Download TRABAJO ESPECIAL DE GRADO ELABORACIÓN DE UN
Document related concepts
no text concepts found
Transcript
TRABAJO ESPECIAL DE GRADO ELABORACIÓN DE UN ALGORITMO PARA GENERAR MAPAS DE HETEROGENEIDAD A PARTIR DE DATOS PETROFÍSICOS DE UN YACIMIENTO. Trabajo Especial de grado Presentado ante la Ilustre Universidad Central de Venezuela Por el Br. Martínez C., Manuel O. Para optar al título de Ingeniero Geofísico Caracas, junio de 2013 III TRABAJO ESPECIAL DE GRADO ELABORACIÓN DE UN ALGORITMO PARA GENERAR MAPAS DE HETEROGENEIDAD A PARTIR DE DATOS PETROFÍSICOS DE UN YACIMIENTO. Tutor Académico: Prof. Ricardo Ambrosio. Trabajo Especial de grado Presentado ante la Ilustre Universidad Central de Venezuela Por el Br. Martínez C., Manuel O. Para optar al título de Ingeniero Geofísico Caracas, junio de 2013 IV III DEDICATORIA Por el apoyo y la amistad incondicional, por la fortaleza, el empuje y la voluntad, por cada sonrisa, cada carcajada, cada abrazo y cada consejo, por cada candil de enseñanza, y cada escalón necesario, por cada sueño dibujado en el aire y cada meta alcanzada, por cada batalla librada, por la humildad, la paz y la felicidad, por las piscinas cruzadas a lo largo de nuestras vidas, por la sabiduría de vida, por el ejemplo forjador; este logro es de ustedes… este logro es nuestro. A Yayi, a Manuel y a Raúl, mis tres mosqueteros, mi relevo del 400 combinado… mis tres hojas de trébol. A Pedrimar Díaz, por su amor y apoyo incondicional a lo largo de esta meta, por su infinita y radiante luz. III AGRADECIMIENTOS A mí querida Universidad Central de Venezuela, incluyendo al núcleo Armando Mendoza (Cagua), por sus enseñanzas dentro y fuera de las aulas, bajo sus techos y bajo sus árboles. Por forjarme valores académicos y humanos. A Yayi, Manuel, Raúl y Pedrimar, por toda su atención, colaboración y tiempo. A mi tutor, Ricardo, por tenderme la mano y darme la oportunidad de lograr esta meta, por contribuir con mi formación académica y profesional. A Morella Mikaty, centinela del templo la luz. Por su amistad y sus consejos. Por soportar a este insurgente dentro de su equipo. A Denis, a Dani, a las Marías Auxiliadoras (Geología y Eléctrica), a Camacho, al negro y a la Sra. Josefina, por ir mucho más allá de su labor cotidiano, y solidarizarse por buenas causas. A todos los profesores que contribuyeron con mi formación académica y humana, por ir más allá de un programa de clases y apostar al futuro de los estudiantes, en especial a: Alba Castillo, Nuris Orihuela, Ander De Abrisqueta, Ennodio Reina, Luis Chacón, Mariano Arnaiz, Andrés Espeso y Raúl Arreaza. A mis compañeros: Ileana y Gustavo, por ser hermanos incondicionales a lo largo de este camino. Igualmente a la vieja escuela: Ángel Pototo, Benjamín Monstruo y Lucy Lilo, por tantas batallas libradas. Igualmente a: Halis, Zuliangel, Carlos y Sara (el resto de los guru-guru). A Alberti, Manuel Bravo, Nestor, Andres, Cesar, Luisely Karma, Lailyn, Yuniev, IV Airam, Atilio, Sofía, Silvimar, Laura, los 3 Luises, Jorge, Krizia, Miguel Castro, Rossi, Gaby, Fabián, Manu Medina, Gissel, Andrea y al resto de compañeros de clases, de pasillos, de comedor, de banquitos, de café… Igualmente a Carlitos a Ronald y a Lusito por su amistad y compañía cuando esta meta apenas nacía. A todos ustedes, muchas gracias. V Martínez C., Manuel O. ELABORACIÓN DE UN ALGORITMO PARA GENERAR MAPAS DE HETEROGENEIDAD A PARTIR DE DATOS PETROFÍSICOS DE UN YACIMIENTO. Tutor académico: Prof. Ricardo Ambrosio. Tesis. Caracas, U.C.V. Facultad de Ingeniería, Escuela de Geología, Minas y Geofísica. 2013, 102 p. Palabras clave: Heterogeneidad, yacimiento, Coeficiente de Lorenz, Coeficiente de Dykstra Parsons, Permeabilidad, Algoritmos. Resumen: Al momento de modelar un yacimiento juega un papel importante la resolución que se utilice, es necesario para un estudio eficaz tomar en cuenta la tasa de variación de las propiedades petrofísicas en función de su ubicación espacial. A través del cálculo de la heterogeneidad en el yacimiento, es posible cuantificar dichas variaciones; y así, adecuar el grado de resolución necesaria para el estudio, lo que garantiza como resultado un modelo numérico más ajustado y de mejor calidad. Por otro lado, sabemos que en el estudio de propiedades del subsuelo la geoestadística cumple un rol indispensable, ya que la misma permite predecir, estimar y simular valores en una región a partir de los datos conocidos de lugares adyacentes, disminuyendo de manera eficaz la incertidumbre del estudio, permitiendo así, la elaboración de mapas que suministren la información necesaria para la localización de propiedades en los yacimientos y por ende para su delimitación espacial. En este sentido, el objetivo del siguiente Trabajo Especial de Grado se basa en la elaboración de un algoritmo para generar mapas de heterogeneidad a partir de datos petrofísicos. Para cumplir con tal fin, el trabajo se esquematizó en 3 etapas. Programar una rutina para obtener los valores de heterogeneidad por Lorenz y Dykstra Parsons, generar una rutina que transforma los datos discretos de heterogeneidad en mapas a través del uso de la geoestadistica y por último generar mapas donde se relacionan los valores de heterogeneidad, con espesores de arena y con la permeabilidad, evidenciando a través de ellos las zonas mejor calificadas en cuanto a las propiedades de estudio. VI ÍNDICE DE CONTENIDO DEDICATORIA .............................................................................................. III AGRADECIMIENTOS .................................................................................... IV ÍNDICE DE CONTENIDO ............................................................................. VII ÍNDICE DE FIGURAS ..................................................................................... X ÍNDICE DE TABLAS .................................................................................... XIII CAPÍTULO I .................................................................................................... 1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................ 1 1.1 Planteamiento De Problema .............................................................. 1 1.2.1. Objetivo general. ......................................................................... 2 1.2.2. Objetivos específicos. ................................................................. 3 1.3. Justificación ....................................................................................... 3 CAPITULO II ................................................................................................... 5 MARCO TEÓRICO ......................................................................................... 5 2.1. Caracterización de yacimientos ......................................................... 5 2.1.1. Modelo estático del yacimiento ................................................... 5 2.1.2. Modelo Dinámico del yacimiento. ................................................ 6 2.2. Petrofísica .......................................................................................... 7 2.2.1. Porosidad (Ø) .............................................................................. 8 2.2.2. Porosidad Efectiva (Øef) .............................................................. 9 2.2.3. Permeabilidad. ............................................................................ 9 2.2.4. Correlación entre la porosidad y permeabilidad. ....................... 12 VII 2.3. Homogeneidad y Heterogeneidad. .................................................. 13 2.3.1. Coeficiente de Variación Dykstra & Parsons (VDP) .................. 14 2.3.2. Coeficiente de Lorenz ............................................................... 17 2.4. Interpolación y Geoestadistica ......................................................... 19 2.4.1. Variograma ................................................................................ 21 2.4.2. Kriging ....................................................................................... 24 2.5. Regresión. ....................................................................................... 25 2.6. Algoritmo. ......................................................................................... 27 CAPÍTULO III ................................................................................................ 28 MARCO METODOLÓGICO .......................................................................... 28 3.1. Cargar y adecuar los datos de entrada. ........................................... 31 3.2. Análisis estadístico. ......................................................................... 32 3.3. Elaboración de los algoritmos para calcular la heterogeneidad. ...... 34 3.3.1. Variación Dykstra Parsons (VDP). ............................................ 35 3.3.2. Coeficiente de Lorenz (Lz) ........................................................ 38 3.4 Relación entre los coeficientes de heterogeneidad.......................... 43 3.5. Mapas Isópacos y Geoestadística. .................................................. 46 3.5.1. Mapas Isópacos ........................................................................ 46 3.5.2. Geoestadística .......................................................................... 47 3.5.3. Kriging. ...................................................................................... 49 3.6. Heterogeneidad como factor de cualificación de incertidumbre. ...... 50 CAPITULO IV................................................................................................ 54 RESULTADOS Y ANÁLISIS DE RESULTADOS .......................................... 54 4.1. Análisis estadístico de los datos. ..................................................... 54 VIII 4.2. Calculo de los coeficientes de heterogeneidad. ............................... 58 4.2.1. Coeficiente de Lorenz. .............................................................. 59 4.2.2. Coeficiente de Variación Dykstra Parsons. ............................... 60 4.3. Relación entre los coeficientes. ....................................................... 62 4.4. Registros de Pozo y heterogeneidad. .............................................. 63 4.5. Mapas Isópacos. .............................................................................. 69 4.6. Geoestadística. ................................................................................ 72 4.6.1. Variografía. ................................................................................ 72 4.6.2. Kriging. ...................................................................................... 76 4.7. Heterogeneidad como factor de cualificación de incertidumbre. ...... 83 CAPITULO V................................................................................................. 96 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ................................................ 96 5.1. Conclusiones ................................................................................... 96 5.2. Recomendaciones. .......................................................................... 99 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................ 100 IX ÍNDICE DE FIGURAS Figura 2. 1. Gráfico de los puntos de permeabilidad vs. El porcentaje acumulado y la recta de ajuste. ........................................................................................................ 15 Figura 2. 2. Distribución de capacidad de flujo. Coeficiente de Lorenz.................... 18 Figura 2. 3. Ejemplo de variograma gráfico............................................................. 22 Figura 3. 1. Ubicación relativa de los pozos. ........................................................... 28 Figura 3. 2. Unidades estratigráficas y pozos........................................................... 29 Figura 3. 3. Metodología a desarrollar para alcanzar los objetivos propuestos y sus respectivos análisis. ................................................................................................ 30 Figura 3. 4. Diagrama del análisis estadístico de las propiedades petrofísicas.(Para los registros del yacimiento, por pozos y/o unidades estratigráficas). ............................ 33 Figura 3. 5. Histogramas, diagramas de caja y bigote y gráficos QQ, correspondientes a los datos de cada unidad estratigráfica. ................................................................. 34 Figura 3. 6. Distribución de frecuencia vs. Log(k) para el pozo 13 en la unidad estratigráfica B. ....................................................................................................... 37 Figura 3. 7. Fracción de la capacidad de flujo vs la fracción del total de volumen para el pozo 18 en la unidad estratigráfica A. Utilizando la regresión logarítmica decimal. ............................................................................................................................... 40 Figura 3. 8. Fracción de la capacidad de flujo vs la fracción del total de volumen para el pozo 18 en la unidad estratigráfica A. Utilizando la suma de los polígonos. (Sin regresión). ............................................................................................................... 42 Figura 3. 9. Gráficos cruzados de Coeficiente de Variación Dykstra Parsons vs Coeficiente de Lorenz, para cada unidad estratigráfica, con su respectivo coeficiente de correlación. ........................................................................................................ 44 Figura 3. 10. Log-permeabilidad vs profundidad, asociada a la gráfica de indicador de arena y la de porosidad, para el pozo 16 de la unidad estratigráfica B. ..................... 45 Figura 3. 11. Mapa isópaco para la unidad estratigráfica A. (Medidos en pies). ....... 46 Figura 3. 12. Mapa de variograma para la unidad estratigráfica A. Coeficiente de Lorenz. ................................................................................................................... 47 Figura 3. 13. Variograma teórico ajustado sobre variograma experimental para el Coeficiente de Lorenz, en la unidad estratigráfica B. ............................................... 49 Figura 3. 14. Mapa de heterogeneidad en la unidad estratigráfica B. Interpolación por kriging de los coeficientes de Lorenz. ..................................................................... 50 Figura 3. 15. Grafico cruzado. Heterogeneidad de Lorenz para cada pozo, en función del espesor de arena y de la log-permeabilidad. Unidad estratigráfica A. ................. 51 Figura 3. 16. Heterogeneidad de Lorenz y Espesor de arena. Unidad estratigráfica A. ............................................................................................................................... 52 Figura 3. 17. Heterogeneidad de Lorenz y promedio de log-permeabilidad. Unidad estratigráfica A. ...................................................................................................... 53 X Figura 4. 1. Histogramas, Diagramas de caja y bigotes y Gráficos QQ normal, de la porosidad en cada unidad estratigráfica. .................................................................. 55 Figura 4. 