensión
infinita se llama espacio de Hilbert 0 • Es decir, un espacio de
Hilbert es un conjunto H de elementos f, g, . . . de natura·
leza arbitraria que verifica las siguientes condiciones:
J. H es un espacio euclídeo (es decir, un espacio lineal con
un producto escalar definido en él).
ll. El espacio H es completo en el sentido de Ja métrica
p(f, g),=l¡t-gll·
III. E espacio H es de dimensión infinita, esto es, cual·
quiera que sea n se puede encontrar en él n elementos lineal·
mente independientes.
IV. H es separable, esto es, existe en él un conjunto nume·
rabie siempre denso.
Como ejemplo de un espacio de Hilbert podemos indicar el
espacio real 1..
Recordemos que dos espacios euclídeos R. y R.* se llaman
isomorfos, cuando se puede establecer entre sus elementos una
correspondencia biunívoca de manera que si
DEP1Ntc10N.
XHx",
(x,
yER; X!, y'ER'), se tiene
o Por el apellido del famoso mat~mático alemán Oav.id Hilbert ( 18621943) que introdujo este concepto.
166
CAi'. lli. ESPACIOS LlliEALES NORMADOS Y TOPOL001CO$
y
(x, y) = (x", y").
En otras palabras, un isomorfismo de espacios euclideos es
una correspondencia biunívoca que conserva tanto las opera·
ciones lineales, definidas en estos espacios, como el producto
escalar.
Como se sabe, dos espacios euclídeos arbitrarios de n dimensiones sen isomorfos y, por consiguiente, cualquier espacio de
este tipo es isomorfo al espacio de coordenadas Rn (ejemplo l).
Los espacios euclídeos de Infinita dimensión no son necesariamente isomorfos entre si. Por ejemplo, los espacios 11 y C[a. bJ
no son 1somor1os. Esto se ve, por ejemplo. de que el primero
de ellos es completo y el segundo no lo es.
Sin embargo, tiene lugar el siguiente teorema.
TEOREMA 5. Dos espacios de Hilbert cualesquiera~S<m isomorfos.
oeMOSTRAc10N. Probemos que todo espacio de Hilbert H es isomorfo a 1,. Con esto quedará demostrada la afirmación del leo·
rema. Escojamos en H un sistema ortonormal completo arbitrario {<i>n} y pongamos en correspondencia a todo elemento f EH
el ooníunto e,, c1 , • • • , en• ... de sus coeficientes de Fourier
según este sistema. Puesto que )~el<= . la sucesión (e, , c., ... ,
.. . , en, . .. ) es un elemento "'ile l,. Viceversa, en virtud del
teorema de Riesz- Fisher, a todo elemento (e, , e,, . . . , e,,, . .. )
de 1, le corresponde un elemento f EH para el cual Jos números
c1 , c., .. . , en • • • son sus coeficientes de Fourier. La corres·
pendencia establecida entre los elementos de H y l, es biunívoca. Además, si
y
f' .__. (c1.,,
e~"•
... • c<,,'1>, .•• ),
tenemos
¡01+r•1 +-+(cl"+ clª'.
q"+c~" .
... ,
c~" + cl." .
... )
y
kfCI) H (k411 ,
kc~'>,
. .. , kcj,ll, .•. ),
es. decir, la suma se transforma en suma y el prod uclo por un
numero, en el producto del elemento correspondiente por el
mismo número. Fi nalm~nle, de la igualdad de Parseval se sigue
S 4 . 1!SP1\CIOS EUCLIDl!OS
que
(f 111,
f"» =
..
~ e~" e~.,.
167
(24)
n~l
En efecto, de
(/<1 \ fºl) = ~(e~º)'. (f">, ftii) = ~(e~•>)•
y
(f< ll + tm,
/<U+/<»)= (/111, /O>)+ 2 (J<•l,
¡<•>) + (fltl, f1t>) =
= ~ (cln"+C:,ll)'= ~ (c~u)• + 2~ cj,ºc~u+ ~ (e<,.">)•
se deduce (24). De esta forma, la correspondencia que hemos
establecido entre los elementos de los espacios H y l., es efectivamente un isomorfismo; el teorema queda demostrado.
E l teorema demostrado significa que, salvo un isomorfismo,
existe sólo un espacio de Hilbert (es decir, que el sistema de
axiomas 1, 11, lll y IV es completo) y que el espacio l~ puede
considerarse como su •realización en coordenadas>, de la misma
forma que el espacio de coordenadas de n d imensiones con el
producto escalar
±x,y
i= l
1
representa la realización en coordenadas
del espacio euclídeo de n dimensiones definido axiomáticamente.
Otra realización del espacio de Hilbert la podemos obtener tomando el espacio funcional e,••. bl y considerando su completación. En efecto, es fácil ver que la completación R' de todo
espacio euclídeo R (en el sentido en el que hemos definido la
completación de un espacio métrico en el § 3 del capítulo 11)
se convierte en un espacio euclídeo lineal. si las operaciones
li neales y el producto escalar se definen en él prolongándolas
por continuidad del espacio RcR', es decir, tomando
x+y=
li 111
(xn+y,.),
et.X=
n- ~
lim o.xn
n··~
y
(x, y) = ILn (x111 Yn)
tf -• '1'>
donde x,. ~ x e y,.-+ y, xn• y,. E R. (Es fácil ver que estos límites existen y no dependen de cómo se escojan las sucesiones
{xn} e {!In}). Entonces, la completación del espacio Cj., bt será
un espacio euclídeo completo y. t>Videntemente, sc:.parablc y de
dimensión infinita. es decir, st?rá un espacio du Hi!bert. En el
capítulo VII volveremos a tratar este tema y demostra remos
b¡ para obtener un
que los elementos que se deben agregar a
espacio completo. también se pueden representar como funcione.~.
cr•.
168
CAi'. 111. F.Sl'ACIOS 1.. INEAl.ES NORMADOS Y TOPOLOOICOS
pero ya discont inuas (más precisamente, como funcíones de cuadrado integrable en el sentido de Lebesgue).
7°. Subespacios, complementos ortogonales, suma directa.
De acuerdo con las definiciones generales del § 3, llamaremos
variedad lineal en un espacio de Hilberl H a t odo conjunto L
d~ elementos de H tal que, si f, g EH, también af
~g EL
cualesquiera que sean los números ~ y ~· Una variedad lineal
e e r r a d a se 11amará subespacio.
Veamos algunos ejemplos de subespacios del espacio de Hil·
bert.
J. Sea h un elemento arbitrario de H. El conjunto de todos
los elementos f EH ortogonales ah constituye un subespacio de H.
2. Supongamos que H está realizado mediante I,, es decir,
que sus elementos son las sucesiones (x1 , x,, . .. , Xn, .• • ) tales
que l;xl < oo. Los elementos que verífican la condición x, = x,
forman un subespacio.
3. Supongamos de nuevo que H está realizado mediante 1, .
Loselementosx=(x,, x,, ... xn• .. .) para los cuales Xn = O cuando
n = 2, 4, 6, ... (mientras que Xn son arbítrarios para n = 1, 3,
5, . .. ) forman un subespacio.
Recomendamos al lector comprobar que los conjuntos de vectores de los ejemplos 1, 2 y 3 wn efectivamente subespacios.
Todo subespacio de un espacio de Hilbert o bien es un espacio euclídeo de dimensión finita o bien representa un espacio
de H ilbert. En efecto, la validez de los axiomas l, lI y 111
para cualquiera de estos subespacios es evidente, y la validez
del axioma IV se deduce del siguiente lema.
+
De la existencia de un conjunto numerable siempre denso
en un espacio métricc R se deduce la existencia de un conjunto
numerable siempre denso en cualquier subconjunto suyo R'.
1
DEMOSTRACION. Sea
LEMA.
ti, S,, . .. , G"' . ..
un conjunto numerable siempre denso en R y sea
an = inf P (~m ·r¡).
r¡E R'
Para cualesquiera n. y m naturales existe un punto 'lln.
tal que
p (~n• t]n. ,.)
Sea e > O y
,k < f;
para todo
t]
< an + ¡;1; .
E R' existe un n tal que
p (~ni r¡)
<f
m
E R'
~
4. ESJ>ACIOS EUCLIDEOS
169
y, por consiguiente,
1
t
e
e
~
P ( l>n• '1n.m)<an+ñj<3+3=3.
pero, entonces, p (11, 11•. .,) <e, es decir, el conjunto {ri•••}
(n, m= 1, 2 . .. ). a lo sumo numerable, es siempre denso
én
R'.
Los subespacios del espacio de Hilbert poseen propiedades
específicas (que no tienen lugar para los sub'espacíos de un es~­
pacio normado arbitrario). Estas propiedades están relacionadas
con la existencia en el espacio de Hilbert gel producto escalar
y del concepto de ortogonalidad, correspondiente a éste.
Aplicando el proceso de ortogonalización a una sucesión numerable siempre densa de elementos de un subespacio cualquiera
del espacio de Hilbert, obtenemos el siguiente teorema.
En todo subespacio M del espacio H existe un sistema
ortonormal {<p.} tal que su adherencia lineal coincide con M.
TEOREMA 6.
1
Sea M un subespacio del espacio de H ilbert H. Denotemos
med iante
M'=H8M
el conjunto de elementos g EH ortogonales a todos los elementos
y demostremos que M' es también un subespacio del espacio H. La linealidad de M' es obvia, ya que de (g., =
= (g,, f) =O fluye (CZig1 a,g,, f) =O. Para demostrar que es
cerrado, admitamos que Jos elementos g,, pertenecen a M' y convergen a g. Entonces. para todo f E M tenemos
fEM
n
+
(g, f)= lim (g0 , /)=0
n -<»
y por eso g también pertenece a M'.
El subespacio M' se llama complemento ortogonal del subespacio M.
Del teorema 6 se deduce fácilmente que:
Si M es un subespacio lineal cerrado del espacio H,
todo elemento f EH se puede representar de manera única en
nORl!MA 1.
1
la forma f=h+h', donde hEM y h'EM'.
Demostremos primero que existe esta descomposición. Para el lo escojamos en M un sistema ortonormal completo {\"P.I y pongamos
nP.MOSTRActoN.
h=
"'
:E
C,,IPn• e,,= (f,
h=J
IPn)•
Puesto que (debido a Ja desigualdad de Besse!) Ja serie
i; ~
n~ '
170
CAP- 111 . ESPACI OS LIN EA LES NORMAOOS Y TO POLOGICOS
converge, el elemento 11 existe y pertenece a M. Tomemos
h' = f-h.
Es evidente que para todo n
(h', <p.)=0
y, como cualquier elemento de M se puede representar en la
forma
tenemos para t E M
t.c ~a. <p••
"'
(h', t)= ~ a.(h', <p.)=0,
n,.1
es decir. h' E M'.
Supongamos ahora que además de la descomposición obtenida
f = h + h' existe otra descomposición
f=h, + 11;, h,EM, h;EM'.
Entonces, tenemos para cualquier n
(h,. <p,.) =(f. cp.) =e,,
y de aquí se deduce que
11, = h,
h~ =h'.
Del teorema 7 fluye el siguiente corolario.
COROLARIO 1-
1
El complemento ortogonal del complemento ortogonal
de un subespacio lüual cerrado M coincide corl M.
De esta forma resulta posible hablar de subespacios recípro·
camente complementarios del espacio H . Si M y M' son dos
subespacios recíprocamente complementarios y si {<Pn} y {q>~} son
dos sistemas ortogonales completos (de M y de M', respectivamente), la unión de estos sistemas {cp.} y {cp~} ofrece un sistema
ortogonal completo de todo el espacio H. Por eso, tiene Jugar
el siguiente corolario.
TodD sistema ortoMrmal puede ser extendido a un
sistema completo de H.
Siendo el sistema {cp.} finito, el número de elementos que lo
componen coincide con la dimensión del subespacio M generado
por {cp,,} y con la codimensión del subespacio M'. Obtenemos, de
COROLAR IO 2.
esta forma, el siguiente corolario.
El compleme11to ortogonal a un suhespacío de dimen\ síón finita n tiene codime11sión n y viceversa.
COROL;.R10 3.
5 4 . ESPACIOS EUCLIDIWS
171
Si todo vector fEH es representado en la forma f=h+h' ,
h E M, h' E M' (donde M' es el complemento ortogonal de M),
se dice que H es la suma directa de los espacios recíprocamente
orto¡;¡onales Mfy M' y se escribe
H=MffiM'.
Está claro que el ~concepto de suma directa se puede generalizar
inmediatamente a un número finito cualquiera o, incluso, a un
número numerable de subespacios; a saber, se dice que H es la
suma directa de sus subespacios M 1 , • M,, ... , M,., ...
~H = M /EB M, EB . . . ffi M.'.Ee .. . •
cuando
1) Jos subespacios M 1 son ~ortogonales dos a dos, es decir,
todo vector de M 1 es ortogonal a cualquier vector de Mi. para
i=t=k;
2) todo elemento f E H se puede representar en la forma
f=h,+h, + . .. +h,.+ . .. , h,.EMn,
con la particularidad de que, si el número de subespacios M,.
es infinito, la serie l;IJh. 11' converge. Es fácil probar, que si
existe esta representacion del elemento f, ella es única y que
11f11 1 =~llh.11•.
Junlo:""a la suma directa de subespacios, se puede considerar
la suma directa de un 'número finito o numerable de espacios
arbitrarios de Hílbert. Si H 1 y H, son dos espacios de Hilbert,
la suma directa de ellos se define del siguiente modo: los
elementos de H son todos los pares (h., Ji_), donde h1 E H ,,
h, E H., y el producto escalar de dos de estos pares es igual a
((h.,, h,), (h;, h;)) = (h,. h;)+ (h,, 1t;).
El espacio H contiene, evidentemente, los subespacios recíprocamente ortogonales, compuestos por pares de tipo (h,, O) y (O, h,)
respectivamente; el primero de ellos puede ser Identificado de
un modo natural con el espacio H,, y el segundo, con el espacio H, .
Análogamente se define la suma de un número finito cual·
quiera de espacios. La suma H = 'Y.ffiH. de un número numerable de espacios lf,, H,, .. . , Ñ., ... se define así: los elementos del espacio H son todas las sucesiones de tipo
h=(h,, h1 , ••• , 11•• ... ), (hnEH.),
tales que
172
CAP. 111. ESPACIOS LINEALES NORMADOS Y TOPOLOGICOS
El producto escalar (lt, g) de los elementos h y g de Hes igual a
~ (hn•
g.).
8º. Propiedad característica de los espacios euclídeos. Analicemos el siguiente problema. Sea R un espacio normado. ¿Cuáles
son las condiciones adicionales que debe verificar la norma,
definida en R, para que el espacio R sea euclídeo, esto es, para
que la norma en él se determine por un producto escalar? En
otras palabras, ¿qué es lo que caracteriza Jos espacios euclídeos
dentro de la clase de espacios normados? Esta característica
viene dada por el siguiente teorema.
s. Para que un espacio rwrmado R sea euclídeo es necesarlo y suficiente que para cualesquiera dos elementos f !J g
de él se cumpla la igualdad
TEOREMA
wt +g u·+ ut-gll '= 2<11111·+11g:11;">·
1
(25)
Puesto que f +g y f-g son las diagonales del paralelogramo
construido sobre los lados f y g, la igualdad (25) expresa la
conocida propiedad de para lelo.g ramo en un espacio euclídeó:
Ja suma de Jos cuadrados de las diagonales de un paralelogramo
es igual a la suma de los cuadrados de sus lados. Por consiguiente, la necesidad de esta condición es obvia. Demostremos que
es suficiente. Tomemos
1
(26)
y prQbemos que, si se cumple Ja igualdad (25), la función (26)
$8tisface todos los axiomas del producto escalar. Puesto que para
f =g tenemos
(f,
f)=il (lt2fi1 •-11f-f.11')=11f11'.
(27)
ésta .será precisamente aquel producto escalar que induce en el
espacio R -la norma definida en él.
Ante todo, se ve inmediatamente de (26) que
(f, g)=(g, f),
es decir, se cumple Ja condición 1) de Ja definic"!ón del prod'Uclo
escalar. Además, se cump·te también, en virtud de (27), la con·
dición 4) de ei¡ta· definición. Para demosb:ar la condición 2) consideremos la siguieñle función de tres vectores
lT>(f, g, h)=4
[(f+g,
h)-(f. h)- (g. h)].
f 4. ESPACIOS EUCLIDEOS
173
es decir,
(IJ (/.
g. h) = ilf +g+hli' - llf+g-hll'-/lf+hll'+ 2
+ ll f-hll' - llg+h l'+ llg-hll •
(28)
y demo:.tremos que es ligua! idénticamente a cero. De acuerdo
ce n (25), tenemos
llf +g ±hll'= 2 llf ± hll'+2Ugll'-llf ±h-gll1•
Sustituyendo las correspondientes expresiones en <J> (/. g, h), encontramos
ID
<f,
g, 11).., - ll f+h-~ll'+\lf-h-gW+
+llf+hll'-llf-h 1'-llg+hll'+llg-h ll'·
(29)
Tcmando la wma media de (28) y (29). tenemos
<l> (f.
-
g; h)= -} ( ll g+h+ f11 1 + llg+h-fll' )-
-} < 11g-11 +
fl1 2 +ll e-·h-fll')- lle+"ll'+lle- 1tll'·
El primer paréntesis, en virtud de (25), es igual a
IJ g+h 11' + ll f li'
y el segundo, a
-!lg+hllº-11111'·
Es decir,
CD (f, g, h)""" O.
Consideremos ahora, para cualesquiera f y g fi jos. la función
q¡(c) =(cf, g)-c(f, g).
De {26) se deduce inmediatamente que
q:(O) = ~ ( 11 g l\'- llg li')~ O;
además, <p (-1) =O, ya que (-f. g) = - (f, g). Por eso para
11 entero
(11/, g) = (sign 11 (f
!), g) = sign n [(f, g) + ...
. •. --1-(f, g))=lnlsignn(f, g)=n(f. g),
cualquier
+ ... +
es decir, q¡ (n) = O. Para p y q enteros y q..¡:0,
(f /, g )=P( f f, g) =f q (~f. 'g)=f (f. g),
es decir,
qi (e)= O
para lodo e racional; como la función
continua.
q¡ {e) ""' O.
qi
es
!74
CAP. IJI. ESPACIOS LINEALES NO!lMAOOS Y TOPOLOOICOS
Hemos demostrado con esto que la función (f, g) posee todas
las propiedades del producto escalar.
Ejemplos. l. Consideremos el espacio n·dimensíonal R.P en el
que la norma se define por la iórmula
1
11 X11 = ( ~". 1X4 ,,,\"¡ •
V~
,
.J
Para p ;;;i. 1 se cumplen todos los axiomas de la norma; sin
embargo, R.~ será un espacio euclídeo sólo cuando p = 2. En
efecto, consideremos en RP dos vectores
f= (l , l, O, O, . .. , O),
g=(I, -!, O, O, . .. , O);
tenemos
f+g= (2,
O, O, ... , O),
f - g = (O, 2, O, ... , 0),
de donde
- llf
1
llf llp=llgllp=2
P,
+gllp = llf - g \lp = 2,
es decir, la identidad del paralelogramo (25) no se cumple para
p+.2.
2. Consideremos el espacio de funciones continuas sobre e!
Pongamos
segmento
f(t)=cost, g(t) =sen t.
Tenernos
[O, -f].
llfll= l , llgll= l
y
llf+all = max ¡cost+sen/l= V2;
0<1<4-
llf-gll= máx ¡casi-sen t 1= J.
O<t < f
De aqul se ve que
11 f +gll'+ ll f-gll' if:-2 <11f 11' + 11 gli').
Por consiguiente, Ja norma del espacio
C( .!!.] no
º· ~
puede ser
definida mediante ningún producto escalar. Es fácil ver que el
espacio Cea. bJ de funciones continuas sobre cualquier segmento
(a, bJ tampoco es un espacio euclídeo.
§ 4. ESPACIOS EUCLIDEOS
175
9°. Espacios euclídeos complejos. Junto al espacio real se
puede introducir también el espacio euclídeo complejo (esto es,
el espacio lineal complejo con producto escalar). Pero en el caso
complejo resulta preciso modificar los axiomas mediante los
cuales se define el producto escalar en el caso real, ya que Jos
axiomas 1), 2), 3) y 4), enunciados al principio de este parágrafo,
no pueden cumplirse simultáneamente en un espacio complejo.
En efecto, de J) y 3) se deduce
O.x,
AX) = A.2 (x, x),
de donde obtenemos para "- = i
(ix, ix) = - (x, x),
es decir, los cuadrados escalares de los vectores x e ix no pueden
ser positivos al mismo tiempo. En otras palabras, Jos axiomas
l) y 3) son incompatibles con el axioma 4). Por eso, definire·
mos el producto escalar en un espacio complejo como una íun·
ción (x, y) numérica (de valores complejos) de dos vectores que
verifica las siguientes condiciones:
1) (x, y)=(y, x),
2) {f.x, y)=). (x, y),
3) (x, x 2 , y) = (x,. y)+ (x2 , y).
+
4) (x, x) ;;;;;=O y, además, (x, x) >O cuando x ,,¡:O.
(Por consiguiente, modificamos el primer axioma conservando
los tres restantes). De 1) y 2) se deduce que (x, i.y) =1 (x, y).
En efecto,
(x, 'Ay)= ('J,.y, x) =J.. (y, x) =¡, (x, y).
Un ejemplo bien conocido de un espacio euclídeo complejo den
dimensiones es el espacio lineal
(§ l , ejemplo 2), en el que
el producto escalar de Jos elementos
en
X=
(xt> X2 ,
••• ,
Xn)
e y= (y,, y,, . .. , Yn)
se define por
(x, y)=
~
k"' 1
x;g,,.
Como se sabe, todo espacio euclídeo complejo de dimensión n
es isomorfo a este espacio.
Como ejemplos de espacios euclídeos complejos de dimensión
infinita pueden servir:
176
CAP. 111. eSPACIOS LI N E!ALES NORMADOS Y TOPOLOOICOS
1) el espacio complejo l 1 , cuyos elementos son sucesiones de
números complejos
X=
(Xl, X: 9 ,
••• ,
X,., .... ),
que verifican la condición
•
11~[Xn 1 < oo,
2
y en el que el producto escalar se :define mediante la fórmula
(x, y)= n~ x,."Y,.;
2) el espacio C'ra. bl de funciones de valores complejos conti·
nuas sobre el segmento (a, b] con el producto escalar
b
(/, g) =
sf (t)g(t) di.
a
En un espacio euclideo complejo la longitud (norma) de un vector
se define, al igual que en el caso real , mediante la fórmula
llxll=V(x, x),
El concepto de ángulo entre vectores en el caso complejo no se
·in t ro duce, ya que 1a magni't ud Ux(x.ll· y)
1 cornp1eJa
·
llYll es, en genera,
y puede no ser el coseno de ningún ángulo real; no obstante,
se conserva el concepto de ortogonalidad: los elementos x e y se
1laman recíprocamente ortogonales cuando (x, y) = O.
Si { <pn} es un sistema ortogonal de un espacio euclideo com·
piejo R y f es un elemento arbitrario de R, los números
1
a,.= 1'l'n 1· (['
<¡>,.)
se llaman, al igual que en el caso real, coeficientes de Fourier
y Ja serie
1;a,.
<p,,,
n
ser ie de Fourier del elemento f según el sistema ortogonal [<r 11 J.
Tiene lugar la desigualdad de Bessel
~ 11<p,. 11' lan 12 ,.;;; (f,
n
f).
En particular, si el sistema [q>,.] es ortonormal, los coeficientes
SS. ESPACIOS TOPOLOOICOS LINEALES
177
de Fourier según este sistema se definen mediante las fórmul·as
Cn=(f, cpn) ,
y Ja desigualdad de Bessel toma la forma
1;1Cn (• ~ (f, f).
"
Un espacio euclídeo complejo separable y completo de dimensión
infin ita se llama espacio complejo de Hilbert. En el ca~
complejo subsiste el teorema sobre el isomorfismo de h;>s espaciol¡
de Hi lbert:
.
TEOR.EMA. 9.
Todos los espacios complejos de H ilbert son isomorfps
1 entre sí.
La realización más sencilla de un espacio complejo de Hilbert es el espacio complejo t•. En el capítulo VII veremos otra
realización, de carácter funcional, del espacio complejo de Hilbert.
Proponemos al lector comprobar que todos los teoremas
demostrados anteriormen~e para los espacios reales euclídeos
y de Hilbert, son válidos (con modificaciones insignificantes,
debidas a la complejidad del producto escalar) también para
los espacios complejos eur lídeos y de H ilbert.
§ 5. ESPACIOS TO POLÓGICOS LINEALES
l º. Definición y ejemplos. La definición de la norma es sólo
una de las formas posibles de introducir una topología en un
espacio lineal. El desarrollo de ramas del Análisis Funcional
como la teoría de funciones generalizadas (trataremos de ellas
en el capítulo siguiente) ha demostrado que en muchos casos
conviene considerar espacios li neales con una topología definida
no mediante la norma , sino de alguna otra manera.
osF1N1c10N. Un conjunto E se llama espacio topológico lineal,
cuando
J. E representa un espacio lineal (con la multiplicación de
elementos por nú meros reales o complejos);
1r. E es un espacio topológico;
111. las operaciones de ad ición y multiplicación por números
"" E son continuas respecto a Ja topología existente en E. Más
detalladamente la últ ima condición significa lo siguiente:
1) si z. = x0 + y0 , para loda vecindad U del punlo z" se
pueden indicar vecindades V y \17 de los punlos x0 e y 0 ta les
que x +y E U para x E V. y E W;
178
CAi'. l ll. ESPACIOS LINEALES NOR/'UOOS Y 'TOPOlOOICOS
2) si a.,x 0 =Y•· para toda vecindad U del punto Yo existe una
vecíndad V del punto x0 y un número e >O tales que ax E U
para [ix~ - al < s y x E V.
De la refación, existente en un espacio topológico lineal entre
llls operaciones algebraicas y la topología, se deduce que la to·
pologia en este espacio queda totalmente determinada al dar el
sistema de vecindades del cero. En efeclo, sea x un punto
ele un espllcio topológico E y sea U una vecindad del cero en E.
Entonces. U+ x, esto es, la «traslación " de esta vecindad
paralelamente ax, es una vecindad del punto ...:; es evidente, que toda
vecindad de cualguier punto xE E puede obtenerse de esta forma .
De la continuidad, en un espacio topológico lineal E, de
las opl!raciones de adición y multiplicación por números, resultan
inmediatamente las siguientes afirmaciones.
1) Si U y V son conjuntos abiertos de E, el conjunto U+ V
(es decir. la totalidad de elementos de tipo x+y, xEU, yEV)
es abierto.
2) Si U es abierto, el conjunto i.U (es decir, la totalidad de
elementos de tipo ?.x. x E U) es también abierto para todo }4o0.
3) Si FcE es cerrado, el conjunto 'J..F es también cerrado
par11 todo J..
Ejemplos. l. Ante todo, son espacios topológicos lineales
todos los espacios normados. En efecto, de las propiedades de
la norma se deduce inmediatamente que las operaciones de adición de
vectores y multiplicación de éstos por números son, en un espacio
normado. continuas respecto a aquella topología que induce en
él la norma.
2. En el espacio R"' de todas las sucesiones numéricas
x = {x 1 , x., .... Xn, . . . ) definamos el sistema de vecindades del
cero como sibiue: cada una de estas vec.índades U (k., ... , k,; e)
se define por fos números enteros k1 , ••• , k, y el número e>O
y consta de todos los x E R"' que ver iíican las condiciones:
lx-1 l<e, i=I, 2, . .. , r.
(El espacio R.. puede ser tanto real como complejo).
3. Sea K1a. bl el espacio de funciones indefinidamente diferen·
ciables') sobre el segmento [a, bJ. Definamos la topología en
K1•• bl por medio del siguiente sistema de veeindades del cero.
Cada una de estas vecindades U,,,.. se determina por el número
m y por el número e >O y consta de todas las funciones q:
que verifican las desigualdades
1q¡1k1 (x) \ < e, k = O, 1, 2. .. . , m,
donde <p 1k 1 es la derivada di! orden k de la función qi.
11
Es decir, de funciones que tienen derivndas de lodos los órdenes.
§ ó, ESPACIOS l'OPOJ.OCICOS l. JNF.:A L ES
El hecho de que en un espacio lineal topológico la topolo·
gía esté relacionada con las operaciones lineales definidas er
él, impone limi taciones bastante rígidas a su topología. Resulta
que todo espacio topológico li11eal verifica el asi llamado axionu.
de separabilidad T 3 , esto es, que cualquier vecindad U de · ur
punto arbitrario x contiene una vecindad menq.r W <lel mismc
punto que junto con su adherencia pertenece a U.
Para demostrar esta proposición basta considerar las vecin
dades del cero. Sea U una vecindad cualquiera del cero. 1'eb¡dc
a la continuidad en E de la operación . de sustracción, existiri
una vecindad \\7 del cero tal que W - W e U. P~.0bemos que. li
adherencia de la vecindad W está contenida en U. Sea y E ["Wl.
En este caso toda vecindad del punto y, en par-ticufar y + W
contiene un punto de W. Por consiguiente, existe un punto z E W
tal que y + zE W, es decir, y E W-WcU, que es lo que si
afirmaba.
Un espacio topológico lineal se llama separable, cuando veri
fica el axioma de separabilidad T ,, esto es, cuando todo sub
conjunto suyo compuesto de un punto resulta cerrado; es evidenh
que un espacio es separable cuando, y sólo cuando, la intersec
ción de todas las vecindades del cero no contiene elemento:
diferentes de cero. Los espacios topológicos que verifican lo:
axiomas de separabilidad T 1 y T 3 suelen llamarse regulares; d<
lo demostrado en el párrafo anterior se deduce que un espacie
topológico lineal separable es regular.
En los espacios normados desempeña un papel importan!<
el concepto de conjunto acotado. Aunque este concepto se intro
duce allí mediante la norma, puede ser, claro está, enunciaclc
también para los espacios topológicos lineales arbitrarios.
Un conjunto M , situado en un espacio topológico lineal E
se llama acotado, cuando para toda vecindad U del cero cxisl<
un n>O tal que nU::>M.
Está claro que en el caso de Jos espacios norm ados este con
cepto de acotación coincide con la acotación según la norma (e:
decir, con la posibilidad de situar el conjunto dado dentro d<
una tola 11 x11 ~ R). Un espacio E se llama localmente acotado
cuando existe en él al menos un conjunto acotado abierto ne
vacio. Todo espacio normado es localmente acolado. Come
ejemplo de un espacio que no es localmente acolado, pued<
servir el espacio R"', señalado en el ejemplo 2 (¡demuéstrese eslol)
JJJERCICIO. Sea E un espacio topológico lineal; demu~strese ln vnlidez d•
las llfirmaciones siguientes:
(a) un conjunto McE es acolado si, y sólo si, cualesquiera que seai
la sucesión ~x.}cM y la sucesión ~ en} de ntimeros ¡>osi tivos , conv•rgcnl·
160
CAP.
111.
C~PACIO:S
LINEALES NORMADOS Y TOPOlOGICOS
a O. Ja sucesión {e,,x.} también converge a cero¡
(b) si
{xn}:'= 1cE
y Xn-..x. el conjunto
{xn} es acota do;
(c) si e es localmente acotado, en él se cumple el primer la xioma de
numera bill dad.
2". Convexidad local. Los espacios topológicos lineales arbitrarios pueden tener propiedades muy diferentes de las propiedades habituales de los espacios euclídeos o normados. Una clase
importante de espacios, más generales que los normados, pero
en los que subsisten muchas propiedades de los últimos, la forman los así llamados espacios localmente conoexos.
0Er1N1c10N. Un espacio topológico lineal E se llama localmenie
convexo, cuando todo conjunto abierto no vacío de él contiene
un subconjunto abierto convexo no vacío.
Observemos que, si el espacio E es localmente convexo, para
todo punto x E E y toda vecindad suya U existirá una vecindad
convexa del cero V tal que :<E V e U. En efecto. basta comprobar la validez de esta afirmación para el punto x =O. Sea U
cualquier vecindad del cero. Existe una vecindad del cero V tal
que V-VcU . -Como E es localmente convexo, existe un conjunto abierto convexo no vacio V' cV·; sea y E V'; entonces,
V' -y es una vecindad convexa del cero contenida en U.
Todo espacio normado es localmente convexo. En efecto,
todo conjunto abierto no vacío de él contiene una bola abierta.
De esta forma, todo espacio normado es localmente acotado
y localmente convexo. Se puede demostrar que la clase formada
por espacios con estas dos propiedades se reduce, de hecho,
a los espacios normados. Con más precisión: un espacio lin~I
topológico E se llamará normable, cuando Ja topología existente en E puede definirse mediante una norma; tiene lugar
el siguiente teorema: todo espacio topológico lineal separable,
localmente amr;exo y localmente acotado, es normable.
EJERCICI OS. 1. Demuéstrese que un conjunto abierto U de un espacio topológico lineal es convexo si. y sól o si, V+U=2V .
•
2. Sea· E · un eapacio lineal; un conjunto Uce se llama simétrico ,
j:.yan.do x~ u. implica· -.xE U. Sea :f3 la lamfJia de todos los subconjuntos
siméfricos,. c911vexo~ del espacio E . coincidentes con su núcleo (véase el § 2).
Demuéstrese I'a validéz de las alirmacio.n es siguientes.
(a) La lamilfa'·~.'9 •és ·u n ' sTslemá delerininante de vecindades del cero
respecto a una topologla separable y localmente convexa del espacio E (estn
topología se llama cont1aa n11.clear).
(b) La topologla. convexa . nuclear es l a más fuerte de las topologías
lo<:aJmente con1(exas compatib les con las operaciones linea les en E .
. (c) Toda iuncipnal lineal sobre. E ~s continua respecto a una topoJogi&
t onv.exa. nuclear.
§ 5. ESPACIOS TOPOL OGICOS LINEALES
181
3°. Espacios normados numerables. Una clase de espacios
topológicos lineales muy im portante para el Análisis resulta ser
la clase de los asi llamados espacios normados numerables. Para
poder dar la definición correspondiente necesit amos de un concepto auxiliar.
Supongamos que en un espacio lineal E se han introducido
dos normas ll · 11 1 y 11 ·JI,. Se llaman compatibles, cuando toda
sucesión {x.) de E, fundamental respecto a cada una de estas
normas y convergente a un límite x E E respecto a una de ellas,
converge a l mismo límite x respecto a la segunda norma.
Se dice que la norma ll·llt es no mds débil que 11·11 2, cu¡¡ndo existe una
constante e> O ta l que Uxll1 ;;:¡,cl)xllt para todo xf.E.
Si la primera norma es no mas ileblt .que la segunda y · ~st~ : np·· más
débil que la primera, estas dos normas se llaman equiuale11Jes. Dos ·ilon.nas
se llaman comparable.~. cuando una de ellas es no más débil que la otra.
Un espacio normado numerable es un espacio lineal E
provisto de un sistema numerable de normas 11 · lln compatibles
entre sí. Todo espacio normado numerable se convierte en un
espacio topológico lineal, si se t oma por sistema determinanle
de vecindades del cero la totalidad de conjuntos U'· e. cada uno
de los cuales está definido por un número r y un número posi·
tivo 8 y consta de todos llos elementos x E E que verifican las
condiciones
DEFJN1c10N.
11X1!1 <
8, • · · • 11 X
llr < 8.
Proponemos al lector comprobar que este sistema de vecin·
dades del cero induce, efectivamente, en E una topología respecto a la cual resultan continuas las operaciones de adición de
elementos y de multiplicación de éstos por números.
Observemos que todo espacio normado numerable verifica el
primer axioma de numerabilidad, ya que el sistema de vecinda·
des del cero U r. • puede ser sustituido (sin que varíe la lopolo·
gia) por un subsistema numerable, en el que e toma solamente
los valores 1, {,
~,
Por eso la topología de
+, ..., ... .
este espacio se puede describir en ténninos de ~onvergencia de
sucesiones. Es más, la topología de un espacio normado nume·
rabie se puede definir por medio de una métrica, por ejemplo.
por ésta:
- ~ _n llx-ulln
EE
p (x,y) - f;- 2 1+1J x- u lln'x,y ·
1
Proponemos al lector comprobar que la función p (x, y) verifica
todos los axiomas de distancia y es invariante respecto a las
182
CAP. 111. l?SPACIOS LINEALES NOl!MADOS Y TOPOLOOICOS
traslaciones (esto es, p {x+ z. y + z) = p {x, y); x, y, z E E) y que
la topología inducida por ella coincide con la inicial. De esta
forma podemos hablar de la complitud de un espacio normado
numerable, entendiéndose por ello la complitud respecto a la
métrica introducida más arriba. Observemos, ademas, que la
sucesión [xk j resulta fundamental respecto a la métrica p si,
y sólo si, es fundamental respecto a cada una de las normas
11 · lln• y que converge (en la métrica p) a l e lemento x E E si,
y sólo si, converge a x respecto a cada una de las normas tl· lln·
En otras palabras, la complilud de un espacio normado numerable significa que toda sucesión de é l, fundamental respecto
a ca<la una de las normas ti· llm converge.
Ejemplos. 1. Un ejemplo importante de un espacio normado
numerable es el considerado anteriormente espacio K(a. bJ de
funciones indeíinidamente diferenciables sobre ,un segmento, si
admitimos que la norma 11 · ll. de este espacio se define med iante
la fórmula
11 fll,,. =
sup 1¡m (t)I.
a <: t<:b
o <:k"° '"
Es evidente que todas estas normas son compatibles entre si
y que definen en K1 a.b 1 la misma topología que hemos descrito
anteriormen le.
2. Sea S e l espacio de todas las funciones indefinidamente
diferenciables sobre la recta, que tienden, junto con todas sus
derivadas, en el infinito a cero más rápido que cualquier potencia de
(esto es, que verifican la condición t"fV11 (t) - 0
para 1t 1__,. oo cualesquiera que sean los números fijo.> k y q).
Definamos en este espacio un sistema numerable de normas
tomando
m
11 / 11.. =
sup
t , o<;m
lt"f'q'(t) I. m=O,
1, 2, .. .
Es fácil comprobar que estas normas son compatibles entre sí.
Por consiguiente, S es un espacio normado numerable.
·a. Un caso particular importante de los espacios normados
numerables son los así llamados espacios numerables de Hil bert.
~a H un espacio lineal en el que se ha introducido un sistema
numerable de productos escalares (q>, 11>),. y supongamos que las
normas 11 q¡ll,. = V(q¡, q>),.. correspondientes a estos productos
escalares, son compatibles enfre sí. Si un espacio de esta lndole
es comeleto, se llama espacio numerable de Hilbert.
4. Como ejemplo concreto de un espacio numerable de Hilbert, puede servir el siguiente espacio. Sea <I> el conjunto de
5 S. ESPACIOS TOPOLOOICOS LINEALES
183
sucesiones numéricas [xn] tales que para lodo entero k
serie
~O
la
converge. Introduzcamos en este espacio un sistema numerable
de normas, tomando
r ---
l!xllk=
V ~ nAx~.
n.::1
Es fácil ver que estas normas son compatibles entre sí y que <D
es completo en el sentido señalado anteriormente. Está claro
que cada una de las normas l ·1- puede ser definida mediante el
producto escalar
.,
(x,
Yh = ~ nkXnYn•
11~1
es dec ir, que <D es un espacio numerable de Hilbert. Se llama
espacio de sucesiones rápidamente decrecientes.
Si E es un espacio normado numerable, se puede aceptar
que las normas U· llk• definidas en él, verifican la condición
llxllk,;;;:;;Ux ll1 para k<l,
(1)
ya que, de lo contrario, podrlamos sustituir las normas
por 1as normas
11 x llk
Uxltt=sup(ll x U,. llx ll,. · · ·• Hxll•).
que definen en E la misma topología que define el sistema inicial de normas. Completando el espacio E según cada una de
estas normas 11 · ll•• obtendremos un sistema de espacios normados completos Ek. Además, de la relación ( 1) y de la compatibilidad de las normas, se deduce que tienen lugar las inclusiones
naturales
E.::;,E, para k < /.
De es ta forma, a todo espacio normado numerable E se puede
poner en correspondencia una cadena decreciente de espacios
normados completos
E,=>E,=> ... ::>Ek::> . . . ; n E.=>E.
k•I
Se puede demostrar que el espacio E es completo cuando, y sólo
cuando, E =
n"' El< (¡demuéstrese esto!). Por ejemplo
.1r~1
cuando el
184
CAP. 111. cSPACIOS LINEALES NOllMAOOS Y TOPOLOGICOS
espacio kta. bJ de funciones indefinidamente diferenciables sobre
el segmento [a, bJ es la intersección de los espacios normados
completos Dn (n =O, 1, 2, . .. ), donde el espacio on está compuesto por funciones , que tienen derivadas continuas de orden n
inclusive, y la norma en él se define mediante la fórmula
11 f lln = sup 1f<t> (t) I·
a < tt;;b
O<:t<: n
En la déeada de los años 80, cuando fue construida, principalmente en
los trabajos de Banacb, la teorla de los espacios lineales normados, existla
la opinión de que este clase de espacios es lo suficlenlemenle amplia para
abastew todas las necesidades concretas del Aná lisis. Más tarde se vio, sin
embargo, que esto no es asi. Resultó que en una serle de cuesllones desempeñan
un papel importante espacios como el espacio de funciones in definidamente
dlferenciablcs. el espacio R"" de todas las sucesiones numéricas, as! como
otros espacios, donde la topologia natural ne> se puede defin ir mediante
ninguna norma. De esta lorma, los espacios lineales tope>lógicos, pero no
normados, no son necesariamente cexotiquez> o cpatalogla>. Al contrario,
nlgunos de estos espacios representan una generafüación del espacio euclí·
deo de dimensión finita no menos natural e importante que, digamos, el
espacio de Hilbert.
CAP ITULO
IV
FUNCIONALES LINEALES
Y OPERADORES LINEALES
§ l.
FUNCIONAL~S
LINEALES CONTINUAS
Jº. f uncionales lineales continuas sobre espacios topológicos
lineales. En el § 1 del cap. 111 hemos considerado ya funcionales lineales definidas sobre un espacio lineal. En el caso de fun-
cionales definidas sobre un espacio topológico lineal, representan
interés principal las funcionales lineales cont in uas; como de
costumbre, una funcional f, definida sobre un espacio E, se
llama continua, cuando para todo e> O y todo x0 E B existe una
vecindad U del elemento x. tal que
j /(x)-f(x0) l <e para xEU.
(1)
Si E es un espacio topológico lineal de d 1me ns i ó n fin ita,
toda funcional lineal sobre E es automáticamente continua. En
el caso general, Ja llnealídad de una funcional no implica su
continuidad.
La siguiente proposición, aun siendo casi evidente, resulta
esencial para lo sucesivo.
Si una funcional lineal f es continua en algúrt punto x E E,
es conti11ua en todo E.
En efecto, sea y un runlo arbitrario de E y sea e > O. Esco·
jamos la ve<:indad U de punto x de manera que se cumpla !a
condición (J). Entonces el conjunto
V=U+(y -x)
será la vecindad deseada del punto y , ya que para z E V, tenemos z + x - 11 E U y, por consiguiente,
lt (z)-f (y) 1=1 f (z-y +
x) - f (x) 1< !\.
CAP ITULO
IV
FUNCIONALES LINEALES
Y OPERADORES LINEALES
§ l.
FUNCIONAL~S
LINEALES CONTINUAS
Jº. f uncionales lineales continuas sobre espacios topológicos
lineales. En el § 1 del cap. 111 hemos considerado ya funcionales lineales definidas sobre un espacio lineal. En el caso de fun-
cionales definidas sobre un espacio topológico lineal, representan
interés principal las funcionales lineales cont in uas; como de
costumbre, una funcional f, definida sobre un espacio E, se
llama continua, cuando para todo e> O y todo x0 E B existe una
vecindad U del elemento x. tal que
j /(x)-f(x0) l <e para xEU.
(1)
Si E es un espacio topológico lineal de d 1me ns i ó n fin ita,
toda funcional lineal sobre E es automáticamente continua. En
el caso general, Ja llnealídad de una funcional no implica su
continuidad.
La siguiente proposición, aun siendo casi evidente, resulta
esencial para lo sucesivo.
Si una funcional lineal f es continua en algúrt punto x E E,
es conti11ua en todo E.
En efecto, sea y un runlo arbitrario de E y sea e > O. Esco·
jamos la ve<:indad U de punto x de manera que se cumpla !a
condición (J). Entonces el conjunto
V=U+(y -x)
será la vecindad deseada del punto y , ya que para z E V, tenemos z + x - 11 E U y, por consiguiente,
lt (z)-f (y) 1=1 f (z-y +
x) - f (x) 1< !\.
186
C,\ I'. IV. FUNCIONALES 1.1,,.EALES Y OP E RADORES
1.INEAl.l~S
De esta forma es suficiente comprobar la continuidad de una
funcional solamente en un punto, por ejemplo, en el punto O.
Si E es un espacio con el primer axioma de numerabilidad, la
continuidad de una funcional lineal sobre E se puede enunciar
en términos de sucesiones, es decir, de la siguiente forma: una
funcional f se llama continua en el punto x E E, cuando de
xn - x se deduce que f (x,.) - f (x). Dejamos a cargo del
leclor la demostración de la equivalencia (en caso de que se verifi·
que el primer axioma de numerabilidad) de esta definición con
la dada anteriormente.
Para que una funcional lineal f sea continua sobre E,
es necesario y suficiente que exista en E una vecindad del cero
donde la funcional f sea acotada.
1
1>BMOST RAc10N. Si la funcional f es continua en el punto O, para
todo e > O existe una vecindad del cero donde
lf (x) l <e.
Viceversa , sea U una vecindad del cero tal que
1f (x) C"'(C para x E U
TEOR EM A 1.
y sea e> O. Entonces,
·É' U
es aquella vecindad del cero, donde
1f(x) 1<e. Con esto queda demostrada la fcontinuidad de f en
el punto O y. por consiguiente, en todo el espacio.
UERc1c10. Sea E un espacio topológico lineal; demuéstrese la v;ilidez de
las siguientes proposiciones.
(a) Una funcional llMal f sobre E es continua cuando, y sólo cuando.
existen un conjunto abierto U e E y un número t tales q ue 1 E f (U) (aquí f (U)
es el conjunto de los valores que loma f sobre U).
b) Una tfunc!onál lineal f sobre E es rontinua cuando, y s61o cuando,
su subespacio nulo {x:f (x)=Of es cerrado ro E.
e) Si toda funcional lineal sobre E es continua, la topologla de E coin·
cide con la topología convexa nuclear (véase el ejercicio en la pág. 180).
d) SI E es de dimensión infinita y normable, existe en él una funcional
lineal dlS<:<>nlinua (empléese la existencia en E de una base de Harnel; v~ase
el ejcrc.icio en la pág. 134).
(e) Supongamos que en E existe un sistema determinante de vecindades
del cero y que ta potencia de este sistema no sobrepasa la dimensión algebraica de] espacio E (esto es. la potencia de una base de Hamel en E; véase
el ejercicio vi la pág. 134). Entonces, e3 iste sobre E una funcional lineal
no continua.
2". Relación entre la continuidad de una funcional lineal y su
acotación sobre conjuntos acotados. Recordemos que un conjunto M.
situado en un espacio topológlco lineal, ha sido llamado acotado,
cuando para cualquier vecindad U del cero existe un número r1
§ l. FUNCIONALES LINEALES
CONTINUAS
187
tal que McnU. Demostremos e l siguiente teorema que establece
la relación existente entre la con tinuidad de una funcional lineal
y su comportamiento sobre conjun tos acotados.
Para que una funcional lineal f sea continua sobre E ,
es necesario y, en caso de que E verifique el primer axioma de
n.umerabilidad, también suficiente que sea 'acotada sobre todo
TEOREMA 2.
c.onjunto acotada .
1
DEMOSTRAC10N.:NECESJDAD. Una funcional con tinua es acotada sobre
cierta vecindad U del cero, de n'ia nera que
lf (x) ¡.r;;; e
para
X
E u.
Si M es un conjunto acotado, tenemos que M e nU para un n determ inado y, por consiguiente,
11 (x) ¡.r;;;c11
sobre M.
suF1cJENc1A. Sea U,:::JU::::J •.. :::JU,.:::J ... un sistema numerable
determinante de vecindades del cero en E. Si la funcional f no
es continua, no está acotada en cada una de estas vecindades.
Por eso, en cada una de las vecindades Uk se puede indicar un
punto xk en el cual 1f(x)1 > k. La sucesión (xA} tiende a cero
y representa, por consiguiente, un conjunto acotado; la fu ncional f
no está acotada sobre este conjunto. Es decir, si la funcional f
no es continua en un espacio E que verifica el primer axioma
de numerabilidad, existe en E un conjunto acotado sobre el cual
la funcional no está acotada. E l teorema queda demostrado.
Una funcional lineal acotada sobre todo conjunto acotado se
llamará funcional lineal acotada. La acotación de una funcional
lineal no implica, en general, su continuidad.
3~. Funcionales lineales continuas sobre espacios nonnados. Veamos más detalladamente el caso particular ímportanle cuando E
es un espacio normado. Como lodo espacio normado verifica e l
primer axioma de numerabilidad, la continuidad de una funciona l
lineal en él equivale a su acotación . Pero en un espacio normado
un conjunto es acotado si, y sólo si, está contenido en una bola
con centro en el origen de coordenadas. Por eso la acotación
de una funcional en un espacio normado s ignifica que la func ional
está acotada en cada bola. Debido a la linealidad, esta úllima
condición equ ivale a que la runcional está acolada sobre la bola
unitaria
del espacio E.
1118
CAP. IV. FUNCIONALES LINEALl!S Y OPJi RADORES LINEALES
Sea f una funcional líneal acotada (=continua) en un espacio
normado E. El número
111 11= sup lf (x)I,
)l x lJ< 1
esto es, la cota superior mínima de los valores que toma 1f(x)1
sobre la bola unitaria del espacio E, se llamará norma de la fun·
cional líneal f. Señalemos las siguientes propiedades evidentes
de llf 11:
11f11 = sup lf (x) 1 ,
1)
(2)
x .,eo
11 x11
esto sigue di rectamente de que para todo x:;<=O
=1 r ( 11; 11 ) I·
1 1
1f !~l
2) Para cualquier x Et E
lf (x) 1 ~11f11· 11 X 11 -
(3)
En efecto, si x =FO, el elemento :
pertenece a la bola unita·
11 11
ria, es decir, por definición de la norma de una funcional
1f
fi ~l1 ~ 11f11.
1
( 11; 11 ) 1=
1
1
de donde se deduce (3). En cambio, si x =O. en los miembros
de derecha y de izquierda de (3) figura O.
En lo sucesivo. sólo consideraremos funcionales lineales conti·
nuas; omitiremos, para abreviar, la palabra «continua».
Veamos algunos ejemplos de funcionales lineales en espacios
normados.
l. Sea Rn el espacio euclídeo de n dimensiones y sea a un
vector fijo de 'él. Entonces, el producto escalar
f (x) =
(x, a),
don!ie x ~ecorre todo R•, representa, evidentemente, una funcional
lineal sobre Rn. Debido a la desigualdad de Cauchy- Buniakovski,
tenemos
(4)
lf (x) 1= j(x, a) 1~11x11 ·ll all;
por consiguiente, esta funcional es acotada y, por Jo tanto, conti·
nua sobre R"- De la desigualdad (4) tenemos que
I/ (.~) 1 ,,,;::: 1\ a 11
Uxll
~
.
189
§ l. FUNCIONA L ES LINEALES CONTINUAS
Puesto que el miembro derecho de esta desigualdad no depende
de x, tendremos
1f(x)1 ~ 11 a ll,
sup """"'ifiil
es decir,
·
x =a, obtenemos
1f(a) 1= (a, a)= 11a 11 •, es: decir, 11f~ª{¡ 1 =lla11·
11fJI~Ua 11
Pero tomando
Por ese,
ll fll =lla \l.
2. La integral
b
I (x)= ~ x(t)dt,
donde x (t) es una función continua sobre [a, b), representa una
func ional lineal en el espacio C14 • bi· Esta funcional es aco tada
y su norma es igual a b-a. En efecto,
1I
(x)
l=¡I Jx(t)d~ 1~max1x(t) 1 (b-a)=11
x ll (b-a)
y para x =- const se alcanza la Igualdad.
3. Consideremos un ejemplo más general. Sea Yo (t) una función fija continua sobre [a, b). Pongamos para toda función
X (t) E C10 ,
/>)
b
F (x) =
x (t) Yo (t) dt.
)
(5)
a
Esta funcional es lineal. Además, es acotada, ya que
1 F(.~) 1=1 j
X
(t) Yo (t
1dt1~ 1 X 11J1 Yo (t) dt.
1
(6)
De manera que la funcional (5) es lineal y acotada; luego, e
continua. De (6) se deduce que
b
\1F11 ~ ~· IYo(/) 1dt.
n
(Demuéstrese que de hecho tiene lugar la igualdad exacta).
4. Consideremos en el espacio C10 , bJ la foncional lineal
(i,_ (x) =X (/ 0 )
190
C.IP. IV. Fl.:NCIONllLES LINl!llLES Y OPERADORES LINEA.LES
ya mencionada en el punto 5 del § 1 del cap. 111. Su valor en
la función x (t) se define corno el valor de x(t) en el punto dado / 0 •
Eslrí duro que
Jx(/ 0) 1 ~1\xjl
y que para x = const tiene lugar Ja igualdad. De aquí se deduce
inmediatamente que la norma de la funcional 61 es igual a 1.
5. En todo espacio euclídeo X, al igual que en Rn, se puede
definir un11 funcional lineal, escogiendo un elemento fijo aEX
y tomando para cualquier x E X
F (x) = (x, a).
Al igual que en el caso:de~R", es fácilZcomprobar que
llFll=llaJI·
Al concepto de la norma de una funcional lineal en un espacio normado se puede dar la siguiente interpretación geométrica
clara. Hemos visto anteriormente (cap. 111, § 1) que a toda funcional lineal se puede poner en correspondencia un hiperplano L
dado por la ecuación
f (x) =
l.
Busquemos la distancia d de este hiperplano al punto O. Por definkión d = inf 11x 11· Puesto que siempre
f (K)= 1
1f(X) 1~ \1 fl!-11 X
11.
Hxll;;;:.
;
para todo xEL, es decir,
11 11
que a;;;.
Por otro lado, de acuerdo con la definición de la
norma de f, para cualquier t: >O existe un elemento x , que
verifica la condición f (x,) =- 1 y tal que
de /(x)= 1 se deduce que
fil.
l
por eso
> (li/l\-e)Jlx, 11 ;
.
d""' /(.t)cl
lílf 11 X11
Como
t
> O es
1.
< -(( / ll -
e·
arbitrario, obtenemos
1
d = liTil'
es deci r, la norma de Ja funcional lineal f (x) es el valor inverso
de Ja distancia desde el hiperplano f (x)= l hasta el punto O.
4°. Teorema de Hahn - Banach en un espacio normado. En el
§ 2 del cap. I II hemos demostrado el teorema de Hahn-Banach,
~
1. FUNCIONAi.ES LI Nf!Al.llS CONTINUAS
19 1
según el cual toda funcional lineal f (x0). que está definida sobre
un subespacio L de un espacio lineal E y que verifica la condición
lf. (x ) 1~ p (x),
(7)
donde p es una funcional convexa íija sobre E, se puede prolongar
a todo el E conservando la condición. En el caso de funcionales li·
neales acotadas en espacios normados, este teorema se puede
enunciar de la siguiente manera:
Sean E un espacio flOrmado real; L, un subespacio suyo y f 0 ,
una fu ncional lineal acotada sobre L. Esta funcional lineal se
puede prolongar a u11a funcional lineal f, definida sobre todo el
espacio E, sin aumentar la rwrma, esto es, de manera que
ll /o lloot>Jc L = ll / 11....,,. e·
En efecto, sea
11
fo ll.obre L = k.
Está claro que kil xll es una funcional convexa. Tomándola igua l
a p y aplicando el teorema de Hahn-Banach, demostrado en et
§ 2 del ca p. I 11, obtendremos el resultado necesario.
En la forma que acabamos de dar, el teorema de Hahn-Banach
ad mite Ja siguiente in terpretación geométrica. La ecuación
f 0 (x)=
1
(8)
define en el subespacio L un hi perplano que se encuentra a ta
distancia
del cero. La posibilidad de prolongar la funcio·
nal / 0 , s in incrementar su norma, hasta una funcional defi nida
en todo E. signiíica que este hiperplano puede completarse hasta
un hiperplano en todo E y de manera que la distancia hasta el
cero de este hiperplano mayor sea la misma que la del hiperplano (8).
Aplicando la variante compleja del teorema de Hahn - Banach
(teorema 4a del § 2 del cap. 111), es fácil demostrar la validez
de la siguiente proposición:
ll
Sean E 1111 espacio normado complejo y fo una f uncio11al lineal
acotada, definida sobre U.ti subespaclo Lc:. E. Enlo11ces ed$ll! ruta
funcional lineal acolada f, definida en todo E, que wrifica las condiciones:
f (x) = f. (x), x EL,
11fu...~.. 1; = 11 fo lll>Qbrc /.·
5°. Funcionales lineales en espacios normados numerables.
Sea E un csp:icio normauo numerable con las normas 11 · llt
192
CAP. IV. PUNC!ONALES LINEALES Y OPERADORES LI NEALES
(k = 1, 2, ... ); sin perder generalidad, se puede considerar que
para todo x E E
UxJI, ~llx lla~· . .~ ll x ll.. ~ · ·.
(9)
Sea f una funcional lineal continua sobre E; cnlom.·es, existe en E
una vecindad U del cero en la cual la funciona l f está acotada.
De acuerdo con las desigualdades (9) y la definición de la topología en un espacio normado numerable, existen un número
natural k y un e> O tales que la bola SA, , = {x:Ux ll.t <e} está
contenida en la vecindad U; entonces, la funcional f está acotada
sobre esta bola y, por consiguiente, es acotada y continua respecto
a la norma 11 · ll~· esto es, existe un C >O tal que
f I (x) 1~CU x llA• x E E.
Por olro lado, es evidente que una funcional lineal acolada res·
pecio a una de las normas 11· 11.. es continua sobre E. Por consiguienle, si E~ es el conjunto de todas las funciona les lineales
sobre E. continuas respecto a la norma 11 • lln• y si Eª es el conjunto de todas las funcionales lineales continuas sobre E, tenemos
..
E°=
U E~.
(10)
n:J
Ad<>mós, de la condición (9) se deduce que
E;cE;c ... cE~ e .. .
Siendo f una funcional lineal continua sobre E. esto es, fEE',
su orden se define como el menor de los números n tales que
f E E~; en virtud de la igualdad (10), toda funcional lineal con·
tinua sobre E tiene un orden finito.
6°. Existencia de un número suficiente de funcionales lineales
continuas. Si el espacio topológico lineal E no se sujeta a limit4clones adicionales, puede ocurrir que no exista sobre él ninguna
runcio!i'lal lineal continua diferente del cero idéntico. No obstante,
puede señalarse una clase amplia de espacios para los cua les
existe un número suficientemente grande de funcionales linea les
continuas. Aceptemos la siguiente terminología. Diremos que
sobre el espacio E existe un número suf icle11teme11te gratule de
funcionales lineales conlinuas, cuando para cualesquiera x 1 :fo xt
de E existe una funcional lineal continua f, deíínida sobre E,
tal que f (x,) ;:f= f (x,). Esta condición equivale, evidentemente, a
que para todo x 0 ;:f= O exista una funciona 1 f tal que f (x 0 ):;. O.
Para cada espacio norma.do E existe un número suficientemente
g1a11de de funcionales li11eales contínuas.
En efecto, sea x 0 un elemento no nulo de E. Definamos
para los elementos de lipo A.x0 la funcional f 0 , tomando
§ 2. ESPACIO DUAL
193
f 0 (t.x0) P J..,
y pr.olonguemos después esta funcional (valiéndonos,
del teorema de Hahn-Banach) hasta una funcional continua,
deíinida sobre todo el espacio E. Obtendremos una funcional f
tal que f (x0 ) = 1 .f= O.
Si E es un espacio normado numerable con las normas
11 · ll. (n = 1, 2, . . . ) y si x 0 E E y x 0 'i= O, podemos COJ!Struir, repitiendo el razonamiento anterior, una funcional lineal f, definida
sobre E y continua respecto a la no rma ll · 111 , tal que f (x0 ) .f= O;
puesto que .esta funcional será, evidentemente, continua ~bre E,.
para iodo espacio llórmado numerable existe también urr .11úmero·
suficientemente gran.de de funcionales lineales continuas.
.
Finalmente, si E es un espacio real localmente conve~o y; ~.-;
parable, para cualquier elemento no nulo x0 EE existe una vecindad U del céro convexa y simétrica(U==-U)talquex.eU;
sea Pu la funcional de Minkowski para la vecindad U, esto es,
Pu'. (x}=inf{t: (>0,
T~u}.
De lo ·demostrado en el § 2 del cap. 111 se deduce que Pu es
una funcional convexa sobre E finila 1y _simétrica (es decir, tal
que Pu(-x)=Pu(x)) y que, además,
Pu(x) <~J, xE U,
pJ'f.x0);;;;;. .1.
Consideremos en E el subespacio lineal unidimensional L0 =
= (A.x0 } y definamos en él una funcional lineal f 0 , tomando
f 0 p..x0 ) = J" Eslá claro que lf0 (x)l~pu(x) para xEL, y que
f 0 (x0 ) = l. De acuerdo con el teorema de Hahn - Banach, existe
1,ma prolongación f de la funcíonal f0 , definida en todo el E, que
veriiica la condición lf(x)l~P![(x) para todos los xEE. En
particular, para x E U, tenemos 1f (x)I ~Pu (x) < l. de manera
que la funcional f es acotada sobre U y, por consiguiente, continua sobre E.
Como f (x.) = l, hemos demostrado que para todo espacio real
localmente corii>exo y separable existe un número suf icienfemente
grande de funcionales lineales continuas (una proposición análoga
es válida también para un espacio complejo). En realidad, este
hecho es el que determina en Jo fundamental la importancia para
el Análisis de la clase de espacios localmente convexos.
§ 2. ESPACIO DUAL
l º. DeHnición de espacio dual. Para funcionales lineales se
puede definir las operaciones de adición y multiplicación por
números. Sean f 1 y f, dos funcionales lineales definidas sobre un
7
. ... 'l l 50
194
CAP. IV. FUNCIONALES LINEALES Y OPERADOIUlS L INEALES
espacio topológico lineal E. La suma de ellas
cional lineal
f (x) = / 1 (x)+ f. (x), x EE.
El producto
la funcional
et./1
f 1 + f • es la fun-
de la funciona l lineal f, por el número et. es
f (x)=af,~(x), xE E.
Está claro que la suma f 1 + f• y el producto a.f, representan
fwtcionales lineales. Además, de la continuidad de las funciona·
les f 1 y f, se deduce que f,+f. y af, son también funcionales
continuas sobre E.
Es fácil ver que las operaciones de adición y mult iplicación
de funcionales por números as í defin idas sat isfacen todos los ax iomas de Wl espacio lineal. En otras palabras, el conjunto de to·
das las funcionales lineales continuas, definidas sobre un espacio
topológico lineal E, forma un espacio lineal. Se llama espacio
dual a E y se denota mediante é*.
Además de las operaciones lineales, en el espacio dual E• re
pueden introducir diferentes topologías. Consideremos primero el
caso más sencillo cuando el espacio inicial E es normado.
2°. Espacio dual a un espacio nonnado. Para las funcionales
lineales continuas, definidas sobre un espacio normado, hemos
introducido el concepto de norma lomando
11/11= ..sup
l f(x) ' ·
... o nxJI
Esta norma verifica todas las condiciones contenidas en la de·
finición de un espacio normado. En eiecto,
1) 11/11 >O para cualquier funcional lineal no nula f;
2)
3)
ll o:fll=let. l·llfll;
llfi+ /.JI= suplf.CxJ+/,(xll~sup~+sup l{,(x)I =
• .r+o
Uxll
"'*º ll xll """º ll xl/
=llf1ll + llf, JI.
De esta forma, el espacio E•, <lual a un espacio normado, puede
ser provisto de una estructura natural de espacio normado. La
topología en E* , correspondiente a Ja norma introducida, se llama
topologla fuerte en E•. Si es deseable subrayar que E* se consi·
dera como un espacio normado, en lugar de E* escribiremos
(E•, 11· ll ).
Establezcamos la siguiente propiedad importante del espacio
dual a un espacio normado.
! 2. ESPACIO DUAL
195
El espacio dual (E•, ll·li) es completo.
DEMOSTRACION. Sea Unl una sucesión fundamental de funcionales li·
nea les. Entonces, para cada e> Oexiste un N tal que 11 f n-f,,. lt~ e·
para todo n, m ;;;;.. N. De aquí obtenemos para cualquier x E E
T.EORBMA 1.
1f n(x) -f.,. (x) 1~11 f . - f,. l\·\lx 11 <e Uxi\ ,
es decir, para cualquier x E E la sucesión numérica {f" (x)} converge. Pongamos
f(x)= lim/.(x).
n-«>
C.Omprobemos que f representa una funci onal lineal continua.
C.Omprobemos primero Ja linealidad :
f (ro: +
~y)=
lim f,, (ax+ ~y) =
"-"'
= lim
= a/{x)+M(y).
·- .. (a/.{x) +f}/,,(y))
.+,11 <
Escojamos ahora N de manera que llfn-1
1 para todo
n ;;;<: N y todo p ;;;<:O. Entonces, 11f,, ...,11 < 11 f,,11 + l para todo
p ;;;<:O. Por consiguiente,
1/,,, p(X) 1~ ( llfn 11+ lHJxll.
Pasando al límite para p _,. oo, obtenemos
lim J ln +p (x) 1= 1f (x) ¡ ,¡;;;;( l\f,,11 +
P -
1)Uxll.
<P
es decir, la funcional f (x) es acotada . Demostremos ahora que la
funcional f es el límite de la sucesión f ••
f ,., ... Sea
para todo
e > O. Escojamos n tan grande que llfn- f•• ,11 <
p ;;;<: O. Por definición de Ja norma existe un elemento x,., , tal
que
r.. ... '
f
ll f -f ll &
"
~
1/,, (Xn , ,)-f (x.,,)( +!:
llx,.. , 11
3
=
Xn, ,
= 1f n ( ll Xn, •
Entonces,
l
1 ln+p-1 11
x •. ,
)
)
,.;;;; 1ln+p ( nx•.• 11 -
(
-
f(
/
X,,,
1
11 Xn; e
)
x,,, , ) 1
B
+3
'
2e
11 x•. • u +3.
Pero el primer sumando del miembro derecho tiende a cero
para p - oo. Por consiguiente, para todo p suficientemente grande
se cumplirá la desigualdad
l\f,, ...,-fl\<e.
El teorema queda demostrado.
7'
196
CAP . IV. FUNCIONALES \.INEA\.llS Y OPERADORES LINEALES
Subrayemos una ver. más que este teorema es válido independientemente de si es completo o no el espacio inicial.
Observación. Si el espacio normado E 110 es completo y E es su
comp/elación, los espacios E* y (E)* son isomorfos. En efecto, podemos aceptar que E está sumergido en E como un subconjunto siempre denso; por eso, toda funcional f EE" lineal continua
sobre E tiene la única prolongación por continuidad 7 de E a
todo el E. Está claro que ( E (E)*, que ll Tll = 11f11 y que toda
funcional de (E)* es una prolongación de alguna funciona\ de E"
(a saber, de su restricción sobre E). Por consiguiente, la a plicación f -7 representa una aplicación isomórfica del espacio E* a
todo el espacio (E)*.
3°. Ejemplos de espacios duales. l. Sea E el espacio lineal de
n dimensiones (real o complejo). Escojamos en E una base
e1 , • •• , en; entonces, todo vector x E E se representa de manera
única en la forma :e= ~ x,~¡. SI fes una funcional lineal sobre E,
estlt claro que
n
f (x) = ,_,
~ f.(e;)
. :e;;
( 1)
por consiguiente, una funcional lineal se determina unívocamente
por los valores que toma en los vectores de la base e,. . . .• e,.
con la particularidad de que estos valores pueden escogerse arbitrariamente. [Definamos las funcionales lineales f., .... { tomando
0
f1 (e¡) =
Es evidente que estas
Está claro que
,
I, cuando i= j,
{ O, cuando i =F j .
funcionales~n
linealmentt"inJependientes.
f¡(X)=x¡;
por eso,'"•Ja fórmula (1) se puede".:escribi( 'er1:1a:iforma
..
fJx) =-
1: f te;) f 1(:e).
l=d
Por consiguiente, las funcionales f,, .. .• In forman una base en
el espacio E*, es decir, E* es un espacio lineal de n dimensiones. La base / 1 , • •• , fn de E* se llama dual respecto a la base
f t. ESPACIO DUAL
197
e,, .. . , en de E. Diferen tes normas en el espacio E induc.en
distintas normas en E*. Señalemos algunos ejemplos de pares de
normas correspondientes en E y en E* ; en las fórmulas (a), (b),
(c) y (d) x 1 , ••• , Xn son las coordenadas del vector x E E en] ta
base e1 , . . . , em mientras que f', ... , f" son las coordenadas de
Ja_funcional f E E* en la base dual f ,, . .. , In·
1
2
(a)
1
l1 xll=(t1 x;1P)
1~
1
2
1
7
7
(b)
1
Uxll =(~lxil') • llfll =(~ l f'l ) ;
1
,
llfll=(~111 1q) ; ~++=!;
n
(c) llxll= sup ]x¡[,
l <l<n
llfll= ~ lf1 l;
l=I
n
(d) llxll= ~ lxd. 11/11= sup
irl
l <;l <;n
lf' I·
2. C.Onsideremos et:espacio e, de las sucesionesx= (x,, ... , Xn, .•. )
convergentes a cero con In norma 11 x11=sup1x,,1 y demostremos
que el espac~ (e:;, 11 ·ID dual a él es isomo;fo al espacio 11 de todas /(13 sucesiones a~solutamente sumables f = (f1 , •. • , f n• • • • } con
la norma 11f1l = ~ 1f" I· Cualquier sucesión f E l1 deíine en el esn• 1
pacio e, una funcional lineal acotada f mediante la fórmula
(2)
está claro que
11(x) 1E;;; llx11 ~ lf,, J,
de manera que
Ull\ ~ Uf\\.
""''
C.Onsideremos en c0 los vectores
e,= (1, O, ... , O, ... ),
e.=(0, O, ... l, O, . .. ),
N
y pongamos
x lN) =
~ I~: 1 Cn (SÍ f = 0, aceptarnos que I~= I =0),
11
198
CAP. IV . FUl'ICIONALES LINEALES Y OP l! RAOOWl!S LINEl\l.ES
Entonces,
x<N)
E c0 , 11x<N> 11 ~ L y
de manera que lim f(xlNI )= ~
N-~
ns l
1f,. 1= 11 r ll· Por consiguiente, lllll ~
~llf ll; comparando esto con la desigualdad de sen tido opuesto,
obtenida anteriormente, llegamos a la conclusión de que
llf Jl=llfll· Hemos construido, de esta forma, una aplicación
lineal isomélrica f-+ l del espacio 11 en el espacio e;; queda
por comprobar que la imagen del espacio l, mediante esta
aplicación coincide con todo el e;, es decir, que toda funcional
f Ee; se puede representar en la forma (2), donde f ={f.} El,.
Para todo x = {x,.) E c0 , tenemos x = :!; x,,e,.; la serie que figura
en el miembro derecho converge en c0 al elemento x, ya que
,,. ,
x-
~~ x,.en\I= 11>
sup Jx,.j-.. 0
A'
'lf Ee~ es continua,
n~
para N-.oo. Como la funcional
f (x) = ni;= I x,. 7(e,.);
tenemos
por eso, es sufíciN
m
ente comprobar que
-
L, 17(e,.)1 < oo. Tomando x{N)= L, {<e,,)I e.
•~>
•= I 1/(e,.)
y observando que x<N> E e,, 11x<N>11 ~ 1, tenemos
N
N
-
L. lli (e,.) 1=1:
f (e,,) f (e.) = f (x<Nl) ~ llfJI,
•• ,
._ 17<e.>I
1
de donde, debido a la arbitrariedad de N, sacamos la conclusión
de que ~ 17 (en) ] < oo.
na l
3. No es dificil demostrar que el espacio l~ dual al espacio l,
es isomorfo al espacio m compuesto por todas las sucesiones acotadas x = {x.} con la norma 11 x 11 =sup1 x. I·
4. Sean p > 1 y l, el espacio de"todas las sucesiones x = {x,.}
tales que
1
llxll=(.~;lxnl')-¡;< oo;
§ 2. ESPACIO DUAL
199
se puede demostrar que el espacio 1; dual a él es isomorfo al
espacio lq• ~++=l. La forma general de una funcional lineal
continua sobre lP es:
f (x) =
i; fnxn;
n =J
X= {x.f E IP, f = {f.} E l q.
La demostración se basa en la desigualdad de Holder.
Pongamos en claro la estructura del espacio dual al de Hilbert.
T EOJH\MA 2. Sea H un espacio real de Hilbert. Para toda funcional
lineal f continua sobre H existe el único elemento x0 E H tal que
f (x) = (x, x0 ), x EH;
(3)
además, resulta que 11 f 11 = 11 x0 11. Viceuersa, si X 0 E H, la fórmula (3) def Ine wia funcional lineal co11tinua f tal que 11f 11 =
= ll x0 11· Por consiguie11le, los espacios ff* y H son isomorfos.
DE~\OSTRAC ION. Es evidente que la fórmula (3) define para todo
x0 EH una funcional lineal sobre H. Como 1f(x) l= 1(x, x0 ) 1~
~ 11 x11·11 x0 11. esta funcional es continua y como f(x,) = 11 x0 11',
tenemos además ll f 11=Ux0 11· Comprobemos que toda funcional
lineal continua f sobre H se puede representar en la forma (3).
Si f = O, tomamosx0 =0. Sea ahora {.PO y sea H 0 = ¡x:f(x) = O}
el subespacio nulo de la funcional f; como f es continua, H 0 es
un subespacio lineal cer r ado de H. Enel punto 6 del§ 1 del
cap. 111 ha sido demostrado que la codimensión del subespacio
de ceros de cualquier luncional lineal es igual a l. Por eso y
tomando en consideración el corolario 3 del teorema 7 del § 4
del cap. 111, llegamos a la conclusión de que el complemento
ortogonal Ht del espacio H0 es unidimensional. esto es, existe
un elemento y0 (no nulo) ortogonal a H0 y tal que todo vector
x EH se puede representar de manera única en la forma x = y+
+Xy0 , donde y EH 0 • Podemos aceptar, evidentemente, que 11Yo11= 1;
pongamos .~. = f (y 0 ) y 0 • Entonces, para cualquier x E H tenemos
X=-- y+J..y., !JEH••
f (x) = >.f (y.),
(x, x0 ) =J.. (y0 ,
X 0)
= l..f (y0)(y,,
Yo) = J.. f (Yo)·
De manera que f (x) = (x, x0 ) para todo x E H. Si f (x) = (x, x~) .
xE H, tenemO$ (x, x0 -x;) = O, de donde, tomando :<=x.- x; ,
encontramos que x, - x;. El teorema queda demostrado.
Observaciones. l. Sea E un espacio euclídeo no co m p 1e to
y sea H el espacio de Hilbert que representa su completación.
Como los espacios E * y H* son isomorfos (véase la observación
200
CAP. IV. FUNCIONALES LINEALES Y OPERADORES LINEA LES
de la pág. 196) y H* es isomorfo a H, es válida la siguiente
proposición: el espacio E* dual a un espacio euclideo T!O completo
E es Isomorfo a la completaclón H del espacio E.
2. El teorema 2 es váli do también para un espacio de
Hilbert complejo (la demostración es la misma, solamente hay
que sustituir x0 = f (y 0 ) Yo por x 0 = f (q0 ) y0 ). La única diferencia
entre el caso complejo y real consiste en que, en el caso complejo, la aplicación del espacio H en el espacio H* , que pone
en correspondencia al elemento x 0 EH la funcional f (x) = (x, 0 ),
es un isomorfismo lineal conjugado, esto es, pone en corres·
pendencia al elemento /.x0 la funcional f../.
4°. Estructura del espacio dual a un espacio normado nu merable. Sea E un espacio normado numerable con las normas
x
l!xll t ~ ll xll . ~ -.
-<llxH.. ~ . . . , xEE.
De lo demostrado en el punlo 5 del § 1 se deduce que el
pacto E*, dual a E, se representa en forma de la unión
E*= U
CS·
E~
de una cadena creciente E;cE;c: .. . c:E~c ... de espacios nor·
mados E~ (en otras palabras, E~ es el conjunto de todas las
funcionales lineales sobre E continuas respecto a la norm a 11 · U.).
De esta forma, si se conocen los espacios E~. se conoce también
el espacio E* (en el sentido de que se conocen los elementos
que lo componen y las operaciones lineales en él). En cuanto a
la topología de E", ésta se puede introducir de diferentes modos;
algunos de ellos serán examinados en lo sucesivo. Señalemos
ad emás que con frecuencia resulta cómodo considerar el espacio
E~ como el dual a la completación del espacio E respecto a la
norma IJ · 11.; esto es posi ble en virtud de la observación que
hemos hechó después de Ja demostración del teorema 1.
Ejemplo. Sea <D un espacio real de Hilbert numerable compuesto por todas las sucesiones x = {xnf tales que
1
11x11_.=(i:n•x~)' <oo,
los productos
""'
escalares en
(x,
..
y)A = l:n-x,,y,,,
(J)
,,.,
k=l,2,
vienen dados por
k= l, 2, ...
El espacio <I> con el producto escalar ( ·, ·l. es un espacio eucHdeo; sea <I>. su completación. Es fácil ver que <I>* se puede
201
§ f, l!SPACIO DU.llL
identificar con el espacio de Hilberl de todas las sucesiones
x = (xn} ta les que llXll.i. < oo. De acuerdo con el teorema 2, el
espacio (IJ_\, dua l al espacio <1> , es isomorfo al espacio <1>•; este
isomorfismo consiste en que a caJa funcional lineal continua f E <1>;
se pone en correspondencia una sucesión;=(!,.} tal que
ntn=C.~. n" lf., I =)
1
1
f (x) =
(x,
..
l>.t =
< oo ,
~ n!x,J•• x = {x,.} E <I>.,
n=1
y, viceversa, cada sucesión de este tipo determina un elemento
de <1>;. Definamos ahora la funcional f E <I>¡ no mediante la
sucesión {!"} sino a partir de la sucesión {gnJ. donde g,, = nkf•.
Entonces,
1
f (x) =
n~• x,.g,.
y llfll
= e~, 11-·~).
Por consiguiente, <D¡ se puede identificar con el espacio de
Hilbert de las sucesiones {g,.}, que verifican la condición
..
~ n-•g~
<oo,
n" l
y con el producto escalar
Ca<º.
Como <1>•
=U <1>;,
.. n-•¡tJ•g<,,
gm) = ~
21
•
<1>• es el espacio de toda~ las sucesiones
k: 1
{g,,} que satisfacen la condición: existe un número entero positivo k tal que
..
Además, cada una de estas funcionales toma en el elemento
x = {x.} E <I> un valor determinado igual a ~ x.g.,. Es decir, si
. ...
el espacio 11> es la intersección de una cadena decreciente de
espacios de Hilbert
<D = íl <D•• Cl>l ::i<D, ::i ... ::i<I>.::i ....
el espacio ID"' es la unión de una cadena creciente de espacios
202
CAP. IV. F UNCIONAi. ES LINC:/\!.SS Y Of'ER1\DORES LINEAi.!:$
de Hílbert
<l>* = UcDZ, <D;c<D;c . .. c<l>.kc . ..
Conviene introducir la denotación <1>¡ -= <D-k· Si además denotamos 1, mediante <t> 0 , obtenemos la siguiente cadena infinita en
ambos sentidos de espacios de Hilbert
... c<I>kc . . . c<l>, c<D 0 c:<D _1 e . . . c:<D_,,c .. . ,
donde Cl>,Z = (!)_~ para cada k = O, ± 1,
± 2, ...
5°. Topología en el espacio dual. Siendo E un espacio normado, hemos definido una vecindad del cero en E* como el
conjunto de funcionales que verifican la condición
11/11
<s.
En otras palabras, se toma por sistema de vecindades de l cero
en el espacio E*, dual a un espacio normado, el conjunto de
funcionales ta les que 1f (x) 1< e, cuando x recorre la bola un ita·
ria llxll ~ 1 del espacio E. En el caso en que E no es un espa·
cio normado, sino un espacio topológico lineal, es natural, para
definir Ja topología en E*, considerar en E en lugar de una
bola unitaria un conjunto arbitrario acotado A y definir una
vecindad del cero en E* como el conjunto de funcionales linea.
les que ver ifican la condición
lf (x) 1 < s
para lodos b s x E A.
De esta forma en E* queda determinado el conjunto de vecindades del cero, cada una de las cuales se define mediante un
número positivo e y un conjunto acotado AcE. No vamos a
comprobar aquí. aunque no es difícil de hacerlo, que el sistema de vecindades, definido de esta manera, satisface efectivamente las condiciones que debe verificar un sistema de conjuntos
p'a ra que pueda ser tomado por un sistema determinante de
vecindades del cero en un espacio topológico lineal.
Está claro que si el espacio E es normado, la topología de
E*, que acabamos de describir, coincide con la que se define
en E" mediante Ja norma. La topología descrita del espacio,
dual a un espacio topológico lineal (a un espacio normado, en
parti<;ular), se llamará topología f u.erte en E• (a diferencia de la
topología débil de E* de la cual hablaremos en el § 3).
Subrayemos que la topolagia fuerte del espacio E* es necesariamente separable y localmente convexa (independientemente de la
topología que tiene E). En efecto, si f 0 EE* y f 0 =1=0, existe un
l
elemento x0 E E tal que f 11 (x0 ) <:/=O, pongamos e =~ 1f. (x0 ) 1 y
203
§ 2. ESPACIO DUAi.
A= [x0 }; entonces, está claro que f 0 EUi:.A• es decir, que E* es
separable. Para demostrar la convexidad local de la topología
fuerte de E•, es suficiente observar que para cualquier e> O y
cualquier conjunto acotado A c:E la vecindad U•.A es un conjunto convexo en E*. Denotaremos la topología fuerte de E•
mediante el símbolo b; si es preciso señalar que E* se cons[,
<lera con la topología fuerte, escribiremos a veces (E*, b) (en
lugar de E•).
6º. Segundo espacio dual. Puesto que las funcion~les line~lés
continuas sobre un espacio topológico lineal E foHr¡an por. si
mismas un espacio topológico lineal (el espacio (E*, b) ~u~I
a E), se puede hablar del espacio E** de funcionales lineales
continuas sobre E*, es decir, del seguru:W espacio dual a E, etc.
Señalemos que todo e lemento x0 de E define en E• una
funcional lineal. En erecto. tomemos
(4)
donde x 0 es un elemento fijo de E, mientras que f recorre
todo e l E*. La igualdad (4.) pone en correspondencia a cada f un
número l~x. ({), esto es, deíine una funcional sobre E*. Como
además
'P ;c.(a. f, + ~ f ,) =a f 1 (x.H- ~ f, (xol = a.1J>x0 U1l + ~·ip .<, (f,),
esta funcional es lineal.
Es más, toda func.ional
En efecto, sea l!. > O y sea
contiene x0 • Consideremos en
De acuerdo con la defin ición
de este tipo es continua sobre E* .
A un conjunto acotado de E que
E* la vecindad U (e, A) del cero.
de U(!!., A), tenemos
l1llx, (!) 1= 1f(x0 )1 < i;
para
f E U (e, A)
Pero esto significa que la funcional 'l!>.c. es continua en el punto O
y, por consiguiente, en lodo el espacio E.•.
Hemos obtenido de esta forma una aplicación de todo el
espacio E en un subconjunto del espacio E**. Esta aplicación
es, evidentemente, lineal. Si sobre E existe un número suficientemente grande de funcionales lineales (por ejemplo. si E es
normado o localmente convexo y separable), esta aplicación
resulta biunívoca, ya que para cualesquiera dos diferentes x',
x" E E <;>xiste una funcional f E E* tal que f (x')-:/= f (x"), es decir,
"1x· y 'I),.. son difercn t<>s funcionales sobre E*. Esta aplicación
de E en E** se llama aplicación natural del espacio E en el
segundo espacto dual. Dcnotémosla con 1t. Si n (E) = E**. el espacio E
(.separable y localmente convexo) se llama semirreflexivo. En el
espacio E'"* (considerado como dual a (E*. b)) se puede inlro-
204
CAP. IV. FUNCIONALES LINEAi.ES Y OPERADORES'LI N EALES
ducir Ja topología fuerte que denotaremos con b*; esta topología induce en el espacio E la topología n - • (b*) (tal que un conjunto
QcE se considera abierto si su imagen it(Q) es la intersección
de n (E) con un subconjunto abierto del espacio (E**, b*)). Se
puede demostrar que la topología n - 1 (b*) es no más débil que
la topología inicial del espacio E (es decir, que todo conjunto
abierto en esta topología inicial es también abierto en la topo·
logía n-1 W)); esto significa que la aplicación n- 1 , que transforma n (E) en E , es continua. Siendo el espacio E semirreflexivo
y la aplicación n : E__,. E** continua, se dice que E es un espacio
reflexivo. De lo expuesto se deduce: si E es reflexivo, la aplicación natural n:E-E** representa un isomorfismo entre los
espacios topológicos lineales E y E**= (E**, b*) (es decir, es
biunívoca y bicontinua).
Puesto que podemos ahora considerar todo elemento de E
también como un elemento del espacio E"* , conviene para los
valores de Ja funcional lineal f E E* emplear, en lugar de la
denotación f (x). una denotación más simétrica
f (x) ~ (f,
x).
(5)
Siendo fijo f E E*. podemos considerar (f, x) como una funcional sobre E, y siendo fijo x, como una funcional sobre E"' (y
en este caso x aparece ya corno un elemento de E **).
Si E es un espacio normado (y, por consiguiente, son también
normados los espacios E*, E**, etc.), la aplicación natural del
espacio E en. E** es una isometría.
En efecto, sea x un elemento de E. Designemos mediante
Jlxll su norma en E y mediante llXll, la norma de su imagen
en E**. Demostremos que llxll = HxU,. Sea f un elemento arbi ·
trario de E• . Entonces,
l<f, x)l~llfll-llxll, es
decir,
Hxll ;;;:.1<~· 1 ~l l ,
y, puesto que el miembro izquierdo de Ja última desigualdad
no depende de f,
Uxll ~ sup 1~¡11~ll
= llxll,.
Por otro lado, según el teorema de Hahn-Banach, para todo
x. E E existe una funcional lineal f • tal que
Wo• Xo)[ = 11/oll · llx0ll
(6)
(para construir esta funcional es suficiente tomar f 0 (x) =a. para
los elementos de tipo x =ax, y extender después esta funcional,
205
s J. TOPOLOOIA,,"OEBIL v;cONVERGENCIA Ol!BIL
conservando su norma, a todo d E). De (6) se desprende que
llx·11 , = s~¡. ~
llfll ~ 1I xn,
1
es decir, Uxll = 11x111 , que es lo que querfarnos demostrar. Por
consiguiente, el espacio normado E es isométrico a la variedad
lineal (en general, no cerrada) n(E) de E..; identificando E con
n (E), podemos aceptar que E cE ...
Puesto que para los espacios normados la aplicación natural
n:E - E•• es isométri ca, resulta que los conceptos de semirreflexividad y reflexividad coinciden en el caso de espacios normados.
Como el espacio, dual a un espacio normado, es compl~to,
todo espacio normado reflexivo E es completo.
Los espacios euclídeos de dimensión finita y el espacio de
Hilbert representan los ejemplos más sencillos de espacios refle·
xi vos (para ellos se tiene incluso que E= E • ).
El espacio e, de sucesiones convergentes a cero ofrece un
ejem plo de un espacio no reflexivo completo. En efecto, como
hemos demostrado anteriormente (ejemplo 2 del § 2), el espacio
dual a c0 es el espacio l 1 de todas las series numéricas absolutamente convergentes y el dual de este íillimo coincide con el
espacio m de todas las sucesiones acotadas.
El espacio CJa. bJ de funciones continuas sobre w1 segmento
a, b) es tambien no reflexivo. Sin embargo, no daremos aqui
[a demostración de esta proposición 11 •
Como ejemplo de un espacio reflexivo, que no coincide con
su dual, puede servir el espacio 1, para 1 < p =fo 2 (puesto que
lq•
donde*+~ = 1, tenemos 1¡,· -=l;=t, ).
t;=
EJERCICIO. Demuéstrese que un subespacio cerrado de un espacio reflexivo
es
tambi~n
re!lexivo.
§ 3. TOPOLOGIA PEBIL Y CONVERGENCIA OEBIL
1°. Topología débil en un espacio toPológlco lineal. Consideremos un espacio topológico lineal E y el conjunto de todas las
funcionales continuas sobre él. Si f 1 , • • . , f n es un sistema finito
arbitrario de estas funcionales y e es un número positivo, el
conjunto
(1)
{x:lf1 (x)I <e; i= l , 2, . . ., n}
" Se puede demostrar inc luso una proposición más luerle: no existe
ningún. es pacio normado para el cual C¡0 , bJ sea el espacio dual.
2()ij
C.\ P. IV. fU NCIONAL ES l l Nf.Al.ES Y OPER ,\ OO!l F.S
LlNE A l~S
es abierto en E y contiene el punto O, esto es, representa una
vecindad del cero. La intersección de dos vecindad~ s de este
lipo siempre contiene un conjunto de tipo (l) y, pot consiguiente,
en E se puede introducir una topología para Ja cual la totalidad
de los conjuntos de tipo (1) constituirá el sistema determinante
de vecindades del cero. Ella se denomina topología débil del
espacio E. En otras palabras, Ja topología débil en E es la
topologla más débil de este espacio lineal respreto a ta cual son
continuas todas las funcionales lineales que son continuas res·
pecto a la topología inicial de este espacio.
Está claro que to 0'0 conjunto de E abierto en el sentido de
la topología débil es también abierto en la topologia inicial del
espacio E, pero la reciproca no es, en general, vál ida (los con·
junios de tipo (1) no forman ne<:esariamentc un sistema determinante de vecindades del cero en la topologla inicial). De
acuerdo con Ja terminología, aceptada en el § 5 del cap. 11 ,
esto significa que la topología débil del espacio E es más débil
que la topología inicial. Esto justifica su denominación.
Si en E existe un número suficientemente grande de funcionales lineales continuas (por ejemplo, si E es normado), la topo·
logia débil de E verifica el axioma de separabilidad de Hausdorff. Es fácil comprobar asimismo que las operaciones de
adición y multiplicación por números, definidas en E, son continuas respecto a Ja topología débil de este espacio.
2º. Convergencia débil. Incluso en el caso de espacios normados, la topología débil de E puede no satisfacer el primer
axioma de numerabilidad. Por consiguiente, esta topología no
puede describirse, en general, en términos de sucesiones convergentes. No obstante, Ja convergencia en E determinada por esta
topología representa un concepto importante. Se llama conuergencia débil. A diferencia de ésta. la convergencia definida por la
topología inicial del espacio E (por la norma, si E es normado)
se llama convergencia f u.erte.
Es obvio que el concepto de convergencia débil se puede
enunciar de la siguiente manera: !a sucesión {:c.} de elementos
de E se _llama débilmente convergente a .~.E E, cuando para
cualquier funcional cp(x) lineal continua sobre E Ja sucesión
numerica {q> (xn)} converge a cp (x0}. En efecto, admitiendo, para
simplificar, que x0 =O, supongamos que cp (xn)- O para toda
<p E E•. Entonces, cualquiera que sea la vecindad débil
U= (x:!qi;(x) 1 <e, i= J, 2, .. .. k}
del punto O, existe un N tal que x,. E U para todo n ~ N (para
ello es suficiente escoger N1 de manera que l lfl; (x.) 1<e, cuando
. § .3. TOPOl.OOI A OEBll. V CONVER08NCIA OEBll.l
2íY7
n ~ N;, y tomar después N = max N1). Viceversa, si para cada
vecindad U del cero existe un N tal que x. E U para todo
n ~ N, la condición cp (x.)- O para n -><io se cumple, evidentemente, para cada funcional fija cp E E•.
Consideremos más detalladamente el concepto de convergencia
débil en el caso de espacios normados.
TEOREMA 1. Si {xn} es una sucesfr)n débilmente conoergente en un
espacio normado, existe una constante C tal que
ll x,,ll~C.
1
En otras palabras, toda sucesión débilmente convergente de -un
espacio normado es acotada.
