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Capítulo 1
Categorías de Conexión
Noviembre 9 de 1987.
Definición. Una categoría de conexión en topología es una clase A de espacios topológicos
que satisface las condiciones siguientes:
(a) Si A ∈ A y f : A → B es continua y suprayectiva, entonces B ∈ A.
(b) A ∈ A, si |A| ≤ 1.
(c) Si {Ai }J es una familia de subespacios de un espacio X tal que
∀i ∈ J, Ai ∈ A
y
∩ Ai 6= ∅
i∈J
entonces ∪ Ai ∈ A.
i∈J
Ejemplos: 1. La mínima categoría de conexión es
Am = {A ∈ T op : |A| ≤ 1}
En efecto:
(a) Supongamos que A ∈ Am y que f : A → B es continua y suprayectiva; si A = ∅, entonces
B = ∅. Si |A| = 1 entonces, debido a la suprayectividad de f , también |B| = 1. Por lo tanto,
B ∈ Am .
(b) Es obvio: A ∈ Am , si |A| ≤ 1.
(c) Sea X es un espacio topológico y supongamos que {Ai }J es una familia de subespacios de
X tal que
∩ Ai 6= ∅
Ai ∈ Am y
i∈J
Entonces {Ai }J consta de un solo miembro, digamos Ai0 , con un solo elemento. Por consiguiente,
∪ Ai = Ai0 ∈ Am .
i∈J
Esto prueba que Am es una categoría de conexión; y es la más chica, pues si A es cualquiera
otra entonces, por (b) de la definición, Am ⊆ A que es justo lo que se postula en ese inciso.@
2. La máxima categoría de conexión es
AM = T op
(la clase de todos los espacios topológicos).
Definiciones. Sea X un conjunto arbitrario.
a) Una cadena en X es una sucesión finita A1 , ..., An de subconjuntos de X tal que si n ≥ 1 y
Ai 6= ∅ p.a. 1 ≤ i ≤ n, entonces Ai 6= ∅, ∀i ∈ {1, ..., n} y además Ai ∩ Ai+1 6= ∅. Desde luego, los
miembros de la cadena se llaman eslabones.
1
CAPÍTULO 1. CATEGORÍAS DE CONEXIÓN
2
b) Una familia encadenada de subconjuntos de X es una familia tal que si no es vacía y
algún miembro suyo no es vacío, entonces los demás miembros tampoco lo son, y para dos elementos
cualesquiera A y B existe una cadena A1 , ..., An de elementos de la familia tal que A1 = A y An = B.
Teorema. Sea A una clase arbitraria de espacios topológicos; son equivalentes:
(a) A es de conexión.
(b) A satisface las condiciones siguientes:
(i) Si A ∈ A y f : A → B es continua y suprayectiva, entonces B ∈ A.
(ii) A posee un miembro no vacío.
(iii) Si X es cualquier espacio topológico y F es una familia encadenada en X cuyos miembros
pertenecen a A, entonces ∪F ∈ A.
Demostración. (a) ⇒ (b) Por (a) y (b) de la definición se satisfacen las condiciones (i) y (ii).
Sea F cualquier familia encadenada en X. Si F = ∅, entonces ∪F = ∅; y como |∅| = 0, entonces,
por (b), ∪F ∈ A. Si F 6= ∅ y todos sus miembros son vacíos1 , entonces ∪F = ∅ ∈ A. Veamos qué
pasa cuando ningún miembro de F es vacío y todos pertenecen a A. Sean, A ∈ F y
FA = {F ∈ F | existe una cadena de A a F con eslabones en F}
Como F está encadenada, es claro que FA = F. Ahora aplicaremos inducción para mostrar que la
unión de eslabones de cada cadena del tipo
A1 , ..., An ∈ F.3 .A1 = A, An = F
es miembro de A. En efecto, por definición de cadena tenemos que A1 ∩ A2 6= ∅, y como cada
Ai ∈ A, entonces, por (c), A1 ∪ A2 ∈ A. Supongamos que A1 ∪ · · · ∪ An−1 ∈ A; como An−1 ∩ An 6= ∅,
entonces (A1 ∪ · · · ∪ An−1 ) ∩ An 6= ∅; de modo que, también por (c), (A1 ∪ · · · ∪ An−1 ) ∪ An ∈ A.
Como esto ocurre para todo F ∈ FA , y como A es eslabón común de todas estas cadenas, entonces
∪FA ∈ A; ∴ ∪F ∈A.
(b) ⇒ (a) Por (i), A satisface (a) de la definición.
(b) Sea A ∈ T op; si |A| = 1, por (ii) existe B ∈ A tal que B 6= ∅. Sea f : B → A la única
función definible; entonces f es continua y suprayectiva (porque es constante). Por lo tanto, debido
a (i), A ∈ A. Por otra parte, si |A| = 0, entonces A ∈ A, pues si F es la familia vacía de subespacios
de un espacio topológico X, entonces F está encadenada y, por (iii), ∪F ∈ A, i.e. ∅ ∈ A.
(c) Supongamos que {Ai }J es una familia de subespacios de X que son miembros de A y que
∩ Ai 6= ∅. Obviamente {Ai }J está encadenada; por (iii), ∪ Ai ∈ A.@
i∈J
i∈J
Noviembre 11 de 1987.
Octava tanda de ejercicios: 1. Sea f : X → Y una función suprayectiva; probar que:
a) Si A1 , ..., An es una cadena en X, entonces f (A1 ) , ..., f (An ) es una cadena en Y .
b) Si F es una familia encadenada en X, entonces
{f (A) : A ∈ F}
es una familia encadenada en Y .
2. Sea X un conjunto arbitrario. Si D2 es la familia de los subconjuntos de X de cardinalidad
2, probar que D2 es una familia encadenada en X.
3. Sea (Ai )J una familia encadenada en X; si para cada i ∈ J es (Aij )Ji una familia encadenada
en Ai , probar que
{Aij : i ∈ J, j ∈ Ji }
1
Sólo hay dos casos: todos vacíos ó todos no vacíos.
CAPÍTULO 1. CATEGORÍAS DE CONEXIÓN
3
es una familia encadenada en X.
Proposición. Sea D2 el espacio discreto de número cardinal 2, entonces T op es la única categoría de conexión que contiene a D2 .
Demostración. Sea A cualquier categoría de conexión tal que D2 ∈ A. Si X es cualquier espacio
topológico y |X| ≤ 1, entonces X ∈ A. Supongamos que |X| > 1; sean, D2 la familia de subconjuntos
de X de cardinalidad 2 y A ∈ D2 . Entonces existe f : D2 → A continua y suprayectiva; ∴ D2 ⊆ A.