2. Histogramas y Diagramas de caja y bigotes de la permeabilidad en cada unidad estratigráfica. ............................................................................................... 56 Figura 4. 3. Histogramas y Diagramas de caja y bigotes del logaritmo base 10 de la permeabilidad en cada unidad estratigráfica. ........................................................... 57 Figura 4. 4. Tabulación de los valores de permeabilidad con respecto a la profundidad Unidad estratigráfica C. .......................................................................................... 58 Figura 4. 5. Fracción de la capacidad de flujo vs la fracción del total de volumen para el pozo 6 de la unidad estratigráfica A. Utilizando la suma de los polígonos sin regresión. ................................................................................................................ 60 Figura 4. 6. Gráficos cruzados de Coeficiente de Lorenz vs Coeficiente de Variación Dykstra Parsons, para cada unidad estratigráfica. .................................................... 62 Figura 4. 7. Gráficos cruzados de Coeficiente de Lorenz vs Coeficiente de Variación Dykstra Parsons, Unidad estratigráfica B. Pozos favorables para la comparación. ... 64 Figura 4. 8. Registro de pozo. Logaritmo decimal de la permeabilidad, el indicador de arena, y la porosidad en función de la profundidad. Pozo 26. Unidad estratigráfica B. ............................................................................................................................... 65 Figura 4. 9. Registro de pozo. Logaritmo decimal de la permeabilidad, el indicador de arena, y la porosidad en función de la profundidad. Pozo 12. Unidad estratigráfica B. ............................................................................................................................... 66 Figura 4. 10. Registro de pozo. Logaritmo decimal de la permeabilidad, el indicador de arena, y la porosidad en función de la profundidad. Pozo 5. Unidad estratigráfica B. ............................................................................................................................ 67 Figura 4. 11. Registro de pozo. Logaritmo decimal de la permeabilidad, el indicador de arena, y la porosidad en función de la profundidad. Pozo 16. Unidad estratigráfica B. ............................................................................................................................ 68 Figura 4. 12. Mapa isópaco para la unidad estratigráfica A. (Medidos en pies) ........ 70 Figura 4. 13. Mapa isópaco para la unidad estratigráfica B. (Medidos en pies) ........ 71 Figura 4. 14. Mapa isópaco para la unidad estratigráfica C. (Medidos en pies) ........ 72 Figura 4. 15. Mapa de variograma para la unidad estratigráfica A. Coeficiente de Lorenz. ................................................................................................................... 73 Figura 4. 16. Variograma teórico ajustado sobre variograma experimental para el Coeficiente de Lorenz en la unidad estratigráfica A................................................. 75 Figura 4. 17. Mapa de variograma para la unidad estratigráfica A. Log-Permeabilidad. ............................................................................................................................... 76 Figura 4. 18. Mapa de heterogeneidad en la unidad estratigráfica A. A través del coeficiente de Lorenz. ............................................................................................. 77 Figura 4. 19. Mapa de heterogeneidad en la unidad estratigráfica A. A través del coeficiente de Variación Dykstra Parsons................................................................ 78 Figura 4. 20. Mapa de heterogeneidad en la unidad estratigráfica B. A través del coeficiente de Lorenz. ............................................................................................. 79 Figura 4. 21. Mapa de heterogeneidad en la unidad estratigráfica B. A través del coeficiente de Variación Dykstra Parsons................................................................ 80 XI Figura 4. 22. Mapa de heterogeneidad en la unidad estratigráfica C. A través del coeficiente de Lorenz. ............................................................................................. 81 Figura 4. 23. Mapa de heterogeneidad en la unidad estratigráfica C. A través del coeficiente de Variación Dykstra Parsons................................................................ 82 Figura 4. 24. Grafico cruzado. Heterogeneidad de Lorenz para cada pozo, en función del espesor de arena y de la log-permeabilidad. Unidad estratigráfica A. ................. 84 Figura 4. 25. Grafico cruzado. Heterogeneidad de Lorenz para cada pozo, en función del espesor de arena y de la log-permeabilidad. Unidad estratigráfica B. ................. 85 Figura 4. 26. Grafico cruzado. Heterogeneidad de Lorenz para cada pozo, en función del espesor de arena y de la log-permeabilidad. Unidad estratigráfica C. ................. 86 Figura 4. 27. Relación entre la log-permeabilidad y la porosidad. ............................ 87 Figura 4. 28. Heterogeneidad de Lorenz y Espesor de arena. Unidad estratigráfica A. ............................................................................................................................... 90 Figura 4. 29. Heterogeneidad de Lorenz y promedio de log-permeabilidad. Unidad estratigráfica A. ...................................................................................................... 91 Figura 4. 30. Heterogeneidad de Lorenz y Espesor de arena. Unidad estratigráfica B. ............................................................................................................................... 92 Figura 4. 31. Heterogeneidad de Lorenz y promedio de log-permeabilidad. Unidad estratigráfica B. ....................................................................................................... 93 Figura 4. 32. Heterogeneidad de Lorenz y Espesor de arena. Unidad estratigráfica C. ............................................................................................................................... 94 Figura 4. 33. Heterogeneidad de Lorenz y promedio de log-permeabilidad. Unidad estratigráfica C. ....................................................................................................... 95 XII ÍNDICE DE TABLAS Tabla 3. 1. Parámetros utilizados para generar el variograma bidimensional teórico ajustado para los coeficientes de Lorenz en la unidad estratigráfica B. ...................................................................................................................... 48 Tabla 4. 1. Valores resaltantes de los coeficientes de heterogeneidad para cada método en cada unidad estratigráfica. ................................................. 61 Tabla 4. 2. Factores cualitativos de los yacimientos en función a la permeabilidad y a la heterogeneidad. ........................................................... 88 XIII CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN 1.1 Planteamiento De Problema En la industria petrolera juega un papel importante los cálculos que permiten inferir la cuantificación de hidrocarburos in situ y los posibles métodos aplicables para su extracción, para ello es preciso estudiar diversos parámetros necesarios que deben presentarse de manera simultánea en un yacimiento para que el mismo sea económicamente explotable; algunos de estos parámetros, están relacionados directamente con el volumen, la continuidad, los tipos de litología y la capacidad de almacenamiento de la roca, así como también su capacidad para permitir la circulación de fluidos (Craft y Hawkins 1977). Las propiedades petrofísicas son calculadas a partir de datos de pozos, lo que garantiza una excelente resolución vertical del estudio del yacimiento, sin embargo, la resolución horizontal pierde fidelidad a medida que la distancia entre los pozos se hace mayor o a medida que la densidad de sondeo (relación entre el número de pozos con información y el área horizontal del yacimiento en estudio) disminuye (Schlumberger, 1989). En el estudio del subsuelo a través de los métodos de prospección, se debe tomar en cuenta el valor agregado de la geoestadística, puesto que la misma permite predecir valores en una región a partir de los datos conocidos de lugares adyacentes, disminuyendo de manera eficaz la incertidumbre del estudio, permitiendo así, la elaboración de mapas que suministren la información necesaria para la localización de propiedades en los yacimientos y por ende para su delimitación espacial. 1 Es necesario tomar en cuenta que existe una relación directa entre la resolución que se define para cada sector de un modelo numérico (grupo de celdas) y la heterogeneidad de la propiedad que se modela. El estudio del yacimiento depende de la resolución que se aplique en el mismo, es necesario para un estudio eficaz tomar en cuenta la tasa de variación de las propiedades petrofísicas en función de su ubicación espacial. A través del cálculo de la heterogeneidad en el yacimiento, es posible cuantificar dichas variaciones. (Miranda 2009). Y así a través de ello generar un modelo numérico más eficiente en cuanto a la resolución y calidad, procurando que este represente fidedignamente la variabilidad de la geología del medio. En otras palabras, y de manera general, el cálculo de la heterogeneidad es una herramienta importante para la simulación numérica de yacimientos, con la finalidad de aportar información al modelo estático y posteriormente al modelo dinámico. (Toyo, 2009). En este sentido el siguiente trabajo especial de grado plantea la elaboración de un algoritmo con la finalidad de generar mapas de heterogeneidad a partir de datos de porosidad y permeabilidad obtenidos en un yacimiento, haciendo uso de herramientas como la geoestadística y el análisis numérico. 1.2. Objetivos 1.2.1. Objetivo general. Elaborar un algoritmo para generar mapas de heterogeneidad a partir de valores de permeabilidad de un yacimiento. 2 1.2.2. Objetivos específicos. • Calcular a través del coeficiente de variación Dykstra-Parsons la heterogeneidad vertical para cada pozo en base a la permeabilidad de los mismos. • Calcular a través del coeficiente de Lorenz la heterogeneidad vertical para cada pozo en base a la porosidad y permeabilidad de los mismos. • Desarrollar un algoritmo para generar los mapas de heterogeneidad tomando en cuenta los valores obtenidos de heterogeneidad vertical. • Generar mapas de heterogeneidad a partir de los datos de permeabilidad haciendo uso del algoritmo planteado. 1.3. Justificación Tomando en cuenta que una inapropiada resolución de estudio representa un riesgo a perder información útil al momento de ajustar un modelo numérico al geológico (necesario para el modelo estático), es necesario aplicar adecuadamente la resolución, lo que a su vez amerita conocer la heterogeneidad de las propiedades a modelar. La presente investigación plantea beneficios al estudio de yacimientos en función de la representación espacial de la heterogeneidad. Como se mencionó anteriormente, los mapas de heterogeneidad son una herramienta útil tanto al momento de ajustar la resolución adecuada, como para generar simulaciones para el modelo dinámico del yacimiento, lo que conlleva a la cuantificación de riesgos y por ende a la disminución de la incertidumbre del 3 estudio, lo que a fin de cuenta convergen información valiosa para el estudio económico asociado a la producción de los yacimientos. Este trabajo también pretende plasmar un algoritmo eficaz para la elaboración de mapas de heterogeneidad en un yacimiento a partir de datos petrofísicos (porosidad y permeabilidad), y con ello permitir el desarrollo de posteriores estudios y avances en cuanto a algoritmos computacionales, y a estudios de heterogeneidad. 4 CAPITULO II MARCO TEÓRICO 2.1. Caracterización de yacimientos La caracterización de yacimientos se define fundamentalmente como el análisis interpretativo y multidisciplinario de un yacimiento, estudiando al mismo como un sistema geológico e hidráulico, con la finalidad de detallar su geometría y comportamiento; calificar y cuantificar sus propiedades de roca y fluidos, y por último, establecer distribución y volúmenes recuperables de hidrocarburos, integrando para ello, el modelo estático y el modelo dinámico en un modelo final, que permita establecer un plan de explotación que garantice la máxima recuperación económica de sus reservas. (Reverón, 2006). Explica Reverón (2006), que en un estudio de esta magnitud es necesario el aporte de información en diferentes áreas, asociadas lógicamente a la explotación de hidrocarburos, tales como la Ingeniería Geológica, la Ingeniería Geofísica, la Petrofísica, la Ingeniería de Yacimientos y la Ingeniería de Producción. El modelo final del yacimiento permitirá la predicción del comportamiento de producción basados en las diversas opciones de recobro. 2.1.1. Modelo estático del yacimiento Reverón 2006, enfatiza que el modelo estático de yacimiento es aquel que representa de manera integrada las propiedades del yacimiento que no varían en función del tiempo, como es el caso de la permeabilidad, 5 porosidad, espesor, topes, limites, fallas, ambiente de sedimentación, continuidad vertical y lateral de las arenas, litología y límites de la roca, que unidos a pruebas de yacimientos enmarcadas en el modelo dinámico (datos de presión, producción, pruebas de presión), permiten definir con mayor claridad el yacimiento. A diferencia del modelo estático, el dinámico conjuga las propiedades que varían en función de tiempo. En otras palabras, el modelo estático comprende a su vez los modelos estructurales, estratigráficos, sedimentológicos, geoestadísticos y petrofísicos. Uno de los objetivos del modelo estático es determinar la heterogeneidad del yacimiento e identificar su influencia en las propiedades petrofísicas de las rocas (principalmente en la permeabilidad) y en las características que tendrá el flujo de fluidos o barrido al momento de la producción de hidrocarburos. (Wouterlood, 2002). 2.1.2. Modelo Dinámico del yacimiento. En este modelo se analiza la interacción dinámica roca-fluido del yacimiento; el propósito fundamental es desarrollar metodologías que permitan comprender de una manera integral como se desplazan los fluidos en la roca. Tales parámetros servirán para alimentar los modelos de simulación numérica de yacimientos. (Villalobos, 2010). Para ensamblar el modelo dinámico, es necesario contar con los modelos de fluido, P.V.T. (presión, volumen, temperatura). En este modelo, la producción, inyección y comportamiento de presión son analizados, el balance de materiales es elaborado, para determinar finalmente el estado inicial de yacimiento y el mecanismo de producción del mismo. (Faiz, 2009). 6 Jackson y otros (1986) mencionan que para el estudio final de recuperación y/o recuperación mejorada de hidrocarburos es necesario identificar las heterogeneidades. Por otro lado Wouterlood, (2002) explica que de los factores que afectan un proyecto de recuperación (primordialmente los de recuperación secundaria), la heterogeneidad de la formación es una característica adversa y difícil de controlar. 