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PRINCIPIOS Y RECONSTRUCCIÓN DE IMÁGENES DE TAC
INTRODUCCIÓN
La Tomografía Axial Computada (TAC) es un método radiológico para la obtención de imágenes
anatómicas de distintos cortes del cuerpo humano, el cual se basa en las diferentes absorciones de rayos
X que poseen los tejidos biológicos de la región de interés explorada. Para lograr esto, se realiza una
exploración axial en torno al objeto con un tubo de rayos X que se traslada alrededor del mismo,
mientras un sistema detector recibe la cantidad de radiación que ha logrado atravesar el tejido.
La longitud de onda (o frecuencia) del haz de radiación depende de la potencia eléctrica aplicada al
tubo de rayos X, de acuerdo al kilovoltaje (KV) aplicado entre sus electrodos, verificándose la siguiente
relación:
λmin =
12,35  ° 
 A
KV  
Es decir, la longitud de onda de la radiación esta en función inversa del kilovoltaje aplicado al tubo. Por
lo tanto, para un valor de potencia del tubo constante, la penetración de la radiación en los distintos
tejidos depende de los coeficientes de absorción de rayos X característicos de los mismos ( µ), los
cuales dependen de:
§
La longitud de onda (o frecuencia) de la radiación X
§
Del número atómico o densidad del material absorbente.
La absorción o atenuación de rayos X esta determinada por la Ley de Lambert- Beer de la siguiente
manera:
I = I 0 ⋅ e − (µ⋅ x )
x
µ
I0
I
Donde:
I 0 = intensidad emitida por el tubo de rayos X
I = intensidad recibida en el detector de rayos X después de atravesar el objeto
µ= coeficiente de atenuación o absorción del objeto
x = espesor del objeto
Lo anterior es matemáticamente válido en el caso de una radiación monocromática y de un
objeto con un único valor de µ, lo cual en la práctica generalmente no ocurre, debido a que los tejidos a
explorar están constituidos por diferentes capas con distintos valores de µ asociadas a las mismas. Por
lo tanto la ecuación anterior en este caso sería:
I = I 0 ⋅ e − ( µ1⋅x1+ µ 2⋅ x2 +...+ µ n⋅ x n )
I0
o lo que es lo mismo
[
x1
x2
µ1
µ2
]
I = I 0 ⋅ exp − ∑Fuente µ (x, y )
Detector
...
...
xn
µn
I
donde:
µ( x, y ) = atenuación de los puntos (x, y) de la trayectoria del haz de radiación.
Si ahora tomamos logaritmo negativo nos queda:
ln
I
Detector
= ∑Fuente µ( x, y ) = µTotal
I0
Es decir, la absorción o atenuación total es igual a la suma de todas las absorciones de los puntos por los
cuales pasa el haz de radiación desde la fuente hasta llegar al detector según una determinada dirección.
Por lo tanto, obteniendo los valores de intensidad de la fuente (I0 ) y del detector (I), y aplicando
logaritmo natural se puede obtener la atenuación total del tejido pero no sus componentes parciales
según esa dirección en particular.
De ahí que, el problema fundamental de la TAC consiste en como obtener los valores parciales de
atenuación µ a partir del µ Total para un gran número de haces que atraviesen el objeto, a cuya solución
están orientados los algoritmos de reconstrucción de imágenes.
Los métodos de reconstrucción de imágenes basados en algoritmos matemáticos se pueden clasificar
de la siguiente manera:
1. Método Algebraico
2. Método Iterativo o Adaptativo
3. Método de Retroproyección (Back -Projection) Simple o Filtrado (por Convolución o por
Fourier)
El objetivo de cualquier método de reconstrucción de imágenes es lograr una solución de
compromiso entre precisión y resolución por un lado y tiempo de computación por el otro, a fin de
obtener un sistema practico, diferenciándose los mismos en el tratamiento matemático de los datos
obtenidos pero no en la forma de obtenerlos, ya que independientemente del método, el objeto a explorar
es sometido a una irradiación con rayos X no en forma perpendicular sino en forma axial al mismo,
donde el tubo de rayos X se desplaza alrededor de manera que el haz solo se aplique a la capa de interés,
como se representa en la siguiente figura.
I04
I03
I02
I01
I2
I3
I1
I4
µ1
µ2
µ3
µ4
M ÉTODO ALGEBRAICO
Basándonos en la gráfica anterior para simplificar la explicación, en la cual se explora una capa de
cuatro coeficientes de atenuación distintos con solo cuatro haces de radiación, puede formarse un
sistema de cuatro ecuaciones lineales de intensidad con cuatro incógnitas, las cuales corresponden a los
coeficientes de atenuación parciales en los que se divide el corte.
