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[MODELO CUANTICO DEL ATOMO DE HIDROGENO] FISICA ATOMICA Y NUCLEAR
MODELO CUANTICO DEL ATOMO DE HIDROGENO
El modelote Bohr considera al electrón como una partícula en orbita alrededor del nucleo en
niveles de energía cuantizados no radiantes. Este modelo nos lleva a un análisis que
combina conceptos de física clásica y física cuántica. Si bien
en algunos resultados experimentales el modelo coincide con
éxito, no es capaz de explicar, por ejemplo la “división” de las
líneas espectrales .
Estas dificultades se eliminan cuando se utiliza un modelo
completamente cuantico que incluya la ecuación de
Schrodinger, para describir el átomo de hidrogeno.
LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
El problema que queremos resolver es como definir
matemáticamente el movimiento de un electrón en un átomo
alrededor de su núcleo. Partiremos del caso general y
después lo concretaremos.
Objetivo:
Determinar
los
estados posibles y
niveles de energía
del
átomo
de
hidrógeno y átomos hidrogenoides (átomos con un
sólo electrón). El conocimiento de los niveles de
energía servirá para explicar los espectros de
emisión/absorción del átomo de hidrógeno.
Sistema:
Un electrón y un núcleo que interaccionan mediante
un potencial Coulombico.
donde Z es el numero atómico, e es la carga del
electrón, r1 y r2 lo radio-vectores del núcleo y el
electrón, y  ' ε es una constante conocida como
permitividad en el vacío.
Contribuciones a la energía:
Energía cinética del electrón, energía cinética del
protón y energía potencial electrón-núcleo. De modo
que el Hamiltoniano que describe el sistema será:
siendo ħ la constante de Dirac.
El movimiento de dos partículas puede
separarse en el movimiento del centro de masa
del sistema y el movimiento relativo de las dos
partículas y esto afectará al hamiltoniano.
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Esto mismo se puede ver matemáticamente. Consideramos el cambio a una sola dimensión
(X) y a M la masa del centro de masas y a μ la masa reducida del sistema, tal que:
M  m1  m2

m1  m2
m1  m2
Después del cambio de variable del Hamiltoniano tenemos la Ecuación de Schrödinger
(independiente del tiempo) para el sistema:
La ecuación diferencial es separable en unas coordenadas que describen el movimiento del
centro de masa del sistema {X,Y,Z} y unas coordenadas internas {xrel,yrel, zrel}. La solución del
movimiento del CDM sería la de la partícula libre de masa M= m1+m2 .La energía
correspondiente es la energía translacional del sistema.
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Pero el movimiento que nos interesa definir es el movimiento relativo entre el electrón y el
protón. Tras el cambio de variable, el sistema se puede considerar como el de una partícula
de masa μ que se mueve respecto al centro de coordenadas.
La forma del potencial (depende únicamente de la distancia
al centro de coordenadas) hace que sea más factible
resolver la ecuación diferencial en, coordenadas esféricas.
Antes de seguir adelante conviene conocer como es este
cambio de coordenadas cartesianas a esféricas.
Sustitución de coordenadas cartesianas por esféricas
Partimos de la siguiente ecuación en coordenadas cartesianas:
2  2
2
2 
1 Ze2
 2  2  2  
H 
2  xrel
yrel z rel  4 0 r

La relación entre las coordenadas polares y cartesianas es:
x = rsenθ cos ,
y = rsenθsen ,
z = r cosθ
de donde se deduce que

 cos cos  
sen  
 sen  cos  

x
r
r
 rsen  

 cossen  
cos 
 sen sen  

y
r
r
 rsen  

 sen 
 cos 

z
r
r 
Elevando al cuadrado cada uno de los operadores anteriores y sumando, obtenemos el
operador  2 (grad 2 ) en coordenadas polares esféricas:
2
2
2

 cos  cos  
sen  
 

  grad  2  2  2 =  sen cos  
xrel yrel zrel 
r
r
 rsen  
2
2
 sen  

 cos sen 
cos    

 +  cos 


 =
+  sensen

r
r  

r
r


rsen




 
2
2
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=
2 2 
1 2
1 cos  
1
2

 2
 2
 2 2
2
2
r
r r r 
r sen   r sen   2
En la expresión anterior, se pueden agrupar términos escribiéndola de la siguiente forma:
1  2 
1
 
 
1
2
  2 r

 sen

  r 2 sen 2  2
r r  r  r 2 sen  
Tras sustituir esta ultima ecuación en el hamiltoniano en cartesianas, obtenemos la ecuación
de Schrödinger en coordenadas polares, la cual parece mucho más complicada, pero de
hecho es más fácil de resolver, tal como resolveremos después.