2.2. Petrofísica Las propiedades petrofísicas de las rocas son las características físicas de las mismas, entiéndase, espacio poroso, tamaño de los poros, conectividad de estos poros, volumen de agua en los poros, etc. Todos estos parámetros indican la configuración del sistema poroso y como el fluido circula a través de él, estando relacionados y originados por los procesos sedimentarios, tectónicos y físico-químicos sobre la roca. (Reverón, 2006). El objetivo de la petrofísica es estudiar las características físicas de la roca y entender como influyen en la calidad de los yacimientos de hidrocarburos. (WEC, 1997). Por otro lado, Peters (2007) menciona que la petrofísica estudia cuantitativamente las propiedades de las rocas y sus interacciones con los fluidos presentes en las mismas (gases, líquidos, hidrocarburos). La gran mayoría de hidrocarburos en la actualidad se extrae de acumulaciones en los espacios porosos de las rocas de yacimiento, generalmente areniscas calizas, y dolomitas. La cantidad de petróleo o gas contenidos en una unidad volumétrica es proporcional al producto de la porosidad por la saturación de hidrocarburos. Para evaluar la productividad de un yacimiento también es necesario saber con qué facilidad puede fluir el 7 hidrocarburo a través del sistema poroso. (Schlumberger, 1989). Por lo que dentro de las características más importantes en el estudio de yacimientos a través de la petrofísica, se encuentran la porosidad (Ø) y la permeabilidad (k). 2.2.1. Porosidad (Ø) Los granos de sedimentos que conforman las rocas sedimentarias no suelen encajar a la perfección debido a la forma geométrica de los mismos. El espacio vacío formado entre los granos es llamado poros o intersticios, en los mismos se alojan los fluidos (gases, agua, hidrocarburos).La porosidad de una roca yacimiento se define como la fracción del volumen total de la roca que corresponde a espacios que pueden almacenar fluidos (Tiab y Donaldson, 2004). Donde: Vp Ø = Vt (2.1) Ø = Porosidad [adim]. Vp = Volumen poroso. [cc] Vt = Volumen total de la roca [cc] Como el volumen de espacios disponibles para almacenar fluidos no puede ser mayor que el volumen total de la roca, la porosidad es una fracción y el máximo valor teórico que puede alcanzar es 1. Muchas veces la porosidad es expresada como un porcentaje, esta cantidad resulta de multiplicar la fracción por 100. 8 Los valores de porosidad suelen ser inferidos de núcleos o registros de pozos: densidad, neutrón, sónico, etc. 2.2.2. Porosidad Efectiva (Øef) Esta es la fracción de volumen poroso interconectado, es decir, es la porosidad total (calculada anteriormente) menos la porción de poros no conectados. En la evaluación petrofísica se obtiene al multiplicar la porosidad total por el porcentaje de arcilla. (Tiab y Donaldson, 2004). Donde: Ø𝑒𝑓 = Ø𝑡 × 𝑉𝑠ℎ (2.2) Øef = Porosidad efectiva [Adim.]. Øt = Porosidad total [Adim.]. Vsh = Porcentaje de arcilla [ohm]. 2.2.3. Permeabilidad. Además de ser porosa, una buena roca yacimiento debe tener la capacidad de permitir que los hidrocarburos presentes fluyan a través de los poros interconectados. La capacidad de la roca para conducir los fluidos se denomina permeabilidad. Esto indica que las rocas no porosas no tienen permeabilidad. La permeabilidad de una roca depende de su porosidad efectiva, en consecuencia, se ve afectada por el tamaño de grano, la forma del grano, la distribución de tamaño de grano (escogimiento) y el grado de consolidación y cementación (Tiab y Donaldson, 2004). 9 En 1856 Henry D`Arcy determinó, basado en estudios experimentales, que la velocidad de un fluido homogéneo en un medio poroso es proporcional al gradiente de presión e inversamente proporcional a la viscosidad del fluido. (Craft y Hawkins, 1977). Dicho enunciado puede ser expresado por la siguiente ecuación: 𝑘 𝑣= ∗ µ 𝛥𝑃 𝛥𝐿 (2.3) Donde v es la velocidad aparente del flujo, expresada en centímetros por segundos (cm/s); k es la permeabilidad expresada en Darcy; µ es la viscosidad expresada en centipoises (cp) y ΔP/ΔL es el gradiente de presión tomado en la misma dirección que la velocidad del flujo, en atmosferas por centímetros. (Craft y Hawkins, 1977). Por lo general a mayor porosidad corresponde mayor permeabilidad, pero esto no siempre es cierto, porque los factores como el tamaño, forma y continuidad de los poros también influyen decisivamente en la permeabilidad. (WEC, 1997). Existen rocas de granos muy finos con alto índice de porosidad interconectada, aunque los poros individuales y sus (conexiones de poros) gargantas sean pequeños. Esto hace que el fluido no se desplace fácilmente, dando como resultado una baja permeabilidad. Otro ejemplo similar, son las lutitas que son arreglos cuasi-simétricos de granos de arcilla que poseen alta porosidad pero permeabilidad casi nula, pues el espacio de poro como sus gargantas son muy pequeños o nulos. (Reverón, 2006). WEC (1997) menciona que la permeabilidad de una roca para el flujo de un solo fluido homogéneo se denomina permeabilidad absoluta o intrínseca, k; y es constante si el fluido no interactúa con la roca. En el caso de que existan dos o más fluidos inmiscibles (por ejemplo, agua y petróleo) en una roca, estos interfieren entre sí. Por lo tanto, ahora se tendrá una permeabilidad 10 efectiva al agua, kw, y una permeabilidad efectiva al petróleo, ko, siendo su suma menos o igual que la permeabilidad absoluta. Las permeabilidades efectivas dependen no solo de la roca en sí, sino también de las saturaciones relativas y propiedades de los diferentes fluidos en los poros. Estas permeabilidades que dependen de las saturaciones de fluidos son llamadas permeabilidades relativas. Así para un sistema agua petróleo, la permeabilidad relativa al agua, krw, es igual a kw/k, la permeabilidad relativa al petróleo, ko, es igual a ko/k. El cálculo de la permeabilidad es una de las tareas más complicadas en la petrofísica, porque esta propiedad está controlada por muchos factores: porosidad, tamaño de poro, tamaño de garganta de poro, etc. Por esta razón se han desarrollado diversas técnicas para determinar los valores de permeabilidad en los yacimientos, una de ellas es la ecuación empírica de Wyllie and Rose. 𝐾 = 𝐶 × Ø𝑥 × 𝑆𝑤𝑖𝑟𝑟 −𝑦 (2.4) Donde C es una constante empírica, Ø es la porosidad, Swirr es la saturación de agua irreducible, y X y Y son variables exponenciales. A partir de esta ecuación Timur construye la siguiente ecuación: 𝐾𝑡 = 104 × (Ø)4.5 (𝑆𝑤𝑖)2 Donde: Kt = Permeabilidad de timur. [mD] Ø = Porosidad. [Adim.]. Swi = Saturación de agua irreducible [Adim.]. 11 (2.5) Tanto la permeabilidad como la porosidad son características de toda roca y a través de las mismas y según sea su distribución se puede detallar la roca o el yacimiento a partir de su heterogeneidad. Según Peters (2007), la permeabilidad puede ser descrita de manera general de la siguiente manera: Muy baja: k <mD. Baja: mD< k < 10 mD Razonable: 10 mD< k < 50 mD Promedio: 50 mD< k < 200 mD Buena: 200 mD< k < 500 mD Excelente: k > 500 mD. 2.2.4. Correlación entre la porosidad y permeabilidad. Dado que la permeabilidad depende de la continuidad de espacios porosos, no existe una relación única entre la porosidad de una roca y su permeabilidad. Para arenas no consolidadas, es posible establecer relaciones entre la porosidad y, o bien alguna medida de diámetro de poro aparente o área de superficie específica y la permeabilidad. Sin embargo, estos tienen aplicaciones limitadas. Para un mismo ambiente de depósito hay a veces una relación razonable entre la porosidad y la permeabilidad, sin embargo para una determinada porosidad, las permeabilidades pueden variar ampliamente. Se han hecho intentos para correlacionar la permeabilidad y porosidad utilizando una ecuación de la forma: log k = a Ø + b Kozeny como pionero de las relaciones porosidad y permeabilidad, relacionó, en 1927, las propiedades de la roca con la permeabilidad. Formuló una 12 ecuación empírica que asociaba la permeabilidad con la porosidad y el área por unidad de volumen (Balan et al., 1995) 𝐾=𝐴∗ Ø 𝑆2 (2.6) Donde A es una constante empírica conocida como la constante de Kozeny, Ø es la porosidad y S el área de la superficie por unidad de volumen. Posteriormente dicha ecuación fue modificada por Carman (Balan et al., 1995). 𝐾=𝐴∗ Ø𝟑 𝑆𝑜 (1−Ø)2 (2.7) Donde So es el área de la superficie por unidad de volumen de material sólido. La función de la porosidad es la medida de la textura de la roca relacionada a la permeabilidad con el diámetro promedio de los granos. A partir de los trabajos pioneros de Kozeny y Carman, han sido muchos los investigadores que desarrollaron relaciones teórico empíricas entre la porosidad y permeabilidad. 2.3. Homogeneidad y Heterogeneidad. Todo medio es heterogéneo con respecto a cierta propiedad si la misma varía en función de la ubicación espacial dentro del medio. En caso de ser invariante, el medio será homogéneo (Peters, 2007). La homogeneidad y la heterogeneidad son parámetros que suelen utilizarse en la geología para la definición cualitativa de medios, sin embargo al profundizar más en el tema se observa que los mismos están asociados a cálculos y por ende también pueden denotar aspectos cuantitativos. 13 Como se mencionó antes, conocer la heterogeneidad de un yacimiento es fundamental para el estudio del flujo de hidrocarburos en el sistema dinámico del reservorio, sin embargo son ciertas propiedades del modelo estático quienes nos permiten llegar a ello. Ordoñez (2007) menciona que en los simuladores numéricos, el yacimiento es representado por una serie de celdas interconectadas, y el flujo entre las celdas es resuelto numéricamente. Los simuladores calculan el flujo de fluidos a través del yacimiento, basándose en los principios básicos de la Ley de Conservación de la Masa y la Ley de Darcy, tomando en cuenta principalmente la heterogeneidad del yacimiento. Al estudiar la tasa de heterogeneidad para cada pozo (heterogeneidad vertical) es posible generar mapas que reflejen la heterogeneidad del yacimiento (heterogeneidad areal) a partir de los datos obtenidos en cada pozo. Esto a través de las herramientas de interpolación. Alrededor del año 1950 se introducen dos métodos para la cuantificación de la heterogeneidad vertical en los yacimientos, en una escala de 0 (homogéneo totalmente) a 1 (heterogéneo totalmente). Dichos métodos son: el Coeficiente de Variación Dykstra & Parsons y el Coeficiente de Lorenz. Estos métodos se aplican para el cálculo de heterogeneidad en cada pozo muestreado y a través de la geoestadistica se pueden inferir matemáticamente los valores de heterogeneidad para todo el yacimiento. 2.3.1. Coeficiente de Variación Dykstra & Parsons (VDP) Una medida para la variación de la permeabilidad que se utiliza ampliamente en la industria petrolera es la del coeficiente de variación Dykstra-Parsons. Peters (2007) explica que este coeficiente se determina basándose en la 14 suposición que los datos de permeabilidad se han extraído de una distribución logarítmica normal (log-normal). El cálculo se hace mediante la tabulación de la valores de permeabilidad en orden decreciente y luego calcular para cada permeabilidad, el porcentaje de las muestras con permeabilidades mayores o iguales a ese valor. Luego de la tabulación es necesario el trazado de la distribución de frecuencia de los datos de permeabilidad en un papel semi-logarítmico de probabilidad. Para evitar valores de 0 ó 100%, que no están presentes en la escala de probabilidad, el porcentaje mayor o igual al valor, se normaliza entre N+1, donde N es el número de muestras. Como se observa en la figura 2.1, se traza la línea recta con mejor ajuste a los puntos graficados. El punto medio de la distribución de la permeabilidad (porcentaje acumulado = 50) es la mediana de los valores de permeabilidad. Mientras que el punto de porcentaje acumulado correspondiente a 84.1, pertenece a la desviación estándar de los valores de permeabilidad menores a la mediana. Figura 2. 1. Gráfico de los puntos de permeabilidad vs. El porcentaje acumulado y la recta de ajuste. 15 El coeficiente de variación Dykstra-Parsons (VDP) se calcula a través de la siguiente ecuación: 𝑉𝐷𝑃 = K[50%] − K[84.1%] K[50%] (2.8) Donde: K[50%] es la permeabilidad correspondiente a la mediana del conjunto logarítmico. Es decir, con la probabilidad logarítmica igual a 0.5 (K[50%] - K[84.1%]) es la permeabilidad correspondiente a la desviación estándar (84.1%) del conjunto logarítmico. Es decir, con la probabilidad logarítmica igual a 0.841. Sin necesidad de graficar, el cálculo del coeficiente de variación Dykstra Parsons puede efectuarse a través del método numérico, donde la relación se efectuá a través de los percentiles 50 y 84.1, para la mediana y la desviación estándar de los registros de log-permeabilidad respectivamente. El coeficiente de variación Dykstra Parsons es una excelente herramienta para caracterizar el grado de heterogeneidad en los yacimientos. El termino VDP es también denominado índice de heterogeneidad del yacimiento. (Tiab,2004) Dentro del rango (0,1) en el que existe VDP, Tiab (2004) clasifica la heterogeneidad de la siguiente manera: • VDP = 0, yacimiento totalmente homogéneo (valor ideal). • 0 < VDP < 0.25, yacimiento ligeramente heterogéneo, puede ser aproximado por un modelo homogéneo en la simulación del yacimiento, con un mínimo error. 16 • 0.25 < VDP < 0.50, el yacimiento es heterogéneo, si el coeficiente se acerca a 0.50 o sobre pasa ese valor, el simulador numérico debe correrse con un modelo heterogéneo completo. • 0.50 < VDP < 0.75, el yacimiento es muy heterogéneo. • 0.75 < VDP < 1, el yacimiento es extremadamente heterogéneo. • VDP = 1. El yacimiento es totalmente heterogéneo, este caso al igual que el totalmente homogéneo, son ideales, puesto que los procesos geológicos de depositación y la acumulación de sedimentos no son acontecimientos extremos. Según Peter 2007, la mayoría de los yacimientos de hidrocarburos cuentan con un VDP típico entre 0.5 y 0.9. 2.3.2. Coeficiente de Lorenz Otro método para el cálculo de la heterogeneidad utilizado en la industria petrolera es el coeficiente de Lorenz. Este se obtiene a través de un cálculo aplicado al gráfico de distribución de la capacidad de flujo. Dicho grafico representa los valores acumulados del producto de la permeabilidad por la profundidad (k*h) en función de los valores acumulados del producto de la porosidad por la profundidad (Ø*h). (Peter 2007) Según Sharma (1993), alrededor de 1950 Schmalz y Rahme introdujeron el Coeficiente de Lorenz como un parámetro simple que describe el grado de heterogeneidad dentro de una sección de arena neta petrolífera. Al igual que el Coeficiente de Variación Dykstra Parsons, el Coeficiente de Lorenz varía entre 0, para sistemas idealmente homogéneos, y uno para sistemas idealmente heterogéneos. A continuación se resume la metodología según Sharma, utilizada para calcular el coeficiente de Lorenz: 17 • Ordenar todos los valores de permeabilidad en orden descendiente. • Calcular la capacidad de permeabilidad acumulada ΣKh y la capacidad de volumen acumulada Σ Ø h. • Normalizar ambas capacidades acumuladas hasta que cada capacidad se encuentre en un rango entre 0 y 1. • Graficar la capacidad de permeabilidad acumulada normalizada versus la capacidad de volumen acumulado normalizado en una escala cartesiana. Figura 2. 