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PROBABILIDAD EN SUPERFICIES
JOAQUIN CURIEL CAÑEDO
FACULTAD DE CIENCIAS
UNAM
i
CONTENIDO
I. SUPERFICIES EN R3
1. Definición …………………………………………………………………………………..
2. Gráfica de una Función Real de Dos Variables …………………………………………….
3. Forma implícita de una Superficie ………………………………………………………….
4. Topología de una Superficie ………………………………………………………………..
5. Espacios de Hausdoff ……………………………………………………………………….
6. Espacios Regulares y Segundo Contables ………………………………………………….
1
3
4
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10
11
II. ESPACIOS CON UNA MEDIDA DE PROBABILIDAD
1. Espacios Medibles …………………………………………………………………………..
2. Espacios con una Medida de Probabilidad ………………………………………………….
3. El Campo de Borel de un Espacio Topológico ……………………………………………..
4. Funciones Reales Borel Medibles …………………………………………………………..
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III. FUNCIONES CONTINUAS
1. Funciones Reales Continuas ………………………………………………………………..
2. Espacios regulares y segundos contables …………………………………………………...
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IV.- VECTORES ALEATORIOS
1. Definición …………………………………………………………………………………...
2. Distribución de Probabilidad de un Vector Aleatorio ………………………………………
3. Vectores Aleatorios con Distribución Continua …………………………………………….
4. Momentos de un Vector Aleatorio ………………………………………………………….
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29
30
33
ii
I. Superficies en R3
En este capítulo presentaremos la definición de superficie parametrizada
en R3, y daremos varios ejemplos de tales superficies.
Consideramos los casos en que la superficie es la gráfica de una función real
de dos variables de clase C1, y la así llamada forma implícita de la ecuación de
una superficie.
A continuación estudiamos la topología de una superficie y hacemos ver que
es un espacio topológico de Hausdorff, regular y segundo contable.
Como consecuencia del teorema de metrización de Urysohn (un espacio
regular y segundo contable es metrizable) toda superficie es metrizable.
Dado que todo espacio metrizable es normal (los abiertos separan conjuntos
cerrados), concluimos que toda superficie es un espacio topológico normal.
1.- Superficies Parametrizadas. Definiciones y Ejemplos.
En esta sección, introducimos el concepto de superficie parametrizada,
definimos los vectores tangentes a las curvas paramétricas y la normal a la
superficie. Además, definimos el plano tangente a la superficie en un punto de
la misma y encontramos su ecuación. Finalizamos esta sección definiendo el
área de una superficie y la integral de superficie de una función real continua
definida en la superficie.
1.1 Definición Una superficie parametrizada en R3, es una función de
clase C1
(1.1)
σ=σ(u,v) : D → R3,
definida en un subconjunto no vacío D de R2 y con valores en el espacio
euclidiano R3 de dimensión tres. Denotamos la superficie parametrizada como
la pareja (D,σ ).La superficie S, es la imagen σ(D) .
Las derivadas parciales σ1, σ2 de la parametrización σ, con respecto a u,v,
respectivamente, son los vectores tangentes a las curvas paramétricas v = cte,
u = cte, respectivamente.
1
Los coeficientes de la primera forma fundamental , son los productos
escalares (ó productos internos).
(1.2)
E= < σ1 , σ1 >,
F = < σ1 , σ2 >, G= < σ2 , σ2 >,
El determinante de la primera forma fundamental, es
(1.3)
EG-F2.
El vector normal a la superficie, es el producto vectorial
(1.4)
N = σ1 x σ2
de los vectores tangentes a las curvas paramétricas.
La norma del vector normal N de una superficie, está relacionado con el
determinante de la primera forma fundamental.
1.1 Proposición. La norma del vector normal a la superficie es igual a la raíz
cuadrada del determinante de la primera forma fundamental de la superficie
(1.5)
<N,N> = EG-F2
Demostración. El cuadrado de la norma del vector normal, es
<N,N> = < σ1 x σ 2 , σ1 x σ2>
= <σ1 , σ1 > <σ2 , σ2 > - (< σ1 , σ2>)2
= EG-F2
lo cual demuestra la proposición.
qed
A continuación definiremos el área de una superficie S, parametrizada por la
función σ definida en la ecuación (1.1)
Definición El área de la superficie S parametrizada por la ecuación (1.1),
es
2
( 1.6 )
A(S) = ∫∫D (EG-_F2 )1/2 dudv.
La integral de superficie de la función real continua g : S → R, es
( 1.7)
∫gdS = ∫∫D g( σ( u,v))(EG-F2 )1/2 dudv.
2.- Gráfica de una Función Real de Dos Variables de Clase C1 .
Sea f :D → R, una función real de clase C1 , definida en un subconjunto no
vacío D de R2 . La función σ: D→ R3 definida por
(2.1)
σ(x,y) = (x,y, f(x,y)) :D → R 3
es una parametrización de la gráfica de la función f .
Los vectores tangentes a las curvas paramétricas, son
(2.2)
σ1 = (1,0, ∂f/∂x) , σ2 = (0,1,∂f∕ ∂y) .
El vector normal a la superficie es
N= (-∂f /∂x , - ∂f∕ ∂y , 1),
y el cuadrado de la norma del vector normal a la superficie es
(2.3)
1+ (∂f/∂x)2 + (∂f/ ∂y)2,
El área de la gráfica de la función f, es
(2.4)
A(G(f) ) = ∫D (1 + (∂f / ∂x )2 + ( ∂f/ ∂y)2 )1/2 dxdy.
La integral de superficie de la función real continua g : S → R, es
(2.5)
∫gdS = ∫D g(x,y,f(x,y))((1 + (∂f / ∂x)2 + (∂f/∂y )2 )1/2 dxdy
3.- Forma Implícita de Ecuación de una Superficie
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Sea F: D→ R, una función real de clase C 1, definida en un subconjunto no
vacío D de R3. El conjunto
(3.1)
S = { (x,y,z )ε R3 : F(x,y,z) = 0} ,
es una superficie en R3.
