Download Trazado de rayos

Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
CAPÍTULO 7: TÉCNICA DEL TRAZADO DE
RAYOS
En la última década se ha producido un crecimiento espectacular en las
comunicaciones inalámbricas. Esto es debido a la utilización de estas en entornos de
interiores tal como los sistemas comunicaciones personales (PCS) y las redes de área
local (WLAN). La necesidad de evaluar de un modo eficaz la propagación de radio en
edificios está aumentando. También es crítico optimizar las localizaciones de las
estaciones bases requeridas para asegurar el funcionamiento satisfactorio de los
sistemas. Por lo tanto, la predicción de la propagación de radio para los entornos de
interior, que forma la base de la optimización para la localización de las estaciones base,
se ha convertido en un asunto de investigación importante [32].
Para crear un modelo de un sistema de comunicaciones, debe determinarse la
descripción matemática del transmisor, el receptor y el efecto que el entorno tiene sobre
la señal transmitida. Una vez que se combina la descripción matemática de estos
componentes, entonces el modelo puede ser usado para evaluar el desempeño de un
sistema teórico, sin la necesidad de construirlo en hardware antes de la evaluación. El
modelo final puede ser en forma de ecuaciones, pero debido a la complejidad del
entorno es más probable que se incorpore en una simulación por ordenador que combina
una descripción simplificada del entorno con las ecuaciones que rigen la propagación de
la onda transmitida en la presencia de estructuras simples.
7.1
Introducción
La propagación de radio de interior no es influenciada por condiciones
atmosféricas como la lluvia, la nieve o las nubes como propagación al aire libre
(entornos exteriores), sino que puede ser afectada por la disposición en un edificio
especialmente el uso de diversos materiales de construcción. Debido a la reflexión, a la
refracción y a la difracción de las ondas de radio por los objetos tales como paredes,
ventanas, puertas y muebles dentro del edificio, la señal transmitida alcanza a menudo
el receptor a través de más de una trayectoria, dando por resultado un fenómeno
conocido como “desvanecimiento por multitrayecto”.
Figura 7.1: Principales rayos del transmisor al receptor [33][34]
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
163
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
Recientemente, la técnica del Trazado de Rayos o ray-tracing se esta utilizando
extensamente para predecir la propagación de radio en los entornos de interiores.
Los modelos de Trazado de Rayos se utilizan extensamente tanto en 2D como
en 3D: en el modelo de 2D solamente se trazan los rayos en un plano, así que necesita
menos tiempo del cómputo, sin embargo, en el modelo de 3D se deben trazar todos los
rayos, así que necesita mucho más tiempo del cómputo.
La técnica del Trazado de Rayos en 2D es ampliamente utilizada para la
predicción de interior de la propagación. Cuando el entorno de interior es grande y
complejo, tomará mucho tiempo CPU para calcular las características de la
propagación. Es por lo tanto importante mejorar la eficacia de cómputo. Las técnicas de
aceleración se usan para disminuir este tiempo de CPU.
En este proyecto, primero se realiza un modelo 2D del Trazado de Rayos
llamado modelo de cobertura, el cual calcula la potencia recibida en todos los puntos del
entorno dependiendo de la resolución deseada.
Después y aprovechando dicho modelo en 2D, se desarrollará un nuevo modelo
eficiente de Trazado de Rayos en 3D. En este modelo, todos los objetos se proyectan
sobre el piso. Usando el algoritmo del Trazado de Rayos en 2D y una reconstrucción de
la altura de cada trayectoria se puede construir un modelo en 3D a partir del modelo en
2D creado. Porque pocos rayos eficaces necesitan ser remontados, mucha hora del
cómputo puede ser ahorrada. Además, el sistema de coordenadas fijado por el rayo se
utilizan en el análisis para reducir la dimensión (a partir el 3 a 2) de las coordenadas
para los coeficientes de la reflexión, de la refracción y de la difracción.
7.2
Definición del trazado de rayos
El trazado de rayos es un modelo determinista que se emplea para la predicción
de la respuesta del canal de radiocomunicaciones. Se fundamenta en la aplicación de la
Óptica Geométrica (GO) y la Teoría Uniforme de la Difracción (UTD). A medida que la
frecuencia aumenta, la primera zona de Fresnel [35], que es la que concentra la mayor
parte de la energía, tiende a estrecharse y se puede simular como un rayo [36][37]. De
este modo la propagación de las ondas electromagnéticas se puede seguir de la misma
forma que el camino que recorre un rayo óptico, simplificando enormemente el análisis.
Los mecanismos fundamentales de propagación son la reflexión, la difracción y
la difusión. La reflexión ocurre cuando una onda electromagnética incide sobre un
objeto cuyas dimensiones son superiores a la longitud de onda. GO contempla la
reflexión y la trata con la ley de Snell [38]. El fenómeno de la difracción surge cuando
un rayo es obstruido por una superficie con irregularidades abruptas (esquinas formadas
por dos paredes). En este caso se generan ondas secundarias desde esta arista por el
principio de Huygens, y es la UTD la teoría electromagnética que estudia y resuelve este
problema. Por último, la difusión tiene lugar cuando una onda viaja por un medio con
objetos de dimensiones similares a la longitud de onda, o cuando el número de objetos
por unidad de volumen es alto. La difusión en comunicaciones móviles suele tener un
valor muy bajo con respecto a otras contribuciones, y no se suele tener en cuenta en el
trazado de rayos.
Existen dos formas de trazar rayos:
• La primera se llama en inglés Ray-Launching o método de la “fuerza bruta”, que
consiste en el lanzado de rayos desde la posición del transmisor con una separación
angular constante y en su posterior seguimiento.
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
164
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
• La segunda de ellas es mediante el método de la imagen, que se basa en la
generación de imágenes a partir de las posibles reflexiones que puedan producirse en un
entorno.
El trazado de rayos que se ha utilizado en el presente Proyecto Final de Carrera
es mediante el método de la imagen, ya que está bien adaptado al análisis de la
propagación de radio asociado a geometrías de baja complejidad y a un pequeño
número de reflexiones. El método de la “fuerza bruta” pone en marcha un paquete de
rayos que pueden o no alcanzar el receptor, por lo que requiere numerosas pruebas de
intersección rayo-objeto y selección de datos extensos para el Trazado de Rayos.
7.3
Modelos geométricos y morfológicos
La información requerida por cualquier herramienta determinista de la
propagación se puede clasificar en dos tipos: descripción geométrica de la escena y
descripción morfológica de la escena, es decir, características de los materiales del
objeto de la escena.
7.3.1 Descripción geométrica
Desde un punto de vista geométrico, los panoramas típicos de microcélulas y de
picocélulas son absolutamente complejos ya que están implicados diversos objetos:
edificios, postes de la lámpara, cabinas de teléfono, árboles, muebles, etc. Algunos de
ellos son objetos móviles tales como coches y personas; todos ellos están implicados en
el fenómeno de la propagación de radio, aunque cada uno tenga una influencia
diferente. Por consiguiente, sin ciertas simplificaciones, la propagación de radio en tales
entornos es imposible de simular incluso usando técnicas electromagnéticas
aproximadas. Por una parte, los datos disponibles no contienen generalmente la
información geométrica para los objetos pequeños. Evidentemente, no hay bastante
información en relación a los obstáculos móviles.
Por lo tanto, el nivel de detalle en los modelos geométricos se debe relacionar
con los datos disponibles y usando aproximaciones electromagnéticas.
Consecuentemente, sólo se consideran los datos del edificio y algunos datos del
terreno. A veces, está disponible la información sobre objetos del interior, aunque no
sea el caso general.
En muchos casos, la única información disponible sobre edificios se relaciona
con sus paredes externas (forma y localización geométricas), e incluye a veces
información relativa a los materiales de las paredes. Esto podría ser suficiente para la
predicción de la propagación en exteriores pero no para la predicción de interiores que
requiere, por lo menos, información sobre la estructura de edificio interna (paredes,
pisos, etc). La información relativa a las ventanas y a las puertas es también de interés
para los modelos de interiores.
En los modelos geométricos se deben considerar los datos del terreno,
especialmente en pequeños entornos exteriores urbanos y en las áreas montañosas
donde no se puede asumir el terreno llano. En otros casos, el terreno de las microcélulas
y de las picocélulas se puede considerar llano. Los datos sobre el material del terreno
son siempre importantes en ambientes exteriores.
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
165
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
7.3.2 Modelos morfológicos
Las características reflexivas de los materiales de construcción del terreno y de
la superficie del edificio se deben considerar para realzar la exactitud de las
predicciones [38]. Las medidas pueden ser obtenidas o pueden ser calculadas de las
propiedades eléctricas y de la aspereza de los materiales correspondientes. Las
características eléctricas son:
• Permitividad relativa: εr
• Permeabilidad relativa: µr
• Conductancia: σ
Existen tablas de las características eléctricas de los materiales para diferentes
frecuencias, ya que varían con ésta. Como ejemplo, los parámetros eléctricos típicos a
una frecuencia de 1.8 Ghz para diversos tipos de superficies exteriores de un edificio
común son:
• Piedra caliza: εr’ = 7.68, εr’’ = 0.21, µr’ = 0.96, µr’’ = 0.006, σ = 0.03 S/m.
• Ladrillo: εr’ = 4.26, εr’’ = 0.09, µr’ = 1.03, µr’’ = 0.03, σ = 0.01 S/m.
• Concreto: εr’ = 6.05, εr’’ = 1.64, µr’ = 0.95, µr’’ = -0.05, σ = 0.01 S/m.
