Download Trazado de rayos
Document related concepts
Transcript
Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos CAPÍTULO 7: TÉCNICA DEL TRAZADO DE RAYOS En la última década se ha producido un crecimiento espectacular en las comunicaciones inalámbricas. Esto es debido a la utilización de estas en entornos de interiores tal como los sistemas comunicaciones personales (PCS) y las redes de área local (WLAN). La necesidad de evaluar de un modo eficaz la propagación de radio en edificios está aumentando. También es crítico optimizar las localizaciones de las estaciones bases requeridas para asegurar el funcionamiento satisfactorio de los sistemas. Por lo tanto, la predicción de la propagación de radio para los entornos de interior, que forma la base de la optimización para la localización de las estaciones base, se ha convertido en un asunto de investigación importante [32]. Para crear un modelo de un sistema de comunicaciones, debe determinarse la descripción matemática del transmisor, el receptor y el efecto que el entorno tiene sobre la señal transmitida. Una vez que se combina la descripción matemática de estos componentes, entonces el modelo puede ser usado para evaluar el desempeño de un sistema teórico, sin la necesidad de construirlo en hardware antes de la evaluación. El modelo final puede ser en forma de ecuaciones, pero debido a la complejidad del entorno es más probable que se incorpore en una simulación por ordenador que combina una descripción simplificada del entorno con las ecuaciones que rigen la propagación de la onda transmitida en la presencia de estructuras simples. 7.1 Introducción La propagación de radio de interior no es influenciada por condiciones atmosféricas como la lluvia, la nieve o las nubes como propagación al aire libre (entornos exteriores), sino que puede ser afectada por la disposición en un edificio especialmente el uso de diversos materiales de construcción. Debido a la reflexión, a la refracción y a la difracción de las ondas de radio por los objetos tales como paredes, ventanas, puertas y muebles dentro del edificio, la señal transmitida alcanza a menudo el receptor a través de más de una trayectoria, dando por resultado un fenómeno conocido como “desvanecimiento por multitrayecto”. Figura 7.1: Principales rayos del transmisor al receptor [33][34] Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 163 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos Recientemente, la técnica del Trazado de Rayos o ray-tracing se esta utilizando extensamente para predecir la propagación de radio en los entornos de interiores. Los modelos de Trazado de Rayos se utilizan extensamente tanto en 2D como en 3D: en el modelo de 2D solamente se trazan los rayos en un plano, así que necesita menos tiempo del cómputo, sin embargo, en el modelo de 3D se deben trazar todos los rayos, así que necesita mucho más tiempo del cómputo. La técnica del Trazado de Rayos en 2D es ampliamente utilizada para la predicción de interior de la propagación. Cuando el entorno de interior es grande y complejo, tomará mucho tiempo CPU para calcular las características de la propagación. Es por lo tanto importante mejorar la eficacia de cómputo. Las técnicas de aceleración se usan para disminuir este tiempo de CPU. En este proyecto, primero se realiza un modelo 2D del Trazado de Rayos llamado modelo de cobertura, el cual calcula la potencia recibida en todos los puntos del entorno dependiendo de la resolución deseada. Después y aprovechando dicho modelo en 2D, se desarrollará un nuevo modelo eficiente de Trazado de Rayos en 3D. En este modelo, todos los objetos se proyectan sobre el piso. Usando el algoritmo del Trazado de Rayos en 2D y una reconstrucción de la altura de cada trayectoria se puede construir un modelo en 3D a partir del modelo en 2D creado. Porque pocos rayos eficaces necesitan ser remontados, mucha hora del cómputo puede ser ahorrada. Además, el sistema de coordenadas fijado por el rayo se utilizan en el análisis para reducir la dimensión (a partir el 3 a 2) de las coordenadas para los coeficientes de la reflexión, de la refracción y de la difracción. 7.2 Definición del trazado de rayos El trazado de rayos es un modelo determinista que se emplea para la predicción de la respuesta del canal de radiocomunicaciones. Se fundamenta en la aplicación de la Óptica Geométrica (GO) y la Teoría Uniforme de la Difracción (UTD). A medida que la frecuencia aumenta, la primera zona de Fresnel [35], que es la que concentra la mayor parte de la energía, tiende a estrecharse y se puede simular como un rayo [36][37]. De este modo la propagación de las ondas electromagnéticas se puede seguir de la misma forma que el camino que recorre un rayo óptico, simplificando enormemente el análisis. Los mecanismos fundamentales de propagación son la reflexión, la difracción y la difusión. La reflexión ocurre cuando una onda electromagnética incide sobre un objeto cuyas dimensiones son superiores a la longitud de onda. GO contempla la reflexión y la trata con la ley de Snell [38]. El fenómeno de la difracción surge cuando un rayo es obstruido por una superficie con irregularidades abruptas (esquinas formadas por dos paredes). En este caso se generan ondas secundarias desde esta arista por el principio de Huygens, y es la UTD la teoría electromagnética que estudia y resuelve este problema. Por último, la difusión tiene lugar cuando una onda viaja por un medio con objetos de dimensiones similares a la longitud de onda, o cuando el número de objetos por unidad de volumen es alto. La difusión en comunicaciones móviles suele tener un valor muy bajo con respecto a otras contribuciones, y no se suele tener en cuenta en el trazado de rayos. Existen dos formas de trazar rayos: • La primera se llama en inglés Ray-Launching o método de la “fuerza bruta”, que consiste en el lanzado de rayos desde la posición del transmisor con una separación angular constante y en su posterior seguimiento. Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 164 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos • La segunda de ellas es mediante el método de la imagen, que se basa en la generación de imágenes a partir de las posibles reflexiones que puedan producirse en un entorno. El trazado de rayos que se ha utilizado en el presente Proyecto Final de Carrera es mediante el método de la imagen, ya que está bien adaptado al análisis de la propagación de radio asociado a geometrías de baja complejidad y a un pequeño número de reflexiones. El método de la “fuerza bruta” pone en marcha un paquete de rayos que pueden o no alcanzar el receptor, por lo que requiere numerosas pruebas de intersección rayo-objeto y selección de datos extensos para el Trazado de Rayos. 7.3 Modelos geométricos y morfológicos La información requerida por cualquier herramienta determinista de la propagación se puede clasificar en dos tipos: descripción geométrica de la escena y descripción morfológica de la escena, es decir, características de los materiales del objeto de la escena. 7.3.1 Descripción geométrica Desde un punto de vista geométrico, los panoramas típicos de microcélulas y de picocélulas son absolutamente complejos ya que están implicados diversos objetos: edificios, postes de la lámpara, cabinas de teléfono, árboles, muebles, etc. Algunos de ellos son objetos móviles tales como coches y personas; todos ellos están implicados en el fenómeno de la propagación de radio, aunque cada uno tenga una influencia diferente. Por consiguiente, sin ciertas simplificaciones, la propagación de radio en tales entornos es imposible de simular incluso usando técnicas electromagnéticas aproximadas. Por una parte, los datos disponibles no contienen generalmente la información geométrica para los objetos pequeños. Evidentemente, no hay bastante información en relación a los obstáculos móviles. Por lo tanto, el nivel de detalle en los modelos geométricos se debe relacionar con los datos disponibles y usando aproximaciones electromagnéticas. Consecuentemente, sólo se consideran los datos del edificio y algunos datos del terreno. A veces, está disponible la información sobre objetos del interior, aunque no sea el caso general. En muchos casos, la única información disponible sobre edificios se relaciona con sus paredes externas (forma y localización geométricas), e incluye a veces información relativa a los materiales de las paredes. Esto podría ser suficiente para la predicción de la propagación en exteriores pero no para la predicción de interiores que requiere, por lo menos, información sobre la estructura de edificio interna (paredes, pisos, etc). La información relativa a las ventanas y a las puertas es también de interés para los modelos de interiores. En los modelos geométricos se deben considerar los datos del terreno, especialmente en pequeños entornos exteriores urbanos y en las áreas montañosas donde no se puede asumir el terreno llano. En otros casos, el terreno de las microcélulas y de las picocélulas se puede considerar llano. Los datos sobre el material del terreno son siempre importantes en ambientes exteriores. Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 165 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos 7.3.2 Modelos morfológicos Las características reflexivas de los materiales de construcción del terreno y de la superficie del edificio se deben considerar para realzar la exactitud de las predicciones [38]. Las medidas pueden ser obtenidas o pueden ser calculadas de las propiedades eléctricas y de la aspereza de los materiales correspondientes. Las características eléctricas son: • Permitividad relativa: εr • Permeabilidad relativa: µr • Conductancia: σ Existen tablas de las características eléctricas de los materiales para diferentes frecuencias, ya que varían con ésta. Como ejemplo, los parámetros eléctricos típicos a una frecuencia de 1.8 Ghz para diversos tipos de superficies exteriores de un edificio común son: • Piedra caliza: εr’ = 7.68, εr’’ = 0.21, µr’ = 0.96, µr’’ = 0.006, σ = 0.03 S/m. • Ladrillo: εr’ = 4.26, εr’’ = 0.09, µr’ = 1.03, µr’’ = 0.03, σ = 0.01 S/m. • Concreto: εr’ = 6.05, εr’’ = 1.64, µr’ = 0.95, µr’’ = -0.05, σ = 0.01 S/m. Todas estas características caracterizan a las superficies lisas. A veces, a las frecuencias de trabajo de las comunicaciones personales (PCN), el terreno y las paredes son ásperas y se debe incluir en el modelo de cada superficie un parámetro de aspereza superficial σh. La información sobre el parámetro de aspereza y las características eléctricas de los edificios y del terreno no está directamente disponible. Pero muchas veces, se tiene información relativa al tipo de materiales de construcción y, especialmente, del terreno, así que las características reflexivas se pueden obtener indirectamente. 