2. Distribución de capacidad de flujo. Coeficiente de Lorenz. La figura 2.2, muestra una ilustración de la distribución de capacidad de flujo (curva azul). Un sistema completamente uniforme tendría todas las permeabilidades iguales, y el gráfico normalizado de Σ (k*h) vs Σ (Ø*h) sería una línea recta que cruza de (0,0) a (1,1) sobrepuesta a la línea de referencia 18 (roja). A medida que aumenta la heterogeneidad, incrementa la concavidad del gráfico, es decir la curva azul se aleja de la recta roja. El valor del Coeficiente de Lorenz es la relación entre el área inscrita entre la curva de la distribución de capacidad de flujo y la recta de referencia, con respecto al área del triángulo formado por la recta de referencia, el eje inferior y el eje derecho. A través de la gráfica es fácil deducir que el área de este triángulo es 0.5 u.a. (unidades de área). De manera tal que la ecuación matemática se reduce a: Donde: 𝐿𝑧 = 1 (∫0 𝑑𝑐𝑓(𝑥)𝑑𝑥)−0.5) 0.5 1 = � 2 ∫0 𝑑𝑓𝑐 (𝑥 )𝑑𝑥� − 1 (2.9) Lz = Coeficiente de Lorenz dfc(x) equivale a la función de distribución de capacidad de flujo. 2.4. Interpolación y Geoestadistica Se puede suponer que el yacimiento es homogéneo y utilizar el mismo valor de cada propiedad para cada cubo de la simulación, sin embargo dicho modelo ignora la geología del yacimiento y por consiguiente dará resultados errados. También se puede recurrir a simular la red de cubos a partir de valores de propiedad de un generador numérico aleatorio; este modelo, asegura cierta heterogeneidad, pero también hace caso omiso a la geología del yacimiento y a la observación general de que los datos de lugares cercanos tienden a ser similares mientras que datos de lugares que están muy alejados tienden a ser diferentes. Tiab y Donaldson (2004). En otro Palabras, las propiedades petrofísicas tienden a estar correlacionadas espacialmente, algunas de estas se obtienen a partir de registros de pozos, sin embargo, el estudio de pozos no cubre toda la 19 información necesaria para el estudio del yacimiento, por ende, las propiedades en la mayor parte del campo siguen siendo desconocidas y suelen ser calculadas a través de otros medios. Es decir, siempre existe la necesidad de idear una manera coherente para estimarlas; pues razones económicas y operativas hacen imposible medir una variable regionalizada en más que un conjunto limitado de puntos. Entonces a partir de dichos puntos se desea calcular el valor de la variable en cualquier otro punto (donde no se conoce). Esta operación puede llamarse estimación, predicción o interpolación según el contexto en que se realiza. (Usandivaras, 2006). La geoestadística presenta como propósito esencial, estimar, predecir y simular variables regionalizadas. Cada observación pertenece a dos espacios: el geográfico (coordenadas espaciales hasta tres dimensiones) y el espacio de las propiedades (Atributo o variable observada), que puede tener tantas dimensiones como número de variables observadas (Ambrosio, 2007). La geoestadística en si se basa en la aplicación práctica de la teoría de la variables regionalizadas desarrollado por Georges Matheron. La principal diferencia entre la estadística y geoestadística es que la estadística se basa en el estudio de datos aleatorios, independientes y generalmente poco correlacionados, mientras que la geoestadística trata los datos bajo un patrón espacialmente correlacionados. Peters (2007). Como se mencionó anteriormente, el término geoestadística fue acuñado por Matheron en 1962, donde formalizó y generalizó matemáticamente un conjunto de técnicas basadas en la correlación espacial para predicciones en la evaluación de reservas de las minas de oro en Sudáfrica, desarrolladas en 1941 por Danie Krige. (Díaz, 2002). Matheron definió la geoestadística como la aplicación del formalismo de las funciones aleatorias al reconocimiento y estimación de los fenómenos naturales. 20 Se conoce como función aleatoria a un grupo de valores de una variable aleatoria, cada uno ubicado en un punto del espacio y en los que la dependencia entre uno y otro viene dada por el mismo mecanismo probabilístico que determina cada uno de los valores de la variable aleatoria. (Hernández, 2002) Es posible generar los mapas de propiedades de un yacimiento (por ejemplo, porosidad promedio) a partir de diversos métodos de interpolación, entre los principales métodos tenemos al método de kriging. Cuando el objetivo es hacer predicción, la geoestadística opera básicamente en dos etapas. La primera es el análisis estructural, en la cual se describe la correlación entre puntos en el espacio (utilizando comúnmente los variogramas). En la segunda fase se hace predicción en sitios de la región no muestreados por medio de la técnica kriging. 2.4.1. Variograma La geoestadística se fundamenta principalmente en el variograma, el cual es una herramienta para analizar la continuidad o comportamiento espacial de las variables distribuidas es un área. El mismo se define mediante la ecuación: Y(h) = Var[Z(x) – Z(x+h)] = E[Z(x) – Z(x+h)]2 Donde, Y(h) es la función del variograma. h: distancia entre dos observaciones. Z(x): Valor de la propiedad observada en la posición x. Var: Varianza. E: Esperanza. 21 (2.10) Lo anterior señala que el variograma es el valor promedio del cuadrado de la diferencia entre dos valores de la propiedad que se analiza, estos puntos en el espacio se encuentran separados por una distancia “h” en la dirección del vector “h”. “x” y “h” pueden ser vectores o puntos, por lo tanto el valor del variograma dependerá de la magnitud y dirección de “h”. Es por ello que se usa el variograma para analizar la variable en función de su dirección y distancia y no de la localización de los puntos. Figura 2. 3. Ejemplo de variograma gráfico. Donde: Rango (range): Distancia a la cual el variograma se estabiliza (pendiente 0) Meseta (sill): Valor constante que toma el variograma para distancias iguales o mayores al rango. 22 Efecto pepita (nugget): Representa la variabilidad en las distancias más pequeñas que el espaciado de muestra típica, incluyendo el error de medición. Propiedades del variograma • Si h=0, Y(h)=0. • Y(- h)= Y(h) es una función par, es decir, tiene el mismo valor en direcciones opuestas. • Relación con la función covarianza. Cuando la variable en estudio es estacionaria, entonces el variograma Y(h) y la covarianza C(h) se relacionan por medio de la siguiente ecuación Y(h) = C(0) - C(h). Esto indica que para funciones aleatorias estacionarias, el variograma y la covarianza son equivalentes. • Comportamiento a grandes distancias: Si para una distancia d, Z(x) y Z(x+h) no están correlacionadas, entonces el variograma se estabiliza tomando el valor C(0), esto se deduce por la propiedad anterior. La distancia d se conoce como rango. Pero no todos los variogramas se estabilizan para grandes distancias, lo cual podría ser una consecuencia de la presencia de una tendencia en la variable o simplemente que generalmente estén correlacionados. • Comportamiento a pequeñas distancias. Este comportamiento es más importante porque se encuentra ligado al comportamiento de la variabilidad espacial. Si para valores cercanos, Z(x) y Z(x+h) varían mucho, entonces el variograma crecerá muy rápido indicando una alta variabilidad y viceversa. 23 2.4.2. Kriging La correlación espacial entre los datos mediante funciones de variograma o de covarianza es considerada por el método “Kriging”. Eso permite describir y respetar de cierta manera la continuidad de los cuerpos. El Kriging es un estimado lineal que utiliza como criterio la minimización de la varianza en la estimación, es decir, a partir de una combinación lineal de valores medidos Z(xi) en los puntos de observación (xi), permite obtener la estimación de valores desconocidos Z(x0) en un punto (x0), así como la varianza estimada. El desarrollo de las ecuaciones de “Kriging” se basa en las siguientes propiedades: 1. Estimación Lineal: es el valor estimado de la variable Z(x0) que se obtiene por combinación lineal de los valores observados de las variables aleatorias Z(xi). Donde, Z* = ∑𝑛𝑖=1 λi ∗ Zi Z* = Valor estimado de la variable regionalizada. λi = coeficiente de ponderación o de Kriging. Z = Valores observados de la variable regionalizada. 2. Sesgo nulo: 3. Varianza Mínima: E(Z*) = E(Z), es decir, ∑𝑛𝑖=1 λi = 1 Var (Z*-Z) = E((Z*-Z)2) sea mínima. 24 (2.11) Las ecuaciones del método Kriging no dependen de los valores medidos de las variables, sino solamente de sus posiciones y del variograma, por lo tanto, es un interpolador exacto. Una de las ventajas del Kriging sobre la mayoría de los interpoladores es la forma en que tiene en cuenta la distribución de los datos y la anisotropía cuantificada por el variograma. 2.5. Regresión. Son frecuentes en la práctica situaciones en las que se cuenta con observaciones de diversas variables, y es razonable pensar en una relación entre ellas. El poder determinar si existe esta relación y, en su caso, una forma funcional para la misma es de sumo interés. Por una parte, ello permite predecir valores desconocidos a partir de valores conocidos, como también responder con criterio estadístico a cuestiones acerca de la relación de una variable sobre otra. (Tusell y Núñez, 2007). La regresión es esa técnica estadística, que permite construir modelos que representan la dependencia entre variables o hacer predicciones de una variable “Y” en función de las observaciones de otras variables “X”. Consideramos una variable aleatoria Y (regresando, respuesta, o variable endógena) de la que suponemos que se genera así: 𝐘 = 𝛃𝟎𝐗𝟎 + 𝛃𝟏𝐗𝟏 + · · · + 𝛃(𝐩 − 𝟏)𝐗(𝐩 − 𝟏) + 𝛏 Donde: β0, β1,. . . , βp−1, son parámetros fijos desconocidos. 25 (2.12) X0, X1,. . . ,Xp−1, son variables explicativas no estocásticas, regresores, cuyos valores son fijados por el experimentador. Frecuentemente X0 toma el valor constante “uno”. ξ, es una variable aleatoria inobservable. Suele suponerse por conveniencia como un termino de error con media 0 y varianza constante. (Tusell y Núñez, 2007). La ecuación 2.11 indica que la variable aleatoria Y se genera como combinación lineal de las variables explicativas, salvo en una perturbación aleatoria “e”. Las ecuaciones mas comunes que se utilizan para expresar estas relaciones son: Lineal Cuadrática Polinomica Logarítmica Exponencial Potencial 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋 + 𝑒 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋 + 𝑐𝑋 2 + 𝑒 𝑌 = 𝑎0 + 𝑎1𝑋 + 𝑎2𝑋 2 + ⋯ + 𝑎𝑝𝑋 𝑝 + 𝑒 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝐿𝑛(𝑋) + 𝑒 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑒 𝑏𝑋 + 𝑒 𝑌 = 𝑎𝑋 𝑏 + 𝑒 Luego de seleccionar el metodo de regresión y obtener la curva según el tipo de regresion que se halla selecionado,, es necesario el calculo de la bondad de ajuste (R2). La bondad de ajuste (R2) es un metodo para medir la aproximación de la curva de regresión obtenida a la nube de puntos o datos originales. Es decir, R2 mide qué tan buen ajuste efectúa el modelo de regresión a los datos. El rango de R2 es [0,1] o lo que en porcentaje seria [0% a 100%]. Mientras mayor sea R2 mejor es el ajuste de la regresion a la nube de datos. (Barón, 2011) 26 2.6. Algoritmo. Euclides, el gran matemático griego (del siglo IV antes de Cristo) que inventó un método para encontrar el máximo común divisor de dos números, se considera uno de los grandes padres de la algoritmia (Joyanes, 2003). Lo que evidencia que aunque la popularización del término ha llegado con el advenimiento de la era informática, un algoritmo es un método para resolver un problema. Según Stori, M. y otros (2012) al momento de planear una estrategia para solucionar un problema puede hacerse a través de un algoritmo, es decir por medio de una secuencia de instrucciones cada una de las cuales representa una tarea bien definida y puede ser llevada a cabo en una cantidad finita de tiempo y con un número finito de recursos computacionales (de hacerse uso de los mismos). Los pasos para la resolución de un problema a través de un algoritmo son: 1. Diseño del algoritmo, que describe la secuencia ordenada de pasos (sin ambigüedades) que conducen a la solución de un problema dado. (Análisis del problema y desarrollo del algoritmo.) 2. Expresar el algoritmo como un programa en un lenguaje de programación adecuado. (Fase de codificación.) 3. Ejecución y validación del programa por la computadora. 27 CAPÍTULO III MARCO METODOLÓGICO Como en todo trabajo de investigación, la revisión bibliográfica antes y durante el desarrollo es necesaria, los principales tópicos de estudio fueron: propiedades petrofísicas, coeficientes de heterogeneidad en pozos, estadística descriptiva y geoestadística; los mismos se expusieron junto a otros tópicos pertinentes en el anterior capitulo. En cuanto a los datos utilizados, se contó con un archivo que dispone de los registros de permeabilidad, porosidad profundidad e indicador de arena de 43 pozos verticales, ubicados espacialmente en un área aproximada de 13000 m2, como se muestra en la figura 3.1. Las coordenadas de los pozos fueron alteradas para mantener la confidencialidad de los datos. Figura 3. 1. Ubicación relativa de los pozos. 28 El estudio también contempla 3 unidades estratigráficas (de la menos profunda a la más profunda: A, B, y C). Las coordenadas de las mallas que modelan las 6 superficies (tope y base de cada unidad estratigráfica) también fueron alteradas manteniendo la relación con la ubicación de los pozos. En la figura 3.2 se observan los topes y bases de las unidades y los pozos. Figura 3. 2. Unidades estratigráficas y pozos. Con el fin de alcanzar los objetivos planteados, la metodología de este trabajo se dispuso bajo las etapas señaladas en la figura 3.3. 29 Cargar y adecuar datos Análisis estadistico. Cálculo de la heterogeneidad. Relación entre los coeficientes. • Cargar archivos. • Desglosar archivos y unificar. • crear tabla con las propiedades por cada pozo en cada unidad estratigráfica. • Estadística descriptiva. • Gráficos para análisis estadístico. • Datos de salida. • Cálculo del coeficiente de Dystra Parsons. • Cálculo del coeficiente de Lorenz. • Gráficos cruzados entre Lorenz y Dykstra Parsons. • Evaluación de la log-permeabilidad en los pozos caracteristicos de baja y alta heterogeneidad. • Elaboración de los mapas isopacos para cada unidad. • Variografía (mapas de variograma y variogramas bidimencionales). Isopacos y Geoestadísti- • Kriging. ca • Mapas de heterogeneidad. (lorenz y Dykstra Parsons). Análisis de resultados. • Heterogeneidad como factor de cualificación de incertidumbre. • Relación entre la heterogeneidad la permeabilidad y el espesor de arena. Figura 3. 3. Metodología a desarrollar para alcanzar los objetivos propuestos y sus respectivos análisis. 