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V. La teoría cuántica moderna;
Schröedinger y el átomo de
hidrógeno
Alejandro Solano Peralta
La teoría cuántica
moderna;
MECÁNICA ONDULATORIA
DE SCHRÖEDINGER
1
de Broglie y la dualidad onda
partícula
En 1924, Louis De Broglie sugirió que la materia
(electrones, protones, neutrones, átomos y
moléculas, y en general a todas las partículas
materiales) tiene una naturaleza dual.
– E = h  (Planck, 1900)
– E = mc2 (Einstein, 1905)
h

mc

h
p
Confirmada experimentalmente por:
•Sir George Pajet Thomson & A. Reid utilizando una delgada lamina de metal
•Clinton J. Davisson & Lester Germer al difractar un haz de electrones sobre Ni (cristal)
se les premio concediéndoles el premio Nobel de Física en 1927
Heisenberg y el Principio de
incertidumbre
En 1927 Werner Karl Heisenberg* establece el
“principio de incertidumbre”:
• Es imposible determinar tanto posición y
momento de un electrón simultáneamente.
Si una cantidad es conocida entonces la
determinación de la otra cantidad será
imposible.
Werner
Heisenberg
DP Dx  h
D E D t  h / 4p
*Ganador del premio Nóbel en física 1932 por la creación de la mecánica cuántica
2
Mecanica cuántica
Paul Adrien
Maurice Dirac
•
Mecánica ondulatoria de
Schrödinger; en 1926 Schrödinger
trata de describir el
comportamiento del electrón en
términos de ecuaciones
diferenciales similares a las que
gobiernan el movimiento
ondulatorio (de ahí que se le
conozca como teoría ondulatoria
de la materia)
•
Mecánica matricial, propuesto por
W. Heisemberg en 1925 y
formalizado por Max Born y
Pascual Jordan en 1926, donde se
emplean matrices para representar
las variables de un sistema
Postulados del modelo de
Schroedinger
1.
Para cada sistema de N partículas existe una función, , la
cual es una función matemática que depende de las
coordenadas de las N partículas y del tiempo y que contiene
toda la información acerca del sistema. A esta función se le
suele denominar función de estado (función de onda) del
sistema ()
  x1 , y1 , z z , x 2 , y 2 , z 2 ,, x N , y N , z N , t )
3
Postulados del modelo de
Schroedinger
2.
Para cada observable físico (x, p, E, L,) existe un operador
lineal y hermitiano que aplicado a la función de onda me da
el valor de la propiedad por la función de onda, es decir, la
medición de este observable resulta ser un miembro del
conjunto de valores propios del operador.
Ĥ(x)  E  (x)
Operador
Función
(Ecuación de valores propios)
Observable (cte)
¿qué es un operador matemático
Postulados del modelo de
Schroedinger
3.
Si en el instante t se realiza una medición para localizar la
partícula asociada entonces la probabilidad P(x,t) dx de
encontrar a la partícula en una coordenada entre x y x + dx
es igual a , es decir
 P(x, t)dx   * (x, t)(x, t)dx  1
en este caso se dice que la función está normalizada.
4
Plausibilidad de la ecuación de
Schroedinger
Schrödinger t rata de describir el comportamiento del electrón en
términos de ecuaciones diferenciales similares a las que gobiernan el
movimiento ondulatorio. Entonces, es posible describ ir una función
que describa su comportamiento, Tal como la función que describe la
propagación de una onda sinusoidal:
 x

x, t )  A sen 2 π  υt 

 λ
Ecuacion gral. de
onda
Moviendose a una velocidad;
v  
 2 1  2

x 2 v 2 t 2
Ecuacion gral. del
movimiento ondulatorio
Plausibilidad de la ecuación de
Schroedinger
¿Cuál es esa función?
Esta función debe ser consistente con:
 = h / mv (de Broglie)
E = h  (Planck)
ETotal = Ek + V (Clásica)
Donde;
Ek =1/2 mv2
5
Plausibilidad de la ecuación de
Schroedinger
¿Cuál es esa función?
Esta función debe ser consistente con:
 = h / mv (de Broglie)
E = h  (Planck)
ETotal = Ek + V (Clásica)
Debe cumplir ciertos requisitos matemáticos como lo son:
•Ser finita
Una función que cumpla
•Continua
estas condiciones, se
•Univaluada
dice está bien
•Cuadrado integrable
condicionada
•Ser lineal
Plausibilidad de la ecuación de
Schrödinger
Una partícula libre moviéndose en el eje x,
  2  2 x, t )
x, t )