En esta sección demostraremos que el gradiente de F, es un vector normal a la
superficie (3.1).
Recordemos que el gradiente de una función F, es
Grad F = i ∂F∕ ∂x + j ∂F ∕∕∂y + k ∂F∕∂z.
donde i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1), son los vectores unitarios en
dirección de los ejes coordenados.
3.1 Proposición. El gradiente de una función real F de clase C 1, es ortogonal a
la superficie ( 3.1 ).
(3.2)
< grad F , σi > =0, i = 1,2.
Demostración. Sea σ : D → R3, la parametrización de la superficie S,
definida en la ecuación (3.1 ). Entonces
F(σ (u,v) ) = F( x(u,v), y(u,v), z(u,v)) =0,
lo cual implica que
0 = ∂F/ ∂u =( ∂ F/∂x)( ∂x/∂u) + (∂F/∂y)(∂y / ∂u )+( ∂F/ ∂z )(∂z/∂u),
=< grad F, σ1 >
es decir, el gradiente de F es ortogonal al vector tangente σ1.
En forma totalmente análoga se demuestra que el gradiente de F, es ortogonal
a σ2 y por lo tanto a la superficie S.
qed
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Ejemplo. El Plano. Sea f (x,y) = ax + by + c: D → R una función real de dos
variables definida en un subconjunto no vacío D de R2. Una parametrización
de la gráfica de dicha función, es la función x: D → R3, definida por
x(x,y,) = (x,y, ax+by+c).
Los vectores tangentes a las curvas paramétricas son
x1 = (1,0,a) , x2= (0,1,b).
El vector normal al plano es el producto vectorial
N = x1 x x2 = (-a,-1).
Los coeficientes de la primera forma fundamental del plano, son
E= 1+ a2, F = ab, G = 1+b2.
El determinante de la primera forma fundamental, es
EG‒F2 = 1+a2+ b2
El cuadrado de la norma del vector normal a la superficie es a2 + b2 + 1
El área de plano es
A(S)= ʃʃD (EG-F2)172dxdy.= (a2 +b2 +1)1/2A(D)
Ejemplo. La Esfera. La función x: [0, π] x [0, 2π] → R3 definida por
x (u,v)= (sen ucos v, senu sen v, cos u).
es una parametrización de la esfera con centro en el origen, y radio uno.
Los vectores tangentes a las curvas paramétricas (meridianos y paralelos) son
x1= (cos u cosv, cosusenv,-sen u),
x2 = ( -senusenv, senucosv,0).
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El vector normal a la esfera unitaria, es
N= (sen2 ucosv,sen ucosv, sen2 ucosv).
La norma del vector normal es el módulo IsenuI de senu. El área de la esfera
unitaria S2 es 4π .
La integral de superficie de la función real g : S → R, definida por
g(x,y,z) = z2,
definida en S, es
ʃ gdS = ʃʃD z2 (u,v) IsenuIdudv
= ʃ ʃD cos2 usenududv
= 4π /3.
donde D = [0,2π ]x[0, π ].
Ejemplo. El Cono Circular Recto. Una parametrización del cono circular
recto, es la función
x: (0,∞) x [0.2π]→ R3
definida por
x(u,v) = (ucosv, usenv, u),
Los vectores tangentes a las curvas paramétricas, son
x1 (u,v) = ( cosv,senv,1), x2 (u,v) = (-usenv, ucosv, 0).
Los coeficientes de la primera forma fundamental, son
E = (2)1/2, F= 0,
G = u2 .
El determinante de la primera forma fundamental es
EG- F2 =EG = (2)1/2u2
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El vector normal al cono circular recto, es
N = x1 x x2 = (-ucosv, -usenv, u).
La norma del vector normal a la superficie, es
IINII = u (2)1/4.
La ecuación del plano tangente al cono circular recto, en el punto
x0= (ucosv, usenv, u) es
<N,x- x0 > =0.,
Pero
< N, x- x0 > = ‒xcosu, ‒ ysen u, + z,
Luego, la ecuación del plano tangente al cono circular recto C, en
el punto (ucosv,usenv, u) es
z = xcos u + ysen u.
Ejemplo. Superficies de Revolución. Sea f: [a,b]→ R, una función real
diferenciable, con derivada continua. La gráfica de f, es la curva
G(f) ={ (x,y) € R2: y = f(x)}.
Si hacemos girar la gráfica de f en torno al eje de las x, obtenemos una
superficie de revolución. Una parametrización de una superficie de revolución,
es la función
x: [a,b]x [0,2π]
definida por la ecuación
x(u,v) =(u,f (u) cos v, f(u)senv ).
Vamos a designar por g, la derivada de la función f (g = f´).
Los vectores tangentes a las curvas paramétricas, son
x1 (u,v) =(1, g(u)cosv,g((u) sen v), x2(u,v) = (0.-f(u)senv, f(u)cosv).
Los coeficientes de la primera forma fundamental de la superficie son
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E = 1 + g2, F = 0, G= f2.
El determinante de la primera forma fundamental es
EG ‒ F2 = f2 (1+g2).
El vector normal a la superficie de revolución, es
N= X1 x X2 = (g(u)f(u), ‒f(u) cosv, ‒f(u) senv ),
La norma del vector normal N a la superficie, es
IINII = If(u)I (1+g2 (u))1/2.
El área de la superficie de revolución, es
A = 2πʃab If(x)I( 1 + g2 (x))1/2dx.
4.- Topología de una Superficie.
En esta sección definiremos el concepto de conjunto abierto en una superficie
S, parametrizada por una función
(4.1)
σ: D → R3
definida en un subconjunto no vacío D de R2 .
