Download Pauta de Corrección - Universidad de Atacama

UNIVERSIDAD DE ATACAMA
FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES
PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA N◦ 3
Profesor: Hugo S. Salinas.
Segundo Semestre 2010
1. Se investiga el diámetro de las varillas de acero fabricadas por dos máquinas diferentes de
extrusión1 . Para ello se toman dos muestras aleatorias de tamaños n1 = 15 y n2 = 18, las medias
y las varianzas muestrales son X 1 = 8.73, S12 = 0.35, X 2 = 8.68 y S22 = 0.4, respectivamente.
a) Supongamos que las varianzas poblacionales son iguales. Construir un intervalo de confianza bilateral del 95 % para la diferencia en el diámetro promedio de las varillas.
Solución
Supongamos que σ12 = σ22 . Luego construimos un intervalo de confianza para µ1 − µ2 con
varianzas poblacionales desconocidas pero iguales. Entonces tenemos:
r
1
1
µ1 − µ2 = X − Y ± tn1 +n2 −2,1−α/2 Sp
+
n1 n2
(n −1)S 2 +(n −1)S 2
2
1
2
donde Sp2 = 1 n1 +n
.
2 −2
Utilizando los datos entregados se tiene que t31,0.025 = 2.0395 y Sp = 0.6143. Luego
r
1
1
+
µ1 − µ2 = 8.73 − 8.68 ± 2.0395 × 0.6143
15 18
Y se obtiene que con un 95 % de confianza la diferencia de los diámetros promedios de las
varillas se encuentra en
µ1 − µ2 ∈ (−0.3880, 0.4880)
Notar que el 0 pertenece al intervalo, luego esto quiere decir que las medias se pueden
considerar iguales con un 95 % de confianza.
(6 ptos.)
b) Construir un intervalo de confianza bilateral del 95 % para el cociente de las varianzas
poblacionales. ¿Parece razonable concluir que las varianzas son iguales? Justificar.
Solución
Para este caso tenemos que el cociente de las varianzas está en el intervalo:
2 2
σ1
S1
1
S12
1
IC
=
,
σ22
S22 F1−α/2,n1 ,n2 S22 Fα/2,n1 ,n2
1
Acción y efecto de extrudir (dar forma a una masa metálica, plástica, etc., haciéndola salir por una abertura
especialmente dispuesta). Fuente: http://buscon.rae.es/drael/.
PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA 3
1
Tenemos que F0.975,15,18 = 2.667 y F0.975,18,15 = 2.792. Además, sabemos que F0.025,15,18 =
1/F0.975,18,15 = 1/2.792 = 0.358. Luego reemplazando los datos, tenemos:
0.35 1
0.35 1
σ12
∈
,
= (0.3281, 2.4441)
σ22
0.4 2.667 0.4 0.358
Notar que el 1 pertenece al intervalo, luego con un 95 % de confianza, se puede decir que
las varianzas son iguales.
(6 ptos.)
c) Probar las hipótesis H0 : µ1 = µ2 vs. H1 : µ1 6= µ2 . Utilizar α = 0.05 y obtener las
conclusiones.
Solución
Debemos probar las hipótesis: H0 : µ1 − µ2 = 0 versus H1 : µ1 − µ2 6= 0 con varianzas
poblacionales desconocidas pero iguales (el intervalo calculado en el item b) avala este
supuesto). El estadı́stico de prueba para este caso está dado por:
EP =
X − Y − ∆ H0
q
∼ tn1 +n2 −2
Sp n11 + n12
Aquı́ ∆ = 0 y la hipótesis nula se rechaza si |EP| > tn1 +n2 −2,1−α/2 . Del item a) tenemos
que t31,0.025 = 2.0395 y Sp = 0.6143. Luego,
EP =
8.73 − 8.68
q
= 0.2328
1
1
+ 18
0.6143 15
Por lo tanto, como |EP| no es mayor que 2.0395, no existe suficiente evidencia para rechazar
la hipótesis nula.
(6 ptos.)
d ) Calcular el p-valor de la prueba. Concluir.
Solución
De acuerdo a la hipótesis alternativa del item c), el p-valor está dado por
2P (Z > |EP|) = 2P (Z > 0.23) = 2(1 − P (Z ≤ 0.23)) = 2(1 − 0.5910) = 0.818
Claramente el p-valor es mayor que 0.05, por lo tanto no se rechaza la hipótesis nula.
(6 ptos.)
2. Se sabe que el diámetro de los agujeros para una montura de cable tiene una desviación estándar
de 0.01 pulgadas. Se obtiene una muestra aleatoria de 10 monturas, donde el diámetro promedio
resulta ser 1.5045 pulgadas.
a) Probar la hipótesis de que el diámetro promedio verdadero de los agujeros es de 1.50
pulgadas. Utilizar α = 0.01 y obtener las conclusiones.