Pero, por el ejercicio 2, D2 está encadenada en X; luego, podemos aplicar la condición (iii) del
teorema anterior y asegurar que ∪D2 ∈ A. Por lo tanto, X ∈ A; ∴ A = T op.@
Teorema. Sea (Ai )I cualquier familia de categorías de conexión; entonces A = ∩ Ai es de
i∈I
conexión.
Demostración. (a) Sea f : A → B cualquier función continua y suprayectiva con A ∈ A; entonces
A ∈ Ai , ∀i ∈ I; ∴ B ∈ Ai , ∀i ∈ I; ∴ B ∈ A.
(b) Si X es un espacio topológico tal que |X| ≤ 1, entonces X ∈ Ai , ∀i ∈ I; ∴ X ∈ A.
(c) Sea (Aj )J una familia de subconjuntos de X y supongamos que Aj ∈ A, ∀j ∈ J y que
∩ Aj 6= ∅; entonces Aj ∈ Ai , ∀i ∈ I; ∴ ∪ Aj ∈ Ai , ∀i ∈ I; ∴ ∪ Aj ∈ A. Por lo tanto A es de
j∈J
j∈J
j∈J
conexión.@
Corolario. Sea B cualquier familia de espacios topológicos. Entonces existe la categoría de
conexión mínima que contiene a B; es la categoría de conexión generada por B. La notación
que emplearemos al referirnos a ella es [B].@
Ejemplo: [∅] = Am .
Ejercicio: 4. Sea X un conjunto tal que |X| > 1; si F es una cubierta encadenada en X y
F 0 = {A ∈ F : |A| > 1}
pruebe que F 0 también es una cubierta encadenada en X.
El resultado que sigue da una descripción completa de la categoría de conexión generada por
cualquier familia de espacios topológicos.
Teorema. Sea B cualquier familia de espacios topológicos;
a) Si B ⊆ Am , entonces [B] = Am .
b) Si B 6 ⊆Am , entonces [B] = Am ∪ A0 , donde A0 es la familia de espacios topológicos que
tengan una cubierta encadenada cuyos elementos son imágenes continuas de elementos de B.
Demostración. a) Como [B] es la intersección de todas las categorías de conexión que contienen
a B, si Am contiene a B, entonces [B] ⊆ Am . Pero Am es la mínima categoría de conexión; luego
[B] = Am .
b) Sea A00 = Am ∪ A0 ; entonces B ⊆ A00 , porque todo elemento de B que pertenece a Am
pertenece, obviamente, a A00 ; y si B ∈ B y B ∈
/ Am , entonces {B} es una cubierta encadenada
de B (toda cubierta con un solo elemento está encadenada) cuyo miembro es imagen continua
de elementos de B (a saber, B es imagen de B ∈ B bajo 1B : B → B que es continua); luego
B ∈ A0 ⊆ A00 . Por otro lado, A00 ⊆ [B], porque Am ⊆ [B] y si A ∈ A0 , entonces A posee una
cubierta encadenada (Ai )I tal que cada Ai es imagen continua de algún elemento de B, lo cual
implica que Ai ∈ [B] , ∀i ∈ I; por (iii), A = ∪ Ai ∈ [B]. Por lo tanto tenemos
i∈I
B ⊆ A00 ⊆ [B]
La prueba concluiría si demostráramos que A00 es una categoría de conexión. Veamos que así
acontece.
(i) Sea f : A → X continua y suprayectiva, con A ∈ A00 . Si A ∈ Am , entonces X ∈ Am ⊆ A00 .
Si A ∈
/ Am , entonces A posee una cubierta encadenada (Ai )I tal que Ai es imagen continua de
CAPÍTULO 1. CATEGORÍAS DE CONEXIÓN
4
elementos de B. Por el ejercicio 1, f (Ai )I es una familia encadenada en X que, además, cubre a
X porque
X = f (A) = ∪ f (Ai )
i∈I
Entonces, X posee una cubierta encadenada cuyos miembros son imágenes continuas de elementos
de B, i.e. X ∈ A0 ⊆ A00 .
(ii) Los miembros no vacíos de Am son miembros no vacíos de A00 .
(iii) Sean, X un espacio topológico arbitrario, (Ai )I una familia encadenada en X tal que
Ai ∈ A00 , ∀i ∈ I y X 0 = ∪ Ai (entonces (Ai )I es una cubierta de X 0 ); hay que probar que X 0 ∈ A00 .
i∈I
Si |X 0 | ≤ 1, entonces X 0 ∈ Am ⊆ A00 . Si |X 0 | > 1, entonces, por el ejercicio 4,
{Ai : |Ai | > 1}I
también es una cubierta encadenada de X 0 . Por definición de A0 , cada Ai de número cardinal mayor
que 1 tiene una cubierta encadenada (Aij )Ji cuyos elementos son imágenes continuas de elementos
de B; por el ejercicio 3,
{Aij : i ∈ I, j ∈ Ji }
es una familia encadenada en X 0 ; luego, X 0 posee una cubierta encadenada cuyos miembros son
imágenes continuas de elementos de B, i.e. X 0 ∈ A0 ⊆ A00 .
Esto prueba que A00 es de conexión, y el teorema queda demostrado.@
Noviembre 16 de 1987.
Teorema. Sea A una categoría de conexión arbitraria. Entonces, el producto topológico de un
número finito de elementos de A pertenece a A.
Demostración. Sean A, B ∈ A; por demostrar que A × B ∈ A.
Sea [A, B] la categoría de conexión generada por {A, B}; es claro que [A, B] ⊆ A. Sea
F = {A × {b} : b ∈ B} ∪ {{a} × B : a ∈ A} .