4.1 Definición. Un subconjunto A de la superficie S, es un conjunto abierto
en S, si existe un abierto U en R3, tal que
(4.2)
A= S∩U.
4.2 Proposición. La familia A formada por los conjuntos abiertos de S, tiene
las siguientes propiedades:
i)
ii)
El vacío y el total son abiertos.
La unión de una familia arbitraria no vacía de conjuntos abiertos es
un conjunto abierto.
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iii)
La intersección de dos abiertos es abierta.
Demostración i) es claro
ii) Sea {Ai , i ε I} una familia arbitraria no vacía de conjuntos abiertos en S.
Entonces existe una familia arbitraria no vacía {U i ,i εI} de abiertos en R3,
tales que Ai = Ui∩S.
Entonces UAi = (U Ui )∩S,
Lo cual implica que A es cerrada bajo uniones arbitrarias.
Sea A, B abiertos en S, luego existen dos abiertos U,V en R 3, tales que
A = U∩S, B = V∩S.
lo cual implica que
A∩B = (U∩V) ∩S,
es abierto en S.
qed
5.- Conjuntos Cerrados.
5.1Definición. Un conjunto C contenido en una superficie (S, A) es cerrado
en S, si su complemento S-C es abierto en S. Vamos a denotar por
C =C(S) = C(S, A),
la familia de los conjuntos cerrados en la superficie S.
5.2 Proposición. La familia C de los conjuntos cerrados de una superficie S,
tiene las siguientes propiedades:
i)
ii)
iii)
El vacío y el total S, son conjuntos cerrados
La unión de dos conjuntos cerrados es un conjunto cerrado
La intersección de una familia arbitraria no vacía de conjuntos
cerrados es un conjunto cerrado.
Demostración. Sólo demostraremos iii)
Sea {Ci .i ε I } una familia arbitraria no vacía de conjuntos cerrados. Entonces
S- Ci es una familia de abiertos en S, lo cual implica que
U(S- Ci) es abierto, por las leyes de De Morgan
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∩Ci es un conjunto cerrado.
qed
5.-Espacios de Hausdorff.
En esta sección introducimos el importante concepto de espacio de Hausdorff.
Toda superficie regular en R3, es un espacio de Hausdorff.
En un espacio de Hausdorff los abiertos separan conjuntos compactos, en
consecuencia los conjuntos compactos en un espacio de Hausdorff, son
conjuntos cerrados.
5.1 Definición. Un espacio topológico (S, A) es de Hausdorff, si dados dos
puntos diferentes p ≠ q, existen dos conjuntos abiertos ajenos A,B tales que
pε A, q ε B.
5.2 Proposición. Toda superficie (S,A) es un espacio de Hausdorff.
Demostración. Sean p, q dos puntos diferentes de la superficie S. Entonces
p,q son dos puntos diferentes en R·3 .Pero R3 es un espacio de Hausdorff,
luego, existen dos conjuntos abiertos U,V y ajenos en R 3, tales que
P ε U, q ε V. Los conjuntos A= U∩S, B = V∩S, son conjuntos abiertos y
ajenos en S, tales que p ε A, q ε B , lo cual implica que S es un espacio de
Hausdorff
qed
5.3 Proposición. En un espacio de Hausdorff (S,A) los conjuntos abiertos
separan puntos de conjuntos compactos. En forma más precisa, dados un
conjunto compacto K en S y un punto p ε S que no está en K, existen dos
abiertos y ajenos A,B en S, tales que p ε A, y K está contenido en B.
Demostración. Sea q un punto de K. Puesto que p no pertenece a K,
concluimos que p ≠ q , pero S es un espacio de Hausdorff, por hipótesis,
luego, existen dos vecindades ajenas Up (q), Vq (p), tales que
Up (q)∩Vq(p) = Ǿ.
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La familia {Vq(p) : q ε K} es una cubierta abierta de K, pero K es compacto,
por hipótesis, luego existe una subcubierta finita
Vqi (p),
i = 1,2, …n,
que cubre a K. Consideremos las vecindades Up(qi ), correspondientes a
las vecindades Vqi , i= 1,2,3…n.
Entonces Up(qi) ∩ Vqi(p) = Ǿ, i = 1.2,… n,
De donde
∩Up(qi ), U Vqi (p),
son las vecindades ajenas de p y de K.
qed
6.-Espacios Regulares y Segundo Contables.
El propósito de esta sección es hacer ver que toda superficie en R 3, es un
espacio topológico metrizable. Para realizar tal propósito haremos uso del
Teorema de metrización de Urysohn: Un espacio regular y segundo contable
es metrizable.
6.1 Definición. Un espacio (S, A) es un espacio topológico regular, si
i)
es T1 , es decir, los conjuntos formados por un solo elemento, son
cerrados.
ii)
Dado un conjunto cerrado C en S y un punto que no está en el
conjunto cerrado C, existen dos conjuntos abiertos y ajenos A y B,
tales que p ε A y C está contenido en B.
Un espacio topológico (S, A) es segundo contable si su topología A,
tiene una base contable {An , n ε N} .
6.2 Proposición. Todo subespacio (S,A) de R3, es regular y segundo contable.
Demostración. Sea x un punto de S, luego, x es un punto de R 3, pero R3 es un
espacio T1 , luego {x} es un conjunto cerrado en R3, y en consecuencia {x} es
un conjunto cerrado en S.
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Ahora, sea C un cerrado en S, y p un punto que no está en C. Entonces, existe
un cerrado F en R3 , tal que C = F∩S. Pero p no está en F∩S, luego p no está
en F. Dado que el espacio R3,es regular existen dos abiertos y ajenos U, V en
R3,tales que p está en U y F está contenido en V, luego, p está en U∩S, y F∩S
está contenido en V∩S, lo cual implica que S es un espacio regular.