Todas estas características caracterizan a las superficies lisas. A veces, a las
frecuencias de trabajo de las comunicaciones personales (PCN), el terreno y las paredes
son ásperas y se debe incluir en el modelo de cada superficie un parámetro de aspereza
superficial σh.
La información sobre el parámetro de aspereza y las características eléctricas de
los edificios y del terreno no está directamente disponible. Pero muchas veces, se tiene
información relativa al tipo de materiales de construcción y, especialmente, del terreno,
así que las características reflexivas se pueden obtener indirectamente.
7.3.3 Modelos de facetas
Originalmente, los datos del entorno pueden estar en dos formas [38]: matriz (o
malla) y vectorial. En el primer caso, el entorno se divide en células y cada célula
contiene la información correspondiente. El tamaño de las células depende de la
resolución de la descripción de la escena. En la forma vectorial, la información está
asociada a las entidades geométricas (líneas, polígonos, etc.). Para aplicarlo a los
modelos de propagación deterministas, la información debe estar disponible en forma
vectorial. Cuando los datos originales están en forma de la trama, es necesario
transformar la información original en forma vectorial.
Para incorporar la información geométrica y morfológica en una herramienta de
propagación, es necesario presentar tales datos vectoriales de una forma conveniente.
Para hacer esto, se debe desarrollar una estructura de base de datos para almacenar y
manejar los datos requeridos del edificio y del terreno. En la base de datos, los edificios
y el terreno se almacenan usando un modelo de facetas; es decir, sus superficies se
modelan con facetas planas poligonales. Generalmente, las paredes del edificio con
cuaro facetas laterales. Los tejados se modelan mediante facetas con un número
arbitrario de lados. La superficie del terreno también se modela con facetas planas. El
número de facetas usadas para modelar el terreno depende del tamaño de la escena y de
la orografía del terreno. En panoramas planos, con una sola faceta puede ser suficiente
para modelar el terreno. Cuando la información sobre ventanas y puertas está
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
166
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
disponible, se pueden modelar convenientemente como facetas con las características
morfológicas adecuadas.
Los datos almacenados en la base de datos son los siguientes:
• Número de facetas.
• Número de cimas de cada faceta.
• Coordenadas cartesianas de las cimas de cada faceta.
• Tipo de material; el tipo de material se asigna a cada faceta como cualidad.
Como ejemplo, la figura 1 muestra una escena exterior simple con un edificio. El
modelo contiene seis facetas: cuatro para las paredes, una para el tejado, y otro para el
terreno La tabla 1 muestra como los datos se arreglan en la base de datos. Los datos en
esta tabla proporcionan la información básica sobre el modelo en facetas. Por otra parte,
las bases de datos contienen generalmente otros tipos de datos que puedan ser útiles
para los modelos de la propagación:
Número de edificios
Número de facetas de cada edificio (de las paredes y de la azotea)
Número de facetas de las paredes
Número de facetas de las azoteas
Número de facetas de los pisos/techo
Número de facetas de la tierra
Tipo de faceta (esto indica si la faceta pertenece al suelo, a una pared, al techo, al etc.).
Figure 3.1 – Una escena simple en 3D
Figura 7.2: Escena simple en 3D
Faceta
1
2
3
4
5
6
Nº Vértice
4
4
4
4
4
4
material
ladrillo
ladrillo
ladrillo
ladrillo
tejas
asfalto
Coord. X
5, 5, 4, 4
5, 5, 5, 5
5, 4, 4, 5
4, 4, 4, 4
5, 5, 4, 4
0, 8, 8, 0
Coord. Y
7, 7, 7, 7
7, 8, 8, 7
8, 8, 8, 8
8, 7, 7, 8
7, 8, 8, 7
0, 0, 15, 15
Coord. Z
0, 3, 3, 0
0, 0, 2, 3
0, 0, 2, 2
0, 0, 3, 2
3, 2, 2, 3
0, 0, 0, 0
Tabla 7.1: Datos relativos a los materiales y coordenadas de las facetas de la figura 7.2
Generalmente, es muy útil almacenar los datos geométricos adicionales que
serán utilizados por la herramienta de la propagación en varias ocasiones. Esta
información se puede obtener de la descripción de cada faceta e incluye generalmente el
vector normal y la topología de cada una. La información de dicha topología se ocupa
de las facetas conectadas con la dada. Para cada límite de la faceta se indica la faceta
conectada. El número de facetas conectadas con una dada corresponde con el número
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
167
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
de vértices. Si una de ellas se aísla en cualquier límite, aparece en la base de datos según
lo conectado con la faceta número 0.
La tabla 7.1 muestra cómo 1 se fijan en la base de datos los datos relativos al
modelo de la figura 7.2. Esta información se trata con las facetas. Pero los bordes del
modelo pueden desempeñar un papel importante en el fenómeno de la propagación. Los
bordes del modelo se presentan de la conexión de pares de facetas. Son definidos por
sus puntos finales, el par de facetas que forma el borde y el ángulo de la cuña (ángulo
formado por las facetas), que también se puede almacenar.
La tabla 7.2 muestra cómo los datos de los bordes de la figura 7.1 se computan
en la base de datos. La información de los bordes se puede obtener del modelo de
facetas básico, pero es útil tener la descripción del borde disponible en la base de datos
de una manera directa. Para obtener la información del borde de un modelo de faceta
básico, una regla básica debe ser seguida: Un límite de la faceta no se puede compartir
por más de dos facetas.
Faceta
1
2
3
4
5
6
Topología
2, 5, 4, 6
6, 3, 5, 1
6, 4, 5, 2
6, 1, 5, 3
2, 3, 4, 1
0, 0, 0, 0
Vector normal
0, -1, 0
1, 0, 0
0, 1, 0
-1, 0, 0
0, 0.7071, 0.7071
0, 0, 1
Tabla 7.2: Datos relativos a la topología y a los vectores normales de las facetas de la
figura 7.1
Borde
1
2
3
4
5
6
7
8
Faceta
1, 2
2, 3
3, 4
4, 1
1, 5
2, 5
3, 5
4, 5
Ángulo
90
90
90
90
45
90
135
90
Coord. X
5, 5
5, 5
4, 4
4, 4
5, 4
5, 5
5, 4
4, 4
Coord. Y
7, 7
8, 8
8, 8
7, 7
7, 7
7, 8
8, 8
8, 7
Coord. Z
0, 3
0, 2
0, 2
0, 3
3, 3
3, 2
2, 2
2, 3
Tabla 7.3: Datos relativos a los bordes de la escena de la figura 7.1
Según lo mencionado anteriormente, la base de datos contiene la información
tridimensional del entorno. A veces solamente los datos en 2D están disponibles de las
fuentes de información (mapa de vista plano). En estos casos, en entornos exteriores, se
asume que el terreno es plano y se puede elegir una altura aproximada para todos los
edificios para obtener un modelo de facetas. A veces se sabe el número de pisos de cada
edificio, pudiéndose obtener las alturas aproximadas. Algunos autores trabajan
directamente con modelos en 2D para facilitar el uso del modelo de la propagación de
radio. En este caso, se descuidan las difracciones de los tejados. Esto es una asunción
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
168
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
válida si se construyen las paredes más altas que la altura del transmisor. Algunos
autores ponen una limitación tales que solamente son tratadas las superficies reflectoras
paralelas al eje coordenado.
En el caso de interiores, los modelos de facetas en 3D se pueden obtener
combinando una descripción en 2D con la información sobre la altura de cada piso del
edificio. Aquí, es imprescindible un modelo en 3D al explicar la influencia del suelo y
de techo.
Junto con la base de datos, es necesaria una interfaz gráfica con la cual visualizar
el entorno y mostrar los actuales datos de propagación de salida a los usuarios de
manera conveniente. Algunos autores utilizan los paquetes estándar de CAD (diseño
asistido por ordenador) como el encargado de la base de datos y como interfaz gráfica.
7.4
Efectos de la geometría de rayos
La representación de un trazado de rayos en el entorno es una parte importante del
modelo. El entorno, dentro del cual funciona un transmisor práctico, consiste en una
serie de superficies que son de un tamaño finito. Esto implica que una onda transmitida
puede ser o no reflejada por un objeto antes de ser recibida por una antena en algún otro
lugar. Del mismo modo, una onda transmitida puede ser o no reflejada por dos objetos
antes de ser recibida por una antena. Cada uno de estos mecanismos de propagación de
un transmisor a un receptor será clasificado como una trayectoria de propagación. La
ausencia de una trayectoria reflejada por separado no hace excluir necesariamente la
presencia de una trayectoria doble reflejada que incorpore el mismo objeto en su
propagación. Por lo tanto, cada posible camino de propagación, con múltiples ondas
reflejadas, debe ser considerado [29].
Una representación posible del entorno que reduce la complejidad de tratar con
múltiples señales reflejadas implica la noción de que una onda que se refleja se
considere como una onda transmitida directamente de una fuente de imagen fija con una
energía de señal modificada y, posiblemente, la polaridad que existe en el lado opuesto
de la superficie reflectante. Utilizando esta fuente de imagen fija, es posible excluir
rápidamente la propagación de las rutas que no existen debido al tamaño limitado de la
superficie reflectante. En la Figura 3-8 existe un camino desde el transmisor al receptor
1 a través del objeto reflectante en el entorno. Esto puede determinarse a partir de
calcular el punto de intersección de la señal transmitida sobre el plano reflectante
mediante el uso de una regla basada en que el ángulo de incidencia es igual al ángulo
de reflexión o directamente por el punto de intersección de la línea que une la imagen al
receptor 1 y el plano reflectante. Una vez que se ha determinado el punto de reflexión,
su existencia en la superficie del objeto puede ser verificada.