7.3.3 Modelos de facetas Originalmente, los datos del entorno pueden estar en dos formas [38]: matriz (o malla) y vectorial. En el primer caso, el entorno se divide en células y cada célula contiene la información correspondiente. El tamaño de las células depende de la resolución de la descripción de la escena. En la forma vectorial, la información está asociada a las entidades geométricas (líneas, polígonos, etc.). Para aplicarlo a los modelos de propagación deterministas, la información debe estar disponible en forma vectorial. Cuando los datos originales están en forma de la trama, es necesario transformar la información original en forma vectorial. Para incorporar la información geométrica y morfológica en una herramienta de propagación, es necesario presentar tales datos vectoriales de una forma conveniente. Para hacer esto, se debe desarrollar una estructura de base de datos para almacenar y manejar los datos requeridos del edificio y del terreno. En la base de datos, los edificios y el terreno se almacenan usando un modelo de facetas; es decir, sus superficies se modelan con facetas planas poligonales. Generalmente, las paredes del edificio con cuaro facetas laterales. Los tejados se modelan mediante facetas con un número arbitrario de lados. La superficie del terreno también se modela con facetas planas. El número de facetas usadas para modelar el terreno depende del tamaño de la escena y de la orografía del terreno. En panoramas planos, con una sola faceta puede ser suficiente para modelar el terreno. Cuando la información sobre ventanas y puertas está Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 166 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos disponible, se pueden modelar convenientemente como facetas con las características morfológicas adecuadas. Los datos almacenados en la base de datos son los siguientes: • Número de facetas. • Número de cimas de cada faceta. • Coordenadas cartesianas de las cimas de cada faceta. • Tipo de material; el tipo de material se asigna a cada faceta como cualidad. Como ejemplo, la figura 1 muestra una escena exterior simple con un edificio. El modelo contiene seis facetas: cuatro para las paredes, una para el tejado, y otro para el terreno La tabla 1 muestra como los datos se arreglan en la base de datos. Los datos en esta tabla proporcionan la información básica sobre el modelo en facetas. Por otra parte, las bases de datos contienen generalmente otros tipos de datos que puedan ser útiles para los modelos de la propagación: Número de edificios Número de facetas de cada edificio (de las paredes y de la azotea) Número de facetas de las paredes Número de facetas de las azoteas Número de facetas de los pisos/techo Número de facetas de la tierra Tipo de faceta (esto indica si la faceta pertenece al suelo, a una pared, al techo, al etc.). Figure 3.1 – Una escena simple en 3D Figura 7.2: Escena simple en 3D Faceta 1 2 3 4 5 6 Nº Vértice 4 4 4 4 4 4 material ladrillo ladrillo ladrillo ladrillo tejas asfalto Coord. X 5, 5, 4, 4 5, 5, 5, 5 5, 4, 4, 5 4, 4, 4, 4 5, 5, 4, 4 0, 8, 8, 0 Coord. Y 7, 7, 7, 7 7, 8, 8, 7 8, 8, 8, 8 8, 7, 7, 8 7, 8, 8, 7 0, 0, 15, 15 Coord. Z 0, 3, 3, 0 0, 0, 2, 3 0, 0, 2, 2 0, 0, 3, 2 3, 2, 2, 3 0, 0, 0, 0 Tabla 7.1: Datos relativos a los materiales y coordenadas de las facetas de la figura 7.2 Generalmente, es muy útil almacenar los datos geométricos adicionales que serán utilizados por la herramienta de la propagación en varias ocasiones. Esta información se puede obtener de la descripción de cada faceta e incluye generalmente el vector normal y la topología de cada una. La información de dicha topología se ocupa de las facetas conectadas con la dada. Para cada límite de la faceta se indica la faceta conectada. El número de facetas conectadas con una dada corresponde con el número Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 167 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos de vértices. Si una de ellas se aísla en cualquier límite, aparece en la base de datos según lo conectado con la faceta número 0. La tabla 7.1 muestra cómo 1 se fijan en la base de datos los datos relativos al modelo de la figura 7.2. Esta información se trata con las facetas. Pero los bordes del modelo pueden desempeñar un papel importante en el fenómeno de la propagación. Los bordes del modelo se presentan de la conexión de pares de facetas. Son definidos por sus puntos finales, el par de facetas que forma el borde y el ángulo de la cuña (ángulo formado por las facetas), que también se puede almacenar. La tabla 7.2 muestra cómo los datos de los bordes de la figura 7.1 se computan en la base de datos. La información de los bordes se puede obtener del modelo de facetas básico, pero es útil tener la descripción del borde disponible en la base de datos de una manera directa. Para obtener la información del borde de un modelo de faceta básico, una regla básica debe ser seguida: Un límite de la faceta no se puede compartir por más de dos facetas. Faceta 1 2 3 4 5 6 Topología 2, 5, 4, 6 6, 3, 5, 1 6, 4, 5, 2 6, 1, 5, 3 2, 3, 4, 1 0, 0, 0, 0 Vector normal 0, -1, 0 1, 0, 0 0, 1, 0 -1, 0, 0 0, 0.7071, 0.7071 0, 0, 1 Tabla 7.2: Datos relativos a la topología y a los vectores normales de las facetas de la figura 7.1 Borde 1 2 3 4 5 6 7 8 Faceta 1, 2 2, 3 3, 4 4, 1 1, 5 2, 5 3, 5 4, 5 Ángulo 90 90 90 90 45 90 135 90 Coord. X 5, 5 5, 5 4, 4 4, 4 5, 4 5, 5 5, 4 4, 4 Coord. Y 7, 7 8, 8 8, 8 7, 7 7, 7 7, 8 8, 8 8, 7 Coord. Z 0, 3 0, 2 0, 2 0, 3 3, 3 3, 2 2, 2 2, 3 Tabla 7.3: Datos relativos a los bordes de la escena de la figura 7.1 Según lo mencionado anteriormente, la base de datos contiene la información tridimensional del entorno. A veces solamente los datos en 2D están disponibles de las fuentes de información (mapa de vista plano). En estos casos, en entornos exteriores, se asume que el terreno es plano y se puede elegir una altura aproximada para todos los edificios para obtener un modelo de facetas. A veces se sabe el número de pisos de cada edificio, pudiéndose obtener las alturas aproximadas. Algunos autores trabajan directamente con modelos en 2D para facilitar el uso del modelo de la propagación de radio. En este caso, se descuidan las difracciones de los tejados. Esto es una asunción Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 168 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos válida si se construyen las paredes más altas que la altura del transmisor. Algunos autores ponen una limitación tales que solamente son tratadas las superficies reflectoras paralelas al eje coordenado. En el caso de interiores, los modelos de facetas en 3D se pueden obtener combinando una descripción en 2D con la información sobre la altura de cada piso del edificio. Aquí, es imprescindible un modelo en 3D al explicar la influencia del suelo y de techo. Junto con la base de datos, es necesaria una interfaz gráfica con la cual visualizar el entorno y mostrar los actuales datos de propagación de salida a los usuarios de manera conveniente. Algunos autores utilizan los paquetes estándar de CAD (diseño asistido por ordenador) como el encargado de la base de datos y como interfaz gráfica. 7.4 Efectos de la geometría de rayos La representación de un trazado de rayos en el entorno es una parte importante del modelo. El entorno, dentro del cual funciona un transmisor práctico, consiste en una serie de superficies que son de un tamaño finito. Esto implica que una onda transmitida puede ser o no reflejada por un objeto antes de ser recibida por una antena en algún otro lugar. Del mismo modo, una onda transmitida puede ser o no reflejada por dos objetos antes de ser recibida por una antena. Cada uno de estos mecanismos de propagación de un transmisor a un receptor será clasificado como una trayectoria de propagación. La ausencia de una trayectoria reflejada por separado no hace excluir necesariamente la presencia de una trayectoria doble reflejada que incorpore el mismo objeto en su propagación. Por lo tanto, cada posible camino de propagación, con múltiples ondas reflejadas, debe ser considerado [29]. Una representación posible del entorno que reduce la complejidad de tratar con múltiples señales reflejadas implica la noción de que una onda que se refleja se considere como una onda transmitida directamente de una fuente de imagen fija con una energía de señal modificada y, posiblemente, la polaridad que existe en el lado opuesto de la superficie reflectante. Utilizando esta fuente de imagen fija, es posible excluir rápidamente la propagación de las rutas que no existen debido al tamaño limitado de la superficie reflectante. En la Figura 3-8 existe un camino desde el transmisor al receptor 1 a través del objeto reflectante en el entorno. Esto puede determinarse a partir de calcular el punto de intersección de la señal transmitida sobre el plano reflectante mediante el uso de una regla basada en que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión o directamente por el punto de intersección de la línea que une la imagen al receptor 1 y el plano reflectante. Una vez que se ha determinado el punto de reflexión, su existencia en la superficie del objeto puede ser verificada. Los efectos de una superficie reflectante de tamaño finito se ilustran al considerar el receptor 2. A pesar de que la línea que une la imagen y el receptor 2 cruza el plano reflectante, el punto de intersección de la línea que une la imagen al receptor 2 y el plano no está en la superficie reflectante, por lo tanto no existe reflexión en el camino entre el transmisor y el receptor. El receptor 3 es un ejemplo de un receptor de posición que, debido a que es en el lado opuesto del plano reflectante para el transmisor, no recibirá una componente multitrayecto directamente a partir de esta reflexión. Sin embargo, tanto para el receptor 2 como para el receptor 3, la falta de una ruta reflejada directa no se opone a que una señal reflejada múltiple llegue al receptor a través de una reflexión externa en este ejemplo de objeto reflectante. Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 169 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos Figura 7.3: Propagación del trazado de rayos Así como la propagación electromagnética se produce en el espacio libre, la propagación puede existir a través de componentes transmisivos en el entorno. Tales caminos pueden atenuar la onda de propagación por una cantidad importante que depende del material de construcción, el ángulo de incidencia, y el espesor del panel como se muestra arriba. Por lo tanto, el modelo de trazado de rayos debe considerar cada camino posible de propagación del transmisor al receptor por lo que refleja la fuente de todos los objetos en el entorno y, a continuación, cada imagen resultante en todos los demás objetos, y así sucesivamente. Es evidente que algún mecanismo debe existir para limitar el número de vías de propagación que se examinan ya que el algoritmo que se acaba de describir no está concluido. Existe un número de posibilidades, entre ellas están las que limitan el número de reflexiones que se consideran y las que compararan la energía de cada onda reflejada con un límite de referencia por debajo del cual no se consideran las señales. Hasta el momento, la discusión ha descrito los mecanismos para considerar la reflexión de objetos en el entorno. Las difracciones de las esquinas pueden ser tratadas por analogía, salvo que la imagen que se genera ya no sea una fuente puntual, sino un conjunto de posibles fuentes que describen un arco con el centro sobre el borde difractante. La ubicación de una imagen particular para un receptor de posición está determinada por el ángulo entre la posición del receptor y la superficie de referencia del borde. Debido a la más compleja representación de éste, y la posterior expansión de la onda incidente, las múltiples señales difractadas pueden ser ignoradas para la mayoría de aplicaciones prácticas. Si es necesario, puede ser incluido un caso especial para la propagación a través de una ranura de difracción que es un importante mecanismo de propagación. Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 170 Técnica del Trazado de Rayos 7.5 Trazado de Rayos Razones para el trazado de rayos Las escenas urbanas y de interiores típicas tienden a ser entornos complejos que requieren una gran cantidad de facetas para ser modelados [38]. En tales entornos, la radiopropagación de las ondas es un fenómeno extremadamente complicado. En un problema de comunicaciones móviles, es necesario computar el campo usando una gran cantidad de puntos situados a lo largo de una línea en una calle, en un pasillo de interiores o en los nodos de una malla. El número de puntos de observación puede estar en el orden de miles o aún mayor. La fuente o las fuentes se pueden situar en cualquier punto en la escena. Incluso usando un modelo simplificado de las escenas como el modelo de facetas y una aproximación de la propagación del rayo tal como GO/UTD, el problema de simular la propagación de las ondas de radio es una tarea compleja. En el mundo de los gráficos por computador, '' la prueba de sombreado " se conoce como la operación para determinar si un punto de observación es visible desde un punto de la fuente. En otras palabras, la prueba de sombreado determina si algún objeto de la escena obstruye una trayectoria de rayo dada desde un punto de la fuente a un punto del observador. Los puntos fuente pueden ser las antenas transmisoras, los puntos de reflexión, los puntos de difracción y los puntos de transmisión. Los observadores pueden ser puntos de observación, puntos de reflexión, puntos de difracción o puntos de transmisión. En los modelos de facetas, los objetos del entorno se describen con facetas, así que la prueba de sombreado se reduce en varias ocasiones a las pruebas de intersección rayo-faceta aplicadas. Se considera un modelo de facetas de un entorno urbano con Nf facetas, Ne bordes, una antena transmisora y N0 puntos de observación. Usando un método de lanzado de rayos, la prueba de intersección rayo-faceta se realiza un número de veces proporcionales a: • N0Nf(Nf+Ne) para los efectos de primer orden (rayos directos y rayos simplereflejados y rayos simple-difractados). • N0Nf(Nf+Ne)2 para los efectos de segundo orden (rayos doble-reflejados, rayos reflejar-difractados, rayos difractar-reflejados, etc.). • N0Nf(Nf+Ne)3 para los efectos de tercer orden (rayos triple-reflejados, rayos difractar-reflejar-reflejados, etc.) y así sucesivamente. Un microcélula típica se puede modelar por un número de facetas y bordes del orden de varios centenares, así pues, usando solamente un método de lanzado de rayos, el número de pruebas requeridas para el trazo de rayo pueden ser inconmensurables. En tales casos, es necesario reducir, tanto cuanto sea posible, el número de pruebas de intersección de rayo-faceta, usando modelos de propagación del rayo y técnicas eficientes de aceleración del trazado de rayo. Incluso usando tales algoritmos en entornos complejos, el tiempo consumido en pruebas de intersección rayo-faceta puede tomar más del 90% del tiempo total del trazado de rayos. El 10% restante se pierde en el cálculo de los puntos de la reflexión en facetas, de los puntos de la difracción en los bordes, etc. Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 171 Técnica del Trazado de Rayos 7.6 Trazado de Rayos Modelos de propagación de los rayos Existen dos modelos de trazado de rayos: el método de las imágenes y el método del lanzado de rayos. 7.6.1 Teoría de las imágenes La presencia de un obstáculo, especialmente si este está en las inmediaciones del elemento radiante, puede alterar significativamente las propiedades radiantes finales del sistema en si. En la práctica el obstáculo que comúnmente nos encontramos siempre es el suelo. Parte de la energía dirigida hacia éste se transmite mediante la reflexión, siendo la cantidad de energía reflejada dependiente de la geometría y parámetros del suelo. Normalmente el suelo es un medio con pérdidas σ distinto ( de cero) cuya conductividad efectiva crece con la frecuencia. Por lo tanto es normal esperar que actúe como un buen conductor por encima de una cierta frecuencia, en función a su contenido en humedad. Para simplificar el análisis se puede asumir que el suelo es un conductor eléctrico perfecto, orientado horizontalmente e infinito en extensión. Este procedimiento es extensible al análisis de características de algún elemento radiante próximo a algún otro conductor de la misma naturaleza, es decir, conductividad perfecta, horizontal e infinita. Debe constar que es imposible trabajar con dimensiones infinitas pero si que es posible hacerlo con elementos muy grandes, simplificando al caso infinito. Para analizar el comportamiento de un elemento radiante próximo a un plano conductor infinito se introducirán fuentes virtuales, llamadas imágenes, que tendrán efecto para la reflexión. Como indica su nombre, esta fuente no es real sino que es imaginaria y su combinación con las reales dan lugar a un nuevo sistema equivalente que reemplazaría al original, sólo con propósitos de análisis, ya que como se ha dicho anteriormente este nuevo sistema no es real, pero si equivalente al anterior. Entonces se haría uso de una nueva geometría o sistema que sólo sirva para obtener un resultado equivalente al del problema original. Se asume que un dipolo vertical (elemento radiante) está situado a una distancia ‘h’ sobre un conductor perfecto, plano e infinito, como se muestra a continuación: Figura 7.4: Dipolo vertical y su imagen para determinar la reflexión sobre un conductor Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 172 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos Asumiendo que no hay acoplamiento mutuo y que la energía es radiada en todas direcciones, para el observador P1 habrá un rayo directo y además uno reflejado procedente del punto QR1 en la interfaz creada por el conductor y que obedece a la ley de la reflexión que establece queθ 1 = θ1i como se puede apreciar en la figura 7.4. Se deduce por lo tanto que la energía en medios homogéneos describe trayectorias rectas describiendo los caminos más cortos. La onda que llega entonces al punto de observación P1 mediante la reflexión parece originada por la imagen de la fuente a una distancia ‘h’ por debajo del conductor. Si se atiende al transmisor situado en P2 el punto de reflexión es QR2 pero la imagen sigue siendo la misma que antes. Esta conclusión se extiende a cualquier otro punto por encima de la interfaz del conductor. La cantidad de energía reflejada depende generalmente de los parámetros del medio sobre el que incide la onda. En el caso de ser un conductor perfecto se produce la reflexión completa de la onda siendo cero el campo al otro lado de la interfaz. De acuerdo a las condiciones de contorno la componente tangencial del campo eléctrico debe de ser cero en todos los puntos de la interfaz o superficie del conductor. Esto lo aprovechamos para determinar la polarización del campo reflejado comparado con la del rayo directo. Esto se puede apreciar en la siguiente figura: Figura 7.5: Componentes del campo en el punto de reflexión En el caso de la figura anterior, para que se produzca la polarización adecuada de la onda reflejada, la fuente virtual debe de ser también un dipolo vertical y tener la polarización en la misma dirección que la fuente original. Por tanto el coeficiente de reflexión debe ser igual a +1 (reflexión hard). Cumpliéndose la condición de contorno de la componente tangencial del campo eléctrico sobre la interfaz, en este caso