DEMOSTRACION. Siendo la sl!cesión {x.} no acotada, cualquiera que
sea la bola cerrada S [f0, 11] = {f: 111-f0 11:::;;; e) de E•, el conjunto
numérico
{(!, x.)},
donde n = 1, 2, . . . y f recorre esta bola, no es acotado. En
efecto, si la sucesión {x.} es acotada sobre la bola S [f0, 11) es
también acotada sobre la bola S (O, 11}= {g: 11 g il~ e}, ya que
siendo gES[O, s], tenemos f, + g ES (/0 , s] y (g, x.) =
=(/ 0 +g, x,.)-(f0 , x,,) y los números (f0 , x,,) son acotados debido a Ja convergencia débil de la sucesión {x.}. Pero si
1(g, x,,) 1~ C para todo g ES (O, s], tenemos, debido a que la
aplicación natural de E en e• es isométrica,
e
11x. IJ~-e·
esto es, las normas 11x,,11 están acotadas en su conjunto. Por consiguiente, si la sucesión {x.} es no acotada , tampoco será acotada
sobre cualquier bola de E*. Tomemos una bola B,c.E•. Existen
un número n 1 y un elemento f E B, tales que 1(f, xn,) 1 > 1.
Puesto que (f, x) depende continuamente de f, la desigualdad
1(f, x. )] > 1 se verificará para lodos los f pertenecientes a una bola
cerrada B 1 c. 8 0 • Razonando de la misma manera, encontraremos
en 8 1 una bola cerrada B~ y un número n. ta les que para todo
f E B, se cumple la desigualdad l(f, x. )1 >2, etc.; en general,
para cada k encontraremos un número 'n~ y una bola Bkc::Bk-i
tales que
l(f, x,1. ) 1> k para f E B4•
Se puede adm it ir, además, que los radios de las bolas Bk tienden
a cero cuando k-.. oo. Puesto que el espacio E* es completo,
existe un elemento l perteneciente a todas las bolas Bt (¡principio
208
CAP. I V. FUNCIONALES LINEALES Y OPERADO íl!lS LINEAl.C:S
de bolas encajadas!).
Pe~o
en tal caso .
¡({,
Xnk)
1
> fi
para todo k y esto contradice a la convergencia débil de· la
sucesión {xnl·
Observación. Al demostrar que la sucesión {xnf es acotada respecto a la norma nos hemos valido solamente de q1:1e la sucesión
numérica (f, xn) es acotada para todo f E E'. Por eso, si la sucesión {xnl de E es tal que Ja sucesión numérica ({, xn) es acotada
para loda fEE', existe una constante C tal que 11 -~n ll~C. Este
resultado admite la siguiente generalización: tockJ subconjunto
débilmente acota® (esto es, acotado en Ja lopología débil) Q de
un espacio normado E es fuertemente acotado (es decir, está contenido en una bola). En efecto, supongamos que existe una suce-
sión {xnlcQ tal que ¡1xn ll -oo(ri-oo). Como Q es débilmente
acotado, el conjunto x,.} también es débilmente acotado, es decir,
es absorbido por cualquier vecindad débil del cero; en particular,
para cualquier f EE* existe un N tal que (x.}cN {x:l(f, x) 1 < I},
de donde se sigue que 1(f, x,,) 1 < N para todo n. Pero esto, de
acuerdo con la observación hecha anteriormente, contradice a que
11x.11 - ·OO. Si tenemos en cuenta que la acotación débil de un
conjunto Q significa que cualquier funcional lineal continua sobre
él es acotada, llegarnos al siguiente resultado importante: para
que uti subconjunto Q de wi espo,cio normado sea acota® es necesario y suficiente que cualquier funcional f E E* sea acotada sobre Q.
El teorema que sigue permite frecuentemente determinar la
convergencia débil de una u otra sucesión.
La sucesión !xn} de elementos de un espacio normado E
converge débilmente al elemento xE E. si
J') llxnll están acotadas en su conjunto por una constante M;
2) f(xn> - f (x) ·para toda f E!!.., donde fl es un cortjunto
cµya cápsula lineal es siempre densa en E•.
TEOIHlMA 2.
DEM0$1'RACION. Se desprende de las condiciones del teorema y de
la defü1ición de una funcional lineal que si <p es una combinación
lin~I de elementos de !!.., entonces,
<p (xn)- <p (x).
Sea ahora
q> un elemento arbitrario de E y sea {<p,.I una sucesión de
combinaciones lineales de elementos de ó convergente a <p. Demostremos que <p (x.)- <p (x). Sea M tal que
llxnll~M
(t!= 1, 2, ... ) Y llxlJ~M.
Estimemos la diferencia l<p(x.)1-qi(x). Como <pk-+<p, para
§ 3. TOPOl.OGJA DEB l l. Y CONVERO\'NCIA DEBIL
209
cualquier e> O existe un K tal que 11 rp- q¡k 11 <e para todos
Jos k ~ K. f>pr eso,
1<p (x.) - <P (x) 1:;;;;; 1q> (xn) - 'Pk (x.) 1
1<J!t (x,.)- IPk (x) 1+ 1q¡k (xl -<p(x) 1~ eM
eM 1QJt(x,.)-cpk(x) I·
+
+
+
+
+
para n-oo, por hipótesis. Luego, q>(x,.)O, cuando n - oo, para cua!quier e¡¡ E E•.
·
Ejemplos. Veamos el sentido que tiene el concepto de con·
vergencia débil en algunos espacios concretos.
l. En el espacio euclídeo de dimensión finita R" la convergencia
débil coinci\'.le con la fuerte. En- efecto, sea et,. ... ¡ e,. u¡¡a· base
ortonormal de R" y sea {xk} una .sucesión de R" convergef1te
débilmente al elemento· x. Entonces,
·
(xk, e;)=x~ -· (x, e;) , i=I, 2, ... , 11,
Pero,
-
q;,.(x.)~rpk(x)
<p (x) -
es decir, las primeras coordenadas de los vectores xk tienden a la
primera coordenada del vector límite x, sus segundas coordenadas
convergen a la segunda coordenada del vector x, etc. Pero
entonces,
1
p(x",
±M-xl)•) -o,
2
x)
=(
\l"'I
es decir, {x,.} converge fuertemente a x. Puesto que la conver·
gencia fuerte implica la débil, queda demostrada la equivalencia
en R" de estas convergencias.
2. Convergencia débil en t.. Para que la sucesión acotada
{.~<M} converja débilmente a x, es suficiente que se cumplan las
condiciones
{x<h>, e1)=4-x1 =(x, e1), i = l, 2, ... ,
donde
e,=(l, O, O, ... ), e.=(0, l. O, ... ), ...
En efeclo, las combinaciones lineales de los elementos e; son
siempre densas en el espacio t. (que coincide, como hemos visto,
con su dual). Por eso nuestra proposición se desprende del teorema 2.
Por consiguiente, la convergencia débil de una sucesión aco·
tada {x<~i} de l, significa que la sucesión numérica de las coordenadas x'i. de estos vectores converge para cada k = 1, 2, ...
No es difícil ver que la convergencia débil de / 1 no coincide
con la fuerte. En efecto, demostremos que la sucesión e,, e,, . .. ,
en, ... converge débilmente al O en 1,, Toda funcional lineal
210
Ci\P. IV. FUNCIONALES LINEALES Y OPERA DORES LINEALES
f en 1, puede ser representada como el producto escalar f (x) = (x, a)
del vector xEl, por un vector fijo a=(a,,
ª•• ... ). Por eso,
f (en)=an•
y como a,, -
O para n - oo cualquiera que sea a Et,, obtenemos
limf(e,,) = 0
1>ara cada funcional lineal en l,.
Al mismo tiempo, Ja sucesión (en/ no converge, en el sentido
fuerte, a ningún límite.
EJERCICIOS. l. Supongamos que la sucesión {xn} de elementos de un
espacio de Hllberl H converge débi lmente al elemento x(t. H de manera que
11 Xn11-11x 11 para n - oo. Demuéstrese que en este caso In sucesión {x,.)
<'<>nverge lucrlemenle a x, es decir 11 Xn -x 11--+ O.
L Demuéstrese que la proposición del ejercicio 1 sigue siendo válida
si se sustituye la condición 11x,.L-.fl.t 11 por la cond ic ión Ux. 11o:; 11 x11
para todo n o por la condlclón lirn lf Xn 11 <; 11x11·
.~
..
3. Sea /1 un espacio (separab le} de Hllbert y sea Q un subconjunto
suyo acolado. Entonces, ll\ topología en Q inducida por la topología débil
de espacio H se puede definir mediante una métrica.
4. Demuéslrcse que todo subconjunto cerrado convexo de un espacio de
Hilbert es ccrrodo respecto n la topología débil (en particular , todo subes·
pucío lineal cerrado de un espaclo de Hilbert es débilmente cerrado). Dése
un ejemplo de un conj unto cerrado de un espacio de Hilberl que no sea dé·
bl lmen te cerrndo.
3. Converge11cia débil e11 el espacio c1•. bJ de f uncioMS continuas.
Sea {x,, (t)} una sucesión acotada de funciones de C ¡o, bJ conver·
gente débilmente a la función x(t). Entre las funcionales definidas
sobre Cr•. bJ se encuentran, en particular, las funcionales 61, cada
una de las cuales representa el valor de la función en un punto
fijo t 0 (véase el ejemplo 4 del punto 3 del § 1). Para cada una
de estas funcionales 61, la condición
61.x,, (t)-1>1/c( /)
significa que
x,, (1 0 ) -x(t 0 ) .
Por consiguiente, si la sucesión {xn (/)/ converge débil mente, ella
1) es equiacolada. esto es, 1x,, (/) 1~e para todo n = l, 2, . ..
y cualquier a~ J ~ b;
2) converge en cada punto.
Se puede demostrar que el conjunto de estas dos condiciones
no es sólo necesario sino también suficiente para la convergencia
débil de Ja sucesión {x,, (t)I en C¡a. bJ·
Está claro que esta convergencia no coincide con la convergencia respecto a la norma de C¡a. bl• es decir, con la convergen-
§ 3 . TOPOLOO!A DEBIL Y CONVERGENCIA OEBH.
211
cia uniforme <le las funciones continuas. (Dése un ejemplo correspondiente.)
3°. Topología débil y convergencia débil en el espacio dual.
En el punto 4 del parágrafo anter ior hemos introducido en el
espacio dual E° la topología que hemos llamado fuerte y que se
define de la siguiente manera: como sistema de vecindades del
cero se toma la totalidad de los conjun tos de tipo
jf: lt (x)I < e, x E A} ,
donde A es un conjunto acotado cualquiera de E y e es un nú•
mero positivo arbitrario. Si ahora consideramos en lugar d.e
conjuntos acotados todos los subconjuntos finitos Ac::E, obtendremos la así llamada topología débil en et espacio dual E'.
Como todo conjunto finito AcE es acotado (pero no viceversa,
en general), está claro que la topología débil del espacio E• es
más débil que la topología fuerte de este espacio. En general ,
estas dos topologías no coinciden.
La topología débil, introducida en E', define en este espacio
una convergencia que se llama convergencia débil de f unciunales.
La convergencia débil de funcionales lineales representa un concepto importante que desempeña un papel esencial en diversas
cuestiones del Análisis Funcional, en particular en la teoría de
las as! llamadas funciones generalizadas, de las cuales hablaremos
en el parágrafo siguiente.
La convergencia débil de Ja sucesión {q>,,} de funcionales lineales significa, evidentemente, la convergencia de esta sucesión en
todo elemento fijo de E. En otras palabras, la sucesión {cp,.} se
llama débilmente convergente a cp E E', cuando para cada x E E
se cumple la relación
<f,. (x) -• <p (x) .
Sea E (y, por consiguiente, E') un espacio de Banach. Tiene
lugar el siguiente teorema análogo al teorema 1.
Si /fn~ es una sucesión débilmente convergente de funcionales lineales sobre un espacio de Banach, existe un número
co11stanfe e tal que
TEOREMA 1•.
Uf .. 11 ~ C, n = J, 2,
1
En otras palabras, toda sucesion débilmente convergente de elementos del espacio, dual a un espacio de Banach, es acotada
respecto a la norma.
La demost ración de este teorema no difiere en nada de la
demostracion del teorema 1.
El siguiente teorema es completamentt! análogo al leorerna 2.
212
CAP. IV. FUNCIONi\LES LINEALES] Y OPERADORES LINEALES
Una sucesión de funcionales lineales (q¡,.} de E? con11erge débilmente a q> E E•, cuando
l) esta sucesión es acotada, esto es
Tl!O!ll!MA 2•.
!lcp,.!l~C.
n=I,
2, . .. ;
2) la relación (cp,., x)- (cp, x) se cumple para todos los x, per-
tenecientes a un conjunto tal que las combinaciones lineales de
sus elementos son siempre densas en E.
La demostración es la misma que para el teorema 2.
Veamos un ejem p 1o. Sea E el espacio C¡a. bJ de funciones
continuas y sea 11
<p (x) = x (0),
es decir, sea <p la 6·función (véase el § 1, ejemplo 4). Sea, ade·
más, {cp,. (f)} una sucesión de íunciones continuas que verifican
las siguientes condiciones:
1) q>,.(l) =O para
lt l> ...!.,
n q>,.(t)~O
para l ll~;;-!-;
n
b
2) ~ <J>n(l)dt= l.
a
En tonces, para cualquier función x(t) continua sobre (a, b], tenemos, empleando el teorema del valor medio,
1
b
~ cp,. (t) X(/) di "
La expresión
ñ
~ cp,. (t) X (t) di - x (O) para
11- OO.
1
n
I>
) q>n (/)X(/) di
a
representa una funcional lineal sobre C1o. bl· De esta forma la
6-función se puede represen tar como límite, en el sentido de
convergencia débil de funcionales lineales sobre C1o. bJ• de una
sucesión de funciones ccorrlentes».
Observación. El espacio E• de las funcionales lineales sobre
un espacio E se puede considerar desde dos puntos de vista:
como espacio dual al espacio inicial E o como espacio principal E•, relacionando con él su espacio dual E.... De acuerdo
11 Consideramos que OE {a, bJ. Se podrla, claro está, tomar en lugar del
punto 1 = O otro punto cualqu iera.
s
a.
TOPOLOOIA oe8JL y CONVERGENCIA"UEB I L
213
con esto, Ja topología débil puede introducirse en E" de dos
modos: o bien como en el espacio de funcionales, definiendo tas
vecindades en E• mediante todos los sistemas finitos de elemen·
tos de E, o bien como en el espacio principal mediante el espa·
cio E... En el caso de un espacio reflexivo esto, por supuesto,
es lo mismo. En cambio, si E no es reflexivo, éstas serán dos
topologías diferentes en E•. Para evitar la confusión que puede
surgir aquí, la topología débil definida en el espacio principal
(esto es, Ja topología en E", delinida mediante E..) se llamará
topología débil, mientras que la topología débil del espaci.o de
las funcionales (esto es, la topología en E", definida mediante E)
se llamará topologia •·débil. Es evidente que la topologla. *:·débil
en E• es más débil que la topología débil del espacio E"· ·(es
decir, la topología débil tiene no menos conjuntos abiertos que
la topología •-débil).
4°. Topología •·débil en conjuntos acotados. En diferentes
aplicaciones del concepto de convergencia débil de funcionales
lineales desempeña un papel importante el siguiente teorema.
TCORl!MA s. Si E es un espacio nornuuJ.o lineal separable, cualquier
sucesión acotada de f unclonales lineales contimlaS sobre E co11tiene
1 u11a subsucesión débilmente convergente.
0 EMOSTRAC10N . Escojamos en E un conjunto numerable siempre
denso (x" x., ... , Xn, • •• ). Si {<i>nl es una sucesión acotada
(respecto a la norma) de funcionales lineales sobre E, la sucesión
numérica
q> 1 (x,), cp, (x,), ... , cp,. (x,) • . ..
es acotada. Por eso, se puede extraer de {l!'"} una subsucesión
<Jl~U t q>~I) ' • • •' <p~l), • • ' •
de manera que la sucesión numérica
q>111 (x1), lj)~u (x1), ••• ,
ip~D
(x1),
converja. Asimismo se puede extraer de la subsucesión
subsucesión
{cp~" }
una
<p~t>, c:p~u • ... ' q>~u • . . . ,
de manera que converja Ja sucesión
q¡[" (x 2),
<¡>~"
(x, ), ... ,
19~"
(x, ),
Continuando este proceso, obtendremos un sistema de sucesiones
<J>iU • cp~U
<p~ll •
1
••• 1
cp~º • q>~'>, ... ,
q;A2>.
2 14
CAP. IV. ~ºUNCIONALES LINEALES Y Ol>F.RllDOR ES l. INEl\L ES
(donde cada una es subsucesion de la anterior), tal que {1p:f<>~ converge en los puntos
x,• ... , x•. Entonces, tomando la subsucesión «diagonal>
.x,.
<p~ U 1 cp~U 1
• •• ,
<pgo • . , . 1
ol>tendremos una sucesión de funcionales lineales tal que
cp\" (xn), <¡>~., (x,,), . ..
converge para lodos los 11. Pero esto significa (en virtud del teorema 2") que la sucesión q¡¡" (x), q>~u (x), ... converge también
para todo x E E. El teorema queda demostrado.
Este teorema, junto con el teorema J•, indica que en el espacio E', dual a un espacio separable de Banach, los subconjuntos
acolados, y sólo ellos, son relativamente numerables compactos
en la topología ..-débil. Probemos que, de hecho, tiene lugar
aquí Ja compacidad y no sólo la compacidad numerable.
Demostremos, ante lodo, el siguiente teorema.
La t opología inducida en la bola cerrada wiitaria S
del espacia E', dual a w¡ espacio normadn separable E, por la
topología •-débil de este espacio se puede definir media11te la
métrica
p(f. g)= ~ 2-"l(f-g, .x.)I.
TEOREMA • .
donde {xn} es un con jwrln fijo numerable y siempre denso en la
bola unitaria del espacio E.
DEMosr1i11c10N. Está claro, que la funci ón p (f. g) tiene todas las
propiedades de la distancia; además, es invariante respecto a las
traslaciones:
p(f + li, g+h)=p (/, g).
Por eSQ, basta comprobar que a) cualquier «bola»
Qa ,,,. (f: p (f, O) < s}
contiene una intersección de S con alguna vecindad débil del
cero en e• y que b) toda vecindad débil del cero en E' contiene
una intersección de S con alguna Qe.
Escojamos N de manera que 2-N < ~ y consideremos Ja vecindad débil del cero
V=Vx, . ... 1tN:•J•={f: l (f,x.)l<i, k,..,, 1, 2,
.. ., N}.
t 3. TOPOLOGIA t>EB IL Y CONVERG ENCIA DEB l l
Entonces, si
f ES n V,
215
tenemos
N
"'
n-=1
m::. N+1
p(f, Ü) = ~ 2-n¡(f, Xn) 1 + ~ 2-n¡(f, Xn)I ~
N
~i L
"'
2-" + L,
n~J
2-• <e,
n=N+t
es decir, S n V e Q• . Con esto queda demostrada la proposición a).
Demostremos Ja proposición b). Sea
U= Uv...... v..: 6= {!: 1(/, Yk>I < ó, k - 1, 2.. .. , m}
del cero en E-. Podemos admitir que
puesto que el conjunto \xr.l essiemrre
denso en S, existen unos números n 1 , . •• , 11m tales que 11 yk-xn.I <
< k = I, 2, ... , rn. Sea N=max(tt,, . . . , tt,.) y!;ea e=2- IN+llB.
En !onces, para f ES n Q,, de la desigualdad
una vecindad
1..débil
Hu.U ~ 1, k= 1, 2 •... ,
m;
f,
.
~ 2-"l(f, Xa) I <e
flS )
obtenemos que
l<f, x,.) 1< 2"e;
en particular,
1(f, x,..) 1< 2"• e ~ 2"' e =
11
2 •
Por consiguiente, para todo k = 1, 2, . .. , m tenemos
11
(f. 11.l l ~ l(f, x,,.) 1+I (/, u.-x,,,)1< 2+11 f 11·11 y.-x,,~ 11
< ó.
Es decir, ScQ , c U. El teorema queda demostrado. Es1á claro,
que este resu ltado se extiende automát icamente a cualquier bola y,
por consiguiente. a cualquier subconjunto acotado M ce'.
Hemos demostrado (teorema 3} que de tocia sucesión acotada
de E' se puede extraer una subsucesion *-débi lmente convergente.
En otras palabras. en el es pacio E*, dual a un espacio normado
lineal separable y provisto de la topología *-débil, todo subcon·
jun io acolado M es relativamente numerable compacto. Pero, de
acuerdo con el úllimo teorema , cada conjunto de este tipo es un
espacio topológico melrizable y en el caso de espacios métricos
la compacidad y la compacidad numerable coinciden. Por consigu íen te, ob!enemos el sigui ente resultado.
rnort1:.,1A ~ ·. Todo conjunto acolado M del espacio E•, dual a un
espucio de Banach separable, es relativamente compacto e11 el
1 ::;e11tido de la topologia «··débil del espacio E._
216
CAi>. IV. FUNCIONALES l.lNl!AbES Y OPERADO RES LlNEAl.CS
Si E es un espacio normado lineal separable, \od a bola cerrad:i del espacio (P. b) es cerrada en la topologia ...débil del
espacio E".
Como una traslación en el espacio E• transforma toda colección de conjuntos cerrados (en la topología *·débil) en sí misma,
basta d~mostrar que en la topología !+·débil es cerrada toda bola
de tipo S,= (f:llJll~cl. Sea f0 €S,. Según la definición de la
norma de una funcional, existe un vector x E E tal que 11x11-= 1,
f 0 (x)=cr. >c. Entonces, el conjunto u1={f :f(x) >ªtc} esnna
vecindad 11-débil de la funcional fo que no contiene ningún elemento de la bola Se; por consiguiente, la bola s. es cerrada en
Ja topología •-débil.
De la proposición demostrada y del teorema 3• se deduce el
siguiente teorema.
TEOREMA ~ . Toda bola cerrada del espacio, dual a un espacio nor1 mado separable, es compacta en ta topología w·débil.
El teorema 3• representa un caso particular del siguiente resul·
lado general: si E es un espacio topol6gico lineal localmente conuexo, todo s11bconfunio acotado de E• es relatioome11te compacto
en el senlído de la topología •·débil.
No daremos aquí la demostración de esta proposición general.
§ 4. FUNCIONES GENERALIZADAS
1°. Ampliación del concepto de función. En diferentes cuestio·
nes del Análisis resulta necesario interpretar el término <'.función>
con diferente grado de generalidad. A veces se consideran funciones continuas, en otros casos es preciso suponer que se trata de
(unciones diferenciables una o varias veces, etc. Sin embargo, en
muchos casos el concepto clásico de función resulta insuficiente,
aun cuando sea interpretado en el sentido más general, esto es,
como una regla cualquiera que a todo valor de x del campo de
definición de esta función pone en corr.espondencia un número
y..,, f (x). He aquí dos ejemplos importantes.
!) Es cómodo determinar la distribución de masas a lo largo
de una recta mediante la densidad de esta distribución. Sin embargo, si la recta tiene puntos que llevan masas positivas, está
claro que la densidad de esta distribución no se puede describir
de antemano con ninguna función <corriente».
2) Aplicando el aparato del Análisis Me.temático a unos u otros
problemas, tropezamos con situaciones, cuando no se pueden
efectuar unas u otras operaciones del Análisis: por ejemplo, una
función que no tenga derivada (en varios o Incluso en todos los pun-
S <. F U NCIONES GENfRALIZADAS
217
tos) no se puede derivar, si pot derivada se entiende una función
c:corriente». Claro está que las dificu 1tades de este orden se podrían
evitar ~imitándose a considerar solamente funciones, digamos,
analíticas. Sin embargo, tal re.stricc:ión del conjunto de funciones
admisibles no es, en muchos casos, deseable.
Por suerte, resulta, sin embargo, que estas dificultades y otras
semejantes pueden ser superadas con no menos éxito no restringiendo sino ampliando sustancialmente el concepto de función,
introduciendo las así llamadas funciones generalízad~s. Como
base para introducir las definiciones correspondientes, no$ servira el concepto de espacio dual, considerado anteriorm~nte.
Subrayamos una vez más, que la introducción de funciones
generalizadas se debió" no al deseo de ampliar lo más posible
los conceptos del Análisis sino a problemas absolutamente concretos. De hecho, en la Física estos conceptos se empleaban ya
desde hace mucho tiempo, en lodo caso antes de que atrajeron
la atención seria de los matemáticos. Antes de pasar a las
definiciones exactas, expongamos la idea principal.
Sea f una función fija definida sobre la recta e integrable en
cada intervalo fin ito y sea q¡ una función continua que se anula
fuera de un intervalo finito (tales funciones se llamarán en lo
sucesivo terminales). A cada función <¡> de es!e tipo se puede
poner en correspondencia mediante la función fija f el número
({, q¡,) =
"'
) f (x) cp (x) dx
( 1)
(debido a la terminalidad de <p (x). la integral se toma, de hecho,
respecto a un intervalo finito). En otras palabras, la función f
se puede considerar como una funcional (linea 1, debido a las
propiedades principales de la integral) definida sobre un espacio
de funciones terminales. Sin embargo, las funcionales de tipo(!)
no son las únicas que se pueden definir en este espacio; por
ejempfo, haciendo corresponder a cada función q> su valor en el
punto x= O, obtendremos una funcional lint>.al que no se puede
rcpreSl!ntar en Ja forma ( 1). De manera que las funciones f (x) se
incluyen de un modo natural. en un conjunto más amplio, el
conjunto de todas las funcionales lineales sobre funciones terminales.
El conjunto de funciones q> se puede escoger de diversas maneras; podrian tomarse, por ejemplo, todas las funciones terminales
conjuntas. Sin embargo, corno veremos más adelante, conviene
sujefar las funciones admisibles <p no sólo a las condiciones de
continuidad tcrminalidad sino también a unas condiciones su!ic:iealemenle rígidas de difercnciabilidad.
218
CAi'. ll'. f'l.INC!ONA LE S LIN E ALF. S Y Ol>f.RADOR J; S J.INF.ALl.!S
2°. Espacio de funciones básicas. Pasemos ahora a las definiciones precisas. Consideremos sobre la recta el conjunto K de
todas las funciones terminales 'P que tienen derivadas continuas
de todos los órdenes''· Las funciones, pertenecientes a K, constituyen un espacio lineal (con las operaciones habituales de adición
de funciones y multiplicación de éstas por números). En este
espado no se puede introducir una norma que sea conveniente
desde el punto de vista de la teoría que se expone a continuación; sin embargo, resulta natural definir en él del siguiente modo
el concepto de convergencia.
La sucesión {'P.} de elementos de K se llama convergente a Ja
función 'PEK. cuando: 1) existe un ínter.valo fuera del cual se
anulan todas las <p.; 2) la sucesión {cv~k'} de derivadas de orden" k.
(k= !, 2, . .. ) converge uniformemente en este intervalo a cpCJt>_
El espacio lineal K con la convergencia que hemos definido
en él se llamará espacio básico y sus elementos, funciones básicas.
No es dillcil describir Ja topologla dt! K que induce Ja convergencia
deiinida en K. Esta topología es generada por un sistema de vecindades del
cero ta l qu~ cada vecindad se determina por un sistema finito y0 , . . .. y.,
de !unciones continuas positivas y consta de todas aquellas !unciones de K
que verifican para todo x las desigualdades
1<f(x)1
< 'I'• (x),
... , ] qibn> (x)I
< y,,. (x).
Dejarnos a cargo dd lector la demostración de que esta topo logía genera
eíectivamenle la convergencia en !( d~scrlla anteriormente. Sei'ialemos, que
en K existen también otras topologías que generan esta convergenc ia.
liJE!lCICIO. Sea K,. el s ubespacio del espacio K compuesto por lodas las
!unciones ipEK que son iguales a O fuern del segmen to (- rn, mJ. En el
espacio K,,. se puede definir una estructura de espacio n ormado numerable,
si lomamos
ll'Plln= sup l q;'~l (x) I . n=0, 1,2, ...
o<~ ~ n
f xl <;.m
Compruébese que Ja topolog!a (convergencia de sucesiones, respectiv•mente)
del espacio K,,, generada por este sist~ma de normas coin cide con la topologfa (convergencia, respectivamente) inducida en K,,. por Ja topología (conver·
gencia) del espac io K descrita anteriormente. Eslá claro que K, e K, c ...
..
.. . c:Kmc ... y que J(= U Km· Demuéstrese que un conjunto Q e K es
mct
acotado respecto a Ja topologia deliuida en K, cuando, y sólo cuando, existe
un rn tal que Q es un subconjunto acotado del espacio normado nurner~ble K 111 • Sea T una funcional lineal sobre el espacio /(; demuéstrese que-
•> El intervalo, fuera del cual la función <p es igua l a O, puede ser
d ilerenle para dlstínl8S <1>EKa1 Por derivada de orden cero se comprende, como de costumbre, Ja
propia !unción.
S
~.
FUNCIONES GENERALIZADAS
219
las cualro siguientes condiciones son equivalentes: (a) la funcional T es
continua respecto a la topologla del espacio K; (b) le funcional T es aco·
teda en todo conjunto acotado Q e K; (c) si 'PnEK y crn -+ O (en el caso
de la convergencia de sucesiones dellnida en K}, T (cpn) -+ O; (d) para todo m
l a restricción T,. de la luncional T al subespaclo Km e K es una funcional
continua sobre K,. .
3°. Funciones generalizadas.
Se llama función general.izada (definida en Ja recta
- oo < x < oo) a toda funcional lineal continua T (cp) :¡obre el
espacio básico K. La continuidad de la funcional se entiende aquí
en el sentido de que T (cpn)- T (cp) cuando la sucesión. cpn converge a cp en el espacio básico K.
.
Observemos, ante todo, que toda función f (x) Integrable en un
intervalo finito cualquiera genera una función generalizada. En
efecto, Ja expresión
DEF1N1c10N 1.
..
T 1 (cp) = ~ f (x) cp (x) dx
(2)
es una funcional lineal continua en K. Estas fwiciones generalizadas se llamarán en Jo sucesivo regulares, mientras que todas
las demás, esto es, las que no pueden representarse en la forma (2),
se llamarán singulares.
Indiquemos algunos ejemplos de funciones generalizadas singulares.
1. cll-Iunción>:
T (q¡) = <P (O).
Ella es una funcional lineal en K. es decir, de acuerdo a la terminologla convenida más arriba, una función generalizada. Esta
funcional se representa generalmente en la forma
..
-~,. ll (x) <p (x) dx,
(3)
donde por ll (x) se entiende una q:función> que es igual a cero para
todo x*O y se convierle en el infinito en el punto x=O de
manera que
..
~ 6(x}dx = l.
En el § 1 hemos considerado ya la 6-función como una funcional en el espacio de todas las func iones continuas definidas en
un segmento. Veremos, sin embargo, que la consideración de la
~-[unción como una funcional sobre K tiene determinadas ventajas.
'22()
CAP. IV. FUNCIONALES LI NEALES Y OPERADORES LINEA LES
2. «'5-función desplazada». Sea
T (q>) = cp (a).
De acuerdo con la denotación (3). es natu ral representar esta funcional en la forma
..
~ 6 (x -a) q> (x) dx.
(4)
3. eDerivada de la 6-función>. A cada q> E K se pone en correspondencia el número -·q>' (0). Más adelante explicaremos por
qué es natura l considerar esta funcional como derivada de la fun·
clona! señalada en el ejemplo 1.
4. Consideremos Ja función {-. Ella no es integrable en ningún
intervalo que contenga el punto cero. Sin embargo, para cada
q¡ E K Ja integral
..
Sq> (x) ¿d.t
existe y es íinita en el sent ido del valor principal. En efecto,
"'
b
(' <¡>(x) ..!..dx=Sq>(x)
j
X
- oc
a
b
6
a
a
..!..dx=
{'pCx)-cp(O)dx+Scp(O)dx.
X
j
X
X .
Aquí (a, b) es el intervalo fuera del cual q> se anula. En la
primera de estas integrales bajo el signo de la integral aparece
una func ión acotada, mientras que la segunda integral, comprendida en el sentido del valor principal, es [inita. De esta forma,
{- es una funcional sobre K. es decir. una función generalizada.
Se puede demostrar que ninguna de las funciones generalizadas
señaladas en los ejemplos l, 2, 3 y 4 es regular (es decir. no
puede representarse en la forma (2) cualquiera que sea la función
localmente integrable).
f
4º. Operaciones con func.iones generalizadas. El conjunto de
funciones generalizadas es el espacio lineal dual a K. Por consiguiente, en este conjunto están definidas las operaciones de adi·
ción y multiplicación por números. Es evidente, además, que
para las funciones generalizadas regulares, es decir, para las
funciones «corrientes» sobre la recta, su adición como funciones
generalizadas (esto es, como funcionales lineales) coincide con la
operación habitual de adición de funciones. Lo mismo se refiere
a la multiplicación por números.
§ 4. PUNCIONES
Ol!NE-~ALIZADAS
Introduzcamos en el espacio de funciones generalizadas la
operación de paso al límite. Diremos que la sucesión de funciones generalizadas {fnl converge a f, cuando para cada q¡ E K se
cumple Ja relación
(f,,. q¡)-+ (f, q¡).
En otras palabras, definimos la convergencia de funciones generalizadas como la convergencia *-débil de funcionales lineales
sobre K. El espacio de funciones generalizadas provisto de esta
convergencia se denotará mediante K*.
Si a es una función indefinidamente diferenciable, es natural
definir el producto de a por la función generalizada f mediártte
la fórmula
(cxf, q¡)=(f, mp)
(la-expresión del miembro derecho tiene sentido, ya que aq¡EK).
Todas estas operaciones, adición y multiplicación por números y
funciones indefinidamente diferenciables, son continuas.
No introducimos el concepto de producto de dos funciones
generalizadas. Se puede demostrar que es imposible definir este
producto si se quiere que esta operación sea continua y que,
además, coincida para las funciones generaltzadas regulares con
la multiplicación corriente de funciones.
Definamos ahora la operación de diferenciación de funciones
generalizadas y examinemos sus propiedades.
Sea primero T una funcional de K definida mediante una
función f diferenciable (en el sentido corriente):
..
T (q¡) = ) f (x) q¡ (x) dx.
Es natural definir su derivada como la funcional -~~
mediante la fórmula
dada
i:¡; (q¡) = _..,
Sf'(x) q¡ (x} dx.
Empleando la fórmula de integración por partes y teniendo en
cuenta que toda función básica q¡ se anula fuera de un intervalo
finito, obtenemos
~~ (q¡)=
Sr<x)q>(x)dx=- St(x)qi'(x)dx;
-·
-~
222
CM'. IV. FUNCIONALF.S LINEALP.S V OPERADORES LINEALES
de esta forma, hemos obtenido para !!{; una expresión en la que
no figura la derivada de f. Estas consideraciones sugieren la
siguiente definición.
1>EFlN1c10N 2. Se llama derivada ~~ de la función generalizada T
a la funcional definida mediante la fórmu la
dT
Tx
(<p) = -T ('P').
Está claro que la funcional definida mediante esta fórmula es
lineal y continua, es decir, representa una función generalizada.
Análogamente se definen la segunda, la tercera, etc. derivadas.
Denotando la función generalizada mediante el símbolo f,
denotaremos su derivada (comprendida en el sentido que acabamos de definir) mediante el símbolo corriente /'.
Directamente de la definición de la derivada de una función
generalizada se deduce la validez de las proposiciones siguientes:
l. Toda f uncwn generalizada tiene derivadas de todos los órdenes.
2. Si una sucesión {f.} de funciones gerwalizadas converge a
una función generaliza.da f (en el sentido de la definición de
convergencia de funciones generalizadas), la sucesión {f~l de derivadas converge a la deriuada f' de la función límite. Esto equivale
a que toda serie convergente compuesta por funciones generalizadas
se puede derivar término a término cualquier número de ve<:es.
Veamos algunos ejemplos.
I . De lo expuesto anteriormente se ve que siendo f una función
regular (es decir, «Verdadera») cuya deri vada existe y es continua
(o continua a trozos), la derivada de ella, como de función
generalizada, coincide con su derivada en el sentido corriente.
2. Sea
J 1 para x;.. O,
(5)
f (x) = l O para x < O.
Esta función ·define la funcional lineal
..
(f, cp) = ~ cp (x) dx.
o
De acuerdo con la definición de la derivada de una función
generalizada, tenemos
..
(f', cp)=-(f, cp') = -)cp'(x)dx =cp(O)
o
S 4. F U NCIO NES GENERAL.IZADAS
223
(puesto que cp es igual a O en el infinito). Por consiguiente, la
derivada de la función (5) (de la e.función sallo unidad•) es la
ll·función.
3. De los ejemplos 1 y 2 se ve claramente que si f es una
tiene saltos iguales a h,,
funci ón que en los puntos x" x
h., . .. respectivamente y es di erenciable en los demás puntos
(en el sentido corriente), su derivada (como de una función generalizada) representa la suma de la derivada corriente f' fen los
puntos donde ésta existe) más la suma de tipo
, ...
1
~hp(x- x1).
4 . Aplicando la definición de derivada de una función gene·
ralizada a la 11-función, obtend remos que esta derivada representa
Ja funcional que en cada función cpE K toma el valor -cp' (O).
Es precisamente la funcional que hemos denominado ya «derivada
de la ll-funci611>.
5. Consideremos la serie
(6)
Su suma representa una función de período 2n que en el intervalo
(- n, n) se define mediante las fórmulas
n-;-x para O< x
f(x) =
{
::i+x
-
-
2
para
:s;:; n
- n:s;:;x<O.
La derivada generalizada de esta función es igual a
"'
-{+n .L,
ll(x-2/m).
(7)
Jc•-ao
Representa una función generalizada (al aplicarla a cualquier
función terminal cp (x) siempre obtendremos solamente un número
finito de sumandos diferentes de cero). Por otro lado, derivando
..
término a término la serie
L se:nx
,,.,
gente
" l~OSltX.
~
nc. I
obtenemos una serie diver-
224
CA P. IV. FUNCIONALl!S LIN E AL ES Y OPERADORES;I.lNEALES
Sin embargo, en el sentido de convergencia de funciones genera·
!izadas, esta serie converge (y precisamente a la expresión (7)).
Por consiguiente, el concepto de función generalizada permite dar
un sentido completamente determinado a Ja suma de una serie
c¡uc en el sentido corrien te diverge. Lo mismo se refiere a muchas
integrales divergentes. Con situaciones de este tipo se tropieza
frecuentemente en la teoría cuántica del campo y en otras varias
ramas de la Física Teórica.
5º. Suficiencia del conjunto de funciones básicas. Hemos
definido las func iones ¡,;eneralizadas como funcionales lineales sobre
un espacio, el espacio K de funciones terminales indefinidamente
cJifcrenciables. En general, podíamos csc:oc¿er el espacio básico de
alguna otra manera. Veamos las consideraciones que pueden determinar Ja selección de uno u otro espacio para el espacio de funciones
básicas. Sujetando los elementos de K a las exigencias rígidas de
terminalidad y difcrenciabilidad indefinida, hemos obtenido con
ello, en primer lugar, un conjunto suficientemente amplio de
funciones generalizadas (toda restricción del espacio básico lleva,
evidentemente, .a la ampliación del espacio dual) y, en segundo
lugar, una gran libertad para aplicar a las funciones generalizadas
las opl'.raciones principales del Análisis (paso al límite, diferenciación). Pero al mismo tiempo el espacio de funciones básicas
no puede ser muy restringido. Debe tener un número suficiente
de elementos para que mediante ellos se puedan distinguir dos
funciones diferentes. Hablando con más rigor, si f 1 y f • son dos
funciones integrables (es decir, dos funciones generalizadas regulares), debe existir un elemento q¡ del espacio básico tal que
"'
"'
~ f 1 (x) q¡ (x)dx =fa ~ f • (x) cp (x) dx.
(8)
Comprobemos que el espacio K satisface esta condición. Con más
precisión, sean f 1 y f • dos distintas f uncwnes continuas (y, por
consiguiente, localmente integrables) $obre la recta. Entonces,
existe una función q> E K tal que se cample la condición (8).
En efecto, pongamos f (x) = f 1 (x)-f, (x). Si f (x) ~ O, existe
un punto x 0 tal que f (x0 ) =fa O. Entonces, f (x) =fa O y conserva su
signo en un intervalo (a., ~) que contiene el punto x0 • Consideremos la función
q¡ (x) =
{e - (x_!«l' ·e-<x~w para a. < x< ~.
O
para tos demás x.
Esta función se anula fuera de (a.,
~) y
es positiva dentro de
§ 4. FUNCIONES GENERALIZADAS
225
este intervalo: además, tiene derivadas de todos los órdenes, de
manera que q¡ E K. Es evidente que
"'
ll
~ f (.~) cp(x) dx = ~ f (x) <p (x) dx ~O.
<t.
Luego, hemos demostrado que el espacio K contiene un número
suficientemente grande de funciones para que sea posible distinguir dos funciones continu¡¡s .cualesquiera•>.
6°. Reconstrucción de una función por su derivada. Ecuaciones
diferenciales en la clase de funciones generalizadas. Las ecuaciones diferenciales son una de las regiones principales de aplicacióh
de la teoría de funciones generalizadas. Fueron precisamente la's
ecuaciones diferenciales que estimularon, en gran medida, el
desarrollo de la teorla de funciones generalizadas. Estas aplicaciones están relacionadas, en general, con ecuaciones en deri vadas
parciales y su estudio detallado sale de los márgenes de este
libro. Sin embargo, consideraremos aquí i.lgunas cuestiones más
sencillas, relacionadas con la solución de ecuaciones diferenciales
(ordinarias) con funciones generali zadas. Comencemos por la
ecuación elemental de tipo
y'= f (x)
(f (x) es una función o bien generalizada o bien «corrientei.), es
decir, por el problema de reconstrucción de una función a partir
de :;u derivada.
TEOREMA 1. Sólo las constantes son soluciones (en la clase de fu11ci ones generalizadas) de la ec~ación
IornosTRAC10N.
y =º·
(9)
La ecuación (9) signifíca que
(y', cp) = (y, -q>')=O
(LO)
para toda función básica qi EK. La igualdad (10) define la funcional y sobre el conjunto K< 11 de funciones básicas, cada una de
las cuales puede representarse como derivada de cierta función
básica.
Una función básica q> 0 puede representarse como derivada de
otra función básica si, y sólo si,
( 11)
1> Esta proposición se puede extender también a funciones substancia l·
men te más generales que las continuas, pero para el lo habría que recurrir al
concepto de integrabilidad según Lebesgue. del cual hablaremos en el capi·
tulo Vl.
8
J<. 215()
:!26
C.:111'. IV. FUNCION.~LES LINEALES y OPERAOORes l.INEAl.ES
En efecto, si cp0 (x) = «p; (x), tenemos
..
~ cp.(x)1Lt=cp,(x) l~.. -
o.
(12)
Viceversa, si se cumple la igualdad ( 11 ), la expresión
X
cp, (x) = )
!p0
(l) dt
(13)
es una función indefinidamente diferenciable y, además, terminal
debido a (12). Su derivada es qi$ (x). Observemos ahora que toda
función básica <¡> se puede representar en la forma
q>= 'Po +cq>,,
donde <p, e:> una función básica fija que verifica la condición
..
e ~s una constante y <p. (x) es tal que ) <p0 (x) dx =O. En eiedo,
basta tomar
w
~
c .... ~ <p(x)dx y <p0 (x)=rp(x)-q>, (x) ) cp(x)dx.
_.,
Por consiguiente, al definir el valor de la funcional ( = funcion
generalizada) y para la función básica q>, (x), Ja funcional resulta
unívocamente determinada en todo el K. Poniendo (y, cp1 ¡ =a.,
obtenemos
"'
(y, cp) =a )
_.,
qi
(x) dx
..
=)
«<¡> (x) dx,
es decir, la función generalizada y es la constante a, que es lo
que necesitábamos demostrar. De aqui se deduce que si para dos
funciones generalizadas f y g se cumple la igualdad f' = g', se
tiene f-g=const.
Con..~ideremo.s ahora Ja ecuación
(14)
y' = f (x)
donde f (x) es una función generalizada. Probemos que para lodo
f E K• la ecuación (14) tiene una solución perteneciente a K•.
Es natural llamar esta solución primitiva de la función gene¡a-
227
S 4. !'U NCIONES O ENERALIZADAS
liza<la f. La ecuación (14) significa que
(y. -q>') = (y', q>)=(f. q>>=(t.
_t q>'mds)
(15)
para cualquier función básica q> E K. Esta igualdad define el
valor de la funcional y para todas las funciones básicas que
pueden ser representadas como q>', donde <p E K . Como hemos
visto al demostrar el teorema 1, cualquier elemento cp El( puede
representarse en la forma
<p = <i>o
+ <p, lX)
"'
~
q> (x) d.x,
donde 190 es la derivada de una función
1p•
..
E K y cp 1 (x) es un
elemento lijo de l( que veri{ica la condición S <p, (x)d.x = l. Si
lomamos, además, (y, q> 1) = O, la funcional y-quedará definida
en lodo el K:
/
(y, <p) = (y, q>.) = (
\
.
)
s IPo (i} d~
f'
_.,
.
Es fácil comprobar que esta funcional es lineal y contin ua. Ade·
amis, satisface la condición (14). En efecto, para todo <pE K
I
(y' , tp)=(y. - q>') =( f.
\
X
\
s q/(~) dt; =-(f.
_.,,
<p).
Luego, para cada función generalizada f (x) existe una solución
de la ecuación
y' = f (x).
es decir, cada función generalizada tiene primitiva. Según el
teorema J, esla primitiva se define unívocamente, a menos de
una constante aditiva arbitraria, por la función f (x).
Los resultados obtenidos se pueden extender fácilmente a sistemas de ecuaciones lineales. Nos limitaremos aquí a dar los
enunciados correspondientes, omitiendo las demostraciones.
Consideremos un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales
con 11 funciones incógnitas
( 16)
s•
228
CAP. IV. FUNCIONALES L INEALES Y OPl!RAOOl<l!S L INEALES
donde u;t son funciones indefinidarnenle diferenciables. Este sistema tiene una determinada cantidad de soluciones cclásica:s» (es
decir, soluciones que reprei;entan funciones «corriente~ y, además,
indefinidamente diferenciables). Se puede demostrar que, en Ja
clase de funciones generalizadas, el sistema (16) no tiene ninguna
otra solución.
Para un sistema no homogéneo de tipo
(17)
donde f; son funciones generalizadas y a¡k funciones corrientes
indefínidamente diferenciables, existe en la clase de funciones
generalizadas una solución que, salvo una solución arbi traria del
sistema homogéneo (16), es única.
Si en el sistema (17) no sólo a;ie sino lambien f; son funciones «corrientes>, todas las soluciones que este sistema tiene en K'
también resultan ser íunciones corrientes.
7°. Algunas generalizaciones. Hemos considerado más arriba
funciones generalizadas cde una variable real•, esto es, funciones
generalizadas sobre la recta. Es posible, basándose en las mismas
ideas, introducir funciones generalizadas sobre un conjunto acotado, digamos, sobre un segmento o una circunferencia, asi como
funciones generalizadas de varias varíables, funciones generalizadas de argumento complejo, etc. Además, incluso para las funciones generalizadas sobre la recta, !a definición dada anteriormente no es la única posible. Veamos brevemente algunas de
estas generalizaciones y modlíícaciones del concepto de función
generalizada.
a) Funciones de varias 1JOriables. Consideremos en el espacio
n-dimensional el conjunto J(n de funciones cp (x., x., ... , x.)
que tienen derivadas parciales de todos los órdenes respecto a
todos sus argumentos y tales que cada una de estas funciones se
anula fuera de un paralelepipedo
a¡~X¡~b¡,
Í=
l, 2, . . . ,
fl.
El conjunto J(• representa un espacio lineal (con las habituales
operaciones de adición de funciones y multiplicación de la.s mismas
por números), en el cual se puede definir una convergencia del
siguiente modo: q>k - q>, cuando existe un paralelepípedo
a1 ~x1 ~b 1 ,
i= 1, 2, , .. , n,
fuera del cual se anula cada una de las funciones Cl>t y cuando
S
~.
229
FUNCIONt;s GENERALlZAOAS
en este paralelepípedo se tiene uniformemente
tl'4h
Ox~• ... Ox~"
_
"
Ox. 1 '
O'i:p . "'
iJx,,"
...
(±<X·= r),
i= t
'
cualesquiera que sean r, a 11 ••• , ª"' U11a función generalizada
de n variables es cualquier funcional lineal cQntinua sobre K".
Toda función f (x) «corriente» de n variables, integrable en ··cualquier recinto acotado del espacio n-dimensional, es, al mismo
tiempo, una función generalizada. Los valores de la funcional
que le corresponde vienen dados por la fórmula
(f,
q>)= ~ f (x)cp(x)dx
(x=(Xp ... , Xn), dx=dx 1 ••• dxn).
Al igual que en el caso de n = 1, diferentes funciones continuas
determinan diferentes funcionales (es decir, representan diferentes
funciones generalizadas).
Para las funciones generalizadas pe n variables los conceptos
de paso al límite, de derivada, etc. se introducen con los mismos
métodos que en el caso de una variable. Por ejemplo, las derivadas parciales de una función generalizada se introducen mediante las fórmulas
iJ"/(x)
,
( ilx~· . . . ax~ft
q>(x))=(- 1)' (f(x).
ª'qi(x)
ax~·
.. '
ax~"
)·
De aquí se desprende que cada función generalizada de n variables tiene derivadas parciales de todos los órdenes.
b) Funciones generalizadas cornple/as. Escojamos ahora para
las funciones básicas el conjunto de funciones terminales, indefinidamente diferenciables sobre la recta, que toman valores complejos. Las funcionales lineales sobre el espacio /( de estas funciones es natural llamarlas funciones generalizadas complejas.
Rec-0rdemos que en un espacio lineal complejo existen funcionales
lineales de primera y segunda especie. Las primeras satisfacen la
condición (a es un numero)
(f, dcp) = a(f, cp)
y las segundas, la condición
(/, acp)
(f, cp).
Si f (x) es una función corriente de valores complejos sobre la
recta, se le puede asignar una funcional lineal de prímera especie
sobre R de dos modos
=a
"'
(f, cp). = ~ f (x) cp (x) dx
(18l)
230
CAP. 1v.7 uNCIONALES!LINEAL ES
y
..
(f, <¡>), -
)
Y~OPERADOR l!S
f (X) Cjl {x)dx.
t. INC:ALES
(18,)
A esta misma función f (x) se le pueden asignar dos funcionales
lineales de segunda especie, a saber:
..
1Cf, 1p)= ~ f(x)<¡>(x)dx
y
1
(f, q>) =
..
) f (x) q> (x) dx.
(18,}
La selección de una de estas cuatro posibilidades significa una
manera determinada de inmersión del espacio de funciones ccorrientes> en el espacio de íunciones generalizadas. Las operaciones
con las funciones generalizadas complejas se definen análogamente
al caso de funciones reales.
c) Funciones generalizadas sobre una circunferencia. A veces
conviene considerar funciones generalizadas definidas sobre un
conjunto acotado. A titulo de ejemplo más sencillo, consideremos
las funciones sobre una circunferencia. Por espacio de funciones
básicas tomaremos el conjunto de todas las funciones indefinida·
mente diferenciables sobre una cincunferencia definiendo para
ellas las operaciones de adición y multiplicación por números
del modo habitual. La sucesión {q>,. (x)} de funciones de este
espacio se llama convergente, cuando para cada k = O, 1, 2, . . .
converge uniformemente sobre toda la circunferencia la sucesión
de derivadas fq¡~•> (x)}. Puesto que el conjunto de argumentos (la
clncunferencia) es, en este caso, acotado, la condición de terminalid'ad de las funciones básicas desaparece automáticamente.
Las funcionales lineales sobre este espacio se llamarán funciones
generalizadas sobre la circunferencia. Toda función corriente sobre
la circunferencia se puede considerar como una íunción periódica
definida sobre la recta. Extendiendo esta idea a las funciones
generalizadas, se puede identificar las funciones generalizadas
sobre la circunferencia con las funciones generalizadas periódicas.
Es natural entender por función generalizada periódica (de período a) una funcional f que verifica la condición
(f (x). qi (x-a) = (f (x), <P (x))
para toda función básica e¡>. Como ejemplo de función generali·
§ 4. PUNCIONES GENERALIZADAS
231
zada periódica puede servir la función
"'
L, cos nx =
1
- 2 +n
¡t:::;: J
.,
L,
6(x-2kn),
·~-40
que ha sido mencionada anteriormente.
b) Otros espacios básicos. Hemos definido más arriba las fun
ciones generalizadas sobre la recta como las funcionales lineales
sobre el espacio K de funciones terminales indefinidamente diferenciables. Sin embargo, esta selección del espacio básico no es
la única posible. Por ejemplo, en lugar del espacio K de funciones terminales, se Podría haber tomado el espacio. algo más
amplío, de todas las íunciones qi (x) indeíinidamente diferenciables
sobre la recta que decrecen, junto con sus· derivadas, más· rá)1ido
<1ue cualquier potencia de
Hablando con más precisión, admitiremos que cp (x) pertenece al espacio básico, que denotaremos S.
cuando para cualesquiera fijos p, q = O, 1, 2, . . . existe una
constante e,. q (que depende de p, q y q>) tal que
lxPq>(ql (x) I < C,9 , -oo < x < oo.
(19)
La convergencia en S se define del siguiente modo: la suces1on
~IPn (x)} se llama convergente hacia cp (x), cuando para cada
q = O, l. 2, . .. la sucesión {q>~q> (x)} converge uniformemente en
cuulquier intervalo finito y cuando en las desigualdades
1XI' cp~QI (X) 1 < CPf
las constantes Cpq se pueden escoger de manera que no dependan
de 11 .
De esta forma se obtiene un conjunto de funciones generalizadas algo más reducido que en el caso del espacio K. Por
ejemplo, la función
m·
f (x) =e•'
es una funcional lineal continua sobre K. pero no sobre S. Es
cómodo tomar S por espacio básico al considerar, por ejemplo,
la transformación de Fouricr de funciones generalizadas. En general, como ha demostrado el desarrollo de la teoría de funciones
generalizadas, no es necesario sujetarse a una elección determinada
del espacio básico, sino que conviene variarla según los problemas
que se consideran. Sin embargo, es necesario requerir de manera
esencial que, por un lado. haya cun número suficientemente
grande» de funciones básicas (para que se pueda mediante ellas
distinguir las funciones «corrientes>, más rigurosamente, las funcionales regulares) y que, por otro lado, estas funciones básicas
sean diferenciables sulicienle número de veces.
232
CAP. IV. P IJNC!ONALES LINEALES Y OPERADORES J..IKEALES
EJERCICIO. Compruébese que en el espacio S se puede introducir una es·
tructura de espacio normado numerable, tomando, por ejemplo.
11 c¡r,. I!
~
sup
=1(1-H x 1i¡ cptf1 (x) ¡.
p.+q=n -co<. X < co
O<O l <: p
O< i < q
y que la convergencin de sucesiones en este tspnciu normado numerable
equivale a la con,•ergencia definida má s arriba.
§ 5. OPERADORES LINEALES
lº. Definición y ejemplos de operadores lineales. Sean E y E,
dos espacios topológicos lineales. Se llama operador lineal que
actúa de E en E 1 a toda aplicación
y= Ax (xE E, YE E,).
que verífica la condición
A (ax1 + ~x.) = aAx, +·~Axi.
El conjunto DA de todos los x E E para los cuales está definida la
aplicación A se llama campo de defít1ición del operador A; en
general, no se supone que DA =E; sin embargo, siempre admitiremos que DA es una variedad líneal, esto es, que si .x, y E D.4 •
también ax+ ~y E DA para todos los a, ~·
Un operador A se llama continuo en el punto x0 E DA• cuando
para cualquier vecindad V del punto Yo = Ax0 existe una vecindad U
del punto Xo tal que Ax E V siempre que X E un D... El opera.
dor A se llama continuo, cuando es continuo en cada punto x E DA·
No es dificil probar que, cuando E y E 1 son espacios normados, esta definición equivale a la siguiente: un operador A se
llama continuo, cuando para cualquier e> O existe un 6 > O tal
que de la desigualdad
11 x' -x" 11
se deduce
11
E~tá
< S (x',
x• E DA)
Ax'-Ax"ll <e..
claro que el concepto de funcional lineal, introducido al
de este, capítulo, es un caso particular de operador
l.Jneal.. Es. decir,. una funcional lineal es un operador lineal que
transforma el espacio dado E en Ja recta numérica E, . En esta
suposición, las definiciones de linealidíid y continuidad, que hemos
enunciado. para un operador lineal, se transforman en las corres.
pondientes definiciones que hemos introducido con anterioridad
para las funcionales.
'
prin<;~pio
§
5. OPERADORES LINEALES
233
Del mismo modo, una serie de conceptos y resultados que se
exponen a continuación para los operadores lineales, representan
una generalización suficiente automática de los resultados expuestos ya en el § 1 de este capítulo para el caso de funcionales
lineales.
Ejemplos de operadores lineales.
l. Sea E un espacio lineal topológico. Pongamos
Ax=x para todo xEE.
Este operador, que transforma cada elemento del espacio en
sí mismo, se llama operador unidad.
2. Si E y E, son dos espacios topológicos lineales arbitrarlos y
Ox = O para to<lo xE E
(aquí O es el elemento cero del espacio F.,), se clice que O es el
operador nulo.
3. (Forma general de un operador lineal que transforma un
espacio de dimensión finita en otro de dimensión finita). Sea A
un operador lineal que transforma el espacio R" de ri dimensiones
con la base e., ... , e,. en el espacio Rm de m dimensiones con
la base f 1 , •.• , f ,.. Si x es un vector arbitrario de R", tenemos
X =
" X¡e¡
~
l= I
y, debido a la linealidad del operador A,
" x;Ae;.
A.<= ">-:
I~
De manera que el operador A queda definido· sí se conoce en
qué transforma los vectores e,, ... , e,, de la base. Consideremos
el desarrollo del vector Ae; según la base f., ... , f ,.. Tenemos
Ae1 = .~~ a;¡f1.
,~
De aquí se ve que el operador A se define por la matriz de los
coeficientes a;¡· La imagen en R"' del espacio R" representa~un
subespacio lineal cuya dimensión es igual, evidentemente, ~ al
rango de la matriz 11a;¡ 11. esto es, no es mayor, en todo caso,
que n. Señalemos que en un espacio de dimensión finita todo
operador lineal es automáticamente continuo.
4. Consideremos el espacio de Hilbert H y un subespacio H 1
suyo. Desarrollando H en la suma directa de l subespacio H 1 y
su complemento ortogonal, es decir, representando cada elemento
234
CAP, IV. F UNCIONALES LINl!ALES Y OPERADOIU!S LINEALES
hEH
en la forma
(h1 EH., h2 ..LH 1 )
h =h,+h1
podemos tomar
Ph=h,.
Es natural llamar este operador P operador proyectivo, que
proyecta todo eJ H sobre H,. La li11ealidad y continuidad re
comprueban sin dificultad.
5. Consideremos en el espacio de !unciones continuas sobre
el segmento [a. b} el operador dado mediante la fórmula
b
'lj>(t) =
~ K (s, t) <p (s) tls,
( 1)
R
donde K (s, L) es una función fija continua de dos variables.
La función 1jl (t) es continua cualquiera que sea la función con·
tinua <p(s). de manera que el operador (1) transforma el espacio
de funciones continuas en si mismo. Su linealidad es obvia.
Para poder hablar de su continuidad, es necesario señalar pre·
viamente la topología que se ha tomado en nuestro espacio de
funciones continuas. Proponemos al lector demostrar la continuidad de este operador en los casos en que a) se considera el es·
pacio C¡a, b¡. esto es, el espacio de funciones continuas con la
norma jf<plf = max¡ql(!) I; b) se considera el espacio C(a.i-1. es
)-¡(t)dt
1
¡ b
dec ir, ll<i>U={
S<p2
'ª
6. Consideremos en el mismo espacio de funciones continuas el
operador
ijl (!) = <Jlo (!) Cjl (!),
donde <p• (i) es una función continua fija. La linealidad de este
operador es evidente. Demuéstrese su continuidad en el caso de
las normas señaladas en el ejemplo anterior.
7. Uno de los ejemplos de operador lineal más importantes
para el Análisis, es el operador de diferenciación. Puede ser con·
siderado en diferentes espacios.
a) Consideremos el espacio de funciones continuas C¡a, bJ y el
operador
Df (t) = /' (t)
que actúa en él. Este operador (que consideramos que actúa de
Crn. bl en Cra. bJ otra vez) está definido. evidentemente. no en
§
s.
OPERADORES:_LINEAL ES
235
todo el espacio de funciones continuas, sino en la variedad
lineal de funciones que tienen derivada continua. El oper·a dor
D es lineal, pero no es continuo. Esto se ve, por ·ejemplo, de
que la sucesión
cpn ( /) = ~
n
converge a O (en la métrica de C1a, 01). mientras que la sucesión
D<p,. (t) = cos nt
no con verge.
b) El operador de diferenciación puede ser considerado como
un operador que actúa del espacio D 1 de funciones ·con derivada
continu a sobre [a, b] con la norma
I! 'l' ll 1=máx 1q>(1)1 +max 1q¡' (t) 1
en e l espacio C¡a. o]· En este caso el operador D es lineal y con-
tinuo y transforma todo el D, en todo el C¡n, •J·
e) No resulta muy conveniente considerar el operador de
diferenciación como un operador que actúa de D, en C¡a. bh ya
que, a pesar de obtener en este caso un operador continuo de!ioido sobre todo el espacio, este operador no se puede aplicar·
dos veces a cualquier función de D1 • Es más cómodo considerar
el operador de diferenciación en un espacio aún más reducido
que D,, en el espacio D., de funciones indefinidamente diferenciables sobre [a. b), cuya topología se defi ne mediante un sistema
numerable de normas
11<p lln= sup (i Cf• (t) 1. 1<r-' (l) 1. • •• , l 'PM (1) ¡).
n. l
El operador de diferenciación transforma este espacio en si
mismo y, como es fácil de 1:omprobar, es continuo sobre este
espacio.
d) Las funciones indefinidamente diferenciables constituyen
una clase muy reducida. Las funciones generalizadas ofrecen la
posibilidad de considerar el operador de diferenciación como un
operador definido en un espacio substancialmente más amplio y,
al mismo tiempo, como un operador continuo. En el parágrafo
anterior hemos habl ado ya de cómo se define la operación de
diferenciación para las funciones generalizadas. De lo allí expuesto se desprende q ue la diferenciación es un operador lineal
en el espacio de funciones generalizadas y que, además, es con·
tilrno en t:1 sentido de que de Ja convergencia de la sucesión
{Ín (t)} de iunciones generalizadas hacia f (t) se <lccluce la con·
vergencia de la sucesión de sus derivadas hacia Ja derivada de
la función generalizada f (t).
236
CAP. IV. FUNCIONALES LlNEALES Y OPERADORES LINEALES
2º. C.Ontlnuidad y acotación. Un operador lineal que actúa
de E en E 1 se llama acotado, cuando está definido sobre todo
el E y transforma cada conjunto acotado en un conjunto también acotado. Entre Ja acotación y la continuidad de un opera·
dor lineal existe una relación estrecha y tienen lugar las siguientes
proposíciones.
l. Todo operador continuo es ac.otaáo.
En efecto, sea Me E un conjunto acotado y sea AM e E 1
un conjunto no acotado. Entonces, existe en E 1 una vecindad V
del cero tal que ninguno de los conjuntos
AM está contenido
+
en V; Pero en este caso, existe una sucesión {xn} e M tal que
ninguno de los elementos
-/¡ Axn
pertenece a
-Ji
¡v
y obtenemos 11
-!i
que
Xn--. O en E, mientras que la sucesión {
Axn} no con·
verge hacia el O en E 1 ; esto contradice a la rontinuidad del
operador A.
II. Si A es uri operador acotado que actúa de E en E 1 y si
en el espacio E se cumple el primer axioma de numerabilidad, el
operador A es continuo.
En efecto, si A no es conlinuo, existen una vecindad V del
cero en E 1 y un sistema determinante {U,.} de vecindades del
cero en E, tales que para cada n existe un elemento x. E* Un
tal que Ax,. E V. La sucesión {nxn} es acotada en E (e incluso
converge hacia O), mientras que la sucesión {11Ax,.} no es acotada
en E 1 (ya que no está contenida en ninguno de los conjuntos V).
De manera que si el operador A no es continuo y en E se cumple
el primer axioma de numerabilidad, el operador A tampoco es
acotado! ' Nuestra proposición queda demostrada.
Por consiguiente, en los espacios con el primer axioma de
n_umerabílidad· (a los que pertenecen, en particular, todos los
espacios normados y normados numerables) la acotación de un
operador lineal equivale a su continuidad.
Toiios los operadores mencionado.$ en los ejemplos l, 2, 3, 4, 5
y 6' del p\.llltO anterior, son continuos. Como en todos los espa·
CÍo.$ alll considerados se cumple el primer axioma de numera·
bilidad, ·todos los operadores mencionados son acotados.
Si E Y: E 1 son espacios normados, la condición de acotación
de un operador que actúa de E en E,, se puede enunciar asi:
lin operador A se llama acotado si transforma toda bola en un
conjunto ,acotado. Debido a la linealidad de A, esta condición
u Véase el ejercicio del punto 3 del § 5.
$ 5. OPERADORES LINEALES
237
se puede enunciar así: A es acolado, cuando existe una constante
C tal que para todo f E E
rl Afll ~Cll f 11 .
El menor de los números C que satisfacen esta desigualdad se
llama norma del operador A y se denota mediante 11 A11 ·
Tl!Or1e~1A 1. Para cualquier operador acotado A que actúa de un
espac{o normadíJ e11 otro espacio normado, se tiene
11 A 11 = sup 11Ax11 = sup 11. Ax 11 •
(2)
1X 11
IJXll< 1
.. ,., o 1
1
º"-''OSTRAc10N .
Denotemos ,,
a= sup llAx ll= sup llAllxllll .
~"'o
llxll< 1
.x
Probl•1nos primero que U A 11 ~a.
Puesto que a= sup 11 ~j¡" para cuah¡uier ~ > O existe un elemento x, tal que
,
1
es decir,
11 Ax, IJ > (r..t-i::) 11:.:, il,
de donde se deduce que
tX.- 1:: .-.. ll AI; ;
como & es un número positivo arbitrario, obtenemos a..;;; 11 A11 ·
Probemos ahora que la desigualdad a. < 11 A !J es imposible. Sea
Entonces,
11A11--z=t· > O.
cc. <ll All - + ·
Pero de aqui se deduce que cualquiera que i:ea <'l punto x se
cumplen las desigualdades
11 Ax ll
•
1 P
--¡¡x¡
1- ~a < :1 A1- 2
o bien
11 Lo igua ldad sup 11Ax11
11x1: < \
ltcl nd de A .
=- su p l~ A.< i\ . ~s e\'1dC11I<' d<•bido a la linea·
x..,~
J, x :I
238
CAJ>. IV. J'UNCION,\Ll!S L INEAi.!!$ Y
OP~RADO RES
Lll'!E.UES
es decir, 11A 11 no es Ja cota inferior de aquellos M para los cuales
1! Axll~M llx!IPor consiguiente,
:r AU=a.
3º. Suma y producto de operadores.
Déf1N1croN 1. Sean A y B dos operadores linea les que actúan del
espacio topológico lineal E en el espacio E,. La suma A +· B d<?
ellos es el operador C que pone en correspondencia al elemento
x E E el elemento
y= Ax -1-BxE E1·
Es íádl comprobar que C =A + B es un operador liriec1I,
continuo, si son continuos A y B. El campo de definición De
del operador C es la intersección D,i n C11 de los campos de
difinición de los operadores A y B.
Si E y E 1 son espacios normados y si los operadores A y B
son acotado,~, el operador C es también acotado y, además,
11C11 :;¡;; !i A l. -1- 11B11 ·
(3)
En efecto, para todo x
j¡Cxlf=lj Ax +Bxjj~ll
.4x ;! +ll Bx ¡J ~('.1 A li+llB llJ lfxl; ,
de donde se deduce (3).
DEF1N1c10N 2. Sean A y B dos operadores lineales. A actuando
del espacio E en E, y B actuando de E 1 en E,. Se llama producto BA de los operadores A y B al operador C que pone en
correspondencia al elemento x E E el elemento
z= B(A x)
de E,. El campo de definición De del operador C=BA se com·
pone de todos los x E D" tales que Ax E 0 8 . Está claro que el opt'rador C es lineal. Es continuo, si son continuos A y B.
Si A y B son operadores acotados que actúan en espacios
normado.~. el operador C = BA también es acotado y, adermís.
¡¡c ;¡ ~j!B:l·!IAU.
(4)
En efecto.
ll Cx ¡¡ = 11B(Ax) ll ~ilB11·
.1Axll~11B11· ,I A ll·llxll,
(5)
de donde se sigue (4).
La suma y el producto ele tres y más operadores se de-finen
sucesivamente. Amba,; operaciones son asociati vas.
S 5 . OPeRAOO RES LINEALES
239
El producto de un operador A por un número k (se denota con
kA) se define como el operador que pone en correspondencia al ele·
mento x el elemento k Ax.
El conjun to 2 (E, E 1) de lodos los operadores lineales con·
linuos, definidos en todo el espacio E, que transform an E en E,
(rlonde E y E, son dos espacios topológicos linea les fijos), forma
un espacio lineal respecto a las operaciones de ad ición y mulli·
plicación por números, definidas más arriba. Si E y E 1 son espacios normados, .!t'(E, E,) es también un espacio normado (con
la norma de operador que se ha delinido anteriormente).
llJ l!llCICIO. Sean E un espacio norm ndo y E 1 un espucio norm ado compl~to.
Eutoncrs, el espacio norma do Jf (E, E,) es completo. Si Ak E :E (E, E,)
"'
)' ~ 11A,1c 11 < oo ,
1• k
.
111 serie ~
Ak converge a un 0¡1erndor A E .!l (E, E 1) y
k• J
flAll=ll.~, A•ll..;;~i1 llA•ll •
(G)
4°. Operador inverso , inverslbllidad. Sea A un operador que
acllia de E en E, y sean DA el campo de definición y R.1 el
cam po de va lores de este operador.
0 1:r1N1c 10N . Un operador A se llama i1wersi/Jle, cuando para cualquier !JE RA la ecuación
Ax = y
1iene :.<>lución única.
Si A es ioversible, a cada y ER A se puede poner en corres·
pondencia un elemento único x E D,: que es la solución de la
ecuación Ax= y. El operador que realiza esta correspondencia se
llama inverso de A y se denota med iante A-•.
Un operador A-l, irwerso de 1111 operador li11eaf A.
lineal.
1wMos1·11i1c:ioN. Basta comprobar que se cumple 111 igualdad
(7)
A- 1 (a,y, +ox.u,) = o:,A- 1y 1 +o:. A-• y,.
Tl: OREMA 2.
1 11s f ambién
Pon¡¿amos Ax,= y, y Ax, = y,. Debido a k1 li nealidad de A,
tenemos
(8)
A (a 1x 1 +a.x,) = -:r.,y, +'"J.s!h ·
De acuerdo co n la defin ición de operador invC'ri;o,
A - 1 !J1 =x1 , A- 1y,= x,.
240
1'.AP . IV. F UNCIONALES LINEALES y OPl!RADORes LINE ALES
de donde, multiplicando estas igualdades por a, y ª•• respedi ·
vamente, y sumando, encontramos
a 1 A- 1 y1 +a,A - •y,= a 1x 1 +a,.1: 2 •
Por otro lado, de (8) y de la definición de operador inverso se
deduce que
<X1X1 +a,x, = A- 1 ("1Y1 +a,g1)
que junto con la igualdad anterior da
A- 1 (<XiY1 +a.y,)= a,A- 1y 1 + a,A -•y•.
TEOHl!MA. 3 (teorema de Banach sobre el operador inverso). Sea /\
w1 operador lineal acotado, que efectúa una tran.sformaciún
bltmluoca del espacio de Banach E sobre el espacio de Banach
1 E, . Entonces, el operador i11verso A - • e.s acotado.
1
Para demostrar este teorema es necesario el siguiente lema.
L:;."IA~
Sea M tm conjunto siempre denso de u11 espacio de Ba11ad 1
E. E111onces, todo elenumto 110 nulo y E E se puede desarrollar
Ctl una serie
y- !11 + !I" + ... + lj,. +
donde !lk E M e
11
y • 1¡..;::
1.JWL
. '""" 2"
. . ..
.
oe.,1osrnl\c.;10N. Construimos la sucesión de elemeillO.> Yk rle l siguien te modo: e~ogcmos y, de manera que sea
lly-y, ¡,-'. 11 ~ .1 •
(!>}
lo cual es posible, ya que la desigualdad (9) define una esfera
de radio
y centro en el punto y, dentro de la cual debe existir un elemento de M (M es siempre denso en E). Escojamos
y,EM de manera que )/Y-!!i-Y. I~ < 11~ 11 , Yo de manera que
llfll
lly-y,-y,-y,11< ll ~ll y, en general, escojamos Yn de manera
que Uy-y,- ... -yn ll~ 11i,.". Tal selección es siempre posible,
ya que M es siempre denso c-n E. De acuerdo con la elección
de los elementos y":
lv-á\ v~ll- o
para 11 -·oo,
j $.
OPBRADORES l.INl!ALBS
241
..
esto es, la serie ~ !11: converge hacia y. Estimemos las normas
- Cl
de los elementos y":
i1Ydl=llu.-u+u11:s;;;; 11u.-u ll+llull= 31 ~1111 •
il y, 11= llu. + Y1-Y+ y- y, 11:s;;;; ll u-y.--Y.ll+llu-y,p:s;;;; 311¡ 11 •
Finalmente,
ll u,,11= ll Yn+Yn-1+ · · · +11i-y+y-y.- · · · -y,, - lll ~
~Jl y-y.-. ··-y,. li +liY-!11-· ··-y,,_, 11~ 3 1~~fl
·
El lema queda demostrado.
Consideremos en el espacio E, los
conjuntos M., donde M. es la totalidad de los y y que satisfa·
ccn la desigualdad JI A- 1y11:s;;;; k11 y ll· Todo elemento del espacio
l>l!MOSTRACION OEL TEORl!MA 3.
E, se encuentra en cierto M •• es Jecir, E, =
..
UM •. De acuerdo
k=I
<11 teorema de Baire sobre las categorías (cap. 11 , § 3, punto 3°),
al menos uno de los conjuntos M •• digamos M,,. es denso en
una bola 8 0 • Consideremos dentro de la bola 8 0 una capa esfé·
rica P, l~to es, el conjunto de punlos z, para los cuales se cumple
la desigualdacl
donde
0 < ~ , · a, !!oEM,,.
Trasladando paralelamente la capa esférica P de manera que
su centro coincida con el origen de coordenadas, obtendremos la
capa esférica P•.
Probemos que en P 0 es demo un conjunto Mx. Sea z E P n M,,:
entonces, z- y0 EP0 y
11
A- • (z-y.)/I :s;;;; nA-'z li+ I! A-'u.11 :s;;;; 11 ()/ z 1!+ H u.JI) ~
1111 11
~ n ( !I z-11011+2llYo11 ) ·-"' n I, z-y. I, ( 1 _;_ 112'Z-!lo
" n ,\1 ~
1.
~11111-y"1•1(\ 1...:...' 2 11 ~11• 11 i\ . (IOJ
....,,,
j
211
La magnitud n ( 1-t ~· I' no depende de z. Tomemos
211
N ~ 1+ [ 1+
En tonce,;, clebido a (10). i - 11 E M s y
:•!1 ].
0
242
CAP. I V. fUNC:!ONi\LF.S ~lNEALES Y OPERADORES LIN EALES
e.orno M,, es denso en P, M,v será denso en P 0 • Consideremos un
elemento y arbitrario no nulo de E,. Siempre se puede escoger A
de manera que sea ~ < ¡I >.y ¡1, < a, es decir, que J,y E-P 0 • Puesto
que M,v es denso en P"' se puede construir una sucesión Yk E M .v
convergente hacia ~-Y· Entonces, la sucesión
converge hacia !f·
-}yk
Es evidente que si y" E M,..,, también -} Yk E MN para cualqukr
número real í. :;ó: O; por consigu iente, MN es rlenso en E,'·, (O) y.
por esto, también en E,.
Consideremos un elemento no nulo y E E,; de acuerdo con el
lema, puede ser desarrollado en una serie de elementos de M,v:
u=.11i +u.+ . .. + 'lh+. · .•
siendo
ll tlkU < 31 ~~ 11 .
Consideremos en el espacio T; la serie formada por las imáge·
nes recíprocas de los elementos y,., es decir, por elementos
xk "" A-'!lk·
.
Esta serie converge a un elemento x, ya que tiene
desigualdad
l[x
11
xA
U= 11
A-'Y•
"'
"'
ll< ,L1i
x1t!1<3N llY ll _L.
k=l
..
k= l
11 <
!
k
2
N JI !lk 11
<
N
3
lu~ar
la
~; ll ; además,
,=3 NJlylJ.
Como la serie ~ x,, converge y el operador A es continuo. ~
11-=:;f
puede aplicar A a esta serie térm ino por término. Obtendremos
Ax = Ax,+ Ax,+ . . . =y,+ y,+ ... = f/,
de donde x =A - •y. Además,
11A-'yll= llxll~ 3Nllyll
y como esta estimación es válida para cualquier y :;ó: O, el opera·
dor A - 1 es acotado. El teorema queda demostrado.
E:JERCICIOS. l. Sean E, E, dos espucios normados. Un operador l ineal A.
que actúa de E en E\, con el campo de definíción DAEE , •~llama cerrado,
cuando de las condiciones xnEDA, Xn--. x, Axn -·Y se ded uce que xED,i r
Ax=y. Compruébese que todo operador acolado es cerrado. Consid~remos el
producto directo ExE 1 de los espacios E ~· E,, esto es, el espacio lin~nl
normado. compuesto de lodos los pares posibles lx. y¡, donde xEE. yEE ,.
con la norma llfx, yJll=!lxll+llu ll, {mediante 11·11 desi!(namos la norm a
en E y medianle ll· 11 1• la norma en E 1 ). Se puede poner en correspondenci a al
operador A el conjunto 0,i = t[x, y):xEDA, g=Ax} e: Ex E,, qut> se d P.llO·
mina gráfico del operador. Compruébese que G,i es un conjunto lineal de
E XE 1 que !'S cerrndo cunndo, y sólo cuando, el op•rnd<lr A es cerrado.
§ 5. OPEllAOOTU'.S LINEALES
Dem uestresc que si E y E 1 son espacios de Ba11ac/1 y si el operador A estti
definid(¡ en todo E y es cerrado, es ac-01ado ( lcoremrz de Banacll sobre el grd·
fice rerrado).
i>ugere11cia. ;\p!iquese el leorema 3 al operador P:{x. Axf - x que aclúa
de G.4 en E.
2. Demuéstrese que siendo A un operador lineal continuo que lransformn
biunívocamente un espacio completo normado numerable E sobre un espacio
completo normado numerable E 1 , el operador inverso A- 1 es continuo.
Enúnciese y demuéstrese el teorema sobre el gráfico cerrado para el caso de
esp~cios normados numerables.
TIWREMA ~.
Sea A 0 un operador lineal acotado que transforma wi
espacio de Banach E SIJbre otro espacio de Banach E 1 y qui; tiene
el inverso awtado A¡; 1 y sea óA un operador lineal acotadO que
f ra11sforma E en E1 y tal que 11óA11 < 11 ~;;• . Entonces, el ope·
radar A= A ,+ l\ A transforma E sofire E, !J tiene in'f.Jerso acotado.
1>r:MOSTf~Ac10:-1. Fijemos un elemento cualquiera y E E, y conside·
remos la aplicación B del espacio E en sí mismo, definida me·
<liante la fórmula
De la condición 11 AA11 < lf .4- ~ 11-i, se deduce que la aplicación B
contraída. Puesto que E es completo, existe un único punto
fijo x de la aplicación B
~
x=Bx = A~" y - .4;'~
de donde
Ax~A 0 x +~\
Ax.
Ax = y.
Si Ax'= y, también x' será un punto fijo de la aplicación B.
de manera que x' ~ x . Por consiguiente, para todo 11E E, la
ecuación Ax = y tiene en E una solución única, esto es, el operador A tiene inverso A - 1 • En vista del teorema 3, el operador
A-• es acotado, que es lo que se quería demostrar.
T!;OR D 111 s. Sean E un espacio de Banach, J el operador unid~t
de E !! A un operador lineal acotaAo que aplica E en si mi.~mo
y tat qu.e l!A ll< L Entonces, el operaAor (/-A)- 1 existe, es
1 acotarlo y represéntase en la f arma
(11)
1
La existencia y acotación del operador (/ - A)- 1
se desprende del teorema 4 (además, esto se desprende también
DEMUSTRACloN.
del razonamiento que signe). Como 11A 11
<
I, knemos k~ll A"ll ~
244
CAP. IV. FUNCIONALES LINEALES Y
OPERADO~ES
~k~ll A W< oo. El espacio E es completo
LINEALt::S
y por eso de la con-
f 11Ak11 se deduce que la suma de la serie
k°':u
~ Ak representa un operador lineal acotado. Para un 11 cualk;O
quiera tenemos
vergencia de la serie
n
n
k~
~o
(/-A)">'. Ak = "'S~N'(J-A)= J-A"+ 1 ;
pasando al límite para ri - • oo y lomando en consideración que
11A 11 + •ll ~11A11 11 + 1 --.. O, encontramos
(1-A)~Ak= )"Ak(l-A)=I,
11~
t:o
de donde
"'
(1-A)-• --~/lk,
que es Jo que queríamos demostrar.
EJERCICIO. Sea A un operador linea l acotado que aplic" un t•s¡iacio d~
Banach E sobre un espacio de a~nach E, . o~muéstrese que existe una COllS·
tantea> O tal que si B~S (E, E 1} y 11A - B11 <ex, d operador IJ aplic11
E sobre tod<J el espacio f. 1 (Banach).
5°. Ope.radores conjugados. Consideremos un operador lineal
continuo y= Ax que aplica un espacio lineal topológico E en otro
espacio E 1 del mismo tipo. Sea g una runcional lineal continua
definida sobre E" esto es, g E E~. Apliquemos la funcional g al
elemento y= Ax; es fácil comprobar que g(Ax) es una funcional
linear continua definida en E; denotémosla con f. La funcional fes,
de esta forma, un elemento del espacio .E". Hemos asignado a
cada funcional g E E; una funcional f E E*, es decir, hemos obteni.do un operador que aplica E~ en E*. Este operador se llama
có11jugado del operador A y se designa mediante A*.
Denotando la funcional f mediante (f, x), tendremos
(g, Ax)= (f. x) o
(g, Ax)= (A"g, x).
Esta relación se puede tomar por defi nición del operador
conjugado.
Ejemplo. El operador conjugado en urt espacio de dimensión
finita. Supóngamos que un operador A aplica un espacio E"
(n-dimensional) en un espacio E'4 (m-dimensional) y sea (a¡¡) la
matriz rle este operador.
§ 5. OPl!RADORE!. LINEAi.ES
245
La aplicación y= Ax se puede representar mediante el sistema
de igualdades
Y;=~a 11x;.
i =l ,2, ... ,m
y la funcional f, (x) en la forma
n
f (x) = ""')°' f¡X¡.
,1:'t
De la igualdad
m
f (x)=g(Ax)= ~1g¡y¡ =
Ri~1g.f:t;¡X¡=~x1 ~ g,a11,
m
.:_¡,
n
"'
m
tendremos f 1 = ")"'g1a11. Como f = A*g, de aquí se deduce que el
/~
operador A* se define mediante la rnatriz traspuesta de la matriz
del operador A.
Las siguiente.~ propiedades de operadores conjugados siguen
directamente de la defin ición.
l. El operador A• es lineal.
2. (A +B)* = A"'+B*.
3. Si k es un número complejo, (kA)* = /~A~.
Menos evidente es el siguiente resultado.
s. El operador A*, conjugado a un operador lineal acotado A que aplica w~ B-espacío E e11 w1 B-espacio E,, es tam 1 bién acotado y
TEOR EMA
llA*ll=llAll.
oEMOSTR ActoN. En virtud de las propiedades de la norma de un
operador, tenemos
de donde
l(A*g, x)l= l(g, Ax)l~Ugll·llAll·llxll,
llA*g!l :;:;;;ll All·llgll; por consiguiente,
llA"ll~llAll .
( 12)
Sea x EE y Ax * O; tomemos y0 = ~; , EE,; es obvio que
11Yo11 = l. De acuerdo con el torolario del teorema de Hahn Banach, existe una func ional !J, tal que 11 g ll = 1 y (g0 , Yo) =--= 1,
1 1
i:s decir, tal que (g, Ax) =
UAxll ·~¡(g,
Ax)l= l(A*g,
11Ax11·
De las relaciones
x)l~11A*gl!·llxll:;:;;;
:;:;;; 11 A· ll·!lgll·Uxll =ll A* ll·llxll
obtenemos
11A I! ~ 11A*11,
lo que, junto con la desig ualdad (12), da
246
CAi'. IV, FVNCIONALCS LINEALES Y OPERAOOllF.S LINE \LES
0
llA•Jl=llAll.
El teorema queda demostrado.
6.,. Operador conjugado en un espacio euclídeo. Operadores
autoconjugados. Consideremos el caso, cuando A es un operador
acolado que actúa en un espacio de Hilbert H (real o complejo).
De acuerdo con el teorema sobre la expresión general de una
funcional lineal continua en un espacio de Hilberl, la aplicación
T que a cada !I EH asigna la funcional lineal
(i:y) (x) = (x. y)
e~ un i$01ílOrfisrno (o un isomorfismo conjugado, cuando H es
complejo) del espacio H sobre lodo el espacio dual H*. Sea A*
el operador conjugado del operador A. Es tá claro que la aplicac ión )i• ,,_.., 't - •A•-. representa un operador lineal llCO!adoque actúa
en H: es fáci l ver que para cualesquiera y EH
(Ax, y}= (x, Á*y).
Como UA* ll = 11 A11 y las aplicaciones -r y T- 1 son isométricas,
tenemos lj A* 11=11 A11·
Todo o expuesto lln\eriormente para un espacio de Hilbert,
es válido también, por supuesto. para un espacio euclídeo (real
o complejo) ele dimensión íinita.
Tomemos el siguiente acuerdo. Siendo R un espacio euclídeo
(de dimensión finita o infinita), llamaremos operador conjugado
del operador A. que llclúa en R. al operador A-·. definido m á~
arriba, que actúa en el mismo espacio R.
Es preciso subrayar que esta definición d i f i e re de la deíinición de operador conjugado en un espacio arbitrario de Banach E.
de acuerdo con Ja cual el operador conjugado A• actúa en el
espacio dual E*. A veces, el operador .4•, en diferencia del operador A•, se denomina conjugado de Hermite. Para no complicar
la lerminología ni las denotaciones, en lo que sigue escribiremos
A• en lugar de A'" y llamaremos este operador co11jugado, teniendo
en cuenta, sin embargo, que en el caso de un espacio euclídeo el
concepto de operador conjugado se comprenderá siempre tal como
ha sido enunciado en esta sección.
Está claro, que en un espacio euclídeo R el operador conjugado de A se puede definir como un operador que para todos
.t·, y E R verifica la igualdad
(Ax, y)= (x, A•y).
Puesto que en el caso de nn e$pacio euclídeo los operadores A y
S S. OPERADORES LINEALES
247
A• actúan en un mismo espacio, puede tener lugar la igualdad
A= A*. Hagamos la siguiente definición que destaca una clase
importante de operadores en un espacio euclídeo (en particular,
de Hilbert).
oe.1' 1N 1c10N. Un operador lineal acolado que actúa en un espacio
euclídeo R se llama autoconjugado, cuando A= A*, es decir,
cuando
(Ax, y)= (x, Ay)
para todos los .1: , YE R.
Señalemos la siguiente propiedad importante del operador A*
conjugado a un operador A que actúa en un espacio eUclíde0 R.
Un subespacio R, del espacio R se llama invariante respecto al
operador A , cuando de xER1 se deduce que AxER,. Si el subespacio R 1 es írwariante respecto de A, su complemento ortogonal R f es invariante respecto de A*. En efecto, si y E Rf, tenernos para lodo xER,
(x, A*y) =(Ax. y)= O,
ya que Ax E R,. En particular, si .4 es un operador autoconjugado,
el complemento ortogonal de cualquier sube.spacio invariante ~uyo
es invariante respecto de A.
EJERCICIO. Demuéstrese que siendo A y B dos operadores linenles acol• ·
dos "" un espacio euclídeo, se veriiican las igunldade~
(a.A +~B}* =aA • + ~B•.
(AB)"=(B•A*),
(A*)*=A,
t•=
J (1 es
~I
operador unido<!).
7°. Espectro de un operador. Resolvente''. En la teoría de
los operadores y en sus aplicaciones desempeña un papel primordial el concepto de espectro de un operador. Recordemos primero
este concepto para el caso de operadores en un espacio de dimensión finita .
Sea A un operador lim'al en el espacio n·dimensional P. El
número }. se llama valor propio del operador A, cuando la ecuación
Ax = ?.x
tiene soluciones no nu las. El conjunto de todos los valores propios se denomina espectro del operador A y todos los demás valores ele }, se llaman regulares. En otras palabras, ~. es un punto
" S iempre que se ha ble del esp¡,clro de
el opern dor actúa en un espncio comp lejo.
1111
operador, consirl•rn111os q ue
248
CAP . IV. FUNCIONA LES LINEA LES Y OPERADO RES LINEALE S
regular, cuando el operador (A-U) es invertible. Ademas, el
operador (A- 1.l)- •. como todo operador en un espacio de dimensión finita, es acota do. Por consiguiente, en un espacio de dimensión finita existen dos posibilidades:
1) la ecuación Ax ""' i..x tiene solución no nula, es decir, A. es
un valor propio de A ; en este caso el operador (A-A./)- 1 no
existe;
2) existe el operador acolado (A - A/)-•, esto es,}, es un punto
regular.
En el caso de dimensión infinita puede darse una tercera
posibilidad, a saber:
3) el operador (A-i.1)- 1 existe, es decir, la ecuación A x=l,x
tiene solamente solución nula, pero este operador no es acotado.
Introduzcamos la terminología siguiente. El número J. se
llama regular para el operador A, que actúa en un espacio E
(complejo) topológico lineal, cuando el operador (A-A.1) - 1 , llamado resoluente del operador A, está def inldo en todo el E y es
continuo. El conjunto de todos Jos <lemas valores de A. se llama
espectro del operador A. Al espectro pertenecen todos los valores
propios del operador A, ya que, si (A-A./)x = O para un x:,= O,
no existe (A-;..1)- 1 • El conjunto de ellos se llama espectro pu11tual. La parte restante del espectro, es decir, el conjunto de
valores de A parn los cua les (A-A.1)- 1 existe, pero no es continuo, se llama espectro continuo. De manera que cada valor de ¡,
es para el operador A o bien regular, o bien va lor propio, o bien
punto del espectro cont inuo. La posibilidad de que un operador
tenga espectro continuo es lo que distingue de un modo substancial la teoría de operadores en un espacio de di mensión infinita
del caso de dimensión finita .
Sea A un operador que actúa en un E-espacio. Si el punto J.
es regular, es decir, el operador (A-J.1)- 1 existe y es acotado,
para un 6 suficientemente pequeño el operador (A-(A.+6) 1) - 1
también existe y es acotado (teorema 4). es decir, el punto A.+6
es también regular. Por consigµi enle, los puntos regulares constltu!fen un conjunto abierto. Es decir, el espectro, esto es, el complemento de este conjunto, es un oonjunto cerrado.
TEOREMA 1. Si A es un operador lineal acotado e11 un espacio de
1 Banach y si ! 1. ¡ > 11 A11· i. es un punto regular.
DEMOSTRACION. Como, evidentemente,
tenemos
(A-"'1) = -A.
1 (
(i- f A)
A
R, = (A-i..1)- 1 = --¡: /-T
)-1 =
J
- y
~... A"
_L.
A.*.
Oc k
§ 5. OPERADORES LINEALES
2~9
Para 11 A 11 < 11. ¡, esta serie C011verge (véase el teorema 5), es decir, el operador A - A./ tiene in verso acotado. En otras palabras,
el espectro del operador A está con tenido en el círculo de radio
11 A 11 con centro en el cero.
~jcmplo. Consideremos en el espacio Ceo. 1¡ el operador A de·
finido med iante la fórmu la
Ax (t) = ~l (t) x (!),
donde µ(t) es una función continua fija. Tenemos
(A-A./) X(/)=(µ (t)- >.)X (t),
de donde
-
1
(A -H) 'x(t)=¡<(t) - >. x(t).
E l espectro del operador considerado A se compone de todos
los ?.. tales que ~l (t)-J... se anu la para cierto t. comprendido
entre O y 1, es decir, el espectro coincide con el conjunto de
todos los valores de la función µ (l) sobre el segmento (O, Jj. Por
ejemplo, si µ (t) = /. el espectro represen ta el segmento [O, 1J
y no hay valores propios, es decir , el operador de multiplicación
por / representa un ejemplo de operador con espectro puramente
continuo.
Observaciones. ( 1) Todo operador lineal acolado, definido en un espac io
de Bancch completo. que tiene al men os un el emento diferente de cero, tiene
~spect ro no v acío . Existen operadores , c uyo e spectro se compone de un solo
punto (por ej emp lo, e l operador de mu ltiplicación por un número).
(2). Se puede precisar el teorema 7 del siguiente modo. Sen
r-
lim
V"UAnll
(se puede demostrar que este limite existe cualqu iera que sea el operndor
acotado A); entonces. el espectro del operador A se e ncuentra íntegramen te
dentro de[ círculo de radio r y centro en el cero. El número r se llnmu
rodio espectral del operador A .