Los efectos de una superficie reflectante de tamaño finito se ilustran al
considerar el receptor 2. A pesar de que la línea que une la imagen y el receptor 2 cruza
el plano reflectante, el punto de intersección de la línea que une la imagen al receptor 2
y el plano no está en la superficie reflectante, por lo tanto no existe reflexión en el
camino entre el transmisor y el receptor. El receptor 3 es un ejemplo de un receptor de
posición que, debido a que es en el lado opuesto del plano reflectante para el transmisor,
no recibirá una componente multitrayecto directamente a partir de esta reflexión. Sin
embargo, tanto para el receptor 2 como para el receptor 3, la falta de una ruta reflejada
directa no se opone a que una señal reflejada múltiple llegue al receptor a través de una
reflexión externa en este ejemplo de objeto reflectante.
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
169
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
Figura 7.3: Propagación del trazado de rayos
Así como la propagación electromagnética se produce en el espacio libre, la
propagación puede existir a través de componentes transmisivos en el entorno. Tales
caminos pueden atenuar la onda de propagación por una cantidad importante que
depende del material de construcción, el ángulo de incidencia, y el espesor del panel
como se muestra arriba.
Por lo tanto, el modelo de trazado de rayos debe considerar cada camino posible
de propagación del transmisor al receptor por lo que refleja la fuente de todos los
objetos en el entorno y, a continuación, cada imagen resultante en todos los demás
objetos, y así sucesivamente.
Es evidente que algún mecanismo debe existir para limitar el número de vías de
propagación que se examinan ya que el algoritmo que se acaba de describir no está
concluido. Existe un número de posibilidades, entre ellas están las que limitan el
número de reflexiones que se consideran y las que compararan la energía de cada onda
reflejada con un límite de referencia por debajo del cual no se consideran las señales.
Hasta el momento, la discusión ha descrito los mecanismos para considerar la reflexión
de objetos en el entorno. Las difracciones de las esquinas pueden ser tratadas por
analogía, salvo que la imagen que se genera ya no sea una fuente puntual, sino un
conjunto de posibles fuentes que describen un arco con el centro sobre el borde
difractante. La ubicación de una imagen particular para un receptor de posición está
determinada por el ángulo entre la posición del receptor y la superficie de referencia del
borde. Debido a la más compleja representación de éste, y la posterior expansión de la
onda incidente, las múltiples señales difractadas pueden ser ignoradas para la mayoría
de aplicaciones prácticas. Si es necesario, puede ser incluido un caso especial para la
propagación a través de una ranura de difracción que es un importante mecanismo de
propagación.
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
170
Técnica del Trazado de Rayos
7.5
Trazado de Rayos
Razones para el trazado de rayos
Las escenas urbanas y de interiores típicas tienden a ser entornos complejos que
requieren una gran cantidad de facetas para ser modelados [38]. En tales entornos, la
radiopropagación de las ondas es un fenómeno extremadamente complicado. En un
problema de comunicaciones móviles, es necesario computar el campo usando una gran
cantidad de puntos situados a lo largo de una línea en una calle, en un pasillo de
interiores o en los nodos de una malla. El número de puntos de observación puede estar
en el orden de miles o aún mayor. La fuente o las fuentes se pueden situar en cualquier
punto en la escena.
Incluso usando un modelo simplificado de las escenas como el modelo de
facetas y una aproximación de la propagación del rayo tal como GO/UTD, el problema
de simular la propagación de las ondas de radio es una tarea compleja.
En el mundo de los gráficos por computador, '' la prueba de sombreado " se
conoce como la operación para determinar si un punto de observación es visible desde
un punto de la fuente. En otras palabras, la prueba de sombreado determina si algún
objeto de la escena obstruye una trayectoria de rayo dada desde un punto de la fuente a
un punto del observador. Los puntos fuente pueden ser las antenas transmisoras, los
puntos de reflexión, los puntos de difracción y los puntos de transmisión. Los
observadores pueden ser puntos de observación, puntos de reflexión, puntos de
difracción o puntos de transmisión.
En los modelos de facetas, los objetos del entorno se describen con facetas, así
que la prueba de sombreado se reduce en varias ocasiones a las pruebas de intersección
rayo-faceta aplicadas. Se considera un modelo de facetas de un entorno urbano con Nf
facetas, Ne bordes, una antena transmisora y N0 puntos de observación. Usando un
método de lanzado de rayos, la prueba de intersección rayo-faceta se realiza un número
de veces proporcionales a:
• N0Nf(Nf+Ne) para los efectos de primer orden (rayos directos y rayos simplereflejados y rayos simple-difractados).
• N0Nf(Nf+Ne)2 para los efectos de segundo orden (rayos doble-reflejados, rayos
reflejar-difractados, rayos difractar-reflejados, etc.).
• N0Nf(Nf+Ne)3 para los efectos de tercer orden (rayos triple-reflejados, rayos
difractar-reflejar-reflejados, etc.) y así sucesivamente.
Un microcélula típica se puede modelar por un número de facetas y bordes del
orden de varios centenares, así pues, usando solamente un método de lanzado de rayos,
el número de pruebas requeridas para el trazo de rayo pueden ser inconmensurables. En
tales casos, es necesario reducir, tanto cuanto sea posible, el número de pruebas de
intersección de rayo-faceta, usando modelos de propagación del rayo y técnicas
eficientes de aceleración del trazado de rayo.
Incluso usando tales algoritmos en entornos complejos, el tiempo consumido en
pruebas de intersección rayo-faceta puede tomar más del 90% del tiempo total del
trazado de rayos. El 10% restante se pierde en el cálculo de los puntos de la reflexión en
facetas, de los puntos de la difracción en los bordes, etc.
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
171
Técnica del Trazado de Rayos
7.6
Trazado de Rayos
Modelos de propagación de los rayos
Existen dos modelos de trazado de rayos: el método de las imágenes y el método
del lanzado de rayos.
7.6.1 Teoría de las imágenes
La presencia de un obstáculo, especialmente si este está en las inmediaciones del
elemento radiante, puede alterar significativamente las propiedades radiantes finales del
sistema en si. En la práctica el obstáculo que comúnmente nos encontramos siempre es
el suelo. Parte de la energía dirigida hacia éste se transmite mediante la reflexión, siendo
la cantidad de energía reflejada dependiente de la geometría y parámetros del suelo.
Normalmente el suelo es un medio con pérdidas
σ distinto
(
de cero) cuya
conductividad efectiva crece con la frecuencia. Por lo tanto es normal esperar que actúe
como un buen conductor por encima de una cierta frecuencia, en función a su contenido
en humedad. Para simplificar el análisis se puede asumir que el suelo es un conductor
eléctrico perfecto, orientado horizontalmente e infinito en extensión. Este procedimiento
es extensible al análisis de características de algún elemento radiante próximo a algún
otro conductor de la misma naturaleza, es decir, conductividad perfecta, horizontal e
infinita. Debe constar que es imposible trabajar con dimensiones infinitas pero si que es
posible hacerlo con elementos muy grandes, simplificando al caso infinito.
Para analizar el comportamiento de un elemento radiante próximo a un plano
conductor infinito se introducirán fuentes virtuales, llamadas imágenes, que tendrán
efecto para la reflexión. Como indica su nombre, esta fuente no es real sino que es
imaginaria y su combinación con las reales dan lugar a un nuevo sistema equivalente
que reemplazaría al original, sólo con propósitos de análisis, ya que como se ha dicho
anteriormente este nuevo sistema no es real, pero si equivalente al anterior. Entonces se
haría uso de una nueva geometría o sistema que sólo sirva para obtener un resultado
equivalente al del problema original.
Se asume que un dipolo vertical (elemento radiante) está situado a una distancia
‘h’ sobre un conductor perfecto, plano e infinito, como se muestra a continuación:
Figura 7.4: Dipolo vertical y su imagen para determinar la reflexión sobre un conductor
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
172
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
Asumiendo que no hay acoplamiento mutuo y que la energía es radiada en todas
direcciones, para el observador P1 habrá un rayo directo y además uno reflejado
procedente del punto QR1 en la interfaz creada por el conductor y que obedece a la ley
de la reflexión que establece queθ 1 = θ1i como se puede apreciar en la figura 7.4. Se
deduce por lo tanto que la energía en medios homogéneos describe trayectorias rectas
describiendo los caminos más cortos. La onda que llega entonces al punto de
observación P1 mediante la reflexión parece originada por la imagen de la fuente a una
distancia ‘h’ por debajo del conductor. Si se atiende al transmisor situado en P2 el punto
de reflexión es QR2 pero la imagen sigue siendo la misma que antes. Esta conclusión se
extiende a cualquier otro punto por encima de la interfaz del conductor.
La cantidad de energía reflejada depende generalmente de los parámetros del
medio sobre el que incide la onda. En el caso de ser un conductor perfecto se produce la
reflexión completa de la onda siendo cero el campo al otro lado de la interfaz. De
acuerdo a las condiciones de contorno la componente tangencial del campo eléctrico
debe de ser cero en todos los puntos de la interfaz o superficie del conductor. Esto lo
aprovechamos para determinar la polarización del campo reflejado comparado con la
del rayo directo. Esto se puede apreciar en la siguiente figura:
Figura 7.5: Componentes del campo en el punto de reflexión
En el caso de la figura anterior, para que se produzca la polarización adecuada
de la onda reflejada, la fuente virtual debe de ser también un dipolo vertical y tener la
polarización en la misma dirección que la fuente original. Por tanto el coeficiente de
reflexión debe ser igual a +1 (reflexión hard). Cumpliéndose la condición de contorno
de la componente tangencial del campo eléctrico sobre la interfaz, en este caso es un
conductor de dimensiones infinitas, entonces la solución que obtenemos es única,
cumpliendo el Teorema de la Singularidad [39].
