Download Formulas y relaciones para cálculos básicos

Formulas y relaciones para cálculos
básicos
1.
Fórmulas de estadística descriptiva
2.
Propiedades y teoremas básicos de
probabilidad. Modelos de probabilidad
3.
Inferencia estadística
José Aurelio Pina Romero
Inmaculada Melchor
Registro de Mortalidad
Conselleria de Sanitat
Fórmulas y relaciones para cálculos básicos
1. Formulas de estadística descriptiva
Tipo de
datos
Medidas de tendencia
central
Media: x 
N
o
a
g
r
u
p
a
d
o
s
i 1
i
 x
n
n
Varianza = s 2 
i 1
x
i

2
Coeficiente de asimetría:
n
Mediana = Md = Valor de Desviación típica o estándar =
n
3
la observación que ocupa
xi  x

la posición o rango
i 1
n
2
n 1
n
xi  x

As 
rMd 
i 1
s3
2
s
n
En caso de que rMd no sea
Coeficiente
de Variación =
entero, Md se calcula como
la semisuma de los valores
s
anterior y posterior
CV  (x100)
x
Moda = M0 = Valor de la Percentil de orden q = Valor de la Coeficiente de curtosis:
variable
con
mayor variables con rango o posición
n
4
frecuencia
q
xi  x

rq 
(n  1) una vez ordenadas
i 1
100
n
de menor a mayor las observaciones Cu 
de la variable, calculado a través del
s4
promedios ponderado entre los
valores que ocupen los rangos
anterior y posterior:
p q  (1  f ) xi  f x i 1
Con f parte fraccionaria de rq

n
Media: x 
x
i 1
i
 fi
Mediana =
 n / 2  Fi 1 
ai
Md  Li 1  
 Fi  Fi 1 



Rango = R = x max  x min
Coeficiente de asimetría:
 x
n
n
xi = marca de clase


Varianza = s 
2
A
g
r
u
p
a
d
o
s
Medidas de forma
Rango = R = x max  x min
n
x
Medidas de dispersión
i 1

2
i
 x  fi
 x
n
i 1
n

3
i
 x fi
n
s3
As 
Desviación típica o estándar =
s  s2
Coeficiente de Variación =
Moda = Intervalo modal
s
CV

(x100)
= Intervalo para el que fi es
x
máxima
Percentil de orden q =
 qn

 Fi 1 

ai
Pq  Li 1   100
 Fi  Fi 1 




2
Coeficiente de curtosis:
 x
n
i 1
Cu 

4
i
 x fi
n
s4
Fórmulas y relaciones para cálculos básicos
2. Propiedades y teoremas básicos de probabilidad. Modelos de probabilidad
Tipo
Dados A, B sucesos cualesquiera,  suceso
seguro,  suceso imposible
AXIOMAS DE KOLGOMOROV
Dados A, B sucesos cualesquiera,  suceso
seguro,  suceso imposible
PROPIEDAS BÁSICAS
Relación

0  p ( A)  1

p ( )  1

p ( A  B )  p ( A)  p ( B ) si A  B  

p ( A)  1  p ( A)

p ( )  0

p ( A  B )  p ( A)  p ( B )  p ( A  B )

p( A  B)  p( A  B)
p( A  B)  p( A  B)
PROBABILIDAD CONDICIONAL E
INDEPENDENCIA
P( A  B)
P( B  A)
p ( B / A) 
p( B)
p ( A)

p( A / B) 

p ( A / B )  P ( A)  A y B son independientes

p ( A  B )  P ( A)  P ( B )  A y B son independientes

Teorema de la probabilidad total:
n
p ( X )   p ( X / Ai ) p ( Ai )
i 1
TEOREMAS BÁSICOS

Teorema de Bayes:
p ( Ai / X ) 
3
p ( X / Ai ) p ( Ai )
p( X )
Fórmulas y relaciones para cálculos básicos
3. Inferencia estadística
PARÁMETRO
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LOS PARÁMETROS MAS HABITUALES
INTERVALOS DE CONFIANZA DE NIVEL 1-α
DISTRIBUCIÓN
MUESTRAL
 