(3) . Los o peradores reso l ven tes R.,. y R~. corres pon dien tes a los puntos
µ y 1., conmutan y sat isfacen In re lación
R.,.-R~ ~C 1•- >-) R.,.R~
que se puede comprobar fác ilmente multiplicando ambos miembros de esta
igualdo d por
(A -J../) (A -111).
De aqul se deduce que, siendo At un punto regular de A. la derivad:i de
R~ respecto a '- en '--110 , es decir, e l límite
lim
R.,_.. + 3 -I~ - R-l ••
ai.- o
at..
existe (en el sentido de con vergencia segun In norma de operador) y es
igual a Rl_.
250
CAP. IV. Fl.:NCIONAl.ES LIN EAi.ES Y OPEl<AOORES t..JNllA LES
f.Jl\f<Cl:-10. Se.~ A un operador autoconjug~do y 3Colado en un. espacio
comple¡o de Hilberl H. Demuéstrese que su espectro es un s11béon¡unto ce-
rrndo y acotado del eje real.
§ 6.
OP~R¡\OORES TOTALMENTE CONTINUOS
1°. Definición y ejemplos de operadores totalmente continuos.
Una clase de operadores, que se aproxima por sus propiedades a
la clase de operadores que actúan en espacios de dimensión finita
y que, al mismo tiempo, es muy importante desde el punto de
vista de las aplicaciones, es la clase formada por los así llamados operadores totalmente contínuos. Estudiaremos ahora las
propiedades pri ncipales de estos operadort:$, limitándonos al caso
de espacio de Banach.
DEFI N1c10N. Un operador A que aplica el espacio <le Banach E
en sí mismo se llama totalmente continuo, cuando transforma
cada conjunto acotado en uno relativamente compacto.
En un espacip normado de dimensión finita, todo operador
lineal es totalmente continuo, ya que transforma cualquier conjunto acotado en otro, acotado también, y en un espacio de dimensión finita todo conjunto acotado es relativamente compacto.
En un espacio de dimensión infinita la continuidad total
de un operador es un requerimiento más ruerte que su continuidad simple (es decir, que la acotación). Por ejemplo, el operador
unidad en el espacio de Hilbert es continuo, pero no totalmente
continuo. (Demuéstrese esto independientemente del ejemplo 1 que
se considera a continuación).
Veamos algunos ejemplos.
1. Sea I el operador unidad en un espacio de Banach E.
-Prob~mos que siendo E de dimensión infini.ta, el operador l no
es totalmente continuo. Para ello bastará, evidentemente, demostrar que la bola unitaria de E (que, por supuesto, se transforma
mediante el operador J en sí misma) no es compacta. Esto, a su
vez, se desprende del siguiente lema que nos hará falta también
en lo sucesivo.
Sean x,. x,, ... vectores linealmente independientes de un
espacio normad.-0 E y sea E,, el subespaclo generad-O por los vectores xt> ... , x.,. Entonces, existe una sucesión de oeciore.~
y,. . .. , !In que satisface las siguientes condiciones:
1.l!MA .
1) llY11ll ~" 1 ;
2) Yn EEn;
1
3) p(.1¡,.. En- 1>>2
§
6. OPERADORES TOTAi.MENTE CONTINUOS
251
(aquí p (ynEn_,) es la distancia del vector Yn hasta En-•• es decir,
irif lly,,- xll).
.rel!íl.- 1.
DE~\OSTRAc10N.
En efecto, como los vectores x., x 2 , ••. son lineal·
mente independientes, teri.emos x,.EE,, _, y p(xn• En_ 1) =:o a. >O.
Sea .'(" un vector de E._ 1 tal que 11Xn-x• 11 <2-:x. Entonces,
p (x,, - x', En_ 1 )=a. y el vector
Xn-x•
Yn
Ux,.-x•J¡
satisface todas las condiciones l), 2) y 3). Por y, se puede tomar
:: . El lema queda demostrado.
.
11
~mpleando este lema, se puede construir en Ja bola unitaria
de cualquier espacio normado de dimensión infinita una :;ucesión
de vectores {y,,} para la cual p (Yn-•• y,,)>}. Est<Í claro que
esta sucesión no puede contener ninguna subsucesión convergente.
Esto signifü:a precisamente que no hay compacidad.
2. Sea A un operador lineal continuo que transforma un e.~pacio
de Banach E en un subespacio suyo de dimensión finita. Este
operador es totalmente continuo, ya que transforma lodo subconjunto acotado Me E en un subconjunto acotado de un e:;pacio
de dimensión finita. es decir, en un conjunto relalivamente
compacto.
En particular, en un espacio de Hilbert el operador de prOyl!C·
ción ortogonal sobre un subespacio es totalmente continuo cuanclo,
y sólo cuando, este subespacio tiene dimensión finita.
U n operador que transforma un espacio de Banach E en un
subespacio de dimensión finita se llama dege11erado.
3. Consideremos en el espacio l, el operador A defini do del
s i ~u i en le modo: si x=(x,, x:• ... , ,>; 11 , • • • ), entonces,
1
1
\
Ax= ( x,. -2 x., ... , -/! x,,, ... , J •
(l)
Este operador es totalmente continuo. En efecto, como todo conjunto acotado de 1, está contenido en alguna bola de este espacio, basta demostrar que las imágenes de las bolas son relativamente compactas; debido a la linealidad del operador. basta
comprobar esto para la bola unitaria. Pero el operador (1) transforma Ja bola unitaria del espacio l~ en el conjunto de puntos
que satisfacen la condición
~ n1 x~~ 1
y la compa<:idad de este conjunto ha sido demostrada ya
cap. 11, § 7.
1.'fl
el
252
CAP. IV. FUNCI ON,\LES LINEALES Y OPERADORES l.tNEA!.ES
EJERCICIO. Sea Ax= (a1x 1, a 2x,. ... , anxn • .. . ); ¿qué condiciones debe
cumplir Ja sucesión de números a 1• a,, ... para que este operador sea to·
talmente continuo en / 2 ?
4. En el espacio de funciones continuas C10• bJ• forman una
clase importante de operadores totalmente continuos los operadores que pueden representarse en la forma
b
Ax=y(s)= ~J((s, t)x(t)dt .
(2)
o
Probemos la validez de la siguiente proposición: si la función
!} es acotada sabre el cuadrado a< s
b, a< t b y todos
sus puntos de discontinuidad se encuentran en un t1úmero f inilo
de curvas
t=cpk(s), k=1 , 2, . .. , n,
<
K (s,
<
dónde 'Pk son. f u11cio11es continuas, la fórmula (2) define en el
espacio Cia. bJ un operador totalmente continuo.
En efecto, observemos, ante todo, que en las condiciones se-
ñaladas la integral (2) existe para cualquier s del segmento
es decir, la función y (s) está definida. Sea ahora
M=
sup
fa, bJ,
1K (s, t ) 1
t1 ~ $, L~ b
y sea G el conjunto de puntos (s, t) en los cuales se cumple, al
menos para un k = 1, 2, . .. , n, la desigualdad
1t
- cpk (s) 1 < WMñ ·
&
Sea F el complemento del conjunto O respecto al cuadrado a< s,
t < b. Como F es compacto y la función K (s, t) es continua
sobre F, existe un &> O tal que
JK
(s' , t) -K (s", t) 1< 3 (ó~a)
para c.ualesquiera dos puntos (s', t), (s", t) de F que satisfacen la
condición
ls' - s" I < &.
(3)
Estimemos la diferencia y (s') - y (s') admitiendo que s' y s· satisfacen Ja condición (3). Tenemos
b
< ~ IK(s' , t)-K(s", t) ¡¡ x (t )jdf ¡;
1y(s')-y(s") 1
a
~ U.
OPER/\DOJ~ES
TOTAL"IENTE CONTINUOS
253
para evaluar la integral que figura en el miembro derecho, dividamos el segmento de integración [a, b] en dos partes: la unión
de intervalos
n
U[{t:
lt-q¡k(s')l <
k~ •
12~n}u{t:
lt-cpk(s•)j< 12 ~ 11 }].
que denotaremos mediante P, y la parte restante del segmento
[a, b] que denotaremos mediante Q. Observando que P es la unión
de intervalos tales que la suma de sus longitudes no pa!\3 de ~ ;
3
obtenemos
SIK(s', t)-K(s", t) l l x(t)jdt <~ llxll.
p
La integral sobre Q admite, obviamente, la estimación
.\ I K(s', t)-K(s", t) j jx (t) ldt < f ll x ll.
Q
Por cousiguiente,
< eux 11.
IY(s')-y(s") 1
(4)
La desigualdad (4) muestra que la función y (s) es continua,
es decir, la fórmula (2) define. en efecto, un operador que transforma el espacio C1,., bl en si mismo. Además, se ve de la misma
desigualdad que, siendo {x (t)} un conjunto acotado de Cea. bJ• el
conjunto correspondiente lY (s}} es equicontinuo. Finalmente, si
11X 11 ~ C, tenemos
b
ll Yli=sup
ly(s)l~ sup ~ I K(s,
t )l
a
l x(t) l dt~M(b-a) Uxll.
De manera que el operador (2) transforma todo conjunto acotado de C¡a , 6i en un conjunto de funciones equiacotado y equicon tinu o, es decir, relativamente compacto.
4a. La exigencia de que los puntos de discontinuidad de la
función K (s, /) se encuentren sobre un número finito de curvas
que intersectan las rectas s = const en un solo punto, es substancial. Sea, por ejemplo,
1 para
K(s, t )= {
s < 21 ,
1
0 para s ;;;. 2 ;
254
CAP. IV . FUNCIONALES LINEAi.ES V OPeRAOOl!l!S LINEALcS
el operador (2) con este núcleo, que está definido sobre el cuadrado
O~ s. t ~ 1 y que tiene por puntos rle discontinuidad · lodo el
segmento s = ~ . O~ l :::;;; 1, transforma la función x (t) =O en
una función discontinua.
4b. Si se toma K (s, t) =U para 1 > s, el o~rador (2\ obtiene
la forma
•
y(s)=~K (s. t)x(t)dl.
(5)
D
Adm itiremos que la función K (s, t) es continua para 1 < s; entonces, de lo dicho en el ejemplo 4 se deduce que el operador (5)
es totalmente continuo en e,•. bl·
Este operador se llama operador de Vol/erra"·
Observación. Con la definición que hemos adoptado de opera·
dor totalmente continuo puede resultar que la imagen de la bola
unitaria cerrada no sea compacta (aunque es relativamente compacta). En efecto, consideremos en el esvacio C¡- 1. 11 el operador
rle integración
(Jx)(s) =
'
) x (/) dt;
1
según hemos demostrado más arriba, J
continuo en Cr - 1.1 1• Tomemos
x,, (t) =
f
o
En este caso, x.EGr-1.
I]>
para
*
,
~
O< t:::;;;
~ <t
l.
nx. 11 = 1 para
O
!l.(t)=(Jx.)(t)=
un operador totalmente
para - l ~ t :S;; O,
rtl para
11
e~
{
lodos los ne
par:i -1 ~ t ~O,
~nt'para
1
t-2;;
O<t:::;;;~,
1
para -;;:
< l ~ l.
Está claro que la sucesión lY,,} converge en C1_ 1.
J O para - 1 ~ t ~ O,
Y (l) = \ t para
O.,¡;;,; t ~ 1,
11 Vit to Vollerra, matemático italiano.
Análisis Funcional y Ecuaciones lntegrn les.
3utor
de
11
a la funrión
vsrias
obrns sobre
§ 5, OPeRADORCS TOTAL,\\ENTE CONTINUOS
25S
que no es imagen (en la aplicación /) de ninguna función de
C1-1. 1¡. ya que la función y' (l) es discontinua.
Sin embargo, se puede demostrar que si el espacio es reflexivo
(por ejemplo, de Hilbert) la irnag~n de la bola unitaria cerrada
por una aplicación linea l totalmente continua es un compacto
(para la demostración hay que valerse del resultado del ejercicio
del punto 6 del § 2).
2". Propiedades principales de operadores totalmente continuos.
TtOl!EMA 1. Si {A,,} es una sucesión de operadores total.menté ron·
li11uos en un espacio de Banach E que converge, según fa f!Qrma,
1 a utt operador A, el operador A es también totalmerife continuo.
oeMOSTR Ac10N. Para probar Ja continuidad total del operador 'A
bastará probar que cualquiera que sea la sucesión acotada x.,
x,, ... , :<,, , . . . de elementos de E (JI x,, 11 ~ C), se puede extraer
de la sucesión {Ax,,} una subsucesión convergente.
Como el operador A, es totalmente continuo, de la sucesión
IA,x,,) se puede extraer una subsucesión convergente. &a
(6)
una sucesión tal que ¡A ,xl,"} converge. Consideremos ahora la
sucesión {A.,xJ.1>}. De ella podemos también extraer una subsucesión convergente. Sea
tal subsucesión de la sucesión (6) que {A,x),'>} converge. Es evi·
dente, entonces, que {A,x'."I también converge. Razonando <le
un modo análogo, escojamos de la sucesión {xA"} una subsucesión
tal que lAaxJ."} converge, etc. Tomemos después la sucesión diagonal
Cada uno de los operadores .4,. A., ... , A,., . . . transforma
esta sucesión en una convergente. Probemos que Ja sucesión {A~}
también converge. Con ello quedará demostrada la continuidad
total de A. Como el espacio E es completo, bastará demostrar
que {Ax~ni¡ es una sucesión fundamental. Tenemos
+
11Ax~tt' -Ax:;:"JI~ 11 Ax~"> -A,..x~·· 11
+11 Akx~"- A~x~'11 +11A.-x~~>-Ax~"11 ·
(7)
Esco jamos primero k de manera que llA-A. 11< 3cc y después
busquemos un N tal que para todos los n > N y m > N se cumpla
256
CAP . !V. FUNCIONA LES LINEALES Y OPERADORES LIN!BLES
Ja relación
11
Akx~" - A,..~:::·>u
<t
(esto es posible, ya que la sucesión {Akx},"'} converge). En estas
condiciones, obtenemos de (7) que
U Ax~"'-Ax::i'' 11
<e
para todos los n y m suficientemente grandes. El teorema queda
demostrado.
Es fác il comprobar que una combinación lineal de operadores
totalmente continuos es de nuevo un operador totalmente continuo. Por consiguiente, los operadores totalmente continuos forman, en el espacio ~(E, E) de todos los operadores lineales acotados, definidos en E. un subespacio lineal cerrado.
Veamos ahora si el conjunto de operadores totalmente continuos está cerrado respecto a la operación de multiplicación de
operadores. Resulta que en este orden es válida una afirmación
substancialmente. más profunda.
TEOR~M., z. Si A es un operador totalmente continuo y B un Opl'·
1 rador acotado, los operadores AB y BA son totalmente continuo;.
neMOSTRActoz.>. Si el conjunto McE es acotado, BM también
es acotado. Por consiguiente, .4BM es relativamente compacto y
esto significa precisamente que el operador AB es totalmente
continuo. Además, si M es acotado, tenemos que AM es relativamente compacto y. debido a la continuidad de B, el conjunto
BAM resulta también relativamente compacto, es decir, el ope·
rador BA es to ta !mente continuo. E 1 teorema queda demostrado.
COROLARIO. En un espacío E de dimensión infinita u11 operador
totalmente continuo no puede tener un inverso acotado.
En efecto, en el caso contrario, el operador unidad I =A - >A
sería totalmente continuo en E. lo cual es imposible (véase el
ejemplo 1).
Obsery~ción. El teorema 2 indica que los operadores totalmente conl i·
nuos forman en el anillo de todos los operadores acotados :X: (E, E} un
ideal bi.laleral "·
TEOREMA s. El operador conjugado a un operador totalmente con·
1 tinuo es totalmente continWJ.
DEMOSTRActoN. Sea A un operador totalmente continuo en un
espacio de Banach E. Probemos que el operador conjugado A*,
1>
aE'X
Un ideal (bi lateral) de un ani l lo R es un subanillo
rER. se tiene arE~ y raE~
y
V{ tul que, si
§
6. OPl!RADORES TOTALMBNTE CONTINUOS
257
que actúa en E • . transforma cada subconj unto acotado .d e E* en
uno relativamente compacto. Como todo subconj1mto acotado de un
espacio normado se encuentra en una bola, bastará demostrár
que A* trart.Sforma cada bola en un conjunto relativamente compacto. Debido a la linealidad del operador A•, es suficien't e de·
mostrar que la imagen A•s• de la bola unitaria cerrada S*c.E•
es relativamente compacta.
Consideremos los elementos de E • como funciones defin idas
no sobre todo el espado E, sino solamel)te sobre el. compacto
que es la adherencia de Ja imagen Qe la ·bola t.irtitarla po( ·1a aplicación A. Entonces, el conjunto ·CJ> de füriciones, oori~P.oñdlentes
a las funcionales que pertenecen a
será equiacotado·-y· equicontinuo. En efecto, si 11q>11 ~ 1; tenemos
sup l q>(x)I = sup 1q>(x)I~11q>11sup11Ax 11 ~11A11
4s,
s•.
xeAS
xeAS
xeS
y
1q> (x')-<p (x")I ~ 11 q> ll·U x' -x" 11~11 x' -x" 11·
Por consiguiente, el con junto CJ> es relativamente compacto en
el espacio C (AS ) (en virtud del teorema de Arzelá). Pero el
conjunto CD, considerado con la métrica inducida por la métrica
habitual del espacio de funciones cont inuas C (AS). es isométrico
al conjunto A *S* (con la métrica inducida por la norma del
espacio E *). En efecto, si g1 , g, Es•, se tiene
llA*g1 -A•g.1l=sup(A*g1 -A•g2 , x)I =
x&S
=Supj(g,-g., Ax)I= sup l(g1 - g,z)I=
xes
zeAS
= sup l(g,-g., z)l =p(g1• g,).
zEAS
Como CJ> es relativamente compacto, es totalmente acotado; lue~o
es también totalmente acotado el conjunto A•S• isométrico a eL
Por esto
es relativamente compacto en E*. El teorema
queda demostrado.
Observación. No es difícil comprobar que el conjunto CD es
cerrado en C (AS), de manera que es compacto; por eso también
es compacto el conjunto A*S*, aunque (como se deduce de la
observación hecha en la pág. 254) la imagen por una aplicación
totalmente continua arbitraria de la bola cerrada unitaria puede
no ser un compacto. La situación en el teorema que acabamos
de demostrar difiere de la general en que la bola cerrada unita·
ria S* de E* es compacta en la topología 1t-débil del espacio E•
(véase el teorema 3 del § 3). De aquí se deduce precisamente la
compacidad (según la métrica del espacio E*) de la imagen del
conjunto s• para cualquier operador totalmente contínuo.
A•s•
9
Nt 2150
258
CAP. I\'. F UNCIONALES LINEALl::S Y OPERADOR.ES l-INEA LES
EJERCICIOS. l. Sen A un operador 1ineal acotado en un espacio de Banacll.
Demuhtresc que siendo el operador A• totalmente continuo, el operador A
también totalmente continuo.
2. Para que un operador l ineal A en un espacio di! Hllbei-t H sea totalment e continuo es necesario y suficiente que su operador conjugado (de
Hermite) A• sea tota lmente contin uo.
es
3°. Valores propios de un operador totalmente contin uo.
Todo operaoor totalmente continuo A e1i un espacio
de Banacll E tiene para cualquier p >O sólo un número finito
de uectores propws linealmente índeperulientes, correspondientes
a t1alores propios, cuyos valores absolritos no son maycres que p.
TEOREMA • .
1
ol!MOSTR.ACION. Observemos, ante todo, que el subespacio inva·
riante E, , compuesto por lodos los vectores propios del operador A
que corresponden a un valor propio A. no nulo, es de dimensión
finita. En erecto, si fuese E, de dimensión infinita, el operador .4
no sería totalmente continuo en el subespacio E, y, por consi·
guiente. en todo el E también. Por eso, para terminar la demos·
(ración del teorema bastará probar que, si l'·n} es una sucesión
arbitraria de valores propios, diferentes dos a dos, de un operador
totalmente continuo A, se tiene i.." - O para n -oo. A su vez,
para ello es suficiente probar que no existe una sucesión infinita
de valores propios p.,,}, diferent~s dos a dos, tal que la sucesión
sea acotada. Supongamos que existe tal sucesión y sea Xn
el vector propi<;> correspond_iente al ~alor ¡,ropio i.,.. Los vectores
x,, x,, .. . son linealmente independientes . Sea En(n= 1, 2, ... )
el subespacio generado por lo.~ vectores x, ... . , x.,, es decir, sea
En el conjunto de lodos los elementos de tipo
{+,;}
Y= ~"
.t=1
a,,x,. .
Para cada y E E,. tenemos
l
~
~., «~A.k
n~ (
"-1r)
y-¡;-AY=
,¿.¡ C1.,,X1t- kl -,_-x.1:= ~ a,. 1- . - x,..
n
k~J
kr; l
n
k=t
hn
de donde se ve que
l
Y-r,; Ay E En- ,.
11 La independencia lineal de los vectores correspondientes a dHerentes
valores rroplos de un o perador, que actúa en un espacio normado, se demues·
tu !gua que para los operadores l'n un e~pacJo de dimensión llnita (véase,
por ejemplo, J<.urosdi A . G., Curso de Algi!bra Sup¡>rior. Editorial .MIR,
Moscú, 1968, pág. 213.)
§6.0PERAOORESTOTA LMENTE CONTIN UOS
Escojamos una sucesión {Yn} de manera que
l) /¡,.EEn;2)11Y,,ll= I;3)p(y,,,En-,) = inf
259
IJy.-xll>f
XEEn-1
(la existencia de una sucesión de este tipo ha sido demostrada
en el lema de la pág. 250). Si la su~ión { ,.•n } es acotada, enton·
ces, {
f: } es una sucesión acotada
r: )}
en E. Pero, al mismo trempo,
no .contiene ninguna subsucésión conver·
la sucesión {A (
gente, ya que para cualesquiera p > q
11 A (~;)-A(~: )11 =11 Yp- [Yµ- ~P AyP+ A (i: )\\ > -f •,
puesto que Yp-{AuP+A(rq)EEr,. La contradicción obte4
nida demuestra el teorema.
4°. Operadores totalmente continuos en un espacio de Hllbert.
En lo que precede hemos tratado de operadores totalmente continuos en un espacio de Banach arbitrario. Ahora completaremos
nuestra exposición con algunos resultados referentes a operadores
totalmente continuos en un espacio de Hilbert.
Hemos llamado un operador A totalmente continuo, cuando
transforma todo conjunto acotado en uno relativamente compacto.
Como H = H*, es decir, H es el espacio dual a uno separable,
todos Jos conjuntos acotados de él (y solamente. ellos) son débilmente compactos. Por consiguiente, un operador totalmente continuo en un espacio de Hilbert puede definirse como un operador
que transforma un conjunto débilmente compacto en un conjunto
relativamente compacto según la topolog!a fuerte. Finalmente, resulta
cómoda, a veces, la siguiente definición de un operador totalmente
continuo en un espacio de Hilbert: un operador A se llama total·
mente continuo en H, cuando transforma toda sucesión débilmente convergente en una convergente fuertemente.
En efecto, supongamos que esta condición se cumple y
sea M un conjunto acotado de H. Cada subconjunto infinito del
conjunto M contiene una sucesión débilmente convergente. Si
ésta se transforma en una sucesión fuertemente convergente, AM
es compacto. Viceversa, sean A un operador totalmente continuo,
jxnf una sucesión de convergencia débil y x su límite débil.
Entonces, {Axnf contiene una subsucesión que converge fuerte.
Al mismo tiempo, debido a la continuidad de A, {Ax.~ converge
débilmente hacia Ax, de donde se sigue que ~Axn} no puede
tener más de un punto de acumulación. Por consiguiente, {Ax.,)
es una sucesión convergente.
9•
260
CAP. IV. F UNCIONALl!S L INEALES Y OPERADORES LINEALES
5°. Operadores autoconjugados y totalmente continuos en JI.
Para el caso de operadores lineales autoconjugados, que actúan
en un espacio euclídeo de dimensión finita, se conoce el teorema
sobre la reduccíón de la matriz de una transformación lineal de
este tipo a la forma diagonal respecto a una base ortonormal.
En este punto demostraremos un teorema que representa la generalización de este resultado al caso de operadores autoconjugados
y totalmente continuos en un espacio de Hilbert. Los resultados
de este punto son válidos tanto para el espacio de Hi\bert real,
como complejo. Para concretar, admitiremos que H es complejo.
Demostremos, ante todo, algunas propiedades de los vectores
y valores propios de operadores autoconjugados en H, que son
además, totalmente análogas a tas propiedades correspondientes
de operadores autoconjugados de dimensión finita.
J. Todos los valores propios de un operador A, auloconjugado
y acotado en H, son reales.
En efecto, sea Ax= >..x, 11x11 =fo O; entonces,
J.. (x, x)= (Ax, x)= (x, Ax)= (x, f.x) = l. (x, x),
de donde A.=~.
II. Los vectores propios de un operador auloconjugado y aco·
tado, correspondientes a diferentes valores propios, son ortogonales.
Efectivamente, si Ax= 'A.x, Ay= µ.y y >.=foµ., tenemos
A (x, Y)= (Ax, y)= (x,
Ay)= (y, µy) =µ. (x, y),
de donde (x, y)= O.
Demostremos ahora el siguiente teorema fundamental.
(Hilbert-Schmidt). Para cualquier operador lineal A
autoconjugado y totalmente continuo en un espacio de Hilbert H
existe ún sistema orton.ormaJ {q>n} de vectores propios, correspondientes a los valores propios {A.ni tal que cada elemento t EH
se puede escribir de manera única en. la forma
T!!OREMA 5
t= ~ c~cp.- + a·.
donde el vector t ' oeri/ica la condición AS' =O; además,
At= ~ A.~•cp•
y
lim An =O (11 - oo ).
Para demostrar este teorema principal necesitaremos de las
siguientes proposiciones auxiliares.
261
§ 6. OPERADORES TOTALMENTE CONTINUOS
Si {Gnf converge débilmente hacia ; y el operador A es totalmente contínuo, se tiene
Q (6n) = (Atn, t,,) - (A6, G) = Q (t).
1
DEMOSTRAClON.
Para cualquier n
J(A6n• tn)-(At. s)I ~ l(Atn. s.)-(At. tn>I +l(At. Gn)-(At ~>!·
LEMA 1.
Pero
y
J(A6n• tn) - (AG. s)l=l(s,
A~n - t))l~litlHA
Ctn-t>ll
y, como los números llsn 11 son acotados y 11 A ren-t)ll-0, tenemos
!(As•. s,.)-(As. s)l-o.
que es lo que se queria demostrar.
LEMA 2.
Si una funcional
1Qm1 = l<As. s)J.
donde A es un operador lineal autoconjugado y acotado, alcanza
utt rndximo en el punto f,0 de la bola unitaria, entonce.~
<t••
r¡)
=o
implica que
(A6 0 , '11)=(s 0, A1l)=O.
DEMOSTRACION.
Es obvio que
f,-
-
11so11=1.
Tomemos
~o+ar¡
r1+1a1• 111J 112 '
donde a es un número complejo arbitrario. De
que
11so11 =
1 se sigue
Como
Q (s) = 1 + a~ 1111 ir• [Q (s0 )+ 2a (As 0 , TJ}+ a'Q (TJ) ],
1
para valores pequeños de a tenemos
Q (s) = Q (so)+ 2a (Af.o, 11) +o (ai).
De la última igualdad se ve claramente que si (A6o, TJ) =FO, se
puede escoger a de manera que 1Q <a)I > \Q (s 0)I y esto contradice a la condición del lema.
262
CAP. IV. FUNCIONALES LINE Ai.ES Y OPERADORES LINEALES
Del lema 2 se deduce inmediatamente que si 1Q (s)I alcanza
un máximo para =So• entonces, so es un vector propio dl!l
operador.
DEMOSTRACION DEL T EOREMA . Construiremos los vectores (Jl¡, por
inducción en el orden de decrecimiento de los valores absolutos
de sus correspondientes valores propios
s
1~-, 1~1 t., ¡~ · · · ~ 1A"1 ~ · · ·
Para"' construir el elemento ~ <p, consideremos la expresión
1Q <a)I= l(At, t)I y demostremos que alcanza un máximo sobre
la bofa unitaria. Sea
S = sup l(At, s)I
11~11<•
s s.,. ..
una sucesión tal que 11 t.11 = 1 y
i(Aa,,, t.)1- S para n - oo.
Como la bola unitaria es débilmente compacta en H, se puede
escoger de {t,} una subsucesión que converge débilmente hacia
un elemento "1· En este caso 111111~ J y, en virtud del lema l
y sea
1,
l(A11. 11)! =s.
Tomaremos por rp 1 el elemento TI· Está claro que 11r¡11 es exacta·
mente igual a l. (En efecto, sea r¡= 'h y ll r1i 11 < l. Tomemos
1¡ = ~: l[ ; entonces, ll '111 = 1 y l<A 1¡, 11)! > S, lo que contradice a
11
la definición de S.) Además,
de donde
<¡>,) I
1AL 1= I (Acp,,
(cp,, fPL)
=1(A"·
't'l•
q; ) 1= S
1
•
Supongamos ahora que se han construido ya los vectores propios
q¡.. <¡>,. • •. ' lft1•
correspondientes a los valores propios
1',, A,, ... , í.n.
Consideremos la funcional
1(A~. s) 1
sobre el conjunto de elementos pertenecientes a
M~ =
H8
M (cp1 ,
cp~,
... • rp,.)
(es decir, ortogonales a <p1 , cp,, . .. , cp,,), tales que 11; U< l.
M~ representa un subespacío invariante respecto de A (ya que
§
G. OPERAl)ORES TOTALMENTE CONTINUOS
263
M (q> 1, q¡., . . . , q>n} es invariante y A es autoconjugado). Aplicando
a M~ los ·razonamientos anteriores, encontra.\"emos en M~ uo vec!or
propio del operador A; denotémoslo mediante tp,. ...,.
Se puede dar dos casos: J) después de un número finito .de
pasos obtendremos . un subespacio
en el cual (As, s) =a O;
2) (As, s) ;;é O sobre M~ pará todo n.
En el primer caso, el lema 2 implica que el operador A tra,nsíorma M~. en cero, esto es, que M~. consta . ~lamente d~ ' los
vectores propios correspondil!Jlle.s a A.= O. El s,i stema consti'Uid9
de vectores \q¡,.} consta de un número finito de. elem.entos. . ..
En el segundo caso, obtendremos una sucesió!l {<p,.} de veéfé!i:t<s.
propios para cada uno de los cuales A.n=;é:O. Probemos que A.,._;.'Q.
La sucesión {q¡,.} (como cualquier sucesión ortonor.mal) conVe\ge
débilmente hacia el cero y por esto Jos elementos A<p,. = X~cj>,.
deben converger, según la norma, '¡,hacia el cero, de donde
M:..,
í.,. =
11
A<¡>,. 11 ~O.
Sea
M'=HSM {ip,.} =
íl M~l+O.
n
Si
sE M' y s=F.O.
es.: decir,
tenemos
(A~, ;) ~J.. ,. ll ~lit para: todo n,
<As. s>=º·
de donde, en virtud del lemaJ2 (para max !(As, s) I =O} aplicado
a M', obtenemos A;= O, es decir, el operador A transforma el
subespacio M' en cero.
De la construcción del conjunto {q¡,,}, está claro que todo
vector ~- pl!e<!e_ represen lar en la forma
.. ... ·
' t=~c.(fl,, + s', donde _ A~'=O,
de,..donde se.!'desprende que
As= ~ 'J.,hq¡k.
El,:teorema queda demostrado. Este teorema desempeña un papel
fundamental en Ja teoría de Ecuaciones integrales, de las cuales
hablaremos en el capítulo X.
Observación. El teorema demostrado significa que para todo
opera dor autoconjugado y totalmente continuo A de ff existe
una base ortogonal de l espacio H compuesta por los vectores
propios de este operador. En efecto, para obtener una base de este
tipo bastarácompletarel sistema de vectores propios {q¡,./ construido
en la demostración del teorema con una base ortogonal arbitraria
del subespacio M' que es transformado por el operador A en el
264
CAP. IV. FUNCIONALES LINEALES Y OPERADORES L INEALES
cero. En otras palabras, obtenemos aquí un resultado completamente análogo al teorema sobre la reducción de la matriz de
un operador autoconjugado de dimensión finita a la forma diagonal en una base ortogonal.
Para los operadores no autooonjugados de un espacio n-dimensioaal esta reducción es, en general, imposible, sin embargo,
es válido el siguiente teorema: toda transformación lineal e11 un
tspacio n-dime11$iOfllJl tienl! al ml!nos w1 vector propio. Es fácil
ver que esta proposición no es extensible a operadores totalmente
continuos en H. He aquí un ejemplo correspondiente. Consideremos en 1. el siguiente operador A:
Ax= A (x1 , x,, .. .,
Xn•
••• )=
(O, x, , ~,
.. ., ::::: , . .. ) .
Este operador no tiene ningún vector propio. En efecto, si
Ax ,...,_x,
se tiene
L.
""-1""
o' \~.- = x,,
de donde xl = x, =
. .. =
• ••'
'_
r,, _ I
IVon= n-1'
x,. = .. . = O.
CAPITULO
V
ELEMENTOS
DEL CALCULO DIFERENCIAL
EN ESPACIOS LINEALES
En las cuestiones del Análisis Funcional que hemos tocado
en los capítulos anteriores el papel principal correspondió a los
conceptos de funcional lineal y operador lineal. Sín embargo,
algunos problemas que surgen en el Análisis Funcional tienen
un carácter sustancialmente no lineal e imponen la necesidad de
desarrollar, junto al Análisis Funcional «lineal», el Análisis
Funcional «no lineal», es decir, estudíar funcionales no lineales
y operadores no lineales en espacios de dimensión infinita. Al
Análisis Funcional no lineal pertenece, de hecho, una rama clásica de las Matemáticas que es el Cálculo de Variaciones, cuyos
fundamentos fueron dados ya en los siglos XVII y XVIIl en
las obras de Bernoulli, Euler, Legendre y Jacobi. No obstante,
el Análisis Funcional no lineal representa, en su conjunto, una
rama relativamente moderna de las Matemáticas, aún muy lejos
de su culminación. En este capítulo expondremos algunos con·
ceptos primarios referentes al Análisis Funcional no lineal, principalmente, a la teoría de diferenciación, así como algunas aplicaciones de estos conceptos.
§ l. DIFERENCIACION EN ESPACIOS LINEALES
1°. Diferencial fuerte (diferencial de Fréchet). Sean X e Y dos
espacios normados y F una aplicación que actúa de X en Y y
está definida sobre un subconjunto abierto O del espacio X.
Diremos que esta aplicación es diferenciable en un punto dado
x E O, cuando existe un operador lineal acotado L" E 2 (X. Y)
tal que
(1)
F(x + h)-F(x) = lx(h)+a.(x. h).
266
CAP. V. ELEMcNTOS DEL CALCULO DIF ER E NCIAL EN ESPACIOS
donde
11 a (x,
h) 11
ll hll
11 h 11 -
----+O para
O.
(2)
La expresión L,. (h) (que para cada h E X representa, evidentemente, un elemento del espacio Y) se llama diferencial fuerte
(o diferencial de Fréchet) de la aplicación F en el punto x. El
propio operador lineal L,. se llama derivada, más precisamente,
derivada fuerte dé la aplicación F en el punto x. Denotaremos
esta derivada mediante el símbolo F' (x).
Si la aplicación Fes diierenciable en el punto x, la derivada
correspondiente se determina de manera \mica. En efecto. sea
F(x + h)-F(x)=Llc''(h)+a..,(x. ll) = Llc'' (h)-1- cc,(x, h);
entonce.~.
L~" (h)=L~' (h) =a,(x,
h)-a, (x, 11)
y, en virtud de (2),
111 L\r'1 (h) -L~" (h ) :1
·O para] ll h11 ~.o .
h
(3)
Pero, si para algún h se tiene
11
11 L~º(h)-L~ (h) li
h
='· *º·
tendremos para cua \quier e =fa O
11 L~11 (eh) -l~" (eh) 11
•
=- "'·
h
se cumple.
Señalemos ahora algunos resultados elementales que se deducen directamente de la definición de la derivada.
l. Si F(x)=y0 =const, sé tiene F' (x) 21 0 (es decir, F'(x) es,
y la relación (3) no
en este caso, el oper<filor nulo). .
2. La derivada de una aplicación lineal continua L es esta
misma aplicación.
En efecto, tenemos, por definición,
L(x+h)-l(x)= L(h).
Menos obvio es el slguien t~ resultado importante.
3. (Derivada de una función compuesta). Sean X , Y y Z tres
esnacws normadc5, u (Xo) una . tiecindad dél punto Xo Ex. F UJla
aplicaf:ión rolJlinu.a de esta vecindad en Y, y 0 F (x0 ), V (y0 ) una
vecindad del punto Yo E Y y G una apltcacióti roniinua de esta
=
vecindad en Z. Entonces. si la aplicación F es diferenciable en el
punto x, y G es diferenciable en el punto y 0 , la aplicación H = GF
S l. Dlf'ERENCIAC!ON EN ESPACIOS LINEALES
267
(que está definida y es continua en una vecindad del punto x0 )
es diferenciable en el punto x0 y
H' (x0 )
= G' (y
0)
F' (x.).
(4)
Efectivamente, de acuerdo con las suposiciones heehas
y
F (x0 +s)=f (x0) +F' (x.) s+o, m
G (y0
+ r¡) = G(y +G¡ (y
0)
0)
11 + 02 (11).
Pero, F' (x0 ) y G' (y0 ) son operadores lineales acotados. Por eso
H(x. + s)= G(y0 +F' (x0)s+o1 (s))=
= G (y0 ) +G' (y 0)(f' (x 0)S+o1 (s))+o, (F' (xo) s + o, (sl) =
=G(y.) + G' (y.) F' (Xo) s+.o, (s).
Siendo F, G y H funciones numéricas. la fórmula (4) se convierte
en Ja conocida regla de diferenciación de una función compuesta.
4. Sean F y G dos aplicaciones ccntinuas que actúan de X en Y.
Si F y G son diferenciables en el punto x0 , las aplicaciones F + G
y aF (a es un número) son también diferenciables en este punto y
(F
y
+G)' (x
0)
= F' (x0 ) +G' (x 0 )
(5)
(6)
En efecto, de las definiciones de suma de operadores y de
producto de un operador por un número, obtenemos inmediatamente que
lf + 0~+~-F~ + ~ + o~ + ~=
= F (x0 ) G (x0 ) F' (x0) h
+
+
y
+ G' (x
0)
h+ 0 1 (h)
aF (x 0 +h) = aF (x0 ) + aF' (x0) h + o, (h)
de donde se deducen las igualdades (5) y (6).
2°. Diferencial débil (diferencial de Gato). Sea de nuevo F
una aplicación que actúa de X en Y . Se llama diferencial débil,
o diferencial de Gato, de la aplicación F en el punto x al límite
DF(x, h) = fiF (x+ th) 1 =lirn F(r + th]-F (x),
1 ~0
1-0
donde la convergencia se entiende como Ja convergencia según
la norma del espacio Y.
La diferencial débil DF (x, h) puede no ser lineal respecto a h.
Si esta linealidad tiene lugar, es decir, si
DF(x,
h)=F;(x)h,
268
CAi>. V. ELEMENTOS DEL CALCULO DlPF.RENClAL EN ESPACIOS
donde F; (x) es un operador lineal,
vada débil (o derivada de Gato) .
este operador se llama deri-
Señalemos que para las derivadas débiles no se cumple, como
regla general, el teorema sobre la diferenciación de una función
compuesta. (Dése un ejemplo).
3°. Fórmula de increnrento finito. Supongamos que O es un
conjunto abierto de X y que el segmento [x0 , x] está contenido
íntegramente en O. Sea, además, F una aplicación de X en Y,
definida sobre O, que tiene derivada débil F; en cada punto
del segmento [x0 , x]. Poniendo 6x = x-x 0 y tomando una funcional arbitraria cp EYo, consideremos la función numérica
f (t)=q>(Fe(x0 + t 6x)),
definida para O~ t ~l. Esta función es diferenciable respecto a t.
Efectivamente, en la expresión
f (t+M)-f (1)
M
=<p
F (Xo+ t t\x-1-61 ti.x) - F (x~+ 1t\x)
Al
se puede pasar al límite bajo el signo de la funcional lineal
continua cp. Tendremos, entonces,
f' (f) = cp (F~ (x 0 + t t.x) (llx)).
Aplicando en el segmento [O, 1J a la funcion f la fórmula
de incremento Finito, encontraremos
f (l)-f(O)=f'(0), donde 0~0 ~ 1,
es decir,
<p (f (x)-f (x0 )) = cp(f;(x 0 +Mx)(óx)).
(7)
Esta relación tiene lugar para cualquier funcional <p E y• (el valor a depende, claro está, de cp). De (7) obtenemos
l cp(F(x)-F(x 0))l~llcpll sup llF;(x0 + El6x) ll ·ll6xll.
(8)
0<6<1
Escojamos ahora una funcional no nula cp de manera que
<j) (F (x) - F (x.)) = 11<p11 ·ll F (x)-F (x0 ) 11
(tal funcional IP exísle en virtud del teorema de Hahn- Banach).
Entonces, obtenemos de (8)
11 F(x)-F (x0)11-< sup 11F~(x 0 +06x) ll ·ll 6x 11 (óx =x-x0 ). (9)
0<6<1
Esta desigual dad puede ser considerada como un análogo del teorema del valor medio para las funciones numéricas.
Aplicando la desigualdad (9) a la aplicación
x - F (x)-F~(x0) (6x),
269
S l. DIPERENCIACION 8N ESPACIOS L I NEALES
obtendremos la desigualdad siguiente:
11 F (x)- F (x0)-F~ (x,) (Ax) 11 E;;
<
sup
º""º"' 1
11 F; (x0 +6'1x)-F~(x0)11·!1Axll.
(10)
4°. Rel ación entre las diferenciabilldades débil y fuerte. Las
diferenciabilidades débil y fuerte constituyen conceptos diferentes
incluso en el caso de espacios de dimensión finita. Efectivamente,
es bien conocido del Análisis que para una función numérica
f (x) ...¡ (x,, .. . , Xn)
la existencia de la derivada
ft f (x+tl1)
para cualquier h = (h,, . .. , h.) fijo no implica aún, en el caso
de n ;;;i. 2, la diferenciabilídad de esta función, es decir, la posi·
bilidad de representar su incremento f(x+h)-f(x ) como la suma
de una parte lineal (respecto a h) y un miembro infinitésimo de
orden superior al primero respecto a 1h ¡.
Como ejemplo elemental, puede servir aqui la función de dos
variables
f (x,, x,) =
X~X. , cuan d o xL
l
t-t.. Q
x, + x, + -,.--,
1 .,- x• .,.... ,
x, + x,
{ O,
(1 1)
cuando x, = x, =0.
Esta función es continua en todo el plano, incluido el punto
(0, O). Tiene diferencial débil en el punto (O, O), ya que
¡¡
llJO
1-
f(O+th}-/0
t
1.tm
1 -
o
(!
11
+h >+ t•h,t'ls~h.,
,+ r•h, ) = ¡1, T, I ·
1.,,.
1
Sin embargo, esta diferencial no consti tuye la parte lineal principal de.l incremento de la función (11) en el punto (O, 0). En
efecto, sea
h'li...
<t>(O, h)= f (O + h)- f (0)-(111 + h, ) "" -.2-"a·
lr 1 + h 2
Entonces, tomando h. = 11~. tendremos
.
l 1m
llhll -O
m(O,lt)
I
lh
1
= h,1.tm- o -2h1V
. .,.,. . ,r=h:h~===2* º·
+ h:
Al mismo liem po,si una aplicación Fes diíerenciable en el sentido fuerte, es diferenciable también débilmente y, además, las dlfe-
270
CAP. V. l!LEMl:NTOS DEL CA LCULO DIFERENCIAL EN ESPACIOS
renciales luerte y debil coinciden. Efectivamente, para una
aplicación íuerlemenle diferenciable, tenemos
F (x
y
+ th)-F (x) = F' (x) (th) +o (th) = IF' (x){f1) +o (lh)
F (x -! t~)- F (x)
F' (x) (ft) + o (:h) - .. F' (x)(h).
Busquemos las condiciones en las cuales la diferenciabilidad
debil de una aplicación F implica su díferenciabilidad iuerte.
TEOREMA 1. Si la derivada débil F~ (x) de la aplicaci/Jn F existe
en una vecindad U (x0) del punto x 0 y representa en esta vecindad
una función continua (operadora) de x , la derivada fuerte
1 F' (x0 ) existe en el punto x 0 y coincide con la débil.
DEMOSTR Ac10 N. Por hipótesis, la aplicación F tiene derivada
débil, esto es, DF(x 0 , h) = F~(x0 )h . Escojamos h de manera que
x 0 + h E U (x0 ) y consideremos Ja expresión
o> (x•• h) = F (x0 +h)-F (x0)-F~ (x0 ) h.
(12)
Si e es ahora un elemento arbitrario del espacio y• dual a Y,
obtenemos de (12)
(oo(x0 , h), e)=(F(x 0 +h)-F(x0 ), e) - (f~(x0 )h, e).
(13)
Consideremos la función f (t) = (F (x 0 + tf1), e) de argumento numérico t. Esta función es diíerenciable respecto a t y para ella
~ - ¡-
dt- .,.,''.'.1
( F(x0 +th+Mh)- F(x0 +th)
0
tJ.t
,
)-(F', (x
e -
0
-1-tl)h
1
,
e) .
Por eso, aplicando a f la fórmula de incremento finito, podemos
escribir la igualdad ( 13) en la forma
(w(x0 , h). e)=([F;(x0 + -rh)-F~(x0 )]h, e),
(13')
donde O ~ -r ~ 1. Para un h fijo, el elemento e E Y * se puede
escoger de manera que llell = 1 y que se cumpla la desigualdad
1
1(w(x• • h),e 1;;;;i: 2 11~> (x,,
1
11)11 · llell = 2
nw (x..
h)ll.
De aquí y de la igualdad (13') encontramos que
llw (x., h)ll ~ 211 F~(x, + i;h)-F~(xo)ll · llhll.
Pero F~(x) es, por hipótesis, una función operadora cGntinua
de x; l"Or eso,
§l. DIFEllENCIACION EN ESPACIOS LINEALES
271
de manera que llro (x0 , 11)11 es una infinitésima de orden superior
al primero respecto a llhll, es decir, F~(x,)h constituye la parte
principal de la diferencia F (x +h)-F (x 0 ). Con esto queda
demostrado tanto la existencia. de la derivada fuerte F' (x0) .como
su coincidencia con la derivada débil. En lo sucesivo conside·
raremos, siempre que no se diga lo .conlrarjo, aplicaciones difl!·
renciables en el sentido fuerte y, por consiguiente, también en
el débil.
5°. Funcion;lles difl!renciables. Hemos introduddo etcoIJce¡).\o
de diferencial de una aplicación F que actúa de un espacio normado X
en otro espacio normado Y. La derivada F' (x) de esta apticación
representa para cada x un operador lineal de X en Y, ~sto ~.
un ciernen to del espacio 2 (X, Y). En particular, si Y es fa
recta numérica, F es una función sobre X que toma valores
numéricos, es decir, una funcional. En este caso, la derivada de
la funcional F en el punto x0 es una funciona l lineal (que de·
pende de x0 ), es decir, un elemento del espacio X* .
Ejemplo. Consideremos en el espacio de Hilbert real H la
funcional F (x) = llxll'· Entonces,
11x + 1i11~-nx11• ~ 2
(x, h) + l\h\\';
la expresión 2 (x, y) constituye la parte lineal principal de esta
expresión y, por consiguiente ll ,
F' (x) = F; (x) = 2x.
EJERCICIO. Calcúlese la
derivad~
de la funciona l
11x11·
(Respuesta:
ll~ll
para x -F O; para x =O no existe) .
6º. Funciones abstractas. Supongamos ahora que el espacio de
argumentos X coincide con la recta numérica. La ap licación f(x)
que pone en correspondencia al número x un elemento de un
espacio de Banach Y se llama función abstracta. La derivada de
una función abstracta F' (x) (si es que existe) representa (para
cada x) un elemento del espacio Y. Para una función abstracta
(que representa una función de un argumento numérico) la diferenciabilidad débil coincide con la fuerte.
7°. Integra l. Sea F una función abstracta de argumento real
con valores en un espacio de Banach Y. Si F está definida
sobre un segmento [a, b], se puede definir Ja integral de la
f
u Besándonos en el teorema sobre la expresión general de una runcional lineal continua en un espacio de Hilber t, identHícamos aqui las funcionales de H• con los elementos correspondientes de H.
272
CAP. V. ELEMENTOS DEL CALCULO DIFERENCIAL EN ESPACIOS
función F en el segmento [a, bJ. Esta integral se comprende
como el límite de las sumas integrales
n-1
~ F (t.)(th1-fA)
•il"o
correspondientes a las particiones
a=t 0 <t1 < ... <t0 =b, ~AE{t., th ,]
cuando max 1tu 1 -t. l-O. Esta integral (que representa, eviden temente, un elemento de Y) se denota mediante el símbolo
b
sF
(t) dt .
n
Razonamientos, análogos a los empleados para funciones que
toman valores numéricos, demuestran que la integral de una
función continua sobre un segmento existe; además, ella tiene
propiedades análogas a las propiedades de la integral corriente
de Riemann. Se.ñalemos entre estas propiedades las siguientes.
1. Si U es una aplicación lineal continua fija del espacio Y
en un espacio Z, se tiene
b
b
) UF (t) dt =U ~ F (t) dt.
a
a
2. Si F (t) es de la forma f (t) y 0 , donde
numérica e Yo un elemento fijo de Y, se tiene
b
f
es una funci ón
b
) F,(t)dt =y,~ f (t)dt.
o
3.
a
f
11 F (t) dt 11
~ J11 F (t) ll dt.
Sean X e Y de nuevo espacios normados y sea BC (X, Y) el
espacio lineal de todas las aplicaciones continuas acotadas u de
X en Y. En el espacio BC (X, Y) se puede introducir una topo·
logia tomando por vecindades del cero los conjuntos
Un .• =(F: sup
ll1'11< n
ll F(x)ll<e}.
Esta topología coincide en el subespacio 2 (X, Y) e: BC (X, Y)
" Una apllr.ación F: X - Y se llama acotada, cunndo para todo con·
Junto acotado Q ·C: X el conjunto F (Q) es acotado en Y. Una aplicación
continua no llneal no es necesarlamenlt- acotada.
273
j l. DIFl!RBNCIACION EN ESPACIOS LINeALES
de todas las aplicaciones lineales continuas de X en Y con la
topología corriente de 2 (X, Y) definida por la norma de operador. Sea J = [x0, x0 + llx] un segmento rectillneo de X. Supongamos dada una aplicación continua de este segmento en el
espacio BC (X, Y), es decir, supongamos que a cada punto x E j
se ha asignado una aplicación F (x) E BC (X, Y) que depende
continuamente del parámetro vectorial x EJ. Entonces, se puede
deíinir le integral de F (x) en el segmento J, tomando
I
.., .. 6
.,
(14)
P(x)dx= J¡F(x.+tt\x)l:l.xdt
(aquí P (x0 + tllx) llx es para cada t E [O, 1] un elemento del
espacio Y, precisamente la imagen del elemento l:l..r E X mediante
la aplicación F (.r0 + t l:l.x). Está claro que la Integral que figura
en el miembro derecho de la fórmula (14) existe y representa un
elemento del espacio Y.
Apliquemos estas ideas al problema de reconstrucción de una
aplicación a partir de su deri vada.
Consideremos una aplicación F que actúa de X en Y y que
tiene en el segmento [x0 , .t0 + 6.r) derivada fuerte continua
x.+óx
F'(x)E 2 (X, Y). Entonces, existe la integral
} F'(.r)dx. De-
mostremos que tiene lugar la igualdad
"•
~.+A.1t
~ F'(x)dx=F(x, +6x)-F(x0 )
(15)
que generali.za la fórmula de Newton-Leibniz. En efecto, por
definición,
x , + AX
) F' (x)dx =
"•
,,_,
lim I:, F'(x0 +tkt\x)(t\x)(tk+i-tk).=
), - O l 0 0
=
11 -
1
-
!im ~ F' (.rJ (L\xk)•
).- o •ái
donde x. =x. + t.ti x, l:l.x.=(11<+ 1-t.)llx y A. = max(th-1- t. ) .
Pero, al mismo tiempo. para cualquier partición del segmento
O~ t ~ l tenemos
•
11-l
F(x 0 +6x)-F(x0)= k~ [F(x0 +tH 1 L\x)-F(x 0 + tk~x]=
~
n-1
'5'.
~t-6
[F(xh 1 )-F(x~)J.
274
CAP. V. ELEMENTOS DEL CALCULO O IF E RE~CJA L EN ES PAC IOS
De la fórmula (10) de incrementos finitos, encontramos
\J
:~[F (xk +i)-F (xk)-F ' (xk) óx,.J 1\ ~
_,
:;;;,;;; 116xll 2:: (tk+i - Tk)supUF'(xk+
k=O
-
Mx1,)-F'(xJt)I!.
(16)
Como la derivada F' es continua y, por consiguiente, también
un iformemente continua sobre el segmento fx0 , x 0 +.tu], el
miembro derecho de la desigualdad (16) tiende a cero, cuando
disminuyen indefinidamente las longitudes de los elementos de Ja
partición del segmento [x 0 , x0 1~x], y de aqul se sigue la
igualdad (15).
+
8º. Derivadas de órdenes superiores. Sea F una aplicación
diferencia ble que actúa de X en Y. Su derivada F' (x) es, para
.cada xEX, un elemento de :&'(X, Y), es decir, F' es una apli.cación del espacio X en el espacio de operadores lineales 2 (X, Y).
Si esta aplicación es diferenciab\e, la derivada correspondiente
a ella se IIama segunda derivada de la aplicación F y se denota
mediante el símbolo F". De manera que F" (x) es un elemento
de l espacio !l' (X, 2' (X , Y)} de operadores li neales que actúan
de X en 2 (X, Y). Probemos que Jos elementos de este espacio
admiten una in ter pretación más cómoda y m~s clara a partir de
las así llamadas aplicaciones bilineales.
Decimos que se tiene una aplicación bilineal B del espacio X
-en el espacio Y, cuando a cada par ordenado de elementos x , x'
de X corresponde un elemento y= B (x, x') E Y de manera que
·s e cumplen las siguientes condiciones:
1) para cualesquiera x1 , x., x;, x; de X y cualesquiera números a, ~ se verifican las igualdades:
B(ax 1 +~x., x') =aB (xv x')+~B(x., x'),
B (x, ax;+ ~x;) .= aB (x, x;) ~B (x, x;);
2) existe un número positivo M tal que
(17)
11.B (x, x') 11 :;;;;;; M 11x11 ·llx'11
·para todos Jos x x' E X.
En otras paÍabras, la primera de estas condiciones significa
.que la aplicación B es lineal respecto a cada uno de sus dos
argumentos; no es difícil comprobar que la segunda condición
.equivale a la continuidad de B respecto al conjunto de argumentos.
El menor de los números M que satisface Ja condición (17) se
llama iwrma de la aplicación bilineal B y se denota con 11 B 11 ·
De una manera evidente se definen las operaciones lineales para
.aplicaciones b ilineales que tienen las propiedades habituales.
+
§J. DIFE)lENCIACION EN E Sl'ACIOS LINEALES
275
De esta forma, las aplicaciones bilineales del espacio X en el
espacio Y constituyen un espacio lineal normado que denotaremos
con B (Xi, Y).
A cada elemento A del espacio !2'(X, !2'(X, Y)) se puede
poner en correspondencia un elemento de B (X2 , Y), tomando
B(x, x')=(Ax)x'.
(18)
Es obvio que esta correspondencia es lineal. Probemos que es,
además, isométrica y transforma el espacio .!l'(X, !27(X, Y)) en
todo el espacio B (X', Y). En efecto, si y= B (x, x') =(Ax) x',
tenemos
11 y 11 ,;;;;;11Ax11· \l x'11,;;;;; llA 11·llx 11· 11 x' JI,
de donde
( 19)
llBii ,;;;;;llA U.
Por otro lado, dada una aplícaclón bilineal B, la aplicación
x' _,. (Ax) x' = B (.>e, x') es, para un x E X fijo, una aplicación
lineal del espacio X en Y.
Por consiguiente, a cada x1; X se pone en correspondencia
un elemento Ax del espacio !27 (X, Y); es obvio que Ax depende
linealmente de x, es decir, que la aplicación bilineal B define
un elemento A del espacio $(X, $(X, Y)). Además, está claro
que la aplicación B se reconstruye a partir de A mediante la
fórmula (18) y que
llAxll= sup ll (Ax)x'll= sup 11B(x, x')ll~l\Bll·llxll,
llx'll < 1
Ux'!I .;; 1
de donde
llA ll ~llB ll .
(20)
Comparando (19) y (20), obtenern~s 11A 11 = 11 B 11 . De modo que
la correspondencia entre B (X•, Y) y !27 (X, .<l' (X, Y)) definida
por la igualdad (18) es lineal e isométrica y, por consiguiente.
biunívoca. Además, la imagen del espacio !27 (X, !27 (X, Y)) es
todo el espacio B (X2 , Y).
Hemos visto que la segunda derivada F" (x) es un elemento
del espacio $(X, $(X, Y)). De acuerdo con lo expuesto podemos
considerar que F' (x) es un elemento del espacio B (X 2 , Y).
Veamos algunos ejemplos. Sean X e Y espacios euclídeos de
dimensión finita, m y 11 respectivamente. Entonces, toda aplicación lineal de X en Y se pued_e tlefinir mediante una (m X n) =
=matriz. De manera que la derivada F' (x) de la aplicación F,
que actúa de X en Y, es una matriz (dependien le de x E X). Si
en X e Y se escogen unas bases, digamos,
e1 , .• . , em en X y fu , .. , f,, en Y,
Z76
CAP. V. ELEMENTOS DEL CALCU LO D IFERENC!AL EN ESPACIOS
tend remos
y en este caso
x = x 1e1 + x1e2 + .. . + x,.em,
y~y1f,+y,f,+ ··· -1- y,,f,,
.- 2JfL !!Y•
iJgn )
l
J
F' (x} =' · .. .. · · ..
OXt UXt
' • .
1 a111 og,
\.iJx,,. OXrn
()X 1
oyn
f.
• • • UXm
La segunda derivada r (x) se determina por un conjunto de
mx mxn valores a't¡= vX¡ X¡ Este conjunto de valoresª'' puede
,.ªªz• .
ser considerado o bien como una aplicación lineal del espacio X
en el espacio 2 (X, Y) definida por
m
b'í= t::"1
~ª'¡X¡
o bien como una aplicación bilineal del espacio X en Y definida
mediante la fórmula
"'
k
e =
m
, ,
~
'
4J a;¡X;X¡.
l.¡=I
De una manera análoga se puede introducir el concepto de
tercera, cuarta y, en general, n-ésima derivada de la aplicación F.
que actúa de X en Y, definiendo la n-ésima derivada como la
derivada de la derivada de orden (n- J). Es obvio que la n-ésima
derivada constituye un elemento del espacio !l' (X, !2' (X, .. .,
!l (X. Y)}). Repitiendo los razonamientos, empleados para la
segunda derivada. se puede asignar de un modo natural a cada
elemento de este espacio un elemento del espacio N (X", Y) de
las aplicaciones n-lineales de X en Y. Por una aplicación n.-lineal
se.entiende aquí. una correspondencia y=N(x', x·, ... , xvs>) entre
fos sistemas ordenados (x', :i' • .. ., x1"l) de elementos de X y los
elementos· del espacio Y que es lineal respecto a cada x 1, cuando
son fijos los elementos x', .. ., xu- t>, x•i+u, . .. , x< 11>, y que
verifica para un M >O determina:do Ja condición
l\N(x', x", ... , x 1 "»1l~Mllx'IJ·\lxªll ... llx1•>¡¡.
Por consiguiente, la n-ésima derivada de la aplicación F se puede
<:.onsiderar como un elemento del espacio N (X", Y).
9º. Diferenciales de orden superior. Hemos definido la diferen·cial (fuerte) de una aplicación F como el resultado de aplicar al
-elemento h E X el operador lineal F' (x): dF = F' (x) (h). La diferencial de segundo orden se define como d 2 F = Fª (x) (h, h), es
'l:17
§ 1, l)ll'ERENCIACION EN ESPACIOS L INEALES
decir, como una expresión cuadrática correspondiente a Ja aplicación F" (x) E B (X 2 , Y). De un modo análogo. la diferencíal de
orden 11 se define mediante dnF = r<ni (x) (h, h, ... , 11), esto es,
como aquel elemento del espacio Y en el cual se transforma por
la aplicación fl"1 (x) el elemento (h, h• ...• h) E X X X X ••.
. . . x x~xn.
to". fórmula de Taylor. La diferenciabilidad fuerte de la
aplicación F signHica que la diferencia F (x + h)-F (x) se puede
representar como la suma de un miembro lineal_ ,y un. s4mando
de orden superior al primero respecto ii 11h11· Este r~u.\tl!dó se
generaliza en una fórmula análoga a Ja fórmula de Taylor para
las funciones numéricas, conocida del Análisis.
TEOREMA 2. Sea F una aplícacíó11 que actúa de X en Y, que está.
definida en una región Oc. X y tal que f 1" 1 (x) existe y representa
una función uniformemente continua de x en O. Entonces, tiene
lugar la igualdad
F (x+h) - F (x) = F' (x) (h) +-}i-F" (x) (h, h) + ...
.. . + ~ pn> (x) (h, .. ., h) +ro(.~. h)
(21)
donde 11 ro (x, h) 11= o Cllh11").
La DEMOSTRACION se realiza por inducción. Para n = 1 la
igualdad (21) es trivial Supongamos que ella es válida para
n - l cualquiera que sea Ja aplicación que satisface las condiciones
del teorema. Entonces, para la aplicación F' tenemos
F' (x + h) = F' (x) + F" (x) (h)
+ ... + (n ~ 1}I
+ di F'" (x)(h,
fCnl
h) -1-
(x) (h, h, .. . , h)
+ w (X,
1
h),
(22)
un-
1 ). lnlegrando en el segmento [x, :< + h]
donde 11 (J)l (x, h) 11 =o <11 h
ambos miembros de la igualdad (22) y empleando Ja fórmula
(15) de Newton- Leibniz, encontraremos
l
l
F (x + h)-F (x) = ~ F' (x-\- th) hdt = ~ {F' (x} + tf• (x) (h) +
o
Q
+ d!
t2F" ' (x) (h, h) + . ..
1
..1..
t"-•f<n> (X ) (h '
. .. ' (n-1}!
1
donde R,, = ~
©1
(x, th) h dt.
.• "
h)~J hdt + R n> (23)
278
CAP. V. ELEMENTOS DEL CALCULO DIFERENCIAL E'I; ESPACIOS
De (23) obtenemos
F (x + h)-F (x) = F' (x) (h) + ~1 p• (x)(h, 11) + ...
... +--!. FM (x) (li,
11.
... , h) + Rn•
siendo
l
1 Rnll< ~ llro.(x, lh)ll·llhlldi = o(llhl¡n).
o
Con esto nuestra proposición queda demostrada.
La fórmula (21) se llama fórmula de Taylor para aplicaciones.
§ 2. PROBLEMAS EXTREMALES
(, Una de las secciones más antiguas y más elaboradas del Análisis Funcional no lineal es la búsqueda de extremos de funcionales .
El estudio de estos problemas constituye el contenido del así
llamado Cálculo de variaciones. Los métodos que se utilizan en
el Cálculo de variaciones están sujetos, en su mayor parte a la
forma especial de aquellas funcionales cuyos \"alores extremales se
buscan. Sin embargo, se puede enunciar algunos resultados y
métodos generales para funcionales más o menos arbitrarios. Sin
plantearnos la tarea de dar una exposición un tanto detallada de
los métodos variacionales, nos limitaremos a dar un examen breve
de aquellos elementos de la teoría general de problemas para
funcionales que constituyen el fundamento del Cálculo de variaciones.
1°. Condición necesaria de extremo. Sea F una funciona l que
toma valores reales, definida en un espacio de Banach X. Se dice
que la funcional F alcanza un mínimo en el punto x0 , cuando
para todos los x, suficientemente próximos a x0 y tales que F (x)
está definido, se, cumple la desigualdad F(x)-F(x )~O. De
man\)rh análoga 5e define u'tl .máximo de una funcionar. Si en un
¡iúnto dado x0 la funcional F alcanz¡i minimo o máximo, diremos
que la funcional tiene en este punto extremo.
Diferentes problemas mecánicos y físicos pueden ser reducidos
a la búsqueda del e.xtremo de unas u otras funcionales.
Para las funciones de n variables es bien conocida la siguiente
con(lición necesaria de extremo: si la función f es diferenciable
en el punto x0 = (x~, x:, . .. , x~) y tiene extremo en este punto,
en este punto df =O ó, lo que es equivalente,
-%1-= !'
(JXL
vX-..
= ... =
,,ª' = 0.
f./X11
Esta condición se extiende fácilmente a las funcionales.
5 2. PROBLEMAS EXTREMALES
279
Para que una funcWnal di/erenciable F alcmtce extremo
en el punto x0 es necesario que su diferencial en este purito sea
igual a cero para todo h:
F' (x0 ) (h)= O.
T EORl!. MA 1.
J
oeMOST RAC10N.
Por definición de la diferenciabilidad, tenemos
F (x0 + h)- F (x0 ) = F' (x 0) (h) +o (11 h 11).
( 1)
Si F' (x 0 ) (h}o;i!= O para algún h, entonces, para valores reales sufi·
cien temen te pequeños de?., el signo de toda la expresión F'(x 0){)..h) +
+o(ll hll) coincide con el si~no de su término principal F' (x 0 )(i.1i).
Pero F' (x ) es una functonal lineal y por eso F' (x 0) (Ah)=
=')..f' (x0 ) (li). De manera que siendo F' (x 0)(h) + O, la expresión (1}
puede tomar, para h arbilrariamente pequeños. tanto valores
posilivos, como negativos, es decir, no puede haber extremo en el
punto x 0 •
Veamos algunos ejemplos.
l . Sea
b
F (x) = ~ f (t, x (1)) di,
(2)
donde fes una función continuamente diferenciable. Esta funcional,
considerada en el espacio Cra. 61 de funciones continuas, es diíeren·
ciablc. En efecto,
F(x -1- h)- F (x)=
b
b
= ~ [f(t ,
x+11) - f(l, x))dl= ~f~=(t, x) lt(l) dt+o(ll h ll),
o
o
de donde
b
df = ~ f; (t, X(/)) h (t) di.
o
La igualdad a cero de esta funcional lineal para todos los h E Cea. bJ
signilica que f~(t, x)=O. Efectivamente. para todo x(t) ECr•. bJ
la derivada f~(t, x) es una función continua de t. Si ella es
diferente de cero en algún punto t 0 , digamos, ¡; (t 0 , x (10 )}>0.
esta igualdad tend rá lugar también en una vecindad (a, ~) del
punto t 0 • Entonces, tomando
(t - a) (~ - t) para a ,.;; t ,.;; ~.
h (t) = { O para los demás f,
280
CAP. V . ELEMENTOS DEL CAl.CULO DIFE!lENCIAL EN ESPACIOS
obtendremos que
b
~f~(t,
x)h(t)dt>O.
a
La contradicción obtenida demuestra nuestra proposición. La
ecuación ¡; (t, x) =O determina, en general, una curva en la cual
la funcional (2) puede alcanzar un extremo.
2. Consideremos en el mismo espacio C¡a. bJ la funcional
b b
F (x) = ~ ~ K (s1• t,) x cs.) x (s,) ds1 ds••
(3)
a a
donde K (!;.,
~)
es una función continua que satisface Ja condición
Es fácil calcular que la diferencial de esta
funcional es igual a
K (s,.
s = K. (s., s,).
3)
b b
dF=2
J)
K (s1•
a a
~.)x(s1)h(si)~.~.
Si esta expresión es igual a cero para todo h E C¡a.
por los mismos razonamientos que en el ejemplo 1,
bl•
tenemos,
b
~ K. (S1•
a
s,) X (s,) 4, =
0 para todo
;,, a~ Si~ b.
Una de las soluciones de esta ecuación es ¡la función x """'O. La
respuesta a la pregunta de si existe extremo en este punto y si
existen otros puntos en los que es posible un extremo, depende de
la forma de la funcíón K (~,. 6,) y exige un estudio complementario.
3. Consideremos la funcional
b
F (x)=} f (t, x(t), x' (t))dt,
la.
(4)
d.efinida en el espacio e b] de funciones continuamente d iferenclables sobre el segmento [a, b}. Aquí x' (t) = ~~t>, y f (t, x, x')
es una función dos veces diferenciable de sus argumentos. La
funcional (4) desempeña un papel principal en varias cuestiones
del Cálculo de variaciones. Busquemos su diíerencial. Utilizando
z.
§
281
PROBL.EMAS EXTREMALES
la fórmula de Taylor, encontramos
b
F(x-J-h)-F(x )= ~ [f(t, x+h, x'+ h')-f(l, x, x')]dt=
•
b
= ~ (f'xh
•
+f;.h')dt +o <11h11),
donde 11h11 es la norma de la función h como elemento del espacio
Por consiguiente, Ja condición necesaria de extremo de la
funcional (4) es
C1•. bJ·
b
dF= ~ (f'xh+f;.h')dt
=0.
(5)
a
En su forma integral esta condición es poco útil para buscar la
función x en la que se alcanza el extremo. Démosle una forma más
cómoda, integrando por partes en (5) el término f~.h'. Tendremos
s
b
b
f;.h' dt = f;,h 1
a
"
-s
b
:t f~. dt.
h
a
De manera que
b
dF =
:t [;.)
S( ¡; = •
b
h dt
+ f~h 1 =O.
(6)
•
Esta igualdad debe verificar se para todo h, en particular, también cuando h (a) = h (b) = O. Por consiguiente,
b
S( f~ -
•
:,
¡;.) hdt =o
para todos los h tales que h (a)= h (b) = O, de donde, con razonamientos análogos a los empleados en el ejemplo l , encontramos
f~-:11;.=0.
(7)
Por eso, la igualdad (6) se reduce a
¡;.h 1~=0.
(8)
Si la funcional (4) se considera para todas las funciones x continuamente diferencíables definidas sobre [a, b], podemos escoger h
de modo que h (a)= O, h (b) *O y entonces obtenemos de la
igualdad (8)
282
CM'. V. ELEMENTOS DEL CALCULO OIFl, Rf.NCIAL EN ESPACIOS
f~,
lr=b =O;
(9)
por otro lado, lomando h (b) =O, /1 (a):=1=.0. obtenemos
¡;, Jtcn =O.
(JO)
Por .consiguiente. de la condición (6) de igualda<I a cero de la
diferencial de la funcional (4) hemos obtenido que la función x,
que ofrece extremo a la funcional (4) debe verificar la ecuación
diíerencial (7) y las condiciones de contorno (9) y (10} en los
extremos del segmento (a, b). Como la solución general de una
ecuación diferencial de segundo orden contiene dos constantes
arbitrarias, tenemos a nuestra disposición un número de condiciones de contorno necesario precisamente para encontrar estas constantes.
2°. Segunda diferencial. Condiciones sufi cientes de extremo de
una funcional. Volvamos de nuevo al problema sobre la búsqueda
del extremo de una función de n variables. Supongamos que p.ara
Ja función f (x,, ... , '°'") se cumple en el punto (x~ • ... , x~r 111
condición df =O. Entonces, como se sabe, para resolver el problema de si hay o no hay efectivamente en este punto un extremo,
debe considerarse la segunda diferencial. Tienen lugar las siguientes proposiciones.
1. Si una función f (x,, . . . , Xn} tiene en un punto (x~, ... , x~)
mínimo, en ese punto <Pf ~O. (Análogamente, si en un punto
M .... , x~) hay máximo, en ese punto <N ~ 0).
2. Si en un punto (x~, ... , x~) se cumplen las condiciones
ti
df =0 y d'f = ~
i!lf
íJx¡iJxk
dx 1dx,, >O
;, k::.1
(cuando no todo dx¡ = 0), la f unclón f (x) tiene en ese punto mi·
nimo (análogamente, máximo, si d'f <O).
Veamos· en qué medida subsisten estos resultados para funcio·
nales definidas en un espacio de Banach.
Sea F una funcional ~eal, definida en un espacio de
·Banach X, con segunda derivada continua en una vecindad del
punto x0 • Si esta funcional alcanza uri mlnimo en el punto x0 ,
1 entonces. d•F (x 0 ) ;?; Ou.
o5MOSTRAc10N. Empleando la fórmula de Taylor, tenemos
TEOREMA 2.
F (x0 +h)-F (x 0) = F' (x0) (h) + -}r (x0 ) (h, h) +o (11hll 1 ).
1>
Esta desigualdad signiiica que F" (x0 )(11, h)-:;,,. O para todo h.
i 2. PROBLeMAs EXTREMALe s
283
Si la funcional F tiene mínimo en el punto x 0 , entonces, F' (x,)=0
y queda la igualdad
F(x0 +h) - F(x 0) = ~F" (x0 )(h, h)+o (ll fl ll•).
(11)
Si para algún h admisible tiene lugar la desigualdad
F" (x0 )(fl, h) < O
( 12)
veremos, teniendo en cuenta que F" (x0 ) (eh, eh)= e•F" (x,) (h, h),
que existen elementos h de nor{Tla tan pequeiia como se quiera
para los cuales también se cumple (12). Pero, el signo de toda
la expresión ( 11) depende, para Uh11 suficientemente pequeño, .del
signo de su término principal {-F (x 0) (h, /1) y obtenemos que
F (x0 +h)-F (x,)= ~
F" (x0 )(h, h) +o (l/11 Ji ') < O,
es decir, que no hay mínimo en el punto x0 • Análogamente se
considera el caso de máximo.
El teorema demostrado es una generalización directa del leo·
rema correspondiente para las funciones de un número finito de
variables. La situación es distinta en el caso de la condición
suficiente. La condición mencionada más arriba d F" (x0) (h, h) > O,
que es suficiente para el minimo en el caso de funciones de ti
variables, no resulta suflciente para. funcionales definidas en un
espacio de Banach de dimensión infinita. Veamos un ejemplo
¡;encillo. Consideremos en el espacio de Hilbert Ja funcional
En el punto O, la primera diferencial de esta funcional es igual
a O y la segunda es igual a
L"'
hª
n~
,
es decir, representa una
ne¡
funcional definida positiva. Sin embargo, en el punto O no ha)•
mínimo, ya que
f(O)=O
y
F(o. ....
o, 1.,
n
º· ...) =-!,--1.<º·
,
n
n
Por consiguiente, en cualquier vecindad del punto O existen puntos en los cuales F (x) < F (0).
Introduzcamos el siguiente concepto. Una funcional cuadní·
ti ca B se llama fuertemente positiva, cuando existe un número
c>O tal que B (x, x) ~ c ll x!l 1 para todo x.
284
CA P. V. l!LEMENTOS DEL CALCULO DIFERENCIAL f.N ESPACIOS
Si una fu11cional F, definida en un espacio de Banach
X, verifica las condiciones
TEOR1U•\A 3.
1) F' (x0)= O,
2) F" (x 0) es una / uncional cuadrática fuertemente positiva, F
tiene mlnimo en el purtto x 0 •
<
DEMOSTRAC10N. Escojamos t >O tan pequeño que para 11 h ll
&
la magnitud o(lf h 11 ') en la igualdad (11) verifique la condición
jo(llhlltll< fllh ll '· Entonces,
F (xo+·h)-F (x0 ) = ~ F" (x 0) (h, h) + o(ll h 11 ª)
para
> ~
llhll 2
>O
llh ll <E.
En un espacio de dimensión finita la positividad fuerte de
una forma cuadrática equivale a que sea definida positiva y por
eso (siendo igual a cero la primera diferencial) es una condición
suficiente de mínimo de una función de un número finito de
variables el que· Ja segunda diferencial sea definida positiva. En
el caso de dimensión infinita (como muestra el ejemplo dado
más arriba). la positividad fuerte es una condición más fuerte
que la de definida positiva.
La condición de positividad fuerte de la segunda diferencial
que garantiza la existencia de mínimo es cómoda porque se puede
aplicar a cualquier funcional (independientemente de su forma
concreta) dos veces diferenciable en cualquier espacio de Banach.
Al mfamo tiempo, esta condición resulta demasiado tosca y difí·
cilmente comprobable en casos prácticos importantes. En e! Cálculo de variaciones se establecen unas condiciones suficientes de
extremo más finas (que emplean la forma concreta de las funcio·
nales que se consideran en los problemas variacionales); sin embargo, la exposición de estos temas no entra en la tarea de
nuestro libro.
§ 3. METODO DE NEWTON
Uno de los métodos bien conocidos de resolución de ecuaciones de tipo
! (x) =
O
(1)
(j es una función numérica de argumento numérico, definida en
un segmento [a, bl) es el así llamado método de Newton o método de tangentes. Ú:msiste en que para resolver la ecuación (1)
se buscan las aproximaciones sucesivas de acuerdo con la fórmula
§ 3. ME TOOO DE NEWTON
285
recurrente
Xn·H
•
f (x,,)
= x,,f' (x,.)
(Z)
(por aproximación nula x 0 se toma aquí un punto arbitrario del
segmento donde está definida f). La interpretación geométrica .de
este método viene dada en la fig. 19. Se puede demostrar que
si x• es la única raíz de la ecuación ( 1) en el segmento [a, b.)
y si la función f tiene en este segmento la primera derivada diferente de cero y la segunda derivada acotada, existe una vecin·
PIG. 19
dad de la raíz x• tal que si el punto x 0 se toma en esta vecin·
dad, la sucesión (2) converge hacia x•.
El método de Newton se puede extender a las ecuaciones en
operadores. Expondremos aquí este método para el caso de ecua·
ciones en operadores en espacios de Banach.
Consideremos Ja ecuación
FW=~
~
donde F es una aplicación de un espacio de Banach X en otro
espacio de Banach Y. Supongamos que la aplicación F es fuertemente diferenciable en una bola 8 (x 0 , r) de radio r (cuyo
centro x 0 lomaremos como Ja aproximación nu la de la solución
que buscamos) y que su derivada F' satisface en esta bola la
condición de Lipschitz, es decir,
ll f' (x,)-F'(x.¡ ) ll ~Lllx1 -x. ll
(L=const).
(4)
Sustituyendo, al igual que en el caso unidimensional, la expresión F (x0 )-F (x) por su parte lineal principal, esto es, por el
elemento F' (x 0 )(x0 - x), obtendremos de (3) una ecuación lineal
F' (x 0 )(x0 -x) = F (x 0), cuya solución x, = x 0 - [ F' (x0 ))- 1 F (x 0) es
natural tomar por la siguiente aproximación de Ía solución x de la
286
CAi'. V. HEMENTOS DE L CALCLlLO D!FEREKC I AL EN ESPAC IOS
ecuación F (x) =O (aquí se presupone, claro está, la ex'istencia
del operador [F' (x0 )J- 1). Repitiendo estos razonamientos, obtendremos una sucesión
X 11 +1 =x11 -[F' (xn)J - 1 (f (x.))
(5)
de soluciones aproximadas de la ecuación (3). En el caso de
dimensión infinita, la búsqueda del operador inverso [F' (xn)]- 1
puede resultar una tarea sufi cientemente compleja. Por eso, conviene, a veces, emplear aquí el así llamado método rnodific!Ul.o
de Newton. La modificación consiste en que, en lugar de la
sucesión (5), se considera la sucesión definida por la fórmula
x,,+, = x,,- [F' (x0 ) ¡-• (F (x,,)),
(6)
es decir, en cada paso el operador inverso [F' (x 0)¡ - 1 se toma
para un mismo valor del argumento x= x0 • Aunque esta modificación reduce la velocidad de convergencia, resulta con frecuencia conveniente desde el punto de v ista de cálculo. Pasemos
ahora al enunciado y a la demostración de la proposición exacta.
Sean. M= ll [F'{x.)J- 1 11. k=/l [F'(x.>J- 1 F(x.)ll y sea
L la constante que figura en la desigualdad (4). Entonces, si
h = Mkl < { y t 0 es La menor de las raíces de la ecuación
ht 2 - t + 1 =0, la ecuación F (x) =O tiene en la bola 11 x-x. 11 ~
~ t 0k una solución única x• y la sucesión {x,,) definida por la
fórmula recurrente (6), converge a esta solución.
TEOREMA •.
Consideremos en el espacio X la aplicación Ax=
= x-[F'(x0 ))- 1 F(x). Esta aplicación transforma la bola
llx-x0 jl ~t 0k en sí misma. En efecto,
D EMOSTRAc10N .
Ax-x0 =x-x0 - (F' (x 0)J - 1 F (x)=
= [F' (x 0)J- 1 {F' (x0 ) (x-x 0 )-F (x) + F (x0 )} -(F' (x0 )]- 1 F (x 0 ).
Pof. eso,
fl!lx- x.11 ~ 1 1 [f' (x.))- 1 1/ · ll F,. (x.) (:c-x.)-F(x) +
+F (x.) 11+11 [F' (x0 )) - 1 F(x.) 11 .
es decir,
11Ax-x0 11
M llF' (x 0) (x-x0 )-F(x) +F (x0 ) ll + k.
(7)
<
Consideremos la aplicación auxiliar
<D(x)=F (x) - F(x 0 )-F' (x0){x-- x 0).
Es diferenciable y su derivada es igual a
<D' (x) = F' (x)- F' (x0 ) .
§ 3 • •~IETODO DE NEWTON
287
Si 1lx-x0 11 < t0 k, tiene lugar la estimación
11 <I>' (x) 11=11 f
' (x) - F' (x 0 ) 11 .;;;; L 11x-x0 11.;;;; Lt 0 k.
De aqul, según el teorema del valor medio, obtenemos
11 <ll(x)11=11 <ll (x) - <l> (x 0 ) 11.;;;; Lt0 kllx-xo 11.;;;; U~k'.
(8)
De manera que siendo l!x-x 0 1i ~t 0k, tenemos de (7) y (8)
11 Ax-x0 11 .;;;;MLt,ikº+ k= k(MLtgk+ I) = k{ht:-J-1) = k/0 ,
y esto significa que la aplicación A transforma la bola 11 X-Xo u~ kto
en sí misma. Probemos ahora que A es una aplicación contraída
de esta bul11. Para llx-x0 )1.;;;;kt0 tenemos
A 1 (x) = / -[F' (x.)J- 1 f' (x) = ¡F' {x0 )J- 1 (F' (x 0 ) - f' (x)),
de donde
11 A' (x) 11 .;;;; M Jlf' (x0) - f ' (x) 11~ ML ll x-xo 11 .;;;; MLkt 0 •
Pero / 0 es la menor de las ralees de la ecuación
h1 2 - 1+ 1 = 0, es decir,
1-- v1-41z
lo =
Por esto,
A' (x) IJ ,;;;; MLk/ 0 = hf 0 ,.,.
2/t
1-vl=Tli
•
= I i -~ =
1-v1 - 411
2
1
= q < 2·
(9)
de donde
11 Ax 1 -Ax,ll~
l
2 nx,-x, ll ·
es decir, A es una aplicación contraída.
Por consiguiente. la aplicación A tiene en la bola 11x -x0 11.;;;;
.;;;; kt 0 un punto fijo x-. y sólo uno. Para este punto
X-=X--(F'(x0 )j- 1 F(x•). es decir, f(x•) = O.
Al mismo tiempo, Axn=x11 -[F' (x,)J - 1 F(x") - x,. ~ , y, en virtud
del teorema sobre las aplicaciones contraídas, la sucesión {x,,}
converge hacia x4.
De la desigualdad (9) se desprende inmediatamente la siguien·
le estimación para la \'elocidad de convergencia del método
modificado de Newton:
11 x,. - x! I ~ :L-11 [F' (X0 )] - 1 F(x0)11.
1- q
288
CAP. V. ELEMENTOS DEL CALCULO DIFERENCIAL EN ESPACIOS
es decir, el error del método modiHcado de Newton disminuye
como los términos de una serie geométrica. Para comparar, indiquemos que el método corriente de Newton (en el que las aproximaciones se definen mediante la fórmula (5) en lugar de la
fórmula (6)) converge más rápidamente que una serie geométrica:
para este método
1
11xn-x•11.;;;; • _, (2h)2• - 1 k.
2
Ejemplo. Consideremos la ecuación integral no lineal
b
x(s)=~K(s, t, x (t ))dt ,
( 10)
a
donde K (s, t, u} es una función continua y continuamente dife.
renciable de sus argumentos. Introduciendo la aplicación y= F (x),
definida por la igualdad
b
y(s)=x(s)-s K(s, t, x(t))dt ,
•
podemos escribir la ecuación (10) en la forma
F(x)=O.
Sea x0 la aproximación nula para Ja solución de esta ecuación.
Entonces, la primera rectificación llx(s) = x1 - x0 se encuentra de
la ecuación
( 11 )
Si la función K (s, t, u) y el espacio funcional, en el que se
la ecuación (10)~ son tales que la derivada F' (x) de la
a.plicación F .se p1,1ede calcular «diferenciando bajo el símbolo de
la integral!>, es decir, si
COl)Sid~ra
z = F' (x0 ) (x)
significa que
b
z (s) = x (s)-} K¿ (s, t, x0 (t))x(t)dt,
a
Ja ecuación ( 1l) se representa en la forma
b
.!lx(s) = ~ K~(s, t, x 0 (/)) llx(t)dt
+ <p
0
(s).
( 12)
§ 3. METODO DE NEWTON
289
donde
h
ll'o (s) = ~ K (s. t, x 0 (t)) dt -x0 (s).
o
Anidogamente se buscan las rectifitaciones siguientes.
De manera que para busci.r cada aproximación siguiente de la
solución de 1~ éc.Uación (10) hay que resotver una ecuación integral lineal. Cuando se emplea el método modificado de Newton,
resulta que en cada uno de estos pasos ha·y que resolver una ecuación lineal con el mismo nucleo.
10
Ht 2150
CAPITULO
VI
MEDIDA,
FUNCIONES MEDIBLES ,
INTEGRAL
El concepto de medida µ (A) de un conjunto A constituye
una generalización natural de los siguientes conceptos:
1) de la longitud l (6) de un segmento /l,
2) del área S (f ) de una figura plana F,
3) del volumen V (G) de una figura G del espacio,
4) del incremento q¡ (b)-c¡> (a) de una Función no decreciente q> (t)
en el semlsegmenlo [a, b),
5) de la integral de una funci ón no negativa en una región
lineal, plana o del espacio, etc.
Este concepto, surgido inicialmente en la Teoría de funciones
de variable real, encontró más tarde múltiples aplicaciones en la
Teoría de Probabilidades, la Teoría de Sistemas Dinámicos, el
Análisis Funcional y en o1ras ramas de las Matemáticas.
En el § l de este capitulo exponemos la teoría de medida
para el caso de conjuntos planos, partiendo del concepto del área
de un rectángulo. La teoría general de medida es explicada en
los §§ 2 y 3. El lector podrá notar que todos los razonamientos
que se realizan en el § l tienen un carácter general y se repiten,
sin modificaciones sustanciales, en la teoría abstracta.
§ l. MEDIDA DE CONJUNTOS PLANOS
1°. Medida de conjuntos elementales. Co11sideremos el sistema @í
de con juntos del plano (x, y). cada uno de los cuales se determina
por una desigualdad de tipo
a~x~b.
a<x~b,
a~x<b,
a<x<b
J
l. MEDIDA DE CONJUNTOS PLANOS
291
y por una desigualdad de tipo
c~y~d.
c<y~d.
c~y < d,
e <Y <d,
donde a, b, e, y d son números arbitrarios. Los conjuntos pertenecientes a este sistema se llamarán rectángulos. Un rectángulo
cerrado definido por las desigualdades
a~x~b.
c~y~d
es un rectángulo en el sentido corriente (con su frontera) cuando
a < b y c<d: es un segmento (cuando a = b y c<d ó a<b y
e= d); es un punto (para a = b y c = d) o, finalmente, el conjunto
vacío (cuando a> b ó e> d). Un rectángulo abierto
a < x < b. e< !f < d
representa en función de la relación entre a, b, e y d, o bien un
rectángulo sin frontera, o bien el conjunto vacio. Cada rectángulo
de los tipos restantes (que llamaremos rectángulos semiabierlos)
constituye o bien un rectángulo sin uno, dos o tres lados, o bien
un intervalo, o bien un semisegmento o bien, finalmente, un conjunto vacío.
Partiendo del concepto de área, conocido de la Geometría
Elemental, definiremos la medida de cada rectángulo de la
siguiente forma:
a) la medida del conjunto vacio es igual a O;
b) la medida de un rectángulo no vacío (cerrado. abierto o semiabierto) determinado por los números a, b, e y d es igual a
(b - a) (d-c).
Luego, hemos asignado a todo rectángulo P un número m (P),
la medida de este rectángulo, de m1mera que se cumplen, evidentemente, las siguientes condiciones:
1) la medidél m(P) toma valores reales no negati\•os;
2) la medida m(P) es adiliva, esto
P;nPk=0 para
i ;/= k,
"
es, si P = U P1t
y
entonces,
n
m (P)= ~ m(Ptl·
k• I
Nuestra tarea es extender la medida m (P), definida µor ahora
para rectángulos, a una clase más general de conjuntos, conservando las condiciones ! ) y 2).
:l92
CAP. VI. MeDIDA. FUNCIONes MEDIBL!lS. INTEGRAL
El primer paso en esta dircccíón consiste en extender el 1:9ncepto de medida a los así llamados conjuntos elementales. Un
conjunto plano se llamará elemental cuando puede ser representado,
al menos de una forma, como la unión de un número finito de
rectángulos disjuntos dos a dos.
En lo que sigue necesitaremos el siguiente teorema.
1. LA unión, la intersecciótt, la diferencia y la diferencia
simétrica de dos co11jutttos elementales son también conjuntos
1 eleme11/ales.
TeOREMA
oeMOSTRAC•oN. Está claro que la intersección de do3 rectángulos
es de nuevo un rectángulo. Por eso, si
son dos conjuntos elementales, también
A n B= U (P,,.n Q¡)
lt, (
es un conjunto elemental.
Es fácil ver que la diferencia de dos rectángulos es un conjunto
elemental. Consecuentemente, sustrayendo de un rectángulo un
conjunto elemental, obtenemos de nuevo un conjunto elemental
(como Intersección de conjuntos elementales). Sean ahora A y B
dos conjuntos elementales. Es obvio que existe un rectángulo P
que contiene a ambos. Entonces,
A U B = P ".. ((P ".. A) n (P ".. B)J
es, de acuerdo con lo señalado anteriormente, un conjunto elemental. De las igualdades
A".. B = A n (P "- 8)
y
A 6 B ... (A U 8) "..(A
n 8)
se deduce entonces que la diferencia y la diferencia simétrica de
conjuntos elementales son conjuntos elementales. El teorema queda
demostrado.
Definamos ahora la medida m' (A) de conjuntos elementales
del siguiente modo: si
§ l. MEDIDA DE CONJUNTOS PLANOS
293
donde P k son rectángulos disjuntos dos a dos, tornamos
m'(i<\) ~ ~m(P1;).
k
Probemos que m' (A) no depende de ·1a forma de representar
conjunto A como unión de rectángulos. Sea
A= U i\= U
al
Qj:
!
k
donde P• y QÍ son rectáng,ulos y P ¡ íl P" = 0., Q, (l Q11 = 0 _pai;~
i + k. Como a in terseccíón P" ri Q1 de dos rectángulos es uh
rectángulo, tenemos, en virtud de la aditividad de la medida de
rectángulos.
~ m(Pk)= ~ m(Pi.íl Q¡) = ~m(Q 1).
k
k, i
/
Es fácil ver que la medida de conjuntos elementales definida de
esta forma es no negativa y aditiva.
Establezcamos la siguiente propiedad de la medida de conjuntos elementales importante para lo sucesivo.
TEOREMA 2.
Si A es un conjunto elemental y;lfAnJ es un sistema
finito o numerable de conjuntos elementales tal que
Ac U An•
entonces,
n
m' (A)< ~m' (A,.).
(l)
n
Para cualquier e> O y un conjunto A dado es
posible, evidentemente, encontrar un conjunto elemental cerrado A
contenido en A que verifique la condición
DEMOSTrtAc10N.
m' (A);;¡;,m' {A)- ~ .
:P
( Para ello es suficiente sustituir cada uno de Jos k rectángulos 1
que componen fA por un rectángulo cerrado contenido en él de
área mayor que m(P¡)- ~).
Además, para cada An se puede encontrar un conjunto elemental abierto A,. que contiene A y verifica la condición
m' (A.)::>;; rn' (An)+ 2.e+i.
294
CAP. VI. Ml! OIOA, PUNCIONES -'ll?OIBLES, INTl?ORAI.