30 3.1. Cargar y adecuar los datos de entrada. A partir de los registros de pozos y los datos de cada horizonte que se involucran en el estudio, se elaboró un algoritmo que permite cargar los archivos al programa computacional (R Project) y allí separar los registros de cada pozo dentro de las unidades de interés. Tomando en cuenta que los datos petrofísicos provienen de un archivo único para los 43 pozos, y otros 6 archivos contienen los puntos que definen las superficies de cada tope y cada base de las 3 unidades estratigráficas, fue necesario elaborar un algoritmo para desglosar los datos de interés, es decir los registros petrofísicos de cada pozo, dentro de cada unidad estratigráfica. Del archivo que contiene los registros de pozo, son de interés para la elaboración de esta investigación los datos de la ubicación espacial de cada medición, lo que involucra la profundidad donde fue tomado cada registro, y las coordenadas de latitud y longitud para cada pozo, es necesario mencionar que por motivos de confidencialidad de datos, estas coordenadas fueron alteradas, conservando entre ellas las distancias originales. También son de interés los datos de permeabilidad y porosidad. Luego de cargar los archivos, es necesario introducir como variable el número de unidades estratigráficas (3). El número de pozos es calculado a través de una de las rutinas que conforman el algoritmo; se debe tener en cuenta que todos los pozos utilizados fueron verticales. Posterior a esto, se reordena el archivo de pozos en una tabla, de manera que los valores de las coordenadas este y norte, y los valores de profundidad aumenten a medida que descienden los valores en la tabla, manteniendo el resto de las propiedades en cada medición. Luego a través de distintos 31 procedimientos se generó una tabla que contenga las coordenadas de cada pozo. Luego de cargar los archivos de tope y base de cada estrato a estudiar, se evaluó a través de una rutina, si cada nodo de cada mallado de superficie presenta las mismas coordenadas norte y este, al cumplirse, el algoritmo notifica con la frase: “corresponden los nodos (x,y)”. Luego, al saber que las 6 mallas presentan los mismos nodos (con diferentes profundidades), se procedió a crear otra rutina que elabore una tabla que contenga las coordenadas de cada pozo con las coordenadas de los respectivos nodos más cercanos y la distancia que los separa. El siguiente paso consistió en generar una tabla donde a cada pozo se le asignan los nodos correspondientes, uno por cada malla (base y tope) que el pozo intercepta, lo que permite obtener la profundidad en la cual cada pozo alcanza las unidades estratigráficas, y así enfatizar el estudio dentro de las mismas. Luego a través de una secuencia de rutinas se crea una tabla final de las propiedades de los pozos, semejante a la inicial, a diferencia que no se incluyen las mediciones de los pozos fuera de las unidades que deseamos estudiar, se resalta a que unidad estratigráfica pertenece cada registro de los pozos y por último a todos los registros de heterogeneidad se le sumó un valor distribuido uniformemente en el intervalo (0 , 1E-5], con la finalidad de poder calcular valores de logaritmo de la heterogeneidad más adelante. 3.2. Análisis estadístico. Luego de haber desglosado los datos iniciales y haberlos separado por pozos y unidades estratigráficas, se aplicó un análisis de estadístico de los datos en cada unidad estratigráfica. Eso con la finalidad de comprender el 32 comportamiento de las propiedades petrofísicas medidas. Se calcularon las principales medidas de tendencia, al igual que se elaboró un conjunto de histogramas, diagramas de caja y bigotes y gráficos QQ (cuantil - cuantil), cuya finalidad es resaltar de manera visual el comportamiento del grupo de cada conjunto de datos. Datos de entrada. Registros (propiedades petrofísicas). Estadística descriptiva. Gráficos de distribución y representación estadistica. Datos de salida. Registros (propiedades petrofísicas). Figura 3. 4. Diagrama del análisis estadístico de las propiedades petrofísicas.(Para los registros del yacimiento, por pozos y/o unidades estratigráficas). 33 Figura 3. 5. Histogramas, diagramas de caja y bigote y gráficos QQ, correspondientes a los datos de cada unidad estratigráfica. En las tres unidades estratigráficas se puede observar la existencia de valores atípicos conocidos como “outliers”, los mismos pueden ser tomados en cuenta para el estudio, posterior a un análisis de la posible naturaleza. 3.3. Elaboración de los algoritmos para calcular la heterogeneidad. Para el cálculo de la heterogeneidad a partir de los registros de permeabilidad y porosidad correspondiente a cada pozo en cada unidad estratigráfica, se tomaron en cuenta dos métodos, Coeficiente de Variación 34 Dykstra Parsons y Coeficiente de Lorenz. Ambos registran la heterogeneidad dentro del intervalo (0-1). A continuación se detallan: 3.3.1. Variación Dykstra Parsons (VDP). Para el cálculo de VDP solo es necesario contar con las mediciones de permeabilidad. Se elaboró una rutina donde se ordenaron las mediciones de permeabilidad en una tabla en sentido decreciente, en el cual cada valor esta enumerado de mayor a menor, correspondiendo al valor de mayor permeabilidad el número uno; las mediciones de igual valor se cuentan pero solo se le asigna número de conteo a la última repetida. Luego se agregó a la tabla una columna de porcentaje acumulado, el cual corresponde a: pa = Donde: 100∗n 1+rn (3.1) pa : corresponde al valor de porcentaje acumulado. n : Vector de conteo de los valores de permeabilidad. rn : longitud o rango del vector n. Según Peters, J. (2007), se debe graficar los valores de permeabilidad con respecto a la distribución de frecuencia de los datos de permeabilidad en un papel semilogarítmico (esto para aseguran una dispersión o nube de puntos factible de ajustar a través de una recta. Dicha recta de ajuste nos permite ubicar los valores de permeabilidad correspondiente al 50% y al 84.1% de la distribución de frecuencias. (Km y Ke respectivamente). Según la ecuación 2.7: 𝑉𝐷𝑃 = K[50%] − K[84.1%] K[50%] 35 Donde: Km = (K[50%]), es la mediana de la permeabilidad (Km – Ke) = (K[50%]- K[84.1%]), es la desviación estándar, menor a la mediana, en un grafico log-probabilístico. Sin embargo, la rutina puede programarse de otra manera, para evitar graficar en hojas semi-logarítmicas. Dicho método igualmente asegura una dispersión posible de ajustar a través de una recta. El mismo consiste en graficar bajo unos ejes decimales (ambos), la distribución de frecuencia vs el logaritmo decimal base 10 de la permeabilidad (Log10(K)).Tomando en cuenta que para invertir el efecto generado por el logaritmo, los resultados serán: 𝐾𝑒 = 10K[84.1%]) 𝐾𝑚 = 10K[50%]) Por lo que desarrollando la formula, tendremos 𝑉𝐷𝑃 = 10K[50%] −10K[84.1%] 10K[50%] = 1 − (10(K[84.1%]− K[50%] ) ) (3.2) A continuación se detalla en la figura 3.6 la gráfica B13. La cual corresponde al estudio de los valores de permeabilidad medidos en la unidad estratigráfica B, a través del pozo 13 En eje de las abscisas se representa el porcentaje acumulado de muestras mayores o iguales al logaritmo de la permeabilidad correspondiente. En el eje de las ordenadas se representa el logaritmo base 10 de las permeabilidades medidas (Log10 (k)). La unidad de la permeabilidad es el mDarcy. 36 Figura 3. 6. Distribución de frecuencia vs. Log(k) para el pozo 13 en la unidad estratigráfica B. La curva de color azul (fun_B13) representa la variación logarítmica de la permeabilidad con respecto al porcentaje acumulado de valores, como se indicó en el marco teórico. La recta de color rojo (fun_rB13) representa la recta de mejor ajuste para la curva azul (variación logarítmica de la permeabilidad con respecto al porcentaje acumulado de valores). Dicha recta se obtuvo a través de una subrutina de regresión lineal aplicada a los datos originales, con la finalidad 37 de calcular por métodos numéricos el valor de logarítmico de k al cual corresponden los porcentajes 50 y 84.1 respectivamente. (Según la teoría de la variación de la permeabilidad a través de Dykstra-Parsons (VDP). Junto a la recta de regresión es necesario conocer la calidad del ajuste de la misma sobre la curva inicial. Es decir, se cuantifica la calidad del modelo de ajuste, para ello se utilizó la medida del coeficiente de determinación 𝑅2 . Luego de obtener los valores de Dykstra Parsons se le agregó una línea a la rutina para que generara una tabla donde asocie cada valor de VDP a las coordenadas de su pozo correspondiente y a su unidad estratigráfica. A pesar de lo eficiente que puede parecer este método, el error o calidad de ajuste en muchas curvas fue un inconveniente para la aplicación del mismo. En última instancia se dejó a un lado el método geométrico para dar paso al método numérico estadístico, este consistió en efectuar los cálculos directamente según lo que se requería. Partiendo de la ecuación 3.2, donde K[84.1%] es el percentil 84.1 del logaritmo base 10 de los datos de permeabilidad. Y K[50%], es la mediana o percentil 50 del logaritmo base 10 de los datos de permeabilidad 3.3.2. Coeficiente de Lorenz (Lz) Para el cálculo del Coeficiente de Lorenz es necesario contar con las mediciones de permeabilidad y porosidad, al igual que la profundidad de las mismas en cada pozo. Se elaboró una rutina en la cual se crea una tabla con los registros de permeabilidad y porosidad, donde los valores se ajustaron en sentido decreciente de la permeabilidad. Luego a partir de los cálculos mencionados en el marco teórico, apartado 3.2, se completa la tabla final. 38 Como se mencionó anteriormente, se debe graficar la fracción de la capacidad de flujo vs la fracción del total de volumen. Tomando en cuenta que debe incluirse el punto origen (0,0) en la gráfica. El crecimiento de la curvase asemeja al patrón de una curva logarítmica. Se debe calcular el área bajo la función graficada (calcular la integral definida) por lo que se indicó en la rutina que la gráfica arroje también una curva de ajuste con el patrón de la función logarítmica, esto para obtener la ecuación de la curva de ajuste y así poder calcular la integral. Dicha curva de ajuste resultó algo distante de la original (en la mayoría de los casos), a pesar de que el coeficiente de determinación fue relativamente alto, lo que traería un error al calcular la integral definida y posteriormente arrastraría el error al cálculo del coeficiente de Lorenz. A continuación se muestra en la figura 3.7 la gráfica que se obtuvo con la rutina programada según la anterior metodología, para el conjunto de datos del pozo 18, en la unidad estratigráfica A. En eje de las abscisas se representa fracción del total de volumen En el eje de las ordenadas se representa la fracción de la capacidad de flujo. 39 Figura 3. 7. Fracción de la capacidad de flujo vs la fracción del total de volumen para el pozo 18 en la unidad estratigráfica A. Utilizando la regresión logarítmica decimal. La curva de color azul (Lz_A18) representa la fracción de la capacidad de flujo vs la fracción del total de volumen para el pozo 18 en la unidad estratigráfica A. La curva de color rojo (F_rA18) representa la recta de ajuste para la curva azul (curva de la fracción de la capacidad de flujo vs la fracción del total de volumen), obtenida a través de una regresión lineal (función logaritmo base 10) aplicada a los datos originales, con la finalidad de calcular por métodos numéricos el valor de la integral de la curva. 40 Junto a la curva de regresión es necesario saber la calidad del ajuste de la misma sobre la curva inicial. Es decir, se cuantifica la calidad del modelo de ajuste, para ello se utilizó la Medida del coeficiente de determinación 𝑅2 . Como ya se mencionó, para calcular el Coeficiente de Lorenz es necesario calcular el área bajo la función original, pero al no tener su ecuación, se utilizó la ecuación de la curva de ajuste. El método empleado para calcular la integral a través del algoritmo, fue la Regla de Simpson, la cual se aplicó en una nueva rutina para todos los conjuntos de datos. A pesar de que el intento de aproximar la curva original a través de una regresión logarítmica generó resultados aceptables en la mayoría de las funciones, en otras, no se evidencio una buena aproximación, por lo cual se reformulo una nueva metodología para el cálculo del Coeficiente Lorenz. Se creó un algoritmo que calculara el área formada entre la recta que une a cada punto graficado, (fracción de la capacidad de flujo vs la fracción del total de volumen), las verticales que pasan por dichos puntos, y el eje horizontal, formando trapezoides (o triángulos en el caso del primer punto (0,0) que estaría sobre el eje horizontal). A continuación se muestra la gráfica que se obtiene con la segunda metodología expuesta para el conjunto de datos del pozo 18, en la unidad estratigráfica A. La rutina incluyó en el gráfico los aspectos se detallan a continuación: En eje de las abscisas se representa fracción del total de volumen En el eje de las ordenadas se representa la fracción de la capacidad de flujo. 41 Figura 3. 8. Fracción de la capacidad de flujo vs la fracción del total de volumen para el pozo 18 en la unidad estratigráfica A. Utilizando la suma de los polígonos. (Sin regresión). La curva de color azul (Lz_A18) representa la fracción de la capacidad de flujo vs la fracción del total de volumen. Para crear los polígonos cuyas áreas sumadas definirán la integral, cada curva de la función debe simularse como la unión de segmentos de línea recta. Los segmentos de color verde (Int_sr_A18) representan los límites laterales de cada polígono bajo la curva azul (fracción de la capacidad de flujo vs la fracción del total de volumen). 42 La suma total de todas las áreas se convierte en el valor de la integral, al que nuevamente se le aplica el cálculo de coeficiente de Lorenz, donde este será igual al doble de la integral de la curva, menos uno. Esta última metodología para el cálculo de los coeficiente de Lorenz arrojó errores despreciables en cuanto al ancho de los rectángulos, por ende fue tomada en cuenta por como metodología final para este paso. Al igual que para los valores de la Variación Dykstra Parsons, luego de obtener los valores, se le agregó una línea a la rutina para que generara una tabla donde asocie cada coeficiente de Lorenz a las coordenadas de su pozo correspondiente y a su unidad estratigráfica. 3.4 Relación entre los coeficientes de heterogeneidad. Luego de tener los coeficientes de Lorenz y de Variación Dykstra Parsons para cada pozo, se prosiguió a elaborar una rutina para comparar las mediciones estadísticas principales (mínimo, promedio y máximo) de cada coeficiente en cada unidad estratigráfica. Igualmente se formuló una rutina para obtener los gráficos cruzados entre ellos y calcular los coeficientes de correlación, de tal modo de facilitar la comparación y resaltar las diferencias entre los mismos. En la figura 3.9 se observan los gráficos cruzados. 43 Figura 3. 9. Gráficos cruzados de Coeficiente de Variación Dykstra Parsons vs Coeficiente de Lorenz, para cada unidad estratigráfica, con su respectivo coeficiente de correlación. En el eje horizontal inferior se encuentra como variable el coeficiente de Lorenz mientras que en el eje vertical el de Dykstra Parsons. En otra rutina se obtuvo el mismo grafico cruzado, indicando los pozos en cada punto de heterogeneidad, a través de ello, se observaron los pozos con valores extremos de heterogeneidad (altos y bajos) para cada unidad estratigráfica. Y con la finalidad de analizar el comportamiento de la permeabilidad con respecto a la heterogeneidad de dichos pozos calculada 44 por ambos métodos, se escogió la unidad de menor coeficiente de correlación (unidad estratigráfica B). A continuación se muestra en la figura 3.10 la gráfica de la logpermeabilidad, vs la profundidad, asociada a la gráfica de indicador de arena y la de porosidad, para el pozo 16 de la unidad estratigráfica B. . Figura 3. 