F está encadenada en A × B. En efecto, sean F1 , F2 ∈ F cualesquiera; si
F1 = A × {b}
y
F2 = {a} × B
entonces la cadena A1 = F1 y A2 = F2 enlaza los elementos que se tomaron porque
A × {b} ∩ {a} × B = {(a, b)} 6= ∅
Si
F1 = A × {b1 }
y
F2 = A × {b2 }
entonces fijamos a ∈ A y hacemos A2 = {a} × B, de modo que si A1 = F1 y A3 = F2 , entonces
A1 , A2 , A3 es una cadena de elementos de F que enlaza a F1 con F2 . Similarmente ocurre si se
toman
F1 = {a1 } × B y F2 = {a2 } × B
Además, F es una cubierta de A × B ya que si (a, b) ∈ A × B, entonces
(a, b) ∈ {a} × B ⊆ ∪ {a} × B
a∈A
CAPÍTULO 1. CATEGORÍAS DE CONEXIÓN
5
o bien
(a, b) ∈ A × {b} ⊆ ∪ A × {b}
b∈B
y como también se tienen los homeomorfismos
h
h
A
A × {b}
A →
a 7→
(a, b)
y
B
B →
{a} × B
b 7→
(a, b)
entonces A × B es un espacio topológico que posee una cubierta encadenada cuyos miembros
son imágenes continuas de elementos de {A, B}; por el teorema anterior podemos concluir que
A × B ∈ [A, B]. Aplicando inducción finita se llega a que el producto de un número finito de
miembros de A pertenece a A, como se quería probar.@
Proposición. Sea I2 el espacio indiscreto de número cardinal 2, entonces:
a) [I2 ] es la clase de todos los espacios indiscretos.
b) [∅] ⊂ [I2 ] y toda categoría distinta de [∅] contiene a [I2 ].
Demostración. (a) En esta parte basta considerar el caso en que |X| > 1. Supongamos entonces
que X es un espacio indiscreto con más de un punto. Se sabe que la familia D2 de parejas de puntos
de X es una cubierta encadenada en X compuesta, en este caso, por subespacios indiscretos porque
son inducidos por el indiscreto X; en consecuencia son homeomorfos a I2 . O sea que X posee una
cubierta encadenada cuyos miembros son imágenes continuas de I2 ; aplicando el teorema de la clase
anterior se tiene que X ∈ [I2 ].
Recíprocamente, sea X ∈ [I2 ]; se sabe que X posee una cubierta encadenada F cuyos miembros
son imágenes continuas de I2 ; si
F 0 = {F ∈ F : |F | > 1}
entonces, por el ejercicio 4, F 0 también es una cubierta encadenada en X. Por ser F imagen continua
de I2 se tiene que |F | ≤ 2, ∀F ∈ F; ∴ |F | = 2, ∀F ∈ F 0 , i.e. los miembros de F 0 son homeomorfos
a I2 . Supongamos que existe un abierto no vacío U distinto de X; entonces debe haber dos puntos
x1 , x2 ∈ X tales que x1 ∈ U y x2 ∈ X − U . Por lo tanto existen también,
F1 , F2 ∈ F 0 .3 .x1 ∈ F1 , x2 ∈ F2
y una cadena de elementos de F 0
A1 , ..., An .3 .A1 = F1 , An = F2
La concatenación entre eslabones implica que hay uno de ellos, digamos Ai , tal que
Ai ∩ U 6= ∅
y
Ai ∩ (X − U ) 6= ∅
Pero entonces Ai ∩ U es un abierto relativo en Ai , no vacío y distinto de Ai (∇), lo cual es imposible
◦
porque Ai es un subespacio indiscreto de X. Por lo tanto, falso suponer que exista un abierto no
vacío distinto de X; por lo tanto, X es indiscreto.
(b) Se tiene que [∅] ⊂ [I2 ] porque [∅] es la mínima categoría de conexión y porque I2 ∈ [I2 ] pero
/ [∅], pues |I2 | > 1. Supongamos ahora que A es cualquier categoría de conexión que contiene
I2 ∈
propiamente a [∅]; entonces A − [∅] 6= ∅. Sea X ∈ A − [∅]; entonces |X| > 1, por lo tanto existe
f : X → I2 continua y suprayectiva; ∴ I2 ∈ A; ∴ [I2 ] ⊆ A.@
Noviembre 18 de 1987.
CAPÍTULO 1. CATEGORÍAS DE CONEXIÓN
6
Con frecuencia suele creerse, sobre todo por los analistas, que el espacio de Sierpinski sólo sirve
para proporcionar un ejemplo que ilustra que tienen mayor fuerza las condiciones de separación de
los espacios T0 con relación a las de los espacios T1 . Sin embargo, es también con respecto a la
conexidad que dicho espacio guarda cierta interesante información. Obsérvese, por lo pronto, que,
aparte la trivial conexidad de espacios singulares e indiscretos, el espacio de Sierpinski es el más
chiquito de los espacios conexos no triviales; esto hace sospechar que alguna relevancia ha de tener
en el estudio de la conexidad la categoría de conexión generada por él. Y la tiene, en efecto; hereda,
por lo pronto, la no trivial minimalidad de su generador quedando entre las categorías de conexión
como la más pequeña (no trivial). Pero en este curso no podemos ahondar mucho en esta cuestión
y nos limitaremos solamente a una descripción muy elemental de dicha categoría.
Proposición. Sea S el espacio de Sierpinski, entonces:
(a) Los miembros de [S] de número cardinal mayor que 1 son los espacios topológicos que poseen
una cubierta encadenada cuyos elementos son homeomorfos a I2 ó a S.
(b) [I2 ] ⊂ [S] y toda categoría de conexión que contenga propiamente a [I2 ] contiene a [S].
Demostración. (a) Se sabe que los miembros de [S] de cardinalidad mayor que 1 son los espacios
topológicos X que poseen una cubierta encadenada F de imágenes continuas de S; estas imágenes
son: un punto, I2 y S. Por el ejercicio 4,
F 0 = {F ∈ F : |F | > 1}
también es una cubierta encadenada de X. Por lo tanto, si el número cardinal de X es mayor que 1,
entonces X ∈ [S] si, y sólo si, X posee una cubierta encadenada cuyos elementos son homeomorfos
a I2 ó a S.
(b) Se tiene la contención propia [∅] ⊂ [S] porque [∅] ⊆ [S] y porque S ∈ [S] pero S ∈
/ [∅].
Luego, [S] 6= [∅], de modo que, por (b) de la proposición anterior, [I2 ] ⊆ [S]. Y como S no es
indiscreto, entonces [I2 ] ⊂ [S]. Por otra parte, si A es cualquier categoría de conexión que contiene
propiamente a [I2 ], entonces existen X ∈ A − [I2 ] y un abierto U en X tales que ∅ 6= U 6= X. Sea
f : X → Y la identificación de U en un punto y de X − U en otro punto2
U
X −U
Y
q
z}|{
·
7
→
f
7→ |{z}
·
entonces Y ∼
=S óY ∼
= D2 , según que X − U no sea abierto en X ó sí lo sea. Si Y ∼
= D2 , entonces
D2 es imagen continua de X; luego, D2 ∈ A y A = T op = [D2 ]; en tal caso, por lo tanto, [S] ⊆ A.