A continuación se muestras el mismo caso, pero ahora la orientación de la fuente
está dispuesta en sentido horizontal:
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
173
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
Figura 7.6: Rayo directo y reflejado
Siguiendo un procedimiento similar al del dipolo vertical, vemos que la imagen
virtual también se sitúa a una distancia h por debajo de la interfaz del plano conductor
pero con una diferencia de fase relativa de π radianes respecto a la fuente original. Esto
hace que sea necesario un coeficiente de reflexión igual a -1 (reflexión soft).
Obviamente al igual que antes, de acuerdo al Teorema de la Singularidad, el resultado
que se obtiene es único porque las condiciones de contorno se satisfacen a lo largo de
toda la interfaz.
Aparte de las fuentes eléctricas también se puede trabajar con fuentes
equivalentes magnéticas y conductores magnéticos, teniendo en cuenta ahora que la
condición de contorno a aplicar será que la componente normal del campo magnético
desaparece en todos los puntos de la superficie del conductor. En la siguiente figura se
muestran los casos de fuentes y sus imágenes:
Figura 7.7: Fuentes eléctricas y magnéticas y sus respectivas imágenes
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
174
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
Como conclusión más básica se puede decir que esta teoría genera imágenes de
todas las fuentes en todos los planos o respecto de todos los planos, que pudiera tener el
sistema obteniendo de esta forma N imágenes de primer orden si hubiera N planos a
considerar con una sola fuente a estudio. Hasta ahora se ha hecho referencia únicamente
al cálculo de la imagen de primer orden de la fuente respecto a un plano de interés, que
es aquella que se forma implicando a la fuente original y real y dicho plano, sobre el
cual se producirá la reflexión del rayo que viajará de dicha fuente hasta el receptor.
Es importante resaltar que se trata de la reflexión ya que con las imágenes de
primer orden sólo se puede predecir el cálculo de esos rayos, como se ve en las figuras
7.4 y 7.6. Aparece ahora el concepto de imágenes de orden superior que permiten el
cálculo de los rayos que sufren un mayor número de reflexiones en su trayectoria. Para
el cálculo de estas imágenes de orden superior ya no se hace uso del transmisor, sino
que se trabaja con una imagen de orden inmediatamente inferior y al igual que antes con
el plano que sea de interés.
Si bien en el caso de rayos de una sola reflexión se sabe que ésta procede de la
pared o plano a estudio, ahora para trayectorias más complejas se ven involucradas un
mayor número de planos siendo la última reflexión procedente del plano sobre el que se
calcula la imagen de orden superior de trabajo. El resto de reflexiones que atañen a la
trayectoria del rayo se producen en las diferentes paredes sobre las cuales se han ido
calculando las imágenes de orden inferior y en el estricto orden en el que se han
obtenido. Gráficamente todo esto queda resumido en la siguiente figura, en la que se
obtiene un rayo que sufre dos reflexiones en su trayectoria de ‘S’ (fuente) hacia ‘d’
(receptor) [41]:
Figura 7.8: Imágenes de primer y segundo orden correspondientes a una fuente (S)
situada entre dos espejos (A y B)
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
175
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
Para este caso se observan dos imágenes de primer orden, por lo tanto de la
fuente original, que serían SA y SB, las cuales obviamente se forman respecto a los
planos A y B respectivamente. De segundo orden se observan SAB y SBA, las cuales
observando los subíndices es fácil deducir que serían las imágenes de SA respecto al
plano B y de SB respecto al A. Se puede decir, a la vista de esto, que las imágenes de
orden superior son realmente imágenes de otras imágenes, que a su vez pueden ser
imágenes de otras imágenes dependiendo del orden de la imagen que estemos
obteniendo. Por último, hay que hacer hincapié en que el rayo obtenido haciendo uso de
la imagen SAB sufrirá la última reflexión en la pared que indica su último subíndice, en
este caso B, siendo la segunda reflexión, y las anteriores reflexiones provendrán de los
subíndices anteriores y en ese orden, siendo para este caso ya la primera reflexión y
procedente de la pared A, siempre que se siga esta nomenclatura.
Es fácil deducir que para el caso de N planos en consideración y una única
fuente transmisora se tendrán N(N-1) imágenes de segundo orden, N(N-1)(N-1) de
tercer orden y así sucesivamente. La energía alcanzará el punto de destino a través de
las múltiples reflexiones que podemos calcular mediante éstas. Una vez que el rayo ha
sido descrito mediante las reflexiones que sufre, la atenuación asociada con cada una de
ellas se puede calcular fácilmente.
Por tanto el cálculo de las imágenes de diferente orden se perfila como un
algoritmo recursivo donde hay una última consideración a tratar y es la validez o no de
la imagen, entendiendo como tal la existencia de una reflexión ligada a dicha imagen.
Esto es fácil de entender analizando la siguiente figura:
Figura 7.9: Situación para la que no es válida una imagen de segundo orden, no se
produce segunda reflexión en esa pared del rayo procedente de la pared 1
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
176
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
En esta situación se observa una imagen de primer orden y otra de segundo
llamadas TX-1 y TX-1-3, siguiendo la nomenclatura habitual, respectivamente.
Mediante la línea discontinua de color negro se observa como se han calculado dichas
imágenes, primero respecto a la superficie uno y posteriormente a la segunda. Unas
líneas similares pero de color anaranjado se trazan desde la imagen hacia el receptor
obteniendo con cada una un punto de corte con una superficie a su paso, podrían haber
sido muchas paredes y obtener más puntos de corte pero este caso cumple las
expectativas propuestas. A los citados puntos de corte se les llama P1 y P2, siendo el
primero el obtenido por la imagen TX-1 con la superficie número uno y el segundo el
de la otra imagen con la número cuatro.
Únicamente se debe de comprobar que las líneas imaginarias anaranjadas en su
camino desde la imagen hasta el receptor corten en la pared respecto a la que es
calculada la imagen en cuestión. Hay que ser cuidadoso en este punto ya que el matiz
entre plano infinito y pared debe ser tenido en cuenta. Una vez entendido esto es obvio
entender que en la figura 2.6 no es valida la imagen TX-1-3.
Cabe destacar que aunque se desechen algunas imágenes para su análisis, ya que
una determinada reflexión no se produce, no se debe olvidar que tanto ésta como todas
las demás deben ser consideradas para obtener imágenes de orden inmediatamente
superior, ya que aunque una imagen determinada, del orden que sea, no determine una
reflexión posible, si lo puede hacer una imagen de orden superior formada a partir de
ella. Esto es fácil de entender con el siguiente ejemplo: en un sistema simulado, no se
producen rayos con una reflexión desde la fuente hasta el receptor, pero sí existen rayos
con este destino que lleguen con dos o más reflexiones.
El método de las imágenes es eficiente por todo lo dicho anteriormente pero sólo
se suele emplear en entornos simples debido al coste computacional que podría requerir.
7.6.2 Lanzado de rayos
Es la alternativa a la teoría de imágenes dentro de los modelos de trazado de rayos [41].
Este método considera un haz de rayos transmitidos que pueden o no alcanzar el
receptor. El número de rayos considerados y la distancia entre el transmisor y el
receptor determinan la resolución espacial disponible y, por lo tanto, la exactitud del
modelo. Este método requiere unos requisitos computacionales mayores que el método
de la imagen.
El procedimiento consiste en determinar una cantidad finita de las posibles
direcciones de propagación desde la fuente, normalmente con una separación angular
constante. Si un rayo intercepta un objeto, entonces se genera un rayo reflejado y otro
refractado. Si un rayo intercepta una cuña, entonces se genera una familia de rayos
difractados. Para la recepción se suelen determinar esferas si trabajamos en 3D, o
círculos si estamos trabajando en 2D. Estos círculos o esferas receptoras de radios
adecuados describen cada una de las zonas que reciben únicamente un rayo. Un rayo se
tomará como recibido si su trayectoria intercepta el círculo de recepción. Para la
construcción del círculo de recepción es necesaria la definición de un radio,
denominado radio de impacto. Es entonces cuando la importancia mencionada del radio
es crítica:
• Si el radio es demasiado grande, se pueden recibir dos rayos y el mismo rayo
especular se puede contar dos veces.
• Si el radio es demasiado pequeño, es posible que ninguno de los rayos alcance la
esfera de recepción y el rayo especular será excluido.
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
177
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
La siguiente figura muestra el tamaño apropiado de la esfera de recepción que puede
recibir un rayo.
Figura 7.10: Longitud adecuada del radio de la esfera para recibir un rayo. Caso 2D
Para cada localización del receptor, se computa la distancia perpendicular, d, del
receptor al rayo, junto con la longitud (revelada) total del rayo-trayectoria, L, de la
fuente al punto de proyección perpendicular. Si d es mayor o igual que (ΦL)/2 para el
caso de dos dimensiones, o (ΦL)/
√3 para el caso tridimensional, se considera que el
rayo no alcanza la localización del receptor. Aquí, Φ es el ángulo entre dos rayos. Sino,
se considera que el rayo contribuye a la señal recibida. No hay esfera de recepción
asociada con el método de las imágenes.
Las partes fundamentales del método del trazado de rayos son la generación y la
descripción de los rayos. Hay dos clases de métodos para obtener los rayos en el punto
fuente. Uno es una aproximación en dos dimensiones (2D), el otro es un método
tridimensional (3D).