Solución
Debemos probar las hipótesis H0 : µ = 1.5 vs. H1 : µ 6= 1.5 asumiendo que la varianza
poblacional es conocida. El estadı́stico de prueba para este caso está dado por:
EP =
PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA 3
X − µ0 H0
√ ∼ N (0, 1)
σ/ n
2
La hipótesis nula se rechaza si |EP| > z1−α/2 . De los datos se tiene que:
√
0.0045 10
1.5045 − 1.50
√
=
= 1.4230
EP =
0.01
0.01/ 10
Por otro lado, si α = 0.01 ⇒ α/2 = 0.005 ⇒ 1 − α/2 = 0.995 ⇒ z0.995 = 2.58. Por lo tanto,
como |EP| no es mayor que 2.58, no existe suficiente evidencia para rechazar la hipótesis
nula.
(6 ptos.)
b) Calcular el p-valor de esta prueba y concluir.
Solución
De acuerdo a la hipótesis alternativa, el p-valor está dado por
2P (Z > |EP|) = 2P (Z > 1.42) = 2(1 − P (Z ≤ 1.42)) = 2(1 − 0.9222) = 0.1556
Claramente el p-valor es mayor que 0.01, por lo tanto no se rechaza la hipótesis nula.
(6 ptos.)
c) Construir un intervalo para el diámetro promedio verdadero de los agujeros al 95 % de
confianza.
Solución
De acuerdo a los datos, σ = 0.01. Luego construimos un intervalo de confianza para µ con
varianza poblacional conocida. Entonces:
0.01
σ
µ = X ± z1−α/2 √ = 1.5045 ± 1.96 √
n
10
Y se obtiene que con un 95 % de confianza los diámetros promedios de los agujeros para
una montura se encuentra en µ ∈ (1.4983, 1.5107).
(6 ptos.)
d ) Calcular β si el diámetro promedio verdadero del agujero es de 1.505 pulgadas.
Solución
Sabemos que β = P (No rechazar H0 |H1 es cierta). De acuerdo a lo anterior, tenemos:
β = P (|EP| ≤ 2.58 | µ = 1.505)
!
√
(X − 1.5) 10
= P −2.58 ≤
≤ 2.58 | µ = 1.505
0.01
= P (1.4918 ≤ X ≤ 1.5082 | µ = 1.505)
√
√ !
(1.4918 − 1.505) 10
(1.5082 − 1.505) 10
= P
≤Z≤
0.01
0.01
= P (−4.1742 ≤ Z ≤ 1.0119) = P (Z ≤ 0.01) − P (Z ≤ −4.17) = 0.8438 − 0
= 0.8438
(6 ptos.)
PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA 3
3
3. Los siguientes datos fueron recabados en un experimento diseñado para verificar si existe diferencia sistemática en los pesos obtenidos con dos balanzas diferentes.
Roca
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Peso en gramos
Balanza 1 Balanza 2
11.23
11.27
14.36
14.41
8.33
8.35
10.50
10.52
23.42
23.41
9.15
9.17
13.47
13.52
6.47
6.46
12.40
12.45
19.38
19.35
Probar si la diferencia de las medias de los pesos obtenidos con las balanzas es significativa.
Obtener las conclusiones.
Solución
Primero que todo debemos tener claro que se trata de una prueba para la diferencia de medias
para muestras pareadas. Luego debemos probar las hipótesis H0 : µD = µ1 − µ2 = 0 vs.
H1 : µD = µ1 − µ2 6= 0, es decir, hay que investigar si hay diferencias significativas entre las
medias de los pesos obtenidos con las balanzas. El estadı́stico de prueba para este caso está dado
por:
X − Y − ∆ H0
√
∼ tn−1
EP =
SD / n
n
2
= n−1
donde SD
[d2 − (d)2 ] y di = Xi − Yi . Aquı́ ∆ = 0 y la hipótesis nula se rechaza si
|EP| > tn−1,1−α/2 .
(6 ptos.)
2
.
La siguiente tabla muestra los detalles de los cálculos necesarios de d y SD
Roca
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
Peso en gramos
di
Balanza 1 (Xi ) Balanza 2 (Yi ) Xi − Yi
11.23
11.27
−0.04
14.36
14.41
−0.05
8.33
8.35
−0.02
10.50
10.52
−0.02
23.42
23.41
0.01
9.15
9.17
−0.02
13.47
13.52
−0.05
6.47
6.46
0.01
12.40
12.45
−0.05
19.38
19.35
0.03
−0.2
PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA 3
4
d2i
(Xi − Yi )2
0.0016
0.0025
0.0004
0.0004
0.0001
0.0004
0.0025
0.0001
0.0025
0.0009
0.0114
(6 ptos.)