Si Y ∼
= S, entonces S ∈ A y [S] ⊆ A.@
Ejercicio: 5. a) Sea X un espacio topológico tal que X = U ∪ V , y sean x0 ∈ U y y0 ∈ V tales
que
{x0 , y} ∼
= S, ∀y ∈ V y {x, y0 } ∼
= S, ∀x ∈ U
Probar que [X] = [S].
b) Sea X cualquier espacio topológico tal que |X| = 3. Probar que [X] es una de las siguientes:
[I2 ], [D2 ], [S]. [Sugerencia: Usar (a) para probar (b)].
Noviembre 23 de 1987.
2
Véase el ejemplo (b) visto en clase “hace exactamente” dos años.
CAPÍTULO 1. CATEGORÍAS DE CONEXIÓN
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Definición. Sean, X un espacio topológico y A una categoría de conexión, arbitrarios; si x ∈ X,
entonces la A-componente de x es la unión de todos los subconjuntos de X que contienen a x y
pertenecen a A. Se denotará por CA (x).
Proposición. CA (x) es el más grande de los subconjuntos de X que pertenecen a A y contienen
a x.
Demostración. Si consideramos
{A ∈ A : x ∈ A ⊆ X}
es obvio que
∩ {A ∈ A : x ∈ A ⊆ X} 6= ∅;
por lo tanto
∪ {A ∈ A : x ∈ A ⊆ X} = CA (x) ∈ A
y, además, x ∈ CA (x).@
Ejemplos: 1. Si A = [∅], entonces CA (x) = {x}.
2. Si A = [D2 ], entonces CA (x) = X.
3. Si X ∈ A, entonces CA (x) = X. Recíprocamente, si en X hay sólo una A-componente,
entonces X ∈ A.
Ejercicio: 6. Sea X un espacio topológico arbitrario. Probar que en X dos A-componentes
coinciden ó son ajenas.
Ahora vamos a iniciar el estudio de algunas de las categorías de conexión más importantes que
hay.
Definiciones: a) Una división de un espacio X es una pareja (U, V ) de subconjuntos abiertos
de X tal que
X =U ∪V y U ∩V =∅
b) La división (X, ∅) se llama división trivial.
c) Se dice que un espacio topológico es conexo si la única división que tiene es la trivial.
Aunque este concepto es puramente topológico, no es debido a un topólogo sino al algebrista
francés Camile Jordán.
Teorema. La clase C de los espacios conexos es la categoría de conexión más grande después
de [D2 ].
Noviembre 25 de 1987.
Hay que probar que C es una categoría de conexión y que [D2 ] es la única categoría de conexión
que no está contenida en C.
Demostración. (a) Sea f : C → X una función
continua y¢ suprayectiva en la que C ∈ C y
¡
sea (U, V ) cualquier división de X; entonces f −1 (U ) , f −1 (V ) es una división de C que, al ser
conexo, sólo admite la división trivial. En consecuencia, y debido a la suprayectividad de f , también
la división (U, V ) es trivial, lo que significa que X también es conexo, i.e. X ∈ C.
(b) Si |X| ≤ 1 y (U, V ) es una división de X, entonces U = ∅ o V = ∅; ∴ X ∈ C.
(c) Sea X un espacio topológico arbitrario y (Ai )J cualquier familia de subconjuntos conexos
de X tal que ∩ Ai 6= ∅. Sea A = ∪ Ai y (U, V ) cualquier división de A; entonces (U ∩ Ai , V ∩ Ai )
i∈J
i∈J
es una división de Ai que, debido a la conexidad, no puede ser de otro modo sino trivial. Sean,
x ∈ ∩ Ai e i0 ∈ J; sin que se pierda generalidad podemos suponer que x ∈ U ∩Ai0 . En consecuencia,
i∈J
x ∈ U ∩ Ai , ∀i ∈ J. Por lo tanto,
U ∩ Ai 6= ∅ y V ∩ Ai = ∅, ∀i ∈ J
CAPÍTULO 1. CATEGORÍAS DE CONEXIÓN
8
Luego, V ∩ A = ∅; ∴ V = ∅ y U = A, i.e. (U, V ) es trivial y A ∈ C.
Esto prueba que C es de conexión. Sea, por otro lado, A cualquier categoría de conexión tal
que A 6 ⊆C; entonces existe X ∈ A − C. Por lo tanto, X acepta una división no trivial (U, V ). Sea
f
X →
U
V
D2
q
z}|{
7→
·
7
→
·
|{z}
Entonces f es continua y suprayectiva; ∴ D2 ∈ A; ∴ A = [D2 ].@
Para denotar a la componente de x respecto de la categoría de conexión C escribiremos C (x)
en lugar de CC (x) y hablaremos simplemente de la componente de x, sobreentendiendo que es
respecto de C. Esto concuerda con la nomenclatura tradicional de esta parte de la topología y se
debe a que C fue la primera categoría de conexión con la que se trabajó inicialmente.
Noviembre 27 de 1987.
En lo que va hasta ahora hemos demostrado las siguientes contenciones propias:
[∅] ⊂ [I2 ] ⊂ [S]
C ⊂ [D2 ]
Ejercicios: 7. Sea B una familia arbitraria de espacios topológicos. Si
K (B) = {A ∈ T op : toda función continua f : A → B es constante, con B ∈ B}
pruebe que K (B) es una categoría de conexión. (Se llama categoría constante a la izquierda
determinada por B).
8. Pruebe: a) B ⊆µB 0 ⇒ ¶
K (B 0 ) ⊆ K (B)
b) ∩ K (B i ) = K
i∈I
∪ Bi
i∈I
c) Si A es una familia cualquiera de espacios topológicos, sea
B = {B ∈ T op : toda función continua f : A → B es constante, con A ∈ A}
Entonces K (B) es la mínima constante a la izquierda que contiene a A.
9. Compruebe: a) [∅] = K (T op)
b) [I2 ] = K (S)
c) K (T1 ) es la mínima categoría de conexión y constante a la izquierda que contiene a [S].
d) C = K (D2 ).
Teorema. Sea B ⊆ T1 . Si X es cualquier espacio topológico y A un subconjunto denso en X
tal que A ∈ K (B), entonces X ∈ K (B).
