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Motivación
Modelo
Interpolación
Análisis de datos
Interpolación de series de paleoclima
Luis E. Nieto Barajas
Departamento de Estadística
ITAM
CCA – 14 de octubre de 2016
Luis E. Nieto Barajas
Interpolación bayesiana
CCA – 14 de octubre de 2016
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Interpolación
Análisis de datos
Contenido
1
Motivación
2
Modelo
3
Interpolación
4
Análisis de datos
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Modelo
Interpolación
Análisis de datos
Datos de cambio climático
Mediciones directas de dioxido de carbono en la atmósfera son recientes : 1950 ¿Cómo se sabe que hay calentamiento global ?
Se han diseñado mecanismos de medición de los gases de efecto invernadero en
la atmósfera de la tierra hasta 300 millones de años atras
Una de estas técnicas es la basada en muestreo de núcleos de hielo (ice core
sampling)
Se toman muestras de cilindros de hielo obtenidos perforando una cama de hielo o
glaciar
Estos cilindros contienen pequeñas burbujas de aire que atrapan una pequaña muestra
de la atmósfera
Los núcleos de hielo más profundos se extienden a 3.26 km de profundidad, muy cerca
de la cama de rocas de la tierra
Las mediciones más antiguas con esta técnica datan hasta 800,000 años atras
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Interpolación
Análisis de datos
Datos de cambio climático
¿Cómo determinan la fecha y las medidas de concentración ?
Una de las técnicas está basada en acumulación de nieve y en un modelo de flujo
mecánico
Otra técnica se basa en la densificación de la nieve para compensar entre la edad del
gas y la edad del hielo
En el 2007 EPICA (Proyecto europeo de núcleos de hielo en antártica) realizó
una perforación en la estación concordia (Domo C)
Se produjeron mediciones de los gases de efecto invernadero : dioxido de
carbono (CO2), metano (CH4) y temperatura (diferencias en la temperatura con
respecto a un valor de referencia)
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342
624
CH4
907
172
CO2
235
299
−10.6
−2.6
Temp
5.5
Datos de cambio climático
0
200
400
600
800
Thousand years before present
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Modelo
Interpolación
Análisis de datos
Datos de cambio climático
¿Cómo sabemos que las mediciones aproximadas de temperatura y CO2 son
adecuadas ?
Desde 1950 a la fecha existen mediciones directas y continuas de dióxido de
carbono y de temperatura
Es posible comparar las mediciones reales con las aproximaciones
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Interpolación
Análisis de datos
1106.5
CH4
1681.6
312
CO2
352
393
−0.2
0.3
Temp
0.9
Datos de cambio climático
1950
1960
1970
1980
1990
2000
2010
Years AD
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Interpolación
Análisis de datos
Datos de cambio climático
¿Qué dificultad presentan los datos de paleoclima ?
La temperatura y el CO2 fueron fechados usando escalas aproximadas,
produciendo observaciones en distintos momentos del tiempo
No sólo las variables están medidas en distintos tiempos sino también están
medidas en tiempos no equiespaciados
Problemas :
1
No es posible hacer un análisis de asociación (e.g. diagramas de dispersión o calcular
coeficiente de correlación)
2
No se pueden usar técnicas tradicionales de series de tiempo para predecir las series
Solución : Proponer un modelo para interpolar series no equiespaciadas para
producir series equiespaciadas
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Interpolación
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Estrategia
Producir observaciones equiespaciadas usando interpolación estocástica
Usamos un proceso gausiano con función de correlación parametrizada en
términos de funciones de supervivencia paramétricas
La estimación de los parámetros se hace de manera bayesiana
La interpolación se logra usando la distribución condicional predictiva de un nuevo
tiempo basada en los m vecinos más cercanos (kriging bayesiano)
El número de vecinos m es determinado por el usuario dependiendo del grado de
suavidad que se requiera o mediante un proceso de optimización
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Análisis de datos
Modelo
Sea {Xt } un proceso estocástico continuo con índices t ∈ T ⊂ IR y valores en un
espacio de estados X ⊂ IR
Denotamos por Xt1 , Xt2 , . . . , Xtn una realización del proceso, observada en
tiempos no equiespaciados t1 , t2 , . . . , tn , y n > 0
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Modelo
Interpolación
Análisis de datos
Modelo
Sea {Xt } un proceso estocástico continuo con índices t ∈ T ⊂ IR y valores en un
espacio de estados X ⊂ IR
Denotamos por Xt1 , Xt2 , . . . , Xtn una realización del proceso, observada en
tiempos no equiespaciados t1 , t2 , . . . , tn , y n > 0
Suponemos que
Xt ∼ GP(µ, Σ(s, t)),
i.e., Xt sigue un proceso gaussiano con media constante µ y función de
covarianza Cov(Xs , Xt ) = Σ(s, t), donde
Σ(s, t) es isotrópica, i.e., función de |t − s|
Σ(t, t) = σ 2 > 0 constante
⇒ Σ(s, t) = σ 2 R(s, t), con R(s, t) la función de correlación
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Modelo
Notamos que R(s, t) isotrópicas se comportan como una fn. de supervivencia
Proponemos
Σσ2 ,θ,β (s, t) = σ 2 Sθ (|t − s|)(−1)β|t−s| , β ∈ {1, 2}
Sθ (t) es una función de supervivencia con parámetro θ
β = 1 permite correl. negativas y positivas para |t − s| impar o par, resp.
