Download Distribuciones Muestrales

10/08/2007
Diseño Estadístico y
Herramientas para
la Calidad
Distribuciones
Muestrales
Expositor:
p
Dr. Juan José Flores Romero
[email protected]
http://lsc.fie.umich.mx/~juan
M. en Calidad Total y Competitividad
Distribuciones Muestrales
z
Son la base para inferencia estadística
z
Basadas en el concepto de muestreo
z
Muestra vs. Muestreo
Distribuciones Muestrales
z
A la distribución de todos los posibles valores
que puede tomar un estadístico, calculada en
base a muestras del mismo tamaño,
aleatoriamente de la misma población
aleatoriamente,
población, se le
llama distribución muestral de ese
estadístico.
1
10/08/2007
Distribuciones Muestrales
z
Construcción:
1.
2.
3.
De una población discreta, finita, de tamaño N,
extraer todas las muestras posibles de tamaño
n.
Calcular el valor del estadístico de interés de
cada muestra
Hacer una tabla con dos columnas: en la
primera los posibles valores diferentes del
estadístico y en la segunda, la frecuencia de
ocurrencia.
Distribución Muestral de la
Media
1.
2.
3.
Distribución Muestral de la
Media
z
Una población consiste de 10 vendedores de
una compañía. La variable de interés, X, es
la antigüedad. X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10} Podemos calcular los siguientes
10}.
parámetros:
μ=∑
xi 55
=
= 5.5
10
N
σ2 = ∑
( xi − μ ) 2
= 8. 5
N
Distribución Muestral de la
Media
Extraemos todas las posibles muestras.
Supongamos n=2 (100 muestras).
Calculamos la media x para cada una de
esas muestra
Listar los valores diferentes del estadístico y
sus frecuencias.
2
10/08/2007
Distribución Muestral de la
Media
Distribución Muestral de la
Media
Distribución Muestral de la
Media
Distribución Muestral de la
Media
z
Calculamos la media de la distribución
muestral
μx
z
x
=∑
i
Nn
550
=
= 5.5
100
La media de la población de medias
muestrales.
z
Calculamos la media de la distribución
muestral
σ x2 = ∑
z
( xi − μ x ) 2 412.5
=
= 4.125
Nn
100
σ x2 =
σ2
n
=
8.25
= 4.125
2
Error Estándar de la Media o Error Estándar
σ x2 =
σ
n
= 4.125 = 2.031
3
10/08/2007
Distribuciones Muestrales
Teorema del Límite Central
Cuando el muestreo se extrae de una población distribuida
normalmente, la distribución muestral de la media
muestral tiene las siguientes propiedades:
1.
La distribución de la media es normal,
i d
independientemente
di t
t d
dell ttamaño
ñ d
de lla muestra.
t
2.
La Media de la distribución de las medias es igual a la
media de la población.
3.
La varianza de la distribución de las medias es igual a
la varianza de la población, dividida entre n.
z
z
Ejemplo
z
La vida promedia de cierta herramienta es de
41.5 horas, con una desviación estándar de
2.5 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que
una muestra aleatoria de tamaño 50 extraída
de esta población tenga una media entre
40.5 y 42 horas?
Dada una población con media μ y varianza
finita σ2, con cualquier distribución, la
distribución muestral de la media, calculada
de muestras aleatorias de tamaño n,
n está
distribuida normalmente con media μ y
varianza finita σ2/n, cuando n es grande.
La regla de oro dice que n≥30.
Distribución de la diferencia
entre dos Medias Muestrales
z
Dadas dos poblaciones distribuidas normalmente con
medias μ1 y μ2, y varianzas σ12 y σ22, la distribución
muestral de la diferencia ⎯x1 - ⎯x2, de muestral aleatorias
independientes de tamaños n1 y n2, extraídas de las
poblaciones se encuentra normalmente distribuida con
poblaciones,
media
μ x − x =μ1 − μ 2
1
P (40.5 ≤ x ≤ 42) = P (−2.86 ≤ z ≤ 1.43)
= P ( z ≤ 1.43) − P ( z ≤ −2.86) = 0.9236 − 0.0021 = 0.9215
z
2
y varianza
σ x2 − x =(σ 12 / n1 ) − (σ 22 / n2 )
1
2
4
10/08/2007
Ejemplo
z
Ejemplo
z=
Dos compañías fabrican lubricantes de alta temperatura,
para el mismo mercado. La compañía A anuncia que en
promedio, su lubricante deja de ser efectivo a 505 °F,
con una desv. est. de 10 °F. La compañía B anuncia
que su producto tiene una media de 475 °F
F, con una
desv. est. de 7 °F. Suponga que una muestra de
tamaño 20 para la primera compañía y otra
independiente de tamaño 25 para la segunda son
extraídas aleatoriamente. ¿ Cuál es la probabilidad de
que la diferencia en temperatura promedio de falla para
las dos muestras esté entre 25 y 35 °F?
( x1 − x2 ) − ( μ1 − μ 2 )
σ 12
n1
z1 =
z2 =
+
σ 22
n2
25 − (505 − 475)
10 2 7 2
+
20 25
35 − (505 − 475)
10 2 7 2
+
20 25
= −1.89
= 1.89
P (−1.89 ≤ z ≤ 1.89) = 0.9706 − 0.0294 = 0.9412
Distribución Muestral de una
Proporción
z
Cuando el tamaño de la muestra es grande,
la distribución muestral de una proporción
está distribuida normalmente, donde:
μ pˆ = p
σ 2pˆ =
p (1 − p )
n
Ejemplo
z
Una fábrica de clavos determina que 3% de
su producto está defectuoso. Suponga que
se examina una muestra aleatoria de 300
clavos ¿Cuál es la probabilidad de que la
clavos.
proporción de defectuosos esté entre 0.02 y
0.035?
P (−1.02 ≤ z ≤ 0.51) = 0.6950 − 0.1539 = 0.5411
5