Demostración. Sea f : X → B cualquier función continua, donde B ∈ B. Entonces la función
f | A : A → B es continua y, por lo tanto, constante, pues A ∈ K (B). Sea b0 el valor de f | A y
Supongamos que para algún x ∈ X, f (x) = b1 y que b1 6= b0 . Dado que en todo espacio T1 cada
punto es cerrado, tenemos
B − {b0 } ∈ Nb◦1 ; ∴ f −1 (B − {b0 }) ∈ Nx◦ ;
y como A es denso en X, entonces
A ∩ f −1 (B − {b0 }) 6= ∅ ∇
◦
CAPÍTULO 1. CATEGORÍAS DE CONEXIÓN
9
Luego, falso suponer b1 6= b0 ; ∴ f (x) = b0 , ∀x ∈ X; ∴ X ∈ K (B).@
Corolario1. Sea B ⊆ T1 . Si X es cualquier espacio topológico y A un subconjunto de X que
pertenece a K (B) y tal que A ⊆ D ⊆ A, entonces D ∈ K (B).
Demostración. Se sabe que A es denso en A; en consecuencia, también es denso en D y, por el
teorema anterior, D ∈ K (B).@
Corolario2. Sea B ⊆ T1 . En cualquier espacio topológico X, las K (B)-componentes son
cerradas.
Demostración. Sea A una K (B)-componente de X. Si x ∈ A, entonces A es el máximo elemento
de K (B) que contiene a x porque es precisamente su K (B)-componente. Pero x ∈ A ⇒ x ∈ A y
A ∈ K (B) porque A es denso en A (y por el teorema). Luego, A ⊆ A, lo que significa que A es
cerrada, como se quería demostrar.@
Ejercicio: 10. Sea B una familia arbitraria de espacios topológicos. Pruebe:
(a) Si
B 0 = {B ∈ B : |B| > 1}
entonces K (B 0 ) = K (B).
(b) Si existe B ∈ B con dos puntos b1 y b2 tales que el subespacio
{b1 , b2 } ∼
= I2
entonces K (B) = [∅].
Teorema. Sean, B una familia arbitraria de espacios topológicos y (Xλ )Λ una familia no vacía
de espacios topológicos no vacíos. Son equivalentes:
(a) X
Qλ ∈ K (B) , ∀λ ∈ Λ
(b)
Xλ ∈ K (B)
λ∈Λ
Demostración. (a) ⇒ (b) Por el ejercicio 10 (a) podemos restringirnos a trabajar sólo con los
miembros de B cuyo número cardinal sea mayor que 1 (en caso, desde luego, de que tales miembros
existan). Sea
Y
f:
Xλ → B ∈ B
λ∈Λ
cualquier función continua. Hay que probar que f es constante. Sean
Y
Xλ
(Λ, f1 ) , (Λ, f2 ) ∈
λ∈Λ
?‘Qué pasaría si f (Λ, f1 ) 6= f (Λ, f2 )? Para empezar
{f (Λ, f1 ) , f (Λ, f2 )} À I2
pues, por (b) del ejercicio
¯ 10, ¯lo contrario implicaría que K (B) = [∅]; entonces |Xλ | = 1, ∀λ ∈ Λ y,
¯
¯Q
por lo tanto, también ¯¯ Xλ ¯¯ = 1; ∴ (Λ, f1 ) = (Λ, f2 ); ∴ f (Λ, f1 ) = f (Λ, f2 ) ∇
◦
λ∈Λ
Veamos que tampoco puede ocurrir
{f (Λ, f1 ) , f (Λ, f2 )} ∼
=S
ni
{f (Λ, f1 ) , f (Λ, f2 )} ∼
= D2
En efecto, para ambos casos al menos un punto posee una vecindad abierta en B que no contiene
al otro. Supongamos que es f (Λ, f2 ) este punto y que V es la vecindad en cuestión. Debido a la
CAPÍTULO 1. CATEGORÍAS DE CONEXIÓN
10
continuidad de f existe una vecindad básica U de (Λ, f2 ) tal que f (U ) ⊆ V ; como sabemos, la
forma típica de esta vecindad básica es
(Uλ1 ) ∩ Pλ−1
(Uλ2 ) ∩ · · · ∩ Pλ−1
(Uλn )
U = Pλ−1
n
1
2
donde cada Uλi es un abierto en Xλi y f2 (λi ) = Pλi (Λ, f2 ) ∈ Uλi .
Q
Por otra parte, si λ0 es un elemento fijo en Λ y también se fija (Λ, f0 ) ∈
Xλ , entonces se
λ∈Λ
tiene una inmersión de
Xλ0 →
Xλ
³ λ∈Λ ´
7
→
Λ, fxλ0
xλ0
en la que
fxλ0
Q
½
f0 (λ) , si λ 6= λ0
(λ) =
xλ0 , si λ = λ0
Restringiendo el codominio de esta inmersión podemos obtener una función continua y suprayectiva
de
´
o
n³
Λ, fxλ0 : xλ0 ∈ Xλ0
Xλ0 →
Entonces
n³
´
o
Λ, fxλ0 : xλ0 ∈ Xλ0 ∈ K (B)
pues, por hipótesis, Xλ0 ∈ K (B)
Qy K (B) es de conexión.
Xλ . Siguiendo la idea anterior, hagamos
Fijemos λ1 ∈ Λ y (Λ, f1 ) ∈
λ∈Λ
E1 =
´
o
n³
Λ, fxλ1 : xλ1 ∈ Xλ1
Aquí la coordenada xλ1 es arbitraria en Xλ1 ; las demás son fijas, (son las de (Λ, f1 )). La aplicación
³
´
xλ1 7→ Λ, fxλ1
Q
determina un homeomorfismo de Xλ1 ∼
Xλ , donde
= E1 . Ahora fijemos λ2 ∈ Λ y (Λ, g2 ) ∈
λ∈Λ
g2 (λ) =
y hagamos
E2 =
donde
½
f2 (λ) , si λ = λ1
f1 (λ) , si λ 6= λ1
´
o
n³
Λ, fxλ2 : xλ2 ∈ Xλ2
½
g2 (λ) , si λ 6= λ2
fxλ2 (λ) =
xλ2 , si λ = λ2
También en este caso obtenemos que Xλ2 ∼
además que (Λ, g2 ) ∈ E1 ∩ E2 ; ∴
= E2 . Obsérvese
Q
Xλ , donde
E1 ∩ E2 6= ∅. Similarmente, fijemos λ3 ∈ Λ y (Λ, g3 ) ∈
λ∈Λ
½
f2 (λ) , si λ = λ1 , λ2
g3 (λ) =
f1 (λ) , si λ 6= λ1 , λ2
CAPÍTULO 1. CATEGORÍAS DE CONEXIÓN
y hagamos
11
´
o
n³
Λ, fxλ3 : xλ3 ∈ Xλ3
E3 =
Entonces, Xλ3 ∼
= E3 y (Λ, g3 ) ∈ E2 ∩ E3 ; ∴ E2 ∩ E3 6= ∅.