10. Log-permeabilidad vs profundidad, asociada a la gráfica de indicador de arena y la de porosidad, para el pozo 16 de la unidad estratigráfica B. En la misma se observa que para secciones de arena, la log permeabilidad se comporta relativamente variable al igual que la porosidad. 45 3.5. Mapas Isópacos y Geoestadística. 3.5.1. Mapas Isópacos Para tener una idea de los espesores de las unidades estratigráficas, se elaboró una rutina que calculara la diferencia de cotas entre ellas a través de las mallas originales que definían a los topes y bases de estas. Posterior a ello, se elaboraron los mapas isópacos. En la figura 3.11 se observa el mapa isópaco de la unidad estratigráfica A. Figura 3. 11. Mapa isópaco para la unidad estratigráfica A. (Medidos en pies). 46 3.5.2. Geoestadística Para crear lo concerniente a la variografía se prosiguió a crear las rutinas necesarias para ello: Primero se generó la rutina para crear los mapas de variograma, partiendo de la distancia máxima de alcance del variograma (cutoff) y del ancho de las ventanas para la búsqueda de puntos (width). Dichos valores fueron reajustables para cada mapa de variograma. Para obtener el mapa de la figura 3.12 el cutoff empleado fue de 12000 y el width de 1100. Figura 3. 12. Mapa de variograma para la unidad estratigráfica A. Coeficiente de Lorenz. 47 Como se observa en el mapa de variograma, los datos muestran una dirección de máxima continuidad a 45º y de mínima continuidad a 135º (ambos en sentido dextrógiro con respecto al norte). Luego de obtener los mapas de variograma, con sus respectivas tendencias, se generó otra rutina para obtener los variogramas experimentales junto a su respectivo ajuste teórico. Para obtener los variogramas teórico-experimentales, y el ajuste respectivo, se definieron ciertos parámetros para cada caso. Para obtener el variograma experimental, es necesario aparte de la distancia máxima de alcance del variograma (cutoff) y el ancho de las ventanas (width), incluir los valores en grados de las tendencias de mayor y menor continuidad. Para el caso del variograma teórico y el respectivo ajuste, se requiere especificar la meseta (sill), el modelo de curva, el efecto pepita (nugget), el rango y por último definir la anisotropía(en función de la dirección de la tendencia dominante y la relación rango menor / rango mayor). En la tabla 3.1, se detallan los parámetros utilizados para generar el variograma bidimensional teórico ajustado para los coeficientes de Lorenz en la unidad estratigráfica B. Ver figura 3.13. Tabla 3. 1. Parámetros utilizados para generar el variograma bidimensional teórico ajustado para los coeficientes de Lorenz en la unidad estratigráfica B. VARIOGRAMAS Experimental Teórico Cutoff 8000 Sill 0.027 Width 1000 Modelo Exponencial Tendencia mayor 45 Nugget 0 Tendencia menor 135 Rango 1150 - - Anisotropía 45º / 0.5 48 Figura 3. 13. Variograma teórico ajustado sobre variograma experimental para el Coeficiente de Lorenz, en la unidad estratigráfica B. 3.5.3. Kriging. Luego de obtener los variogramas bidimensionales para los coeficientes en cada unidad estratigráfica, se generó una rutina en la cual se crea un mallado de nodos equidistantes (200 x 200 celdas), a dichas celdas se le asignaron los valores de heterogeneidad distribuidos según las relaciones obtenidas mediante los cómputos de variogramas a través de método de 49 kriging, convirtiendo finalmente los datos discretos de heterogeneidad en mapas de heterogeneidad. Ver figura 3.14. Figura 3. 14. Mapa de heterogeneidad en la unidad estratigráfica B. Interpolación por kriging de los coeficientes de Lorenz. En la figura 3.12 se observan la distribución de la heterogeneidad de manera continua, gracias a la interpolación aplicada de los valores de heterogeneidad en pozos. 3.6. Heterogeneidad como factor de cualificación de incertidumbre. Con la finalidad de observar cómo se relaciona la heterogeneidad con los valores de log-permeabilidad y espesor de arena para cada unidad estratigráfica, y a través de ello localizar las zonas de mayor interés, se elaboraron diversas rutinas que permitieron identificar lo siguiente: 50 La primera rutina consistió en generar gráficos cruzados para cada unidad estratigráfica. Donde se observa la relación entre la log-permeabilidad, el espesor de arena, y a su vez, los pozos asociados con su respectiva heterogeneidad relativa de Lorenz en cada unidad estratigráfica. Ver figura 3.15. Figura 3. 15. Grafico cruzado. Heterogeneidad de Lorenz para cada pozo, en función del espesor de arena y de la log-permeabilidad. Unidad estratigráfica A. En la figura 3.15 se evidencia que la utilidad del grafico en cuanto a la representación de los valores asociados a cada pozo, permitiendo así, inferir los pozos asociados a zonas de gran interés. La información que aporta este tipo de gráfico se puede desglosar y asociar a la ubicación espacial, para ello 51 se toman los mapas de heterogeneidad y se sobreponen a los mapas de espesor de arena o de log-permeabilidad promedio, incluyendo a su vez los pozos. Se presenta a continuación dos de los resultados. Ver figuras 3.16 y 3.17. Figura 3. 16. Heterogeneidad de Lorenz y Espesor de arena. Unidad estratigráfica A. En la figura 3.16, se presenta un mapa donde se correlaciona la ubicación espacial de los pozos, el espesor de arena y la heterogeneidad, permitiendo al igual que el grafico cruzado de la figura 3.15 una herramienta que sintetiza información de interés para el estudio de yacimiento. 52 Figura 3. 17. Heterogeneidad de Lorenz y promedio de log-permeabilidad. Unidad estratigráfica A. Al igual que en la figura 3.16, en la figura 3.17 se condensa y correlaciona información en cuanto a la ubicación de los pozos, la heterogeneidad vertical y los valores de log-permeabilidad. Propiedades necesarias para una interpretación adecuada del yacimiento. 53 CAPITULO IV RESULTADOS Y ANÁLISIS DE RESULTADOS Para generar los mapas como objetivo principal de la investigación, fue necesario cumplir con una secuencia de pasos previos. Es de gran importancia mencionar que todos los resultados fueron alcanzados a través de algoritmos diseñados para tales fines, permitiendo así la sistematización de cada uno de los procesos que integran la totalidad de este trabajo. La primera rutina consistió en adecuar los registros de pozos a sus respectivas coordenadas, mostrando así, que se contaba con registros de 43 pozos verticales, a los cuales se identificó como P1, P2, P3,… P43. Luego se relacionan los pozos con las superficies de las unidades estratigráficas, acotando los registros de pozos solo en los estratos de interés (unidades A, B y C). El cruce de información da como resultado 125 tablas de propiedades, que responden al producto de las 3 unidades estratigráficas por los 43 pozos, y descontando de allí 4 pozos que no atraviesan la unidad estratigráfica más profunda (C). 4.1. Análisis estadístico de los datos. En esta etapa se diseña un algoritmo mediante el cual se obtiene la estadística descriptiva más esencial de los datos principales (registros de porosidad y permeabilidad); el análisis de dichos valores se realizó para las arenas de cada unidad estratigráfica, como se observa en las figuras 4.1 y 4.2. En la figura 4.1 se observa como la porosidad en las unidades estratigráficas A, B y C sigue una distribución gaussiana aproximadamente. En teoría la distribución de la porosidad debe ser gaussiana, sin embargo, la misma está 54 sujeta a diversos factores que pueden alterarla; principalmente las variaciones litológicas (como por ejemplo el contenido de arcilla) tienden a ser las causas principales de las distribuciones multimodales de la porosidad en los yacimientos. Se observa en los gráficos cuantil-cuantil (QQ) la normalidad de las variables, al presentar un buen ajuste a la recta teórica normal. Solo para los valores extremos existe una desviación considerable de los datos, lo cual a su vez es evidente en los histogramas de frecuencia. Figura 4. 1. Histogramas, Diagramas de caja y bigotes y Gráficos QQ normal, de la porosidad en cada unidad estratigráfica. En cuanto a la distribución de la permeabilidad, se puede observar en la figura 4.2, que existe una pronunciada asimetría, y sabiendo que esta propiedad suele tener una distribución lognormal, se procedió a realizar el 55 histograma y el diagrama de caja y bigotes a los valores logarítmicos (base 10) de la permeabilidad, con la finalidad de visualizar mejor su comportamiento. En la figura 4.3, se observan los resultados. Figura 4. 2. Histogramas y Diagramas de caja y bigotes de la permeabilidad en cada unidad estratigráfica. 56 Figura 4. 3. Histogramas y Diagramas de caja y bigotes del logaritmo base 10 de la permeabilidad en cada unidad estratigráfica. Se evidencia en las tres unidades, que el logaritmo base 10 de la permeabilidad se aproxima una distribución normal, lo que corresponde, pues la permeabilidad como se mencionó antes, tiene distribución lognormal. Nuevamente se observa en los gráficos cuantil-cuantil (QQ) buen ajuste a la recta teórica, que para el caso de datos logarítmicos, se ajusta a una variable lognormal; para los valores extremos se presenta una divergencia, lo cual se asocia a los datos atípicos. En las figuras 4.2 y 4.3 se observan datos atípicos (outliers) presentes en la distribución de la permeabilidad, sin embargo, antes de invalidar dichos datos por su inconsistencia, sería necesario conocer la naturaleza de los mismos. 57 Esto condujo a la representación espacial de dichos datos, utilizando como herramienta una tabla numérica en Excel. En la figura 4.4 se observa como los datos atípicos guardan una relación espacial entre ellos, se concluye entonces, que estos resultados son válidos y producto de cambios litológicos y/o de variaciones en el contenido de los poros. Figura 4. 4. Tabulación de los valores de permeabilidad con respecto a la profundidad Unidad estratigráfica C. 4.2. Calculo de los coeficientes de heterogeneidad. El cálculo de los coeficientes, Variación Dykstra Parsons (VDP) y Lorenz (Lz), se efectuó a través de las rutinas implementadas en este proyecto utilizando el software R Project; obteniendo como resultado 120 valores por cada método. Se trabajó con 43 pozos y 3 unidades estratigráficas, lo que 58 debería producir 129 valores por cada método, sin embargo, 4 pozos no alcanzan cruzar la unidad estratigráfica C (UEC), (la más profunda) y para la unidad A, 2 pozos no cuentan con ningún registro de arena y 3 pozos solo cuentan con un solo registro de arena, lo que impide el cálculo de ambos coeficientes. 4.2.1. Coeficiente de Lorenz. A manera de visualizar el procedimiento para el cálculo de Lorenz, se presenta en la figura 4.5 la gráfica de capacidad de flujo vs volumen total para un segmento de pozo, se observa como la curva de Lorenz (azul oscuro) cruza los rectángulos y prácticamente los bisecta. Tomando en cuenta la ecuación 2.8, tenemos que: 𝐿𝑧 = 1 (∫0 𝑑𝑐𝑓(𝑥)𝑑𝑥) − 0.5) 0.5 59 1 = � 2 � 𝑑𝑓𝑐 (𝑥)𝑑𝑥� − 1 0 Figura 4. 5. Fracción de la capacidad de flujo vs la fracción del total de volumen para el pozo 6 de la unidad estratigráfica A. Utilizando la suma de los polígonos sin regresión. Donde la integral se efectúa a través del método de suma de Riemann, sin generar un error apreciable dado la densidad de los puntos continuos. La rutina programable consistió en el cálculo del coeficiente de Lorenz y en adjuntar la gráfica de capacidad de flujo vs la fracción del total de volumen, para cada pozo en cada unidad estratigráfica. 4.2.2. Coeficiente de Variación Dykstra Parsons. Para el cálculo de los coeficientes de Dykstra Parsons se trabajó en base a las relaciones algebraicas que incluyen la relación entre la diferencia de la mediana y la desviación estándar (percentil 84.1) con respecto a la mediana, suponiendo una distribución log normal de la permeabilidad, lo que es 60 semejante en la estadística paramétrica al cálculo de la inversa de la función de distribución acumulada con respecto a una probabilidad de ocurrencia mayor a la desviación estándar de 0.841, es decir una probabilidad de 0.159. Como ya se mencionó, el coeficiente de variación Dykstra-Parsons (VDP) se calculó a través de la ecuación 2.7: 𝑉𝐷𝑃 = Donde: K[50%] − K[84.1%] K[50%] K[50%] es la log-permeabilidad correspondiente a la mediana del conjunto logarítmico, y K[84.1%] es la log-permeabilidad correspondiente a la desviación estándar (84.1%) del conjunto logarítmico. A continuación se muestra en la tabla 4.1, en ella algunos valores resaltantes de cada método. Tabla 4. 1. Valores resaltantes de los coeficientes de heterogeneidad para cada método en cada unidad estratigráfica. VDP Lz Min 0.0353 0.0203 Prom 0.4935 0.3194 Max 0.8471 0.8474 Min 0.2792 0.1187 Prom 0.6987 0.4782 Max 0.9804 0.8886 Min 0.2157 0.1011 Prom 0.5751 0.3123 Max 0.9832 0.7540 UE A B C Min = Mínimo. Prom= Promedio. Max= Máximo. VDP = Variación Dykstra Parsons. Lz = Coeficiente de Lorenz. 61 De lo mostrado en la tabla 4.1, se puede observar que Dykstra Parsons tiende a presentar valores superiores a Lorenz. 4.3. Relación entre los coeficientes. Luego de los cálculos de los coeficientes Dykstra Parsons y Lorenz, se realizó una rutina programada para visualizar la correlación entre ellos, a través de gráficos cruzados, esto para los valores obtenidos en cada pozo para cada unidad estratigráfica. Ver figura 4.6. Figura 4. 6. Gráficos cruzados de Coeficiente de Lorenz vs Coeficiente de Variación Dykstra Parsons, para cada unidad estratigráfica. En la figura 4.6, se observa como en los gráficos cruzados, para las tres unidades estratigráficas juntas y separadas, con sus respectivos coeficientes 62 de correlación. Los coeficientes de Dykstra Parsons cuentan con valores mayores a los de Lorenz, algo que se razonaba luego de ver los valores promedios en la tabla 4.1. 4.4. Registros de Pozo y heterogeneidad. Para continuar la comparación entre ambos métodos de heterogeneidad, se tomó como referencia el gráfico cruzado de los coeficientes para la unidad estratigráfk8ica B, está por ser la de menor factor de correlación (0.284). Los pozos útiles para el análisis comparativo son el P 26, P 16, P 12 y P 5; por ser ellos los valores extremos en cada situación: Lorenz y VDP máximo, Lorenz máximo y VDP mínimo, Lorenz y VDP mínimo y, Lorenz mínimo y VDP máximo, respectivamente. Ver figura 4.7. Se elaboró entonces una rutina para los registros de pozo donde en función de la profundidad, se grafican el logaritmo decimal de la permeabilidad, el indicador de arena, y la porosidad para cada uno de los pozos mencionados. Ver figuras 4.8, 4.9, 4.10 y 4.11. 63 Figura 4. 7. Gráficos cruzados de Coeficiente de Lorenz vs Coeficiente de Variación Dykstra Parsons, Unidad estratigráfica B. Pozos favorables para la comparación. 64 Figura 4. 