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TEMA 6: SEMAJANZA, TRIGONOMETRÍA Y PROBLEMAS MÉTRICOS
6.1 SEMEJANZAS.
6.1.1 Figuras semejantes.
.- Definición:
Dos figuras que tienen la misma forma se llaman semejantes
Los elementos (puntos, lados, ángulos, …) que se corresponden en una
semejanza se denominan elementos homólogos. Dos figuras semejantes tienen los
lados correspondientes proporcionales y los ángulos correspondientes iguales.
Dicho de otra manera, dos figuras serán semejantes si sus ángulos son iguales y sus
lados correspondientes proporcionales.
Todas las esferas y todos los poliedros regulares del mismo tipo son
semejantes entre sí.
.- Razón de semejanza. Escala.
El cociente entre las longitudes de los lados homólogos de dos figuras
semejantes será la razón de semejanza. Y es un valor constante para esas dos figuras,
por lo que suele representarse por la letra k.
Los modelos, maquetas, planos o mapas representan realidades u objetos en
menor tamaño. La razón de semejanza que se utiliza en ellos recibe el nombre de
escala. Para calcularla se divide una longitud medida en el modelo, plano o mapa, entre
la longitud correspondiente en la realidad.
.- Perímetros, áreas y volúmenes de figuras semejantes.
Si k es la razón de semejanza de dos figuras:
 k será la razón de sus perímetros.
 k2 será la razón de sus áreas.
 k3 será la razón de sus volúmenes.
6.1.2 Teorema de Tales y su recíproco.
.- Teorema.
“Los segmentos determinados al cortar dos rectas secantes por una serie de
rectas paralelas son proporcionales entre sí”.
Por lo tanto se cumple:
OA' OA A' A