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ··
Continuando este procedimiento llegamos a fijar λn−1 ∈ Λ y (Λ, gn−1 ) ∈
½
f2 (λ) , si λ = λ1 , λ2 , ..., λn−2
gn−1 (λ) =
f1 (λ) , si λ 6= λ1 , λ2 , ..., λn−2
Q
Xλ , donde
λ∈Λ
y hacemos
´
o
n³
Λ, fxλn−1 : xλn−1 ∈ Xλn−1
Q
Xλ , donde
Finalmente, fijando λn ∈ Λ y (Λ, gn ) ∈
En−1 =
λ∈Λ
½
f2 (λ) , si λ = λ1 , λ2 , ..., λn−1
gn (λ) =
f1 (λ) , si λ 6= λ1 , λ2 , ..., λn−1
hacemos
En =
©¡
¢
ª
Λ, fxλn : xλn ∈ Xλn
Entonces, Xλn ∼
= En y En−1 ∩ En 6= ∅ porque (Λ, gn ) ∈ En−1 ∩ En .
Ahora bién, aplicando la hipótesis, cada uno de los homeomorfismos anteriores implica que el
conjunto Ej correspondiente es miembro de la categoría K (B); en consecuencia, cada restricción
f | Ej es constante (porque es continua). Además, como acabamos de ver, estos conjuntos forman
n
Q
una cadena en
Xλ ; por lo tanto, ∪ Ej ∈ K (B). Entonces f es constante en esta unión, y como
λ∈Λ
j=1
(Λ.f1 ) ∈ E1 , entonces el valor de esta constante es f (Λ, f1 ). Por último, obsérvese que si hubiese
un punto z ∈ En ∩ U , entonces el valor de z bajo f coincidiría forzosamente con f (Λ, f1 ), lo cual
entraría en contradicción con el hecho de que
f (U ) ⊆ V (⊆ B − {f (Λ, f1 )})
Miren que un punto como ese es z = (Λ, g), donde
½
f2 (λ) , si λ = λ1 , λ2 , ..., λn
g (λ) =
f1 (λ) , si λ 6= λ1 , λ2 , ..., λn
por lo que la contradicción efectivamente
se tiene. Por lo tanto, falso suponer f (Λ, f1 ) 6= f (Λ, f2 );
Q
Xλ ∈ K (B).
por lo tanto, f es constante y
λ∈Λ
Q
Xλ → Xλ es continua y
(b) ⇒ (a) Como K (B) es de conexión y cada λ-proyección Pλ :
λ∈Λ
Q
suprayectiva, si
Xλ ∈ K (B), entonces cada Xλ ∈ K (B), como se quiere probar.@
λ∈Λ
Diciembre 4 de 1987.
CAPÍTULO 1. CATEGORÍAS DE CONEXIÓN
12
En la parte que sigue I denotará, como en otras ocasiones, al intervalo cerrado [0, 1] con la
topología usual.
Proposición. I ∈ C.
Demostración. Sea (U, V ) una división arbitraria de I. Entonces {U, V } es una cubierta abierta
de I; sin perder generalidad podemos suponer que 0 ∈ U . Entonces existe ε > 0 tal que
[0, ε] ⊂ U
Vamos a ver hasta dónde puede crecer ε. Sea
A = {t ∈ I : [0, t] ⊂ U }
Entonces ε ∈ A. Sea s = sup A; entonces ε ≤ s ≤ 1. Supongamos que s ∈ V ; entonces existe un
intervalo abierto (x1 , x2 ) tal que
s ∈ (x1 , x2 ) ⊂ V
Entonces x1 < s; por lo tanto, existe a ∈ A tal que x1 < a < s. Pero entonces
U ∩ V ⊃ (x1 , a] 6= ∅ ∇
◦
Luego, falso suponer que s ∈ V ; ∴ s ∈ U . Supongamos ahora que s < 1; entonces existe δ > 0 tal
que
(s − δ, s + δ) ⊂ U
Entonces
¸
∙
δ
[0, t] ⊂ U, ∀t ∈ s, s +
2
lo cual contradice el hecho de que s = sup A. Por lo tanto, s = 1 y, en consecuencia, V = ∅ y
U = I. Por lo tanto I es conexo, como se quería probar.@
Definición. Un espacio topológico X es conectable por trayectorias (c.p.t.)3 si para todo
par de puntos x0 , x1 ∈ X existe una función continua f : I → X tal que f (0) = x0 y f (1) = x1 . A
f se la llama trayectoria en X de origen x0 y extremo x1 .
Teorema. [I] es la clase de los espacios c.p.t.
Demostración. 1o Todo espacio c.p.t. pertenece a [I].
Sea X cualquier espacio c.p.t. y sea x0 cualquier punto fijo en X. Si F es la familia de imágenes
de trayectorias en X de origen x0 , entonces F es una cubierta encadenada en X cuyos elementos
son imágenes continuas de I; ∴ X ∈ [I].
Diciembre 7 de 1987.
2o Todo miembro de [I] es c.p.t.
Sea X ∈ [I] y sean x0 , x1 ∈ X. Se sabe que X posee una cubierta encadenada F cuyos miembros
son imágenes continuas de I. Sean A, B ∈ F tales que x0 ∈ A y x1 ∈ B, y sea A1 , ..., An una cadena
de elementos de F tal que A1 = A y An = B. Como cada eslabón es imagen continua de I, existen
n funciones fj : I → X tales que
fj (I) = Aj , ∀j ∈ {1, 2, ..., n}
De este modo, A1 = f1 (I);
3
∴ x0 = f1 (a1 ) , p.a. a1 ∈ I
Recomendación del autor: No confundir con “contador público titulado”..