Es tá claro que
"Ac: U .4,,.,
n
De acuerdo con el lema de Heine- Borel, se puede extraer de {An}
un sistema finito An, • . .. , An, que cubre A. Es obvio que
s
m'(A ~ ~ m' (An1)
1= 1
(de lo contrario A resultaría cubierto por un número finito de
rectángulos de un área total menor que m' (A), lo cual es im po·
sible). Por eso,
' m' (An
m' (A) ~ m' (A)+ f~ L
1)
+{-~ Lm' (A,.)+{-~
n
l•t
~ L m'!(An) + L
n
n
2 ne+ '
+f= L. m' (A,.) +
e.
de donde, debido a la arbitrariedad de e> O, se desprende (!).
2". Medida de Lebcsgue de conjuntos planos. La clase de conjuntos elementales no agola todos los conjuntos que se consideran
en la Geometría elemental y en el Anállsis clásico. Resulta natural , por eso, plantear el problema de la extensión del concepto
de med ida, conservando sus propiedades principales, a una clase
de conjuntos más amplia que la compuesta por uniones fin itas de
rectángulos de lados paralelos a los eje.5 de coordenadas.
Este problema fue resuelto, en cierto sentido de un modo
definitivo, por H. Lebesgue a principos del siglo XX.
Al presentar la teoria de medida de Lebesgue tend remos que
considerar no sólo uniones finílas sino también un iones infinitas
de rectángulos.
Para evitar que aparezcan en este caso conjuntos de «medida
infinita», nos limitaremos a considerar en lo sucesivo conjuntos
contenidoslntegramenteenel cuadrado E= {O~x~ l ; O~y~ 1}.
En la clase de estos conjuntos definiremos como sigue dos
funciones µ• (A) y µ.(A).
DEFtN1c10N
número
1.
Se llama medida superior
~,· (A)
del conjunto A al
inf ~ m(Pk)•
A cU P•
donde la cota iníerior se toma respecto a todos los cubrimientos
del conjunto A por medio de sistemas finitos o numerables de
rectán¡,'lllos.
S l. .\\l!OIOA DI! CONJUNTOS PLANOS
OEFtNtCtON 2.
295
Se llama medida inferior µ.(A) del conjunto A al
número
1- µ* (E"'- A).
Es fácil ver que siempre
!l. (A)~ tJ."(A).
En efecto, supongamos que para un conjunto AcE se tiene
µ,.(A)> µ•(A),
es decir,
µ"(A)+Jl• (E"- A)< l.
De acuerdo con la definición de la cota inferior max1ma, existirán entonces dos sistemas de rectángulos {P 1} y { Q 1} , que cubren A y E"- A, respectivamente, tales que
~ m(P 1)
1
+ ~m(Qt) < l.
k
Sea (R¡) la unión de los sistemas {P;} y {Q 1); tenemos
Ec: U R1 y m(E)> ~ m(R1).
I
'
lo que contradice al teorema 2.
ol!FtN1c 10N 3. Un '.conjunto A se llama medible (en el sentido de
Lebesgue) cuando
µ.(A)=µ•(A).
El valor común ~l (A) de las medidas superior e inferior de un
conjunto medible A es su medida de Lebesg~.
3°. Propiedades principales de la medida de Lebesgue y del~
conjuntos medi bles. Demostremos primero la siguiente propiedad
de la medida superior.
TeOtH! MA 3 .
Si
donde lA,,} es uri sistema f inílo o numerable de co11ju11tos, se tiene
µº(A)~ ~µ*(A,,).
n
DEMOST1lAc10N. De acuerdo con la definición de medida superior,
para cada A,, existe un sistema de rectángulos {P,,.1. finito o nu-
296
CAP. Vl •. MEDIDA, FUNCIONES MEDIBLES. INTEGRAL
merable, tal :que A,;c LJP ;,k y
k
L.m (Pnk) ~µ•(A,,) + ~ ,
-.
donde e> O es escogido arbitraiiamente. En este caso
n 11
Como e > O es arbitrario, de aquí se deduce la afirmación del
teorema.
Más arriba hemos introducido ya el concepto de medida para
conjuntos que hemos llamado elementales. El teorema que sigue
muestra que en el caso de conjuntos elementales la definición
3 lleva al mismo resultadQ.
TEOREMA 4 .
Los con¡untos elementales son medibles y para ellos la
medida de Lebesgue coincide con. la medida m' (A) construida
1 anteriormente. ·
DEMOSTRACION . Si A es un conjunto elemental y P,, Pt • .. ., Pk
son los rectángulos disjuntos dos a dos que lo componen, tenemos
por definición
k
m'(A)= ~ m(P;).
I= 1
Como los rectángulos P¡ cubren todo el A,'.:_tenemos
µ•(A)~
2; m(P1) =m' (A).
1
Pero si {Q1} es un sistema arbitrario finito o numerable de rectán·
gulos que cubre A, entonces, de acuerdo con el teorema 2,
m'(A)~~m(Q 1) ; de manera que m'(A) = µª(A).
--
'
Como E"-A es también un conjunto elemental, tenemos
m' (E"-A) = µ• (E"-A). Pero
m' (E"-A)= 1-m' (A) y µ•(E"-A) = 1- µ.(A),
de donde
m' (A) = µ. (A).
s •. MEOl'DA
Por
oe
CONJUNTOS PLANOS
consi~uiente,
J.1' (A)=' µ..(A)=m' (A).
Del resultado obtenido se desprende que el teorema 2 es un
caso particular del !eorema 3.
TEOllEMA 5. Para que urt conjunto A. ~a')medi"lile es necesario u SU·
f iciente que se c11mpla la siguiente amdición: cualquiera que
sea e> O 11xiste un con¡unlo'tlertfehtal B, tal que ·
µ.•(A ~B)
1
<e.
De e5ta forma, son medibJes:aqt.Je1.los con1untós, y sólo aquéllos,
que pueden ser «aproximados•"·cor.1i1 tuklquier grado de presicioñ
por conjuntos elementales. Para demostrar el teorema 5 necesita!
rernos el siguiente lema.
L!M/\. Fara dQs cualesquiera conjuritos A y 8 se tiene
1µ• (A) DEMOSTRACION DEL LEMA.
µ.• (8) I ~ f'~ (AL>.B).
Como
Ac:BU (Á68);
tendremos, en virtud del teorema 3,
ft' (A) ~ 14'(B)+µ•(A68).
De aquí se desprende la propo!iición del lema para el caso en que
µ°(A )~ µ•(B).
En cambio, si µ' (A}~µ.'(8), la afirmación del
lema se desprende de la desigualdad .
µ.•(8)~14·
(A)+ µ' (A68),
que se demuestra de una manera análoga.
DEMOSTRACION DEL TEOREMA s. SUFICIENCIA. . Supongamos que para
cualquier e> O existe un conjunto elemen!al B tal que
¡t• (A 6 B) < e.
Entonces, de acuerdo al lema,
1µ• (A)-m' (8) 1=1 µ• (A)-µ' (8) / <e
y como
(~A) 6
(2)
(E"-8) = A68,
de la misma forma obtenemos que
!µ• (E"-A)-m' (E"-8) j <e.
Teniendo en cuenta que
m' (BH-m' (E"- B)=m' (E) =* !,
(3)
298
CAP. VI. MEDIDA, FUNCIONl!S 1'\EDIBLl!S,
IN T EG~AL
encontramos de las desigualdades (2) y (3)
111' (A) + µ.• (E',A)-1 1 <2~
y como e> O es arbitrario, tenemos
µ•(A)+ µ"(E"-.A) = 1,
es decir, el conjunto A es medible.
:.1 Eces10Ao. Sea A medible, esto es,
µ' (A)+µ' (E"'-_A)""' l.
Para un e > O arbitrario busquemos unos cubrimientos de los
conjuntos A y E"-.A mediante sistemas de rectángulos (Bn} y {C"}
tales que
L, m(B.) <µ.' (A)+Í. y L, m(C.) ~ µ.'(E'-.A> +1- ·
"
n
J
Como ~ m(B.) < oo, existirA un N tal que
n
tomemos
L
m(B.)< t ;
n> N
Demostremos que el conjunto elemental B satisíace la condición ~i·(A ,68) <e. Está claro que el conjunto
rontiene A"-.B¡ que el conjunto
~ntiene
B"-. A y que, por consiguiente,
A~ Bc:PuQ.
Además,
µ•(P)<
L. m(B.) <i·
n>N
Estimemos µ• (Q). Para ello observemos que
§l. MEDIDA DE CONJUNTOS PLANOS
299
~m(Bn)+ ~m' (Cn"B);;;;i: l.
(4)
de manera que
n
n
Pero, por hipótesis,
Lm(Bn)+ Lm(Cn)~µ.º(A)+µº(E"A)+~= l +
n
n
~·
(5)
Sustrayendo (4) de (5), obtenemos
Lm(C,,)- Lm'(C,,"B)= }.':m' (C,.nB)<je,
n
n
n
es decir,
Por eso,
µ• (AD,B) ~ µ.• (P)
+ µ.• (Q) < e.
Luego, si A es medible, cualquiera que sea e> O existe un conjunto elemental B tal que µ.• (AD,B) <e. El teorema queda demostrado.
T l!OREMA 6.
1
La unión y la intersección de un número finit o de con·
juntos medibles son conjuntos meáibles.
oeMOSTRAC10N. Es obvio que basta realizar la demostración para
el caso de dos conjuntos. Sean Al y A, conjuntos medibles. Entonces, para cualquier e> O existen conjuntos elementales B, y B,
tales que
Como
tenemos
µº((A 1 U A,) 6 (8, U B,)]
~ µ.• ( A,
6 B,) + µ•(A,6 B.)_< P..
Pero, B, lJ B, es un conjunto elemental; luego, en virtud del
teorema 4, el conjunto A, u A, es medible.
Por definición de conjunto medible, siendo A medibl e, tam-
bién E". A es medible; por esto, la intersección de dos conjuntos
medibles es medible en vista de la relación
A, n A, = E". [ lE".A,) U (E".A2)].
300
CAP. VI. MEDIDA, PUNCIONES MEOIBL.ES, INTEGRAL
diferencia y la diferencia simétrica de dos conjuntos
metlibles son medibles.
Esto se deduce de1 teorema 6 y de las igualdades
COROLARIO . La
AL"-.A, =A, íl (E"-.A,), A ,6A, = (A ,'-.,A.) U (A, "-.A ,).
TEOREMA 1. Si A,.
1 a dos, entonces,.
•. . , A,, son con¡untos medibles disjuntos dos
f
µ e~ Ak)= ~l (Ak).
(6)
1
DEMosr ~c 1~. Al ,ii;¡u(\I que en el teo(e,ma p es suficiente considerar el ·caso il.""' 2: ·t::scojamos arbilra'rfa"ménte un •é >O y sean
8 1 y 8 2 conjuntos elementá'les tales que
µ*(Au~ B 1) < e,
µ*(A d~
(7)
B.) <e.
(8)
Pongamos A= A, U A, y B = B, ll B,. De acuerdo con el teorema ·5,
el conjunto A es· medib-le. übmo los conjuntos A, y Ai no se
intersecan1
,B,,n 8,;c(A,.6 'f:.!¡) u (A , 6 ..8,)
y, por consiguiente,
m' (¿1,'0;8.) ~· 2e:
(9)
De (7) y (8) resulta, en virtud del lema dei teorema 5, que
(JO)
1m' (81 ) -µ• (,t,) t <e,
l'm' (B,)~¡.i• (A2) 1 < e.
(1
Puesto que la medida es aditiva en la clase de conjuntos
tales, obtenemos de (9), (IO) y (11)
m' (B)
= m' (8 +m' (B,)-m' (8
1)
Observando! ·a,demál¡¡ que
tramos finalmente
1
íl B,) ;;;;;. µ.• (A 1 )
q
elem~n­
+ µ.• (A )-4e.
1
A f1Bc(A,6 8 1 ) U (A.¡ 6.B2).
encon-
µ•(A};;;,,m: (B)-µ•(A ~B) ~ m' (B) - 2e~µ.º (A 1 )+µ• (A,) - 6&.
Gamo
e~ >
O se puede eseoger t¡:in pequeño como se quiera, tenemos
µ•-~A} ~pt ~A 1 ) +
P.or··serr siempre
opuesta
vfll~da1 (en:"i'irtud
•µ• (A i)· ~
del teorema (3)) la· di:sigualdad.
:¡o1
S 1. 1-ll!DIDA DE CONJUNTOS PLANOS
para A= A, U A., obtenemos en conclusión
µ•(A) "" µ• (A1)
+p.•(A.);
como A:,., .A, y A. son medibles, se puede ~ustltuir aq\11 ,µ• por ,f.t,
El teorema queda demostrado.
TEOR~MA a. La unión e intersección de un 11úntero 11umúablA de
1 cort/witos' medibles son. cd11/U11ios metÍihúi.~
Dl!MOST~ACION.
Sea
·A,, A,, ... , Aª' ...
un sistema 11umerable de conjuntos medi·bles y sea.
.,
n-1
A=,U A•.
n=l
Tomemos A~= A,.""-LJ A•. Está claro que A= U A~ y que los
t= f
,,...
'
conjuntos A~ son disjuntos dos. a dos: En. victud del teqrema 6
y de su corolario, todos los conjuntos A~ son medibles. En virtud
del teorema 7 y de la definición de la medida superior, para
cualquier n finito
±µ{Ak) = µ( LJ Aí,J~µ*(A),
kc L
por lo que la. serie
kc: J
¡
..
~µ (A~)
11cl
converge: de manera que para lodo e > O existe un N tal que
(121
N
Por ser medible el con junto C
=U A~ (como
unión de un nú-
n .:::\
mero finito de conjuntos medibles). exiSte ·un conjunto elemental
B fa¡ queµº {(,6 8) <
i·
Como
Ab,.Bc(CíYJ) l! (
U A~)·
n>N
(13)
302
CAP. VI. MEDIDA, FUNCIONBS MEOIBl.E S . INTEGRAL.
de (12) y (13) se deduce que
µ•(A6B) <e.
En virtud del teorema 5, esto significa que el conjunto A es medible.
Puesto que los complementos de conjuntos medibles son medibles, la parte del teorema correspondiente a la~ intersecciones
se desprende de la igualdad
n
El teorema 8 es una generalización del teorema 6. El teorema
que sigue constituye una generalización correspondiente del
teorema 7.
Si (A,,} es una sucesión de conjuntos medibles disjuntos
dos a dos y si A= U An• se tiene
TEOR EMA 9.
µ(A)=~µ (Anl·
11
DEMOSTRACJON.
Según el teorema 7, para cualquier N
N
µ (~
N
1 A )=~ ~t(A,,) <µ(A).
11
Pasando al limite para N----+ oo, obtenemos
..
µ(A) ~ ~ µ(A,,).
(14)
n:I
Por otro lado, según el teorema 3,
..
µ{A)~~ µ(A,,).
(15)
n~I
De (14) y (15) se desprende la afirmación del teorema.
La propiedad de la medida establecida en el teorema 9 es
llamada adilivida.d numerable o u-aditivida:i. De la a-aditivida i
se deduce la siguiente propiedad de la medida llamada co:1ti·
nuidad.
TEOREMA 10.
Si A1 ::>A.::i . .. es una st<cesión de ccnj11ntos medibles sumergidos unos en otros y st A = nA,,, se tiene
µ(A)= lim µ (An).
~
n-.,
s l.
MEDIDA
oe
CONJUNTOS PLANOS
303
Obviamente bastará considerar el caso A = 0 , ya que el caso
general se reduce a éste sustituyendo An por An"-A. Entonces,
A, = {A 1"-A 1 ) U{A."-A,) U ...
y
An = (A,." A,.+,) u{An+I"An+1) u . ' '
Por consiguiente,
..
..
µ {A.) = ~ µ( A,."-.A.+i);
µ{A 1) = ~ µ(A•"-A.t+1)
(16)
. El
y
(,17)
lt•n
como la serie (1 5) converge, su resto (17) tiende a cero para
De manera que
µ(A.)-0 para n- oo,
11 - • oo.
que es lo que necesitábamos demostrar.
COROLARIO. Si A, e A1 c . . . es una sucesión creciente de coniUJ1·
tos medibles y si
se tiene
µ(A)= lirn µ {A.)
Para demostrarlo es suficiente pasar de los conjuntos An a sus
complementos y recurrir al teorema 10.
De esta forma hemos extendido la medida de conjuntos elementales a una clase más amplia de conjuntos, llamados medi·
bles, cerrada respecto a las operaciones de unión e intersección
n•Jmerables. La medida construida es o·aditiva en esta clase de
conjuntos. Los teoremas demostrados permiten hacerse una idea
de la clase de todos los conjuntos medibles según Lebesgue.
Como todo conjunto cerrado, contenido en E, se puede representar como la unión de un número finito o numerable de
rectángulos abiertos, esto es, de conjuntos medibles, todos los
conjuntos abiertos son, en virtud del teorema 8. medibles. Los
conjuntos cerrados son complementos de los abiertos y, consecuentemente, son también medibles. Según el teorema 8, serán
también medibles todos aquellos conjuntos que se puedan obte·
ner a partir de conjuntos abiertos y cerlados mediante un número
finito o numerable de operaciones consistentes en considerar
uniones o intersecciones numerables. Se puede demostrar, sin
004
CAP. Vt. ·MEDIDA, itONCtONES Jlll!Dl'al.ES. INTEG RAi..
embargo; qúe cqn estos con'JuntoS'.no se agota la clasé de todos
los conjuntos medibles según.,Lel:>esgue.
4º . Algunos suplementos y generalizaciones. Hemos considerado
anteriormente sólo aquellos can_jµ,ntos ,del plano .que son subconjuntos del cuadrado unidad1 Ei= {O~ x, !f~ l }. No es dificil
librarse de esta restricción, por ejemplo, del siguiente. ¡nodo.
Considerando todo el plano como la unión de los cuadrados
ie,.,;, = {n:;;;;; x ~ n + 1, (li;~y.· ~ m l} ¡ (n, 91 son números enteros), diremos que un conjunto plano A es medible cuando es
medible su intersección A,,.,= A,, íl E,,m con cada uno de estos
c11adrados y cuando la serie , ~ µ'(A,,,. ) converge, tomando por
l'.f:e'flnición
µ IA) = ~ j.( (An,,,)-
+
n,"" '
11: "'
Todas las propiedades de la medida que ·hemos establecido anteriormente se extienden . de manera ol:¡via'- a este caso.
En este parágrafÓ hemos expuesto la construcción de la medida de Lebesgue para los •conjunfos ·plilnbS'. De manera análoga
se p~de constmir la, , ,n~di.da de . Lebesgue en la recta, en el
espacio de tres dimensiones y, en general, en un .espacio euclídeQ
de cualquier dimensión n. En , todos estos casos la medida es
construida siguiendo las mismas ideas: a partir de la medida definida de antemano para un sistema de conjuntos elementales
(rectángulos en el caso del plapo; intervalos (a. b), segmen tos
[a, bJ y semisegmentos -(a: ' bl y [a; =b) en el caso de Ja recta;
etc.) definimos primero la mecl'ida para uniones finitas de estos
conjuntos, extendiéndola después a uria clase •mucho. más amplia
de conjuntos, a la clase de conjuntos medibles según 'Lebesgue.
Para conjuntos de un espacio de cualquier dimensión la· propia
definición. de conjunto medible se conserva textualmente.
;i.•1.A:l· :intróducir el concepto .de medida de Leb~gue hemos partido -de . Ja· definición habitual del área. · En el caso unidimension:al..la. -construcción análoga se basa en el concepto de la longitud
de un· .intervalo (de un segmento, .de un -semisegmento). No. obstante,. es posible introducir en este. caso el concepto de la · •medida' .d e otra forma, algo más .genera') (que frecuentemente aparece
en la 'práctica).
Sea lf (t) una función no decreciente y continua a la izquierda
definida en la recta. Pongamos
m(a, b)=F(b)-F(a+O) .
m[a, b]=F(b+O) -F (a),
m(a, b]~F(b+O)-F(a+O),
m[a, b)=F(b)-F(a).
·§ ·l. MEDI &,,. DI! CONJlJNTOS PLANOS
305
Es fácil ver que la función de intervalo m, definida de esta forma,
es no negativa y aditiva. Aplicando a ella razonamientos análogos a los realizados en este parágrafo, podemos construir una
~edida> µF(A). La .claSEI de coojµntos m.edibles .según. ~ta. J!J!!·
did'a será cerrada respecto a las un'iones ·e i'ntersección~· riu,qi,e;
rabies, mientras que la medida µp será o-aditiva. La clasé de
conjuntos medibles según µp dependerá,¡ en general, de la selección de la función F. Sin embargo, cualquiera que sea F, los
CQnjuntos abiertos y cerrados y, por consigu,iente, tod.as las. u_niones e intersecciones numerables dé los · mismos krán . méO itir~.
Las medidas que se obtienen a partir de una u otra runción F se
llaman medidas de Lebesgue-Stieltjes. •En particular, a la función
F (t) = t corr~ponde Ja medida ,corriente de Lebesg4e en la r~ta.
, t..hfa medida fLF qué' se an'ula "en.' cualquier conjunte: d1yA
medida ·corrierife de Lebesgue es igu:if'':á1 O, se ' llama absolutamente contitiUa. Una medida llr .concentrada ' total meo te en 'un
conjunto finito o numerable de puntos (esto &urrirá cada vez
que el con¡·unto de valores de la función P (t) sea' finito o numerable) se 1 ama discreta . Una medida µF se !jama singular cuando es igual a cero para cualquier con ji.in to coinp1¡esto de un punto
y cuando existe un conjunto M de .medida de Lebesgue igual a
O tal que la medida ~ 1.. de su complemento es igual a O.
Se puede demostrar que toda medida flr es suma de. una me·
dida absolutamente conlínua, una medida discreta y una medid<!
singular. A las medidas de Lebesgue-Stieltjes vol veremo~ en el
capítulo siguiente.
·
Existencia de conjuntos no medibles. Como se ha demostrado,
la clase de conjuntos medibles según Lebesgue es muy amplia.
Surge la pregunta natural de si existen, en general, conjuntos no
medibles. Vamos a demostrar que este problema se resuelve po·
sitivamente. Lo más sencillo es construir conjuntos no medibles
P.n la ci rcuníerencia.
Sea C una circunferencia de longitud 1 y sea a un número
irracional. Asignemos a una rnisina clase aquellos puntos de la
circunferencia C que se transforman unos en otros mediante· una
rotación de la circunferencia C de valor angular nan (n es un
número entero). Cada una de estas clases quedará compuesta,
obviamente, por un conjunto numerable de puntos. Escojamos
ahora un punto en cada una de e5tas clases. Probemos que el
conjunto obtenido de est.a forma (denotémoslo con <D0) no es medible. Sea <D. el conjunto que se obtie!le de (]) 0 por una rotación
de valor angular nan. Es fácil ver que los conjuntos <D. son dis·
juntos dos a dos y que la unión de ellos es Ja circunferencia C.
Si el conjunto <D0 fuese medible, también serian medibles los
conjuntos <Dn congruentes a él. Como
306
CAP. VI. MEDIDA. PUNCIONES MEOIBLES. INTEORAL
"'
e= u
Cl)n•
Cl)n
net>., = 0
para n =I= m,
podríamos concluir de aqui, debido a la a-aditividad de la medida, que
"'
1 = ~ µ. (<I>.J.
(18)
Pero los conjuntos congruentes tienen la misma medida; luego,
si CJ>0 es medible, tenemos
µ (<I>,.) = µ (c:D).
Esto demuestra que la igualdad (18) es imposible, ya que la
suma de la serie, que figura en el miembro derecho de la igualdad (18), es igual a O cuando ~l (cI>0) = O y es infinita cuando
µ (<I>0 ) >O. De manera que el conjunto <1> 0 (y, consecuentemente.
cualquier conjunto <I>.) no es medible.
§ 2. CONCEPTO GENERAL DE MEDIDA .
PROLONGACIÓN DE UNA MEOIDA!DE UN SEMIANILLO A UN ANILLO.
ADlT!VlDAD Y o-ADITIVIDAD 11
1°. Definición de medida. Al construir la medida de conjuntos planos hemos partido de la medida (el área) de un rectángulo. extendiendo después el concepto de medida a una clase
más amplia de conjuntos. Lo esencial en la construcción, expuesta
en el parágrafo anterior, no es de ninguna manera la expresión
concreta del área de un rectángulo; son esenciales para esta construcción dos hechos generales: 1) el área de un rectángulo es
una función de conjunto no negativa que satisface Ja condición de
aditividad, esto es,
m(P, U P,) =m(P,)+m(P,) cuando P,nP,=0
y Z) el conjunto de rectángulos constituye un semianillo de
conjuntos. Por esto, a la construcción expuesta en el § l para
el caso de conjµntos planos se le puede dar una forma totalmente abstracta y general. Con ello se ampliará sustancialmente la posibilidad de aplicar nuestras construcciones. A esto
estén dedicados los dos parágrafos que siguen.
lntroduzcatnos, ante todo, la siguiente definición fundamental.
DEF 1N1c10N 1. Una función µ.(A) de conjunto se llama medida
cuando
1 > En e.te parágrafo en lo que sigue emplearemos sistemáticamente los
conceptos y resultados expuestos en el § 5 del cap. l.
S 2.
CONCEPTO CENERAL DE MEDIDA.
1) el campo de definición 6,. de la función µ (A) es un semi·
anillo de conjuntos;
2) los valores de la función µ (A) son reales y no negativos;
3) µ(A) es aditiva, esto es, para cua lquier desco mposición
fin Ita
A = A 1 U .• . UAn
de un conjunto A E<S. en conjuntos A• E€;" se verifica la igualdad
n
µ(A)= ~µ(AJ.
k=l
Observación. De la descomposición 0 = 0 U 0 se deduce que
µ(0 ~ 2µ(0), es decir, 11(0) = 0.
Los dos teoremas que vienen a continuación sobre medidas
en semianillos se emplearán frecuentemente en lo sucesivo.
TEOREMA 1. Sea µ una medida defitiiáa en un semianillo e ... Si
los ron juntos A ,, .. . • A,,. A pertenecen a ~.. y At so11 subconjuntos disjuntos dos a dos de A, se tiene
n
~µ(A*):s;;;µ(A) .
k=l
DEMOSTRAc1011. Por ser @)"' un sernianillo existe, en virtud del
lema l del § 5 del capítulo 1, la descomposición
donde los n primeros conjuntos coinciden con los conjuntos dados A1 , •••• A,,. Como Ja medida de cualquier conjunto es no
negativa, tenemos
"
s
Jlc;;: l
k~l
~ µ(Ak):s;;; ~ ¡;(Ak)=µ(A).
n
TEOREMA
2.
Si A,. . .. , An, A pertenecett a €" y A e
U A..
se
k=t
1
tiene
•
µ(A),;;;;; ~ µ (Ak).
k=l
Dl!~\OSTRAc1011 . En virtud del lema 2 del § 5 del capítulo l,
existe un sistema de conjuntos disjuntos dos a dos B,, .. . , B,
308
CAP. VI . MEDIDA, FUNCIONES MED l!lLES, INTEGRAL
de e~ tal que cualquier conjunto A,, Ai, ... , A., A ·se puede
representar como la unión de determinados conjuntos BJ:
A~
U Bs, .fA~ ·=
lJ B,.
k = 1, 2 •. .• • , n,
donde cada indice s E M 0 . p.er\encte también a un Mk- Luego,
cada término de Ja suma
~ µ. (Bs) = ¡t (A)
SE M•
figura 1ina o varias veces en la suma doble
lt
L L
11
k.:s¡ S EAfk
µ.(Bs) = ~ µ.(Ak).
k c:1
De aquí se desprende ·precisamente que
n
µ(A)< ~ µ (A.J.
k= l
n.=.l tenemos el resultad.o sig uien te.
coRoL,\ Rro: Si Ac:A,'_, .se Ufne µ. (A)<µ.{A').
En
particular~ pars
2°. Prolongación de una medida en un semianillo al an illo
generad<?. E l primer paso :en construir Ja med ida de· conjuntos
planos consistió en exten~er el .concepto ¡:le fll~d ida de l.{n ;e~ján­
gulo a los conjuntos elementales, es decir, a las uniones finitas de
rectángulos disjuntos dos a dos. Veamos ahora el análogo abstracto
de t'ste problema. Enunciemos, ante todo. la siguiente definición.
Una medida µ se llama prolongación de una medida· m cuando €?,ne:€>\' -Y cuando para todo A E@;,,. se cúmple
la- igualdad
·
µ(A)= m(.4).
DEF1N1c10N 2.
El ob jeto de este punto es demostrar . la
sigue.
'IEORplA ,3 .
proposición que
_Para cada m (A), definida en un semia11illo €?,., exis te
.,, un'a ·pro/'origación
µ~A),
definición el anillo
DEMOSTRACION.
y sólo una, que tiene como campo de
m(@>m) (esto es, el anillo minírnal
sobre €:;,.).
Para todo conjunto A E íJ1 (@>,,,) existe la descom-
posición
n
A•=
U
•=1
B ,, (B*E~,,.)
( l)
s 2. CONCl!PTO GENERAi- oe MBOIDA.
(teorema.~3,
§ 5, capítufo I). Tomemos por definición
n
µ(A) =
l; m (8.).
(2)
k~ I
Es íácil ver que la magnitud µ(A), definida por la igualdad (2),
no depende de cómo se escoja la descomposición (1)..
En eie<-lo, consideremos dos descomposiciones
· ·
"
A = U B¡= U C¡. B 1 E(i,., C1 E ®m·
1~1
j;.,,
Como todas las interscccíoi:ies B1 n,G¡; per,!enecen a !B.,, tenemos,,
en vista de la aditividad de Ja medida m,
1~ m(B;)= 1 ~ i~ m (8 1 n C1>=:Jt ~1 (C1),
r
r
n
''
que es lo que queríamos demostrar. Es evidente, que la función
µ(A), definida por la igualdad (2~, es no negativa y aditi va.
Luego, hemos demostrado la existencia de la prolongación µ. de
la medida m al anillo ~ (0m)· Para demostrar su unicidad obser·
vemos que, de acuerdo a la definidón de prolongación{ si
11
A=
U B.t,
donde B.t son cofijunlo,s disjuntos de 0,,., tenemos
k•I
para cualquier prolongación
µ de
la medida rn al anillo ill (2>,,)
il(A) = ~~(B.) = }.: m (B•) = µ (A),
es decir, la medida i' coincide con la medida µ definida por la
igualdad (2). El teorema queda demostrado.
Este teorema constituye, de hecho, la repilición, en términos
abstractos, de la construcción realizada en el § 1 al prolongar la
medida de rectángulos a la clase de conjuntos elementales que
representa precísamen'te· el anillo mini mal sobre el semianillo de
rectángulos.
3º. Adltividad numerable. En diferentes cuestiones del Análisis
es preciso considerar, además de uniones f!nilas. uniones de un
número numerable de conjuntos. En este o~den la cond.ición de
aditlvldad, a la que hemos sometido las medidas (definición 1)
resulta insuficiente y es natural sustituirla por una condición más
íuerte de la así llamada aditividad numerable.
DEF1N1c10N 3. Una medida µ. se llama aditioo numerable (o O'·adi·
t iva) cuando para cualesquiera conjuntos A, A 1 , A,, .. . , Ano ... ,
310
CAP. VI. MBO IDA. PUNCIONES Ml!OIBLES, INTEGRAL
que pertenecen a su campo de definición GI' y que verifican las
condiciones
n"'I
tiene lugar la igualdad
La medida plana de Lebesgue, construida en el § l, es a-adi·
ti va (teorema 9). Un ejemplo de una medida a-aditiva de una
naturaleza totalmente distinta se puede obtener del siguiente
modo. Sea
X= {x1 , x., . . . }
un conjunto numerable arbitrario y sean los números p,. >O
tales que
El campo Gm se compone de todos los subconjuntos del conjunto X. Tomemos para cada AcX
µ(A) = 1: p,..
X¡t E A
Es fácil ver que µ(A) será una medida a-ad itiva y que
µ (X) = l. Este ejemplo surge de un modo natural en diferentes
cuestiones de la Teoría de probabilidades.
Señalemos un ejemplo de una medida aditiva que no es a-aditiva. Sea X el conjunto de todos los puntos racionales del segmento [0, l J y sea s . . el conjunto formado por las intersecciones
del conj unto X con intervalos (a, b), segmentos [a, bl o semisegmentos (a, b) y (a, b) arbitrarios. Es fácil ver que G~ forma
un semi;uiillo. Tomemos para cada conjunto de este tipo
µ (Aa~) = b-a.
Esta medida es aditiva, pero no es a-aditiva, ya que µ(X)= 1
y al mismo tiempo X es la unión de un número numerable de
puntos cada uno de los cuales tiene medida O.
Las medidas que consideraremos ahora y en el parágrafo
siguiente se suponen a-aditivas.
TEOR l!MA 4.
Si una medida m definida en un semianillo i0,,, es
= r (m) que se ob-
a-aditiua, también es a·aditir1a la medida µ
1 tiene prolongá11do(a al anillo iR (~,,,).
5 2. CONCEPTO OENER AL DE .MEDIDA .
311
Sea
AE!R(6.,), BnElR(@í.,), n= 1, 2, ... •
DEMOSTRACION.
..
Ysea
A = U B,..
donde B, n B, = 0 para s 9'= r. Entonces, existen conjuntos A1 y B. 1
de e. tales que
A = U A¡. B.= U B,.¡,
J
I
donde Jos conjuntos que figuran en los miembros derec!'\os ·de c:a~a
una de estas igualdades son disjuntos dos a dos y las uniones
respecto a i y ¡ son finitas (teorema 3, § 5, capítulo 1).
Sea Cni¡= Bn1 íl A 1. Es fácil ver que los conjuntos C,.11 son
disjuntos dos a dos y que
A,=UU C,.;¡.
"
1
B,.,= U C,.¡¡·
Luego, debido a la a-adilividad de la medida m sobre
~...
tenemos
m (A¡)= ~~m(Cn 1¡).
(3)
m(B,.1)= ~ m (C,.11)
(4)
I
y de acuerdo a la definición de la medida µ = r (m) sobre
9'1(~).
tenemos
(5)
(6)
De (3), (4), (5) y (6) se desprende que µ(A)= ~ µ.(Bn). (Las
" a n consumas respecto a i y j son finitas y las series respecto
vergen.)
Demostremos ahora las siguientes propiedades fundamentales
de medidas a-aditivas que constituyen una generalización de los
teoremas l y 2 al caso de uniones numerables de conjuntos.
TeORUMA s. Sea muna medida u-aditiva y sean
co1~jwúos pertenecientes a 6.,. Entonces,
l
A1, A,, ... , A,. . .. .
~2
CAi'. VI. MBDIDA. F\JNCIONBS MEDIBt..es, INT EGRAL
UA.. cA
Icr si
y A1 nA1 =.0 para l:foj', se tiene
Al : I
..
Ila si
U A~::>A,
se tiene
DF.MOSTHAc10N. Si todos los Ak son disjuntos y están con tenidos
en A. tenemos para cualquier n
~ m(Ak)~m(A),
en virtud del teorema 1. Pasando aquí al límite para 11 - oo,
ol>lenemos la primera afirmación del teorema.
En cuanto a la segunda afirmación, es suficiente demostrarla,
de acuerdo con el teorema 4, para medidas definidas sobre un
anillo, ya que de la validez de fa proposición lla para µ = r (m)
se deduce directamente su validez para la medida m. Siendo @í.,
un anillo, los co11junlos
n- 1
pertenecen a
e ...
. .,
Como
A ""
U 8,,,
B,,c:A
y los conjuntos 8,, son disjúntos dos a dos, tenemos
m (A) ...
:i; m (8,;) ,¡;;;; ~ m (A,,).
na !
n= I
Observación. La afirmación la del teorema demostrado no
erppli:a. obviamente, Ja a-aditividad de la medida considerada y
sigue siendo válida para cualesquiera medidas aditivas. La afir·
111ación ,lla, al contrario, se basa de un modo sustancial, en la
IJ'.'aditividad d.e la medida. Efectivamente, en el ejemplo dado
ahterio,rmente , de una medida aditiva, pero no 11-ad itiva, ·todo el
espacío X. de medida L, es cubierto por una unión numerable
de conjuntos, compuestos de un solo punto, que tienen medida O.
Es más, no es difícil demostrar que la condición 1la es, en rea-
§ 3. PRO!.,ONOACION DE LEBESOUE 01! UNA MEDIDA
31~
lidad, equivalente a la a-aditividad. ~n efecto,. sea.µ una mecH,da,y
sean A, Al' .•. , An, ... conj1mtos de ~µ ta~s ,que: lodos los
A• son disjuntos dos a dos y A= U A•. Entonces, ,en virtud de
la condición fo (que es válida, comq hemos visto, para cualquier
medida), se tiene
. ,~ µ(A.)~µ(A),.
Si µ verifica además la condición Il'a, tendremos (ya· que· los
conjuntos Ak cubren A)
t µ(A..,)~µ
(A)
l• I
de manera que
k~ µ(A..,)=µ.(A).
En la práctica resulta con frecuencia más fácil comprobar que
una medida verifica la condición lla que demostrar su a-adili·
vid ad.
§ 3. PROLONGACIÓN De LEBESGUE DE UNA MEDIDA
1°. Prolongación de Lebesgue de una medida definida en un
semlanlllo con unidad. Si la medida m deíinida en un semia·
nillo ~.. verifica sólo la condición de aditividad (pero no es
a-aditiva), su prolongación a !H (~,,.). obtenida por el procedimiento descrito en el parágrafo anterior, agota en gran medida, las
posibilidades de extender la medida del semianillo inicial a una
clase más amplia de conjuntos. En cambio, si la medida consi·
dera<la es a-aditiva, puede ser extendida de ~ a un sistema de
conjuntos mucho más amplio que el anillo !Jl (~..). La prolongación de una medida a·aditiva, definida en un semianillo, a una
clase de conjun tos, en cierto sentido maximal, se puede realizar
mediante la así llamada prolongación de Lebesgue. Consideremos
prímero la prolongación de Lebesgue de una medida, definida
en un semianillo con unidad. El caso general será estudiado en
el punto siguiente.
Supongamos que en un semianillo de conjuntos €5., con
unidad E está definida una med ida m a-aditiva. Definamos en
el sistema W de todos Jos subconjuntos del conjunto E las funciones µ*(A) y µ.,(A) del siguiente modo.
oel'1N1c 10N 1. Se llama medida superior del conjunto AcE al
número
314
CAP. VI. MEOIOA. FUNCIONES MEOIBLES. INTEGRAL
donde la cota inferior se toma respecto a lodos Jos cubrimientos
del conjunto A mediante sistemas finitos o numerables de con.
juntos 8 11 E <0.,.
DEF1N1c10N 3. Se llama /MdJda inferior de un conjunto A e E al
número
µ.. (A)=m(E)-µ* (E"-A).
El teorema 5 del § 2 implica que siempre µ .(A)~µ.• (A).
DEF1N1c10N J. Un conjunto AcE se llama medible (según Lebe.sgue) cuando
~1,.(A) = µ•
(A).
w•
Siendo A medible, el valor común µ.(A) =
(A) es denotado
mediante µ.(A) y llamado medida (de Lebesgue) del conjunto A.
Si A es medible, también será, evidentemente, medible su
complemento.
En vista del teorema 5 del § 2, para cualquier prolongación
a-aditiva ¡;. de una medida m, definida en un semianil\o, tiene
lugar la desigualdad
µ..(A) ~
ji
(A)~ µ.* (A).
C.Onsecuentemente, para un conjunto medible A toda prolongación CJ'-aditiva µ. de una medida m (si esta prolongación está
deíinida en A) toma necesariamente el valor µ.,. (A)= µ* (A) . La
medida de Lebesgue no es otra cosa que la prolongación a-aditiva
de la medida m a la clase de todos los conjuntos medibles en el
sentido de la definición 3. Es obvio que la definición de conjunto
medible se puede enunciar también así:
oeF tN(CION a·. Un conjunto AcE se llama medible cuando
14* (A)+µ• (E"-A) =m(E).
Conviene emplear, además de la medida inicial m, su prolonga·
ción m' = r (m) al anillo Ot (~m) considerada anteriormente (§ 2).
Está claro que la definición l es equivalente a la siguiente.
oeP1N1c10N 1•. Se llama medida superwr de un conjunto A al
número
µ*(A) =
inf
~ m'(B~). B~dJt(~..) .
A cU 8~ n
n
En efecto, corno La medida m' es o-adi tiva (teorema 4 del § 2),
cualquier suma ~ m' (B~). donde B~ Ellt (®,.), puede ser sustituida
"
§ 3. PROLONGACION DI! LEBESGUE DE UNA MEDI DA
3 15
por Ja suma equivalente
~ m(B,,.), B,,kE0m•
n, k
donde B~= U B,,h y 8,¡¡ íl B,,1= 0 para í 'i= j.
k
Los resultados que siguen son fundamen tales para la exposición ulterior.
T EOREMA l. Si
Ac::
1
U A.,,
"
donde {A,,) es un sistema finito o numerable de conjuntos, se tiene
µ!' (A) ~ ~ µ * (A,,) .
"
Si AE01(-0m), se tiene µ.,(A) = m'(A)=µ*(A), es
decir, todos los conjuntos de l.ll(0m) son medibles y las medidas
1 superior e inferior de los mi.~mos coincide¡¡ con m'.
TeOREMA s. Para ·que u11 conjunto A sea medible es necesaria y
su/iciente la siguiellte condició11:
para cualquier e> O existe un BE lJ't (~m) tal que
µ* (A 6 B) <e.
1
TEOIWMA 2 .
En el § l estas proposiciones han sido demostradas para la
medida plana de Lebesgue (teoremas 3, 4 y 5 del § 1). Las
demostraciones ciadas a llí siguen siendo válidas en el caso general
que estamos considerando y por eso no las repetimos.
Tl!OREMA 4. El sistema IDl de todos los con¡untos medi/Jles es un
1 anillo.
DEMOSTR1\CION. Como
A, n A, = A,"'-(A,"'-A,)
y
A, U A,= E',J(E"-A1 ) n(E"'-A,)I,
basta demostrar que si A, E jl)l y A. E Wl, también
A= A,"-,Ai E IDt.
Supongamos que ~ y At son mediblcs; en t'Ste caso existen
8 1 E \Jl(@ím) y B, E lJc(t0m) tales que
µ* (A 1 6 8 1)
<y y
µ* (A,6Bi)
<y.
316
CAP. VI.
M~DIOA,
FUNCIONES MEOIBLES. INTEGRAL
Tomando B = B, '-... 8 1 E \)t (@>,.) y empleando la relación
(A,'-... A,) 6. (8, '-... Bt)c(Al 6 8 1 ) U (A, 6. 8,)
encontramos
µ" (A
6. 8) <e.
Como e> O es arbitrario, de aquí se desprende que A es medible.
Observación. Es evidente que E constituye la unidad del
anillo ID1 que de esta forma resulta ser un álgebra de con juntos.
TEOREM.A s.
J conjuntos
La función µ(A) es adititia en el sistema [11 de los
medibles.
la demostración de este teorema es una repetición verb al de
la demostración del teorema 7 del § 1.
reo1tr.MA G. La funcló11 µ(A) es a-aditiva en el sistema \D1 de
1 los conjuntos medibles.
OEMOSTRACION.
$ea
11:=1
En virtud del teorema 1,
µ•(A)~ ~µ (An). '.
"
y. de acuerdo al teorema 5,
µ"(A)~µ•
_(l)
.V
N
(UA.J) =-~>'(A.)
n as t
dul
para cualquier N, de donde
µ•(A) ~ ~µ (A 11) .
,,
(2)
De (1) y (2) se deduce la afirmación del teorema.
Hemos demostrado de esta forma que la función µ (A), definida en el sistema IDI, posee todas las propiedades de una medida a-aditíva.
Ello justifica la siguiente definición.
Se llama prolongación de Lebesgue µ = L (m) de
una medida m a la función µ(A), definida en el sistema €5~ = ftl1
de Jos conjuntos medibles y coincidente en este sistema con la
medida superior µ•(A).
0BP1N1c10N •·
§ 3.
PROLONGt~Ci0:-1
DE Lt:.BESG1JE DE 1.JNA MEDIDA
317
En el ·§ l hemos demostrado, al considerar la medida plana
de Lebesgue, que son medibles no sólo las· uniones e intersecciones finitas de conjuntos medible.~. sino también las uniones e
intersecciones numerables de conjuntos medibles. Esto sigue siendo
válido también en el caso general, es decir, tiene lugar el siguiente teorema.
TEOREMA 1. El sistema 1111 de conjuntos medibfes según Lebesgue
1 constituye un álgebra de Borel con unida.el E.
DEMOSTRJ\CIO!'l . Como
n
n
y puesto que el complemento de un conjunto medible es medible,
basta demostrar Jo siguiente: si A1 , A 2 , .•• , Am ... pertenecen
a IDl, también A= U .4. pertenece a fil. La demostración de
11
esta proposición dada en el teorema 8 del § 1 para los conjuntos
planos se conserva textualmente en el caso general.
Al igual que en el caso de medida plana de Lebesgue, la aaditividad de Ja medida implica su continuidad, esto es, siendo
µ una medida CJ·aditiva definida en una B-álgebra y siendo
A1 :::>A,:::> .. . ::>A.=> . . . una cadena decreciente de conjuntos medibles tal que
se tiene
y siendo A 1 cAic . .. e A.e •.. una cadena creciente de conjuntos medibles tal que
A = U A,.,
n
se tiene
µ(A)= lim µ (.4 11 ) .
n - «>
La demostración, dada para Ja medida plana en el § l (teorema 10), se extiende textualmente al caso general.
2°. Prolongacíón de una medida definida en un semianillo
sin unidad. Si el semianillo €5,., en el cual está definida la merlida inicial m, no tiene unidad, la construcción de la prolongación
318
CAP. \'l. Ml!Oll)A, FUNClONcS MEDlBLES. I NTEGRAL
de Lebesgue, expuesta en el punto anterior, debe ser modificada.
La definición 1 de la medida superior se conserva, pero la medida
superior µ• estará definida sólo en el sistema Sw de aquellos
conjuntos A para cada uno de los cuales existe un cubrimiento
B,, mediante conjuntos de 9m <le suma finita
U
~m(B,,).
L;i definición 2
m definida (de
caso general: pero
cepto de conjunto
medibles señalada
"
pierde su ~enticlo. La medida inferior lH..:ede
una manera algo distinta) también en el
no lo haremos. Conviene definir ahora el conmedible a partir de la propiedad de con juntos
en el teorema 3.
DE 1' 1N1c1 0 N s . Un conjunto ;1 se llama medible cuando para cual·
<]Uier ~.> O existe un conjunto BE \)1 (\Sm) tal que ~~· (A,6.B) < e.
Los teoremas 4, 5 y 6 y la definición 4 subsisten. La exis·
tencia de la un idad ha sido empleada sólo durante la demostración de.l teorema 4. Para demostrar el teorema 4 en el caso
genernl, debemos probar de una manera independiente que A, EílJt
y A, E ID1 implican que A 1 LJ A, E fill. Pero esto se desprende de
la inclu~ión
A, U A, .6 (B, U B,)c(A, .6 B,) U (A,,6 B.).
En el caso en que 9 no tiene unidad, el teorema 7 es sustituido
por l'l leorC'ma siguiente.
Cualquiera que sea la medida inicinl m, el sistema
de COnjun(OS medibJes según lebesgue es U/I CJ·Gnil/o;
siendo A,, medibles el conjunto A= U A 11 es medible cuando, y
TEOREMA s.
J
mt = 0 ¿
(m)
N
sólo cuando, las medidas µ
(UA,, )
están acotadas por una
n= t
constante que no depende de N.
Dejamos la demostración de este teorem a a cargo del lector.
Observación. En nuestra exposición la med ida es siempre
finíta, de manera que la necesidad de la última condición es
obvia.
Del teorema 8 resulta:
cOROLARtO. El sistema ~JtA de todos los co11j11ntos BE OOl, que
son subconjuntos de un conjunto fijado AEfilt constituye un
álgebra boreiiana.
Por ejemplo, el sistema de Jos subconj untos de cualquier
segmento [a, b) medibles según Lebesgue (en el sentido de la
S 3, PROLONOACION DE LEBl!SOUI! DE UNA MllOIDA
319
medida Jebesguiana habitual µ 10 en la recta) es un álgebra boreliana de conjuntos.
Para concluir señalemos otra propiedad de las medidas
de Lebesgue.
Dl!F tN1c10N 6.
Una medida µ se llama completa cuando de µ (A) = O
y A'cA se desprende A' E€5...
Evidentemente, en este caso µ (A')= O. No es difícil demos·
trar que la prolongación lebesguiana de cualquier medida es completa. Esto se debe a que para A' cA y µ(A )=O es necesaria·
mente µ •(A')=O y a que es medible cualquier conjunto C para
el cual µ• (C)""' O, ya que 0 E !R y
µ• (C 6 0)=µ"(C) = 0.
lnd iq™'mos la relación existente entre el proce30 de prolongación
de una medida según Lebesgue y el proceso de completación de un espa·
cío mé!rico. Observemos en este orden que m' (A t, 8) puede ser considerado como la distancia entre los elementos A y B del anill o \R (6,.).
Entonces, !R (6,.) se convierte en un espacio métrico (no completo , como
regla general) y su completación. de acuerdo con el teorema 3 del § 2. se
compone precisamente de todos los conjuntos medibles (aunque, s in em·
bargo, los conjuntos A y B no se pueden d istinguir desde el punlo de
vista métrico cuando µ(A t::. 8) - 0).
3°. Prolongación de una medida segú n J ordan. Al estudiar en el ~ 2
de este capitulo las m"didas que verifican solamente la condición de ad1ti·
vldad, hemos demostrado que cada una de estas medidas ni puede ser exten·
dfda del semlanfllo €,,. al anillo minimal íR (6,,.) generado por este semianillo. No o bstante. existe ta mbi~n la posibilidad de extender la medida a
un anillo mb amplio que í)t (S.,)- La construcción correspondiente se llama
prolongaci6n de una medida segun Jordon u, La idea de esta construcción,
empleada en varios casos particulares ya por los matemáticos de la Grecia
antigua, consiste en aproximar el conjunto cu medir> A por conjun tos A'
y A " de medida prcscrila. por dentro y por fuera, esto es, de ma1lt'ra quP.
A'cAcA ".
Sea m una medida de!inida en un anillo \)! (~,,.).
DEflNICI ON 1 Diremos que un conjunto A es medible seg1í11 Jordtm cuando
para cualquier t: > O existen en el anillo \)t conjuntos A' y A" t1ue satisfa.
e.en las condicionrs
A'c.A cA",
m (A""A')
<P..
Es ,-álitla la siguiente rroposición.
TEOREMA 9.
El sistema 91• de los co11/u11los medib/es
1 anillo.
u Camille Jordan, mntem4tíco francés (1838-1922).
Sif/llÍll
Jordan es
1111
320
C/¡P. V I . MEDI DA, F UNCIONES MEDIBl:.ll,S,
St~ . ¡Jt
B:=>A de
lR.
INTEO~AL
un sistemn de conjuntos A para lqs cual¡!s ex iste un conj un to
P nrn cua lquier A de !l! tomemo s por defii1idón
iní m(B).
¡i"(A) =
D=>A
µ(A)= sup 111(8).
-
IJC:A
Las iundou<!S µ· (A) y ¡l(A) si;,
respec!i".,1m~n!c, del conjuñio A .
llnman medida «exter ior •
~ • i11lcdor>.
Es c viñentc que siempre
~ (A) , [i(A j.
TEOR EMA 10 .
E.l <millo i)l • ccinddr. co11 el siMr.m 11 de nqurltos.co11/u.11tos
1 ..4E9't
p<1ra los cuales it_(A)=/.4(A).
Pnrn Jos conjuntos de \n tienen lugar los siguientes teoremas:
11
rnoirn,,1,\ 11. Si Ac:UAk. se tiene µ(A) <.:;; ~¡t(A¡;).
k=I
TF.OR EMA
1~ . Si AkCA (k = l, 2, . .,., n) y A ;ílA¡""0o se tiene
,,,.
~(A) ~ ~~ (A,t).
k~t
Dcii nanios ahora la !unción µ con campo de delinición
e"=m·
como el valor común de las medidas exteri or e interior:
µ(A)=~(A)=¡i'(A).
De los teorem as 11 y 12 y del hecho
evid~11le
de q ue para A €;íll se tiene
¡i'(A)= ~ (A) = m(A).
se desprende la siguiente afirmac ión .
TEOREMA 13 . La función µ(A} es una medida y •s una pro/011gac/ó11 de
1 la medida m.
La construcción expuesta es aplicable a cualquier medida m definida
en un anillo. En particular, se puede aplicarla a los conjuntos de l plano.
En este caso, se toma como anillo inicial et sistema de con.lunlos elementate.1 (es decir, las uniones fini tas de rectángulos). El ariil lo de conjuntos
elementales depende, obviamente, de Ja selección del sistema de coordenad as
en el plano (se toman rectángulos de lados paralelos a los cíes de coordl'·
nadas). A 1 _pasar a la medida plana de J ordan
Jl•l = ¡ (m,).
esto dependencia de la selección del sistema de coordenadas desaparece: partiendo de cualquier sistema de coordenadas {x~. x2}. relacionado con el
§ 3. PROLONOACION DE LEBESOUI! DI! UNA MEDIDA
sistema inicial
{.x1 ,
321
x,} mediante una transformación ortogonal
:%; =cos or;·x1 +sen a·x,+a,,
i;=-sen a·x 1 +cosa·x. + a2 ,
obtendremos una misma medida de Jordan
J'"J =/ {m.l =i (m.)
(aquí ñi• es la medida construida a partir de los red~ngulos de lados pa;a·
lelos a Jos ejes ;l> x:J. Este resultado se desprende del siguiente teorem·a
genecal.
TEOREMA 14. Para que las prolongaciones de Jordan tJ.1,...=/(ft!¡) y µ 1 = f (m.)
de las medidas m 1 /1 m,, definidas. en. los anillos ~K 1 /1 !n,, coincidan 'es
nectsarío /1 suficiente que 5e cumplan las condiciones: ·
lR,c€µ, m1 (A)-µt (A) en ffi 1 •
9l:c€:;µ, '.:1• (A)= µi(A) en ffi.-
Si la medida inicial m es definida en un semianillo en lugar de un
anillo, es natural llamar prolongación de Jordan a la medida
i (m) = j (r (m))
m
que se obtiene mediante la extensión de m al anillo
(íSm) y la prolongación ulterior según Jordan.
4º. Unicidad de prolongación de una medida. Si el conjunto A es medible según Jordan respecto a la medida µ , eato es, pertenece a ':Jl• (15m).
entonces, para cualquier medida j.i., que es prolongación de m y que está defi·
nida en IR* {15.,), el valor f¡ (A) coincide con el valor J (A) de la prolon·
gación de Jordan J = f (m). Se puede demostrar que la prolongación de
la medida m a un sistema més amplio c¡ue 6¡cmi no será única. Con más
precis ión esto significa lo siguiente. Un conjunto A se llamará conjunto
de unicidad de una med ida 111 cuando
J) exis te una medida que es prolongación de la medida m y que está
definida en el conjunto A ;
2) para cualesquiera dos medidas de este género µ 1 y µ,
µ,(A)=µ i(A).
Tiene lugar el teorema : el $Í&tema de conjuntos de 1micidad de una medida
m coincide con el sistema de los conjuntos medll>/es según Jordan. respecto a
ta medida m , es decir, coincide con el sistema fZ¡im>·
Sin embargo, si $on consideradas solamente medidas o-aditivas y sus
prolongaciones (a-aditivas), el sistema de los conjuntos de un icidad será, en
general, mis amplío.
Como el caso más Importante es precisamente el de las medidas cr·ad i·
Uvas, tomaremos la siguiente definición.
DEl'INICION s. Un coniunto A se llama conjunto de a-unicidad de una me·
dlda <r·aditlva m cuando
1) existe una prolongación <J'·adítiva l. de la medida m defin ida en A
(es decír, tal que A E€A);
2) para cualesqu iera dos extensiones a-aditivas A. 1 y l.i de este género
es válida la igualdad
1.1 (A)=.Í'., (A) .
11
X. ~ISO
322
CAP . VI. MEDIDA , FUNCIONES MF.OIBLES, INTEvRAt.
Si A es un conjunto de o-unicidad de una medida a-aditiva µ, existe de
acueTdo con nuestra delinición, el ünico valor posible }. (A) para la prolongación o-aditiva de la medida µ definfda en A.
Es l~ci l ver que cada conjunto A medible según Jordan es medible
también según Lebesguc (¡pero no vlceversal; dése un ejemplo) y que sus
medidas de Jordan y de [ebesgue coinciden. De aquí se desprende Inmediatamente que la prolongación de Jordan de una medida o-a ditiva es
o-aditiva.
Cada conjunto A medible según Lebesgue es un conjunto de o-unicidad
para la medida inicial m. En electo, cualquiera que sea e > O existe para
A un B Elll tal que ¡••(A t:,. B) < e. Cualquiera que sea la prolongación >.,
defioid~ en A, de la medida tn, tenemos
J. (8)=m' (B),
ya que la prolongi1dón .de la rnedfda m a 91 =:li (<¡;.,) es única. Además,
). (A t:,. 8) < µ• (A D. 8 ) <e
y. consccuentemenle.
p.(A) - m'(B)J
<e.
Luego. para dos cualesquiera prolongaciones
la medida m, tenemos
1
>.1 (A) -
J.,(A) J
o-~d ilivas
p.1 (A)
y 1...,(A) de
< 2e.
de donde, debido a la arbi trariedad de e > O,
li(A)=>..(A).
Se puede probar que los conjuntos medibies según Leb~sgue agotan todo el
sistema de los conjuntos de o-un icidad de la medida inicia l m.
Sea m una medida o-aditiva con campo de definición 6 y sea !lll=L(e)
el campo de definición de su prolongación de Lebesgue. Del teorema 3 de
este parágrafo se desprende fácilmente que cualquiera que se:i el semianlllo
tal que
e,
siempre
L (et)= L (G).
§ 4. FUNCIONES MEDIBLES
1°. Definición y propiedades principales de funciones medibles.
Sean X e Y dos conjuntos arbitrarios en los que se han escogido
dos sistemas de subconjuntos €5 y @;' , respectivamente. Una fun-
ción abstracta y = f (x) con campo de definición X y con valores
en Y se llama (~. ~')·medible cuando de A E (0' se deduce que
1-1 (A) E @S.
Por ejemplo, si X e Y son la recta numérica R' (es decir, si
se consideran funciones reales de variable real) y sí ~ y ~· son
el sistema de todos los subconjuntos abiertos (o lodos los sub·
conjuntos cerrados) de R', la defi nición dada de función medible
coincide :con la de continuidad. Si tomamos para @; y @;' el
323
§ '· PUNCI ONES MED!BLES
sistema de todos los conjuntos borelianos, obtendremos las así
llamadas funciones B-medibles (o medibles según Borel).
En lo sucesivo, el concepto de función medible nos interesará
fundamentalmente desde el punto de vista de la teoría de integración. En este plano, el papel principal corresponde al concepto
de 11-medibilidad de las funciones reales definidas en un conjunto X,
coincidiendo €í con el sistema de todos los subconjuntos µ-medibles
del conjunto X y t'O' con la colección de todos los 8-conjuntos
de la recta. Para simpliíicar, aceptaremos que X es la unidad
del campo de definición @)~ de la medida µ.. Como toda medida
O·aditiva puede ser prolongada, de acuerdo con los resultados del
§ 3, a un álgebra boreliano, es natural admitir desde er principio que <0,. es una B·álgebra. Por lo tanto, para las funciones
reales daremos la siguiente definición de medibilidad:
o eF1N 1c1 0N 1.
se llama
Una
~1-medible
fan ~ión
real
f (x) definida en
un
conjunto X
cuando
¡-•(A) E .El'
cualquiera que sea el conjunto boreliano A de la recia numérica.
Para q~ un.a función f (x) sea 11-medible es necesario
y suficiente que para cualquier c real el con./ unto {x: f (x) <e}
1 sea !J.·medible (es decir, pertenezca a @\).
TEOREMA 1.
DEMOSTRACION. La necesidad de la condición es obvia ya que la
semirrecta (-oc, c) es un conjunto boreliano. Para demostrar
la suficiencia, observemos, ante todo, que la adherencia boreliana
8 (l:) del sistema l: de todas las semirrectas ( - oo, c) coincide con el sistema 8 1 de todos los conjuntos borelianos de la
recta numérica. Por hipótesis, f- 1 (l:)c@í... Luego,
¡-• (8 ('L)) - 8 (f- 1 (l:))cB (€í~.).
Pero, B (@ir)= @í.., ya que @514 es una E -álgebra, por hipótesis.
El teorema queda demostrado.
TEOREMA 2.
El límUe de un.a sucesión convergente para cada x E X
1 de /unciones µ-medibles es µ-medible.
l)EMOSTRACION. Sea /,, (x) - f (x); entonces,
{x:tcx><cl= UU n {x:f,.(x) < e-{}.
k
c,
c1>
n m>"
<e-{ ;
En efecto, si / (x) < existe un k tal que f (x)
además,
para este k se puede escoger n. tan grande que para m ;;;:¡; n se cumpla
324
CAP. VI.
MEDIDA. PU1'C!ONES MEDIB!.ES, INTEGRA!.
la desigualdad
l
f,. (x) <e- ¡¡
y esto significará precisamente que x figura en el miembro derecho de (1 ).
Viceversa, si x pertenece al miembro derecho de la igualdad
(1 ), existe un k tal que para todos los m suficientemente grandes
1
f,.(x)<c--¡;;;
luego, f (x) <e, es decir, x figura en el miembro izquierdo de la
igualdad (1).
Si las funciones f n (x) son medibles, los conjuntos
'{x:f,.(x) <e--}}
pertenecen a
6~.
Como
6~
es un álgebra boreliana, Jos conjuntos
{x:f (x) <e}
pertenecen también, en virtud de (1), a
f (x) es medible.
€25~
y esto demuestra que
TEOREMA s. Una f u11ció11 B·medible de una función µ.-medible es
1
~l·medible.
DEMOSTRACION 2. Sea f (x)-= <p [,¡> (x)), donde ..,, es medible según Borel y '!> es µ·medible. Si A e D' es un conjunto ¡.¡·medible arbi·
trarlo, su imagen reci proca A' = q¡- 1 (A) es B-medible y la imagen recíproca A•= $ - 1 (A') del conjunto A' es 8-medible. C.Omo
¡- 1 (A)= A', de aquí siguE: la medibilidad de la función f.
Él teorema demostrMo es aplicable, en particular, al caso de
runciones continuas <p (que son siempre B-medibles).
2º. Funciones simples. En vista del estudio ulterior de funciones medibles conviene representar cada una de ellas como
limite de una sucesión de así llamadas funciones simples.
OEF1N1c10N 2. Una función f (x) se llama simple cuando es µ-me dible y toma a Jo sumo un número numerable de valores.
Está claro que el concepto de función simple depende de la
selección de la medida µ.
La estructura de las funciones simples es caracterizada por el
siguiente teorema.
:¡ 4. FUNCIONES ME.D IBLES
32S
Una función f (x) que toma a lo sumo un número numerable de valores distintos
TEOREMA •·
Y1• y,, · · · • y,., • · •
es µ-medible cuando, y sólo cuando, todos los conjuntos
A,.= {x:f(x)=y,.}
son µ-medibles.
DEMOSTRAc10N. La necesidad de la <X>ndición está clara ya qu.e
cada A,. es Ja imagen recíproca del conjunto <X>mpuesto PQr. un
solo punto {y,.} y cualquier conjunto compuesto de .un solo puv!o
es boreliano. La suficiencia se dedµce de que la imagen reciproca
f- 1 (8) de cualquier conjunto Bc:D1 es, ,p or hipótesis, la
A,. de una cantidad a lo sumo numerable de conjuntos
uníón
U
ftttEB
medibles A,., es decir, es medible.
El empleo ulterior de las funciones simples se basa en el siguiente teorema.
s. Para que la función f (x) sea µ-medible es necesario y
suficiente que pueda ser representada como límüe de una sucesiótt
uniformemente convergente de funciones medibles simples.
TEOREMA
1
OEMOSTRACION. La suficiencia rse desprende del teorema 2. Para
demostrar la necesidad, consideremos una función medible arbi·
1
traria f (x) y tomemos f,. (x) =.!!!:.
n cuando .!!!:.
n <:;;, f (x) < m+
n (aquí
m son enteros y n son enteros positivos). Está claro que f,. (x)
son [unciones simples; para n -+ oo ellas convergen uniformemente hacia f(x) ya que lf(x)-f,.(x)l <:;;,-k ·
3°. Operaciones aritméticas con funciones medlbles.
Lo. suma, la diferencia y el producto de dos funciones
TEOREMA s.
medibles son funciones medibles. El cociente de dos funciones
1 medibles es tarnbién medible si el denominador no se anula.
Realicemos la demostración de este teorema en varios pasos.
a) La suma de dos funcíones medibles es medible.
Sean primero f (x) y g(x) dos funciones µ-rnedibles simples
que toman los valores
y
Jl•
{.,
.. .,
f n•
•• •
gl' g2, • · · • gn, • · ·
respectivamente. La suma h (x) = f (x) + g (x) puede tomar sola-
326
CAP. VI. MEDIDA, FliNCIONE!> MEDI BLES, I NTEGRAL
mente los valores /1 = f ¡-1- g1, con la particularidad de que estos
valores se toman en los conjuntos
tx:h (x) = h) =
u ({x:/ (x) = f¡) n (x :g(x) = g¡)).
(2)
fi+'Jch
El número de Jos valores posibles hes finito o numerable y los
conjuntos lx:h(x)=h) correspondientes a estos valores son medi·
bles, ya que el miembro derecho de la igualdad (2) es, obviamente,
un conjunto medible. Luego, 11 (.t) = f (x) + g (x) es una [unción
medible simple.
Sean ahora f (x) y g(x) dos funciones rnedibles arbitrarias;
consideremos las sucesiones lfn(x)) y {gn(x)} de funciones simples
convergentes hacia f (x) y g(x) respectivamente. Entonces, las
[unciones simples f. (x) + g. (x) convergen uniformemente hacia la
función f (x) + g (x) que, en virtud del teorema 5, es medible.
b) El producto de una función µ-medible por un número
constante es ¡¡-medible. Esta afirmación es obvia.
De a) y b) resulta:
c) La diferencia de dos fWlciones µ-medibles es µ-medible.
d) El producto de funciones ~l·medibles es ¡.i.-medible. En
efecto, consideremos la identidad fg=}W + g)2 -(f-g)2 ]. La
expresión del miembro derecho es una función µ-medible. Esto
se desprende de a), b) y c) y de que el cuadrado de una función
medible es, en virtud del leorema 3, una función medible.
e) Si f (x) es medible y f (x) .¡:O, también f (~) es medible.
En efecto, tenemos
{x: f ~x) <e}= {x:f lX) >+} U(x :/(x) < O]
para
e> O,
{x:f(~) <c}={x:O > f(x)>f}
para
e< O y
{x:~ < c}={.i: :f{x) <el
para C=O.
En el miembro derecho figura cada una de las veces un
conjunto medible. De d) y e) se deduce la medibilidad del cociente
(con la condición de que g(x)~O).
W,
§ 4, FUNCIONES MEDIBLES
327
En resumen, hemos probado que las operaciones aritméticas
con funciones medibles llevan de nuevo a funciones medibles.
4º. Equivalencia. En el estudio de funciones medibles pueden
ser despreciados frecuentemente los valores de una función en· un
conjunto de medida nula. En este orden introduciremos la si·
guiente definición.
DEF1N1c10N 3.
medible E
Dos funciones
f
y g definidas en un mismo conjunto
se llaman equivalentes (en símbolo f,..., g) cuando
µ. {x:f (x) =F g (x)} =O.
Diremos que una propiedad se verifica en casi ·todo el E. cuan(i.o
se verifica en todos los puntos de E con la excepción. .de púntqs
que forman un conjunto de medida nula. De esta forma, se puede
decir que dos funciones se llaman equivalentes cuando coinciden
en casi todos los puntos.
TEOREMA 1. Si dos funciones f y g continuas en un segmento E
son equivalentes (respecto a la medida de Lebesgue), ellas coin-
1
ciden.
Supongamos que en un punto x 0 se tiene f (x 0) =F
=F g (x0 ). es decir, f (x0)-g (x0 ) =F O. Olmo f-g es una función
continua, existirá una vecindad del punto x 0 tal que en todos
DEMOSTRACJON .
sus puntos la funcí6n f-g es diferente de cero. Esta vecindad
tiene medida positiva; de manera que
µ{x:f(x)=fag(x)} >0,
es decir, las funciones continuas f y g no pueden ser equivalentes, si toman diferentes valores aunque sea en un punto.
Evidentemente, para funciones medibles arbitrarias (esto es,
discontinuas, en general) la equivalencia de dos funciones de
ninguna manera implica su coincidencia; por ejemplo, la función
igual a la unidad en los puntos racionales y al cero en los puntos irracionales es equivalente a la función igual idénticamente
a cero.
TEOREMA s. Una fwición f (x), definida en un CO!ljunto medible E
y equivalente e1i este conjunto a una función fTli!dible g (x), es
1 también medible.
En efecto, de la definición de equivalencia se desprende que
los conjuntos
{x:f (x) <a} y {x:g(x) <a}
pueden diferir uno de otro solamente en un conjunto de medida
nula; por consiguiente, si es medible el segundo de elios, es medible también el primero.
328
CAP. VI. MEDIDA. PUNCIONES MEDIBLES, INTEGRAL
6°. Convergencia en casi todos los puntos. Puesto que en
muchos casos el comportamiento de las funciones medibles en
uno u otro conjunto de medida nula no tendrá importancia para
nosotros, resulta natural generalizar del siguiente modo el con·
cepto habitual de convergencia de una sucesión de funciones.
ueF1N1c10N •. Una sucesión de funciones fn (x) definidas en un
espacio X se llama oonvergente en casi todcs los puntos hacia
F(x) cuando
lim fn(X) = F (x)
(3)
para casi todo x E X (es decir, el conjunto de aquellos puntos .t
en los que no se verifica (3) e:; de medida nula).
Ejemplo. La sucesión de funciones f n (x) = ( -x)", definidas en
el segmento [O, 1], converge para n - oo hacia la función
P (x)..,. O en casi todos los puntos (a saber, en todos puntos a
excepción del punto x= 1).
El teorema 2 admite esta generalización.
TEOREMA 2·. Si una sucesión de funciones µ-medibles fn (x) ccnoerge
hacia una f ünción F (x) en casi todc el espacio X, F (x) es tam·
1 bién medible.
DEMOSTllAc10N. Sea A el conjunto, donde
lim fn (x) = F (x).
n-oo
Por hipótesis, µ (X,A) ... o. La función F (.t) es medible en A
y como cualquier función es medible, evidentemente, en un
conjunto de medida nula, F (x) es medible en X"A; luego, es
medible también en el conjunto X.
EJERCICIO. Supongamos que una sucesión de funclonea medibles In (x)
converge en casi todos Jos puntos hacia una función llmlfe f (x). Demuéstres'
que la aucesi6n {/n (xJl converge en casi todo punto hacia g (x) cuando, y
sólo cuando. e (x) es equivalente a f (x).
6°. Teorema de Egórov. D. F. Egórov demostró en 1913 el
siguiente teorema importante que establece la relación entre la
convergencia en casi todos los puntos y la convergencia uniforme.
T EOREMA 9. Supongamos que una sucesión de funciones medibles
{f• (x)} corwerge hacia f (x) en casi to<Ú> el con/unto E. Entonces,
para cualquier ll >O existe un conjunto medible E1 e E tal que
1) µ(Ea)> µ (E)-6;
2) la sucesión {fn (x)} con1.1erge hacia f (x) uniformemente en el
ooníunio Ea.
S 40 FUNCIONES MEDIBLES
329
De acuerdo con el teorema 2' la función
medible. Pongamos
oeMOSTRACION .
E::¡
=
n
{x: lf¡(x)-f (x) 1<
f(x) es
! }·
t >n
De esta forma, E'f: representa, para m y n fljos, el conjunto de
todos los puntos x para Jos cuales
lf¡(X)-f (x) <
!1
cualquiera que sea i ;;;;i: n. Sea
E"'= U E':.
Está claro, de la definición de los conjuntos
m fijo
Efcf':c ... cei:c ...
E~·.
que para un
Debido a que una medida a-aditiva es continua, para cualquier m y cualquier 6 >O existirá un n0 (m) tal que
µ (E"'" E'.::.im1)
< 2~
Tomemos
y probemos que el conjunto Ea construido de esta forma verifica
las condiciones del teorema.
Demostremos primero que la sucesión {f1 (x)} converge uniformemente en E3 hacia la función f (x). Esto se desprende inmediatamente de que para x E E& y cualquier m
lf 1(x)-f(x)i<-k- cuando
í >n1 (m).
Estimemos ahora la medida del conjunto E"E1• Observemos
para ello que µ (~E..)=0 cualquiera que sea m. En efecto, si
x, EE"E"'. existen valores tan grandes como se quiera de i para
los cuales
es decir, Ja sucesión {f,. (:e)} no converge hacia f (:e) en el punto x 0 •
Como, por hipótesis, {f,. (x)} converge hacia f (x) en casi todos los
33()
CAP. VI . MEDIDA. FUNCION ES ,\\l::Dl!ll. ES. l!'TEOKA I.
puntos, tenemos
De aquí se sigue que
11 (E, E'i:,1m1)=11 (Eª" E'::,.,,,,) <
2~ •
Luego,
µ (E"Eg) = µ
(E" ñ En~.cm}=
,,.::;;::r
Hemos demostrado el teorema.
7°. Convergencia en medida.
s. Se dice que una sucesión de funciones medibles f,. (x) convttge t n medida hacia una función F (x) cuando para cualq uier o > O
Dt:FtNICJON
lim µ(x:l/n(x) -F(x) l;;;.a} = O.
n-"'
Los ieoremas 10 y 11 que siguen establecen la relación entre los con·
ceptos de convergencia en casi todos los puntos y convergencia en medida.
sucesión de /unciones me dibles In (x) conuerge en casi
todos los puntos hacia una fundón F (x), converge en medida hacia
TeO!lEMA 10. SI UllO
1 lo misma
función lfmilt F (x).
Del teorema 2' se desprende que la función límite F (x) es
medible. Sea A el conjunto (de med ida nula) en el que In (x) no tiende
a F (x). Sean, ademh,
DEMOSíllAC!ON.
..
Ek (o)={x:lfk (x) - f (x) ¡;;.,o},
Rn (o) =
U
E•(a),
k::=n
M~
O
Rn(o).
n =I
Esl6 claro que todos estos conjuntos son medibles. Como
R 1 (a)~ R, (o)::> ••..
tenemos, debido a la contin uidad de la med lda,
µ(R.(o))-µ(M) para n -
oo.
Comprobemos ahora que
M c:A.
(4)
§
~.
FUNCIONl!S Ml\DIBLl!S
331
En efecto, si .~0 E A, es decir, si
llm /
,._..,
para un a >O dado exis!e un
11,
11
(x,) = F (x0),
tal que
l /11 (x0)-F (x0 ) 1< o,
es decir, x6 E E 11 (a) y, con más razón, x,€Af.
Pero, ~qA) = O; de manera que (4) impllca µ (M}=O y, por consiguiente,
µ (R,. (o))-+ O para n - eo;
como E,. (o) e: R,. (o), esto demuestra el !eorema.
Es fácil ver en un ejemplo que la convergencia en medida de una
sucesión de funciones no implica , en general su convergencia en casi lodos
los pun!os. Efectivamente, deíi namos para cada 11 natural en el semisegmenlo
(O, (} k funciones
11•>, ,~·>,
del siguiente modo
.... ,~··
i- 1
¡Jk'(;r;)= {
i
- < x<;-¡¡,
11
O para los demés valores de x.
para -
Enumerando una tras otra !odas est as funciones obtendremos una
sucesión que, como es fácil de comprobar, converge en medida hacia cero
y al mismo tiempo no converge en ningún punto (¡demuéstrese esto!).
BJERC ICIO. Supongamos que una sucesión de funciones medibles {11 (;e)
converge en medida hacia una !unción l!mi!e / (x) . Demuéstrese que la
sucesión /,.(x} converge en medida hacia una función g(x) cuando, y sólo
cuando, g (x) es equivalenle a f (x).
Aunq ue el ejemplo dado demuestra que el teorema 10 no puede invertir~
completamenle, tiene lugar el siguiente resultudo.
TEOREMA 11. Supongamos ~ue una sucesió11 de funciones medlbles
I
f 11 (x)
cor1-
verge en medida hacia f x). Enlonus, de esta suuslón se puede extrau una
sucesión parcial { f"• (x) qlll conuerge en casi to®s los punlos hacia f (x).
DEMOSTRACION . Sea
g 1,
11.z, ••• una sucesión de números positivos tal que
lim t,.=0
,,_.,,
y sean lJ 1• lJ" .• ., 'In· ... unos números posi tivos tnles que la serie
'l1+TJ.+ ···
converge. Construyamos una sucesión de Indices
111
del modo siguiente:
11 1
< n.< ...
es número natural la l que
f1 {x :j In, (x)- / (x) 1;;¡,, g,}
< 'lt
(un ,,úmero n 1 de este lipo ex iste obligatoriamente): n, es un número
CAP. VI.
332
~\EOIDA,
FUNCIONES MED!BLES,
JNTEG~AL
tal que
En genera l,
n,. es un núrnero tal que
,. {z: l f nt (x)-f (x) 1~e,.} <!Jk
{n,.
> n.-- J.
Mostremos que la sucesión construida converge hacia f (x) en casi to<los
los puntos. Efecllvamente, sean
R;=
Ü {x: f In• {x)-f(x) I;-.
"='
..
&••
Q= n R11 .. 1
Como
R, => Rt ::> R, => •..
::J
Rn ::> • • •
tendremos, debido a la continuidad de la medida, I' (R,-)- ¡.i. (Q) .
...
Por otro lado, está claro que µ (R¡)
< ~
1111..
de donde se desprende
ks/
que µ.(R¡)-+0 para i--.oo, es decir, µ.(Q)=O. Resta probar que en todos
los puntos del conjunto E'-Q tiene lugar la relación
f n, M --+ / (x).
Sea z. f E'-Q· En toncts. existirá un ;., tal que x, E R¡•. Ello significa
que para toáos los k;;;., lo
XoE {x:I /nt{X) - f(x) l:;a,e.t}.
es decir,
Como, por h ip61esls, e."-+ O, se tiene
,.t~m.., f "• (x
1)
""f (x,,).
El teorema queda demostrado.
S°. Teorema de Luzln. C-propltdad. La definición de !unción med ible,
dada al principio de este parágrafo, se refiere a funciones sobre conjuntos
arbitrarios y no está relacionada, en el caso general, de manera alguna con
el concepto de continuidad de una función. Sin embargo, si se trata df
!unciones deiin ldns en un ~egmenlo, tiene lugar el siguiente teorema impor·
tante demostrado por N. N. Luzin en 1913:
Para que una función f (x) dtfinida en rm segmtnto ¡a, bl ua
medillle es n«esario y suficltnU que para cualquier e > O txista una /un·
ció11 •p (X) coritl11ua en [a. bl tal que
ll (x:f (x) #: cp (x)} < ~.
TEO Rl!MA 12.
l
f
~.
INTEGRAL DE LEBBSOVE
333
En otras palabras, una función medible se puede convertir en una con·
tinua en (a, b) variando sus valores en un conjunto de medida tan pequeña
como ae quiera. De una función en un segmento, que mediante una cdefor·
maclón pequci'I&> de este tipo puede ser hecha continua, se dice que verifica
la C·propledad (término de N. N. Luzln). El teorema de Luzin muestra
que para funciones de argumento numérico la C·propledad fuede ser lomada
como base de la propia defínición de medlbilldad. Es fáci obtener la de·
mostración del teorema de Luzin valiéndose del teorema de EgÓl"o.v (¡realícese
esta demoslraciónl).
§ 5.
I NTEG~AL
DE LEBESGUE
El concepto de la integral de Riemann, conocido del curso
elemental del Análisis, es aplicable sólo a aquellas funciones que
o bien son continuas o bien no tienen tedemasfa(ioS» pünfos oe
discontinuidad. Para funciones medibles que pueden ser discorifi·
nuas en todo punto donde estén definidas (o incluso pueden estar
definidas en un conjunto abstracto de manera que el concepto de
continuidad carece de sentido para ellas), la construcción de Ríe·
mann de la integral no es válida. Al mismo tiempo, para estas
funciones existe un concepto perfecto y flexible de la integral
introducido por Lebesgue.
La idea principal de la integral de Lebesgue consiste en que,
a diferencia de la integral de Riemann, los puntos x se agrupan
no de acuerdo a su proximidad en el eje x sino de acuerdo a la
proximidad de los valores de la función en estos puntos. Esto
ofrece inmediatamente Ja posibilidad de extender el concepto de
integral a una clase muy amplia de funciones.
Además, la integral de Lebesgue se define de un mismo modo
para funciones determinadas en cualesquiera espacios provistos
de medida, mientras que la integral de g1emann se introduce
primero para funciones de una variable y solamente después se
extiende, con las modificaciones correspondientes, al caso de varias
\'ariables. Para funciones en espacios abstractos provistos de medida
la integral de Riemann simplemente no tiene sentido.
En lo que sigue se considerará, siempre que no se diga lo
contrario, una medida a-aditiva µ(A) definida en un álgebra
boreliana de conjuntos con unidad X. Todos los conjuntos considerados A e: X se supondrán µ-medibles y las funciones f (x)
estarán definidas para x E X y serán ~L·rnedibles.
1°. l ntegral de Lebesgue para tunciones simples. Introduciremos
primero el concepto de la integral de Lebesgue para las funciones
que hemos llamado con anterioridad simples, es decir, para funciones medibles con un número finito o numerable de valores.
Sea f una función simple que loma los valores
y., y,, ··· • Yn• •·· i Y;-FY¡ para i:¡l=j.
334
CAP. VI. MEDIDA, F UNCIONES ,'o\EOIBl ES. INTEORAl
Es natural definir la integral de la función f en el conjunto
A mediante la igualdad
~f(x)dµ - ~ ynµ(A,.), donde An= {x:x EA, f(x)=y,.},
A
(1)
"
si la serie que figura en el miembro derecho converge. De esta
forma llegamos a la siguiente definición (en Ja que, por razones
obvias, se postula de antemano la convergencia abscluta de esta
serie).
OEFI N ICION 1. Una función simple f se llama integrable o sumoble
(respecto a la medida µ) en un conjunto A cuando la serie (1)
converge absolutamente. Si f es integrable, Ja suma de la serie (1)
se llama integral de f en el conjunto A.
En esta definición se supone que lodos los y,. son diferentes.
Sin embargo, el valor de la integral de una función simple se
puede representar como la suma de· productos de tipo ckµ (Bk) sin
suponer que todos los ck son distintos. Esto es PQSible hacerlo
gracias al siguiente lema .
LEMA.
Supo11gamos que
A= U B~,
B1 nB1 = 0 parai=j, y que
k
la función f toma en cada conju11to B• un valer único c*; en·
to11ces,
(2)
y la función f es integrable en A cuando, y sólo cuando, la
serie (2) converge absoltttamente.
DBMOSTRACION. Es fácil ver que cada conjunto
A,.=(x:x EA, f(x)=Yn}
es la unión de aquellos
para los cuales e~= Yn· Luego,
ª•
~Yn µ(A.) = ~ Yn ~ µ (BJ= ~e•µ (B.).
n
n
t't'll•
í;""
Como la medida es no negativa, tenemos
es decir, las series ~ Ynµ(An) y ~c.µ(BJ son ambas absoluta·
mente convergentes o ambas divergentes. El lema queda demostrado.
335
S 5. INTEGRAL DE LEBESGUE
Indiquemos algunas propiedades de la integral de Lebesgue
de funciones simples:
A) ~ f (x) dµ
A
+ ) g (x) dµ = ) [f (x) +g (x)j dµ,
A
A
con la particularidad de que la existencia de las integrales del
miembro izquierdo implica la existencia de la integral del miembro derecho.
Supongamos, para demostrar esta "propiedad, que f toma los
valores f 1 en los conjuntos F 1c.A y g toma los valores g1 en los
conjuntos 01c.A, de manera que
[J1 = jt<x)dµ =
~f¡µ (F¡),
(3)
J,= ~g(x)dµ=~g1µ(01).
A
(4)
;f
Entonces, de acuerdo con el lema,
J = ~ [f (x)+g(x)J dµ= ~l: (f 1+g1) µ (F1 n G1),
A
1
pero,
µ (F,) = ~ µ {f¡
no,).
(5)
!
µ (G¡) = ~µ (F¡
nG¡).
de manera que la convergencia absoluta lde las series (3) y (4)
implica la convergencia absoluta de la serie (5); además,
J=J,+J ..
B) Para cualquier constante k
k ~ f (x) d~l = ) {kf (x)) dµ,
A
A
donde la existencia de la integral de miembro izquierdo implica
la existencia de la integral del miembro derecho. (La comprobación es inmediata).
C) Una función simple f acotada en un conjunto A es integrable en A y, además, si 1 f (x) ¡,;;;; M en A, se tiene
(La comprobación es inmediata).
336
CAP. VI. MEDIDA, .PUNCIONES MEDIBLES, INTEG RA!.
2º. Integral de Lebesgue en conjuntos de medida finita.
2. Un.a función f (x) se llamará integrable (sumable) en
wt amjunto A cuando exista una sucesión de funciones simples f.
0EF1N1c10N
integrables en A convergente uniformemente hacia f.
El limite
I ce lim ) fn (X) dµ.
(6)
n~•A
será denotado mediante
~ f (x) dµ
;.
y llamado integral de la función f en el conjunto A.
Esta definición es correcta si se vermcan las siguientes condiciones:
l. El limite (6) existe cua !quiera que sea la sucesión uniformemente convergente de funciones simples integrables en A.
2. Este límite no depende, para una función li jada f, de la
selección de la sucesión lf,.}.
3. Para las funciones simples las definiciones de la integrabilidad y de Ja integral coinciden con las dadas en el punto l.
Todas estas condiciones quedan, realmente, satisfechas.
Para demostrar la primera, basta observar que, debido a las
propiedades A), B) y C) de la integral de funciones simples,
) f,.(x)dµ -~f.. (x)dµ.l =::;; µ(A) sup lf,.(x)-f.,(x) I.
A
~EA
1A
(7)
) l ·dµ= µ(A).
(8)
Para demostrar la segunda condición es preciso considerar dos
sucesiones {f,.} y {!:l convergentes hacia /. Si el límite (6) tomara valores distlnfos para cada una de estas dos sucesiones, no
existiría el lfmite (6) para la sucesión obtenida como unión de
estas dos, lo que estaría en contradicción con la primera condi·
ci6n. Finalmente, para probar Ja validez de la tercera condición
es suficiente considerar la sucesión f =f.
Establezcamos las propiedades fundamentales de la integral
de Lebesgue. Una consecuencia directa de la definición es que
J.
A
I 1. Para cualquier constante k
~ {kf (x)} dµ.= k ~ f (X) dµ,
A
(9)
A
donde la existencia de la integral del miembro izquierdo implica
la existencia de la integral del miembro derecho.
Esta propiedad se deduce, mediante el paso al límite, de la
propiedad B) para las integrales de funciones simples.
f
m.
s.
INTEGRAL
oe
LEBESOUE
Sf (x) dµ + ~ g (x)dµ = ~ {f (x) +g(x)I dµ,
A
A
337
(10)
A
donde la existencia de las integrales del miembro izquierdo im·
plica la existencia de la integral del miembro derecho.
La demostración se obtiene, mediante el paso al límite, de
la propiedad A) de Ja Integral para funciones simples.
IV. Una función f acotada en un conjunto A es integrable en A.
La demostración se obtiene, mediante el paso al límite, de
la propiedad B) de la integral de funciones simples.
V. Si f (x) ;;o O, se tiene
~ f (x)dµ;;;i:O
(1l)
.4
(suponiendo que la integral existe).
Para las funciones simples esta propieda<l se deduce directamente de la definic.ión y en el caso general la demostración se
basa en la posibilidad de aproximar una función no negativa
mediante funciones simples no negativas.
De la última propiedad se desprende inmediatamente que para
f (x) ~ g (x) se tiene
~ f (x) dµ ;;;i: ~ g(x) dµ ,
A
( 12)
A
de manera que siendo m ~ f (x) ~ M para todos (o casi todos}
los x E A, tendremos
mµ(A) ~ ~ f(x) dµ~Mµ(A).
(13)
A
VI. Si ~~ (A)= O, se tiene )t(x)dµ =O.
A
Esta afirmación se deduce directamente de la definición de
la integral de Lebesgue.
VII. Si una función <p es integrable en A y 1f (x) ¡ ,¡;;;; q> (x) en
casi todo el A, entonces f es integrable en A.
En efecto, si f y IP son funciones simples, omitiendo del conjunto A un conjunto de medida nula, podemos representar el
conjunto A' que queda como la unión de una cantidad finita
o numerable de conjuntos, en cada uno de los cuales f y q> son
constan les
f (x) = a
11 ,
cp (x) = b11 y, además, 1a11 1,,;;;; b11 •
338
CAP. VI. MEDIDA. FUNCIONES MEC>IBLES, INTEGRAL
De la integrabilidad de q> se desprende que
~ \ª" \ ~L (A,.) ~ ~ bnµ(An) = Sq: (x) dµ = ~ q> (x) d~~.
n
A
A'
n
De manera que f es también integrable
¡~ f
(x)dµ. ¡ = J
1J ¡= l~ªn~~(An) I.,;;
~,
(x)dµ
~ ~I a,,\µ (An) = ~ \ f (x) 1dµ.,;; ~ q> (X) dµ.
n
K
A
En el caso general esta afirmación se demuestra pasando al
límite.
VIII. Las integrales
/ 1 = ~f (x)dµ,
/ 2 = ~lf(x)¡dµ
A
( 14)
A
o bien existen ambas o bien ambas no existen.
En efecto, la existencia de la integral l i implica la existencia
de Ja integral !,.
Lo reciproco se desprende, en el caso de una función simple,
de la definición de la integral y en el caso general se demuestra
mediante el paso al límite y valiéndose de la desigualdad
1la[-lbl ¡.,;; \a- b¡.
3°. a-aditividad y continuidad absoluta de la Integral de Lebesgue. En el punto anterior hemos enunciado las propiedades
de la integral de Lebesgue en un conjunto fijado. Ahora estable·
ceremos algunas propiedades de Ja integral de Lebesgue conside.
rando la expresión
F (A)= ~ f (x) dµ
A
como función de conjunto, definida en la clase de conjuntos me·
dibles. Probemos, ante todo, la propiedad siguiente.
TEOREMA 1. Si A= U A0 ; A 1 ílA¡=0 para i=t=¡, entonces,
"
~ f (x) dµ =- ~ ~ f (x)dµ ,
A
t15)
A•
donde la existencia de la i11tegral del miembro izquierdo implica
la existencia de las integrales y la convergencia absoluta de la
suie del miembro derecho.
§ 5. JNTEQRAL DE LEBRSOUE
DEMOSTRACJON. Probemos primero la afirmación del teorema para
el caso de una función simple f que toma los valores
y,, !li• · · ·, Yn• · · ·
Sean
Bk= {x:xEA,
/(x)=y.},
Bnk = {x:x E An• f (x) = 11.}.
Entonces,
f (x)dµ = ~ykµ (Bk) = ~ !1* ~µ (B.k) =
1
=
~~ykµ(Bnkl = ~
tf
(x)dµ.
(16)
Como la serie ~ Yk!l (Bk) converge absolutamente, suponiendo que f
es integrable en A, y como las medidas de todos Jos conjuntos
son no negativas, también convergen absolutamente todas las demás series de Ja cadena de igualdades (16).
En el caso de una función f arbitraria, se desprende, de su
integrabilidad en A, que para cualquier e> O existe una función
simple g integrable en A que verifica la condición
(l 7}
1f (x)-g (x)! < s.
Para g tenemos
~g(x)dµ = ~) g(x)dµ,
A
n Aa
donde g es integrable en cada conjunto A. y la serie (18) converge absolutamente. De este último hecho y de Ja estimación ( 17)
se desprende que f es también integrable en cada A,. y que
~1
tf
(x)dµ-t g(x)dµ
[ ~ ~ eµ (An) =
ji f (x)dµ-1 g (x) dµ
1
sµ(A),
~ sµ (A),
esto y (18) demuestra Ja convergencia absoluta de la serie
~ S f (x)dµ y lleva a la estimación
n An
j~
tf
(x)dµ- ~ f (x) dµ 1 ~2eµ (A).
Como e >O es arbitrario, obtenemos
~ ~ f(x)dµ= ~ f (x)dµ.
n An
A
340
CAP. V I. MEDIDA, FUNCIONES MEDIBLES, INTEOR.'1.
COROLARIO. S i f es integrable en A,
cualquier conjw1to medible A' cA.
f
es integrable también e11
Hemos demostrado que la integrabilidad en un conjunto A
de una fun clon f (x) implica, en el caso en que A = U A n y
A; n A¡ =t= 0 , que f(x) sea integrable en cada An yque la integral
en A sea igual a la suma de las integrales en los conjuntos An.
Esta afirmación puede ser invertida en el sentído siguiente.
TEO•lEM A 2.
Si A= U An, A;íl A¡= 0 para i =t= ¡ y la serie
n
~)
lf (x) ld~l
( 19)
n An
converge, la función f es integrable en A y
Sf (x) dµ = ~ ) f (x) dµ.