8. Registro de pozo. Logaritmo decimal de la permeabilidad, el indicador de arena, y la porosidad en función de la profundidad. Pozo 26. Unidad estratigráfica B. Se observa como en la figura 4.8, con los coeficientes altos de VDP y Lz (es decir alta heterogeneidad en ambos) como la porosidad y el logaritmo de la permeabilidad varían notablemente, no solo dentro de cada sección de interés (indicador de arena = 1), sino que respecto a las otras secciones de interés también presentan altas variaciones. 65 Figura 4. 9. Registro de pozo. Logaritmo decimal de la permeabilidad, el indicador de arena, y la porosidad en función de la profundidad. Pozo 12. Unidad estratigráfica B. Se observa como en la figura 4.9, con los coeficientes bajos de VDP y Lz (alta homogeneidad en ambos) como el logaritmo de la permeabilidad tiene un comportamiento de poca variación (tendencia homogénea) dentro de la única sección de interés; mientras la porosidad varía levemente entre valores de 0.2 y 0.3. 66 Figura 4. 10. Registro de pozo. Logaritmo decimal de la permeabilidad, el indicador de arena, y la porosidad en función de la profundidad. Pozo 5. Unidad estratigráfica B. Se observa en la figura 4.10, que a pesar de ser valores de heterogeneidad incongruentes, con el coeficiente bajo de Lz y alto de VDP, el logaritmo de la permeabilidad tiene un comportamiento de poca variación (tendencia homogénea) dentro de la sección de interés con mayor espesor; mientras la porosidad varía levemente entre valores de 0.3 y 0.4. Y en los otros registros de arena (todos de mínimo espesor), igualmente mantienen un valor de logpermeabilidad con baja variación. Lo que evidencia que el valor del coeficiente de Lorenz se mantiene sobre el de VDP. 67 Figura 4. 11. Registro de pozo. Logaritmo decimal de la permeabilidad, el indicador de arena, y la porosidad en función de la profundidad. Pozo 16. Unidad estratigráfica B. Por último, se observa como en la figura 4.11 el otro caso de coeficientes incongruentes, con el coeficiente alto de Lz y bajo de VDP, acá se muestra como el logaritmo de la permeabilidad tiene un comportamiento variable (heterogéneo) dentro de las secciones de interés; mientras la porosidad varía levemente entre valores de 0.2 y 0.4. Igualmente el contenido de arena es mucho mayor que el de no arena, por lo que obviando dichos registro de no arena, se observa más aún la total heterogeneidad en el registro completo de log-permeabilidad, por ende, el valor del coeficiente de Lorenz (alto, es decir heterogéneo) se mantiene nuevamente sobre el de VDP. 68 Observamos entonces como el coeficiente de Lorenz (Lz) predomina sobre el de Dykstra Parsons (VDP) para los 4 casos extremos, siendo este quien responde mejor a situaciones de alta o baja tasa de variación del logaritmo decimal de la permeabilidad, ya sea para los casos de alta o baja heterogeneidad respectivamente. Igualmente haciendo énfasis en la teoría, observamos que el cálculo de heterogeneidad a través del método de Variación Dykstra Parsons es netamente estadístico (siendo este un algoritmo aplicado a la permeabilidad de las arenas reconocidas a través de los registros de pozos), a diferencia del método por coeficiente de Lorenz, donde intervienen los registros de porosidad y permeabilidad para crear valores que relacionan directamente la capacidad de permeabilidad acumulada con la capacidad de volumen acumulada y así modelar la distribución de la capacidad de flujo. Tomando en cuenta estos resultados, en nuestro caso de estudio se decidió utilizar para la posterior interpretación solo el coeficiente de Lorenz, sin embargo, los objetivos en cuanto a la elaboración del algoritmo para generar los mapas por medio del coeficiente de Dykstra Parsons fueron efectuados. 4.5. Mapas Isópacos. Con la finalidad de tener en cuenta los espesores de cada unidad estratigráfica, se programó una rutina para obtener las diferencias de cota entre los nodos del mallado de tope y base de cada unidad. A continuación en las figuras 4.12, 4.13, y 4.14, se observan los mapas isópacos para cada unidad estratigráfica. 69 Figura 4. 12. Mapa isópaco para la unidad estratigráfica A. (Medidos en pies) Se observa que los mayores espesores se encuentran al norte del mapa, especialmente al NE (entre 80 y 110 pies). Igualmente al oeste y sur de la región se aprecian valores bajos de espesor (entre 30 y 80 pies). Y un mínimo al este con espesor de 20 pies. 70 Figura 4. 13. Mapa isópaco para la unidad estratigráfica B. (Medidos en pies) Se observa que para la unidad estratigráfica B, se encuentran valores de máximo espesor al centro y norte de la región, oscilando entre 115 y 165 pies. Mientras al sur está la zona de medio y bajo espesor (15 a 115 pies). 71 Figura 4. 14. Mapa isópaco para la unidad estratigráfica C. (Medidos en pies) En cuanto a la unidad estratigráfica C, se evidencian bajos espesores al sur de la región (de 15 a 40 pies) y altos en la zona central y norte (de 40 a 110 pies). 4.6. Geoestadística. 4.6.1. Variografía. Con el fin de convertir los datos discretos de heterogeneidad vertical en valores continuos y de este modo predecir los valores y tendencias de la heterogeneidad vertical en el resto del yacimiento, se crean los mapas a partir de las interpolaciones necesarias. Para llegar a los mapas de heterogeneidad utilizando kriging, fue necesario elaborar una rutina que produjera la variografía de los datos, pues a partir de los mapas de variograma se observan las tendencias preferenciales de 72 continuidad. Para la elaboración de dicha rutina se utilizaron las funciones de la librería Gstat a través de R Project. A continuación en la figura 4.15 se observa el mapa de variograma para la unidad estratigráfica A, obtenida a partir de los coeficientes de Lorenz. En dicho mapa se aprecia como existe una tendencia dominante para los datos a 45º y la tendencia de menor continuidad a 135º (ambos en sentido dextrógiro con respecto al norte). Los valores utilizados en este caso, para la distancia máxima de alcance del variograma (cutoff) y para el ancho de las ventanas para la búsqueda de puntos (width) fueron de 12000 y 1100 respectivamente. La misma rutina fue utilizada para crear los mapas de variograma de cada unidad estratigráfica, por cada método, siempre reajustando el cutoff y el width para cada caso. Figura 4. 15. Mapa de variograma para la unidad estratigráfica A. Coeficiente de Lorenz. 73 Luego de obtener los mapas de variograma, se generó otra rutina para obtener los variogramas experimentales junto a su respectivo ajuste teórico. Al igual que para los mapas de variograma, para obtener los variogramas experimentales, y el ajuste teórico, fue necesario definir ciertos parámetros para cada caso. Para obtener el variograma experimental, es necesario aparte de la distancia máxima de alcance del variograma (cutoff) y el ancho de las ventanas (width), incluir las direcciones o rumbo de las tendencias mayor y menor. Para el caso del ajuste teórico, se requiere especificar la meseta (sill), el modelo de curva, el efecto pepita (nugget), el rango y por último definir la anisotropía en función del ángulo de la tendencia dominante y la relación rango menor / rango mayor. Para el caso de la heterogeneidad la unidad estratigráfica A, por coeficiente de Lorenz, se obtuvo el variograma bidimensional de la figura 4.16, utilizando los ajustes presentados en la tabla 4.2 Tabla 4.2. Parámetros para obtener el variograma experimental y su ajuste teórico para la unidad estratigráfica A, dado los coeficientes de Lorenz. VARIOGRAMAS Experimental Teórico Cutoff 12000 Sill 0.03 Width 1100 Modelo Exponencial Tendencia mayor 45º Nugget 0 Tendencia menor 135º Rango 1500 Anisotropía (ángulo y tasa) 74 45º / 0.5 Figura 4. 16. Variograma teórico ajustado sobre variograma experimental para el Coeficiente de Lorenz en la unidad estratigráfica A. Con la finalidad de comparar el comportamiento especial de la heterogeneidad y el de la log-permeabilidad, se elaboró una rutina para obtener el mapa de variograma de los valores promedios de los registros de log-permeabilidad. Ver figura 4.17. A través del mapa de variograma se observa la semejanza en cuanto a las tendencias de mínima y máxima continuidad, la relación anisotropía entre ellas y la geometría romboédrica. Todo eso sumado a la baja densidad de datos (43 puntos o pozos, en aproximadamente 13000 m2) sugiere la posibilidad que los resultados de los mapas están altamente influenciados por la disposición espacial de los pozos. 75 Figura 4. 17. Mapa de variograma para la unidad estratigráfica A. Log-Permeabilidad. 4.6.2. Kriging. Para obtener los mapas finales, se generó una rutina donde se creó un mallado de nodos equidistantes (200 x 200 celdas), a dichas celdas se le asignaron los valores de heterogeneidad distribuidos según las relaciones obtenidas mediante los cómputos de variogramas (kriging), convirtiendo finalmente los datos discretos de heterogeneidad. 76 heterogeneidad en mapas de A continuación se presentan los mapas como resultado final del trabajo de investigación: Unidad estratigráfica A: Figura 4. 18. Mapa de heterogeneidad en la unidad estratigráfica A. A través del coeficiente de Lorenz. En la figura 4.18 se observa un alto de heterogeneidad en la zona SO de la región, y un área de media y baja heterogeneidad en el resto del mapa. 77 Figura 4. 19. Mapa de heterogeneidad en la unidad estratigráfica A. A través del coeficiente de Variación Dykstra Parsons. Como se evidencia en la figura 4.19, se observa un alto de heterogeneidad en la zona NE de la región, consecuente con los valores altos de la tendencia con rumbo NE. Los valores de la heterogeneidad disminuyen a los lados de dicha tendencia, llegando a presentar mínimos al SO. Comparando ambos mapas de la unidad estratigráfica A, obtenidos por ambos coeficientes, se detallan valores puntuales que se respetan como por ejemplo el máximo al SO, igualmente el conjunto de mínimos en la parte sur central. 78 Unidad estratigráfica B: Figura 4. 20. Mapa de heterogeneidad en la unidad estratigráfica B. A través del coeficiente de Lorenz. En la figura 4.20 se observan los mayores valores de heterogeneidad en una franja con orientación NNE, y de ambos lados se encuentran franjas con valores bajos de heterogeneidad. Cabe resaltar que en la zona inferior central se encuentra un bajo de heterogeneidad. 79 Figura 4. 21. Mapa de heterogeneidad en la unidad estratigráfica B. A través del coeficiente de Variación Dykstra Parsons. En la figura 4.21 el mapa muestra una tendencia de baja heterogeneidad con sentido NE, y a ambos flancos de esta, valores de alta heterogeneidad. En la parte sur de la región se encuentra un bajo de heterogeneidad. Igual que para la unidad estratigráfica A, a pesar de la baja correlación entre los valores arrojados por los dos métodos de cálculo de heterogeneidad, es posible identificar ciertos valores puntuales que se mantienen en ambos mapas de la unidad estratigráfica B (figuras 4.20 y 4.21). Igualmente la tendencia de valores altos con rumbo NE. 80 Unidad estratigráfica C: Figura 4. 22. Mapa de heterogeneidad en la unidad estratigráfica C. A través del coeficiente de Lorenz. En la figura 4.22 se observa una clara tendencia que divide al mapa en 2 partes, al oeste valores bajos de heterogeneidad, y al este valores medios; sin embargo al NE se evidencia un alto de heterogeneidad y al SO un bajo significativo. 81 Figura 4. 23. Mapa de heterogeneidad en la unidad estratigráfica C. A través del coeficiente de Variación Dykstra Parsons. En este mapa se puede observar un alto de heterogeneidad en la parte NE de la región, con un valor aproximado de 0.95, mientras que el bajo heterogéneo se encuentra en la parte SO con un valor de 0.25. En cuanto a las tendencias, se evidencia una posible con dirección NE. Cuando se comparan los mapas para la unidad estratigráfica C (figuras 4.22 y 4.23), se logra apreciar que ciertas partes de las tendencias se conservan junto a ciertos valores de heterogeneidad, tal es el caso para la zona NE del 82 mapa, donde el contorno de la tendencia es muy semejante incluyendo los valores de heterogeneidad. De manera general y como ya se mencionó antes, a pesar de los bajos valores de correlación entre los coeficientes arrojados por los dos métodos aplicados para el cálculo de heterogeneidad (Lorenz y Variación Dykstra Parsons), ver figura 4.6, es posible identificar ciertas tendencias que se mantienen para cada unidad estratigráfica, como también se evidencian subregiones sin tendencias comunes pero con valores semejantes de heterogeneidad. Nuevamente se resalta que el objetivo planteado para generar los mapas de heterogeneidad por ambos métodos ha sido alcanzado; igualmente se demostró que no siempre el cálculo de valores de heterogeneidad por ambos métodos tiende a dar resultados semejantes. 4.7. Heterogeneidad como factor de cualificación de incertidumbre. Con la finalidad de observar cómo se relaciona la heterogeneidad con los valores de log-permeabilidad y espesor de arena para cada unidad estratigráfica, y a través de ello localizar las zonas de mayor interés, se elaboraron diversas rutinas que permitieron identificar lo siguiente: En la figuras 4.24, 4.25 y 4.26, se observa la relación entre la logpermeabilidad, el espesor de arena y la heterogeneidad relativa de Lorenz en cada unidad estratigráfica. 83 Figura 4. 24. Grafico cruzado. Heterogeneidad de Lorenz para cada pozo, en función del espesor de arena y de la log-permeabilidad. Unidad estratigráfica A. Se observa en la figura 4.24, que los máximos valores de heterogeneidad están asociados a altos valores de permeabilidad (pozos 4, 10 y 17), igualmente que para valores bajos de permeabilidad y de espesor de arena, se encuentran los valores más bajos de heterogeneidad (pozos 9, 29, 33). Los pozos con mayor interés son aquellos con alto espesor, baja heterogeneidad y buena permeabilidad, como es el caso de los pozos P 30, P32 y P 35. 84 Figura 4. 25. Grafico cruzado. Heterogeneidad de Lorenz para cada pozo, en función del espesor de arena y de la log-permeabilidad. Unidad estratigráfica B. En la figura 4.25 se observa que los máximos valores de heterogeneidad están asociados a valores medios y altos de permeabilidad y espesor de arena (pozos P 2, P 20, P 16 y P 26). Para valores bajos de permeabilidad y espesor de arena, se encuentran heterogeneidades bajas y medias (pozos P 38, P 28, P 34 y P 4). Los pozos con mayor interés son P 6, P 7 y P 15, tomando en cuenta su alto espesor, baja heterogeneidad y buena permeabilidad. 85 Figura 4. 26. Grafico cruzado. Heterogeneidad de Lorenz para cada pozo, en función del espesor de arena y de la log-permeabilidad. Unidad estratigráfica C. En la figura 4.26 se evidencia que los máximos valores de heterogeneidad están asociados a valores medios y altos de permeabilidad y valores bajos y medios de espesor de arena (pozos P 43, P 42, P 29 y P 25). Los valores bajos de heterogeneidad se encuentran asociados a lo largo de los diferentes valores de espesor de arena, excepto en los valores altos de permeabilidad. (Pozos P 33, P 41, P 4, P 15, P 3, P 21 y P 19). Los pozos con mayor interés son aquellos con alto espesor, baja heterogeneidad y buena permeabilidad, como es el caso de los pozos P 18, P 21, P 9 y P 6. 