I 1 (  )  [ Estimador  Coeficiente  Error
Media

s 
I 1 (  )   x  t1n1 / 2

n



I 1 ( p )   pˆ  z1 / 2

Proporción
p

I 1 ( 2 )  Linf ; Lsup
Varianza

2
Linf
Diferencias de
medias
1   2
pˆ 1  pˆ  

n


n  1s 2

Linf
X 12 / 2


n  1s 2

X 2 / 2
1. Con varianzas desconocidas pero iguales

s 2p s 2p 
I 1 (  1   2 )   x 1  x 2  t1n1 n/ 22 2
 
n1 n 2 





REQUERIMIENT
OS
t de Student con n-1 Normalidad
grados de libertad de la variable
a estudio o n
 30
Aproximadamente
normal
npˆ  5
n1  pˆ   5
Basada en la Ji- Normalidad
cuadrado
de la variable
2
2
a estudio
X 1 / 2 ; X  / 2
percentiles de una
Ji-cuadrado con n-1
grados de libertad
1.t de Student con
n1+n2-2 grados de
libertad
2. Con varianzas desconocidas y diferentes

s 2p s 2p 
I 1 ( 1   2 )   x 1  x 2  t1gl / 2
 
n1 n 2 




s 2p 

2. t de Student con
gl grados de
libertad
n1  1s12  n2  1s 22
n1  n 2  2
Normalidad
de la variable
a estudio o
n1  30
n 2  30
2
 s12 s22 
  
 n1 n2 
gl 
2
s12 / n1
s2 / n
 2 2
n1
n2

Diferencia de
 

2
Z*
Aproximadamente
4
n n1  n2  20
Fórmulas y relaciones para cálculos básicos
normal
proporciones
p1-p2
Si n n1  n2 ,
está entre 20 y
40,
n1 pˆ 1  5
n1 1  pˆ 1   5
y
n2 pˆ 2  5
n2 1  pˆ 2   5

Z * = I 1 ( p1  p 2 )   pˆ 1  pˆ 2   z1 / 2

pˆ 1 1  pˆ 1  pˆ 2 1  pˆ 2  


n
n

5
Fórmulas y relaciones para cálculos básicos
CONTRASTES DE HIPOTESIS PARA LOS PARÁMETROS MAS HABITUALES
ESTADÍSTICO DE CONTRASTE
DISTRIBUCIÓN
MUESTRAL
PARÁMETRO
 
Media
t

H 0 :   0
x  0
t de Student con n-1 Normalidad de
grados de libertad la variable a
estudio o n
 30
s/ n
H a :   0
Proporción
p
H 0 : p  p0
H a : p  p0
Comparación o
diferencias de
media
1   2
t
pˆ  p 0
Aproximadamente
normal
p 0 (1  p 0 )
n
1. Con varianzas desconocidas pero iguales
x1  x 2
t
s 2p
H 0 : 1   2

n1
H a : 1   2
s 
2
p
npˆ  5
n1  pˆ   5
1.t de Student con
n1+n2-2 grados de
libertad
s 2p
n2
2. Con varianzas desconocidas y diferentes
x1  x 2
t
REQUERIMIENTOS
2. t de Student con
gl grados de
libertad
Normalidad de
la variable a
estudio o
n1  30
n 2  30
s12 s 22

n1 n2
n1  1s12  n2  1s 22
n1  n 2  2
2
 s12 s22 
  
 n1 n2 
gl 
2
s12 / n1
s2 / n
 2 2
n1
n2

Comparación
o
Diferencia de
proporcionespp
p1-p2
H 0 : p1  p 2
H a : p1  p 2
 
z
pˆ 1 
r1
n1

2
pˆ 1  pˆ 2
1
1 
pˆ (1  pˆ )  
 n1 n 2 
r
r r
pˆ 2  2
pˆ  1 2
n2
n1  n2
6
Aproximadamente
normal
n n1  n2  20
Si
n n1  n2 ,
está entre 20 y
40,
n1 pˆ 1  5
Fórmulas y relaciones para cálculos básicos
n1 1  pˆ 1   5
y
n2 pˆ 2  5
n2 1  pˆ 2   5
Asociación
entre variables
cualitativas
H 0 : Noasociación
X 
2
oi  ei 2
ei
oi y ei frecuencias observadas y esperadas
H a : Asociación
ei 
(Totalfila )  (TotalColum na )
n
7
Ji-cuadrado con (nº
filas-1) x(nº de
columnas -1)
grados de libertad
ei  5i
Si la tabla tiene
dimensión
distinta a la
2x2, 1  ei  5
en el 20% de las
celdas,
como
máximo