A
n J\"
Lo nuevo aquí, en comparación con el teorema anterior, es
la afirmación de que la convergencia de la serie (l9) implica la
integrabilidad de f en A.
Realicemos la demostración primero para el caso de una
función simple f que toma los valores /; en los conjuntos 8 ¡.
Tomando
tenemos
l lf (x) l dµ =~ lf1 l µ(A,.¡).
Aa
1
La convergencia de la serie (19) implica la convergencia de
las series
La convergencia de la última serie significa la existencia de
la integral
St (x)dµ= ~ /¡fA.(B 1 n A).
1
A
En el caso general, aproximaremos la función f mediante
una función simple ] de manera que
f
1 (x) - f (x) 1
<e.
Entonces,
S l i (x)fdµ ~ S l/(x)ldµ +eµ(A,.)
Aa
A~
(20)
f 6. INTEGRAL DI! LEBESGUI!
341
y como la serie
converge, la convergencia de la serie (19) implica la convergencia de la serie
~ ~
¡f(x) ldµ,
"A,.
es decir, implica, de acuerdó con lo demostrado, la integrabilidad en A de la función simple J. Pero, entonces, la función ihlcial f será también integrable en A, debido a (20). El toorema
queda demostrado.
Desigualdad de Chéblshev. Si cp (x) ;;;i: O en A, entonces
µ{x:xEA. q>(x);;;i:c};;;i.+Sq>(x)dµ.
(21)
A
En efecto, sea
A'={x:xEA, <p(x);;;i:c}.
Entonces,
Scp(x)dµ= Scp(x)dµ+ S
A
COROLARIO.!
<p(x)dµ;;;i,
A'A'
A'
Sq>(x)dµ;;;i,cµ(A').
A'
Sl
S1f(x)1 dµ =O,
A
es f (x) =O en ca.si todos los puntos.
Efectivamente, tenemos, en virtud de la desigualdad de
Chébishev,
µ{x:xEA,
lf(x)j~~} ~n S lt(x)jdµ =
O
A
para todos los n. Por la tanto,
µ {x:xE A,
f (x)
=FO}~
t/ {
x :xE!l, 1f (x)¡
~ ~J· =0.
En el punto anterior hemos indicado que la integral de
Lebesgue en un conjunto de medida nula es igual a cero cual·
quiera que sea la función f.
Esta afirmación puede ser considerada como el caso límite
del siguiente teorema importante.
342
CAP. \·J. MEDIDA, FUNCIONES MEDlBLES, JNTEQRAL
(continuidad absoluta de la integral de Lebesgue). Si
A, para cada
e> O exíste wi 6 > O tal que
TEOREMA 3
f (x) es una función sumable en un conjunto
1} f (x) dµ 1< e
para cu.a/quier conjunto medible ec A tal que µ.(e)< o.
DEMOSTRACJON. Observemos. ante todo. que nuestra afirmación
es evidente cuando f es acotada. Sea ahora / una función arbi·
traria sumable en A. Tomemos
A,,= \x:xE A, 11~ lf (x)I ~n + l}
y
N
B,v =
UA•. CN=A"-.BN.
....
Entonces, en virtud del teorema l.
~ 1f(x)1 dµ =
A
f
~ 1f (x) f dµ.
n; o A
Escojamos N de manera que
±f
1 (x) 1dµ
n ; N+¡
=
S 1f(x)1 dµ < i .
CN
y sea
O<ll<2c.ve+1¡ ·
Si ahora µ(e)
< ll,
tendremos
~f
1~ ~
dµ = ~ f
dµ + ~
dµ.
1
La primera de las integrales del miembro derecho no pasa de
{x) dµ
'
1f (x) 1
'
1 (x) 1
tnBN
1f(x)1
•n CN
f
(propiedad V). mientras que la segunda no es mayor que la
integral referida a todo el conjunto CN• es decir, tampoco pasa
de
luego, tenemos
i;
Las propiedades establecidas de la integral como función de
conjunto llevan al resultado siguiente. Sea f una fund6n no
~
343
5. !NTl!GRAL DE LEBESGl!E
negativa, sumable en un espacio X respecto a una medida µ.
Entonces, la función
~f(x)dµ
F(A)=
A
está definida para todos los conjuntos med ibles Ac::X y es no
negativa y a-aditiva, es decir, satisface ta condición: si A = U A,.
y A;ílA¡=0. se tiene F(A)= ~ F(An>· En otras palabr;s la
integral de una función no negativa posee, considerándola como
función de conjunto, todas las propiedades de una medida a-adi·
tiva. Esta medida está definida en la misma a-álgebra en la
que está definida la medida inicial µ y, además, está relacionada
con µmediante la condición: si µ (A)=O, también F(A)-0.
4°. Paso al límite bajo el signo de la Integral de Lebesgue.
La cuestión sobre el paso al límite bajo el signo de la integral o, que es lo mismo, sobre la posibilidad de integrar término por término una serie convergente, surge con frecuencia en
diferentes problemas.
En el Análisis clásico se demuestra que una condición suficiente para poder realizar este paso al límite es la convergencia
uniforme de la sucesión (serie) correspondiente.
Demostraremos ahora ciertos teoremas acerca del paso al
límite bajo el signo de la integral de Lebesgue que constituyen
unas generalizaciones de largo alcance de los teoremas correspon·
dientes del Análisis clásico.
(Lebesgue). Si una sucesión lfn} co11verge en A hacia
y para todo n
1fn(x) 1~ q>:(x).
T EOREMA •
donde q¡ es integrable en A, la función límite
integrable en A y
~ r,,(x) dµ ,1
>
f
r
es también
~ f (x) dfl.
Jl
Se desprende fácilmente de las condiciones del
teorema que 1f (x) 1~ cp (x). Por eso, como hemos señalado en el
punto anterior (propiedad Vil), f (x) es integrable. Sean
DEMOSTRAc10N.
A.t=(x:k- 1 ~cp(x)~k}; B.,=
U A.t={x:cp(x);;;;:m}.
k
<> m
344
CAP. VI. MEDIDA, FUNCIONES MEDl Bl.ES, !NTEORAL
Por el teorema 1
~ cp (x) dµ = ~
j qi (x) dµ
(22)
k Ak
A
y la serie (22) converge absolutamente. Además,
~ ~cp (x) dµ ... Y. S q> (x),dµ.
~>m Ah
8 ,.
De la convergencia :de la ;serie (22) se desprende la existencia
de un m tal que
Scp (x) dµ < i .
u,.
En A"-.8., se cumple la desigualdad q>(x) <m. En virtud del
teorema de Egórov, se puede representar A"-.8., en la forma
A"-.B,,,=CuD,dondeµ(D)< 5~ y en el conjunto C la sucesión
{fn} converge uniformemente hacía f.
Escojamos N de manera que para n > N se tenga
1f .. (x)- f (x) 1
< 5~1e{C)
en el conjunto C. Entonces,
~ f,,(x)dµ-
S {f0 (x) - f (x)):dµ =
A
B..,,
S f{x)d~l+
l:I.,.
+ sf n (x) dµ- sf (x)dµ + ~ ([!,, (x)-f (x)) dµ.
D
De aquí
J f,.
1
COROLAR IO.
D
C
(x)-f (x) [dµ;<5•i= e.
Si lf,, (x) 1~ M = const y
f,,-+ f, tenemos
St,.(x)d¡.¿ -. St<x)dµ.
A
A
Observación. C.Omo quiera que los valores que asume una
función en un conjunto de medida O no influyen en el valor de
la integral, bastaría su poner en el teorema 4 que lf,,) converge
hacia f en casi todos los puntos y que las desigualdades
lf,. (x) 1~ cp (x) se cumplen también en casi todos los puntos.
S 6. I NTl!GRAL DI! LEBESGUE
TEOREMA
s (Beppo Levi). Supongamos que
if1 (x) ~f, (x) ~ • · · ~ fn(x) ~ · · ·
eii
un conjunto A, en. el que las funcíones f n son integrables,
y que sus integrales son acotadas en su conjunto
}fn(x)d¡.i~I(.
A
Entonces, existe
casi todo el A el límite (finito)
e11
f(x)= limfn(x),
n
~
(23)
..
la /w1ción f es integrable en A y
~Ir. (x)d¡.i- ~ f (x)dµ.
A
A
Además, en el conjunto, en el que no existe el límite (23), la
función f puede estar definida arbitrariamente, tomándose, por
ejemplo, f (x) =O en este conjunto.
oeMOSTRACtON. Vamos a suponer que ;,(x) ;i:O, ya que el caso
general se reduce a éste pasando ll las funciones
f,.=fn-f1·
Consideremos el conjunto
Q = {x:xEA, f,.(x)-oo}.
Es fécil ver que
Q
=
nU '2l{', donde
r
n
'2~'={x:xEA,
fn(x)>r} .
En virtud de la desigualdad de Chébishev (21 ),
~L (Q:,'') ~ !S_
.
r
Como n¡ncQ~"c ••• cQ:{1c .. •• tenemos ~L (~
QJ[') ~K/r,
y
como para cualquier r
Qc
U QJ(',
n
encontramos de aquí que
¡.t (íl) ~ K/r.
Por ser r arbitrario,
µ(!:l) = O.
Con esto queda demostrado que la sucesión monótona {In (x)} tiene
en casi todo el A un límite íinlfo f (x).
346
CAP. V I. MEOIOA, FUNCIONES MEOIBLES, INTEGRAL
Sea ahora
<p (x) = r
para aquellos x en Jos cuales
r = l, 2, ••.
Si demostramos Ja inlegrabilidad de <p(x) en A, la afirma·
ción de nuestro teorema se desprenderíi Inmediatamente del
teorema 4.
Denolemos por A, el conjunto de aquellos puntos :< E A para
los cuales <p (x) = r y pongamos
r-l~f(x) < r,
Como las funciones f n y f son acotadas en B, y siempre
q¡ (x) ~ f (x) + 1, tenemos
) q> (x)dµ ~ ~f (x)d~l+µ(A)=
¡¡,
ff,
~ lini ~/n(x) dµ + µ(A)~ K + µ(A).
u ... oo B,
Pero,
) <p (.x) dµ =
±
rµ (A,).
r: 1
IJ,
La acotación de estas sumas Implica la convergencia de la serie
,i r µ (A,):a ) q¡(x)dµ.
.A
re. l
Luego, hemos demostrado que q> es In tegrable en A.
COROLARIO. Si 'Pn(.x)~ O y
~ ~ i1'in (x) dµ
< oo,
n= J /!
enfo11ces. la serie
l:; \Jin (.x)
conuerge en casi todo el A y
5C~ 'lln (x))dµ = n% j'l>n(x}dµ.
TEORE MA
º·
(Fatou). Si una sucesión
no negafiuas conuerge en casi todo
Vnl de funciones meáibfes
el A hacia f y
~fn(X)dµ.~K.
A
f es integrable ert A y
~ t (x)d~l ~ K.
A
§ 5. INTEGRAL DE LEBESOUE
DEMOSTRACJON.
347
Tomemos
qi.
(x) = inf
k>ll
fk (x);
Ql" es medible, ya que
jx:cp,,(x) <e}=
U {x:f-(x)<c}.
k4>n
Además, como O~ <p,, (x) ~ fn (x), <p11 son medibles y
~ cp,, (x) dµ ~ ~ f,. (x) dµ ~ K;
A
A
finalmente,
y
lim 'Pn (x) = f (x)
11 ..•«>
en casi todos los puntos. Por lo tanto, aplicando a {qi.} el teorema anterior, obtenemos el resultado necesario.
5°. Integral de Lebesgue en un conjunto de medida Infinita.
Al hablar de la integral y de sus propiedades, hemos aceptado
hasta este momento que se consideran funciones definidas en uno
u otro conjunto medible de medida finita. Sin embargo, trope·
zamos frecuentemente con funciones definidas en un conjunto de
medida infinita, por ejemplo, con funciones definidas en la recta
con su medida lebesguiana. Por esto es importante extender el
concepto de la integral también a este caso. Nos limitaremos al
caso prácticamente más esencial en el que el conjunto X puede ser
representado como Ja unión de una cantidad a lo sumo nume·
rabie de conjuntos de medida fintta •>:
,,
{24)
Llamaremos sucesión exhaustiva a toda sucesión {X,,} de subcon·
juntos medibles del conjunto X que verifica la condición (24).
Introduzcamos la definición siguiente.
11 Si un espacio X, en el que está definida una medida ~'· puede ser
represenlado como la unión de una cantidad numerable de conjuntos de
medida fínita, la medida en X se llama <1·finita. Como ejemp los de medi·
das a-finitas pueden servir lns medidas de Lebesgue en la recta, el plano
y el espac!o n·dimensional. Medidas que no son o-finitas se pueden obtener,
por ejemplo, asig,nando a cada punto de la recta el peso L y llamando
medi bles a todos los subconjuntos fini los de 111 reda (que constituyen un
anillo).
348
CAP. V I, ME.DIOA, !'UNCIONES MEDIBl-ES, I NTE.O'RAJ..
0E.F1N1c10N 3. Una función medible f, definida en un conjunto X
de medida a-finita X~, se llama sumable en X cuando es sumable
en cada subconjunto medible Ac X de medida finita y cuando
para cada sucesión exhaustiva {Xn} de conjuntos medibles existe
el límite
lim ~
n-
ce>
f (x) dfl (x).
(25)
X"
Este límite se llama integral de f en el conjunto X y se denota con
\ f.(x) dµ (x).
x
Está claro que el llímite (25) no depende de la selección de la
sucesión exhaustiva {Xn}, ya que, de lo contrario, uniendo dos
sucesiones exhaustivas podríamos construir una sucesión e.xhaustiva para la cual el limite (25) no existiría. Está claro también
que si Ja función f se anula fuera de un conjunto de medida
finita, la definición de la integral que acabamos de enunciar
coincide con la que ha sido dada en el punto 2.
Observación. La definición de la integral de una !unción
simple, dada en el punto 1, puede ser conservada textualmente
también en el caso de medida infinita. Está claro que para que
una función simple sea sumable es necesario entonces que asuma
cada valor diferente del cer-0 solamente en un conjunto de medida
finita. La definición de integrabilidad, dada en el punto 2, está
relacionada estrechamente con la suposición de que la medida del
conjunto X sea finita. En efecto, si µ(X)= ex>, Ja convergencia
uniforme de una sucesión de funciones simples sumables {cp,.} no
implica, en el caso general, Ja convergencia de Ja sucesión de sus
integrales (¡dése un ejemplo\).
Los resultados expuestos en los puntos 2 y 3 para el caso de
m~dida finita subsisten, en. lo fundamental, para las integrales en
conjuntos de medida infinita.
La diferencia substancial consiste en que, en el caso de
~L(X)=oo, una función medible acotada en X no es necesaria·
mente sumable. En particular, si µ.(X) = oo, ninguna constante
diferente del cero es integrable en X.
El lector comprobará fácilmen te que los teoremas de Lebesgue,
de Beppo Levi y de Fatou subsisten en el caso de medida a-finita.
6°. Comparación de la integral de Lebesgue con la integral de
Rlemann. Veamos la relación que existe entre la Integral de
Lebesque y la integral de Riemann, limitándonos al caso más
sencillo de la medida lineal de Lebesgue en la recta.
349
§ S. JNTEORllL DE LEBESOUE
,TEOREMA 1.
Si existe la integral de Riemann
b
I =(R)S f (x)dx,
a
f
es integrable en [a, bJ según Lebesgue y
S f(x)d~' =l.
[o, b)
oeMOSTRACTON. Consideremos la partición del segmento
2" intervalos mediante Jos puntos
(a,
b] en
k
xk =a + 27'
(b-a)
y consideremos las sumas de Darboux correspondientes a esta
partición
donde
M,,,,
es Ja cota superior de f en el segmento
xk-t ~r~xk,
y m,,k la cota inferior de f en el mismo segmento. Por definición
de la integral de Riemann,
I = lim Q,, = lim (1),,.
Tomemos
f,,(x)=M •• para xk-•~x~x••
[_,. (x)= m,,. para xk-i ~x ~ x •.
En el punto X= b las funciones
trariamente. Es fácil probar que
r. y f
n
pueden ser definidas arbi-
-
S 1,,(x)dµ = Q.,
[ o. b)
S [n(x) d~l = w,,.
[a, b]
Como la sucesión
ff,,~
es no creciente y la sucesión {[,,} no de-
350
CAP. VI.
~IEDIOA,
FUNCIO NES MEDISLES, INTEGRAL
creciente, tenemos en casi todos los puntos
f,, (x)
--. 7(x) ~ f (x),
{ (x) ~ f (x).
[n (x) -
En virtud del teorema 7,
S f(x)dµ = limQ,, = /=limco,,= ) [(x)dµ .
(u,
bJ
" -
'°
(a, bJ
n - »
De manera que
~ Yt(x)-[(x) Idµ = ) {f(x)-[(x)} dµ =O
(a,
úJ
[a.
bJ
y, por consiguiente, en casi todos los puntos
f (x)-f(x)=O,
es decir,
7(x) = L(x) = f (x)
y
)
f(x)dµ=/.
(a. b]
El teorema queda demostrado.
Es fácil señalar ejemplos de funciones acotadas integrables
según Lebesgue, pero no integrables según Riemann (por ejemplo,
la función de Dirichlet, mencionada anteriormente, que es igual
a 1 para losx racionales y al O para losx irracionales).
las funciones no acotadas no son integrables según Riemann,
pero muchas de ellas son integrables según Lebesgue. En parli·
cular, cualquier fu nción f (x) ~ O para la cual Ja integral de
Riemann
• b
0
}
f (x)dx
a+s
existe para cada e> O y Uene un límite finito 1 para e ..... O, es
Integrable en [a, b) según Lebesgue y
~
b
~
f{x)dµ=lim
f(x}dx.
e - o a+•
Señalemos que las integrables impropias
{•. bJ
b
b
r f(x)dx=~lim
r
J
g - o J
~
a+r
f(x)dx,
S 6.
.P~OOUCTOS
OJRECTOS DE SISTEMAS DE CONJUNTOS
351
en el caso en que
b
S lf(x)jdx=oo,
lim
e -+ O a+•
no existen en el sentido Jebesguiano ya que, de acuerdo a la
propiedad VI 11 del punto 2, Ja sumabilidad de la función f (x)
implica que la iunción 1f (x)i sea también sumable. Por ejemplo,
la integral
1
r· -sen-dx
1
1
1X
,.
X
Q
existe como integral impropia de Riemann (convencionalmente
convergente), pero no existe como integral de Lebesgue.
Si una función se considera en toda Ja recta (o en una semirrecta), su integral de Riemann puede existir solamente en el
sentido impropio. Si esta integral converge absolutamente, también existirá en este caso la correspondiente integral de Lebesgue
teniendo el mismo valor. En cambio, si esta in tegral converge
convencionalmente, Ja función no será in tegrable en el sentido de
Lebesgue. Por ejemplo, Ja función
-Sf'llX
X
no es integrable según Lebesgue en toda la recta ya que
s
"'
¡:se~x ldx= oo.
_..,
Sin embargo, como se sabe, la integral impropia
existe y es igual a n.
§ 6. PRODUCTOS DIRECTOS DE SISTEMAS DE CONJUNTOS
Y DE MEDJDAS. TEOREMA DE FUBINI
En el Análisis desempeñan un papel importante Jos teoremas
sobre la reducción de una integral doble (o, en general, múltiple)
a la integral reiterada. E l resultado fundamental de la teoria de
las integrales múltiples de Lebesgue es el teorema de Fubini que
demostraremos al final de este parágrafo. Previamente expondre-
352
CAP . VI. /.\EDIDA. FUNCIONES MEOIBLES. INTEORAL
mos algunos conceptos y resultados auxiliares que tienen, además,
interés por sí mismos.
t •. Productos de sistemas de conjuntos. Un conjunto Z de
pares ordenados (x, y), donde x E X e y E Y, se llama producto
directo de los con juntos X e Y y se denota con Z =X x Y. Del
mismo modo, el conjunto Z de sucesiones finitas ordenadas
(Xv x.. . . . . Xn), donde x,. Ex~. se llama producto directo de los
conjuntos X,, X,, . .. , Xn y se denota con
Z= X,xX,x ... x Xn = lxl x•.
En particular, cuando
X,= X 2 = ... =Xn = X ,
~l
conjunto Z es la n-ésima potencia del conjunto X:
Z= X".
Por ejemplo, el espacio de coordenadas n-dimensional R" e.s
la n·ésima potencia de la recta numérica Rt. El cubo unidad In,
esto es, el conjunto de elementos de Rn con coordenadas que
verifican las desigualdades
O <x~<
1,
k = I, 2, ... , n
-constituye la n-ésima potencia del segmento unidad / 1 =[O, 1].
Si 0 ., 0,, ... , Gn son sistemas de subconjuntos de los
conjuntos X,. X,, .. .. X,,, entonces,
ffi-@i 1 xGiX .. . x0n
representa el sistema de subconjuntos del conjunto X= l
que se pueden escribir en la forma
A =A,xA,x ... xA,..
xi x_
donde A_. E IEí••
Si @;1 = ®• = ... =@i,. = ®, es IR la n·ésima potencia de @i:
fR = 0''.
Por ejemplo, el sistema de paralelepípedos de R." es la n-ésima
potencia del sistema de segmentos de R'.
TEOREMA 1.
Si ®1,:®,,
1 es un semianillo.
... .'_®,.son. semlaníllos, tambléti ffi= lxl®k
De acuerdo con la definición de semianillo debemos
probar que si A, B ElR, entonces A n B E\R y que, además, para Be A
oEMOSTRACION.
S 6. PRODUCTOS DI! MEDIDAS
se tiene A= U C,, donde
c.=B,
353
C;nC,=.0 para i=¡l=j y
l=l
C,EíR (i= l, 2, . .. , n).
Realicemos la deijlostracíón para el caso en que n = 2.
I. Sea A E ® 1 X €C,, BE®, x €?,; esto significa que
A=A, x A,, A1 EG1 , A, E@í,,
B=B, x B,,
Entonces,
B1 EG1 ,
B,EIEí,.
y como
tenemos
AnBEG,x®,.
11. Supongamos ahora adicionalmente que BcA. Entonces,
8 1 c:A 1 , B,cA,
y, como G, y G, son semianillos, tienen lugar las descomposiciones
A. =B.uBtºu ... uBt•>,
A, = B,UB~"U
...
UB~º,
A= A 1 x A,= (81 X B,)U (8 1 x 8~11) U ... U (8,x 8~") U
U (81'1 X B,) U (81u X 8~") U ... U (81u X Bi11 ) U
U (Bt•> X BJ U (B¡•>X 8~1 ') U . .. U (B¡•• x 8~1').
En la última descomposición el primer término es B 1 x B, = B
y todos los términos pertenecen al sistema 6 1 X®,. Esto demues-
tra el teorema.
Sin embargo, si los sistemas 0,, son anillos o anil los borelianos,
ello no implica aún, en el caso general, que el producto IXI ®•
k
sea un anillo o, respectivamente, un anillo boreliano.
2 ~.
Productos de medidas. Supongamos que en los semianillos
definido las medidas
e,. e ..... ' €?n se han
µ,(A,), µ,(A,), . . . , µ"(A.,) AkEi;_..
Definamos en
la medida
12 >lt 2 1~0
354
CAP. VI. Ml!OIDA. PU NCIO NES Ml! Dl8 1,ES, IN TEORAL
de la siguiente forma: si
entonces,
A=A 1 X A, x . . . X An•
µ( A)= µ.l (A1) µ,(A,) .. . µn (Anl·
Es preciso demost rar que µ (A) es una medida, esto es, que µ.(A)
es aditiva. Haremos esto para el caso en que n = 2. Supongamos
que se tiene la descomposición
A=A 1 xA 1 = U B1k 1,
Bli>nBV1 = 0 para l=fa j,
En el capitulo I (lema 2 del § 5) ha sido demostrada la exístencia de descomposiciones
A 1-- u
ccm1
l
,
A '1 ----' u
ccni
t
•
m
tales que los conjuntos Btk• son uniones de ciertos qm> y los
conjuntos B~•· son uniones de determinados qn>. Es obvio que
µ(A) =1.1.1 (A1l µ ,(A.) ... ~~ µ. (Cr1>µ,(q"'J,
(1)
n m
~1 (81kt)
= µ 1(Bt••) µ , (B~A') = ~m ~ µ 1(CY">) µ , (q111),
(2)
11
donde en el miembro derecho de la igualdad (1) aparecen justamente una vez todos los términos que figuran en los miembros
derechos de las igua ldades (2). Por lo tanto,
µ (A)= ~ µ.(8.-),
que es lo que debiamos demostrar.
En particular, la aditividad de las medidas elementales en un
espacio euclídeo n-dimensional se desprende de la aditi vidad de
la medida lineal en la recta.
TEOREMA 2. Si las medidas µ 1 , µ., ... , µ,, son r:J-aditivas, tam1 bién es a-aditiua la medida µ = µ 1 x µ, x .. . x µ,,.
Daremos la demostración para el caso en que n = 2. Supongamos que i..1 es la prolongación Jebesguiana de la mediCla µ 1 •
uen> donde los conjuntos e y en pertenecen a €:5,
CD
Sea
e=
11•1
'X ~••
S 6. REPRESl!NTACIO.N DB LA MEDI DA
es decir,
C=A x B,
C,, = An X B..
Tomemos para
AE~1 •
BE€>,,
Bn EG,.
x EX
x _ { µ, (Bn) cuando x~An.,
O cuando xE An.
/,.( )-
Es
An E e 1 ,
fáci 1 ver que para x E A
~ fn (x) = ~1, (8)
n
y por esto, de acuerdo con el teorema de Beppo Levi (teorema 5
del § 5)
~ ~ fn (x)d>. 1 = ~ µ , (B)d>.1 = i, 1 (A)· µ 1 (8) = ~1 1 (A)·µ, (B).
n A
A
Pero,
~ fn (x) dA.1 = µ 1 (B.)· µ 1 (A,.)= µ (C.)
A
de modo que
~µ(C.)= µ (C).
n
La proloncación lebesguiana de
la medida
µ1
x µ 1 x . . . x µ.
se llamará producto de las medidas µ• y se denoh1rá con
µ,@µ. ® . .. @µ,, =l®J µk.
En particular, para
µ1 = µ.= ... = µ.=µ
obtenemos la
n~sima
potencia de la medida µ :
n
¡1•=1Rijµk•
1~'
µk1:;cµ.
Por ejemplo, la medida n·dimensional de Lebesgue µ n es la
n·esima potencia de la medida lineal de Lebesgue µ.
3º. Representación de la medida plana en términos de la integral de la medida lineal de secciones y definición geométrica de
la 'integral de Lebesgue: Sea G una región del plano (x. y) limitada por las verticales x = a, x = b y las curvas y= q¡ (x), y= 'ljl (x).
Como es conocido, el área de la región es igual a la integral
a
b
V(G)=) {qi(x)-lj>(x)}d.x.
a
12•
356
CAP. VI. MEOIOA, FUNCIONES MEDIBLBS, INTEGRAL
La dilerencia q>(x0)-$(x0) representa aqui la longitud de la
se<:ción de la región G mediante la vertical x = x0 • Nuestro objetivo es extender este modo de medir áreas al caso de medidasproductos arbitrarios
µ=~t.. @ µY'
Vamos a suponer en lo sucesivo que las medidas µ_. y µ están
definidas en álgebras borelianas, son o-aditivas y veriflcan la
condición de plenitud (si Be A y µ(A)= O. entonces B es medible), condición que, como hemos visto con anterioridad. verifican todas las prolongaciones lebesguianas.
l ntroduciremos las denotaciones siguientes
A,.= jy: (x, y)EA}
Ay={x: (x, y)EA}
(x fijo),
(y íijo).
Si X e Y son rectas numéricas (de modo que X x Y es el
plano), A,.0 es la proyección sobre el eje Y de la sección del conjunto A m ediante la recta vertical x = x11•
TEOREMA J.
En las suposiciones senaladas .se tiene
µ(A) =~ µ,, (A,.)dµ .. = ~ µ,. (A,,)dµ,,
X
y
para cualquier con junto µ -medible A u.
oe~1ostRAc10N.
Es obvio que basta demostrar la igualdad
µ(A)
= ~ q> A (x) dµ,.,
donde <p A (x) =µ>'(A,.),
(3)
X
ya que la segunda parte del teorema .es totalmente análoga a la
primera. Observemos qué el teorema incluye automáticamente la
alieveración de que para casi todos los x (en el sentido de la medida µ,.) los conjunlos A,. son medibles según la medida !-ly y de
que la función· q>A (x) es medible respecto de la medida µ... De lo
contrario, la fórmula (3) no tendría sentido.
11 Observemos que la Integración en X se reduce, de hecho, a la lnte·
graclón ~ el conjunto U Ayc X luera del cual el integrando es igual acero.
11
Análogamenlc,
~= )
y
U A.
"
§ 6.
R6PRESENTACION oe LA MEDIDA
357
La medida µ es Ja extensión lebesguiana de la medida
m=µ,.xµY
definida en el sistema @s., de conjuntos de tipo
A ... Ay0 xA ...,.
Para estos conjuntos la igualdad (3) es evidente, ya que en
este caso
x - { µy(A ...) para xE AY•'
O para xE Ay,·
cp,..( ) -
La igualdad (3) se extiende sin dificultad también a los conjuntos de \ll(G,,,) que se descomponen en uniones finitas -de conjuntos disjuntos dos a dos de ~m ·
En el caso general, la demostración de la igualdad (3) se basa
en el lema siguiente que tiene interés independiente en la teoría
de prolongaciones lebesguianas.
LEMA. Para cualquier conjunto µ-medible A existe un conjunto B
tal que
n
Bn= U Bn•• B" 1cB",c . .. cB.,.c ...•
k
donde los conjuntos Bn,. son elementos de lR (~..) y A e; B y
11 (A)=µ (8).
La 0E~\OSTRAC10N del lema se basa eo el hecho de que, cualquiera que sea n, el conjunto A puede ser incluido, por definición
de medibilidad, en la Unión C~
ti,,, de COnjun(OS ~N de ~..
=u
de manera que
µ (C,,)
Tomando Bn=
nC
11,
< µ(A)+ n1 .
veremos sin diiicullad que los conjuntos
•~1
Bn llenen la forma Bn= U t>nt donde l>ns son e.lementos de
Tomando, finalmente, Bn1t=
• 6,,.,.
U
• s
1
@s., •
obtendremos un sistema de
358
CAP. VI. MEOIOA, FUNCIONES MEOI BLES, INTEGRAL
conjuntos B,,,. con las propiedades requeridas. Esto demuestra el
lema.
Empleando el teorema de Beppo Levi (teorema 5 del § 5), es
fácil extender la igualdad (3) de los conjuntos Bn1tEíR(G,,,) a los
conjuntos B,, y B, ya que
<p.o.,~ <p.0 0 ~
<ps. (x) = ¡,_.,.
lim q>B,.;. (x),
!f>B
(x) = lim <i>a. (x),
!ps, ~ q>B, ~
••• ,
••••
,,.~
Si µ(A) = O, entonces µ(B) - 0 y en casi todos los puntos
<pn(x) =µ.Y (B_.) =O.
Como A_.c B.., para casi todos los x el conjunto A.. es medible y
cp,. M=µ.y (A..)=0,
<ll..t (x) dµx= 0 = µ. (A).
s
Por consiguiente, la fórmula (3) es válida para conjuntos A tales
que µ(A) = O. En el caso general, represen taremos A en la forma
B"-.C, donde, en virtud de (4),
µ (C)=O.
Como la fórmula (3) es válida para los conjuntos B y C, es fácil
probar que se cumple también para el conjunto A. Hemos ter·
minado la demostración del teorema (3).
Consideremos ahora el caso en que Y es la recta numérica,
f.l,, es la medida li neal de Lebesgue y el conjunto A es el con·
junto formado por puntos (x, y) de tipo
{xEM, O~y~f(x)} ,
(5)
donde M es un con junto µ ..·medible y f (x) es una función integrable no negativa. En este caso,
A -{ f (X)
µ,,( ..)-
para x _§_M.
O para xEM
y
µ (A)
= S f (x) dµ.,..
M
Hemos demostrado con esto el teorema siguiente.
lA integral de Lebesgue de una función no negativa
f (x) es il(ual a la medida µ. = µ_. x µY del conjunto A definido
·
1 por las relaciones (5).
TBORBMA •·
~
6. TEOREMA DE FUBINI
359
En el caso en que X es también Ja recta numenes, el conjunto M es un segmento y Ja función f (x) es integrable · según
Riemann, este teorema se reduce a la expresión conocida de la
integral como el área comprendida debajo del gráfico de la.función.
4º. Teorema de Fubini. Consideremos el producto triple
U= X x Y x Z; si en X, Y y Z están definidas las medidas µ.",
¡.i. y µ,. la medida
1
puede ser definida o bien como
f1u = ÜA.x ©µy)©µ&
o bien como
µ,.=µx@(µ,@ µ,).
Es fácil probar que, de hecho, estas definiciones son equivalentes.
El teorema siguiente constituye el resultado principal en la
teoría de integrales múltiples.
rr::OREMA oi;: Pua1N1. Supongamos que las medidas 11x y f1.v están
definidas en anillos borelianos, son a-aditivas y completas; su·
pongamos, además, que
~t=µx@µy
y que la función f(x, y) es inÚgrable respecto a la medida µ
en un con j u11to
(6)
AcXxY.
Enionces 1>,
~ f (x, y)dµ =-~O./ (x,
y) dµ 1 ) dµ_.
=
=) () f (x, y) dµ..,) dµ,.
y
(7)
Ar
La afirmación del teorema incluye la existencia de las integrales en los paré.JI.tesis para casi todos los valores de la variable
respecto a la cual se toman estas integrales.
DEMOSTRACION. Realicemos ·primero la demostración para el caso
en que f(x, y);;:::O. Consideremos con este fin el producto triple
V=XxYxZ,
Jl
Véase la llamada al pie de la página 356.
360
CAP. VI. MEDIDA, FUNCIONES MEDlBLES, INTEGRAL
donde el tercer factor es lá recta numérica, y el producto de
medidas
h= µ .. @ µy @µ t = µ@µl,
donde µ 1 es la medida lebesguiana lineal.
Definamos en U un subconjunto W tomando
(x, y, z) E W
cuando
xEA, y E A .. ,
O ~z~f (x, y).
De acuerdo con el teorema 4,
A. (W)
= 5f (x,
y) dµ..
(8)
A
Por otra parte, en vista del teorema 3,
5~(W..)dµ,.,
'A (W) =
(9)
X
donde ~= ~..I( X_µ' y W., es el conjunto de pares (y, z) tales que
(x, y, z) E w. Además, de acuerdo con el teorema 3,
~(W..-)= S f(x, y)dµ.y-
(JO)
A.,
Comparando (8), (9) y (.10), encontramos
Sf (x, y)dµ = S(~ f (x, y)dµy)dµ.x,
A
A~
X
que es los que queríamos demostrar.
El caso general se reduce al estudiado mediante las relaciones
¡+ (x,
y) =
1
f(x, y)=f+ (x, y)-f-(x, y),
f (x, y)~+! (x, 11) ¡- (x, y), = lf (x, y)
0
t'
(x. Y).
Observación. Como veremos en los ejemplos que indicamos más
·abajo, la existencia de las integrales reiteradas
1(t'dµy)dµ,.
y
Ht'dµ. )dµy
(11)
no implica, en el caso general, ni la igualdad (7) ni la integrabilídad de Ja función f (x, yl en A. Sin embargo, si existe al menos
una de las integrales
)dµ,.
Htl f (x, Y)ld!ly
ó
Htlf(x,
f (x, y) es integrable en A y tiene lugar
y) Idµ") dµ 1 ,
la igualdad (7).
(12)
§ 6. TEO~BMA DB l'UBINI
361
En efecto, supongamos. por ejemplo, que la primera de las
integrales (12) existe y es igual a M . La función .fn (x, y)= min x
x {i f (x, y)I ·, n) es medible, ¡¡cotada y, consecuentemente, sumable
en A. Por el teorema de Fubini
~f11 (x,y)dµ=~(~ f,.(x,y)dµ.y)dµx~M.
A
X
(13)
A~
Las funciones f,. forman una sucesión monótona no decreciente
que converge en casi todos los puntos hacia 1f (x, y)¡. En virtud
del teorema de Beppo Levi, de aquí y de la <lesigualdad (13) se
desprende que la función / f (x, y) 1es sumable en A. Pero, entonces,
también f (x, y) es sumable y para ella es válido el teorema de
Fubini. De aquí se deduce nuestra afirmación.
Hemos demostrado el teorema de Fubini suponiendo que las
medidas µx y µ..Y. (y, por consiguiente, también µ) son finitas. Sin
embargo, es fácil probar que este teorema subsiste también en el
caso de medidas l1-finitas.
Veamos unos ejemplos de funciones, para las cuales existen las
reiteradas ( 11 ), pero no tiene lugar la igualdad (7).
l. Sea
integrale~
A=[-1, l)'
y
entonces.
l
~ f (x, y) dx =O
-1
para g ¡,.O y
1
~
f(x,y)dy=O
- 1
para x ¡,. O. Por Jo tanto,
1
'1
S ( S f(x,y)dx
- 1
-1
~
\
l
)dy=
l
-1
~
1
(
)
f(x, y)dy
dx=O~
-1
pero la integral, en el sentido de integral doblt de lebesgue, en el cuadrado
no existe, ya que
sS
1
1
-· -1
t
rt(x,y)Jdx dy;;;;o.\ dr
o
s
2n
o
t
jsenprcoscpl dq>=2S7=oo.
o
362
CAP. V I. MED IDA. P U NCIONES M EDIRLES, INTEGRAL
2. A=!O, IJ'
1
1
2n para2ño:;;x<; ,,_1
2
f (x,
y)=
•n +
{ -2
O
Se purde calcular que
míentros que
1
:
1
1
2-i.i;;;y
< 2 ._
1 ,
l
1 . l
para 2 ,.+ 1 <;;x < 2-i' 2ñ <; y
en los demás c.qsos.
l
< 2 ,,_,.
CAPITULO
VII
INTEGRAL INDEFINIDA
DE LEBESGUE. TEORIA
DE DIFERENCIACION
En este capítulo continuaremos el estud io de la integral de
Lebesgue, limitándonos fundamentalmente al caso de funciones
en Ja recta y aceptando que la medida, respecto a la cual se toma
esta integral, es la medida habitual lineal de Lebesgue.
Si f es una función sumable definida en un conjunto medible
X de medida µ , la integral
~ f (x) d¡.i:
(1)
A
existe para cada AcX medible y, siendo f fija. representa una
función de conjunto definida para todos los subconjuntos medibles
A e X. Si la función f eslá definida en un segmento de la recia
numérica y el conjunto A, respecto al cual se toma la integral (1),
también es un segmento, esta in tegral es función de par de puntos,
esto es, de los extremos del segmento A. Fijando uno de los
extremos del segmento de integración , digamos el izquierdo, po·
demos considerar la integral referida al segmento ¡a, x] como
funci ón de una variable x. Estudiaremos las propiedades de la
integral
•
sf (t)di,
"
tomada en el segmento [a, x] con la medida habitual lineal de
Lebesgue en este segmento, como función del extremo superior
de integración x. Este problema nos llevar~ a considerar algunas
clases importantes de funciones en la recta. E l estudio general
de Ja integral de Lebesgue de una función fi ja f como función
de conjunto se realiza en el § 5.
364
CAP. VII. INTEGRAL INDllF. TEORIA DE DIFERENCIACJON
Son conocidas del curso elemental del Análisis las siguientes
igualdades fundamentales que establecen la relación entre las
operaciones de diferenciación e integración: si f es una función
continua y F una función de derivada continua, entonces,
•
Tx Sf (t) dt = f (x),
1)
o
b
2)
Sf'(l)dl =
F(b)-F(a).
4
Surgen las preguntas: a) ¿es válida la igualdad 1) para funciones
sumables en el sentido de Lebesgue? y b) ¿cuál es la clase (la más
amplia posible) de funciones para la que se verifica la igualdad 2)?
Estas cuestiones son estudiadas en los parágrafos próximos del
presente capítulo.
§ l. FUNCIONES MONÓTONAS. DIFEHE1'CIABILJDAD DE LA
INTEGRAL RESPECTO AL EXTREMO SUPERIOR
1°. Propiedades fundamentales de funciones monótonas. Comen·
zaremos el estudio de las propiedades de ,la integral de Lebesgue
X
<D (x) = ~ f (t) dt
(\)
a
como función del extremo superior con la siguiente observación
obvia, pero importante: si la función f es no negativa, lll (x) =
X
= ~ f (t) d.t es una función monótona no decreciente; además, como
o
toda función sumable es diferencia de dos funciones sumables no
negativas:
f (l)=f+ (J) -f-(t),
(2)
la integral (1) es la diferencia de dos Funciones monótonas no
decrecientes. Consecuentemente, el estudio de la integral de Lebesgue como función del extremo superior puede ser reducido al
estudio de fu,nciones monólonas del mismo género. Las funciones
monótonas (independientemente de su origen) poseen una serie
de propiedades simples e importantes que pasarnos a exponer.
· Recordemos algunos conceptos necesarios para lo sucesivo.
Siempre que no se diga lo contrario, se considerarán funciones
definidas en un segmento.
§ l. PUNCIONES MONOTONAS
365
Una función f se llama monótona no decreciente cuando x1 ,.;;; x,
implica
f (x,),.;;; f (x.);
análogamente, f se llama monótona no creciente cuando x, ,.;;;xa
implica
f (Xi)~ f (x.).
Sea f una función arbitraria en la recta. El limite
limf (x0 +h)
h-0
h>O
(si es. que existe) se llama límite a la derech{l ,de la· iun~ió_n f en
el punto x, y se denota con f (x0 + 0). Análogamente, el límite a la
izquierda f (x 0 -0) de la función f en el punto x 0 se define como
lim f (x0 -ll).
o
11 - •
h>O
+
La igualdad f (x0 0)= f (x 0 - 0) significa, obviamente, qµe la
función f es continua en el punto Xp o tíene. en é l una discon·tinuidad évitable. Un p1,1nto en el que f (x0 +O) y f'(x0 -0) ·existen,
pero no coinciden, se llama punto de discontinuidad de primera
especie y Ja diferencia f(x 0 +0)-f(x0 -0) se llama salto de la
función f en este punto.
Una función f se llama continua a la izquierda en el punto
x 0 cuando f (x0 ) = f (x0 -0) y continua a la derecha en este punto
•
cuando f (x 0 ) = f (xo"f- O).
Demostremos las propiedades fundamentales de las funciones
monótonas. Para concretar, hablaremos de funciones monótonas
no decrecientes aunque todo Jo que se dice a continuación se
extiende automáticamente a las funciones monótonas no crecientes.
l. Toda función f monótona no decreciente en la. b] es medible
y acotada y, por consiguiente, sumable.
En efecto, debido a la monotonía,
f (x) ~ f (b) en [a, b).
Además, para cualquier constante e el conjunto
A, = (x:f (x) <e¡
es o bien un segmento o bien un semisegmento (o el conjunto
vacío). Eíectivamente, si existen puntos en los que f (x) <e,
designemos mediante d la cota superior mínima de todos estos x.
Entonces, A, es o bien el $egmento [o, 'd] o bien el semisegmenlo
[a, d).
366
ChP. VII. !NTEGllA L !NDBP. TEOR!A DI! DIFEJll!NCIACION
2. Una función monótona
pu~e
tener solamente discontinuidad
de primera especie.
En efecto, supongamos que x es un punto arbitrario de [a, b)
y que x,,-+x0 siendo x,, < x 0 • En este caso, {f (x.)) es una sucesión monótona no decreciente acotada por arriba (por el valor f (x0 ),
por ejemplo). Luego, para cualquier sucesión de este tipo existe
lirn f (x,,), es decir, existe f (x0 -0). De manera análoga se de-
,, .....
muestra la existencia de f (x. + 0).
Es evidente que una función monótona no es necesariamente
continua. No obstante, es válida la proposición siguiente.
3. El conjunto de Los puntos de discontinuidad de una función
monótona es a lo sumo 11umerable.
Efectivamente, la suma de los saltos de una función f monótona en [a, b} no pasa de f (b)-f(a). Consecuentemente, para
cada n el número de saltos de magnitud mayor que .!.
n es finito.
Sumando respecto a todos los n = I, 2, .. . , obtenemos que el
número total de saltos es finito o numerable.
Entre las funciones monótonas las más sencillas son las así
llamadas funciones de saltos. Son funciones que se obtienen del
siguiente modo. Supongamos que en un segmento (a, b] se ha
escogido una cantidad finita o numerable de puntos
y supongamos que a cada uno de estos puntos se ha asignado un
número positivo hn de manera que ~ h,, < oo. Definamos en [a, b)
r.
una función f tomando
/(x)= ~ h,..
(3)
.r,.<.x
Esta función es, obviamente, monótona no decreciente. Además,
es continua a la izquierda en cada punto, el conjunto de sus
puntos de discontinuidad coincide con el conjunto {xn} y el salto
en el punto x,. es igual a h,.. En efecto,
f(x-O) = lim f (x-e)=lim
e- o
e~o
t> o
e> o
~
xA<.r-e
hn
y, como cada x,. que verifica la condición x. < x también verífica
la condición x,. < x-e para e suficientemente pequeño, el último
S l. FUNCIONBS MONOTONAS
367
límite es igual a ~ hn =f(x). Luegou,
z.<x
f(x-0)=! (x).
Si el punto x coincide con uno de los puntos xn• digamos x=xn,
setkM
•
f (x., + O)=lim f(Xn + e)=lim
o
°
e:-0
l;
e-o x..,<x-.+e.
hn =
~
x.. < ~•4
hn,
es decir, f (xn +O)-f (xn -O)=h,,..
En lo sucesivo entendremos por función de saltos cualquier
función que puede ser obtenida mediante la construcción descrit~.
El tipo más sencillo de funciones de saltos son las funci6rié's escalonadas, cuyos puntos de discontinuidad pueden ser representados
mediante una sucesión monótona
X1
< X < . . . < Xn < ...
1
En el caso general, una función de saltos puede tener una estructura más compleja; por ejemplo, si {xn} es el conjunto de todos
los puntos racionales del segmento [a, b] y hn =~ . la fórmula (3)
determina una función de saltos discontinua en los puntos racionales y continua en los irracionales.
Otra clase de funciones monótonas, en cierto sentido opuesta
a Ja de las funciones de saltos, es la formada por las funciones
monótonas continuas. Tiene lugar la afirmación siguiente.
4. Toda fwzción monótona puede representarse como suma de
u11a función. mo11ótona continua y de una función de saltos.
En efecto, sea f una función no decreciente cualquiera, sean
x" x,, ... sus puntos de discontinuidad y sean h1 , h,, ... sus saltos
en estos puntos. Tomemos
H(x)= ~ hn.
x,.<x
La diferencia
<p=f-H
es una función no decreciente continua. Consideremos, para
demostrar esto, la diferencia
q> (x") - cp (x') = [! (x")-f (x')]-[H (x")-H (x')).
11
S! hubi(!semos definido
f
mediante la fórmula
/(K)= ~ Ji,..
x.<..x
oblenuriamos una !uncíón continua a Ja derecha.
368
CAP. VII. INTEGRAL INOEP. TEORIA DE OJPERENCIACION
La expresión que !igura en el miembro derecho es la diferencia
entre el incremento total de la función f en el segmento [x'. x"J
y la suma de sus saltos en este segmento, es decir, coincide con
la medida del conjunto de valores que toma esta [unción en sus
puntos de continuidad pertenecientes a [x', x•J. Evidentemente,
esta magnitud es no negativa y, por lo tanto, cp es una función no
decreciente. Ademés, para un punto x• arbitrario tenemos
q>(x'-0)= lim f(x) z-x•- o
lim H(x) =/(.i."'- 0)- ~ h~··
x-x.·-o
x,.<z·•
cp (x' +0) = f(x" + O> - H (x'+O) = f (x" + O)- ~ hn•
Xn < x •
de donde
q>(x" +0) - q> (x•-O) =
f (x" + 0)- / (x"-
0)-h•= O
(aquí Ji• es el salto de la función H en el punto x').
En consecuencia, <p es efectivamente continua.
2°.Dlferenciabllidad de una función monótona. Después de
haber expuesto . estas propiedades elementales de las funciones
monótonas, pasemos a estudiar el problema sobre la existencia
de la derivada de una (unción monótona.
(Lebesgue). Un.a función monótona f definid.a en u11
segmento [a, b] tiene deriC1ada finita en casi todos los puntos de
este segmento.
TllOR E MA 1
1
Introduciremos, ante todo, algunos conceptos que emplearemos
en la demostración de este teorema.
<:orno es conocido, la derivada de una función f en un punto x.
es el límite del cociente
f (x)-/ (xo)
(4)
para x - x0 • Este límite puede, por supuesto, no existir, pero
siempre tienen sentido las cuatro magnitudes siguientes (que pueden tomar también valores infinitos):
11., que~es el límite superior del cociente (4) cuando x tiende
a x, por la derecha {es deci r, de manera que x-x0 >O). Esta
magnitud. se llama número derivado superior derecho.
J..4 (número derivado inferior derecho) que es el límite inferior
del cociente (4) cuando x- x 0 por la derecha.
J\ 1 (número derivado superior izquierdo) que es el l!mite superior del cociente (4) cua.n do x - x. por la izquierda.
'A.1 (número derivado inferior izquierdo\ que es el límite inferior del cociente (4) cuando x-... x, por la izquierda.
S 1, P UNCIONl!S MONOTONAS
369'
La fig. 20 aclara el contenido geométrico de estas magnitudes. Está claro que siempre
A.d ~ A.d
y
'A¡~A.r.
Si Ad y 'Ad son finitos y coinciden, su valor común es la
derivada de la función f (x) en el punto x 0 a la derecha. Análog
X
f!G. 20
gamente, si A;= 'A;, su valor común es la derivada a la izquierda.
La existencia de la derivada Finita de f en el punto x 0 equivaleque en este punto son finitos y coinciden todos los números.
derivados de la función f. Por lo tanto, el teorema de Lebesguepuede ser enunciado del siguiente modo: para una función monótorw en 1a, b] las relaciones
-oo < 'J..1 = Xd=A;=Ad < oo
se cumplen en casi todcs los puntos de [a, bJ.
ª
~--;71'
~/
1 \
'
11
r
1
1
1
1
------
,
/ 1
I1 \
I 1
1 "---~/ 1
FIO. 21
La demostración del teorema de Lebesgue se basa en el lema
que damos más abajo y que será empleado también en lo sucesivo.
rntroduzcamos la siguiente definición. Sea g(x) una función
continua definida en un segmento a~ x ~ b. Un punto x0 de este
370
CAP. VII. INTEORAL INDEF. TEORIA DE Dll'ERENCtACION
segmento se llamará punto invisible por la derecha para la fun·
ción g cuando exista un punto ~. X 0 < S ~ b, ta) que g (x0 ) < g
(véase la fíg. 2 1).
m
(Riesz). Cualquiera que sea la función continua g el conjunto
de puntos invisibles por la derecha es abierto e1t el segmento (a, b]
y, por consiguiente, puede ser representado como la unión de un
número finito o numerable de infervaws (a", b,.) disjuntos dos
a dos. Er1 las punlos extremos de estos interoolos se cwnplen
Ll1MA
las desigualdades
g (a11)
~ g (b,,).
(5)
02MOS"rRAc 1<1N DEL LEMA. Si x es un punto invisible por la derecha
para g, la misma propiedad a tendrá, debido a la continuidad
<le g, cualquier punto suficientemente próximo a x 0 • Luego. el
conjunto de estos puntos es abierto. Sea (a1c, b,.) uno de los intervalos que lo componen. Supongamos que
1
g (a") > g (b,.);
t6)
entonces, existe en el intervalo (a.11, b1c) un punto interior x 0 en el
cual g (x 0 ) > g (b1c)· Sea :;(' el punto más a la derecha de aquellos
puntos x de (ak• b,.) en los que g(x)=g(x 0) (véase la fig. 21) .
Como x:'E.(a,,, b,.), existe un punto s >:;('tal que g(s) > g(x•).
El punto
no puede pertenecer al intervalo (a,., b11), ya que :;('es
el punto más a la derecha de este intervalo en el que g(x) = g(x0 ),
mientras que g (bk) < g(x0 ). Por otro lado, la desigualdad t > b~
también es imposible, puesto que tendríamos g(b,.) < g(x.) < g
rw siendo b,. un punto invisible por la derecha. La contradicción
obtenida prueba que la desigualdad (6) no tiene lugar, es decir,
que g (a ) ~ g tb,.) y esto demuestra el lema. El lector podrá pro·
bar fáclrmente que, de hecho, g (a,.)= g (b1o) siempre que ª•.¡:a.
Observación. Un punto x 0 se llama invisible por la izquierda
para una función g (x) cuando existe un ~ < x 0 tal que g (~) >
> g(x ). Los mismos razonamientos permiten establecer que el
conjunto de estos puntos es la suma de un número finito o numerable
de intervalos (a,., b,.) disjuntos dos a dos para cada uno de los
cuales se cumple la desigualdad
s
m
g(a,.) ~g(bi.).
Pasemos ahora directamente a la demostración del teorema
de Lebesgue. Demostrémoslo primero suponiendo que f es una
función monótona continua no decreciente.
5 1, PUNCIONES MONOTONAS
371
Para demostrar el teorema basta probar que en casi t'Odos los
puntos
1) A 4 < oo y 2) f..¡ -;;;. ll.4.
En efecto, si tomamos
(x) = -! (-x).
será también una
función monótona continua no decreciente. Si Ad y i..i son los
números derivados superior derecho e inferior izquierdo para
es fácil probar que
r
r
r.
'>.( = 'J.a.
A.í ""' A1,
Por esto, aplicando a f' (x) la desigua'Jdad (2), tendremos
'>.4 ~A¡.
(7)
Uniendo en una cadena las desigualdades obtenidas y valiéndo·
nos de Ja definición de los números derivados, tendremos
A4~'J.,~A1~;.4~A"
y esto significa que
'>.; = i.."=A1 =A4.
Probemos primero que A 4 < oo en casi todos los puntos. Si
A" = oo en un punto x0 , cualquiera que sea C = consl existirá a
la derecha del punto x 0 un punto ~ tal que
f Ct)- f (xo)
t-x,
es decir,
f(~) -f (x.)
>e
'
> C(~ -x,)
o
f (s)-Ct > f (x 0)-Cx0 •
En otras palabras, el punto x0 es un punto invisible por la
derecha para la función
g(x) = f (x)-Cx.
En vista del lema de Riesz, el conjunto formado por estos puntos es abierto y en los extremos de los intervalos (a•• b•) que lo
componen se cumplen las desigualdades
f (a.)-Ca. ~ f (b.)-Cb.,
es decir,
f (b.) -
f (ak)-;;;.
e (bk -
ak).
Dividiendo por C y sumando las desigualdades obtenidas en todos
372
CAP. Vil. INTEGRAL INDl!P. TEOR IA OB 0 11'21U! NCIACION
los intervalos (a•• b.), encontramos
L..........
(b -a) & L.f(bk)- f<a•) ~ f(b)-/(a)
e
-.... e ·
Aquí C se puede escoger tan grande como se quiera. De ma·
nera que el conjunto de aquellos puntos en los que A4 = oo puede
ser cubierto por intervalos tales que la suma de sus longitudes
sea tan pequeña como se quiera. Consecuentemente, la medida de
este conjunto es igual a O.
El mismo procedimiento, ligado al lema de Riesz, permite
demostrar que en casi todos los puntos A¡ ~ A 4 , sólo que este procedimiento debe ser empleado ahora dos veces. Consideremos un
par de números e y e tales que o< e < e < 00 y tomemos
p = ~· . Sea E, el conjunto de aquellos x para los cuales A 4 > C
y ~. < c. Si logramos demostrar que µE,= O, ello implicará que
A; ~ :\4 en casi lodos los puntos ya que el C'Onjunto de puntos,
donde A.1 < A 4 , puede ser representado, evidentemente, como la
unión de una cantidad a lo su1110 numerable de conjuntos de
tipo EP.
Conviene destacar el lema siguiente.
1.EMA Para cualquier intervalo (a,, ~)c[a, b) tenemos
\
.
µ(x :x EEp n(a:.r'l)}.< p(~-a).
nHMOSTRACION.
Consideremos primero el conjunto form¡¡.do por
aquellos x E (ex, ~) para los cuales t.1 < c. Cualquiera qúe sea el
punto x , existe un t < x tal que 1<'t=~{x) <e, es decir, f (t) -e~ > f (x) -cx. Por lo tanto, x es invisible por la izquierda para
la función f (x)-cx y, en vista del lema de Riesz (véase la observación en la pág. 370), el con junto de estos x puede ser re·
presentado como la unión, a lo sumo numerable, de intervalos
(a.11 , P11)c (o., ~) tales que f (a11) -ca11 ~ f (~ 11) - c~ 11 , es decir,
f (~k)-f (a11) ::;;;;c(p. -
a.11).
(8)
Consideremos en cada. uno de los intervalos (a.11, pk) el conjunto 0 11
formado por aquellos x en los que Ad > C. Aplicando una vez
más el lema de Riesz (ahora 2ara los puntos invisibles por Ja
derecha, lo mismo que al demostrar la desigualdad A d < oo).
veremos que G11 se puede representar como la unión, a lo sumo
numerable, de intervalos disjuntos dos a dos (aks• ~11,) y que
~...1-
1
ai.,,::;;;;"l..[/CP111)-f(a.111)J.
C9>
S 1. PUNCIONES 1'\0NOTONAS
373
Está claro que el sistema de intervalos (a.,, ~.,) cubre el
conjunto E, n(a, ~) y que, además, tenemos, de acuerdo con (8)
y con (9),
-i:
:E (l}., -<lAJ) ~ :E [f (~.,)-f (<lA;)) ~
k.
J
A. /
~ ~ :E U<~.)-f(a.))~ ~ :E <~.-a.)~p(~ -a);
k
•
esto demuestra el lema.
Ahora es fácil probar que efectivamente µE,= O.
Para ello es suficiente emplear sólo aquella propíedad del
conjunto E, que ha §ído demostrada en el ,úlOmo 1~·m,!l . •S~a
µE, = t. Cualquiera que sea e> O, existe un conjunto abierto ·G,
igual a la unión numerable de intervalos (a.,, b,.), tal que E~c.G
y ~(b.. -a..) < t +e. Tomemos tm = µ (Ep íl (a,., b,.)). Es obvio
m
que,,.,. ~ (,,,. Por el lema, l,.,~p(b.. -a.). Luego, t~p ~ X
m
m
X (b., - a ..) < p (t +e) y como e> O es arbitrario, tenemos t,:;;;; pl.
Pero, O< p < l; por lo tanto t =O.
De manera que hemos demostrado el teorema 1 para el caso
en que f es una función continua. Los mismos razonamientos
sirven para el caso de una función monótona díscontinua, si se
recurre a Ja' siguiente generalización del lema de Riesz al caso
de funciones con discontinuidades de primera especie solamente.
Sea g una función en un segmento (a, b] que tiene solamente
discontínuidades de primera especíe. Diremos que un punto
x 0 E (a, b] es invisible por la derecha para g(x) cuando exista un
~ > x0 tal que
max [g(x 0 -0), g(x0 ), g(x0 + 0)] <g(~).
Entonces, lo mismo que en el caso en que g es continua, el
conjunto de puntos invisibles por la derecha para g e:; abierto y
en los extremos de los intervalos (ak, bk) que lo componen se
cumplen las desigualdades
g(a.) ~ g (bk).
Aunque la demostración del teorema l es extensa, tiene una
in lerpretación simple y obvia. Expliquemos, por ejemplo, por qué
A,¡ (y A;) d~ben ser finitos en casi todos los puntos. El cociente
Á~ es el «coeficiente de dilatación~ del segmento [a, b] en el
punlo dado x bajo la aplicaci6n f. Como esta aplícación trans·
forma el segmento fínito [a, b} en un segmento fínito [f (a), f (b) l.
la «dilatacióiu no puede ser infinita en un conjunto de medida
374
CAP. VII. 1NTl!GRA!. lND EP. T EORIA DI? DI J'ERENCIACION
positiva. Tampoco resulta difícil interpretar el último razonamiento que se basa en el lema demostrado en Ja pág. 372. Sig·
nifica simplemente que si un subconjunto medible A en cualquier
intervalo (a, /3) es parte de e.~te intervalo de medida no superior
a p (~-o:), donde p < 1 está fijado, entonces A no puede ser de
medida positiva.
3°. Derivada de la integral respecto al extremo superior.
Como la integral
X
~ q>(t)dt
"
de cualquier función sumable puede ser representada como diferencia de dos funciones monótonas, del teorema 1 se obtiene
inmediatamente el resultado siguiente.
TEOR EMA 2 .
Cualquiera que sea la función sumahle cp, la derivada
X
d
r·
dx J cp(t)dt
(JO)
a
existe para casi todos los puntos x.
Es preciso subrayar que, aunque hemos demostrado la existencia de la derivada ( 10) en casi todos los puntos, el problema
sobre la igualdad
X
d r
dxj
q¡(t)dt =q>(x)
a
no se ha discutido aún. Resulta (véase el § 3) que esta igualdad
es válida en casi todos los puntos cualquiera que sea la función
sumable q>.
§ 2. FUNCJONES DE VARIACIÓN ACOTADA
El problema sobre la derivada de la integral de Lebesgue
respecto al extremo superior nos ha llevado a considerar la clase
de funciones que pueden ser representadas como <liferencia de
funciones monótonas. En este parágrafo daremos una descripción
distinta de estas funciones, que no se basa en el concepto de
monotonía, y estudiaremos sus propiedades principales. Comencemos por las definiciones necesarias.
DEf'1N1c10N 1.
Una función
f
definida en un segmento se llama
función de variación acotada cuando existe una constante C tal
que, cualquiera que sea la partición del segmento [a, b] por
§ 2. PUNCIONES OE VAIHACION ACOTADA
puntos
a= X0 < x, < ... < x,. =
375
b,
se cumple la desigualdad
(1)
Toda función monótona es de variación acotada, ya que para
ella la suma que figura en el miembro izquierdo de (1) no de·
pende de la partición y es siempre igual a 1f (b)-f (a)¡.
DEF1N 1c10N 2. Sea f una función de variacion acotada.
cota
superior mínima de las sumas (1) correspondientes a t0<fas las
particiones finitas del segmento [a, b) se denomina varia.ciótt total de ta función f en el segmento [a, h) y se designa mediante
V~ [!]. De manera que
i.a
V~ (f) = sup 11~ 1f (x1c)-
f (xk_,) I·
Observación. Una función f definida en toda la recta se llama
función de variación acotada cuando las magnitudes
V~[{]
están acotadas en su conjunto. En este caso,
lim V~(/)
¡, ..... ~
o - - 2)
se llama variación total de la función f en la recta -oo < x < oo
y se designa con V'.'.'w ff].
Veamos las propiedades fundamentales de la variación total
de una función.
1. Si a es un número constante, se tiene
Vg(afl = 1a. \V~ [f].
Esto se desprende inmediatamente de la definición de V~[/].
2. Si f y g son funciones de varia.ción acotada, también f +g
es de l.lariación acotada y
V~ lf +g] ~V~ [f] +Vg {g].
(2)
En efecto, cualquiera que sea la partición del segmento [a, bj,
tenemos
~ 1f (xk) + g(x,.)-f (x,,_,)-g(x1<-1) 1~
k
376
CAP. VIL INTEORAL INOEF'. TEORIA DE DIFERENCIACION
y. como siempre
sup(A +B) ~sup A +supB,
obtenemos de aquí la desigualdad necesaria.
Las propiedades J y 2 significan que una combinación lineal
de funciones de variación acotada (definidas en un segmento dado
fa, b]) es de nuevo una función de variación acotada. En otras
palabras. las iunciones de variación acotada constituyen un espacio lineal (a diferencia del conjunto de funciones monótonas que
no forma un espacio lineal).
3. Si a < b < e, se tiene
V~
[fj + Vg [f] =V~ [f).
(3)
En efecto, consideremos primero una partición del segmento
tal que b es uno de los puntos de la partición, d_igamos
[a,
x, = . En este caso,
el
Consideremos ahora una partición arbitraria del segmento [a, ej.
Está claro que, si agregamos a los puntos de partición uno más,
a saber, el punto b, la suma
en lodo caso no disminuirá. Consecuentemente, la desigualdad (4)
se cumple para cualquier partición del segmento [a, e], es decir,
V~ ffl ~ V~ (f]
+vi [fl ·
Por otro lado, cualquiera ctue sea e> O, existen unas particiones
ele los segmentos [a, b] y [b, e] tales que
Lolf (xí)-f (x¡_ ,)I > V~[fJ-f
1
y
Lo
I/
(xj)-f (xj_.) 1 >
Vg[fJ-f ·
J
Uniendo estas dos particiones, encontraremos una partición del
§
z. l'UNC!ON.ES OB
VARIACION ACOTADA
377
segmento (a, e] tal que
~ 1f (x.)-f (x11-1) 1 =~ 1 f (xí)-f (xí- 1) l+
+ ~, lf (X¡)-f (xi-1) 1> Vg [f) + Vt [f]-e.
Como e> O es arbitrario, de aquí se desprende que
V~ [f} ~V~ ffl +vi [fl ·
(5).
De (4) y (5) se ded1,1ce (3).
.
.
. .
Como la variación de cua'lquier función en un segmento cualquiera es no negativa, obtenemos inmediatamente de la propiedad 3 que:
4. La función
V (x) =V~ (f]
es monótona no decreciente.
5. Si f es continua a la izquierda en el punto x*, también u
es continua a la izquierda en este punto.
En efecto, sea dado e> O. Escojamos 5 > O de manera que
1f (x*)-f (x) 1 < siempre que l x*-x I < 5. Escojamos, además,
una partición
f
a = X 0 < x 1 < ... < x,. = x*
tal que
V~·
n
(fl-:E lf(xk)-f(X_t-1)1 <f
·
(6)
k= I
Podemos suponer que
\ x*-Xn-iÍ < &
(de lo contrario, podríamos agregar otro punto de partición ya
que con esto Ja diferencia que figura en el miembro izquierdo
de (6) sólo podría disminuir); entonces,
1f (x*)-f (Xn _,)I
<T
y, por consiguiente,
Pero, entonces, con mayor razón
V~" [fJ-V~n- 1
[f) < e, es decir, v(x*)-u(xn _1 ) < e.
378
CAP. VII. INTEGRAL. INOEF. T!:ORIA DE OIFERENCl,\CJON
Como u es una [unción monótona no decreciente, de aquí se deduce que u(x•)-v(x) < i: para todo x tal que Xn_ 1 ~x~.x•.
Esto significa precisamente que la función v es continua a la
izquierda en el punto x•.
Razonamientos análogos demuestran que si f es continua a Ja
derecha en el punto x•, tambilm o es continua a la derecha en
este punto. Por consiguiente, si f es continua en un punto (o en
todo el segmento [a, b]), también v lo es.
Sea f una función arbitraria de variación acotada en (a, bJ
y sea v su variación total en [a, x) . Consideremos la diferencia
<p=v -f.
Esta diferencia es una función monótona no decreciente. En
efecto, sea x' ~ x· . Entonces,
<p (x")- <p (x') == [v (x") - v (x')]-[f (x") - f (x')).
(7)
Pero, siempre
1f (x")-f (x')I ~ v (x")-v (x'),
de manera que el miembro derecho y, consecuentemente, también
el miembro izquierdo de la igualdad (7) son no negativos.
Como
f=u -<p
hemos obtenido de esta forma el resultado siguiente.
Tt:OREMA 1.
I
Toda función. de variaciórl acotada puede ser represendo.~ funciones monótonas rw decre-
tada como la diferencia de
cientes.
Es decir, el conjunto de funciones que pueden ser representadas como diferencia de funciones monótonas y que ha sido considerado en el parágrafo anterior, es precisamente el conjunto de
funciones de variación acotada.
Del teorema 1 y del teorema de Lebesgue sobre la existencia
de la derivada de una función monótona, demostrado . en el pa·
rágrafo anterior, se desprende inmediatamente que toda función
de variación acotada posee derivada finita 11n casi todos los
puntos.
r
EJE~C ICI OS. l. Sí f tíene derivada acotada en (a, b) (es decir.
(x) ex iste
en todo punto y 1/' (x) 1 < C), la funclón f es de variación acotada y
v:u1.:;;;c(b-a) .
2. Sea
acotada.
f (x) -
x sen_!_ . Demuéstrese que
X
f
no es una función de variación
SS.. 'DERIVADA DE LA INTEGRAL INDEFINIDA DE LEBl!SGUE
379
Las constantes, y sólo ellas, son las funciones cuya variación total es
igual a O. Tomemos
11 fil~ V~ [f).
la magnitud V~ [fl posee las propiedades 2) y 3) de la norma (véase la
pág. 149), pero no verilica Ja propiedad 1). Si consideramos solamente las
!unciones sujetas a la condición adicional f (a)= O, ellas también formarán
un espacio lineal en el que la ma§nllud V~Ul tendrá ya todas las propiedades de Ja norma. El espacio V¡.,., bJ de funciones de variación acotada en
¡a, b) que vuifican la condición f(a),,,,Q, con las habituales operaciones de
adición y multiplicación por n<uneros y con la norma
11 fil==
v:w
se llama espacio de funciones de variación acolada.
§ 3. DER IVADA DE LA INTEGRAL INDEFINIDA DE LEBESGUE
En el § 1 hemos demostrado que Ja integral de Lebesgue
X
p(t)di
•
tiene, como función de x, derivada finita en casi todos los puntos. Sin embargo, no hemos revelado aún cómo está relacionada
esta derivada con el integrando. Ahora demostraremos el resultado
que hemos mencionado al final del § l.
TEOREMA 1.
los
CUlllquiera qUJ! sea la función sumable f, en casi todos
se cumple la igualdad
pur~tos
"
~S 1(t)dt =
t
ex>.
a
DEMOSTRACION.
Tomemos
~
<l> (x) = ~ f (t) dt.
a
Probemos primero que en casi' todos los puntos
f (x) ;;:;;. <D' (x).
Si f (x) < CD' (x), existirán números racionales
/(x) < ~ < ~<<l>'(~)·
ci
y
~
tales que
(1)
Sea E.p el conjunto formado por los puntos en los que se verifica
la desigualdad (1 ). Demostremos que la medida de cada uno de
estos conjuntos E. 3 es igual a cero. Como el número de estos
380
CAP. Vil. INTEGRAL INDEF. TEORIA DE DIFERENCIACION
conjuntos es numerable, de aquí se desprenderá que
µ {x:f (x) < <l>' (x)} =O.
Sea e > O arbitrario y sea l5
> O tal
que
IJt<t)d'l<e
siempre que µ(e) < l5 (un tal {) existe cualquiera que sea s debido a la continuidad absoluta de la integral). Escojamos ahora
un conjunto abierto Gc:[a, b] de manera que
Q::;:¡E.~ y µ(G) < µ(E.~)+o.
Si
x E E.~, tenemos
<l>(S}-<l>(x)
t-x
>~
(2)
para todos los ; > x suficientemente próximos a x. Escribiendo
la desigualdad (2) en la forma
<ll (;)- ~s > <l> (x)- ~x.
obtenemos que el punto x es un punto invisible por la. .derecha
para la función '1> (x)- ~x en cualquiera de los intervalos que
componen el conjunto G. Valiéndonos del lema de Riesz.-.podemos por eso indicar un conjunto S
(a~, b~) tal que E.~c:Sc.G y
=U
k
'1>(bk)-Pbk ~ '1> (a,.)-pak,
es decir,
o
b;
~ f (t) dt ~f3 (bk-a,J.
Sumando estas desigualdades correspondientes a todos los intervalos (ak, b,.) que componen S, obtenemos
S f (t) dt ~ pµ (S).
(3)
s
Al mismo tiempo,
Stu>dt= St(t)dt + S t(t)dt<
S
E..p
S\.E0~
<aµ(E.~+e~aµ(S)+e +
lall5.
(4)
s • • RECONSTRUCCION DE UNA FUNCION A PARTIR De su DERIVADA
381
C.omparando (3) y (4), encontramos
es decir,
aµ {S)+e + lai 6~ ~µ {S),
µ (S) ~
Et~ctd 6
.
De modo que el conjunto E. 6 se puede sumergir en un conjunto abierto de medida tan pequeña como se quiera (podemos
adm itir que 1al6 ~e) y esto significa precisamente que µ.(E.~)= O.
Hemos demostrado, pues, que
f (x) ~ <J>' (x)
en casi todos Jos puntos. Sustituyendp f (x) por-f (x), encontraremos de Ja misma forma que en casi todos los puntos
-f (x) ~ -<D' (x).
es decir,
f (x) ~ <D' (x)
y, consecuentemente, en casi todos los puntos
f(x)= <D' (x) =
! 5" f(t)dt.
e
El teorema queda demostrado.
§ 4. RECONSTRUCCIÓN DE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE SU
DERIVADA. FUNCIONES ABSOLUTAME NTE CONTINUAS
Hemos resuelto, pues, el primero de Jos problemas planteados en Ja introducción a este capitulo demostrando que para
una función f sumable en [a, b]
s
:X " f (L)dt =f (x)
o
en casi todos Jos puntos. C.onsideremos ahora el segundo de Jos
problemas antes planteados, es decir, estudiemos cómo se generaliza a l CBso de Ja Integral de Lebesgue la fórmula de Newton-·
Leibniz
s
X
F (x) = F (a)
+
F' (L) dt
o
(1)
382
CAP. Vil. l.NTIJGRAt. l.NDEP. TEORIA DE DIFERENCIAC!ON
que es bien conocida, en el caso de funciones de derivada continua, del Análisis elemental.
Es natural limitarse desde ·el principio a considerar aquellas
funciones F que son de antemano diferenciables en casi lodos los
puntos (de lo contrario, Ja igualdad (1) no tiene simplemente
sentido). Como sabemos ya, son de este tipo las funciones de
variación acotada.
Por otro lado, Ja integral que figura en el miembro derecho
de(!), es una funaión de, variación acotada. Luego, Ja igualdad (1)
no puede ser válida para una clase más amplia de funciones.
Puesto que toda función de variación acotada es diferencia de
<los monótonas no decrecientes; son precisamente las funciones
monótonas las que deben ser consideradas en primer término.
Sin embargo, para funciones monótonas arbitrarias Ja igualdad (1) no tiene lugar, en general. Pero, es válida Ja afirmación
siguiente.
n :orrnMA 1.
cienl11
f
la derivada f' de una función monótona no decrees sumable y
h
) f'(x)dx~f(b)-f(a) .
•
Por definición, la derivada de una función
un punto x es el límite del cociente u
DEMOSTRACION.
<ph (X )
f(x+hl-f(x}
=
f
en
(2)
h
para h - O. La sumabilidad de f implica que cada una de las
funéiones cph sea también sumable y, por lo tanto, la igualdad (2)
puede ser integtada. Esto nos da
b
b
a
a
b
Sch(x)dx={St (x+h)dx-·H f (x)dx=
a
b+.\
=
If
a+h
--}¡ ~ f (x)d.x-{
(x)dx.
La expresión que figura en el miembro derecho tiende para h-.. +O
hacia f(b)-f(a + O). Luego, aplicando el teorema de Fatou,
1 l Para
que la expresión f (x+h) tenga sentido cualquiera que sea
xE [a, />],podemos aeeptnr que/ {x)= f (b) para x > b y f (x)=f(a) para x < a.
§ 4. RCCONSTRUCC!ON!DE UNA !'UNCION A PARTIR DE SU DERlVADA
383
encontramos
b
b
~ f' (x) dx ~ lim ~ <i>h (x)dx = f (b)-f (a+ O)~ f (b)-f (a)
h~ Oa
a
(el teorema
integral de
Es fácil
tiene lugar
de Fatou garantiza asimismo la existencia de la
f'). Hemos demostrado el teorema.
dar ejemplos de funciones monótonas para las cuales
Ja desiguald.ad estricta
b
~ f' (x) dx < f (b)-f (a).
"
Es suficiente, por ejemplo, tomar
f (x) = {
O para O~x < -},
1
1 para 2 ~ x ~ l.
Es de mayor interés, sin embargo, el hecho de que existen furciones monótonas continuas para las cuales se cumple Ja desi·
X
gualdad estricta ~ f' (t)dt
•
< f (x)-f (a)
para todos los x > a. !:l e
aqui uno de los ejemplos más sencillos. Consideremos en el segmento [O, 1] el conjunto perfecto de Cantor y definamos primero f
en los intervalos contiguos tomando
k
f (/)="F·
k= 1, 3, 5, •.. , 2n-1
para el k·ésimo intervalo contiguo, contando de izquierda a la
derecha, de n·ésimo rango (incluyendo sus extremos). Es decir,
2
l
f (t) = 21 para 31 ~t~ 3
, f (t)= 4
para
1
2
9 ~ t ~-9 ,
3
7
8
f (/) = -;¡para
9 ~ t ~~9- ,
etc. (fig. 22). De esta forma f está deHnida en todo el segmento [O, '/· excepto los puntos de segunda especie del conjunto de
Cantor es decir, los puntos que no pertenecen ni a los intervalos contiguos ni al conjunto de sus extremos). Completemos Ja
definición de f en los puntos' restantes del si'guiente modo.' Sea t*
uno de estos puntos y sea {tn} una sucesión creciente, coo,ve.r gente
hacia. este punto, de puntos de primera especie (esto es, de ex-
~'\84
CAP. Vlt. INTBORA L INO l!P. T l!OR!A DE O lFERENCI ACION
Iremos de Jos intervalos contiguos). Entonces, existe el límite
lim., f Un);
,,_
(3)
.análogamente existe también el limite
li.n
f (t~)
(4)
n-·~
-donde \t~} es una sucesión decreciente de puntos de primera
-especie que converge hacia t•; además, los limites (3) y (4)
o
FIG. 22
Tomando este valor común igual a f (t•), obtendremos
una función monótona definida y continua en todo el segmento
(O, 1]. La derivada de esta función, llamada «escalera de Cantor»,
-es igual, evidentemente, a cero en cada punto de cualquier interva lo contiguo, esto es, en casi todos los puntos. Consecuentemente, lepemos para esta función
~oinciden .
1
o= ~ f (t) dt < f ( 1) - f (0) =
o
l.
Para poder describir la clase de funci ones para las cuales
tiene lugar la igualdad
b
~ f' (x) dx = f (b) - f (a)
introducir~mos
"
la de(inlclón siguiente.
oeF1t11c10N 1. Una funci ón f definida en un segmento [a, b] se
llama absolutanrente oontinua en este segmento cuando para cual-
• 4. RECONSTRUOCION DE UNA FUNCJON A PARTIR DE SU Dl!RIVADA
385
quier e> O existe un 6 > O tal que, cua lquiera que sea el sistema
finito de intervalos disjuntos dos a dos
(ak• bk)•
k= l , 2, ... , n
pertenecientes a [a , bj y tal que
n
L. (bk -
••I
a.)
< 6,
se cumple la desigualdad
n
Lo lf (bk) -
f (a~) 1 < e.
h'1
Está claro que toda función absolutamente continua es uniformemente ccntinua. Lo reciproco, en general, no tiene lugar: por
ejemplo, la «escalera de Cantor» descrita más arriba es continua
(y, por consiguiente, uniformemente continua) en el segmento
[O, 1) y, sin embargo, no es absolutamente continua. En efocto,
el conjunto de Cantor puede ser cubierto por un sistema finito
de intervalos (ak, bk) cuya suma de longitudes es tan pequeña
como se quiera. Al mismo tiempo, para cada ono de estos sisle·
mas de intervalos se cumple, evidentemente, la igualdad
n:
L. 1f (b1.)-f (ak) 1= 1.
t=I
Indiquemos las propiedades fundamentales de las funci ones
absolutamente continuas.
1. Observemos ante ledo que en la definición se puede tomar,
en lugar de cualquier sistema · finito de intervalos de longitud
total < 6, cualquier sistema finito o numerable de intervalos de
longitud total < 6. En efecto, supongamos que para un ~ > O
dado hemos escogido 6 > O de manera que
L" I/ (b.) - f (ak)I <e
-...
para cualquier sistema finito de intervalos (a~, bk) que verifica
la condición
y sea {o:1,,
13 N-1
~ISO
~"')
un sistema numerable de intervalos de longitud
386
C.\P. VII . lNTUORAL INDl!f'. TEORIA DE DIPEllENCIACION
total no mayor que 5. Entonces, para cualquier n tenemos
n
'f. l f (~--f (ak) 1< t;;
k"' l
pasando aquí al límite para
ii .....
oo,
obtenemos que
2. Toda función absolutamente continua es de variació11 acotada.
En efecto, la continuidad absoluta ele una función f en un
segmento [a, b] significa que para cualquier e > O se puede esco·
ger 5 > O de manera que la variación total de Ja función f en
un segmento de longitud < 5 no será mayor que e. Puesto que
el segmento [a, b} puede ser dividido en un número finito de
segmentos de longitud < 5, la variación total de la función f en
(a , bJ también será finita .
3. La suma,. la diferencia y el producto par un número de f u11cíorres absoluiamente contiriuas son funcio11es absolutame11te conti·
1mas.
Esto se desprende inmedia tamente de la definición de continuidad absoluta y de las propiedades del valor absoluto de suma,
diferencia y producto.
Las propiedades 2 y 3 muestran que las funciones absolutamente continuas constituyen una variedad lineal en el espacio de
todas las funciones de variación acotada.
4. Toda {unción absolutamente continua puede ser representada
como diferencia de dos /unciones absolutamente e-0nti11uas no decrecierrJes.
En efecto, una función absolutamente continua, como toda
f4nclón de variación acotada, puede ser representada en la forma
f = u-g,
donde
v(x) =V~ [f] y g(x) = o(x)-f (x)
son funciones no decrecientes. Probemos que cada una de estas
funciones es absolutamente continua. Demostremos esto para v.
Sea dado un e > O; escojamos e > O a partir de este 11 de acuerdo
con la continuidad absoluta de la función f. Tomemos un sistema
de intervalos (a., b") de longitud total menor que 5 y conside·
remos la surua
(5)
~- RecoNSTRUCCION DE UNA FUNCION A PARTIR DE
su
DERIVADA
387
Esta suma es la cota superíor mínima de los números
k~1 ~ f /(x,,,1+1)-f(,1:*.t>I
(6)
correspondientes a todas las particiones finitas posibles
a, < x," < x,,1 < . . . < X 1 ,m, = b,,
a,< x.,, < x,,. < ... < x,,m,=b.,
a,, < x•. , < x0 , 1 < ... < x,.,m. = fJ0
de los intervalos (a1 , b,), . . . , la,,. b C-Omo la suma de longitti~
des de todos Jos intervalos (x.1<.1• x.1<. i+L) corre.spenqient~ -~ la
suma (6), no pasa de o> O, cada fina de las ·sumas (6)· es·"nó
mayor que e. C-Onsecuentemente, la suma (5), que es la cota superior mínima de estas sumas, tampoco pasa de e.
Los dos teoremas que vienen a continuación muestran la relación estrecha que existe entre los conceptos de la continuidad
absoluta y de la integral indefinida de Lebesgue.
TEOREMA 2. la función
0
) .
"
F(x)=)f(t)dt,
a
que representa la integral inde{i11ida de una f Ullción sumable,
es absolutamente continua.
oeMOSTRACJoN. Si {(a", bk)I es un sistema de intervalos disjuntos
dos a dos, tenemos
I
k~I F (b*)-F(ak) j = k~i f(t)dt l~
n
bk
~~)lf(t)ldt =
kE l Gk
)
u (Q~, b~)
lf(t)ld/;
k
debido a la continuidad absoluta de la integral de Lebesgue, la
última expresión tiende a O cuando la longitud total de los intervalos (a*, bi.) tiende a cero.
TEOREMA 3 (Lebesgue). la derivada f = F' de ruta función absolutamente cotttinua, definida en un segmento (a, b), es sumable
en este segmento y para todo x(a~x~b)
X
~ f (l) dt = F (x)-F (a).
a
13•
388
CAP. VII. INTEGRAL INOEF. TEORIA DE OJFERENCIACIO N
Los teoremas 2 y 3 indican que las funciones absolutamente
continuas, y sólo ellas. pueden ser reconstruidas (salvo un sumando
constante) a partir di! su derivada mediante la operación de inlegración.
Para demostrar el teorema 3 nos hará falta el lema siguiente.
LEMA .
1
Si La derivada de una función absolutamente co11tir1ua m.rmó·
a O en casi todos los puntos, esta
tona no decreciente f es igual
función es u11a constante.
D EMOSTttACION oEL LEMA. Como fes una función monótona continua,
su campo de valores es el segmento If (a), f (b)J. Probemos que
la longitud de este segmento es igual a cero cuando f' (x) = O en
casi todos los puntos. Con esto quedará demostrado el lema. Dividamos el conjunto de puntos del segmento fa, b) en dos clases:
el conjunto E de aquellos puntos en los que /' (x) =O y el conjunto Z, complemento de E. Por hipótesis, µ (Z) = O. Tomando
un e> O, busquemos aquel (j >O que corresponde a este e en
virtud de la continuidad absoluta de la función fe incluyamos Z
en un conjunto. abierto, cuya medida es inferior a 6 (esto es po·
si ble ya que ~' (Z) = O). En otras palabras, cubramos Z por un
sistema finito o numerable de intervalos (a., b,,) de longitud total
menor que 6. De acuerdo con la selección de 6, tenemos
Luego, todo el sistema de intervalos (a., b•) (y, con mayor razón,
el conjunto Z perteneciente a Ja unión de ellos) es transformado
por la función en un conjunto de medida inferior a e. Es decir,
µ(f (Z))= O.
Consideremos ahora el conjunto E= [a, bJ"-Z· Sea x0 E E.
Entonces, como f' (x,) =O, para todos los x suficientemente pró·
ximos a x0 se cumple la desigualdad
f (x)-f (xo) < e,
x - x.
es decir, para concretar ~aceptamos que x > x,
{(x)-f(x0)
o bien
ex~-f (x 0)
< s(x-x
0)
.(
ex _;, f(x);
luego, x0 es un punto invisible por la derecha para la función
g(x) = e.x-f (x). Entonces, de acuerdo con el lema de Riesi, el
conjunto E está contenido en un sislema finito o numerable de
5 4 . IH:CONSTRUCC:ION DE UN" FUNCION A PARTIR DE SU DBRIVAOA
389
intervalos (cxk, Pk), en cuyos extremos se cumplen las condiciones
es decir,
de donde
eP,.-f (~.) >ecx,.-f (cxk)•
f CP1t)-/ (cxJ ~e(~,. -aJ,
~ (/(~,.)-!(a,.))~ e ~ (p,. - a,.) ~ e(b - a).
En otras palabras, la función f transforma el conjunto E en un
conjunto que puede ser cubierto por un sistema de intervalos de
longitud sumaria menor que e (b-a). Debido a la arbitrariedad
de e, de aqul se desprende que µ (f (E))= O..
Luego, tanto f (E) como f{Z) son de medida nula. PerO', la
unión de estos dos conjuntos es el segmento [f (a), f (b)J. Con esto
queda demostrado que la longitud de este segmento es cero, es
decir, que f (x) = const.
Ahora es fácil ya demostrar el teorema 3. Basta, evidentemente, limitarse al caso en que la función!F (x) es no decreciente.
Entonces,
X
<1> (x) = F (x)-
~ f (t) dt
(7)
será tambiím una función monótona no decreciente. En efe<:to,
si ;( > x', tenemos, en virtud de (7),
...
(J) (x") -<J> (x') =
F (x") - f (x')- ~ f (t) dt
>O.
Jt'
Además, <D es absolutamente continua (como diferencia de dos
funciones absolutamente continuas) y (J)' (x) = O en casi todos los
puntos (en vista del teorema l). Por lo tanto, (J) es una constante,
de acuerdo con el lema. Tomando en (7) x= a, encontramos que
esta constante es igual a P (a). El teorema queda demostrado.
Anteriormente, al considerar las funciones de variación acotada,
hemos probado que toda función f de este tipo puede ser representada como suma de una función de saltos H y de una función continua q> de variación acotada
f=H+cp.
Consideremos ahora una fu ntión continua qi, pero no absolutamente continua, de variación acotada y tomemos
Jt
1'> (x) = ~
ip' (!) dl.
390
CA P. VII. INTEGRA!. INDEF. Tl!ORIA DF. OIFERl!NCIACION
La diferencia
x =<i>-ljl
es una función continua de variación acolada. Además,
{;x (x) = q>' (x) -
S"
fx cp' (t) dt =O
•
(en casi todos los puntos).
Diremos que una función continua de variación acotada es
si1¡gular cuando su derivada es nula en casi todos los puntos.
Podemos enunciar entonces el resultado siguiente:
toda f ttnción de variación acotada puede ~r representada como
suma de tres componentes:
f= H+'l> + x.
(8)
es decir, de u11a función de salios, de una funciór1 absolutamente
rontinua y de una funclóri singular.
Es fác il probar que cada uno de los tres sumandos de la
descomposición ·(8) queda determinado unívocamente, salvo una
constante. por la función f (x). Si normamos todas las funciones
que figuran en la igualdad (8), exigiendo, por ejemplo, que cada
una de ellas sea nula en el punto x = a, la descomposición (8)
será única. Derivando la igualdad (8), encontramos que en casi
todos los puntos
f' (x) = 11>' (x).
Luego, al integrar la derivada de una !unción de variación acolada, se reconstruye no esta función sino solamente su compo·
nente absolutamente continua. Las otras dos componentes (la
función de saltos y la singular) «desaparecen sin dejar huella>.
Es aleccionador comparar Jos resultados de este parágrafo con
lo que da la teoría de funciones generalíiadas. Al igual que en
el capitulo IV, entenderemos por función generalizada una funcional lineal continua sobre el espacio K de funciones terminales
indefinidamente diferencia bles. A cada función localmentesumable f
se asigna una funcional que opera en los elementos q> E K de
"'
- .,
acuerdo con la fórmula (/, q¡) = ~ f (x)<{l(x)dx. La derivada ge-
..
neralizada de esta funcional es la funcional que pone en correspendencia al elemento
q> E K
el número (f',
q>) =
~ f (x) cp' (x) dx.
_,.
Como en la clase de funciones generalizadas la ecuación y'= O
4. RECONSTRUCCION Dll UNA r: u NCION A
PARTI~
OE SU DERIVADA
391
tiene solamente soluciones corrientes (constantes), toda función
generalizada se reconstruye a partir de su derivada unívocamente,
salvo una constante. En particular, toda función localmente sumable f puede ser reconstruida, salvo una constante, a partir
de su derivada generalizada f 1 en casi todos los puntos. Supongamos ahora que la función f tiene derivada en casi todos los
puntos, por ejemplo, supongamos que fes una función monótona.
Sea ~ la derivada habitual de la función f. (Hemos visto ya
que ~~ puede ser igual a O en casi todos los puntos¡ a pesár de
que f (x) ;t= const!) La función ~ es localmente sumable (supo"
nemos que fes monótona) y, consecuentemente, podemos asignar
a esta función una funcional (función generalizada) (f1 , q>) =
..
=
5~ q> (x) dx.
El hec.ho sustancial consiste en que la función
ge;;e;alizada f 1 110 coincide, en et caso general, con ta función ge·
neralizada f' . Por ejemplo, si
f 1 para x >O,
f (x)= \ O para x ~o.
tenemos f 1 =O y f' = o (véase el ejemplo 2 de la pág. 222).
El teorema 3 s ignifica precisamente que entre todas las funciones de variación acotada Ja derivada, comprendida en el sentido habitual, de las funciones absolutamente continuas (¡y sólo
de ellas!) coincide con la derivada generalizada de estas fw1ciones.
Aquí tropezamos una vez más con la situación de la cual
hemos hablado ya en el§ 4 del capítulo IV: para poder efectuar
las operaciones principales del Análisis (en este caso se trata de
la reconstrucción de una función <t partir de su derivada) resulta
necesario o bien, manteniéndose en los márgenes de las defini·
ciones clásicas, limitarse a una clase suficientemente estrecha de
funciones (la de funciones absolutamente continuas) o bien, al
contrario, ampliar sustancialmente el concepto de función (generalizando al mismo tiempo la definición de la derivada).
EJ1.rnc1cros. l. Demuéstrese que I• definición de continuidad absoluta,
enunciada anteriormente, equivale a la siguiente: f o!S absolutamente continua en {a, bJ cuando transforma cada subconjunto de medida nula de este
segmento en un conjunto de medida nula también.
2. Calcúlese la derivada general izada de la •escalera de Cantono.
3. Sean f una función de variación acotada, !' su derivada general izada
y { 1 Ja funcional (función generalizada) determinada por Ja derivada •habitual>
~
de la función f. Demuéstrese que:
392
CAP. !VII. INTEGRAL IN OEF.
TEORl.4~0Eft>IFEIH!NCIACION
a) si f es absolutamente continua, entonces /' =fi;
b) si f' = ft, entonces f (.:t) es equivalente a uno 1unci611 absolutamente
conlinun. esto es. coincide con una función de este tipo en!casi todos los
puntos. En particular, si f'=/, y fes continua, es f absolutamente continua.