Luego X − Y = d = −0.2/10 = −0.02 y d2 = 0.0114/10 = 0.00114. Con esto
r
√
10
SD =
[0.00114 − (−0.02)2 ] = 0.00082 = 0.02864
9
De los datos se tiene que:
EP =
−0.02
√ = −2.20829
0.02864/ 10
Por otro lado, si α = 0.05 ⇒ α/2 = 0.025 ⇒ 1 − α/2 = 0.975 ⇒ t9,0.975 = 2.262. Por lo tanto,
como |EP| = 2.20829 no es mayor que 2.262, no existe suficiente evidencia para rechazar la
hipótesis nula.
(6 ptos.)
Conclusiones: Según el estudio, los datos no dan suficiente evidencia para decir que las balanzas
obtienen pesos muy diferentes. Por lo tanto, podemos decir que con un 95 % de confianza la
diferencia de las medias de los pesos obtenidos con las 10 rocas no es significativa.
(6 ptos.)
4. Se ha propuesto un nuevo diseño para el sistema de frenos de cierto tipo de automóvil. Si se
sabe que para el sistema actual el verdadero promedio de distancia de frenado a 65 kilómetros
por hora, bajo condiciones especificadas, es 120 pies (corresponde a 36.576 metros). Se propone
que el nuevo diseño se ponga en práctica solamente si los datos muestrales indican de manera
contundente una reducción en el verdadero promedio de distancia de frenado para el nuevo
diseño.
a) Definir el parámetro de interés y establecer las hipótesis pertinentes.
Solución
El parámetro de interés es el verdadero promedio µ de distancia de frenado, bajo condiciones especificadas. Las hipótesis adecuadas son H0 : µ ≤ 120 vs. H1 : µ > 120.
(5 ptos.)
b) Supongamos que la distancia de frenado para el nuevo sistema está normalmente distribuida con σ = 10 pies. Representar con X el promedio muestral de la distancia de frenado
para una muestra aleatoria de 36 observaciones. ¿Cuál de las siguientes regiones es la más
apropiada para rechazar la hipótesis nula?
R1 = {X | X ≥ 124.80}
R2 = {X | X ≤ 115.20}
R3 = {X | X ≥ 125.13 ∨ X ≤ 114.87}
Solución
Si X está cercano a 120 pies, entonces la hipótesis nula no será rechazada con cierto nivel
de significancia. Por lo tanto, todo indica que la región R1 es la más adecuada para rechazar
la hipótesis nula declarada en a).
(5 ptos.)
PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA 3
5
c) ¿Cuál es el nivel de significancia más adecuado para la región seleccionada en la parte b)?
Solución
De acuerdo al item b) tenemos que hacer un test para µ cuando la varianza poblacional es
conocida. El estadı́stico de prueba para este caso está dado por:
X − µ0 H0
√ ∼ N (0, 1)
σ/ n
Por definición, el nivel de significancia es la probabilidad de cometer el error tipo I, entonces:
EP =
α = P (Rechazar H0 | H0 es cierta)
= P (X ≥ 124.80 | µ = 120)
1 − α = P (X < 124.80 | µ = 120)
124.80 − 120
√
= P EP <
10/ 36
= P (EP ≤ 2.88) = 0.9980
Por lo tanto α = 0.002.
(5 ptos.)
d ) ¿Cómo cambiará la región de rechazo para obtener una prueba con α = 0.001?
Solución
Debemos calcular el valor de c tal que 1 − α = P (EP < c) = 0.999. Utilizando la tabla de
la normal, se tiene c = 3.09, entonces:
0.999 = P (EP < 3.09)
X − 120
√
< 3.09
= P
10/ 36
3.09 × 10
= P X≤
+ 120
6
= P (X ≤ 125.15)
Por lo tanto, la región de rechazo para obtener una prueba con α = 0.001 está dada por
R = {X | X ≥ 125.15}
(5 ptos.)
e) ¿Cuál es la probabilidad de que el nuevo diseño no se ponga en práctica cuando su verdadero
promedio de distancia de frenado es en realidad 115 pies y se utiliza la región de rechazo
seleccionada en la parte b)?
Solución
En este caso debemos calcular la probabilidad de cometer el error tipo II, es decir, obtener
la probabilidad de no rechazar la hipótesis nula cuando el verdadero valor para µ = 115.
Luego:
β = P (No Rechazar H0 | H1 es cierta)
= P (X < 124.80 | µ = 115)
124.80 − 115
√
= P EP <
10/ 36
= P (EP ≤ 5.88) = 1.00
PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA 3
6
Por lo tanto β = 1.00.
(5 ptos.)
PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA 3
7