Modelo de lanzado de rayos en dos dimensiones
En dos dimensiones, todos los rayos o tubo de rayos son sectores del rayo, como
se muestra en la figura 9. En la fuente, los rayos se lanzan a lo largo de diversas
direcciones con el mismo ángulo del sector,Φ, en un plano. La elección del ánguloΦ
depende de la exactitud requerida y del tiempo de cálculo. Si el ángulo es pequeño,
proporcionará alta exactitud y llevará mucho tiempo de cálculo. Por ejemplo, si el
ángulo Φ = lº, entonces se trazarán 360 rayos.
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
178
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
Figura 7.11: Rayos generados desde la fuente en 2D
Cada rayo se lanza desde fuente y se puede trazar a través de un árbol binario.
Una intersección con la superficie de un objeto se representa con un nodo en el árbol. El
rayo de incidencia se descompone en un rayo reflejado por objeto y en un rayo que
penetra en dicho objeto. Se asume que el rayo reflejado se propaga a lo largo de la
dirección especular (el ángulo de incidencia es igual que el ángulo de orientación) y el
rayo que penetra en el objeto conserva la dirección original del rayo incidente. Entonces
ambos rayos se propagan a la intersección siguiente. Una intersección con una cuña
también se representa con un nodo, el punto de la difracción se procesa como fuente y
se deben lanzar una gran cantidad de rayos. El proceso de descomposición se repite
como un proceso recursivo. Este procedimiento se continúa hasta que los rayos sean
más débiles que un umbral dado, hasta que deje un área de propagación predefinida o
hasta que se reciba el rayo. Después, se calcula la intensidad del campo en el receptor
según la ecuación siguiente:
Ecuación 7.1
Se introdujo un modelo de difracción en dos dimensiones: los autores
consideraban que varios edificios eran filos verticales, descuidando la difracción sobre
el tejado y la reflexión del terrero. La contribución débil de las señales de los rayos
sobre el tejado podrían descuidarse porque los edificios eran mucho más altos que las
antenas del estaciones base (BS) y de la estaciones móviles (MS) en un ambiente
microcelular urbano. No existía ningún rayo debido a una sola reflexión en el terreno
del transmisor al receptor en las regiones de la sombra. Para alcances menores de 1km
desde el transmisor (fuente primaria), la energía recibida podría tener una dependencia
de R dada por una ley de energía de 1/R2. Sin embargo, para las regiones del LOS, las
reflexiones en el terreno parecían ser menos importantes.
Según lo divulgado adentro, el algoritmo de trazado de rayos de dos dimensiones es
bastante exacto cuando las alturas de la antena del transmisor y del receptor son
significativamente más bajas que los tejados de los edificios circundantes. Este modelo
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
179
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
de propagación entre un transmisor y un receptor situados cerca del terreno
generalmente se llama modelo cañón.
Al usar un modelo de dos dimensiones, las entradas son:
a) la geometría de dos dimensiones descrita por medio de los vectores que
especifican la localización de $e del edificio empareda;
b) las características eléctricas estimadas de las paredes del edificio (la
permitividad y la conductividad, o el coeficiente de reflexión escalar);
c) la localización de la estación base;
d) d) el modelo de la antena;
e) la frecuencia de la operación.
Modelo de lanzado de rayos tridimensional
El transmisor y el receptor se modelan como puntos fuente al usar esta técnica
de trazado de rayos. Para determinar todos los rayos posibles que puedan salir del
transmisor y llegar el receptor en tres dimensiones, es necesario considerar todos los
ángulos posibles de salida y de llegada en el transmisor y en el receptor. Los rayos se
lanzan desde el transmisor con un ángulo de elevación θ y con un ángulo de acimut Φ,
según lo definido en el sistema de coordenadas habitual. El modelo de antena se
incorpora para incluir los efectos de la amplitud de rayo de la antena en el ángulo de
acimut y de elevación.
Para guardar todas las rutinas generales de manipulación del rayo, es deseable
que cada tubo de rayos ocupe el mismo ángulo sólido, dΩ, ya que cada frente de onda
tiene una forma y un tamaño idénticos en una distancia r del transmisor. Además, estos
frentes de onda deben ser tales que pueden ser subdivididos para poder manejar
fácilmente una resolución creciente del rayo. Por ejemplo, dejar r = 1, y dejar el frente
de onda total como una superficie de una esfera unidad. El problema entonces se
convierte en un problema de subdividir la superficie de la esfera “parcelas” iguales, de
modo que todas tengan el mismo tamaño y la misma forma para que, colectivamente,
cubran la superficie de interés sin huecos. También se han utilizado frentes de ondas del
rayo hexagonales y triangulares.
El procedimiento del trazado de rayos en tres dimensiones es similar a los
modelos en dos dimensiones, pero es necesario más tiempo de cálculo.
Algunos sectores de las paredes en un pasillo se pueden hacer de diversos
materiales, por ejemplo, madera, metal, ladrillo o vidrio, que puede tener diversas
reflectividades para la onda incidente. El descuido de las diferencias entre las
reflectividades de varios materiales degradará la exactitud de la predicción del modelo
de propagación. Por lo tanto, el concepto de un “material de construcción eficaz” fue
propuesto para representar los materiales constitutivos físicos complicados usados en
las paredes de un edificio. Sin embargo, la permitividad de este material eficaz no es
fácil de determinar, puesto que depende de datos experimentales así como el modelo de
propagación. Para simplificar este problema, se introducen arreglos de diversas
constantes dieléctricas y magnitudes físicas. Se observa que la magnitud y la constante
dieléctrica de cada arreglo se eligen según las dimensiones físicas y el material de que
se ha hecho.
La clave de un modelo de propagación basado en trazado de rayos es encontrar
una manera de cálculo rápida para determinar las trayectorias de rayo dominantes para
proporcionar predicciones exactas de las pérdidas de la trayectoria. En la predicción de
la propagación en entornos exteriores, la difracción de los bordes se debe tener en
cuenta además de las reflexiones especulares, especialmente en las regiones no-LOS.
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
180
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
Desafortunadamente, la difracción desperdicia mucho tiempo del modelo, puesto que un
solo rayo incidente que encuentra un borde generará una familia entera de nuevos rayos.
La generación de una gran cantidad de rayos difractados limita el número de
difracciones que se puedan considerar. Para cualquier trayectoria dada, se eligen como
máximo dos, a menos que se pueda hacer una aproximación para encontrar los rayos
que contribuyen de manera importante. Para encontrar los rayos que contribuyen en un
entorno urbano, donde las paredes del edificio son casi siempre polígonos planares
verticales, se desarrolla un método de lanzamiento plano vertical (VPL, vertical-planelaunch) El VPL considera aproximadamente las reflexiones especulares en las
superficies verticales y la difracción en los bordes verticales, y aproxima la difracción a
lo largo de los bordes horizontales restringiendo los rayos difractados que se encuentran
en el plano de la incidencia o en el plano de la reflexión. El VPL puede tratar múltiples
difracciones hacia adelante en los bordes horizontales. Puede también ser utilizado para
las antenas del tejado y para las áreas donde existen edificios de diversas alturas.
7.7
Técnicas de aceleración del trazado de rayos
El problema principal del algoritmo de trazado de rayos es su lentitud. Cuando
los entornos son complejos, el proceso del trazado de rayos se debe realizar con
algoritmos que mejoran la eficacia de las simulaciones. Por lo tanto, los algoritmos de
aceleración del trazado de rayos son un asunto común en el mundo del trazado de rayos
[36][38]. Algunas de estas técnicas se pueden aplicar a la propagación de las ondas
electromagnéticas en la banda de frecuencias UHF.
Las técnicas de aceleración del trazado de rayos se pueden clasificar en cuatro
categorías según su objetivo:
1. Reducir el tiempo de intersecar un rayo con las primitivas usadas en el modelo.
Los modelos de faceta usan solamente facetas planas poligonales como primitivas.
Geométricamente, una faceta es una primitiva muy simple así que se reduce el tiempo
de las pruebas de intersección rayo-faceta. Los algoritmos de intersección de rayo-faceta
son un asunto bien conocido.
2. La reducción del número total de pruebas de intersección de rayo-primitiva
(rayo-faceta). En todos los modelos de propagación presentados, se debería alcanzar la
prueba de sombreado en varias ocasiones. Por lo tanto, el número de pruebas de
intersección de rayo-faceta realizadas durante la simulación del trazado de rayos tiende
a ser extraordinariamente grande. Aunque la prueba de intersección rayo-faceta sea un
proceso de cómputo barato, el gran número de pruebas en entornos urbanos requiere
tiempos de CPU grandes para lograr las simulaciones. La eficacia de las pruebas de
sombreado pueden ser mejoradas dramáticamente desechando facetas y, por lo tanto,
reduciendo el número de pruebas de intersección rayo-faceta. Estas técnicas de
aceleración son las más eficientes en los modelos de facetas complejos. Los algoritmos
de aceleración presentados en este apartado pertenecen a esta categoría.
3. Reduciendo el número total de rayos intersecados con el entorno. A veces,
durante el proceso del trazado de rayos, es posible estimar la contribución de un rayo en
el resultado final. En este caso, si la contribución está por debajo de un cierto nivel de
umbral, el rayo puede ser desechado. Con esta técnica el número de rayos que se
remontarán puede disminuir considerablemente. Esta técnica es especialmente
conveniente en modelos basados en lanzamiento de rayos (SBR)
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
181
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
4. Reemplazar rayos individuales por una entidad más general. Esta categoría
contiene técnicas sustituyen el concepto de rayo por una entidad más general (rayo
generalizado) que incluya rayos como caso (degenerado) especial. Por ejemplo, se han
utilizado conos de secciones representativas circulares y poligonales según los rayos
generalizados. La idea básica de estos métodos es remontar muchos rayos
simultáneamente. Aunque este método se haya utilizado con éxito en problemas ligeros
de propagación, parece difícil hacerlo compatible con la UTD.