es un conductor de dimensiones infinitas, entonces la solución que obtenemos es única, cumpliendo el Teorema de la Singularidad [39]. A continuación se muestras el mismo caso, pero ahora la orientación de la fuente está dispuesta en sentido horizontal: Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 173 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos Figura 7.6: Rayo directo y reflejado Siguiendo un procedimiento similar al del dipolo vertical, vemos que la imagen virtual también se sitúa a una distancia h por debajo de la interfaz del plano conductor pero con una diferencia de fase relativa de π radianes respecto a la fuente original. Esto hace que sea necesario un coeficiente de reflexión igual a -1 (reflexión soft). Obviamente al igual que antes, de acuerdo al Teorema de la Singularidad, el resultado que se obtiene es único porque las condiciones de contorno se satisfacen a lo largo de toda la interfaz. Aparte de las fuentes eléctricas también se puede trabajar con fuentes equivalentes magnéticas y conductores magnéticos, teniendo en cuenta ahora que la condición de contorno a aplicar será que la componente normal del campo magnético desaparece en todos los puntos de la superficie del conductor. En la siguiente figura se muestran los casos de fuentes y sus imágenes: Figura 7.7: Fuentes eléctricas y magnéticas y sus respectivas imágenes Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 174 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos Como conclusión más básica se puede decir que esta teoría genera imágenes de todas las fuentes en todos los planos o respecto de todos los planos, que pudiera tener el sistema obteniendo de esta forma N imágenes de primer orden si hubiera N planos a considerar con una sola fuente a estudio. Hasta ahora se ha hecho referencia únicamente al cálculo de la imagen de primer orden de la fuente respecto a un plano de interés, que es aquella que se forma implicando a la fuente original y real y dicho plano, sobre el cual se producirá la reflexión del rayo que viajará de dicha fuente hasta el receptor. Es importante resaltar que se trata de la reflexión ya que con las imágenes de primer orden sólo se puede predecir el cálculo de esos rayos, como se ve en las figuras 7.4 y 7.6. Aparece ahora el concepto de imágenes de orden superior que permiten el cálculo de los rayos que sufren un mayor número de reflexiones en su trayectoria. Para el cálculo de estas imágenes de orden superior ya no se hace uso del transmisor, sino que se trabaja con una imagen de orden inmediatamente inferior y al igual que antes con el plano que sea de interés. Si bien en el caso de rayos de una sola reflexión se sabe que ésta procede de la pared o plano a estudio, ahora para trayectorias más complejas se ven involucradas un mayor número de planos siendo la última reflexión procedente del plano sobre el que se calcula la imagen de orden superior de trabajo. El resto de reflexiones que atañen a la trayectoria del rayo se producen en las diferentes paredes sobre las cuales se han ido calculando las imágenes de orden inferior y en el estricto orden en el que se han obtenido. Gráficamente todo esto queda resumido en la siguiente figura, en la que se obtiene un rayo que sufre dos reflexiones en su trayectoria de ‘S’ (fuente) hacia ‘d’ (receptor) [41]: Figura 7.8: Imágenes de primer y segundo orden correspondientes a una fuente (S) situada entre dos espejos (A y B) Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 175 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos Para este caso se observan dos imágenes de primer orden, por lo tanto de la fuente original, que serían SA y SB, las cuales obviamente se forman respecto a los planos A y B respectivamente. De segundo orden se observan SAB y SBA, las cuales observando los subíndices es fácil deducir que serían las imágenes de SA respecto al plano B y de SB respecto al A. Se puede decir, a la vista de esto, que las imágenes de orden superior son realmente imágenes de otras imágenes, que a su vez pueden ser imágenes de otras imágenes dependiendo del orden de la imagen que estemos obteniendo. Por último, hay que hacer hincapié en que el rayo obtenido haciendo uso de la imagen SAB sufrirá la última reflexión en la pared que indica su último subíndice, en este caso B, siendo la segunda reflexión, y las anteriores reflexiones provendrán de los subíndices anteriores y en ese orden, siendo para este caso ya la primera reflexión y procedente de la pared A, siempre que se siga esta nomenclatura. Es fácil deducir que para el caso de N planos en consideración y una única fuente transmisora se tendrán N(N-1) imágenes de segundo orden, N(N-1)(N-1) de tercer orden y así sucesivamente. La energía alcanzará el punto de destino a través de las múltiples reflexiones que podemos calcular mediante éstas. Una vez que el rayo ha sido descrito mediante las reflexiones que sufre, la atenuación asociada con cada una de ellas se puede calcular fácilmente. Por tanto el cálculo de las imágenes de diferente orden se perfila como un algoritmo recursivo donde hay una última consideración a tratar y es la validez o no de la imagen, entendiendo como tal la existencia de una reflexión ligada a dicha imagen. Esto es fácil de entender analizando la siguiente figura: Figura 7.9: Situación para la que no es válida una imagen de segundo orden, no se produce segunda reflexión en esa pared del rayo procedente de la pared 1 Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 176 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos En esta situación se observa una imagen de primer orden y otra de segundo llamadas TX-1 y TX-1-3, siguiendo la nomenclatura habitual, respectivamente. Mediante la línea discontinua de color negro se observa como se han calculado dichas imágenes, primero respecto a la superficie uno y posteriormente a la segunda. Unas líneas similares pero de color anaranjado se trazan desde la imagen hacia el receptor obteniendo con cada una un punto de corte con una superficie a su paso, podrían haber sido muchas paredes y obtener más puntos de corte pero este caso cumple las expectativas propuestas. A los citados puntos de corte se les llama P1 y P2, siendo el primero el obtenido por la imagen TX-1 con la superficie número uno y el segundo el de la otra imagen con la número cuatro. Únicamente se debe de comprobar que las líneas imaginarias anaranjadas en su camino desde la imagen hasta el receptor corten en la pared respecto a la que es calculada la imagen en cuestión. Hay que ser cuidadoso en este punto ya que el matiz entre plano infinito y pared debe ser tenido en cuenta. Una vez entendido esto es obvio entender que en la figura 2.6 no es valida la imagen TX-1-3. Cabe destacar que aunque se desechen algunas imágenes para su análisis, ya que una determinada reflexión no se produce, no se debe olvidar que tanto ésta como todas las demás deben ser consideradas para obtener imágenes de orden inmediatamente superior, ya que aunque una imagen determinada, del orden que sea, no determine una reflexión posible, si lo puede hacer una imagen de orden superior formada a partir de ella. Esto es fácil de entender con el siguiente ejemplo: en un sistema simulado, no se producen rayos con una reflexión desde la fuente hasta el receptor, pero sí existen rayos con este destino que lleguen con dos o más reflexiones. El método de las imágenes es eficiente por todo lo dicho anteriormente pero sólo se suele emplear en entornos simples debido al coste computacional que podría requerir. 7.6.2 Lanzado de rayos Es la alternativa a la teoría de imágenes dentro de los modelos de trazado de rayos [41]. Este método considera un haz de rayos transmitidos que pueden o no alcanzar el receptor. El número de rayos considerados y la distancia entre el transmisor y el receptor determinan la resolución espacial disponible y, por lo tanto, la exactitud del modelo. Este método requiere unos requisitos computacionales mayores que el método de la imagen. El procedimiento consiste en determinar una cantidad finita de las posibles direcciones de propagación desde la fuente, normalmente con una separación angular constante. Si un rayo intercepta un objeto, entonces se genera un rayo reflejado y otro refractado. Si un rayo intercepta una cuña, entonces se genera una familia de rayos difractados. Para la recepción se suelen determinar esferas si trabajamos en 3D, o círculos si estamos trabajando en 2D. Estos círculos o esferas receptoras de radios adecuados describen cada una de las zonas que reciben únicamente un rayo. Un rayo se tomará como recibido si su trayectoria intercepta el círculo de recepción. Para la construcción del círculo de recepción es necesaria la definición de un radio, denominado radio de impacto. Es entonces cuando la importancia mencionada del radio es crítica: • Si el radio es demasiado grande, se pueden recibir dos rayos y el mismo rayo especular se puede contar dos veces. • Si el radio es demasiado pequeño, es posible que ninguno de los rayos alcance la esfera de recepción y el rayo especular será excluido. Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 177 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos La siguiente figura muestra el tamaño apropiado de la esfera de recepción que puede recibir un rayo. Figura 7.10: Longitud adecuada del radio de la esfera para recibir un rayo. Caso 2D Para cada localización del receptor, se computa la distancia perpendicular, d, del receptor al rayo, junto con la longitud (revelada) total del rayo-trayectoria, L, de la fuente al punto de proyección perpendicular. Si d es mayor o igual que (ΦL)/2 para el caso de dos dimensiones, o (ΦL)/ √3 para el caso tridimensional, se considera que el rayo no alcanza la localización del receptor. Aquí, Φ es el ángulo entre dos rayos. Sino, se considera que el rayo contribuye a la señal recibida. No hay esfera de recepción asociada con el método de las imágenes. Las partes fundamentales del método del trazado de rayos son la generación y la descripción de los rayos. Hay dos clases de métodos para obtener los rayos en el punto fuente. Uno es una aproximación en dos dimensiones (2D), el otro es un método tridimensional (3D). Modelo de lanzado de rayos en dos dimensiones En dos dimensiones, todos los rayos o tubo de rayos son sectores del rayo, como se muestra en la figura 9. En la fuente, los rayos se lanzan a lo largo de diversas direcciones con el mismo ángulo del sector,Φ, en un plano. La elección del ánguloΦ depende de la exactitud requerida y del tiempo de cálculo. Si el ángulo es pequeño, proporcionará alta exactitud y llevará mucho tiempo de cálculo. Por ejemplo, si el ángulo Φ = lº, entonces se trazarán 360 rayos. Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 178 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos Figura 7.11: Rayos generados desde la fuente en 2D Cada rayo se lanza desde fuente y se puede trazar a través de un árbol binario. Una intersección con la superficie de un objeto se representa con un nodo en el árbol. El rayo de incidencia se descompone en un rayo reflejado por objeto y en un rayo que penetra en dicho objeto. Se asume que el rayo reflejado se propaga a lo largo de la dirección especular (el ángulo de incidencia es igual que el ángulo de orientación) y el rayo que penetra en el objeto conserva la dirección original del rayo incidente. Entonces ambos rayos se propagan a la intersección siguiente. Una intersección con una cuña también se representa con un nodo, el punto de la difracción se procesa como fuente y se deben lanzar una gran cantidad de rayos. El proceso de descomposición se repite como un proceso recursivo. Este procedimiento se continúa hasta que los rayos sean más débiles que un umbral dado, hasta que deje un área de propagación predefinida o hasta que se reciba el rayo. Después, se calcula la intensidad del campo en el receptor según la ecuación siguiente: Ecuación 7.1 Se introdujo un modelo de difracción en dos dimensiones: los autores consideraban que varios edificios eran filos verticales, descuidando la difracción sobre el tejado y la reflexión del terrero. La contribución débil de las señales de los rayos sobre el tejado podrían descuidarse porque los edificios eran mucho más altos que las antenas del estaciones base (BS) y de la estaciones móviles (MS) en un ambiente microcelular urbano. No existía ningún rayo debido a una sola reflexión en el terreno del transmisor al receptor en las regiones de la sombra. Para alcances menores de 1km desde el transmisor (fuente primaria), la energía recibida podría tener una dependencia de R dada por una ley de energía de 1/R2. Sin embargo, para las regiones del LOS, las reflexiones en el terreno parecían ser menos importantes. Según lo divulgado adentro, el algoritmo de trazado de rayos de dos dimensiones es bastante exacto cuando las alturas de la antena del transmisor y del receptor son significativamente más bajas que los tejados de los edificios circundantes. Este modelo Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 179 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos de propagación entre un transmisor y un receptor situados cerca del terreno generalmente se llama modelo cañón. Al usar un modelo de dos dimensiones, las entradas son: a) la geometría de dos dimensiones descrita por medio de los vectores que especifican la localización de $e del edificio empareda; b) las características eléctricas estimadas de las paredes del edificio (la permitividad y la conductividad, o el coeficiente de reflexión escalar); c) la localización de la estación base; d) d) el modelo de la antena; e) la frecuencia de la operación. Modelo de lanzado de rayos tridimensional El transmisor y el receptor se modelan como puntos fuente al usar esta técnica de trazado de rayos. Para determinar todos los rayos posibles que puedan salir del transmisor y llegar el receptor en tres dimensiones, es necesario considerar todos los ángulos posibles de salida y de llegada en el transmisor y en el receptor. Los rayos se lanzan desde el transmisor con un ángulo de elevación θ y con un ángulo de acimut Φ, según lo definido en el sistema de coordenadas habitual. El modelo de antena se incorpora para incluir los efectos de la amplitud de rayo de la antena en el ángulo de acimut y de elevación. Para guardar todas las rutinas generales de manipulación del rayo, es deseable que cada tubo de rayos ocupe el mismo ángulo sólido, dΩ, ya que cada frente de onda tiene una forma y un tamaño idénticos en una distancia r del transmisor. Además, estos frentes de onda deben ser tales que pueden ser subdivididos para poder manejar fácilmente una resolución creciente del rayo. Por ejemplo, dejar r = 1, y dejar el frente de onda total como una superficie de una esfera unidad. El problema entonces se convierte en un problema de subdividir la superficie de la esfera “parcelas” iguales, de modo que todas tengan el mismo tamaño y la misma forma para que, colectivamente, cubran la superficie de interés sin huecos. También se han utilizado frentes de ondas del rayo hexagonales y triangulares. El procedimiento del trazado de rayos en tres dimensiones es similar a los modelos en dos dimensiones, pero es necesario más tiempo de cálculo. Algunos sectores de las paredes en un pasillo se pueden hacer de diversos materiales, por ejemplo, madera, metal, ladrillo o vidrio, que puede tener diversas reflectividades para la onda incidente. El descuido de las diferencias entre las reflectividades de varios materiales degradará la exactitud de la predicción del modelo de propagación. Por lo tanto, el concepto de un “material de construcción eficaz” fue propuesto para representar los materiales constitutivos físicos complicados usados en las paredes de un edificio. Sin embargo, la permitividad de este material eficaz no es fácil de determinar, puesto que depende de datos experimentales así como el modelo de propagación. Para simplificar este problema, se introducen arreglos de diversas constantes dieléctricas y magnitudes físicas. Se observa que la magnitud y la constante dieléctrica de cada arreglo se eligen según las dimensiones físicas y el material de que se ha hecho. La clave de un modelo de propagación basado en trazado de rayos es encontrar una manera de cálculo rápida para determinar las trayectorias de rayo dominantes para proporcionar predicciones exactas de las pérdidas de la trayectoria. En la predicción de la propagación en entornos exteriores, la difracción de los bordes se debe tener en cuenta además de las reflexiones especulares, especialmente en las regiones no-LOS. Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 180 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos Desafortunadamente, la difracción desperdicia mucho tiempo del modelo, puesto que un solo rayo incidente que encuentra un borde generará una familia entera de nuevos rayos. La generación de una gran cantidad de rayos difractados limita el número de difracciones que se puedan considerar. Para cualquier trayectoria dada, se eligen como máximo dos, a menos que se pueda hacer una aproximación para encontrar los rayos que contribuyen de manera importante. Para encontrar los rayos que contribuyen en un entorno urbano, donde las paredes del edificio son casi siempre polígonos planares verticales, se desarrolla un método de lanzamiento plano vertical (VPL, vertical-planelaunch) El VPL considera aproximadamente las reflexiones especulares en las superficies verticales y la difracción en los bordes verticales, y aproxima la difracción a lo largo de los bordes horizontales restringiendo los rayos difractados que se encuentran en el plano de la incidencia o en el plano de la reflexión. El VPL puede tratar múltiples difracciones hacia adelante en los bordes horizontales. Puede también ser utilizado para las antenas del tejado y para las áreas donde existen edificios de diversas alturas. 7.7 Técnicas de aceleración del trazado de rayos El problema principal del algoritmo de trazado de rayos es su lentitud. Cuando los entornos son complejos, el proceso del trazado de rayos se debe realizar con algoritmos que mejoran la eficacia de las simulaciones. Por lo tanto, los algoritmos de aceleración del trazado de rayos son un asunto común en el mundo del trazado de rayos [36][38]. Algunas de estas técnicas se pueden aplicar a la propagación de las ondas electromagnéticas en la banda de frecuencias UHF. Las técnicas de aceleración del trazado de rayos se pueden clasificar en cuatro categorías según su objetivo: 1. Reducir el tiempo de intersecar un rayo con las primitivas usadas en el modelo. Los modelos de faceta usan solamente facetas planas poligonales como primitivas. Geométricamente, una faceta es una primitiva muy simple así que se reduce el tiempo de las pruebas de intersección rayo-faceta. Los algoritmos de intersección de rayo-faceta son un asunto bien conocido. 2. La reducción del número total de pruebas de intersección de rayo-primitiva (rayo-faceta). En todos los modelos de propagación presentados, se debería alcanzar la prueba de sombreado en varias ocasiones. Por lo tanto, el número de pruebas de intersección de rayo-faceta realizadas durante la simulación del trazado de rayos tiende a ser extraordinariamente grande. Aunque la prueba de intersección rayo-faceta sea un proceso de cómputo barato, el gran número de pruebas en entornos urbanos requiere tiempos de CPU grandes para lograr las simulaciones. La eficacia de las pruebas de sombreado pueden ser mejoradas dramáticamente desechando facetas y, por lo tanto, reduciendo el número de pruebas de intersección rayo-faceta. Estas técnicas de aceleración son las más eficientes en los modelos de facetas complejos. Los algoritmos de aceleración presentados en este apartado pertenecen a esta categoría. 