β = 2 ⇒ correl. positiva.
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Interpolación
Análisis de datos
Modelo
Notamos que R(s, t) isotrópicas se comportan como una fn. de supervivencia
Proponemos
Σσ2 ,θ,β (s, t) = σ 2 Sθ (|t − s|)(−1)β|t−s| , β ∈ {1, 2}
Sθ (t) es una función de supervivencia con parámetro θ
β = 1 permite correl. negativas y positivas para |t − s| impar o par, resp.
β = 2 ⇒ correl. positiva.
Caso Weibull :
α
Sθ (t) = e−λt , θ = (λ, α)
Si α = 1 ⇒ R(s, t) = e−λ|t−s| (exponencial)
2
Si α = 2 ⇒ R(s, t) = e−λ(t−s) (exponencial cuadrático)
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Interpolación
Análisis de datos
Modelo
Notamos que R(s, t) isotrópicas se comportan como una fn. de supervivencia
Proponemos
Σσ2 ,θ,β (s, t) = σ 2 Sθ (|t − s|)(−1)β|t−s| , β ∈ {1, 2}
Sθ (t) es una función de supervivencia con parámetro θ
β = 1 permite correl. negativas y positivas para |t − s| impar o par, resp.
β = 2 ⇒ correl. positiva.
Caso Weibull :
α
Sθ (t) = e−λt , θ = (λ, α)
Si α = 1 ⇒ R(s, t) = e−λ|t−s| (exponencial)
2
Si α = 2 ⇒ R(s, t) = e−λ(t−s) (exponencial cuadrático)
Caso Log-logistico :
Sθ (t) =
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1
, θ = (λ, α)
1 + λt α
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Interpolación
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Inferencia
Dist. iniciales :
2
µ ∼ N(µ0 , σµ
), σ 2 ∼ IGa(aσ , bσ ),
λ ∼ Ga(aλ , bλ ), α ∼ Un(0, Aα ) y β − 1 ∼ Ber(pβ )
Verosimilitud : La distribución conjunta de x = (xt1 , xt2 , . . . , xtn ) dado
η = (µ, σ 2 , θ, β) es una normal n−dimensional
−n/2
1
−1
(x − µ)
f (x | η) = 2πσ 2
|Rθ,β |−1/2 exp − 2 (x − µ)0 Rθ,β
2σ
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Interpolación
Análisis de datos
Inferencia
Dist. cond. finales :
 f (µ | rest) = N µ 1 0 −1
x Rθ,β
σ2
+
1 0 −1
1 Rθ,β 1
σ2
+
µ0
2
σµ
1
2
σµ
,
1 0 −1
1
1 Rθ,β 1 + 2
σ2
σµ
!−1 
,
aσ + n , bσ + 1 (x − µ)0 R −1 (x − µ) ,
θ,β
2
2
f (x | β = 1)(1 − pβ ) −1
β − 1 | rest ∼ Ber(pβ∗ ), pβ∗ = 1 +
,
f (x | β = 2)pβ
f (σ 2 | rest) = IGa σ 2
f (θ | rest) ∝ f (x | η)f (θ), θ = (λ, α)
Simular de µ,
σ2
y β es simple
Simular de θ = (λ, α) requiere pasos MH
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Modelo
Interpolación
Análisis de datos
Inferencia
Dist. cond. finales :
 f (µ | rest) = N µ 1 0 −1
x Rθ,β
σ2
+
1 0 −1
1 Rθ,β 1
σ2
+
µ0
2
σµ
1
2
σµ
,
1 0 −1
1
1 Rθ,β 1 + 2
σ2
σµ
!−1 
,
aσ + n , bσ + 1 (x − µ)0 R −1 (x − µ) ,
θ,β
2
2
f (x | β = 1)(1 − pβ ) −1
β − 1 | rest ∼ Ber(pβ∗ ), pβ∗ = 1 +
,
f (x | β = 2)pβ
f (σ 2 | rest) = IGa σ 2
f (θ | rest) ∝ f (x | η)f (θ), θ = (λ, α)
Simular de µ,
σ2
y β es simple
Simular de θ = (λ, α) requiere pasos MH
−1
Problema numérico : Calcular |Rθ,β | y Rθ,β
para n grande.