§ 5. :r MEGRAL DE LEBESGUE COMO FUl\'CI ON DEj;CONJUNTO,
TEOREMA DE RADON - NIKODY M
tº. Cargas. Descomposición de Hahn y descomposición de
Jordan. Los conceptos y resultados, expuestos en Jos parágrafos
anteriores para funciones sobre la recta, son extensibles, en gran
medida , a las funciones definidas en un espacio arbitrario pro·
visto de medida.
Sea X un espacio provisto de medida µ y sea f una función
en X sumable respecto a µ . En este caso, f será sumable en cada
subconjunto medible A del conjunto X y, consecuentemente, la
integral
<D (A}=
~ f (x)dµ
( 1)
A
(donde f es una función fijada) representa una función de con·
junto definida en la colección ""' de todos los subconjuntos medibles del conjunto X; además, esta función es o-aditiva, esto
es, cualquiera que sea Ja descomposición
A= U Ak
k
del conjunto medible A en una unron, finita o numerable, de
conjuntos medibles disjuntos dos a dos, se cumple la igualdad
CD'(A)=
~
<D(AA)·
•
k
En otras palabras, Ja función <D, definida por la igualdad (1),
posee todas · Jas prol,'ledades de una medida o-aditiva, excepto,
es "posible, la. de no negatividad (si f toma valores negativos).
o llFIN 1c1 oN. Una función arbitraria o-aditiva $
dt conjuntos,
definida en un o-anillo de subconjuntos de un espacio X dado,
se llama medida de signo alterno o, simplemento, carga.
El concepto de carga es una generalización natural del concepto de medida a-aditiva y, como veremos más abajo, se
reduce, en cierto sentido, al concepto de medida (esto es, de
carga de signo determinado).
llJERC1c1os. Demuéstrese que para cualquier carga <D. definida en una
o-ál gebra de conjuntos €;5, existe una constante e tal que f <I> (A) J..; e para
todos los A ES.
!5. INTEG R AL DE Ll?BESOUE COMO FUNCION
oe CONJUNTO
393
Si consideramos una '.carga eléctrica real distribuida, digamos. en una superficie, esta superficie puede ser dividida en dos
partes: la que lleva carga positiva (es decir, tal que cualquier
parte suya lleva una carga positiva) y la que lleva carga negativa. El equivalente matemático de este resultado es el teo·
rema l que damos a conlinuación.
Introduzcamos primero la terminología siguiente. Sea <D una
carga definida en una a-álgebra €i de subconjuntos del espacio X. Un conjunto E se llama negativo respecto a Cl> cuando
para cua !quier FE e; el conjunto En F pertenece a $ y
<l> (E nF) ~O; de un modo análogo, E se llama positiuo cuando
En FE~ y <I> (E íl F) ;;;::. O para todos los FE~.
Si ID es una carga definú.Ja ~en X, existe un subconjunto medible A- c:x tal q~ A- es negativo y B+= X"-A1 es posit iuo (respecto a <I>).
TEOREMA 1.
OEMOSTRACION .
Pongamos
a= inf <I> (A),
donde la cota inferior se toma respecto a todos los conjuntos
negativos medibles A . Sea {A,,} una sucesión de conjuntos medibles negativos tal que
.
lim <I>(An)=a.
~"'
Entonces, A -= U An es un conjunto medible negativo tal que
•
ID (A-)= a.
Probemos que A - es el conjunto deseado, esto es, demostremos que
B+ = X"-A-
es positivo. Supongamos lo contrario, es decir, admitamos que 8+
contiene un subconjunto medible C0 tal que <I> (C0 ) <O. El conjunto C0 no puede ser negativo, ya que entonces lo agregaríamos
a A- obteniendo así un conjunto negativo A tal que
<I> (A) <a
y esto es imposible. Luego, existe un número entero mínimo k
para el que se puede encontrar en C0 un subconjunto C1 que
verifique la condición
394
CAP. VII. INTEGRA L INDEF. TEOR!A DE OIFERENCIACION
Está claro que C1 ,,=C0 • Podernos repetir para el conjunto C0"-C 1
el razonamiento aplicado a C0 ; obtendremos un conjunto C2 que
verifica la condición
1
<I> (C.),> il-
•
(k, > k1 ) •
etc. Tomemos finalmente
El conjunto F 0 no es vacío ya que (J) (C 0) <O y ID(C;) > O para
F 0 es negativo. Por
lo tanto, agregándolo a A- , llegaremos de nuevo a una con·
tradicción con la definición de a. Luego, para todos los E e X"-Atenemos
i;;;::. l. De la conslrucdón se desprende que
ll> (E) ;:o O,
es decir, X"-. A- es positivo. El teorema queda d<!mostrado.
La partición del espacio X en la parte negativa A- y en la
positiva B+ se llama descomposición de Halin.
En general, la descomposición de Hahn no es única; sin embargo, si
X = AiUBt y
x ... A;uBt
son dos descomposiciones de este ti po, entonces, para cualquier
E E €i se tiene
et> (En A¡')= <I> (En A;) y ID (E íl 8i) ~ <l> (E n Bn.
(2)
En efecto,
(3)
y al mismo tiempo
(4)
de (3) se desprende que
y de (4) que
Luego,
<I> (E íl (A 0"-A;)) ~ O
1.1> (En
(A;"-.A;)) ~O.
<J> (E íl (Aí"-A;)) = O;
análogamente encontramos que
Cl>(Eíl(A;
De aquí se deduce que
Ai))=O.
§ i. INTEGRAL DE LEBESGUE COMO FIJNCION DE CONJUNTO
395
<D (En Aí) =<D (En A;).
Del mismo modo se demuestra la segunda de las igualdades (2).
Consecuentemente, una carga <D en ® determina unívocamente dos funciones no negativas de conjunto, a saber:
<D+ (E)= <D (E íl B•) y <D- (E)= - <D (En A-),
que son llamadas variación superior y variación. inferior, resJleC·
tivamente, de la carga <D. Además, es obvio que
1) C!>=<I>+-11>-,
2) <D+ y en- representan funciones de conjunto no negativa.s·
y a-aditivas, esto es, son medidas.
También será medida, evidentemente, la función l<Dl=<D• + <D-;
ella se llama uariación total de la carga <D y la representación
de ID como diferencia de las variaciones superior e inferior se
llama descomposición de Jordan de esta carga <D.
Observación. Hemos considerado aquí cargas finitas, esto es,
funciones <I> cuyos valores están acotados tanto superiormente,
como inferiormente. Además, (J)+ y <D- son, en este caso, me.
didas finitas. Lo expuesto puede ser generalizado a cargas aco·
tadas solamente por un lado, esto es, a cargas, para las cuales
al menos una de las funciones <D+ o a>- es una medida finita.
2º. Principales tipos de cargas. Sea i~ una medida rr·aditiva
definida en un u-anillo de conjuntos ® del espacio X que llamaremos medibles. Introduzcamos los conceptos siguientes.
Diremos que una carga <I> definida en conjuntos E E €3 estri
concentrada en un conjunto medible A 0 cuando Q) (E)= O para
cada Ec.~A 0 •
Una carga <t> se llama continua cuando <D (E)= O para cual·
quier conjunto E compuesto por un solo punto. Una carga <D se llama
discreta cuando está concentrada en un conjunto finito o numerable. En otras palabras, el hecho de que una carga sea discreta
signiíica que existe un conjunto finito o numerable de puntos
e,, e, . ... , e", ... ta 1 que para todo E e X se tiene
<D (E)= '\-: <D (e,,).
e;Te
Una carga <D se llama absolutamente continua (respecto a la medida dada µ) cuando a:> (A) = O para todo A medible tal que
µ(A) = O.
Una carga cD se llama ~ingular (respecto a la medida µ,)
cuando está concentrada en un conjunto de µ-medida nula. Está
claro que una carga absolutamente continua y singular a la vez
es nula.
396
CAP, VII , !NTfORAl. INl)EF. TEORJA DE
OIFCRENCl.~C!ON
3º, Cargas absolutamente cont inuas. Teorema de Radon-Nikodym. Como cje¡nplo de carga absolutamente continua respecto
a la medida dada µ. puede servir la integral de lebesgue
~ f (x)dµ
<D (A) =
A
de una función sumable fija f considerada como función de conjunto. Resulta que con esto se agotan todas las cargas a bsolutamente continuas. En otras palabras, tiene lugar el teorema siguien te.
(Radon-Nikodym). Sea µ una medida a-aditiva de, finida en una a-álgebra de subconjuntos de X y sea <I> una
carga definida en conjuntos µ.-medibles. Entonces, existe en X una
función f sumable respecto a µ tal que
TEOR E;'lA 2.
~ f (x)dµ
<D(A) =
A
para cada A medible. Esta función, llamada derivada de la
carga CD respecto a la medida µ, se de.termina uníuocamente,
salvo una equivalencia.
OEMOSTRACJON. Toda carga puede ser representada como diferencia de dos cargas no negativas (véase el punto 2), con la particularidad de que una carga absolutamente continua puede ser
representada como diferencia de cargas absolutamente continuas.
P.or lo tanto, basta demostrar el teorema para el caso de cargas no negativas, esto es, para medidas. Sea, pues, ID una me·
dida absolutamente continua respecto a la medida dada ¡.i.. Demostremos el lema siguiente.
Sea <ll una medida absolutamente continua respecto a µ y
distinta de cero idéntico. Enfonces existen un n y un con junto medible
B tales que ¡.i. (B) >O y Bes positivo respecto a la carga CD- .!. ¡.i.
LEMA.
"
oet. LEMA . Sea X= Añ u B~ la descomposición de
Hahn correspondiente a la carga <I>-~ µ, 11=1 , 2, . . . ., y sea
DEMOSTRACtON
A0 = nA;, 8 0 =
Entonces,
<I>(A0 ) ~
¿ µ. (A
0)
UB~.
para todo n,
es decir, <I> (A 0 )=0 y, consecuentemente, <1> (8 0 ) >O, de manera
i 5 I NTEGRAL DE LEBCSCiUE COMO PUNCION DE CONJUNTO
397
que también µ (8 0 ) >O (debido a la continuidad absoluta de <I>
respecto a µ). Luego, existe un n tal que µ (8~) > O. Este n y
el conjunto B = B~ verifican las condiciones del lema.
Pasemos ahora a la demostración directa del teorema. Sea K
un conjunto de funciones f en X que verifican las condiciones
siguientes: f son no negativas, integrables respecto a µ y
~ f (x) d11 ~ <I> (A) para todo A medible. Sea
A
M=sup{~ f(x)dµ respecto a todos los /EK} ·
X
Tomemos en
.
K una sucesión {fnl de funciones tal que
liiu ) f,.(x) dµ=M.
n-«i X
Pongamos ahora
gn(x) = max(f1 (x), f 2 (x), .. ., fn(x)).
Probemos que para todo E medible es
) gn (x) dµ ~ <D (E).
E
n
En efecto, podemos representar E en la forma
U E.,
donde Et
no se intersecan y g" (x) = f A (x) en E.; luego,
Sea
Está claro que
f (x) = sup lf,, (x)}.
f (x) = ,,_,.
lim gn (x) y, consecuentemente, en virtud
del teorema de Beppo Levi,
~ f(x)dµ=lim Sg,,(x)dµ = M.
"-GD X
X
Probemos ahora que
<I> (E)-~ f (x) dµ Ea O.
E
398
CAP. VII. INTEGRAL INDEF. TEORIA DE DIPERENCIACION
Por la forma de construirla, la función de conjunto
?.(E) - <D(E) - ~ f(x)dµ
"
es no negativa y posee todas las propiedades de una medida.
Si ¡. :¡¡!; O, existen, de acuerdo con el lema. un & >O y un B ,
µ (8) > O, tales que
eµ(E nB) ~>.(En B)
+
para cualquier E medible. Tomanclo entonces h (x) = f (x) ex 11 (x),
donde xn es la función característica del conjunto E, tendrlamos
para cualquier conjunto E medible
Jh(x)dµ = .~f (x)dµ+e~L (En B)~ ~ f(x)dµ + ©(En B)~CD(E).
E
é
~,8
Esto significaría que la función h pertenece al conjunto K definido
an teriormente. Pero, al mismo tiempo,
~ h (x) dµ = ~ f (x) dµ ~- &f.1 ( 8) > M,
X
X
lo que contradice a la definición de M. Luego, hemos <lemas·
trado la existencia de una función
tal que
r
(D (A)
= ~ f (x) dµ.
A
Probemos su unicidad. Si para todo A E 6µ
<l>(A) =
~ fi(x)dµ.= ~ f,(x)dJL,
A
entone~~
A
cualquiera que sea n para los conjuntos
An={x: f.(x)-f1 (x) > ~~
tenemos
µ.(A,,)~n ~ f 1 (x)-f2 (x)dµ = O.
An
De la misma form a, para Bm = {x:
f
1
µ. = (B,.) = 0.
(x) -
f * (.t) > fil_!_}
tenemos
S G. INTEORA L DE ST!ELTJ ES
Como
* f• (x)} =U A,, UB,.,
{x: f (x) * f, (x)} =O,
¡x: / 1 (x)
U
n
tenemos
~t
399
m
1
es decir, f 1 (x) = f .(x) en casi todos los puntos. Hemos terminado
la demostración.
Observación. El teorema de Radon-Nikodym constituye,
evidentemente, una generalización natural del teorema de ·Lebes·
gue de que toda función absolutamente continua es lhtegral de
su derivada. Sin embargo, al considerar las funciones ert la
recta, tenemos en nuestro poder un método efectivo para buscar
la derivada. como es el cálculo del limite del cociente ~f
, mienl•~
tras que el lcorcma de Radon-Nikodym súlo afirma la existencia
de la derivada dda> de una carga absolutamente continua <D resf'
pecto a la medida µ; pero, no ofrece método alguno para calcularla. Se puede indicar este método; pero, aquí no vamos a
detenernos en ello. En líneas generales, este método consiste en
calcular el límite del cociente:((~~ según un sistema de conjuntos que •se contraen», en cierto sentido, alrededor del punto
dado. Estas cuestiones son estudiadas detalladamente, por ejemplo, en el libro de G. E. Shílov y B. L. Gurévich clnlegral ,
medida. derivada> [ 13).
§ !i. INTEGRAL DE ST!ELTJES
1°. Medidas de Stieltjes. Al hablar, en el § 1 del capítulo
precedente. de la construcción de la medida de Lebesgue, hemos
mencionado ya la construcción siguiente. Supongamos definida
en un segmento [a, b) una !unción monótona no decreciente F;
aceptaremos, para concretar, que es continua a la izquierda.
Definiendo las medidas de todos los segmentos, los intervalos y
los semisegmentos, pertenecientes al segmento bási<.'U fa, bJ, me·
<liante las igualdades
m (ex. ~) .... f ( ~) - f (a + O),
m[a, ~) :s F(~+O) - F(a),
m(cx, ~J = f(~+O)-F(a+O).
m[a, ~) = f(~) - F(a),
podemos extender después esia medida, empleando el procedimiento
400
CAP. VII. INTeORAL INOfP. TEORIA oe OIFERllNCIACION
de Lesbesque <le prolongación de medida, a un a-anillo que contiene
todos los subconjuntos abiertos y cerrados (y, consecuentemente,
todos los subconjuntos borelianos) del segmento [a, bj . La me·
dida µ,.. que se obtiene a partir de esta conslnicción se llama
medida de lebesgue- Stieltjes correspondiente a la función F,
mientras que la propia función f se llama función generatril
de esta medida.
Consideremos algunos casos particulares de medidas de Lebesgue- Stieltjes.
J. Sean F una función de saltos, x,, x,, . . . sus puntos de
discon ti nuidad y h,, h., ... sus saltos en estos puntos. Entonces, la medida µf correspondiente a esta función genera triz está
construida del siguiente modo: todos los subconjuntos del segmento [a, b] son medibles y la medida de un conjunto A es
~
µF(A) =
(l)
h¡.
X¡EA
En efecto, de la definición de la medida de Lebesgue-Stieljes
se ve inmediatamente que la medida de cada pun to x 1 es igual
a h;, mientras que la medida del complemento del conjunto
{x¡}i-, es igual a cero. De aquí, debido a la a-adilividad de la
medida µr. se deduce la igualdad ( 1) para cualquier Ac[a, b].
Una medida µ,construida a partir de una función de saltos se
llama medida discreta.
2. Sea F una función no decreciente absolutamente continua
en [a, b] y sea f = F' su derivada. En este caso, la medida
correspondiente µF está defin ida en todos los subconjuntos de
fa, b] medlbles según Lebesgue y, además, para cada conjunto A
de este tipo
f.LF(A) =
sf (x) dx.
(2)
A
Efectivamente, en virtud del teorema de Lebesgue, tenemos para
cada Intervalo (o:, P>
B
µF(a, P) - F (P> - F (o:)=~ f (x)dx.
Q
Como la extensión lebesguiana de toda medida a-aditiva se
determina unívocamente por sus valores en el semi anillo inicial,
de aqui se desprende la validez de (2) para todo A e [a, b] medible según Lebesgue. Una medida µ,.. correspondiente a una
función absolutamente continua F se llama medida absolutamente
continua.
§6. 1r-;TfORA L DE STIELTJES
401
3. Si F es una función continua singular, su medida correspondiente ~~F está concentrada lntegramente en aquel conjunto de
medida lebesguiana nula en el que F' es diferente de cero o no
existe. La propia medida ~~F se llama en este caso medida singular.
Está claro que, si F = F, -1-F., se tiene µ~· =µp,+µP, y,
puesto que toda función monótona puede ser representada como
suma de una función de saltos y de los componentes absolutamente contínuo y singular. de aquí se desprende que toda medida
de Lebesgue-Stieltjes puede ser representada como suma de u1111
medida discreta, absclutamente continua y singular. Una función
monótona se descompone. salvo un sumando constante, en una
función de saltos, absolutamente continua y singular. Luego. la
descomposición de toda medida de Lebesgue - Stieltjes en las
componentes discreta, absolutamente continua y singular es unica.
Lo expuesto se refiere a medidas tle Lebesgue-Slieltjcs en
un segmento. Si ahora F es una función monótona no decreciente
acotada (superior e inferiormente) en toda la recta, l'nlonces,
definiendo la medida de cualquier segmento, intervalo y semisegmento de ta recia mediante fórmulas análogas a ( 1) y (2), obtendremos una medida finita en toda la recia que llamaremos
medida de Lebcsgue- Slieltjes (en la recta). En particular. la
medida de !oda la recta será, en este caso, igual a
F(oo)-F{-oo),
donde
F{oo) = lim F(x) , F(-oo)= li111 F(x )
z - ..
z-•
(la existencia de estos límites se debe a que F es monótona y
acotada).
El concepto de medida de Lebesgue-Stieltjes abarca, de hecho,
todas las medidas (esto es, todas las funciones de conjunto finitas no negativas y <J·aditivas) en la recta. En efecto, sea µcualquier medida de este tipo. Tomando
F(x) = µ(-oo, x),
obtendremos una función monótona tal que su correspondiente
medida de Lebesgue-Slieltjes coincide con la medida inicial µ.
Es decir, el término de «medidas de Lebesgue-Stieltjes• no significa, de hecho, una eta~ especial de med idas en la recta, sino
que indica simplemente el método concreto de construir esta medida a partir de una función generatriz.
2°. Integral de Lebesgue -Stieltjes. Sea ~·,, una medida en el
segmento (a, b] generada por una función monótona F. Para esta
402
CAP. VJJ . INTf,OR1\L INDBf. T EORl1\ De OIF ER eNCJACIOl'I
medida se define de manera habitual la cfaM? de funciones sumables y se introduce el concepto de la integral de Lebesgue
b
} f (x) dµ.,, (x).
"
Una integral de este tipo tomada re~pecto a una medida µ,.,
a una función generatriz F, se llama integral de
l.ebesgue-Stieltjes y se designa mediante
corre.~poncliente
b
~ f (x) dF (x).
o
Consideremos algunos casos particulares.
l. Si F es una función de saltos (esto es,
rfücre!a). la integral
~~F
es una medida
/¡
~ f (x) dF (x)
a
se reduce, eviden!ernente, a Ja suma
~ f (x 1) h¡,
i
donde x 1 son los puntos de discontinuidad de la función F y h¡,
los saltos de F en los puntos x¡.
2. Si F es una función absolutamente continua, su integral
corre~pondiente de Lcbesgue-S!ieltje.-;
b
) f (x) dF (x)
a
es igual a
6
) f (x) F' (x) d.x
a
es decir, a la integral de f (x) F' (x) respecto a la medida lebesguiana habitual. En efecto, si f (x) = const, la Igualdad
b
~
~ f (x) dF (x) = ~ f (x) F' (x) dx
u
(3)
a
se deduce de (2). Debido a Ja o-aditividad de las integrales, 111
igualdad (3) es extensible tam bién a las funciones simples sumables según la medida )ir- Sea ahora lfni una sucesión de funciones
simples convergente uniformemente hacia f. Sin perder generali-
403
G. INTEGRAL DE STJELTJES
dad, podemos aceptar que {f.} es una sucesión no decreciente.
Entonces, lfn (x) F' (x)) es una sucesión no decreciente convergente
en casi todos los puntos hacia f (x) P' (x) y, en virtud del teorema
de Beppo Levi, podemos pasar al límite en la igualdad
,,
b
~ f,, (x) dF (x) =
)
a
"
f,. (x) F' (x) dx
para n-+ oo.
De lo expuesto de deduce que, siendo F una suma de µna
función de saltos y otra absolutamente continua, la integral de
Lebesgue - Stíeltjes respecto a Ja medida J.lF se reduce a una
serie (o una suma finita) más una integral respecto a la medida
habitual de Lebesgue. En cambio, si F contiene también una
componente singular, esta reducción resulta imposible.
El concepto de la integral de Lebesgue - Stieltjes puede ser
ampliado de un modo natural, pasando de las funcion es monótonas a las funciones de variación acotada. Sea CD una función de
este tipo. Representémosla como diferencia de dos funciones monótonas
<D=v - g,
donde v es la variación total de la función <p en el segmeato (11, x ¡.
Introduzcamos ahora la integral de Lebesgue- Stieltjes respecto a <ll,
tomando, por definición,
b
h
b
~ f (x) dc:ll (x) = ~ f (x) dv {x) - ) f (x) dg (x).
n
u
n
Es fácil probar que si se tiene otra representación de <!> como
diferencia de dos [unciones monótonas, digamos
<D= u•-g•
enlonces,
I>
b
,,
¡,
Í f (x)dv(x)- ~ f (x) dg (x) = ~ f (x) du' (x}- ~ f (x) dg' (x),
a
a
u
a
es decir, para calcular la integral de Lebesgue-Stieltjes rn~pecto
a una función ([) dada puede ser empicada cualquier representación de esta función por medio de la difcrenc.:ill de dos funciones
monótonas.
3". Algunas aplicaciones de la integral de l..ebesgue-Stieltjes
en la teoría de probabilidades. La integral de Lebesgue ·- Slieltjes encuentra aplicación tanto en el Análisis, como en otras mu·
chas cuestiones aplicadas. En particular, este concep1o se emplea
404
C AP. VII . INTE C llAL lNOEf. T F.OR!.~ DF. DlPERENCIAC IO:'\
ampliamente en la teoría de probabilidades. Recordemos que se
llama función de distribución de una variable aleatoria ; a una
func ión F (no decreciente, obviamente) definida para cada x por
la igualdad
F (x) = P (; < x}.
es decir, F (x) es la probabilidad de que la variable aleatoria ~
tome un valor menor que x. Es evidente que cada funci.ón de
distribución es monótona no decreciente, continua a la derecha
y verifica las condiciones
F(-oo) = O, F(+ oo) = l.
Viceversa, toda función de este tipo puede ser considerada como
función de distribución de una variable aleatoria.
Son características sustanciales de una variable aleatoria su
valor medio (o esperanza matemática)
..
M~ = ~ xdF (x)
..
y varia nza
V~ = ~ (x-Mt)1dF(x).
(4)
(5)
Entre las variables aleatorias suelen destacarse las variables
aleatorias discretas y continuas. Una variable aleatoria se llama
discreta cuando puede tomar sólo un número finito o numerable
de valores
X 1 • X~, •.• , X,,, •••
(por ejemplo, el número de llamadas telefónicas que se reciben
en una central durante un intervalo de tiempo es una variable
aleatoria discreta).
Si p,, p,, ... , Pn• ... son las probabilidades con que la varia·
ble ~ toma los valores x,, x,, ... , xn• ... , la función de distri·
bución para es, evidentemente, una función de saltos. Para
ella las integrales (4) y (5) se reducen respectivamente a las
sumas
s
Ms=~x1p,.
i
y
V~= ~(X¡-a) 9 Pi
(a=Ms).
Una variable aleatoria
se· llama continua cuando su función
de. distribudón F ·es absolutamente continua. La derivada F' de
s
i G. INTEO l!AI. DE !\TIEJ.TJES
esta función de distribución se llama densidad de distribución de
probabilidades de la variable aleatoria S· De acuerdo con lo expues·
to en el punto anterior, las integrales de Stieltjes que expresan
el valor medio y la varianza de una variable aleatoria continua
reducen a integrales respecto a la medida lebesguiana habi·
tual:
$e
Ms=
"'
~
..
Vt = ~
xp(x)dx •
(x-a)' p (x) d.x,
donde p = F' es Ja densidad de distribución de probabilidades
.
para ~ y a= Ms.
Los cursos elementales de teoría de probabilidades se limitan
generalmente al estudio de variables aleatorias discretas o con·
tinuas que en lo fundamental son las únicas que aparecen en
cuestiones aplicadas. Sin embargo, una función de distribución
de una variable aleatoria puede tener, en el caso general, una
componente singular, de modo que no toda variable aleatoria
puede ser representada como una combinación de variables alea·
torias discreta y continua,
Seun E. una variable aleatoria, F su función de distrlbuclón y l)=q>(~)
otra varlalíle aJeatorin que representa una función de ¡. El valor medio
M11 de la variable se puede representar, por definición, como
..
~
.icd<I>{x),
donde CI> es fa función de d istribución para 1). Es sustancial. sin embargo,
que si lf es sumable respecto a la merli da ~er~da en la recta por la !un·
cfón F, el valor medio áe la variable '1 se puede representar también a trnvés de la !unción de distribución F de la variable ¡, a saber:
..
M11=Mcp(~) = ) cp(x)dF(x).
_.,
En efecto, ta función y=cp(x) determina una aplicación de ta recta {-oo <
< x < oo) con la medida µy {gl?nerada por F) en la recta {- co < g < oo)
C<>n l a medida µ<%>, en la que se transforma por la aplicación g=qi(x) la
medida µp. Pero, de los re¡ultados del capitulo VI se desprende que si
(X, µ)y (Y, v) son dos espacios provistos de medidas, q> es una aplicación
que conserva la m~lda y transforma (X. µ) en {Y, v) y f es una !unción
sumable en (Y, v), entonces
) t {g) dv -
) f (q> (x)) dµ
y
X
406
CAP. VII. INTt::GRA I.. I NDEF. TEORIA DE DIFERENCIACION
(sustitución de varia bles en la íntegra! de Lcbesgue). Tomando aquí f M=11
y J.L = µF , 'Y = J.'dl• obtendremos 13 igualdad necesaria. Luego, para calcular
el valor merl io (y. claro está. Ju v11rianza también) de una lunci611 d.: una
varinble alea toria tes suf iciente conoeer solamente la fundón de distribución
d~ In ¡>ropla variable ~-
40. Integral de Riemann - Stieltjes. Además de la integral de
Lebesgue-Stieltjes, considerada en el punto anterior, que representa de hecho, la d iferencia de las in tegrales lebesguianas de
una runción dada f respecto a dos medidas, definidas en la recta,
se puede definir también la así llamada integral de Riemann Stieltjes. Ella se inlroduce como límite de sumas integrales,
análogas a las sumas integrales habituales de Riemann.
Sea de nuevo <1> una función continua a la izquierda de variación acotada. definida en un segmento [a, b], y sea f una
función arbitraria en este segmento. Consideremos una partición
a = X0 < X 1
< X1 < ... < Xn = b
del segmento (a, b} y. escogiendo en cada elemento [x;-1' x;] de
esta partición un punto arbitrario t;, formemos la suma
" f (S;) {<D (x;)-<D (x; _1 )).
)'.
(6)
J' : J
Si para max (x;-x¡ _,) - O, estas sumas tienden a un límite
determinado (que no depende de cómo se ha dividido el segmento
(a. b) ni de cómo se han escogido los puntos ~.· en cada elemento
de la partición), este límite se llama in tegral de Riemann Stiel ljes de la función f respecto a la función <1> y se designa con
~
~ f (x) d(J) (x).
(7)
a
Si la funci ón f es 0011tt11ua en (a, b], su integral de
Riema1111-Stielt jes respecto a <I> existe y coincide ccn. la ín.te1 gral de lebesgue-Stieltjes correspondiente.
oeMOSTRACION. La suma (6) puede ser considerada como la integral
de Lebesgue - Stieltjes de la función escalonada
TBORl!MA 1.
fn (x) =S¡ para
X¡-1
~X<
x,.
Al subdividir ta partición del segmento [a, b], la sucesión de
estas funciones converge uniformemente hacia f. Por lo tanto, el
límite de estas sumas existe y representa la integral de Lebesgue-Stieltjes de la función límite f (teorema sobre el paso al
límite bajo el signo de la integral). Al mismo tiempo, este límite
407
S 6. INTEGRAL OE STll! LTJl!S
es precisamente la integral de Riemann-Stieltjes (7). El teorema
queda demostrado.
Demostremos algunas propiedades elementales de la integral
de Riemann-Stieltjes. Siempre suponemos que f es continua
en [a, b).
1. T iene lugar la estimación (teorema del valor medio)
f
1 f (x) d<D (x) l
(V~
~ max
1
f (x) IVZ (ll>J
(8)
í<I>J es la variación total de la función
<f) en (a, b)).
En efecto, cualquiera que sea la parUción del segmento (a; b]
se cumple la desigualdad
!1~ f (~¡} (CD(x;)-«ll(x,_,)) 1 :¡;;; 1~ 1f (~;) l · <D (x;)-<D (x;- ~
J
1) J
n
~ max 1f(x) I·~ 1 et> (X;)-cD (X¡_1) 1 ~max1r (x) 1 Vg [<l>J.
1~1
Pasando en esta desigualdad de las sumas integrales al límite
de las mismas, obtenemos la estimación (8). Para <.D (x) = x ella
se convierte en Ja estimación conocida
lf
f (x}dx l ~ (b-a) max 1 f (x) J
pani la integral de Rienumn.
2. Si (.!} = Cl\ + el\, se t iene
"
h
b
a
a
a
~ f (x) d<D (x) = ~ f (x) d<D, (x) = ~ f (x) d<D, (x) .
En efecto, para toda partición del s¡!gmento {a, b] se cumple
la desigualdad correspondiente para las sumas integrales; por
consiguiente, ella se conserva también cuando se pasa al límite,
es decir, para las integrales.
3. Si ip es una [unción dP. variación acotada distinta de cero
solamente en un. conjunto finito o numerable de puntos,
b
~ f (x) d'i' (x) =O
o
para cualquier f1111ción
f
continua ert
fa,
b}.
408
CAP. VII. INT EGRAL INOEF. TEOfOA DE Dll' ERIJNCIACION
En efecto, esto es evidente para una función distinta de cero
en un único punto x0 (ya que al tomar particiones tan pequeñas
como se quiera del segmento [a, bj sin que el punto x. sea un
punto de división, obtendremos sumas integrales iguales a cero);
luego, debido a la aditividad, esto es válido también para cualquier función diferente de cero en un número finito de puntos.
Supongamos ahora que ip es distinta de cero en Jos puntos
y sean
y,, y,, · · ·• Yn• • · ·
sus valores en estos puntos. C.Omo 1jl es de variación acotada,
tenemos ~ 1!In1 < oo . Escojamos ahora N de manera que
~.., 1!In 1<e y representemos 1j> como suma
n~
iJ> = 'i>N+~
donde 1PN toma los valores fJi, . .. , YN en los puntos r 1 , • • . , 'N
y es igual a O en los demás, mientras que .¡¡, es distinta de O
solamente en los puntos rN+t> rN+t• . . . . Las sumas integrales
correspondient.es a 11> verifican la desigualdad
donde M = max j f (x) ¡. Por eso,
f
\ ~ f (x) d•~ (x) !~ 1 f (x)d1J>N(x)
\+
1{ f (x) d,P(x) \
~2Me;
de aqui se deduce, debido a la arbitrariedad de e, nuestra afir·
mación.
4. Si f es una función continua, la integral de R.iemann b
Stielt jes ~ f (x) d(l> (x) no depende de Los valores qW! toma <I> en
a
sus puntos de discontinuidad.
En efecto, sean (1)1 y $ 1 dos funciones de variación acotada
coincidentes en todos sus puntos de continuidad. Entonces, Ja
diferencia
'1>=4:1,-<I>,
representa una función d istinta de cero solamente en un conjunto
a Jo sumo numerable de puntos. Lo demás se desprende de las
propiedades 2 y 3.
§ 6. INT!!GRAC.. DE STIE LTJES
409
Puesto que la integral de Riemann-Stieltjes de una función
continua coincide con la correspondiente integral de Lebesgue Stieltjes. para Ja integral de Riemann-Stieltjes son válidas las
igualdades:
b
} f (x) di!> (x) = ~ f (x1) h,.,
a
donde
(!>
f
es una función de saltos, y
b
b
} f (x) d<l> (x) =} f (x) <1>' (x) d.x,
(9)
a
donde <I> es una función absolutamente continua. Además, si
<l'>' es integrable según Riemann, la integral que figura en
el miembro derecho de (9) puede ser comprendida en el sentido
de Riemann.
Todo lo expuesto para Ja integral de Riemann - Stieltjcs en
el caso de un segmento finito se puede extender fácilmente al
caso m que la integral se considera en toda la recta o en una
semirrecta.
Observación. En el caso de la integral de Stieltjes, a diferencia
de Ja integral habitual de Riemann, los valores de la integral
en el intervalo (a, b), el segmento [a, b) y . Jos semisegmentos
(a, b) y fa, h) no coinciden, en general (los puntos aislados tienen
medida de Stieltjes positiva, si la función que genera la medida
es en ellos discontinua). El símbolo
b
} f (x) d<D (x)
a
se interpreta comúnmente, si no se dice lo contrario, como la
integral referida al semisegmento r b).
ª·
5°. Paso al límite bajo el signo de la integral de Stieltjes.
En el capítulo VI hemos demostrado varios teoremas acerca del
paso al límite bajo el signo de la integral de Lebesgue. El pro·
blema se planteaba allí del modo siguiente: dadas una sucesión
{fn} de funciones y las integrales de estas funciones respecto a
una med ida determinada, nos interesaba la posibilidad de pasar
al límite de esta sucesión bajo el signo de la integral. Sin embargo, en el caso de la integral de Stieltjes tiene también interés
plantear el problema del modo siguiente: sea dada una sucesión
{<I>.} de funciones de variación acotada; ¿bajo qué condiciones
C.~I>. VII. INTE GRAL INDBF. TEORJA DE OIFERENCl.\CION
410
se puede pasar al limite bajo el signo de la integral
b
~ f (.") d<l>n (X)
o
para una función fija /?
En este orden tiene lugar el teorema siguiente.
TEORl!MA 2 (primer teorema de Helly). Supongamos que las fun·
ciones <I>., de variación acotada en un segmento [a, b) co11uergen
en ooda punto de esie segmento hacia una función <D y que las
variaciones totales de las funciones <I>,. están acotadas en con·
junto
V~ [<I>,, J E:;; C (n = l. 2, •.. ).
Entonces la f u11ción límite <I> es también de variación acotada
y cualquiera que sea la funció n continua. f tiene lugar la
igual.dad
b
b
lim ~ f (x) d<I>,. (x) = ~ f (x) d<I> (x).
rt -
00
a
(JO)
o
DEMOSTRACION . Probemos ante todo que la variación total de la
!unción limite <I> no es mayor que la constante C con la que
están acotadas todas las V~ [<I>,,J. En efecto, para cualquier par·
tición del segmento [a, b) por los puntos
a=x. <x, < ... <x,,.=b
tenemos
m
m
~ l <I>(x.)-<I> (x.-_ 1 )f ="' lim ~ ! II>,.(x.-)-<I>,,(x._ 1)1 E:;;C;
n - oo
ltc J
lf= l
luego,
V~
('1>] E:;; C.
Probemos ahora que la relación (10) es válida en el caso en
que f es una función escalonada. Supongamos que f toma los
valores h• en los intervalos (x._ 1 , x.-). Entonces,
b
~ f(x) d<I>,. (x)= ,f h.11 [ <I>n (x¡,)- '1>n (x.- _1 ) )
(11)
a
y
b
~ f(x) d(J) (x) =- ~ h.11 [<I> (x.)- <I> (x.- _1 ) ].
a
/<
( 12)
f
411
6. INTEGRAL DE STIELTJES
Está claro que la primera de estas expresiones se convierte en
la segunda cuando n - oo.
Sea ahora f una función continua y sea 6 un número positivo arbitrario. Escojamos una función escalonada f, de ma·
nera que
lf (x)--f, (x) 1<
ic ·
Entonces,
f
1 f (x) d$
(.~)-i f (x)d<D. (x) l ~ 1ff (x) d<I> (x)-f /, (x)d<T> (x) 1+
jf,
+1
(x) d<T> (x) - j
f, (.i:) d<Il. (x) 1+
En virtud del teorema del valor medio para la integral de
Stieltjes, el primero y tercer sumandos son menores que
mien-
-r.
tras que el segundo sumando es menor quef paran sulicienlernente grandes. Ú>mo t >O es arbitrario, de aquí se deduce la
afirmación del teorema.
Observación. Este teorema subsiste también en el caso en que
uno o ambos extremos de la integral
b
~ f (x) d<T>,. (x)
a
son infinitos. Sin embargo, la función f en este caso debe tender
en el infinito a un limite finito (esto permite aproximarla uni·
formemente en el intervalo infinito mediante funciones escalona·
das que toman solamente un número finito de valores).
El primer teorema de Helly ofrece las condiciones en las que
se puede pasar al limite respecto a una sucesión {<J>.l de funciones de variación acotada en la integral de Stieltjes. El teorema
que sigue explica cuándo puede ser garantizada la existencia
misma de Ja sucesión que satisface las condiciones del teorema
anterior.
412
CAP. Vil. INTE GRAL INDEF. Tl?.ORI ,\ PE
DIFERENCIACIO~
TEOREMA 3 (segundo teorema de Helly). De cualquier conjunto
1 infinito <I> de funciones cp que estdn. definidas en un segmento
[a, bj y que uerifican las condiciones
max 1q>(x)1 ~C. V~ í•PJ ~K.
(13)
donde C v K son constantes (las mismas para toda q> E <D),
se puede extraer una sucesión parcial convergente en cada punto
del segmento [a, b].
Basta demostrar este teorema para las funciones
no decrecientes. En efecto, sea
q>=v-g,
DEMOSTRAcroN.
donde v (x) es la variación total de la función q> en el se.gmento
fa, x]. Entonces, las funciones v correspondientes a todas las
q> E <D satisfacen las desigualdades
max 1u(x)1 ~C. V~ [v] =V~ (q¡J ~ K.
esto es, verifican las condiciones del teorema, y son monótonas.
Suponiendo que el teorema es válido para las funciones manó·
tonas, escojamos en <I> una sucesión {%} de manera que las v,.
correspondientes converjan hacia un límite v. Las funciones
gn=tla -CPn
serán también monótonas y veriíicarán las condiciones del teo·
rema. Luego, se puede extraer de {q¡,.} una sucesión parcial {cp,..}
tal que g11• convergen hacia un limite g . Pero, en este caso,
cp,.1, (x)-+cp(X) = v(x)-g(x) .
Demostremos, pues, el teorema para una familia <J> de fun·
ciones monótonas. Sean
r 1 , r:.• •. • , r,,, ....
todos Jos puntos racionales del segmento [a, b] . Debido a ( 13),
los números q¡(r 1) (ll' E<l>) forman un conjunto acotado y, por
eso, existe una sucesión {q>~11 } convergente en el punto r 1 • Escojamos a.hora en ella una sucesión parcial {q¡~'} que converja enr, {y, _por ..súpu~to, en r,). Escojamos después en {cp)M una s ucesión parcial {q>~3'} convergente en el punto . r,,-etc. La sucesión
diagonal {q>J¡»} convergerá eviden.temente, en todos los puntos
I:acíonales del segmento [a, b]. El limite de esta sucesión será
una :función no decreciente cp definida, por. ahora, solamente en
los puntos r1 , r,, ... , rn, . . . Definámosla en los demás puntos
del segmento [a, b], toma ndo para las x irracionales
q> {x) = lim cp (r) (r son racionales).
r- .r-o
S 6. INTECiRAL DI! STIELT JES
413
Probemos que la función no decreciente q>, obtenida de esta
forma, es. en todos los puntos de continuidad, el límite de la
sucesión {<i>:?'). Sea x• uno de estos puntos. Entonces, para un
e > O dado se puede escoger un ll > O tal que
1
qi(x•l-q>(x)I< ]- siempre q,ue 1x•-x1<6.
(14)
Escojamos unos puntos racionales r' y r" de manera que r' < x" < r",
> x• - ó y r" < x" + ll. Sea ahora n tan grande que para n > n0
se cumplen las desigualdades
r'
1q;n (r')-q>(r')I <
T
Y 1<p. (r")- <p (r") 1<
De (14) y (15) se desprende que
1 <p.,
T•
(15)
<+e.
(r') 1-<vn (r") 1
Como la función cpn es no decreciente, tenemos
~ q:,, (r"). Luego,
<pn (r') ~ 'Pn (x•) ~
1q> (xj-q>n (x") 1~1 q> (x")-q> (r') 1+1<P (r')-q>n (r') 1+
+ l q:n(r') - <p,. (x")I~++ ~e+ :
=E
y esto significa precisamente que lim <i>n (X") = q> (x•).
Hemos logrado construir una s~~~ión de funciones de <D que
converge hacia la función limite <p en todo punto, excepto, po·
siblemente, los puntos de discontinuidad de la función tp. Como
el conjunto de estos puntos es a lo sumo numerable, aplicando
de nuevo el proceso diagonal , podemos extraer de la sucesión
!lfnl una sucesión parcial que converja hacia q> también en estos
puntos, es decir, 9ue converja en lodo [a, b) .
6°. RepresentacíÓJ'I. general de funcionales lineales continuas
enJ.'el espacio de funciones continuas. Hemos señalado ya algunas
aplicaciones de la int!!gral de Stieltjes. Ahora estudiaremos otro
problema, relacionado con esle concepto, determinando la forma
general de una funcional lineal en el espacio C¡ 0 , bJ·
TEORE~lA 4 (Riesz). Toda funcional lineal co1itinua F en el espacio
Cra. ~J puede ser representada en ·la forma
b
F ({) =
~ f(x)dq>(x)
a
donde <p es una función de 'variación acotada. Además.
11
F\l= V* [qi].
(16)
414
CM'. VII . I NTEGRAL INDfF. TEORIA DI! DIFl!RENCIACION
Dl!1'\0ST1<Ac10N.
El espacio C10• 61 puede ser considerado como
subespacio del espacio M 10 , bl de todas las funciones acotadas en
este segmento con la misma norma
11 f \1= sup \ f (x) \
que existe en Cea, bJ· Sea F una funcional lineal continua en
C¡u, b)· En virtud del teorema de Hahn - Ban11ch, puede ser
prolongada, conservando su norma, de C¡•. b\ a todo el M ¡u. b\·
Esta funcional prolongada estará definida, en particular, para
todas las funciones de li po
l 1 para x:<T,
f' (x) = \ O para x >T.
Tomemos
q>(t)=f(f~)
(17)
y probemos que la función <p es de variación acotada en el seg·
mento [a. b]. En efecto, tomemos una partición arbitraria
a = x0 < x, < .. . < x,, = IJ
de este segmento y pongamos
at = sgn[<¡l(x.) - q:(x11 _1)],
Entonces,
±1
•:111
cp (xk)-<p (xk-1) 1=
±
(k = 1, 2, . .. , n).
±
,, lS 1
a11 [<p (xk) - 'P (xk_,)j =
±
= •=I ª•F (/"• -f"11-1) = F [ k=>I ª• (f"" - f,,11 _
:< 11 F
n
J] :<
ll·t~, ª " <fx11 - f"t-1>!1 ·
ª•
Pero, la función t~• <fx~ -- f"•-•) toma sólo los valores ± l y O.
Por eso, su norma es Igual a l . Por lo tanto,
,.
~ 1<p(X11-<p(Xk- 1) 1~ll f11.
k =>I
Como esto es válido para cualquier partición del segmento [a, b] ,
tenemos
V~ [ cp] ~ 11 F 11 ·
Es decir, hemos construido a partir de la funcional F una función qi de variación acotada . Probemos que es precisamente esta
función mediante la cual la funcional F puede ser representada
a través de la integral de Slieltjes (16).
S 6.
I NTEO~AL
DE STIELTJES
415
Sea f una función continua cualquiera en [a, b]. Tomando
arbitrariamente un e positivo, escojamos o> O de manera que
1 f (x")-f (x') 1 <e siempre que 1x· - x' 1 <o. Dividamos ahora
el segmento [a, b] mediante los puntos tk en partes, de longitud
cada una menor que 6, y consideremos la función escalonada
fhl (x)=f(xk) para xk-i ~x~xk• k= l, 2, ... , n.
Ella puede ser representada, evidentemente, en la forma
n
fxk- I (X)) ,
f«l (X) = k'l]I f (X¡,.) [fxk (X) -
donde f< es la función definida por la igualdad (17). Está claro
que 1f (x)- f«l (x) i <e para todas las x, a~ x ~ b, es decir.,
11 f {x)-f<•l (x)
JI < e.
Calculemos el valor de la funcional F en el elemento {"'· De·
bido a la linealidad de esta funcional y de acuerdo con la defi·
nición de la función f,. este valor es igual a
n
n
f(f«l) = k~/ (xk) [F Uxk )- F (f..~_ 1)] = k~J f (xk) [ 'P (xk)- t.p (X~- 1 )),
es decir, representa la suma integral para la integral
b
~ f (x) dq> (x).
a
Luego, para una partición suficientemente pequeña de [a, b),
tenemos
1F
<fl")-j f
(x) dq¡ (x) 1< e.
Pero, al mismo tiempo,
IF(f)-F(f<•>¡ 1 ~llFll · llf-f,11 ~ llFll·e.
Por lo tanto,
1F
(f)-f f
(x) dcp (x)
1<P.(l+11F 11),
de donde, debido a la arbitrariedad de e, obtenemos la igualdacl
b
F(f)=) f (x)dcp(x).
•
416
CA P. VII. INT loO RAL INOEf'. T EO RIA ll f.
DIFEIW ~CIACIO ~
Hemos visto que la variación total de la función q:, dada por (17),
satisface la desigualdad siguiente:
VHrrl~HFfl.
(18)
Por otro lado, del teorema del valor medio para la integral de
Stieltjes, se desprende inmediatamente que
llFl'~VZfq¡}.
(19i
Comparando (18) y (19), obtenemos la igualdad
l!Fll = Vg[qij.
El teorema queda demostrado completamente.
Observación. Está claro que siendo q: una función arbitraria
de variación acotada qi en el segmento (a, bJ, la relación
b
F (f) =
~ f (x)d<p (x)
a
determina una funcional lineal en el espacio Cra. bJ· Además,
dos funciones q;, y cp., coincidentes en todos los puntos excepto,
posiblemente, los de un conjunto a lo sumo numerable, determinan una misma funcional lineal; viceversa, si qi1 y q:¡, determinan una misma funciona l en Cra. bJ• esto es, si
b
h
~ f (x) dq>1 (x) = ) f (x:) dq¡, (x:)
q
"
para toda función continua, entonces qi, y cp, coinci<len en sus
puntos de continuidad, es decir, en todos los puntos excepto,
posiblemente, los de un conjunto finito o numerable de puntos.
Luego, existe una aplicación biunívoca entre las funci onales
lineales en Gro. ,,1 y las clases de funciones de variación acotada
en {a, b] que verifican la condición q> (a)= O, perteneciendo dos
funciones a una misma clase cuando coinciden en sus puntos de
continuidad. Para una función arbitraria <p de la clase correspondiente a la funcional dada F se cumple Ja desigualdad
11F11 ~V~ [q> J;
la igualdad puede no tener lugar; pero, como se desprende de
la demostración del ,teorema, en cada uffa de estas clases existe
al menos una función para la cual esta igualdad se alcanza.
CAPITULO
VIII
ES PACIOS
DE FUNCION ES SUMABLES
Entre las diferentes clases de espacios norrnados que se emplean en el Análisis una de las más importantes es la de los
espacios de funciones medibles de cierta potencia sumable y, en
primero término, el espacio L 1 de todas las funciones sumables
y el espacio L 9 de funciones de cuadrado surnable. Estudiaremos
ahora las propiedades fundamentales de estos espacios. El contenido <le este capítulo se basa, por un lado, en las propiedades
generales de los espacios métricos y los espacios normados lineales,
expuestas en los capítulos II, lll y IV, y, por otro lado, en el
concepto de la integral de Lebesgue introducido en el capítulo VI.
§ l. ESPACIO L1
1°. Definición y propiedades fundamentales del espacio L ,.
Sea X un espacio provisto de una medida µ; la medida del
propio X puede ser finita o iniinita. Consideremos el conjunto
de todas las funciones sumables en X. Como una combinac.ión
lineal de funciones sumables es de nuevo una función sumable,
este conjunto, con las operaciones habituales de adición de fun·
ciones y multiplicación de las mismas por números, constituye
un espacio lineal. Denotaremos este espacio mediante Ll (X, µ)
o simplemente L 1 • Introduzcamos en L, una norma tomando"
llfll = ~lf(x) l dµ.
11
el
(l)
Aq ui y en lo sucesfvo el símbolo ~ representa la integración en lodo
X.
esp~cio
14 /\; 2150
418
CA i'. VII I. ESPACIOS OE F UNC IONES
SIJ.~IA!lLES
Está claro que
y
11af11 = 1al·11f11
11 /, + f .!I ~llf, 11 + Uf. 11-
Sin embargo, para que se cumpla también la ultima condición
de la norma, a saber
nf 11 > o cuando f
es preciso aceptar que las funciones equivalentes en X no se distinguen y representan un mismo elemento del espacio L,. En
particular, el elemento nulo de L, es el conjunto de todas las
funciones iguales a cero en casi todos los puntos. En este caso,
la expresión (J) poseerá todas las propiedades de la norma. Lle·
gamos así a la definición siguiente.
OEF 1N1c1 0N 1. Se llama espacio L, al <.-spacio normado cuyos elemen tos son las clases de funciones sumables equivalentes; la adición de elementos de L, y la multiplicación de los mismos por
numeros se definen como las operaciones habituales de adición y
multiplicación de funciones" y la norma se define mediante la
fórmula
11 f 11 = ~ 1f (x) 1d~i.
* º·
En L 1 , al igual que en cualquier espacio normado, la distancia
se introduce mediante Ja fórmula
P(f,
g)= ll f-R ll·
La convergencia de una sucesión de funciones sumables. comprendida en el sentido de esta distancia, se llama convergencia
media. El espacio L, puede ser considerado como compuesto de
funciones complejas (espacio complejo l,) o solamente de funciones reales (espacio real L,). Los resultados de este parágrafo
son válidos en ambos casos.
Para muchas cuestiones del Análisis tiene gran importancia
el resultado siguiente.
rEOREMA 1. El espacio l, es completo.
DEMOST R,,c10N. Sea {f,,} una sucesión fundamental en L1, esto es,
ll fn- f,.,11 - 0 paran, rn-oo.
•>Con más precisión: puesto que cada elemento de L, es una clHse de
funciones sumables equ ivalentes, para sumar dos clases de este tipo tomamos
un represent ante en cada una de ellas y llamamos suma de estas clases a
la clase que contiene la suma de l os represen tantes el<'gidos. fslá claro que
el r..sullado no depende de la aelección de los representantes en las clasts
dudas.
S
l . ESPACIO L 1
4 19
Entonces, se puede encontrar una sucesión {n.! de indices tal que
llfn. -fno+, il""' Slfn-(x)-fnk+,(x)l dµ <~ ·
De esta desigualdad y del teorema de Beppo Levi se desprende
que la serie
lfn, I + lfn,-fn, 1+ · · ·
converge en casi todo X. Pero. entonces, también la serie
f.,+fn, -f,., + · • •
converge en casi lodo X hacia una función
f (x) =
lim
n- ..
f nt (x).
Luego, hemos probado que una sucesión fundamenta l de L,
contiene sucesión parcial convergente en casi todos los puntos.
Probemos ahora que la sucesión parcial Un.} converge en la
media hacia la misma función f. Como la sucesión {f.} es fundamental, para cualquirr e> O fijo y k y l suíicientemente grandes tenemos
~ 1f •• (x) - f n1(x)I dµ < e.
De acuerdo con el leorema de Fatou, podemos pasar en esta
desigualdad al límite para l - oo bajo el signo de la integral.
Tendremos
) 1f n• (x)-f (x) 1d~l ~ e,
de donde se deduce que f E L1 y f •• _, f. Pero, una st•~1on
fundamental que contiene una sucesión parcial converger.te hacia
un limite converge hacia el mismo límite. El teorema queda
demostrado.
2'. Conjuntos siempre densos en L ,. Por definición de la
integral de Lebesgue, cualquiera que sea la función f sumable
en X y cualquiera que sea e> O existe una función siempre
sumable <p (x) tal que
) 1/ (x)-
ip(x)ldµ <e.
AdemlÍs, puesto que para una fitnción sumable simple que toma
los valores y,, y, , ... en los conjuntos E., E, . ... la integral
se define como la suma de la serie
~
ncl
Ynµ (En)
(si es que ella converge absolutamente), está claro que toda función sumab le simple puede ser representada como límite (en
14•
420
CAP. VI I I. ESPACIOS
ue
F UNCIONES SUMABl.ES
media) de una sucesión de funciones sumables simples que toman
solamente un número finito de valores. Luego, e11 el espacio L,
siempre densas las funciones cada una de las cuales toma solame11te 1m 11úmero finito de valores (es decir, representa una com-
Só11
binación lineal de funciones características).
Sea R un espacio métrico provisto de una med ida que verifica
la condición siguiente (que se cumple para la medida de Lebesgue
en un espacio euclídeo y en otros muchos casos de interés práctico): todos los conjuntos abiertos y todos los conjuntos cerrados
de R SOIL medibles y para cualquier Me R
µ (M) = inf µ (G).
(2)
,\1 c:G
donde la cota inferior se toma respecto a todos los conjuntos
abiertos O que contienen tM. Entonces tiene lugar el teorema
siguiente.
·rEOl<l!MA 2 .
1
de11so
eii
El con¡uttto de todas las funciones coMittuas es siempre
L, (R. µ).
Ol!MOSTRACtON En vista de lo explicado anteriormente, basta demostrar que toda función simple que toma un n úmero finito de
valores es límite, en el sentido de la convergencia media, de
funciones continuas. Además, como toda función :>imple que loma
un número finito de valores es una combinaclón l ineal de las
funciones características Xi11 (x) de los conjuntos medibles, basta
realizar la demostración para estas últimas. Sea M un conjunto
medible del espacio métrico R. De la condición (2) se desprende
inmediatamente que para cualquier e> O existen un conjunto
cerrado F 111 y un conjunto abier to 0 111 tales que
FMcM cGM y µ(G111)-µ(f 111)<e.
Definamos ahora la función q;. (x), tomando 11
cp.(x)
p (x , R'-G,11)
p(.r, R'-GMHP(x. F,11) '
Esta función es igual a O cuando xE R"-Gi11 y es igual a l
cuando x E PM· Es continua, ya que cada una de las funciones
p (x, F M) y p (x, R',GM) es continua y la suma de ellas nunca
se anula. La función r.,.1 -q>, no pasa de 1 en G111"-F"1 y es
igual a O fuera de este conjunto. Luego,
~ 1X,11 (x)-q>. (x) Idµ.< e,
de donde se desprende la afi rmación del teorema.
11
p (x, A)
rcpr~senln
111 distancia entre el punto x y el conjunto A.
~ l.
l!Sl'/\CIO L,
421
Está claro que el espacio L, (X, µ) depende tanto de la selección del espacio X como de la medida en este. Por ejemplo, si
la medida µ. está concentrada en un número finito de puntos,
L, (X, µ.) será un espacio de dimensión finita. En el Análisis
desempeñan un papel fundamental Jos espacios L, de dimensión.
infinita, pero provistos de un subconjunto numerable siempre
denso. Para poder describir estos espacios l 1 , introduciremos un
concepto más correspondiente, en realidad, a la teoría general
de la medida.
OEFJN1c10N 2. Se dice que una medida µ tiene una base namerahle cuando existe un sistema numerable
.!l={An~
(n= l, 2, . .. )
de subconjuntos medibles del espacio X (la base numerable de
la medida µ) tal que para cualquier medible M cX y cualquier
e> O existe un A.1r E ,/[, tal que
µ(M6Ak)<e.
En particular, una medida µ tiene, evidentemente, una base
numerable, si puede ser representada como prolongación lebesguiana de una medida definida inicialmente en un semianillo
nu merable 12',.. Efectivamente, el anillo Dt (~..) (obviamente
numerable) representa e.n este caso la base necesaria. De aquí
se ve, por ejemplo, que tiene base numerable la medida de
Lebesgue de un segmento, ya que para ella se puede tomar
como sistema inicial de con juntos elementales Ja totalidad de
intervalos, segmentos y semisegmentos con extremos racionales.
El producto µ = µl x ~~. de dos medidas de base numerable
tiene también base numerable, ya que las sumas finitas de productos de dos en dos de elementos de la base de la medida µ1
por Jos elementos de la base de medida µ~ forman, corno se
comprueba fácilmente, una base de la medida µ = µ, x µ~. Luego,
la medida de Lebesgue en el plano (y en un espacio n-dimensional también) tiene base numerable.
Sea
(3)
una base numerable de Ja medida µ. Es fácil ver que ampliando el sistema de conjuntos (3) se puede formar una base numerable de Ja medida µ.
(4)
cerrada respecto a la sustracción y las uniones e intersecciones
fínitas.
422
CAP. VIII. GSPAC!OS DE I'UNC!ONES SUMAllLES
TEOR EMA 3.
Si la medidaµ tiene base numerable, existe en L, (X, ..,)
un conjunto numerable de [unciones siempre denso
rl• f ,, ... ' f n •
1
0EM0STRAC10N.
Probemos que las sumas finita s
~ c~f,. (x),
(5)
.t.•1
donde e~ son números racionales y f" son las funciones características de los elementos de la base numerable de la medida µ,
forman un conjunto numerable siempre denso en L1 (X. µ).
La numerabilidad de este conjunto es evidente; probemos que
es siempre denso en l, (X, µ). Como hemos visto, el conjunto
de funciones escalonadas, que toman sólo un número finito de
valores distintos, es siempre denso en L1 . Es obvio que cualquier
función de este conjunto puede ser aproximada tanto como se
quiera por una función del mismo tipo, pero de valores [raciona les; por lo tan to. basta demostrar que cua !quier funeión escalonada f, que toma los valores
Y1> y,, •• . , Yn (todos los y,. racionales}
en los conjuntos
El. E., • .. , E,.
(YE¡= X, E; nE1= 0 para i}
i =F
puede ser aproximada tanto como se quiera. en el sentido de la
métrica de L 1 , por funciones de tipo (5). Teniendo en cuenta la
observación hecha, podemos aceptar, sin perder generalidad, que
la base de la medida µ está cerrada respecto a las operaciones
de sustracción y uniones e intersecciones finitas.
Por definición de una base numerable de una medida µ. para
cualquier e> O existen en ella unos conjuntos A1 , A2 , • • • , A.
tales que
Tomemos
A~= Ak"-. U A 1 (k= !, 2, .• . , n)
Id
y definamos
f* mediante
Y1< para xE Aj.
11
f* {x) = { O para x E R"-.U Ai.
;-:1
f 2. ESPACIO
Es fácil ver que para
423
L,
~
suficientemente pequeño la magnitud
{x:f (x):F {* (xH
es tan pequeña como se quiera y, consecuentemente, la integral
~~
~ 1f (x) -
f* (x)I df.'
~ (2 max. IYn n:1-1- {x: f (x)
* ¡•
(x)}
es tan pequeña como se quiera para e suficientemente pequeño.
En vista de las suposiciones hechas respecto a la base de la
medida µ, la función {* es una función de tipo (5). El teorema
queda demostrado.
Pa~a el caso particular en que X es un segmento de la recté!
numérica y µ es la medida de Lebesgue, la base numerable de
L1 (X, µ) puede ser obtenida también de un modo más clásico:
puede ser considerado como base de este tipo. por ejemplo, el
conjunto de todos Jos polinomios de coeficientes racionales. Es
siempre denso (incluso en el sentido de convergencia uniforme)
en el conjunto de funciones continuas y estas últimas forman un
conjunto siempre denso en L 1 (X, µ).
§ 2. ESPACIO;<!L,
!º.~Definición y propiedades fundamentales. El espacio l¡ es,
como hemos visto, un espacio lineal normado completo (esto es,
un espacio de Banach). Sin embargo, no es euclideo: la norma
definida en él no se puede introducir mediante ningún producto
escalar. Esto se deduce del cteorema del paralelogram0> demostrado al final del § 4 del cap. 111. En efecto, tomando, por
ejemplo, en el segmento (O, 2n) las funciones integrables f = 1
y g=senx vemos que la relación
11 f +gli2 + ll f -g ll' = 2(11f 11)2 + 11 g!12)
no se cum ple e.n L, para ellas.
Un espacio funcional que, además de ser normado, es euclídeo
se puede obtener considerando el conjunto de funciones de cuadrado integrable. Introduzcamos las definiciones correspondientes.
Supongamos que se consideran funciones reales f definidas en un
espacio X provisto de una medida µ tal que µ(X) < oo. Todas
las funciones se suponen medibles y definidas en casi todo X.
Las funciones equivalentes no se distinguen.
DEF1N1croN 1. Una función f se llama función de cuadrado integrable en X cuando la integral
} /l(x)dµ
424
CAP. VIII, ESPACIOS OE F UNCIONES SUMARl.ES
existe (es finita). El conjunto de todas las funciones de cuadrado
integrable en X se designa con L,(X, µ)o, brevemente, L•.
Veamos las propiedades fundamentales de las funciones de
cuadrado integrable.
1. El producto de dos {tmcimr.es de cuadrado integrable es u11a
función integrable.
Esto se desprende directamente de la desigualdad
f
1 (x)g (x)j
1
,;;;;; 2 [f 2 (x) -t-g" (x)J
y de las propiedades de Ja integral de Lebesgue.
Toda función de cuadrado iritegrable f es integrable.
En efecto, basta tomar g (x)=: 1 y emplear la propiedad 1.
2. La suma de dos funciones de Lt es también de L,. En efecto,
[{ (x)+ g(x)]9 ,;;;;;¡• (x) + 21 f (x)g (x)! +g• (x)
COROLARIO.
y, de acuerdo con la propiedad 1, cada una de las tres funciones
que figuran en el miembro derecho es integrable.
3. Si f EL, y a es un número arbitrario, entonces o.f E L,.
En efecto, si f EL, tenemos,
~ [o.f (x)p dµ = a•~ f• (x) dµ < oo.
Las propiedades 2 y 3 muestran que las combinaciones lineales
de funciones de L 2 son de nuevo elementos de Li; además, es
evidente que la adición de funciones de L, y la multiplicación
de las mismas por números verifican todas las condiciones de la
definición de un espacio lineal (cap. 111 , § l). Luego, el con;unto Lz de funciones de cuadrado integrable constituye un espacio
lineal.
Definamos ahora el producto escalar en L, tomando
(f, g)= )f(x)g(x)dµ.
Está claro que todas las condiciones de la definición de un
producto escalar (véase el cap. lll, § 4), a saber:
1)
2)
3)
(f.
g) = (g, f),
(f1 +t.. g) = <f1, g) + (f: , g),
(a/. g) = a (f. g),
4) ({, f)>O cuando/*º·
se cumplen en este caso. En particular, la condición 4) se cumple
debido a que hemos convenido no distinguir las funciones equivalentes (por elemento nulo se toma, de esta forma, el conjunto
de todas las funciones equivalentes a f = O en X).
S Z. ESPACIO L 1
De esta forma, después de definir para las funciones de cuadrado integrable las operaciones de adición y de multiplicacióµ
por números y de introducir el· producto escalar, llegamos, en
conclusión, a la definición siguiente,
DF.F1N1croN 2. Se \lama espacio L, al espacio euclídeo, cuyos elementos son las clases de funciones equivalentes de cuaiirado
tegrable, en el que las operaciones de adición y multiplicación
por números se de!inen como las operaciones habituales de adición y multiplicación y el producto escalar se define mediante
la fórmula
(f, g) = ~ f (x)g(x)dµ.
in-
En L,, al igua l que en cualquier espacio euclídeo, tiene
lugar la desigualdad de Cauchy-Buniakovskl, que toma en este
caso la íorma
( ~ f (x)g(x) dµ)
2
< ~ ft (x) dµ ~ g' (x}d~t,
y la desigualdad triangular, que toma la forma
v.r ~ [f (x)+ g (x)p dµ < .1 ~ f (x) dµ + l/
1
) g'(x)dµ.
=
En particular, para g (x)
L la desigualdad de Cauchy - Buniakovski se reduce a Ja siguiente desigualdad útil:
( ~ f (x) dµ ) • < µ(X} ~ f' (x) dµ .
(1)
La norma en L, se define por. la fórmula
11
ru= vv.n =
v~ r·
y la distancia entre los elementos
P (f,
f
(x) dµ
y g, por la fórmula
g)= llf--gll= l / ~ [f (x)-g(x)]'dµ.
La magnitud
se llama también desviación cuadrática entre las funciones f y g.
La convergencia de una sucesión funcional en el sentido de
la métrica del espacio Li se llama convergencia .cuadrática. En
el caso en que no baya peligro de confundir este concepto con
el de convergencia en l,, , introducido en el parágrafo anterio(,
emplearemos el término ·más breve «convergencia media>.
426
CAP. VIII. l!SPACIOS DE P U NCIONES SU1"1\ABL!!S
T EORF.MA 1.
Et espacio L, es completo.
DEMOSTRAc10N.
decir,
Sea
{f,.f una sucesión fundamental de L,, es
\l f,.-f,,. 11 -0 paran,
rn-+oo .
De acuerdo con la desigualdad (1 ), lenemos entonces
Slf,,(x) -f,.(x)ldµ~!µ(X))'I• {) [f,.(x)-
-f,,, (x)l' dµ} ''·~e!µ (X)}'' "
(2)
esto es, la suces1on {/,.} es fundamental también respecto a la
métrica del espacio L,. Repitiendo los razonamientos que hemos
empleado al demostrar la complitud del espacio L,, podemos
escoger de {f,.f una sucesión parcial {f,.kf que converge en casi
lo11os los puntos hacia una función f. En la de$igualdad
S [fn. (X)-fn.(x)pdµ <e
que es válida para elementos de esta sucesión parcial con k y f
suficientemente grandes, podemos pasar, en virtud del teorema
de Fatou, al límite para l ~ oo. Tendremos
~ [fn.. (X)-f(x)]idµ~e
de donde se deduce que f El, y que f,,. - f. Para terminar la
demostración basta, al igual que en el teorema 1 del§ 1, señalar
que toda sucesión fundamental que contiene tma sucesión parcial
convergente converge hacia el mismo limite.
EJERCICIO. Defi namos L,. (X. µ) como el conjunto de las clases de (unciones equivalentes para las cuales S1f IP dµ < co, donde 1..;;; p < co. Oemu~st~e
11/11=(~
que Lp (X, 14) es un espacio de Banach respecto a la norma
jf/Pd¡l
)''P.
2". Caso de medida infinita. En el punto anterior hemos con·
siderado funciones de cuadrado integrable definidas en un espacio X de medida finita. La condición µ(X)< oo ha sido empleada de un modo sustancial. La hemos empleado, primero, al
demostrar que toda función de cuadrado sumable es sumable en
primer grado y, después, al deducir la desigualdad (2) en Ja que
se basa la demostración de la complitud del espacio L •. Si se
consideran funciones en un conjunto de medida infinita (por
ejemplo, en tocia la recta con la medida lebesguiana en ella),
z.
S
ESPACIO L,
427
no toda función de L, será elemento de l 1 • Por ejemplo, la
1
• no es integrable en toda la r~ta, pero su cua·
función .r
r 1+x·
drado es integrable. Además, en el caso ~1 (X) < oo tiene lugar
la desigualdad (1) según la cual la convergencia de una sucesión
de funciones en L, implica su convergencia en L 1 • Cuando
µ(X)=oo, esto ya no tiene lugar: por ejemplo, la sucesión de
funciones en la recta
l'l'"(x) =
~~para 1xjl ~·n,
..
.
{ O ~para \x U> n
converge hacia el O en el espacio L, (-00,'100) de funciones de
cuadrado integrable en la recta, pero no converge hacia ningún
Hmite en L, (-o.>, oo ). Sin embargo, el teorema sobre la complitud del espacio
L.
sigue siendo válido también para µ (X )= oo 11 •
Demostremos esta afirmación. Vamos a suponer, lo mismo
que en el § 5 del cap. Vi, donde hemos introducido el concepto
de integral en un conjunto de medida infinita, que todo el es·
pacio X puede ser representado como la unión numerable de
conjuntos de medida finita. Sea
X= U xn. µ(Xn) < oo,
XnílX.,=0 para
n=;i:m
:z=l
una representación de este lipo y sea if,,} una sucesión funda·
mental en L,(X, µ). Entonces, para cada e> O existe un N tal
que
~ [!k(x)-f1 (x)]'d~1 <s para todos los k, l~N.
Tomemos
cplnl (x) =
f <p (x)
para x E Xn
O para los demás x.
Entonces, debido a la cr·aditividad de Ja integral de Lebesgue,
tenemos
u.
l
r (x)-f, (x) 1· di!= /lO.l X,.~ [fl")(x)-flAl (x)) dµ < 8.
J
Consecuentemente, para cada M finito es, con mayor razón,
M l
i;
2:;
flllil
~
lf'*º (x)-fjn> (x}J°d•L <e.
(3)
X"
1
> La demoslraclón de I~ comp lilud del espacio l¡. expuesta en el § 1,
no depende, evidentemente, de si es o no finita la m~ida del espacio X .
428
CAP. VIII. ESPACIOS DE FUl>CIONES
S~MABLES
El conjunto de funciones de cuadrado integrable en cada X,, es
un espacio completo. Tomando
{
1111
(x) = lim f\n> (x)
1 ~ "'
(donde la convergencia se entiende corno convergencia en el espacio
L 1 (Xn, µ )), podemos pasar al límite para l -- oo en la desigualdad (3). Tendremos
Al
~ ~ lH" 1 (x)-f1• 1 (x)j•dµ ~e.
rt=-1
X"
Puesto que esta desigualdad se cumple para todos los M, podemos pasar en ella al limite para M --• oo. De este modo, lene·
mos
i;
~ (fJ.111 (x)-/1111 (x)]• dµ ~e.
n aq X,.
Tomando
f (x) = ¡<•1 (x)
para x E X,,,
podemos dar a esta última desigualdad la forma
~ [fk (x) - f (x)]2 d~t ~e.
De aquí se deduce tanto que f es un demento de L, (X, µ),
como la convergencia de la sucesión {/~} hacia f.
3º. Conjuntos siempre densos en L, . Teorema sobre el isomor·
fismo. Así pues, el espacio L. (X , µ) de funciones de cuadrado
integrable es un espacio euclideo completo. Excepto casos trivia·
les, la dimensión de este espacio es infinita. Desde el punto de
vista de diversas aplicaciones en el Análisis, es importante conocer cuándo el espacio l, (X, µ) contiene un conjunto numerable siempre denso. Hemos visto en el § 1 que en el caso del
e$pacio L1 (X, µ) la existencia de un conjunto numerable siempre den.so se desprende de la existencia de una base numerable
de la medida µ. No es dificil comprobar que esta misma condi·
ción garantiza también la existencia de un conjunto numerable
siempre denso en L, (X, µ). En efecto, toda función de L , (X, µ)
puede ser aproximada con precisión.necesaria mediante funcion es
cada una de las cuales es igual al O fuera de un conjunto de
medida finita 11 • Después, los mismos razonamientos que han
sido empleados al demostrar el teorema 3 del § 1 m uestran que
ll
Sl e! µ (XJ < "", este paso sobra.
S 2. ESPACIO
429
L.,
en el conjunto de funciones de este tipo se puede escoger un
conJun to numera ble siempre denso.
Luego, si la medida µ tiene base numerable, el espacio
L.(X, µ) es un espacio euclídeo completo provisto de un conjunto
numerable siempre denso. En otras palabras. dejando a un fado
el caso en que L, (X, µ) es de medida fini ta. obtenemos e.1 re·
sultado siguiente: si la medida µ. es de base numerable, el espacio
L~
(X,
~~)
.es de H ilbert.
En virtud del teorema .~bre el isomorfismo de los espacios
de Hilbert, esto significa que todos los espacios L, (X, µ) . dee~te
tipo son isomorfos... En particular, todo espacio de .este tjpo
L, (X, µ.) es isomor.fo al espacio 1, de sucesiones. ,numéf.ica~,&or
la suma de c.u adrados convergente (que puede ser co¡'isid~riido
como el espacio L, (X, µ.) correspondiente a la medida µ. definid.a
en una sucesión numerable de puntos). En lo que sigue sóla se
considerarán espacios L, (X, µ.) correspondientes a medidas de base
numerable. En los casos en que no puedan surgir confusiones cada
espacio de este tipo se designará simplemente mediante L2 •
Como el espacio L, represen ta, según lo explicado, una realización del espacio de Hilbert, se pueden extender a L, todos
los conceptos y resultados dados en el § 4 del cap. 111 para un
espacio de Hilbert abstracto.
En particular, como, de acuerdo con el teorema de Riesz,
toda funciona l lineal en el espacio de Hilbert H puede ser re·
presentada mediante el prod ucto escalar
F (h) = (h, a),
donde a es un vector fijo de H, toda
de la forma
F (f) = )
f uncíonal
lineal en L, es
f (x) g (x) dµ
donde g es una función fijada de cuadrado integrable en X .
4º. Espacio complejo L~. Hemos considerado hasta aquí el
espacio real L,. Los resultados expuestos se extienden sin difi·
cultad al caso complejo. Una función compleja f definida en un
espacio X provisto de una medida µ. , se llama función de cua·
drado integrable cuando la integral
) l f(x)l'dµ
X
es finita. Definiendo del modo habitual la adición de estas funciones y la multiplicación de las mismas por números e intro·
430
t;AP. VIII. ESPACI OS Ot:: FU NCI ONES SUMAllLES
duciendo el producto escalar mediante la fórmula
(f, g) = ~ f(x) g(x)dµ,
X
obtenemos un espacio euclideo llamado espacio complejo L;.
(Aquí, lo mismo que en el caso real, consideramos las funci ones
equivalentes como un mismo elemento del espacio). Este espacio
es completo y, además, si la medida µ es de base numerable,
es también separable. Luego (omitiendo el caso en que este espacio es de medida finita). obtenemos que el espacio complejo L.,
correspondiente a una medida de base numerable, es el espacio
complejo de Hilbert. Todos los espacios de este tipo son isomorfos y para ellos son válidos los resul tados expuestos en el § 4
del cap. l 11.
5°. Convergencia cuadrática y su relación con otros tipos de
convergenda de sucesiones funciona les. Al introducir en el es·
pacio L, la norma, hemos definido con ello para las funciones
de cuadrado integrable el siguiente concepto de convergencia:
f,,-f,
cuando
lim ) [f,,(x)-[(x)J'dµ = O.
n-0>
Esta convergencia la hemos llamado convergencia cuadrática.
Veamos cómo está relacionada con otros tipos de convergencia
de sucesiones funcionales . Supongamos primero que la medida
del espacio X en el que están definidas las funciones es finita.
1. Si la sucesión {/,,} de funciones de L (X, µ ) contterge en la
métrica de L~ (X, µ ), tambié1t conoerge en
la
métrica de L, (X,µ).
En efecto, debido a la desigualdad (1), tenemos
Sl fn (x)-f (x) 1dµ ~ fµ(X) S(fn (x)-f (X))• dµJ-iY de aquí se desprende nuestra afirmación.
2. Si la sucesión {/,.} comJerge aniformemen.te, también converge
cuadráticanumte.
En efecto, cualquiera que sea e> O, tenemos para n sufi·
cientemente grandes
y, consecuentemente,
) 1f,, (x)-f (x)
l'dµ
< 1:1•µ (X),
de donde se deduce nuestra afirmación.
S 2. ESPACIO L,
431
3. Si una sucesión Un} de funciones sumables converge ert media, tamblélt ccrwerge e11 medida en X .
Esta afirmación se desprende directamente de la desigualdad
de Chébishev.
De aquí y del teorema 11 del § 4 del cap. V 1, se sigue:
4. Si una sucesión /fnl ronverge en media, se puede extraer de
ella una sucesión parcial {!ntl convergente en casi todos los puntos.
Observemos que al demostrar el teorema sobre la complitud
del espacio L, hemos encontrado este resultado sin basarnos en
el teorema 11 del § 4 del cap. VI.
Es fácil ver que la convergencia media (e incluso cuadrática)
de una sucesión no implica, en general, la convergem;j~:d_e..~ta
sucesión en casi todos los puntos. Efectivamente, la : SL\Qesión
/f,,.), construida en el § 4 de l cap. VI, converge en meilia y
cuadráticamente hacia f es O; pero, al mismo tiempo, como ha
sido allí demostrado, no tiende hacia O en nungún punto. Viceversa, una sucesión {{,,} puede converger en casi todos los puntos (e incluso en todo punto) y no converger en media. Consideremos, por ejemplo, en el segmento {O, 1] la sucesión de funciones
f n para x E (O, ~)
f.(x) = \
l O para los demás x,
tal que f .. (x)-0 para todo xE[O, lJ. Al mismo tiempo,
1
~ 1/.. (x) 1dx = 1 para todo
n.
"
Las relaciones que existen entre diferentes tipos de convergencia de funciones, definidas en un espacio de medida finita,
pueden ser esquematizadas del modo siguiente:
\
Convergencia uniiorme
r
j
(L,)
Convergencia
cuadratica
1
.,
J
Convergencia en
C3si todo punto
l
(L,)
Convergencia
en media
t
i
Con vergcnc!~
en medid:i
432
CA P. VIII. ESPACIOS DE l'UNCIONl!S SvMAll!.ES
donde Ja flecha de purrtos significa la posibilidad de escoger de
una sucesión convergente en medida una sucesión parcial convergenle en casi todo punto.
En el caso µ(X) = oo (por ejemplo. para funciones en toda
la recta numérica con Ja medida de lebesgue en ella) las relaciones encontradas no tienen ya lugar. Por ejemplo, la suce;sión
!,. (x) =
{
) _ para l x 1~ n,
r n
O para lxl > n ,
converge uniformemente en toda la recta hacia la función f .... O
y, sin embargo, no converge ni en media ni cuadrá ticamente.
Además, para µ.(X)= o.:i la convergencia cuadrática (esto es,
en l,) no implica, según hemos señalado ya, la convergencia
media (esto es, en L,) de la misma sucesión.
A su vez, la convergencia media no implica, en general, la
convergencia cuadrática (esta última observación es válida tanto
cuando µ (X)< oo, como cuando µ (X)""' oo).
§ 3. SISTEMAS OR TOGONALES DE FUNCIONES EN /, 2 .
ScRI ES RESPECTO A SISTEMAS ÓRTOGONAl.ES
De los teoremas generales, demostrados en e l § 4 del cap. TI 1
para Jos espacios eucl ídeos, se desprende que en L, existen siste mas completos ortogonales (en particular, ortogonales y normales) de funciones. Estos sistemas •pueden ser obtenidos, por
ejemplo, aplicando el proceso de ortogonalización. descrito en el
§ 4 del cap. 111, a uno u otro sistema completo. Si en l, se ha
escogido un sistema <'Pn} completo ortogonal, todo elemento f EL,
puede ser representado, en vista también de los resultados del
§ 4 del cap. 11 r, como la suma de la serie
esto es, como la suma de la serie de Fourier de la funci.ón f
respecto a l sislema ortogonal .{<¡>.} • .Además, los coeficientes e,,,
es decir, los coefi.ci.entes de Fourier de . la función f respecto al
sistema l1Pn~• se definen mediante las fórmulas
Cn =
11
S
cp'., W f (x) q>,, (x) dµ
(U 'Pn 11 2 = ~ q>~ (x) d1i )
.
SJ.
433
SISTEM,\S OR.TOOON.\LES DE FUNCIONES EN L,
En este parágrafo consideraremos algunos ejemplos de mayor
importancia de sistemas ortogonales en el espacio L, y los desarrollos que les corresponden.
I º. Sistema trigonométrico. Serie trigonométrica de Fourier.
Consideremos el espacio L, ( - n, n) de funciones de cuadrado
integrable en el segmento 1-n, n] con la medida de Lebesgue
habitual en este segmento. En este espacio las funciones
{cosrtx, sennx~ (11=0, 1, 2, . . .)
(1)
forman un sistema completo ortogonal, llamado sistema trigq110·
métrico. La ortogonalidad de este sisfema' se com·prtieba fácil'
mente mediante el cálculo directo; por ejemplo, para n~in
n
5
-n
l
~
11 -m
cosnxcosmxctx = 21 .\" [_cos -n+m
2 - x+cos2 -x dx=O.
-~
etc. La complilud del sistema ( 1) se desprende del teorema de
Weierstrass sobre la aproximación de cualquier función periódica
continua mediante polinomios trigonométricos 11• El sistema (1)
no es normal. El sistema normal Correspondiente está compuesto
por las funciones
1
COS /IX
Vn'
y2;'
s~~~ (n= 1, 2, ... ).
r n
Sea f una íunción de L, (- n, n); sus coeficientes de Fourier.
correspondientes a las funciones l, cos nx y sen 11x, se acostumbra
designar con ~ , ª" y bn. Por lo tanto, de acuerdo con las
fórmulas generales para los coeficientes de fouri~r. tenemos
.
~
"•
1
2= 2n
jr f (x}dx, es
.
decir,
X
••
ª•=:t1 J
f (x)dx
-n
-~
y
a,,=-\_",. f(x)cos nxd.r,
'
¡¡
A
V
1 "
••
b,,= -n j\ f(x}sen11xdx.
-tr
11 .En el § 2 del cap. IX demostraremos el teorema de Fejér que constituye una genera lización del teorema de We!erstrass. Con ello daremos uria
demostración de la complftud del slstemá trigonométrico (dcm0$lración que
no se bau, claro está, en los resultados que aquí exponemos).
434
CAP. VIII, ESPACIOS DE r-UNCIONES SUMABLES
La serie correspondiente de Fourier es
00
~ + L, an cos nx+bn sen nx
n=l
y cualquiera que sea
función . Si
f EL 2
S,,= '; +
converge cuadráticamente hacia esta
Í. aAcoskx +bksen kx
k= l
c-s la suma parcial de la serie de Fourier, la desviación cuadrática entre Sn y f puede ser encontrada mediante la fórmula
I a•
n
\
k~I
I
llf (x)-S. (x)ll~ = li t 11'-n r i+ L a:+bl).
\
Entre todos los polinomios trigonométricos
n
T" (x) =~+ L, akcos kx+~ksenkx
k= I
con n fijo la suma parcial S,, de la serie de Fourier es la que
mejor aproxima (en la métrica de L 9 ) la fw1ción f. Para el sistema trigonométrico la desigualdad de Bessel da
..
~+ L,a~ +b~~~
n::l
"
1f'(x)dx.
- re
Como el sistema trigonométrico es completo, para cualquier función de L, tíene lugar, de hecho, la igualdad de Parseval
.,
1t
~ + ~>~+b~=+ Sf3 (x)dx.
n::rl
-re
Para cualquier función f EL, los cuadrados de sus coeficientes de
Foui:ier forman una serie convergente. Viceversa, si los números
a0 , ª"' bn (11 = l, 2, ... ) son tales que la serie ~ a~ + b~ converge,
la serie
"'
ª;+L..ª"
cos nx+b,.sen nx
n:I
también converge (en L.) y su suma es una función para la
cual a0 , ª• y b" son sus coeficientes de Fourier.
s 3. SISTEMAS OIHOGONALES oe FUNCIONES EN L,
435
Todo lo que se acaba de exponer. para funciones definidas en
el segmento [- n, n], se extiende fácilmente a funciones definidas en un segmento de longitud arbitraria, digamos en 1- t, IJ.
Si fes una función de cuadrado integrable en [-/, I], la susti111
·
t= n
lx . conv1er
• te f (t) en l a func1on
.'
· · x = T,
1uc1on
es dec1r,
f"'(x)=f': en el segmento [-n, :tj.
De acuerdo con esto
sf
s
1
a.=¡1
111(f
{t)cos· 1-dt
-1
y
1
l
b,. = ¡
nnf
f(t)sen T
dt.
-1
La serie de Fourier para una función
de longitud 2l es
f definida en un segmento
"'
ªº ' ~
1111!
!!Sil
2 , .L.,a,.cos c + b,.sen T .
·~ ·
Observaciones 1. La teoría de series trigonométricas fue elaborada, en gran medida, en las obras de J. Fourier, matemático
francés, relacionadas con sus investigaciones en la Física ¡\o\atemática y, en primer término, en la teoría de propagación del
calor. No obstante, las fórmulas para los coeficientes u,. y b,.
aparecen ya en los trabajos de Euler. Inicialmente los términos
«serie de Fourier», «coeficientes de fourier», etc., se relacionaban
precisamente con el sistema trigonomét rico ortogonal y solamente
mucho más tarde empezaron a usarse en ese sentido general en
el que Jos hemos empleado en el § 4 del cap. lII (esto es, para
un sistema ortogonal arbitrario en un espacio euclídeo cualquiera)_
2. De la complitud del sistema trigonométrico y de Ius teoremas generales demostrados en el § 4 del cap. 111 se desprende
que cualquiera que sea f EL, su serie de Fourier
"'
u + .L.,
"'" ª• cos n.:c + b,, sen nx
-f
n= l
converge en media hacia la función dada f. Pero, desde el punto
de vista de Jos problemas concretos del Análisis es importante
encontrar las condiciones en que esta serie converge hacia f en
otros sentidos, digamos en cada punto o uniformemente. Estas
cuestiones serán consideradas en el capítulo siguiente.
43G
CAP . VIII. ESPACIOS DE PUNCIONl!S St;MA Bl.ES
2°. S istemas
ciones
trlgonoméfri~
en el segmento [O,
nJ.
Las fun.
J, cosx, cos2x, ...
(2)
y
sen x, sen 2x, . . .
(3)
forman en su con junto un sistema ortogonal completo en el segmento [- :n:, :n:j. Probemos que cada uno de los sistemas (2) y
(3) es ort()f,'Onal y completo en el segmanto [O, tt]. La ortogonalidad se comprueba mediante el cálculo directo. De.mostremos la
complitud del sistema (2). Sea f una función de cuadrado integrable en [O, n] . Definámosla en el segmento (-n, O], tomando
f(-x) = f(x)
y desarrollémosla en serie de Fourier respecto al sistema
I, cos nx , sen nx
(n = 1, 2, ... ).
Como la función /, definida ahora en [- n, n.), es par, todos sus
coeficientes en los senos son iguales a cero; esto se ve inmediatamente de las fórmulas para los coeficientes: para una función
par f y r1 ~ 1 tenemos
:1
o
..,
) f (x) sen nx dx = ) f (x) sen nx dx ~ f (x) sen nx dx =
-~
+
-n
0
O
ti'
= -
:t
~ f (x) sen nx dx + ~ f (x) sen nx dx =
O.
o
o
En otras pa labras, esta función puede ser aproximada en media
en [-n, :n:] (y con mayor razón en [O, n)), con precisión arbi·
traria, mediante combinaciones lineales de los elementos del sis.
tema (2). De aquí se deduce la complltud del sistema (2). La
complitud en [O, n] del sistema (3) se demuestra análogamente,
prc;ilongando al semisegmento [- ;-i, O] la función f (x), definida
en [O, n], mediante la fórmula
f(-x)=-f(x).
La función obtenida de esta forma es impar en [- n, n]
y se desarrolla en este segmento en serle solamente respecto a
los senos.
3°. Forma compleja de la serle de Fourler. La serie trigonométrica de Fourier de una función f en el segmento [- :n:, :rt]
puede ser representada en una forma m<\s compacta, si se emplean
las fórmulas de Euler
cosn.\' =
tfm< +e - lnx
2
,
sennx =
eJnx-e- lnx
¡
2
S 3.
SISTEMAS ORTOGONALES DE FUNCIONES EN L,
437
Colocando estas expresiones en la serie de Fourier, tenemos
..
º• ~
~ ancosnx ·+bnsen .nx=y+
º•
z-+
..
11=1
~
(
+~
n.:l
a,.
elnx +e-lnx
2
"'
.,
n=l
n=i
.,
-- ª•2 + ~
ªn-ibn inx+ ""' a,.+tb,. -inx _
~
2 e
,,(....
2
e
donde c0 =
a
-f y para
~
,,(....
e,.e'·nx,
n;-1;;o
n~ 1
(4)
La expresión
se llama serie trigonométrica de Fourier en forma compleja. Los
coeficientes e,, de esta serie se expresan por las fórmulas (4) a
través de ª" y bn; sin embargo, es fácil obtener unas fórmulas
para poder calcularlos directamente. En efecto, el cálculo inme·
diato da
"
f O para n =f= m,
efnx .e- imx dx =
-n
l 2n para n -= m.
~
Luego, multiplicando la igualdad
f (x) ~
~ c,.eJnx
(5)
n : -OD
por e -im.y (m =O, ± 1, ± 2, . .. ) e integrándola, obtenemos
Jt
) f (x) e-lmx dx=2nc,..
-;'\
es decir,
r
1(
Cm =
2~
f (x)e-''""dx (m=O, ± 1, ±2, . .. ).
(6)
El desarrollo (5) subsiste para las funciones complejas de
cuadrado integrable en el segmento {-n, n]. En otras palabras,
438
oe
CAP. VIII . fSPACIOS
FUNCIONES SUMABLl!S
las funciones e;.," constiluyen una base del es¡>acio L, [-n, nJ
de funciones complejas con el cuadrado integrab e del valor absoluto en [ - n, re.). Además, las expresiones (6) representan los
productos escalares de f por e''"'' en este espacio complejo.
/ 11.:i
Está claro que, sustitu yendo e'"" por e T ", todo lo expuesto
puecle SC'r extendido al espacio t, (-l. l) de runciones complejas
en un segmento de longitud arbitraria 21.
4°. Polinomios de Legendre. Las combinaciones lineales de
las funciones
J. X, X', ....
(7)
consti tuyen el conjunto de polinomios. Luego, el sistema (7)
es completo en el espacio L~ de funci ones en un segmen to•>.
Ortogonalizando el sistema (7) en el segmento f- 1, !], es decir,
respedo a1 producto e.sea lar
l
([, g)= ~ f (x)g(x)dx,
_,
obtenemos un sistema orloi::onal completo
Q0 (x), Q, (x), Q~ (x), ... ,
donde Q., es un polinomio de grado n. Probemos que cada uno
de los polinomios que se obtienen al ortogonalizar el sistema (7)
coincide, salvo un factor constante, con el polinomio
d"
P,,(x) = dxn (x'-1)''.
Probemos que el sistema
<fk (x2-
dxk
l)"I
fPnl es ortogonal. Sea n ;;;i: m. Como
x• - t
= ~(x'-J)n 1
x•1
dxk
=0
para todos los k. =O, 1, ... , n- 1, obtenemos, integrando por
partes,
'
1
S
P,. (x) P,,(x)dx=-
-1
d"'+'
d"-'
~(x'-1)"' ttxn- • (x'- 1)" = ...
S
-l
l
dl11+1'
•· · = (-1)" Sttxm+n(x' - l)"'(x'-l)"dx.
-·
(8)
11 La complitud del sistema de polinomios en el espacio l~ [a, b) de
funciones de cuadrado integrable en un segmento cualquiera [a, b] se desprende del teorema de Welerstrass sobre la aproximación uniforme de cual·
quier función continua en un segmento mediante polinomios. Véase el final
del § 2 del capitulo IX .
S 3. SISTEMAS Ol!TOOONALES DE FUNCIONES EN
L,
439
Si m < n, bajo el signo de Ja última integral figura el cero
idéntico y de aquí se desprende Ja ortogonalidad del sistema
{P,,}. Además, está c laro que el polinomio P., es de grado n, es
decir, todo P,, se encuentra en el subespacio generado por los
n+ 1 primeros elementos del sistema (7). Luego, tanto el sis~ema
{P.,!, como el sistema {Q,,}, poseen las propiedades siguientes:
1) ortogonalidad,
2) el r.-ésirno elemento del sistema pertenece al subespac.io
generado por los elementos 1, x, ... , l."'- 1 •
Pero cada elemento del sistema queda determ inado por estas
propiedades uní vocamen te, salvo un factor constante (teoren::ia 1
del § 4 del cap. Ill).
En el caso m = n la igualdad (8) lleva al resultado siguiente
1
1
('el""
S
PHx)dx= j dx'"(x'- l)•(x'-l)''dx=
- l
-1
r
l
=(2nl).) (x• - l)"dx =
(n1)!.2!n+ •
2n+I
•
-l
En otras palabras. la norma del polinomio P,. es igual a
ni 211
y if
V2n+1 .