I
ln 1 = µ3 + µ4 = A
I 01
I
ln 2 = µ1 + µ2 = B
I 02
I
ln 3 = µ1 + µ3 = C
I 03
I
ln 4 = µ2 + µ4 = D
I 04
Por lo tanto, este método consiste en la solución de las ecuaciones del sistema una vez que se han
obtenido las mediciones de los valores de atenuación totales A, B, C y D en cada una de las direcciones,
lo que nos permite reconstruir en una pantalla la figura asignando niveles de gris o tonos de colores a
los valores de atenuación parciales µ de cada una de las subregiónes de la capa calculados, desde el
blanco asignado al hueso (de mayor coeficiente de atenuación) hasta el negro asignado al aire, con lo
que cada tejido especifico sea duro o blando es identificado.
Sin embargo en la actualidad este método no es utilizado debido a las siguientes razones:
§
A fin de producir una imagen de buena calidad se necesita explorar el objeto con un
elevado número de haces de radiación, lo que implica un sistema de ecuaciones muy
grande que conlleva a que la solución del mismo requiera un elevado tiempo de calculo
computacional.
§
El cálculo de la imagen solo puede iniciarse una vez obtenidos todos los datos de
medición correspondientes a las atenuaciones totales de cada dirección , lo que agrava
aun más lo expuesto en el ítem anterior.
§
El ruido cuántico y el movimiento del paciente hacen difícil obtener perfiles de
atenuación en cada dirección precisos.
Métodos Iterativos
El termino “iterativo” se refiere a un de aproximaciones sucesivas en el cual se parte de una
imagen inicial (elegida arbitrariamente), luego se le aplican correcciones con el fin de que quede en
mejor acuerdo con las proyecciones.
Ya que el sistema algebraico tiene el inconveniente que se deben resolver un gran numero de
ecuaciones, este método aunque parece mas largo, resulta mas eficiente para el trabajo de la
computadora.
Los métodos iterativos se subdividen en:
-
Técnica de reconstrucción iterativa simultanea.
-
Técnica iterativa de cuadrados mínimos.
-
Técnica de reconstrucción algebraica.
A modo de ejemplo, se desarrollara el método iterativo por de reconstrucción algebraica:
Suponiendo que se conoce la imagen original, y que esta consta de un objeto con cuatro valores
discretos de densidad.
1- Se realizan las proyecciones de la imagen original, tanto en el eje horizontal como en el eje
vertical, estas son las sumas de las densidades en cada una de estas direcciones.
1
2
3
3
4
7
Proyec. Horizontal
Proyec. Vertical
4
6
2- La computadora genera una matriz cuyos pixeles son el promedio de las proyecciones originales
(3 + 7)/4 = 2.5
2.5
2.5
5
2.5
2.5
5
Nuevas
Proyec. Horizontal
3- Primera correlación: la computadora suma horizontalmente a los valores anteriores la diferencia
entre las proyecciones originales horizontales y las proyecciones horizontales estimadas,
divididas por dos. (3-5)/2 = -1 y (7-5)/2 = 1
(2.5-1)
(2.5-1)
1.5
1.5
(2.5+1)
(2.5+1)
3.5
3.5
4- Nuevas proyecciones verticales
1,5
1,5
3,5
3,5
5
5
5- La computadora suma verticalmente las proyecciones verticales anteriores a las diferencias entre
las proyecciones verticales originales y las proyecciones verticales recién halladas divididas por
dos. (4-5)/2 = -0,5 y (6-5)/2 = 0,5
(1.5-0.5)
(1.5+0.5)
1
1
(3.5-0.5)
(3.5+0.5)
3
4
Se obtiene así la matriz original.
1
2
3
4
Generalmente en la practica no se obtiene con tanta sencillez la matriz original, por lo que se
opta por encontrar por repetir el proceso iterativo hasta obtener valores tolerables de exactitud.
La principal desventaja de este método es que se requiere contar con el total de las mediciones
para iniciar el proceso, por lo que la imagen se encontraría disponible después de un cierto tiempo.
Procedimiento de Retroproyeccion.
Este método se basa, en que un objeto puede ser reconstruido en forma bidimensional o
tridimensional a partir de un grupo suficiente mente grande (o infinito) de proyecciones alrededor de
360°, que fue demostrado por J. Radón.
Por medio de este procedimiento, cada proyección puede ser elaborada en el ordenador inmediatamente
después de su determinación, disminuyendo de este modo el tiempo de calculo necesario entre el final
de la determinación y la reproducción de la imagen.
Para el mejor entendimiento del proceso de reconstrucción, se describirá el proceso mediante la
siguiente ilustración.
Si una vez obtenidas las proyecciones del objeto, estas se retroproyectaran sobre una película,
obtendríamos una imagen superpuesta como la mostrada. En el lugar donde se esperaba la imagen
original se encuentra, en efecto, la elevación de la densidad, pero tambien se observan bandas que son
producto del proceso de retroproyeccion estas disminuyen a partir del centro y recubren la totalidad de la
imagen. Así la retroproyeccion no proporciona la imagen fiel del objeto.