Solución : usar un subconjunto de puntos (e.g. 500)
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Interpolación
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Interpolación
Para interpolar usamos la dist. predictiva posterior condicional a un subconjunto
de m vecinos
Sea xs = (xs1 , . . . , xsm ) un conjunto de tamaño m de tiempos observados, t.q.
s = (s1 , . . . , sm ) son los m tiempos más cercanos al tiempo t
La dist. cond. de la variable no observada Xt dado xs es
f (xt | xs , η) = N xt | µt , σt2 ,
µt = µ + Σ(t, s)Σ(s, s)−1 (xs − µ) y σt2 = σ 2 − Σ(t, s)Σ(s, s)−1 Σ(s, t)
Finalmente, suponiendo (Xt , Xs ) son cond. indep. de x
Z
f (xt | xs , x) =
f (xt | xs , η)f (η | x)dη
la cual se aproxima via Monte Carlo
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Modelo
Interpolación
Análisis de datos
Interpolación
Considera el caso m = 2, xs = (xs1 , xs2 ) las dos obs. más cercanas al tiempo t,
entonces E(Xt | xs , η) es
µt = µ +
(ρt,s1 − ρt,s2 ρs1 ,s2 )(xs1 − µ) + (ρt,s2 − ρt,s1 ρs1 ,s2 )(xs2 − µ)
1 − ρ2s1 ,s2
,
El predictor puntual (la interpolación) es una combinación lineal de los vecinos xs con
pesos determinados por las correlaciones entre xt , xs1 y xs2
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Modelo
Interpolación
Análisis de datos
Interpolación
Considera el caso m = 2, xs = (xs1 , xs2 ) las dos obs. más cercanas al tiempo t,
entonces E(Xt | xs , η) es
µt = µ +
(ρt,s1 − ρt,s2 ρs1 ,s2 )(xs1 − µ) + (ρt,s2 − ρt,s1 ρs1 ,s2 )(xs2 − µ)
1 − ρ2s1 ,s2
,
El predictor puntual (la interpolación) es una combinación lineal de los vecinos xs con
pesos determinados por las correlaciones entre xt , xs1 y xs2
Interpolación lineal : Se basa en un proceso Browniano (Wiener), i.e.,
Xt ∼ GP(0, Σ(s, t)), Σ(s, t) = min{s, t}
En este caso E(Xt | xs ) es
µt =
(s2 − t)
(t − s1 )
xs +
xs
(s2 − s1 ) 1
(s2 − s1 ) 2
El predictor puntual (la interpolación) es una combinación lineal de los vecinos xs con
pesos determinados por las distancias entre xt , xs1 y xs2
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Modelo
Interpolación
Análisis de datos
Datos de cambio climático
Nos concentramos en Temperatura y CO2
Los datos de temperatura tienen 5, 788 observaciones mientras que el CO2 tiene
n = 1, 095 observaciones distribuidos en un intervalo de tiempo de 800, 000 años
atras
Los tiempos de medición son distintos
Calculamos las diferencias en los tiempos de observación ti − ti−1 y los
graficamos contra ti , para i = 1, . . . , n
Las medianas en las diferencias en los tiempos de medición son : 58 años para la
temperatura y 586 años para el CO2
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Modelo
Interpolación
Análisis de datos
−10
240
180
200
−5
220
C02
Temperature
0
260
280
5
300
Datos de cambio climático
0e+00
2e+05
4e+05
6e+05
8e+05
0e+00
2e+05
6e+05
8e+05
6e+05
8e+05
6000
0
3000
0
200
1000
2000
Time differences
4000
5000
1200
1000
800
600
400
Time differences
4e+05
Years before present
1400
Years before present
0e+00
2e+05
4e+05
6e+05
8e+05
0e+00
Years before present
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2e+05
4e+05
Years before present
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Modelo
Interpolación
Análisis de datos
Especificaciones del modelo
Ajustamos nuestro modelo a las dos series usando las sig. especificaciones
iniciales :
2 = 100, a = 2, b = 1, a = b = 1, A = 2 and p = 0.5
µ0 = 0, σµ
σ
σ
α
λ
λ
β
La inferencia posterior no es sensible a estas especificaciones ya que la longitud
de las series es grande
La función de covarianza se definió en términos de la la función Weibull y