86 De manera general, no se puede obtener una tendencia universal específica que asocie el comportamiento de la heterogeneidad en función del espesor de arena y/o de la permeabilidad. Sin embargo como dichos valores de permeabilidad son obtenidos a través del promedio de los registros dentro de las arenas (secciones de interés), y estos si están asociados al espesor de las mismas en cada pozo, se logra evidenciar para los 3 gráficos anteriores como el incremento de el espesor influye directamente al promedio de la logpermeabilidad. El motivo por el que la heterogeneidad y el espesor de arena no se evalúan con respecto a los valores de porosidad, es debido a que los registros de esta última están asociados directamente a la permeabilidad. Esto se evidencia en la siguiente figura. Figura 4. 27. Relación entre la log-permeabilidad y la porosidad. 87 Como se mencionó anteriormente, el estudio de yacimientos está asociado al nivel de resolución necesario para evaluar sus propiedades, es necesario para un estudio eficiente, tomar en cuenta las propiedades petrofísicas y la tasa de variación de las mismas en función de su ubicación espacial. A través de los mapas de heterogeneidad vertical en el yacimiento y contando con los mapas de la permeabilidad promedio de las arenas por unidad estratigráfica, es posible cualificar las localidades de los mapas, utilizando para ello la tabla 4.3. Tabla 4. 2. Factores cualitativos de los yacimientos en función a la permeabilidad y a la heterogeneidad. Permeabilidad K [mD] Calidad Heterogeneidad Alta Baja Muy Bueno Alta Medio Baja Medio Deficiente De manera general, la resolución indica cuánto detalle puede observarse en de una propiedad en función espacial. La función espacial suele ser representada por celdas de dos o 3 dimensiones, dependiendo del estudio. A menor resolución, habrá celdas de mayor tamaño representando cada una un único valor de propiedad promedio, mientras que a mayor resolución, disminuye el tamaño de las celdas, permitiendo obtener mayor densidad de muestra de la propiedad. Las zonas de baja heterogeneidad representan bandas donde no es necesario acentuar mucho en cuanto a la resolución, por lo que en el análisis espacial del yacimiento podría traducirse en celdas de mayor tamaño que conservan la robustez del estudio, lo que se traduciría en disminución del 88 tiempo de cómputo al no ser necesario estudiar la sección con una mayor resolución. Sumado a ello, si la localidad cuenta a su vez con altos valores de permeabilidad, se tendría una zona de muy buena capacidad de reservorio y con alta calidad de flujo y cuyo estudio no se dificulta daba su homogeneidad. Por otro lado, en localidades de alta heterogeneidad y baja permeabilidad es necesario aumentar la resolución al máximo (disminución del tamaño de celdas de estudio y aumento del número de celdas), con la finalidad de enfatizar el estudio en posibles zonas de mayor permeabilidad opacadas por una permeabilidad media de valor bajo. En el caso de una localidad de baja heterogeneidad y baja permeabilidad se cuenta con arreglos de permeabilidad de poco interés, donde por su alta homogeneidad se sugiere no aumentar la resolución, puesto a que los valores de heterogeneidad se mantienen constantes. Por último, los casos de alta heterogeneidad y alta permeabilidad, donde es importante aumentar la resolución, en este caso para enfatizar el estudio en esas permeabilidades altas, como el valor medio, y descartar las permeabilidades bajas. Sumado a esta clasificación, se tomó en cuenta los espesores de arena para cada unidad estratigráfica, el valor agregado de ello permite enfatizar en la localidad de mayor espesor y mejor calidad de roca (en cuanto a heterogeneidad y permeabilidad). A continuación se muestran los mapas de sobreposición (log-permeabilidad media con heterogeneidad, y espesor de arena con heterogeneidad) para cada unidad estratigráfica. Ver figuras 4.28 a 4.33. Para las 6 figuras se observa la heterogeneidad a través de los contornos superpuestos a los contornos con relleno, estos últimos referentes al espesor de arena o a la media geométrica de la log-permeabilidad, según sea el caso de comparación.. Igualmente se muestran los pozos relacionados a la 89 información. Es necesario mencionar que por motivos de la superposición de los mapas el software crea espacios vacíos (carentes de información) debido al cruce de las fronteras de información, reduciendo está a las coordenadas de los pozos extremos, y dejando los índices originales de la propiedad representada a través del mapa de contorno con relleno (o mapa de calor).. Unidad estratigráfica A: Figura 4. 28. Heterogeneidad de Lorenz y Espesor de arena. Unidad estratigráfica A. 90 Tomando en cuenta la sobreposición de información que se presenta en la figura 4.28, se evidencia que la zona de mayor interés se encuentra al NE del mapa, pues presenta los mayores espesores de arena (70 pies aproximadamente) asociados a bajos valores de heterogeneidad (0.3); los pozos presentes allí son el P 30, P 32, P 35, P 36 y P 37. En la zona central del mapa se observa una tendencia NNO de muy bajos espesores de arena, asociados a diversos valores de heterogeneidad que oscilan entre 0.1 y 0.3. Los valores más altos de heterogeneidad están al SO del mapa y giran alrededor de 0.5 y 0.7, en un espesor de arena medio (40 pies aproximadamente), los pozos presentes son P 1, P 4, P 3 y P 17. Figura 4. 29. Heterogeneidad de Lorenz y promedio de log-permeabilidad. Unidad estratigráfica A. 91 En la figura 4.29 se observa que para la zona SO del mapa se encentran los valores de mayor permeabilidad, sin embargo asociados a valores de media y alta heterogeneidad (pozos P 4, P 17, P 20, P 10). Sin embargo al NE se encuentran valores medios de permeabilidad asociados a una baja heterogeneidad (pozos P 36, P 37, P 40, P 42). Unidad estratigráfica B: Figura 4. 30. Heterogeneidad de Lorenz y Espesor de arena. Unidad estratigráfica B. 92 Para el caso de la unidad estratigráfica B, podemos observar en la figura 4.30, que los mayores espesores de arena se encuentran al NO de la región, con valores entre los 95 y 120 pies, asociados a su vez a bajos valores de heterogeneidad (0.25 a 0.4). Los pozos presentes son P 7, P 6 y P 15. Figura 4. 31. Heterogeneidad de Lorenz y promedio de log-permeabilidad. Unidad estratigráfica B. En la figura 4.31 se observó al NO una localidad de muy buenos valores en cuanto al espesor de arenas, la misma se asocia a través del mapa de la figura 4.31 a valores medios de permeabilidad. 93 Los valores de mayor permeabilidad se encuentran al centro del mapa, asociados a valores medio altos de heterogeneidad (0.6). Unidad estratigráfica C: Figura 4. 32. Heterogeneidad de Lorenz y Espesor de arena. Unidad estratigráfica C. En la unidad estratigráfica C, podemos observar en la figura 4.32, que los mayores espesores de arena se encuentran en la parte norcentral del mapa (pozo P 19) la misma asociada a un valor de heterogeneidad de 0.2. Igualmente se evidencia que el mapa está dividido por la diagonal con rumbo NE. Al norte de dicha diagonal se encuentra valores medios de espesor 94 (alrededor de 60 pies) y en la parte inferior descienden los valores de espesor desde los 30 pies. En la región de mayores espesores, la heterogeneidad dominante es de 0.3. Figura 4. 33. Heterogeneidad de Lorenz y promedio de log-permeabilidad. Unidad estratigráfica C. En la figura 4.33 se observa al NE una localidad de muy buenos valores de permeabilidad, al igual que en la parte central sur, ambos asociados a valores de heterogeneidad cercanos a 0.4. Los valores de permeabilidad en la mayor parte del mapa son valores medios. Exceptuando los valores ubicados al oeste (bajos de permeabilidad). 95 CAPITULO V CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 5.1. • Conclusiones Los coeficientes de variación Dykstra Parsons y Lorenz solo pueden calcularse para los pozos que presenten más de un registro de propiedades asociadas a las arenas, y a mayor cantidad de registros más confiable serán los coeficientes. Igualmente es necesario que el pozo presente lectura de todas las arenas de la unidad estratigráfica estudiada. • El cálculo del coeficiente de variación Dykstra Parsons (VDP) es más rápido por métodos numéricos que por métodos geométricos. • El método de Dykstra Parsons tiene como desventaja que solo trata los valores de permeabilidad en cuanto a su distribución estadística (mediana y desviación estándar), a diferencia del método de Lorenz que incluye información en cuanto a la capacidad de flujo. • Dada la cercanía de los puntos en los gráficos de Lorenz, el cálculo de coeficiente de Lorenz (Lz) es más preciso por el método que incluye la Suma de Riemann, que intentar crear una curva de ajuste e integrarla por la regla de Simpson. • La correlación entre los coeficientes de Lorenz y Dykstra Parsons, muestra que no siempre se obtienen resultados similares por ambos métodos, lo que amerita evaluar para los pozos extremos el comportamiento de los registros de log-permeabilidad y verificar que 96 método es más confiable para el caso de estudio. Resultando en nuestro caso el método de Lorenz. • La unidad estratigráfica C presento el mayor coeficiente de correlación entre los valores de heterogeneidad (0.597). mientras la unidad estratigráfica A cuenta con 0.463 y la B con 0.284. • La heterogeneidad no solo se observa tomando en cuenta el comportamiento de la permeabilidad dentro de cada bloque de arenisca, sino que también debe compararse entre todos los bloques de arenisca que conforman la unidad estratigráfica. • De manera general, los mapas isópacos de cada unidad estratigráfica revelaron mayores espesores al norte del yacimiento (alrededor de 100 pies para las unidades A y C, y 165 pies para la B). Mientras que al sur un bajo espesor (alrededor de 20 pies). • Los mapas de variograma para la heterogeneidad de Lorenz y para la de Dykstra Parsons muestran para todas la unidades estratigráficas una tendencia de mayor continuidad a 45º en sentido dextrógiro con respecto al norte. Se presume que ello este influenciado por arreglo de los pozos. • Los ajustes de variogramas teórico experimental, muestran en sus parámetros la influencia que genera la baja densidad de datos; 39 valores para la unidad estratigráfica A, 43 para la B, y 38 para C dispersos en aproximadamente 13000 m2. En cada unidad. • Programar para calcular los valores de heterogeneidad y posteriormente los mapas, optimiza el tiempo de computo al poder 97 efectuar de manera rutinaria los procedimientos que involucran mismos cálculos para pozos y unidades distintas. • En la unidad estratigráfica A se evidencia que la zona de mayor interés se encuentra al NE del mapa, pues presenta los mayores espesores de arena (70 pies aproximadamente) asociados a bajos valores de heterogeneidad (0.3); los pozos presentes allí son el P 30, P 32, P 35, P 36 y P 37. Sumado a esto, dicha zona presenta valores de log-permeabilidad clasificados entre promedio y buenos. • En la unidad estratigráfica B los mayores espesores de arena se encuentran al NO de la región, con valores entre los 95 y 120 pies, asociados a su vez a bajos valores de heterogeneidad (0.25 a 0.4). Los pozos presentes son P 7, P 6 y P 15. En dicha zona encontramos valores de log-permeabilidad que oscilan entre 2.1 y 2.4 clasificados entre promedio y buenos. • En la unidad estratigráfica C los mayores espesores de arena se encuentran en la parte norcentral del mapa (pozo P 19 y sus periferias) la misma está asociada a valores de heterogeneidad entre 0.2 y 0.3. En dicha zona se encentran valores de log-permeabilidad que oscilan entre 2.3 y 2.7 clasificados como buenos. • El coeficiente de heterogeneidad representa la cuantificación de los cambios en las propiedades de la roca (como la permeabilidad y porosidad). Por ende, los mapas de heterogeneidad vertical representan las variaciones laterales de la heterogeneidad vertical para cada unidad estratigráfica. 98 5.2. • Recomendaciones. Se sugiere elaborar e implementar un indicador de calidad que tome en cuenta las variables de interés, como la permeabilidad, la heterogeneidad, la porosidad, el espesor de arena, entre otras, con la finalidad de sintetizar y ponderar la información valiosa en el yacimiento. • Aplicar el estudio a un yacimiento con mayor densidad de datos (número de pozos por área de estudio) para así mejorar la resolución geoestadística de la investigación. • Aplicar el estudio a un yacimiento que cuente con información geológica (geología regional, ambiente sedimentario) y otras propiedades petrofísicas con la finalidad de aprovechar más aun la información referente a la heterogeneidad y mejorar la interpretación del yacimiento. 99 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Barón, A. (2011). Estadística y métodos numéricos. Modelos de regresión. Universidad de Cantabria. Dpto. de Matemática Aplicada y Ciencias de la Computación. Craft, C. & Hawkins, M. (1977).Ingeniería aplicada de yacimientos petrolíferos. Madrid. Editorial Tecnos. 560 p. Díaz, M. (2002). Geoestadística aplicada. Instituto de geofísica UNAM. Ciudad de México. 131 p. Faiz R. & Farah D. (2009). Modelo estático del yacimiento Eoceno C-3 Inferior LR0016. Trabajo especial de grado. Inédito. Universidad del Zulia. Maracaibo. Hernández R. & Edwin G. (2002). Modelaje geoestadístico de un campo de permeabilidad con integración de datos dinámicos. Trabajo especial de grado. Inédito. Universidad Central de Venezuela, Caracas. Jackson S., Bijon S. & Tomutsa Liviu (1986). Selection of critical heterogeneities for further research. U.S. Departament of Energy. 15p. Joyanes, L. (2003). Fundamentos de programación. Algoritmos, estructuras de datos y objetos. 3ª ed. Madrid. McGraw-Hill. 215 p. Miranda, J. (2009). Propiedades de las rocas. PDVSA. 124 p. 100 Ordonez B. &Any C. (2007). Modelo de pozos en simulación numérica de yacimientos. Trabajo especial de grado. Inédito. Universidad Central de Venezuela, Caracas. Peters, J. (2007). Petrophysics.Department of petroleum & Geosystems Engineering the University of Texas at Austin.1049 p. Reverón B. & Jorge L. (2006). Caracterización tridimensional detallada de la heterogeneidad del yacimiento y su implicación en el flujo de fluidos: Campo Carito Oeste, Cuenca Oriental de Venezuela. Trabajo especial de grado. Inédito. Universidad Central de Venezuela, Caracas. Schlumberger (1989) Principios/aplicaciones de la interpretación de registros. Schlumberger educational services.198 p. Sharma, B. (1993). Techniques for mapping the types, volumes, and distribution of clays in petroleum reservoirs and for determining their effects on oil production. U.S. Departament of Energy. 38p. Stori, M., D’Elía, J., Paz, R., Dalcín, L. y Pucheta, M. (2012). Algoritmos y Estructuras de Datos. Universidad Nacional del Litoral. Argentina. Tiab, D. & Donaldson, E. (2004). Petrophysics.Theory and practice of measuring reservoir rock and fluid transport properties. 2ª ed. Vermont (USA). Elsevier. 312 p. Toyo, D. (2009). Introducción a la simulación de yacimientos. Maracaibo. 20p. 101 Tusell, F. & Núñez V. (2007) Regresión y análisis de varianza. 1ª ed. Madrid, España. WEC (1997). Evaluación de pozos. Schlumberger. Wouterlood, C.(2002). Metodología y resultados de proyectos de inyección de geles para incrementar la recuperación en un reservorio heterogéneo y multicapa de la Cuenca Neuquina de Argentina. Petrolera Pérez Companc S.A., Argentina. 102