Por lo tanto, el sistema de polinomios
ademAs de ser or togonal, es también normal.
En lugar de estos poi inomios normali zado~ suelen conside·
rarse los polinomios definidos por la fórmula
L,, (x)
OD
ni 12"
¿: (x' -
J)"
llamados polinomios de Legendre. De los cálculos realizados se
deduce que
1
5
_
f
Ln (x) Lm (x) dx = ~
O para n .,,Pm,
2
l 2n+ I para 11 = m.
Señalemos en forma explicita
los cinco primeros polinomios
440
CAP. VIII. F..Sl'l\CIOS 01! l' U NCIO NF.S St:MAll Ll!.S
de Legendre:
l, (x}=}x• - ~,
L 0 (x)= I, l,(x) = x,
L, {x) =
~-x•--}x, L, (x) =- ~x• -- 1J x•
+i .
El desarrollo de una función f en el segmeo lo [- 1, l )
pccto a los polinomios de Legendre es de la forma
re~­
"' cnl,, (x),
l (x) ~ ~
n= o
donde
211
e,,= -
.1.. 1
2
-
l
¿r 1(x) L,. (x) dx.
- 1
5°. Sistemas ortogonales en productos. Suies múlt iples de
Fourier. Sean defínidas en los conjuntos X' y X" las medi·
das µ' y ~l·. Designemos mediante L; y L; los espacios corres-
pondientes de funciones de cuadrado integrable. Consideremos
en el prod uc to
X=X' xx·
la medida
µ=µ' x µ·.
Designemos mediante L, el espacio correspondiente de funciones
de cuadrado integrable. Interpretaremos las funciones de L. como
funciones de dos variables.
Si f!J>ml y /11>,.} son sistemas ortonormales de L; y L;,
respectivamente. el sistema de todos los productos
f ,,.n (x, Y) = q>.., (x) 1i'n (y)
1 es un sistema ortonormal ccmple/o de L,.
La demostración de ortonormalidad es muy sencilla:
n :o iiEM,, 1.
l.
Sf~n (x, y)dµ = Sq>~(x) (.} ij>~ (y) dµ.• )dµ' = l.
x
x·
2. Si m :t= m., tenemos
~ f mn (X,
x·
Y) f m,.,, (X, y) dµ. -
S
(S
= 'llo (y) 1Pn, (y) 'l>m (x) q>., (x} dµ' ) dµ " =O.
x·
x·
1
S 3. SISTEMAS ORTOGONALES DE F UNCIONES EN 1..,
¡
441
3. Si m = m,, pero n.-p ni, tenemos
f mn (x,
y) f.,,,.,(X, y) dµ =
=
5. q>~ (x) (J. 'iln (y) 'l>n,
(y) dµ' ) dµ' = O.
Probemos Ja complitud del sistema lf,,.n}· Supongamos que
en l 2 existe una función f ortogonal a todas las funciones f,.,,.
Tomemos
F,,.(y) =
Sf(x, y)q>.,(x)dµ'.
X'
En este caso, cualquiera que sea n,
_¡F,,.(y)'!',,(y)dµ'= if(x, y)f111.(x, y)dµ = O.
Debido a la complit ud del sistema N>nl• de aqul se desprende que
Fª (y) = O
para casi todo y. Luego, para casi todo y tienen lugar las igualdades
S
f (x, y) Cfm (x) dµ' = O
x·
cualquiera que sea m. Debido a la complitud del sistema {cp.,),
obtenemos de aqu í que para casi todo y ei conjunto de aquellos
x en los que
f (x, y)=f:.0
es de medida nula. En virtud del teorema de Fubini, esto significa que la función f (x, y) es igual a O en casi todo el X. El
teorema queda demostrado.
Apliquemos este teorema a algunos sistemas ortogonales concretos. En el espacio de funciones de cuadrad o integrable de dos
variables
f(x , y)
(-n:;;;;x:;;;;n, -n<y<n)
constituyen un sistema ortogonal completo los productos de dos
en dos de los elem entos de los sistemas:
J, cosmx, senmx
(m ""' l, 2, ... )
I, cosny, sen ny
(n = l, 2, ... ),
y
442
CAP . VI 11. 1; sPACIOS DE FUNCION ES
su~~ABLES
es decir, las funciones
l, cos mx, sen mx, cos ny, sen ny, cos mx sen ny,
cos mx cos ny, sen mx sen ny, sen mx cos ny.
La expresión de la serie correspondíen te de Fourier es, en cierto
grado, voluminosa y por eso conviene recurrir a(1UÍ a las funciones exponenciales de argumento imaginario, esto es, a las
funciones
A esta base corresponde la serie de Fourier
j (X, y)=
donde
s s" f
n
C,.nei(tn.< +11y'.
!IO
:'(
= 4~·¿
c..
..
:E
n, m=-
-st
(x, y) e -
/(m .<+ ny) dx dy.
-n
Empleando los polinomios de Legendre, podemos obtener en el
espacio de funciones, definidas en el cuadrado
-1~X~1,
-1 ~ y <, 1,
un sistema ortonormal completo '.compuesto por los polinomios
Q'"'' (X, Y) =
V<2m+l)(2n + l) d"' {,
ml ni 2"'+ .. ·•· 1
di<;;¡ x· -
I)"' d" (a
l)"
d¡jñ Y -
·
Todo lo expuesto se extiende, de manera obvia, a las funciones
de varias variables. En particular, la serie trigonométrica de
Fourier para una función de k variables es
..
/(X¡. . .. , X~) ==
~
C11,ri-1 .. n "e~ (11,x,+ . .. +nk.~.ir> ,
n, , ...• n1;s-oo
donde
-1 en, ... n• - (2n)k
'
s
St(x,,
_ ,,
-n
n
.. .
"
.. •'
Xk
)e-l(n,x,+ .. . -tnkxk>dx
l
. . .
dx~.
6°. Polinomios ortogonales respecto a un núcleo dado. Hemos
llegado a los polinomios de Legendre ortogonalizando las [unciones
1, x, x2 , •.. ' X 12 ' • ••
(9)
respecto al producto escalar
l.
~ f (x)g(x)dx
- 1
t 3. S ISTEMAS ORTOOONALES DE PUNCI ONES EN l.,
443
correspondienll! a la medida habitual de Lebest,<ue en el segmento (-1, 1). Si se define en este segmento otra medida µ,
satisfaciendo la condición de que las funciones (9) sean linealmente independientes en el espacio correspondiente, obtendremos, aplicando al sistema (9) el proceso de orlogonalización.
un sistema de polinomios ~P,.} que depende, en general, de la
selección de la medi<la ~l. Supongamos que la medida µ(E) está
definida para los subconjuntcis medibles del segmento (-1 , l ]
mediante la fónnula
~l(E) = ~ g(x)dx,
(10)
E
donde g es una función sumable
la condición de ortonormalidad
( p ,.. p n) =
{
no'
negativa fíja. En esfe caso,
1 para m = n,
O para m*11,
es de la forma
f 1 para
('1.
J,pm (x) P,, (x) g(x)dx= \ O
para
-
111
= n,
m+ 1t.
( 11 )
La función g, que define la medida (10), es llamada núcleo o
función de peso. Por esto, los polinomios que verifican la condición (11) se dicen ortogonales respecto al nücleo g. La selección de uno u otro núcleo lleva a diferentes sistemas de polinomios. En particular, tomando
1
g (x) = JÍ 1- x• '
obtendremos unos polinomios que coinciden, sa lvo un coeficiente
constante, con los asi llamados polirwmws de Chébishea que se
definen mediante la fórmula
Tn(x)=CDStLarccosx (n= l. 2, ... )
y desempeñan un papel importante en diferentes problemas de
interpolación.
La ortogonalidad de estos polinomios respecto al núcleo
1
,r
se comprueba fácilmente. En efecto, tomando
r 1- x·•
x=cosO, dx = - sen0d0, V l - x'-senO,
c.w.
444
VIII. 1'Sl>/\C !OS DE F UNC:IONES SUMA13LES
encontramos
.
•¡
1
7t
T,,,(x)T,.(x)dx=
y¡ -
x•
\'cosm0cosntld0=ll
.
mn
o
-1
para n=m
=-'1O1 para
rr;f=m.
7°. Base ortogonal en el espacio L , (- oo, oo ). Funciones de
Hermite. En lo que precede hemos considerado d iferentes sistemas
ortogonales completos en un segmento, esto es, en un conjunto
de medida finita. Consideremos ahora el caso de medida infinita
y concretamente el espacio L. (- oo, oo) de funciones de cuadrado
integrable en toda la recta numérica. Un sistema ortogonal de
funciones de este espacio no se puede construir ni a partir de
polinomios ni a partir de funciones trigonométricas, ya que todas
e.~tas funciones no pertenecen al espacio L i(- oo, oo). Los «materiales» para construir una base en L, (- oo, oo) hay que buscar·
los entre las funciones que decrecen suficientemente ráp ido en el
infinito. Probemos que se puede obtener un sistema ortogonal
completo en L , (- oo, oo ) ortogonalizando la sucesión
.<'
x"e-T
(n=O, 1, 2, .. . )
En efecto, toda función de tipo P (x) e- x•:2 , donde P es un polinomio, pertenece, evidentemente, a L, (- oo, oo). Además, el
conjunto de estas funciones es siempre denso en L, (- oo, oo)
(esto será demostrado en el § 4 del capítulo 1X).
Aplicando a las funciones x"e- x'/2 el proceso de ortogonalización, obtenemos el sistema de fu nciones de tipo
'Pn(X)=Hn(x)e-x'/ 2
(n=O, l, 2, ... ),
donde Hn es un polinomio de grado n. Estos polinomios se llaman
polinomios de Hermite y las propias [unciones <i'n se llaman
fuilcion.es de Hermite. Es fácil mostrar que los polinomios de HermHe coinciden, salvo un coeficiente constante, con los polinomios
H • (x) = ( - 1)"e'' d•e-x'
n
dx"
·
En efecto, el polinomio H~ es, evidentemente, de grado n. La
relación de ortogonalidad
..
~ H; (x) H';,, (x) e-x• dx =O
(n ;/= m)
' 3. SISTEMAS ORTOGONALES DE FUNCIONES EN L,
445
puede ser comprobada directamente integrando por partes. Pero,
debido al corolario del teorema sobre la orlogonalización, existe,
salvo un coeficiente constante, solamente un sistema de funciones
ortogona les de tipo P,,(x)e-"'12 , donde P,. es un polinomio de
grado n.
El resultado obtenido puede ser interpretado también de la
siguiente forma. Consideremos en la recta la medida µ de densi·
dad e-x•, esto es, tal que
dµ = e- -<'dx.
Esta es una medida finita en la recta. En el espacio de funcio·
nes de cuadrado integrable respecto a esta medida en la recta el
producto escalar tiene la forma
...
({, g) =
)
f (x) g (x) e-"' dx
y lo$ polinomios de Hermite forman en este espacio un sistema
ortogonal.
Consideremos también el espacio L, (0, oo) de funciones de
cuadrado integrable en la semirrecta. Tomando en este espacio el
sistema de funciones
x"e-x
y ap licando a ~ste el proceso de ortogonalización, obtenemos el
sistema de funciones
Ln (X) e - -~
llamadas funciones de LAguerre.
Los polinomios correspondientes L., se llaman polinomios de
Laguerre. Los polinomios de Laguerre pueden ser considerados
como una base or togona l en el espacio de funciones de cuadrado
inte~rable en la semirrecta (O, oo) con la medida
dµ = e-·' dx
en esta semirrecta. En el § 4 del cap. 1X demostraremos que el
sistema de funciones de Laguerre es completo en L, (O, oo ).
8°. Polinomios ortogonales respecto a un núcleo discreto. Supongamos que a n + l puntos diferentes x 0 , x,, .. . , x,, de la recta
real se les han prescrito, a título de núcleo, unos números positivos p~, p, • . .. • p,, y que Ja medida µ está definida por
µ(E) =
l: P¡,.
"~~ E
-t4(i
CAP . VII I. F. SPAClOS Dll FUNCIONE$ SUMABLES
es decir, la medida µ(E ) es igual a la suma de los núcleos de
Jos pun tos xk pertenecientes a E . En e.sta «medida degenerada»
torlo conjunto E que no contiene puntos xdk = O, l, ... , 11) es
de medida O. Luego, Ja integral de una función f en toda la
recta real es igual a
Es obvio que las funciones f y g serán equivalentes respecto a la
medida µ cuando
f(x,.)=g(x~)
en lodos los puntos x0 , x" ... , x,. y solamente en este caso.
Para este caso degenerado el problema sobre la mejor aproxima·
ción en el sentido de Ja distancia de L, se reduce a buscar las
sumas
que ofrecen el mínimo a la expresión
es decir, al problema de «interpolación por el método de cuadrados mínimos».
Chébishev fue el primero en desarrollar, partiendo del problema de interpolación por el método de cuadrados mínimos
mediante polinomios
c0 + c;x + c,x• + ... -:- c"'xm
de un grado dado m, la teoría de polinomios ortogonales.
Para exponer los resultados de Chébishe11, relacionados a
este problema, observemos que respecto a nuestra medida µ el
sistema
1t
X, X2 ,
••• ,
X''
es linealmente independiente ya que el producto escalar (x', x·' )
viene dado por la fórmula
11
(x', x') = ~ p~xr,+s
k=O
( 12)
f 3. SISTE.'•l!IS ORTOOONALES DE FUNCIONES EN L ,
441
y el dete.r minante de Gram del sistema (12) es (las sumas son
respecto a k desde O hasta rt):
~p~
~ pkxk l; p.X:
~p. . x.., ! P~l
~ P.1txl
· · · ~P.-~~
. .. ~ p..,x~ + 1
~ p.x~ ~ p.,x~H ~ P.t~u · · · ~ P~ln
VPo VPi
VP..
VP:h VP.x, . . . VP,,x.
1
2
:;i<O.
X~
X": ...
X~
Al contrario, para r > n las potencias x' dependen linealm<>n te
de las funciones del sistema (12) ya que L, es, en nuestro caso,
de dimensión 11 + l . Por lo tanto, el proceso de ortogonalización
llevará a un sistema finito de polinomios
P 0 , P, • ... , Pn,
ortonormales en el sentido de que
0~ pkP, (x~) P, (xk) = 6,s,
y cada función
f se desarrollará en una serie fin ita
n
f ~ ,~ c,P,,
donde
l', =
i;
k• O
p¡,,P, (xk) f (x.).
En los puntos x. se cumplen las desigualdades
f (x,.) =
•
~· c,P, (xk)
,-;j¡
(k = O, 1, ... , 11),
4.¡,c¡
CAP. V 111 . l!SP,\CIOS DE l'L• '."CIO!l:l?S SlJ.\\,\DLES
es decir, 111 suma de la ser ie e.s simplemente el polinomio de
interpolación de Lagrange. Las sumas incompletas
Q,. =
S"' c,P,
,"';:1¡
(111
<
11)
ron polinomios de graclo m que mejor aproximan f en los puntos
x. en el sentido de que l a expresión
es menor para Q,. que para cualquier otro polinomio del mismo
grado
111 .
CAPITULO
IX
SERIES TRIGONOMETRICAS.
TRANSFORMACION DE FOURIE.R
§ l. CONDICIONES DE CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURtE R
1°. C.Ondiciones suficientes de convergencia de la serie de
Fourier en un punto. Consideremos de nuevo el espacio L, {-n, nJ
de funciones de cuadrado sumable en el segmento [ -n, nJ. Como
se ha demostrado en el cap. VIII, es un espacio euclídeo completo de dimensiones infinitas, esto es, un espacio de Hilbert.
Las funciones
1, cosnx, sen ti,~ (n= 1, 2, .. . )
( 1)
forman en él un sistema ortogonal completo, de manera que
para toda función f EL, [ - :r, n] la serie de Fourier
(2)
donde
a,.=* S" f
-:r
(x)cosnxdx,
bn=* S"
f{x)sen11xdx,
(3)
-n
conv~rge hacia f cuadráticamente, es decir, en fo métrica del
espacio L, [ - n, n}. Sin embar:go. desde el punto de vista de
aplicación de las series de Fourier a los problemas de la Física
Matemática y a otras cuestiones, es importante determinar las
condiciones en las que se puede garantizar no sólo la convergencia
media de la serie de Pourier hacia f. sino también la convergencia
en un punto dado, en todos los puntos o, incluso, uniforme.
Determinaremos ahora las c9ndiciones suficientes para la conver·
gencia de la serie trigonométrica en un punto dado. Hagamos
unas observaciones preliminares.
IS ~• 21so
450
CAi'. IX. S ER IES TRI GONOMETRICAS. TRANSFORMACION DE FOUIUER
Ante todo, en vez de hablar de funciones definidas en el
segmento ( -n, nl, podemos hablar de funciones periódicas de
período 2n en toda la recta, ya que cualquier función definida
en un segmento puede ser prolongada periódicamente. Observemos, además, que, por ser acotadas las funciones que constituyen
el sistema trigonométrico, las fórmulas (3). que deíinen los coefi·
cientes de Fourier respecto a este sistema, tienen sentido para
cualquier función sumable'1 (y no sólo para las funciones de cuadrado
suma ble). Luego, a toda función f E L. /-11, n] corresponde el
conjunto de sus coeficientes de Fourier y su serie de Fourier
f (x) ~
.
ª; +L an cos nx + bn sen
1ix.
ra : I
Pasemos ahora a examinar el problema acerca de la conver·
gencia de esta serie en un punto dado x hacia el valor de la
función f en ese punto. Tomemos
S.,(x)
=~+ f. a_.coskx+b.senkx.
....
(4)
Transformemos primeramente Sn(x) sustituyendo en (4) los coe·
ficien tes a. y bn por sus expresiones integrales (3). Designando
la varia ble de integración con t obtendremos
s. (x)=..!..:t. ~~ f (t) {++
11
±
coskx cos fd +sen kxsen kt} di=
l(a l
=~
f f (l) {++ f."ª •cos k(t-x)}
dt.
-Jt
Empleando la fórmula bien conocida •l
1
2 +cosu+cos211+ , .. +cosnu =
2n + 1
sen-ru
2sen
11
11 En este caso, claro está. no hacemos ninguna 3fírmación acerca
la convergencia de la serle (2) para una función sumable cualquiera.
" Para obtener esta fórmula basta sumar las Igualdades
u
l
u
· 2 sen .
sen 2 =
2
sen
3u
2
11
2 - scn 2
211 + 1
=cosu·2 sen
2n-1
(f>)
2
u
2',
u
sen -r"" u-sen--r u=oos nu ·2 sen '2.
re
~
1. CONDICIONES DE CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURIER
encontramos
1
Sn(x)=n
r
"
J f (t)
-n
451
2n+l
sen -2-(1-x)
(6)
dt.
t-x
,2 sen,--
Tomemos t-x=z. Teníendo en cuenta que bajo el signo de
la· íntegra! (6) figura una fundón periódiaa de periodo '2n, de-'
manera que. su integra·! en r cualquier segmento dé lontitud .2it··
tiene el mismo valor. ~~podemos · con:sei;var1 al .realizar la integra··
ción respecto a .z, los mismos extremos -n y n·. ·Tendrémds
0
"
~
1
S,.(x) = - 11
2n+l
f(x+z)
sen-2-
z
2 sen~
2
•
-n
dz.
La función
'
es llamada núcleo de Dirichlet. De la igualdad (5) se desprendt!
inmediatamente que cualquiera que sea n
:t
) D,.(z)dz = 1
-n
Empleando este resultado, podemos representar la diferencia
S,. (x)-f (x) en la forma
"
\
1
S.(x)-f (x) = 2n
2n + I
J [f (x + z)-f (x)J
_,,
.
-
sen-2- i
z
dz .
sen
(7)
2
De esta forma, hemos reducido .el ¡?roblema de . la .convergencia
Sr
de
(x) hada l (x) al problema · de la convergencia de la integra (7) hacia el cero. El estudio de· esta integral se basa en
el lema siguiente.
LEMA.
l
15•
Si q> es una función sunwble en el segmer1to (a, bJ, entonces
b
'
lim ~ q> (x) sen px dx =O.
p ... •
a
452
C.W . IX . SERIES TRIOONOMETRICAS. TRANSFORMACION DE FOUIUER
Si (j> es una función continua diferenciable, tenemos, integrando por partes, (para p -• oo)
Dl!MOSTRACJ ON.
b
b
5
(p(x)senpxdx= -(p(x) cos;x
1:+ 5
qi' (x)
cos;"-dx -+ O.
(8)
a
4
Sea ahora 1¡> una función
funciones continuamente
polinomios) son siempre
e> O existe una· función
sumable arbitraria en [a, bJ. Como las
diferenciables (incluso solamente los
densas en L, (a, b], cualquiera que sea
continuamente diferencia ble q¡, tal que
~
Sl 'P (x)-q¡, (x) 1dx <f.
(9)
a
Tenemos
1~ <p (x)sen px dx 1~ 1~· [cp (x)-q>, (x)] sen pxdx 1+
+1
J
qi,
(x) sen px dx I ·
f,
Aqui el primer sumando del miembro derecho es menor que
en
virtud de (9), y el segundo sumando tiende a cero para p ·-+ oo,
debido a (8). El lema queda demostrado.
Es fácil demostrar ahora el siguiente criterio suficiente de
convergencia de la serie de Fourier.
TEOR,EMA 1.
Si
f es una función sumab/e y para x
fijo existe la
integral
s
6
f(x+t1-f(x)dt
(10)
-ó
»o.
sumas
f amf./é;get;i en este
para algún. valor de l5
de . Foliriét , de la función
DEMOSTRACtON.
'las
parciales S,. de la serie
punto x hacia f(x).
La integral (7) se puede escribir en la forma
..!. ~" f(x+z>-f (x) _ _z_sen 2n+ l
n
z
:
2
2 sen
2
_,,
z dz.
(1 1)
§ l. CONDICIONE S DE CONVERQllNCIA DE LA SllRIE OE FOURlllR
453
Si la función
f (x+z)-f (x)
z
es integrable (respecto a z) entre-B y 6, también es integi:able
en todo el segmento [-n, nJ (ya que fEL 1 [ - n, n)). Luego,
es integrable también la función
/(x + i)-/(t) , _
z
_l _ .
z •
2 sen -2
por lo tanto, se puede aplicar a la in:tegr.al (11) el ·lema·'demostrado, obteriiendo así que esta integral converge · a cer.o •para ·
11-- oo. El teorema queda demostrado.
Observación 1. La condición de la existencia de la integral
(10) es conocida como condición de DiJ1i. Ella se cumple, en
particular, cuando la función f tiene en el punto dado x derivada
finita o, por lo menos. derivada a la izquierda o a la derecha.
Los razonamientos realizados al demostrar el teorema 1 son
\'álidos asimismo. si, en vez de la condición de Oini, se exige
la existencia de las dos integrales siguientes:
s
fl
.
f(x ·l·z)-;f(x--0) dz
Y
5f (x-1-z);/(x·l·O) dl,
h
(l 2 )
o
donde f {x- 0) y f (x -t O) son los limites a la izquerda y a la
derecha, respectivamente, de la íunción f en el punto x (se
supone que x es un punto de discontinuidad de primera especie
para {). En efecto, considerando la diferencia
-b
S.(x)- f (x + OH/(x-0) ,
que puede ser representada en la forma
o
1
:1
~
211 + 1
lf (x +
5en-2-z
z)-f (x-0))
2 sen
-.,
"
2
dz
+
2
+~) 1/1>+')-/(.<+0)J
tS•Nt
~ I SO
2t1 + I
S«u-- z
2
z
dz,
2sen
2
4i&-f
CAP. U.
~~lllES TR!GONO~IETRICAS. TRANSl'ORM ,\C~ON
DE 1'0 \J W!llt
vcmo;, que si existen las in l egr~les ( 12), esta diferencia ti ende a
cero paran - oo . De aquí se obtiene el teorema siguiente sobre \.as
condiciones suficien tes de convergencia de la serie de Fourier,
que suele darse en tos cursos de ~nál\sis.
Supongamos que fes w1a función acotada de_ ~riodo 211. qut
tiene solanunte disamtirtuidades de prinwa especie y suf)Ollganws
qUl! f (XJsee. en cada punto derir.JaDas a La izqul.uda y a La derecha .
!":;;::~ s;(xS::~ ~~ :º~~/: ;;n:~::~oo; :11;'!+.«)r/ ,~u~n~
en los pu11 /M de discontinuidad
Observac ión 2. El núcleo de Dirichlet D~ (z), que ha desem·
\leñ ado un papel fundamental en nuestros razonamien tns, es una
función que toma l'll el punlo z_.Q el valor~ y que oscila
rápidamente para valores grandes de 11 {fig. 23). El sentido do! I
teorema demostrado m:is arriba consiste en que p1m:i una función f.
que sal\slace en un punto dad o x la condic ión de Dini, el apar te
funda m ental para grandes11 e-n la integral
corresponde sólo a una peq ueña Vl!:Cindad del punto x, cuyas
dimmsiones tienden a cero para n--,.oo. Se puede deci r que los
núcleos de Dlrichlet D~ forman una ,~ucesi6n de funciona les que
converge debilmen te hacia la 3·func16n en el conjunto de fun·
ciones f que pueden ~r dCAArrol ladas en serie de Fourier.
i 1. CONDJCIO:-:ES DE CONVERGENCIA DE LA SERIE DE'_FOURIBR
4S5
Está claro que la sucesión (Dn} no converge hacia ningún límite
en el sentido habitual de convergencia de funciones y es por esto
que no hemos podido aplicar al estudio de la integral (7) los
teoremas típicos sobre el paso al limite bajo el signo de la integral.
Observación 3. Lá condición de Dinl que garlntiza la conver·
gencia de la serie de Fourler puede ser sustltuida por otras condiciones; pero, no puede ser simplemente omitida en el teorema 1. En
efecto, incluso entre las funciones continuas e,xisten ,funcioi:ies tal~
que su serie de Fouríer diverge en .algunos puntos. . ~11tr~ 1.as
funciones suma bles existen tales qµe J~ serie ~rresl?2h(He.nte Ae
Fourier di~erge en todo punto..,,(A;:;".í,, ~olrnc;>gq_r;qv). ".~•.:,ett t~J5
N, N, Luzin planteó el problema &1gu1ente: ¿~x1~ten ,ert ~. Jµn.~.
ciones cuya serie de Fourler diverge en un cónjun'tó de medida
positiva? Como lo ha demostrado Carleson (en 1966) tales íunciones no existen,
La existencia de funciones continuas para las cuales la serie
correspondiente de Fourier no converge en lodo punto se desprende
fácilmente de los teoremas generales sobre la convergencia débil
de iuncionales. Observemos, ante todo, que
"
) 1 Dn (z) 1
dz ~ oo para
oo.
11 -
(13)
Efectivamente, el numerador de la fracción
1D,. (z) 1=
1 2n + -z
I 1
¡sen2
I
2
2nlsen2
1
es igual a 1 en los puntos en los que
2n + I _r ,
1\
k
~ z - \'l +
(14)
2 ) n , = 0 , 1, . . . , 11.
Construyamos alrededor ele cada uno de los puntos z, definí·
dos por la condición (14), el intervalo
2n +1
2k+ 1 ¡
- 2- z- - 2
-nl
l
< 3n
(15)
·
La longitud de cada uno de estos intervalos es, evidentemente,
1
igual a 3 ( 2:~ !). En cada uno de estos interva!os,
i.
lsen2nt zj
1-
es no menor que
Estimemos Ja magnitud de sen en estos
mismos inlervalos. Tenemos
, .n ) ( 2n + 1)- ' < k+ I
· ·n z .-- z < 1 f 2k -j- I
~t: '.f ' 2
2 \ -2- ll 03, \ "'"°2,
2n+ I n.
1s••
456
CAP. IX . SERIES TRIOONOMETR ICAS. TRANSFOR.•IACI0:-1 OE FOIJl{tER
Luego, la integral de 1D,. (z) ¡, tomada sólo respecto a Jos intervalos definidos por la condición (15), es mayor que la suma
Esta suma tiende a oo para 1i----. oo. De aquí SI! deduce ( 13).
La relación (13) significa que las normas de las funciones D., no
están acotadas en su conjunto eo el espacio de [unciones conti·
nuas. Pero, entonces, en virtud del teorema sobre la convergencia
débil de funcionales, esta sucesión no puede converger débilmente
en el espacio de funciones continuas, esto e:;, ex:iste una función
continua f para la cual no exisle
1t
lim ~ D,, (x) f (x) dx.
n-• -n
2°. Condiciones de convergencia unitonne de la ser ie de Fourier. Hemos encontrado las condiciones suficientes para que la
serie de Fourier de una función f converge en lodo punto. La
clase de funciones que satisfacen estas condiciones es muy amplia:
incluso la condición de continuidad de la función no es necesaria
para poderla representar como la suma de una serie trigonométrica que converja en todo punto. La situación resulta distinta,
si nos interesamos por las condiciones de la convergencia uniforme
de la serie de Fourier. Esta claro que si la función /(x) tiene al
menos una discontinuidad. su serie de Fourier no puede converger uniformemente hacia ella ya que la suma de una serie uni·
formemente convergente de funciones continuas es siempre una
función continua. Luego, la continuidad es una condición necesaria
(pero, no suficiente, por supuesto) para la convergencia uniforme
de la serie de Fourier.
El teorema siguiente ofrece una condición suficiente sencilla
para que la serie de Fourier converja uniformemente.
o R 1! M. A 2. Si u11a funci611 f de periodo 2n es absolutwnenfe
continua y la deritlada de f pertenece a L, f- :t, n], /a serie de
TE
Fourier de la función
1 la recta.
f
converge hacia
f
urtíformeme1ife en toda
Designemos mediante a~ y b~ los coeficientes de
Fourier de la función f'. Como f es absolutamente continua, se
OEM.OSTRACION.
f
l.
457
COKOICJONES DE CONVl!ROl!NCIA DI! LA SERIE DE l'OUltrE:R
puede aplic1:1r a la integral
a., = *
S" f (x)cosnxd.x
-JT
la fórmula de integración por partes. Obtenemos
I<
a,,= _.!_
:l.
Sf (x) cosnxdx =
-:t
=-n1 f (x ) sen
- n n.t
-
sf' ( )
I"
.
~
x sennx dx
1
--11
nn
,
bn
=- n
-11
y análogamente
l
n
,,
o•
J
_,.
_..!!_ •
b,. = - 1 f (x) sen 11x dx =
n
n
Luego,
f
.......,
n =l
La serie numerica
lan l+lbu I= .._.
f l b~TI I + l a~n I .
{16)
n~ I
..
l ~l + L l a,.1 +l b,, I
(17)
n~ I
es. evidentemente, una mayorante para la serie de Fourier de la
función f. De (16) se desprende que la serie ( 17) converge•>.
Entonces, por el criterio de Weierslrass. la serie de Fourier de
fa función f converge uniformemente. Queda por demostrar que
la suma de esta serie es f. Sea q> la suma de la serie de Fourier
para la función f. En tal caso q¡ tiene los mismos coeficientes
de Fourier que tiene f. Como ambas funciones son continuas, de
aquí obtenemos que f = qi.
La condición de convergencia uniforme de la serie de Fourier
de una función f puede ser enunciada en una forma análoga a
la condición de Dini, a saber:
11
En declo
cltsigualdad
d~
'
1b~1
_.!_) '
n ...: _.2!_ ( b~· + n•
..
donde
Bessel. Análoga mente para
~"' b~· < ""
~
n- 1
1 ª~11 1 .
debido a lu
458
CAP. IX. SERIES TRIOONOMETIHCAS.
TllANSfOR~HC IOfl:
OE FOU IH E R
Si f es u11a función sumable acolada en un. conjwlfo Ec:[-n, ni
y la condición de Dirti se cumple en E wriformemente, esto es, para
todo e > O existe un. 6 > O tal que
6
\ l /Cx+z)-/(x)l dz < e
rzl
- "6
simultáneame11te para todos los x E E , la serie de Fourler de fu fu11·
ción f oonverge uniformemente en E hacia esta fu11ción.
La demostración de este teorema se basa en el lema siguiente
que constituye una acentuación del lema demostrado en la
pág. 451.
Si B es u11 conjutito de funciones suma bles compacto en la
métrica de l, [- n, nj, e11to11ces, cualquiera que sea e>: O existe
un N = N {ti) tal que
f
1 f (/) sen
>.t dt
1<
t:
para i, ;;;;. N (e) y para todas las f E B a la uez.
Para demostrar et lema tomemos en B una
qik y escojamos N de manera que
l~q>¡(t)seni./dl ,< f.
f -red finita cp,.
i =I, 2, .. ., k, para /, ;;;;.N.
Si ahora f es una función cualquiera de B , tenemos para cierto i
11/-cpdl< i
y..
co_nsecuentemente,
1Jf (t ) sen/,,/ dt
1 ~1 fq> (/)sen ,,t di 1+1 ~ (f-q>
1
1)
sen 1-.t dt
1< e..
Esto demuestra el lema.
La aplicación de este lema a la demostración del teorema 2
se basa en que, como es fácil de demostrar, el conjunto de funciones
Cfl.r (/) = / (x+ I) - / (x)
1
es compacto.
§ 2. TEOREMA DE FEJER
459
Hasta aqui hemos hablado de funciones de!ínidas en el segmento [- n, n]. Está claro que todo lo expuesto puede ser extendido automáticamente a las funciones definidas en un segmento de una longitud arbitraria 2l.
Además, también en el caso de varias variables independientes
se pueden enunciar tanto las condiciones suficientes para la convergencia de la serie de fourier en todo punto como las condiciones de Ja convergencia uniforme de la serie de Fourier-. No
vamos a detenernos en estas condiciones.
' § 2. TEOREMA D_!o FE.J ER
1º. Teorema de Fejér. Sea f una función continua en la recta
de período 2n. Esta función se determina univocamente por su
serie de Fourier
,.
ª•
~ ª• cos n:c -~ b,. sen n:r.
(1)
\( 1- ~
,,
En efecto, si f, y f t son dos funciones continuas que tienen Jos
mismos coeficientes de Fourier. entonces f, - f, es una función
..
continua igual a cero en casi todo punto, es decir, idénticamente
igual a cero. Sin embargo, como la serie de Fourier de una función contínua no es necesariamente convergente, no podemos
obtener la función f sumando directamente su serie rle Fourier.
Un método de reconstrucción de una función continua a partir
de su serie de Fourier ofrece el teorema que damos a continuación. demostrado por Fejér en 1905.
Sea
k
S,(x) --
~+ La¡cos jx ~ b¡sen /x
(2)
i• l
la suma parcial de la serie de Fourier e.le la función f. Tomemos
a (x)=So(x) + S,(x) 7 ... + s.,_,(K).
(3)
"
/1
Las medias aritméticas on de las sumas Sk se lf¡¡man sumas de
Fcjer de la fu nción f.
(Fejér). Si f es una f unció1i co11linua de periodo 2~.
la sucesión {o.} de sus sumas de Fe/ér co1werge hacia f uni-
Ti::o~EMA 1
1 formem1.'11fe en toda la recta numérica.
IHiMOSTRA~JON . Emple~mos la representación integral (6), obtenida
en el paragrafo anterior para las sumas parciales de la serie d~
46-0
C.·lf' IX . SER !llS TR IGONO,\I ETRICAS. TRANSl'ORMACIO'.'I DE l'Ol) RIE R
Fourier,
2k -l- 1
~
I
(l-x)
l- x
dt.
St!ll - , -
2
)f(t)
S-"(x)=-;.;
_ ,.
2
sen --r
Introduciendo estas ex presiones en Ja igua Jdad (3), obtenemos la
siguien te expresión para an (x):
~
¡, _,
!n \ }J
(ln(x) = 2
-':.
sen 2k + 1 (/ - x) }
2
0 - f (t)dt,
sen '2
k=O
que meóiante la fórmula 11
11 -
1
L
sen (2k · I· 1)
~= o
puede ser red ucida a la forma
:t
1
a,.(x)=2/l:lt
tL
sen• 1w
= - sen- u
t-x)s
¡'
sen11 Jr¡• 1
1
-:re \
2
f(t)dt .
-X
sen~
(4)
/
L;i expresión
:
1
1
sen11
z\
2
·¿
1
cJ),, (z) ,.., 211.,.. I ·-·-z\
!
(5)
sen -- :
2 .:
es el así llamado núcleo de Fejér. Tomando t-x = z y teniendo
en cuenta que el valor de la integral de u na función perió<lica
en un segmento de longitud igual al periodo es siempre el mis·
mo, podemos escribir (4) en la forma
n
a,, (x) =
~ f (x + z) <D,. (z) dz .
-..
(6)
Debemos demostrar que pa ra n ~ oo esta ex presión converge
uniformemente hacia f (x). Señalemos primeramente las propiedades
1>
Esta fórmula se obtiene facilmente sumando resp~to " k las igua l·
J ades 2 sen (2k+ J)u·sen u-cos 2ku-cos 2 (k+ l) u y m 11ízando transform a·
dones trigoMmélricas " lementates.
S 2. TEOREM.\ l)E FEJ IOR
461
siguientes del núcleo de Fejer:
1) <!>,, (z) ;;;:¡:O,
"
2) )<Dn(z)dz = l,
3) para todo cr >O fijo y
-11
"
-1(
6
11- oo
tenemos
~ 41,,(z) dz = ~ <D,,(z) dz= •1n (6)--0.
La primera de estas propiedades es evidente; la segunda ·se obtiene directamente de la igualdad (6), si tomamos f (x) l!5 1 y ób':
servamos que para esta función o., (x) ==! 1 para todo 11: flnalmente,
la tercera propiedad se desprende inmediatamente de que para
2c\
o ,... z ~ :i. se tiene sen -2Z ;;;:¡: :;y. consecuentemente.
!sen
ni-.):~\ü
/ n-)•.
- - z\ 2.
• S\~O
Tornando en consideración estas propiedades <le! núcleo de Fejér
no es dificil demostrar el teorema. Como f es una función continua y periódica, es acolada y uniformemente continua en toda
la recta . En otras palabras, existe una constante M tal que para
todo .\'.
!f (x) l ~M
y. además, para lodo
ti > O existe
(7)
un 6 > O tal que
f (X')- f (x') 1 < f
1
(8)
siempre que
lx"-x'I <6.
Para demostrar el teorema debemos estimar la diferencia
JI
f (x) - a,,(x) = ~
[/(x)-/ (.~ - !- z)] <l>,.(z)dz,
-Jt
que puede ser representada como suma de las tres inlegralrs
462
CAP. IX. SERIES TRIOONOMETRIC.\S. TRA,.;SfORl>IACION OE FOl RIE R
siguientes:
-ó
J1 =
) {f (x) -
/ (x -.,- z)} <Iln (z) dz,
-:t
ó
J. = ~
lf (x)-f(x+z)} tJ>,.(z)dz,
-6
n
J•=
~ lf (x)- { (x + z)I <I>n (z) dz.
I>
De (7) y (8) se obtienen directamente las estimucion.es siguien-
l~s:
ll1 l~2 Mr¡,,(6},
I J I ~ 2Ml'\,, (6),
2
JJ!
¡,,;;;; f
6
) <I>,,(z) dz <f.
-6
Escojamos ahora n 0 tan grande que para n ;;i- r1 0 v un o5 dado
se cumpla la desigualdad
2M 11,,(&) < ~·
Entonces,
\ f (x)- o,,(x) 1< ~- +-f +f = e
y de aquí, debido a la arbitrar iedad de e, se desprende la afirmación del teorema.
Observemos que en la demostración han si<lo empleadas solamente las propied ades 1), 2) y 3) del núcleo de Fejér. Esto
permite obtener diferentes generalizaciones del teorema 1 (véase
el punto 3 de este parágrafo}.
2º. Complitud del sisiema trlgonométrlco. Teorema de Weierstrass. Del teorema de Fejér se desprende la complitud del sistema de funciones trigonométricas en el espacio L1 [ - n, n ]Efectivamente, de acuerdo con este teorema cualquier función
continua es el límite de una sucesión de polinomios trigonométricos o,. convergente uniiormemente (y, por lo tanto, también en
media}. Como las funciones continuas son siempre densas en L,,
de aquí se deduce la com plitud del sistema trigo nométrico.
El teorema de Fejér puede ser considerado como un complemento del teorema de Weierstrass sobre la aproximación de func iones continuas mediante polinomios trigonométricos: este último
afirma que toda función continua periódica es limite uniforme
§ 2. TEOREMA DE FEJER
de cierta sucesión de polinomios trigonométricos, mientras que
el teorema de Fejér indica una sucesión concreta con esta propiedad, la sucesión de sumas de Fejér (3). Del teorema de Weiers·
trass sobre la aproximación uniforme de una función continua
periódica mediante polinomios trigonométricos se deduce fácilmente el segundo teorema de Weierstrass, esto es, el teorema
sobre la aproximación de cualquier función continua en un seg·
mento [a, b] mediante polinomios algebraicos. En efecto, si f (x)
es una función de este tipo, tomandd· t=bx-a·n,
es decir. 'X=
-a
=
1
(b- a) +a, obtenemos una función q¡ (t) de t definida en el
ll
:--n.
segmento (O, ii]. Prolonguémosla primero al semisegmento
O].
tomando q>(-t)=q>(t), y después, por periodicidad, a toda la
recta. Construyamos ahora un polinomio trigonométrico T,, que
verifique la condición
1Tn{t)-cp(t)I
<f
para todo t.
Ahora bien, todo polinomio trigonométrico puede ser desarrollado
en una serie de Taylor que converge uniformemente en cualquier
intervalo finito. Sea P,. la suma parcial de la serie de Taylor
para T,, tal que
1 T.(tl-P,..(t)I <
para O ~t ~ n.
f
Entonces,
l1P(t)-P.,(t)l <e para
O~t ~n.
Efectuando en P"' (t) la sustitución t = ~== n, obtenemos un polinomio Q,. (x) que satisface, evidentemente, la condición
lf(x)-Q,.(x)}<e para a ~x~b.
3º. Teorema de Fejér en el caso del espacio /. 1 • En el leorema de Fejér
se ha logrado alcanzar cierta simetrla entre la hipótesis y la tesis del teorema.
El hecho de que una función f pertenezca al espacio C1_ •• •I de fuocion•s
continuas Implica que las sumas de Fejér, correspond ientes o ella, c:onveqan
hacia f en la mélríca de ese mismo espacio Cr- •• 01 • Los teoremas 3nálogos
se pueden obtener también para otT0-5 espacios funcionales. en farticular,
para el upacio l, [-n. nJ. Hablando con más rigor, tiene lugar e siguient e
lt.0rema que es natural llamarlo teorema de Fejer para funciones sumables:
Si / es una ftlllción .sumablt en d segmento t-n, nj, sus sumas de Fejlr
convergen hacia / re.spe¡;to a la norma del espacio l 1 (-n, nJ.
La demostración de este teorema se puede obtener mediante razonamientos
próximos a los expuestos en el punto l. No los daremos aqui pero si indi·
car~mos un resultado importante que se desprende del lt<>rema de Fejér para
fundones sumables:
~6~
r.,w . ! :'<. St!Rlf.S TR IGON0.\ 1ETR IC\S. TRANSFORMACION DE FO U R! t: R
i;e rlelermílla w1iuocamenle (s" lvo u11a equiv~le11cln)
coeficirnlts de Fouricr.
En eie«to. 5ean f y g dos funciones sumab!es que tien~n coe!icienles de
Fourier iguales. Entonces. todos los coeli cienles de Fouritt de la !unción
f - g son iguBles a O. Luego, son iguales idbtticamente a cero lambf ~ n
lod11s las sumas de Fejér pam f-g. Consecuentemente, el limite de ellas,
l 1, ulo es, fn función f- g, es O en casi todo punto.
Todu fu11cil111 sumable
por
.~us
§ 3. INTEGRAL DE FOURIER.
l ''. Teorema fundament al. En el § l se han encontrado las
condiciont•s en 4ue una función definida en un segmento finito
(o, que es lo mismo, una función periódica en toda la recla)
puede ser clesarrollada en la S!!rie convergente de Fourier, es decir,
puede ser representada como superposición de ondas armónicas.
Tratemos ahora de extender este resultado a funciones no perió·
dicas. Como veremos, bajo unas condiciones adicionales bastante
general<'s, es posible obtener esta representación sólo no m<Xliante
una serit'. sino median te' una integral, la asi llamada inter,:ral
de Fourier.
Comencemo.' por unas consideraciones sugesti vas formales.
Sea f una función qur en cada intervalo finito satisface las concliciones que garantizan i;u desarrollo en la serie de Fourier. En
otras palabras , supongamos que f es sumable en cualquier intcr·
valo finito y que verifica en todo punto la condidón de Dlni.
Consideran do f, digamos, en el intervalo (- 1, /), podemos escribir
el desarrollo de esta función en la ~erie de Fourier:
'"
"• ""\...,
f (x) = 2 + ¿,....
k o. 1
Sustituyendo aqui
ª"
ª• cos T x -1 b~ sen T .\'..
lln
kn
(1)
y bt por sus expresiones
1
1
a,,=-;. St(t)cos ;1d1,
11
u,=+ St(f)dl,
- /
- 1
1
1 ('
kn
bn=¡ Jf(t)senTldi,
-1
obtenemos
f (x) = ~
1
"'
- 1
k,.I
/
Sf (t) dt + L ~ Sf (t) cos k;n x cos k; t dt +
-1
s
1
+ ¡1
kn
ka
f(t)sen ¡xsen¡
tdt,
-/
S 3. INTEGRAL DE f'OUR IER
es decir,
1
f (x) = ~
Sf(t)di+
-1
"'
1
~ l'
lm
krt
+Tl "'-'
\ f(t) 1cos kri.
-¡- x cos Tt
+sen k.'l
T xsen 1
·- ·
.
_..,.,
=
1
tl dt =
1
~
}i Sr c1> dt + ~ ~ -T Sw> cos 11¡" <t-x> dt.
-l
c2>
-1
/csl
Completemos las suposiciones hechas respecto a la función f con
la siguien te: esta función es absolutamente integra ble en toda la
recta. es decir.
"'
~ l/(l)ldt <. oo.
(3)
Pasemos en la igualdad (2) al limite para 1 - oo (por al1ora de
una manera formal). Debido a (3), el primer sumando del miembro
derecho de la igualdad (2) tiende a cero para { - • oo. El segundo
sumando puede ser considerado como la suma integral 1referid:1
a todo e l inler\' alo infinito) de la inte~ral
..
~ F (i.)di.
de la función
1
'
F(>,) = ~/(l)cOH(r-xJdl,
.¡
k.,
A' :.::: ,, . L uego, e 1 paso forma 1 a 1 1·1m1·1e
s1. toin arnos •Ak-"-¡· y ~,.,
1
para l -. oo en (2) lleva ;1 la i¡,rualdad
1 (·
(.
f(x)=- \ d>. \
" b
Esta
e;;
.;·.,,
f (t)c:osí. (t -
(4)
x)dt.
pred;,amente la rerrescntación deseada. Designando
~
a,~'.!_
~
r ! (!) cos )./ di,
.)
-,,
~
Ú;
= ..!..
n
5f (t)
M!l1
~.t dt.
la i~ua ldad (4) puede ser rcpre-;entada en la siguiente forma aná-
466
C/\.P. IX . SERIES TRIGONO.'IETRICAS TRANSPORMACION DE POURIER
log<i a la serie de Fourier:
00
f (x) -= \(al cos A.x + bi. sen 4) d1...
(5)
o
Por ahora hemos obtenido la igualdad (4), llamada fórmula
de Fouríer, mediante el paso formal al límite. La validez de este
paso (con las suposiciones hechas respecto a la función f) puede
st•r argumentada; sin embargo, es más simple demostrar la igualdad
(4) directamente. Demostremos, pues, el teorema siguiente.
Si 1ma f unció11 i es absolutamente integrable en toda
la recta y verifica La condición de Dini en un punto x. tiene.
lugar la igualdad
TEOREMA 1.
"'
f(x)=-k-Sd>.
o
"'
5
f(t)cosA,(f -
x}dl .
_ ,.
ueMos·rR.1c10N. Designemos
.
tÍ·
J (A) = -:- \di.
"'o
t
J f (t) cos 'J.. (t-x) di.
(6)
_.,
Debemos demostrar que li.n J (A) existe y es igual a f (x). (.orno f
A ·-..gc.
es absolutamente integrable, la integral interior en (6) converge y,
<idemás, uni[ormemente. para todos los valores de )._ Por lo tanto,
aplicando el teorema de Fubini, podemos cambiar el orden de
integración en la integral reiterada (6). Esto nos da
J (A)=_!_
n
~
A
_¡¡,
o
~
S dt J(' /(f)cos i. (f-x)dJ.=_!_n S f (t)
sen A (t-x)dt.
t-x.
Poniendo t-x = z, podemos representar esta integral en la forma
1 "'
('
sen Az
J(A)=-a .\ f(:c+z)-dz.
2
_..,
Valiéndonos ahora de la conocida igualdad
_.!_
n
"'f
J
- o<
senAz dz= l
z
íA >O),
(7)
f 3. INTEGRAL DE FOU RIER
467
podemos escribir la diferencia J (A)-f (x) en la forma
.,
J(A)-f(x)=.J..
f(:c + z}-f(x)senAzdz.
n _,.
z
S
(8)
Consideremos la integral del miembro derecho de esta relación
como suma de tres componentes
N
J (A}-j(x) = ...!..
n
S f{:c+z}z-
-N
5
+.l.
n
f(x)
~n Azdz+
'
S
f (:c + z)senAzdz-U~
z
~
n ·
l•l>N
~dz.
z
l• f .. N
Como el segundo y el tercer tt!rminos del miembro derecho son
integrales convergentes, cada uno de ellos puede ser hecho menor
que
si se escoge suficientemente grande el número N. Finalmente, el primer sumando del miembro derecho tiende {para N
fijo) a cero cuando A--.. oo (en virtud del lema del § 1 y de la
condición de Dini). Consecuentemente, obtenemos
y
lim (J (A) - f(x))=O,
A-,.
que es lo que se quería demostrar.
2". Forma compleja de la integral de Fouricr. Puesto que en
la fórmula integral de Fourier (4) la integral interior es una
función par respeeto a A., podemO$ escribir esta fórmula así:
1
f (x) = 2it
s_,,,"' . f
~
d>-. ~
(t) cos l. (l - x) di.
..
Ahora bien, la integrabilidad absoluta de la función
(9)
f implica
que la inleRra 1 ~ f (t) sen 1'.. (1 -.t) dt exista y sea una función
_,.
impar respecto a A.. Por lo tanto.
-dñ
S dí, S f U) senl. (t - x)dt = O,
-ar>
~i
(10)
-~
la integral respecto a /. se comprende aqul en el sentido MI
468
CAP. IX. SER lf:S TI000N0,\1ETRICAS. TRANSfOllMACION DE FOIJR IR
va lor principal, esto es, como li·u "'~ . Sumando a (9) /a igualdad
N-· )() -.V
..
(10) multiplicada por - i. obtenemos
~
' Ji· di. Jr f{t) e-n.v -.ricJt.
/(x)=Ft
_.,
Esta
i~ualdad
St>ní ll11mada fórmula compleja de Fmuier.
§ 4. TRANSl'ORM..\CIÓN DC:: FOURlt:R,
SUS PIWPIEOAOES Y SUS APLICAC IONES
1°. Transform ación de Fourier y fórmula de inversión. La
fórm ula integral de Pourier puede
siguiente. Tomemos
g().) -
"E'f
transformarla del modo
"'~ f(l)e - 0 ·1 cll.
Entonces
( 1)
,...
f (x) - ·~
Sg (i..) cF.r di..
(2)
-e
Notemos que Ja fórmula ( 1) tiene se.nticlo para cualquier fun ción
f absolutamente integrable. Es decir, median te Ja fórmula ( l )
a toda f EL, (- oo, oo) ponemos en correspondencia w1a función
determinada g definida en toda la recta numérica. Esta última
llama transformación de Fourier de la función inicial f- La
fórmula (2) que expresa / a travt-.s de su transformación de Fourier se llama fórmula de in11ersió11 de la transformación de Fourier. Conviene prestar atención a la semejanza que existe entre
las fórmulas (1) y (2). La segunda difiere de la primera sólo er.
el signo de la exponente y en el coeficiente
delante de la
integral. Podríamos alcanzar una simetría aún mayor, si hubiésemos tomado
S<'
dn
...
g (>-.) = ~)- ('
f (x) e-ii.x dx.
J
_.,
La fórmula de inversión tendría entonces la forma
, 2:\
( l ')
(2')
es decir, la diferencia consistiría sólo en el signo de la exponente.
§ 4, T RANSFORMACION DE FOURlER
Sin embargo, a pesar de la semejanza exterior de las fórmulas (1) y (2), son sustancialmente distintas: en la primera, la
integral existe en el sentido habitµal (ya que f EL1 (-oo, oo),
mientras que en la segunda, sólo en el sentido del valor principal. Además, Ja igualdad (1) es la definición de la función g,
mientras que la igualdad (2), ·que constituye una forma de ta
fórmula integral de Fourier, contiene Ja afirmación de que·-la
integral que figura en su miembro derecho· es igual a la función
inicial f. Como hemos visto ·más arriba, para que esta ·igual<faél
sea válida, la función f, además de ser integrable, debe verificar
unas condiciones adicionales. digamos la condición de Diní.
Observación. Hemos definido la tran~ormación de Fourier g
para toda función f de L1 ( - oo, oo) y hemos demostrado que
una función f, que en todo punto cumple la condición de Dini,
puede ser expresada mediante g a través de la fórmula de inversión. La situación aquí es · totalmente análoga a la que tiene
lugar para las series de Fourier. · En efecto, los coeficientes de
Fourier
e;~ dn
" f (x) e-1111< dx
_,.
.
5
están definidos para toda f E L1 (-1t'; n]; sin embargo, la convergencia de la serie de Fourier
~ enelnx
.iú.
n~- •
(que desempeña aquí el papel de I~ f6rmula pe inversión) puede
ser garantizada solamente bajo ciertas condiciones adícionales
(condición de Dini). Al mismo tiempo, para la transformación
de Fourier (lo mismo que para Ja serie; véase el final del § 2)
tiene lugar el resultado [siguiente: si para una función
fEL,(-oo, oo) se tiene
"
~ f (x)e-IA.<dx=:O,
_.,.
es f (x) =O ett casi todo punto. En efecto, observemos, en primer
lugar, que de la igualdad anterior se desprende que para todos
los t y ;>... reales es
..Sf
(x + t) e-JAx dx =O.
~10
CAP . I X. SER I ES TRIGONOMET RICAS. T RANSFORMACION DE l'OUR I ER
Pongamos ahora
~
q¡ (x) =
J f (x + t)dt,
donde ~ es un número real fijado. Empleando el teorema de
Fubini y la condición a la que se ha somelido la. función f, es
fácil ver que la función q> (que también pertenece a L, ( - oo, oo)
satisface la misma condición, esto es,
para todo ?, real. Pero, la función q> es, como se comprueba
fácilmente; una función absolutamente continua en cada segmento
finito y, por lo tanto, . tiene ,derivada finita en casi lodo punto.
En particular, esta función satisfaoe en casi todo punto la con·
dición de Dini. De manera que, en virtud del teorema l del
§ 3, se anula en casi todo punto ya que su transformación de
Fourier es el O idéntico. Pero, <¡> es continua; luego, <p(x):=O.
De aquí se desprende, en particular.• que para todo ~ real
~f(t)df = Cl
f (x) =O en casi todo punto.
Consideremos algunos ejemplos.
1. Sea f (x) =e-V1xi, 'V >o. Busquemos la transformación de
Fourier de esta fu nción. Tenemos
y, por consiguiente,
..
g.p...)- ,_~.,e-vlfle-1).rdx.,.
=
..
..
_.,
o
~ e-vlxl(cosA.x-isen A.x)dx=2 ~ e-w< cosA.xdx.
Integrando dos veces por partes, encontramos
2
g ()..) = 1.•-1; y•
2. Sea
f (x)= {
1 para
lxl ~a .
~
0 para lxl >a.
Si . TRANSPORMACION DE FOURIER
471
Entonces,
g (A.) ==
Sf(x)e- '?.x dx = Se-tbdx=ei""-¡{11." =2se~Aa .
-oo
-o
(Conviene prestar atención a que la función g no pertenece, en
este caso, a L,(-oo, oo)).
l
3. Sea f (x) = x•+a•. Entonces,
.s
e-o.x xs+a•·
g().) ,.,.
(3)
leoria
Lo más sencillo para calcular esta integral es ·emplear la
de residuos. Supongamos primero que i... > O. Completando el eje
real, respecto al que se toma Ja integral (2), mediante una se·
micircunferencia de radio Lndefinídamente grande, situada e11 el
semiplano inferior (esto es, en el semiplano donde la exponente
e- 0 ·• tiende a cero), obtenemos que la integral (3) es igual a la
suma de residuos del integrando en el plano inferior dividida
por 211i. La función x a tiene en el semiplano inferior un
polo de orden 1 en el punto x= -ai. El residuo en este punto
se calcula de acuerdo con Ja siguiente regla conocida: si
f (z) =~ , cp (a)~ O y 1j> (z) tiene en el pU11to z =a un cero de
primer orden, el residub de la función f en el punto a es igual n
'f (a)
..,,. (a). Luego, obtenemos en nuestro caso que
;-+°"'•
l
e-•l
e- al
g (i...)=2ni-2ai=4na para '->O.
Para ;... <O obtenemos análogamente (considerando solamente
el semip!ano superior en vez del inferior)
g(i...) =
e"'
4;ia'
Es decir, resumiendo,
e-al lt
g(J..)=4ñQ (-oo< J..<oo).
4. Pongamos f (x) == e-""'. Tenemos
g(A) =
.
) e-ª"' e- 1~"dx.
(4)
472 CAP. IX . SERIES TRIGONOMETRICAS. TRANSFORl>IACION DE FOURIER
El inlegrando representa aquí una función analllica que no tiene
singularidades en ninguna parte fin ita del plano. Por lo tanto,
en virtud del _teot~ma de Cauchy,. la integral (4) no cambiará
de valor, si, en lugar de tomarla respecto al eje real, se toma
respecto a cualquier recta z = x + iy (y = const) paralela a este
eje. Es decir,
.,
g (/.)
= ) e-• ix+iy;• . e-tU x+l11dx =
Escojamos ahora la constante y de manera que se anule la parle
imaginaria en la exponente del integrando, esto es, tomemos
-A. . E n t onces
y=Ttí
)..•
,.••
g(J..) = e°.-..- 20
5e-•·"dx=e-4ó y~ ,
_.,
te
'·'
-
ya que
1
En parlicular, tenemos para a= 2
.e•
f (x) =e
-2
A•
~-
-2
, g p.)= JI 2n e
,
x•
es decir, la función e--¡¡- corresponde a sí misma (salvo un coe·
íiciente constante) en la transformación de Fourier.
2º.
Proplj!da~esf~n~amentales
de la transformación de Fourier.
De la fórmula (l) que define lá transformación de Fourier se
desprenden varias prop'iedades de esta transformación. Consideremos estas propiedades. Para abreviar, designaremos mediante el
símbolo F [fl la transformación de Fourier de la función f. En
otras palabras, designamos mediante F el operador lineal, definido en el espacio L 1 ( - oo, oo ), que pone en correspondencia a
toda función de este espacio su transformac.ión de Fourier ll.
l. Si una sucesión. ffn} de funciones de~ ( -oo, oo) converge
en la métrlca del espacio l 1 (-co, oo), la sucesión de las transformaciones de Fourier gn:; F [fn) converge uniformemente en toda
la recta.
n No perteneciente. en general. a L1 •
S •· TRANSFORMACION DE POURIER
473
Esta afirmación se desprende inmediatamente de la estima·
ción evidente
..
l g. (i.)-g,. ()..) 1~ ) lfn(x)-f., (x) jdx.
2. La tra11sformaclón de Fourier g de una fu11ción absoluta·
mente integrabte f es una f wición continua. acotada; además, g (>.)
tiende a cero para 1>-1- oo.
En efecto, de la estimación
..
!g(A.) I ~ _..,
llf(x)ldx
se ve inmediatamente que la función g = F (fl es acotada. Ahora
bien, si f es la función característica del intervalo (a, b), tene·
mos para ella
Esta función es, evidentemente, continua y conv\!rge hacia cero
para 1>-1- oo. Como la operación F consistente en pasar de f
a · g es lineal, de aquí se deduce que la transformación de Fourier de cualquier función escalonada (esto es, de una combinación
lineal de funciones caracteristicas de intervalos) es también una
función continua que tiende a cero para i..- ± oo. Finalmente,
las funciones escalonadas son siempre densas en L1 (-oo, oo) y,
por lo tanto, si f E L.. existe una sucesión {f.} de funciones esca·
lonadas convergente hacia f en L1 (-oo, oo). Entonces, en vlr·
tud de la propiedad l, la sucesión de funciones g. = F [fn)
converge uniformemente en la recia hacia la función g= F [fj.
Pero, en tal caso, la función límite g es también continua y
tiende a cero para P· 1- oo .
3. Si f es abwlutamente continua et1 todo Intervalo fi11ito y
f' E L 1 (-oo, oo ), tiene lugar la igualdad
F {f'J = i/..F [f).
Es decir, a la diferenciación de una función le corresponde (en
las condiciones señaladas) la multiplicación de su transformación
de Fourier por it.
En efecto, una función absolutamente continua en todo inter·
valo finito puede ser representada en la forma
•
f (x) = f (O)+) f' (t)dt.
~
16 Ht 21SO
474 C;\P. 1:\, Sl:m ll:!S
TRIGONOMETRIC.~S.
TRANSf'ORMACION DE FOl: IHER
La integrabilidad absoluta de {' implica que la expresión que
figura aquí en el miembro derecho tenga un límite para x-- oo
y x---oo. Este límite puede ser solamente el cero ya que, de
lo contrario, la función f no sería integrable en toda la recta.
Teniendo esto en cuenta, oblenemos, integrando por partes,
..
~
F {fl (í,) = ~ f'(x) e- i~x dx -'"" f (x) e_¡l,.
_,.
¡_: ·\ i~ ~ f (x)
e-ilx
=
dx=
O,F (!] (/.,),
que es lo que se quería demostrar.
S i la función f es tal que ¡tk-11 es absolutamente continua
en todo intervalo y f, . .. , f'k• EL, ( - oo, oo), obtenemos, por
los mismos razonamientos, que
(5)
4. Relación entre el grado de diferenciabilidad de una función
y fa uelocídml de decrecimiento en el infinito de su transformació11
de Fourier. Dividiendo la igualdad (5} por (íf.)k y recordando
que la transformación de Fourier es siempre una función que
tiende a cero en el infinito (propiedad 2), obtenemos que si ¡<A• es
absolutamente integrable, se tiene
F[f11=1 F11..!flA•j
f
fk
1
- -
o,
es decir, bajo estas condiciones, F (fl decrece en e l infinito más
rápido que ) lk . Luego, cuanto más derivadas tenga f en L,
1
tanto más rápido decrece en el infinito su transformación de
Fourier.
'5. Si f" existe y pertenece a L, (-oo, oo), es abwlutamente
integ_r,(lble f
(fJ.
En efecto, en estas condiciones, F (f] es acotada y decrece
en el infin ito más rápido que ~= . De aqui se desprende la
integrabilidad.
Hemos demostrado anteriormen te (propiedad 4) que cuanto
más. derivadas tenga una función f, tanto más rápido decrece
en el infinito su transform ación de Fourier. Es válida .tamb ién
la afirmación dual, es decir, cuanto más rápido decrece f, tanto
mayor grado de diferenciabilidad tiene su transformación · de
Fourier. Hablando con más precisión:
6. Supongarrws que tanto la función f (x) como xf (x} son ab·
solutamerite integrables. Entonces, la fanción g = F ([] es difere11 ·
§
4. TRANSFORMACION DE POllRIER
471>
ciabíe y
g' p. )= F (-ixf (x)j .
(6)
En efecto, derivando respecto a l. la integral
..~ f
(x) e-il.x dx
que define g, obtenemos la integral
-i
"'
A"dx
_\xf(x)e..
~
que (debido a la integrabilidad de la función xf (x)) converge
uniformemente respecto a Í«. Luego, la derivada de la función g
existe y tiene lugar (6).
Cuando f es tal que son absolutamente integrables las funciones
f (x), xf (x), . . . , xPf (x), se puede demostrar con razonamientos
análogos que la función g tiene derivadas hasta el orden p inclusive y, además,
g1 ~ 1 (l..)= F[ (-ix)k f (x)J (k =O, l. ... , p).
7. Si exigimos que la función f decrezca en el infinito aún
más rápido, g tendrá un grado mayor de diferenciabilidad. Si
x" f (x) E L.( - oo, oo) para todo p, la función g es indefinidamentediferenciable. Supongamos ahora que eo 1 x ¡ f (x) E L1(-oo,oo)
para cierto 6 > O. En este caso, g (J.) puede ser prolongada, como
una función analítica, del eje real A. a una franja del plano de
la variable compleja ~ = }.+ iµ, con la particularidad de que
la anchura de esta franja es tanto mayor cuanto más grande
sea <'l. En todo caso, se puede afirmar que g será una función
analítica para 111l < 1\. En efecto, la integral
..
~ f (x) e-ix: dx
converge, evidentemente, para 1µ 1< fi definiendo una función
continua que coincide en el eje real con Ja transformación de
Fourier de la función f. El hecho de que esta función es diferen·
ciable para 1µ1< fi en el sentido de la teoría de funciones
analíticas se demuestra igual que la propiedad 6.
3°. Complitud de las funciones de Hennite y de Laguerre.
Empleando las ideas expuestas en el párrafo anterior se puede
demostrar que si una función medible f es diferente de O en casi
todo punto de un intervalo (a, /l), donde -oo .,,;;,a < b ~ oo
16*
.¡75
CAP . 1)(. SEIUE:S TR1GONOMETRICAS. TRANSl'ORMACION l>E
POUR l E!~
y satisface la. cvndiciótl 1f (x) 1~Ce- ~ 1x ' , donde ll > O, en/Mees
el sistema de funciones x• f (x), n =O, 1, 2, .. ., es completo
en '-•(a, b).
De aquí se desprenderá, en particular , que las funciones de
1-lermite constituyen un sistema completo en 1.. (-oo, oo) y las
funciones de Laguerre, en l, (O, oo) (véase el punto 7 del § 3
del cap. VIII).
Demostremos la proposic.ión sobre la complitud enunciada
más arriba. Supongamos que el sistema { x" f (x)} no es completo.
En tonces, de acuerdo con el teorema de Hahn - Banach, existe
una función no nula hEL,(-oo, oo) tal que
...
~ x"f(x)h(x)dx=O (n = O, 1, 2, ... ).
(Hemos empleado aqu í el teorema sobre la forma general de
una funcional lineal continua en el espacio de Hilber t; si se
considera el espacio complejo L, (a, b) habrá que escribir h (x)
en lugar de h (x). ). Está claro que f h E Lt<a, b); es más, tenemos
e61 1.r1 fh EL, (a, b) para cualquier 8 1 < ll. En lo sucesivo conviene
aceptar que a = - oo y b = oo tomando, si es necesario, iguales
a cero las funciones f y h fuera de (a, b). Sea g Ja transformación de Fourier de la función flt, es decir,
..
g p.)= ~ f (x) h (x) e-•"l.x dx.
De Jo explicado anteriormente se desprende que la función g
puede ser prolongada, como una función anal ítica, a la franja
l l m t i< ll. Por otro lado, en virtud de la propiedad 6, todas
las derivadas de esta función son iguales a O para A. = 0. de
manera que g(A.) ss O. Por la propiedad de unicidad demostrada
e~ el puntp 1, de aquí se deduce que f (x) h (x) = O en casi todo
punto y, consecuentemente, h(x)= O en casi todo punto ya que
f (x) es diferente de O en casi todo punt.o. Pero. esto contradice
a nuestra suposición de que h es .una función no nula. La con·
tradición obtenida demuestra la complitud del sistema { x"f (x) }.
4°. Transformación de Fourier de funciones indefinidamente
dlferenclables y rápidamente decrecientes. Teniendo en cuenta que
al pasar de la función f a su transformación de Fourier g las
propiedades de diferenciabilídad y de decrecimiento en el infinito
corresponden una a otra, es fácil indicar clases na turales de
funciones que se aplican en sí mismas por la transformación de
Fourier.
S•
TRANSFOR·MAC!ON_ DE FOURIER
477
Sea S.,, el conjunto de .funciones·irldefinidamente diferenciables
en la recta. para cada una de las cuale.s existe· una constante O~e
(que depende de la función f y de los números p y q) tal que
1xJ' ¡m (x) l < Cp,¡.
(7)
s..
Probemos que, si f ES.,,, también g = F [f] E
Observ.eJ;~o.S.
ante todo, que de acuerdo con (7) cada una de las funciones
xPf•qi (x)
es absolutamente integrable. En efecto, como (7) se cumple .para
lodos los p y q, la función
xP-1 ¡m (x)
es acotada, esto es, xP f'q> (x) decrece no más lento que ~ ; consecuentemente, la función F [fl tiene derivadas de todos los
órdenes. Finalmente, de acuerdo con el punto 2, la sumabilidad
de ¡<q>(x), q= 1, 2, ... implica que g=F [f] decre;;ca en el
infinito más rápido que· ~. Consideremos ahora 1tas funciones
(t1..)gg1p> (/•) = (-i)q F [(xJ' f (x)<q>];
cada una de las' cuales es acotada por. una constante Dp,q• como
la transformación de Fourier de una función integral)le. De
modo que, si f ES .. , tambiéng= F[f] ES... Viceversa, sea gES,.;
entonces, de acuerdo con lo demostrado, la función
•
f* (x)= ~ g(J.)e-,.~"dx
-·
s. .
1
pertenece a
Pongamos f (x) = 211 f" ( -x). Está claro que
f ES,,,. Al mismo tiempo,~por la fórmula de inversión
, .. j
g¡(>..)=2~~ ~ f* (x)e;~.. dx,
_.,
e.s decir, g es la transformación de Fourier de la función f ES,.·
Luego, la transformación de Fourier aplica la clase S., en la
misma clase S,,.. Está claro que esta aplicación es biunívoca .
...
EJERCICIO.
aquf que
Sea/ES.y~ xP/(x)dx=O para todo
f (x) ... O?
-·
p-;;;,,O. ¿Se desprende de
478 CAP. l >t . SElllES TRIC ONO.'I ETlllCAS. TR Al':SFO llMAC IO N DI!
FOU IH E ~
5º . Tra nsformación de Fourier y convolución de funciones.
Sean f , y f. funciones integrables en toda Ja recta. La función
•
f (x) = _,.
~ f , (a)f.(x-~)da
se llama convolución de estas funciones. La función f< r \ está
definida para casi todo x y es integrable. En efecto. i..1 intt-gral
doble
....
S S lf1(~)f.(11) l d~dr1
.., -·
.. ..
e xiste, ya que existe la integral
....
(véase la observación al teorema de Fubini en el cap . VI).
Consecuentemente, existe también la integral
...
S f (x)dx = S
dx ~ f.(t)ft(x - l¡)dS.
,,,,¡,.
La función f se designa mediante el símbolo f
Cal<:ulemos
la transformación de Pourier de la convolución de dos funciones
de l 1• Aplicando el teorema de Fubi ni y tomando x-~ = 11.
obtenemos
~
/(x)e- 't" dx =
- O&
~
- ·
=
{
~ f,mf.(x -~)d~}e- ;t"dx=
-CID
5{,~) {f f,(x-~)e-fAxdx} dS=
-co
--»
'°
..
-·
-·
= S f.(r¡) e-;>.,.d,1 · S ¡ , me - 1~~.
es deci r,
F [f,*f,] = F [!,J .f lf2]·
Luego, la transformación de Four ier convierte la operación de
convolución en una operación más simple: la multip licación de
4. TRANSFOllMACION DE l'OURIER
479
[unciones. Este hecho desempeña un papel importante en varias
aplicaciones de la transformación de Fourier.
6°. Aplicación de la transfoonaclón de fourler a la solución
de la ecuación de conducción del calor. La aplicación de la
transformación de Fourier a ecuaciones diferenciales se basa en
que, según hemos demostrado en el punto 3, esta transformáé:ión
convierte la operación de diferenciación en la de multiplkacj_ón
por la variable independiente. Luego, si tenemos una ecuación
diferencial lineal de coeficientes constantes
y<•1+ a,ytn-tl + ... +an_,y' + any = cp (x),
(8)
ella es convertida por la transformación de Fourier en una ecua·
ción algebraica de tipo
(ií..)112 +a1(0.¡n- 1 z ~- . . . ·i-a._P,z+a,.z = 'ljl (1.), donde 'ljl= f[q¡].(9)
Sin embargo, este método es poco fecundo en el caso de ecuaciones diferenciales ordinarias ya que la solución de ecuaciones
lineales de coeficientes constantes, a las que puede ser aplicado,
no ofrece, por sí misma. grandes dificultades. Además, el paso
de (8) a (9) es posible, si la función incógnita y = y (x) es integrable en toda la recta, mientras que para las soluciones de
ecuaciones lineales de coeficientes constantes esto, como regla
general, no tiene lugar.
Es de mayor importancia la aplicación de la transformación
de Fourier a ecuaciones en derivadas parciales, donde permite,
en ciertas condiciones, reducir la solución de una ecuación de
este tipo a la solución de una ecuación diferencial ordinaria.
lluslremos eslo resolviendo el problema de Cauchy para la ecuación de conducción del calor. Busquemos para - oo < x < oo y
f ;;;:::: O la solución de la ecuación
1)u (X,
/)
a•tt(X, /)
-º-,- ""- a r
(10)
que St: convierte para t = O en una función prefijada u1 (x). El
contenido físico de este problema consiste en determinar la
tempt'ratura de una varilla termoconductiva infinita para cualquier momento t > O, ~¡ en el momento inicial t = O su temperatura en cada punto es u0 (x).
Suponiendo que u0 (x). u~ (x) y u; (x} pertenecen a L, (-oo, oo),
buscaremos la solución del problema planteado en la clase de
funciones u (x, t) que satisfacen las condiciones siguientes:
1) Las funciones u(x, t), uAx, t) y uxx(x, t) son absolutamente integrables en todo el eje x para cualquier l ;;¡.O lijado.
480 CAP. IX. SERIES TRIOONOMl!TRICAS. TRANSFORMACION DE l'OURIER
2) La (unción u1 (x, t) tiene en todo intervalo finito
una mayorante integrable f (x) (que no depende de t):
l 111 (x,
O~ t~
T
..
t)
~f (x), ~ f (x) dx <
oo.
Realicemos en la ecuación (JO) la transformación de F'ourier
rl!specto a x. Entonces, en el miembro derecho tendremos
F[u,,... (x, t))=-A.'v(A., t), donde v(/., t) = Ffu(x, t)),
mientras que en el miembro izquierdo, en virtud de 2), tendremos
F[u¡J=
.. u (x,
S
1
i)
(·
t)e- 1~"dx= a¡
•
J u(x, t)e-''"dx=v1 (1•.,
t).
-ao
De esta forma la transformación de Fourier convierte la ecuación (!O) en una ecuación diferencial ordinaria
v1 p., t) = - ;.. •v (í.., t)
y debemos ahora buscar la solución de esta ecuación que para
t=O da
v 0 (A.)= F (u 0 (x)]
=
..
~ u0 (x) e-•'>-x dx.
Esta solución es, evidentemente,
.
V (f., t) = e-').S 1V 1 (A).
Ahora, para obtener la solución del problema inicial, rl!sta
encontrar aquella función 'u (x, t) cuya transformación de Fourier
es la fµnclón encontrada v (A., t).
Recurriendo al ejemplo 4 del punto 1, tenemos
e-i•t = F
l~e
2yn1
-¡;] .
Por lo tanto,
v ()., t) = F [
2
~;;¡e-:; J· f fu
0
(x)] = F [
2
~ñte -~·, * u
es decir,
1
u (x, t) = yñt
2
..
-~
J... e
~, u, (x-s) dS-
0
(x)] ,
§ 4. TRANSFORMACION 06 POURIBR
481
Hemos obtenido la así llamada fórmula de Poisson par¡¡ la
solución de la ecuación de conducción del calor.
7º. Transformación de Fourier de funciones de varias variables.
El concepto de la transformación de Fourier, oonsiil~ado
anteriormente para funciones de una variable, puede ser extendido
·
·
fácilmente al caso de funciones de varias variables.
Sea f (x1 , x., ... , xn) una función integrable en ·todo el
espacio n-dimensional R". Su transformación de Four!er es Ja
función
"t• ·..··,
..
= .. . f
g P·a•
~
~
A.,.)=
(x,, x ., .. . ' x,,) e-i (x,)., +.r,)., + . • • +x.~.) dx, . . .
dxn.
Esta integral n-ple, existente de antemano ya que f (x,, x,, . ..
• • . , xn) es integrable, puede ser representada, de acuerdo con
el teorema de fubini, mediante la siguiente integral reiterada:
. .. , x,.)
e-ix,~, dx,} e-lxJ., dx,
.. . } e - tx•"• dx,..
( 11 )
En otras pa labras, el paso de una función de n variables a su
transformación de Fourier puede ser realizado aplicando sucesivamente esta transformación a cada variable (en un orden
cualquiera). Invirtiendo cada una de las n operaciones sucesivas
que figuran en el miembro derecho de (11 ), obtenemos la fórmula
J
f (x,,
Xz• •• . ,
x,.)=( 2:t)" )
f
:
.
'l ' ..
~
_t {j., g('>.,, /..,,
<JO
que puede ser representada mediante una integral n-ple
f (Xi• x,, , .. ' x,.) = (2~)• s...
···lg(}..1• Ai• . • ., 'J,,. )elCx,).,+x,).,+ ... +xni...ld'J,,, . . • d/..,.;
(12)
sin embargo, puesto que Ja función g(t..,. A. 1 , ••• , 'A,n) puede
no ser, en general, sumable en todo el R", es preciso indicar
482 CAP. IX. SERIES-TRIGONOMETRICAS. TRANSFORMACION DE FOURU::R
en qué sentido debe comt?renderse esta integral y las condiciones
que deben imponerse á f (x1 , .1:,, •.• , xn) para que sea posible
representar f (x,, x., . .. , x,.) .mediante la integral (12).
Una de las respuestas posibles a estos problemas la da el
teorema siguiente.
TEOIH!MA 1.
Supongamos que la función f (x,, x., ... , x,,) es
i11tegrable en todo el espacio R" y satisface las condiciones
1 siguientes:
11 (,{, + t., x,.
lf (xu x.+t,,
lf(x\,
x,.)- f(x,, x., . .. ,
x,,
x,.) l~ C l l 1 f".
· · · • Xn) l ~
Xn)-f (Xv ·'I::,
~ e (x,) 1'·1·.
x,.+t,.)-f (x,. x., .. . , x,,)I ~
~C(x1 , x., . . . , x,,_ 1 )Jt,.¡•,
.,
donde O ~~~ l.
"
...
-q:¡
-·
~ .. , ~ C (x,.
X2,
~ C(x1)dx1 <00,
-·
••• ,
Xn_.)dx,dx~ ... dX,. _1
r
(131
< OO.
J
Entonces, la fórmula de inversión (12) es válída, si la integral
en ella se entiende como
X
e'"•~• d'"'n 'l( e'"•-,;.._• d'"·11-1
• •.
\1 ei.r,>., d1'.. ,.
En efecto, como f (x1 , x,, . .. , x.) es suma ble en R", es
sumable también, de acuerdo con el teorema de Fubini, respecto
a x, para casi todos los x,, . .. , x,,. Luego, existe la función
f, (A. 1 ,
x., .. . . Xn) =
"'
~ f (x,,
x,, .. . , x,.)e -lx,>.,dx
1•
De (13) se desprende que f (JCi, x,, .. . , Xn) como función de x,
verifica la condición del teorema l del § 3; por lo tanto,
f {x,, x., . .. , x,.) puede ser expresada a través de f, mediante
.!
4.
TRANSF'ORMACION CE F'OURiER
483
la fórmula de inversión
N,
d:i -Ni
~ f,('i.,._x.,
N, _. t1t.1
i(x,.x., ... ,Xn)= lim
Ahora oien, si tomamos
f~(A.1• i'i• .. .,
Xn)=
.. . , Xn)t'x•"'•dh ,.
,.
~ f,(Ai.
X., .. .,
Xn)e-ix,~•dx2 ,
de la condición (13) se deducirá que para / 1 .es válida la Jórmula
de inversión
·
·
{1
(1. 1 , x,, ... , x,,) = lim
N,-..0>
N:.
f-n
~ fi(>,,. >.., .. ., x,,)e'' ·"'dl..,
-.''v'1
es decir,
f (x"
x.. ... , x,,) =
N1
= N,li.n
-· ;o
_21 \
;t
•;. ,
- .·v,
t:V:-~
li;i¡
Na
(
_21
rt
('
,)
f •p.,,
;.i• . . . ' x,,) X
-."I,
xe'•.A1 div,} elx,~. d'A.,.
Definiendo de un modo análogo f 3 p.1 , ),1 , . . . • x0 ), etc.,
obtendremoo la fórmula (12).
La transformación de Fourier de funciones de varias variables
encuentra amplia aplicación en la teoría de ecuaciones en
deri vadas parciales. Consideremos, por ejemplo, la ecuación
(14)
que describe la conducción del calor en un plano. Sea dada la
temperatura en el momento t = O:
u (0,
.~,
y) = u 0 (X, y).
Sometiendo la solución que buscamos de la ecuación (14) a condiciones análogas a las indicadas en el punto 5, podemos efec·
luar en la ecuac:!ón (14) la transformación de Fourier respecto
a las variables x e y. Obtendremos como resultado la ecuación
ordinaria
484 CAP. IX. SERll!S T RIOONOME TRIC.'5. TR ANSPORhtAClON OE FOURIER
donde
"' ...
v(t, A<J)= ~
~ u(t, x .
-· -·
y)e-i('i.xHJ/ldxdy.
(15)
Resolviendo la ecuación (15), podemos después encontrar la
solución de la ecuación inicial ( 14) por medio de la fórmula de
inversión.
§ 5. TR ANSFORMACIÓN DE FOURIER EN EL ESPACIO L, (- <». oo)
1°. Teorema de Plancherel. Volvamos primero a los resultados
obtenidos para las series de Fourier. Para una mayor analogía
con la transformación de Fourier, consideraremos la form a
compleja de la serie de Fourier, esto es, tomaremos en el segmento
[- n, n] el sistema completo ortogonal de funciones ein", n =O,
± 1, ... , y pondremos en correspondencia a toda función f
sumable en el segmento (- n, n) su sucesión de coeficientes de
Fourier
2
"
en= ~ ~
f (x)e- i'•x
dx(n=O, ±1, ±2, ... ).
-n
Si la funcion f, además de ser sumable, es de cuadrado
sumable, sus coeficientes de Fourier verifican la condición
En otras palabras, el paso de una función de cuadrado sumable
al conjunto de sus coeficientes de Fourier constituye una apli·
cación del espacio euclldeq l, sobre el espacio euclídeo l 8 ;
adeinás, esta aplicación ~s li11eal y verifica la igualdad de
Parseval:
..
21l
11
~ 1Cn I' = _,.
~ lf (x) I' dx
n=-•
(1)
(es decir, este paso difiere sólo en un coeficiente constante de
una aplicación que con~va la norma).
' . Consideremos ahora la transformacion de Fourler para funciones
definidas en toda la recta y· veamos, si es posible 'interpretar
esta transformación como un operador lineal en l, (- oo, oo).
La dificultad principal consiste aquí en que una función de
cuadrado integrable no pertenece necesariamente a l 1 (- oo, oo),
§S . TRANSfORMACION OB FOURIER EN EL ESPACIO L , (-.,, .-)
485
es decir, en que su transformación de Fourier puede no e~istir
en el sentido definido en el § 4. Sin embargo, es posible definir,
en cierto sentido, la transformación de Fourier para toda
f EL, (- oo, oo). Entonces, se obtiene el siguiente teorema que
puede ser considerado como un análogo de la igualdad de
Parseval ( l).
TEOREMA.
(Plancherel, 1910). ParacualquierfunciónfEL,(-oo, oo)
la integral
N
gN(')..) =
l f (x)e-flx dx
-N
es, cualquiera que sea N, una fu11cl6n de ¡,, perteneciente a
L, (- oo, oo). Para N - oo las funciones gN rontoergen en la
métrica del espacio l a luicia un limite g tal que
..
..
) lg(')..) l' d7'=2n ~ lf (x)l 1 dx.
(2)
-oo
Esta función g es llamada transformación de Fourier de la
/E l 1 • Si f pertenece también a Li(- oo, oo), la
función correspondiente g coincide cori la transformacióri habitual
de Fourier de la función f.
función
DEMOSTRAc10N . La idea principal de ta demostración consiste en
que la igualdad (2) es comprobada primero para todas las
funciones que pertenecen a la clase S,. de funciones indefini·
damen te diferencia bles y rápidamente decrecien tes, que son
siempre densas en L,(- oo, oo ), después es extendida, por
1.:ontinuidad, a todo el L, (- oo, oo). Rea licemos a hora detalla·
damente esta idea.
l) Sean f,, f • E S.,.. Designemos con g 1 y g,. respect i ·
vamenle, sus transformaciones de Fourier. Tenemos
S f,(x)f.(x)dx= S 2~ S ¡g,(')..)ei'xd>..]f,(x) dx=
-·
-~
=
2'...
Jjg,(>..) _t f
2
(x)e- 1•.-dx ]d>- =
2~ },,e.(t.)g,(A.)dA,
donde el cambio del orden de integración está justificado ya
que Ja función
g 1 ('>..}f, (X) e'1·"
es absolalamel'\te in tegra ble en el plano (x, 1.). Tomando / 1 =f. = f
486 C,\P. I X. S ~l{IES TRIGONOMETRICAS. TRANSFOR.\IACION DE FOURIC:l~
y g 1 = g, = !! en la igualdad obtenida, encontramos que la fór·
mula (2) es válida para cualquier función f E S.,.
2) Sea ahora f una función arbitraria de L 2 ( - oo, oo) que se
anula fuera de un intervalo (-a, a). Entonces, fes integrable
en el intervalo (-a, a) (es decir, pertenece a L 1 (-a, a)) y, con·
secuentemente, en toda la recta. Luego, para ella está definida
la transformación de Fourier
~
g (/.) = ~ f tx) c-li..x d.'<.
Sea ahora (/,,} una sucesión de funcione.~ de S,,,. nulas fuera de
un intervalo (- a, a), que converge hacía f respecto a la norma
del espacio L, (- oo, oo). Como f y toda /,. son diferentes de
cero sólo en un intervalo fin ito, la sucesión {/,.} converge hacia f
también respecto a la norma del e$pacio L, (- oo, oo). Por lo
tanto. la sucesión jg,,} converge hacia g uniformemente en toda
la recta (véase el punto 2 del § 3). Además. la sucesión {g,,~ es
fundamental en L, (- oo, oo). En efecto, g,, - gm E S.,; luego, en
virtud de lo ya demostrado, tenernos
,.
"'
~ jg11 ().) - g,,,(/·.)IZdJ.=2n ) lf,,(x) - f,.(x)izdx,
de donde se desprende que jg,.) es una sucesión fundamental.
Ello significa que esta sucesión converge en l, y, además. hacia
Ja misma función g. hacia la cual converge uniformemente. Por
esto, podemos pasar al límite para 11 - oo en la igualdad
1
Uf,. il" =Zñllg,,
11•.
Luego, la igualdad (2) es válida para toda f EL, que se anu la
fuera de un intervalo.
3) Sea, finalmente, f una función arbitaria de L 1 • Tomemos
f N (X )
Está claro que
= f f (x) para
lx l ~N.
0
lxl > N.
l
11 f - f.v 11- O
para
para
N _ .. oo.
La función f,v pertenece a L 1 ( - oo, oo) y. consecuentemente.
para ella existe la transformación de Pourier que es igual a
"'
g.v(A) =
) f.v(x)e- 11.x dx =
N
Sf (x) erl.x d.1:.
-N
§S. TRANSFORMACION DE FOURIER EN EL ESPACIO L, (-o>. 0>)
48i
Pero, en virtud del ·punto 2) de nuestros razonamientos,
llfN-f,.dl~ = 2~llgN-EMi1~,
es decir, las funciones gN . convergen en L, hacia un limite que
designaremos con g. Por lo tanto, en la igualdad
ilfNll'= dn llgNW
se puede pasar al limite para N - oo, de don.de s~ oh.tiene la
relación (2) para cualquier f El~ (- oo, oo ). Si ahora f per!e.hece
tanto a · L, (- <io, oo) como a L 1 ( - oo, oo), existe para ella ·la
transformación de Fourier
g(A.)
= "'~ f (x)e-0.xdx,
comprendida en el sentido corriente. Como las funciones f N convergen en L , (- oo, oo) )lacia f, sus transformaciones de Fourier gN
convergen uniformemente hacia g. Pero, hemos demostrado, además, que las íunciones gN convergen respecto a la métrica de
'- ~(-ov, oo) hacia un limite que hemos designadocong. De aquí
se desprende que j¡ coincide con g. Hemos terminado la demostración.
Dl' la relación (2) se deduce inmediatamente que para cualesquiera [ 1./,EL, (-00, oo) se cumple la igual<laci
Para demostrarla basta escribir la igualdad (2) para la función
y comparar después las expresiones en los miembros derecho e izquierdo.
f 1 + f,
z>. Funciones de Hermífe. El teorema de Planchcrel, expuesto
en el punto anterior, señala que la transformación de Fourier
puede ser considerada como un operador lineal acolado F que
transforma el espacio L~ (- oo , oo) en sí mismo. Escogíe¡:¡do en
este espacio un sistema ortonormal completo, podemos definir
este operador F (al igual que cualquier otro operador lineal)
mediante la matriz infinita correspondiente. La forma de esta
matriz depende, cla.ro está, ele cómo se escoge la base. Una
matriz. correspondiente a uno u otro operador, adq uiere su forma
más sencilla si !a base correspondiente eslá compuesta por las
funciones propias del operador dado: en este caso, la matriz es
<le la forma diagonal. Veamo~ l<i existe una hase rle este tipo
488 CAP. IX. SERIES
TRIOONOMETRIC.~S.
TRANSl'ORMACION DE FOIJRIER
para la transformación de Fourier F. En otras palabras veamos
qué funciones de L1 ( - oo, oo) son propias para Ja transforma·
ción de Fourler F. Observemos. con este fin, que la ecuación
dif
dx,-x2f=µf
(3)
se convierte mediante la transformación de Fourier en una ecuación del mismo tipo (ya que la operación :;2 corresponde a la
multiplicación por - )..• y Ja multiplicación por - x' corres·
•
d'
ponde a la operacion
di.~
. Por esto resulta natural buscar !as
funciones propias del operador F como soluciones de la ecua·
ción (3). Busquemos tas soluciones de esta ecuación que tienen
la forma
)Jl
x•
f=we-•,
donde w es un polinomio. Introduciendo en (3) esla expresión,
obtenemos para w la ecuación
w" - 2xw' =(µ+ l)w.
Tomando
(4)
encontramos la igualdacl
(2a: + 3·2·a,x + ... + n(n-l)anx"- 1 ) - 2x(a1 + 2a.1x+ ... +na x"- ' )= (µ+ 1) (a 0 +a 1x + ... + a,.x").
11
Comparando en ella los coeficientes de potencias iguales de x en
Jos miembros izquierdo y derecho, encontramos que
-2na,, = (µ + l)a,,, -2 (n - l )a,,_ 1 = (µ + J)an-P
ek.; en general,
k(k-l)ak-2(k-2)a¡,-,=(Jl+ l)ak-•·
(5)
Como el coeficient'e a,, se supone distinto de cero, tenemos
µ=(2n +I) y an- 1 =0,
es decir, µ debe ser un número entero negativo impar. Todos
los coeficientes del polinomio w se determinan por las relaciones (5) unívocamente, salvo un coeficiente constante. Además,
1¡ Suponiendo, claro está, que la función incógnita f verifica las con·
dlciones correspondientes de dllerenciabilidad y de decrecimiento en el
infinito.
489
t $. TRANSFORMACION DE FOURIER EN EL ESPACIO L , (-,., • )
son iguales a cero todos aquellos coeficientes cuyos subíndices
tienen paridad opuesta a la del número n, es decir, de la potencia del polinomio w. Al contrario, los coeficientes cuyos sub!ndi~es tienen la misma paridad que n son distintos de cero y se
calculan por la fórmula recurrente
k(.11-1)
ª•-· = Zk-211-4 ª•
(para el valor dado de a.,). De esta forma obtenemos para w la
expresión siguiente
Wn
1 )
~
-a (xn- 11-(n-l)
e:
4
,. \
n-"1
X
+ n(11-l)(n-2){n-3)
,,,,_ , _
.¡.g
·'"
. )
· · '. :
Hemos construido, pues, el sistema de funciones de tipo
x'
q>n(X)=w,.(x)e- t(n=O, 1, 2, .. . ).
Es obvio que cada una de estas funciones pertenece a L. (- oo, oo)
(ya que decrece en el infinito más rápido que cualquier poten-
d-i) .
cia de
Además, estas funciones son dos a dos ortogonales.