3. Reduciendo el número total de rayos intersecados con el entorno. A veces, durante el proceso del trazado de rayos, es posible estimar la contribución de un rayo en el resultado final. En este caso, si la contribución está por debajo de un cierto nivel de umbral, el rayo puede ser desechado. Con esta técnica el número de rayos que se remontarán puede disminuir considerablemente. Esta técnica es especialmente conveniente en modelos basados en lanzamiento de rayos (SBR) Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 181 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos 4. Reemplazar rayos individuales por una entidad más general. Esta categoría contiene técnicas sustituyen el concepto de rayo por una entidad más general (rayo generalizado) que incluya rayos como caso (degenerado) especial. Por ejemplo, se han utilizado conos de secciones representativas circulares y poligonales según los rayos generalizados. La idea básica de estos métodos es remontar muchos rayos simultáneamente. Aunque este método se haya utilizado con éxito en problemas ligeros de propagación, parece difícil hacerlo compatible con la UTD. Los algoritmos que se presentan a continuación están inspirados por las técnicas usadas en gráficos de computadora. Pertenecen a la segunda categoría, así que su objetivo es reducir el número de pruebas de intersección rayo-faceta. Son fáciles de utilizar conjuntamente con los modelos de trazado de rayos, tanto con el método de las imágenes como con el del lanzado de rayos. Los algoritmos son: Algoritmo de partición del espacio binario (BSP) Algoritmo de división volumétrica del espacio (SVP) Algoritmo angular z-almacenador (AZB) El AZB es conveniente para los modelos basados en el método de las imágenes, mientras que los BSP y el SVP son apropiados tanto para los modelos de lanzado de rayos como para los del método de las imágenes. Además, el backface culling (desecho de superficies ocultas) es otra técnica básica y simple que se puede utilizar para acelerar el trazado de rayos ya que sirve para eliminar superficies no visibles de un objeto y superficies de un objeto ocultas por otros objetos. Sus principales características son: Sirve para determinar las caras de un objeto que están detrás y no son visibles 1. Cada cara define un plano que divide el espacio en dos semiespacios, uno 'in' y otro 'out'. 2. El subespacio 'in' es aquél en que se encuentra el objeto (al menos la parte del objeto que tiene a esta cara por frontera con el exterior). 3. La cara está detrás respecto de un centro de proyección CP si el CP está en el semiespacio 'in' (el objeto tapa a la cara). 4. La cara está delante respecto del CP si éste se encuentra en el semiespacio 'out' Prefiltro para resto de algoritmos de superficies ocultas: descarta caras que seguro que no son visibles (culling) 1. Si back-face indica que una cara está detrás, la cara no es visible. 2. Si back-face indica que una cara está delante, puede que esté oculta si el objeto no es convexo o si tiene otro objeto delante Poco costoso 7.7.1 Algoritmo de partición del espacio binario (BSP) El algoritmo de BSP es un método eficiente para calcular y almacenar las relaciones de la visibilidad entre un grupo de facetas en un espacio 3D. Esta información se almacena en una estructura de árbol binaria llamada árbol BSP [42]. En cuanto a muchas técnicas de aceleración del trazado de rayos, el objetivo principal es reducir el número de análisis de intersecciones rayo-faceta en el proceso del trazado de rayos. Esto se consigue usando la información del árbol de BSP. Reduciendo Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 182 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos el número de preguntas por las intersecciones rayo-faceta, se puede disminuir dramáticamente el tiempo consumido por el procedimiento del trazado de rayos. En un modelo de trazado de rayos basado en el BSP, la primera tarea es generar un árbol de BSP de la escena. Depende exclusivamente de la geometría de la escena, así que es independiente de las fuentes y de las localizaciones del observador. Luego, durante el análisis del trazado de rayos, se interroga el árbol del BSP en varias ocasiones para reducir el número de preguntas de intersecciones rayo-faceta. El árbol del BSP es una estructura en árbol binaria que contiene la información sobre las posiciones relativas de las facetas en una escena 3D (o 2D). Cada nudo del árbol representa una faceta. La raíz del árbol del BSP es cualquier faceta de la escena y el algoritmo trabaja correctamente sin importar el que se seleccione. El polígono raíz se utiliza para repartir el entorno en dos medios espacios. Una mitad del espacio contiene todos los polígonos restantes delante del polígono raíz con respecto a su superficie normal; la otra mitad contiene todos los polígonos detrás del polígono raíz. Cualquier polígono que se encuentre en ambos lados del plano del polígono raíz se parte en dos pedazos por el plano y los pedazos delanteros y traseros se asignan al medio espacio apropiado. Cada polígono del medio espacio delantero y trasero del polígono raíz se hace sus polígonos hijos delanteros y traseros y utilizan a cada polígono hijo recursivamente para dividir los polígonos restantes en su medio espacio correspondiente de la misma manera. El algoritmo termina cuando cada nodo contiene solamente un solo polígono. Por ejemplo, para la escena exterior en 2D de la figura 7.12, se ha generado el árbol de la siguiente manera: Figura 7.12: Escena exterior analizada en 2D La faceta 3 se ha elegido como el nudo raíz. El plano que contiene la faceta 3 divide el espacio en dos mitades que corresponden a las ramas del nudo. La mitad del espacio delantero a la faceta (con respecto al vector normal de la faceta) corresponde a la rama (bifurcación) derecha, y la mitad trasera corresponde a la rama izquierda. El plano que contiene al nudo raíz parte a las facetas 5 y 4, así que se asignan dos nuevas facetas para cada una (dos para la faceta 5 y dos para la 4) al medio plano apropiado. Una de las facetas elegidas arbitrariamente sobre el plano se pone en la rama derecha (la faceta 6), y una faceta puesta bajo el plano se coloca en la rama izquierda (faceta 1). El proceso entonces se repite para las facetas hijas (1 y 6). Después del procedimiento recursivo anteriormente dicho, se crea el árbol binario. Las siguientes figuras ilustran la generación del árbol para el ejemplo actual: Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 183 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos Figura 7.13: Generación del árbol del BSP (I) Figura 7.14: Generación del árbol del BSP (II) Figura 7.15: Generación del árbol del BSP (III) Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 184 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos Figura 7.16: Generación del árbol del BSP (IV) El árbol contiene la información sobre las posiciones relativas de las facetas y es independiente de la fuente y de las localizaciones del observador. Para una escena dada, se pueden crear muchos árboles, pero no todos son igualmente eficientes (será demostrado más adelante). La figura 7.17 muestra un árbol alternativo para la escena anterior. La información del árbol del BSP se utiliza para reducir el número de preguntas de intersecciones rayo-faceta en el proceso del trazado de rayos. Figura 7.17: Otro ejemplo del árbol del BSP Dependiendo del efecto analizado y de la trayectoria de rayo considerada, la fuente puede ser una antena transmisora, un punto de reflexión, un punto de difracción, o un punto de transmisión. El observador puede ser un punto de observación, un punto de reflexión, un punto de difracción, o un punto de transmisión. Dada una fuente (s) y un punto de observación (o), se considera inicialmente el nudo de raíz. Hay tres localizaciones posibles de S y de O con respecto a la faceta raíz: 1. S y O sobre la faceta. 2. S y O bajo faceta. Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 185 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos 3. S y O en diversas mitades del espacio. En el primer caso, la faceta actual más todas esas facetas suspendidas de la rama izquierda no puede ocultar la trayectoria S-O. Así se va a la faceta colocada en la rama derecha y el procedimiento continúa con la parte restante del árbol. Hay que notar que, analizando una faceta, todas las facetas situadas en una mitad del espacio han sido rechazadas. En el segundo caso, la faceta actual más todas las facetas colgadas de la rama derecha no puede ocultar la trayectoria S-O. Entonces se procede a analizar la faceta suspendida de la rama izquierda y el procedimiento continúa con el resto del árbol. En el tercer caso, la faceta puede ocultar la trayectoria S-O y se debe hacer una prueba rigurosa. Si no se hace, el procedimiento continúa con las facetas hijas. Aparte de las pruebas de intersección rayo-faceta, la única operación realizada durante el interrogatorio del árbol es determinar si un punto dado P (puede ser el punto de la fuente o el punto del observador) está delante o detrás de la faceta. Esta prueba se reduce al análisis del signo del producto escalar entre el vector normal y el vector, que ensambla un vértice de la faceta con P (Figura 7.18): If , P está delante de la faceta (figura 16a) If , P está detrás de la faceta (figura 16b) Figura 7.18: Punto P delante y detrás de la faceta (casos a y b respectivamente) La idea que subyace del algoritmo BSP es intercambiar la prueba de rayo-faceta computacionalmente costosa con el producto escalar anteriormente dicho. En escenas complejas esto proporciona una reducción muy importante en el tiempo del cómputo del trazado de rayos con respecto al método del lanzado de rayos. Según lo mencionado, se pueden crear varios árboles de una escena dada. La eficacia del algoritmo depende mucho de la estructura del árbol. Los árboles óptimos deben satisfacer dos condiciones: 1. Que el número de facetas fracturadas sea bajo. En estos casos, el número de nudos está cercano al número de facetas de la escena. 