)

V
(
x
,
t
)

x
,
t

i

2m
x 2
t
fue propuesta por Schrodinger, por ello se le conoce como Ecuación de
Schroedinger,
(x, t )  (x)(t )
Pero, considerando únicamente la posición de la partícula
Ecuación de Schrödinger
  d 2 x )

)

V
(
x
)

x

E

(
x
)
independiente del tiempo
2m dx 2
6
Plausibilidad de la ecuación de
Schrödinger
Una forma simplificada de escribir la ecuación de Schroedinger es por
medio de un operador.
  d 2x )
 V( x )x )  E( x )
2m dx 2
Así, si se define el operador Hamiltoniano
  d2
Ĥ 
 V(x)
2 m d x2
entonces la ecuación queda simplificada de la siguiente manera:
Ĥ(x)  E  (x)
Tarea 9
• El operador Â=(d/dx – 3) es aplicable a las siguentes
funciones;
 f (x) = e –x
 f (x) = e x cos x
¿Son propias del operador? Si es así, indicar el valor
propio
• Aplique el operador  2 /  x2 sobre las funciones;
 (x,t) = e-xt
 (x,t) = sen(x-t)
¿Alguna de ellas es propia del operador?
7
¿Cuál es la forma de la función
de onda?
• Partícula en una caja de
potencial
  d 2x )
 E( x )
2m dx 2
d 2 ψx )
2 mE
  2 ψ(x)
2
dx

d 2f x )
 m 2 ( x )
dx 2
V=a
V=0
V=a
x
0
a
ψ(x)  A senmx)  B cosmx)
Condiciones a la frontera;
x = 0; (x) = 0
x = a; (a) = 0
 nπ 
sen(mx)  sen  x  ; n  +
 a 
f(x) = A sen (mx)
f(x) = B cos (mx)
¿Cuál es la forma de la función
de onda?
• Partícula en una caja de
potencial
 d 2x )

 E( x )
2m dx 2

V=a
V=0
V=a
x
0
a

 d2 
 nπ  
 nπ  
 A sen x    E A sen x  
2
2m d x 
 a 
 a 



 nπ  
 x )   A sen x   ; n  +
 a 

8
¿Cuál es la forma de la función
de onda?
• Partícula en una caja de
potencial
V=a

 nπ  
 x )   A sen x  
 a 

¿Y cuanto vale A?
V=a
V=0
x
0
a
Postulado 3;
condicion de
normalización
 P(x)dx   * (x)(x)dx  1
2

 np  
 (x) dx 0  A  sen a x   dx  1
a
2
1/ 2
2
A 
a
¿Cuál es la forma de la función
de onda?
• Partícula en una caja de
potencial
1/ 2
2
ψ(x)   
a
 nπ 
sen  x  ; n  +
 a 
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0.4
0.6
x/a
0.8
0.0
1.0
 (x)
 (x)
n=1
0.0
0.0
V=a
V=a
V=0
x
0
a
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
0.0
nodo n = 2
(x)=0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
1.0
x/a
9
¿Cuál es la forma de la función
de onda?
• Partícula en una caja de
potencial
V=a
V=a
V=0
 (x)
x
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
0.0
n = 2 1.0
 (x)
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
(x)
-0.8
-1.0
2
0.2
0.4
0.6
x/a
0.8
0
a
1/ 2
2
ψ(x)   
a
 nπ 
sen x 
 a 
1.0
¿Cuál es la forma de la función
de onda?
• Partícula en una caja de
potencial
V=a
V=0
V=a
E(h2/8ma)
x
0
16
a
n= 4
9
n= 3
4
n= 2
1
n= 1
h2  n2 
  ; n  +
E
8 m  a 2 
Diagrama de
niveles de energía
10
Tarea 10
• Calcule la probabilidad de que una partícula
este en el intervalo (0, a/4) cuando se
encuentre en el primer estado cuántico.
• ¿cuál seria la probabilidad de encontrar a la
partícula en el punto x=a/2 para n =1
¿Cuál es la forma de la función
de onda?
• Partícula en un cubo de potencial