OB ' OB B' B
.- triángulos en posición de tales: los triángulos que tienen un ángulo
que coincide o es opuesto por el vértice, y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos,
se dice que están colocados en posición de tales. Y si están en dicha posición, del
teorema anterior se deduce que tienen los lados proporcionales.
6.1.3 Semejanza de triángulos
.- Criterios de semejanza de triángulos
Atendiendo a polígonos semejantes, serán semejantes si tienen los lados proporcionales
y los ángulos iguales. Pero no es necesario conocer los 3 lados y los 3 ángulos para saber si son
semejantes.
 criterio 1: son semejantes si tienen los 3 lados proporcionales. Porque si
tienen los 3 lados proporcionales sólo puede tener los 3 ángulos iguales.
 criterio 2: son semejantes si tienen 2 proporcionales y el ángulo
comprendido igual. En este caso el otro lado será proporcional y los 2
ángulos que faltan sólo pueden ser iguales.
 criterio 3: son semejantes si tienen 2 ángulos iguales. De esta forma el
tercer ángulo sólo puede ser igual y los lados serán proporcionales pq se
cumple el teorema de tales.
.- Triángulos rectángulos semejantes:
En estos triángulos los criterios de semejanza se concretan en que 2 triángulos
rectángulos son semejantes si tienen:
 un mismo ángulo agudo. (con el agudo y el ángulo recto ya
cumplen el 1º criterio de semejanza)
 dos pares de lados homólogos. (si son los dos catetos el ángulo
comprendido es el recto y es igual en ambos triángulos => cumple 2º
criterio de semejanza; si es un cateto y la hipotenusa, teniendo en
cuenta que tiene que haber un ángulo recto formado por dicho cateto
y el otro, el ángulo comprendido entre los dos primeros lados será
igual en ambos triángulos y, por lo tanto se cumplen el 1º y el 2º
criterio de semejanza)
.- Consecuencias de los criterios de semejanzas de triángulos:
 Todos los triángulos equiláteros son semejantes. Puesto que sus 3
ángulos son iguales podemos aplicar el 1º criterio.
 Todos los triángulos rectángulos isósceles son semejantes. además
del ángulo recto, en un triángulo rectángulo isósceles los otros dos
ángulos son iguales (45º) y. por lo tanto cumplen el 1º o el 3º
criterio.
 El segmento que une los puntos medidos de dos lados de un
triángulo es paralelo al tercer lado y su longitud es igual a la
mitad de este. (formando entonces un triángulo semejante al inicial)
 Puesto que los polígonos se pueden descomponer en triángulos
uniendo un vértice con los restantes o el centro con los vértices, si los
triángulos que se obtienen son semejantes, entonces los lados de los
polígonos y sus diagonales son proporcionales y los ángulos son
iguales. Y por lo tanto estaremos ante polígonos semejantes.
6.1.4 Aplicaciones métricas.
.- Relaciones métricas del triángulo rectángulo.
Observa que la altura sobre la
hipotenusa h descompone al triángulo
rectángulo ABC en otros 2 triángulos
rectángulos, siendo semejantes porque
tienen un mismo ángulo agudo. Por ser
semejantes cumplen los siguientes
teoremas métricos del triángulo
rectángulo:
 Teorema de la altura: la altura de un triángulo es el producto de los
2 segmentos en que se divide a la hipotenusa. h2 = n·m
Demostración: como son semejantes,
m h
  h 2  n·m
h n
 Teorema del cateto: el cuadrado de un cateto es el producto de la
hipotenusa por la proyección del cateto sobre ella.
b2=a·m
c2=a·n
Demostración: como son semejantes,
c n
b m
  c 2  a·n y
  b 2  a·m
a c
a b
 Teorema de Pitágoras: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de los catetos.
a2=b2+c2
Demostración: por el teorema del cateto,
2
b  c 2  a·m  a·n  a·(m  n) y como m+n=a => b2+c2=a2
.- Problemas de medidas.
A partir de las razones de semejanza de longitudes, áreas y volúmenes y otros
resultados que ya conocemos, como teoremas métricos de triángulos rectángulos y
fórmulas de áreas y volúmenes, se pueden resolver problemas relacionados con medidas
o con la interpretación de escalas y maquetas.
6.2 TRIGONOMETRÍA.
6.2.1 Definición.
La trigonometría es la ciencia cuyo objetivo es la medida de los lados y de los
ángulos de los triángulos. Viene del griego trigonon (triángulo) y metron (medida).
Está íntimamente relacionada con el estudio de la semejanza entre triángulos
rectángulos. Aplicando la razón de semejanza y el teorema de Pitágoras se pueden hallar
las longitudes de todos los lados de los triángulos, pero no es posible hallar la medida de
los ángulos, aquí es donde entra en juego la trigonometría.
6.2.2 Medidas de ángulos.
.- Grados sexagesimales (sistema métrico sexagesimal).
Un grado sexagesimal (º) es la noventava parte de un ángulo recto. Por lo tanto,
el valor de un ángulo completo, el de una circunferencia será 360º.
Un grado tiene 60 minutos (´) y un minuto 60 segundos (“).
.- Radianes (sistema internacional)
Un radian (rad) es el ángulo central que limita un arco de circunferencia cuya
longitud es igual al radio de la circunferencia. Puesto que la longitud de la
circunferencia es 2πr, un ángulo completo será 2π radianes.
.- Relación
Por lo tanto 360º equivalen a 2π rad.
360º
x

2rad 1rad
1 rad = 57º17’44”
.- Desplazamientos circulares.
Al realizar un desplazamiento circular hay que considerar el sentido de giro. en
el estudio de los ángulos se toma como referencia el sentido de las agujas del reloj.
se considera sentido positivo el contrario al desplazamiento de las agujas del
reloj y negativo el que coincide con el de las agujas del reloj.
6.2.3 Razones trigonométricas de ángulos agudos.
Las razones trigonométricas de un ángulo agudo (α) son relaciones que pueden
establecerse entre los lados de un triángulo rectángulo cualquiera que contenga dicho
ángulo. Como en dichos triángulos los lados son proporcionales, las razones serán
constantes y sólo dependerán del valor de dicho ángulo α.
c’
c
a’
a
α
b
α
b’
.- Razones:
 Seno de α (sen α): cociente o razón entre el cateto opuesto al ángulo
cateto  opuesto a' a
y la hipotenusa.
sen 
 