2. Que el árbol sea equilibrado; es decir, que tenga solamente algunos niveles de profundidad. El mínimo número de niveles de profundidad es INT(log2N) + 1, siendo INT el entero superior más próximo y N el número de facetas. En los árboles óptimos, el número de niveles de profundidad está cercano al valor antedicho. Por ejemplo, en el árbol de la figura 14, se han partido dos facetas y el número de niveles de la profundidad es 5. Para el árbol de la figura 15, no se ha partido ninguna faceta y el Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 186 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos número de niveles es 4. Por lo tanto, el segundo árbol es mejor. En esta escena (siete facetas), el árbol ideal tendría INT(log2N) + 1 = 3 niveles. Para un árbol ideal en la prueba de sombreado, el número máximo de pruebas de intersección rayo-faceta (la prueba peor) será INT(log2N) + 1. En el mejor caso, no se requiere ninguna prueba de intersección. El uso del BSP en un rayo basado en un modelo de radiopropagación es sencillo: En el caso del rayo directo, S es la antena transmisora y O es la antena receptora. Hay una trayectoria única para analizar, así que para cada observador el árbol se interroga una vez. En el caso de los rayos reflejados, hay que considerar dos trayectorias. La primera, de la antena transmisora (S) al punto de reflexión (O) y la segunda, del punto de reflexión (S) a la antena receptora (O). Por lo tanto, el árbol BSP se puede interrogar una vez (si se oculta la primera trayectoria, la interrogación se para) o dos veces. Para rayos difractados, hay también que considerar dos trayectorias. La primera, de la antena transmisora (S) al punto de difracción (O) y, la segunda, del punto de difracción (S) a la antena receptora (O). Por lo tanto, el árbol se interroga una o dos veces. En los efectos de segundo orden (reflexiones dobles, difracciones dobles, reflexión-difracción y difracción-reflexión), hay que analizar tres trayectorias, así que el árbol de BSP se interroga una, dos o tres veces. Para la primera trayectoria, S es siempre la antena transmisora y O puede ser un punto de reflexión o de difracción. La segunda trayectoria va de un punto (S) reflejado o difractado a otro punto reflejado o difractado (O). Y, finalmente, la tercera trayectoria viene de un punto de reflexión o de difracción (S) y llega a la antena receptora (O). Para la escena anterior en 2D, la figura 17 muestra una antena transmisora (Tx) y cuatro localizaciones diferentes para una antena receptora (Rx1 a Rx4). Figura 7.19: Localización del transmisor y del receptor en una escena en 2D 7.7.2 El algoritmo de división volumétrica del espacio (SVP) Una de las técnicas anteriores para reducir el número de pruebas de intersección rayo-faceta es el método del SVP (thmSpace Volumetric Partitioning Algori). También suele llamarse algoritmo de subdivisión espacial uniforme. Usando esta técnica, el espacio en 3D que rodea al entorno se divide en voxels (unidad cúbica que compone un objeto tridimensional). Los voxels son cubos con los lados paralelos al eje de coordenadas. Todos los voxels juntos constituyen un volumen que contiene al entorno. Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 187 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos Cuando el tamaño y la forma de los voxels son iguales, se dice que la subdivisión del espacio es uniforme. De aquí en adelante se asume una división del espacio uniforme. Para cada voxel, las facetas que se encuentran total o parcialmente en el interior, son resueltas. Esta información se almacena en la matriz del SVP, que será interrogada en varias ocasiones en las pruebas de sombreado. Hay que notar que la matriz del SVP es independiente de las localizaciones de la antena transmisora y del observador; es decir depende exclusivamente de la escena. Como ejemplo, la figura 7.20 muestra un entorno exterior simple en 2D y el almacenamiento de las facetas en los voxels [42]. Figura 7.20: Subdivisión del espacio en voxels y almacenamiento de las facetas para una escena exterior simple en 2D Cuando se realiza una prueba de sombreado para una trayectoria del rayo de la fuente al observador, se determinan los voxels perforados por el rayo. Esto se puede hacer muy eficientemente mediante el cálculo incremental cuando la división espacial es uniforme, es decir, cuando todos los voxels son iguales en tamaño y forma. Las únicas facetas que se deben probar para la intersección son las almacenadas en los voxels perforados por el rayo. Esto puede eliminar potencialmente la gran mayoría de las facetas en el entorno considerado. Cuando se utiliza un modelo de propagación basado en el lanzado de rayos, es necesario determinar la faceta más cercana perforada por los rayos. En tales casos, una observación importante es que los rayos imponen un orden estricto ante los voxels perforados del voxel que contiene la fuente al voxel del observador. Este orden garantiza que todas las intersecciones que ocurren en un voxel están más cercanas al rayo origen que los demás voxels subsecuentes. Por lo tanto, procesando los voxels en el orden en el que se encuentran al rayo, no es necesario procesar los voxels subsecuentes una vez que se haya encontrado una intersección rayo-faceta. El tamaño de los voxels es importante para la eficacia del algoritmo del SVP, ya que cuando éste aumenta, el número de facetas desechadas disminuye. Además, cuando su tamaño disminuye, el número de voxels aumenta, al igual que el tiempo de procesamiento para cada rayo. Por otra parte, los requisitos de memoria para almacenar la escena aumentan con el número de voxels. La técnica del SVP se puede mejorar usando estructuras repartidas jerárquicamente o con la técnica del octree. Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 188 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos 7.7.3 El algoritmo Z-buffer angular La técnica de AZB es similar a la técnica buffer de la luz, aunque el AZB tiene muchas de características particulares que lo hacen especialmente adecuado para la propagación UHF, especialmente para el tratamiento de la difracción [42]. Para una fuente dada (S), el espacio se divide en regiones angulares. Son sectores esféricos desde punto de la fuente definido por la coordenada esférica theta θ) ( y phi (Φ) de un sistema de coordenadas fijo situado en la fuente (figura 7.21). Figura 7.21: Definición de anxel Usando una nomenclatura similar al método del SVP, se llaman anxels como abreviatura para los elementos angulares. El número de anxels depende de los márgenes angulares Δθ y ΔΦ que definen su tamaño. Se resuelven las facetas de la escena que se encuentran en cada anxel. Es decir, las facetas están situadas en la célula correspondiente del plano θ-Φ (plano de AZB) (figura 7.22). Figura 7.22: Almacenamiento de las facetas en el plano AZB Cada célula es una representación de un anxel en el plano del AZB. Por otra parte, en cada anxel se organizan las facetas según la distancia a S. Esto se calcula como la distancia entre S y el vértice más cercano a la faceta. Toda esta información se almacena en la llamada matriz AZB. Depende, exclusivamente, del punto fuente y de las facetas del entorno. Como ejemplo, la figura 7.23 muestra escena exterior simple donde se ha logrado una partición del espacio en 8 anxels. En este caso, los anxels degeneran en sectores angulares. La tabla 7.1 muestra el almacenamiento de las facetas en la matriz del AZB. Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 189 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos Figura 7.23: Ejemplo de una escena exterior en 2D dividida en 8 anxels ANXEL FACETS 1 17, 18, 19, 9, 12, 11, 10 2 8, 9, 10, 7 3 4, 5, 6, 8, 3, 7, 2 4 1, 4, 2 5 6 7 17, 19, 16 8 17, 19, 15, 13, 14 Tabla 7.1: Almacenamiento de las facetas en el AZB de la escena de la figura 7.23 En escenas exteriores, se puede aplicar la prueba de backface culling para quitar facetas de la matriz del AZB. Por ejemplo, en el anxel 1, se pueden quitar las facetas 10 y 11. También, una vez que se han clasificado las facetas se comprueban, a partir de la segunda, para determinar si están totalmente ocultadas por facetas más cercanas a la fuente. Todas las facetas que están ocultadas se quitan de la matriz de AZB. Por ejemplo en el anxel 8, la faceta 15 está totalmente ocultada por la faceta 17. Este procedimiento de clasificar las facetas en el anxel y de desechar las que están ocultadas se llama “algoritmo del pintor”, porque se asemeja a la manera de trabajar de un pintor: los objetos más cercanos se pintan sobre los más lejanos, ocultándolos. El algoritmo del pintor se utiliza en la mayoría de los algoritmos del z-buffer intermediario usados en gráficos por computador. La tabla 7.2 muestra la información de la matriz AZB simplificada después de aplicar el backface culling y el algoritmo del pintor. ANXEL 1 2 3 4 5 6 7 8 FACETS 17, 9, 12 8, 9 4, 5, 8 1, 4 17 17 Tabla 7.2: Matriz AZB de la escena de la figura 7.23 sin las facetas ocultadas Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 190 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos Para un punto de observación dado (O), la prueba de sombreado determina si la trayectoria S-O es ocultada por alguna faceta. Para terminar esta tarea, se calculan las coordenadas esféricas del observador y el punto se sitúa en el anxel correspondiente (una célula en el plano AZB). Solamente las facetas localizadas en el anxel con una distancia a S menor que la distancia S-O pueden obstruir la trayectoria. Por otra parte, las facetas se examinan de una manera ordenada, atendiendo a su distancia de la fuente, porque las facetas más cercanas a S tienen una probabilidad más alta de ocultar la trayectoria S-O. En la escena en 2D de la figura 7.23 solamente se considera la faceta 17 en la prueba de sombreado. La reducción en el número de facetas probadas disminuye con el número de anxels, es decir, depende de los valores de Dq y del Df. Por otra parte, el número de regiones es limitado por el tamaño de la memoria disponible. Figura 7.24: Test de sombreado. Solo se examina la faceta 17 Para un número dado de anxels, la eficacia de la división angular disminuye cuando el tamaño de la escena aumenta. Esto es porque lejos de la fuente, el área que ocupa cada anxel será grande, así que podría contener gran cantidad de facetas. Pero en picocélulas y microcélulas, donde son aplicables modelos de rayos en 3D deterministas, se reduce el tamaño del escenario, por lo tanto, el AZB es muy eficiente. En células o macrocélulas grandes, el AZB se puede combinar con los algoritmos de BSP o del SVP. La aplicación de la técnica AZB para los rayos directos es sencilla. Consideramos que la antena transmisora es la fuente (S). Para otros efectos, el uso del AZB es ligeramente diferente, como se verá a continuación. Aplicación a los rayos reflejados En este caso, las fuentes son las imágenes de la antena transmisora (S) con respecto a las facetas iluminadas directamente. Estas facetas se resuelven usando la matriz de AZB del cálculo del campo directo. Los puntos imagen (I) son las fuentes de los rayos reflejados. Pero se considera que cada punto imagen irradia solamente en el espacio de reflexión (RS). Los valores más altos y más bajos de las coordenadas esféricas (q, f) de los vértices de las facetas reflectoras determinan el espacio donde se debe aplicar el AZB. En la representación en 2D, este espacio corresponde con el llamado “rectángulo AZB” (Figura 7.25). Igual que en el análisis del campo directo, el rectángulo AZB se divide en anxels. Entonces, para cada faceta que desde I se ve en su rectángulo AZB, se determinan el anxel o los anxels donde se encuentran para rellenar la matriz AZB. Las facetas de cada anxel también se organizan según su distancia a la fuente. Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 191 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos Figura 7.25: Rectángulo AZB para una fuente imagen. La faceta reflectiva se ve desde la fuente imagen como un cuadrilátero con lados curvados (los lados se dibujan directamente en esta figura). El rectángulo AZB está dividido en anxels. Dado un punto de observación (O), se calculan sus coordenadas esféricos (ri, qi, fi). Si el punto no se encuentra dentro del rectángulo AZB no hay reflexión en la faceta. Por lo demás, se examina para ver si se encuentra en el cuadrilátero de reflexión. Si no se encuentra, no hay reflexión. Por lo demás, se encuentra el anxel del punto de observación y se examinan las facetas situadas en el anxel siguiendo el mismo procedimiento que en el rayo directo. Con el procedimiento dicho anteriormente, se analiza la posible ocultación del rayo reflejado. Se hace el análisis del rayo de incidente (desde S al punto de reflexión) usando la matriz AZB del campo directo, tomando el punto de la reflexión como el punto de observación. Aplicación a los rayos doblemente reflejados y de orden superior Dada una imagen de primer orden (I), en las facetas situadas en el rectángulo AZB se pueden producir una reflexión doble. Entonces, para cada una de las facetas dichas anteriormente, se determina la imagen de segundo orden (I2). Para cada nueva fuente I2, se realiza el procedimiento anterior, es decir, se obtiene el rectángulo AZB como se ha hecho para la imagen de primer orden (I). Para un rayo doble-reflejado dado, se analiza una posible ocultación como sigue: -Para el rayo incidente (trayectoria desde el TX al 1er punto de reflexión), se utiliza la matriz AZB del cálculo del campo directo considerando al primer punto de reflexión como observador. -Para el rayo cuya trayectoria va desde el 1er al 2o punto de reflexión, la matriz AZB de I se utiliza considerando al 2o punto de reflexión como punto de observación. -Para la trayectoria que va desde el 2o punto de reflexión al observador, se utiliza la matriz de AZB de I2. Si se consideran las reflexiones de orden superior, el número de imágenes puede ser bastante alto. Por un lado, en las reflexiones de alto orden, el espacio de reflexión se hace muy estrecho (los márgenes del rectángulo de AZB se hacen muy estrechos) y el número de facetas para almacenar (y probar) llega a ser muy bajo. Al comparar las técnicas SVP y AZB se comprueba que para las reflexiones de 2o orden y superior, la técnica SVP es preferible. Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 192 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos Aplicación a los rayos difractados por un borde La aplicación del algoritmo AZB a los rayos difractados por un borde es algo diferente. Ahora las fuentes son los puntos del borde (puntos infinitos). Además, cada punto irradia en infinitas direcciones contenidas en el cono de Keller. La colocación de las facetas se realiza en términos de las coordenadas b y a del sistema de coordenadas fijado en el borde (Figura 7.26) en vez de las coordenadas esféricas q, f. Aquí, b es el ángulo del cono del Keller en cada punto del borde, por lo que varía a lo largo del mismo y a es el ángulo formado entre el rayo difractado y la primera faceta de la cuña. Figura 7.26: Definición de los parámetros angulares a, b para el AZB del borde de difracción Dada una fuente S y un borde, todos los rayos difractados se pueden representar como puntos en el llamado rectángulo AZB de difracción como se muestra en la figura 7.27. Este rectángulo es una representación en 2D del espacio de difracción. Los valores máximos y mínimos de las coordenadas del borde (bmax, bmin, amax, amin) fijan los márgenes del rectángulo. El rectángulo se divide en anxels. Las facetas del entorno se representan en el rectángulo AZB como cuadriláteros. Los vértices de los cuadriláteros se dan según las coordenadas del borde de los vértices de las facetas. Figura 7.27: Definición del rectángulo AZB para un borde de difracción Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 193 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos La información de los rectángulos AZB de difracción dependen de la geometría del entorno y de la localización de la fuente. Por lo tanto, es independiente del punto observador. Esta información se almacena en la llamada matriz AZB de difracción. Dado un borde y un punto de observación, se calculan las coordenadas del borde (b0, a0) y se localiza ese punto en el rectángulo AZB. Si está fuera de los márgenes del rectángulo, no hay difracción en el borde. En caso contrario, se determina el anxel donde se encuentra el punto. Solamente se consideran las facetas almacenadas en la célula en la prueba de ocultación del rayo difractado. La prueba se hace de una forma ordenada, es decir, se comienza con la faceta más cercana al borde según lo explicado en el caso del rayo directo. Obviamente, si una faceta está más lejana del borde que O, no se realiza la prueba. Si el rayo difractado no se oculta, se analiza el rayo incidente (desde la fuente al punto de difracción). Para terminar esta tarea, se utiliza la matriz AZB del campo directo, tomando el punto de difracción como el punto de observación. Aplicación a los rayos reflejados-difractados Solamente se consideran los bordes situados en el espacio de reflexión de las facetas iluminadas por la fuente. Estas facetas se obtienen de la matriz AZB del campo directo. Cada una de estas facetas tiene su imagen correspondiente de reflexión. Las matrices AZB de difracción se calculan como en el caso de una sola difracción, pero ahora las fuentes son las imágenes de reflexión. Con esta información, la prueba de sombreado para los rayos reflejadosdifractados se realiza rápido: si el punto de observación no está en el rectángulo AZB de difracción, no hay reflexión-difracción. En caso contrario, la matriz AZB de difracción se utiliza para el análisis de la línea del punto de difracción al observador. La matriz AZB de reflexión se utiliza para el análisis de la trayectoria del punto de reflexión al punto de difracción y la matriz AZB del campo directo se utiliza en la línea de S al punto de reflexión. Aplicación a los rayos difractados-reflejados Solamente los bordes almacenados en la matriz AZB del campo directo se pueden implicar en la difracción-reflexión, y solamente las facetas almacenadas en las matrices AZB de una sola difracción pueden participar en la difracción-reflexión. El problema de difracción-reflexión se puede reducir a una sola difracción usando la siguiente estrategia: para cada par borde-faceta, se calculan las imágenes de la fuente (S) y del borde (borde imagen) en la faceta reflexiva (Figura 7.28). Ahora el problema se reduce a una sola difracción en el borde imagen donde la fuente es la imagen del transmisor (esto se calculó en el cálculo del campo reflejado simple). Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 194 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos Figura 7.28: La difracción-reflexión se reduce a una simple difracción calculando la imagen de la fuente y la imagen del borde con respecto a la faceta reflexiva Ahora se calcula la matriz AZB de difracción que corresponde al borde imagen y se localizan las facetas en el rectángulo AZB siguiendo un procedimiento similar al realizado para la difracción simple. La faceta reflexiva también se localiza en el AZB del borde imagen. Con esta información, para cualquier punto de observación, se resuelve rápidamente el trazado de rayos. Solamente los puntos de observación situados dentro del cuadrilátero del borde imagen y en los mismos anxels que la faceta reflexiva están implicados en una difracción-reflexión (Figura 7.29). Figura 7.29: Rectángulo AZB del borde imagen. Se muestra el cuadrilátero correspondiente a la faceta reflexiva (los lados de la figura son rectos). La matriz AZB del borde imagen se utiliza para el análisis de la trayectoria entre el punto de reflexión y el punto de observación. La matriz de AZB del borde verdadero se utiliza para el análisis de la trayectoria entre el punto de la difracción y el punto de la Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 195 Técnica del Trazado de Rayos Trazado de Rayos reflexión. Finalmente, la línea punto de la S-difracción se analiza usar la matriz de AZB del campo directo. Aplicación a las interacciones múltiples entre los bordes y las facetas La prueba de sombreado de las interacciones múltiples que implican reflexiones y difracciones se puede solucionar combinando los procedimientos precedentes. Si el número de difracciones y/o reflexiones es alto, el número de matrices AZB crece y se necesita más tamaño de la memoria. Por una parte, para efectos de alto orden, los márgenes de los rectángulos AZB llegan a ser muy estrechos, así que el número de facetas que se almacenarán (y ser probado) será muy bajo. Modelo de Cobertura para Redes Inalámbricas de Interiores 196