`
CAPÍTULO 1. CATEGORÍAS DE CONEXIÓN
Y si y1 ∈ A1 ∩ A2 , entonces
13
y1 = f1 (b1 ) , p.a. b1 ∈ I
Pero A2 = f2 (I); entonces también
y1 = f2 (a2 ) , p.a. a2 ∈ I
Y si y2 ∈ A2 ∩ A3 , entonces
y2 = f2 (b2 ) , p.a. b2 ∈ I
y
y2 = f3 (a3 ) , p.a. a3 ∈ I
Continuando con este proceso tenemos para yn−1 ∈ An−1 ∩ An que
yn−1 = fn−1 (bn−1 ) , p.a. bn−1 ∈ I
y
yn−1 = fn (an ) , p.a. an ∈ I
Finalmente,
x1 = fn (bn ) , p.a. bn ∈ I
Ahora dividamos a I en n partes iguales y definamos f del modo que sigue:
⎧
£ 1¤
£ 1¤
f
(t)
,
si
t
∈
0,
aplica
linealmente
a
,
donde
⎪
1
1
1
n ¤ en [a1 , b1 ]
⎪
£ 1 n2 ¤
£0,
⎪
1 2
⎪
,
donde
(t)
,
si
t
∈
,
aplica
linealmente
a
,
f
⎪
2 2
2
⎪
£n n¤
£ n n ¤ en [a2 , b2 ]
⎪
⎨
f3 3 (t) , si t ∈ n2 , n3 , donde 3 aplica linealmente a n2 , n3 en [a3 , b3 ]
f (t) =
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ··
⎪
⎪
¤
£
¤ n−1
£
⎪
⎪
⎪
, donde n−2
, n−1
, n−1
→ [a£n−1 , bn−1
fn−1 n−1 (t) , si £t ∈ n−2
⎪
n
n
n
n
⎪
¤
¤ ] es lineal
⎩
n−1
n−1
fn n (t) , si t ∈ n , 1 , donde n aplica linealmente a
n , 1 en [an , bn ]
Examinemos lo que ocurre en t = n1 :
µ ¶
µ ¶
1
1
= f1 1
= f1 (b1 ) = y1 = f2 (a2 ) = f2
f
n
n
µ ¶
µ ¶
1
1
=
f
2
n
n
e igual ocurre en los otros puntos en común. Por lo tanto, f está bien definida. También es continua
porque
¸ ∙
¸
∙
¸¾
½∙
1 2
n−1
1
,
,
, ...,
,1
0,
n
n n
n
es una cubierta cerrada finita de I en cada uno de cuyos intervalos la correspondiente restricción
de f es continua. Esto prueba que f es una trayectoria de x0 a x1 . Por lo tanto, X es c.p.t.@
Continuaremos la vez próxima.
Miércoles 9 de diciembre de 1987.
Ejemplos de espacios c.p.t. 1. Todo espacio euclidiano es c.p.t.
Sea En cualquier espacio euclidiano. Si
x = (x1 , x2 , ..., xn ) , y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ En
sea f : I → En la función
f (t) = (1 − t) x + ty
f es continua porque lo son sus proyecciones
Pi f (t) = (1 − t) xi + tyi
CAPÍTULO 1. CATEGORÍAS DE CONEXIÓN
14
Además
f (0) = x
y
f (1) = y
i.e. f es una trayectoria de x a y.
2. Los subconjuntos de E que son c.p.t. son los intervalos.
a) Todo intervalo es c.p.t.
Sea J cualquier intervalo; si a, b ∈ J, sea f : I → J la función
f (t) = (1 − t) a + tb
Entonces f es una trayectoria de a a b.
b) Sea J cualquier subconjunto c.p.t. de E. Entonces para cualesquiera a, b ∈ J existe una
trayectoria f : I → J de a a b. Sea t ∈ E tal que a < t < b; si t ∈
/ J, entonces una división no trivial
de J la dan
U = {x ∈ E : x < t} ∩ J y V = {x ∈ E : x > t} ∩ J
lo cual es absurdo, pues J es conexo4 . En consecuencia, J es tal que para cualesquiera a, b ∈ J
resulta que [a, b] ⊆ J. Por lo tanto, J es un intervalo (todo subconjunto de E con esta propiedad
es un intervalo).
Teorema. Sea (Xλ )Λ una familia no vacía de espacios topológicos no vacíos. Son equivalentes:
(a) X
Qλ es c.p.t., ∀λ ∈ Λ
Xλ es c.p.t.
(b)
λ∈Λ
Q
Demostración. (a) ⇒ (b) Sean (Λ, f1 ) , (Λ, f2 ) ∈
Xλ ; por (a), para cada λ ∈ Λ existe una
λ∈Λ
trayectoria fλ : I → Xλ de f1 (λ)
Q a f2 (λ). Por la propiedad universal del producto topológico existe
Xλ tal que Pλ f = fλ ,∀λ ∈ Λ. Entonces
una función continua f : I →
λ∈Λ
Pλ (f (0)) = fλ (0) = f1 (λ) ; ∴ f (0) = (Λ, f1 )
Pλ (f (1)) = fλ (1) = f2 (λ) ; ∴ f (1) = (Λ, f2 )
i.e. f es una trayectoria
Q de (Λ, f1 ) a (Λ, f2 ).
Q
Xλ → Xλ es continua y suprayectiva. Por (b),
Xλ ∈ [I]; ∴ Xλ ∈ [I].@
(b) ⇒ (a) Pλ :
λ∈Λ
λ∈Λ
Diciembre 11 de 1987.
Antes de iniciar la prueba del teorema que sigue es conveniente recordar que C es una categoría
constante a la izquierda; para ser más precisos: C = K (D2 ), [ejercicio 9(d)]. Y hay que observar
también que D2 ∈ T1 , de manera que puede aplicarse el resultado del primer teorema visto en la
clase del día 27 a cualquier espacio que contenga un subespacio denso y conexo.
Teorema. [I] ⊂ C.
Demostración. Como ya sabemos, I ∈ C; por lo tanto, [I] ⊆ C. Para probar que la contención
es propia, es preciso exhibir un espacio conexo que no sea c.p.t. Sea
¶
¾
½µ
1
2
∈ R : 0 < x ≤ 1 ∪ {(0, 0)}
X=
x, sen
x
La función
4
?‘Por qué?
f
(0, 1] −→ ¡ X ¢
t
7−→ t, sen 1t
CAPÍTULO 1. CATEGORÍAS DE CONEXIÓN
15
es continua. En consecuencia, su imagen
¶
¾
½µ
1
2
∈R :0<x≤1
x, sen
x
es un espacio c.p.t. y por lo tanto conexo. También es densa en X, (su complemento es un punto
de su cerradura). Por el teorema mencionado arriba se sigue que X ∈ C. Se puede probar que
X ∈
/ [I]. Nótese que esto implica que [I] no es constante a la izquierda porque de ser así, el
teorema mencionado implicaría que X ∈ [I], lo que es falso.@
1.1.
Conexidad Local
En la parte que sigue, siempre que se diga que tal o cual espacio es “A-conexo” se deberá
entender (simplemente) que el susodicho espacio es miembro de A.
Definición. Sea A cualquier categoría de conexión. Un espacio topológico X es localmente
A-conexo si cada uno de sus puntos posee una base local de vecindades abiertas y A-conexas.