2  2
2
2 
 2  2  2  ψx, y,z )  E ψ(x, y,z)
2m   x
y z 
Etot = Ex + Ey + Ez

2  2
2
2 
 2  2  2  ψx, y,z )  E x  E y  E z ) ψ(x, y,z)
2m   x
y z 
Por ser una función lineal
2 mE x
 2 ψx, y, z )

ψ(x, y, z)
2
x
2
2 mE y
 2 ψx, y, z )

ψ(x, y, z)
2
y
2
2 mE z
 2 ψx, y, z )

ψ(x, y, z)
2
z
2
11
¿Cuál es la forma de la función
de onda?
• Partícula en un cubo de potencial
Etot = Ex + Ey + Ez
Ex 
E to tal 
h 2  n 2x

8 m  a 2




2
h 2  n 2x n y n 2z 


8 m  a 2 b 2 c 2 
n x, n y, n z  +
¿Cuál es la forma de la función
de onda?
• El átomo de hidrógeno
 2  2

2
2 

  Vx, y, z ) x, y, z )  E  ( x, y, z)




2
2
2 

y z 
 2m e  x

Vx, y, z )  cte
 Ze 2
re  N
 1
 
 4 π ε 0

Ze 2

 x 2  y2  z2
12
Átomo de Hidrógeno
ˆ (x, y, z)  E  (x, y, z)
H
Vx, y, z )  cte
 Ze 2
re  N
 1
 
 4 π ε 0

Ze 2

 x 2  y2  z2
x, y, z)  r, , )
V r )  
1 Ze 2
4p   0 r
Átomo de Hidrógeno
ˆ (x, y, z)  E  (x, y, z)
H
x, y, z)  r, , )
Tarea 11; Buscar la conversión de
coordenadas cartesianas (x,y,z) a
coordenadas polares (r,,)
13
Ecuación de Schroedinger (1925)
i
t , x, y, z )
2  2

 t , x, y, z )  V x, y, z, t )t , x, y, z )
t
2m
2 ; Nabla cuadrado; operador laplaciano
 2 2
2
2
  2  2  2 (cartesianas)
x
y
z

1   2 
1
 
 
1
2
r

sin


(esféricas)




r 2 r  r  r 2 sin   
  r 2 sin 2   2
Átomo de Hidrógeno
ˆ (x, y, z)  E  (x, y, z)
H
 2  2

2
2 
 2  2  2   V x, y, z ) x, y, z )   E  ( x, y, z )



y
z 
 2me  x

x, y, z)  r, , )
 2

 2  Vr )r, , )  E  (r, , )

 2m e

 )
14
Formulación moderna de la ec. De
Schroedinger

d
p̂

Ĥ t )  i t ) 
t )  V r̂ , t )t )
dt
2m
i; es la unidad imaginaria
ħ; constante de planck generalizada
Ĥ; es el operador Hamiltoniano dependiente del tiempo
p; Es el impulso (observable)
r; Es la posición (observable)
Erwin Schrödinger (1926), «An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms
and Molecules», Phys. Rev. 28, 1049.
Átomo de Hidrógeno
ˆ (r, , )  E  (r , , )
H
 2