Log-logística para comparar
Para la predicción se tomaron varios valores de m ∈ {2, 4, 10, 20}
El muestreador de Gibbs se corrió por 20,000 iteraciones con un periodo de
calentamiento de 2,000 manteniendo una de cada 10 simulaciones para reducir la
autocorrelación en la cadena
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Modelo
Interpolación
Análisis de datos
Ajuste del modelo
L(ν) =
n
n
o2
ν Xn
1X
Var(xiF |x) +
E(xiF |x) − xi , ν ∈ [0, 1]
n
n
i=1
i=1
m
L(0)
Weibull
L(0.5)
L(1)
2
4
10
20
1.479
1.450
1.442
1.439
1.991
1.974
1.964
1.969
2.504
2.498
2.486
2.498
2
4
10
20
60.572
60.395
60.353
60.422
87.100
87.069
87.353
86.537
113.628
113.744
113.554
113.252
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B
L(0)
Temperature
1.025
1.476
1.045
1.446
1.043
1.427
1.059
1.424
CO2
53.056
59.651
53.349
59.907
53.202
59.134
52.830
59.740
Interpolación bayesiana
Log-logistic
L(0.5)
L(1)
B
1.990
1.975
1.959
1.960
2.505
2.505
2.491
2.496
1.029
1.059
1.064
1.072
86.232
86.519
85.664
86.149
112.812
113.130
112.195
112.558
53.161
53.223
53.061
52.818
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Motivación
Modelo
Interpolación
Análisis de datos
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Funciones de correlación
0e+00
2e+05
4e+05
6e+05
8e+05
0e+00
2e+05
x
4e+05
6e+05
8e+05
x
F IGURE : Estimaciones de la función de correlación para los datos de temperatura.
Weibull (izq.) y Log-logística (der.)
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Modelo
Interpolación
Análisis de datos
Interpolaciones
Procedemos a producir interpolaciones con el modelo Log-logistic y con m = 10
vecinos ya que con él se obtienen las menores varianzas
Las nuevas series interpoladas se generan con un espaciamiento de 100 y 1000
años para comparar
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Motivación
Modelo
Interpolación
Análisis de datos
−10
−5
0
5
Interpolaciones Temperatura : original, cada 100 y cada 1000
0e+00
2e+05
4e+05
6e+05
8e+05
6e+05
8e+05
6e+05
8e+05
−10
−5
0
5
Years before present
0e+00
2e+05
4e+05
−10
−5
0
5
Years before present
0e+00
2e+05
4e+05
Years before present
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Motivación
Modelo
Interpolación
Análisis de datos
180
200
220
240
260
280
300
Interpolaciones CO2 : original, cada 100 y cada 1000
0e+00
2e+05
4e+05
6e+05
8e+05
6e+05
8e+05
6e+05
8e+05
180
200
220
240
260
280
300
Years before present
0e+00
2e+05
4e+05
180
200
220
240
260
280
300
Years before present
0e+00
2e+05
4e+05
Years before present
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Motivación
Modelo
Interpolación
Análisis de datos
5
Dispersión CO2 vs. Temp (serie equiespaciada cada 100 años)
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Luis E. Nieto Barajas
Interpolación bayesiana
CCA – 14 de octubre de 2016
24 / 25
Motivación
Modelo
Interpolación
Análisis de datos
5
Dispersión CO2 vs. Temp (serie equiespaciada cada 100 años)
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Corr. Pearson : Media 0.86, IC al 95% (0.858, 0.872)
Tau de Kendall : Media 0.66, IC al 95% (0.647, 0.667)
Rho de Spearman : Media 0.85, IC al 95% (0.843, 0.859)
Luis E. Nieto Barajas
Interpolación bayesiana
CCA – 14 de octubre de 2016
24 / 25
Motivación
Modelo
Interpolación
Análisis de datos
Referencias
Nieto-Barajas, L. E. & Sinha, T. (2015). Bayesian interpolation of unequally
spaced time series. Stochastic Environmental Research and Risk Assessment 29,
577–587.
Luis E. Nieto Barajas
Interpolación bayesiana
CCA – 14 de octubre de 2016
25 / 25