H int
2  1   2  
1
 
 
1
2 
1 Ze2
 2


r
 2
 sen
 2 2
2 
2  r r  r  r sen  
  r sen    4 0 r
El Hamiltoniano del movimiento relativo electrón-núcleo queda:

H int
2  2 2 
1 2
1 Ze2



  
2  r 2 r r r 2  4 0 r
siendo  la parte angular del hamiltoniano que recoge ambos ángulos tal y como se ve en la
imagen.
La parte angular del Hamiltoniano es análoga a la de la partícula en una esfera (ya que el
potencial electrón-núcleo solo es función de la distancia) con la diferencia de que la distancia
al centro de coordenadas no es constante.
Podemos considerar el sistema como una partícula de
masa μ que se mueve sobre la superficie de esferas
concéntricas de radio variable. De esta manera, la
parte angular de la función de onda serán las soluciones
para la partícula en una esfera (armónicos esféricos) y
quedara por resolver la dependencia radial de la función
de onda
De manera que las funciones de onda para el átomo
de hidrógeno tendrán la
forma:
(r,  , )  R(r )Yl ,ml ( , )
siendo R la parte de la función dependiente únicamente de r (parte radial) e Y la parte
de la función dependiente de  y de θ (parte angular).
Los numeros l y ml estan relacionados con el momento angular del electrón, siendo este
el producto vectorial del momento lineal del electrón (p) por su radio vector (r):
L=rxp
Y si sustituimos la expresión de la función de onda en la ecuación de Schrödinger:
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
H int (r , , )   (r , , )

1  2 2 
1
Z
 2 

 2 2  R(r )Yl ,ml ( , )  R(r )Yl ,ml ( , )   R(r )Yl ,ml ( , )
2  r
r r r
r

o lo que es lo mismo,
 2   d  2 dR  R d 
d 
R d 2  
Z

  2

R  ER
r
 2
 sen   2 2
2 
2  r dr  dr  r sen d 
d  r sen  d  4 0 r
NOTA: A partir de ahora cambiamos la notación de derivadas parciales por la de totales ya
que ahora cada derivada actúa sobre una función de una sola coordenada.
Separación de variables
Para resolver la ecuación hay que separar las variables, en nuestro caso r, φ y θ, en términos
distintos. Multiplicando la ecuación anterior por (r2sen2 θ)/(R  ) y
reordenando términos:
sen 2 d  2 dR  sen 2 d 
d  1 d 2  r 2 sen 2 
Z 

  0

E

r

 sen


R dr  dr 
 d 
d   d 2

4

r
0 

En esta expresión, la variable  está separada del resto en el tercer término. Cuando cambia
ninguno de ellos
interviene  , por lo que el tercer término tiene que ser constante también para que la suma
pueda ser, para cualquier valor de  , igual a cero. Por conveniencia, a esta constante le
llamaremos :  ml2 :
1 d 2
 cons tan te  ml2
2
 d
Podemos seguir separando variables. Sustituyendo  ml2 en la ultima ecuación y dividiendo
por sen 2 :
ml2
1 d  2 dR  1 d 
d 
r 2 
Ze 2 
 E 
  0

r

 sen

2
R dr  dr   d 
d  sen 
 
4 0 r 
Obsérvese que el primer y cuarto términos dependen sólo de r, y el segundo y tercero de θ.
Siguiendo el mismo razonamiento que hemos hecho para  , la suma de los términos que
dependen de r debe ser igual a una constante a la que, por conveniencia, llamaremos l(l + 1),
y la suma de los términos que sólo dependen de θ debe ser igual a - l(l + 1).
Estas últimas constantes no se toman a capricho sino que tiene una razón. De los dos
momentos angulares que existen y que aquí son tratados como operadores mecanocuánticos,
el momento angular orbital es el análogo de la magnitud clásica L y es debido al movimiento
de la partícula a través del espacio. Esta magnitud alrededor del núcleo puede demostrarse
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que es igual a
es igual a ml .
l (l  1) . La componente de L a lo largo del eje z, L z, puede demostrarse que
En resumen:
d  2 dR  r 2  
Ze2 
E 
  l (l  1) R
r

dr  dr   
4 0 r 
d
d
ml2
d 

 l (l  1)
 sen

2
d

sen



Resolución de la ecuación
La solución de la parte radial son las funciones asociadas de Laguerre. Consisten en una
función exponencial multiplicada por un polinomio en r. Las diferentes soluciones dependen
del número cuántico l y de otro nuevo número cuántico n (número cuántico principal). Las
primeras soluciones son:
Por otro lado, una solución a la parte angular es:
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  asen(m1 )
La constante a es la constante de normalización, es decir la necesaria para que se cumpla:

2
0
 2 d  1
Por tanto su valor debe ser:

2
0
a 2 sen2d  a 2 
2
0
y la función Φ queda como
2
  sen2 
2 2
sen2d  a 2  
1
 a
2
4
2

0
1
a


1

sen(m1 )
Cualquiera que sea el valor de ml, la función anterior es solución de la ecuación de
Schrödinger. Ahora bien, las condiciones frontera que hemos impuesto a la función de onda
para que su cuadrado pueda tener sentido físico, limitan los valores posibles para ml. Una de
dichas condiciones es que la función de onda tiene que tener un único valor en cada punto del
espacio. Eso implica que el valor de  para un ángulo φ tiene que ser igual que su valor para
un ángulo 360deg. mayor ( + 2  ). En los siguientes ejemplos se muestra que esto sólo se
cumple si ml es un número entero (0, +/-1, +/-2, +/-3, etc):
ml
0
+1
+2
+1/2
  asen(m1 )
  asen(0)
  asen( )
  asen(2 )
  asen( / 2)
=
=
=
disitnto de
  asen(m1 (  2 ))
  asen(0)
  asen(  2 )
  asen(2  4 )
  asen( / 2   )
Hay una solución de Φ por cada valor entero de ml.
De manera que las soluciones finales tienen la forma:
n. j.ml (r, , )  Rn.l (r )Yl ,ml ( , )
Las energías asociadas (valores propios de las funciones) son:
Hay una solución completa de  por cada trío de valores de n, l y ml donde n puede tomar
cualquier valor entero igual o mayor de 1, l cualquier valor entero entre 0 y n -1, y ml cualquier
valor entero desde +l hasta –l
Algunas funciones de ondas completas (llamadas Orbitales) para el átomo de Hidrógeno
(Z=1) son las siguientes:
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En la solución de la ecuación de Schrodinger, obtenemos tres distintos números cuánticos
para cada caso del átomo de hidrogeno, los cuales están restringidos a valores enteros y
deben corresponder a los tres grados de libertad independientes(tres dimensiones
espaciales)
NUMERO CUANTICO PRINCIPAL n
El primer numero cuántico ,asociado con la función radial R(r) de la función ondulatoria
completa, es conocido como numero cuántico principal y se le asigna el símbolo n.
Las energías de los estados permitidos para el átomo de hidrogeno se determina como:
 ke2  1
13,606
. 2  
E n  
eV
2
2
a
n
n
 0
n  1,2,3,. . .
Este resultado esta completamente de acuerdo con el obtenido en la teoría de Bohr
NUMERO CUANTICO ORBITAL ( l)
Se asocia con el movimiento angular oebital del electrón,igual que el numero cuantico
orbital magnético ml .Tanto l y ml son enteros .
Valores :
Los valores de n pueden ir de 1 a 
Los valores de l pueden ir de 0 a n-1
Los valores de ml pueden ir de – l a +l
Podemos construir el cuadro:
n
1
2
l
0
0
ml
0
0
3
1
1
0
0
-1
0
1
1
0
2
-1
2
1
0
-1
-2
Por razones historicas se dice que todos los estados que tengan el mismo numero
cuantico principal forman una capa :K , L, M , . . . .; que designan los estados para los
cuales n = 1,2,3, . . .
De igual manera , se dice que todos los estados que tengan losmismos valores de n y
de l forman una subcapa. : s ,p, d , f, . . . .,se utilizan para designar las subcapas para
loscuales l = 0,1,2,3,. . .
s
p
d
f
sharp
principal
diffuse
fundamental
sharp : líneas nítidas pero de poca intensidad
principal : líneas intensas
difuse : líneas difusas
fundamental : líneas frecuentes en muchos espectros
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n
1
2
3
4
5
6