hipotenusa
c' c
 Coseno de α (cos α): cociente o razón entre el cateto contiguo al
ángulo y laq hipotenusa.
cateto  contiguo b' b
cos  
 
hipotenusa
c' c
 Tangente de α (tg α): cociente o razón entre el cateto opuesto y el
cateto contiguo al ángulo.
cateto  opuesto a' a
tg 
 
cateto  contiguo b' b
.- Propiedades elementales:
Puesto que cualquiera de los catetos será siempre menor que la hipotenusa, los
valores del sen y el cos del ángulo agudo estarán comprendidos entre 0 y 1. En cuanto a
tg puede ser cualquier nº real no negativo.
.- Otras razones trigonométricas: a partir de las inversas de las
anteriores.
1
sen
Cosecante de α (cosec α): cos ec 
1
cos 
Secante de α (sec α): sec  
1
tg
Cotangente de α (cotg α): cot g 
6.2.4 Razones trigonométricas de ángulo cualquiera.
Circunferencia goniométrica: circunferencia con centro en el origen de
coordenadas del plano cartesiano y radio la unidad.
En dicha circunferencia se pueden representar mediante segmentos las razones
trigonométricas de diferentes ángulos, de 0º a 360º, y conocer su signo en cada
cuadrante. Cada ángulo α determina un punto P(x,y) sobre la circunferencia. El radio y
las rectas paralelas a los ejes de coordenadas que pasan por dicho punto forman un
triángulo rectángulo, de forma que:
Y
P(x,y)
s
1
α
c
sen 
y
y
1
cos  
x
x
x
1
tg 
y
x
Las razones trigonométricas no dependen del radio, ya que cualquier triángulo
rectángulo que contenga el ángulo α es semejante. Además como r = 1 se cumple que:
sen  1
cos   1
Cuando el ángulo va recorriendo los distintos cuadrantes, tomando valores
mayores que 90º, los signos del sen, cos y tg varían de acuerdo a los ejes de
coordenadas.
1º cuadrante
2º cuadrante
Y
P(x,y)
P(x,y)
α
α
3º cuadrante
4º cuadrante
α
α
P(x,y)
Seno
Coseno
Tangente
P(x,y)
1º cuadrante
+
+
+
2º cuadrante
+
-
3º cuadrante
+
4º cuadrante
+
-
6.2.5 Razones trigonométricas de ángulos notables.
α
0º
30º
Sen α
0
1/2
45º
2
2
3
2
1
0
-1
0
60º
90º
180º
270º
360º
Cos α
1
3
2
2
2
1
2
0
-1
0
1
Tg α
0
3
3
1
3
∞
0
∞
0
6.2.6 Relaciones entre razones trigonométricas. Fórmulas notables.
.- Relaciones entre las razones de un mismo ángulo.
Si conocemos una de las razones trigonométricas de un ángulo α, es posible
calcular las restantes mediante las relaciones que existen entre ellas.
a2  b2 c2
a b
 2  1 => sen2 α + cos2 α = 1
    
2
c
c
c
c
   
Ec. Fundamental de la trigonometría
a
sen
sen c
  tg => tg α =
cos 
cos  b
c
2
1
sen  cos 2 
1
=> tg2 α + 1 =