R3 es un espacio segundo contable, es decir, existe una base numerable
{Un , n ε N} para la topología de R3, en consecuencia la familia {Un∩S,} es
una base numerable de S.
qed
6.3 Corolario. Una superficie en R3, es metrizable.
Demostración. Porque es un subespacio de R3.
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II. Espacios con una Medida de Probabilidad.
En la sección 1 de este capítulo, introducimos los conceptos de σ-campo y
espacio mensurable. Los miembros del σ- campo se llaman eventos.
En la sección 2, introducimos el concepto de medida de probabilidad, y
presentamos algunas de sus propiedades.
En la sección 3, definimos el concepto de campo de Borel de un espacio
topológico y demostramos algunas de sus propiedades.
En la sección 4, introducimos el concepto de función real Borel mensurable.
La suma, diferencia y producto de dos funciones Borel mensurables, es una
función Borel mensurable.
En la sección 5, estudiamos las sucesiones de funciones Borel mensurables.
1.- Espacios Mensurables
1.1 Definición. Un σ-campo de subconjuntos de un conjunto no vacío Ω, es
una familia (o clase) F de subconjuntos de Ω, que cumple las siguientes
condiciones:
i) El vacío y el total pertenecen a F.
Ǿ, Ω ε F
ii) La unión de una familia contable {An, n ε N} de eventos es un evento.
An ε F, n ε N implica que UAn ε F
iii) El complemento de todo evento, es un evento.
iv) A ε F implica que Ac = Ω - A ε F.
La definición de σ- campo nos dice que el vacío y el total son eventos, que la
unión de una sucesión de eventos es un evento y que el complemento de un
evento es un evento.
Definición. Un espacio mensurable, es una pareja ordenada, (Ω, F), formada
por un conjunto no vacío Ω y un σ-campo F, de subconjuntos de Ω-.
Ejemplo 1 La familia cuyos elementos son el vacío y el total, es un σ-campo.
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Ejemplo 2 La familia formada por todos los subconjuntos de Ω, es un σcampo.
1.2 Proposición Un σ-campo F es cerrado bajo intersecciones contables F.
An ε F. n ε N, implica que ∩nAn ε F.
Demostración. An ε F, nεN, por hipótesis. Luego, el complemento Ω - An,
pertenece a F, en consecuencia, la unión Un {Ω - An} ε F y por las leyes de De
Morgan, Ω-∩An ε F, y finalmente, la intersección ∩An € F.
qed
1.3 Corolario. Una familia no vacía de subconjuntos de Ω, es un σ-campo, si
y sólo si
i) contiene al vacío y al total Ω.
ii) es cerrada bajo intersecciones contables
iii) es cerrada bajo complementaciones
1.4 Definición. El límite superior de una sucesión de eventos {An, n ε N} es
el evento
Lim sup An = ∩∞n=1U ∞k=n Ak
El límite inferior de una sucesión de eventos, es
Lim inf An = U∞ n=1∩∞ k =n Ak.
1.5 Proposición. Los límites superior e inferior de una sucesión de eventos,
son eventos.
Demostración. El σ-campo de eventos es cerrado bajo uniones e
intersecciones contables.
Qed
Sucesiones Monótonas.
1.6. Definición Una sucesión {An} de eventos, es una sucesión creciente, si
An Ϲ An+1 , n = 1, 2, 3, …..
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la sucesión {An} , es una sucesión decreciente de eventos , si
An Ɔ An+1 , n = 1,2,3,…
Una sucesión de eventos es convergente, si su límite superior es igual a su
límite inferior. Una sucesión de eventos es monótona si es creciente o
decreciente.
1.7 Proposición. Una sucesión monótona de eventos, es convergente. El
límite de una sucesión creciente es la unión de sus términos. El límite de una
sucesión decreciente es la intersección de sus términos.
2.- Espacios con una Medida de Probabilidad
En esta sección presentamos la definición de medida de probabilidad en un
espacio medible. La probabilidad del total Ω es igual a uno. Una medida de
probabilidad es secuencialmente continua, es decir , si la sucesión de eventos
{An } converge a un evento A, entonces
P(A) = lìmn P(An).
2.1 Definición. Una medida de probabilidad sobre un espacio medible
(Ω,F), es una función real P: (Ω, F) → R, que cumple las siguientes
condiciones
i)
ii)
iii)
P(Ω) = 1,
ii) 0≤ P(A) ≤ 1,
Sea {An , n ε N} una sucesión ajena de eventos. Entonces
P(UAn) = ∑n P(An ), n ε N .
Un espacio con una medida de probabilidad, es una tercia (Ω, F, P)
formada por un espacio medible (Ω ,F) y una medida de probabilidad, P.
2.2 Proposición. Una medida de probabilidad, tiene las siguientes
propiedades:
i) Preserva el orden:
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A Ϲ B implica que P(A) ≤ P(B).
ii) Preserva la diferencia de conjuntos
A Ϲ B implica que P (B–A) = P(B) – P(A).
iii) La probabilidad de la unión de dos eventos A, B, es igual a
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
iv) La probabilidad del complemento de un evento A, es igual a la diferencia
entre 1 y la probabilidad de A
P(Ac ) = 1- P(A).
Demostración i) A está contenido en B, por hipótesis, luego, podemos
escribir
B = A U (B–A).
Lo cual implica,
P(B) = P(A) + P(B–A) ≥ P(A).
Lo cual demuestra i) y ii).
En forma análoga se demuestran las restantes afirmaciones.
qed
3.- El campo de Borel de una Superficie.
En esta sección introducimos el concepto de campo de Borel de una superficie
regular en R3.
Dado que una superficie es un espacio topológico, segundo contable, existe
una base contable{ An , n €N} para la topología de la superficie S. Es decir
todo conjunto abierto puede escribirse, como la unión de una subfamilia {A nk}
de la base contable.