Notaciones de capa y subcapas atómicas
Símbolo de capa
l
K
0
L
1
M
2
N
3
O
4
P
5




Símbolo de subcapa
s
p
d
f
g
h


Por ejemplo:
Es estado designado como 3p
Tiene los números cuanticos n = 3 y l = 1
Es estado designado como 2s
Tiene los números cuanticos n = 2 y l = 0
Aquellos estados que violen la regla ,no existen.(no satisfacen las condiciones limite de la
función ondulatoria)
Por ejemplo:
Es estado designado como 2d
Tendría los números cuanticos n = 2 y l = 2
No puede existir, ya que el valor mas alto permitido de l es n-1 ; es decir 1
R.SERWAY – J. JEWWTT
PROBLEMAS RESUELTOS
FISICA.
Tomo II. 6º Edición.2005. México. Cap. 20.Pág.660
Sección 20,4.
El nivel n = 2 del hidrogeno
Para un átomo de hidrogeno, determine el numero de estados permitidos correspondientes al
numero cuantico principal n = 2,y calcule las energías de estos estados
Solución
n
1
2
l
0
0
ml
0
0
1
1
0
-1
Tenemos un estado : 2s
Tres estados: 2p
Debido a que los cuatro estados cuánticos tienen el mismo número cuántico principal n = 2,
todos tienen la misma energía:
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En  
13,606
eV
n2
n  1,2,3,. . .
En  
Reemplazo n=2
13,606
eV
(2) 2
En  3,401eV
SOLUCIONARIO
FISICA.
Tomo II. 6º Edición.2005. México. Cap. 20.Pág.688
Sección 20,4.
R.SERWAY – J. JEWETT
16. Una expresión general para los niveles de energia de los atomos y iones de un electrón
es :
En  
k e2 q12 q 22
2 2 n 2
Donde ke es la constante de de Coulomb, q1 y q2 son las cargas del electrón y el núcleo , y
 es la masa reducida , dada por  
m1  m2
.La longitud de onda para la transición n = 3 a
m1  m2
n =2 del átomo de hidrogeno es 656,3 nm (luz roja visible).¿Que pasaría si? ¿Cuáles son las
longitudes de onda para esta misma transición en (a) positronio, que esta constituido por un
electrón y un positrón , y (b) helio con una sola ionizacion (Nota: Un positrón es un electrón de
carga positiva)
Solución
Parte (a)
Positronio =
Tenemos para n= 1
Tenemos para n= 2
+
P
E1  
E2  
ke2 q12 q22
2 2 (1) 2
E1  
ke2 q12 q22
2 2
ke2 q12 q22
2 2 (2) 2
Tenemos para n= 3
E3  
ke2 q12 q22
2 2 (3) 2
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 E  E 
E3  E 2    21    2 1 
 3   2 
Pero : E 
hc
E3  E 2 
5
hc
E1 
36



5
E1
36
36hc
reemplazo valores :  =1,31  10-6m
5E1
 =1,31  m
Parte (b)
17. Un electrón de cantidad de movimiento p esta a una distancia r de un protón
estacionario. El electrón tiene una emergía cinética : k  p 2 / 2m .El átomo tiene una
energía potencial : U  k e e 2 / r y una energía total E = K + U. Si un electrón esta ligado
al protón para forma un asomo de hidrogeno, su posición promedio es en el protón, pero
la incertidumbre en su posición es aproximadamente igual al radio r de su orbita. El
momento vectorial promedio del electrón es igual a cero, pero su momento al cuadrado
promedio es aproximadamente igual a la incertidumbre al cuadrado en su momento,
como lo dice el principio de incertidumbre. Tratando el átomo como un sistema de una
sola dimensión (a) estime la incertidumbre del momento del electrón en función de
r.(b)Estime las energías cinética, potencial y total en función de r.(c) El valor real de r es
el que minimiza la energía total ,lo que da como resultado un átomo estable. Determine
ese valor de r y la energía total resultante. Compare su respuesta con las predicciones
de la teoría de Bohr
Solución
Datos:
x  r
p 2  p 2
Parte (a)
Sabemos : x  p 

2
r  p 

2
p 

2r
Parte (b)
Sabemos : E = K + U
Como
p 


podemos seleccionar : p 
r
2r
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2
ke2

Luego : E 
r
2mr 2
Parte (c)
2
ke2

Tenemos : E 
r
2mr 2
Radio de Bohr :
Reemplazo en :
n 2 2
rn 
mke2
n=1
2
r 
mke2
2
ke2
E
 2
4

2m 2 2 4
m k e
mke2
Simplifico : E = -13,6 eV
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