En efecto, de acuerdo con (3). tenemos
q>~ (x)-xicp,, (x) = - (2n + 1) q1. (x).
qi;;, (x)-x'q>,,. (x) = - (2m + 1) q>m (x).
Multiplicando la primera de estas igualdades por q>.. y la segunda
por qi,. y restándolas una de otra. obtenemos
q>~<p,.-q>;;,cp,. = 2 (n-m) q>,.q>...
Teniendo en cuenta esta igualdad, enconlramos para
tegrando por partes,
.
~
tt
=t= m, in-
Scp,, (x)cp.., (x)dx= 2 (n~m) S[cp~cp.. -<p',;.q>n) dx =
-s
-~
,
=2(n-m)
•
• 1 ~_,,-_,~
r1IPn(j)m-Cl'mq>n
• • • •1dx =
l' 1q>,,q>.,qi.,,q>n
º
·
Con esto queda demostrada la ortogonalidad.
De esta forma cada uno de los elementos q>n del sistema orto·
gonal obtenido es un polinomio de grado n multiplicado por
x•
e-7. Luego, los elementos de este sistema deben coincidir, salvo
unos fa ctores numéricos, con las funciones de Hermite que hemos
490 CAP. IX. SERIP.S TRIOONOMl!TRICAS. TRANSFORMACION DE FOlJR lf;R
construido en el § 3 del cap. VII mediante la ortc:>gonalización
de la sucesión
x2
xr
X'
e-:l , xe
ll,
••.
, .~"e
=,
en el espacio L, (- oo, oo).
Probemos ahora que las funciones qi,, son íum:icmes propias
de la transformación de Fourier:
F<p,. = c.<p,,.
(6)
Esto se deduce de los siguientes hechos.
l) La ecuación (3) es invariante respecto a la transformación F.
2) Para lodo n \a ecuación (3) tiene una solución única,
x'
salvo un coeficiente constante, de tipo Pn(x)e-•. donde P,, es
un polinomio de grado n.
3)
La
;e1
fx)"e --;;-
transformación
e
de
Fourier
convierte
x"e
x•
~
en
x2
(i
= Q,, (x) -7, donde Qn es un polinomio de grado 11
(la última afirmación se comprueba fáci lmente por inducción).
De la igualdad (6) se deduce que para todo k entero
f'k<{·, , = C~<p••
Pero, la transformación de Fourier, aplicada cuatro veces consecutivas, convierte toda función en si misma multiplicada por 4n~.
Por lo tanto,
e,~ = 4n~
es decir, e,. puede tomar solamente los valores ± v·2:n: y ± t V2ñ.
Luego, en L. ( - oo, oo) la transformación de Fourier es un
operador lineal que en la base compuesta por las funciones de
H~nnite se define mediante una matriz diagonal, en la. que los
elementos diagonales toman los valores ± V2n y ± i V2:n: "·
1l
Si l:i transformación de Fqurier se define mediante la fórmul a
F[fJ~~
)Í2n
s"' f(x)e-r;.xdx.
(esto es, mediante In fórmula (I') del § 4 y no medianté la fórmula \1)), su
cuarta po!enclp será el operador unidad >
' obtenemos pum F, en a base
compuesta por 1·a s funciones de Hermite, la mntriz. diagon3l con elementos
:!: 1 y± i.
S &. TRANSFORMACION D!;; LAl'LACI::
491
§ 6. rnANSfORMACION DE LAPLACE
l ". Definición y propiedades fundamentales de la transformación de Laplace. Las posibilidades de aplicar la transformación
de Fourier a ecuaciones difer.enciales y a otras varias cuestiones
están considerablemente limitadas debido a que la transforma·
ción de Fourier está defin ida sólo para funciones sumables en
toda la recta. En particular , la transformación de Fourier no
existe para funciones que tienden al infinito para x-- -oo o
x -- oo. Al mismo tiempo. al resolver ecuaciones diferenciales
aparecen frecuentemente funciones de este tipo. Uno de los caminos p<3sibles que permiten superar esta dificultad es extender el
concepto de transformación de Fourier a las funciones general'i·
zadas y acerca de él hablaremos brevemente en el § 8 de este
capítulo. Otro camino posible, que nos permitt! quedarnos en los
márgenes de l concep to clásico de función y de los métodos dá·
sicos del Análisis, consiste en sustituir la transformación de
Fourier por la así llamada transformación de Laplace.
Supongamos que una función f (no integrable, en general, en
toda la recta) resulta ser integrable si se mul tiplica por e-Y",
donde y es un número real. Entonces, la integral
..
"'
g(s) = ~ f(x)e-is-'"<L~ = ~ f(x)e- íx>exl'dx
-oo
converge para determ inados valores complejos de s =' ¡, + íµ, en
partkular, converge en la recta 11 = - y. En esta recta representa
la transformación de Fourier de la función f (x) e-"I'.
El caso más importante para las aplicaciones, en el que SI!
cumplen nues!rllS suposiciones sobre la integrabilidad de la Íllll·
ción f (x) e-1x. es el caso en que f verifica las condiciones si·
guíen tes:
·
f (x) < Ce1v para x. ~ O,
}
f (x) = O para x < O
(.1)
(Vu y C son constantes). Entonces. Ja integral
..
"'
g(s)= ~ f(x)e-r•xdx= ~f(x)e-i'..-dx
o
(2)
existe pa ra lodos los s= ¡, + iµ tales que µ < y 0 , es decir , en el
semiplano limitado por la recta Im s= - y 0 , y representa la
tran:;formación de Fourier de la función
f (x) e~".
492 CAP. IX. SERIES TRlGONOMETR!CAS. TRANSPORMACION DE PIDURIER
Esta última puede ser obtenida a partir de g por medio de la
fórmula de inversión
f (x) PJ'X = ~
"
S g (s) eH.x d~..
de donde
iµ+
f (x) = _!_
2n
00
g (s) e¡.,, ds
\
.,
fJL-
(s =J.
+ iµ).
(3)
aJ
Como la función f (x) e"' decrece para µ. < - y0 como una función
exponencial (en virtud de (1)), su transformación de Fourier q y,
consecuentemente, también g(s)e1s." son funciones analíticas en
el semiplano Im s <-y•.
Por eso, en la fórmula de inversión (3) la integral puede ser
tomada respecto a cualquier recta paralela al eje real y perteneciente a este semiplano.
Efectuemos ahora en las fórmulas (2)· y (3) un cambio de
variable, tomando p=is y designando g(s) mediante $(p).
Tendremos
<I> (p) =
"'
Sf (x) e- rx dx
o
y
-~+•~
1
f(x) = 2n
,.
-µ-lcr>
s
-~ +l ~
d
1
J <D(p)ePx-f-=2ni
$ (p) eP" dp.
-)l-l<ID
La función <I> está definida y es analítica en el semiplano
Re p > µ 0 ; se llama trafl,Sformación de Laplace de la función f
(que verifica las condiciones (1)).
De lo expuesto se observa que la transformación de Laplace
difiere poco, en general, de la transformación de Fourier. Sin
embargo, esta pequeña diferencia lleva a que la clase de funciones, para las cuales está definida la transformación de Laplace,
se distinga de un modo sustancial de la clase L 1 (-oo, oo) de
funciones, para las cuales existe la transformación de Fourier.
2°. Apllc.aclón de Ja transformación de Laplace a la solución
de ecuaciones diferenciales ·(método operacional). La transforma-
ción de Laplace puede ser empleada para resolver eeuaciones
cuando se buscan soluciones determinadas por ciertas condiciones
S 6.
TRANSFORMACION DE LAPLACE
493
iniciales. Supongamos que está dada una ecuación diferencial
lineal de coeficientes constantes
if"1 +a1lf"- 0 + ... +a.,,y=b(x)
(4)
y que se busca su solución que satisface las condiciones iniciales
y(O)=Y•• Y' (O)=Y1• · · · • y<.- 11 (0)=Yn-1·
(5)
Apliquemos la transformación de Laplace a la ecuación (4), es
decir, multipliquémosla por e-Px e integrémosla entre O y óo. Sea·
..
Y (p) =~y (x)
o
e-Px dx
la transformación de Laplace de la función y. Integrando por
partes, encontramos la transformación de Laplace de las derivadas
y'. . . . . !I"':
..
~
h' (x) e- px dx = y (x) e-px 1: +p o~ y(x)e-Px dx= -y.+ pY(p);
o
r
y•(x)e-Pxdx=y' (x)e-P"I .. -1-P
o
o
r
y'(x)e-Pxdx=
o
=-y, + p(-y.+pY (p)) = -y1 -py0 + p~Y (p);
rylnl(x)~-P"dx,.;,y1n-J1(x}e-pxl"' +p r
y<11-t>(x)e-PXdx =
o
o
o
=-y,._,+ P (-y,._~ - PYn-s- · · · + pn- •y (p)) =
= Yn-1-PYn-i- . .. + p"Y (p).
Sea, finalmente,
.
B(p)=~b(x)e-P"dx.
o
Obtenemos que la tra1_1sformación de Laplace convierte la ecuación diferencial (4) (teniendo en cuenta las condiciones iniciales
(5)) en la ecuación
Q (p) + R (p) Y (p) = B (p).
donde B es la transformación de Laplace de la función b, Q es
un polinomio respecto a p de grado n-1 y R es un polinomio
en p de grado ~ n. De esta ecuación tenemos
y (p) =
B (p) - Q (p)
R(P}
.
494
CAP. IX . SER I ES 1'RIOONOMETRICAS. TRANSFORMACION DE F'OliR I ER
La solución y de la ecuación (4) se obtiene de aquí mediante la
fórmula de inversión
Es ta integral suele calcularse mediante los residuos.
Para resolver ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes
constantes se emplea ampliamente el así llamado método ope·
racional. Consiste en que el miembro izquierdo de una ecuación
de este tipo
yM ·; a,1/ 11 - t>-: . •• 1-a11y = b (x)
se cons idera como resultado de ap licar a la función incógnita y
el operador
f d''
dJJ-1
)
\ dx" + a1dx"-1 + · ·· + a,. •
(6)
v la solución ele la ecuación se considera como el resultado de
ápJicar al miem~ro derecho de la ecuación el operador inverso
del operador (6). Es fácil, mediante cálculos directos, encontrar
el resullado que se obtiene al aplicar este operador a algunlls
funciones elementales: trigonomélricas, exponenciales , potenciales
y sus combinaciones. Esto permite escribir automáticamente Ja
solución de una ecuación lineal de coeficientes constantes, siempre
que su miembro derecho sea una combinación de estas funciones
elementales. Está claro que el método operacional constituye. de
hecho, la aplicación, en forma indirecta, de la transformación
ele Laplace; esta última puede servir precisamente para argumentar este método que frecuentemente figura en textos técnicos en
forma de una «receta».
§ í. TRANSFORMACION DE FOURlER-STIELTJES
I ". Definición de la transformación de F ourier - Stieltjes.
Volvamós de nuevo a Ja transformación de Fourier en el espacio
L, (-oo, oo):
..
g (}.) = ~ e-i>-x¡ (x) dx.
Esta fórmul a puede ser escrita en forma de Ja integral de Siielt·
jes
.,
g(í.)= ) e- i lx dF (x) ,
( 1)
f 7. TRANSFORM.\CION DE FOüRIER-STIELTJES
495
donde
A
F (x) .,,.
S f (t) dt
(2)
es una función absolutamente continua de variación acotada
(igual a
3.. r f
(X)
I~)
en todo eje numérico. Sin embargo, la
igualdad (I} tiene sentido no sólo para funciones de tipo (2)
sino para cualesquiera funciones de variación acotada en toda
la recia. La integral
g(f..) =
"'~ e-o......df(x) ,
_,,,
donde F es una función arbitraria de variación acotada en la
recta se llama transformación de Fouri'er -Stielljes de la fu11ción F. Para la transformación de Fourier-St ieltjes se conservan
muchas de las propiedades que hemos demostrado anteriormente
para la transformación habitual de Fourier como, por ejemplo,
la siguiente: la función g defi nida por la integral (l) es conlimw
y acotada en toda la recta.
En efecto,
N
¡g().,)-g(>.,) 1=
S [e- n.,x_e-1~,x ¡ d f
(x) +
-N
+
~
[e-n.. x_ e-,.i4.. ldf (x).
IXl > N
El segundo sumando del miembro derecho puede ser hl'<:ho tan
pequeño como se quiera para cualesquiera í. 1 y
si se escoge
N suficiente grande, mientras que el primer sumando tiende a
cero para N fijo cuando >..->-,-+O.
Al mismo tiempo, no todas las propiedades de la transformación de Fourier subsisten para la transformación de Fou·
rier- Stieltjes. Por ejemplo, la transformación deFourier- Stielt jes
no tiende, en general, a cero para 1í. I - oo. Sea, por ejemplo.
i.,.
f O para x < O,
F (X ) = \
1 para x ~ Q.
Entonces
"'
g (i..) = ~ d-tk" dF (x) = l.
-"
496 CAP. IX. SERIES TRIGONOMETRICAS. TRANSfORMACION DE FOlJRIER
Análogamente la transformación de Fourier-Stielt jes de la función igual a O para x < x 0 y a l para x;;;;, x 0 es ei" es decir,
una función periódica de L
Si F es una función de saltos tal que los puntos
0
\
ri=O, ±l. ±2, ...
son sus puntos de discontinuidad y
.. . , a_ 1 , a0 , a 1 ,
.. . ,
an, .. . (donde
~ l a,..J
< oo)
son los valores de sus saltos en estos puntos, tenemos que
"'
~ e-f>." dF (x) = ~ a,.e-M
-·oo
n
es una función de periodo 2n . En cambio, si F tiene saltos a,,
en los puntos x,,, que forman una sucesión arbitraria en el eje
numérico, su transformación de Fourier -Stieltjt>s es de la forma
Las funciones de este tipo pertenecen a las así llamadas funciones casi periódicas.
2°. Aplicación de la transformación de Fourier- Stieltjes a la
teoría de probabilidades. Para funciones surnables en ( -oo, oo)
hemos introducido en el § 4 el concepto de convolución
..
f(x) = /i(x)*f.(x)= ~ /¡(x - a)f1(t)d;.
(3)
Pongamos ahora
.Y
F(x)=
X
S f(i)di,
X
F 1 (x)=) fi(t)dt y f.(x)=
S f,(t)dt.
Entonces, integrando la igualdad (3), podemos escribirla en la
forma siguiente:
X
F(x)=
X
00
~ f(t)di=) dt S f1(t-tlfi(~)~=
-CID
J.{_~ f
-·
i
(t-6) dt}
f • (~) d~ =
I
F 1 (x - 6) dF: (6)
(el cambio del orden de integración está justificado aqu í en virtud del teorema de Fubini y de Ja integrabilidad absoluta de la
§
función
7. TRANSPORMACION DE FOURIER-STIELTJES
497
f). La relación que hemos obtenido
..
F(x) = ~ F i(x-s)dF,(s>
-·
pone en correspondencia a las funciones F 1 y F 2 la función F.
Sin embargo, la · integral que figura aquí en el miembro derécho
tiene sentido no sólo para funciones absolutamente continuas
de tipo (2) si.no también para dos funciones cualesqui-era de
variación ·acotada en toda la recta. Llamaremos a la expresión
F(x)=
"'
~ F 1 (x-~)dF,(;),
_,.
('1)
donde f 1 y F, son funciones arbitrarias de variación acotada
en la recta, convolución de estas funciones. Probemos que la
expresión (4) representa una función definida para todos los
valores de x y de variación acotada en toda la recta.
En efecto, F 1 es una función medible acotada y, consecuen.
temente, la integral (4) existe para todo x. Además,
"'
1F (x,) -F (x,) l = 1 ~ {f1 (x1-~)-f1 (x,-s))dF. (s) ¡,.;;;;
_.,
"'
.
,.;;;; ~ IF1 (x1 -~)-f1(x,-~) ld(varf,(~)),
de donde
V [F],.;;;; V [F1 ) V fF~J·
Si F es la con.voluciótt de dos funciones F, y F, de
variación acotada y g, g 1 y g, son sus transformaciones de
TEOREMA 1.
Fourier-Stieltjes, se time
e(')..)= e1 (A.) e. O->·
Sea F = F 1*F 1 y sea
1
OEMOSTRACION.
a=x.<x1 < ... <x.=b
una partición del segmento [a, b]. Entonces, para todo ;..
6
n
5e1>.xdf(x)=
a
=
lim
lim
L, e1'-x'(f(xk) - F(xk- •))=
rnax Ax~- o ltm 1
"'
n
~ L,e - 0·«•-~> (F, (x"-s)-F, (xk _ 1 -s))e- 1'-~dF, m.
nux óx-'.,...º - co
k: J
498 CAP. JX. SERIES TRIG01'0ME TRICAS. TRANSJ'ORMACION DE l'OURlfU
es decir,
I>
ac
b-t
-~
a-•
·
~ e- 1i..x dF (x) = S { S. e- 1'"" dF, (x)} e-1>.~ dF, m.
u
Pasando aquí al límite para a -->-oo y b - .. oo, obtenemos
"'
"'
"'
~ e-li.xdF(x )= ~ e- 1~x dFi(x) ~ e- ll.;dF 1 (~).
_.,.
esto e::.,
El teorema de que la transformación de Fourier-Stieltje.s
transforma la convolución de funciones en producto se emplea
ampliamente en la teoría de probabilidades (método de funcio·
nes características). Si ; y 1'l son dos variables aleatorias independientes y F, . y F 2 son sus funciones de distribución, a la
variable ~-l-11 le corresponde la función de distribución
f = f1.,,f:·
Frecuentemente resulta necesario considerar en la teoría de
probabilidades la suma de variables aleatorias. El paso de las
funciones de distribución a sus transformaciones de Fourier Slieltjes, a las así llamadas funciones características, permite
sustituir la operación de convolución por la operación de multiplicación, más simple y más cómoda. De esto hemos hablado
ya anter.i9rme11te en relación con el concepto de convolución
de dos fu'nciones absolutamente integrables. Sin embargo, en
aquel momento no disponíamos aún del concepto de la transformación de Fourier-Stieltjes y hemos ten ido que limitarnos a
variaqles aleatorias continuas (a la suma de las cuales, siendo
ellas independientes, corresponde la convolución de sus densidades de distribución). El concepto de la transformación de Fourier-Stieltjes permite aplicar este mismo método a sumas de
variables aleatorias arbitrarias.
J. Demuéstrese que Ja transformación de .Fourier-Stieltjes
verí!ica la propiedad de unicidad: si Ja función fes con tinua a la izquierda
y su transformación de Fourier-Slieltjes es idénticamente nula, entonces
F (x) =const.
Z. Demuéstrese que la operación de convolución de funciones de variación acolada es conmut ativa y asocial iva.
EJERCICIOS.
~8 .
TRANSFORMACION DE FOURIER DE FLINCIONES GPNER.\l..IZADAS 499
§ 8. TRANSFOR.MACION DE FOURIER DE FUNCIONES
GENERAL! ZA DAS
Las posibilidades de ar-:i~ar el método de la transformación
r.c fourier, comprendida en el sentido habitual, a diferentes
problemas, digamos, a ecuacione~ diferenciales. resultan considerablemente restringidas debido a que esta transformación está
definida sólo para funciones absolutamente integrales en toda
la recta . Se puede obtener una ampliación sustancia l del campo
de aplicación de la transformación de Fourier introduciendo el
concepto de transformación de Fourier para funciones generali78das. Expongamos las ideas fundamentales de esta construcción.
Consideremos primero en la recia el espacio S.,, de fúnciones
indcíinidamente diferenciables y decrecientes en e,I infinito junto
con sus derivadas más rápido que cualquier potencia de - -1-,
1x¡
(véase el § 4 del cap. IV).
Tomando s.. por el espacio de funcione!. básicas. conside·
remos el espacio correspondiente de funcione.~ generalizadas S;,.
Definamos ahora la transformación de Fourier en el espacio
S:.. Para ello recordemos, ante todo. que la transformación de
Fourier (comprendida en el sentido habitual) aplica el espacio
S., en sí mismo: si q:ES.,., también Ffq:IES., y, además Fes
una aplicación biunivoca de S.., sobre todo el espacio S7'. Apoyándonos en esto, daremos la definición siguiente. Se llama Lransformaclón de Fourier de una función generalizada
f u11cional lineal g Es;. definida mediante ta fórmula
(g, 'll) =(f. qi), donde 11>=f 1'P I·
f Es·., a la
(!)
Cuando q> recorre todo el S,.,, también '11 = F1cp1 recorre todo
el s..; luego, la igualdad (1) define efectivamente una funcional
sobre S,.,. Es inmediato comprobar la linealidad y continuidad
de esta funciona l.
Para aquellos elementos de s:. que representan funciones
absolutamente integrables, la definición que acabamos de enunciar de la transformación de Fourier coincide con la habitual.
En efecto, si f EL,(-oo, oo), tp ES.. y g=F [fl, 'ljl = F[rp),
entonces del teorema de Plancherel se desprende la igualdad
(/, tp) = (g, 1j:);
además, para f prefijada existe solamen(e una función g salvo
una equivalencia, que satisface esta igualdad para toda q> E S...
De manera que la definición de la transformación de Fourier
para funciones generalizadas. enunciada más arriba, constituye
una extensión de Ja delinición clásica a una cla~e más amplia
de objetos.
500 CAP. IX. SERIES TRIGONOMETRICAS. TRANSPORMACION DE FOURll!R
Ejemplos. l. Sea f (x) =e= const. Entonces,
"'
(f, !¡>)= ~cq>(x)dX=Cl!>(Ü)
("IJ>=f(¡pl),
es decir, la transformación de Fourier de una constante es igual
.
a esta constante multiplicada por la ll·función.
2. Sea f (x) = e1ª'"· Entonces,
"'
(f, q¡)= ~ ei•xq¡ (x)dx=1jl(-a),
es decir, \a transformación de Fourier de la función eiª" es
o-función desplazada o (x-a).
3. Se.a f (x) = x 1 . Entonces, de la igualdad
..
\jl• (l.)=
-
~
x 3q> (x) e- 1• ·• dx,
obtenemos, tomando en ella 'A= O,
(xª, q¡ (x)) = -
\(l• (O)
es deci r, la transformación de Fourier de la función xª es la se·
gunda derivada de la o-función tomada con el signo menos.
Hemos definido la transformación de Fourier para las fun ·
ciones generalizadas en S.,.. Pero, podríamos tomar cualquier
otro espacio básico, por ejemplo, el espacio K de funciones terminales indefinidamente diferenciables. Para toda función q> E K
la transformación de Fourier (en el sentio habitual) existe y se
puede comprobar que es una función analítica entera de orden
de .crecimiento exponencial. Hablando con más precisión, la
tt~.J\,sfi}rm?~ión, de<"Fourier e,s . uri opérador lineal que aplica el
~P-a.ciq1- K en el espacio Z, cuyos elementos ,son funciones ana1-íti({as' 'enteras 1j>, para cada una de las cuales se cumplen las
desig4alqades. ·
J s :q l \(l(s)l~C9e"ft f
(q= I, 2, . . . ),
donde Cq y a son constantes, que dependen de 11> y 't = Im s.
Puésto que en el espacio K se ha introducido anteriormente
un concepto de convergencia, la aplicación F que .transforma K
en .z induce cierto concepto de convergencia en Z; una suce·
sión {'Pnl converge en Z hacia 1j> cuando para las imágenes re·
ciprocas se cumple la relación <lln- cp. Además, es fácil enun•
4
a.
TRANSFORMACION DE FOURIER DE FUNCIONES GENERAL IZADAS
501
ciar este concepto de convergencia sin recurrir el espacio K 11•
Sea ahora f un elemento arbitrario de K•. Asignémosle una
funcional lineal g sobre Z, tomando:
(g, ti>) = (f, qi), donde lj> = F ( q> J.
Esta funcional g se llamará tra'nsfofmación de Fourier de la funcional f. De esta forma la tran~forq¡ación de· F.ourier de una
función generalizada f sobre el esp·acio básico K es una función
generalizada sobre Z, es decir, sobre aquel espacio en el que
se aplica K por la transformación de Fourier comprendida en
el sentido habitual.
Esta misma construcción puede ser repetida también para
funciones generalizadas definidas en otros espacios de funciones
básicas. Cada vez surgirá un esquema que Incluye cuatro espacios: un espacio inicial de funciones básicas, el conjunto de
las transformaciones de Fourier de estas íunciones básicas (es
decir, el segundo espacio de funciones básicas) y dos espacios
duales. Este esquema se reduce a dos espacios cuando por funciones básicas se toma el espacio S .. ya que la transformación
de Fourier lo aplica en si mismo.
El concepto de la transformación de Fourier para funciones
generalizadas ha encontrado amplia aplicación en la teoría de
ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. El lector podrá
encontrar un tratamiento de estos problemas en e l libro de
G. E. Shilov [12}.
11
A saber:
~n -
O en Z cuando se cumplen las des igualdades
1 ~1tn(S) l<cr¡e01 ' 1•
y ~n - o uniformemente en
todo interval o !inilo del eje real.
CAPITULO
X
ECUACIONES
INTEGRALES LINEALES
§ 1 DEF ! NICIO l\ES ru:~DA MENTALES .
ALGUNOS PROBLEMAS Gt.;E LLEVA!\' A f:CUAC!CNF.S INTEGRALES
1'. Tipos de ecuaciones integrales. Se llama ecuación in legra 1
a una ecuación 'que contiene la función incógnita bajo e! signo
de integral. Ta! es, por ejemplo, la ecuación
o
'P(s) = ~
,, K(s,
t ) ip(t) di +f(s),
( 1)
donde f y K son funciones dadas 'J q> la función que debem01>
encontrar. Las variables s y t recorren aquí un segmento prefijado ¡a. b).
La particularidad caracteristica de la ecuación (1) es su linealidad: la función incógnita q> entra en ella de un modo
lineal. Varios problemas conducen a la necesidad de considerar
también ecuaciones integrales no lineales, por ejemplo, la ecuacíón de tipo
b
'l>(s)= ~ K(s. t)g(c¡:(t), t )dt.
u
donde K y g son funciones dadas. Sin embargo, nos limitare·
mos en lo sucesivo a ecuaciones integrales lineales.
Algunas ecuaciones integrales fueron estudiadas ya al pri11cip lo del siglo pasarlo. Por ejemplo, Abel consideró en 1823
§J.
DEFINJCIO~ES
FUNDAMENTALES
sqa
la ecuación que lleva ahora su nombre
f (s)=
'
L:!1)•
dt (O < a< 1, f (O) =O) .
•
donde f es una función dad~ y q¡ es Ja. función incógnita, y
demostró que la solución de esta ecuación es de la forma
1
(j) (t)
sen na('
= - : t-
,\
r (s)
(t - s¡•-• ds.
o
Sin embargo, l¡¡ teoría general de ecuaciones int.e grales :i1n~aJ~s
fue elaborada sólo en .el límite de fos siglos XIX y XX ·en 'las
obras, fundamentalmente, de Volterra, de Fredholm ·y de Hilbert.
La ecuación (1) se llama ecuación de Fredholm de segunda
especie (véase el § 7 del capitulo IV) mientras que la ecuación
,,
~ K(s, t)q>(t)dt+f(s) = O
(2)
(donde la función incógnita figura sólo bajo el signo de integral) es llamada ecuación de Fredliolm ck primera especie.
La ecuación de Abe! mencionada anteriormente pertenece
a las así llamadas ecuaciones de Volterra; la forma general de
estas ecuaciones es:
'
~ K (s,
t) cr-(t) di=! (s}
(3)
(ecuación de Volterra de primera especie) o
s
•p (s) = ~ K (s, t) ljl (/) dt + f (s)
(4)
(ecuación de Volterra de segunda especie). Está claro que la
ecuación de Volterra puede ser considerada como una ecuación
de fredholm en la que la función K verifica la condición
!((s. t) =O para t > s.
Sin emuargo, conviene destacar las ecuaciones de tipo Volterrn
en una clase especial ya que ellas poseen una serie de propiedades que no tienen lugar para ecuaciones arbitrarias de
Fredholm.
Si en las ecuaciones (!), (2) o (3) la función f es igual a
cero, est.a ecuación se llama homogénea. En el caso contrari(J
la ecuación se llama no homogénea .
CAP. X. ECUACI01'ES INTEOIULES LINl!ALES
2°. Ejemplos de problemas que llevan a ecuaciones Integrales.
En los parágrafos posteriores de este capítulo estudiaremos las
propiedades fundamentales de las ecuaciones integrales lineales.
Sin embargo, indicaremos previamente algunos problemas típicos
que conducen a ellas.
1. Equilibrio de una cuerda cargada. Consideremos una cuerda,
esto es. un hilo material de longitud l, que flexiona libremente,
pero ofrece una resistencia a la dilatación. proporcional a la
magnitud de ésta. Supongamos fi jados los exlremos de la cuerda
en los puntos x =O y x = l. Entonces en la posición de equilibrio
Ja cuerda coincide con el segmento O..:;; x ..:;; l del eje x. Supon·
gamos ahora que en el punto x=~ se ha aplicado una fuer2a
vertical P = P'° Bajo el efecto de esta fu erza la cuerda tomará,
evidentemente, la forma de quebrada indicada en Ja fig. 24.
x-€
A~B
~p
flO. 24 ·
Busquemos la magnitud 11 de la flecha de la cuerda en el
punto ~ de su posición de equilibrio bajo la acción de la fuerza P,
aplicada en este punto. Si la magnitud de la fuena P, es
pequeña en comparación con la tensión r. de la cuerda· sin
carga, podemos aceptar que la tensión de la cuerda cargada
sigue siendo T 0 • Entonces, de la condición de equilibrio de la
cuerda encontramos la igualdad siguiente:
Tor+T.¡~~=P-.
de donde
,,
v=
PiU-'H
Tol
.
Sea ahora u (x) la flecha de Ja cuerda en un punto x bajo la
acción de la fuerza P ,. Tenemos
u (x)= P,G (x, ;),
donde
§ l. DEFINICIONES F U NDAMENTALES·
En particular, de estas fórmulas se ·ve inmediatáihente
que
O (x, s) = G (s, x). Supongamos ahora que sobre la cuerda actúa
üna fuerza distribu.Ma continuamente a lo largo suyo con la
densidad p (~). Si esta fuerza es pequeña, la deformación otra
vez dependerá linealmente de la fuerza y la forma de la cuerda
cargada 'de esté modo será d~crita mediante· la función
·
1
u (x) = ~ O (x, s). P.·(~) ~-.
(5)
o
Luego, si está dada la c~rga que actúa sobre la cuerda, la
fórmula (5) permite encontrar la fqrma que toma la cuerda
bajo la acción de esta carga.
C.O.n·sideremos ahora el problema: recíproco: hallar la distribución
de la carga p bajo la cual la cuerda toma la forma prefijada u.
Para . encontrar la función p a partir de la función dada u
·obtenemos una ecuación que coincide, salvo las denotaciones,
con la ecuación (2), es decir, una ecuación integral de Fredholm
de primera especie.
2. Oscilaciones· libres y forzadas de una cuerda. Supongamos
ahora que la cuerda no se encuentra en reposo y realiza ciertas
oscilaciones. Sea u (x, t) la posición en el momento t de aquel
p.unto de la cuerda cuya abscisa es x y sea p la densidad lineal
de la cuerda u. Entonces, sobre un elemento de la cuerda de
longitud dx actúa una fuerza de inercia igual a
if'u (x. 1)
·
- ~ pdx,
de donde
t)
a•u ~. t)
p (.., =--¡¡¡r.P·
Tomando en (5) esta expresión en lugar de p (t), obtenemos
5G (x, s) p
1
u (x, () = -
'
82
ua~~ t)·dS·
(6)
o
Supongamos que la cuerda realiza oscil·aciones armónicas de una
frecuencia prefijada !Jl y de una amplitud u (x) que depende
de ·"· En otras palabras sea
·
u(x, t)=u(x)sen(l)t.
Introduciendo esta expresión en (6) y divitliendo ambos
miembros de la igualdad por senrot, obtenemos la siguiente
" Aceptamos que p= const aunque esto no es sustancial para lo suces ívo.
17 l'ó'< 2150
506
CAP. X. ECUACIONES INTEGRALES LINEALES
ecuación integral para u:
1
u (x) = pw 2
~ G(x. ~) u(~) ds.
(7)
o
Si la cuerda no oscila libremente, sino, bajo la acc1on de una
fuerza exterior, realiza oscilaciones forzadas, es fácil comprobar
que la correspondiente ecuación de las oscilaciones armónicas
de la cuerda es de la forma
1
u (x) = p<i>i ~ G (x, ;) u (s) ds + f (x),
o
es decir, representa una ecuación no homogénea de Fredholm
de segunda especie.
3. Reducción de ecuaciones diferencial.es a ecuacio11es integrales.
La resolución de una u otra ecuación diferencial conviene reducirla
en varios casos a la resolución de una ecuación integral. Por
ejemplo, en el cap. 11 hemos visto que para demostrar la
existencia y la unicidad de Ja solución de la ecuación diferencial
y' = f (x, y)
con Ja condición inicial y (x0)
ecuación integral (no lineal)
=y
0,
conviene reducirla a
la
"
y=y.+~f~. y)lft.
Las ecuaciones de orden superior al primero también pueden ser
reducidas a una ecuación integral. Consideremo¡¡, por ejemplo,
la ecuación de segundo orden
y" +f (x)y=O.
'fomando
la forma
f (x) = p•-a (x), donde p = const, podemos escribirla en
y"+ p•y =a (x) y.
Como se sabe, la solución de la ecuación
y"+p•y = g(x)
puede ser representada en la forma
y(x) = cos p (x - a)
"
+ -i> 5
sen p (x-~)g mdSa
{8)
§ 2. ECUACIONES INTEGRALES DE Fll.EDHOL/Y\
507
Luego, la resolución de la ecuación (8) se reduce a la resolución
de la ecuación integral
s"
y(x)-~ a msenp (x-~)Ym~=cosp (x-a).
a
§ 2. ECUACIONES INTEGRALES DE FREE>HOLM
Iº. Operador integral de Fredholm. En este parágrafo estud iaremos las ecuaciones de Fredholm de segunda especie,
esto es, las ecuaciones de tipo
b
q¡ (s) = ~
K (s.
t) cp(t) di+ f (s).
( l)
a
Respecto a la función K, llamada núcleo de esta ecuación,
supondremos que es medible y verifica la condición
b b
} } IK'(s, t)Jdsdt < oo.
(2)
a a
El término independiente f de esta ecuación es una función dada
de L2 (a, b] y cp es la función incógnita perteneciente a L, [a, b].
Pongamos en correspondencia a la ecuación (1) el operador
A definido del modo siguiente:
Acp='lji
significa que
b
ip (s) =
~ K (s. t) qi (t)dt.
(3)
o
El estudio de la ecuación (1) se reduce, por supuesto, al estudio
de las propiedades de este operador, llamado operador de
Fredholm de núcleo K.
La igualdad (3), donde K (s, t) es una furición de
cuadrado integrable, define en el espacio L, {a, b\ un operador
lineal totalmente continuo A cuya norma satis{ace la desigualdad
TEOR.E/Y\A 1.
. / hb
V ) ~ 1K' (s,
11 A 11 ,.;;
t) 1ds dt.
a o
DEMOSTRACION.
Observemos, ante todo, que la integral
b
~ 1K' (s, t)I dt
a
17*
(4)
CAP. X. ECUACIONES INTEGRALES LINEALES
508
existe, debido al teorema de Fubini y a la condición (2), ·para
casi todo s. En oiras palabras, K. (s, t) pertenece como función
de t a L, [a, b ) para casi todo s. Como el producto de dos
funciones de cuadrado sumables es sumable, la integral que
figura en el miembro derecho de (3) existe para casi lodo s, es
decir, la función 1Jl está definida en casi todos los puntos.
Probemos que wEL, {a, bJ. En virtud de la desigualdad de
Cauchy - Buniakovski, tenemos para casi todo s
f
l 'ljl 2 (s) 1= 1
J( (s, t) <p (t) dt
r~
b
b
b
~ ) 1k2 (s, t) l dt · ~ 1<p2 (t)f dt = ll q> 1\2 • ~ 1k' (s, t) 1dt.
a
a
a
Integrando respec.to a s y sustituyendo la integral reiterada de
1K' (s, t) 1 por una doble, obtenemos la desigualdad
b
n
b b
11 Arp ]! 2 = S111>ª (s) 1 ds~ 11 <p11ª
a
1K' (s, t)I ds dt
a a
que además de probar la integrabilidad de l11> 2 (s) 1 demuestra
la estimación (4) para Ja norma del operador A. Resta probar
que el operador A es totalmente continuo. Sea {1l>n} un sistema
completo ortogonal de L2 [a, b]. Entonces, todos los prod~ctos
pares de tipo 1l>m (s) ip. (t) forman un sistema completo en el
espacio L, ([a, b] x [a, b]) y, consecuentemente,
K (s, t) = ~ ~ amn1l>m (s) 'IJln (t).
in n
Pongamos ahora
N
KN(s, f)=
L
amn'i>.,.(S)ij>n(t)
m, 11aI
y sea A;v. ~I operador cQrrespondiente al núcleo KN· Este operador es ·.totalmente continuo ya que transforma tqdo el espacio
L, fa, b} :en. un· subespac;:ip !le dimensión finita (los operadores
de este tipo han sido. llamados en el cap. lV degenerados). En
eí~to, si q> EL, fa, b], se tiene
b
AN<p=~KN(s,
a
N
t)19(t)dt=
b
L a.,.1iJ.,(s)~q¡(t)1iJ.(t)dt=
m. ,¡,.J
o
·
N
=
L
rn=.)
N
1l>m (s)
L
n~t
a,..b.,
S 2. ECUACIONES INTEORAL!!S DE FREDHOLM
509
donde
b
b.= ~ <p(l)l!>,.(t)dt,
4
es decir, todo elemento <p EL, [a, b) es transformado por el
operador AN en un elemento del subespacio de dimensión finita
generado por los vectores i¡i,, .. .. , lllN· Ahora bien, como KN
es la suma parcial de la serie de· Fourier de la función ·K,
tenemos
b b
~ ~(K(s, t)-KN(s, t))i dsdt-0 para N-oo.
a a
Aplicando la estimación (4) al operador A-A,v, encontramos
de aquí
ll A- A,vll-0 para N =: oo.
Empleando ahora el teorema de que el límite de una sucesión
convergente de operadores totalmente continuos es un operador
totalmente continuo, obtenemos la continuidad total del operador A.
El teorema queda demostrado
Obsel"\laciones. 1. Al demostrar el teorema 1 hemos probado
que todo operador de F.redholm puede ser representado como
limite (en el sentido de la convergencia según la norma) de
una sucesión de operadores integrales degenerados.
2. Sean A1 y A, dos operadores de tipo (3) y sean K1 y K.
sus núcleos correspondientes. Si los operadores A1 y A, son
iguales. es decir, A1<P= A,<P para toda cp EL, [a, b}, entonces
K1 (s, /) = K. (s, t) casi en todos los puntos. En efecto, si
b
A 1cp-A,<p
=) (K (s,
1
t)- K , (s, t) <p (t) dt = O
u
para toda <pEL,[a, b], entonces para casi todo sE {a, b] se tiene
b
~ I K1 (s, t)-K.(s, t)l'di=O,
Q
es decir,
b b
~ ~ 1K1 (s, t)-K, (s. t)Iª dsdt,,.. o.
o
Q
de donde se desprende nuestra afirmación. Luego, si conveni-
CAP. X. ECUACIONES INTEGRA i.ES LINEAt..c S
510
mos, como siempre. en no distinguir las funciones sumables
equivalentes, podemos decir que la correspondencia entre los
operadores integrales y los núcleos es biunívoca.
TEOREIM 2.
Sea A un operador de Fredlwlm correspondiente a un
núcleo K(s, t). Entonces, el operador conjugado
1 por el núcleo «con¡ugado» K (t, s).
A*
se define
DEMOSTRAc10N. Empleando el teorema de Fubini, tenemos
(A
f,
g) = {
HK (s, t) f (t)dt}g(s) ds = f fK (s, t ) f (t)g
a \a
=
f{f
(s) di
ds =
a a
K (s, /) g (s) ds} f (t) dt =
Jf (t) {f /( (s, t) g (s) ds} dt
y de aquí se deduce la afirmación del teorema.
En particular, un operador A de tipo (3) es autoconjugado
en L. {a, óJ, es decir, A*= A, cuando, y sólo cuando, K (s. t)=
= /( (t, s). En el caso en que se considera el espacio de Hilbert
real (y, por lo tanto, núcleos reales !() la condición de autocon·
jugación es la igualdad K (s, t) = K (t, s).
Observación. Hemos considerado operadores integrales que
actúan en el espacio L, [a, b] en un segmento. No obstante,
todo Jo expuesto se extiende sin modificaciones al caso en que
se considera, en lugar del segmento [a, bj, un espacio cualquiera
provisto de medida.
2°. Ecuaciones de núcleo simétrico. Consideremos una ecuación integral de Fredholm de segunda espocie
b
<p (s) = )
K (s,
t) <p (t) dt + f (s),
(5)
a
cuyo núcleo verifica las condiciones
1)
b b
) ) IKz(s,
t) ldsdt
<oo,
a a
2)
K(s, t)=K(t, s).
Estas ecuaciones serán llamadas ecuaciones de núcleo simétrico.
En virtud de los teoremas 1 y 2 del punto anterior, el operador
de Fredholm cor.respondiente
b
Aq¡ = ~ K (s, t) <p {t) dt
•
(6)
S 2. ECUACIONES INTEGRALES DE PREOHOLM
511
es totalmente continuo y autoconjugado. L:uego, es válido para
él el teorema de Hilbert-Schmidt (punto 5, § 6, cap·. IV). Apli·
quemos este teorema a la resolución · de la ecuación (5). COmo lo
que importa no es la forma integral del operador (6) sino el
hecho de que este operador es totalmente continuo y autoconj_u·
gado, es natural escribir la ecuación (5) en forma simbólica
~
,=A,+i
De acuerdo con el teorema de Hilberb--Schmidt, existe -paja»A
un sistema ortonormal {11>nf de funciones propias, correspondietttes a los valores propios p..11}, tal que todo elemento de L,
puede ser representado en la forma
a
a= ~ an"111 + a',
n
donde
Aa' =0.
Tomemos
{ = ~b111j),,
"
y busquemos la solución
q>
+ f' (A/'= O)
de la ecuación (7) en Ja forma
(A<p'=O).
<p = ~Xn'i'n+<p '
n.
(8)
(9)
Introduciendo los desarrollos (8) y (9) en (7), obtenemos
~Xn'i'n+ '' = ~XnA.,.ip,,
n
+~ bn1Jin+f'.
"
Esta igualdad se cumple cuando, y sólo cuando,
f'
y
=•'
x,, (l - A.11)=b,, (n=I, 2, . .... ),
es decir, cuando
/'=q:i',
x,, = 1
b.,
_,_,
11
'
l,
para "'•=fa
b =0 para A.,,= l.
11
La última igualdad es una condición necesaria y suficiente
para que Ja ecuación (7) tenga solución. Obtenemos de esta forma
el resultado siguiente: si 1 rio es tJalor propio del operador A, la
ecuación (7) tiene una solución, y sólo una, cualquiera que sea f;
en cambio. St 1 es valor propio del operador A la ecuación (7)
tiene solución cua!UÚJ, y sólo cuando, el término ináependiente tes
ortogonal a todas las funciones propias del operador A correspondie1ites al valor propio l ; si esta última condicióri se cumple, la
ecuación (7) tiene un conjunto infinito de soluciones.
612
CAP.
ECUACIONES
)t.
INTEO~ALES
LINEALES
3°. Teoremas de f redholm. Caso de núcleo degenerado. Pase·
mos ahora a estudiar las ecuaciones de fi·edholm ·de ·segunda
especie con núcleos que verifican la condición
b b
~ )lK'(.s, t.)[dsdt<oo.
a a
(que garantiza la continuidad total del operador correspondiente),
pero que no son simétricos.
Supongamos primero que se considera Ja ecuación
b
cp (s) = ~ K (s, t) cp (t) dt + f (s),
(10)
4
cuyo núcleo es degenerado, es decir, de la forma
n
K(s, f)= ~ P;(s)Q;(t),
(11)
l= l
donde Pi• Q1 son funciones de L,. El operador con núcleo de
tipo (11) transforma toda función <p EL, en la suma
b
r¡
L P;(s) a~ Q;(t) qi(t)dt,
l• I
es decir, en un elemento del subespacio de, dimensión fin~ta generado por las funCíones P 1, i = 11 2, .. : , n. Notemos que en la
expresión (11) las funciones Pj • . .. , Pn pueden ser consideradas
linealmente independi~.tes. En efecto, si esto no fuese así, podríamos, expresando· ·Cada una de las fÚnciones P¡ como combinación lineal de las independientes, representar este mi~mo· núcleo K (s, t) como suma de un número menor de sumandos de
tipo P1 (s) Q1 (t) de manera que las funciones P1 sean linealmente independientes,
Busquemos, pues, la solució.n de la ecuación (10) con núcleo
degenerado (1 1) en el ·que 1as funciones P., ... , P" son linea! mente .¡ndepend_ienJes. Tomar:ido en la ecuación (10) en lugar de
K (s, , t) l~, suma. C(lrrespon~i'tmte, <;>bteaemos
11
<p (s) =
b
L P; (s) ~ Q,.(t) cp (!) dt + f (s).
a
/; l
·Designando
b
3Q ¡(t) <p (t) dt = q¡.
a
(12)
S 2. ECUACIONES INTEGRALES DE FREDHOLM
613
podemos escribir la ecuación (12) en la forma
" q;P (s)+f (s).
q>(s)= ~
1
l=I
Tomando en la ecuación {10) esta expresión para <p, olitenetnos
n
~ q1P 1 (s)+f (s) =
= ~I P¡(s)
f
Q¡(t)
(~ q¡P¡(I) + f (t) Jdt.+f (s).
(13)
Poniendo
b
b
SQ1(t)P1 (t)df =
a 11,
a
sQ ¡(t)f (t)dt = b,.
o
la igualdad (13) resulta:
n
n
[ n
J
~q
1 P 1 (s)= ~P1 (s) ~a11 q1 +b1 •
l=I
lal
/•I
Como las funciones P 1 son, por suposición, linealmente indepenQientes, esta igualdad implica la igualdad de los respectivos
coeficientes de P 1 (s):
" 1¡q1 +b1,
q 1 =~a
i=I, 2, ... , n.
(14)
/=I
Hemos obtenido para los coeficientes q 1 un sistema de ecuaciones lineales. Resolviéndolo obtenemos Ja función
cp(s)=
" q;P (s) + f (s).
l:
1
t= 1
Esla función satisface la ecuación integral (JO) ya que todos los
razonamientos, mediante los cuales hemos pasado de la ecuación (JO) al sistema (14), pueden ser realizados en orden contrario.
Lµego, la resolución de 'lila ecuación integral de núcleo degene·
rado $e reduce a la resolüción del correspo(ldie11te sistema (14) de
ecuaciones algebraicas lineales.
Para sistemas de ecuaciones lineales son bien conocidas las
condiciones de existencia v de unicidad de la solución.
l. Un sistema de ecuaciones algebraicas lineales
Tx = y (T =ll a 1. ll, x=(x., . .. , x,J. y -= (y ,, . . .• y,,))
CAP. X. ECUACIONes INTEGRALES LINEALES
tiene solución cuando, y sólo cuando, el vector y es ortogonal a
toda solución del sistema homogéneo conjugado
r•z-o
(T· = 11 aHll>·
11. Si el determinante de la matriz T es diferente de cero,
la ecuación T x =y tiene solución única cualquiera que sea y.
En cambio, si el determinante de la matriz T es igual a cero,
la ecuación homogénea Tx = O tiene soluciones no nulas.
111 . Como Ja matriz T y la matriz conjugada T* son del
mismo rango, los sistemas homogéneos Tx = O y T*z=O tienen
el mismo número de soluciones linealmente independientes.
Debido a la relación que, como hemos visto, existe entre
ecuaciones integrales de núcleo degenerado y sistemas de ecua·
cíones algebraicas lineales, estas proposiciones pueden ser consi ·
deradas como teoremas referentes a las soluciones de ecuaciones
integrales degeneradas. En el punto siguiente demostraremos que,
de hecho, estos mismos teoremas tienen lugar también para
ecuaciones de núcleo arbitrario (no degenerado). Sin embargo,
puesto que para operadores integrales no degenerados no tienen
sentido conceptos como rango y determinante de una matriz,
los teoremas correspondientes deben ser enunciados de manera
que en ellos no figuran estos conceptos.
4°. Teoremas de Fredholm para ecuaciones de núcleo no de·
generado. Volvamos a considerar Ja ecuación
~
q> (s) =-
~ /( (s, t) q> (/) dJ + f(s),
(15)
o
suponiendo ahora que su núcleo veriJica sólo la condición
bb
) )/Kª(s, t)ldsdt<oo
a a
(qu,e g¡¡rantiza la continuidad total del operador correspondiente),
es ·deelr, no suponemos ahora el núcleo ni degenerado ni simé·
trioo. Nos inleresan las condiciones en las que la ecuación (15)
tiene solución y ·]as propiedades de sus soluciones. Además, para
nosotros será esencial sólo la propiedad de continuidad total del
operador corr.espondiente a la ecuación (15) y no su forma integral.
Por lo tanto, · realizaremos todas las consideraciones sucesivas
para la ecuación en operadores
cpo=Acp+f,
(16)
donde A es un operador arbitrario totalmente continuo definido
en el espacio de Hilberl H.
S 2. ECUACIONES INTEGRAL!!.$ 01! FRl!OHOLM
515
Tomando T =/-A (donde l es el operador unidad), escri•
biremos la ecuación (16) en la forma
T<p=f.
(17)
Además de esta ecuación, consideraremos la ecuación homogénea
Tcp 0 =0
(18)
y las ecuaciones conjugadas
P'l>=g,
(19)
T*'l>o E : O
(20)
(T* = l-A*). La relación existente entre las ~lucl9nes de estas
cuatro ecuaciones viene expresada en los siguientes teoremas de
Fredholm.
J. la ecuación no !wmogénea Tq¡ = f llene solucló11 para aque·
Lla.s f, y sólo aquéllas, que son ortogonales a toda solución de la
ecuación lwmogénea conjugada T •'ljl0 = O.
11. (Alternativa de !redholm.) O bien la ecuación Tcp=f tiene
una solución, y sólo una, cualquiera que sea f EH o bien la ecua·
ciótt lwmogénea T cp 0 =0 tiene solu.cwn no nula.
llJ. Las ecuaciones lwmogéneas (17) y (19) tienen el mismo
número, a.demás finito, de soluciones linealmente independientes.
Antes de pasar a demostrar estos teoremas. observemos que
son válidos (en virtud de lo dicho en el punto 2) para ecuaciones de núcleo simétrico. Además, como A y A• coinciden en
este caso, el teorema 111 resulta trivial.
Por otro lado, si A es un operador integral degenerado, las
ecuaciones correspondientes se reducen, como hemos visto, a sistemas de ecuaciones algebraicas lineales; los teoremas de Fredholm
se convierten, evidentemente, en este caso en los teoremas sobre
sistemas lineales que hemos enunciado en el yunto anterior.
Aprovechando que lodo operador integra es límite de una
sucesión convergente de operadores degenerados, podríamos demostrar los teoremas de fredholm mediante el correspondiente
paso al límite (de núcleos degenerados a núcleos no degenerados).
Sin embargo, escogemos otro camino y daremos una demostración
de estos teoremas que no está relacionada con la consideración
de ecuaciones degeneradas.
OEJllOSTRAClON DI! LOS TEORl!MAS DE FRBOHOLM. Sea N (B) el conjunto de los ceros de un operador lineal continuo B, es decir, el
conjunto de todos aquellos x EH para los que Bx =O. Está claro
que N (8) es siempre un subespacio lineal cerrado. Sea R (8) el
campo de valores del operador B, es dec.ir, el conjunto de vectores de tipo y= Bx. E l conjunto R (B) constituye también una
variedad lineal, pero, en general, no cerrada. Demostraremos
CAP. X . ECUAC IONES INTEGRALES LIN E ALES
516
¡ihora que para el operador T = J -A esta variedad es cerrada.
LEMA 1. La variedad R (T) es cerrada.
DEMOSTRACION. Sean y,, E R (T} y sea Yn-.. y. Por hipótesis, existen vectores x,, EH tales que
(21)
Restando, si hace falta, de xn su proyección sobre N (T), pode·
mos aceptar que estos vectores son ortogonales a N (TJ. Además,
podernos aceptar que 11xn11 están acotadas en conjunto. En efecto,
de lo . contrario, pasando a una sucesión, tendríamos 11xn11-- oo
y, di'{_idiendo por 11 x11 1i, deduciríamos de (21) que ;: ll 11
- A
- O. Pero, como el operador A es totalmente conti·
11
nuo, podemos aceptar, pasando de n.uevo a una subsucesión, que
la sucesión
;: } converge. Por lo tanto, también ::
11
11 11
convergerá, digamos a un vector z E H. Está claro que 11 z \\ = l
y T (z} = O, es de¡:ir, z EN (T). Suponernos, sin embargo, que los
vectores x,, son ortogonáles a N (T); luego, también el vector z
d~be ser ortogonal a N (T). La contradicción obtenida permite
suponer que 11x,, 11 están acoladas en conjunto. Al mismo liem po,
la sucesión {Ax,,} puede ser supuesta en este caso convergente;
entonces, como se desprende de (21), también será convergente
la sucesión {x,.}. Si x es el límite de esta sucesión, de (21) se
desprende que y = Tx. El lema queda demostrado.
U;:
{A
LEMA 2.
El espacw H es la suma directa ortogonal de los subespa·
cios cerrados N (T) y R (T), es decir,
N (T) E9 R (T*) = H
y an,álogqmente
N (T-)E9R (TJ =H.
(22)
(23)
oeMoSTRAc10N. Sabemos ya que los dos subespacibs que figuran
en el miembro izqui~rdo de (~2) son cerrados. Además, son ortogon~ales . ya que,. ~¡ h E-N-(T), se tiene (h, Px) =- (Th, x} = O para
tódo x E H. -.falta por demostrar que no existe ningún vector no
nµlo ortogonal simultáneamente a · R (T* ) y N (T). Pero, si el
ve.ctor z ·es ortogonal _a· R (T*), entonces para cualquier x (!H
tenemos (Tz , x).= (z, P'x) = 0, es decir, z EN (T). El lema queda
demóstrado.
·
S 2. ECUACIONES INTeORALES DE FREDHOLM
617
Del lema 2 se desprende inmedia.tamente el primer teorema
de Fredholm. En efecto, f .L N (T•¡ cuando, y sólo cuando,
f E R (T), es decir, cuando existe un q> t¡il Que Tq> =f.
.
Pongamos ahora H• = R (T") para cada k entero, de manera
que, en particular, lf' = R (T). Está claro que los subespacios H•
forman una cadena de subespacios encajados
H;:;;¡H 1 ;:)H1 =>...
(24)
y que, en virtud del lema 1, todos estos subespacioo son
dos. Además, T (H") = 1fh1,
LEMA 3.
~rra­
Existe un j tal que H•+ 1 = H" para todo k ~-Í
DEMOSTRAc10N. Si no existe un tal /, es evidente que todos los
H• son distintos. En este caso podemos construir una sucesión
ortonormal {x.} tal que x,, EH" y son ortogonales a H11+ 1 • Sea
l > k : Entonces,
Ax1 -Ax,, = - x,,+(x1 +Tx,, - Tx1)
consecuentemenle,
yaquex, + Tx. - Tx E
'uego,
rcesión
de la sucesión
no
puede, extraer ninguna subsuconvergente, lo que contr¡idlce a la continuidad total del
U Ax,~Ax,, 11~ l
{Ax_.}
se
1
ffA+ 1 •
operador A. Con esto queda demostrado el lema.
LEMA•. Si N(T)={O}, se tiene R(T)=H.
OE~\OSTRACtoN. Si N (T) ={O}, el operador T es biunívoco; de
manera que, siendo R (T)-:¡.H, la cadena (24) consta de diferen·
tes subespacios y esto contradice al lema 3. Luego, R (T) =H.
Análogamente, R (T*) = H, si se tiene N (T*) =(O}.
tllMA 8. Si R (T) = H, se tiene N (T) ={O} .
OEMOSTRACION. Como R (T) =H, tenemos, en virtud del lema 2,
N (T• ) ={O}; pero, entonces, en virtud del lema 4, R (T) = H y,
consecuentemente, N (T) = {0} por el lema 2.
Los lemas 4 y 5 constih!yen en su conjunto el contenido del
segundo teorema (la alternativa) de Fredholm. Con esto queda
demostrado este teorema.
Demostremos,. Hnalmente, el tercer teorema de Fredholm.
Supongamos que el subespaclo N (T) es de dimensión infinita.
Entonces, existe en este subespacio un sistema ortonormal infinito
{x.}. Además, Ax. = x~ de manera que para k=Fl tenemos
lf Ax.-Ax1 11 = V2. Pero, esto significa que de la sucesión {Ax.J
no se puede extraer ninguna subsucesión convergente, lo que
contradice a la continuidad total del operador A.
518
CAP. X. ECUACIONES INTEGRALES LINEALES
Sea il la dimensión de N (T) y sea v la dimensión de N (T•).
Supongamos que µ <v. Sea {q¡L> •.. , <p"} una base ortonormal
en N (T) y sea \j>., .• . , 11>. una base ortonormal de N (T*).
Tomemos
Sx = Tx+
1~ (x, q¡
1) '1>1·
Como el operador S se obtiene del operador T agregándole un
operador degenerado, todos los resultados demost.rados más arriba
para el operador T son válidos también para el operador S.
Probemos que Ja ecuación Sx =O tiene solamente solución
trivial. En efecto, supongamos que
(25)
Como los vectores ,¡,1 son ortogonales, en virtud del lema 2, a
todo¡ los vectores de tipo Tx, de (25) se deduce que
Tx=O
y
(x, qi1)-0 para 1 :s;;;;;, ¡~ µ .
Luego, el vector x debe ser, por un lado, una combinación lineal
de los vectores qi1 y, por otro lado, debe ser ortogonal a ellos.
Consecuentemente, x= O. De modo que la ecuación Sx = O tiene
solamente solución trivial. Existe entonces, de acuerdo con el
teorema 2, un vector y tal que
Ty+ ~(g, <p¡)'lll¡= 11>~+1·
Está claro que multiplicando esta igualdad escalarmente por
y 1 en el miembro
_derecho. Esta contradicción ha surgido porque hemos supuesto
que µ<v. Luego, µ~v. Sustituyendo ahora el operador T por
r.•, . encontraremos que µ ~ v y, consecuentemente, µ = v. E 1
teor~a I II queda demostrado completamente.
Observación t. Los teoremas de Fredholm tratan, de hecho,
sobr~ la posibilidad de invertir el operador A -1 y significan
que A.= 1 es o bien un punto regu lar para A o bien un valor
propio de multiplicidad finita. Por supuesto, todo lo que se afirma
en estos teoremas sigue siendo válido también para los operadores A -'J..l, donde A.*O. Luego, todo punto distinto de O del
espectro de un operador totalmente oontinW) es un valor propio
sltyo de multiplicidad finita. Además, como sabemos. el conjunto
de estos valores propios es, a lo sumo, numerable. Recordemos,
'1>,.+1 ._ obtendremos O en el miembro izquierdo
~
2. ECUACIONES INTEORALES DE FREDHOLM
519
de paso, que el punto O siempre Pl!ftenece al · espectro .de uri
operado1· totalmente continuo en un espacio de dimensión inO·
nita; pero, en general, no es• necesar.iamente valor propio. Los
operadores totalmente continuos, para los cuales O es él único
punto del espectro, son llamados operadores (abstractos) de 'Volterra.
Observación 2. Hemos demostrado los teore111ás ..de Fredhp!m ~
para la ecuación de tipo cp = Acp + f, donde A es un operador
totalmente continuo en el espacio de Hilbert. Estos teoremas.
pueden ser extendidos, sin. m9d,i.ficac.iones. ~1;1sJancjales, a.J• !?!:lSQ;de un espacio de Banach ac.l:iitnu:io .E. ErL.~te q¡sq, .c_larq~--~J!1\
la ecuación conjugad~ '!>=A "11> + g,.s_erá: una ~ua.ció.IJ. ·.en el. d illl;
cio E*,· la condición ·de ortogonalidad ,(f, '1>óh=:9 deJ:>e ~ql_:\i¡fr~nt~•
derse en el sentido de que tod!l Juncfonal del'. l¡Ub~paciq N·* if:i.§~~;
de soluciones de la ecuación A*'ljJ0 =Q se anula en el elemento
f E E, etc. Una exposición de los teoremas de Fredholm para el
caso de ecuaciones en espacios de Banach se puede ver, por
ejemplo. en el libro de L. A. Lusternik y V. I. Sóbolev «Elementos del Análisis Funcional».
5º. Ecuaciones de Volterra. Se llama ecuación de Volterra (de
segunda especie) a la ecuación integral
•
cp (s) =
~ K (s, t) '{> (t) dt + f (s),
(26)
"
donde K (s, t) es una función medible acotada: 1K (s, t) 1~ M.
Puesto que esta ecuación puede ser considerada como un caso
particular de la ecuación de Fredholm {con núcleo igual a cero
para t>s), los teoremas de Fredholm son válidos también para
la ecuación (26). No obstante, para las ecuaciones de Volterra
estos teoremas pueden ser precisados del modo siguiente. La ecuaclón de Volterra (26) tiene un,a solución, y sólo una, cualquiera
que sea la función f E L1 •
En efecto, repitiendo textualmente los razonamientos del
punto 4 del § 4 del cap. II, veremos que cierta potencia del
operador
•
Aqi=~K(s, t)qi(t)dt
a
es un operador contraído y, por lo tanto, la ecuación homogénea
tiene solución única (trivial). De aquí se desprende en virtud d.e
los teoremas de Fredholm, nuestra afirmación.
520
CAP. X. ECU.(IC IONES lNT E G!{ALES LlNC:ALES
EJ,,RCICIO. Consideremos en un segmento una ecuación Integral de Fredholm de segunda especie con núcleo continuo. Demuéstrense para esta ecuación los teoremas de Predbolm en el espacio de funciones continuas. En este
caso, el papel de cecuaclón conjugada• lo desempeña la ecuación integral de
núcleo transpuesto y la ortogon~lidad se comprende en el sentido de L,.
6°. Ecuaciones integrales de primera especie. Se llama ecuació11
abstracta de Fredholm de primera especie a la ecuación de tipo
Aq>=f,
(27)
es decir, a una ecuación que contiene la !unción incógnita sólo
bajo el signo de operador totalmehle continuo.
La resolución de una ecuación de este tipo constituye un
problema más complejo, en genera], que la resolución de una
ecuación de segunda especie y para una función arbitraria f E L,
la ecuación (27) puede no tener solución.
Consideremos primero, a título de ejemplo elemental, la
ecuación
s
f(s)=
S<p(t)dt,
a
es decir, una
~uación
de núcleo
r
1 para t ~ s,
K (s. t) = l O para t > s.
Ella tiene solución obvia <¡> (s) = f' (s) cuando f es absolutamente continua y pertenece a L,; no tiene solución en el caso
contrario.
Probemos que también en el caso general la ecuación (27)
puede no tener solución para una f EH arbitraria .. En ~fecto, si
la ecuación Aqi = f tiene solución para cualquier f EH, ello sigIijfi.ca lqlie.•este operadot'.transforma, H en todo.el H. Prob¡!mos que
estÓ'ie$l imp 0sible•.·rodo el ·espácio H .puede ser- representado como
la.. uni9n de una cantidad numerable de bolas Sn (por ejemplo,
de las: .oolás de . radio :1, 2, ...,..., n ... y centco en el cero). El
op'~a.dqt.• ,tot,almente continuo A transforma cada una d.e estas
bolas en un conjunto compacto. De manera que AH es la . unión
de una cantidad numerable de compactos. Pero, cualquier compacto es nunca denso en H; al mismo tiempo, H, al igual que
cualquier espacio métrko completo, · no puede ser representado
como la unión de una cantidad numerable de conjuntos nunca
d1msos, · Luego,. 4H .p H;. en 1otras palabr.as, cualquiera. que sea
el operador .A , totalment~ CQntinuo en H la ecuación. .A<¡>= f no
puede tener solución para toda f E..H.
S 3, ECUACIONES rN:rEGRALES CO,N PAflAMETRO
52-1
Otro momento sustancial en la solución de ecuaciones de
primera especie consiste en que en· H un ope:r ador, inversa de un
operador totalmente continuo, no es acotado. Por lo tanto, "SI· f 1
y f. son dos elementos próximos de H y ambas ecuacione.s
Aq\=f1 Y Acp.= f,
tienen solución, las soluciones correspondientes cp 1 = A- 1.¡1 y
q¡, = A- 1f, pueden distinguirse considerablemente una de o.tra, .en
otras palabras, un error tan pequeñó corrió se quiera :'E!n ef.{étiliir'io
independiente de la ecuación puede c<:>,n(!:ucir. a ,un error, tar.i !gi;iinde
como se quiera en la solución. Los prool'éifia's, én los· ~que·· t!t.W ·,
pequeña variación en los datos iniciales .lleva ~· una ¡>'ecj'ueña
variación · en la solución (la palabra <pequeña> puede ser comprendida en diferentes problemas de modo distinto), se llaman
correctos. La solución de una ecuación integra·! de primera especie
(a diferencia de una ecuación de segunda especie) es un problema
no correcto. En los últimos tiempos se han difundido mucho los
problemas no correctos y han obtenido un gran desarrollo los
métodos de su regularización (es decir, métodos que permiten
reducirlos a problemas correctos en uno u otro sentido). Sin
embargo, la exposición de estas cuestiones sale de los márgenes
de este libro.
§ 3. ECUACIONES INTEGRALES CON PAR.AMETR,0.
MJOTODO DE FREDHOlM
1°. Espectro de un operador totalmente continuo en JI. Consideremos la ecuación
q¡= A.Aq¡+f
o, que es lo mismo,
(l-'>.A)IP=f,
(l)
donde A es un operador totalmente continuo en el espacio H de
Hilbert y A. es un parámetro numérico.
En virtud de la alternativa de Fredholm, pueden darse dos
y sólo dos casos:
l) La ecuación (l) tiene para A. prefijado una solución, y sólo
una, cualquiera que sea f EH.
2) La ecuación homogénea q¡ = A.Aq¡ tiene solución no nula.
En ·el ·primer caso· el operador /-A.A aplica, además biunívocamente, H en todo el H. De aquí se desprende Ja existei;¡cia
del operador inverso acotado (J-J..A)- 1 • Está claro que esto
1
equivale a que el operador (
existe y es acotado; en
A-}1f
CAP- X. l!CUACIONl!S INTEORALBS LINl!ALl!S
522
T
otras palabras,
no pertenece, en este caso, al espectro del
operador A.
Supongamos ahora que tiene lugar la segunda posibilidad,
esto es, que existe un elemento <J>i. EH diferente de cero tal que
1
11>i. = XAqii. 6 Aqii.=¡-(P>.,
es decir,
J: es valor propio del operador A.
Obtenemos el resultado siguiente: todo número µ=} distinto de cero o bien es un valor propio del operador totalmente continuo A o bien es un valor regular. En otras palabras, el espectro
continuo de un operador totalmente continuo o blen no existe o
o bien consta solamente del punto µ=O.
Uniendo lo que acabamos de decir con el teorema 4 del § 6
del cap. IV, obtenemos que el espectro de un operador totalmente continuo en H puede ser descrito del modo siguiente. El
espectro de cualquier operador A totalmente continuo en H consta
de un número finito o numerable de valores propios distintos de
cada uno de los cuales es de multiplicero µ/' ~·.. _.. , ~·n
cidad inita u, y del punto cero; éste es el único punto posible
de acumulación de la sucesión jµ,, }. El propio punto µ.=O puede
ser o bien un valor propio de multiplicidad íini ta o infinita o
bien un punto de acumulación del conjunto de valores propios.
Como hemos demostrado en el punto 5, para la ecuación
...,
ip=XBcp+f,
donde B es un operador de Volterra, siempre tiene lugar el primer caso de la alternativa de Fredbolm (existe la solución para
cualquier f E L1). En otras palabras, el espectro de un operador
de tipo de Volterra consta sólo del punto µ. = O.
_2'! Re11r~sentación de. la solución en forma de una serle de
i)ote'nclas '«te~ 1: Detennlnantes de Fredholm. La solución de la
ecuación
(1 -'J..A)ip=f
puede ser escrita formalmente como
q>= (/-XA)- 1 f.
(2)
Esta fórmula define, efectivamente, la solución cuando 111-.A 11 < I ,
es decir, cuando l 'J.. I <
ya que en este caso el operador
m,
µ=0 pertenece necesariamente al espectro del operador A ya que A- 1
no puede ser acotada en H.
1>
523
§ 3. ECUACIONES INTEGRALES CON PARAMETRO
{l -l..A)- 1 existe, está definido en todo H y es acotado (véase
el punto 7 del § 5 del cap. IV). Además, el operador (f- i.A)- 1
puede ser considerado, en este caso, como la suma de la serie
de potencias
(/-A.A)- 1 = l + A.A + l..2 A 1 + ... -1-).•A• + ... ,
cuya convergencia (respecto a la norma) está garantizada por la
condición 1¡,,] < ~ • Luego, la solución . (2) de nuestra ect,!a11 1
ción (1) puede ser representada en la forma
cp =
f + 1.A f + A.•A• f +
... + A"A'' f
+...
, (3)
Este mismo resultado se obtiene, si la solución de la ecuación
( 1) se busca en forma de la serie de potencias
c¡>, = cp. + A.cp,+ .. . . + A."<p,. -1- . ..
(donde <p,, ya no dependen de i.). Tomando esta serie en lugar
de <p en los miembros derecho e izquierdo de la ecuación cp =
= J.Aq¡ + f e igualando después los coeficientes de potencias iguales de A. en ambos miembros de la igualdad, obtendremos
cp0 = f, cp1 = Af, .. . . , cp,, = A<p,._, = A"f, ... ,
es decir, Ja serle (3).
Probemos que si A es un operador integral definido por un
núcleo K de cuadrado integrable, el operador (/-AA)- 1 puede
ser representado, para valores suliclentemente pequeños de J..,
como la suma / + r~ del operador unidad/ y de un operador integral r~ con nCicleo de cuadrado integrable que depende de>.. Veamos
primero la forma que tienen en este caso los operadores A•, Aº,
etc. Consideremos, con este fin, un problema más general: sean
dados dos operadores integrales
b
A<p=
donde
b b
l K (s,
a
b
t) cp (t) dt, B<p =
l Q (s, t)
a
qi
(1) dt,
b b
) ) IK2 (s,
t)ldsdt=kt<oo, ~ )¡Qe(s, i)ldsdt = q'<oo.
a a
a a
Busquemos la forma del operador AB. Tenemos
ABcp=
J{K (s, u)JQ (u, /)cp
(/)di} du =
f{f
K(s,u)Q (u,t)du }cp(t)di.
524
CAP. X. ECUACIONES INTEG RALES LINEALES
La posibilidad de cambiar aquí el orden de integración se desprende del teorema de Fubinl ya que el integrando
K (s, 1~) Q(u, t) <p {t)
t por ser pro-
es sumable respecto al conjunto de variables u y
ducto de dos funciones
K (s, u) cp (t) y Q (u, t)
de cuadrado integrable cada una.
Tomemos
b
R (s, t)
= SK (s,
u) Q (u, t) du;
(4)
a
en virtud de la desigualdad de Cauchy- Buníakovski, tenemos
b
b
1R1 (s, t)I ~ SIK1 (s.
u) ldu
a
S1Q•(u,
t)I du,
a
de donde
b b
SS R•(s, t) dsdt~k*q'.
a a
Luego, el producto de los operadores integrales de tipo de Fredholm es un operador del mismo tipo cuyo núcleo viene dado
por Ja fórmula (4). En particular, tomando A= 8, encontramos
que A1 es un operador integral de núcleo
b
1(1 (s, t) =
SK (s,
u) K (u, t) du
a
que verifica Ja condición
J.
[ b 6
b b
}} I KHs.t) ! dsdt~ }J IKª(s,t)ldsdt =k4.
'
de donde 11 A' JI~ k1 .
Análogamente obtenemos que cada uno de los operadores A 11
está definido por el núcleo
b
Kn (s,
t) =
SK..- 1 (s, u) K (u,
a
t) du
(n
= 2,
3, .. . )
S. S.
INTl!G~ALES
ECUACIQNl!S
CON PARAMETRO
525
~ k2 ",
(5)
que satísface la condición
b b
~ ~ 1/(~ (s,
o"
/) 1ds di
b b
donde, igual que antes. k' =)
) ¡ K' (s. t) 1dsdt.
0
En virtud de Ja estimací9;_ (5),, la serie
'),,/( (s, t) ">.JK, (s, f) +. · l + ').nK,. (s, t) + ...
+
<-}
converge para 1"- 1
en e) espacio L. ([a. ú]'X [a, b])" h~'cia
una función f(s, t, '>.), cuyo cuadrado es sumable respecto a s
y t para todo 1A. 1< -}·. El operad9r· integral r,, para el que
la función r (s, t, 1..) sirve de núcleo, es la suma de la serie
A.A+A-2A2+ •, • +"-nAn+ •,,
(6)
Pero, agregando a esta suma el operador unidad /, obtendremos precisamente el operador (/ -"-A)- 1 • Luego, para ¡A. 1< -}
el operador (/-A.A)- 1 es, efectivamente. la suma del operador
unidad / y del operador totalmente continuo r, de núcleo
r (s, t,
.
A.) = ~ A."K0 (s, t).
La condición l 1- 1< ~ es suficiente para la convergencia de
'la serie (6) , pero no necesaria. En algunos casos puede ocurrir
que esta serie converja para todos los valores de A.. Por ejemplo,
si A es un operador de tipo de Volterra con un núcleo que
satisface Ja condición
IK(s,
t)j~M
se puede probar mediante cálculo directo que para los correspondientes núcleos Kn (s, t) es válida la estimación
1 J(n
(s, t)I ~
Mn (b - a)11-1
(n-1)1
•
de donde se deduce la convergencia de la serie (6) para cualquier'),,,
. Sin embargo, la serie de potencias (6) tiene, en general , un
'radio finito de convergencia. Al mismo tiempo. Ja ecuación
q¡ =A.A<¡> + f tiene solución para todos los A., excepto un número
CAP. X. llCUACJONES INTEGRAL.ES LINEA-LP.S
526
finito o numerable de valores, a saber, excepto aquellos valores
para los cuales { es valor propio del operador A. Fredholm
demostró que para un operador integral A definido por un núcleo
acotado y continuo K (s, t) la solución de la ecuación qi = A.Arp + f
puede ser encontrada del modo siguiente. Designemos
x(S' .. . Sn)=
t, · · ·
1n
~(~, ..t1! :·: ~(~"'.t~)
K (s,., t,) . .. K (sn,
t, A.) mediante las fór-
y definamos las funciones D (A.) y D (s.
mulas
(si)rlt + ;. 55 K (s'°"' ,.,,}
ts.\
: 1ds,ds,+ ...
i..•fJ... 5ª K (s, ... sn')d.S, • . . d.Sn +. ..
b
b b
2
D(>->= 1-¡• .lr K
a
t
.."',
t
2
\,¡
•., -f- (-J)n ñf
a a
e
a
D(s,t.A.) = K
t.)
u
t
(7)
\>¡ • • • 'en/
(;)-t.jK(; ::)ds1+
~ ( stss1 s.
) d.S1ds2 + . ..
+ 2).' sb jK
t
a
An
... ·H -J)nñf
1 ~t
Q
s s (St °"' .. . t: )
b
b
a
'
K
...
t
t
sn
t
ds, ...
d.S,,+ ...
(8)
'ot • · • 4i:ion
b
Entonces, según Fredholm, la solución de la ecuación integral
b
J
e¡¡(!) = '- K(s, t)<p(s)ds + f(t)
a
viene dada por la fórmula
b
rp(/)=f (!) +
5ºg·<{) /.) f(s)ds
(9)
a
para todos los valores de A, tales que {- no es valor propio del
operador integral A correspondiente al núcleo K (s, f) . Además,
527
S 3. ECUACIONES INTEGRALES CON PAR AMETRO
las funciones D (i..) y D (s, t, i..) son funciones analítica~ enteras
del parámetro i.. y D _(.A) = O cuando, y sólo cuando,
es un
valor propio del operador integral A. Como ha demostrado
T. Carleman en 1921, las fórmulas (7), (8) y (9), obtenidas por
Fredholm para el caso de un núcleo continuo K. (s, t), tienen
lugar también para cualquier núcleo de cuadrado integrable.
No daremos aquí la deducción de la fórmula (9) y de las fórmulas (7) y (8).
T
BI B LI O GRAFIA
l. Ajieze r N. l.. Gl azman l. M., Tecria de los operadores lineales
(AxHe!lep H. H., r11a3MBll 11. M., TeopuR .tUHtllHl>lK on.tpamopos. ,,Hay1966.)
2. Guelfand l. M. , Ráikov O. A., Shílov G. E .• Anillos twrmados C011mutalir1os.
(íeAt.$811A H . M., ¡>alíKOB .n. A., W1111oa r. E ., /(OMMgmamuoHble HOpMUposaJjHl>lt IWAbljll, 4>H3MaTl'H3, 1960)
3. Guelfand l. M., SbJlov G. E. , Funciones generalizadas, vol. /; Funciones
generalizadM y operaciones sobre ellas.
(í enb4jlal!)l 11. M., lllJ<JIOD r . E., 06o6~HHblt l/>glft(l¡UU, dbln. l; 06o6·
u¡eHHble l/J¡¡HKt.¡UU u iJeOCmlJUR Hao HUMU, 4> H3Matr11a, 1959)
4. Guelfand l. M., Shllov G. E., Funciones generalizadas, vol 2; Espacios
de fun ciones fundamenta/e$ y (f!ntralizados.
"ª"·
(fublj>a1tA H. M., lllunoa
r. .U.,
06o6u¡tHHl>le </J!fHKt.¡uu, t1bln . 2; flpocm-
paHCmt1a 0CH08HIJIJC U o6o<iUjtHHl>U, <Z>H3M8TI"113,
1958)
5. Guelland l. M., Shílo v G. E., Fundones generalizadas, ool. 3. Algunos
problemas de la teoría de las ecuaciones diferenciales.
(rcn+RA H. M., UlHJIOB r. E., 06o6u¡eHHblt 4'!1HKJiUU, llbln. 3; Ht.Komopblt llOnPQCl>l
meopuu
iJulfxlleptHt.¡UaAbHIKX !IPl14HtHUQ, «l>H3MaTI"H3,
1958)
6. Guelfand l. M., Vilenkin N. Ya .. Funciones generu/ízadas, vol. 4; Algu·
n(IJ
aplicaciones del análisis armónico. Espacios de Hilbert.
H. M. , B MeHJCHH H. $!., 06o6"4'1HHble 4'!1HK~1tu, llbln. 4; HeK<J·
moptKe npUMenelfUJl lapM0Hu~ec1«>2<> alfaAuaa. Oc1u11¡¡eHHble euAJJ6epm0t1w
npocmpaHCIMQ, ~l!SM8Tfll3, 1961)
(feni.it>an.n.
7. K.antor6vlch L. V., Akllov G. !:>., Análisis lunclona l en los espacios
normado.s.
(KaHTOpDBR'I JI. B., AKl!JIOB r . n., <l>yRKUROHaJlbHW Í( a11anes B HOpMH•
poaaHHblX npocrpascTBax, <l>lf9MaTrH3, 1959)
8. Natanson l. P., Theory of funclions of a real varlabfe, Ungar. Nueva
York, 1955.
9. Petrovski l. G., VorJesungen über die Theorie der lntgrafgleíchungen,
Physica-Verlag, WOrtburg, 1953; trad. de la 2• ed. rusn, 1951. Hay
también traducción ingl esa: Lectures on the theory o/ integral equations,
Graylock Press, Rochester, 1957.
10. J . Rey Paator, Elementos ~ la teorla de /unciones, 3 1 ed., Iberoamericana, Madrid, 1953.
11. S. Rlos, Tt(lria de la i11tegraf, Rev. Acad . Ciencias, vol. 36, Madrid, 1942
BIBLIOORAPfA
529
12. Shllov 0. E. Análisls rnatemálico. Segundo curso especial. (WKJU!B f. E.,
MareMal'H'lecKKA auamt3. Bropoll cnenHalfbHblk Kypc, cl>KsMatr11s. 1965).
13. Shllóv O. E., Gurevich B. L., 'f nlegtal, medida g derivada. Teoriu ge·
neral. (l!JH.llOD r. E., fypeSll'l B. J]., HHmeepaA, Mepa u npouStJOaHaR.
06UiaR meopuR, .,HayKa", 1967).
14. Shllov G. E., Fao Dik Tin, Integral. medida 11 derivada en los espacios
lineales
(WHlfOB r. E., 4>aa Jl¡,¡K THHb, HHtnelpa.A, Mtpa npo~ª"ª·~ Ha AUHefJ.·
HblX npocmpaRCtMOX, ,.HayKa", 1967).
15. Vllenldn N. Ya. y otros, Análisis furu:ionat (de la serie "Libros de consulta de Matemáticas").
(BuneHKHH H . .f.!. u p,p., <f>yH1'f4UOH1M~H1>1il a¡¡aAU3 (e cepttK 11CopaaoqHaJ1
MSTeM3THQl!CKall 6H6JIR0TeKa"), .,HayKa", 1964).
u
INDICE
ALFABETICO
Adherencia 61. 91
- lineal 151
Aditívidad numci:able (o-ad itivídad) 302, 309
Algebra de Borel Irreducible 49
- de conjuntos 44
- de conjuntos de Borel 48
Alternativa de Fredholm 515
Altura de un número .racional 18
Anillo de conjuntos 43
O-anillo 48
o-anillo 48
Aplicación 28
- acotada 272
- bilineal 274
- continua 59, 100
- cont ralda 80
- dilerenciable 265
- isométrica 60
- nntural 203
- n-lineal 276
- que conserva el orden 34
Axioma de eleccióri 41
Axiomas de nuiiierabllJdad 95
Axiomas de separabilidad 97, 98, 179
Base 133
- de Hame) 134
- de un espado topológico 93
- dual 196
- ortogonal 154
- ortonormal 154
Blcompacto 11 O
Bola abierta 60
- cerrada 61
Cadena 41
- maximal 41
Campo de definición de un operador
232
Cápsula convexa 141
- lineal 134
Carga 392
- absolutamente continua 395
- concentrada en un conjunto 395
- continua 395
- discreta 395
- si ngular 395
Clases de equivalencia 29, 134
Clausura boreliana 49
Codimensión 135
Coeficientes de Fourier 159, 162
Compacidad 104
- numerable 107
- relativa 110
Compacto 104
Comparación de topologías 91
Complemento de un conjunto 16
- ortogonal 169
Completación 76
Componente de un conjunto 70
Condicí6n de Dini 453
Conjunto 13
- abierto 65, 90
- acotado 179
- bien ordenado 36
- cerrado 64, 90
- conexo 70
- convexo 140
-
-
-
de o-unicidad 321
de Cantor 67
denso 63
dirigido 34
elemental 292
medible (según Lebesgue) 295,
314, 318
(según Jordan) 319
negativo (positivo) 394
INDICE ALFAllETICO
- no numerable 19
- numerable 18, 21
- nunca de.n so 63
- orderia~o 34
- - linealmente 34
- - parcíalmente 33
- - tota lmente 34
- relativamente compacto 110
- - - numerable 110
- siempre denso 63
- simétrico 180
- t otalmente acotado 111
- vacío 14
Conjuntos de Borel 49
- equivalentes 20
- igual es 14
Conti n uidad absoluta de la integral
de Lebesgue 342
-- de la medida 302
Convergencia 62
- cuadrática 425
- débil 206, 211
- en casi todo punto 328
- en medida 330
- fuerte 206
- media 412
Convolución 478
CoordenadM de Fourier 159
Cota s uperior 42
-- - máxima 42
- rnÍRima 42
Cu br im iento 96
Cuerpo convexo 140
Curva continua 127
D ensidad de distribución de probabilídades 405
Dependencia lineal 132
Derivada débil 268
- de Galo 268
- fuerte 266
Descomposición finita 45
- de Hanh 394
- de Jordan 395
Desigualdad de Bessel 161
-- de Cauchy-Bunlakovski 53, 55,
153
- de Chébishev 341
- de Holder 56, 58
- de Minkowski 56, 58
Desviación cuadrática 425
Diámetro de un conjunto 75
Di!erc.ncia de conjuntos 15
- simétrica 15, 16
531
Diferencial débil (de Gato) 267
- fuerte (de f'r~het) 266
Dimensión 133
- algebraica 134
- infinita 133
Dlscontinuidad de primera especie
365
Distancia de un punto a un conjunto
70
- entre conjuntos 70
Ecuación de Fredholm 86, 503
- de núcleo simétrico 51 O
- de Volterra 88,. 503, (H9·
Elementos incoinparabfe.5 34
Equivalencia de conjuntos 20
Espacio aritmético de dimensiones 52
Es pacio básico 218
·-· bicompaclo 110
- cocient e 135
- compacto 104
- compacto numerable 107
- completo 71
- conexo 96
- de Banach 149
- de base numerable 94
- de dos puntos conexos 91
- de funciones continuas con
métrica cuadrática 55
- de Hausdor!f 98
- de Hilbert 165
- de puntos pegados 91
- de sucesiones rápidamente decrecientes 183
- dual 194
- - de un espacio normado
numerable 200
- - ¡segundo) 203
euc ideo 153
- - complejo 175
- - completo 162
- - l1 417
- L3 423
- lineal 130
- localmente acotado 179
- métrico 52
- me\rizable 104
- normable 180
- normado 149
- - numerable 181
- normal 98
- numerable de Hi!bert 182
- rellexi vo 204
- semireflexivo 203
532
INDICE AL FA8fTICO
- separable 63
- topológico 89
- - lineal 177
- - - localmente convexo 180
- - - separable 179
- - regular 179
- to talmente regular 10!>
E6pacios homeomorf0$ 102
Espncios lscmétricos GO
Espectro 247
- continuo 248
- puntual 248
Estruct ura 42
Existencia de conjunt os no medibles
305
Faceta de un símplice 142
Familia cqu iacolada 115
- equicontinua 115
Fórm ul a compleja de Fourier 468
- de fourier 466
- de la transformación inversa
de Fourier 468
- de Poisson 481 •
- de T:iylor 277
función absolutamente co ntinua 384
- a bstracta 271
- casi periódica 496
- continua 100
- d~ cuadrado integrable 423
- de distribución 4-04
- de saltos 366
- de vari ación acotada 374
- genera triz 400
- medible 322
- monótona no creciente (no decreciente) 365
- semicontinua t23
- simple 324
- singular 390
- sumable (int egrable) 335
- terminal 217
F unciona l 136
- acotada 187
- aditiva 136
- conjugado homogénea 136
- con¡·ugado lineal 136
- con inua 185
- convexa t42, 146
- cuadrát ica luerlcmente positiva
283
- de Minkowski 143
- homogénea 136
- lineal 136
Funciones bá sicas 218
Funciones equival entes 126, 327
- generallzadas 219
- - regulares 219 '
- - singulares 219
- de Hermile 444 , 487
- de Laguerre 445
6-lunción 137, 219
fflpcrplano 139
Homcomor!ismo 60, 102
Ideal 2.56
Igualdad de Parscval 161
Imagen de un conjunto 28
- de un elemento 28
- reciproca de un conjun lo 28
- - de un elemento 28
lnd ucci6n trans!lnlla 42
Innumerabilidad del conjunto de los
nümeros reales 22
1ntcgral de Fourier 464
- de lebesgue 333, 347
- de Lebesgue-Slielljes 402
- de Rlemann 349
- de Riemann-Slleltjes 406
Intersección de conjuntos 14
lsomctrla 59
lsomorlismo de conjuntos ordenados
34
-
de espaci0$ lineales 132
lineal conjugado 200
Lema d e Riesz 370
Limite 62
- a la izquierda (a la derecha) 365
- superior 124
- inlerior 124
Medida 3()6
- absolutamente conti nua 305,
400
-
aditiva numerable (a-aditiva)
302, 309
completa 319
de base numerable 421
de Lebesgue 294, 316
de Lebesgue-Stieltjes 305, 400
de signo alterno 39'2
discreta 305, 400
inferior 294, 314
INDICE ALFA8ETICO
- singular 305, 401
- superior 294, 313
- o-finita 347
Método de Newton 284
- · de tangentes 284
- modificado de Newton 286
- operacional 492
Norma de una aplicación bllineal
149, 274
- de una funcional lineal 188
- de un operador 237
Normas comparables 181
- compatibles 181
- equivalentes 152, 181
Núcleo 507
- de Dirlchlel 451
- de Fejér 460
- de una ecuación Integral SG
- de un conjunto 140
- simétrico 510
Número algebráico 20
Números derivados 368
- ordinales 36
- lransfinitos 36
Opernclón de adherencia 61
Operador acotado 236
- autoconjugado 247
- cerrado 242
- conjugado 244
- - de Hermites 246
- continuo 232
- degenerado 251
- de Frcdholm 507
- de Volterra 254, 519
- lnverslble 239
- Inverso 239
- lfneal 232
- nulo 233
- totalmente continuo 250
- unidad 233
Orden de una funcional 192
Or\ogonaliuici6n 156
OscHacl6n 124
Paralel~p!pedo
fundamental 112
Parllc16n en clases 30
Polinomios de Qiébishev 443
- de Hermile 444
- de Laguerre 445
- de Legendre 439
533
Potencia de continuo 24
- de un conjunto 24
P1'imitíva de una función generalizada 226
Principio de aplicaciones contraldas
80
- de bolas encajadas 74
- de dualidad 16
Problema correcto (no correcto) 52 l
Proceso de ortogona)l zaci6n 158
Producto de conjuntos 352
- de medidas 353
- de operadores 239
- directo 352
- escalar 152
- ordeñado de conjuntos 37
- - de tipos ordinales 37
e - propiedad 333
Prolongación de Jordan 319
- de Lebesgue 316
- de una funcional 144
- de una medida 308
Propiedad heredera 100
Punto aislado 62
- de acumulación 62. 91
- de adherencia 61, 91
- interior 65
- Invisible por la derecho (por
la izquferd a) 373
Puntos de primer género 69
- de segundo género 69
Radio espectral 249
Relación binaria 32
- de equivalencia 31
- de orden parcial 33
Resol vente 248
Resto de un conjunto bien ordenado38
Retículo 42
Salto de una función 365
Segmento abierto 140
- cerrado 140
- inicial de un conjunto bit-n.
ordenado 38
Segunda derivada 274
Segundo espacio dual 2oa
Semianillo de conjuntos 45
Serie de Fourier 159
SI mplice 141
Sistema centr11do de ~ubconjunlos 101>
- completo de elementos 151
INDICE ALFABETICO
-
de conjuntos 43
de vecindades del cero 178
determinante de vecindades 92,
95
- ortogonal 154
- ortonormal cerrado 161
- trigonométrico 433
- total de vectores 165
Subconjunto 13
SubfMaclo de ceros de una funciona\
- de un espado de Hilbcrl 168
- de un espacio lineal 133
- de un espacio mé\rlco 59
- de un espacio normado l 51
- de un espacio topológico 92
- Invariante 247
- propio 133
Sucesión convergente 96
- exhaustiva 347
- fundamental 71
Suma de conjuntos 14
- de operadores 238
- directa 171
- ordenada de conjuntos 36
- - de tipos ordinales 36
Sumas de Fejér 459
Teorema de Arzcla 115
- ele Ilaire 75
- de Bnnach sobre el gráltco ce·
rrado 243
- tle Bonach sobre el operador
inverso 240
- 1le Caot or-Bernsteln 26
- d e Egórov 328
- de Fatou 346
- de FeJér 459
-
de Fubinl 359
-
de' Hahn·Banach 144
de Hahn·Baoach en un espacio
normado 190
de Hausdorlf 41
ele Hilbert-Schmidt 260
-
- de Lebesgue sobre el paso a I
limite 343
-
de Lebeague sobre la derivada
de una función absolutamente
continua 887
- de Lebesguc sobre la derivada
de un a función monóton~ 3Q8
- de Levl 345
- de Luzln 332
- de Peano 11 7
- de Plancherel 485
- de lhdon·Nlkodym 396
- de Rieu 413
- de Qies:t-Flsher 163
- de Uryson 100, 104
- de Zcrmelo 41
- de Zorri 42
- de Weíerstrass 463
- gencrallzodo d e Arzehi 119
Teoremas de Fredhol m 5 15
- de Helly 410, 412
Tipo ordinal 35
T opologla 90
- convexo nuclear 180
- débil 206, 2 11
- - e.n eJ espacio dual 211
- fuerte 194
Transformación de F our !er 468
- de Fourler-Stieltjes 495
- de Laplace 492
Traza 92
Unidad de un 5lstema de conjuntos 43
Unión de conjuntos 14
V~lor
propio 247
- regular 247
Variable alea toria 404
Variación Inferior 395
- superior 395
- total 395
- - de uno función 375
Variedad lineal 15 1, 168
Vecindad 91
e-vecindad 61
Vectores ortogonales 154
ESTIMADO LECTOR:
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Le agrade~remos también cualquier otra suge·
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resan.
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