3.1 Proposición. Una función real f : S → R , es Borel mensurable, si y sólo
si la imagen inversa de todo abierto básico An , es mensurable.
f€ M(S) si y sólo si f-1 (An) € F , n€ N.
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Demostración. Sea A un conjunto abierto en R, dado que el espacio R³, es
segundo contable, existe una subsuceción
{Ank} de {An} tal que A = UAnk.
Luego,
f-1(A) = f-1 (UAnk) = U f-1(Ank) ) € F.
4.- Funciones Reales Borel Mensurables
En esta sección definimos el concepto de función real Borel mensurable,
definida en un espacio mensurable (Ω,F).
La suma, diferencia y producto de dos funciones reales Borel mensurables, es
una función real Borel mensurable.
Definición. El campo de Borel de la recta real R, es el σ-campo B generado
por los conjuntos abiertos A(R) de R. Una función real f : (Ω, F) → (R, B),
es Borel mensurable si la imagen inversa bajo f de todo conjunto de Borel
pertenece a F.
Vamos a denotar por M (Ω,R) la clase de las funciones Borel mensurables.
3.2 Proposición. Una función real f: (Ω, F) → R, es Borel mensurable si y
sólo si la imagen inversa bajo f, de todo conjunto abierto A en R, pertenece a
F.
Demostración f-1( B) = f-1 ( σ ( A(R) )
Ϲ σ ( f-1(A(R ) ) Ϲ σ (F) = F
qed
El espacio R de los reales, es segundo contable, es decir, existe una familia
contable {An : n ε N}, de conjuntos abiertos que forman una base de la
topología de R, es decir, todo abierto A en R, es unión de una subfamilia
{Ank}.
A = UAnk
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3.3 Proposiciòn. Una función real f : (Ω,F) → (R, B) es Borel mensurable,
si y sólo si la imagen inversa bajo f de todo abierto básico An ,n ε N, pertenece
a F.
f ε M (Ω , R) si y sólo si f -1(An ) ε F, n ε N
Demostración. Sea A un conjunto abierto en R, luego existe una sucesión de
conjuntos abiertos {Ank} tal que A =UAnk. Entonces f-1(Ank) ε F, por
hipótesis. Luego,
f-1(A) = Uf-1( Ank) ε F.
qed
18
III. Funciones Reales Continuas sobre una Superficie.
1.-Propiedades Elementales. Sea A la clase formada por los conjuntos
abiertos de R y A(S) la clase de los conjuntos abiertos en la superficie S.
Definición Una función f : S→ R, es continua si la imagen inversa de A
bajo f, está contenida en A(S)
f € C(S) si y sólo si f -1 (A) Ϲ A(S).
Proposición. Una función real f : S→ R, definida sobre una superficie
S en R3,es continua si y sólo si la imagen inversa bajo f de todo intervalo
abierto I = (a,b) en R, es abierto en S.
1.1
Demostración. Supongamos que la imagen inversa de todo intervalo abierto
(a,b) en la recta real R, es abierto en la superficie S. Sea A un conjunto abierto
en R, entonces existe una sucesión {In ,n € N} de intervalos abiertos de R, tal
que A = UIn , luego,
f-1 (A)= Un f-1 (In)
dado que la imagen inversa bajo f de todo intervalo In, es abierto por
hipótesis,
f-1 (A) es abierta en S.
luego,
f-1 (A) Ϲ A(S)
El recíproco es trivial.
qed
1.2 Corolario. Una función real f : S→ R, definida sobre una superficie S en
R3 ,es continua si y sólo si las imágenes inversas bajo f de intervalos de la
forma (a, ∞), son abiertos en S.
1.3 Teorema La suma de dos funciones reales continuas definidas en una
superficie en R3, es una función continua.
f, g € C(S) implica que f+g € C(S).
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Demostración. Las funciones f, g son funciones reales continuas, por
hipótesis, luego los conjuntos
[f > a] = {x€ S: f(x ) >a} y [g>b ], a,b € R
son conjuntos abiertos en la superficie S.
Luego,
[f+g <a ] = {x€ S : f(x) + g(x) <a}
= {x€ S : f(x) < a‒g(x) }
= Ur €Q {x €S : f(x) < r < a‒g(x)}
= Ur € Q ([f<r] ∩ [g<a‒r]).
Los conjuntos [f<r] y [g<a‒r], son conjuntos abiertos, luego, su intersección
también lo es, y finalmente la unión de una familia contable de conjuntos
abiertos, es abierta, lo cual implica que la suma de dos funciones reales
continuas, es continua.
qed
1.4 Proposición. La diferencia de dos funciones reales continuas definidas
sobre una superficie S en R3. es continua.
f,g € C(S) implica que f‒g € C(S).
La demostración es análoga a la de la suma de dos funciones continuas.
1.5 Proposición. El cuadrado de una función real continua definida en una
superficie de R3, es una función continua.
f € C(S) implica que f2 € C(S).
Demostración. Sea a un número real, entonces el conjunto
[f2 < a] = {x € S: f2(x) < a}
= {x: ‒a < f(x) < a}
= [f < a] ∩ [f > ‒ a]
20
Los conjuntos [f < a] y [f > ‒a] son conjuntos, abiertos luego, su intersección
también lo es. Lo cual implica que el conjunto [f2 > a], también lo es.
qed
1.6 Proposición. El módulo (o valor absoluto) de una función real continua
f: S→ R , definida sobre una superficie S, es una función continua.
Demostración. La función f es continua, por hipótesis, luego, los conjuntos
[f<a] y [f>‒a ] son conjuntos abiertos, luego, la intersección
A= [ I f I <a ]= [ ‒a<f<a ]
donde el módulo de f es menor que a, es abierta para todo número real a.