Los algoritmos que se presentan a continuación están inspirados por las técnicas
usadas en gráficos de computadora. Pertenecen a la segunda categoría, así que su
objetivo es reducir el número de pruebas de intersección rayo-faceta. Son fáciles de
utilizar conjuntamente con los modelos de trazado de rayos, tanto con el método de las
imágenes como con el del lanzado de rayos. Los algoritmos son:
 Algoritmo de partición del espacio binario (BSP)
 Algoritmo de división volumétrica del espacio (SVP)
 Algoritmo angular z-almacenador (AZB)
El AZB es conveniente para los modelos basados en el método de las imágenes,
mientras que los BSP y el SVP son apropiados tanto para los modelos de lanzado de
rayos como para los del método de las imágenes.
Además, el backface culling (desecho de superficies ocultas) es otra técnica básica y
simple que se puede utilizar para acelerar el trazado de rayos ya que sirve para eliminar
superficies no visibles de un objeto y superficies de un objeto ocultas por otros objetos.
Sus principales características son:
 Sirve para determinar las caras de un objeto que están detrás y no son
visibles
1. Cada cara define un plano que divide el espacio en dos semiespacios, uno 'in'
y otro 'out'.
2. El subespacio 'in' es aquél en que se encuentra el objeto (al menos la parte del
objeto que tiene a esta cara por frontera con el exterior).
3. La cara está detrás respecto de un centro de proyección CP si el CP está en el
semiespacio 'in' (el objeto tapa a la cara).
4. La cara está delante respecto del CP si éste se encuentra en el semiespacio
'out'
 Prefiltro para resto de algoritmos de superficies ocultas: descarta caras que
seguro que no son visibles (culling)
1. Si back-face indica que una cara está detrás, la cara no es visible.
2. Si back-face indica que una cara está delante, puede que esté oculta si el
objeto no es convexo o si tiene otro objeto delante
 Poco costoso
7.7.1 Algoritmo de partición del espacio binario (BSP)
El algoritmo de BSP es un método eficiente para calcular y almacenar las
relaciones de la visibilidad entre un grupo de facetas en un espacio 3D. Esta
información se almacena en una estructura de árbol binaria llamada árbol BSP [42].
En cuanto a muchas técnicas de aceleración del trazado de rayos, el objetivo
principal es reducir el número de análisis de intersecciones rayo-faceta en el proceso del
trazado de rayos. Esto se consigue usando la información del árbol de BSP. Reduciendo
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
182
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
el número de preguntas por las intersecciones rayo-faceta, se puede disminuir
dramáticamente el tiempo consumido por el procedimiento del trazado de rayos.
En un modelo de trazado de rayos basado en el BSP, la primera tarea es generar
un árbol de BSP de la escena. Depende exclusivamente de la geometría de la escena, así
que es independiente de las fuentes y de las localizaciones del observador. Luego,
durante el análisis del trazado de rayos, se interroga el árbol del BSP en varias ocasiones
para reducir el número de preguntas de intersecciones rayo-faceta.
El árbol del BSP es una estructura en árbol binaria que contiene la información
sobre las posiciones relativas de las facetas en una escena 3D (o 2D). Cada nudo del
árbol representa una faceta. La raíz del árbol del BSP es cualquier faceta de la escena y
el algoritmo trabaja correctamente sin importar el que se seleccione. El polígono raíz se
utiliza para repartir el entorno en dos medios espacios. Una mitad del espacio contiene
todos los polígonos restantes delante del polígono raíz con respecto a su superficie
normal; la otra mitad contiene todos los polígonos detrás del polígono raíz. Cualquier
polígono que se encuentre en ambos lados del plano del polígono raíz se parte en dos
pedazos por el plano y los pedazos delanteros y traseros se asignan al medio espacio
apropiado. Cada polígono del medio espacio delantero y trasero del polígono raíz se
hace sus polígonos hijos delanteros y traseros y utilizan a cada polígono hijo
recursivamente para dividir los polígonos restantes en su medio espacio correspondiente
de la misma manera. El algoritmo termina cuando cada nodo contiene solamente un solo
polígono.
Por ejemplo, para la escena exterior en 2D de la figura 7.12, se ha generado el
árbol de la siguiente manera:
Figura 7.12: Escena exterior analizada en 2D
La faceta 3 se ha elegido como el nudo raíz. El plano que contiene la faceta 3
divide el espacio en dos mitades que corresponden a las ramas del nudo. La mitad del
espacio delantero a la faceta (con respecto al vector normal de la faceta) corresponde a
la rama (bifurcación) derecha, y la mitad trasera corresponde a la rama izquierda. El
plano que contiene al nudo raíz parte a las facetas 5 y 4, así que se asignan dos nuevas
facetas para cada una (dos para la faceta 5 y dos para la 4) al medio plano apropiado.
Una de las facetas elegidas arbitrariamente sobre el plano se pone en la rama derecha (la
faceta 6), y una faceta puesta bajo el plano se coloca en la rama izquierda (faceta 1). El
proceso entonces se repite para las facetas hijas (1 y 6). Después del procedimiento
recursivo anteriormente dicho, se crea el árbol binario. Las siguientes figuras ilustran la
generación del árbol para el ejemplo actual:
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
183
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
Figura 7.13: Generación del árbol del BSP (I)
Figura 7.14: Generación del árbol del BSP (II)
Figura 7.15: Generación del árbol del BSP (III)
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
184
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
Figura 7.16: Generación del árbol del BSP (IV)
El árbol contiene la información sobre las posiciones relativas de las facetas y es
independiente de la fuente y de las localizaciones del observador. Para una escena dada,
se pueden crear muchos árboles, pero no todos son igualmente eficientes (será
demostrado más adelante). La figura 7.17 muestra un árbol alternativo para la escena
anterior. La información del árbol del BSP se utiliza para reducir el número de
preguntas de intersecciones rayo-faceta en el proceso del trazado de rayos.
Figura 7.17: Otro ejemplo del árbol del BSP
Dependiendo del efecto analizado y de la trayectoria de rayo considerada, la
fuente puede ser una antena transmisora, un punto de reflexión, un punto de difracción,
o un punto de transmisión. El observador puede ser un punto de observación, un punto
de reflexión, un punto de difracción, o un punto de transmisión.
Dada una fuente (s) y un punto de observación (o), se considera inicialmente el
nudo de raíz. Hay tres localizaciones posibles de S y de O con respecto a la faceta raíz:
1. S y O sobre la faceta.
2. S y O bajo faceta.
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
185
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
3. S y O en diversas mitades del espacio.
En el primer caso, la faceta actual más todas esas facetas suspendidas de la rama
izquierda no puede ocultar la trayectoria S-O. Así se va a la faceta colocada en la rama
derecha y el procedimiento continúa con la parte restante del árbol. Hay que notar que,
analizando una faceta, todas las facetas situadas en una mitad del espacio han sido
rechazadas.
En el segundo caso, la faceta actual más todas las facetas colgadas de la rama
derecha no puede ocultar la trayectoria S-O. Entonces se procede a analizar la faceta
suspendida de la rama izquierda y el procedimiento continúa con el resto del árbol.
En el tercer caso, la faceta puede ocultar la trayectoria S-O y se debe hacer una
prueba rigurosa. Si no se hace, el procedimiento continúa con las facetas hijas.
Aparte de las pruebas de intersección rayo-faceta, la única operación realizada
durante el interrogatorio del árbol es determinar si un punto dado P (puede ser el punto
de la fuente o el punto del observador) está delante o detrás de la faceta. Esta prueba se
reduce al análisis del signo del producto escalar entre el vector normal y el vector, que
ensambla un vértice de la faceta con P (Figura 7.18):
If
, P está delante de la faceta (figura 16a)
If
, P está detrás de la faceta (figura 16b)
Figura 7.18: Punto P delante y detrás de la faceta (casos a y b respectivamente)
La idea que subyace del algoritmo BSP es intercambiar la prueba de rayo-faceta
computacionalmente costosa con el producto escalar anteriormente dicho. En escenas
complejas esto proporciona una reducción muy importante en el tiempo del cómputo del
trazado de rayos con respecto al método del lanzado de rayos.
Según lo mencionado, se pueden crear varios árboles de una escena dada. La
eficacia del algoritmo depende mucho de la estructura del árbol. Los árboles óptimos
deben satisfacer dos condiciones:
1. Que el número de facetas fracturadas sea bajo. En estos casos, el número de
nudos está cercano al número de facetas de la escena.
2. Que el árbol sea equilibrado; es decir, que tenga solamente algunos niveles de
profundidad.
El mínimo número de niveles de profundidad es INT(log2N) + 1, siendo INT el
entero superior más próximo y N el número de facetas. En los árboles óptimos, el
número de niveles de profundidad está cercano al valor antedicho. Por ejemplo, en el
árbol de la figura 14, se han partido dos facetas y el número de niveles de la
profundidad es 5. Para el árbol de la figura 15, no se ha partido ninguna faceta y el
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
186
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
número de niveles es 4. Por lo tanto, el segundo árbol es mejor. En esta escena (siete
facetas), el árbol ideal tendría INT(log2N) + 1 = 3 niveles.
