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Instituto Tecnológico Autónomo de México
Maestría en Teoría Económica / Licenciatura en Economía
Dynamic Programming
Problem set 5, Fall 2014
Ricard Torres
1. Sea X un subconjunto de Rn (o, en general, un espacio topológico con la propiedad de separación
de Hausdorff). Usando, ya sea las definiciones dadas en clase (y en las slides), o bien las de algún
texto como el de Stokey-Lucas-Prescott, probar las siguientes aseveraciones:
(i) Sean f, g : X → R funciones continuas con valores reales tales que f ≤ g (ie, ∀x ∈ X, f (x) ≤
g(x) ). Definamos Γ : X ↠ R en la siguiente forma
[
]
Γ(x) = {y ∈ R : f (x) ≤ y ≤ g(x)} = f (x), g(x) .
Entonces Γ es una correspondencia continua, con valores no vacíos y compactos.
(ii) Para 1 ≤ i ≤ m, sean fi , gi : X → R funciones reales continuas con valores reales tales que, para
todo i, fi ≤ gi . Definamos Γ : X ↠ Rm en la siguiente forma
Γ(x) = {y ∈ Rm : fi (x) ≤ yi ≤ gi (x), 1 ≤ i ≤ m}
Entonces Γ es una correspondencia continua, con valores no vacíos y compactos.
2.
Sea f : [0, ∞) × [0, ∞) → R la función:
{
f (x, y) =
x + log(y),
x,
si y > 0;
si y = 0.
Sea Γ : [0, ∞) ↠ [0, ∞) la correspondencia dada por Γ(x) = [0, x].
Considerar el problema de optimización: v(x) = max f (x, y).
y∈Γ(x)
(i) Probar que f es usc, pero no lsc.
(ii) Probar que Γ es uhc.
(iii) Hallar v y comprobar que es continua.
3.
Sea f : [0, ∞) × [0, ∞) → R la función:
f (x, y) =
{
x/y,
0,
si y > 0;
si y = 0.
Sea Γ : [0, ∞) ↠ [0, ∞) la correspondencia dada por Γ(x) = [x, ∞).
Considerar el problema de optimización: v(x) = max f (x, y).
y∈Γ(x)
(i) Probar que f es lsc, pero no usc.
(ii) Probar que Γ es lhc.
(iii) Hallar v y comprobar que es lsc, pero no usc.