Entonces el conjunto A es un conjunto abierto para todo real a. Luego, el
módulo de f, es una función continua.
qed
1.7 Proposición. El producto de dos funciones reales continuas, definidas en
una superficie S en R3, es una función real continua.
f,g € C (S) implica que fg € C (S).
Demostración. Las funciones f,g € (S), son continuas, por hipótesis, en
consecuencia, la suma f+g y diferencia f‒g son continuas, de donde
4fg = (f+g) + (f‒g) es una función continua y finalmente, fg es continua.
qed
1.8 Corolario. El módulo (o valor absoluto) de una función real continua
f: S→ R, definida en una superficie S en R3 , es una función real continua,
no-negativa.
Demostración. La función f : S→ R, es continua por hipótesis, lo cual implica
que el conjunto
[ I f I < a ] = [ ‒a<f < a ],
es abierto en S, lo cual a su vez implica que dicho conjunto es Borel
mensurable.
qed
21
Nuestro siguiente resultado nos dice que la imagen bajo una función real
continua definida en una superficie S, de una sucesión convergente de
puntos en S, es convergente.
Definición. Una sucesión {xn} de puntos en la superficie S, converge a un
punto x en S, si dado € > 0 existe un número natural N, tal que si n > N
entonces la distancia d(xn, x) < €.
1.9 Teorema. La imagen bajo una función real continua f : S → R definida
sobre una superficie S, de una sucesión convergente de puntos {xn} es una
sucesión convergente en R.
Demostración. La función f : S → R, es continua, luego, dado un real positivo
€ existe β > 0 tal que si
d(x,a) < β
entonces, la distancia I f(x) – f(a) I < €, es menor que €. Ahora xn → a por
hipótesis, luego dado β >0 existe N natural tal que si N > n , entonces la
distancia
I f(an) – f(a)I < €.
es menor que €.
qed
A continuación demostraremos que la compuesta de dos funciones continuas
es una función continua.
1.10 Proposición. Sean (S, A(S)), (T,A(T)) dos superficies en
R3 y f : S → T una transformación continua de S en T, y sea g: T → R, una
función real continua de T en R. Entonces, la compuesta g◦ f : S → R, es una
función continua.
Demostración. La transformación f, es continua, luego,
f-1 ((A(T)) Ϲ A(S).
22
Además, dado que g es una función real continua,
g-1 (A) Ϲ A(T),
lo cual implica que
(g◦ f)-1 ( A) = f -1 (g-1 (A))
Ϲ f -1 (A(T))Ϲ A(S),
En consecuencia la compuesta de la transformación f y la función real g, es
una función real continua definida sobre S.
qed
2.-Espacios Regulares y Segundo Contables
En esta sección se demostrará que toda superficie, es un espacio regular y
segundo contable, en consecuencia es metrizable y por lo tanto normal.
Recordemos que un espacio es segundo contable, si tiene una base contable
para su topología. Un espacio es regular si es T1, y los abiertos separan
puntos de conjuntos cerrados.
Para lograr este propósito, usaremos el
Lema de Urysohn: Sean A,B dos conjuntos cerrados ajenos y no vacíos.
Entonces existe una función real continua f: X→ [0,1] con valores en intervalo
[0,1], tal que
1 si x € A
( 2.1 )
f(x) =
0 si x € B.
2.1 Teorema. Una superficie en R3, es regular y segundo contable.
Demostración. El espacio euclidiano de dimensión n, es segundo contable, es
decir, tiene una base contable {An, n € N}, para su topología. Luego, la familia
23
{An∩S, n € N}
es una base contable para la topología de S. Lo cual implica que S es segundo
contable.
Ahora, sea B un subconjunto cerrado de la superficie S y x un punto de S que
no pertenece a B. Entonces, dado que R 3, es un espacio regular, existe un
cerrado F en R3 tal que B = F ∩ S. Puesto que x no pertenece a B tampoco
pertenece a F. Pero R3 es un espacio regular, luego, existen dos conjuntos
abiertos y ajenos U,V en R3, tales que x € U, F Ϲ V.
Entonces, x € U∩S, B Ϲ V∩S no pertenece a U ∩ S, lo cual implica que S es
regular.
2.2 Corolario. Una superficie en R3, es un espacio metrizable.
Demostración. Por el teorema de metrización de Urysohn todo espacio
regular y segundo contable, es metrizable. Es decir, existe una función
d : SxS → R
tal que
i) La distancia es una función real no-negativa.
d(x,y) ≥ 0
ii) La distancia entre dos puntos es cero si y sólo si los puntos son
iguales.
d(x,y) = 0 si y sólo si x = y.
iii) La distancia entre dos puntos es una función simétrica
d(x,y) = d(y,x,), x,y en S.
iv) La distancia satisface la desigualdad del Triángulo.
d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z).
2.3 Teorema. Toda superficie es un espacio normal.
Demostración. Por el corolario 2.2 toda superficie en R 3, es metrizable, es
decir, existe una función distancia definida en S.
Sean C, D dos conjuntos cerrados ajenos no vacíos. Consideremos la función
f(x) = d(x,C)/ d(x,C)+d(x,D).
La función está bien definida, es decir, d(x,C) + d(x,D) > 0.
24
En efecto si
d(x,C) + d(x,D) =0.
entonces,
d(x,C) = d(x,D) = 0
luego, existe x € C∩D , lo cual contradice la hipótesis de que C y D, son
ajenos. La función f es continua y toma valores en el intervalo [0,1], y toma
los valores 0,1 en los conjuntos C, D respectivamente. Entonces por el lema de
Urysohn, el espacio S es normal.
qed
Finalmente, en esta sección enunciaremos
Representación de Riez.
el famoso teorema
de
Una función real f : S → R, es acotada si existe un real positivo M, tal que el
módulo If(x)I < M .