 2  Vr )r, , )  E  (r, , )

 2m e

 )
2 
1 2 
1
2
1
 
 

r
 2 2
 sen 
r r  r  r sen   2 r 2 sen  
 
nlm r, , )  R nl r )  lm )   m )
Numero
cuántico
Valor
Descripción
n
1, 2, 3, 4, 5, . . . . .
Principal
l
0, 1, 2, . . . , n-1
Azimutal o de forma
-l, -l+1, . . , 0, . . . , +l-1, +l
Magnético
ml
Todos los numero cuánticos son números enteros y sus valores no pueden elegirse al azar
15
Átomo de Hidrógeno - Energía
0
 1 
 2
2  n 
Z2mee4
4p 0 )
2
-5
2
E (eV)
E
-10
-15
-50
1
2
Z
Diagrama de los niveles de energía del átomo de hidrógeno
(Z=1) y del ion He+ (Z=2)
Átomo de Hidrógeno - función de
onda ()
Las funciones de onda del hidrógeno reciben también el nombre de
orbitales atómicos simbolizados como:
nl
así mismo la notación que se usa para designar el momento angular es:
Valor de l
Símbolo Definición
0
s
exacto (sharp)
1
p
principal
2
d
difuso
3
f
fundamental
4
g
...
5
h
...
Así, un orbital 1s es la función de onda  100 con n = 1, l = 0 y m = 0
16
Átomo de Hidrógeno – función de
onda ()
Expresiones matemáticas de las funciones de onda normalizadas para el átomo de hidrógeno
Números
cuánticos
n
l
Función
de onda
Simbología
Eigen-función
m



3/ 2
1
0
0
 100
1s
100 
1 Z

p  a 0
2
0
0
 200
2s
200 
1 Z

4 2p  a 0
2
1
0
 210
2pz
210 
1 Z

4 2p  a 0
2
1
+1
 21+1
2px, y
211 
1 Z

8 p  a 0
e  Zr / a 0









3/ 2
3/ 2
3/ 2

Z  r   Zr / 2a 0
 2 
e
a 0 

Z  r  Zr / 2a 0
e
 cos 
a0
Z  r  Zr / 2a 0
e
sen  e i
a0
Átomo de Hidrógeno – función de
onda ()
• Tarea 12;
– Graficar, en hojas de papel polar, las
funciones de onda (n,l) para los orbitales
1s, 2p y 3d
17
Átomo de Hidrógeno – función
de onda ()
Función de onda radial
Orbital rmax (a0)
nodos
1s
1
a
2s
0.8
0.53
5.2
Orbitales s
Orbitales p
Átomo de Hidrógeno – función
de onda ()
Funciones de densidad radial y de probabilidad radial para el orbital 1s
Calcular la probabilidad de encontrar al
electrón en una esfera de radio r y
espesor dr.
orbital 1s
V = 4πr3 /3
R2 (r)dV = 4πr2 R2 (r)dr
que se denomina función
de
probabilidad radial (o función de
distribución radial).
18
Átomo de Hidrógeno – función
de onda ()
Funciones de densidad radial y de probabilidad radial
orbital 1s
orbitales 2s y 2p
Probabilidad de encontrar al electrón
(3er. Postulado del modelo mecánico cuántico)
No se puede saber dónde está el electrón en un momento dado, pero sí cuál sería la
probabilidad de encontrarlo en algún lugar
El orbital es una abstracción matemática que se
puede relacionar con la región en la cual es más
probable encontrar el electrón, y esta región puede
tener forma.
Postulado por Max
Born en 1930
Diagrama de contorno,
P(x) = 90%
REEMPE; región de espacio energética de manifestación probabilística
electrónica
19
Dependencia radial de los orbitales
hidrogenoides
0.8
2.0
p 2p
 
2
sin   d  d  r 2  dr  4pr 2  R 2 r )dr
(condición de Born)
0 0
Dependencia angular de los orbitales
hidrogenoides
20
Átomo de Hidrógeno - Energía
E
 1 
 2
2 2  n 
Z2mee4
4p 0 )
2
Diagrama de niveles de energía para el átomo de hidrógeno,
(Z=1)
Ocupación de los orbitales
E. C. Stoner (1924) encontro las ocupaciones de:
Ocupación de e- subcapa
2
s
6
10
14
p
d
f
A. Lande
B )
g
L )
g = factor de Lande o giromagnético
B= magneton de Bohr
B 
eh
4pme
21
Bibliografía
•
L O S A L A M O S N A T I O N A L L A B O R A T O R Y, Operated by the
University of California for the US Department of Energy,
http://pearl1.lanl.gov/periodic/default.htm
•
•
environmentalchemistry.com; información
http://environmentalchemistry.com/yogi/periodic/
22