2
2
2
cos 2 
cos  cos  cos 
2
2
.- Relaciones entre las razones de ciertos ángulos.
Ángulos complementarios: α y 90º-α.
Los puntos de corte con la circunferencia goniométrica son P(x,y) y P’(x’,y’)..
En este caso:
P’(x’,y’)
90º-α
P (x,y)
α
x’ = y
y’ = x
=>
=>
cos (90º-α) = sen α
sen (90º - α) = cos α
sen(90º  ) cos 
1
1
tg (90º - α) =
=> tg (90º - α) = 1/tg α



sen

cos(90º  ) sen
tg
cos 
Ángulos suplementarios: α y 180º - α.
En este caso los puntos P y P’ son simétricos respecto del eje de ordenadas (eje
y), por lo que:
P’ (x’,y’)
P (x,y)
180º-α
x’ = -x
y’ = y
cos (180º - α) = -cos α
sen (180º - α) = sen α
sen(180º  )
sen
tg (180º - α) =

 tg
cos(180º  )  cos 
α
=>
=>
=> tg (180º - α) = -tg α
Ángulos que difieren en 180º: α y 180º +α.
Los puntos P y P’ son simétricos respecto al origen de coordenadas y por lo
tanto:
P (x,y)
180º+α
α
P’ (x’,y’)
cos (180º + α) = -cos α
sen (180º + α) = -sen α
sen(180º  )  sen
tg (180º + α) =

 tg =>
cos(180º  )  cos 
x’ = -x
y’ = -y
=>
=>
tg (180º + α) = tg α
Ángulos opuestos: α y –α.
P y P’ son simétricos respecto del eje de abscisas (eje x), dando lugar a:
P (x,y)
α
-α
P’ (x’,y’)
x’ = x
y’ = -y
=>
cos (–α) = cos α
=>
sen (-α) = -sen α
sen( )  sen
tg (-α) =

 tg
cos(  )
cos 
=> tg(-α) = - tg α
Ángulos que difieren un número entero de vueltas: α y (α +k·360º)
En este caso P y P’ son el mismo punto y por lo tanto sus razones
trigonométricas serán las mismas:
P(x,y)=P’ (x’,y’)
α
x’ = x
y’ = y
=>
=>
cos (α+k360º) = cos α
sen (α+k360º) = sen α
tg (α+k360º) = tg α
6.2.7 Problemas métricos. Aplicación de la trigonometría.
.- Resolución de triángulos rectángulos.
Para resolver un triangulo rectángulo hace falta conocer 2 de sus elementos,
uno de los cuales debe ser necesariamente un lado.
 se conocen 2 lados: se conocerá el tercero aplicando Pitágoras y
entonces podremos calcular los ángulos a partir del calculo de las
razones trigonométricas.
 se conoce un lado y un ángulo: en este caso, los lados desconocidos
se pueden calcular aplicando la razón trigonométrica adecuada sobre
el ángulo conocido (el 3º lado se podría calcular por Pitágoras).
.- Resolución de triángulos cualesquiera.
 Teorema del seno: usando sólo geometría podemos encontrar una
relación entre el seno de un ángulo interior de un triángulo y la
longitud del lado que lo enfrenta. Esta relación es el teorema del
seno: los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de
los ángulos opuestos.
Demostración 1:
Demostración 2: (partiendo del dibujo superior).
h1 
a
b
b 

  b·sen  a·sen 
h
sen sen
sen  1 
a 
sen 

a
b
c


sen sen sen
h2 
b
c
b 

  b·sen  c·sen 
h
sen sen
sen  2 

c
sen 
 Teorema del coseno: el cuadrado de un lado es igual a la suma de
los cuadrados de los otros dos menos el doble del producto de
estos lados por el coseno del ángulo comprendido entre ellos.
a2=b2+c2-2·b·c·cosÂ
Demostración:
del triángulo rectángulo BCH, por Pitágoras obtenemos:
a 2  h 2  (c  m) 2
De la misma forma, del triángulo AHC se saca:
h2=b2-m2
m=b·cosÂ
por lo que la igualdad inicial nos queda:
a2 = b2 – m2 + c2 + m2 – 2cm = b2 + c2 – 2bccosÂ