Vamos a designar por C(S) la clase de las funciones reales continuas definidas
en la superficie S.
La función
II
II : S→ R,
definida por
II f II = sup {If(x)I : xέ S},
es una norma sobre C(S).
Teorema de Representación de Riesz. Sea G una funcional lineal continua
sobre el espacio lineal normado C(S), formado por las funciones reales
continuas definidas en una superficie compacta S. Entonces, existe una
medida con signo σ definida en los conjuntos de Borel de S, tal que para toda
funcional lineal continua G,
G(f) = ʃfd σ.
25
Una sucesión {fn, n έ N} de funciones reales continuas converge débilmente
a la función f, si para toda funcional lineal continua G sobre C(S), vale que
G(f n) → G(f).
26
IV. Vectores Aleatorios con Valores en una Superficie ..
En este capítulo vamos a considerar un espacio con una medida de
probabilidad (Ω, F, P), donde la función P: F→R3, es una medida de
probabilidad definida sobre el σ-campo F.
Sea (S,A) una pareja ordenada formada por una superficie S en R 3 y la familia
A formada por los conjuntos abiertos de S, es decir, vamos a considerar el
espacio topológico (S,A) formado por una superficie y su topología.
Vamos a denotar por B(S) el campo de Borel de la superficie S, es decir el σcampo mínimo que contiene los conjuntos abiertos A de S.
(1.1)
B(S) = σ (A).
1. Vectores Aleatorios
1.1 Definición. Un vector aleatorio con valores en una superficie regular S en
R3, es una función
(1.2)
X: (Ω, F, P) → (S, A)
Borel medible, es decir, la imagen inversa bajo X del campo de Borel de la
superficie S, está contenido en F.
(1.3)
X-1 (B(S)) Ϲ F.
Denotaremos por M (Ω, S) la clase formada por los vectores aleatorios, con
valores en la superficie S.
1.2 Proposición. Una función X: Ω→S, es un vector aleatorio si y sólo si la
imagen inversa de todo conjunto abierto en S, pertenece a F.
(1.4)
X ε M(Ω , S) si y sólo si X-1 (A) ε F, A ε A.
Demostración. Supongamos que X-1(A) ε F, A ε A
Entonces
27
σ(X-1(A)) ε σ(F) ,
pero
X 1(B(S))= X-1 (σ(A))
= σ(X-1(A))
Ϲ σ(F) = F.
qed
En la sección 4 del capítulo I, observamos que la topología A, de una
superficie es segundo contable, es decir que la topología de una superficie
tiene una base contable. Sea B = {Bn , n ε N} una sucesión de conjuntos
abiertos tales que todo abierto U en la superficie, es unión de una subsucesión
de {Bn, n ε N}.
1.3 Proposición. Una función X: Ω → S, es un vector aleatorio, si y sólo si la
imagen inversa de todo abierto básico Bn, es medible.
X ε M(Ω , S) si y sólo si X-1(Bn) ε F, n ε N
Demostración. Supongamos que
X-1 (Bn) ε F.
Sea A un abierto en la superficie S, entonces existe una subsucesión {Bk},
de la sucesión {Bn} tal que
A = U Bk ,
En consecuencia
X-1 (A) = UX-1(Bk) ε F.
qed
Finalmente, vamos a considerar funciones f : (S, A) → (T, B) cuyo dominio y
codominio son superficies regulares en R3.
1.4 Definición. Una función f : S → T, definida en la superficie (S, A) y que
toma valores en la superficie (T, B), es Borel medible si la imagen inversa de
todo conjunto de Borel de T, pertenece al campo de Borel de (S, A)
28
Vamos a designar la familia de funciones Borel medibles de S en T, por
M(S,T). Entonces
f ε M(S,T) si y sólo si f-1( B(T)) Ϲ B(S).
1.5 Proposición. Sea Y la compuesta del vector aleatorio X, seguida de la
función Borel medible f. Entonces
Y: (Ω, F, P) → (T, B(T)),
es un vector aleatorio con valores en la superficie (T, B).
Demostración. X ε M (Ω, S), por hipótesis, luego
X-1(B(S)) Ϲ F.
Ahora, la función f: (S, B(S)) → (T,B(T)),es Borel medible, por hipótesis,
luego
f-1(B(T)) Ϲ B(S).
En consecuencia
Y-1(B(T)) = X-1(f-1(B(T))) ϹF
lo cual demuestra que Y es un vector aleatorio con valores en la superficie
(T,B(T)).
qed
2.- Distribución de Probabilidad de un Vector Aleatorio.
Sea (Ω, F, P) un espacio medible con una medida de probabilidad y sea
(S,A), una superficie en R3. La distribución de probabilidad de un vector
aleatorio X ε M(Ω, S) con valores en una superficie S, es una medida de
probabilidad en S.
2.1 Definición. La distribución de probabilidad de un vector aleatorio
X ε M(Ω,S) es la función real PX : B(S) → R, definida por la ecuación
(2.1)
PX (B) = P( X -1 (B)).
29
2.2 Proposición. La distribución de probabilidad de un vector aleatorio
X ε M(Ω,S) con valores en una superficie S, es una medida de probabilidad
sobre el campo de Borel B(S) de la superficie S.
Demostración. i) P X (S) = P (X-1 (S)) = P( Ω) =1
ii) 0≤ PX (B) ≤ 1.
iii) Sea {Bn} una sucesión ajena de conjuntos de Borel de la
superficie S. Entonces
PX (U Bn) = P ( X-1(UBn))
= P( UX-1(Bn))
= ∑nP( X ε Bn)
= ∑n PX(Bn), n=1,2,3,…
qed
3.- Vectores Aleatorios con Distribución Absolutamente Continua
En esta sección definiremos el concepto de vector aleatorio con distribución
continua y presentamos algunos ejemplos de vectores aleatorios con
distribución continua.