Para un árbol ideal en la prueba de sombreado, el número máximo de pruebas de
intersección rayo-faceta (la prueba peor) será INT(log2N) + 1. En el mejor caso, no se
requiere ninguna prueba de intersección. El uso del BSP en un rayo basado en un
modelo de radiopropagación es sencillo:
En el caso del rayo directo, S es la antena transmisora y O es la antena receptora.
Hay una trayectoria única para analizar, así que para cada observador el árbol se
interroga una vez.
En el caso de los rayos reflejados, hay que considerar dos trayectorias. La
primera, de la antena transmisora (S) al punto de reflexión (O) y la segunda, del punto
de reflexión (S) a la antena receptora (O). Por lo tanto, el árbol BSP se puede interrogar
una vez (si se oculta la primera trayectoria, la interrogación se para) o dos veces.
Para rayos difractados, hay también que considerar dos trayectorias. La primera,
de la antena transmisora (S) al punto de difracción (O) y, la segunda, del punto de
difracción (S) a la antena receptora (O). Por lo tanto, el árbol se interroga una o dos
veces.
En los efectos de segundo orden (reflexiones dobles, difracciones dobles,
reflexión-difracción y difracción-reflexión), hay que analizar tres trayectorias, así que el
árbol de BSP se interroga una, dos o tres veces. Para la primera trayectoria, S es siempre
la antena transmisora y O puede ser un punto de reflexión o de difracción. La segunda
trayectoria va de un punto (S) reflejado o difractado a otro punto reflejado o difractado
(O). Y, finalmente, la tercera trayectoria viene de un punto de reflexión o de difracción
(S) y llega a la antena receptora (O).
Para la escena anterior en 2D, la figura 17 muestra una antena transmisora (Tx) y
cuatro localizaciones diferentes para una antena receptora (Rx1 a Rx4).
Figura 7.19: Localización del transmisor y del receptor en una escena en 2D
7.7.2 El algoritmo de división volumétrica del espacio (SVP)
Una de las técnicas anteriores para reducir el número de pruebas de intersección
rayo-faceta es el método del SVP (thmSpace Volumetric Partitioning Algori). También
suele llamarse algoritmo de subdivisión espacial uniforme. Usando esta técnica, el
espacio en 3D que rodea al entorno se divide en voxels (unidad cúbica que compone un
objeto tridimensional). Los voxels son cubos con los lados paralelos al eje de
coordenadas. Todos los voxels juntos constituyen un volumen que contiene al entorno.
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
187
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
Cuando el tamaño y la forma de los voxels son iguales, se dice que la subdivisión del
espacio es uniforme. De aquí en adelante se asume una división del espacio uniforme.
Para cada voxel, las facetas que se encuentran total o parcialmente en el interior,
son resueltas. Esta información se almacena en la matriz del SVP, que será interrogada
en varias ocasiones en las pruebas de sombreado. Hay que notar que la matriz del SVP es
independiente de las localizaciones de la antena transmisora y del observador; es decir
depende exclusivamente de la escena. Como ejemplo, la figura 7.20 muestra un entorno
exterior simple en 2D y el almacenamiento de las facetas en los voxels [42].
Figura 7.20: Subdivisión del espacio en voxels y almacenamiento de las facetas para una
escena exterior simple en 2D
Cuando se realiza una prueba de sombreado para una trayectoria del rayo de la
fuente al observador, se determinan los voxels perforados por el rayo. Esto se puede
hacer muy eficientemente mediante el cálculo incremental cuando la división espacial
es uniforme, es decir, cuando todos los voxels son iguales en tamaño y forma. Las
únicas facetas que se deben probar para la intersección son las almacenadas en los
voxels perforados por el rayo. Esto puede eliminar potencialmente la gran mayoría de
las facetas en el entorno considerado.
Cuando se utiliza un modelo de propagación basado en el lanzado de rayos, es
necesario determinar la faceta más cercana perforada por los rayos. En tales casos, una
observación importante es que los rayos imponen un orden estricto ante los voxels
perforados del voxel que contiene la fuente al voxel del observador. Este orden garantiza
que todas las intersecciones que ocurren en un voxel están más cercanas al rayo origen
que los demás voxels subsecuentes. Por lo tanto, procesando los voxels en el orden en el
que se encuentran al rayo, no es necesario procesar los voxels subsecuentes una vez que
se haya encontrado una intersección rayo-faceta.
El tamaño de los voxels es importante para la eficacia del algoritmo del SVP, ya
que cuando éste aumenta, el número de facetas desechadas disminuye. Además, cuando
su tamaño disminuye, el número de voxels aumenta, al igual que el tiempo de
procesamiento para cada rayo.
Por otra parte, los requisitos de memoria para almacenar la escena aumentan con
el número de voxels.
La técnica del SVP se puede mejorar usando estructuras repartidas
jerárquicamente o con la técnica del octree.
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
188
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
7.7.3 El algoritmo Z-buffer angular
La técnica de AZB es similar a la técnica buffer de la luz, aunque el AZB tiene
muchas de características particulares que lo hacen especialmente adecuado para la
propagación UHF, especialmente para el tratamiento de la difracción [42].
Para una fuente dada (S), el espacio se divide en regiones angulares. Son
sectores esféricos desde punto de la fuente definido por la coordenada esférica theta θ)
(
y phi (Φ) de un sistema de coordenadas fijo situado en la fuente (figura 7.21).
Figura 7.21: Definición de anxel
Usando una nomenclatura similar al método del SVP, se llaman anxels como
abreviatura para los elementos angulares. El número de anxels depende de los márgenes
angulares Δθ y ΔΦ que definen su tamaño. Se resuelven las facetas de la escena que se
encuentran en cada anxel. Es decir, las facetas están situadas en la célula
correspondiente del plano θ-Φ (plano de AZB) (figura 7.22).
Figura 7.22: Almacenamiento de las facetas en el plano AZB
Cada célula es una representación de un anxel en el plano del AZB. Por otra
parte, en cada anxel se organizan las facetas según la distancia a S. Esto se calcula
como la distancia entre S y el vértice más cercano a la faceta. Toda esta información se
almacena en la llamada matriz AZB. Depende, exclusivamente, del punto fuente y de
las facetas del entorno. Como ejemplo, la figura 7.23 muestra escena exterior simple
donde se ha logrado una partición del espacio en 8 anxels. En este caso, los anxels
degeneran en sectores angulares. La tabla 7.1 muestra el almacenamiento de las facetas
en la matriz del AZB.
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
189
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
Figura 7.23: Ejemplo de una escena exterior en 2D dividida en 8 anxels
ANXEL FACETS
1
17, 18, 19, 9, 12, 11, 10
2
8, 9, 10, 7
3
4, 5, 6, 8, 3, 7, 2
4
1, 4, 2
5
6
7
17, 19, 16
8
17, 19, 15, 13, 14
Tabla 7.1: Almacenamiento de las facetas en el AZB de la escena de la figura 7.23
En escenas exteriores, se puede aplicar la prueba de backface culling para quitar
facetas de la matriz del AZB. Por ejemplo, en el anxel 1, se pueden quitar las facetas 10
y 11. También, una vez que se han clasificado las facetas se comprueban, a partir de la
segunda, para determinar si están totalmente ocultadas por facetas más cercanas a la
fuente. Todas las facetas que están ocultadas se quitan de la matriz de AZB. Por ejemplo
en el anxel 8, la faceta 15 está totalmente ocultada por la faceta 17. Este procedimiento
de clasificar las facetas en el anxel y de desechar las que están ocultadas se llama
“algoritmo del pintor”, porque se asemeja a la manera de trabajar de un pintor: los
objetos más cercanos se pintan sobre los más lejanos, ocultándolos. El algoritmo del
pintor se utiliza en la mayoría de los algoritmos del z-buffer intermediario usados en
gráficos por computador.
La tabla 7.2 muestra la información de la matriz AZB simplificada después de
aplicar el backface culling y el algoritmo del pintor.
ANXEL
1
2
3
4
5
6
7
8
FACETS
17, 9, 12
8, 9
4, 5, 8
1, 4
17
17
Tabla 7.2: Matriz AZB de la escena de la figura 7.23 sin las facetas ocultadas
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
190
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
Para un punto de observación dado (O), la prueba de sombreado determina si la
trayectoria S-O es ocultada por alguna faceta. Para terminar esta tarea, se calculan las
coordenadas esféricas del observador y el punto se sitúa en el anxel correspondiente
(una célula en el plano AZB). Solamente las facetas localizadas en el anxel con una
distancia a S menor que la distancia S-O pueden obstruir la trayectoria. Por otra parte,
las facetas se examinan de una manera ordenada, atendiendo a su distancia de la fuente,
porque las facetas más cercanas a S tienen una probabilidad más alta de ocultar la
trayectoria S-O. En la escena en 2D de la figura 7.23 solamente se considera la faceta 17
en la prueba de sombreado. La reducción en el número de facetas probadas disminuye
con el número de anxels, es decir, depende de los valores de Dq y del Df. Por otra parte,
el número de regiones es limitado por el tamaño de la memoria disponible.
Figura 7.24: Test de sombreado. Solo se examina la faceta 17
Para un número dado de anxels, la eficacia de la división angular disminuye
cuando el tamaño de la escena aumenta. Esto es porque lejos de la fuente, el área que
ocupa cada anxel será grande, así que podría contener gran cantidad de facetas. Pero en
picocélulas y microcélulas, donde son aplicables modelos de rayos en 3D deterministas,
se reduce el tamaño del escenario, por lo tanto, el AZB es muy eficiente. En células o
macrocélulas grandes, el AZB se puede combinar con los algoritmos de BSP o del SVP.