Ejemplos: 1. Todo espacio discreto es localmente A-conexo cualquiera que sea A.
En efecto, si X es discreto y x ∈ X, entonces {{x}} es una base local en x de “vecindades”
abiertas y A-conexas, porque {x} ∈ A cualquiera que sea A.
2. Todo espacio indiscreto es localmente A-conexo si A 6= [∅].
Sea X un espacio indiscreto; entonces X ∈ A, porque A 6= [∅]. Por lo tanto, {X}, la única base
local de cualquier x ∈ X, tiene una sola vecindad A-conexa y abierta.
3. Todo espacio euclidiano es localmente A-conexo si A ⊇ [I].
Sea x ∈ En ; una base local de x es
{Dε (x) : ε > 0}
cuyos miembros son claramente abiertos y c.p.t., por lo tanto A-conexos, si A ⊇ [I].
Enero 6 de 1988.
Teorema. Sea X cualquier espacio topológico; son equivalentes:
(a) X es localmente A-conexo.
(b) Si U es abierto en X, entonces las A-componentes del subespacio U son conjuntos abiertos
de X.
Demostración. (a) ⇒ (b) Sea U abierto en X; si A es una A-componente de U , sea a ∈ A.
Entonces U ∈ Na ; por (a), existe V ∈ Na◦ tal que V ⊆ U y V ∈ A. Entonces V ⊆ A, porque A es
el A-conexo máximo que contiene a a. Esto prueba que A es abierta.
(b) ⇒ (a) Sea x ∈ X y U ∈ Nx◦ ; por (b), la A-componente de x en U está en Nx◦ . Luego, X es
localmente A-conexo.@
Corolario. Sea p : X → Y un cociente arbitrario. Si X es localmente A-conexo, entonces Y
también lo es.
Demostración. Sea V abierto en Y ; entonces p−1 (V ) es abierto en X y, por (b) del teorema,
toda A-componente de p−1 (V ) es abierta en X. Sea B cualquier A-componente de V y escojamos
un punto b ∈ B arbitrario. Si A es la A-componente de p−1 (V ) en la que se haya p−1 (b), entonces
p (A) ∩ B 6= ∅
Pero p (A) ∈ A, porque p es continua; luego, no hay más remedio que aceptar que p (A) ⊆ B. Como
p es un cociente, p (A) ∈ Nb◦ . Por lo tanto, B es abierta en Y y Y localmente A-conexo.@
CAPÍTULO 1. CATEGORÍAS DE CONEXIÓN
16
Enero 11 de 1988.
A continuación un resumen referente a los resultados de conexidad relacionados con el producto
topológico.
1. Para cualquier categoría de conexión A, el producto topológico de un número finito de espacios
topológicos es A-conexo si, y sólo si, cada factor es A-conexo. (16 | xi | 87)
2. Si A es constante a la izquierda, entonces el producto topológico de cualquier familia (finita
ó infinita) es A-conexo si, y sólo si, cada factor es A-conexo. (27 | xi | 87)
3. Si A es la categoría de los espacios c.p.t., entonces el producto topológico de cualquier familia
no vacía de espacios no vacíos es A-conexo si, y sólo si, cada factor es A-conexo. (9 | xii | 87)Q
Xλ
Teorema. Si (Xλ )Λ es una familia no vacía de espacios topológicos no vacíos tal que
λ∈Λ
es localmente A-conexo; entonces cada factor Xλ es localmente A-conexo y todos, salvo un número
finito, son A-conexos.
Q
Xλ es localmente A-conexo. Cada λ-proyección es un cociente,
Demostración. Por hipótesis
λ∈Λ
por ser cada una una función abierta5 . Aplicando el resultado
Q del corolario anterior resulta que
Xλ arbitrario, entonces existe una
cada Xλ es localmente A-conexo. Si ahora tomamos (Λ, f) ∈
λ∈Λ
vecindad abierta U de (Λ, f ) que es A-conexa; esta vecindad contiene a su vez una vecindad básica
de la forma
Y
Xλ
Uλ1 × Uλ2 × · · · × Uλn ×
λ6=λ1 ,..,λn
En consecuencia, si λ 6= λ1 , ..., λn se tiene
⎛
Xλ = Pλ ⎝Uλ1 × Uλ2 × · · · × Uλn ×
Y
λ6=λ1 ,..,λn
⎞
Xλ ⎠ ⊆ Pλ (U ) ⊆ Xλ
i.e. Pλ (U ) = Xλ . Por lo tanto, Xλ es A-conexo si λ 6= λ1 , ..., λn .@
Enero 18 de 1988.
Teorema. Sea A una categoría de conexión tal que cualquier familia de espacios A-conexos
tiene producto topológico A-conexo, (v.gr. cuando A es constante a la izquierda ó cuando A es
la categoría de los espacios c.p.t.). Sea (Xλ )Λ una familia no vacía (finita ó infinita) de espacios
topológicos no vacíos,
Q localmente A-conexos y tal que todos, excepto un número finito, son AXλ es localmente A-conexo.
conexos. Entonces
λ∈Λ
Q
Xλ , U una vecindad de (Λ, f ) y
Demostración. Sean, (Λ, f ) cualquier punto de
λ∈Λ
Uλ1 × Uλ2 × · · · × Uλn ×
Y
λ6=λ1 ,..,λn
Xλ ⊆ U
una vecindad básica de (Λ, f). Como, a excepción de un número finito, casi todos los miembros
de (Xλ )Λ son A-conexos, podemos suponer que Xλ ∈ A, si λ 6= λ1 , ..., λn . Pero además todos,
sin excepción, son localmente A-conexos; en consecuencia, cada Uλi puede escogerse A-conexo en
5
Véase el inciso (b) de la proposición del 9 de septiembre de 1985.
CAPÍTULO 1. CATEGORÍAS DE CONEXIÓN
17
Nf◦(λi ) . Finalmente, como A es una categoría cerrada bajo la formación de productos topológicos,
tenemos que
Y
Xλ ∈ A
Uλ1 × Uλ2 × · · · × Uλn ×
λ6=λ1 ,..,λn
Por lo tanto,
Q
Xλ es localmente A-conexo.@
6
λ∈Λ
Concluiremos esta parte con un recuento de la jerarquía inducida por la contención en las
categorías de conexión que hasta aquí consideramos.
[∅] ⊂ [I2 ] ⊂ [S] ⊆ K [T1 ]
6
[I] ⊂ C ⊂ [D2 ]
Confronte estos dos últimos teoremas con el teorema visto en la clase del 24 de agosto.