Estudiaremos el caso de un vector aleatorio con distribución uniforme y
consideraremos el caso de una función de densidad sobre la esfera.
3.1 Definición. Un vector aleatorio X: (Ω, F, P) → (S, B(S)) con valores en
una superficie, tiene una distribución continua si su distribución de
probabilidad es absolutamente continua con respecto a la medida de área de la
superficie.
Por el teorema de Radon–Nikodym, existe una función real, Borel medible no
negativa, f tal que
(3.1)
P(Xε B) = ∫ B f dS.
La función real f: S→ R, definida sobre la superficie S, es la función de
densidad del vector aleatorio X.
3.2 Ejemplo. Gráfica de una Función Lineal Real de dos Variables. La gráfica
de la función lineal
30
f(x,y) = ax+by+c : D→ R,
donde D es un subconjunto no vacío de R2 , es el conjunto
G(f) ={ (x,y,z) ε R3 : z = ax+by +c }.
La gráfica de esta función está parametrizada por la función σ : D→ R 3,
definida por
(3.2)
σ(x,y) = (x,y,f(x,y))= (x,y, ax+by +c).
Los vectores tangentes a las curvas paramétricas son
(3.3)
σ1 = (1,0, a), σ2 = (0,1,b).
Los coeficientes de la primera forma fundamental, son
(3.4)
E=1+ a2, F= ab, G = 1+ b2,
y el determinante de la primera forma fundamental es
(3.5)
EG‒F2 = 1 + a2 + b2.
El área de la gráfica de la función f, es
(3.6)
A(G(f))) =(a2 +b2 +1)1/2 A(D).
donde A(D) es el área de D.
3.2 Ejemplo. Vector Aleatorio con Valores en la Esfera Unitaria. Sea
(3.7)
σ (φ, θ) = (senφ cosθ , senφ senθ , cosφ ) : (0,π)x (0, 2π)→ R 3
una parametrización de la esfera unitaria S .Queremos calcular la probabilidad
de que un vector aleatorio X : Ω → S con función de densidad
(3.8)
f(x,y,z) = 3z2 /4π : (0,2π) x (0.π)→R3
31
se encuentre en la imagen A de la región R = (0,π)x (0, π).
Solución; La probabilidad de que X se encuentre en la imagen del rectángulo
R, es
P(X ε A) =∫A 3z2 /4π dS = 3/4π∫A z2 dS = (3/4π)(2π/3) =1/2π.
3.3 Ejemplo. El Cono Circular recto.
Una parametrización del cono circular recto C, es la función
σ: (0,1) x (0, 2π )→R3 ,
definida por
(3,9)
σ(r,θ) = (rcosө, rsenө, r)
Los vectores tangentes a las curvas paramétricas son
(3.10)
σ1 = (cosθ, senθ, 1), σ2 = (‒rsen ө, rcos ө, 0).
Los coeficientes de la primera forma fundamental, son
(3.11)
E =2 F=0
G = r2.
El determinante de la primera forma fundamental del cono circular recto C, es
(3.12)
EG‒F2 = 2r2
El vector normal al cono circular recto, es
(3.13)
N= (‒rcosθ, ‒rsenθ, r).
El área del cono es
(3.14)
A(C) =π(2)1/2 .
La ecuación del plano tangente al cono circular recto, en el punto
(rcosθ, rsenθ, r) es
32
z = xcosθ ‒ ysen θ.
(3.15)
La integral de superficie de una función real continua
f: C → R
definida en el cono circular recto C, es
∫ f dS= ∫ f(rcos ө , rsen ө ,r)r (2)1/2 drdθ .
(3.16)
4. Momentos de un Vector Aleatorio.
En esta sección definimos la esperanza de un vector aleatorio que toma
valores en una superficie S en R3, y presentamos algunas de sus propiedades.
4.1 Definición. La esperanza de un vector aleatorio X : Ω→ S, con valores
en una superficie S y función de densidad f, es
(4.1)
E(X) = ( E(X),E(Y),E(Z) ) = ( ∫ xfdS, ∫ yfdS, ∫ zfdS).
4.2 Definición Un vector aleatorio X: Ω → S, con valores en la superficie S,
con área finita, tiene distribución uniforme , si su función de densidad es
constante.
Escribimos Xε U(Ω, S) si y sólo si f (σ(u,v)) = k
4.3 Proposiciòn. La función de densidad de un vector aleatorio X €U(Ω,S)
con distribución uniforme, con valores en la superficie S es igual al recíproco
del área de S.
Demostración. Supongamos que X tiene una distribución uniforme en
S, es decir f( σ(u,v) ) = k. Entonces
entonces
1 = ∫ fdS = k ∫dS = k A(S),
k =1/A(S).
qed
33
4.4 Ejemplo. La esperanza de un vector aleatorio X: Ω→ S con distribución
uniforme, es
E(X) = ( ∫xdS, ∫ydS , ∫ zdS )/A(S).
4.5 Ejemplo Sea X: Ω → S, un vector aleatorio con distribución uniforme en
la esfera unitaria
σ(θ,φ) = (cosθsenφ , senθsenφ ,cosφ ), : (0,2π ) x (0.π)
La función de densidad de X es
f(σ (θ , φ)) = 1/4π .
La esperanza de X, es
(4.3)
E(X) = (0,0,0).
Definición. Los momentos de segundo orden de un vector aleatorio, son
(4.5) E(X2) = ∫ x2 f dS,
E(XY) = ∫ xy f dS, E(XZ) = ∫xz fdS,
E(YX) = E(XY),
E(Y2) = ʃ y2 fdS,
E(ZX) = E(XZ),
E(ZY) = ʃ zyfdS, EZ ) = ʃ z 2fdS.
E(YZ) = ʃyzfdS,
34