La aplicación de la técnica AZB para los rayos directos es sencilla.
Consideramos que la antena transmisora es la fuente (S). Para otros efectos, el uso del
AZB es ligeramente diferente, como se verá a continuación.
Aplicación a los rayos reflejados
En este caso, las fuentes son las imágenes de la antena transmisora (S) con
respecto a las facetas iluminadas directamente. Estas facetas se resuelven usando la
matriz de AZB del cálculo del campo directo.
Los puntos imagen (I) son las fuentes de los rayos reflejados. Pero se considera
que cada punto imagen irradia solamente en el espacio de reflexión (RS). Los valores
más altos y más bajos de las coordenadas esféricas (q, f) de los vértices de las facetas
reflectoras determinan el espacio donde se debe aplicar el AZB. En la representación en
2D, este espacio corresponde con el llamado “rectángulo AZB” (Figura 7.25). Igual que
en el análisis del campo directo, el rectángulo AZB se divide en anxels. Entonces, para
cada faceta que desde I se ve en su rectángulo AZB, se determinan el anxel o los anxels
donde se encuentran para rellenar la matriz AZB. Las facetas de cada anxel también se
organizan según su distancia a la fuente.
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
191
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
Figura 7.25: Rectángulo AZB para una fuente imagen. La faceta reflectiva se ve desde
la fuente imagen como un cuadrilátero con lados curvados (los lados se dibujan
directamente en esta figura). El rectángulo AZB está dividido en anxels.
Dado un punto de observación (O), se calculan sus coordenadas esféricos (ri, qi,
fi). Si el punto no se encuentra dentro del rectángulo AZB no hay reflexión en la faceta.
Por lo demás, se examina para ver si se encuentra en el cuadrilátero de reflexión. Si no
se encuentra, no hay reflexión. Por lo demás, se encuentra el anxel del punto de
observación y se examinan las facetas situadas en el anxel siguiendo el mismo
procedimiento que en el rayo directo. Con el procedimiento dicho anteriormente, se
analiza la posible ocultación del rayo reflejado.
Se hace el análisis del rayo de incidente (desde S al punto de reflexión) usando
la matriz AZB del campo directo, tomando el punto de la reflexión como el punto de
observación.
Aplicación a los rayos doblemente reflejados y de orden superior
Dada una imagen de primer orden (I), en las facetas situadas en el rectángulo
AZB se pueden producir una reflexión doble. Entonces, para cada una de las facetas
dichas anteriormente, se determina la imagen de segundo orden (I2). Para cada nueva
fuente I2, se realiza el procedimiento anterior, es decir, se obtiene el rectángulo AZB
como se ha hecho para la imagen de primer orden (I).
Para un rayo doble-reflejado dado, se analiza una posible ocultación como sigue:
-Para el rayo incidente (trayectoria desde el TX al 1er punto de reflexión), se utiliza la
matriz AZB del cálculo del campo directo considerando al primer punto de reflexión
como observador.
-Para el rayo cuya trayectoria va desde el 1er al 2o punto de reflexión, la matriz AZB de
I se utiliza considerando al 2o punto de reflexión como punto de observación.
-Para la trayectoria que va desde el 2o punto de reflexión al observador, se utiliza la
matriz de AZB de I2.
Si se consideran las reflexiones de orden superior, el número de imágenes puede
ser bastante alto. Por un lado, en las reflexiones de alto orden, el espacio de reflexión se
hace muy estrecho (los márgenes del rectángulo de AZB se hacen muy estrechos) y el
número de facetas para almacenar (y probar) llega a ser muy bajo. Al comparar las
técnicas SVP y AZB se comprueba que para las reflexiones de 2o orden y superior, la
técnica SVP es preferible.
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
192
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
Aplicación a los rayos difractados por un borde
La aplicación del algoritmo AZB a los rayos difractados por un borde es algo
diferente. Ahora las fuentes son los puntos del borde (puntos infinitos). Además, cada
punto irradia en infinitas direcciones contenidas en el cono de Keller. La colocación de
las facetas se realiza en términos de las coordenadas b y a del sistema de coordenadas
fijado en el borde (Figura 7.26) en vez de las coordenadas esféricas q, f. Aquí, b es el
ángulo del cono del Keller en cada punto del borde, por lo que varía a lo largo del
mismo y a es el ángulo formado entre el rayo difractado y la primera faceta de la cuña.
Figura 7.26: Definición de los parámetros angulares a, b para el AZB del borde de
difracción
Dada una fuente S y un borde, todos los rayos difractados se pueden representar
como puntos en el llamado rectángulo AZB de difracción como se muestra en la figura
7.27. Este rectángulo es una representación en 2D del espacio de difracción. Los valores
máximos y mínimos de las coordenadas del borde (bmax, bmin, amax, amin) fijan los
márgenes del rectángulo. El rectángulo se divide en anxels. Las facetas del entorno se
representan en el rectángulo AZB como cuadriláteros. Los vértices de los cuadriláteros
se dan según las coordenadas del borde de los vértices de las facetas.
Figura 7.27: Definición del rectángulo AZB para un borde de difracción
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
193
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
La información de los rectángulos AZB de difracción dependen de la geometría
del entorno y de la localización de la fuente. Por lo tanto, es independiente del punto
observador. Esta información se almacena en la llamada matriz AZB de difracción.
Dado un borde y un punto de observación, se calculan las coordenadas del borde
(b0, a0) y se localiza ese punto en el rectángulo AZB. Si está fuera de los márgenes del
rectángulo, no hay difracción en el borde. En caso contrario, se determina el anxel
donde se encuentra el punto. Solamente se consideran las facetas almacenadas en la
célula en la prueba de ocultación del rayo difractado. La prueba se hace de una forma
ordenada, es decir, se comienza con la faceta más cercana al borde según lo explicado
en el caso del rayo directo. Obviamente, si una faceta está más lejana del borde que O,
no se realiza la prueba.
Si el rayo difractado no se oculta, se analiza el rayo incidente (desde la fuente al
punto de difracción). Para terminar esta tarea, se utiliza la matriz AZB del campo
directo, tomando el punto de difracción como el punto de observación.
Aplicación a los rayos reflejados-difractados
Solamente se consideran los bordes situados en el espacio de reflexión de las
facetas iluminadas por la fuente. Estas facetas se obtienen de la matriz AZB del campo
directo. Cada una de estas facetas tiene su imagen correspondiente de reflexión. Las
matrices AZB de difracción se calculan como en el caso de una sola difracción, pero
ahora las fuentes son las imágenes de reflexión.
Con esta información, la prueba de sombreado para los rayos reflejadosdifractados se realiza rápido: si el punto de observación no está en el rectángulo AZB de
difracción, no hay reflexión-difracción. En caso contrario, la matriz AZB de difracción
se utiliza para el análisis de la línea del punto de difracción al observador. La matriz
AZB de reflexión se utiliza para el análisis de la trayectoria del punto de reflexión al
punto de difracción y la matriz AZB del campo directo se utiliza en la línea de S al
punto de reflexión.
Aplicación a los rayos difractados-reflejados
Solamente los bordes almacenados en la matriz AZB del campo directo se
pueden implicar en la difracción-reflexión, y solamente las facetas almacenadas en las
matrices AZB de una sola difracción pueden participar en la difracción-reflexión. El
problema de difracción-reflexión se puede reducir a una sola difracción usando la
siguiente estrategia: para cada par borde-faceta, se calculan las imágenes de la fuente
(S) y del borde (borde imagen) en la faceta reflexiva (Figura 7.28). Ahora el problema
se reduce a una sola difracción en el borde imagen donde la fuente es la imagen del
transmisor (esto se calculó en el cálculo del campo reflejado simple).
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
194
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
Figura 7.28: La difracción-reflexión se reduce a una simple difracción calculando la
imagen de la fuente y la imagen del borde con respecto a la faceta reflexiva
Ahora se calcula la matriz AZB de difracción que corresponde al borde imagen y
se localizan las facetas en el rectángulo AZB siguiendo un procedimiento similar al
realizado para la difracción simple. La faceta reflexiva también se localiza en el AZB
del borde imagen. Con esta información, para cualquier punto de observación, se
resuelve rápidamente el trazado de rayos. Solamente los puntos de observación situados
dentro del cuadrilátero del borde imagen y en los mismos anxels que la faceta reflexiva
están implicados en una difracción-reflexión (Figura 7.29).
Figura 7.29: Rectángulo AZB del borde imagen. Se muestra el cuadrilátero
correspondiente a la faceta reflexiva (los lados de la figura son rectos).
La matriz AZB del borde imagen se utiliza para el análisis de la trayectoria entre
el punto de reflexión y el punto de observación. La matriz de AZB del borde verdadero
se utiliza para el análisis de la trayectoria entre el punto de la difracción y el punto de la
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
195
Técnica del Trazado de Rayos
Trazado de Rayos
reflexión. Finalmente, la línea punto de la S-difracción se analiza usar la matriz de AZB
del campo directo.
Aplicación a las interacciones múltiples entre los bordes y las facetas
La prueba de sombreado de las interacciones múltiples que implican reflexiones
y difracciones se puede solucionar combinando los procedimientos precedentes. Si el
número de difracciones y/o reflexiones es alto, el número de matrices AZB crece y se
necesita más tamaño de la memoria. Por una parte, para efectos de alto orden, los
márgenes de los rectángulos AZB llegan a ser muy estrechos, así que el número de
facetas que se almacenarán (y ser probado) será muy bajo.
Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores
196