Este método puede ser descripto matemáticamente, mediante la reincorporación a la matriz de
cada perfil obtenido, sumando los valores resultantes a los primeros estimados que corresponden a un
total en cada proyección. Así, finalmente, se resta a los valores obtenidos para cada coeficiente la suma
de todos los coeficientes reales y se divide por el numero de elementos menos uno.
Ejemplo: Si se tiene un bloque con cuatro coeficientes y sus respectivas proyecciones como se muestra
4
Proyec. Diagonal
Izquierda
Proyec. Diagonal
Derecha
3
5
5
1
2
3
4
7
Proyec. Horizontal
1
2
3
Proyec. Vertical
4
6
Con los valores obtenidos de la proyección horizontal formamos una nueva matriz en la que hemos
retroproyectado los totales obtenidos.
7
7
3
3
Ahora se suma la proyección vertical a lo ya obtenido en el anterior punto
7+4
7+6
3+4
3+6
Los valores obtenidos de la proyección diagonal derecha se suman a los anteriores.
11+3
13+5
7+5
9+2
Los valores obtenidos de la proyección diagonal izquierda se suman a los anteriores.
14+5
18+4
12+1
11+5
Al resultado obtenido de todas las sumas, determinadas por las distintas proyecciones se le resta el valor
resultante de la suma de los coeficientes de la matriz con que se inicio el análisis
µ1 +µ2 +µ3 +µ4 = 10
Restando:
19-10
22-10
13-10
16-10
Por ultimo se procede a dividir por el numero de coeficientes menos uno.
9/3
12/3
3/3
6/3
Con lo que se obtiene la matriz original.
3
4
1
2
Retroproyeccion filtrada (rf)
Este método también llamado de convolucion se basa en la lógica de la retroproyeccion solo que
en este caso los datos son sometidos a una corrección matemática, denominada filtrado, de tal modo que
el dato así tratado no requiere ninguna corrección y se suma simplemente a los precedentes, según la
técnica de retroprojeccion.
El objeto principal de la convolucion es eliminar el efecto estrella obtenido durante la
proyecciones de del objeto alrededor de sus puntos constituyentes.
Filtrado : función correctora que modifica los perfiles obtenidos, de manera que al retroproyectarlos
producen una acentuación de los valores que interesan y la cancelación de los valores que deben
eliminarse. Esto es llevado a cabo por una función de convolución.
Pasos del metodo de retroproyeccion filtrada
1ro. Son obtenidos todos los datos de proyección.
2do. Se calcula el logaritmo de cada dato.
3ro. Cada logaritmo es multiplicado por la formula de convolución.
4to. Se suman las proyecciones filtradas a las originales, anulándose las componentes extremas
negativas y positivas y se produce una imagen libre de borrosidad.
Una de las características mas importantes de este método es que la formula de convolución puede ser
ajustada para cada construcción de imagen necesaria.
Por ejemplo: La formula utilizada para lograr una imagen del cerebro, donde es necesario diferenciar sus
pequeñas diferencias de densidad tisular ,es algo diferente de la utilizada para construir imágenes de
torax y abdomen donde las diferencias de densidad tisular son mucho mas grandes.
Evolucion de los datos desde su adquisicion hasta su presentacion en el monitor
Reconstruccion de imágenes mediante transformada de fourier
La reconstrucción de fourier es un método usado en RMN mas no es usado en los modernos
scaneres TC
Debido a que requiere mucha mas operaciones matemáticas que la retroproyeción filtrada.
Con la transformada de fourier una imagen del dominio espacial puede ser transformada al
dominio frecuencial y ser representada por una función F(u,v) .Esta imagen del dominio frecuencial
posee un rango que va desde las altas a las bajas frecuencias .Por medio de estas descomposiciones de
los datos en frecuencias y sus correspondientes amplitudes, es posible construir con seguridad la imagen
utilizando un algoritmo.En suma esta imagen puede ser retransformada al dominio espacial con la
transformada inversa de fourier.
Existen grandes avances en estos procesos de transformación .
Primero la imagen en el dominio frecuencial puede ser manipulada cambiando las amplitudes o
las componentes frecuenciales
Segundo una computadora puede hacer esa manipulación de la imagen (procesamiento digital de
imágenes)
Tercero la información frecuencial puede ser usada para medir la calidad de la imagen
La reconstrucción de fourier consiste en los siguientes pasos .
1- El objeto scaneado es representado mediante una
función f(x,y)
2- Los datos de la proyección son obtenidos del
objeto y son necesarios por lo menos un barrido de
180 grados para una adecuada reconstrucción
3- La proyección es transformada al dominio
frecuencial mediante la transformada de fourier.
4- A causa de que los TC usan la transformada rápida
de fourier, desarrollada específicamente para
aplicaciones digitales, la imagen en el dominio
frecuencial puede ser situada en una grilla rectangular.
Esto es logrado mediante una interpolación.
5- Finalmente la imagen interpolada es transformada
al dominio espacial con la transformada inversa de
fourier.
Como vemos en este tipo de reconstruccion no
existen filtros ya que la interpolacion cumple la
funcion de los mismos.